ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΠΟΛΙΤΙΚΕΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΠΟΛΙΤΙΚΕΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ-ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΠΟΛΙΤΙΚΕΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ Θεοδόσης Δ. Δημητράκος ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΣΑΜΟΣ 5

2 Στους γονείς μου κι στ δέλφι μου Βσιλική κι Κώστ.

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην προύσ διτριβή μελετώντι διάφορ προβλήμτ βέλτιστου ελέγχου στοχστικών διδικσιών τ οποί μπορούν ν περιγρφούν με κτάλληλ Μρκοβινά ή ημι-μρκοβινά μοντέλ ποφάσεων. Τ προβλήμτ σχετίζοντι με το βέλτιστο έλεγχο μις διδιάσττης επιδημικής διδικσίς με τη βέλτιστη προληπτική συντήρηση ενός συστήμτος πργωγής με τη βέλτιστη επισκευή ή ντικτάστση ενός μηχνήμτος κι με το βέλτιστο έλεγχο ενός πληθυσμού πρσίτων. Ο κύριος στόχος είνι η εύρεση της πολιτικής η οποί γι κάθε ρχική κτάστση της διδικσίς ελχιστοποιεί τη μέση τιμή μις προκθορισμένης συνάρτησης του μελλοντικού κόστους. Σε μερικά προβλήμτ ποδεικνύουμε ότι η βέλτιστη πολιτική είνι μονότονη δηλδή θέτει σε λειτουργί το μηχνισμό ελέγχου της διδικσίς ν κι μόνο ν η κτάστση της διδικσίς π.χ. ριθμός φορέων μις σθένεις βθμός επιδείνωσης ή ηλικί ενός μηχνήμτος πληθυσμικό μέγεθος πρσίτων είνι ίση ή υπερβίνει μί κρίσιμη τιμή. Σε κάποιες περιπτώσεις είνι δυντόν ν βρεθεί η βέλτιστη κρίσιμη τιμή. Σε άλλ προβλήμτ κτσκευάζουμε κτάλληλους λγορίθμους οι οποίοι ποσκοπούν στην εύρεση της βέλτιστης πολιτικής. Σε ορισμένες περιπτώσεις ποδεικνύουμε ότι ο λγόριθμος συγκλίνει στη βέλτιστη πολιτική ενώ σε άλλες περιπτώσεις υπάρχουν ισχυρές ριθμητικές ενδείξεις ότι η τελική πολιτική που δημιουργεί ο λγόριθμος είνι βέλτιστη. 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Εισγωγή 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Στοιχεί της θεωρίς των Μρκοβινών διδικσιών ποφάσεων. Εισγωγή 4. Μρκοβινές διδικσίες ποφάσεων σε δικριτό χρόνο 5.3 Προβλήμτ πεπερσμένου χρονικού ορίζοντ 7.4 Προβλήμτ άπειρου χρονικού ορίζοντ 8.4. Ελχιστοποίηση συνολικού νμενόμενου ποπληθωρισμένου κόστους 8.4. Ελχιστοποίηση μκροπρόθεσμου νμενόμενου μέσου κόστους νά μονάδ χρόνου.5 Ημι-Μρκοβινές διδικσίες ποφάσεων κι Μρκοβινές διδικσίες ποφάσεων σε συνεχή χρόνο 5.6 Η προσεγγιστική μέθοδος της Seott 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Βέλτιστος έλεγχος δύο ντγωνιζομένων σθενειών ή ειδών 3. Εισγωγή Αλγόριθμοι δυνμικού προγρμμτισμού γι τ Προβλήμτ 3 κι Ντετερμινιστική επιδημική διδικσί Αβεβιότητ στις τιμές των πρμέτρων 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Βέλτιστη προληπτική συντήρηση ενός συστήμτος πργωγής 4. Εισγωγή 6 4. Περιγρφή του μοντέλου 64 4

5 4.3 Η μορφή της βέλτιστης πολιτικής Στάσιμη επιδείνωση του μηχνισμού Ένς λγόριθμος ότν οι χρόνοι προληπτικής συντήρησης κι επισκευής κολουθούν τη Γεωμετρική κτνομή Δύο γενικεύσεις του μοντέλου Οι χρόνοι προληπτικής συντήρησης κι επισκευής είνι συνεχείς τυχίες μετβλητές Ένς λγόριθμος ότν οι χρόνοι προληπτικής συντήρησης κι επισκευής είνι συνεχείς τυχίες μετβλητές 97 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Ένς λγόριθμος γι τον υπολογισμό της βέλτιστης πολιτικής επισκευής ή ντικτάστσης ενός συστήμτος 5. Εισγωγή 7 5. Κτσκευή του μοντέλου Ο λγόριθμος Αριθμητικά πρδείγμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Υπολογισμός της βέλτιστης πολιτικής γι τον έλεγχο μις σύνθετης διδικσίς μετνάστευσης με την εισγωγή ολοκληρωτικών κτστροφών 6. Εισγωγή 3 6. Η μορφή της βέλτιστης πολιτικής Η μορφή της συνάρτησης του μέσου κόστους υπό τον έλεγχο μις μονότονης πολιτικής Ο υπολογισμός της βέλτιστης πολιτικής Διωνυμικές κτστροφές 57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Υπολογισμός της βέλτιστης πολιτικής γι τον έλεγχο μις πλής διδικσίς μετνάστευσης με την εισγωγή ενός ρπκτικού 7. Εισγωγή Ο υπολογισμός της βέλτιστης πολιτικής Η σύγκλιση του λγορίθμου 65 5

6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 69 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 79 6

7 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η προύσ διδκτορική διτριβή εκπονήθηκε στο Τμήμ Σττιστικής κι Ανλογιστικών- Χρημτοοικονομικών Μθημτικών του Πνεπιστημίου Αιγίου. Στο σημείο υτό νιώθω την νάγκη ν εκφράσω τις ευχριστίες μου στους νθρώπους που συνετέλεσν στην πργμτοποίησή της. Ευχριστώ θερμά τον κ. Αθνάσιο Γιννκόπουλο Ανπληρωτή Κθηγητή του Τμήμτος Σττιστικής κι Ανλογιστικών-Χρημτοοικονομικών Μθημτικών του Πνεπιστημίου Αιγίου ο οποίος με τίμησε ποδεχόμενος την επίβλεψη της διτριβής. Θ ήθελ επίσης ν τον ευχριστήσω γι το διρκές ενδιφέρον του κι την υποστήριξή του. Θέλω ν εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου στο δάσκλό μου κ. Επμεινώνδ Κυρικίδη Ανπληρωτή Κθηγητή του Τμήμτος Μηχνικών Οικονομίς κι Διοίκησης του Πνεπιστημίου Αιγίου ο οποίος στάθηκε δίπλ μου σε όλ τ στάδι υτής της εργσίς πό την πρότση του θέμτός της μέχρι την προυσίσή της. Χωρίς τις χρήσιμες συμβουλές του τις υποδείξεις του κι τη συνεχή συμπράστσή του θ ήτν δύντον ν ολοκληρωθεί υτή η διτριβή. Θ ήθελ επίσης ν ευχριστήσω τ μέλη της επιτροπής κρίσης της διτριβής που δέχτηκν ν φιερώσουν κάποιο πό τον πολύτιμο χρόνο τους γι την ξιολόγηση της εργσίς. Θέλω ν ευχριστήσω το διδκτικό κι διοικητικό προσωπικό του Τμήμτος Σττιστικής κι Ανλογιστικών-Χρημτοοικονομικών Μθημτικών του Πνεπιστημίου Αιγίου γι τη βοήθει κι την υποστήριξη που μου προσέφερν σε όλη τη διάρκει εκπόνησης της διτριβής. Θ ήτν πράλειψή μου ν μην ευχριστήσω τον κ. Χρήστο Ευθυμιόπουλο μέλος της ερευνητικής ομάδς του Τομέ Αστροφυσικής Αστρονομίς κι Μηχνικής του Τμήμτος Φυσικής του Πνεπιστημίου Αθηνών κθώς κι τον κ. Χρήστο Τσγγάρη που νήκει στο Ειδικό Εργστηρικό Διδκτικό Προσωπικό του Τμήμτος Μθημτικών του Πνεπιστημίου Αιγίου οι οποίοι με βοήθησν στ πρώτ προβλήμτ που συνάντησ στο υπολογιστικό μέρος της εργσίς. Τέλος θ ήθελ ν ευχριστήσω με όλη μου την κρδιά τους γονείς μου την δελφή μου Βσιλική κι τον δελφό μου Κώστ γι την γάπη τους κι τη συμπράστσή τους. Το λιγότερο που μπορώ ν κάνω είνι ν τους φιερώσω υτή τη διτριβή. 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισγωγή Θεωρούμε το πρόβλημ του βέλτιστου ελέγχου μις στοχστικής διδικσίς. Ο έλεγχος της διδικσίς πργμτοποιείτι πό ένν υποτιθέμενο ελεγκτή ο οποίος σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές επιλέγει μί ενέργει πό έν σύνολο ενλλκτικών ενεργειών. Σε κάθε χρονική στιγμή ελέγχου της διδικσίς η επιλογή μις ενέργεις επιφέρει έν κόστος. Μί πολιτική είνι ένς κνόνς σύμφων με τον οποίον επιλέγοντι οι ενέργειες σε κάθε χρονική στιγμή ελέγχου της διδικσίς. Η βέλτιστη πολιτική είνι εκείνη η πολιτική η οποί ελχιστοποιεί μί προκθορισμένη συνάρτηση κόστους γι κάθε ρχική κτάστση της διδικσίς. Το πρόβλημ της εύρεσης της βέλτιστης πολιτικής προυσιάζει ιδιίτερο ενδιφέρον κι εμφνίζετι στη βιβλιογρφί με διάφορες μορφές. Αποτελεί το ντικείμενο έρευνς πολλών ερευνητών σε διάφορ πεδί της επιστήμης όπως γι πράδειγμ στην Επιχειρησική Έρευν στην Οικολογί στη Βιολογί κι στην Πληροφορική. Ειδικότερ η βέλτιστη πολιτική νζητείτι σε προβλήμτ συντήρησης κι ντικτάστσης μηχνημάτων σε προβλήμτ ελέγχου ποθεμάτων σε προβλήμτ ελέγχου ουρών νμονής σε προβλήμτ ελέγχου βιολογικών πληθυσμών κι σε προβλήμτ διχείρισης δικτύων κι τηλεπικοινωνιών. Σε πολλές περιπτώσεις η μθημτική διτύπωση η νάλυση κι η επίλυση του προβλήμτος είνι εφικτή μέσω της κτσκευής ενός κτάλληλου μοντέλου που είνι γνωστό ως Μρκοβινό μοντέλο ποφάσεων. Το Μρκοβινό μοντέλο ποφάσεων επινοήθηκε πό τον Bellma 957 κι είνι έν κτάλληλο μθημτικό μοντέλο που χρησιμοποιείτι συχνά γι την περιγρφή μις στοχστικής διδικσίς η οποί μπορεί ν ελεγχθεί πό μί κολουθί ενεργειών. Σε πολλά προβλήμτ Μρκοβινών μοντέλων ποφάσεων έχει ποδειχθεί ότι η βέλτιστη πολιτική είνι μονότονη δηλδή ο ελεγκτής επεμβίνει στην εξέλιξη της διδικσίς ν κι μόνο ν η κτάστση της διδικσίς π.χ. ο βθμός επιδείνωσης ή η ηλικί ενός μηχνήμτος το πλήθος των πελτών σε μί ουρά νμονής το μέγεθος ενός βιολογικού πληθυσμού είνι μεγλύτερη ή ίση με μί κρίσιμη τιμή βλέπε π.χ. Blackbur 97 Kawa 983 So 99 Douer ad Yechal 994 Va der Duy Schoute ad Vaeste 995 Federgrue ad So 8

9 Beyam ad Yechal 999 Kyrakds 999a 4. Το γεγονός ότι μί μονότονη πολιτική είνι βέλτιστη επιτχύνει σημντικά τον υπολογισμό της. Ανφέρουμε τις εργσίες των Abakuks 979 Federgrue ad So 989 κι Love et al. στις οποίες σχεδιάστηκν ποδοτικοί λγόριθμοι γι τον υπολογισμό μις βέλτιστης μονότονης πολιτικής. Στην προύσ διτριβή μελετώντι διάφορ προβλήμτ βέλτιστου ελέγχου στοχστικών διδικσιών τ οποί μπορούν ν περιγρφούν με τη χρήση κτάλληλων Μρκοβινών μοντέλων ποφάσεων. Ανζητείτι η βέλτιστη πολιτική κι ποδεικνύετι σε κάποι πό υτά τ προβλήμτ ότι η βέλτιστη πολιτική είνι μονότονη. Σε άλλ προβλήμτ στ οποί φίνετι δύσκολο ν ποδειχθεί ότι η βέλτιστη πολιτική είνι μονότονη κτσκευάζοντι κτάλληλοι λγόριθμοι γι την εύρεση της βέλτιστης πολιτικής. Τ ριθμητικά ποτελέσμτ των λγορίθμων πρέχουν ισχυρή ένδειξη ότι η βέλτιστη πολιτική είνι μονότονη. Στο Κεφάλιο προυσιάζοντι με συνοπτικό τρόπο τ βσικά στοιχεί της θεωρίς των Μρκοβινών μοντέλων ποφάσεων τ περισσότερ των οποίων θ χρησιμοποιηθούν στ επόμεν κεφάλι. Η προυσίση βσίζετι στ διάφορ κριτήρι βελτιστοποίησης που κθορίζοντι πό την επιλογή της συνάρτησης του κόστους. Ιδιίτερη έμφση δίνετι στο κριτήριο της ελχιστοποίησης του μκροπρόθεσμου νμενόμενου μέσου κόστους νά μονάδ χρόνου που χρησιμοποιείτι σε όλ τ κεφάλι της διτριβής εκτός πό το Κεφάλιο 3 στο οποίο χρησιμοποιείτι το κριτήριο της ελχιστοποίησης του συνολικού νμενόμενου κόστους. Στο Κεφάλιο 3 μελετάτι το πρόβλημ του βέλτιστου ελέγχου μις διδιάσττης επιδημικής διδικσίς. Υποτίθετι ότι ένς πληθυσμός τόμων είνι δυντόν ν προσβληθεί πό δύο μετδοτικές σθένειες την σθένει κι την σθένει. Θεωρούμε ότι η σθένει είνι μί σοβρή σθένει κι ότι η σθένει είνι μί ήπι σθένει. Η προυσί ενός τόμου που έχει προσβληθεί πό τη σοβρή σθένει επιφέρει κάποιο κόστος ενώ η προυσί ενός τόμου που έχει προσβληθεί πό την ήπι σθένει δεν επιφέρει κάποιο κόστος. Θεωρούντι πολιτικές οι οποίες εμβολιάζουν με την ήπι σθένει τ επιδεκτικά άτομ που έχουν πομείνει στον πληθυσμό κι δεν έχουν προσβληθεί πό κμί πό τις δύο σθένειες ή πομονώνουν τ άτομ που έχουν προσβληθεί πό τη σοβρή σθένει. Υποτίθετι ότι ο εμβολισμός των επιδεκτικών κι η πομόνωση των προσβληθέντων τόμων επιφέρουν ντίστοιχ κόστη. Γενικεύοντι τ μοντέλ που επινοήθηκν πό τον Kyrakds c. Ορίζετι μί στοχστική επιδημική διδικσί στην οποί οι ρυθμοί προσβολής εξρτώντι πό μί δύνμη του ριθμού των προσβληθέντων τόμων. Κτσκευάζοντι κτάλληλοι λγόριθμοι 9

10 του δυνμικού προγρμμτισμού γι τον ριθμητικό υπολογισμό της βέλτιστης πολιτικής. Γι την ντίστοιχη ντετερμινιστική επιδημική διδικσί η μορφή της βέλτιστης πολιτικής ποδεικνύετι νλυτικά σε δύο περιπτώσεις κι συγκρίνετι ριθμητικά με τη βέλτιστη πολιτική της στοχστικής επιδημικής διδικσίς. Επίσης προυσιάζετι μί τροποποίηση της στοχστικής επιδημικής διδικσίς στην οποί θεωρείτι ότι το πηλίκο δύο πρμέτρων είνι μί τυχί μετβλητή που κολουθεί μί γνωστή κτνομή. Η βέλτιστη πολιτική υπολογίζετι ριθμητικά γι την τροποποιημένη διδικσί κι συγκρίνετι με την ντίστοιχη βέλτιστη πολιτική της στοχστικής επιδημικής διδικσίς. Στο Κεφάλιο 4 προτείνετι μί γενίκευση του μοντέλου που επινοήθηκε πό τους Va der Duy Schoute ad Vaeste 995. Υποτίθετι ότι έν σύστημ πργωγής ποτελείτι πό έν μηχνισμό τροφοδοσίς μί μονάδ πργωγής κι ένν ενδιάμεσο ποθηκευτικό χώρο. Ο μηχνισμός τροφοδοτεί τη μονάδ πργωγής με έν κτέργστο υλικό. Στο μοντέλο των Va der Duy Schoute ad Vaeste θεωρείτι ότι η επιδείνωση του μηχνισμού είνι στάσιμη υπό την έννοι ότι οι πιθνότητες μετάβσης εξρτώντι μόνο πό το βθμό επιδείνωσης του μηχνισμού. Στο προτεινόμενο μοντέλο θεωρείτι ότι η επιδείνωση του μηχνισμού δεν είνι στάσιμη διότι εξρτάτι πό το βθμό επιδείνωσης κι πό την ηλικί του μηχνισμού. Υποτίθετι ότι η λειτουργί του μηχνισμού μί προληπτική συντήρησή του ή μί επισκευή του επιφέρουν ντίστοιχ κόστη γι κάθε μονάδ χρόνου κτά την οποί ο μηχνισμός λειτουργεί συντηρείτι προληπτικά ή επισκευάζετι. Υποτίθετι επίσης ότι υπάρχει έν κόστος ποθήκευσης του κτέργστου υλικού στον ποθηκευτικό χώρο κι έν κόστος ότν ο ποθηκευτικός χώρος είνι κενός. Ορίζοντι κτάλληλες συνθήκες οι οποίες φορούν τ κόστη της λειτουργίς τ κόστη της προληπτικής συντήρησης τ κόστη της επισκευής τις πιθνότητες μετάβσης τους νμενόμενους χρόνους της προληπτικής συντήρησης κι τους νμενόμενους χρόνους της επισκευής του μηχνισμού. Αποδεικνύετι νλυτικά ότι η βέλτιστη πολιτική είνι μονότονη διότι γι στθερό περιεχόμενο του ποθηκευτικού χώρου κι στθερή ηλικί του μηχνισμού θέτει σε λειτουργί μί προληπτική συντήρηση ν κι μόνο ν ο βθμός επιδείνωσης του μηχνισμού είνι μεγλύτερος ή ίσος με μί κρίσιμη τιμή. Στην περίπτωση της στάσιμης επιδείνωσης του μηχνισμού επισημίνετι ότι η βέλτιστη πολιτική είνι επίσης μονότονη γι στθερό περιεχόμενο του ποθηκευτικού χώρου. Σχεδιάζετι ένς ποδοτικός λγόριθμος βελτίωσης των πολιτικών γι την περίπτωση υτή ο οποίος πράγει μί κολουθί βελτιωμένων πολιτικών που έχουν τη μονότονη μορφή. Υπάρχει ισχυρή ένδειξη

11 βάσει ριθμητικών ποτελεσμάτων ότι η τελική πολιτική που πράγει ο λγόριθμος είνι βέλτιστη. Μελετώντι κόμ δύο γενικεύσεις του στάσιμου μοντέλου στις οποίες υπολογίζετι ριθμητικά η βέλτιστη πολιτική. Προυσιάζετι επίσης μί τροποποίηση του στάσιμου μοντέλου στην οποί υποθέτουμε ότι οι πιτούμενοι χρόνοι γι μί προληπτική συντήρηση κι μί επισκευή του μηχνισμού είνι συνεχείς τυχίες μετβλητές. Σχεδιάζετι ένς ποδοτικός λγόριθμος βελτίωσης των πολιτικών γι το τροποποιημένο μοντέλο ο οποίος εφρμόζετι στο σύνολο των μονότονων πολιτικών κι πράγει μί κολουθί βελτιωμένων πολιτικών που έχουν τη μονότονη μορφή. Υπάρχει πάλι ισχυρή ένδειξη ότι η τελική πολιτική που πράγει ο λγόριθμος είνι βέλτιστη. Στο Κεφάλιο 5 μελετάτι έν μοντέλο που επινοήθηκε πό τους Kma et al. 988 κι γενικεύτηκε πό τους Maks ad Jarde 993. Υποτίθετι ότι έν σύστημ επιδεινώνετι με την πάροδο του χρόνου κι ότι η λειτουργί του δικόπτετι εξιτίς ενδεχόμενων βλβών. Υποτίθετι επίσης ότι ότν το σύστημ έχει υποστεί μί βλάβη μπορεί ν επισκευστεί ή ν ντικτστθεί πό έν κινούργιο σύστημ. Η επισκευή κι η ντικτάστση του συστήμτος επιφέρουν ντίστοιχ κόστη. Οι Maks ad Jarde όρισν κτάλληλες συνθήκες οι οποίες φορούν τ κόστη της επισκευής τ κόστη της ντικτάστσης κι το ρυθμό επιδείνωσης του συστήμτος. Απέδειξν ότι η βέλτιστη πολιτική είνι μονότονη διότι ντικθιστά το σύστημ ότν έχει υποστεί την οστή βλάβη ν κι μόνο ν η ηλικί του είνι μεγλύτερη ή ίση με μί κρίσιμη τιμή η οποί εξρτάτι πό τον ριθμό. Σχεδιάζουμε ένν ποδοτικό λγόριθμο βελτίωσης των πολιτικών ο οποίος εφρμόζετι στο σύνολο των μονότονων πολιτικών κι πράγει μί κολουθί βελτιωμένων πολιτικών που έχουν τη μονότονη μορφή. Ο λγόριθμος είνι κτά πολύ τχύτερος ενός πρόμοιου λγορίθμου που νπτύχθηκε πό τους Love et al.. Πολλά ριθμητικά πρδείγμτ πρέχουν ισχυρή ένδειξη ότι ο λγόριθμος συγκλίνει στη βέλτιστη πολιτική. Στο Κεφάλιο 6 επεκτείνετι έν μοντέλο που επινοήθηκε πό τον Ecoomou 3. Ο Ecoomou υπέθεσε ότι ένς πληθυσμός πρσίτων νπτύσσετι στοχστικά σύμφων με μί σύνθετη διδικσί Posso κι μπορεί ν ελεγχθεί πό έν μηχνισμό ο οποίος ότν τίθετι σε λειτουργί κτστρέφει ολοκληρωτικά τον πληθυσμό. Υπέθεσε επίσης ότι ο ρυθμός του κόστους γι τη λειτουργί του μηχνισμού της κτστροφής είνι στθερός κι ότι ο ρυθμός του κόστους που προξενούν τ πράσιτ είνι μί ύξουσ συνάρτηση ως προς το πληθυσμικό τους μέγεθος. Χρησιμοποίησε την τεχνική της ομοιομορφοποίησης βλέπε π.χ. Seott 999

12 κι πέδειξε ότι ότν τ κόστη είνι άνω φργμέν η βέλτιστη πολιτική είνι μονότονη διότι θέτει σε λειτουργί το μηχνισμό της κτστροφής ν κι μόνο ν το μέγεθος του πληθυσμού των πρσίτων είνι μεγλύτερο ή ίσο με μί κρίσιμη τιμή. Στην προύσ διτριβή χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των διδοχικών προσεγγίσεων βλέπε π.χ. Ross 99 κι δίνουμε μί διφορετική πόδειξη του ποτελέσμτος του Ecoomou το οποίο γενικεύετι γι την περίπτωση κτά την οποί τ κόστη δεν είνι άνω φργμέν. Αποδεικνύουμε επίσης ότι το μκροπρόθεσμο νμενόμενο μέσο κόστος νά μονάδ χρόνου υπό τον έλεγχο μις μονότονης πολιτικής είνι μί μονοκόρυφη συνάρτηση ως προς την κρίσιμη τιμή. Το ποτέλεσμ υτό επιτρέπει την εφρμογή δύο ποδοτικών λγορίθμων γι τον ριθμητικό υπολογισμό της βέλτιστης μονότονης πολιτικής δηλδή της μεθόδου της διχοτόμησης κι ενός κτάλληλου λγορίθμου που πράγει βελτιωμένες μονότονες πολιτικές. Προτείνετι επίσης μί μέθοδος γι τον κριβή υπολογισμό των στάσιμων πιθνοτήτων υπό τον έλεγχο μις μονότονης πολιτικής. Επιπλέον μελετάμε έν γενικότερο μοντέλο στο οποίο ότν ο μηχνισμός τίθετι σε λειτουργί προξενεί μί διωνυμική κτστροφή ντί μις ολοκληρωτικής κτστροφής του πληθυσμού των πρσίτων. Κτσκευάζετι ένς κτάλληλος λγόριθμος γι τον ριθμητικό υπολογισμό της βέλτιστης πολιτικής ο οποίος βσίζετι στην προσεγγιστική μέθοδο της Seott 997. Πολλά πρδείγμτ πρέχουν ισχυρή ένδειξη ότι η βέλτιστη πολιτική γι το μοντέλο με τις διωνυμικές κτστροφές είνι επίσης μονότονη. Στο Κεφάλιο 7 προτείνετι μί τροποποίηση του μοντέλου που επινοήθηκε πό τον Kyrakds 3. Ο Kyrakds υπέθεσε ότι ένς πληθυσμός πρσίτων νπτύσσετι στοχστικά σε έν βιότοπο σύμφων με μί πλή διδικσί Posso κι μπορεί ν ελεγχθεί με την εισγωγή ενός ρπκτικού. Υπέθεσε επίσης ότι ο ρυθμός του κόστους γι την εισγωγή του ρπκτικού στο βιότοπο είνι στθερός κι ότι ο ρυθμός του κόστους που προξενούν τ πράσιτ είνι μί ύξουσ συνάρτηση ως προς το πληθυσμικό τους μέγεθος. Θεώρησε ότι το ρπκτικό μπορεί ν ποδημήσει πό το βιότοπο μόνο ότν έχει εξοντώσει όλ τ πράσιτ. Στο προτεινόμενο μοντέλο υποτίθετι ότι το ρπκτικό μπορεί ν ποδημήσει πό το βιότοπο πριν εξοντώσει όλ τ πράσιτ. Κτσκευάζετι ένς κτάλληλος λγόριθμος γι τον ριθμητικό υπολογισμό της βέλτιστης πολιτικής ο οποίος βσίζετι στην προσεγγιστική μέθοδο της Seott 997. Επληθεύοντι οι συνθήκες που εγγυώντι τη σύγκλιση του λγορίθμου στη βέλτιστη πολιτική. Πολλά πρδείγμτ πρέχουν ισχυρή ένδειξη ότι η βέλτιστη πολιτική είνι

13 μονότονη διότι εισάγει το ρπκτικό στο βιότοπο ν κι μόνο ν το μέγεθος του πληθυσμού των πρσίτων είνι μεγλύτερο ή ίσο με μί κρίσιμη τιμή. Σημειώνετι ότι οι λγόριθμοι της προύσς διτριβής υλοποιήθηκν με χρήση του μθημτικού πκέτου Matlab κι εκτελέστηκν σε υπολογιστή τύπου Acer Aspre 65DLC. 3

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στοιχεί της θεωρίς των Μρκοβινών διδικσιών ποφάσεων. Εισγωγή Στις ρχές του ου ιών ο Ρώσος Μθημτικός A. A. Markov στην προσπάθειά του ν ερμηνεύσει την «βεβιότητ» στην ενλλγή φωνηέντων κι συμφώνων γρμμάτων στο ποίημ «Oeg» του Pushk εισήγγε τη θεωρί των Μρκοβινών διδικσιών. Ο Bellma 957 εισήγγε τη θεωρί του δυνμικού προγρμμτισμού. Ανέπτυξε μί νδρομική διδικσί η οποί υπολογίζει βέλτιστες τιμές συνρτήσεων κέρδους ή κόστους μέσω μις κτάλληλης συνρτησικής εξίσωσης. Ο δυνμικός προγρμμτισμός χρησιμοποιείτι σε προβλήμτ πεπερσμένου ή άπειρου χρονικού ορίζοντ στ οποί μί στοχστική διδικσί ελέγχετι πό μί κολουθί ενεργειών. Ο κύριος στόχος είνι η εύρεση ενός κνόν επιλογής των ενεργειών που ελέγχει τη διδικσί με το βέλτιστο τρόπο. Ο Howard 96 συνδύσε ιδέες του δυνμικού προγρμμτισμού με στοιχεί της θεωρίς των στοχστικών διδικσιών κι κτσκεύσε ένν λγόριθμο βελτίωσης των πολιτικών γι ν υπολογίσει τη βέλτιστη πολιτική σε προβλήμτ ελέγχου διδικσιών σε άπειρο χρονικό ορίζοντ. Οι Μρκοβινές διδικσίες ποφάσεων εισήχθησν πό τον Bellma 957 κι ήτν ποτέλεσμ του συνδυσμού της θεωρίς των Μρκοβινών διδικσιών κι του δυνμικού προγρμμτισμού. Κτά τη διάρκει των τελευτίων τεσσάρων δεκετιών ποτελούν το ντικείμενο έρευνς πολλών ερευνητών. Έχουν βρει εφρμογή σε διάφορ πεδί της επιστήμης όπως γι πράδειγμ στην Επιχειρησική Έρευν στη Βιολογί στην Οικολογί κι στην Πληροφορική. Ειδικότερ έχουν ποδειχθεί πολύ χρήσιμες σε προβλήμτ βέλτιστου ελέγχου ποθεμάτων βέλτιστου ελέγχου ουρών νμονής κι βιολογικών πληθυσμών βέλτιστης συντήρησης κι ντικτάστσης μηχνημάτων βέλτιστης διχείρισης δικτύων κι τηλεπικοινωνιών. Στ βιβλί των Ross Puterma 994 Seott 999 κι Bather προυσιάζοντι με λεπτομέρει βσικά ποτελέσμτ της θεωρίς των Μρκοβινών διδικσιών πoφάσεων. Οι λγόριθμοι του δυνμικού προγρμμτισμού κι οι βελτιώσεις 4

15 τους προυσιάζοντι λεπτομερώς με διάφορες εφρμογές τους στ βιβλί των Puterma 994 Tms 994 κι Heyma ad Sobel 4. Στο πρόν κεφάλιο θ προυσιάσουμε με συνοπτικό τρόπο στοιχεί της θεωρίς των Μρκοβινών διδικσιών ποφάσεων τ περισσότερ των οποίων θ χρησιμοποιηθούν στ επόμεν κεφάλι. Στο Εδάφιο. περιγράφουμε τις Μρκοβινές διδικσίες ποφάσεων σε δικριτό χρόνο κι εισάγουμε βσικές έννοιες. Στ Εδάφι.3 κι.4 νφέρουμε γνωστά ποτελέσμτ γι τ προβλήμτ του πεπερσμένου κι του άπειρου χρονικού ορίζοντ ντίστοιχ. Στο Εδάφιο.5 προυσιάζουμε τις ημι-μρκοβινές διδικσίες ποφάσεων κι μί υποκτηγορί τους τις Μρκοβινές διδικσίες ποφάσεων σε συνεχή χρόνο. Στο Εδάφιο.6 περιγράφουμε με συνοπτικό τρόπο την προσεγγιστική μέθοδο της Seott Μρκοβινές διδικσίες ποφάσεων σε δικριτό χρόνο Έστω μί στοχστική διδικσί X =... όπου η τυχί μετβλητή X νπριστά την κτάστση ενός συστήμτος τη χρονική στιγμή. Το σύνολο των κτστάσεων του συστήμτος είνι πεπερσμένο ή άπειρο ριθμήσιμο. Χάριν πλότητς στο πρόν κεφάλιο μπορούμε ν υποθέσουμε ότι είνι το σύνολο των μη-ρνητικών κερίων ριθμών... Το σύστημ επιθεωρείτι τις χρονικές στιγμές =... οι οποίες θεωρούμε ότι ισπέχουν μετξύ τους. Η κτάστση του συστήμτος πρτηρείτι σε κάθε χρονική στιγμή επιθεώρησης κι μί ενέργει επιλέγετι πό έν σύνολο ενλλκτικών ενεργειών. Έστω ότι σε κάποι χρονική στιγμή επιθεώρησης το σύστημ βρίσκετι στην κτάστση κι η ενέργει a επιλέγετι πό έν σύνολο ενλλκτικών ενεργειών A. Υποθέτουμε ότι το σύνολο A είνι πεπερσμένο. Το σύστημ που περιγράψμε πρπάνω είνι μί Μρκοβινή διδικσί ποφάσεων σε δικριτό χρόνο ν: Υπάρχει έν κόστος C a το οποίο εξρτάτι μόνον πό την κτάστση κι την ενέργει a ως οικονομική συνέπει της επιλογής της ενέργεις a τη χρονική στιγμή κτά την οποί το σύστημ βρίσκετι στην κτάστση. β Την επόμενη χρονική στιγμή η κτάστση του συστήμτος είνι η κτάστση με πιθνότητ p a η οποί εξρτάτι μόνον πό την ενέργει a κι τις κτστάσεις κι. 5

16 Ο όρος «Μρκοβινή» δικιολογείτι πό το γεγονός ότι το κόστος C a κι η πιθνότητ μετάβσης p a εξρτώντι πό το «πρελθόν» της διδικσίς μόνο μέσω της τρέχουσς κτάστσης της διδικσίς κι της ενέργεις a που επιλέγετι στην κτάστση. Μί πολιτική π είνι ένς κνόνς με τον οποίον επιλέγοντι οι ενέργειες κτά τις χρονικές στιγμές =... Έστω I το σύνολο όλων των πολιτικών. Υπάρχουν διάφορ είδη πολιτικών βλέπε σελ. του βιβλίου του Puterma 994. Η τξινόμησή τους εξρτάτι πό το ν είνι ή όχι «τυχιοποιημένες» κθώς κι πό το ν εξρτώντι πό την «ιστορί» της διδικσίς. Με τον όρο «τυχιοποιημένη» θεωρούμε εκείνη την πολιτική σύμφων με την οποί ότν η διδικσί βρίσκετι στην κτάστση μί ενέργει a επιλέγετι με πιθνότητ P a a A σε κάποι χρονική στιγμή επιλογής των ενεργειών. Στην προύσ διτριβή θ μς πσχολήσουν οι Μρκοβινές πολιτικές κθώς επίσης κι μί σημντική υποκτηγορί τους οι στάσιμες πολιτικές. Μί Μρκοβινή πολιτική είνι μί πολιτική σύμφων με την οποί η επιλογή μις ενέργεις σε κάθε χρονική στιγμή =... εξρτάτι μόνον πό τη χρονική στιγμή κι πό την κτάστση της διδικσίς σ υτή τη χρονική στιγμή. Μί στάσιμη πολιτική είνι μί πολιτική σύμφων με την οποί η επιλογή μις ενέργεις σε κάθε χρονική στιγμή =... εξρτάτι μόνον πό την κτάστση της διδικσίς σ υτή τη χρονική στιγμή. Επομένως μί στάσιμη πολιτική f κθορίζετι πλήρως πό μί κολουθί { f } =... όπου f A είνι η ενέργει που επιλέγετι οποτεδήποτε η διδικσί βρίσκετι στην κτάστση σε μί χρονική στιγμή επιλογής ενέργεις. Στη γενική του μορφή το πρόβλημ που θ μς πσχολήσει είνι η εύρεση της πολιτικής η οποί γι κάθε ρχική κτάστση της διδικσίς ελχιστοποιεί μί προκθορισμένη συνάρτηση κόστους. Η συνάρτηση του κόστους ορίζει το κριτήριο βελτιστοποίησης του προβλήμτος. Τ κριτήρι βελτιστοποίησης τ οποί χρησιμοποιούντι πιο συχνά είνι η ελχιστοποίηση του συνολικού νμενόμενου ποπληθωρισμένου κόστους κι η ελχιστοποίηση του μκροπρόθεσμου νμενόμενου μέσου κόστους νά μονάδ χρόνου. Επίσης θ μς πσχολήσει το κριτήριο της ελχιστοποίησης του συνολικού νμενόμενου κόστους. 6

17 Αν υπάρχει ένς στθερός κέριος ριθμός N τέτοιος ώστε οι ενέργειες γι τον έλεγχο μις Μρκοβινής διδικσίς ποφάσεων σε δικριτό χρόνο επιλέγοντι τις χρονικές στιγμές... N κι η διδικσί στμτά τη χρονική στιγμή N τότε το πρόβλημ είνι πεπερσμένου χρονικού ορίζοντ N βημάτων. Διφορετικά ν το σύνολο των χρονικών στιγμών επιλογής ενέργεις είνι άπειρο το πρόβλημ είνι άπειρου χρονικού ορίζοντ..3 Προβλήμτ πεπερσμένου χρονικού ορίζοντ Έστω a η ενέργει που επιλέγετι τη χρονική στιγμή. Το συνολικό νμενόμενο ποπληθωρισμένο κόστος V N π ότν πομένουν N βήμτ μέχρι το τερμτισμό της διδικσίς υπό τον έλεγχο της πολιτικής π δοθέντος ότι η ρχική κτάστση της διδικσίς είνι η κτάστση ορίζετι ως εξής: N = N V N π Eπ C X a + F X N X = = όπου E π νπριστά την υπό-συνθήκη νμενόμενη τιμή δοθέντος ότι η πολιτική π έχει υιοθετηθεί γι τον έλεγχο της διδικσίς. Η συνάρτηση F είνι μί γνωστή μη-ρνητική συνάρτηση κόστους η οποί ορίζετι στο χώρο κτστάσεων της διδικσίς κι ντιπροσωπεύει έν τελικό κόστος F X ότν η διδικσί στμτά τη χρονική στιγμή N. Η N στθερά ] είνι ο ποπληθωριστικός πράγοντς. Γι κάθε κτάστση της διδικσίς η βέλτιστη συνάρτηση V N του νμενόμενου ποπληθωρισμένου κόστους ότν πομένουν N βήμτ μέχρι το τερμτισμό της διδικσίς ορίζετι ως εξής: V N = f V N π. π I Το πρκάτω θεώρημ πρέχει μί εξίσωση που υπολογίζει νδρομικά τη βέλτιστη συνάρτηση γι κάθε κτάστση της διδικσίς. 7

18 Θεώρημ.. Η ποσότητ V N ικνοποιεί γι κάθε N =... την εξίσωση: = m + V N C a p a V N. a A = όπου V = F. Επιπλέον υπάρχει μί βέλτιστη Μρκοβινή πολιτική η οποί οποτεδήποτε η διδικσί βρίσκετι στην κτάστση επιλέγει εκείνη την ενέργει a που ελχιστοποιεί το δεξιό μέλος της εξίσωσης.. Η εξίσωση. είνι γνωστή ως εξίσωση βελτιστοποίησης γι το πρόβλημ της ελχιστοποίησης του συνολικού νμενόμενου ποπληθωρισμένου κόστους σε πεπερσμένο χρονικό ορίζοντ. Το Θεώρημ. μπορεί ν ποδειχθεί με επγωγή ως προς N κι η πόδειξη βρίσκετι στις σελ του βιβλίου της Seott 999. Στην περίπτωση κτά την οποί ο ποπληθωριστικός πράγοντς είνι ίσος με τη μονάδ έχουμε το πρόβλημ της ελχιστοποίησης του συνολικού νμενόμενου κόστους σε πεπερσμένο χρονικό ορίζοντ. Γι το πρόβλημ υτό οι προνφερθέντες ορισμοί κι το Θεώρημ. ισχύουν ν θέσουμε =..4 Προβλήμτ άπειρου χρονικού ορίζοντ.4. Ελχιστοποίηση συνολικού νμενόμενου ποπληθωρισμένου κόστους Στο πρόν εδάφιο υποθέτουμε ότι ο ποπληθωριστικός πράγοντς είνι γνησίως μικρότερος της μονάδς. Επίσης θεωρούμε ότι υπάρχει ένς θετικός πργμτικός ριθμός M τέτοιος ώστε γι κάθε ενέργει a κι κάθε κτάστση της διδικσίς ισχύει ότι: C a < M. Το συνολικό νμενόμενο ποπληθωρισμένο κόστος V π σε άπειρο χρονικό ορίζοντ υπό τον έλεγχο της πολιτικής π δοθέντος ότι η ρχική κτάστση της διδικσίς είνι η κτάστση ορίζετι ως εξής: 8

19 V = π Eπ = C X a X =. Οι πρπάνω υποθέσεις εξσφλίζουν ότι: V π <. Γι κάθε κτάστση της διδικσίς η βέλτιστη συνάρτηση V του νμενόμενου ποπληθωρισμένου κόστους σε άπειρο χρονικό ορίζοντ ορίζετι ως εξής: V = f V π. π I Το Θεώρημ. πρέχει μί εξίσωση η οποί ικνοποιείτι πό τη βέλτιστη συνάρτηση V. Θεώρημ.. Η ποσότητ V ικνοποιεί την εξίσωση: = m + V C a p a V.. a A = Επιπλέον υπάρχει μί βέλτιστη στάσιμη πολιτική f f } η οποί οποτεδήποτε η διδικσί βρίσκετι στην κτάστση επιλέγει εκείνη την ενέργει το δεξιό μέλος της εξίσωσης. κι ικνοποιεί τη σχέση V = V f. { a = f που ελχιστοποιεί Η εξίσωση. είνι γνωστή ως εξίσωση βελτιστοποίησης γι το πρόβλημ της ελχιστοποίησης του συνολικού νμενόμενου ποπληθωρισμένου κόστους σε άπειρο χρονικό ορίζοντ. Η πόδειξη του Θεωρήμτος. βρίσκετι στις σελ. κι 4 του βιβλίου του Ross 99. Το Θεώρημ Στθερού Σημείου γι συστολές προσφέρει μί διφορετική προσέγγιση γι τον υπολογισμό της βέλτιστης συνάρτησης V. Με χρήση γνωστών ποτελεσμάτων υτής της θεωρίς βλέπε σελ. 5-8 του βιβλίου του Ross 99 ποδεικνύετι ότι γι κάθε 9

20 κτάστση της διδικσίς η βέλτιστη συνάρτηση V είνι η μονδική λύση της εξίσωσης βελτιστοποίησης.. Με βάση το πρκάτω θεώρημ υπολογίζουμε γι κάθε κτάστση της διδικσίς τη βέλτιστη συνάρτηση V σε άπειρο χρονικό ορίζοντ μέσω της βέλτιστης συνάρτησης V N ότν πομένουν N βήμτ μέχρι το τερμτισμό της διδικσίς. Η μέθοδος υπολογισμού είνι γνωστή ως μέθοδος των διδοχικών προσεγγίσεων. Θεώρημ.3. Έστω ότι η μη-ρνητική συνάρτηση κόστους F η οποί ορίζετι στο χώρο κτστάσεων της διδικσίς είνι φργμένη. Τότε ισχύει ότι: lm V N V N =. Η πόδειξη του Θεωρήμτος.3 βρίσκετι στη σελ. 8 του βιβλίου του Ross 99. Το θεώρημ είνι ρκετά χρήσιμο κθώς σε πολλές περιπτώσεις μς δίνει τη δυντότητ ν ντιμετωπίσουμε το πρόβλημ του άπειρου χρονικού ορίζοντ μέσω του ντίστοιχου προβλήμτος σε πεπερσμένο χρονικό ορίζοντ. Αποτελέσμτ τ οποί σχετίζοντι με τη βέλτιστη συνάρτηση V σε άπειρο χρονικό ορίζοντ ποδεικνύοντι με τη χρήση του Θεωρήμτος.3 φού πρώτ έχουν ποδειχθεί γι την ντίστοιχη βέλτιστη συνάρτηση V N ότν πομένουν N βήμτ μέχρι το τερμτισμό της διδικσίς. Ο λγόριθμος βελτίωσης των πολιτικών ο λγόριθμος των διδοχικών προσεγγίσεων ο οποίος βσίζετι στο Θεώρημ.3 κι η μέθοδος του γρμμικού προγρμμτισμού ποτελούν τις βσικές υπολογιστικές τεχνικές γι την εύρεση της βέλτιστης στάσιμης πολιτικής στο πρόβλημ της ελχιστοποίησης του συνολικού νμενόμενου ποπληθωρισμένου κόστους σε άπειρο χρονικό ορίζοντ. Στ βιβλί των Puterma 994 Tms 994 κι Heyma ad Sobel 4 προυσιάζοντι νλυτικά υτές οι υπολογιστικές τεχνικές με πολλές ριθμητικές εφρμογές τους..4. Ελχιστοποίηση μκροπρόθεσμου νμενόμενου μέσου κόστους νά μονάδ χρόνου Το μκροπρόθεσμο νμενόμενο μέσο κόστος g π νά μονάδ χρόνου υπό τον έλεγχο της πολιτικής π δοθέντος ότι η ρχική κτάστση της διδικσίς είνι η κτάστση ορίζετι ως εξής:

21 g π = lmsup E π = C X a X =. Γι κάθε κτάστση της διδικσίς μί πολιτική π * είνι βέλτιστη ν: g π* = m g π. π I Σε ντίθεση με το πρόβλημ της ελχιστοποίησης του συνολικού νμενόμενου ποπληθωρισμένου κόστους στο πρόβλημ της ελχιστοποίησης του μκροπρόθεσμου νμενόμενου μέσου κόστους νά μονάδ χρόνου η ύπρξη μις βέλτιστης πολιτικής δεν είνι βέβιη. Υπάρχουν προβλήμτ ελέγχου μις στοχστικής διδικσίς στ οποί η βέλτιστη πολιτική είτε δεν υπάρχει είτε κι ν κόμη υπάρχει δεν είνι μί στάσιμη πολιτική. Πρδείγμτ τέτοιων περιπτώσεων νφέροντι στις σελ του βιβλίου του Ross 99 κι στις σελ. 8-3 του βιβλίου της Seott 999. Πολλοί ερευνητές έχουν σχοληθεί με το θέμ της κτσκευής κτάλληλων υποθέσεων οι οποίες εξσφλίζουν την ύπρξη μις βέλτιστης στάσιμης πολιτικής. Στο Κεφάλιο 7 του βιβλίου της Seott 999 γίνετι μί νλυτική προυσίση των πρόσφτων ποτελεσμάτων σχετικά με το θέμ υτό με ρκετές νφορές σε προηγούμενες εργσίες. Στο πρόν εδάφιο υποθέτουμε πάλι ότι υπάρχει ένς θετικός πργμτικός ριθμός M τέτοιος ώστε γι κάθε ενέργει a κι κάθε κτάστση της διδικσίς ισχύει ότι: C a < M. Το Θεώρημ.4 πρέχει μί ικνή συνθήκη γι την ύπρξη μις βέλτιστης στάσιμης πολιτικής. Θεώρημ.4. Έστω ότι υπάρχει μί άνω φργμένη κολουθί ριθμών { h } κι μί στθερά g έτσι ώστε: = m + h C a g p a h..3 a A =

22 Τότε υπάρχει μί βέλτιστη στάσιμη πολιτική f f } η οποί οποτεδήποτε η διδικσί βρίσκετι στην κτάστση επιλέγει εκείνη την ενέργει { a = f που ελχιστοποιεί το δεξιό μέλος της εξίσωσης.3. Επιπλέον η στθερά g είνι ίση με g f. Η εξίσωση.3 είνι γνωστή ως εξίσωση βελτιστοποίησης γι το πρόβλημ της ελχιστοποίησης του μκροπρόθεσμου νμενόμενου μέσου κόστους νά μονάδ χρόνου κι οι τιμές h είνι γνωστές ως οι σχετικές τιμές της βέλτιστης στάσιμης πολιτικής. Η πόδειξη του Θεωρήμτος.4 βρίσκετι στη σελ. 44 του βιβλίου του Ross 99. Γι κάθε κτάστση της διδικσίς το πρκάτω θεώρημ πρέχει μί συνθήκη η οποί εγγυάτι την ύπρξη της κολουθίς των σχετικών τιμών { h } μέσω της βέλτιστης συνάρτησης V. Θεώρημ.5. Έστω ότι γι μί κτάστση της διδικσίς π.χ. γι την κτάστση υπάρχει μί στθερά B τέτοι ώστε: V V < B.4 γι κάθε κι κάθε. Τότε: Υπάρχει μί φργμένη κολουθί ριθμών { h } κι μί στθερά g που ικνοποιούν την εξίσωση βελτιστοποίησης.3. β Υπάρχει μί κολουθί ριθμών { } τέτοι ώστε lm = γι την οποί ισχύει ότι: h = lm{ V V } κι γ lm V = g. Η πόδειξη του Θεωρήμτος.5 βρίσκετι στις σελ του βιβλίου του Ross 99 στο οποίο περιέχοντι επίσης ποτελέσμτ που πρέχουν ικνές συνθήκες τέτοιες ώστε ν ισχύει η νισότητ.4.

23 Στο πρόβλημ της ελχιστοποίησης του μκροπρόθεσμου νμενόμενου μέσου κόστους νά μονάδ χρόνου η κόλουθη Υπόθεση UC χρειάζετι ν εισχθεί έτσι ώστε ν είνι εφικτός ο υπολογισμός μις βέλτιστης στάσιμης πολιτικής. Υπόθεση UC: Γι κάθε στάσιμη πολιτική f υπάρχει μί κτάστση r η οποί μπορεί ν εξρτάτι πό την πολιτική f τέτοι ώστε ο νμενόμενος χρόνος κι το νμενόμενο κόστος που πιτούντι γι τη μετάβση στην κτάστση r πό οποιδήποτε ρχική κτάστση της διδικσίς υπό τον έλεγχο της πολιτικής f είνι πεπερσμέν. Η Υπόθεση UC εξσφλίζει επίσης ότι το μκροπρόθεσμο νμενόμενο μέσο κόστος νά μονάδ χρόνου οποισδήποτε στάσιμης πολιτικής που υιοθετείτι γι τον έλεγχο της διδικσίς είνι νεξάρτητο της ρχικής κτάστσης της διδικσίς. Όπως στο πρόβλημ της ελχιστοποίησης του συνολικού νμενόμενου ποπληθωρισμένου κόστους έτσι κι στο πρόβλημ της ελχιστοποίησης του μκροπρόθεσμου νμενόμενου μέσου κόστους νά μονάδ χρόνου ο λγόριθμος βελτίωσης των πολιτικών ο λγόριθμος των διδοχικών προσεγγίσεων κι η μέθοδος του γρμμικού προγρμμτισμού συνιστούν τις βσικές υπολογιστικές τεχνικές. Στ βιβλί των Puterma 994 Tms 994 κι Heyma ad Sobel 4 περιέχετι το θεωρητικό υπόβθρο υτών των υπολογιστικών τεχνικών κθώς κι ρκετές εφρμογές τους. Ο λγόριθμος βελτίωσης των πολιτικών βσίζετι στ κόλουθ Θεωρήμτ.6 κι.7 τ οποί με τις ποδείξεις τους βρίσκοντι στις σελ. 9-7 του βιβλίου του Tms 994. Θεώρημ.6. Έστω ότι υπάρχει μί κτάστση r η οποί ικνοποιεί την Υπόθεση UC. Έστω g f το μκροπρόθεσμο νμενόμενο μέσο κόστος νά μονάδ χρόνου υπό τον έλεγχο της στάσιμης πολιτικής f f } κι { h f = K f g T f.5 f 3

24 όπου T f κι K f είνι ο νμενόμενος χρόνος κι το νμενόμενο κόστος ντίστοιχ που πιτούντι μέχρι η διδικσί ν επιστρέψει στην κτάστση r ν ρχικά βρισκότν στην κτάστση κι η πολιτική f έχει υιοθετηθεί γι τον έλεγχο της διδικσίς. Τότε: Οι ποσότητες h f κι g f είνι η μονδική λύση του κόλουθου συστήμτος των γρμμικών εξισώσεων με γνώστους g κι h : = + h C f g p f h.6 = h r =. Θεώρημ.7. Έστω ότι υπάρχει μί κτάστση r η οποί ικνοποιεί την Υπόθεση UC. Έστω g f κι g ~ τ μκροπρόθεσμ νμενόμεν μέσ κόστη νά μονάδ χρόνου υπό τον έλεγχο f ~ ~ των στάσιμων πολιτικών f f } κι f { } ντίστοιχ. Υποθέτουμε ότι: { f ~ ~ C f g + p f h f h f.7 f = όπου οι ποσότητες h f έχουν οριστεί μέσω της εξίσωσης.5. Τότε: g..8 ~ f g f Το θεώρημ ισχύει κι στην περίπτωση κτά την οποί οι νισότητες.7 κι.8 έχουν ντίθετη φορά. Επίσης η νισότητ.8 ισχύει υστηρά ότν η νισότητ.7 ισχύει υστηρά γι μί τουλάχιστον κτάστση της διδικσίς η οποί είνι έμμονη θετική υπό τον έλεγχο ~ της πολιτικής f. 4

25 Οι ποσότητες h f όπως έχουν οριστεί στην εξίσωση.5 είνι γνωστές ως οι σχετικές τιμές της πολιτικής f..5 Ημι-Μρκοβινές διδικσίες ποφάσεων κι Μρκοβινές διδικσίες ποφάσεων σε συνεχή χρόνο Σε ντίθεση με το Εδάφιο. στο πρόν εδάφιο θεωρούμε ότι γι τον έλεγχο του συστήμτος οι ενέργειες επιλέγοντι σε τυχίες χρονικές στιγμές. Έστω X η κτάστση του συστήμτος τη χρονική στιγμή κι t το χρονικό διάστημ που μεσολβεί μετξύ των χρονικών στιγμών κι. Υποθέτουμε ότι t κι ότι τη χρονική στιγμή το σύστημ βρίσκετι στην κτάστση στην οποί η ενέργει a επιλέγετι πό έν σύνολο ενλλκτικών ενεργειών A. Το σύστημ είνι μί ημι-μρκοβινή διδικσί ποφάσεων ν: = Την επόμενη χρονική στιγμή η κτάστση του συστήμτος είνι η κτάστση με πιθνότητ p a η οποί εξρτάτι μόνον πό την ενέργει a κι τις κτστάσεις κι. β Δοθέντος ότι την επόμενη χρονική στιγμή η κτάστση του συστήμτος είνι η κτάστση το χρονικό διάστημ που μεσολβεί μέχρι το σύστημ ν μετβεί πό την κτάστση στην κτάστση είνι μί τυχί μετβλητή με συνάρτηση πιθνότητς F a. γ Δοθέντος ότι η μετάβση του συστήμτος πό την κτάστση στην κτάστση διρκεί t χρονικές μονάδες υπάρχει έν άμεσο κόστος ίσο με k a κι έν κόστος ίσο με c a νά μονάδ χρόνου με ποτέλεσμ το συνολικό κόστος ν είνι ίσο με k a + tc a ως οικονομική συνέπει της επιλογής της ενέργεις a τη χρονική στιγμή κτά την οποί το σύστημ βρίσκετι στην κτάστση. Υποθέτουμε ότι γι κάθε ενέργει a κι κάθε κτάστση της διδικσίς το άμεσο κόστος k a κι το κόστος c a νά μονάδ χρόνου είνι φργμέν. Στην προύσ διτριβή οι ημι-μρκοβινές διδικσίες ποφάσεων θ μς πσχολήσουν στο πρόβλημ της ελχιστοποίησης του συνολικού νμενόμενου ποπληθωρισμένου κόστους 5

26 σε άπειρο χρονικό ορίζοντ κθώς επίσης στο πρόβλημ της ελχιστοποίησης του μκροπρόθεσμου νμενόμενου μέσου κόστους νά μονάδ χρόνου. Δοθέντος ότι η διδικσί βρίσκετι στην κτάστση κι η ενέργει a A επιλέγετι ο νμενόμενος χρόνος T a κι το νμενόμενο ποπληθωρισμένο κόστος C a μέχρι την επόμενη χρονική στιγμή επιλογής ενέργεις ορίζοντι ντίστοιχ ως εξής: T a = p a = tdf t a C a = k a + p a = t c a e s ds df t a όπου > είνι ο ποπληθωριστικός πράγοντς. Ορίζουμε C a C a κι θεωρούμε ότι υπάρχει ένς θετικός πργμτικός ριθμός M τέτοιος ώστε γι κάθε ενέργει a κι κάθε κτάστση της διδικσίς ισχύει ότι: C a < M. Το συνολικό νμενόμενο ποπληθωρισμένο κόστος V N π ότν πομένουν N βήμτ μέχρι το τερμτισμό της διδικσίς το συνολικό νμενόμενο ποπληθωρισμένο κόστος V π σε άπειρο χρονικό ορίζοντ κι το μκροπρόθεσμο νμενόμενο μέσο κόστος g π νά μονάδ χρόνου υπό τον έλεγχο της πολιτικής π δοθέντος ότι η ρχική κτάστση της διδικσίς είνι η κτάστση ορίζοντι ντίστοιχ ως εξής: V N N t t = = = N Eπ + e C X a e F X N X = π = = = t V π Eπ e C X a X = = 6

27 7. lmsup = = = = = X t E X a X C E g π π π Η ποσότητ N X F ντιπροσωπεύει έν τελικό κόστος ότν η διδικσί στμτά τη χρονική στιγμή N όπου F είνι μί γνωστή μη-ρνητική συνάρτηση κόστους η οποί ορίζετι στο χώρο κτστάσεων της διδικσίς. Στην περίπτωση των ημι-μρκοβινών διδικσιών ποφάσεων τ Θεωρήμτ.-.7 ισχύουν με τις πρκάτω τροποποιήσεις. Γι κάθε κτάστση της διδικσίς η εξίσωση βελτιστοποίησης γι το πρόβλημ της ελχιστοποίησης του συνολικού νμενόμενου ποπληθωρισμένου κόστους ότν πομένουν N βήμτ μέχρι το τερμτισμό της διδικσίς είνι βλέπε σελ. του βιβλίου των Heyma ad Sobel 4:. m + = = t A a a t df N V e a p a C N V β Γι κάθε κτάστση της διδικσίς η εξίσωση βελτιστοποίησης γι το πρόβλημ της ελχιστοποίησης του συνολικού νμενόμενου ποπληθωρισμένου κόστους σε άπειρο χρονικό ορίζοντ είνι βλέπε σελ. 57 του βιβλίου του Ross 99:. m + = = t A a a t df V e a p a C V γ Γι κάθε κτάστση της διδικσίς η εξίσωση βελτιστοποίησης γι το πρόβλημ της ελχιστοποίησης του μκροπρόθεσμου νμενόμενου μέσου κόστους νά μονάδ χρόνου είνι βλέπε σελ. 6 του βιβλίου του Ross 99:

28 h = m + C a gt a A = p a h. δ Αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήμτος.5 τ ποτελέσμτ β κι γ του θεωρήμτος διμορφώνοντι ως εξής βλέπε σελ. 63 του βιβλίου του Ross 99: Υπάρχει μί κολουθί ριθμών { } τέτοι ώστε lm = γι την οποί ισχύει ότι: h = lm{ V V } κι lm V = g. ε Στις εξισώσεις.6 του Θεωρήμτος.6 η στθερά g ντικθίσττι πό το γινόμενο gt f κι στις νισότητες.7 του Θεωρήμτος.7 η στθερά g f ντικθίσττι πό το ~ γινόμενο g T f. f Γι περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τις τροποποιήσεις των Θεωρημάτων.6 κι.7 στην περίπτωση των ημι-μρκοβινών διδικσιών ποφάσεων πρπέμπουμε στις σελ. - 3 του βιβλίου του Tms 994. Τ ποτελέσμτ που προυσιάζοντι στο βιβλίο του Ross 99 φορούν την περίπτωση κτά την οποί γι κάθε ενέργει a κι κάθε κτάστση μις ημι-μρκοβινής διδικσίς ποφάσεων τo κόστος C a είνι φργμένο. Στην περίπτωση κτά την οποί γι κάθε ενέργει a κι κάθε κτάστση της διδικσίς το κόστος C a δεν είνι άνω φργμένο κτάλληλες υποθέσεις χρειάζετι ν εισχθούν οι οποίες εγγυώντι την ύπρξη μις βέλτιστης στάσιμης πολιτικής στο πρόβλημ της ελχιστοποίησης του μκροπρόθεσμου νμενόμενου μέσου κόστους νά μονάδ χρόνου. Γι το σκοπό υτό η Seott 989 κτσκεύσε πέντε υποθέσεις. Οι δύο πρώτες υποθέσεις προυσιάζοντι πρκάτω. 8

29 Υπόθεση : Γι κάθε ενέργει a κι κάθε κτάστση της διδικσίς υπάρχουν δ > κι ε > έτσι ώστε με πιθνότητ τουλάχιστον ε ο χρόνος μετάβσης της διδικσίς πό την κτάστση σε μί οποιδήποτε κτάστση είνι μεγλύτερος πό δ. Υπόθεση : Γι κάθε ενέργει a κι κάθε κτάστση της διδικσίς υπάρχει ένς θετικός πργμτικός ριθμός B τέτοιος ώστε: T a B. Οι υπόλοιπες τρεις υποθέσεις σχετίζοντι με ιδιότητες της βέλτιστης συνάρτησης V. Σε πολλές περιπτώσεις οι υποθέσεις υτές είνι δύσκολο ν ποδειχθούν. Η Seott 989 κτσκεύσε την πρκάτω Συνθήκη SEN η οποί εξσφλίζει την ισχύ υτών των τριών υποθέσεων. Συνθήκη SEN: Έστω S ο χώρος κτστάσεων της διδικσίς κι έστω ότι c = m { c } a a A S. Γι κάθε κτάστση S υπάρχει μί στάσιμη πολιτική f f } υπό τον έλεγχο της οποίς τo μκροπρόθεσμο νμενόμενο μέσο κόστος νά μονάδ χρόνου είνι ίσο με g. Επιπλέον η στάσιμη πολιτική f έχει τις κόλουθες ιδιότητες: { Ιδιότητ : H πολιτική f ορίζει μί νάγωγη περιοδική έμμονη θετική Μρκοβινή λυσίδ στο χώρο κτστάσεων S κι S π f C f < κι π f T f < S όπου π f S είνι η στάσιμη κτνομή της Μρκοβινής λυσίδς υπό τον έλεγχο της πολιτικής f. Ιδιότητ : Υπάρχει ε > κι έν πεπερσμένο υποσύνολο G του χώρου κτστάσεων S τέτοιο ώστε c g + ε γι κάθε κτάστση S G. Επιπλέον γι κάθε κτάστση G ~ ~ ~ ~ υπάρχει μί στάσιμη πολιτική f = { } τέτοι ώστε c < όπου c f νπριστά το f f 9

30 νμενόμενο κόστος γι την πρώτη μετάβση της διδικσίς πό την κτάστση στην ~ κτάστση υπό τον έλεγχο της πολιτικής f. Μί υποκτηγορί των ημι-μρκοβινών διδικσιών ποφάσεων είνι οι Μρκοβινές διδικσίες ποφάσεων σε συνεχή χρόνο. Σε μί Μρκοβινή διδικσί ποφάσεων σε συνεχή χρόνο το χρονικό διάστημ t που μεσολβεί μετξύ των χρονικών στιγμών κι στις οποίες επιλέγετι μί ενέργει είνι μί τυχί μετβλητή η οποί κολουθεί την Εκθετική κτνομή. Στις περιπτώσεις των ημι-μρκοβινών διδικσιών ποφάσεων κι των Μρκοβινών διδικσιών ποφάσεων σε συνεχή χρόνο η τεχνική της ομοιομορφοποίησης η οποί επινοήθηκε πό τον Schwetzer 97 διμορφώνει κτάλληλ τον λγόριθμο των διδοχικών προσεγγίσεων ώστε ν είνι εφικτός ο υπολογισμός μις βέλτιστης στάσιμης πολιτικής γι το πρόβλημ της ελχιστοποίησης του μκροπρόθεσμου νμενόμενου μέσου κόστους νά μονάδ χρόνου. Η τεχνική της ομοιομορφοποίησης μεττρέπει την ημι-μρκοβινή διδικσί ποφάσεων ή τη Μρκοβινή διδικσί ποφάσεων σε συνεχή χρόνο σε μί ισοδύνμη Μρκοβινή διδικσί ποφάσεων σε δικριτό χρόνο έτσι ώστε υπό τον έλεγχο οποισδήποτε στάσιμης πολιτικής το μκροπρόθεσμο νμενόμενο μέσο κόστος νά μονάδ χρόνου ν είνι το ίδιο στις δύο διδικσίες. Οι δύο διδικσίες έχουν τον ίδιο χώρο κτστάσεων κι γι κάθε κτάστση έχουν τ ίδι σύνολ ενλλκτικών ενεργειών A. Διφέρουν μόνο στ κόστη κι στις πιθνότητες μετάβσης. Έστω ότι υπάρχει ένς ριθμός T τέτοιος ώστε: < T < f T a. Τ κόστη ~ C a a κι οι πιθνότητες μετάβσης ~ p a της ισοδύνμης Μρκοβινής διδικσίς ποφάσεων σε δικριτό χρόνο ορίζοντι ντίστοιχ ως εξής: ~ k a C a = + c a a A T a ~ T p a p T a a = a A 3

31 ~ T p a = a A. T a Η τεχνική της ομοιομορφοποίησης προυσιάζετι λεπτομερώς στις σελ. - του βιβλίου του Tms 994 κι στις σελ του βιβλίου της Seott 999. Στ βιβλί των Ross 99 Puterma 994 Tms 994 Seott 999 κι Heyma ad Sobel 4 προυσιάζοντι οι ημι-μρκοβινές διδικσίες ποφάσεων κι οι Μρκοβινές διδικσίες ποφάσεων σε συνεχή χρόνο. Ανφέροντι διεξοδικά οι υπολογιστικές τεχνικές γι την εύρεση μις βέλτιστης στάσιμης πολιτικής με ρκετά πρδείγμτ..6 Η προσεγγιστική μέθοδος της Seott Ότν ο χώρος κτστάσεων μις διδικσίς είνι άπειρος ο λγόριθμος βελτίωσης των πολιτικών ο λγόριθμος των διδοχικών προσεγγίσεων κι η μέθοδος του γρμμικού προγρμμτισμού δεν είνι δυντόν ν εφρμοστούν γι ν υπολογιστεί μί βέλτιστη στάσιμη πολιτική. Διάφοροι ερευνητές έχουν επινοήσει προσεγγιστικές μεθόδους ώστε ν ντιμετωπίσουν τη δυσκολί στην εύρεση μις βέλτιστης στάσιμης πολιτικής η οποί οφείλετι στον άπειρο χώρο κτστάσεων. Ενδεικτικά νφέρουμε τις εργσίες των Whte 98 κι Thomas ad Stegos 985. Η Seott 997 επινόησε μί προσεγγιστική μέθοδο η οποί υπολογίζει μί βέλτιστη στάσιμη πολιτική στην περίπτωση κτά την οποί μί Μρκοβινή διδικσί ποφάσεων έχει άπειρο χώρο κτστάσεων κι μη-φργμέν κόστη. Η μέθοδος προυσιάζετι νλυτικά γι τ διάφορ κριτήρι βελτιστοποίησης στο βιβλίο της Seott 999. Στο πρόν εδάφιο υποθέτουμε ότι γι κάθε ενέργει a κι κάθε κτάστση της διδικσίς το κόστος C a δεν είνι άνω φργμένο. Η μέθοδος της Seott 997 προυσιάζετι πρκάτω με συνοπτικό τρόπο. Θεωρούμε μί Μρκοβινή διδικσί ποφάσεων με άπειρο χώρο κτστάσεων S η οποί προσεγγίζετι μέσω μις κολουθίς Μρκοβινών διδικσιών ποφάσεων με πεπερσμένο χώρο κτστάσεων G N όπου N κέριος ριθμός τέτοιος ώστε: G N = S. Γι κάθε τιμή του N κάθε κτάστση GN κι κάθε ενέργει N = a τ κόστη C a κι τ σύνολ των 3

32 ενλλκτικών ενεργειών A κάθε Μρκοβινής διδικσίς ποφάσεων της κολουθίς συμπίπτουν με εκείν της Μρκοβινής διδικσίς ποφάσεων με τον άπειρο χώρο κτστάσεων. Διφέρουν μόνο οι πιθνότητες μετάβσης. Γι τις διάφορες τιμές του N =... ο λγόριθμος των διδοχικών προσεγγίσεων χρησιμοποιείτι γι ν υπολογίσει τη βέλτιστη στάσιμη πολιτική κάθε διδικσίς της κολουθίς. Κτά την εκτέλεση του λγορίθμου ο ριθμός N υξάνετι πίρνει μεγάλες τιμές κι κθώς τείνει στο άπειρο οι βέλτιστες στάσιμες πολιτικές των Μρκοβινών διδικσιών ποφάσεων της κολουθίς συγκλίνουν σε μί βέλτιστη στάσιμη πολιτική της Μρκοβινής διδικσίς ποφάσεων με τον άπειρο χώρο κτστάσεων. Πρέπει ν εισχθούν κτάλληλες συνθήκες οι οποίες εγγυώντι τη σύγκλιση του λγορίθμου των διδοχικών προσεγγίσεων σε μί βέλτιστη στάσιμη πολιτική της Μρκοβινής διδικσίς ποφάσεων με τον άπειρο χώρο κτστάσεων. Στην εργσί κι στο βιβλίο της Seott προυσιάζοντι νλυτικά υτές οι συνθήκες με διάφορες εφρμογές της μεθόδου. Στ Εδάφι 6.5 κι 7. της προύσς διτριβής η μέθοδος της Seott 997 εφρμόζετι κτάλληλ σε δύο διφορετικά προβλήμτ βέλτιστου ελέγχου ενός πληθυσμού πρσίτων. 3

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Βέλτιστος έλεγχος δύο ντγωνιζομένων σθενειών ή ειδών 3. Εισγωγή Θεωρούμε ένν πληθυσμό τόμων τ οποί είνι δυντόν ν προσβληθούν πό δύο μετδοτικές σθένειες. Υποθέτουμε ότι το συνολικό μέγεθος του πληθυσμού είνι ίσο με N κι ότι σε κάθε χρονική στιγμή t το πολύ έν άτομο μπορεί ν προσβληθεί πό μί πό τις δύο σθένειες. Θεωρούμε ότι οι δύο σθένειες είνι ντγωνιζόμενες υπό την έννοι ότι ν έν άτομο προσβληθεί πό την σθένει r r = πρμένει προσβεβλημένο πό υτήν την σθένει κι δεν μπορεί ν προσβληθεί πό την άλλη. Έστω η διδιάσττη Μρκοβινή διδικσί σε συνεχή χρόνο { X t Y t t }. Οι τυχίες μετβλητές X t κι Y t X t + Y t N νπριστούν την κτάστση της επιδημικής διδικσίς τη χρονική στιγμή t. Η τυχί μετβλητή X t νπριστά τον ριθμό των τόμων που έχουν προσβληθεί πό την σθένει κι η τυχί μετβλητή Y t νπριστά τον ριθμό των τόμων που έχουν προσβληθεί πό την σθένει ντίστοιχ τη χρονική στιγμή t. Υποθέτουμε ότι οι πιθνότητες έν άτομο ν προσβληθεί πό τις σθένειες κι σε έν χρονικό διάστημ t t + δt κθώς δ t δοθέντος ότι X t = x κι Y t = y είνι ίσες με c β N x y δt + o δ κι c y N x y δt + o δ ντίστοιχ όπου c c β. Η x t t > συνάρτηση o είνι τέτοι ώστε o h / h κθώς h. Όλες οι υπόλοιπες μετβάσεις της διδικσίς έχουν πιθνότητ ίση με o δ t κθώς δ t. Η διδικσί στμτά ότν ο συνολικός ριθμός των τόμων που έχουν προσβληθεί πό τις σθένειες κι γίνει ίσος με N το οποίο θεωρούμε ότι σχεδόν σίγουρ θ συμβεί σε πεπερσμένο χρόνο. Οι μετβάσεις του τυχίου περίπτου της επιδημικής διδικσίς βλέπε π.χ. σελ. 68 του βιβλίου του Ross 99 είνι: cx x y x + y με πιθνότητ β c x + c y 3. 33

34 β c y x y x y + με πιθνότητ. β c x + c y 3. Αν = β = η διδικσί συμπίπτει με την πλή διδιάσττη επιδημική διδικσί την οποί εισήγγν οι Bllard et al Γενίκευσν την πλή μονοδιάσττη επιδημική διδικσί η οποί επινοήθηκε πό τον Baley 95. Στους θετικούς πργμτικούς ριθμούς κι β μπορούμε ν ποδώσουμε τον όρο «μολυσμτική ισχύς» των σθενειών κι ντίστοιχ κι ν τον δικιολογήσουμε ως εξής. Αν η εξάπλωση μις μετδοτικής σθένεις σε ένν πληθυσμό επιδεκτικών τόμων εξρτάτι περισσότερο πό το κτά πόσο έν επιδεκτικό άτομο είνι επιρρεπές στην σθένει κι λιγότερο πό το κτά πόσο έν άτομο που έχει προσβληθεί πό την σθένει μπορεί ν τη μετδώσει στον υπόλοιπο πληθυσμό τότε ο ρυθμός με τον οποίο νέ άτομ θ προσβληθούν πό την σθένει δεν εξρτάτι ιδιίτερ πό τον ριθμό των τόμων που ήδη έχουν προσβληθεί πό την σθένει. Σε υτή την περίπτωση μπορούμε ν θεωρήσουμε ότι η μολυσμτική ισχύς των σθενειών κι είνι μικρή κι οι θετικοί πργμτικοί ριθμοί κι β πίρνουν τιμές κοντά στο μηδέν. Στην ντίθετη περίπτωση κτά την οποί η μολυσμτική ισχύς των σθενειών κι είνι μεγάλη μπορούμε ν θεωρήσουμε ότι οι πράμετροι κι β πίρνουν τιμές μεγλύτερες της μονάδς. Σε υτή την περίπτωση οι επιδημίες εξπλώνοντι στον πληθυσμό με πολύ γρήγορους ρυθμούς. Η έννοι της μολυσμτικής ισχύος επινοήθηκε πό τον Severo 969 o οποίος γενίκευσε την πλή επιδημική διδικσί κι υπολόγισε τις πιθνότητες μετάβσης της. Στις εργσίες των Sauders 98a b Glesser 988 Ball ad O Nel 993 O Nel 997 κι Clacy 999a b μελετώντι διάφορες επιδημικές διδικσίες στις οποίες ο ρυθμός προσβολής των επιδεκτικών πό μί μετδοτική σθένει δεν είνι στθερός λλά εξρτάτι πό το πλήθος των επιδεκτικών κι των προσβληθέντων τόμων. Υποθέτουμε ότι η σθένει προξενεί σοβρά συμπτώμτ σε έν άτομο που έχει προσβληθεί πό υτήν κι μειώνει την πργωγικότητά του. Η προυσί ενός τόμου που έχει προσβληθεί πό την σθένει επιφέρει κάποιο κόστος στην κοινωνί το οποίο θεωρούμε ότι είνι στθερό κι ίσο με τη μονάδ. Υποθέτουμε ότι η σθένει σε σύγκριση με την σθένει είνι λιγότερο επιβλβής γι έν άτομο που έχει προσβληθεί πό υτήν. Θεωρούμε ότι η 34

35 προυσί ενός τόμου που έχει προσβληθεί πό την σθένει δεν επιφέρει κνέν κόστος στην κοινωνί. Ο έλεγχος της επιδημικής διδικσίς σε κάθε χρονική στιγμή μπορεί ν πργμτοποιηθεί με την επιλογή μις ενέργεις. Θεωρούμε ότι μί ενέργει η οποί μπορεί ν ελέγξει τη διδικσί σε κάθε χρονική στιγμή είνι ο εμβολισμός με την ήπι σθένει οποιουδήποτε ριθμού επιδεκτικών τόμων έχουν πομείνει στον πληθυσμό κι δεν έχουν προσβληθεί πό κμί πό τις δύο σθένειες. Θεωρούμε ότι ο εμβολισμός ενός τόμου με την ήπι σθένει επιφέρει έν κόστος το οποίο είνι ίσο με K >. Μί άλλη ενέργει η οποί επίσης θεωρούμε ότι μπορεί ν ελέγξει την επιδημική διδικσί σε κάθε χρονική στιγμή είνι η πομόνωση κάποιων ή όλων των τόμων που έχουν προσβληθεί πό τη σοβρή σθένει. Υποθέτουμε ότι η πομόνωση ενός τόμου που έχει προσβληθεί πό τη σοβρή σθένει επιφέρει έν κόστος το οποίο είνι ίσο με L >. Μί πολιτική είνι ένς κνόνς ο οποίος σε κάθε χρονική στιγμή κθορίζει την ενέργει που επιλέγετι γι τον έλεγχο της διδικσίς. Στο πρόν κεφάλιο θ μς πσχολήσει το πρόβλημ της εύρεσης εκείνης της πολιτικής η οποί γι οποιδήποτε ρχική κτάστση της επιδημικής διδικσίς ελχιστοποιεί το συνολικό νμενόμενο κόστος. Επειδή η διδικσί θεωρούμε ότι στμτά ότν ο συνολικός ριθμός των τόμων που έχουν προσβληθεί πό τις σθένειες κι γίνει ίσος με N το πρόβλημ της εύρεσης της βέλτιστης πολιτικής είνι έν πρόβλημ πεπερσμένου χρονικού ορίζοντ. Όπως νφέρετι στην εργσί του Kyrakds 995 η επιδημική διδικσί που περιγράψμε στο πρόν εδάφιο βρίσκει πιθνή εφρμογή στην περίπτωση της γνωστής σθένεις του νωτιίου μυελού πολιομυελίτιδς. Η σθένει μπορεί ν θεωρηθεί ότι είνι η σοβρή μορφή της πολιομυελίτιδς ενώ η σθένει μπορεί ν θεωρηθεί ότι είνι η ήπι μορφή της. Σύμφων με τον Kyrakds 995 στην επιδημική διδικσί μπορεί επίσης ν ποδοθεί η κόλουθη οικολογική ερμηνεί. Θεωρούμε δύο είδη ζωντνών οργνισμών τ οποί νπτύσσοντι σε έν βιότοπο που έχει μέγιστη χωρητικότητ ίση με N. Το είδος θεωρούμε ότι είνι έν πράσιτο η προυσί του οποίου είνι βλβερή. Η προυσί ενός πρσίτου επιφέρει κάποιο κόστος το οποίο είνι στθερό κι ίσο με τη μονάδ. Το είδος θεωρούμε ότι είνι έν ήπιο είδος η προυσί του οποίου είνι κίνδυνη. Η προυσί ενός ήπιου είδους δεν επιφέρει κνέν κόστος. Θεωρούμε πολιτικές οι οποίες σε κάθε χρονική στιγμή ελέγχουν την 35

36 νάπτυξη των ζωντνών οργνισμών στο βιότοπο είτε με τη σκόπιμη εισγωγή ήπιων ειδών είτε με την πομόνωση ή την πομάκρυνση πό το βιότοπο οποιουδήποτε ριθμού πρσίτων. Η σκόπιμη εισγωγή ενός ήπιου είδους επιφέρει έν κόστος ίσο με K > ενώ η πομόνωση ή η πομάκρυνση ενός πρσίτου επιφέρει έν κόστος ίσο με L >. Γι την επιδημική διδικσί θεωρούμε τ πρκάτω τέσσερ προβλήμτ βελτιστοποίησης. Πρόβλημ. Εύρεση εκείνης της πολιτικής η οποί γι οποιδήποτε ρχική κτάστση της διδικσίς ελχιστοποιεί το συνολικό νμενόμενο κόστος ν η διδικσί σε κάθε χρονική στιγμή είνι δυντόν ν ελεγχθεί μέσω του εμβολισμού με την ήπι σθένει οποιουδήποτε ριθμού επιδεκτικών τόμων έχουν πομείνει στον πληθυσμό κι δεν έχουν προσβληθεί πό κμί πό τις δύο σθένειες. Πρόβλημ. Εύρεση εκείνης της πολιτικής η οποί γι οποιδήποτε ρχική κτάστση της διδικσίς ελχιστοποιεί το συνολικό νμενόμενο κόστος ν η διδικσί σε κάθε χρονική στιγμή είνι δυντόν ν ελεγχθεί μέσω της πομόνωσης οποιουδήποτε ριθμού τόμων που έχουν προσβληθεί πό τη σοβρή σθένει. Πρόβλημ 3. Εύρεση εκείνης της πολιτικής η οποί γι οποιδήποτε ρχική κτάστση της διδικσίς ελχιστοποιεί το συνολικό νμενόμενο κόστος ν η διδικσί σε κάθε χρονική στιγμή είνι δυντόν ν ελεγχθεί μέσω της πομόνωσης κνενός ή όλων των τόμων που έχουν προσβληθεί πό τη σοβρή σθένει. Πρόβλημ 4. Εύρεση εκείνης της πολιτικής η οποί γι οποιδήποτε ρχική κτάστση της διδικσίς ελχιστοποιεί το συνολικό νμενόμενο κόστος ν η διδικσί σε κάθε χρονική στιγμή είνι δυντόν ν ελεγχθεί είτε μέσω του εμβολισμού με την ήπι σθένει οποιουδήποτε ριθμού επιδεκτικών τόμων έχουν πομείνει στον πληθυσμό κι δεν έχουν προσβληθεί πό κμί πό τις δύο σθένειες είτε μέσω της πομόνωσης κνενός ή όλων των τόμων που έχουν προσβληθεί πό τη σοβρή σθένει. Σε δύο προηγούμενες εργσίες του Kyrakds c κτάλληλοι λγόριθμοι του δυνμικού προγρμμτισμού έχουν κτσκευστεί γι τ Προβλήμτ κι 3 στην περίπτωση 36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΚΡΟΠΡΟΘΕΣΜΟΥ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΣΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑ Α ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ ΧΡΟΝΙΚΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΚΡΟΠΡΟΘΕΣΜΟΥ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΣΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑ Α ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ ΧΡΟΝΙΚΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΚΡΟΠΡΟΘΕΣΜΟΥ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΣΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑ Α ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ ΧΡΟΝΙΚΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑ 3. Εισγωγή Το µκροπρόθεσµο νµενόµενο µέσο κόστος g π νά µονάδ χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδς Προσντολισμού Θετικών Σπουδών κι Σπουδών Οικονομίς & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου γι το σχ έτος 7-8 Αγπητέ Μθητή, Αγπητή Μθήτρι Στις φετινές οδηγίες διδσκλίς κι διχείρισης της

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης

Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης Εγχειρίδιο Φροντιστηρικών Ασκήσεων Ιωάννης Κργιάννης Ιούνιος 008 Το πρόν εγχειρίδιο περιέχει σκήσεις κι νοιχτά προβλήµτ σχετικά µε το ντικείµενο του µθήµτος Αλγόριθµοι Άµεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx I. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ.Ορισμένο ολοκλήρωμ.πράγουσ.θεμελιώδες Θεώρημ.Βσικά ολοκληρώμτ 5.Γρμμικότητ 6.Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ή με ντικτάστση 7.Ολοκλήρωση κτά μέρη 8.Ολοκληρώμτ ρητών 9.Ολοκληρώμτ τριγωνομετρικών.γενικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ: Διχείριση της Διδκτές-Εξετστές ύλης των Μθημτικών της Γ τάξης Ημερησίου Γενικού Λυκείου κι της Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου γι το σχ. έτος 6-7 Μετά πό σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπιδευτικής

Διαβάστε περισσότερα

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π2.2 Γι ν δούμε με ποιο τρόπο ο τύπος των τεσσάρων συντελεστών προκύπτει πό την (2.2.1) χρειάζετι πρώτ τ γενικεύσουμε τις έννοιες της πυκνότητς κι της ροής νετρονίων. ε κάθε θέση r της κρδιάς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΙΝΑΚΕΣ 1Δ-2Δ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΙΝΑΚΕΣ 1Δ-2Δ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΙΝΑΚΕΣ 1Δ-2Δ Άσκηση 1 Μί ετιρεί πσχολεί 30 υπλλήλους. Οι μηνιίες ποδοχές κάθε υπλλήλου κυμίνοντι πό 0 έως κι 3.000. Α. Ν γράψετε λγόριθμο που γι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities)

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities) Το υπόδειγµ Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Πργωγικές Εξωτερικότητες Κεφλίου Romer-ype exernales Α. Αποκεντρωµένη Οικονοµί Υποθέστε µί κλειστή οικονοµί η οποί πρτίζετι πό πλήθος νοικοκυριών κι πλήθος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 6: Επέκταση των Μαρκοβιανών μοντέλων

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 6: Επέκταση των Μαρκοβιανών μοντέλων Θεωρί Τηλεπικοινωνικής Κίνησης Ενότητ 6: Επέκτση των Μρκοβινών μοντέλων Μιχήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμ Ηλεκτρολόγων Μηχνικών κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Συνιστώμενο Βιβλίο: Εκδόσεις : Ππσωτηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ Συστήμτ Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητ #3: Ευστάθει Συστημάτων - Αλγεβρικό Κριτήριο Routh Δημήτριος Δημογιννόπουλος Τμήμ Μηχνικών Αυτομτισμού

Διαβάστε περισσότερα

1) Υπόδειγµα Εντολέα - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου.

1) Υπόδειγµα Εντολέα - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου. ) Υπόδειγµ Εντολέ - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου. Έστω ότι ο εντολοδόχος ελέγχει µί επιχείρηση της οποίς ιδιοκτήτες είνι διάφοροι µέτοχοι (ο εντολές). Στην γενική περίπτωση, ο εντολοδόχος

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας βασισμένες στο βιβλίο των μαθηματικών της Γ τάξης

Ερωτήσεις θεωρίας βασισμένες στο βιβλίο των μαθηματικών της Γ τάξης Ερωτήσεις θεωρίς βσισμένες στο βιβλίο των μθημτικών της Γ τάξης 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΑΣ 27 Απριλίου 29 2 Μθημτικά Γ Τάξης 1. Τι είνι πληθυσμός, άτομο κι μέγεθος ενός πληθυσμού; Πληθυσμός ονομάζετι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων & Φωτογραµµετρία

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων & Φωτογραµµετρία ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Αγρονόµων κι Τοπογράφων Μηχ. Τοµές Τοπογρφίς Μέθοδος Ελχίστων Τετργώνων & Φωτογρµµετρί Φωτογρµµετρική Οπισθοτοµί Υποδειγµτικά λυµένη άσκηση εδοµέν Ν συvτχθεί πρόγρµµ Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011: ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση της διδακτέας-εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Γ' τάξης Ημερησίου ΓΕΛ για το σχολικό έτος

Διαχείριση της διδακτέας-εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Γ' τάξης Ημερησίου ΓΕΛ για το σχολικό έτος . Διχείριση της διδκτές-εξετστές ύλης των Μθημτικών Προσντολισμού της Γ' τάξης Ημερησίου ΓΕΛ γι το σχολικό έτος 7-8 Σύμφων με την ρ. πρωτ. 63573/Δ/--7 εγκύκλιο του ΥΠ.Π.Ε.Θ. Δημήτριος Σπθάρς Σχολικός Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων

3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων 3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων - ο λογισµός της επιχείρησης εκτείνετι σε δύο χρονικές περιόδους. - έχει την δυντότητ ν δηµιουργήσει ποθέµτ την πρώτη περίοδο τ οποί θ πουλήσει την δεύτερη. - Η πόφση πργωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σττιστική είνι ο κλάδος των µθηµτικών που συγκεντρώνει στοιχεί τ τξινοµεί κι τ προυσιάζει σε κτάλληλη µορφή ώστε ν µπορούν ν νλυθούν κι ν ερµηνευτούν. Πληθυσµός είνι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

EI.3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ 1.Αξία κατανάλωσης 2.Πλεόνασμα καταναλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.Πλεόνασμα προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασμα

EI.3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ 1.Αξία κατανάλωσης 2.Πλεόνασμα καταναλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.Πλεόνασμα προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασμα EI.3 ΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ.Αξί κτνάλωσης.λεόνσμ κτνλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.λεόνσμ προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνσμ. ργμτική ξί (Χρησιμότητ) της κτνάλωσης Η ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης: = () έχει κτρχήν την γνωστή

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

Micro-foundations of macroeconomics (or Το υπόδειγμα Άριστης Οικονομικής Μεγέθυνσης)

Micro-foundations of macroeconomics (or Το υπόδειγμα Άριστης Οικονομικής Μεγέθυνσης) Miro-foundaions of maroeonomis (or Το υπόδειγμ Άριστης Οικονομικής Μεγέθυνσης) Α. Αποκεντρωμένη Οικονομί Υποθέστε μί κλειστή οικονομί η οποί πρτίζετι πό πλήθος όμοιων νοικοκυριών κι πλήθος όμοιων επιχειρήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν 1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 191 Η έννοι της συνάρτησης ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έννοι της συνάρτησης, ως έκφρση μις εξάρτησης νάμεσ σε δύο συγκεκριμένες ποσότητες, εμφνίζετι μ ένν υπονοούμενο τρόπο ήδη πό την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

Βιολογία Προσανατολισμού ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΑ ΓΟΝΙΔΙΑ

Βιολογία Προσανατολισμού ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΑ ΓΟΝΙΔΙΑ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝ ΓΟΝΙΔΙ Σημείωση: Τ συνδεδεμέν γονίδι νφέροντι στο ιλίο σε έγχρωμο πράθεμ στη σελίδ 80 του σχολικού ιλίου κι άσει του Φ.Ε.Κ. που νφέρει την εξετστέ ύλη, τ έγχρωμ πρθέμτ είνι εκτός εξετστές ύλης.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής, Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Μθηµτικός Συγγρφές µέλος του Σ της ΕΜΕ Πρόεδρος της Συντκτικής Επιτροπής του περιοδικού «Ευκλείδης Β» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ -----

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- Βθμός Ασφλείς: Ν διτηρηθεί μέχρι: Βθ. Προτεριότητς: ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ, ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

1. Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή

1. Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή Ε9 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ.Υποκτάστση συντελεστών στην πργωγή 2.Ομογενείς συνρτήσεις πργωγής 3.Ελστικότητ υποκτάστσης συντελεστών 4.Στθερή ελστικότητ υποκτάστσης 5.Πργωγή στθερής ελστικότητς υποκτάστσης

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα και προτάσεις

Θεωρήματα και προτάσεις Σελίδ 1 πό 10 Περίληψη Μερικά συμπεράσμτ πάνω στ θεωρήμτ μέσης τιμής του διφορικού κι ολοκληρωτικού λογισμού Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 009 Το πρκάτω άρθρο γράφηκε με φορμή τ όσ νφέροντι στις δύο σημντικές

Διαβάστε περισσότερα

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες; ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση αποδεικτικών σχέσεων της Θερµοδυναµικής

Επίλυση αποδεικτικών σχέσεων της Θερµοδυναµικής Σηµειώσεις Χηµιής Θερµοδυνµιής/Β. Χβρεδάη Επίλυση ποδειτιών σχέσεων της Θερµοδυνµιής Συνοπτιά νφέροντι διάφοροι τρόποι προσέγγισης της επίλυσης σχέσεων της Θερµοδυνµιής. Θ πρέπει ν τονισθεί ότι οι νφερόµενες

Διαβάστε περισσότερα

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x 998 ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f: ικνοποιεί τη σχέση f(f()) +f ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι «έν προς έν». β) Ν λύσετε την εξίσωση f( 3 + ) f(4 ),. 3 () + 3,. ) Έστω, µε f( ) f( ). Τότε f(f( )) f(f( )) κι f 3 (

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011 Λογισμός των Μετβολών Γιώργος Χ. Ππδημητρίου 8 Ιουλίου 2011 Οι προύσες σελίδες είνι μί χλρή εισγωγή στον λογισμό των μετβολών κι στις κυριότερες χρήσεις τους. Σκοπός τους είνι φ' ενός ν κλύψουν ρκετές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες, στήριξη από ICT.:

Οδηγίες, στήριξη από ICT.: Τίτλος: Ώσμωση Θέμτ: Όσμωση, γρμμομόρι, συλλογή δεδομένων κι γρφική πράστση. Διάρκει: 120λεπτά Ηλικί: 14-16 Διφοροποίηση: Διφορετικά επίπεδ βοήθεις κι διφορετικές δρστηριότητες. Οδηγίες, στήριξη πό ICT.:

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ. Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΘΕΜΑ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ. Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΘΕΜΑ Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ Σ χ ο λ ή Διο ίκ η σ η ς κ Ο ικ ο ν ο μ ί ς Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΑΠΟΨΕΩΝ ΧΡΗΣΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΙΑΤΡΕΙΩΝ ΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο 996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρινού Γιώργος. Δεκέμβριος 2007. ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Βασίλειος Χατζής

Σταυρινού Γιώργος. Δεκέμβριος 2007. ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Βασίλειος Χατζής ΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΗ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΣΥΛΛΟΓΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ, ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητές τύπου Strawderman για παραµέτρους κλίµακας

Εκτιµητές τύπου Strawderman για παραµέτρους κλίµακας Εκτιµητές τύπου Strawderman γι πρµέτρους κλίµκς Πνγιώτης Μποµποτάς ιδκτορική ιτριβή Πνεπιστήµιο Πτρών Τµήµ Μθηµτικών Πάτρ 21 Η προύσ ιδκτορική ιτριβή στοιχειοθετήθηκε µε το πρόγρµµ LaTEX (δινοµή MiKTeX).

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε

Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΥΠΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΝΑΜΕΩΝ I. ν... ν πράγοντες, ν, ν ν> ν Rκι ν Ν II. ν, ν µ, ν Ν µ ν ν µ, >, µ Ζ, µ ν ν Ν κι εάν Ορισµός : Αν > κι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα