Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý"

Transcript

1 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá Þ áüñéóôç). (ìå á = 0 êáé â 0) äåí Ý åé êáìßá ðñáãìáôéêþ ëýóç (áäýíáôç). ÐÁÑÁÔÇÑÇÓÅÉÓ Áí Ý ïõìå ôçí åîßóùóç áx + â = 0, ôüôå:. Áí á 0 êáé â = 0, ç åîßóùóç ãñüöåôáé áx = 0, ðïõ Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôï x = 0.. ¼ôáí ìéá åîßóùóç Ý åé Þ ìðïñåß íá ãñáöåß óôç ìïñöþ á â = 0, ñçóéìïðïéïýìå ôçí éóïäõíáìßá: á â = 0 á = 0 Þ â = 0. ¼ôáí ìéá åîßóùóç Ý åé Þ ìðïñåß íá ãñáöåß óôç ìïñöþ á + â = 0 (á, â 0), ñçóéìïðïéïýìå ôçí éóïäõíáìßá: Áí á, â 0, ôüôå á + â = 0 á = 0 êáé â = 0 Ôï áñáêôçñéóôéêüôåñï ðáñüäåéãìá åßíáé üôé: á + â = 0 á = â = 0 ÏÑÉÓÌÏÉ. Äýï åîéóþóåéò ëýãïíôáé éóïäýíáìåò áí Ý ïõí ôçí ßäéá ëýóç (Þ ëýóåéò).. Ç åîßóùóç áx + â = 0, üðïõ ôá á, â äåí åßíáé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß, áëëü åêöñüæïíôáé ìå ôç âïþèåéá ãñáììüôùí, ëýãåôáé ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç êáé ôá ãñüììáôá áõôü ðáñüìåôñïé. Ç åñãáóßá ðïõ êüíïõìå ãéá ôçí åýñåóç ôùí ñéæþí ëýãåôáé äéåñåýíçóç. ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ Ç åîßóùóç (ë + ) x = ë åßíáé ðáñáìåôñéêþ, ìå ðáñüìåôñï ôï ë. 00

2 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 0 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ ÌÝèïäïé êáé åöáñìïãýò ç ÌÅÈÏÄÏÓ Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Õðüäåéîç: á) Âñßóêïõìå ôï ÅÊÐ (åëü éóôï êïéíü ðïëëáðëüóéï) ôùí ðáñïíïìáóôþí (áí õ- ðüñ ïõí). â) ÊÜíïõìå áðáëïéöþ ðáñïíïìáóôþí ðïëëáðëáóéüæïíôáò êáé ôá äýï ìýëç ôçò åîßóùóçò ìå ôï ÅÊÐ. ã) ÊÜíïõìå ðñüîåéò (åðéìåñéóôéêþ éäéüôçôá, áíáãùãþ ïìïßùí üñùí) êáé öýñíïõìå ôçí åîßóùóç óôç ìïñöþ áx + â = 0 áx = â. ä) Áêïëïõèïýìå ôá âþìáôá ðïõ áíáëýèçêáí óôç èåùñßá ãéá ôçí åðßëõóç ôçò åîßóùóçò.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) (x ) + x = (4 + x), x 4 x 4x + â) =, 4 ã) (x + ) + (x )(x + ) = x x, ä),(x ) (,x ) (x + ) = 4(x 0,)., óåë. 9 á) (x ) + x = (4 + x) x + x = 8 x x + x + x = x = x =. 7 x 4 x 4x + x 4 x 4x + â) = = 4 4 (x ) 6 (4 x) = 4 (4x + ) 6x x = 6x x + 0x 6x = x = 77 x =. 0 ã) (x + ) + (x )(x + ) = x x x + x + + 4x + 6x x = x x x + x + 4x + 6x + x + = 0 7x = x = ä),(x ) (,x ) (x + ) = 4(x 0,),x,x + 4x 6 = 4x 9,x,x 4x 4x = + 6 8x = 9 x =

3 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 0 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ç ÌÅÈÏÄÏÓ ÊëáóìáôéêÝò åîéóþóåéò ðïõ áíüãïíôáé óå åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Õðüäåéîç: á) Ðáñáãïíôïðïéïýìå ôïõò ðáñïíïìáóôýò. â) Âñßóêïõìå ôï ÅÊÐ ôùí ðáñïíïìáóôþí. ã) ÂÜæïõìå ðåñéïñéóìïýò ãéá ôïõò ðáñïíïìáóôýò (Þ ÅÊÐ 0). ä) ÊÜíïõìå áðáëïéöþ ðáñïíïìáóôþí ðïëëáðëáóéüæïíôáò êáé ôá äýï ìýëç ìå ôï ÅÊÐ. å) ÊÜíïõìå ðñüîåéò (åðéìåñéóôéêþ éäéüôçôá, áíáãùãþ ïìïßùí üñùí) êáé öýñíïõìå ôçí åîßóùóç óôç ìïñöþ áx + â = 0 áx = â. óô) Ëýíïõìå ôçí åîßóùóç êáôü ôá ãíùóôü. æ) ÔÝëïò, åëýã ïõìå áí ïé ñßæåò ðïõ âñþêáìå åßíáé äåêôýò Þ áðïññßðôïíôáé ìå âüóç ôïõò áñ éêïýò ðåñéïñéóìïýò.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: x á), â) + = 7,, óåë. 60 =, ã) + =. x 4 x x+ x + x x á) ÅÊÐ = 4 (x ) 0 x, ïðüôå: x x = 4(x ) = 4(x ) 4 (x ) = (x ) x 4 x 4 6 8x = x 6 8x x = 6 x = 6 x =, ðïõ åßíáé äåêôþ. 7 7 â) + = + = x x+ x x x + ( x)( + x) 7 + = (É). x x + (x )(x + ) ÅÊÐ = (x )(x + ) 0 x ±, ïðüôå: 7 (É) (x )(x + ) + (x )(x + ) = (x )(x + ) x x + (x )(x + ) (x + ) + (x ) = 7 x + + x = 7 9 x + x = 7 8x = 9 x =, ðïõ åßíáé äåêôþ. 8 ã) ÐñÝðåé x 0 êáé + 0 êáé x 0 x x x x êáé + 0 êáé x 0 x êáé êáé x 0 x x x 0 (x êáé x 0). 0

4 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 0 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ + = + + = x x + x + x x x x x x x + = (ÉÉ), üðïõ ÅÊÐ = x, Üñá (ÉÉ) x + x = x x x x x x + x = x = + x = 4 x =, ðïõ åßíáé äåêôþ.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: x x+ á) =, â) + =, ã) x x = + x. x+ x 4 x x x 6 x 4 6x x x á) = = (É). Ç åîßóùóç x+ x 4 x + (x )(x + ) 0x = â 0 ÅÊÐ = (x + ) (x ) 0 x ±, ïðüôå: åßíáé áäýíáôç. x (É) (x )(x + ) = (x )(x + ) x + (x )(x + ) x = x x x = 0x =, ðïõ åßíáé áäýíáôç. â) ÅÊÐ = x 0, ïðüôå: x+ x+ + = x + x = x x + x + = x = x x x x x = 0 x = 0, ç ïðïßá áðïññßðôåôáé ìå âüóç ôïí ðåñéïñéóìü, åðïìýíùò ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç. x x x x x x ã) = + = (ÉÉ). x 6 x 4 6x (x ) (x ) 6(x ) ÐñÝðåé x êáé Ý ïõìå ÅÊÐ = 6 (x ), ïðüôå: x x x (ÉÉ) 6(x ) 6(x ) = 6(x ) 6(x ) (x ) (x ) 6(x ) x x = 6(x ) (x ) 4x x = 6x x + 4x x 6x + x = + 0x = 0, Ç åîßóùóç ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá. 0x = 0 ÅðïìÝíùò, ìå âüóç ôïí áñ éêü ðåñéïñéóìü ç åîßóùóç åßíáé ôáõôüôçôá. Ý åé ëýóç êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x. x 7 x + 8x Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç =. x x+ 9 6, óåë. 6 á) Ãéá x êáé x 9 Ý ïõìå: x 7 x + 8x+ 8 (x )(x + x + 9) (x + 9) = = x x+ 9 x x+ 9 x + x + 9 = x + 9 x + x = 0 x(x + ) = 0 x = 0 Þ x + = 0 x = 0 Þ x =, ðïõ åßíáé äåêôýò. 0

5 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 04 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ç ÌÅÈÏÄÏÓ Åîéóþóåéò áíþôåñïõ âáèìïý ðïõ áíüãïíôáé óå åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Õðüäåéîç: á) ÌåôáöÝñïõìå üëïõò ôïõò üñïõò óôï ðñþôï ìýëïò. â) Ðáñáãïíôïðïéïýìå. ã) ñçóéìïðïéïýìå ôçí éóïäõíáìßá á â = 0 á = 0 Þ â = 0. ñþóéìç åßíáé êáé ç éóïäõíáìßá á + â + ã = áâã á = â = ã Þ á + â + ã = 0.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x (x ) x(x ) + (x ) = 0, â) (x + ) ( x )(x + ) = 0. á) x (x ) x(x ) + (x ) = 0 (x )(x x + ) = 0 (x )(x ) = 0 x = 0 Þ (x ) = 0 x = 0 Þ x = 0 x = Þ x =. â) (x + ) ( x )(x + ) = 0 (x + ) + (x + )(x + ) = 0 (x + )(x + + x + ) = 0 (x + )(x + 6) = 0 x + = 0 Þ x + 6 = 0 x = Þ x = 6 x = Þ x =. 6. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x 4x 4x + 6 = 0, â) (x + ) (x ) = 9, ã) (x 4) (x + ) = (x )(x ), ä) x + x x 7 = x 9. 7, óåë. 60 8, 9, 0, óåë. 60 á) x 4x 4x + 6 = 0 x (x 4) 4(x 4) = 0 (x 4)(x 4) = 0 (x 4)(x )(x + ) = 0 x = 4 Þ x = Þ x =. â) (x + ) (x ) = 9 x + x + (x 4x + 4) = 9 x + x + x + 4x 4 9 = 0 6x 4 = 0 6x = 4 4 x = x = 7. 6 ã) (x 4) (x + ) = (x )(x ) (x 4) (x + ) (x )(x ) = 0 (x ) (x + ) (x + ) (x ) (x + ) (x ) = 0 (x )(x + ) (x + x + ) = 0 (x )(x + ) = 0 x = 0 Þ x + = 0 x = Þ x =. ä) x + x x 7 = x 9 x 7 + x x (x 9) = 0 (x )(x + x + 9) + x(x ) (x )(x + ) = 0 (x ) (x + x x x ) = 0 (x ) (x + 7x + 6) = 0 x = 0 Þ x + 7x + 6 = 0 x = Þ (x + )(x + 6) = 0 x = Þ x = Þ x = 6. 04

6 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 0 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ 7. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç (x ) + (x ) + (8 x) = 0. Áöïý (x ) + (x ) + (8 x) = 0, áðü ôçí ôáõôüôçôá ôïõ Euler Ý ïõìå üôé: (x ) + (x ) + (8 x) = 0 (x ) (x ) (8 x) = 0 x = 0 Þ x = 0 Þ 8 x = 0 x = Þ x = Þ x = 8 8 x = Þ x = Þ x =. 4ç ÌÅÈÏÄÏÓ Åîéóþóåéò ìå áðüëõôá ðïõ áíüãïíôáé óå åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Õðüäåéîç: ñçóéìïðïéïýìå ôéò éäéüôçôåò: f(x) = è f(x) = ±è, f(x) = ê g(x) f(x) = ±ê g(x) êáé f(x) =h(x) f(x) = ±h(x), üðïõ ê, è, h(x) Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x =, â) x = x +. á) x = x = Þ x = 7 x = 7 Þ x = x = Þ x =. â) x = x + x = ±(x + ) x = x + Þ x = x x x = Þ x + x = 8x = Þ x = x = Þ x =. 8 4i, ii, óåë. 60 f(x) = è f(x) = ±è, üðïõ è 0 f(x) = ê g(x) f(x) = ±ê g(x), üðïõ ê 0 9. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x = x +, â) x 4x+ 4 x + = 8, óåë á) x = x + x = ± (x + ) x = x + Þ x = x x x = + Þ x + x = + x = 8 Þ 7x = 8 x = Þ x =. 7 â) x 4x+ 4 x + =0 (x ) x + =0 x = x x = x + x = x + Þ x = (x + ) x x = + Þ x + x = x = Þ x = x = Þ x =. 0

7 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 06 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 0. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç x 7 = x +. 4iii, iv, óåë. 60 ÅðåéäÞ ôï ðñþôï ìýëïò ôçò åîßóùóçò åßíáé ìç áñíçôéêü, ãéá íá Ý åé ëýóç ç åîßóùóç ðñýðåé êáé ôï äåýôåñï ìýëïò ôçò íá åßíáé ìç áñíçôéêü. ÄçëáäÞ ðñýðåé x + 0 x x. Ôüôå Ý ïõìå: x 7 =x + x 7 = x + Þ x 7 = x x x = 7 + Þ x + x = 7 x = 8 Þ x = 6 x = 8 Þ x =. Áðü ôéò ðáñáðüíù ëýóåéò äåêôþ åßíáé ìüíï ç x =, äéüôé éêáíïðïéåß ôïí ðåñéïñéóìü.. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç + x + =. f(x) = h(x) f(x) = ±h(x), üðïõ h(x) 0 7, óåë. 6 + x + = + x + = Þ + x + = x + = Þ x + =. Ç åîßóùóç x + = åßíáé áäýíáôç, åíþ ç ðñþôç éóïäýíáìá ãßíåôáé: x + = Þ x + = x = Þ x = 4. x. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç x + = + 0., óåë. 6 ÈÝôïõìå x =ù êáé ç äïóìýíç åîßóùóç ãßíåôáé: ù ù ù + = + 0 ù + = + 0 6ù + 0 = ù + 0 6ù ù = 0 0 ù = 0 ù =, Üñá x = x = Þ x = x = Þ x =. 6 x 7 x. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç x = x 7 x x = + á â = â á êáé á â = á â 4 ( x) 7 x x 7 x x = + x = + (I). 4 4 ÈÝôïõìå y = x, ïðüôå: y 7 y y 7 y (I) y = + y = + y 8y = 4 + y 4 4 y 8y y = 4 y = 4, Üñá x =4 x = 4 Þ x = 4 x = 4 Þ x = 9. 06

8 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 07 x+ 4. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) =, x 6, óåë. 6 â) x + x x + = 0. á) Ãéá x Ý ïõìå: x+ x + = = x + = x x + = ±(x ) x x x + = x Þ x + = x + x = Þ x = x = Þ x =, ðïõ åßíáé äåêôýò. â) x + x x + =0 x + x = x + (x + )(x ) = x + (x + )(x ) = ±(x + ) (x + )(x ) (x + ) = 0 Þ (x + )(x ) + (x + ) = 0 (x + )(x ) = 0 Þ (x + )(x + ) = 0 (x + )(x 4) = 0 Þ (x + )(x ) = 0 x + = 0 Þ x 4 = 0 Þ x + = 0 Þ x = 0 x = Þ x = 4 Þ x =.. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç x + x = x. x + x + + x + + x + x = = x ( x + ) + ( x) = x x x = x 8x = 8 x =, ðïõ áðïññßðôåôáé, áöïý x <. ÅðïìÝíùò ëýóåéò åßíáé ïé x = Þ x = 8. (x ) + ( x) = x x + 6 x = x 4x = 4 x =, ðïõ åßíáé äåêôþ, áöïý x. 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ (x ) + ( + x) = x x 6 + x = x x = 8 x = 4, ðïõ åßíáé äåêôþ, áöïý x >. ç ÌÅÈÏÄÏÓ ÐáñáìåôñéêÝò åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Õðüäåéîç: á) ÊÜíïõìå ðñüîåéò, ùñßæïõìå ôïõò ãíùóôïýò áðü ôïõò Üãíùóôïõò üñïõò, ðáñáãïíôïðïéïýìå ôá äýï ìýëç ôçò åîßóùóçò, ïðüôå ôç öýñíïõìå óôç ìïñöþ áx + â = 0 áx = â. â) Âñßóêïõìå ôéò ôéìýò ôçò ðáñáìýôñïõ á, ãéá ôéò ïðïßåò éó ýåé á 0, êáé ôç ìïíáäéêþ ëýóç ôçò åîßóùóçò, x = â á. ã) Ãéá êüèå ôéìþ ôçò ðáñáìýôñïõ ðïõ åîáéñýóáìå óôï ðñïçãïýìåíï âþìá ëýíïõìå ôçí åîßóùóç. Óå áõôþ ôçí ðåñßðôùóç, ç åîßóùóç åßíáé ôáõôüôçôá Þ áäýíáôç. 07

9 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 08 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 6. Íá ëýóåôå ãéá ôéò äéüöïñåò ôéìýò ôïõ ðñáãìáôéêïý ë ôéò áêüëïõèåò ðáñáìåôñéêýò åîéóþóåéò:, óåë. 9 á) (ë ) (ë + ) x = ë +, â) ë (ëx + ) = 4x +. á) (ë ) (ë + ) x = ë + (I). Áí (ë )(ë + ) 0 ë êáé ë, ç (I) Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôç ë+ x = x =. (ë )(ë + ) ë Áí ë = : (I) 0x = 4, ðïõ åßíáé áäýíáôç. Áí ë = : (I) 0x = 0, ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá. â) ë (ëx + ) = 4x + ë x + ë = 4x + ë x 4x = ë + (ë 4)x = 4 ë (ë )(ë + )x = (ë ) (II). Áí (ë )(ë + ) 0 ë êáé ë, ç (II) Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôç (ë ) x = x =. (ë )(ë + ) ë + Áí ë = : (II) 0x = 0, ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá. Áí ë = : (II) 0x = 8, ðïõ åßíáé áäýíáôç. ëx + ë ëx + ë + x 7. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç = + ãéá êüèå ôéìþ ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë. 4 ëx + ë ëx + ë + x ëx + ë ëx + ë + x = + = (ëx + ë) = (ëx + ) + ë + x 4ëx + 4ë = ëx + + ë + x 4ëx ëx x = ë 4ë + ëx x = ë 4ë + (ë )x = (ë )(ë ) (I). (ë )(ë ) Áí ë 0 ë, ç (I) Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôç x = ë x = ë. Áí ë = : (I) 0x = 0, ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá. 8. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç ëx + ì = 4x + ë ãéá êüèå ôéìþ ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ë, ì., óåë. 6 ëx + ì = 4x + ë ëx 4x = ë ì (ë 4)x = ë ì (I). ë ì Áí ë 4 0 ë 4, Ý ïõìå ìïíáäéêþ ëýóç ôç x =. ë 4 08 Áí ë = 4: (I) 0x = ì (II). Áí ì 0 ì Áí ì =, ç (II) åßíáé ôáõôüôçôá., ç (II) åßíáé áäýíáôç.

10 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ 9. Íá âñåßôå ôéò ôéìýò ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë ãéá ôéò ïðïßåò ç åîßóùóç ë x ë ë + = (x ë + 4): á) Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç, â) åßíáé áäýíáôç, ã) åßíáé ôáõôüôçôá. ë x ë ë + = (x ë + 4) ë x ë ë + = x ë + 00 ë x x = ë 4ë + 9 (ë )x = ë 4ë + 9 (ë )(ë + )x = (ë )(ë 9) (I). Áí (ë )(ë + ) 0 ë êáé ë, ç åîßóùóç Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç. Áí ë = : (I) 0x = 0, ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá. Áí ë = : (I) 0x = 40, ðïõ åßíáé áäýíáôç. ÅðïìÝíùò: á) Ç åîßóùóç Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç áí ë êáé ë. â) Ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç áí ë =. ã) Ç åîßóùóç åßíáé ôáõôüôçôá áí ë =. 0. Íá âñåßôå ôéò ôéìýò ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë ãéá ôéò ïðïßåò ç åîßóùóç (ë ) x + = 6 + ë + ëx Ý åé ðüíôá ëýóç. (ë ) x + = 6 + ë + ëx ë x x ëx = 6 + ë (ë ë )x = ë + (ë + )(ë )x = ë + (I). Ãéá íá Ý åé ç (I) ðüíôá ëýóç, ðñýðåé åßôå íá Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç åßôå íá åßíáé ôáõôüôçôá. Ç (É) Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç üôáí (ë + )(ë ) 0 ë êáé ë (ÉÉ). Ç (É) åßíáé ôáõôüôçôá üôáí [(ë + )(ë ) = 0 êáé ë + = 0] [(ë = Þ ë = ) êáé ë = ] ë = (ÉÉÉ). Áðü ôéò (ÉÉ) êáé (ÉÉÉ) âñßóêïõìå üôé ë. Ç åîßóùóç áx = â Ý åé ðüíôá ëýóç áí á 0 Þ áí á = â = 0.. Áí ç åîßóùóç ë x ë = ( + x) Ý åé Üðåéñåò ëýóåéò, íá áðïäåßîåôå üôé ç åîßóùóç ëx + 6 = x ë Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôç ìçäåíéêþ. ë x ë = ( + x) ë x ë = + 4x ë x 4x = + ë (ë 4)x = ë + (ë + )(ë )x = ë + (I). Áöïý ç åîßóùóç ë x ë = ( + x) (ë + )(ë )x = ë + Ý åé Üðåéñåò ëýóåéò, ðñýðåé íá éó ýåé üôé {(ë + )(ë ) = 0 êáé ë + = 0} ë =. Ôüôå ç åîßóùóç ëx + 6 = x ë ãßíåôáé: x + 6 = x ( ) x x = 6 6 7x = 0 x = 0, äçëáäþ ç åîßóùóç ëx + 6 = x ë Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôç ìçäåíéêþ. 09

11 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 0 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ x + ì 4x + ìx. Íá äéåñåõíþóåôå ôçí åîßóùóç = ãéá x ì 4x 4xì + ì, óåë. 6, üëåò ôéò ôéìýò ôïõ ì. i, ii, óåë. 06 x + ì 4x + ìx x + ì 4x + ìx = = (I). x ì 4x 4xì + ì x ì (x ì) ì ÅÊÐ = (x ì) 0 x ì 0 x ì x, ïðüôå: x + ì 4x + ìx (I) (x ì) =(x ì) (x ì)(x + ì) = 4x + ìx x ì (x ì) 4x ì = 4x + ìx ìx = ì (II). ì Áí ì 0, Ý ïõìå ìïíáäéêþ ëýóç ôç x= = ì, ðïõ åßíáé äåêôþ. ì Áí ì = 0: (ÉI) 0x = 0, ðïõ Ý åé ëýóç êüèå ðñáãìáôéêü x 0, áöïý ì 0 x =.. Íá âñåßôå ôéò ôéìýò ôïõ ë ãéá ôéò ïðïßåò ç åîßóùóç x (ë + ) = 4 [ë (x ) + ë]: á) Ý åé ñßæá ôïí áñéèìü, â) Ý åé ìïíáäéêþ ñßæá ôïí áñéèìü. iii, óåë. 06 á) Ãéá íá Ý åé ç åîßóùóç ñßæá ôïí áñéèìü, ðñýðåé íá ôçí åðáëçèåýåé, äçëáäþ (ë + ) = 4 [ë ( ) + ë] 6ë + 0 = ë + 4ë 6ë + 4ë 0 = 0 ë + ë = 0, ç ïðïßá Ý åé Ä = 64 êáé ë = Þ ë =. â) Áíôéêáèéóôïýìå óôçí áñ éêþ åîßóùóç ôá ë ðïõ âñþêáìå êáé Ý ïõìå: Áí ë =, âñßóêïõìå x ( + ) = 4 [ ( x ) + ] 8x = 8x, Üñá Ý ïõìå ôáõôüôçôá, ïðüôå áðïññßðôåôáé ç ôéìþ ë =. Áí ë =, âñßóêïõìå: x + = 4 (x ) + 0x 40x 00x 60 x + =4 = x = 00x 60 00x 0x = 60 80x = 60 x =, ç ïðïßá åßíáé ìïíáäéêþ ëýóç, ïðüôå ç ðåñßðôùóç áõôþ åßíáé äåêôþ. Óõíåðþò ë =. 0

12 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ 4. Äßíïíôáé ïé åîéóþóåéò (ë + )x = ì 8 êáé (ì + 9ì)x = ë +. Íá áðïäåßîåôå üôé, áí ç ðñþôç åßíáé ôáõôüôçôá, ç äåýôåñç åßíáé áäýíáôç Þ Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç. Ç åîßóùóç (ë + )x = ì 8 åßíáé ôáõôüôçôá áí Ý åé ôç ìïñöþ 0x = 0, äçëáäþ áí éó ýåé üôé ë + = 0 êáé ì 8 = 0 ë = êáé ì = ±9. Áí ë = êáé ì = 9, ç äåýôåñç åîßóùóç ãßíåôáé ( )x = ( ) + 7 6x = 7 x =, äçëáäþ Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç. 6 Áí ë = êáé ì = 9, ç äåýôåñç åîßóùóç ãßíåôáé [( 9) + 9 ( 9)]x = ( ) + 0x = 7, ç ïðïßá åßíáé áäýíáôç.. Ðïéïé ðåñéïñéóìïß ðñýðåé íá éó ýïõí ãéá ôá ê, ë þóôå íá Ý åé x x ëýóç ç åîßóùóç = + ; ê ë x x x x Ãéá ê 0 êáé ë 0 Ý ïõìå üôé = + êë êë = êë ê ë ê ë ëx êx = êë (ë ê) x = êë (I). Ãéá íá Ý åé ëýóç ç äïóìýíç åîßóùóç, áñêåß íá Ý åé ëýóç êáé ç éóïäýíáìþ ôçò åîßóùóç (I), äçëáäþ áñêåß ç (I) íá ìçí Ý åé ìïñöþ 0x = êë (áöïý êë 0). ÅðïìÝíùò ðñýðåé ë ê 0 ë ê, üðïõ êë 0., óåë. 6 Ìéá åîßóùóç Ý åé ëýóç üôáí äåí åßíáé áäýíáôç. 6ç ÌÅÈÏÄÏÓ ÐñïâëÞìáôá ðïõ áíüãïíôáé óå åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Õðüäåéîç: Ãéá íá ëýóïõìå Ýíá ðñüâëçìá ìå ñþóç åîßóùóçò ïõ âáèìïý, èýôïõìå x ôçí Üãíùóôç ðïóüôçôá êáé êáôáóêåõüæïõìå ôçí åîßóùóç ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôá äåäïìýíá ôçò Üóêçóçò. 6. Ìéá äåîáìåíþ ó Þìáôïò ïñèïãþíéïõ ðáñáëëçëåðéðýäïõ Ý åé äéáóôüóåéò âüóçò m êáé 8 m. Áí ðåñéý åé ëßôñá íåñü, íá âñåßôå ôï ýøïò ôçò óôüèìçò ôïõ íåñïý. ïõìå üôé m = 0 dm, 8 m = 80 dm, ëßôñá = dm. óôù x dm ôï ýøïò ôçò óôüèìçò ôïõ íåñïý. Ôï íåñü åíôüò ôïõ äï åßïõ ðáßñíåé ôï ó Þìá ïñèïãþíéïõ ðáñáëëçëåðéðýäïõ ìå äéáóôüóåéò á = 0 dm, â = 80 dm, ã = x dm, ïðüôå èá éó ýåé üôé: V = á â ã = 0 80 x = x x = : x = dm =, m. V = á â ã, á: ôï ìþêïò, â: ôï ðëüôïò, ã: ôï ýøïò.

13 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 7. íáò áãñüôçò Ý åé Ýíá ïéêüðåäï ó Þìáôïò ôåôñáãþíïõ. Ëüãù ïéêïíïìéêþí äõóêïëéþí ðïõëüåé Ýíá ôåôñüãùíï ìýñïò ôïõ ïéêïðýäïõ ìå ðëåõñü 40 m ìéêñüôåñç áðü ôçí áñ éêþ. Áí ôï åìâáäüí ôïõ ïéêïðýäïõ ðïõ áðïìýíåé åßíáé 4,6 óôñýììáôá, íá âñåßôå ôçí ðëåõñü ôïõ áñ éêïý ïéêïðýäïõ. óôù x m (x > 40) ç ðëåõñü ôïõ áñ éêïý ïéêïðýäïõ, ôï ïðïßï Ý åé åìâáäüí x m. ÅðïìÝíùò (x 40) m åßíáé ç ðëåõñü ôïõ ïéêïðýäïõ ðïõ ðïýëçóå, ôï ïðïßï Ý åé åìâáäüí (x 40) m. Åðßóçò, 4,6 óôñýììáôá = m. Ôüôå Ý ïõìå üôé: x (x 40) = x (x 840x ) = x x + 840x = 0 840x = x = x = x = 00, 840 äçëáäþ 00 m åßíáé ç ðëåõñü ôïõ áñ éêïý ïéêïðýäïõ. 8. Ðüóá ãñáììüñéá õìü íôïìüôáò ðñýðåé íá ðñïóèýóïõìå óå 00 g íôïìáôïðïëôü, þóôå íá ìåéþóïõìå ôçí ðåñéåêôéêüôçôü ôïõ óå êéôñéêü ïîý (äéïñèùôþ ïîýôçôáò) áðü 0,% óå 0,%; óôù x ôá ãñáììüñéá õìïý íôïìüôáò (x > 0) ðïõ ðñýðåé íá ðñïóèýóïõìå óôá 00 g íôïìáôïðïëôü, ï ïðïßïò ðåñéý åé 00 0,% = 0,6 g êéôñéêü ïîý. Ôüôå ï íýïò íôïìáôïðïëôüò èá Ý åé âüñïò (00 + x) g êáé èá ðåñéý åé (00 + x) 0,% g êéôñéêü ïîý. ÅðïìÝíùò: (00 + x) 0,% = 0,6 0, + 0,00x = 0,6 0,00x = 0,6 0, 0,00x = 0, x = x = 00, äçëáäþ 00 g õìü íôïìüôáò. 9. Ôï Üèñïéóìá ôùí øçößùí åíüò äéøþöéïõ áñéèìïý åßíáé. Áí áíôéóôñýøïõìå ôç óåéñü ôùí øçößùí, ðñïêýðôåé áñéèìüò êáôü 4 ìéêñüôåñïò. Íá âñåßôå ôïí áñéèìü. 0, 0,00 Áöïý ôï Üèñïéóìá ôùí øçößùí ôïõ áñéèìïý åßíáé, áí x ôï øçößï ôùí äåêüäùí, ôï øçößï ôùí ìïíüäùí èá åßíáé ôï x (x =, 4,, 6, 7, 8, 9). ÅðéðëÝïí, èá éó ýåé: 0x + x = 0 ( x) + x + 4 0x + x = 0 0x + x + 4 0x x + 0x x = ,, óåë. 9, 4, óåë. 6, óåë. 60 Ï äéøþöéïò xy åßíáé ßóïò ìå 0x + y, üðïõ x ïé äåêüäåò êáé y ïé ìïíüäåò. 6 8x = 6 x = x = 9. 8 ÅðïìÝíùò ôï Üëëï øçößï åßíáé ôï 9 = êáé ï æçôïýìåíïò áñéèìüò åßíáé ï 9.

14 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ 7ç ÌÅÈÏÄÏÓ Åðßëõóç ôýðïõ Õðüäåéîç: Ãéá íá åðéëýóïõìå Ýíáí ôýðï ùò ðñïò ïðïéáäþðïôå ìåôáâëçôþ, öáíôáæüìáóôå üôé óôç èýóç ôçò ìåôáâëçôþò áõôþò õðüñ åé ôï x êáé üôé üëåò ïé Üëëåò ìåôáâëçôýò åßíáé ãíùóôýò. ôóé ëýíïõìå ôçí åîßóùóç ùò ðñïò x, êáôü ôá ãíùóôü. 0. Íá ëýóåôå ôïõò ôýðïõò ùò ðñïò R :! VR á) = +, â) V =. 6, óåë. 60 R R R R + R á) Ãéá R R R 0 Ý ïõìå: = + RRR = RRR + RR R R R = RR + RR R R R R R R RR R R RR = RR (R R)R = RR R = (R R). R R â) Ãéá R R Ý ïõìå: VR VR V = (R+ R )V = (R+ R ) (R + R )V = V R R + R R+ R VR RV R V + R V = V R R V = V R R V R = (V 0). V Äåßôå êüðïéåò Üëëåò ìïñöýò áóêþóåùí.... Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç (x + ) + (x + ) + (x + ) = (x + )(x + )(x + ). (x + ) + (x + ) + (x + ) = (x + )(x + )(x + ) x + = x + = x + Þ (x + ) + (x + ) + (x + ) = 0 {x + = x + êáé x + = x + } Þ 6x + 8 = 0 {x = êáé x = 6} Þ 6x = 8. á + â + ã = áâã á = â = ã Þ á + â + ã = 0 ÅðåéäÞ äåí ìðïñåß íá éó ýåé ôáõôü ñïíá üôé x = êáé x = 6, èá Ý ïõìå üôé 6x = 8 x =.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x+ =, â) =, ã) x+ 4= x. á) Ãéá x Ý ïõìå üôé: x+ = x+ = x + = 9 x = 4, ç ïðïßá åßíáé äåêôþ ìå âüóç ôïí ðåñéïñéóìü.

15 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 4 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ â) Ãéá x Ý ïõìå üôé: x = x = x = 8 x = 0, ç ïðïßá åßíáé äåêôþ ìå âüóç ôïí ðåñéïñéóìü. ã) Ãéá (x 4 êáé x 0) x 0 Ý ïõìå üôé: 6 6 x+ 4 = x x+ 4 = x (x + 4) = x Õøþíïõìå êáé ôá äýï ìýëç x + 8x + 6 = x x x ôçò åîßóùóçò óôï ÅÊÐ 8x 6 = 0 x 4x + x ôùí ôüîåùí ôùí ñéæþí. x + 4x 6 = 0 x (x 4) + x (x 4) + 4 (x 4) = 0 (x 4) (x + x + 4) = 0 x 4 = 0 Þ x + x + 4 = 0 (ðïõ åßíáé áäýíáôç, áöïý Ä = 7 < 0), Üñá x = 4, ç ïðïßá åßíáé äåêôþ ìå âüóç ôïí ðåñéïñéóìü. ÅñùôÞóåéò íýïõ ôýðïõ Íá óçìåéþóåôå Ó (óùóôü) Þ Ë (ëüèïò) óå êáèåìßá áðü ôéò ðáñáêüôù ðñïôüóåéò.. Ïé åîéóþóåéò x + = êáé x = åßíáé éóïäýíáìåò.. Ç åîßóùóç 4x + = 4x + åßíáé ôáõôüôçôá.. Ç åîßóùóç (ê + )x = ê åßíáé ðáñáìåôñéêþ. 4. Ç åîßóùóç (ê + )x = ê åßíáé áäýíáôç üôáí ê =.. Ç åîßóùóç (ê + )x = ê åßíáé áäýíáôç. 6. Ç åîßóùóç 4x 4x + x = 0 Ý åé ëýóç ôï x =. Ãéá ôçí åîßóùóç (ë ë).x = (ë + )(ë ), íá áíôéóôïé ßóåôå ôéò ôéìýò ôçò ðáñáìýôñïõ ë ôçò çò óôþëçò ìå ôéò ëýóåéò ôçò åîßóùóçò ôçò çò óôþëçò. ç óôþëç ç óôþëç ðåéñåò ëýóåéò Á ë = Êáìßá ëýóç Â ë = ÌïíáäéêÞ ëýóç x = 0 Ã ë = ÌïíáäéêÞ ëýóç x = Ä 4 ë = 4 ÌïíáäéêÞ ëýóç x = 4 Å ÌïíáäéêÞ ëýóç x = 4 ÓÔ 4

16 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ Íá êõêëþóåôå ôï ãñüììá ðïõ áíôéóôïé åß óôç óùóôþ áðüíôçóç.. Ç åîßóùóç ê x = ë Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç üôáí: Á. ê = 0, ë 0 Â. ê = ë = 0 Ã. ê 0 Ä. ôßðïôá áðü áõôü. Ãéá êüèå ê ç åîßóùóç (ê + ) x = Ý åé: Á. äýï ëýóåéò Â. Üðåéñåò ëýóåéò Ã. êáìßá ëýóç Ä. ìßá ëýóç. Ç åîßóùóç (ê ) x = ê + Ý åé Üðåéñåò ëýóåéò üôáí: Á. ê = 0 Â. ê = Ã. ê = Ä. ê = 4. Áí ç åîßóùóç (ê + ) x = ê + Ý åé ëýóç ôï x =, ôüôå: Á. ê = 0 Â. ê = Ã. ê = Ä. ê =. Ç åîßóùóç ê(ê ë) x = (ê ë) Ý åé óßãïõñá ðñáãìáôéêþ ëýóç áí: Á. ê = ë Â. ê ë Ã. ê 0 Ä. ê = 0 6. Ç éóüôçôá x + = x éó ýåé áí: Á. x 0 Â. x Ã. x Ä. x < 7. Ç åîßóùóç 7x = x + 8 : Á. åßíáé áäýíáôç Â. åßíáé áüñéóôç Ã. Ý åé ëýóç x = Ä. Ý åé ëýóçx = 8. Ç åîßóùóç x =4 Ý åé ëýóç: Á. x = 6 Þ x = 0 Â. x = Þ x = 6 Ã. x = Þ x = 6 Ä. x = 0 Þ x = ëõôåò áóêþóåéò Á ÏìÜäá. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: x x x+ x á) =, óâ) + + = x, 4 7 x x x 4x x + x ã) + =, óä) =, (x ) ( x) (x ) x + x (x ) x å) = x, óô) = Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: x x á) =, â) =, x x+ x x+ x+ 6 ã) 0, ä) =. + = x x x+ x+ x x 4

17 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 6 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á), â) =, x x x = x x + x x x+ x ã) =, ä) =. 4x + 4 (x ) 6x 6 x x x 4. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: 4 x + x+ x x x + 6 á) + + = 0, â) + =. 4 x+ x x x + x x x x x. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x (x + ) 4(x + ) = 0, â) x(x ) (x ) = 0, ã) x x x + = 0, ä) x 4 x 9x + 9 = Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x (x 4) + x (x 4) + (x 4) = 0, â) x (x ) x + x = 0, ã) (x + ) + x = 0, ä) x (x ) = x 4x + 4, 7. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) (x ) ( x)(4 + x) = 0, â) (x 4)(x ) = (x )(x ), ã) x x x + = 0, ä) x x (x )(x ) = Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x =, â) 4 x =, ã) 7 + x =. 9. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) 7x =, â) x =. 0. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + =, â) x + =, x x + ã) + =, ä) =. 4. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + 7 = x, â) x = x, x ã) x + x =0, ä) =. x +. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x = x, â) + x = + x.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x = + x, â) + x = + x. 4. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) + x =, â) x + =.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + = x + 7, â) x + = x, x x + ã) + = x, ä) + = x +. 6

18 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 7 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ 6. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + 4 = x + 4, â) ( ù +) = ù +, x 4 x 4 x y ã) = +, ä) y =. 7. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + = x, â) 7 x + = x 7 6, x 7 x x + 9 ã) + =, ä) + = x Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: x + 4 6x + 8 á) =, â) x 4x + 6x =. 9. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x x + = 0, â) x 4x =. 0. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + 7 x =8, â) x + + x =7, ã) x + +x = x, ä) x x + = x.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + x = + x, â) x + + x = x.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x 6x+ 9 =, â) 9x + 6x + 4x 0x + = 0, ã) 0 x x + = x +.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) (ë + ) x = ë +, â) (ë + 4) x = ë Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) (ë )x = ë, â) (ë )x = ë, ã) ìx + ì = x, ä) (ì + )x = ì.. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) ë x ë = x 4ë +, â) (ë + )x + 9 = (ë + x) + ë(ë ), ã) ë x ë = 4ëx +, ä) xë ë = ëx, å) ì x 4x = ì 4ì Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) (ë 4ë) x = ë + ë, â) (ë + ) x = ë +, ë 4x ëx+ ëx + 8ë x + x ã) + = x ë, ä) + = Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) ë (x ) = 4 (4x + ) ë, â) ë (x ) = x, ã) ë(ëx + 6) = x + + ë (ë ), ä) ë (ë 6 x + ë 4 ë ) = x ë 4 ( ë ). 7

19 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 8 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 8. Íá ëýóåôå ôéò áêüëïõèåò åîéóþóåéò ãéá êüèå ôéìþ ôùí ë, ì : á) (ë ì) x = ë + ì, â) (ë 4ì )x = ë + ìë, ã) ëx + ì = ìx + ë (x + ), x ë x+ ì x ä) (ë + ) x + ì = ìx + (ë ) (x ), å) + = Áí ç åîßóùóç (4 á)x + á = 6 Ý åé äýï ëýóåéò, íá âñåßôå ôïí á. 0. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôïí ë þóôå ç åîßóùóç (ë + 4)x ë 4 = (x ë) + ë(ë ) íá Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôï ìçäýí.. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôïí ðñáãìáôéêü áñéèìü ë þóôå ç åîßóùóç ë(x ) = (x + ) + (ë + ) íá Ý åé ëýóç ôïí áñéèìü x =.. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôïõò ë, ì þóôå ç åîßóùóç ë(x + ) + = x ì íá éó ýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü x.. Íá áðïäåßîåôå üôé, áí ç åîßóùóç ë( x) = 7ì x + åßíáé ôáõôüôçôá, ç åîßóùóç ì (x ) + 4ëx = (ë ì) + 0x åßíáé áäýíáôç. 4. Áí ç åîßóùóç (4ë ) x = ë Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç, íá âñåßôå ôéò ëýóåéò ôçò åîßóùóçò ëx = x +.. óôù ôåôñüãùíï ÁÂÃÄ ìå ðëåõñü ìþêïõò 4 cm. Íá âñåßôå åóùôåñéêü óçìåßï Ì ôçò ðëåõñüò ÁÄ ôýôïéï þóôå: á) Å ÁÂÌ + Å ÌÂà = Å ÌÃÄ, â) Å ÁÂÌ = Å ÌÃÄ. 6. Ôï ìþêïò êáé ôï ðëüôïò åíüò ïñèïãþíéïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ åßíáé 0 m êáé 6 m áíôßóôïé á. Áí áõîçèåß ôï ìþêïò ôïõ êáôü m, íá âñåßôå ðüóï ðñýðåé íá áõîçèåß ôï ðëüôïò ôïõ þóôå íá äéðëáóéáóôåß ôï åìâáäüí ôïõ. 7. Ìéá ìçôýñá åßíáé 4 åôþí êáé ç êüñç ôçò åßíáé 7 åôþí. ÌåôÜ áðü ðüóá ñüíéá ç çëéêßá ôçò ìçôýñáò èá åßíáé ôñéðëüóéá áðü ôçí çëéêßá ôçò êüñçò ôçò; 8. Íá åðéëýóåôå ôïõò áêüëïõèïõò ôýðïõò: á) P V = n R T ùò ðñïò P êáé ùò ðñïò R, â) Q = m c Äè ùò ðñïò Äè. m 9. Íá åðéëýóåôå ôïõò áêüëïõèïõò ôýðïõò: á) d = ùò ðñïò m êáé ùò ðñïò V, V m m â) õ = õ 0 + át ùò ðñïò t, ã) F= G ùò ðñïò m êáé ùò ðñïò d. d 40. Ìå ôç âïþèåéá ôùí ôýðùí S= õ0t+ át êáé õ = õ 0 + át íá áðïäåßîåôå üôé õ+ õ S= 0 t.  ÏìÜäá 4. ÊáôáèÝôïõìå óå ìéá ôñüðåæá äýï êåöüëáéá, ðïõ äéáöýñïõí êáôü.00 åõñþ, ìå åðéôüêéï % ãéá ôï ìåãáëýôåñï êåöüëáéï êáé 7% ãéá ôï ìéêñüôåñï. Áí ìåôü áðü 8

20 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 9 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ Ýíá ñüíï ôá äýï êåöüëáéá åîéóþíïíôáé, íá âñåßôå ôá áñ éêü ðïóü ðïõ êáôáèýóáìå. 4. íáò çìéêüò ðñýðåé íá áíáìåßîåé äýï äéáëýìáôá ôïõ ßäéïõ ïîýïò, ôï Á ðåñéåêôéêüôçôáò 7% êáé ôï  ðåñéåêôéêüôçôáò 4% óå ïîý, ãéá íá ðñïêýøåé Ýíá ìåßãìá 0 ëßôñùí ðåñéåêôéêüôçôáò % óå ïîý. Ðüóá ëßôñá áðü êüèå äéüëõìá ðñýðåé íá ñçóéìïðïéþóåé; 4. íá ôìþìá ôçò Á Ëõêåßïõ ðïõ áðïôåëåßôáé áðü 0 áãüñéá êáé êïñßôóéá Ýãñáøå Ýíá ôåóô óôá ÌáèçìáôéêÜ, ìå ìýóï üñï âáèìïëïãßáò,6. Áí ï ìýóïò üñïò âáèìïëïãßáò ôùí ãñáðôþí ôùí êïñéôóéþí Þôáí 4,6 êáé ôùí áãïñéþí 7, íá âñåßôå ðüóá Þôáí ôá êïñßôóéá êáé ðüóá ôá áãüñéá. 44. Óå ìéá ãéïñôþ âñßóêïíôáé 40 Üôïìá. Áí öýãïõí 8 áãüñéá êáé Ýñèïõí êïñßôóéá, ôüôå ï áñéèìüò ôùí áãïñéþí åßíáé ßóïò ìå ôïí áñéèìü ôùí êïñéôóéþí. Íá âñåßôå ôïí áñ éêü áñéèìü ôùí áãïñéþí êáé ôùí êïñéôóéþí. 4. Äýï áõôïêßíçôá îåêéíïýí áðü ôï ßäéï óçìåßï êáé êéíïýíôáé åõèýãñáììá êáé ïìáëü, ôï Ýíá áíáôïëéêü ìå ôá ýôçôá u = 60 km/h êáé ôï Üëëï äõôéêü ìå ôá ýôçôá u = 80 km/h. Íá âñåßôå ìåôü áðü ðüóç þñá ôá áõôïêßíçôá èá Ý ïõí áðüóôáóç 770 km. 46. Ãéá ôéò äéüöïñåò ôéìýò ôùí ê, ë íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç (x ê)(x ë) = (x ë)(x ê). 47. Ãéá ðïéá ôéìþ ôïõ á ç åîßóùóç (x ) + (x + ) + x = x(x á + ) åßíáé ôáõôüôçôá; x x 48. Áí á, â 0, íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç = á â á â â á x+ x x 49. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x x+ =, â) = x. x+ + + x + x 0. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) (x + â) + (x + â) + (x + â) = (x + â) (x + â) (x + â), â) (x + á + â) + (x + á + â) + (x á) = (x + á + â)(x + á + â)(x á).. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) (x á + â) + (á + â + x) = (4x + â), â) (x + â) (x 6â) = (â + x).. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç + = 0. x x+ x+ x x+ ë x + ë. Íá äéåñåõíþóåôå ôçí åîßóùóç = ãéá üëåò ôéò ôéìýò ôïõ ë. x ë x 9ë 9

21 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 0 ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 4. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x + =ë, â) (ë ) x + =.. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç x x =. 6. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç x = Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç y+ y + y y+ y+ y+ =. 8. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á) x = 4, â) 7 x =, óã) x = x +, ä) 4 x = x, å) + 4+ x =, óô) x+ =, æ) 4 x 4 =. 9. Íá âñåßôå ôéò ôéìýò ôïõ x ãéá ôéò ïðïßåò éó ýåé y+ =, üôáí y = x (x ) + (x + ). 60. Äßíïíôáé ïé ðáñáóôüóåéò Á = x + x êáé Â = x +x. Áí < x <, íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç A Â x = 0. x Õðïäåßîåéò ÁðáíôÞóåéò ÁðáíôÞóåéò Ó-Ë:. Ë,. Ó,. Ó, 4. Ó,. Ë, 6. Ó. ÁðáíôÞóåéò Á:. Ã,. Á,. Â, 4. Å. ÁðáíôÞóåéò Ð-Å:. Ã,. Ä,. Â, 4. Ã,. Á, 6. Â, 7. Á, 8. Ã.. á) x = 9, â) x =, ã) x =, ä) x = 4, å) x = 7, óô) x =. 96. á) x = 8, â) x =, ã) x =, Üñá áäýíáôç, ä) x = á) x =, â) áäýíáôç, ã) x =, ä) x =. 4. á) x = ±, â) áäýíáôç.. á) x = Þ x =, â) x = Þ x = ±, ã) x = Þ x = ±, ä) x = ± Þ x = ±. 6. á) x = 4 Þ x =, â) x = 0 Þ x =, ã) x = 0 Þ x =, ä) x = Þ x =. 7. á) x = Þ x =, â) x = Þ x =, ã) x = Þ x =±, ä) x = Þ x = á) x = Þ x =, â) x = Þ x =, 8 ã) x = Þ x =. 9. á) Áäýíáôç, â) x = Þ x = á) x = 6 Þ x = 0, â) x = Þ x =, 9 ã) x = Þ x =, ä) x = Þ x = á) x = Þ x =, â) x = ±, ã) x = 6 Þ x =, ä) x =.. á) Áüñéóôç, â) x =. 7. á) x = Þ x =, â) x = Þ x = á) x = 0 Þ x = 4, 7 9 â) x = Þ x = Þ x = Þ x =. 0

22 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page 7. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ïõ ÂÁÈÌÏÕ 4 0. á) x = Þ x =, â) x = Þ x = 4, ã) x = Þ x =, ä) x = Þ x = á) x = Þ x =, â) áäýíáôç, ã) x = ±, 49 ä) áäýíáôç á) x = Þ x =, â) x = Þ x =, ã) áäýíáôç, ä) áäýíáôç á) x = 7 Þ x =, â) x = Þ x = á) x =, â) x = Þ x = á) x = Þ x =, â) x = 0 Þ x =, ã) x =, ä) x = Þ x =. 9. á) x = Þ x =, â) x = Þ x =. 4. á) x = 8 Þ x =, â) x = 6 Þ x =, ã) x = Þ x = Þ x =. ë+. á) x =, â) x = ë 4. ë + 4. á) Áí ë, ôüôå x =, áí ë =, ôáõôüôçôá. ë â) Áí ë, ôüôå x =, áí ë =, áäýíáôç. ë ì ã) Áí ì, ôüôå x =, áí ì =, áäýíáôç. ì ä) Áí ì, ôüôå x =, áí ì =, ôáõôüôçôá. ë. á) Áí ë ±, ôüôå x =, áí ë =, áäýíáôç, áí ë + ë =, ôáõôüôçôá. â) Áí ë, ôüôå x = ë +, áí ë =, ôáõôüôçôá. ã) Áí ë 0, ±, ôüôå x =, áí ë = Þ ë = 0, ë(ë ) áäýíáôç, áí ë =, ôáõôüôçôá. ä) Áí ë 0,, ôüôå x =, áí ë = 0, áäýíáôç, áí ë =, ë ôáõôüôçôá. ì å) Áí ì ±, ôüôå x =, áí ì =, áäýíáôç, áí ì + ì =, ôáõôüôçôá. 6. á) Áí ë 0, ±, ôüôå x =, áí ë = 0 Þ ë =, ë ôáõôüôçôá, áí ë =, áäýíáôç. ë + â) Áí ë, ôüôå x =, áí ë =, áäýíáôç. ë+ 4 ë 8ë 4 ã) Áí ë, ôüôå x =, áí ë = ë 4 áäýíáôç. ë ä) Áí ë, ôüôå x =, áí ë =, áäýíáôç. 6(ë ) ë 7. á) Áí ë ±4, ôüôå x =, áí ë = 4, ôáõôüôçôá, áí ë + 4 ë = 4, áäýíáôç. â) Áí ë ±, ôüôå x =, áí ë =±, ôáõôüôçôá. (ë )(ë 4) ã) Áí ë ±, ôüôå x =, áí ë =±, áäýíáôç. (ë )(ë + ) ä) Áí ë ±, ôüôå x =, áí ë = ±, ôáõ 4 (ë + )(ë + ) ôüôçôá. ë+ ì 8. á) Áí ë ì, ôüôå x =, áí ë = ì = 0, ôáõôüôçôá, ë ì áí ë = ì 0, áäýíáôç. ë â) Áí ë ±ì, ôüôå x =, áí ë = ì, ôáõôüôçôá, ë ì áí ë = ì = 0, ôáõôüôçôá, áí ë = ì 0, áäýíáôç. ì 6ë ã) Áí ì ë, ôüôå x =, áí (ì, ë) = (0, 0) Þ ë + ì (ì, ë) =,, ôáõôüôçôá, áí ì = ë 0 Þ ì = ë, áäýíáôç. ì 6ë ä) Áí ì ë, ôüôå x =, ë ì áí (ì, ë) = 7,, ôáõôüôçôá, áí ì = ë 7, áäýíáôç. ë ì å) x = Áñêåß ç åîßóùóç íá åßíáé ôáõôüôçôá, á = ë = ë = Áñêåß íá åßíáé ôáõôüôçôá êáé (ë,ì) =,. 6. (ë, ì) = (, ). 4. ë ±, ïðüôå x =. ë 4 8. á) AM = cm, â) AM = cm. 6. m. 7. 6, Ýôç. nrt PV Q 8. á) P =, R =, â) Äè =. V nt mc m õ õ 9. á) m = d V, V =, â) t = 0, d á Fd m m ã) m =, d= G. Gm F õ õ 40. ñþóç ôïõ á = 0 êáé ðñüîåéò. t åõñþ êáé.0 åõñþ. 4. Á : 0 ëßôñá êáé  : 40 ëßôñá. 4. Áãüñéá:, êïñßôóéá: Áãüñéá:, êïñßôóéá:. 4., þñåò.

23 algevra-a-lykeiou-kef qxd 9/8/00 9:00 Page ÊÅÖÁËÁÉÏ ï: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ êë 46. Áí ë ±ê, ôüôå x =, áí ë = ê 0, áäýíáôç, ë + ê áí ë = ê, ôáõôüôçôá. 47. á = á â 48. Áí á â, ôüôå x =, á â áí á = â 0, ôáõôüôçôá. 49. á) x =, â) x = Þ x =. á â 0. á) x = â, â) x = Þ ôáõôüôçôá áí á = â = 0. á â â. á) x = Þ x = á â Þ x =, â â) x = Þ x = â Þ x = â.. x = 6, Üñá áäýíáôç.. Áí ë 0, ôüôå x = ë, áí ë = 0, ëýóç êüèå x á) Áí ë <, áäýíáôç, áí ë, ôüôå ± (ë ) x =, â) áí ë, áäýíáôç, áí ë >, ôüôå ± x=. ë 7. x = Þ x = x = 0 Þ x = y = Þ y = á) x =, â) x =, ã) x = 4, ä) x =, å) x =, 69 óô) x =, æ) x = y = 4, x =, x = A = x, B =, x = ± Þ x =.

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò

Διαβάστε περισσότερα

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ. ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé

Διαβάστε περισσότερα

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ . Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé

Διαβάστε περισσότερα

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.) ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) 44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ 28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ .1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr 2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,

Διαβάστε περισσότερα

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò 50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé

Διαβάστε περισσότερα

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)

Διαβάστε περισσότερα

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. 55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð

Διαβάστε περισσότερα

Estimation Theory Exercises*

Estimation Theory Exercises* Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò

Διαβάστε περισσότερα

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò

Διαβάστε περισσότερα

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï 5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim 3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç

1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ

Διαβάστε περισσότερα

Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò

Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç

Διαβάστε περισσότερα

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò

Διαβάστε περισσότερα

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá. ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé

Διαβάστε περισσότερα

Chi-Square Goodness-of-Fit Test*

Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá

Διαβάστε περισσότερα

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.

Διαβάστε περισσότερα

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò

Διαβάστε περισσότερα

272. = V 1 V 2. + V í. = n 2. n 1. > c 2 > V 1 V 1. = c 2. c 1

272. = V 1 V 2. + V í. = n 2. n 1. > c 2 > V 1 V 1. = c 2. c 1 271. 4.4 ÓõãêÝíôñùóç äéáëýìáôïò Áðáñáßôçôåò ãíþóåéò Èåùñßáò ÓõãêÝíôñùóç Þ ìïñéáêüôçôá êáô üãêï äéáëýìáôïò Þ Ìïlarity: Åßíáé ç Ýêöñáóç ôçò ðåñéåêôéêüôçôáò ðïõ åêöñüæåé ôïí áñéè ìü ôùí mol ôçò äéáëõìýíçò

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá

Διαβάστε περισσότερα

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá... ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï

Διαβάστε περισσότερα

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Union of Pure and Applied Chemistry).

Union of Pure and Applied Chemistry). .5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé

Διαβάστε περισσότερα

6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí

6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Çëåêôñïëïãßáò ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 22/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. (i Õðïëïãßóôå ôçí óåéñü Fourier S f (x ôçò óõíáñôþóåùò (18 ìïí. { ; < x f(x

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò 4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò

Διαβάστε περισσότερα

ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò

ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,

Διαβάστε περισσότερα

1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò

1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò 1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò óå üëç ôçí ýëç ÖõóéêÞò. à ôüîç ÊáèçãçôÞò: ¼íïìá: Âáèìüò: ÈÅÌÁ 1ï Åéê. 1 A. -2ìC ç Á êáé +2ìC ç  -1ìC ç Á êáé -1ìC ç  -9ìC ç Á êáé -9ìC ç  D. +1ìC ç Á êáé +1ìC ç  ÅðéëÝîôå ôç

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁ 1ï. ÈÅÌÁ 2ï. ÈÅÌÁ 3ï. Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ:

ÈÅÌÁ 1ï. ÈÅÌÁ 2ï. ÈÅÌÁ 3ï. Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: Çì/íßá: ÈÅÌÁ 1ï Äýï áõôïêßíçôá Á êáé Â êéíïýíôáé ìå ìýóåò ôá ýôçôåò 60km/h êáé 90km/h êáé äéáíýïõí

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí

Διαβάστε περισσότερα

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ

ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ ΔΗΜΟΣ: ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ ΟΙΚΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ÏÉÊÉÓÌÏÓ ÐÑÏÓÏ Ç: ÄåäïìÝíïõ üôé ðñüêåéôáé ãéá ðáñáäïóéáêü ïéêéóìü, ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò áîßáò ôùí áêéíþôùí äåí åöáñìüæïíôáé ïé óõíôåëåóôýò ðñüóïøçò:

Διαβάστε περισσότερα

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï

1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé

Διαβάστε περισσότερα

ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ

ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ

Διαβάστε περισσότερα

Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας

Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåô

ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåô 11544 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 11545 ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåôáé

Διαβάστε περισσότερα

6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)

6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ÐñïâëÞìáôá ìå ðïóïóôü ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

5.2 ÐñïâëÞìáôá ìå ðïóïóôü ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ 5. ÐñïâëÞìáôá ìå ðïóïóôü 141 5. ÐñïâëÞìáôá ìå ðïóïóôü Åñþ ôçóç 1 Ôß ïíïìüæïõìå ðïóïóôü; ÁðÜíôçóç ÐïóïóôÜ (Þ ðïóïóôü åðé ôïéò åêáôü) ïíïìüæïíôáé ôá êëüóìá- α ôá ôçò ìïñöþò, üðïõ á öõóéêüò Þ äåêáäéêüò áñéèìüò.

Διαβάστε περισσότερα

¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí

¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ÈåñìïóôÜôçò ÓõíôÞñçóçò REF-DF-SM ÅëÝã åé Ýíá èåñìïóôïé åßï PTC Êëßìáêá èåñìïêñáóßáò: -19? +99 C ëåã ïò áðüøõîçò - dfrst Ôñßá ñåëý: óõìðéåóôþò (30Á, 2ÇÑ),

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá

Διαβάστε περισσότερα

Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description Grade Level Curriculum Keywords

Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description Grade Level Curriculum Keywords &#922&#943&#957&#948&#965&#957&#959&#953 &#963&#964&#959 facebook WebQuest Description: &#932&#959 Facebook &#949&#943&#957&#945&#953 &#941&#957&#945&#962 &#953&#963&#964&#959&#967&#974&#961&#959&#962

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας

Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 1ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ÌÜèçìá 10ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ

ÌÜèçìá 10ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ ÌÜèçìá 0ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ Ç ðëçèþñá ôùí äåíäñéêþí äïìþí åßíáé ãíùóôþ áðü ôï ìüèçìá ôùí Äïìþí ÄåäïìÝíùí. Óôï ìüèçìá áõôü èá ðñïóåããßóïõìå êáé ðüëé ìåñéêýò äïìýò äýíäñùí ìå óêïðü ìßá ôõðéêüôåñç áíüëõóç

Διαβάστε περισσότερα

3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)

3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).

Διαβάστε περισσότερα

Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!

Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò

Διαβάστε περισσότερα

V 1 V 2 = P 2 , V 2

V 1 V 2 = P 2 , V 2 55. 4.3 Íüìïé ôùí áåñßùí Áðáñáßôçôåò ãíþóåéò Èåùñßáò ¼ëåò ïé ïõóßåò óôçí áýñéá öõóéêþ êáôüóôáóç óõìðåñéöýñïíô áé ìå ôïí ßäéï ôñüðï êáé éäéáßôåñá üóïí áöïñü ôçí óõìðåñéöïñü ôïõò óôéò ìåôáâïëýò ôçò ðßåóçò,

Διαβάστε περισσότερα

ÕÄÑÏËÇØÉÅÓ ÔÕÐÏÕ Á2 - Á4 ÌÅ ÁÍÔÉÐÁÃÅÔÉÊÇ ÐÑÏÓÔÁÓÉÁ

ÕÄÑÏËÇØÉÅÓ ÔÕÐÏÕ Á2 - Á4 ÌÅ ÁÍÔÉÐÁÃÅÔÉÊÇ ÐÑÏÓÔÁÓÉÁ ÕÄÑÏËÇØÉÅÓ ÔÕÐÏÕ Á - Á ÌÅ ÁÍÔÉÐÁÃÅÔÉÊÇ ÐÑÏÓÔÁÓÉÁ Ç ÅÕÄÏÓ ÁÂÅÅ êáôáóêåõüæåé õäñïëçøßåò Üñäåõóçò ôýðïõ SCHLUMBERGER ïé ïðïßåò áíôáðïêñßíïíôáé ðëþñùò ðñïò ôéò äéåèíåßò ðñïäéáãñáöýò, êáôáóêåõüæïíôáé ìå Þ ùñßò

Διαβάστε περισσότερα

Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí

Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí

Διαβάστε περισσότερα

245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ).

245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ). ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ F 661 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 72 28 Éáíïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. Ä14/48529 ãêñéóç Ôéìïëïãßïõ Åñãáóôçñéáêþí êáé åðß Ôüðïõ Äïêéìþí ôïõ ÊÅÄÅ. OI ÕÐÏÕÑÃÏÉ

Διαβάστε περισσότερα

11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ

11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ 1 . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ÅÐÉÐËÙÍ Σύντομη αναδρομή στην ιστορία της. Η εταιρία Salice, πρωτοπόρος στον τομέα των χωνευτών μεντεσέδων επίπλων, παράγει μια πολύ μεγάλη γκάμα μεντεσέδων και μηχανισμών

Διαβάστε περισσότερα

ÄåóìåõìÝíç ðéèáíüôçôá êáé áíåîáñôçóßá ÁóêÞóåéò

ÄåóìåõìÝíç ðéèáíüôçôá êáé áíåîáñôçóßá ÁóêÞóåéò ÄåóìåõìÝíç ðéèáíüôçôá êáé áíåîáñôçóßá ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr 9 Ìáñôßïõ 010 óêçóç 1 (Ross, Exer. 3.9): Èåùñïýìå 3 êüëðåò. Ç êüëðç Á ðåñéý åé ëåõêü êáé 4 êüêêéíá óöáéñßäéá, ç êüëðç

Διαβάστε περισσότερα

11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ

11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ 1 . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ÅÐÉÐËÙÍ Σύντομη αναδρομή στην ιστορία της. Η εταιρία Salice, πρωτοπόρος στον τομέα των χωνευτών μεντεσέδων επίπλων, παράγει μια πολύ μεγάλη γκάμα μεντεσέδων και μηχανισμών

Διαβάστε περισσότερα

ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý

ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý Çëåêôñéêü ðåäßï.10 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí.. ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß..... öïñôßï äý åôáé......11 íá óçìåéáêü çëåêôñéêü öïñôßï äçìéïõñãåß

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ. Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012

ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ. Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012 ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012 Τετάρτη, 12 Σεπτεμβρίου, Πανελλαδική Συγκέντρωση στη Πλατεία Κλαυθμώνος, στις 11.00 π.μ. Πορεία

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá

ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá 1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ

ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ

ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé

ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé Íéêüëáò ÊÜñáëçò Á/Ì : 91442 ÔìÞìá 1ï 28 Óåðôåìâñßïõ, 26 1 ìåóåò ÌÝèïäïé 1.1 Åñþôçìá 1 ñçóéìïðïéþíôáò ôçí gauss.m êáé ôçí herm5.m,

Διαβάστε περισσότερα

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á. ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç

ÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé

Διαβάστε περισσότερα

ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009

ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç

Διαβάστε περισσότερα

Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Ã ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ:

Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Ã ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Ã ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: Çì/íßá: ÈÅÌÁ 1ï Óõìðëçñþóôå ìå ôç óùóôþ Þ ôéò óùóôýò ðñïôüóåéò ôçí ðáñáêüôù öñüóç: Ç çëåêôñéêþ ðçãþ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας.

ΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας. ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 23 Φεβρουαρίου 2005 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕ.ΧΩ..Ε. Αρ.Πρωτ. 17α/10/22/ΦΝ 437 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜ. ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΡΟΓ/ΤΟΣ /ΝΣΗ ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤ/ΣΜΟΥ &

Διαβάστε περισσότερα

Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ

Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ ÔÏ ÅÑÃÏ ÓÕà ÑÇÌÁÔÏÄÏÔÅÉÔÁÉ ÁÐÏ ÔÏ ÅÕÑÙÐÁÉÊÏ ÊÏÉÍÙÍÉÊÏ ÔÁÌÅÉÏ ÊÁÉ ÁÐÏ ÅÈÍÉÊÏÕÓ ÐÏÑÏÕÓ Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí ìå Ýìöáóç óôçí ÐëçñïöïñéêÞ,

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò

Διαβάστε περισσότερα

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Åðéêáëýðôïíôá ÄÝíôñá

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Åðéêáëýðôïíôá ÄÝíôñá Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Åðéêáëýðôïíôá ÄÝíôñá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Ïñéóìüò êáé

Διαβάστε περισσότερα

Üóêçóç 15. ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò

Üóêçóç 15. ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò Óôü ïé ôçò Üóêçóçò äéüñêåéá Üóêçóçò: 6 äéäáêôéêýò þñåò Óôï ôýëïò ôçò Üóêçóçò ïé ìáèçôýò èá åßíáé éêáíïß: é íá áíáãíùñßæïõí ôá åîáñôþìáôá

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí 3.1.1 Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΣ ΑΓΚΑΙΡΙΑΣ ΟΙΚΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ÏÉÊÉÓÌÏÓ. 2) Για τουριστικές εγκαταστάσεις και για εγκαταστάσεις οργανισμών κοινής ωφελείας:

ΠΑΡΟΣ ΑΓΚΑΙΡΙΑΣ ΟΙΚΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ÏÉÊÉÓÌÏÓ. 2) Για τουριστικές εγκαταστάσεις και για εγκαταστάσεις οργανισμών κοινής ωφελείας: ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΔΙΑΜΕΡΙΣΜΑ: ΑΓΚΑΙΡΙΑΣ ΑΓΚΑΙΡΙΑΣ ΟΙΚΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ÏÉÊÉÓÌÏÓ ÐÑÏÓÏ Ç: ÄåäïìÝíïõ üôé ðñüêåéôáé ãéá ðáñáäïóéáêü ïéêéóìü, ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò áîßáò ôùí áêéíþôùí äåí åöáñìüæïíôáé ïé óõíôåëåóôýò

Διαβάστε περισσότερα