Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)

Transcript

1 Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια)

2 Ορθογωνικότητα Ιδιομορφών Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-2 Μία από τις σπουδαιότερες ιδιότητες των ιδιομορφών είναι η ορθογωνικότητα τους ως προς τα μητρώα μάζας [m] και ακαμψίας [k]. Η ιδιότητααυτήεκφράζεταιωςακολούθως: { φ } { φ } k = 0 για { φ } { φ } m = 0 για (20)

3 Ορθογωνικότητα Ιδιομορφών (...) Απόδειξη της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-3 Η ιδιοσυχνότητα και ιδιομορφή ικανοποιούν την εξίσωση 2 { φ } = ω m { φ } [ k] [ ] (21a) Αντίστοιχα, η ιδιοσυχνότητα και ιδιομορφή ικανοποιούν την εξίσωση 2 { φ } = ω m { φ } [ k] [ ] (21b) Παίρνοντας τον ανάστροφο κάθε μέλους της εξίσωσης (21a) έχουμε 2 φ [ k] = ω φ [ m] { } { } (21a ) Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (21b) με { φ } έχουμε 2 { φ } [ k] { φ } = ω { φ } [ m] { φ } (21b )

4 Ορθογωνικότητα Ιδιομορφών (...) Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-4 Αντικαθιστώντας την εξίσωση (21a ) στην (21b ) παίρνουμε Επομένως, για ω ω, πρέπει { } [ m] { } = { } [ m] { } 2 2 ( ω ω ){ φ} [ m] { φ} ω φ φ ω φ φ = { } [ ]{ } 0 φ m φ = Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται η ορθογωνικότητα των ιδιομορφών ως προς το μητρώο ακαμψίας [k].

5 Γραμμική Ανεξαρτησία Ιδιομορφών Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-5 Μία δεύτερη βασική ιδιότητα των ιδιομορφών είναι η γραμμική ανεξαρτησία τους, δηλαδή ο γραμμικός συνδυασμός των ιδιομορφών ισούται με μηδέν όταν και μόνο όταν όλοι οι σταθεροί συντελεστές ισούνται με μηδέν: { φ} { φ } K { φ } c + c + + c = 0 μόνο όταν c = c = K = c = (22) Απόδειξη της γραμμικής ανεξαρτησίας των ιδιομορφών Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (22) με φ [ m] παίρνουμε { } 0 0 { φ } [ ]{ φ} K { φ } [ ]{ φ } K { φ } [ ]{ φ } c m + + c m + + c m = Λόγω της ορθογωνικότητας, εξίσωση (20), όλοι οι όροι μηδενίζονται εκτός από τον όρο c { φ } [ m] { φ }

6 Πολυβάθμια Συστήματα: Γραμμική Ανεξαρτησία Ιδιομορφών (...) Δ21-6 Επειδή το μητρώο [m] είναι θετικά ορισμένο, το γινόμενο φ [ m] φ δεν μπορεί να είναι μηδέν και επομένως εξάγεται το συμπέρασμα ότι c =0. { } { } Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι όλοι οι υπόλοιποι συντελεστές c j ισούνται με μηδέν.

7 Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-7 Μητρώα Γενικευμένης Μάζας και Γενικευμένης Ακαμψίας Ως απόρροια της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών, τα μητρώα μάζας [m] και ακαμψίας [k] μπορούν να μετασχηματιστούν, με χρήση του μητρώου [Φ], ώστε να προκύψουν διαγώνια μητρώα γενικευμένης μάζας [m*] και γενικευμένης ακαμψίας [k*]. Μητρώο γενικευμένης (ή ιδιομορφικής) μάζας [m * ]: m = Φ m Φ * (23) με διαγώνια στοιχεία m = { φ } [ m] { φ } * (24)

8 Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-8 Μητρώα Γενικευμένης Μάζας και Γενικευμένης Ακαμψίας Μητρώο γενικευμένης (ή ιδιομορφικής) ακαμψίας [k * ]: με διαγώνια στοιχεία k = Φ k Φ k * = { φ } [ k] { φ } * (25) (26) Τα διαγώνια στοιχεία των μητρώων [m*] και [k*] συνδέονται με τη σχέση k = ω m * 2 * (27a) απ όπου προκύπτει η ιδιοσυχνότητα ω ως ω = k m * * (27b) Τα διαγώνια στοιχεία των μητρώων [m*] και [k*] είναι θετικά αφού τα μητρώα [m] και [k] είναι θετικά ορισμένα (positive defiite).

9 Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-9 Μητρώα Γενικευμένης Μάζας και Γενικευμένης Ακαμψίας Ο μετασχηματισμός αυτός είναι σημαντικός στην επίλυση του προβλήματος ταλάντωσης των πολυβάθμιων ελαστικών συστημάτων, καθώς μετατρέπει το συζευγμένο σύστημα εξισώσεων (λόγω του μη-διαγώνιου μητρώου ακαμψίας [k]) σε ένα ασύζευκτο σύστημα (με διαγώνια μητρώα γενικευμένης μάζας [m*] και γενικευμένης ακαμψίας [k*]).

10 Κανονικοποίηση Ιδιομορφών Πολυβάθμια Συστήματα:Δ21-10 Όπως αναφέραμε προηγουμένως, το πρόβλημα ιδιοτιμών δεν προσδιορίζει τα διανύσματα {φ } μονοσήμαντα, αλλά μόνο τη μορφή των διανυσμάτων ως σχέσεις αναλογίας μεταξύ των συνιστωσών τους φ j (j=1,2,,). Δηλαδή, αν το διάνυσμα {φ } είναι ιδιομορφή, τότε κάθε διάνυσμα πολλαπλάσιο του {φ } αποτελεί ουσιαστικά την ίδια ιδιομορφή, καθώς ικανοποιεί την εξίσωση 2 { φ } ω { φ } Με άλλα λόγια, οι ιδιομορφές είναι διανύσματα που έχουν γνωστή διεύθυνση αλλά απροσδιόριστο μέτρο. Επομένως, υιοθετείται συχνά μια διαδικασία κανονικοποίησης των ιδιομορφών. Συνήθεις μέθοδοι κανονικοποίησης είναι: Κανονικοποίηση κάθε ιδιομορφής ώστε το μέγιστο στοιχείο της να ισούται με ένα. Κανονικοποίηση κάθε ιδιομορφής ώστε το στοιχείο που αντιστοιχεί σε συγκεκριμένο β.ε., για παράδειγμα στην οροφή πολυώροφου κτιρίου, να ισούται με ένα. [ k] = [ m] = 12,,,

11 Κανονικοποίηση Ιδιομορφών Πολυβάθμια Συστήματα:Δ21-11 Κανονικοποίηση κάθε ιδιομορφής ως προς το μητρώο μάζας, * ώστε το να ισούται με ένα. ή m { φ } { φ } * m = [ m] = =,,, (28a) Φ m Φ = I (28b) όπου [Ι] το μοναδιαίο μητρώο. Η κανονικοποίηση των ιδιομορφών σύμφωνα με την εξίσωση (28) είναι συνήθης σε προγράμματα υπολογιστών και καλείται ορθοκανονικοποίηση ως προς τη μάζα. Η ορθοκανονικοποίηση της ιδιομορφής {φ } γίνεται διαιρώντας όλα τα στοιχεία της με * : { ˆ } { } m 1 1 φ = φ = φ * m { } { } { } φ [ m] φ

12 Πολυβάθμια Συστήματα:Δ21-12 Έκφραση της Απόκρισης {u(t)} συναρτήσει των Ιδιομορφών Ως αποτέλεσμα της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών, το μητρώο μετατόπισης {u(t)} μπορεί να παρασταθεί ως επαλληλία των ιδιομορφών {φ }. Με άλλα λόγια, οι ιδιομορφές του συστήματος αποτελούν μια διανυσματική ορθογώνια βάση για την ανάπτυξη του διανύσματος {u(t)}: { ut ()} = q() t { φ} + q() t { φ } + K + q() t { φ } = q() t { φ } = Φ { qt ()} = 1 (29) όπου q είναι βαθμωτοί πολλαπλασιαστές και ονομάζονται ιδιομορφικές ή γενικευμένες συντεταγμένες. Με δοσμένο διάνυσμα {u(t)} και με γνωστές τις ιδιομορφές {φ }, οι γενικευμένες συντεταγμένες q μπορούν να υπολογιστούν πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (29) με { φ } : m ( ) { φ } { } = { φ } { φ } m u() t m q () t = 1 (30)

13 Πολυβάθμια Συστήματα:Δ21-13 Έκφραση της Απόκρισης {u(t)} συναρτήσει των Ιδιομορφών Βάσει της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών, όλοι οι όροι του αθροίσματος είναι μηδενικοί εκτός του όρου που αντιστοιχεί σε =. Άρα: και επομένως q ( ) { φ } { } = { φ } { φ } m u() t m q () t { φ} { } { φ } m { φ } { φ } { } m u() t m = = u() t () t * m (31) (32) Συμπερασματικά, το διάνυσμα {u(t)} ενός πολυβάθμιου συστήματος μπορεί να εκφραστεί, σε κάθε χρονική στιγμή t, ως ένας γραμμικός συνδυασμός των ιδιομορφών του με συντελεστές τις γενικευμένες συντεταγμένες q.

14 Πολυβάθμια Συστήματα:Δ21-14 Απόκριση σε Ελεύθερη Ταλάντωση Χωρίς Απόσβεση Η εξίσωση κίνησης ενός πολυβάθμιου συστήματος που ταλαντώνεται ελεύθερα χωρίς απόσβεση, λόγω επιβαλλόμενων αρχικών μετατοπίσεων (0) ή/και ταχυτήτων u&(0), είναι { u } { } {&&} + { } = { 0} m u k u (33) Επειδή οι ιδιομορφές είναι γραμμικώς ανεξάρτητες, η απόκριση {u(t)} μπορεί να εκφραστεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός των ιδιομορφών του συστήματος: = = = 1 { ut ()} q() t { φ } q() t { φ } K q() t { φ } q() t { φ } (34) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (34) στην εξίσωση (33) παίρνουμε m q&& () t k q() t = 1 = 1 { φ } + { φ } = { 0} (35)

15 Πολυβάθμια Συστήματα:Δ21-15 Απόκριση σε Ελεύθερη Ταλάντωση Χωρίς Απόσβεση (...) Αν πολλαπλασιάσουμε όλα τα μέλη της εξίσωσης (35) με προκύπτει { φ} m q&& () t { φ} + { φ} k q() t { φ} = 0 = 1 = 1 (36) { φ } και λαμβάνοντας υπόψη τις συνθήκες ορθογωνικότητας, έχουμε { φ } m { φ } q&& () t { φ } k { φ } q () t 0 + = * * mq&& ( t) + kq( t) = 0 = 1, 2, K, (37) * * όπου m και k παριστάνουν τη γενικευμένη μάζα και τη γενικευμένη ακαμψία της -στης ιδιομορφής. Έτσι οι συζευγμένες εξισώσεις του φυσικού συστήματος συντεταγμένων, εξ. (33), ανάγονται σε ασύζευκτες εξισώσεις στο γενικευμένο σύστημα συντεταγμένων. Δηλαδή, η απόκριση ενός Ν-βάθμιου συστήματος ανάγεται σε γραμμικό συνδυασμό (εξ. (34)) Ν μονοβάθμιων συστημάτων (εξ.(37)).

16 Πολυβάθμια Συστήματα:Δ21-16 Απόκριση σε Ελεύθερη Ταλάντωση Χωρίς Απόσβεση (...) Η εξίσωση (37), η οποία γράφεται και στη μορφή q&& t + ω q t = = K 2 ( ) ( ) 0 1, 2,, (38) περιγράφει τη δυναμική συμπεριφορά ενός μονοβάθμιου συστήματος σε ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση του οποίου η λύση ισούται με q() 0 q() t = A cosωt + B si ωt = q()cos 0 ωt + & siωt ω (39) Οι αρχικές συνθήκες στο γενικευμένο σύστημα μπορούν να εκφραστούν ως προς τις αρχικές συνθήκες στο φυσικό σύστημα βάσει της Εξ. (32): q () 0 = { φ} m { u() 0 } { φ } m { φ } q& () 0 = { φ } { & m u() 0 } { φ } m { φ } (40)

17 Πολυβάθμια Συστήματα:Δ21-17 Απόκριση σε Ελεύθερη Ταλάντωση Χωρίς Απόσβεση (...) Άρα, η απόκριση ενός πολυβάθμιου συστήματος που ταλαντώνεται ελεύθερα χωρίς απόσβεση δίνεται από τη σχέση { ut ()} = q() t { φ } = ( A cosω t+ B siω t){ φ } = 1 = 1 q& () 0 = q( 0)cos ωt + siωt φ = 1 ω { } (41) όπου οι αρχικές συνθήκες στο γενικευμένο σύστημα q () 0 και q& () 0 δίνονται από την εξίσωση (40). Η μέθοδος που ακολουθήθηκε πιο πάνω για την επίλυση του προβλήματος ελεύθερης ταλάντωσης πολυβάθμιου συστήματος χωρίς απόσβεση, ονομάζεται μέθοδος επαλληλίας των ιδιομορφών. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται και για την ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση αλλά και για την εξαναγκασμένη ταλάντωση πολυβάθμιου συστήματος.

18 Πολυβάθμια Συστήματα:Δ21-18 Απόκριση σε Ελεύθερη Ταλάντωση Με Απόσβεση Η εξίσωση κίνησης ενός πολυβάθμιου συστήματος που ταλαντώνεται ελεύθερα με απόσβεση, λόγω επιβαλλόμενων αρχικών μετατοπίσεων (0) ή/και ταχυτήτων u&(0), είναι Όπως και προηγουμένως, η απόκριση{u(t)} μπορεί να εκφραστεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός των ιδιομορφών του συστήματος: Αντικαθιστώντας την εξίσωση (43) στην εξίσωση (42) και πολλαπλασιάζοντας με φ παίρνουμε { u } { } {&&} + { &} + { } = { 0} m u c u k u { ut () } = q () t { φ } = Φ { qt () } = 1 { } = 1 = 1 { φ } m q&& () t { φ } + { φ } c q& () t { φ } + { φ} k q() t { φ} = 0 = 1 (42) (43) (44)

19 Πολυβάθμια Συστήματα:Δ21-19 Απόκριση σε Ελεύθερη Ταλάντωση Με Απόσβεση (...) Λαμβάνονταςυπόψητιςσυνθήκεςορθογωνικότητας 1, έχουμε { φ } m { φ } q&& () t + { φ } c { φ } q& () t + { φ } k { φ } q () t = 0 mq * && ( t) + cq * & ( t) + kq * ( t) = 0 = 1, 2, K, (45) * * * όπου m, k και c παριστάνουν τη γενικευμένη μάζα, τη γενικευμένη ακαμψία και την γενικευμένη απόσβεση της -στης ιδιομορφής. Το μητρώο [c * ] ορίζεται από τη σχέση c = Φ c Φ * (46) 1 Θεωρούμε ότι ισχύει η ορθογωνικότητα των ιδιομορφών και ως προς τα μητρώο απόσβεσης [c]. Η ιδιότητα αυτή εκφράζεται ως ακολούθως: { } { } 0 για φ c φ = (47)

20 Πολυβάθμια Συστήματα:Δ21-20 Απόκριση σε Ελεύθερη Ταλάντωση Με Απόσβεση (...) Η εξίσωση (45), η οποία γράφεται και στη μορφή q&& t + ζωq& t + ωq t = = K 2 ( ) 2 ( ) ( ) 0 1, 2,, (48) περιγράφει τη δυναμική συμπεριφορά ενός μονοβάθμιου συστήματος σε ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση του οποίου ηλύσηισούταιμε ζ () 0 () 0 ω q& () t + ζω q q t = e q()cos 0 ωdt + siωdt ωd (49) όπου οι αρχικές συνθήκες στο γενικευμένο σύστημα q 0 & () και q() 0 δίνονται από την εξίσωση (40) και ω D είναι η αποσβεσμένη ιδιοσυχνότητα της -στης ιδιομορφής: ω = ω 1 ζ 2 D (50)

21 Πολυβάθμια Συστήματα:Δ21-21 Απόκριση σε Ελεύθερη Ταλάντωση Με Απόσβεση (...) Άρα, η απόκριση ενός πολυβάθμιου συστήματος που ταλαντώνεται ελεύθερα με απόσβεση δίνεται από τη σχέση { ut ()} = q() t { φ } = 1 ζω & () 0 + ζω () 0 t q q = e q()cos 0 ωdt + siωdt φ = 1 ωd { } (51) Αυτή είναι η λύση του προβλήματος ελεύθερης ταλάντωσης ενός πολυβάθμιου συστήματος με κλασική απόσβεση. Στην περίπτωση αυτή το μητρώο [c] είναι διαγώνιο, εξού και οι Ν ασύζευκτες διαφορικές εξισώσεις (εξίσωση (48)).