Βασικές αρχές εκπαίδευσης ΤΝΔ: το perceptron. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων
|
|
- Ελευθέριος Δράκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Βασικές αρχές εκπαίδευσης ΤΝΔ: το perceptron
2 Βιολογικός Νευρώνας Δενδρίτες, που αποτελούν τις γραμμές εισόδου των ερεθισμάτων (βιολογικών σημάτων) Σώμα, στο οποίο γίνεται η συσσώρευση των ερεθισμάτων και ο καθορισμός της διέγερσης του νευρώνα. Νευροάξονας, που αποτελεί τη γραμμή εξόδου του νευρώνα. Σύναψη, που είναι το σημείο διασύνδεσης μεταξύ δύο νευρώνων. δενδρίτες σώμα νευροάξονας συνάψεις Έχει παρατηρηθεί ότι το σήμα που εξέρχεται από το νευροάξονα ενός νευρώνα και εισέρχεται στο δενδρίτη του άλλου νευρώνα διαμορφώνεται κατά ένα ποσοστό που σχετίζεται με την ισχύ της σύναψης που ονομάζεται συναπτικό δυναμικό.
3 Συναπτικό Δυναμικό Το συναπτικό δυναμικό μπορεί να ενισχύει (θετικό) ή να καταστέλλει (αρνητικό) το σήμα εξόδου. Η γνώση μας είναι αποθηκευμένη στις τιμές των συναπτικών δυναμικών. Μάθηση στα βιολογικά συστήματα είναι η μεταβολή των συναπτικών δυναμικών. Οσο περισσότερο χρησιμοποιείται μια σύναψη τόσο ενισχύεται το δυναμικό της.
4 Τεχνητός Νευρώνας (neuron) x 1 x 0 =1 συνάρτηση ενεργοποίησης x 2 w 1 w 0 w 2 u g(u) o (έξοδος) w d x d d είσοδοι, σήμα εισόδου x i (i=1,,d) βάρη εισόδων w i, (i=1,,d) πόλωση w 0 τιμή βάρους μιας σύνδεσης που η είσοδός της είναι μόνιμα στην τιμή 1
5 Τεχνητός Νευρώνας (neuron) Ο υπολογισμός σε δύο στάδια: υπολογισμός της συνολικής εισόδου (ενεργοποίηση): d u(x)= w x +w i=1 i i 0 υπολογισμός της εξόδου o(x) του νευρώνα περνώντας την συνολική είσοδο u(x) από μια συνάρτηση ενεργοποίησης (activation function) o(x)=g(u) νευρώνας εσωτερικού γινομένου u(x)=w T x +w 0
6 Τεχνητός νευρώνας Εναλλακτική διατύπωση: Διάνυσμα βαρών: w=(w 1, w 2,, w d ) Τ Εκτεταμένο (extended) διάνυσμα βαρών: w e =(w 0, w 1, w 2,, w d ) Τ Εκτεταμένο (extended) διάνυσμα εισόδου: x e =(1, x 1, x 2,, x d ) Τ u(x)=w et x e <====> u(x)=w T x +w 0
7 Συναρτήσεις ενεργοποίησης Βηματική Συνάρτηση (ή συνάρτηση κατωφλίου): Η συνάρτηση ενεργοποίησης στο βιολογικό νευρώνα Χαρακτηρίζεται από δύο τιμές a και b. Αν x<0 τότε g(x)=a και εάν x>0 τότε g(x)=b. Συνήθως χρησιμοποιούνται οι τιμές a=0 και b=1 είτε a=-1 και b=1. Για x=0 υπάρχει ασυνέχεια και μπορούμε κατά σύμβαση να αναθέσουμε είτε την τιμή a είτε την τιμή b. Η βηματική συνάρτηση έχει το μειονέκτημα ότι η παράγωγός της είναι μηδέν. Δεδομένου ότι μάθηση στα ΤΝΔ είναι η μεταβολή των τιμών των βαρών και μεταβολή σχετίζεται με την παράγωγο, η βηματική συνάρτηση δεν θεωρείται βολική ως συνάρτηση ενεργοποίησης των νευρώνων στα ΤΝΔ
8 Συναρτήσεις ενεργοποίησης Σιγμοειδείς συναρτήσεις Έχουν μορφή τελικού σίγμα Αποτελούν συνεχείς και παραγωγίσιμες προσεγγίσεις της βηματικής. Στο όριο που η κλίση γίνεται πολύ μεγάλη, η σιγμοειδής γίνεται βηματική. Δύο βασικοί τύποι: 1) Λογιστική: σ(x)=1/(1+exp(-ax)) (a: κλίση, συνήθως a=1) δίνει τιμές στο (0,1) σ (x)=σ(x)(1-σ(x)) σ (x)=σ(x)(1-σ(x))(1-2σ(x)) Μπορούμε να υπολογίσουμε την παράγωγο σ (x) ξέροντας μόνο το σ(x) χωρίς να χρειάζεται η τιμή του x.
9 Συναρτήσεις ενεργοποίησης 2) Υπερβολική εφαπτομένη: tanh(x)= ax -ax e -e ax -ax e +e (a: κλίση, συνήθως a=1) δίνει τιμές στο (-1,1) tanh (x)=1-tanh 2 (x) Γραμμική συνάρτηση g(x)=x, g (x)=1 δίνει τιμές στο R
10 Ερώτηση Εάν σε κάποιο σημείο η λογιστική συνάρτηση έχει τιμή 0.6, ποια η τιμή της πρώτης παραγώγου της σε αυτό το σημείο; Ποια η τιμή της δεύτερης παραγώγου στο ίδιο σημείο; σ (x)=σ(x)(1-σ(x))=0.24 σ (x)=σ(x)(1-σ(x))(1-2σ(x))= Ερώτηση Με βάση τη λογιστική συνάρτηση σ(x), να ορίσετε μια σιγμοειδή συνάρτηση ενεργοποίησης η οποία να δίνει τιμές στο διάστημα (a,b), όπου a, b πραγματικοί αριθμοί. g 1 (x)=(b a)*σ(x) (τιμές στο (0,b-a) g 2 (x)=a+(b-a)*σ(x) (τιμές στο (a,b))
11 Από τον τεχνητό νευρώνα στο ΤΝΔ Διασυνδέοντας τεχνητούς νευρώνες ορίζουμε τεχνητά νευρωνικά δίκτυα. Η αρχιτεκτονική (τρόπος διασύνδεσης) και ο τύπος των νευρώνων (π.χ. το είδος της συνάρτησης ενεργοποίησης που χρησιμοποιούν) καθορίζονται κάθε φορά από τον τύπο του προβλήματος μάθησης που θέλουμε να αντιμετωπίσουμε.
12 ΤΝΔ Πρόσθιας Τροφοδότησης (feedforward) Οι υπολογισμοί σε μία κατεύθυνση: από την είσοδο προς την έξοδο Υλοποιούν στατικές απεικονίσεις εισόδου-εξόδου x 1 x 2 y 1 y 2 x d y p Επίπεδο εισόδου Κρυμμένο επίπεδο Επίπεδο εξόδου
13 Ασκηση: Να ορίσετε την αρχιτεκτονική ενός ΤΝΔ με δύο εισόδους x 1, x 2 και μία έξοδο o το οποίο να υλοποιεί τη συνάρτηση: o(x 1,x 2 )=3σ(3x 1-2x 2 +7)-σ(-5x 1 +x 2-4)+6 Σε κάθε λογιστική συνάρτηση σ(u) αντιστοιχίζουμε ένα νευρώνα με λογιστική συνάρτηση ενεργοποίησης. Το όρισμα κάθε λογιστικής είναι συνάρτηση των εισόδων του νευρώνα και μας παρέχει τις τιμές των βαρών εισόδου στο νευρώνα αυτόν. Οι έξοδοι των δύο σιγμοειδών νευρώνων πολλαπλασιάζονται με συντελεστές βάρους και αθροίζονται για να δώσουν την έξοδο του ΤΝΔ. Άρα στην έξοδο έχουμε ένα νευρώνα με γραμμική συνάρτηση ενεργοποίησης. Για όλους τους νευρώνες οι σταθερές που προστίθενται αποτελούν τις πολώσεις των νευρώνων
14 o(x 1,x 2 )=3σ(3x 1-2x 2 +7)-σ(-5x 1 +x 2-4)+6 x 0 =1 x x 2 1 σ(u) σ(u) -1 g(u)=u o -4 x 0 =1
15 Επαναληπτικά ΤΝΔ (recurrent) Συνδέσεις ανάδρασης από την έξοδο προς την είσοδο δυναμικά συστήματα (εξελίσσονται στο χρόνο) x 1 x 2 y 1 y 2 x d y p σύνδεση ανάδρασης
16 Το perceptron To αρχαιότερο και απλούστερο νευρωνικό δίκτυο Ενας μόνο νευρώνας εσωτερικού γινομένου με βηματική συνάρτηση ενεργοποίησης x 1 x 0 =1 x 2 w 2 w 1 w 0 u o x d w d d u(x)= w x +w i=1 i i 0 ο(x)=1 εάν u(x)>0 και ο(x)=-1 εάν u(x)<0. Τι δυνατότητες έχει το perceptron;
17 Eξίσωση υπερεπιπέδου Τα σημεία x=(x 1,,x d ) Τ που ικανοποιούν την εξίσωση: d wix i+w 0=0 i=1 ορίζουν ένα υπερεπίπεδο Η(w) στον R d x 2 u(x 1,x 2 ) (x 1, x 2 ) u(x 1, x 2 )>0 d u(x) w x +w i=1 i i 0 Yπερεπίπεδο στον R 2 (ευθεία γραμμή). u(x 1,x 2 )<0 w 0 / w x 1 u(x 1,x 2 )=w 1 x 1 + w 2 x 2 +w o =0
18 Εξίσωση υπερεπιπέδου Για x=(x 1,,x d ) Τ η απόλυτη τιμή u(x) δηλώνει την απόσταση του σημείου x από το υπερεπίπεδο H(w). Tο υπερεπίπεδο χωρίζει το χώρο R d σε δύο ημιχώρους. Για όλα τα σημεία x που ανήκουν στον ένα ημιχώρο ισχύει u(x)>0 (θετικός ημιχώρος) Για όλα τα σημεία x που ανήκουν στον άλλο ημιχώρο ισχύει u(x)<0 (αρνητικός ημιχώρος).
19 Γεωμετρική Ερμηνεία για Perceptron Ενα perceptron με διάνυσμα βαρών w ορίζει ένα υπερεπίπεδο H(w) Δοθέντος ενός διανύσματος εισόδου x υπολογίζει το u(x) και παρέχει έξοδο o(x)=1 εάν το x ανήκει στο θετικό ημιχώρο (u(x)>0) o(x)=-1 εάν το x ανήκει στον αρνητικό ημιχώρο (u(x)<0). Η έξοδος o(x) δηλώνει τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το x σε σχέση με το υπερεπίπεδο Η(w). Δεδομένου ότι εκπαίδευση στα ΤΝΔ είναι η ρύθμιση των βαρών, η εκπαίδευση του perceptron ανάγεται στον καθορισμό του υπερεπιπέδου ώστε να λύνεται κάποιο πρόβλημα.
20 Γραμμική Διαχωρισιμότητα Ένα σύνολο δεδομένων δύο κατηγοριών ονομάζεται γραμμικά διαχωρίσιμο, εάν υπάρχει υπερεπίπεδο που διαχωρίζει τις κατηγορίες. Δηλαδή αφήνει όλα τα πρότυπα της μιας κατηγορίας στο θετικό ημιχώρο και όλα τα πρότυπα της άλλης κατηγορίας στον αρνητικό ημιχώρο. Αν δεν ικανοποιείται η παραπάνω ιδιότητα το σύνολο δεδομένων ονομάζεται μη γραμμικά διαχωρίσιμο. Το διαχωριστικό υπερεπίπεδο εάν υπάρχει δεν είναι μοναδικό.
21 Γραμμική Διαχωρισιμότητα μη γραμμικό όριο απόφασης γραμμικό όριο απόφασης C 1 C 2 C 1 C 2
22 Γραμμική Διαχωρισιμότητα Ένα σύνολο δεδομένων δύο κατηγοριών ονομάζεται διαχωρίζεται από την ευθεία y=5x+4. Ποιο είναι το perceptron που λύνει αυτό το πρόβλημα; Τα δεδομένα είναι στον R 2 (δύο είσοδοι: x 1, x 2 ) x 2 = 5 x x 1 - x = 0 w 1 = 5, w 2 = -1, w 0 = 4
23 Εκπαίδευση Perceptron To perceptron μπορεί να χρησιμοποιηθεί για προβλήματα ταξινόμησης δύο κατηγοριών παρέχοντας έξοδο 1 για δεδομένα της μιας κατηγορίας και έξοδο -1 για δεδομένα της δεύτερης κατηγορίας. Η εκπαίδευση του perceptron συνίσταται στην εύρεση του διαχωριστικού υπερεπιπέδου Η(w). Μάθηση είναι η μεταβολή των βαρών μεταβολή της θέσης του υπερεπιπέδου.
24 Κωδικοποίηση Κατηγοριών X={(x n,c(x n )), n=1,,n} σύνολο παραδειγμάτων εκπαίδευσης (διάστασης d) δύο κατηγοριών x n =(x n1,,x nd ) T C(x n ) δηλώνει την κατηγορία (C 1 ή C 2 ) του x n. Στα ΤΝΔ η έξοδος είναι αριθμητική Το C(x n ) είναι συμβολική πληροφορία Χρειάζεται η συμβολική πληροφορία να μετατραπεί σε αριθμητική. Κωδικοποίηση κατηγοριών: καθορισμός τιμών-στόχων t για τις κατηγορίες: C 1 t=1, C 2 t=-1 {(x n,c(x n ))} {(x n,t n )}, όπου t n =1 εάν C(x n )=C 1 και όπου t n =-1 εάν C(x n )=C 2.
25 Εκπαίδευση perceptron με διόρθωση σφάλματος X={(x n, t n ), n=1,,n} σύνολο παραδειγμάτων εκπαίδευσης (διάστασης d) δύο κατηγοριών x n =(x n1,,x nd ) T t n = 1 ή -1 Στόχος της εκπαίδευσης: εύρεση των βαρών ώστε o(x n )=t n, για κάθε n=1,,ν Εκπαίδευση: μεταβολή των βαρών (δηλ. του διαχωριστικού υπερεπιπέδου) ώστε να διορθώνονται τα σφάλματα. Αρχικά επιλέγεται ένα τυχαίο διάνυσμα βαρών δηλαδή μια τυχαία θέση του διαχωριστικού υπερεπιπέδου. Με αυτή την τυχαία επιλογή, κάποια από τα δεδομένα x n θα ταξινομούνται σωστά (o(x n )=t n ) και κάποια λάθος (o(x n ) t n ). Σε κάθε επανάληψη του αλγορίθμου εκπαίδευσης επιλέγεται ένα παράδειγμα εκπαίδευσης (x n,t n ), εφαρμόζεται ως είσοδος στο perceptron και υπολογίζεται η έξοδος ο.
26 Εκπαίδευση perceptron με διόρθωση σφάλματος Σωστή ταξινόμηση του x n : δεν υπάρχει κάποιος λόγος να αλλάξουμε τις τιμές των βαρών. Λάθος ταξινόμηση: το x n βρίσκεται από τη λάθος πλευρά σε σχέση με το διαχωριστικό υπερεπίπεδο. Για το λόγο αυτό μεταβάλουμε τα βάρη, δηλ. μετακινούμε το διαχωριστικό υπερεπίπεδο, στην κατεύθυνση διόρθωσης του σφάλματος. Ο στόχος είναι είτε το δεδομένο να βρεθεί από την άλλη πλευρά σε σχέση με το υπερεπίπεδο είτε να παραμείνει σε λάθος πλευρά αλλά να μειωθεί η απόστασή του από το υπερεπίπεδο (έτσι ώστε σε επόμενη επανάληψη να τοποθετηθεί στη σωστή πλευρά). Αποδεικνύεται ότι εάν το σύνολο εκπαίδευσης είναι γραμμικά διαχωρίσιμο, η επαναληπτική διαδικασία θα εντοπίσει ένα σωστό διαχωριστικό υπερεπίπεδο σε πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων και θα τερματίσει.
27 Αλγόριθμος Εκπαίδευσης perceptron με διόρθωση σφάλματος Έστω w e (k) το εκτεταμένο διάνυσμα βαρών του perceptron και (x(k),t(k)) το παράδειγμα εκπαίδευσης που χρησιμοποιείται για την εκπαίδευση του percreptron κατά την επανάληψη k. Αρχικοποίηση: Θέτουμε k=0, δίνουμε στα βάρη w i (0) κάποιες τυχαία επιλεγμένες αρχικές τιμές (συνήθως στο (-1,1)) και καθορίζουμε την τιμή του ρυθμού μάθησης n (n>0). O ρυθμός μάθησης καθορίζει το πόσο μεγάλες ή μικρές θα είναι οι μεταβολές στις τιμές των βαρών (τυπική τιμή n=0.1)
28 Αλγόριθμος Εκπαίδευσης perceptron με διόρθωση σφάλματος Σε κάθε επανάληψη k εκτελούμε τα ακόλουθα βήματα: - Επιλογή κάποιου παραδείγματος εκπαίδευσης (x(k),t(k)), εφαρμογή του x e (k) ως είσοδο στο perceptron και υπολογισμός της εξόδου ο(k)=g(w et (k)x e (k)). 2. Ενημέρωση του διανύσματος βαρών του perceptron σύμφωνα με τον κανόνα διόρθωσης σφάλματος: w e (k+1) = w e (k)+ n[t(k) - o(k)]x e (k) (διανυσματική μορφή) ή w i (k+1) = w i (k)+ n [t(k) - o(k)]x i (k) (i=1,,d), w 0 (k+1) = w 0 (k)+ n [t(k) - o(k)] 3. k:=k+1
29 Αλγόριθμος Εκπαίδευσης perceptron με διόρθωση σφάλματος Αποδεικνύεται ότι εάν το σύνολο εκπαίδευσης είναι γραμμικά διαχωρίσιμο και όλα τα παραδείγματα χρησιμοποιούνται για την εκπαίδευση, ο αλγόριθμος σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων θα καταλήξει σε τιμές βαρών που θα ταξινομούν σωστά όλα τα παραδείγματα εκπαίδευσης ανεξάρτητα από την τιμή του ρυθμού μάθησης (που πρέπει πάντα να είναι θετική).
30 Γιατί διορθώνονται τα σφάλματα; Έστω ο(k)=-1 και t(k)=1 t(k) - o(k) = 2 Iσχύει ότι u(k)<0 και επιθυμούμε u(k+1)> u(k). u(k+1) = w et (k+1) x e (k) = [w et (k) + 2 n x et (k)] x e (k) = u(k) + 2 x et (k) x e (k) > u(k) δεδομένου ότι x et (k) x e (k)= x e (k) 2 >0 και n>0. Έστω ο(k)=1 και t(k)=-1 t(k) - o(k) = - 2 Iσχύει ότι u(k)>0 και επιθυμούμε u(k+1) < u(k). u(k+1) = w et (k+1) x e (k) = [w et (k) - 2 n x et (k)] x e (k) = u(k) - 2 x et (k) x e (k) < u(k) δεδομένου ότι x et (k) x e (k)= x e (k) 2 >0 και n>0.
31 Αλγόριθμος Εκπαίδευσης perceptron με διόρθωση σφάλματος Σε ότι αφορά την επιλογή του παραδείγματος εκπαίδευσης που χρησιμοποιείται σε κάποια επανάληψη, αυτή μπορεί να γίνεται τυχαία, αλλά συνήθως χρησιμοποιούμε τα παραδείγματα διαδοχικά το ένα μετά το άλλο (έτσι εξασφαλίζουμε ότι όλα χρησιμοποιούνται για εκπαίδευση ίσο αριθμό φορών). Όταν ολοκληρωθεί ένας κύκλος εκπαίδευσης κατά τον οποίο όλα τα παραδείγματα έχουν διαδοχικά χρησιμοποιηθεί μια φορά το καθένα για την ενημέρωση των βαρών ενός ΤΝΔ λέμε ότι έχει συμπληρωθεί μια εποχή (epoch).
32 Αλγόριθμος Εκπαίδευσης perceptron με διόρθωση σφάλματος Tερματισμός του αλγορίθμου: όταν όλα τα παραδείγματα εκπαίδευσης έχουν δοκιμαστεί (εποχή) και δεν προκύπτει κανένα σφάλμα ταξινόμησης. Αυτό θα συμβεί μόνο στην περίπτωση που το σύνολο εκπαίδευσης είναι γραμμικά διαχωρίσιμο. Στην αντίθετη περίπτωση ο αλγόριθμος δεν τερματίζει διότι το υπερεπίπεδο δεν επαρκεί ως επιφάνεια διαχωρισμού. Δεν μπορούμε γνωρίζουμε εκ των προτέρων εάν ένα σύνολο παραδειγμάτων είναι γραμμικά διαχωρίσιμο. Για τον τερματισμό του αλγορίθμου διόρθωσης σφάλματος μετράμε τον αριθμό των σφαλμάτων σε κάθε εποχή. Εάν αυτός δεν μηδενιστεί για κάποιο μέγιστο αριθμό εποχών σταματάμε.
33 Αλγόριθμος Εκπαίδευσης perceptron με διόρθωση σφάλματος Το perceptron δεν μπορεί να λύσει το πρόβλημα XOR. x 2 (0,1) C 2 C 1 (1,1) C 1 C 2 (0,0) x 1 (1,0)
Το Πολυεπίπεδο Perceptron. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων
Το Πολυ Perceptron Δίκτυα Πρόσθιας Τροφοδότησης (feedforward) Tο αντίστοιχο γράφημα του δικτύου δεν περιλαμβάνει κύκλους: δεν υπάρχει δηλαδή ανατροφοδότηση της εξόδου ενός νευρώνα προς τους νευρώνες από
Διαβάστε περισσότεραΕκπαίδευση ΤΝΔ με ελαχιστοποίηση του τετραγωνικού σφάλματος εκπαίδευσης. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν.
Εκπαίδευση ΤΝΔ με ελαχιστοποίηση του τετραγωνικού σφάλματος εκπαίδευσης Ελαχιστοποίηση συνάρτησης σφάλματος Εκπαίδευση ΤΝΔ: μπορεί να διατυπωθεί ως πρόβλημα ελαχιστοποίησης μιας συνάρτησης σφάλματος E(w)
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 2015-2016 Τεχνητή Νοημοσύνη Νευρώνας Perceptron Διδάσκων: Τσίπουρας Μάρκος Εκπαιδευτικό Υλικό: Τσίπουρας Μάρκος Τζώρτζης Γρηγόρης Περιεχόμενα Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΤο μοντέλο Perceptron
Το μοντέλο Perceptron Αποτελείται από έναν μόνο νευρώνα McCulloch-Pitts w j x x 1, x2,..., w x T 1 1 x 2 w 2 Σ u x n f(u) Άνυσμα Εισόδου s i x j x n w n -θ w w 1, w2,..., w n T Άνυσμα Βαρών 1 Το μοντέλο
Διαβάστε περισσότεραΔΙΚΤΥO RBF. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων
ΔΙΚΤΥO RBF Αρχιτεκτονική δικτύου RBF Δίκτυα RBF: δίκτυα συναρτήσεων πυρήνα (radial basis function networks). Πρόσθιας τροφοδότησης (feedforward) για προβλήματα μάθησης με επίβλεψη. Εναλλακτικό του MLP.
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 5 o Φροντιστήριο
Πρόβλημα ο Ασκήσεις Φροντιστηρίου 5 o Φροντιστήριο Δίνεται το παρακάτω σύνολο εκπαίδευσης: # Είσοδος Κατηγορία 0 0 0 Α 2 0 0 Α 0 Β 4 0 0 Α 5 0 Β 6 0 0 Α 7 0 Β 8 Β α) Στον παρακάτω κύβο τοποθετείστε τα
Διαβάστε περισσότεραΣέργιος Θεοδωρίδης Κωνσταντίνος Κουτρούμπας. Version 2
Σέργιος Θεοδωρίδης Κωνσταντίνος Κουτρούμπας Verson ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΩΝ ΤΑΞΙΝΟΜΗΤΩΝ Ταξινομητές Ταξινομητές συναρτ. διάκρισης Ταξινομητές επιφανειών απόφ. Παραμετρικοί ταξινομητές Μη παραμετρικοί
Διαβάστε περισσότεραΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΜΑΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ. Καραγιώργου Σοφία
ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΜΑΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Καραγιώργου Σοφία Εισαγωγή Προσομοιώνει βιολογικές διεργασίες (π.χ. λειτουργία του εγκεφάλου, διαδικασία
Διαβάστε περισσότερα4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές
Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. 19η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.
Τεχνητή Νοημοσύνη 19η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτές βασίζονται σε ύλη των βιβλίων: Artificia Inteigence A Modern Approach των S. Russe και P.
Διαβάστε περισσότεραΣυσχετιστικές Μνήμες Δίκτυο Hopfield. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων
Συσχετιστικές Μνήμες Δίκτυο Hopfield Συσχετιστική Μνήμη Η ανάκληση ενός γεγονότος σε μία χρονική στιγμή προκαλείται από τη συσχέτιση αυτού του γεγονότος με κάποιο ερέθισμα. Πολλές φορές επίσης καλούμαστε
Διαβάστε περισσότεραΣέργιος Θεοδωρίδης Κωνσταντίνος Κουτρούμπας. Version 2
Σέργιος Θεοδωρίδης Κωνσταντίνος Κουτρούμπας Verson 2 1 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΩΝ ΤΑΞΙΝΟΜΗΤΩΝ Ταξινομητές Ταξινομητές συναρτ. διάκρισης Ταξινομητές επιφανειών απόφ. Παραμετρικοί ταξινομητές Μη παραμετρικοί
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Νοημοσύνη. Μάθημα 4: Μάθηση στον απλό τεχνητό νευρώνα (2)
Υπολογιστική Νοημοσύνη Μάθημα 4: Μάθηση στον απλό τεχνητό νευρώνα (2) Ο κανόνας Δέλτα για συνεχείς συναρτήσεις ενεργοποίησης (1/2) Για συνεχείς συναρτήσεις ενεργοποίησης, θα θέλαμε να αλλάξουμε περισσότερο
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλο Perceptron πολλών στρωμάτων Multi Layer Perceptron (MLP)
Μοντέλο Perceptron πολλών στρωμάτων Multi Layer Perceptron (MLP) x -0,5 a x x 2 0 0 0 0 - -0,5 y y 0 0 x 2 -,5 a 2 θ η τιμή κατωφλίου Μία λύση του προβλήματος XOR Multi Layer Perceptron (MLP) x -0,5 Μία
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα. Τσιριγώτης Γεώργιος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας & Θράκης
Τεχνητά Τσιριγώτης Γεώργιος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας & Θράκης Ο Βιολογικός Νευρώνας Δενδρίτες Συνάψεις Πυρήνας (Σώμα) Άξονας 2 Ο Βιολογικός Νευρώνας 3 Βασικά Χαρακτηριστικά
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012
ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ Δίνονται τα εξής πρότυπα: [ ] [ ] [ ] [ ] Άσκηση η (3 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ομοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό με βάση το συντελεστή συσχέτισης. (γράψτε ποιο
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ ΔΙΚΤΥA LVQ και SOM. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων
ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ ΔΙΚΤΥA LVQ και SOM Μάθηση χωρίς επίβλεψη (unsupervised learning) Σύνολο εκπαίδευσης D={(x n )}, n=1,,n. x n =(x n1,, x nd ) T, δεν υπάρχουν τιμές-στόχοι t n. Προβλήματα μάθησης χωρίς
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. TMHMA ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Εξάμηνο 5ο Οικονόμου Παναγιώτης & Ελπινίκη Παπαγεωργίου. Νευρωνικά Δίκτυα.
Τεχνητή Νοημοσύνη. TMHMA ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Εξάμηνο 5ο Οικονόμου Παναγιώτης & Ελπινίκη Παπαγεωργίου. Νευρωνικά Δίκτυα. 1 ΤΕΧΝΗΤΑ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Χαρακτηριστικά Είδη εκπαίδευσης Δίκτυα
Διαβάστε περισσότερα3. O ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ PERCEPTRON
3. O ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ PERCEPRON 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Το Perceptron είναι η απλούστερη μορφή Νευρωνικού δικτύου, το οποίο χρησιμοποιείται για την ταξινόμηση ενός ειδικού τύπου προτύπων, που είναι γραμμικά διαχωριζόμενα.
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΔΕ. 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012
ΔΕ. ΙΟΥΝΙΟΥ Δίνονται τα εξής πρότυπα: [ ] [ ] [ ] [ ] Άσκηση η ( μονάδες) Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ομοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό με βάσει το συντελεστή συσχέτισης. (γράψτε ποιο χαρακτηριστικό
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων Ι
Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 2: Δομικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΜάθηση και Γενίκευση. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων
Μάθηση και Γενίκευση Το Πολυεπίπεδο Perceptron (MultiLayer Perceptron (MLP)) Έστω σύνολο εκπαίδευσης D={(x n,t n )}, n=1,,n. x n =(x n1,, x nd ) T, t n =(t n1,, t np ) T Θα πρέπει το MLP να έχει d νευρώνες
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Νοημοσύνη. Μάθημα 6: Μάθηση με Οπισθοδιάδοση Σφάλματος Backpropagation Learning
Υπολογιστική Νοημοσύνη Μάθημα 6: Μάθηση με Οπισθοδιάδοση Σφάλματος Backpropagation Learning Κεντρική ιδέα Τα παραδείγματα μάθησης παρουσιάζονται στο μηεκπαιδευμένο δίκτυο και υπολογίζονται οι έξοδοι. Για
Διαβάστε περισσότεραΑνδρέας Παπαζώης. Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων
Ανδρέας Παπαζώης Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων Περιεχόμενα Εργ. Μαθήματος Βιολογικά Νευρωνικά Δίκτυα Η έννοια των Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων Η δομή ενός νευρώνα Διαδικασία εκπαίδευσης Παραδείγματα απλών
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων Ι
Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 1: Μέθοδοι Αναγνώρισης Προτύπων Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων Ι
Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 4: Νευρωνικά Δίκτυα στην Ταξιμόμηση Προτύπων Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 4 o Φροντιστήριο
Ασκήσεις Φροντιστηρίου 4 o Φροντιστήριο Πρόβλημα 1 ο Ο πίνακας συσχέτισης R x του διανύσματος εισόδου x( στον LMS αλγόριθμο 1 0.5 R x = ορίζεται ως: 0.5 1. Ορίστε το διάστημα των τιμών της παραμέτρου μάθησης
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διαλέξεις 15-16
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διαλέξεις 15-16 Νευρωνικά Δίκτυα(Neural Networks) Fisher s linear discriminant: Μείωση διαστάσεων (dimensionality reduction) y Τ =w x s + s =w S w 2 2 Τ 1 2 W ( ) 2 2 ( ) m2
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Γραμμικές Συναρτήσεις Διάκρισης. ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Βλάμος Π. Αυλωνίτης Μ. ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ: Γραμμικές Συναρτήσεις Διάκρισης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Βλάμος Π. Αυλωνίτης Μ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΔρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης
Μάθημα 4 ο Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης 2016-2017 Διευρυμένη Υπολογιστική Νοημοσύνη (ΥΝ) Επεκτάσεις της Κλασικής ΥΝ. Μεθοδολογίες
Διαβάστε περισσότεραΣέργιος Θεοδωρίδης Κωνσταντίνος Κουτρούμπας. Version 2
Σέργιος Θεοδωρίδης Κωνσταντίνος Κουτρούμπας Verson ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΤΕΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Η παραπάνω ανάλυση ήταν χρήσιμη προκειμένου να κατανοήσουμε τη λογική των δικτύων perceptrons πολλών επιπέδων
Διαβάστε περισσότεραΣέργιος Θεοδωρίδης Κωνσταντίνος Κουτρούμπας. Version 2
Σέργιος Θεοδωρίδης Κωνσταντίνος Κουτρούμπας Verson ΜΙΑ ΣΥΜΒΑΣΗ: Προκειμένου να καταστήσουμε πιο συμπαγή το συμβολισμό H : ορίζουμε Ετσι έχουμε *=[ ] an *=[ ]. H : * * ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στη συνέχεια εκτός αν ορίζεται
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις μελέτης της 19 ης διάλεξης
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 19 ης διάλεξης 19.1. Δείξτε ότι το Perceptron με (α) συνάρτηση ενεργοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 3ο Φροντιστήριο
Ασκήσεις Φροντιστηρίου 3ο Φροντιστήριο Πρόβλημα 1 ο Το perceptron ενός επιπέδου είναι ένας γραμμικός ταξινομητής προτύπων. Δικαιολογήστε αυτή την πρόταση. x 1 x 2 Έξοδος y x p θ Κατώφλι Perceptron (στοιχειώδης
Διαβάστε περισσότεραΣέργιος Θεοδωρίδης Κωνσταντίνος Κουτρούμπας. Version 2
Σέργιος Θεοδωρίδης Κωνσταντίνος Κουτρούμπας Verson ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΩΝ ΤΑΞΙΝΟΜΗΤΩΝ Ταξινομητές Ταξινομητές συναρτ. διάκρισης Ταξινομητές επιφανειών απόφ. Παραμετρικοί ταξινομητές Μη παραμετρικοί
Διαβάστε περισσότεραΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #12: Εισαγωγή στα Nευρωνικά Δίκτυα. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #12: Εισαγωγή στα Nευρωνικά Δίκτυα Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Νευρώνες. Κυριακίδης Ιωάννης 2013
Εισαγωγή στους Νευρώνες Κυριακίδης Ιωάννης 2013 Τι είναι τα Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα; Είναι μια προσπάθεια μαθηματικής προσομοίωσης της λειτουργίας του ανθρώπινου εγκεφάλου. Είναι ένα υπολογιστικό μοντέλο
Διαβάστε περισσότεραΜη γραµµικοί ταξινοµητές Νευρωνικά ίκτυα
KEΣ 3 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας Μη γραµµικοί ταξινοµητές Νευρωνικά ίκτυα ΤµήµαΕπιστήµης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης
Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo
Διαβάστε περισσότερα2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5
IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων
Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. 18η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.
Τεχνητή Νοημοσύνη 18η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται: στο βιβλίο Machine Learning του T. Mitchell, McGraw- Hill, 1997,
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων Ι
Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 3: Στοχαστικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ
ΘΕΜΑ 1 ο (2,5 μονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Πέμπτη 21 Ιουνίου 2012 16:30-19:30 Υποθέστε ότι θέλουμε
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 2ο Φροντιστήριο
Ασκήσεις Φροντιστηρίου 2ο Φροντιστήριο Πρόβλημα ο Ο κανόνας δέλτα που περιγράφεται από την παρακάτω ισότητα n) ηe n)x και ο κανόνας του Hebb που περιγράφεται από την επόμενη ισότητα n) ηy x αποτελούν δύο
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. 17η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.
Τεχνητή Νοημοσύνη 17η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται: στο βιβλίο Artificia Inteigence A Modern Approach των S. Russe και
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗΣ
ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗΣ Κατευθυνόμενη ταξινόμηση (supervsed cassfcaton) Μη-κατευθυνόμενη ταξινόμηση (unsupervsed cassfcaton) Γραμμική: Lnear Dscrmnant Anayss Μη- Γραμμική: Νευρωνικά δίκτυα κλπ. Ιεραρχική
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2 Για τυχόν παρατηρήσεις, απορίες ή λάθη που θα βρείτε, στείλτε μου
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Τρεις αλγόριθμοι μηχανικής μάθησης ΠΜΣ Λογιστική Χρηματοοικονομική και Διοικητική Επιστήμη ΤΕΙ Ηπείρου @ 2018 Μηχανική μάθηση αναγνώριση προτύπων Η αναγνώριση προτύπων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές μέθοδοι
Επαναληπτικές μέθοδοι Η μέθοδος της διχοτόμησης και η μέθοδος Regula Fals που αναφέραμε αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzano, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσεις του διαστήματος [α, b] στο οποίο,
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή
Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΜΥ 795: ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2010-11 Χειµερινό Εξάµηνο Τελική εξέταση Τρίτη, 21 εκεµβρίου 2010,
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 6 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότερα(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac
Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008
Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) είναι σημεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα & Περιβάλλον
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πληροφοριακά Συστήματα & Περιβάλλον Ενότητα 8: Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα Παναγιώτης Λεφάκης Δασολογίας & Φυσικού Περιβάλλοντος Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότερα4. Ο αισθητήρας (perceptron)
4. Ο αισθητήρας (perceptron) Σκοπός: Προσδοκώµενα αποτελέσµατα: Λέξεις Κλειδιά: To µοντέλο του αισθητήρα (perceptron) είναι από τα πρώτα µοντέλα νευρωνικών δικτύων που αναπτύχθηκαν, και έδωσαν µεγάλη ώθηση
Διαβάστε περισσότεραΜη Συµβολικές Μέθοδοι
Μη Συµβολικές Μέθοδοι! Η Συµβολική (symbolic AI): # Προσοµοιώνει τον τρόπο σκέψης του ανθρώπου, χρησιµοποιώντας ως δοµικές µονάδες τα σύµβολα. # Ένα σύµβολο µπορεί να αναπαριστά µία έννοια ή µία σχέση
Διαβάστε περισσότερα1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1
1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου
Διαβάστε περισσότεραΑ.Τ.Ε.Ι ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ 4
Α.Τ.Ε.Ι ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ 4 ΤΟ ΔΙΚΤΥΟ PERCEPTRON I. Αρχιτεκτονική του δικτύου Το δίκτυο Perceptron είναι το πρώτο νευρωνικό δίκτυο το οποίο
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διαλέξεις 15 16 Λογιστική παλινδρόμηση (Logistic regression) Νευρωνικά Δίκτυα (Neural Networks) g ( x) = w x+ w T k k k0 1 ( T T WLS = X X) X T= X T Γραμμικές διαχωριστικές
Διαβάστε περισσότεραΤάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε
Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικοί Ταξινοµητές
ΚΕΣ 3: Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας KEΣ 3 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας Γραµµικοί Ταξινοµητές ΤµήµαΕπιστήµης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου 7 Ncolas sapatsouls
Διαβάστε περισσότεραΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει
Διαβάστε περισσότερα2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων
. Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΑνδρέας Παπαζώης. Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων
Ανδρέας Παπαζώης Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων Περιεχόμενα Εργ. Μαθήματος Εκπαίδευση (μάθηση) Νευρωνικών Δικτύων Απλός αισθητήρας Παράδειγμα εκπαίδευσης Θέματα υλοποίησης Νευρωνικών Δικτύων 2/17 Διαδικασία
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση
Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 4: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότερα3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή
Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΜΥ 795: ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2010-11 Χειμερινό Εξάμηνο Practice final exam 1. Έστω ότι για
Διαβάστε περισσότεραΔίκτυα Perceptron. Κυριακίδης Ιωάννης 2013
Δίκτυα Perceptron Κυριακίδης Ιωάννης 2013 Αρχιτεκτονική του δικτύου Το δίκτυο Perceptron είναι το πρώτο νευρωνικό δίκτυο το οποίο θα κατασκευάσουμε και στη συνέχεια θα εκπαιδεύσουμε προκειμένου να το χρησιμοποιήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση σε μία διάσταση
Κίνηση σε μία διάσταση ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 1 q Ανακεφαλαιώνοντας θέσης τροχιάς μετατόπισης Δx = x f - x i, χρονικού διαστήματος Δ = f i, μέση ταχύτητα v = x x στιγμιαία ταχύτητα x v = lim " = d x d παράγωγος
Διαβάστε περισσότεραδίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.
3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο Μάθημα 2 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη γραμμικές) Μέθοδοι με διαδοχικές δοκιμές σε διάστημα (Διχοτόμησης, Regula-Falsi) Μέθοδοι με επαναληπτικούς
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότερα3. Γραμμικά Συστήματα
3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,
Διαβάστε περισσότεραπ (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική 2. Τεχνητή νοημοσύνη
Πληροφορική 2 Τεχνητή νοημοσύνη 1 2 Τι είναι τεχνητή νοημοσύνη; Τεχνητή νοημοσύνη (AI=Artificial Intelligence) είναι η μελέτη προγραμματισμένων συστημάτων τα οποία μπορούν να προσομοιώνουν μέχρι κάποιο
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.
Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...
Διαβάστε περισσότεραΣέργιος Θεοδωρίδης Κωνσταντίνος Κουτρούμπας. Version 2
Σέργιος Θεοδωρίδης Κωνσταντίνος Κουτρούμπας Verson 2 1 C MH ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΤΕΣ ΒΑΣΙΣΜΕΝΟΙ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΑΠΟΦΑΣΗΣ Υπενθύμιση: είναι το σύνολο δεδομένων που περιέχει τα διαθέσιμα δεδομένα από όλες
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΣύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.
Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραQR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)
ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.
Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. 1. Ποιά από τα παρακάτω σύνολα είναι συμπαγή; Μία κλειστή μπάλα, μία ανοικτή μπάλα, ένα ανοικτό ορθ. παραλληλεπίπεδο, ένα ευθ. τμήμα (στον R n ), μία
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 03, 12 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι - Γενική θεωρία 2. Η μέθοδος του Newton
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΜΑΤΑ σε ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ
ηµήτρης Ψούνης ΠΛΗ3, Απαντήσεις Quiz σε ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ σε ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ Μάθηµα 3. ΕΡΩΤΗΜΑ Ένας αισθητήρας µπορεί να µάθει: a. εδοµένα που ανήκουν σε 5 διαφορετικές κλάσεις. b. εδοµένα που ανήκουν
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραX = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}.
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 4 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 26/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 4 26/2/2014 1 / 12 Υποσύνολα ενός διανυσματικού χώρου. Πότε είναι ένα υποσύνολο X ενός
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Προγραμματισμού Η/Υ
Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Πληροφορική και Υπολογιστική Βιοϊατρική Θέματα Προγραμματισμού Η/Υ Ενότητα 1: Εισαγωγή Θεματική Ενότητα: Εισαγωγή στον Προγραμματισμό ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Η/Υ Θεματική
Διαβάστε περισσότερα