Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 3 η : Δυναμικά Χαρακτηριστικά Τυπικών Συστημάτων Ευστάθεια Δυναμικών Συστημάτων. Παναγιώτης Σεφερλής

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Δυναμικά Χαρακτηριστικά Τυπικών Συστημάτων Ευστάθεια Δυναμικών Συστημάτων Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχναικών 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχναικών 3

4 Δυναμικά χαρακτηριστικά τυπικών συστημάτων Ευστάθεια δυναμικών συστημάτων Στόχοι του κεφαλαίου Χαρακτηριστικά μεγέθη απόκρισης δυναμικών συστημάτων ης, 2 ης και ανώτερης τάξης, με καθυστέρηση χρόνου και με θετικά μηδενικά. Εμπειρική αναγνώριση συστημάτων. Προσδιορισμός και κατανόηση ευστάθειας δυναμικών γραμμικών συστημάτων. Εκτίμηση ευστάθειας δυναμικών συστημάτων. 4

5 Δυναμικά χαρακτηριστικά τυπικών συστημάτων Ευστάθεια δυναμικών συστημάτων Περίληψη του κεφαλαίου Προσεγγιστικός υπολογισμός τυπικών μεγεθών συστημάτων. Προσδιορισμός μοντέλων από δυναμικά δεδομένα. Ορισμός ευστάθειας δυναμικών συστημάτων. Κριτήριο ευστάθειας Rοuth-Hurwitz. Ευστάθεια σε σύστημα κλειστού βρόχου. 5

6 Δυναμικά χαρακτηριστικά συστημάτων Γενικευμένη μορφή συνάρτησης μεταφοράς. Μηδενικά συστήματος. ( ) = K ( s- z ) s- z 2 ( s- p ) s- p 2 G s ( ) s- z m ( ) s- p n ( ) ( ) Πόλοι (ρίζες) συστήματος. Με το σύστημα αυτόματου ελέγχου επιδιώκεται η μεταβολή των πόλων του συστήματος ώστε να επιτευχθεί η επιθυμητή δυναμική συμπεριφορά. 6

7 Ποιοτική ανάλυση δυναμικής συμπεριφοράς Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα μερικών κλασμάτων η συνάρτηση μεταφοράς φέρεται στην ακόλουθη μορφή. = Y s G s X s q s p s X s C s α C s α Έστω a i οι ρίζες του παρονομαστή της συνάρτησης μεταφοράς, p(s) =. α t α2t Y t A A e A e... B B t B t... e Πραγματικά, διακριτά a i p q... C cos ωt C sin ωt e... 2 Μιγαδικά a i a q είναι Re{a i } αt αt Πραγματικά, επαναλαμβανόμενα a p 7

8 Ποιοτική ανάλυση δυναμικής συμπεριφοράς α t α2t Y t A A e A e... B B t B t... e p q... C cos ωt C sin ωt e Αν όλοι οι πόλοι a i έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος, τότε όλοι οι εκθετικοί όροι τείνουν στο μηδέν με το χρόνο και η Υ(t) συγκλίνει σε πεπερασμένη τιμή. Αν έστω ένας πόλος a i που έχει θετικό πραγματικό μέρος, τότε ο αντίστοιχος όρος απειρίζεται με το χρόνο και συνεπώς και η Y(t). 2. Αν όλοι οι πόλοι a i είναι πραγματικοί, τότε η Y(t) δεν ταλαντώνεται. Αν έστω υπάρχει ένα ζεύγος πόλων a i που είναι μιγαδικοί, τότε η Y(t) ταλαντώνεται περιοδικά. αt αt 8

9 Χαρακτηριστικά συστημάτων Οι πόλοι της χαρακτηριστικής εξίσωσης καθορίζουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος Impulse Response Κρουστική μεταβολή Impulse Response 6 Amplitude Impulse Response Amplitude Time (sec) Amplitude Time (sec) Impulse Response Time (sec) 2.5 Impulse Response Amplitude Amplitude Time (sec).5 Βηματική μεταβολή Time (sec).4 Step Response Impulse Response Amplitude.8.6 Amplitude Time (sec) Time (sec) 9

10 Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων Ορισμός ευσταθούς συστήματος. Για φραγμένη (πεπερασμένη) είσοδο Η έξοδος είναι φραγμένη Ένα σύστημα είναι ευσταθές όταν όλοι οι πόλοι του έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη (οι πόλοι βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο). Αν έστω κι ένας πόλος έχει θετικό πραγματικό μέρος τότε το σύστημα είναι ασταθές. Συστήματα με πόλο στο μιγαδικό άξονα χαρακτηρίζονται ως οριακά ευσταθή.

11 Ευστάθεια δυναμικών συστημάτων Να προσδιοριστεί η ευστάθεια των ακόλουθων συστημάτων u(t) G(s) y(t) u(t) G(s) y(t) G s 3 2 s 2 s 7s 5s s

12 Σχεδιασμός ελεγκτή για ευστάθεια R(s) + - E(s) K c M(s) G p s K τ s τ s 2 Y(s) H s τs 3 3 Y s KcGp s KK c τs R s K G s H s τ s τ s τ s K K c p 2 3 c Η ευστάθεια του κλειστού βρόχου ορίζεται αποκλειστικά από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Αυτές επηρεάζονται από την τιμή της παραμέτρου του ελεγκτή Κ c. Ζητείται λοιπόν το εύρος τιμών της Κ c για τις οποίες το σύστημα καθίσταται ευσταθές. 2

13 Κριτήριο ευστάθειας Rοuth-Hurwitz Ένα σύστημα είναι ευσταθές όταν και μόνο όταν όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα Routh είναι θετικά. n n n2 2 n f s s a s a s a s a n s n a 2 a 4 a 6 s n- a a 3 a 5 a 7 s n-2 b b 2 b 3 s n-3 c c 2 c 3 : y y 2 z b b b a2 a a3 det det a a b b 3 2 c a b a4 a a5 det det a a b b c2 a b a6 a a7 det det a a b b c3 a b 3

14 Χαρακτηριστικά συστήματος ης τάξης R(s) + E(s) K c M(s) G p s K τs Y(s) Ανοικτός βρόχος Y s R s Κλειστός βρόχος K Gs πόλος s / τ τs Y s KK G c s πόλος s KK c / τ R s τs KK c Υπάρχει μετακίνηση του πόλου προς τα αριστερά στο μιγαδικό επίπεδο για Κ c >. Επομένως η ταχύτητα απόκρισης του συστήματος κλειστού βρόχου αυξάνεται. 4

15 Amplitude Χαρακτηριστικά ολοκληρωτή Ο ολοκληρωτής υποδηλώνει συσσώρευση μάζας, φορτίου ή ενέργειας. G s s.4 Step Response Τάση, v, στα άκρα πυκνωτή που διαρρέεται από ρεύμα έντασης, i. v idt V s I s C Cs Time (sec) Πόλος στην αρχή των αξόνων. Μονότονα αύξουσα συμπεριφορά σε βηματική μεταβολή. 5

16 Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης G s 2 ωn 2 2 n 2 n s ζω s ω Ρίζες χαρακτηριστικού πολυωνύμου ζ<: s ζω iω ζ n σ ζω, ω ω ζ n n d n 2 2 Εξαναγκασμένη δυναμική απόκριση σε βηματική μεταβολή: x t e cos ωdt θ 2 ζ ζω n t ζ θ tan sin ζ 2 ζ 6

17 Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης Πόλοι συστήματος 2ης τάξης. Για ζ= ο πόλος κείται στο μιγαδικό άξονα (ταλαντώσεις χωρίς απόσβεση). Για ζ= ο πόλος κείται στον πραγματικό άξονα. sin ζ ωn ζ 2 ω n ζω n 7

18 Διαμήκης άξονας αεροσκάφους Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης a(t) θ(t) Οριζόντιο επίπεδο Πλευρικός άξονας (yaw) Διεύθυνση αεροσκάφους Σχετικής ροής αέρα Ταχύτητα διαμήκους άξονα, v(t) κατακόρυφος άξονας a: γωνία προσβολής, v: ταχύτητα διαμήκους άξονα, θ: γωνία πρόνευσης (pitch) δ: γωνία πτερυγίου ανύψωσης v s δ s. s s. s. s. s s. a s δ s. s s. s. s. s. s s. θ s δ s. s. s. s. s. s s. πτερύγιο ανύψωσης δ(t) Δυο υποσυστήματα 2 ης τάξης 8

19 Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης (s 2 +.5s+.6) αργά δυναμικά χαρακτηριστικά χαμηλή απόσβεση Ιδιοτιμές ζ ω n (rad/s) -2.5e i e-3.774i (s 2 +s+.4) γρήγορα δυναμικά μεσαία απόσβεση Ιδιοτιμές ζ ω n i i Step Response.4 Step Response Amplitude.2.8 System: untitled Rise Time (sec): 3.6 System: untitled Settling Time (sec):.55e+3 Amplitude.8.6 System: untitled Rise Time (sec):.27 System: untitled Settling Time (sec): Time (sec) Time (sec) 9

20 Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης Στην απόκριση του συστήματος κυριαρχούν τα αργά δυναμικά χαρακτηριστικά..6 Impulse Response a(t) Amplitude θ(t) v(t) Time (sec) a: γωνία προσβολής, v: ταχύτητα διαμήκους άξονα, θ: γωνία πρόνευσης, δ: γωνία πτερυγίου ανύψωσης. 2

21 Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης Step response of a 2nd order system.4 System: g Peak amplitude:.3 Overshoot (%): At time (sec):.37 Amplitude Time (sec) Ποσοστό υπερύψωσης (percentage overshoot): ζπ ζ PO e 2 2

22 Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης Μεταβολή μέγιστου ποσοστού υπερύψωσης για συστήματα 2 ης τάξης σε σχέση με το συντελεστή απόσβεσης Overshoot, % Damping coefficient, z 22

23 Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης Χρόνος αποκατάστασης (<2% τελικής τιμής): t s =4/(ζω n ). 23

24 Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης.4 Step response of a 2nd order system.2 Amplitude System: g Rise Time (sec): Time (sec) Χρόνος ανόδου (% 9%): t r =(2.6ζ+.6)/ω n για ζ=.5 t r =.8/ω n. 24

25 Επίδραση μηδενικού στη δυναμική απόκριση.8 Step Response Amplitude System: g Settling Time (sec):.594 System: g Time (sec):.857 Amplitude: G s s 25s 2s Time (sec) 2 G s s 2s 25

26 Αντίστροφη απόκριση Υπερθερμαντήρας Δοχείο διαχωρισμού Τροφοδοσία νερού Ελεγκτής στάθμης δοχείου Εξατμιστήρας Αύξηση της τροφοδοσίας νερού προκαλεί προσωρινά μείωση της στάθμης του δοχείου λόγω πτώσης της θερμοκρασίας του ατμού (μειώνεται η θερμοκρασία του νερού και συνεπώς αυξάνεται η πυκνότητά του με αποτέλεσμα να μειωθεί ο όγκος του νερού στο δοχείο διαστολής) προτού η στάθμη ανέβει πέρα από το σημείο εκείνο προ της επιβολής της διαταραχής. 26

27 Αντίστροφη απόκριση U(s) s 5.. s + - Y(s).2.8 Step Response s Drum level, cm Time, s (sec) 5.. s 27

28 Αντίστροφη απόκριση Amplitude 5 U(s) Inverse Response Time (sec) 2s 5. 2s + - G s Y(s) 8s 5. 2s 2s Μηδενικό με θετικό πραγματικό μέρος. Να εξηγηθεί πώς αυτή η δυναμική συμπεριφορά μπορεί να επιφέρει σημαντικές δυσκολίες σε ένα σύστημα ελέγχου ανάδρασης. 28

29 Συστήματα με καθυστέρηση χρόνου Έννοια καθυστέρησης χρόνου Ας θεωρήσουμε εμβολική ροή (plug flow) μέσα σε σωλήνα. Θεωρείται ότι δεν υπάρχει ανάμειξη κατά μήκος του οριζόντιου άξονα του σωλήνα. Ποια είναι η δυναμική απόκριση της ιδιότητας του ρευστού στην έξοδο (π.χ. συγκέντρωση, θερμοκρασία) σε μια βηματική μεταβολή της ιδιότητας του ρευστού στην είσοδο; 29

30 Συστήματα με καθυστέρηση χρόνου Υ in Υ out Υ out θ Υ in χρόνος θ: καθυστέρηση χρόνου ή νεκρός χρόνος. 3

31 Συστήματα με καθυστέρηση χρόνου Υ in Υ out Σημαντικό στοιχείο σε διεργασίες με κυκλοφορία ρευστών, διάδοση σήματος σε μεγάλη απόσταση και σε κυκλοφοριακά μοντέλα οχημάτων. Το δυναμικό μοντέλο του νεκρού χρόνου είναι: Y t Y t θ out in Ο μετασχηματισμός Laplace για μια μεταβλητή με καθυστέρηση χρόνου είναι: { ( t) } = L Y ( in t -J) L Y out { } = e Js Y in s ( ) 3

32 Αναγνώριση δυναμικών συστημάτων Η αναγνώριση των δυναμικών χαρακτηριστικών των συστημάτων γίνεται με την επιβολή μιας εξαναγκασμένης διέγερσης του συστήματος (π.χ. βηματική μεταβολή, παλμός στις μεταβλητές εισόδου, τυχαία διέγερση) με ταυτόχρονη καταγραφή της συμπεριφοράς των μεταβλητών εξόδου. 32

33 Εμπειρική αναγνώριση μοντέλων συστημάτων Διαδικασία αναγνώρισης προτύπων Πρωταρχική γνώση Εκκίνηση Σχεδιασμός πειραμάτων Εκτέλεση πειραμάτων στη διεργασία Καθορισμός δομής μοντέλου Εκτίμηση παραμέτρων Αξιολόγηση αποτελεσμάτων Άλλα δεδομένα Επαλήθευση μοντέλου Τερματισμός 33

34 Μέθοδος Καμπύλης Απόκρισης G C (s) G v (s) D(s) G d (s) R(s) E(s) U(s) Y m (s) G P (s) G S (s) + Y(s) Τίθεται το σύστημα σε χειροκίνητο έλεγχο (ανοικτός βρόχος). Εφαρμόζεται μια βηματική μεταβολή στο σήμα του ενεργοποιητή, αρκετά μεγάλη ώστε να γίνει αισθητή στην έξοδο του συστήματος, αλλά όχι να προκαλέσει την εμφάνιση μη γραμμικών φαινομένων. Καταγράφεται η καμπύλη απόκρισης της μεταβλητής εξόδου. Προσεγγίζεται η καμπύλη απόκρισης, αν ομοιάζει με σιγμοειδή καμπύλη, με συνάρτηση μεταφοράς ης τάξης με νεκρό χρόνο. 34

35 Μέθοδος Καμπύλης Απόκρισης G s G A s 5. 6 Ke θs s 3s 3s τs 72. s 8. e 54. 3s G B s 72. s 8. e 37. s Amplitude Step Response Φέρουμε την εφαπτόμενη από το σημείο μέγιστης κλίσης της σιγμοειδούς καμπύλης απόκρισης. Η τομή της εφαπτομένης με τον άξονα του χρόνου προσδιορίζει προσεγγιστικά το νεκρό χρόνο, θ. Η ασύμπτωτος στην καμπύλη απόκρισης για t χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του κέρδους Κ=ΔΥ m /ΔU. Προσεγγίζουμε τη σταθερά χρόνου από το χρόνο που η απόκριση χρειάζεται για να φθάσει το 63.2% της τελικής τιμής (αφαιρούμε την καθυστέρηση χρόνου). Εναλλακτικά υπολογίζεται από το σημείο τομής της καθέτου από το σημείο τομής 5 5 Time (sec) της εφαπτομένης με την τελική τιμή της διεργασίας με τον οριζόντιο άξονα.

36 Μέθοδος Καμπύλης Απόκρισης G s G A s 5. 6 Ke θs s 3s 3s τs s 8. e 54. 3s G B s Step Response 72. s 8. e 37. s Amplitude Step Response 5 5 Time (sec).6 Amplitude Time (sec) 36

37 Παράδειγμα Δυναμική απόκριση της πίεσης σε ένα δοχείο που υπόκειται σε βηματική μεταβολή της θέσης της βάνας διαφυγής κατά 5% τη χρονική στιγμή 5 min Pressure, kpa Time, min Nα προσδιορισθούν το κέρδος, η σταθερά χρόνου και η πιθανή καθυστέρηση χρόνου του δυναμικού συστήματος. 37

38 Επίτευξη μαθησιακών στόχων Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η θα πρέπει να μπορεί να: Εξαγάγει τα πλήρη χαρακτηριστικά της δυναμικής απόκρισης ενός συστήματος ης, 2 ης και ανώτερης τάξης χωρίς επίλυση στο πεδίο του χρόνου. Εκτιμά τα χαρακτηριστικά της δυναμικής απόκρισης συστημάτων με καθυστέρηση χρόνου και μηδενικό στο δεξί μιγαδικό ημι-επίπεδο (μηδενικό με θετικό πραγματικό μέρος). Εκτιμά την ευστάθεια ενός δυναμικού συστήματος. 38

39 Επίτευξη μαθησιακών στόχων Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η θα πρέπει να μπορεί να: Υπολογίζει το εύρος τιμών παραμέτρων του συστήματος για την εξασφάλιση ευσταθούς συμπεριφοράς με το κριτήριο Routh-Hurwitz. Αναγνωρίζει την τάξη ενός συστήματος από πειραματικά δεδομένα. Προσεγγίζει τη δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος με μοντέλο ης τάξης με καθυστέρηση χρόνου με χρήση πειραματικών δεδομένων. 39

40 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δρ Αθανάσιος Ι. Παπαδόπουλος Δρ Αγγελική Μονέδα Θεσσαλονίκη, Μάιος 24