Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στους Υπολογιστές"

Transcript

1 Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα 9: Ψηφιακή Αριθμητική Βασίλης Παλιουράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

2 Ψηφιακή Αριθμητική Σκοποί ενότητας 2

3 Περιεχόμενα ενότητας Υπολογισμός συμπληρωμάτων Ιδιαίτερες περιπτώσεις προσθέσεων Αναπαράσταση κινητής υποδιαστολής Μετατροπή σε αριθμό κινητής υποδιαστολής Πρόσθεση αριθμών κινητής υποδιαστολής Κώδικες 3

4 Ψηφιακή Αριθμητική

5 Στο προηγούμενο μάθημα Τύποι δεδομένων στην python Αναπαράσταση ακεραίων και μετατροπές βάσεων Γενικές περιπτώσεις Εφαρμογή κανόνα αθροίσματος γινομένων ψηφίων με αντίστοιχα βάρη Κανόνας πηλίκων Ειδικές περιπτώσεις Ομαδοποιήσεις ψηφίων και εύκολη απεικόνιση Όταν η μια βάση είναι δύναμη της άλλης 5

6 Αναπαραστάσεις Ακεραίων Δυαδικός Κώδικας Μέγεθος Συμπλήρωμα του 2 Συμπλήρωμα του 1 Προσημασμένο Μέγεθος

7 Γραφική Ανάλυση της Αφαίρεσης με Οι αρνητικοί αριθμοί αντιστοιχίζονται στους συνδυασμούς 15 έως 8 Η αφαίρεση 4 2 = 2 σημαίνει μετακίνηση κατά δύο θέσεις αντίθετα με τη φορά δεικτών του ρολογιού Το ίδιο αποτέλεσμα έχει η μετακίνηση κατά 14 θέσεις σύμφωνα με τη φορά του ρολογιού. Η αφαίρεση μετασχηματίζεται σε πρόσθεση mod 16. Συμπλήρωμα του Χ

8 Υπολογισμός συμπληρωμάτων

9 Υπολογισμός Συμπληρώματος: 1ος Τρόπος ΠΡΟΣΟΧΗ: άλλο υπολογισμός συμπληρώματος αριθμού και άλλο η έκφραση αριθμού σε αναπαράσταση συμπληρώματος Υπολογισμός συμπληρώματος αριθμού Γράφουμε τον αντίθετο του αριθμού Αναπαράσταση συμπληρώματος αριθμού Γράφουμε τον ίδιο αριθμό (ίδια αξία) Εφαρμογή του ορισμού για τιμή του R που ενδιαφέρει: X X, X 0 R X, X 0 9

10 Παράδειγμα 1ου Τρόπου Να γραφεί σε δυαδική μορφή τεσσάρων ψηφίων και συμπλήρωμα του δύο ο αριθμός X = 2. r = 2 και n = 4, άρα R =r n = 16 Άρα το συμπλήρωμα είναι ο αριθμός = 14 Το 14 σε δυαδική μορφή είναι Άρα η ζητούμενη έκφραση του -2 είναι

11 Υπολογισμός Συμπληρώματος ως προς βάση r: 2ος τρόπος Δύο βήματα για τον υπολογισμό συμπληρώματος ως προς βάση r : κάθε ψηφίο αξίας α συμπληρώνεται ως προς r 1, σύμφωνα με τον κανόνα α (r 1) α προστίθεται μια μονάδα στη λιγότερο σημαντική θέση. 11

12 Παράδειγμα 2ου τρόπου Να γραφεί σε δυαδική μορφή τεσσάρων ψηφίων και συμπλήρωμα του δύο ο αριθμός X =-2. Γράφουμε το -2 =2 σε δυαδική μορφή με τέσσερα ψηφία, ως εξής: 0010 Κάθε ψηφίο συμπληρώνεται ως προς 2-1=1, και λαμβάνουμε: 1101 Προσθέτουμε μονάδα στη λιγότερο σημαντική θέση, όποτε προκύπτει το τελικό αποτέλεσμα

13 Τρίτος τρόπος Ξεκινώντας από το περισσότερο σημαντικό ψηφίο, αντιστρέφουμε μέχρι να συναντήσουμε το λιγότερο σημαντικό άσσο. Να γραφεί το 22 σε αναπαράσταση συμπληρώματος του δύο

14 Παραδείγματα 3 ου τρόπου Να γραφεί το ( 2) σε αναπαράσταση συμπληρώματος του δύο Ποιος αριθμός είναι το σε αναπαράσταση συμπληρώματος του δύο; , άρα Ποιος αριθμός είναι το σε αναπαράσταση συμπληρώματος του δύο; , άρα

15 Παράδειγμα θετικού αριθμού Να γραφεί το +13 σε αναπαράσταση συμπληρώματος του δύο με 6 δυαδικά ψηφία. Ο αριθμός είναι θετικός. Η έκφραση σε αναπαράσταση συμπληρώματος είναι:

16 Δυναμική Περιοχή συμπληρώματος ως προς βάση Οι αριθμοί με περισσότερο σημαντικό ψηφίο: 0, είναι θετικοί r 1, είναι αρνητικοί Συνεπώς: Ο περισσότερο θετικός αριθμός είναι ο r n O περισσότερο αρνητικός αριθμός είναι ο r n 1 Άρα η δυναμική περιοχή της αναπαράστασης είναι Α max A min = 2r n

17 Συμπλήρωμα Βάσης και Μειωμένης Βάσης Στους δεκαδικούς αριθμούς το συμπλήρωμα βάσης συμπλήρωμα του 10 το συμπλήρωμα μειωμένης βάσης συμπλήρωμα του 9 Στους δυαδικούς αριθμούς Το συμπλήρωμα βάσης συμπλήρωμα του 2 Το συμπλήρωμα μειωμένης βάσης συμπλήρωμα του 1 17

18 Αναπαράσταση συμπληρώματος του 1 Οι θετικοί αριθμοί μένουν ως έχουν: Ο αριθμός +3: γράφεται με πέντε δυαδικά: Για τους αρνητικούς αριθμούς: Γράφουμε την απόλυτη τιμή στο δυαδικό και στη συνέχεια αντιστρέφουμε όλα τα ψηφία. Ο αριθμός -3: γράφεται με πέντε δυαδικά:

19 Πρόσθεση σε αναπαράσταση συμπληρώματος του Όταν τα δεδομένα είναι σε αναπαράσταση συμπληρώματος του 1, το κρατούμενο από την περισσότερο σημαντική θέση (αν προκύψει) αθροίζεται στη λιγότερο σημαντική. Η πρόσθεση γίνεται σε δύο βήματα. ΔΙΑΦΕΡΕΙ Από την πρόσθεση σε αναπαράσταση συμπληρώματος του δύο! 19

20 Ιδιαίτερες περιπτώσεις προσθέσεων

21 Αλλαγή Μήκους Θετικού Αριθμού σε Συμπλήρωμα του Δύο Θετικός αριθμός το περισσότερο σημαντικό ψηφίο (ΠΣΨ) είναι μηδέν = 4 10 Τοποθετώντας μηδενικά αριστερά του ΠΣΨ, η αξία του αριθμού δεν αλλάζει =

22 Αλλαγή Μήκους Αρνητικού Αριθμού σε Συμπλήρωμα του Δύο Αρνητικός αριθμός το περισσότερο σημαντικό ψηφίο (ΠΣΨ) είναι ένα = 4 10 Τοποθετώντας μονάδες αριστερά του ΠΣΨ, η αξία του αριθμού δεν αλλάζει =

23 Πρόσθεση Αριθμών σε Συμπλήρωμα του Δύο Διαφορετικού Μήκους Λέξης Ζητείται η άθροιση των εξής αριθμών σε συμπλήρωμα του δύο: α = 1101, μήκους τεσσάρων δυαδικών ψηφίων β = , μήκους επτά δυαδικών ψηφίων Παρατηρούμε ότι α < 0 και β > 0 23

24 Επέκταση Προσήμου (sign extension) Αντιγράφουμε το περισσότερο σημαντικό ψηφίο του αριθμού σε όσες θέσεις απαιτείται. προς την περισσότερη σημαντική θέση! Η διαδικασία αυτή: αλλάζει το μήκος (πλήθος ψηφίων) του αριθμού αλλά δεν αλλάζει την αξία του αριθμού. x3 x2 x1 x0 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x2 x1 x0 24

25 Γιατί ισχύει η επέκταση προσήμου; X s z42 z32 z22 z12 z0 2 0 ssssssz 4z3z2z1z 0 s2 s2 s2 s2 s2 s2 z 2 z 2 z 2 z 2 z s2 s2 s2 s2 s2 s2 z 2 z 2 z 2 z 2 z s2 s z 2 z 2 z 2 z 2 z s2 s 2 2 z 2 z 2 z 2 z 2 z s 2 z 2 z 2 z 2 z 2 z

26 Υπερχείλιση στην πρόσθεση ενδιαφέρει μόνο η πρόσθεση ομοσήμων έστω δύο αριθμοί σε αναπαράσταση συμπληρώματος του δύο Προσθέτουμε δύο θετικούς και το αποτέλεσμα ερμηνεύεται ως αρνητικός! Αντίστοιχα είναι δυνατό να προσθέσουμε δύο αρνητικούς και το αποτέλεσμα να ερμηνεύεται ως θετικό 26

27 Αναπαράσταση Ρητών Χρησιμοποιούνται δύο αναπαραστάσεις: Σταθερής Υποδιαστολής (Fixed-point) Κινητής Υποδιαστολής (Floating-point) 27

28 Αναπαράσταση Σταθερής Υποδιαστολής A n 1 i k a i r i, a i 0,1,, r 1 A a n a n 2,, a 0, (integral ακέραιο μέρος part) το μικρότερο βάρος δεν είναι r 0 =1, αλλά r k 1, a 1,, a k κλασματικό μeρος (fractional part) 28

29 Παράδειγμα Αναπαράστασης Σταθερής Υποδιαστολής με Βάση 2 Έστω ο δυαδικός αριθμός Σε ποιό δεκαδικό αντιστοιχεί; Βάση 2, τρία ακέραια και τρία κλασματικά ψηφία r = 2, n = 3, k =

30 Μετατροπή αριθμού με κλασματικό μέρος σε βάση δύο (1) Να γραφεί ο αριθμός σε δυαδική αναπαράσταση χωρίς πρόσημο, χρησιμοποιώντας 2 ακέραια δυαδικά ψηφία και τέσσερα κλασματικά Ακέραιο μέρος: 3 10 = 11 2 (κατά τα γνωστά) 30

31 Κλασματικό μέρος (2) Κλασματικό μέρος: = = = = Άρα ο αριθμός με δύο ακέραια και τέσσερα κλασματικά ψηφία γράφεται ως Πολλαπλασιάζουμε το κλασματικό μέρος με τη βάση. Κρατάμε το ακέραιο μέρος του γινομένου ως τιμή του ψηφίου. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία χρησιμοποιώντας το κλασματικό μέρος του γινομένου ως νέο κλασματικό μέρος, μέχρις ότου υπολογίσουμε το ζητούμενο αριθμό κλασματικών ψηφίων. 31

32 Τι τιμή έχει ο αριθμός που υπολογίσαμε; Θέση υποδιαστολής (υπονοούμενη) Ακέραιο μέρος χωρίς πρόσημο Κλασματικό μέρος = 3 = = Αξία που γράφεται με δύο ακέραια και τέσσερα κλασματικά = Αρχική αξία: Η διαφορά ( ) οφείλεται στο περιορισμένο μήκος της λέξης. Είναι μικρότερη από

33 Προσημασμένοι Αριθμοί Σταθερής Υποδιαστολής Χρησιμοποιούνται όλοι οι τρόποι αναπαράστασης αριθμών με πρόσημο: προσημασμένου μεγέθους συμπληρώματος βάσης 33

34 Παράδειγμα: Προσημασμένο Μέγεθος Σταθερής Υποδιαστολής Ο αριθμός με προσημασμένο μέγεθος γράφεται ως Το 2.75 γίνεται Ένα επιπλέον bit αξίας 1 τοποθετείται ως πρόθεμα για να δηλώσει το αρνητικό πρόσημο

35 Παράδειγμα: Συμπλήρωμα του δύο Σταθερής Υποδιαστολής Να βρεθεί το συμπλήρωμα του αντιστρέφουμε όλα τα ψηφία προσθέτουμε μονάδα στη λιγότερο σημαντική θέση Παρατηρούμε ότι το άθροισμα αριθμού και συμπληρώματος είναι

36 Αναπαράσταση κινητής υποδιαστολής

37 Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής Ένας αριθμός Α απεικονίζεται σε μια τριάδα 1. προσήμου s 2. συντελεστή m 3. εκθέτη E σύμφωνα με τον κανόνα A A s, m, s E Το πρότυπο ΙΕΕΕ 754 Παράδειγμα μετατροπής σε αναπαράσταση κινητής υποδιαστολής Πρόσθεση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής E m b, m 1. f 37

38 Χαρακτηριστικά Αναπαραστάσεων Κινητής Υποδιαστολής κατά το πρότυπο ΙΕΕΕ 754 Είδος Ακρίβειας (Precision) Απλή Διπλή Μήκος Λέξης 32 bits 64 bits Συντελεστής + hidden bit bits bits Εκθέτης 8 bits 11 bits Πόλωση (bias) Προσεγγιστική περιοχή Μικρότερος αριθμός Ακρίβεια

39 Ειδικές Περιπτώσεις Αναπαράστασης κατά ΙΕΕΕ 754 Η τιμή 0 αναπαρίσταται θέτοντας Ε= =0 10 και τον συντελεστή στο 0, ανεξαρτήτως προσήμου. Όταν Ε= , ο αριθμός καλείται αποκανονικοποιημένος (denormal ) και δεν χρησιμοποιείται κρυφή μονάδα στην αναπαράσταση. Αν η αξία του συντελεστή είναι f, η αξία του αριθμού είναι f Όταν Ε= = και ο συντελεστής είναι 0, αναπαρίσταται το άπειρο ( ). Όταν Ε= = και ο συντελεστής δεν είναι 0, αναπαρίσταται η ειδική τιμή NaN (όχι αριθμός), η οποία δηλώνει απροσδιόριστα αποτελέσματα αριθμητικών πράξεων όπως το 0/0. 39

40 Παραδείγματα Ειδικών Αναπαραστάσεων στο ΙΕΕΕ αναπαριστά το μηδέν Ε = άρα είναι αποκανονικοποιημένος αριθμός. Η αξία του είναι = αναπαριστά το άπειρο ( ) είναι NaN 40

41 Μετατροπή σε Αριθμό Κινητής Υποδιαστολής ΙΕΕΕ 754 Απλής Ακρίβειας

42 Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής Απλής Ακρίβειας κατά ΙΕΕΕ 754 αξία = ( 1) π (1+Σ) 2 Ε 127 Σ: αριθμός με κλασματικό μέρος 23 bits, και με τιμή 0 Σ < 1. E: ακέραιος αριθμός 1 έως 254. Οι τιμές Ε = 0 και Ε = 255 έχουν ειδική ερμηνεία. 42

43 Παράδειγμα Μετατροπής σε IEEE 754 Να γραφεί ο αριθμός α = σε μορφή ΙΕΕΕ 754 απλής ακρίβειας. Θα πρέπει να υπολογίσουμε πρόσημο, συντελεστή και εκθέτη. Βήμα 1ο Υπολογισμός προσήμου α < 0 πρόσημο = 1 43

44 Βήμα 2ο: Υπολογισμός Εκθέτη Ζητείται δύναμη του δύο, ν, τέτοια ώστε Λύνοντας για ν 2 ν < 2 2 ν 2 ν < 2 ν+1 ν log < ν + 1 ν < ν + 1 ν = 7 44

45 Βήμα 3ο: Υπολογισμός Συντελεστή 1 + Σ = /2 7 = /128 = Σ = =

46 Βήμα 3ο: Κωδικοποίηση του ν σε Ε Ο εκθέτης E υπολογίζεται ως ν = 7 = Ε 127 Ε = = Αναπαράσταση ΙΕΕΕ 754 απλής ακρίβειας

47 Άλλος Τρόπος Μετατροπής σε Μορφή Κινητής Υποδιαστολής Από το πρόσημο του αριθμού καθορίζουμε το πρόσημο της αναπαράστασης. Γράφουμε τον αριθμό σε δυαδική μορφή. Εκτελούμε κατάλληλο αριθμό ολισθήσεων ώστε να φέρουμε τον αριθμό στη μορφή 1.xxxx (Κανονικοποίηση). Με βάση τον αριθμό των ολισθήσεων, υπολογίζουμε τον εκθέτη. 47

48 Γράφουμε τον Αριθμό σε Δυαδική Μορφή = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

49 Παραγωγή Αναπαράστασης Κινητής Υποδιαστολής Από την Αρχική Δυαδική Η υποδιαστολή μεταφέρεται αμέσως μετά την περισσότερο σημαντική μονάδα. Η διαδικασία αυτή λέγεται κανονικοποίηση. Στο παράδειγμα αυτό η υποδιαστολή μεταφέρεται 7 θέσεις δεξιά. Η μεταφορά της υποδιαστολής επτά θέσεις δεξιά ισοδυναμεί με διαίρεση με 2 7. Για να μην αλλάξει η αξία του αριθμού, πολλαπλασιάζουμε με Η μονάδα δεν περιλαμβάνεται στην αναπαράσταση (hidden bit). συντελεστής εκθέτης πόλωση 49

50 Τελική Έκφραση σε ΙΕΕΕ 754 Απλής Ακρίβειας Πρόσημο: π = 0 (θετικός αριθμός) Εκθέτης: Ε 127 = 7 Ε = 134 Ε = Συντελεστής: Σ =

51 Πρόσθεση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής

52 Παράδειγμα Να προστεθούν οι ακόλουθοι αριθμοί ΙΕΕΕ754 απλής ακρίβειας: π Α Α = π Β Ε Α Ε Β Β = Σ Α Σ Β Οι αριθμοί Α και Β είναι θετικοί (π Α =π Β =0). Δεν έχουν τους ίδιους εκθέτες: Ε Β > Ε Α και Ε Β Ε Α = 3. (Θα χρειαστεί αποκανονικοποίηση). 52

53 Πρόσθεση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής Εμφανίζουμε την κρυφή μονάδα Επειδή Ε Β > Ε Α και Ε Β Ε Α = 3, αποκανονικοποιείται ο αριθμός 1 + Σ Α, μεταφέροντας την υποδιαστολή τρεις θέσεις αριστερά (αποκανονικοποίηση) Για να μην αλλάξει η αξία του Α με την 2 10 αποκανονικοποίηση, ταυτόχρονα ο εκθέτης του Α από 7 γίνεται 10, δηλ. ίδιος με τον εκθέτη του Β. 53

54 Άθροιση και Κανονικοποίηση Προσθέτοντας τους αριθμούς, παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα δεν είναι της μορφής 1.χχχ, άρα χρειάζεται κανονικοκοποίηση. Η υποδιαστολή μεταφέρεται μια θέση προς το περισσότερο σημαντικό ψηφίο Η μετακίνηση της υποδιαστολής προς τα αριστερά διαιρεί το συντελεστή με το δύο. Άρα πρέπει να αυξήσουμε τον εκθέτη κατά ένα για να μην αλλάξει η αξία του αποτελέσματος. Ο συντελεστής είναι το αποτέλεσμα της άθροισης, διαγράφοντας την περισσότερο σημαντικό μονάδα (κρυφή μονάδα). Το αποτέλεσμα είναι θετικό ως άθροισμα θετικών, άρα το πρόσημο είναι Ο εκθέτης είναι ο εκθέτης του μεγαλύτερου όρου αυξημένος κατά ένα. 54

55 Πολλαπλασιασμός Κινητής Υποδιαστολής sx Ex y X Y m b m b x sx 1 1 X Y 1 1 s s s y y x m b y m m b x x m b E E y y x E s x y 127 E y y E s 1 z Ez Z m b z 127 mz mxmy 1 mxmy 2 mm x y mz mxmy 2 b Ez Ex Ey mxmy 2 Ez Ex Ey mxmy 2 55

56 Αναπαράσταση μη αριθμητικών δεδομένων και κωδικοποίηση Κώδικες

57 Κωδικοποίηση δεδομένων Η σημασία/αξία μιας ψηφιακής λέξης καθορίζεται από τον κανόνα με βάση τον οποίο κατασκευάστηκε. Αναπαράσταση συμπληρώματος βάσης, μειωμένης βάσης, προσημασμένου μεγέθους Πληθώρα άλλων κωδικοποιήσεων Δεκαδικοί Excess-3 2-out-of-5 Biquinary 57

58 Binary Coded Decimals Κάθε δεκαδικό ψηφίο παριστάνεται ξεχωριστά με τέσσερα δυαδικά. Παράδειγμα: Παράδειγμα: Όταν κάνουμε πρόσθεση, θα πρέπει να λάβουμε υπόψη το ενδιάμεσο κρατούμενο. Με ποιο τρόπο; 58

59 Excess 3 Όπως η κωδικοποίηση BCD, αλλά +3, ανά ψηφίο Παράδειγμα: , Χρήσιμη ιδιότητα: Η κωδικοποιημένη αναπαράσταση συμπληρώματος κάθε ψηφίου ως προς εννέα προκύπτει απλώς αντιστρέφοντας όλα τα ψηφία. Παράδειγμα το συμπλήρωμα του 3 ως προς 9 είναι 6 (= 9-3) (αντιστρέφουμε όλα τα ψηφία παρατηρούμε ότι προκύπτει η αναπαράσταση του 6 κατά excess-3 αυτό-συμπληρωματικός κώδικας 59

60 Παράσταση χαρακτήρων Το κείμενο κωδικοποιείται ως σύνολο χαρακτήρων. Κάθε χαρακτήρας αντιστοιχίζεται σε χαρακτηριστικό ακέραιο κωδικό. Πολλοί κανόνες κωδικοποίησης: ΙΒΜ 1401 EBCDIC ASCII-8: παράδειγμα: Α 65 UTF-8 60

61 Ο Κώδικας ASCII A =

62 Κωδικοποιήσεις UTF Χρειαζόμαστε μεγαλύτερα σύνολα χαρακτήρων UTF-8: Κωδικοποίηση μεταβλητού μήκους Περιλαμβάνει τους χαρακτήρες 128 ASCII ως έχουν Δίνει >1,000,000 62

63 Κώδικες για τη διόρθωση λαθών: Κίνητρο Κατά τη μετάδοση ή την αποθήκευση μιας ψηφιακής λέξης είναι δυνατόν να προκύψουν σφάλματα, δηλ. να αλλάξουν οι τιμές κάποιων δυαδικών ψηφίων της λέξης χωρίς να το θέλουμε. Χρησιμοποιώντας κώδικες εντοπισμού και διόρθωσης σφαλμάτων: βρίσκουμε αν υπάρχουν και ποια είναι τα ψηφία τα οποία είναι λάθος σε προστατευμένη λέξη 63

64 Κώδικες ισοτιμίας Σε ομάδα ψηφίων επισυνάπτουμε επιπλέον ψηφίο με τιμή τέτοια ώστε το πλήθος των 1 στη συνολική λέξη να είναι άρτιος (άρτια ισοτιμία) ή περιττός (περιττή ισοτιμία). Παράδειγμα: Για άρτιο πλήθος ώστε το πλήθος των 1 να γίνει τέσσερα Ψηφίο ισοτιμίας ώστε το πλήθος των 1 να γίνει δύο 64

65 Πώς δουλεύει; Έστω η λέξη του παραδείγματος. Κατασκευάστηκε ώστε να έχει άρτιο πλήθος 1 Έστω από σφάλμα (αποθήκευσης, μετάδοσης) αλλάζει τιμή ένα ψηφίο: Το σύνολο των 1 στη νέα λέξη είναι πέντε, περιττός. Άρα καταλαβαίνουμε ότι έχει συμβεί λάθος. Ποιος είναι ο περιορισμός; τι θα συμβεί αν αλλάξουν δύο ψηφία; 65

66 Πηγαία λέξη: Κωδικοποίηση 8 ψηφία δεδομένων m 0 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 Κώδικας Hamming: 4 ψηφία ισοτιμίας p 0 p 1 p 2 p 3 Κατασκευή κωδικής λέξης 12 ψηφίων Η ισοτιμία μπορεί να είναι άρτια ή περιττή 66

67 p 0 p 1 m 0 Κατασκευή Κωδικής Λέξης p m m m p 3 Οργάνωση Ομάδων m 4 m 5 p 0 m 0 m 1 m 3 m 4 m 6 p 1 m 0 m 2 m 3 m 5 m m 6 p 2 m 1 m 2 m 3 m m 7 p 3 m 4 m 5 m 6 m 7

68 Υπολογισμός Τιμών των Ψηφίων Ισοτιμίας m 0 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m Αντικαθιστούμε τις τιμές των ψηφίων της πηγαίας λέξης στις ομάδες που σχηματίστηκαν νωρίτερα έστω άρτια ισοτιμία m 0 m0 0 m 1 m 4 m 1 m0 2 m 2 m 5 m 3 m 3 m 3 m 6 m 4 m 5 m 7 m 7 m 6 p p p p m 6 p 0 = 0 p 1 = 0 p 2 = 1 p 3 = 0 p 0 p 1 m 0 p 2 m 1 m 2 m 3 p 3 m 4 m 5 m 6 m Άρτια ισοτιμία: σε κάθε ομάδα των πλήθος των ψηφίων τα οποία έχουν αξία μονάδα είναι άρτιος. Περιττή ισοτιμία: σε κάθε ομάδα των πλήθος των ψηφίων τα οποία έχουν αξία μονάδα είναι περιττή. Το ψηφίο ισοτιμίας περιλαμβάνεται στα ψηφία της ομάδας! 68

69 Κάθε ψηφίο της κωδικής λέξης προστατεύεται από μοναδικό συνδυασμό ψηφίων ισοτιμίας p 0 Εντοπισμός Σφάλματος p m 0 p 2 To ψηφίο m 2 είναι το μόνο που προστατεύεται από τα ψηφία ισοτιμίας p 1 και p 2 μόνο m m 2 έστω ότι προκύπτει σφάλμα στο ψηφίο m m 3 p 3 m 4 Απλός έλεγχος ισοτιμίας θα δείξει παραβίαση των p 1 και p 2 μόνο, άρα το σφάλμα θα έχει πρόκύψει στο m m m m 7

70 Παράδειγμα Εντοπισμού και Διόρθωσης Σφάλματος Έστω λαμβάνουμε τη λέξη (άρτιας ισοτιμίας) p 0 p 1 m 0 p 2 m 1 m 2 m 3 p 3 m 4 m 5 m 6 m m 3 m 4 m 6 p m 0 m 1 άρτιος αριθμός μονάδων σωστό p0 1 m0 0 m1 2 m 3 m 5 m περιττός αριθμός μονάδων λάθος p m 1 m 4 m 2 m 5 m 3 m 6 m 7 0 p m 7 αντικατάσταση τιμών ψηφίων στις ομάδες περιττός αριθμός μονάδων άρτιος αριθμός μονάδων έλεγχος ισοτιμίας λάθος σωστό Το μόνο δυαδικό ψηφίο που ανήκει μόνο στις ομάδες που προστατεύονται από τα p 1 και p 2 είναι το m 2 η τιμή του m 2 είναι λάθος διορθωμένη λέξη p 0 p 1 m 0 p 2 m 1 m 2 m 3 p 3 m 4 m 5 m 6 m

71 Τέλος Ενότητας

72 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 72

73 Σημειώματα

74 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. 74

75 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλειος, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος. «Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ι, Ψηφιακή Αριθμητική». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 75

76 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 76

77 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 77

78 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες 78

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα 8: Ψηφιακή Αριθμητική Βασίλης Παλιουράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Γιατί μας ενδιαφέρει το δυαδικό Αριθμητικές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 2 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άσκηση 2 ου εργαστηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα 7: Ψηφιακή Αριθμητική Βασίλης Παλιουράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Ψηφιακή Αριθμητική Σκοποί ενότητας 2 Περιεχόμενα ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση Υπολογιστών

Οργάνωση Υπολογιστών Οργάνωση Υπολογιστών Επιμέλεια: Γεώργιος Θεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Συστήματα αρίθμησης

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Συστήματα αρίθμησης ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Συστήματα αρίθμησης Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 8 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα 10: Ψηφιακή Αριθμητική Βασίλης Παλιουράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Εισαγωγικές έννοιες ψηφιακής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική

Εισαγωγή στην Πληροφορική Εισαγωγή στην Πληροφορική Αριθμητικά Συστήματα ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Συντήρησης Πολιτισμικής Κληρονομιάς Βασικές Έννοιες Ένα Αριθμητικό Σύστημα αποτελείται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση

Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση Επιμέλεια: Γεώργιος Θεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων: Κώδικες, 1ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης Μαθησιακοί Στόχοι Η Ενότητα 2 διαπραγματεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης Μαθησιακοί Στόχοι Η Ενότητα 2 διαπραγματεύεται θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 11: Είδη και μετασχηματισμοί πινάκων Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Είδη και μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων: Αριθμητική του Υπολογιστή, Αριθμητικά Συστήματα Μετατροπές, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 23: Υπολογισμοί σε Κβαντικά Κυκλώματα ΙΙ Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Υπολογισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 9 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Εργαστήριο 9: Άσκηση Προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Πληροφορική Ι. Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Πληροφορική Ι. Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Πληροφορική Ι Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων VLSI II

Σχεδιασμός Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων VLSI II Σχεδιασμός Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων VLSI II Επιμέλεια: Βασίλης Παλιουράς, Αναπληρωτής Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας 1 Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα 11: Βασικές έννοιες ψηφιακής λογικής Βασίλης Παλιουράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Γιατί χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 3: Δυαδικά Συστήματα Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. 5 ο Μάθημα. Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ. url:

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. 5 ο Μάθημα. Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ.   url: στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές 5 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ email: leo@mail.ntua.gr url: http://users.ntua.gr/leo Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση. Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Αριθμητική Ανάλυση. Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΡΑΓΚΙΣΚΟΣ ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ Εισαγωγή 2 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Αριθμητική παραγώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 2 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Εργαστήριο 2: Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 7 και 8: Αναπαραστάσεις. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Πληροφορικής

Εισαγωγή στους Η/Υ. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 7 και 8: Αναπαραστάσεις. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Πληροφορικής Γιώργος Δημητρίου Μάθημα 7 και 8: Αναπαραστάσεις Αναπαράσταση Πληροφορίας Η/Υ Αριθμητικά δεδομένα Σταθερής υποδιαστολής Κινητής υποδιαστολής Μη αριθμητικά δεδομένα Χαρακτήρες Ειδικοί κώδικες Εντολές Γλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 10 Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους 10.1 Τρίτο μέρος Επαναλαμβάνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 3 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Εργαστήριο 3: Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 3: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις μιας μεταβλητής Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 2: Γραμμικές συναρτήσεις (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ISO 17025 5.9. ΔΙΑΣΦΑΛΙΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ (1) 5.9.1 Το Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Κ. Δεμέστιχας Εργαστήριο Πληροφορικής Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Επικοινωνία μέσω e-mail: cdemest@aua.gr, cdemest@cn.ntua.gr 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Β Παράσταση Προσημασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Αερισμός. Ενότητα 1: Αερισμός και αιμάτωση. Κωνσταντίνος Σπυρόπουλος, Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής

Αερισμός. Ενότητα 1: Αερισμός και αιμάτωση. Κωνσταντίνος Σπυρόπουλος, Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Αερισμός Ενότητα 1: Αερισμός και αιμάτωση Κωνσταντίνος Σπυρόπουλος, Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Ολικός και κυψελιδικός αερισμός Η κύρια λειτουργία του αναπνευστικού συστήματος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα 13: Κοινωνική και ηθική διάσταση πληροφορικής Αβούρης Νικόλαος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Κοινωνική και

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Προγραμματισμού

Αρχές Προγραμματισμού Αρχές Προγραμματισμού Ενότητα: Εργαστηριακή Άσκηση 1 Παλιουράς Βασίλης, Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1. Σκοποί ενότητας----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 4 2 η Άσκηση... 7 3 η Άσκηση... 10 Χρηματοδότηση... 12 Σημείωμα Αναφοράς... 13 Σημείωμα Αδειοδότησης...

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθμους

Εισαγωγή στους Αλγόριθμους Εισαγωγή στους Αλγόριθμους Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση και μελέτη αλγορίθμων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Ενότητα: Εργασίες Διδάσκων: Βασίλης Κόμης, Καθηγητής komis@upatras.gr www.ecedu.upatras.gr/komis/ Τμήμα Επιστημών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθμους

Εισαγωγή στους Αλγόριθμους Εισαγωγή στους Αλγόριθμους Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση και μελέτη αλγορίθμων

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων VLSI II

Σχεδιασμός Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων VLSI II Σχεδιασμός Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων VLSI II 3 η Εργαστηριακή Άσκηση Σχεδίαση και Υλοποίηση μίας ALU δύο εισόδων VHDL Εργαστήριο_2 2012-2013 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων VLSI II

Σχεδιασμός Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων VLSI II Σχεδιασμός Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων VLSI II 4 η Εργαστηριακή Άσκηση Περιγραφή Κυκλωμάτων με Ακολουθιακές Εντολές Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. Βασικές Προγραμματιστικές Δομές. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος

Προγραμματισμός Η/Υ. Βασικές Προγραμματιστικές Δομές. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Προγραμματισμός Η/Υ Βασικές Προγραμματιστικές Δομές ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Δομή Ελέγχου Ροής (IF) Η εντολή IF χρησιμοποιείται όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό

Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό Ενότητα 6: Μοντελοποίηση υπολογισμού: Κανονικές εκφράσεις Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 7: Κανονικότητες, συμμετρίες και μετασχηματισμοί στο χώρο Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 1: Εισαγωγή Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας αυτής είναι μια εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 10 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Εργαστήριο 10: Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης

Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης για τη Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Αλέξανδρος Σπυριδωνίδης Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 4: Το γενικευμένο πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου για συστήματα συνεχούς Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων VLSI II

Σχεδιασμός Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων VLSI II Σχεδιασμός Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων VLSI II 2 η Εργαστηριακή Άσκηση Περιγραφή Κυκλωμάτων με Συντρέχουσες Εντολές Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.: Το Ολοκλήρωμα Βασικές ιδιότητες Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 14: Τμηματοποίηση με χρήση τυχαίων πεδίων Markov Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τμηματοποίηση εικόνων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 10: Προσέγγιση μειωμένου φορτίου

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 10: Προσέγγιση μειωμένου φορτίου Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 0: Προσέγγιση μειωμένου φορτίου Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Συνιστώμενο Βιβλίο: Εκδόσεις : Παπασωτηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Ποιότητας Φαρμάκων

Έλεγχος Ποιότητας Φαρμάκων Έλεγχος Ποιότητας Φαρμάκων Ενότητα 6: Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας Συσκευές Αποσάθρωση Δισκίων (ενός καλαθιού (δεξιά) και δύο καλαθιών (αριστερά) 2 Συσκευή Αποσάθρωσης 4

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 8: Ορθομοναδιαίοι μετασχηματισμοί Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ορθομοναδιαίοι μετασχηματισμοί ισοδύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 6: Διαπεριφερειακές διαφορές Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 8: Εφαρμογές παραγώγων Μελέτη και βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Δικτύωση Υπολογιστών

Εισαγωγή στη Δικτύωση Υπολογιστών Εισαγωγή στη Δικτύωση Υπολογιστών Ενότητα 4: Το Επίπεδο Δικτύου Δημήτριος Τσώλης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Στόχοι Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 1η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkra Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upara.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός 1/8 Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.05: Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 5: ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Ενότητα 8: Αξιολόγηση και επιλογή αγορών στόχων από ελληνική εταιρία στον κλάδο παραγωγής και εμπορίας έτοιμου γυναικείου Καθ. Αλεξανδρίδης Αναστάσιος Δρ. Αντωνιάδης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Ενότητα: Εργασίες Διδάσκων: Βασίλης Κόμης, Καθηγητής komis@upatras.gr www.ecedu.upatras.gr/komis/ Τμήμα Επιστημών

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1 Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ενότητα 3: Μοντέλα βάσεων δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Φιλοσοφία της Ιστορίας και του Πολιτισμού

Φιλοσοφία της Ιστορίας και του Πολιτισμού Φιλοσοφία της Ιστορίας και του Πολιτισμού Ενότητα 1: Εισαγωγή στις έννοιες Ιστορίας και Πολιτισμού Λάζου Άννα Εθνικὸ και Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Aθηνών Τμήμα Φιλοσοφίας Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας Φιλοσοφία

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 4: Διδακτικός μετασχηματισμός βασικών εννοιών πληροφορικής Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα