Τεχνολογίες. Διάλεξη 10. Τεχνολογίες. Συνδυασµοί εισροών. Τεχνολογία

Transcript

1 Τεχνολογίες Διάλεξη 0 Τεχνολογία Τεχνολογία είναι µια διαδικασία µε την οποία εισροές µετατρέπονται σε εκροές. π.χ. εργασία, ένας υπολογιστής, ένας προβολέας, ηλεκτρισµός, κ.α. Συνδυάζονται για την παραγωγή αυτής της διάλεξης.!! Τεχνολογίες Συνδυασµοί εισροών Είναι σύνηθες διάφορες τεχνολογίες να παραγάγουν το ίδιο προϊόν η διάλεξη µπορεί να γίνει σε πίνακα µε κιµωλία αντί για υπολογιστή και προβολέα. Ποια τεχνολογία είναι η καλύτερη ; Πώς συγκρίνουµε τεχνολογίες; i συµβολίζει το ποσό που χρησιµοποιείται από το συντελεστή i. Ένας συνδυασµός εισροών είναι ένα άνυσµα του επιπέδου των εισροών : (,,, ). π.χ. (,, ) = (6, 0, ).!!4 4 Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

2 Συναρτήσεις παραγωγής συµβολίζει το επίπεδο του προϊόντος. Η συνάρτηση παραγωγής της τεχνολογίας, δηλώνει το µέγιστο ποσό προϊόντος που µπορεί να παραχθεί από ένα συνδυασµό εισροών ẏ = f (,!, ) προϊόν Συναρτήσεις παραγωγής Μια εισροή, ένα προϊόν = f() είναι η συνάρτηση παραγωγής. = f( ) είναι το µέγιστο ποσό προϊόντος που µπορεί να αποκτηθεί από τις εισροές µονάδων.!5 εισροή!6 5 6 Τεχνολογικά σύνολα Ένα σχέδιο παραγωγής είναι ένας συνδυασµός εισροών και ένα επίπεδο προϊόντος: (,,, ). Ένα σχέδιο παραγωγής είναι εφικτό αν f(,!, ) Αν βάλουµε µαζί όλα τα εφικτά σχέδια παραγωγής, τότε έχουµε το τεχνολογικό σύνολο (ή σύνολο παραγωγής).!7 προϊόν Τεχνολογικά σύνολα Μια εισροή, ένα προϊόν = f() είναι η συνάρτηση παραγωγής. = f( ) είναι το µέγιστο ποσό προϊόντος που µπορεί να αποκτηθεί από τις εισροές µονάδων. = f( ) είναι ένα επίπεδο προϊόντος που είναι εφικτό από τις εισροές µονάδων. εισροή 7 8 Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

3 Τεχνολογικά σύνολα Το τεχνολογικό σύνολο είναι T = {( 0,,,!,, ) f (,!, ) και 0}. προϊόν Τεχνολογικά σύνολα Μια εισροή, ένα προϊόν Τεχνολογικό σύνολο!9 εισροή!0 9 0 Τεχνολογικά σύνολα Μια εισροή, ένα προϊόν Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές προϊόν Αναποτελεσµατικά σχέδια από τεχνική άποψη Αποτελεσµατικά σχέδια από τεχνική άποψη Τεχνολογικό σύνολο Με τι µοιάζει η τεχνολογία όταν υπάρχουν πάνω από µια εισροές; Ας πάρουµε δύο εισροές: Τα επίπεδα εισροών είναι και. Το επίπεδο προϊόντος είναι. Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής είναι εισροή! / = f (, ) = /.! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

4 Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές Π.χ. Το µέγιστο επίπεδο προϊόντος που µπορεί να παραχθεί από το συνδυασµό εισροών (, ) = (, 8) είναι / / / / = = 8 = = 4. Το µέγιστο επίπεδο προϊόντος που µπορεί να παραχθεί από το συνδυασµό εισροών (, ) = (8,8) είναι / / / / = = 8 8 = = 8.! Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές Η καµπύλη ίσου προϊόντος του είναι το σύνολο όλων των συνδυασµών εισροών που µόλις επαρκούν για την παραγωγή µιας δεδοµένης ποσότητας προϊόντος.!4 4 Τεχνολογίες µε δύο µεταβλητές εισροές 8 Καµπύλη ίσου προϊόντος µε δύο µεταβλητές εισροές Οι καµπύλες ίσου προϊόντος µπορούν να απεικονιστούν γραφικά µε το να προσθέσουµε έναν άξονα για το επίπεδο προϊόντος και να θέσουµε κάθε καµπύλη ίσου προϊόντος στο ύψος του προϊόντος της καµπύλης. 4!5!6 5 6 Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

5 Καµπύλη ίσου προϊόντος µε δύο µεταβλητές εισροές Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές Το πλήρες σύνολο των καµπυλών ίσου προϊόντος (ΚΙΠ) είναι ο χάρτης καµπυλών ίσου προϊόντος. Ο χάρτης ΚΙΠ είναι το ισοδύναµο της συνάρτησης παραγωγής το ένα είναι το άλλο. / / π.χ. = f (, ) =!7!8 7 8 Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές!9!0 9 0 Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

6 Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές!! Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές!!4 4 Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

7 Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές!5!6 5 6 Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές!7!8 7 8 Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

8 Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές!9!0 9 0 Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές!! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

9 Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές!!4 4 Τεχνολογίες Cobb-Douglas Τεχνολογίες Cobb-Douglas Μια συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι της µορφής π.χ. µε = A a!. / / = =, A =, a = καιa =.!5 Όλες οι ΚΙΠ είναι υπερβολές, ασύµπτωτες µε τους άξονες = 5 6 Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

10 Τεχνολογίες Cobb-Douglas Όλες οι ΚΙΠ είναι υπερβολές, ασύµπτωτες µε τους άξονες Τεχνολογίες Cobb-Douglas Όλες οι ΚΙΠ είναι υπερβολές, ασύµπτωτες µε τους άξονες = a a = " a a = ' " > ' = a a = " a a = ' 7 8 Τεχνολογίες σταθερών αναλογιών Τεχνολογίες σταθερών αναλογιών Μια συνάρτηση παραγωγής µε σταθερές αναλογίες είναι της µορφής = mi{ a, a,!, a }. π.χ. µε = mi{, } =, a = ad a = = mi{, } = mi{, } = 4 mi{, } = 8 mi{, } = 4!9! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

11 Τεχνολογίες µε τέλεια υποκατάστατα Μια συνάρτηση παραγωγής µε τέλεια υποκατάστατα είναι της µορφής π.χ. µε = a + a +! + a. = + =, a = ad a =.!4 Τεχνολογίες µε τέλεια υποκατάστατα + = = 8 + = 4 Οι ΚΙΠ είναι παράλληλες ευθείες 8 4 = +!4 4 4 Οριακό (φυσικό) προϊόν Οριακό (φυσικό) προϊόν = f(,!, ) Το οριακό προϊόν µιας εισροής i είναι ο ρυθµός µεταβολής του επιπέδου του προϊόντος, καθώς το επίπεδο του συντελεστή i µεταβάλλεται, διατηρώντας τα επίπεδα όλων των άλλων συντελεστών σταθερά.. δηλαδή, MP i = i!4 / / π.χ. αν = f(, ) = Τότε το οριακό προϊόν του συντελεστή είναι MP = = / / και το οριακό προϊόν του συντελεστή είναι MP / = = /.! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

12 Οριακό (φυσικό) προϊόν Οριακό (φυσικό) προϊόν Το οριακό προϊόν µιας εισροής εξαρτάται από την ποσότητα που χρησιµοποιείται από τις άλλες εισροές, π.χ. αν MP / = / τότε, MP / / 4 = 8 = / αν = 8, Και αν = 7 τότε MP / / = 7 = /.!45 Το οριακό προϊόν µιας εισροής i είναι φθίνον αν γίνεται µικρότερο καθώς το επίπεδο της εισροής i αυξάνεται. Δηλαδή, αν MP i i = i & $ % i #! = " i < 0.! Οριακό (φυσικό) προϊόν Οριακό (φυσικό) προϊόν Π.χ. αν / / = τότε MP = / / και MP / = / Π.χ. αν / / = τότε MP = / / Έτσι MP και MP / = / 5 / = / < 0 9!47! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

13 Οριακό (φυσικό) προϊόν Οριακό (φυσικό) προϊόν Π.χ. αν / / = τότε MP / / = και MP / = / MP Έτσι = 5 / / < 0 9 και MP / 4 / = 9 < 0.!49 Π.χ. αν / / = τότε MP / / = και MP = Έτσι MP = 5 / / < 0 9 και MP = / 4 / < 0. 9 / / Και τα δύο οριακά προϊόντα είναι φθίνοντα Οριακό (φυσικό) προϊόν Γενικά, υποθέτουµε φθίνουσα οριακή παραγωγικότητα και αν η συνάρτηση παραγωγής είναι q = f(k,l) MP k k MPl l f = k f = l = f = f ll kk = f = f < 0 < 0!5 Οριακό (φυσικό) προϊόν Λόγω της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας, ο οικονοµολόγος του 9ου αιώνα Thomas Malthus ανησυχούσε για την επίπτωση που θα είχε ο αυξανόµενος πληθυσµός στην παραγωγικότητα της εργασίας Όµως, οι µεταβολές στην οριακή παραγωγικότητα της εργασίας διαχρονικά εξαρτώνται και από τις µεταβολές άλλων συντελεστών, όπως π.χ. Το κεφάλαιο Γι αυτό πρέπει να εξετάζουµε το f lk το οποίο είναι συνήθως θετικό.!5 5 5 Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

14 Μέσο φυσικό προϊόν Η παραγωγικότητα της εργασίας µετράται συνήθως µε τη µέση παραγωγικότητα προϊόν q f ( k, l) AP l = = = εργασία l l Το AP l εξαρτάται από την απασχολούµενη ποσότητα κεφαλαίου!5 Συνάρτηση παραγωγής µε δύο συντελεστές Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής είναι q = f(k,l) = 600k l - k l Για να βρούµε το MP l και το AP l, πρέπει να υποθέσουµε µια τιµή για το k Έστω ότι k = 0 Η συνάρτηση παραγωγής γίνεται q = l.000l! Συνάρτηση παραγωγής µε δύο συντελεστές Η οριακή παραγωγικότητα είναι MP l = q/ l = 0,000l - 000l η οποία φθίνει καθώς το l αυξάνει Αυτό συνεπάγεται ότι το q έχει µια µέγιστη τιµή: 0,000l - 000l = 0 40l = l l = 40 Η εισροή εργασίας πάνω από l = 40 µειώνει το προϊόν Συνάρτηση παραγωγής µε δύο συντελεστές Για να βρούµε τη µέση παραγωγικότητα, κρατούµε το k=0 και επιλύοντας βρίσκουµε AP l = q/l = 60,000l - 000l Το AP l είναι µέγιστο όταν AP l / l = 60, l = 0 l = 0!55! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

15 Συνάρτηση παραγωγής µε δύο συντελεστές Πράγµατι, όταν l = 0, τότε το AP l και το MP l είναι ίσα µε 900,000 / Άρα, όταν το AP l είναι στο µέγιστο του, τότε τα AP l και MP l είναι ίσα!57 Αποδόσεις Το οριακό προϊόν περιγράφει τη µεταβολή στο επίπεδο προϊόντος καθώς το επίπεδο µιας εισροής µεταβάλλεται. Οι αποδόσεις περιγράφουν πώς µεταβάλλεται το επίπεδο του προϊόντος καθώς το επίπεδο όλων των εισροών µεταβάλλεται µε την ίδια αναλογία (π.χ. Όλες οι εισροές διπλασιάζονται, ή διαιρούνται στο µισό).! Αποδόσεις Αποδόσεις Αν, για κάθε δέσµη εισροών (,, ), f( k, k,!, k) = kf(,,!, ) Τότε η τεχνολογία που περιγράφεται από τη συνάρτηση παραγωγής f παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις. π.χ. (k = ) ο διπλασιασµός των ποσοτήτων όλων των εισροών διπλασιάζει το επίπεδο του προϊόντος.!59 προϊόν Μια εισροή, ένα προϊόν = f() Σταθερές αποδόσεις εισροή! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

16 Αποδόσεις Αν, για κάθε δέσµη εισροών (,, ), f( k, k,!, k) < kf(,,!, ) Τότε η τεχνολογία που περιγράφεται από τη συνάρτηση παραγωγής f παρουσιάζει φθίνουσες αποδόσεις. π.χ. (k = ) ο διπλασιασµός των ποσοτήτων όλων των εισροών υποδιπλασιάζει το επίπεδο του προϊόντος. προϊόν f( ) f( ) f( ) Αποδόσεις Μια εισροή, ένα προϊόν = f() Φθίνουσες αποδόσεις!6 εισροή!6 6 6 Αποδόσεις Αποδόσεις Αν, για κάθε δέσµη εισροών (,, ), f( k, k,!, k) > kf(,,!, ) Τότε η τεχνολογία που περιγράφεται από τη συνάρτηση παραγωγής f παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις. π.χ. (k = ) ο διπλασιασµός των ποσοτήτων όλων των εισροών υπερδιπλασιάζει το επίπεδο του προϊόντος.!6 προϊόν f( ) f( ) f( ) Μια εισροή, ένα προϊόν Αύξουσες αποδόσεις = f() εισροή! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

17 Αποδόσεις Αποδόσεις Μια εισροή, ένα προϊόν Μια τεχνολογία µπορεί «τοπικά» να παρουσιάζει διαφορετικές αποδόσεις. προϊόν Αύξουσες αποδόσεις = f() Φθίνουσες αποδόσεις!65 εισροή! Παραδείγµατα µε αποδόσεις Παραδείγµατα µε αποδόσεις Η συνάρτηση παραγωγής µε τέλεια υποκατάστατα είναι = a + a +! + a. a ( k ) + a = k( a + a ( k ) +! + a +! + a ( k ) ) = k Αύξησε όλες τις εισροές αναλογικά κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται a k ) + a ( k ) +! + a ( k ( )!67 Η συνάρτηση παραγωγής µε τέλεια υποκατάστατα παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις.! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

18 Παραδείγµατα µε αποδόσεις Η συνάρτηση παραγωγής µε τέλεια συµπληρωµατικές εισροές είναι = mi{ a, a,!, a }. Αύξησε όλες τις εισροές αναλογικά κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται mi{ a ( k), a( k),!, a ( k )} Παραδείγµατα µε αποδόσεις Η συνάρτηση παραγωγής µε τέλεια συµπληρωµατικές εισροές είναι = mi{ a, a,!, a }. Αύξησε όλες τις εισροές αναλογικά κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται mi{ a ( k), a( k),!, a ( k)} = k(mi{ a, a,!, a})!69! Παραδείγµατα µε αποδόσεις Παραδείγµατα µε αποδόσεις Η συνάρτηση παραγωγής µε τέλεια συµπληρωµατικές εισροές είναι Η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι = mi{ a, a,!, a }. Αύξησε όλες τις εισροές αναλογικά κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται mi{ a ( k ), a ( k ),!, a ( k = k(mi{ a, a,!, a }) = k Η συνάρτηση παραγωγής µε τέλεια συµπληρωµατικά παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις. )}!7 =! a. Αύξησε όλα τα επίπεδα εισροών κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται a ( k ) a ( k ) ( k) a!!7 7 7 Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

19 Παραδείγµατα µε αποδόσεις Παραδείγµατα µε αποδόσεις Η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι Η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι =! a. Αύξησε όλα τα επίπεδα εισροών κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται a ( k ) a ( k )!( k) a = k k! k!!7 =! a. Αύξησε όλα τα επίπεδα εισροών κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται a ( k ) a ( k )!( k) a = k k! k! a k + a+! + a =! a! Παραδείγµατα µε αποδόσεις Η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι =! a. Αύξησε όλα τα επίπεδα εισροών κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται ( k ) ( k ) ( k) a! = k k! k! a k + a+! + a = a! k +! + =.!75 Παραδείγµατα µε αποδόσεις Η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι =! a. a ( k ) a ( k ) ( k) a k a +! + a! =. Οι αποδόσεις τεχνολογίας Cobb-Douglas είναι σταθερές αν a + + a =! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

20 Παραδείγµατα µε αποδόσεις Η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι =! a. a ( k ) a ( k ) ( k) a k a +! + a! =. Οι αποδόσεις τεχνολογίας Cobb-Douglas είναι σταθερές αν a + + a = αύξουσες αν a + + a > / 77!77 Παραδείγµατα µε αποδόσεις Η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι =! a. a ( k ) a ( k ) ( k) a k a +! + a! =. Οι αποδόσεις τεχνολογίας Cobb-Douglas είναι σταθερές αν a + + a = αύξουσες αν a + + a > φθίνουσες αν a + + a < / 78.!78 Αποδόσεις Γενικά, αν η συνάρτηση παραγωγής είναι q = f(k,l) και όλες οι εισροές πολλαπλασιαστούν µε τον ίδιο θετικό σταθερό αριθµό (t >), τότε Αποδόσεις Ε: Μπορεί µια τεχνολογία να παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις ακόµη κι αν όλα τα οριακά της προϊόντα είναι φθίνοντα; Επίδραση στο προϊόν f(tk,tl) = tf(k,l) Αποδόσεις Σταθερές f(tk,tl) < tf(k,l) Φθίνουσες f(tk,tl) > tf(k,l) Αύξουσες!79! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

21 Αποδόσεις Αποδόσεις Ε: Μπορεί µια τεχνολογία να παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις ακόµη κι αν όλα τα οριακά της προϊόντα είναι φθίνοντα; A:Ναι. / / = π.χ..!8 = / / = 4 a + a = > Άρα αυτή η τεχνολογία παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις.!8 8 8 Αποδόσεις Αποδόσεις Αλλά MP / / = αυξάνει = / / = 4 a + a = > Άρα αυτή η τεχνολογία παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις. Φθίνει καθώς το!8 4 a + a = > Αλλά MP = / αυξάνει και αυξάνει. = / / = MP = / Άρα αυτή η τεχνολογία παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις. / φθίνει καθώς το / φθίνει καθώς το! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

22 Αποδόσεις Εποµένως, µια τεχνολογία παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις ακόµη και αν όλα τα οριακά της προϊόντα φθίνουν. Γιατί; Αποδόσεις Το οριακό προϊόν είναι ο ρυθµός µεταβολής του προϊόντος καθώς το επίπεδο µιας εισροής αυξάνει, διατηρώντας όλες τις άλλες εισροές σταθερές. Το οριακό προϊόν φθίνει επειδή τα επίπεδα των άλλων συντελεστών παραµένουν σταθερά. Εποµένως, οι µονάδες της εισροής που αυξάνει έχουν όλο και λιγότερες µονάδες από τις άλλες εισροές για να συνεργαστούν.!85! Αποδόσεις Όταν τα επίπεδα όλων των εισροών αυξάνονται αναλογικά, δεν είναι απαραίτητο να µειώνονται τα οριακά προϊόντα, αφού η κάθε εισροή θα έχει πάντα την ίδια ποσότητα από τις άλλες εισροές µε τις οποίες συνεργάζεται. Οι παραγωγικότητες των συντελεστών δεν µειώνονται απαραίτητα και γι αυτό οι αποδόσεις µπορεί να είναι σταθερές ή αύξουσες. Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης Με ποιο ρυθµό µπορεί µια επιχείρηση να υποκαθιστά ένα συντελεστή µε έναν άλλο, χωρίς να αλλάζει το επίπεδο παραγωγής της;!87! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

23 ' Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης ' Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης Κλίση είναι ο ρυθµός στον οποίο πρέπει να υποκαταστήσουµε µονάδες του συντελεστή µε µονάδες του συντελεστή για να µείνει αµετάβλητο το επίπεδο παραγωγής. Η κλίση µιας καµπύλης ίσου προϊόντος λέγεται οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (MRTS) ' '!89! Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης Πώς υπολογίζεται ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης;!9 Πώς υπολογίζεται ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης; Η συνάρτηση παραγωγής είναι = f(, ). Μια µικρή µεταβολή στις εισροές (d, d ) προκαλεί µια µεταβολή στο επίπεδο του προϊόντος d = d + d.!9 9 9 Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

24 Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης d = d + d Αλλά µε d = 0 αφού δεν αλλάζει το επίπεδο παραγωγής, οι µεταβολές d και d πρέπει να ικανοποιούν τη σχέση. 0 = + d d.!9 0 = + d d Και µε αναδιάταξη ή d d d = d = / /.! Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης d d = / / Είναι ο λόγος στον οποίο πρέπει να θυσιάσουµε µονάδες του συντελεστή καθώς αυξάνει η χρήση του συντελεστή έτσι ώστε να µείνει αµετάβλητο το επίπεδο παραγωγής. Είναι η κλίση της καµπύλης ίσου προϊόντος Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης: π.χ. Cobb-Douglas άρα a b a b και = f(, ) = = a = b Ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (MRTS) είναι d d a a b. / a a = = = / a b b b b.!95! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

25 Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης: π.χ. Cobb-Douglas / / = ; a = ad b = a TRS = ( / ) = = b ( / ) Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης: π.χ. Cobb-Douglas 8 / / = ; a = ad b = a TRS = ( / ) = = b ( / ) TRS = 8 = = Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης: π.χ. Cobb-Douglas 6 / / = ; a = ad b = a TRS = ( / ) = = b ( / ) TRS = 6 = = 4 Οµαλές τεχνολογίες Μια οµαλή τεχνολογία είναι µονοτονική και κυρτή.!99! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

26 Οµαλές τεχνολογίες- µονοτονικότητα Μονοτονικότητα: Όσο πιο πολύ από µια εισροή τόσο µεγαλύτερο το προϊόν. µονοτονική µη µονοτονική Οµαλές τεχνολογίες - κυρτότητα Κυρτότητα: Αν ο συνδυασµός εισροών και παράγουν µονάδες προϊόντος, τότε το µείγµα εισροών t + (-t) παράγουν τουλάχιστο µονάδες προϊόντος, για κάθε 0 < t <.!0!0 0 0 Οµαλές τεχνολογίες - κυρτότητα Οµαλές τεχνολογίες - κυρτότητα ' ' ( t t t t ) ' + ( ) ", ' + ( ) " " 00 " 00 ' " ' "!0! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

27 Οµαλές τεχνολογίες - κυρτότητα Οµαλές τεχνολογίες - κυρτότητα ' ( t t t t ) ' + ( ) ", ' + ( ) " ' Η κυρτότητα συνεπάγεται ότι ο MRTS αυξάνει (γίνεται λιγότερο αρνητικός) καθώς το αυξάνει. " 0 00 " ' " ' "!05! Οµαλές τεχνολογίες - κυρτότητα Περισσότερο προϊόν Η γραµµική συνάρτηση παραγωγής Έστω η συνάρτηση παραγωγής q = f(k,l) = ak + bl Αυτή η συνάρτηση παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις f(tk,tl) = atk + btl = t(ak + bl) = tf(k,l) Όλες οι καµπύλες ίσου προϊόντος είναι ευθείες γραµµές. Ο RTS είναι σταθερός!07! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

28 Η γραµµική συνάρτηση παραγωγής Κεφάλαιο και εργασία είναι τέλεια υποκατάστατα k ανά περίοδο Ο RTS είναι σταθερός καθώς το k/l µεταβάλλεται κλίση = -b/a Σταθερές αναλογίες Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής είναι q = mi (ak, bl) a,b > 0 Το κεφάλαιο και η εργασία πρέπει να χρησιµοποιούνται πάντα σε σταθερή αναλογία Η επιχείρηση λειτουργεί πάντα κατά µήκος µιας ακτίνας όπου το k/l είναι σταθερό q q q l ανά περίοδο!09! Σταθερές αναλογίες Καµιά υποκατάσταση µεταξύ κεφαλαίου και εργασίας δεν είναι δυνατή k ανά περίοδο q /a q /b q q k/l είναι σταθερό στο b/a q l ανά περίοδο! Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος Στη µακροχρόνια περίοδο η επιχείρηση δεν έχει περιορισµούς στην επιλογή της για τις ποσότητες που θα χρησιµοποιήσει από όλες τις εισροές. Υπάρχουν πολλές βραχυχρόνιες περίοδοι. Στη βραχυχρόνια περίοδο η επιχείρηση έχει περιορισµούς στις επιλογές της για το επίπεδο εισροής που θα χρησιµοποιήσει τουλάχιστο για µια εισροή.! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

29 Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος Παραδείγµατα περιορισµών που έχει µια επιχείρηση βραχυχρόνια : Δεν µπορεί να εγκαταστήσει ή να αποµακρύνει εξοπλισµό για µικρό χρονικό διάστηµα. Υποχρεώνεται από το νόµο να µην χρησιµοποιεί κάποιες εισροές πάνω από ένα ποσό Σε µερικές περιπτώσεις πρέπει να χρησιµοποιεί, µέχρι ένα ποσοστό, εγχώριες εισροές. Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος Ένας χρήσιµος τρόπος για να σκεφτούµε τη µακροχρόνια περίοδο είναι να θεωρήσουµε ότι η επιχείρηση µπορεί να επιλέξει, όπως της αρέσει, σε ποια βραχυχρόνια κατάσταση θα ήθελε να είναι.!!4 4 Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος Τι συνεπάγονται οι βραχυχρόνιοι περιορισµοί στην τεχνολογία µιας επιχείρησης; Ας υποθέσουµε ότι ένας βραχυχρόνιος περιορισµός είναι να είναι σταθερό το επίπεδο χρήσης της εισροής. Η εισροή είναι εποµένως µια σταθερή εισροή βραχυχρόνια. Η εισροή παραµένει µεταβλητή.!5 Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος Τέσσερις βραχυχρόνιες συναρτήσεις παραγωγής.!6 5 6 Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

30 Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος / / = είναι η µακροχρόνια συνάρτηση παραγωγής ( και είναι µεταβλητά). Η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής όταν είναι / / / = =. Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος / / = 0 / / = 5 / / = / / = Η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής όταν 0 είναι = / 0 /.!7 Τέσσερις βραχυχρόνιες συναρτήσεις παραγωγής.!8 7 8 Άσκηση εξάσκησης Άσκηση εξάσκησης «Αν µια επιχείρηση που χρησιµοποιεί παραγωγικούς συντελεστές παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις, τότε τουλάχιστον ο ένας από τους δύο συντελεστές θα παραβιάζει το νόµο της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας». Συµφωνείτε ή όχι µε την πρόταση αυτή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.!9 «Αν µια συνάρτηση παραγωγής ικανοποιεί το νόµο της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας, τότε αυτή η συνάρτηση θα πρέπει να παρουσιάζει φθίνουσες αποδόσεις». Συµφωνείτε µε αυτόν τον ισχυρισµό; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.!0 9 0 Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04

31 σκηση εξάσκησης 4 Άσκηση εξάσκησης Για µια επιχείρηση που χρησιµοποιεί εργασία και κεφάλαιο, το οριακό προϊόν της εργασίας είναι 4 και το οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι 5. Αν η επιχείρηση αυτή χρησιµοποιήσει µια µονάδα εργασίας ακόµα, αλλά δε θέλει να αλλάξει την ποσότητα του προϊόντος που παράγει, πόσο πρέπει να αλλάξει την ποσότητα κεφαλαίου που χρησιµοποιεί;! Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής f(,)=( a + a ) s/a, όπου a= και s µια θετική σταθερά. Τι αποδόσεις έχει η συνάρτηση αυτή;! Άσκηση εξάσκησης 5 Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής f(, ) = 0 /5 /5. Ποια είναι η κλίση της καµπύλης ίσου προϊόντος στο σηµείο (, ) = (80, 0);! Διάλεξη 0-0 Τεχνολογία - 5 March 04