ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Τμήμα Οικονομικών Επιστημών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Χειμώνας-Άνοιξη Μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου 3 ο Πακέτο Ασκήσεων, Απαντήσεις Ημερομηνία παράδοσης: Τρίτη 16 Μαΐου Υποθέστε ότι μια κοινωνία αποτελείται από 3 άτομα και έχει συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας την W = U1 + U2 + U3, όπου Ui είναι η χρησιμότητα του ατόμου i. Αν υποθέσουμε ότι όλα τα άτομα έχουν την ίδια συνάρτηση ατομικής χρησιμότητας, ότι η ατομική οριακή χρησιμότητα είναι φθίνουσα και ότι το συνολικό εισόδημα στην κοινωνία είναι δεδομένο (I), ποια είναι η άριστη διανομή εισοδήματος μεταξύ των τριών ατόμων; (α) U1 = Ι, U2 = 0, U3 = 0 (β) U1 = 0, U2 = Ι, U3 = 0 (γ) U1 = ½ Ι, U2 = ½ Ι, U3 = 0 (δ) U1 = 1/3 Ι, U2 = 1/3 Ι, U3 = 1/3 Ι (ε) δεν μπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που μας δίνονται. Απάντηση (δ) 2. Υποθέστε ότι μια οικογένεια έχει 1000 να ξοδέψει σε τρόφιμα και σε «άλλα αγαθά». Αρχικά ξοδεύει 200 σε τρόφιμα και 800 σε άλλα αγαθά. Η κυβέρνηση αποφασίζει να δώσει στην οικογένεια κουπόνια τροφίμων αξίας 200. Ποιον από τους παρακάτω συνδυασμούς δεν θα επιλέξει η οικογένεια όταν πάρει τα κουπόνια για τρόφιμα; (α) Τρόφιμα = 100, Άλλα αγαθά = 1100 (β) Τρόφιμα = 300, Άλλα αγαθά = 900 (γ) Τρόφιμα = 250, Άλλα αγαθά = 950 (δ) Τρόφιμα = 350, Άλλα αγαθά = 850 (ε) Κανένα από τα παραπάνω δεν είναι η σωστή απάντηση. Απάντηση (α) 3. Ο διάμεσος ψηφοφόρος είναι πάντα ο ψηφοφόρος με το διάμεσο εισόδημα. Συμφωνείτε ή όχι, και γιατί; Απάντηση: Ο διάμεσος ψηφοφόρος δεν είναι πάντα ο ψηφοφόρος με το διάμεσο εισόδημα. Πολλά θέματα δεν αφορούν επιλογές αναφορικά με διαφορετικά επίπεδα δημοσίων δαπανών., επομένως οι ψηφοφόροι δεν ιεραρχούνται με βάση το εισόδημά τους. Για παράδειγμα, η πολιτική του κράτους απέναντι στην πορνογραφία θα αντικατοπτρίζει την άποψη του

2 2 διάμεσου ψηφοφόρου όπου οι απόψεις εκτείνονται από την ακραία θέση ότι η ατομική ελευθερία έχει τη μεγαλύτερη σημασία μέχρι την ακραία θέση ότι η ηθική πρέπει να προστατεύεται με κάθε κόστος. Άλλο τέτοιο ζήτημα θα ήταν τα δικαιώματα των ατόμων για οπλοκατοχή. Απαντήστε όλες τις πιο κάτω ασκήσεις Άσκηση 1. Ας υποθέσουμε ότι η κυβέρνηση ζητά από τους εργοδότες να παρέχουν στους υπαλλήλους τους παιδικούς σταθμούς. Επίσης ας υποθέσουμε ότι η αγοραία αξία του παιδικού σταθμού που παρέχεται από ένα συγκεκριμένο εργοδότη ανέρχεται σε ευρώ το χρόνο. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ένας εργαζόμενος που επωφελείται από την ύπαρξη του παιδικού σταθμού είναι κατά ευρώ καλύτερα το χρόνο; (Υπόδειξη: Αναλύστε ένα μοντέλο στο οποίο το άτομο επιλέγει ανάμεσα σε δύο αγαθά, «ώρες παιδικού σταθμού» και «όλα τα άλλα αγαθά».) Άσκηση 1. Απάντηση. Ο παιδικός σταθμός είναι ένα παράδειγμα εις είδος παροχής. Ο αρχικός εισοδηματικός περιορισμός δίνεται από τη γραμμή G1H1 στο πιο κάτω διάγραμμα. Αν ένας εργαζόμενος λάβει 5,000 σε μετρητά, ο εισοδηματικός του περιορισμός μετακινείται στο G2H2. Ένας εργαζόμενος που χρησιμοποιεί τον παιδικό σταθμό μπορεί να μην βελτιώνει τη θέση του κατά 5,000. Ο εργαζόμενος επιλέγει το σημείο Α, αλλά θα ήταν σε καλύτερη θέση στο σημείο Β, το οποίο δείχνει την επιλογή του καταναλωτή μετά την εισοδηματική ενίσχυση των 5,000. Όλα τα άλλα αγαθά Ώρες φροντίδας

3 3 Άσκηση 2. Υποθέστε ότι μία κοινωνία αποτελείται από δύο άτομα, τον Στέλιο και τη Μαρία. Οι ατομικές συναρτήσεις χρησιμότητας των δύο ατόμων είναι UΣ=100(ΥΣ) 1/2 και UM=100YM 1/2 +0,8UΣ. Η διανομή του εισοδήματος αρχικά είναι ίση, με τα δύο άτομα να έχουν από 100 ευρώ το καθένα. Μπορεί να υπάρξει βελτίωση της κατανομής κατά Pareto; Μια μεταβίβαση εισοδήματος από την Μαρία στον Στέλιο κατά 36 ευρώ αποτελεί βελτίωση κατά Pareto και αυξάνει την συνολική κοινωνική ευημερία; (υποθέστε ότι η συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας είναι αθροιστική). Άσκηση 2. Απάντηση. Βελτίωση κατά Pareto θα αποτελούσε μια ανακατανομή εισοδήματος που αυξάνει (ή δε μειώνει) την χρησιμότητα του κάθε ατόμου. Με αυτά τα δύο άτομα, η χρησιμότητα της Μαρίας αυξάνει καθώς αυξάνει η χρησιμότητα του Στέλιου. Επομένως, ενδεχομένως να είναι δυνατόν να ανακατανείμουμε εισόδημα από την Μαρία στον Στέλιο και να αυξήσουμε την χρησιμότητα και των δύο. Με την αρχική κατανομή εισοδήματος, η χρησιμότητα του Στέλιου είναι US=100(100) 1/2, ή US= Η χρησιμότητα της Μαρίας είναι UM=100(100) 1/2 +0,8(1.000), ή UM= Αν η συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας είναι αθροιστική, η κοινωνική ευημερία στην αρχική κατανομή είναι W=US+UM= = Με μια μεταβίβαση εισοδήματος από την Μαρία στον Στέλιο κατά 36 ευρώ, το εισόδημα του Στέλιου τώρα είναι 136, ενώ της Μαρίας 64. Η χρησιμότητα του Στέλιου είναι US=100(136) 1/2, ή US=1.166,19. Η χρησιμότητα της Μαρίας στη νέα κατανομή εισοδήματος είναι UM=100(64) 1/2 +0,8(1.166,19), ή UM= ,952=1.732,952. Σε αυτήν την περίπτωση, η χρησιμότητα του Στέλιου αυξάνεται από σε 1.166,190, ενώ της Μαρίας μειώνεται από σε 1.732,952. Η κοινωνική ευημερία αυξάνεται με την αναδιανομή, από σε 2.899,142. Επομένως η μεταβίβαση εισοδήματος αυξάνει την κοινωνική ευημερία, αλλά δεν αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. Άσκηση 3. Υποθέστε ότι η Ελένη έχει την ακόλουθη συνάρτηση χρησιμότητας : U=C 1/5 O 4/5, όπου το C είναι η ποσότητα τυριού που καταναλώνει και το O είναι η ποσότητα που καταναλώνει από όλα τα άλλα αγαθά. Το εισόδημά της είναι 300. Οι τιμές είναι: P C =2 and P O =1. (α) Υποθέστε ότι η κυβέρνηση δίνει στην Ελένη μια χρηματική μεταβίβαση ύψους 120. Ποιες ποσότητες τυριού και άλλων αγαθών θα επιλέξει να καταναλώσει η Ελένη; (β) Υποθέστε ότι η κυβέρνηση αποφασίζει να δώσει στην Ελένη μια μεταβίβαση σε είδος (60 μονάδες τυριού), την οποία η Ελένη δε μπορεί να μεταπωλήσει. Σχεδιάστε την γραμμή εισοδηματικού περιορισμού της Ελένης. Τι θα επιλέξει τώρα; (γ) υποθέστε ότι η κυβέρνηση δίνει στην Ελένη μια μεταβίβαση σε είδος 30 μονάδων τυριού και επιπλέον μια χρηματική μεταβίβαση ύψους 60. Σχεδιάστε τη νέα γραμμή εισοδηματικού περιορισμού της Ελένης. Ποιες θα είναι οι επιλογές της;

4 4 Άσκηση 3. Απάντηση. (α) (β) Ο εισοδηματικός περιορισμός είναι η κόκκινη γραμμή. Όλα τα άλλα αγαθά Τυρί Προφανώς η μεταβίβαση σε είδος μετακινεί την Ελένη σε υψηλότερη καμπύλη χρησιμότητας. Η Ελένη τώρα πρέπει να καταναλώσει 60 μονάδες τυριού. Το να καταναλώσει λιγότερη ποσότητα τυριού δεν σημαίνει ότι θα έχει περισσότερο εισόδημα (εφόσον δε μπορεί να μεταπωλήσει το τυρί). Η Ελένη όμως δε θέλει να καταναλώσει περισσότερο από 60 μονάδες τυριού, αφού η επιλογή της στην περίπτωση της ισόποσης εισοδηματικής μεταβίβασης ήταν ( C= 42, O = 336). Επομένως, η επιλογή της τώρα είναι C = 60 και θα χρησιμοποιήσει όλο το εισόδημά της ( 300) για να αγοράσει άλλα αγαθά (Ο = 300) (γ) Ο εισοδηματικό περιορισμός είναι η κόκκινη γραμμή.

5 5 Όλα τα άλλα αγαθά Τυρί Αφού ο προτιμώμενος συνδυασμός περιελάμβανε 42 μονάδες τυριού (το οποίο είναι μεγαλύτερη ποσότητα από τη μεταβίβαση σε είδος, η Ελένη μπορεί να έχει την επιλογή {C,O} = {42, 336} με το νέο πρόγραμμα μεταβίβασης σε είδος. (Το σημείο {42, 336} είναι η προτιμώμενη επιλογή της Ελένης, όταν όλες οι εισοδηματικά ισοδύναμες μεταβιβάσεις είναι στη μορφή μετρητών). Επομένως θα επιλέξει αυτόν τον συνδυασμό χρησιμοποιώντας το εισόδημά της για να αγοράσει 12 μονάδες τυριού και 336 μονάδες από τα άλλα αγαθά. Άσκηση 4. Η οικογένεια του κ. Παπαδόπουλου ζει σε μια χώρα χωρίς δημόσια εκπαίδευση. Υπάρχει μόνο ένα ιδιωτικό σχολείο το οποίο παρέχει οποιαδήποτε ποσότητα εκπαίδευσης Ε και χρεώνει 3 για κάθε μονάδα εκπαίδευσης, Ε. Ο κ. Παπαδόπουλος έχει οικογενειακό εισόδημα 2000 και συνάρτηση χρησιμότητας U = ln( C ) + 3ln( E ) όπου C είναι η ποσότητα όλων των υπόλοιπων αγαθών εκτός από εκπαίδευση και PC = 1. (α) Πόση εκπαίδευση θα παρέχει ο κ. Παπαδόπουλος στο παιδί του; (β) Η κυβέρνηση αποφασίζει να ανοίξει ένα δημόσιο σχολείο, το οποίο παρέχει Ε = 400. Ο κ. Παπαδόπουλος θα γράψει το παιδί του στο δημόσιο ή στο ιδιωτικό σχολείο; Αν το γράψει στο ιδιωτικό σχολείο, πόση ποσότητα Ε θα ζητήσει; (γ) Υποθέστε ότι αντί να ανοίξει δημόσιο σχολείο, η κυβέρνηση αποφασίζει να δώσει ένα κουπόνι αξίας 1200 (το οποίο αντιστοιχεί στην αξία 400 μονάδων εκπαίδευσης στο ιδιωτικό σχολείο). Πόση ποσότητα εκπαίδευσης θα επιλέξει τώρα ο κ. Παπαδόπουλος; Άσκηση 4. Απάντηση. (α)

6 6 maxu = lnc + 3lnE υπό τον περιορισμό C + 3E = 200 maxu = ln(200-3e) + 3lnE E = 200 3E 4E = 2000 E = 500 C = 500 (β) Ο κ. Παπαδόπουλος θα στείλει το παιδί του στο δημόσιο σχολείο. Σε αυτήν την περίπτωση η χρησιμότητα θα είναι U = ln(2000) + 3ln(400) = Η χρησιμότητά του από το ιδιωτικό σχολείο θα είναι U = ln (500) + 3ln(500) = (γ) maxu = lnc + 3lnE υπό τον περιορισμό C + 3E = 3200 maxu = ln(3200-3e) + 3lnE E = E 4E = 3200 E = 800 C = 800 Άσκηση 5. Ένα έργο αποδίδει ένα ετήσιο όφελος 25 ετησίως, που αρχίζει από το επόμενο έτος και διαρκεί για πάντα. Ποια η παρούσα αξία των ωφελειών αν το επιτόκιο είναι 10%; [Νύξη: Το άπειρο άθροισμα x + x 2 + x ισούται με x/(1 - x), όπου x είναι ένας αριθμός

7 7 μικρότερος από το 1.] Γενικεύστε την απάντηση σας για να δείξετε ότι αν το διαρκές ετήσιο όφελος είναι B και το επιτόκιο είναι r, τότε η παρούσα αξία είναι B/r. Άσκηση 5. Απάντηση Η παρούσα αξία των 25/0,10 = 250. Η παρούσα αξία του διαρκούς ετήσιου οφέλους είναι B B B PV r (1 r) 1 r Θέτοντας Β/(1+r) = α και 1/(1+r) = x, έχω 2 3 PV a(1 x x x...) (1) Πολλαπλασιάζοντας με x, έχω 2 3 PVx a( x x x...) (2) Αφαιρώντας τη (2) από την (1) PV ( 1 x) a Αντικαθιστώντας τα x και α 1 B PV ( 1 ) 1 r 1 r PV B r Άσκηση 6. Υποθέστε ότι προγραμματίζετε να κάνετε τις διακοπές σας, το ερχόμενο καλοκαίρι σε χώρες της Ευρώπης με ποδήλατο. Κάποιος είναι διατεθειμένος να σας πουλήσει ένα καινούργιο ποδήλατο έναντι 500. Του χρόνου όμως ελπίζετε ότι θα πουλήσετε το ποδήλατο σε κάποιον άλλο έναντι 350. Το όφελος που έχετε από τη χρήση του ποδηλάτου είναι ισοδύναμο με 170. a. Ποιος είναι ο εσωτερικός λόγος απόδοσης; b. Αν το προεξοφλητικό επιτόκιο είναι 5%, θα αγοράσετε το ποδήλατο; Άσκηση 6. Απάντηση α. Ο εσωτερικός λόγος απόδοσης είναι το προεξοφλητικό επιτόκιο που μηδενίζει την παρούσα αξία. Για να λύσουμε για τον εσωτερικό λόγο απόδοσης, θέτουμε την παρούσα αξία των ωφελειών μείον την παρούσα αξία του κόστους ίση με το μηδέν. Αν υποθέσουμε ότι το όφελος από το ποδήλατο είναι άμεσο ( 170), υπάρχει και το όφελος

8 8 από τη μεταπώληση, 350, αλλά αυτό θα γίνει μετά από ένα χρόνο. Άρα θα πρέπει να βρούμε την παρούσα αξία του. Έτσι, NPV είναι [350/(1+ )] 500 = 0. Λύνοντας ως προς έχουμε ότι = 6%. β. Αν το προεξοφλητικό επιτόκιο είναι 5%, και το =6%, τότε η αγορά του ποδηλάτου είναι μια καλή ιδέα. Άσκηση 7. Ο Βασίλης χρησιμοποιεί το μετρό για ένα ταξίδι, που του κοστίζει 75 λεπτά. Αν όμως αυξηθεί η τιμή τότε θα αλλάξει μέσο μεταφοράς και θα παίρνει το λεωφορείο, το οποίο όμως κάνει για το ίδιο ταξίδι πέντε λεπτά περισσότερο και το εισιτήριο είναι 50 λεπτά. Έστω ότι ο Βασίλης κάνει δέκα ταξίδια το χρόνο. Ο Δήμος στον οποίο ανήκει το μετρό σκέφτεται να ανακαινίσει το σύστημα, με αποτέλεσμα το ταξίδι να συντομευτεί κατά 10 λεπτά, αλλά το εισιτήριο θα πρέπει να αυξηθεί κατά 40 λεπτά για να καλυφθούν τα κόστη. Η αύξηση του εισιτηρίου και η μείωση του χρόνου θα ισχύουν μετά από ένα χρόνο και θα διαρκέσουν για πάντα. Το επιτόκιο είναι 25%. a. Για το Βασίλη ποια είναι η παρούσα αξία των ωφελειών και του κόστους του έργου: β. Υποθέστε ότι ο πληθυσμός της πόλης είναι άνθρωποι μεσαίου εισοδήματος και όλοι είναι οι ίδιοι με το Βασίλη και φτωχοί άνθρωποι. Οι φτωχοί άνθρωποι είναι είτε άνεργοι είτε έχουν δουλειές κοντά στα σπίτια τους και δεν χρησιμοποιούν κανένα δημόσιο μεταφορικό μέσο. Ποια είναι τα συνολικά οφέλη και κόστη του έργου για την πόλη συνολικά; Ποια η καθαρή παρούσα αξία του έργου; γ. Μερικά μέλη του Δημοτικού Συμβουλίου προτείνουν ένα εναλλακτικό έργο που αποτελείται από έναν φόρο 1,25 ανά άτομο μέσου εισοδήματος για να προσφέρονται δωρεάν νομικές υπηρεσίες στους φτωχούς για τα επόμενα δύο χρόνια. Οι νομικές υπηρεσίες αποτιμούνται από τους φτωχούς στα ετησίως. (Υποθέστε ότι το ποσό αυτό λαμβάνεται στο τέλος κάθε έτους.) Ποια η παρούσα αξία του έργου; δ. Αν ο Δήμος πρέπει να επιλέξει μεταξύ του μετρό και της παροχής νομικών υπηρεσιών, ποιο από τα δύο πρέπει να διαλέξει; ε. Ποια είναι η «διανεμητική στάθμιση» του κάθε ευρώ που παίρνει ένα φτωχό άτομο η οποία θα κάνει τα δύο έργα ακριβώς ίσα; Δηλαδή πόσο πρέπει να αξίζει το κάθε ευρώ που παίρνει ένα φτωχό άτομο σε σχέση με εκείνο που παίρνει ένα άτομο μέσου εισοδήματος. Εξηγείστε την απάντηση σας. Άσκηση 7. Απάντηση α. Ο Βασίλης είναι πρόθυμος να πληρώσει 25 λεπτά για να εξοικονομήσει πέντε λεπτά χρόνου, πράγμα που σημαίνει ότι αποτιμά το κάθε λεπτό του χρόνου με 5 λεπτά (cents). Το μετρό του εξοικονομεί 10 λεπτά ανά ταξίδι, ή 50 cents. Η αξία των 10 ταξιδιών ετησίως είναι 5. Το κόστος κάθε ταξιδιού είναι 40 cents, ή 4 ετησίως. Το ετήσιο καθαρό όφελος του Βασίλη είναι επομένως 1. Η παρούσα αξία των ωφελειών = 5/0,25 = 20; Η παρούσα αξία του κόστους είναι 4/0,25 = 16. β. Συνολικά οφέλη = 20x55.000= Συνολικά κόστη = 16x =

9 9 Καθαρό όφελος = γ Κόστη = 1.25 x = Οφέλη =( /1,25) + ( /1,25 2 ) = Καθαρό όφελος= δ. Το έργο του μετρό έχει μεγαλύτερη παρούσα αξία. Αν ένα ευρώ για τους φτωχούς αποτιμάται το ίδιο με ένα ευρώ για τα άτομα με μεσαίο εισόδημα, τότε επιλέγεται το μετρό. ε. Έστω = η διανεμητική στάθμιση. Θέτουμε = [(62.500/1,25) + (62.500/1,25 2 )], = 3,21 Η διανεμητική στάθμιση σημαίνει ότι 1 εισοδήματος για τους φτωχούς πρέπει να αξιολογείται ως πιο σημαντικό από τα 3.21 του ατόμου με μεσαίο εισόδημα, για τις νομικές υπηρεσίες για να γίνει το έργο. Άσκηση 8. Ας υποθέσουμε ότι το κράτος εξετάζει το αν θα δαπανήσει 100 δισ σήμερα για να αντιμετωπίσει την κλιματική αλλαγή. Εκτιμάται ότι θα αποφευχθούν ζημιές 700 δισ, αλλά αυτά τα οφέλη θα συσσωρευτούν σε 100 χρόνια από σήμερα. Κάποιος επικριτής της πρότασης αυτής υποστηρίζει ότι θα ήταν καλύτερα να επενδυθούν κάπου τα 100 δισ και να έχουν μια απόδοση 5% ετησίως και να χρησιμοποιήσει τα έσοδα σε 100 χρόνια για να αντιμετωπίσει τις ζημιές από την κλιματική αλλαγή. Είναι σωστή η άποψη του επικριτή; Άσκηση 8. Απάντηση Αν τα 100 δισ επενδυθούν για 100 χρόνια με 5% ετησίως, το συνολικό ποσό που θα δημιουργηθεί είναι 13 τρισ, αρκετά πιο πάνω από τα 700 δισ ζημιών λόγω της κλιματικής αλλαγής. Μπορεί α υπάρχουν και άλλες πτυχές που πρέπει να ληφθούν υπόψη όταν γίνεται η αποτίμηση, αλλά με βάση τα καθαρά οικονομικά μεγέθη, ο επικριτής έχει δίκιο. Άσκηση 9. Τρεις φίλοι, ο Α ο Β και ο Γ πρέπει να αποφασίσουν ποια ταινία να δουν. Υπάρχουν τρεις μεταξύ των οποίων πρέπει να διαλέξουν, το Avatar, το «Heart locker και η Λευκή κορδέλα. Οι προτιμήσεις των τριών φίλων φαίνονται στον παρακάτω πίνακα, όπως επίσης και το όφελος του καθενός από την κάθε ταινία. A B Γ Α επιλογή Avatar 10 Heart locker 12 Λευκή Κορδέλα 9 Β επιλογή Heart locker 8 Λευκή Κορδέλα 9 Avatar 8

10 10 Γ επιλογή Λευκή κορδέλα 6 Avatar 6 Heart locker 7 1) Σύμφωνα με το κριτήριο της αποζημίωσης (των χαμένων από τους κερδισμένους) θα πρέπει να δουν την ταινία που αποφέρει το μεγαλύτερο συνολικό όφελος. Με βάση αυτό το κριτήριο, ποια ταινία πρέπει να δουν; 2) Το κάθε άτομο δεν ξέρει πόσο πολύ οι άλλοι θέλουν να δουν κάθε ταινία (δηλαδή το όφελος του κάθε ατόμου από την παρακολούθηση κάθε ταινίας είναι ιδιωτική πληροφορία). Ο Β προτείνει να πει ο καθένας το όφελός του και να πάνε όλοι μαζί στην ταινία που παρέχει το μεγαλύτερο συνολικό όφελος. Προτείνει επίσης να μην υπάρχει καμιά αποζημίωση. Έχει κανείς το κίνητρο να αποκαλύψει το πραγματικό του όφελος από την κάθε ταινία; 3) Επειδή υπάρχουν προβλήματα με τη λύση (2), οι τρεις φίλοι αποφασίζουν να επιλέξουν την ταινία που θα δουν με βάση τον κανόνα της πλειοψηφίας. Δείξτε ότι οι προτιμήσεις των φίλων οδηγούν την ψηφοφορία σε κυκλική πορεία. 4) Εξαιτίας της κυκλικής πορείας, η παρέα αποφασίζει να διαλέξει την ταινία με βάση έναν νοκ-άουτ διαγωνισμό: πρώτα θα γίνει ψηφοφορία μεταξύ των ταινιών x και y, και μετά θα γίνει δεύτερη ψηφοφορία μεταξύ του νικητή της πρώτης ψηφοφορίας και της ταινίας z. Ο Α προσφέρεται να οργανώσει τις ψηφοφορίες. Ποια ταινία θα επιλέξει να είναι η x, ποια η y και ποια η z; Άσκηση 9. Απάντηση 1) Όφελος από το Avatar = 24 Όφελος από το Heart locker = 27 Όφελος από το Λευκή κορδέλα = 24 Σύμφωνα με το κριτήριο της αποζημίωσης, θα επιλέξουν την ταινία Heart locker. Αυτή η ταινία θα απέφερε το μεγαλύτερο όφελος (αποτελεσματική επιλογή). 2) Όχι. Ας πούμε για παράδειγμα ότι κάποιος θέλει το Avatar να είναι η ταινία που θα επιλεγεί. Μπορεί να αυξήσει τις πιθανότητες να επιλεγεί αυτή η ταινία, αν (α) αυξήσει το ανακοινωθέν όφελος για αυτόν από το Avatar (ώστε να φαίνεται ότι η ταινία αποφέρει περισσότερο όφελος από ό,τι στην πραγματικότητα) και (β) να μειώσει το ανακοινωθέν όφελος για αυτόν από τις άλλες ταινίες, προκειμένου να τις εμφανίσει ότι αποφέρουν λιγότερο όφελος από ό,τι στην πραγματικότητα. Όλοι θα συμπεριφερθούν με παρόμοιο τρόπο. 3) Heart locker Λευκή κορδέλα Avatar, αλλά Avatar Heart locker, οπότε υπάρχει πρόβλημα «κυκλικής πορείας». 4) Ο Α θέλει να δει το Avatar και άρα θέλει να είναι αυτή η ταινία το αποτέλεσμα της ψηφοφορίας. Επομένως σχεδιάζει την ψηφοφορία ως εξής: Heart locker έναντι Λευκή κορδέλα και ο νικητής θα μπει σε ψηφοφορία με το Avatar.

11 11 Άσκηση 10 Στις προεδρικές εκλογές των Ηνωμένων Πολιτειών το 1992 υπήρχαν τρεις υποψήφιοι, ο Clinton, o Bush και ο Perot. Ο υποψήφιος που θα κέρδιζε στις εκλογές στην πολιτεία του Οχάιο, θα έπαιρνε και την πλειοψηφία των ψήφων σε όλη τη χώρα. Ας υποθέσουμε ότι η κατανομή των ψήφων στο Οχάιο έχει ως εξής: Υποψήφιος Clinton 40% Bush 38% Perot 22% Ποσοστό Σύμφωνα με αυτήν την κατανομή, Ο Clinton κέρδισε τις εκλογές. Ας υποθέσουμε όμως ότι ο Perot δεν ήταν υποψήφιος. Σύμφωνα με τις δημοσκοπήσεις, ο Perot πήρε περισσότερες ψήφους από τον Βush και όχι από τον Clinton. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η κατανομή των ψήφων, χωρίς τον Ρerot, θα ήταν το 1992 ως εξής: Υποψήφιος Clinton 45% Bush 55% Ποσοστό Ο Bush θα κέρδιζε τις εκλογές με διαφορά. Ποιος κανόνας συλλογικής λήψης αποφάσεων (σύμφωνα με τον Arrow) παραβιάζεται σε αυτό το παράδειγμα; Άσκηση 10 Απάντηση: Ο κανόνας της ανεξαρτησίας των άσχετων εναλλακτικών επιλογών. Η κοινωνική επιλογή μεταξύ του Clinton και του Bush θα έπρεπε να εξαρτάται από τις ατομικές επιλογές μόνο μεταξύ αυτών των δύο, και όχι από το εάν ο Perot είναι υποψήφιος. Άσκηση 11. Η Κοινότητα αποτελείται από τρεις ισάριθμες ομάδες ατόμων: (1) Η ομάδα A με συνέπεια προτιμά περισσότερη αστυνόμευση από λιγότερη. (2) Η ομάδα Β προτιμά υψηλά επίπεδα προστασίας, μετά χαμηλά και τέλος ενδιάμεσα. (3) Η ομάδα Γ προτιμά ενδιάμεσα επίπεδα, μετά χαμηλά και τέλος υψηλά α. Ποια ομάδα ατόμων έχει μονοκόρυφες προτιμήσεις; Ποια ομάδα έχει πολυκόρυφες; β. Μια ψηφοφορία με τον κανόνα πλειοψηφίας θα οδηγήσει σε συνεπή αποτελέσματα; Γιατί ή γιατί όχι; Άσκηση 11. Απάντηση

12 12 α. Οι ομάδες Α και Γ έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις με κορυφές «υψηλά» και «ενδιάμεσα» αντίστοιχα. Η ομάδα Β έχει πολυκόρυφες προτιμήσεις με κορυφές τα «υψηλά» και «χαμηλά» και κατώτατο σημείο τα «ενδιάμεσα». β. Η ψηφοφορία με βάση τον κανόνα πλειοψηφίας δεν οδηγεί υποχρεωτικά σε συνεπή αποτελέσματα όταν μερικοί ψηφοφόροι έχουν προτιμήσεις που δεν είναι μονοκόρυφες. Στη περίπτωση μας όμως οδηγούν σε συνεπές αποτέλεσμα. Αν «υψηλά» και «χαμηλά» είναι οι δύο επιλογές, το «υψηλά» νικά, αφού οι ομάδες Α και Β θα το υπερψηφίσουν. Παρόμοια, το «υψηλά» νικά όταν «υψηλά» και «ενδιάμεσα» είναι οι δύο επιλογές. Όταν «χαμηλά» και «ενδιάμεσα» μπουν σε ψηφοφορία, το «ενδιάμεσα» νικά αφού οι Α και Γ θα το ψηφίσουν. Τέλος, όταν και οι τρεις επιλογές μπουν σε ψηφοφορία οι Α και Β θα ψηφίσουν για «υψηλά», το οποίο νικά. Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν κυκλικές πλειοψηφίες και έτσι τα αποτελέσματα της ψηφοφορίας είναι συνεπή. Οι αποφάσεις συμπίπτουν με τις επιλογές που θα έκανε μια κοινωνία που προτιμά «υψηλά», «ενδιάμεσα», «χαμηλά». Άσκηση 12. Τρεις ψηφοφόροι, ο Α, ο Β και Γ, καλούνται να αποφασίσουν με βάση τον κανόνα της πλειοψηφίας αν θα εγκριθούν τα προγράμματα Χ και Υ. Η ψηφοφορία για κάθε πρόγραμμα θα γίνει ξεχωριστά. Η μεταβολή του καθαρού οφέλους (σε ευρώ) για κάθε ψηφοφόρο από την πραγματοποίηση του κάθε προγράμματος έχει ως εξής: Πρόγραμμα Ψηφοφόρος Χ Υ Α +6-3 Β Γ -2-3 Πιστεύετε ότι το σύστημα της αλληλοϋποστήριξης με ανταλλαγές ψήφων θα αύξανε την αποτελεσματικότητα της ψηφοφορίας; Άσκηση 12. Απάντηση. Χωρίς ανταλλαγή ψήφων δεν θα εγκριθεί κανένα πρόγραμμα. Αν γίνουν ανταλλαγές ψήφων, ο Β θα συμφωνήσει να ψηφίσει υπέρ του X αν ο Α ψήφιζε υπέρ του Υ, και έτσι θα εγκρίνονταν και τα δύο προγράμματα. Το καθαρό όφελος θα ήταν +3 για το πρόγραμμα X και -2 για το πρόγραμμα Y, επομένως η ανταλλαγή ψήφων οδηγεί σε καθαρό όφελος +1.