Κεφάλαιο 8 ο Τ 3, 1-1, -1 Χ -1, -1 1, 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 8 ο Τ 3, 1-1, -1 Χ -1, -1 1, 3"

Transcript

1 Κεφάλαιο 8 ο Συνεχίζουµε µε τις µεικτές στρατηγικές. Θα δούµε τώρα ένα παράδειγµα στο οποίο υπάρχουνε ισορροπίες κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές αλλά πέρα από αυτό υπάρχει και µια ισορροπία κατά Nash σε µεικτές στρατηγικές. Και αυτό το παίγνιο είναι το γνωστό η µάχη των φύλων Battle of the sexes: (Α) (Γ) Τ Χ Τ 3, -, - Χ -, -, 3 Έχουµε δει ότι σε αυτό το παίγνιο πράγµατι υπάρχουνε δύο ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές. Η καλύτερη απάντηση της γυναίκας στην Ταυροµαχία είναι Ταυροµαχία και στο Χορό είναι Χορό και το ίδιο συµβαίνει και για τον άντρα: αν η γυναίκα επιλέξει ταυροµαχίες η καλύτερη απάντηση είναι ταυροµαχία, αν επιλέξει χορό η καλύτερη απάντηση είναι χορός. Άρα βλέπουµε ότι σε αυτό το παίγνιο υπάρχουνε δύο ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές οι οποίες δεν µπορούν να ταξινοµηθούν από άποψη Pareto, γιατί και οι δύο δίνουνε συνολικά τα ίδια κέρδη στους δύο παίκτες (Τ, Τ) 3+=4, (X,X) 3 +=4 άρα καµία από τις δύο δεν είναι καλύτερη από την άλλη. Υπάρχουν συγκρουόµενα συµφέροντα (conflict) µεταξύ των παικτών. Όταν υπάρχουνε τέτοιου είδους ισορροπίες πάντοτε υπάρχει µια ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές η οποία θα είναι και η τρίτη ισορροπία αυτού του παιγνίου. Ένα πράγµα που πρέπει να παρατηρήσουµε από την αρχή είναι ότι όταν λύσουµε για τις µεικτές στρατηγικές θα δούµε ότι θα βγουν και οι ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές. ηλαδή µε τη λύση που θα κάνουµε θα βρούµε όχι µόνο ένα σηµείο τοµής των καµπυλών αντίδρασης, αλλά τρία σηµεία τοµής, που αντιστοιχούνε στις τρεις ισορροπίες. Άρα ακόµα και αν βρούµε στην αρχή ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές ακολουθώντας τη µεθοδολογία υπολογισµού των µεικτών στρατηγικών θα πετύχουµε όλες τις ισορροπίες. 03

2 Ας πάρουµε την µεθοδολογία που είπαµε. Ας υποθέσουµε ότι ο άντρας µε µια πιθανότητα p επιλέγει ταυροµαχίες και µε ( p) επιλέγει χορό και η γυναίκα αντίστοιχα επιλέγει µε πιθανότητες q και ( q). (Α) (Γ) Τ (q) Χ (-q) Τ (p) 3, -, - Χ (-p) -, -, 3 Το πρώτο που θα κάνουµε είναι να βρούµε την καµπύλη αντίδρασης του άντρα, οπότε θα υπολογίσουµε τα κέρδη του όταν ακολουθεί την στρατηγική Τ Π Α (Τ). Τα κέρδη αυτά είναι αναµενόµενα καθ όσον η γυναίκα θεωρείται ότι ακολουθεί την στρατηγική q και ( q). εδοµένου του q και ( q) βρίσκουµε ότι τα αναµενόµενα κέρδη του άντρα Π Α (Τ) είναι: Π Α (Τ)=3q+( )( q)=4q Tα κέρδη του άντρα στην περίπτωση που ακολουθεί την άλλη στρατηγική χορό είναι: Π(Χ)=( )q+( q)= 2q Άρα τώρα µπορούµε να κάνουµε την ανάλυσή µας και να πούµε: Αν Π A (T) > Π Α (Χ) 4q > 2q 6q > 2 q > 3 Αν q > 3 ο άντρας θα επιλέξει ταυροµαχία. [Τ, Χ;, 0] δηλαδή θα ακολουθήσει την αµιγή στρατηγική Τ η οποία είναι ισοδύναµη µε την µεικτή στρατηγική [Τ, Χ;, 0]. Αν Π Α (Τ) < Π Α (Χ ) 4q < 2q 6q < 2 q < 3 Αν q < 3 θα έχουµε ανάποδο αποτέλεσµα όπου ο άντρας επιλέγει χορό. [Τ, Χ; 0, ] έχουµε εκφράσει την αµιγή στρατηγική σε όρους µικτής στρατηγικής 04

3 οπότε βλέπουµε ότι η µεικτή στρατηγική περιλαµβάνει όλες τις στρατηγικές που βρίσκονται στο support της και τις αντίστοιχες πιθανότητες. Υπάρχει και η τρίτη περίπτωση όπου: Αν Π Α (Τ) = Π Α (Χ ) 4q = 2q 6q=2 q= 3 Σε αυτή την περίπτωση ο άντρας είναι αδιάφορος µεταξύ Χ και Τ και µπορούµε να δούµε ότι οποιαδήποτε µεικτή στρατηγική: [Τ, Χ; p, p] όπου 0 p είναι η καλύτερη απάντηση για τον άντρα. Για να βάλουµε αυτά σε ένα διάγραµµα. Ο κάθετος άξονας παριστάνει τις στρατηγικές της γυναίκας, οπότε η γυναίκα ουσιαστικά επιλέγει ένα νούµερο µεταξύ 0 και και µε αυτό τον τρόπο επιλέγει την αντίστοιχη µεικτή στρατηγική (Τ, Χ). Ο άντρας επιλέγοντας ένα νούµερο µεταξύ 0 και επιλέγει την αντίστοιχη µεικτή στρατηγική. Άρα στο κουτί βρίσκονται όλες οι στρατηγικές των δύο. Ποια είναι η συνάρτηση αντίδρασης ή βέλτιστης απάντησης του άντρα; Περιγράφεται από τα τρία κοµµάτια: q > [Τ, Χ;, 0] 3 q < 3 [Τ, Χ; 0, ] q= 3 [Τ, Χ; p, p] 0 p R A (q): συνάρτηση αντίδρασης του άντρα δεδοµένου του q. 05

4 Αν q > 3 το καλύτερο για τον άντρα είναι να θέσει όλη την πιθανότητα στο Τ p= Αν q < 3 η πιθανότητα στο Τ είναι µηδέν p=0 Ενώ αν q= 3 οποιαδήποτε απάντηση είναι βέλτιστη 0 p Τώρα θα φτιάξουµε και τη συνάρτηση αντίδρασης της γυναίκας. Στη συνέχεια θα τα βάλουµε πάνω στο ίδιο διάγραµµα και θα δούµε ποια είναι τα σηµεία τοµής. εδοµένου ότι ο άντρας επιλέγει p και ( p) η γυναίκα περιµένει τα εξής κέρδη: Π Γ (Τ) : p+( )( p)=2p Π Γ (Χ) : ( )p+3( p)=3 4p Αν Π Γ (Τ) > Π Γ (Χ) 2p > 3 4p 6p > 4 p > 2/3 [Τ, Χ;, 0], στρατηγική γυναίκας αν p > 2/3 Αν Π Γ (Τ) < Π Γ (Χ) 2p < 3 4p 6p < 4 p < 2/3 [Τ, Χ; 0, ], όλη η πιθανότητα για την γυναίκα πάει στο χορό. Αν Π Γ (Τ) < Π Γ (Χ) 2p =3 4p 6p=4 p= 3 2 [Τ, Χ; q, q] όπου 0 q 06

5 Αν p > 2/3 η καλύτερη απάντηση είναι για q=. Aν p < 2/3 η καλύτερη απάντηση είναι για q=0. Aν p=2/3 η καλύτερη απάντηση είναι για 0 q είναι βέλτιστη. Βάζοντας τις δύο καµπύλες βέλτιστης απάντησης στο ίδιο διάγραµµα παίρνουµε τα τρία σηµεία τοµής τους. Έχουµε τρία σηµεία τοµής. Τα δύο σηµεία είναι ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές γιατί αντιστοιχούν στα (q=0, p=0) και (q= και p=), µε αποτελέσµατα (, 3) και (3, ) που βρήκαµε προηγουµένως. 07

6 Τι σηµαίνει η ισορροπία στο σηµείο Α; Αυτή η ισορροπία είναι η εξής: Α: [(Τ, Χ; 0, ), (Τ, Χ; 0, )] (Χ, Χ)=(, 3) Από την άλλη µεριά Β: [(Τ, Χ; 0, ), (Τ, Χ; 0, )] (Τ,Τ)=(3, ) Η τρίτη ισορροπία είναι σε µεικτές στρατηγικές: 2 2 C: T, X ;,, T, X ;, αυτή είναι η ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές µε τις αντίστοιχες πιθανότητες. Τι παρατηρούµε εδώ; Και ο άντρας και η γυναίκα θα πάνε µε περισσότερη πιθανότητα στην επιλογή που προτιµούν περισσότερο. Ο άντρας ταυροµαχία µε 2/3 και η γυναίκα χορό µε 2/3. ηλαδή καθένας πάει προς τη µεριά του λίγο-πολύ. Για να δούµε τι θα συµβεί από άποψη πραγµατοποίησης των διαφόρων ενδεχοµένων. Ποια είναι η πιθανότητα να βγει καθένα από αυτά τα τετραγωνάκια; (Γ) Τ (q) Χ (-q) (Α) p x q =2/3 x/3 = 2/9 p x (-q ) =2/3x/3 = 4/9 Τ (p) 3, -, - Χ (-p) /3 x /3 = /9 -, - /3x 2/3 =2/9, = Βλέπουµε ότι δεν είναι καθόλου συµµετρικά τα πράγµατα. Υπάρχει αρκετά µεγάλη πιθανότητα να εκλέξει ο άντρας ταυροµαχίες και η γυναίκα χορό. Και αυτό γιατί; ιότι ο άντρας προτιµάει ταυροµαχίες και η γυναίκα χορό άρα θα θέσει ο καθένας ψηλή πιθανότητα σε αυτό που προτιµάει περισσότερο µε αποτέλεσµα ο συνδυασµός το ενδεχόµενο (Τ, Χ) να βγει µε πιθανότητα 4/9. Η οικονοµική διαίσθηση αυτού του παίγνιου είναι λογική. Άµα προτιµάει το άτοµο κάτι δίνει περισσότερη πιθανότητα σε αυτό που προτιµά. Ο άντρας βάζει περισσότερη πιθανότητα στην ταυροµαχία και η γυναίκα στο χορό. Οπότε βγαίνει περισσότερη πιθανότητα στο συνδυασµό (Τ, Χ). ηλαδή πάει καθένας σε αυτό που θέλει. Υποφέρουνε βέβαια και οι δύο αλλά είναι αυτό που προτιµούνε. 08

7 Η διαφορά του 4/9 από το /9 έγκειται στο ότι στο 4/9 ο καθένας πάει όπου θέλει ενώ στο /9 πάνε αντίστροφα από αυτό που θέλουνε που είναι λίγο απίθανο. Εδώ πέρα προφανώς όλα µπορούν να συµβούνε. Σηµασία έχει µε τι πιθανότητα συµβαίνει καθένα. Εδώ έχουµε τέσσερα ενδεχόµενα: (Χ, Χ), (Τ, Τ), (Τ, Χ), (Χ, Τ). Σε µια µεικτή στρατηγική όλα είναι πιθανά, αλλά όχι ισοπίθανα. Μεικτή στρατηγική σηµαίνει ότι µε κάποια πιθανότητα εκλέγεις κάτι. ηλαδή µε κάποια πιθανότητα µπορεί να γίνει ή το ένα ή το άλλο. Άµα είναι δύο παίχτες και εκλέγει κάθε ένας µε µια πιθανότητα κάτι, όλα µπορούν να συµβούν. Η ισορροπία είναι µία το C: 2 2 T, X;,, T, X; ; Η πραγµατοποίηση είναι διαφορετική γιατί έχουµε τέσσερα ενδεχόµενα. Στις αµιγείς στρατηγικές υπάρχει ένα ενδεχόµενο γιατί όλη η πιθανότητα µπαίνει σε µια αµιγή στρατηγική. Στις µεικτές στρατηγικές όλα είναι πιθανά. Που σηµαίνει ότι στις µεικτές στρατηγικές ψάχνουµε να βρούµε την πιθανότητα µε την οποία θα εκλέξουµε µεταξύ δύο πραγµάτων. Σε αυτό το παίγνιο πως µπορούσε να δράσει για παράδειγµα ο άντρας µεταξύ ταυροµαχίες και χορού; Τι θα έκανε αν ήτανε να ρίξει ένα ζάρι; Τι θα µπορούσε να κάνει 2 για να προσδιορίσει αυτή την κατανοµή, ; Αν έφερνε π. χ, 2, 3, ή 4 θα πήγαινε 3 3 ταυροµαχία ενώ αν έφερνε 5 ή 6 θα πήγαινε χορό. Το ζάρι βοηθάει να πραγµατοποιηθεί αυτή η στρατηγική. Είναι η συσκευή της τύχης (randomization). Πετώντας ένα ζάρι κανείς, ανάλογα µε το τι θα βγει, αποφασίζει το ένα ή το άλλο. Ουσιαστικά λέει αν βγει κάποιος αριθµός από το 4 εκλέγει ταυροµαχία αν βγει 5 ή 6 εκλέγει χορό. Πετάει το ζάρι και ότι βγει. Ποια είναι τα αναµενόµενα κέρδη στη µεικτή στρατηγική και πως αυτά συγκρίνονται µε τα αναµενόµενα κέρδη των ισορροπιών σε αµιγείς στρατηγικές; Επαναλαµβάνουµε αυτό που είπαµε την προηγούµενη φορά. Τα αναµενόµενα κέρδη µπορούν να βρεθούν µε δύο τρόπους. Ο ένας τρόπος είναι απλός. Ξέρουµε την κατανοµή πιθανοτήτων όλων των ενδεχοµένων. Παίρνουµε για τον άντρα: 09

8 2 9 x x( ) = x( ) + = 9 2 () 9 = Αναµενόµενο Κέρδος Αυτό είναι το πιο απλό να το καταλάβει κανείς. Όµως εµείς είπαµε ότι όταν η γυναίκα ακολουθεί την στρατηγική /3 ό,τι και να κάνει ο άντρας πετυχαίνει τα ίδια κέρδη. Γιατί να δεν πετύχαινε τα ίδια κέρδη δεν θα ήτανε ο,τιδήποτε καλύτερη αντίδραση για 0 p. Tι σηµαίνει καλύτερη αντίδραση; Σηµαίνει ότι οποιαδήποτε πιθανότητα σε ταυροµαχία ή χορό του δίνει τα ίδια κέρδη. Άρα και η πιθανότητα p=0 του δίνει τα ίδια κέρδη και η πιθανότητα p=, του δίνει τα ίδια κέρδη. Αν η γυναίκα εκλέγει την πιθανότητα q= τότε ποιες είναι οι βέλτιστες αντιδράσεις 3 του άντρα; ΟΛΕΣ 0 p. Τι σηµαίνει όλες είναι βέλτιστες αποφάσεις; Σηµαίνει ότι δίνουν τα ίδια κέρδη. Άρα είτε εκλέγει πιθανότητα p=0 είτε εκλέξει πιθανότητα p= παίρνει τα ίδια κέρδη. Αν επιλέξει p=0 ο άντρας ουσιαστικά εκλέγει να πάει στο χορό. Όταν εκλέξει p= o άντρας ουσιαστικά εκλέγει να πάει στις ταυροµαχίες. Αν Άρα µπορούµε να υπολογίσουµε τα αναµενόµενα κέρδη του άντρα για κάποια τιµή του p όποια και να είναι αυτή (ας πούµε το p=). 0

9 Άρα ποια είναι τα αναµενόµενα κέρδη του άντρα; Είναι τα αναµενόµενα του κέρδη όταν εκλέξει p= (ή όταν εκλέξει ταυροµαχίες). Έτσι: Π Α (Τ)=3xq*+( )( q*) 2 =3 + ( ) = Και µπορούµε να κάνουµε την ίδια πράξη µε το χορό, το ίδιο θα βρούµε: Π Α (Χ)=( )q*+( q*)=( ) 2 + () = Π Α (T)= Π Α (Χ)= : αυτό σηµαίνει βέλτιστη αντίδραση. Όταν έχουµε πολλές βέλτιστες 3 αντιδράσεις το µέγιστο των κερδών σε όλες αυτές τις βέλτιστες αντιδράσεις είναι το ίδιο. ( εδοµένου ότι η γυναίκα επιλέγει q= είπαµε ότι ο άντρας είναι αδιάφορος µεταξύ όλων 3 των στρατηγικών. Άρα του δίνουνε όλες οι στρατηγικές τα ίδια κέρδη). Αυτή η αρχή καλείται Αρχή της εξίσωσης κερδών. Αυτή η µέθοδος χρησιµοποιείται για την επίλυση και πιο πολύπλοκων προβληµάτων. Τώρα στη πιο γενική της µορφή τι σηµαίνει η αρχή της εξίσωσης κερδών; Επαναλαµβάνουµε. Ορισµένες στρατηγικές οι κυριαρχούµενες ειδικά στρατηγικές δεν χρησιµοποιούνται σε µια ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές. ηλαδή η πιθανότητα που θέτει ένα άτοµο σε στρατηγικές κυριαρχούµενες είναι µηδέν. Αν µια στρατηγική εισέρχεται στην ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές µε πιθανότητα µηδέν δεν ανήκει σε αυτό που λέµε support της κατανοµής των πιθανοτήτων. Έστω ότι έχουµε τέσσερις στρατηγικές: S, S 2, S 3, S 4 και θέτουµε ανάλογες πιθανότητες: Ποιο είναι το support αυτής της κατανοµής των πιθανοτήτων;

10 Support: σηµαίνει όλες οι στρατηγικές που παίρνουµε θετική πιθανότητα. Το S 2 δεν είναι στο support αυτής της κατανοµής των πιθανοτήτων. Όλες οι άλλες στρατηγικές ανήκουν στο support. Ένα άλλο παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι µας ενδιαφέρει η κατανοµή εισοδηµάτων σε µια χώρα. Υπάρχει ένα ελάχιστο εισόδηµα στην κατανοµή και υπάρχει και ένα µέγιστο. Η κατανοµή δίνεται από: Ποιο είναι το support της κατανοµής αυτής; Το (Α). Τα άκρα πέραν από το (Α) δεν ανήκουν στο support της κατανοµής γιατί εµφανίζονται µε µηδενική πιθανότητα. Βασικά είναι το πεδίο ορισµού στο οποίο όµως οι πιθανότητες είναι θετικές. Είναι το πεδίο ορισµού για τις τιµές εκείνες που η f(x) είναι θετική. Γιατί το πεδίο ορισµού που είναι κατανοµή πιθανότητας είναι όλος ο άξονας των x. Αλλά οι πιθανότητες σε κάποια σηµεία είναι µηδέν. (Για παράδειγµα στην κανονική κατανοµή το support είναι από -4 έως +4. Αλλά στη Γάµµα κατανοµή κάτω από µερικές τιµές το support είναι από το 0 έως το άπειρο. Σε αρνητικές τιµές δεν υπάρχει support). Στην ισορροπία που ορίσαµε γι αυτό το παίγνιο ποιο είναι το support για τον άντρα και ποιο για την γυναίκα; Α: [(Τ, Χ; 0, ), (Τ, Χ; 0, )] Β: [(Τ, Χ;, 0), (Τ, Χ;, 0)] 2 2 C: T, X,,, T, X;,

11 Για παράδειγµα για την C ποιο είναι το support; Το support έχει να κάνει µε τις στρατηγικές. Ποιες στρατηγικές ανήκουνε στο support; Και δύο. Και η Τ και η Χ, και για τον άντρα και για την γυναίκα διότι και το Τα και το Χ έχουνε υποθετικές πιθανότητες. Για να δούµε τώρα στο Β. Στο Β ποιο είναι το support; Το Τ για τον άντρα και το Τ για την γυναίκα. Όταν, λοιπόν, έχει µηδέν πιθανότητα µια στρατηγική δεν ανήκει στο support της κατανοµής πιθανότητας. Επιστρέφουµε στην αρχή της εξίσωσης κερδών. Και λέµε ότι: τα κέρδη όλων των αµιγών στρατηγικών που ανήκουνε στο support µιας κατανοµής της µεικτής ισορροπίας είναι τα ίδια. ηλαδή, όλες οι αµιγείς στρατηγικές που ανήκουνε στο support µιας µεικτής στρατηγικής στην ισορροπία, δίνουνε τα ίδια κέρδη στον παίκτη. ηλαδή Π Α (Χ)=Π Α (Τ) για ένα δεδοµένο q=/3. Τώρα τι σηµαίνει αυτό; Είναι δυνατόν η ταυροµαχία και ο χορός να δίνουνε τα ίδια κέρδη στον άντρα στο Β: [(Τ, Χ;, 0), (Τ, Χ ;, 0)]; Η ταυροµαχία δίνει περισσότερα κέρδη στον άντρα. Ο χορός δεν είναι στο support (για το Β). Αφού δεν είναι στο support θα δίνει λιγότερα κέρδη. Αν ήτανε στο support θα έδινε τα ίδια κέρδη. εν µπορεί να δώσει περισσότερα κέρδη γιατί τότε το άτοµο δεν θα διάλεγε ταυροµαχία, θα διάλεγε χορό. Άρα: Ό,τι δεν είναι στο support δίνει χαµηλότερα κέρδη. Όλα που είναι στο support δίνουνε τα ίδια κέρδη, όσα είναι απ έξω δίνουνε αυστηρά χαµηλότερα κέρδη. Άρα σε αυτό το παίγνιο χρησιµοποιήσαµε την αρχή της εξίσωσης των κερδών και είπαµε ότι δεν χρειάζεται να αναλύσουµε, να πάρουµε όλα τα ενδεχόµενα µε τις πιθανότητες του κλπ. Το µόνο που θα κάνουµε είναι να πάρουµε µια στρατηγική που ανήκει στο support για τον άντρα (το Τ) και να δούµε δεδοµένης της πιθανότητας που ακολουθεί η γυναίκα που είναι q=/3 τι αναµενόµενα κέρδη έχει ο άντρας. Και είναι: Π Α (Τ)=3 q*+( )( q*) =3 +( ) 2 = // Τώρα πόσα είναι τα κέρδη για την γυναίκα; Θα κάνουµε το ίδιο πράγµα, όµως ξέρουµε ότι λόγω συµµετρίας θα βγει το ίδιο: Έστω ότι παίρνουµε την στρατηγική χορό για την γυναίκα η οποία θα της δώσει: 2 Π Γ (x)=( )p*+3( p*)=( ) +( 3/ ) = 3 /3 3 3

12 Άρα, για να δούµε τώρα τι γίνεται από άποψη κερδών. Τι κέρδη µας δίνει η στρατηγική που αντιστοιχεί στην ισορροπία Α; x x Α : (, 3) Το αναµενόµενο είναι το πραγµατοποιούµενο Τ Τ B : (3, ) C: (/3, /3) το αναµενόµενο κέρδος γιατί µπορεί να συµβεί οτιδήποτε. Τι περίεργο βλέπουµε; Το C είναι συµµετρικό λόγω του παιγνίου οπότε παίρνουν τα ίδια κέρδη. Όµως και οι δύο παίρνουνε πολύ λίγο. Κανονικά και στους δύο παίχτες συµφέρει να παίξουν είτε Α είτε Β γιατί κερδίζουν περισσότερα από το αναµενόµενο κέρδος του C. Όµως το ερώτηµα είναι πως θα συντονιστούν στο Α και στο Β; Μπορεί να τους προκύψει µια ισορροπία (Χ, Τ) ή (Τ, Χ) (-, -). εν µπορούν πάντα να συντονιστούν. Απορία: Που µας χρησιµεύουν οι ισορροπίες που βρίσκουµε; Όταν υπάρχει µια κατάσταση πρέπει να βρούµε µια λύση. Σε αυτό το παίγνιο βρήκαµε τρεις λύσεις: Α: [(Τ, Χ; 0, ), (Τ, Χ; 0, )] (Χ, Χ)=(, 3) Β: [(Τ, Χ;, 0), (Τ, Χ;, 0)] (Τ, Τ)=(3, ) 2 2 C: T, X ;,, T, X ;, Τις συζητάµε και λέµε τι θα κάνουµε τώρα. Πάντοτε σε µεικτές στρατηγικές είναι χειρότερη η ισορροπία; Όχι πάντοτε, εξαρτάται από το παίγνιο. Αυτή δεν είναι γενική ιδιότητα, είναι ιδιότητα που έχει αυτό το παίγνιο. Τώρα, τι θα βρούµε σε αυτό το παίγνιο αν επαναλαµβάνεται µερικές περιόδους; Τι µπορεί να κάνουνε αν επαναλαµβάνεται µερικές περιόδους; Να συµφωνήσουν π.χ. τις µονές περιόδους να παίζουν το Α (Χ, Χ) και τις ζυγές το Β (Τ, Τ). ηλαδή να εναλλάσσουν. Αν εναλλάσσουν ποιο θα είναι το µέσο κέρδος του κάθε ενός (2, 2) , = 2,2 2 2 Οπότε η επανάληψη λίγο πολύ µπορεί να διορθώσει τα πράγµατα. Και βλέπουµε ότι στην ισορροπία εδώ τα κέρδη των ατόµων είναι πολύ περισσότερα. Όταν υπάρχουνε πολλαπλές ισορροπίες σε ένα παίγνιο, καµιά φορά υπάρχουνε κάποια επιχειρήµατα τα οποία λέγονται focal points. ηλαδή κάτι που βρίσκεται έξω από 4

13 το παίγνιο, µπορεί να καθορίσει / να συντονίσει τους παίχτες σε κάποιες ισορροπίες. Εδώ πέρα δεν υπάρχει κάτι που να είναι ξεκάθαρο. Και λέµε εδώ πέρα ότι ανάλογα µε το ποιος είναι κυρίαρχος στη σχέση, κάνει αυτό που θέλει. εν συµφέρει να παίξουνε µεικτές στρατηγικές το ξέρουνε και οι δύο, οπότε ο ένας θα υποκύψει και θα καθορίσει ο άλλος τι θα κάνουνε. Αυτό το παίγνιο είναι πολύ κλασσικό και έχουµε πολλές εφαρµογές στα οικονοµικά. Ας πούµε ότι οι επιχειρήσεις αποφασίζουνε σε πρώτη φάση ποιος θα γίνει ηγέτης και ποιος θα γίνει ακόλουθος. Στάδιο ένα, λοιπόν: ποιος θα γίνει ηγέτης και ποιος ακόλουθος. Και στάδιο δύο: ανταγωνίζονται σε ποσότητες. Τότε θα βγει κάτι παρόµοιο µε «τη µάχη των φύλλων». Πρώτα προσδιορίζεται ο ρόλος σε ένα πρώτο στάδιο και µετά όταν ήδη έχει καθοριστεί ο ρόλος παίζουνε το παιγνίδι. ηλαδή αποφασίζουν ποιος θα είναι ο ηγέτης και ποιος ο ακόλουθος και µετά παίζουνε το κλασσικό παιγνίδι του ηγέτη ακόλουθου που είδαµε στο Stackelberg. Μπορεί να είναι και οι δύο επιχειρήσεις ηγέτες; Τι σηµαίνει να είναι και οι δύο ηγέτες; Ότι παίρνουν τις αποφάσεις ταυτόχρονα. Απορία: Τι σχέση έχει το παίγνιο η µάχη των φύλλων µε τον ηγέτη ακόλουθο; Εδώ δεν έχουµε το χρόνο; Για να φανεί πιο ξεκάθαρο ας πάρουµε το παίγνιο µε τον ανταγωνισµό τιµών. Σε αυτή την περίπτωση αν είναι και οι δύο ηγέτες θα καταλήγουνε σε ένα χαµηλότερο κέρδος, αν είναι και οι δύο ακόλουθοι θα είναι το χαµηλότερο κέρδος και µάλιστα ακόλουθοι σηµαίνει ότι περιµένουνε και µια περίοδο ακόµα, οπότε υπάρχει προεξόφληση και χειροτερεύουν ακόµα περισσότερο τα κέρδη. Αν παίξει ο ένας ηγέτης και ο άλλος ακόλουθος θα καταλήξουν σε θετικά κέρδη. Το παιγνίδι η µάχη των φύλλων έχει εφαρµογές στα οικονοµικά. ηλαδή το: (Α) (Γ) Τ (q) Χ (-q) Τ (p) 3, -, - Χ (-p) -, -, 3 µπορεί να είναι το αποτέλεσµα ενός παιγνίου, το οποίο παίζεται ως εξής: οι επιχειρήσεις στο πρώτο στάδιο αποφασίζουνε τι ρόλο θα παίξουνε ταυτόχρονα. ηλαδή 5

14 ανακοινώνουνε ηγέτης ή ακόλουθος. Και στο δεύτερο στάδιο παίζουν το παιγνίδι του ηγέτη-ακολούθου αν έχουν εκλέξει ηγέτης-ακόλουθος ή παίζουνε και οι δύο ηγέτες ή και οι δύο ακόλουθοι. Τι σηµαίνει τώρα και οι δύο ακόλουθοι; Σηµαίνει ότι θα περιµένουνε µια περίοδο παραπάνω. Με άλλα λόγια: Υπάρχουνε δύο περίοδοι που µπορεί να θέσει κανείς την τιµή του: την περίοδο ή την περίοδο 2. 0,, 2 χρονικές περίοδοι. Στην περίοδο µηδέν, οι επιχειρήσεις εκλέγουνε µεταξύ και 2. ηλαδή οι στρατηγικές κάθε επιχείρησης είναι το σύνολο {, 2}. Αν και οι δύο επιλέξουνε δηλαδή σαν αν εκλέγουν και οι δύο ηγέτες, παίζουνε ταυτόχρονα. Όποια επιχείρηση επιλέξει την τιµή πριν από την άλλη είναι ηγέτης και η άλλη είναι ακόλουθος. Υπάρχουνε τρεις περίοδοι. Η περίοδος µηδέν είναι πριν από την και η περίοδος ένα είναι πριν από την δύο. Την περίοδο µηδέν οι επιχειρήσεις αποφασίζουν µεταξύ και 2. Αν αποφασίσουν ένα θέτουνε την τιµή την περίοδο, αν αποφασίσουν δύο, θέτουνε την τιµή την περίοδο 2. Αν και οι δύο αποφασίζουνε ένα παίζουνε την περίοδο, το παιχνίδι τιµών ταυτόχρονα και βγάζουνε ότι κέρδη βγάζουνε. Αν περιµένουµε την περίοδο δύο, χάνουνε µια περίοδο από την αγορά και βγάζουνε κάποια κέρδη αργότερα ακόµα και από το να παίξουνε την περίοδο ένα ταυτόχρονα. Αυτές είναι δυνατότητες που υπάρχουν. Οι στρατηγικές κάθε επιχείρησης είναι οι αριθµοί ή 2. Κάθε επιχείρηση την περίοδο µηδέν ανακοινώνει ένα νούµερο: το ή το 2. Τα νούµερα αυτά ανακοινώνονται ταυτόχρονα από τις δύο επιχειρήσεις. Το (, ) σηµαίνει ότι και οι επιχειρήσεις είναι ηγέτες. Το (2, ) σηµαίνει ακόλουθος-ηγέτης. Το ίδιο σηµαίνει ηγέτης-ακόλουθος και το 6

15 (2, 2) σηµαίνει ότι και οι δύο είναι ακόλουθοι που σηµαίνει ότι και οι δύο παράγουν µόνο την δεύτερη περίοδο. Τώρα, τι θέλουν να αποφύγουν αυτές οι δύο επιχειρήσεις; Θέλουν να αποφύγουν το ταυτόχρονο: (, ) ή (2, 2). Το (, ) θα τους δώσει λίγο µεγαλύτερα κέρδη από το (2, 2) γιατί στο (2, 2) είναι προεξοφληµένα. Θέλουνε, λοιπόν, να αποφύγουνε το ταυτόχρονο. Γιατί; Γιατί είπαµε ότι στο παίγνιο που οι εταιρείες αποφασίζουνε ταυτόχρονα, τα κέρδη του ταυτόχρονου είναι χαµηλότερα από τα κέρδη είτε του ηγέτη είτε του ακόλουθου. Άρα δεν θέλουνε να πάνε στο (, ) ή (2, 2) (2) 2 2 ηγέτης 2 ακόλουθος Άρα αντί να έχουµε ταυροµαχία ή χορό έχουµε ηγέτη ακόλουθο και το ερώτηµα είναι που θα πάνε στο (, 2) ή στο (2, ). Θα έχουµε, λοιπόν, τρεις ισορροπίες. ύο σε αµιγείς στρατηγικές που θα είναι (ηγέτης, ακόλουθος), (ακόλουθος, ηγέτης) και µια σε µεικτές στρατηγικές η οποία θα είναι µε πιθανότητα καθένας να εκλέξει ηγέτης ή ακόλουθος. ώσαµε το παίγνιο µε τη µάχη των φύλων για να δούµε ότι πίσω του κρύβονται πολλά παραδείγµατα - πολλές εφαρµογές οι οποίες µπορούν να εφαρµόσουν σε διάφορους τοµείς της οικονοµίας. Όταν µας δοθεί ένα οικονοµικό πρόβληµα, πρέπει να το µετασχηµατίζουµε σε ένα πρόβληµα γνωστό. Απορία: Όταν µας δοθεί ένα παίγνιο, κάνουµε όλη αυτή τη διαδικασία και βγάζουµε κάποιες-ισορροπίες; Πως αυτές οι ισορροπίες µας βοηθούν να βρούµε ποια στρατηγική θα ακολουθήσουµε; Βλέποντας τις ισορροπίες µπορούµε να αποφασίσουµε ποια στρατηγική θα ακολουθήσουµε; Όταν υπάρχουν πολλαπλές ισορροπίες δεν υπάρχει προτίµηση. Τώρα πως γίνεται επιλογή µεταξύ των ισορροπιών είναι κάτι που έχει σχέση µε τα ήθη και έθιµα µιας 7

16 κοινωνίας, µε την µυθολογία των παικτών κλπ., πράγµατα που δεν έχουµε µέσα στο παίγνιο. Μπορεί να συµβεί κάτι εκτός των ισορροπιών; Αν συµβεί κάτι διαφορετικό από τις ισορροπίες σηµαίνει ότι οι παίκτες δεν είναι ορθολογικοί. Άρα αν θέλουµε να κάνουµε ένα πείραµα και βγάλουµε στο πείραµα κάτι τελείως διαφορετικό από τις ισορροπίες, θα πούµε ότι τα άτοµα δεν είναι ορθολογικά. Άρα η υπόθεση του ορθολογισµού δεν ισχύει. Και όπως ξέρουµε όλα τα οικονοµικά στηρίζονται σε αυτή την υπόθεση. Και αν δεν ισχύει αυτή η υπόθεση όλα όσα έχουµε µάθει δεν ισχύουν. Όµως ένα άτοµο µη-ορθολογικό σε µακροχρόνια βάση θα εξαφανιστεί (θα πεθάνει). Ας δούµε τώρα ένα άλλο παίγνιο. Έχουµε δύο παίχτες µε τις εξής στρατηγικές: (Ι Ι) Α Ι Π, -2 0, 0 2, - (Ι) Κ, - 2, -2, Α αριστερά, Ι ίσια δεξιά Π πάνω, Κ κάτω Οι παίκτες (Ι) και (ΙΙ) αντιµετωπίζουν αυτό το παίγνιο. Αυτό το παίγνιο έχει καµιά ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές; Α Ι Π, -2 0, 0 2, - Κ, - 2, -2, Άρα δεν έχουµε ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές. Αυτό το παίγνιο, είναι 3 2. Άρα ήδη αρχίζει να γίνεται πιο µπλεγµένο γιατί θα χρειαστούµε τρεις πιθανότητες εκτός και αν µπορούµε να πετάξουµε κάτι έξω. Και όπως βλέπουµε η Α (αριστερά) είναι αυστηρά κυριαρχούµενη από την (δεξιά), οπότε ποτέ δεν θα εµφανιστεί µια αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική σε καµία ισορροπία κατά Nash: σε καµία ούτε σε αµιγείς ούτε σε µεικτές στρατηγικές. 8

17 Άρα µια αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική ποτέ δεν ανήκει στο support µιας ισορροπίας σε µεικτές στρατηγικές. Αυτό σηµαίνει ότι µια αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική, δίνει πάντοτε λιγότερα αναµενόµενα κέρδη από µια κυρίαρχη στρατηγική (και αυτό είναι γενικό). Οπότε το Α (αριστερά) το πετάµε έξω. Πριν κάνουµε οτιδήποτε άλλο το πρώτο που ελέγχουµε είναι ποιες στρατηγικές είναι αυστηρά κυριαρχούµενες. Και αφού απαλείφουµε αυτές τις στρατηγικές µετά λύνουµε το παίγνιο, (µε τον κλασσικό τρόπο). (ΙΙ) (Ι) Α Ι Π, -2 0, 0 2, - Κ, - 2, -2, (ΙΙ) ( Ι) q Ι -q p Π 0, 0 2, - -ρ Κ 2, -2, Αυτό το παίγνιο µπορούµε να το λύσουµε είτε µε τον κλασσικό τρόπο βάζοντας πιθανότητες: p, ( p) και q, ( q) γιατί στο Α (αριστερά) η πιθανότητα είναι ήδη µηδέν. Έτσι µπορούµε να φτιάξουµε τις καµπύλες αντίδρασης να δούµε που τέµνονται και να βρούµε την ισορροπία. Μπορούµε όµως να χρησιµοποιήσουµε και την αρχή της εξίσωσης των κερδών. Πως χρησιµοποιείται αυτή η αρχή και πόσο γρήγορα µπορεί να µας βγάλει τη λύση; Αµέσως γιατί σε µια µεικτή ισορροπία ξέρουµε ότι τα κέρδη του παίκτη (Ι) όταν ακολουθεί το Π ή Κ είναι τα ίδια. Άρα εξισώνουµε αυτά τα δύο κέρδη και λύνουµε. Η παράµετρος που εισέρχεται στα κέρδη αυτά είναι το q. εν εισέρχεται η δικιά του παράµετρος (p), εισέρχεται η παράµετρος του αντιπάλου (q). Άρα: ΠΙ( Π) = 0xq + 2( q) = 2 q ΠΙ( Κ) = 2xq + ( q) = q + 3q= q*=/3 ΠI (Π) = Π Ι(Κ) 2-2q = q + 9

18 Π Ι (Π) τα κέρδη του παίχτη Ι όταν ακολουθεί την στρατηγική πάνω Π Ι (K) τα κέρδη του παίχτη Ι όταν ακολουθεί την στρατηγική κάτω. Κάνοντας την ίδια διαδικασία για τον άλλο παίκτη βρίσκουµε το p*. Π Π ΙΙ ΙΙ ( Ι) = 0 p + ( 2)( p) = 2 p ( ) = ( ) p + ( p) = 2 p 2p 2= 2p 4p=3 p*=3/4 2 Π ΙI (I) = Π ( ) Άρα βρίσκουµε αµέσως την ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές η οποία είναι: 3 2 Ισορροπία Π, Κ;, Α, Ι, ; 0,, προσοχή! Για τον παίκτη (ΙΙ) υπάρχουνε τρεις στρατηγικές: Α, Ι, ΙΙ Μια στρατηγική είναι ένα πλήρες σχέδιο, το οποίο προσδιορίζει τις πιθανότητες σε όλα τα γεγονότα. 3 2 Η Π, Κ;, Α, Ι, ; 0,, επειδή δεν έχουµε ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές είναι η µοναδική ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές. (*Αν έχουµε βρει τις ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές και βλέπουµε ότι χρειάζεται άλλη µια ισορροπία σε µεικτές εξισώνουµε τα κέρδη και την βρίσκουµε. εν είναι ανάγκη να βρούµε τις καµπύλες αντίδρασης εκτός και αν το ζητάει η άσκηση). Σε αυτό το παίγνιο επειδή έχουµε σύστηµα γραµµικών εξισώσεων οι ισορροπίες σε µεικτές στρατηγικές δεν µπορεί να είναι πάνω από µια. Έχουµε µοναδική λύση. Αν έχουµε µια ισορροπία σε αµιγείς στρατηγικές, κατά πάσα πιθανότητα δεν θα έχουµε ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές. (SOS: Αν στο midterm δούµε καµιά άσκηση σίγουρα θα υπάρχουν αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές). 20

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 )

Κεφάλαιο 7ο. max(p 1 c)(α bp 1 +dp 2 ) Κεφάλαιο 7ο Μιλήσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο για το τι θα συµβεί αν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται σε τιµές. Επιπλέον µιλήσαµε για το πως αποδεικνύεται το παράδοξο του Bertrand και καθώς επίσης και για

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία Κεφάλαιο 4 Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία κατά Nash είναι: (α) ένα διάνυσµα από στρατηγικές, έτσι ώστε δεδοµένων των υπολοίπων στρατηγικών, ο παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0)

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0) Κεφάλαιο 5 Θα ξεκινήσουµε το κεφάλαιο αυτό βλέποντας ένα ακόµη παράδειγµα αναφορικά µε την ισορροπία που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) και την ισορροπία κατά Nash στην στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

3. Παίγνια Αλληλουχίας

3. Παίγνια Αλληλουχίας 3. Παίγνια Αλληλουχίας Τα παίγνια αλληλουχίας πραγµατεύονται περιπτώσεις όπου οι κινήσεις των παικτών διαδέχονται η µια την άλλη, σε αντίθεση µε τα παίγνια όπου οι αποφάσεις των παικτών γίνονται ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 8 Σεπτεµβρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (:00-4:00 ΘΕΜΑ ο (.5 Το παράδοξο

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 2: Ισορροπία Nash Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 (θεωρία παιγνίων) Οι δύο μεγαλύτερες τράπεζες μιας χώρας, Α και Β, εκτιμούν ότι μια άλλη τράπεζα, η Γ, θα κλείσει στο προσεχές διάστημα και πρόκειται να προχωρήσουν σε διαφημιστικές εκστρατείες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιότητες καµπυλών ζήτησης

Ιδιότητες καµπυλών ζήτησης Ιδιότητες καµπυλών ζήτησης Διάλεξη 6 ΖΗΤΗΣΗ Συγκριτική στατική ανάλυση των συναρτήσεων της κανονικής ζήτησης είναι η µελέτη του πώς οι συναρτήσεις κανονικής ζήτησης (, 2,) και (, 2,) αλλάζουν όταν οι τιµές,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

Condorcet winner. (1) Αν U j (x) > U j (y) τότε U i (x) > U i (y) και (2) Αν U i (y) > U i (x) τότε U j (y) > U j (x).

Condorcet winner. (1) Αν U j (x) > U j (y) τότε U i (x) > U i (y) και (2) Αν U i (y) > U i (x) τότε U j (y) > U j (x). Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Άνοιξη 2012 Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης ηµόσια Οικονοµική ΙI Η διαδικασία της ψηφοφορίας Ως µεθόδου παροχής των δηµοσίων αγαθών (για τα ιδιωτικά αγαθά, ο µηχανισµός των τιµών).

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Κεφάλαιο 7 Ε. Σαρτζετάκης Μονοπωλιακός ανταγωνισμός Η μορφή αγοράς του μονοπωλιακού ανταγωνισμού περιέχει στοιχεία πλήρους ανταγωνισμού (ελεύθερη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Συνέχεια από πριν.. Στο προηγούμενο μάθημα είδαμε ότι μπορούμε να επιλύσουμε παίγνια με την μέθοδο της απαλοιφής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ EKΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ II ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούμενα Μαθήματα: Παίχτες: είναι αυτοί που λαμβάνουν τις αποφάσεις. Ένα παίγνιο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ισορροπία. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 19 Απριλίου 2013

Γενική Ισορροπία. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 19 Απριλίου 2013 Γενική Ισορροπία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 19 Απριλίου 2013 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία 19 Απριλίου 2013 1 / 50. Παρατήρηση. Στη γενική ισορροπία προσέξτε ότι οι καµπύλες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /10/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : /11/01

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 2016

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 2016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 2016 ΘΕΜΑ Α Α.1 Σωστό Α.2 Λάθος Α.3 Σωστό Α.4 Σωστό Α.5 Λάθος Α.6 α Α.7 γ ΘΕΜΑ Β Β.1 α) Οι τιµές των παραγωγικών συντελεστών. Η μεταβολή της τιµής ενός ή περισσότερων

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΚΟΙΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Players-Παίκτες Rules- Κανόνες. Τιµωρείσαι εάν τους παραβιάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

0 χ1 χ2 Ι2 χ3 Ι5 Ι3 χ

0 χ1 χ2 Ι2 χ3 Ι5 Ι3 χ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ - ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ Ι1 χ/ Ρ=0 χ/ Ρ>0 χ/ Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία 1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Η δική µας Εικασία Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν να διχοτοµούν µια τυχαία γωνία µε χρήση κανόνα και διαβήτη, και, κατά συνέπεια, µπορούσαν να διαιρέσουν

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Εξίσωση Slutsky. Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της

Διάλεξη 7. Εξίσωση Slutsky. Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της τιµής Διάλεξη 7 Εξίσωση Slutsk Τι θα συµβεί όταν µειωθεί η τιµή ενός αγαθού; Αποτέλεσµα υποκατάστασης : το αγαθό γίνεται σχετικά πιο φτηνό και γι αυτό ο καταναλωτής υποκαθιστά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand

Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τι θα πούμε Θα εξετάσουμε αναλυτικά το μοντέλο Cournot

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων 1

Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες

Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τις µεθόδους επίλυσης υποδειγµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Εξέταση Φεβρουαρίου 2012 / ιάρκεια: 2 ώρες ιδάσκοντες: Μ. Αθανασίου, Γ.

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η ακρίβεια ορίζεται σαν το πηλίκο των ευρεθέντων συναφών εγγράφων προς τα ευρεθέντα έγγραφα. Άρα για τα τρία συστήµατα έχουµε τις εξής τιµές:

Η ακρίβεια ορίζεται σαν το πηλίκο των ευρεθέντων συναφών εγγράφων προς τα ευρεθέντα έγγραφα. Άρα για τα τρία συστήµατα έχουµε τις εξής τιµές: Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY463 - Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών 2005-2006 Εαρινό Εξάµηνο 1 η Σειρά Ασκήσεων (Αξιολόγηση Αποτελεσµατικότητας Ανάκτησης) Άσκηση 1 (4 βαθµοί) Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

ηµόσια Οικονοµική Βασίλης Ράπανος, Γεωργία Καπλάνογλου µόνο Τµήµα Ι.

ηµόσια Οικονοµική Βασίλης Ράπανος, Γεωργία Καπλάνογλου µόνο Τµήµα Ι. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2013-2014 Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εξεταστική περίοδος Απριλίου Εξέταση στο µάθηµα: ηµόσια Οικονοµική ιδασκαλία: Βασίλης Ράπανος, Γεωργία Καπλάνογλου Η εξέταση αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram).

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram). Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 Κατανοµές 1. Οµοιόµορφη κατανοµή Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 7 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια εξέτασης: 5:00-8:00 Έστω ότι

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ Σ.Α.Ε. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 3 ) Αρχικό σήµα ( ) Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται ένα περιοδικό σήµα ( ), το οποίο έχει ληφθεί από

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης 6.1. (α) Το mini-score-3 παίζεται όπως το score-4,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Τέταρτου Πακέτου Ασκήσεων

Λύσεις Τέταρτου Πακέτου Ασκήσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι 2015-16 Λύσεις Τέταρτου Πακέτου Ασκήσεων 1. Πρώτη άσκηση 2. Δεύτερη άσκηση 3. α) Για τη συνάρτηση κέρδους έχουµε Π=P f(x)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

Πάνω στον πίνακα έχουµε γραµµένο το γινόµενο 1 2 3 4 595. ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο ένας µετά τον άλλο, διαγράφουν από έναν παράγοντα του γινοµένου αρχίζοντας από τον παίκτη Α. Νικητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα Κεφάλαιο 7 Έλεγχος Υποθέσεων 1 Ένα παράδειγµα Ένας ερευνητής θέλησε να διαπιστώσει κατά πόσο η από απόσταση εκπαίδευση είναι καλύτερη από τη δια ζώσης εκπαίδευση. Για το σκοπό αυτό, επέλεξε δύο οµάδες

Διαβάστε περισσότερα