Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ Συστήμτ Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητ #3: Ευστάθει Συστημάτων - Αλγεβρικό Κριτήριο Routh Δημήτριος Δημογιννόπουλος Τμήμ Μηχνικών Αυτομτισμού Τ.Ε

2 Άδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Creative Commons. Γι εκπιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειτι σε άλλου τύπου άδεις χρήσης, η άδει χρήσης νφέρετι ρητώς. 2

3 Χρημτοδότηση Το πρόν εκπιδευτικό υλικό έχει νπτυχθεί στ πλίσι του εκπιδευτικού έργου του διδάσκοντ. Το έργο «Ανοικτά Ακδημϊκά Μθήμτ στο Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ» έχει χρημτοδοτήσει μόνο τη νδιμόρφωση του εκπιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείτι στο πλίσιο του Επιχειρησικού Προγράμμτος «Εκπίδευση κι Δι Βίου Μάθηση» κι συγχρημτοδοτείτι πό την Ευρωπϊκή Ένωση (Ευρωπϊκό Κοινωνικό Τμείο) κι πό εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί Ενότητς Η έννοι της ευστάθεις συστήμτος Η ευστάθει κι το χρκτηριστικό πολυώνυμο συστήμτος Εξκρίβωση ευστάθεις με λγεβρικά κριτήρι Απίτηση ευστάθεις κτά το σχεδισμό ελεγκτήκριτηρίου Routh χρήση 4

5 Περιεχόμεν Ενότητς Ευστάθει συστημάτων Πρτηρήσεις στην ευστάθει συστημάτων Κριτήριο Routh Πρδείγμτ Ιδιιτερότητες εφρμογής κριτηρίου Routh Εφρμογή κριτηρίου Routh στην ευστάθει κλειστού βρόχου 5

6 Ευστάθει Συστημάτων 6

7 Ευστάθει Συστημάτων - 1 Η ευστάθει είνι εσωτερική ιδιότητ του συστήμτος κι δεν εξρτάτι πό το είδος του σήμτος εισόδου: u(t) γι τον νοικτό βρόχο ή r(t) γι τον κλειστό βρόχο 7

8 Ευστάθει Συστημάτων - 2 Η ευστάθει συνδέετι με τη συνάρτηση μετφοράς (κι άρ κι τη διφορική εξίσωση) του συστήμτος. Διάφοροι ορισμοί της ευστάθεις έχουν δοθεί. 8

9 Ευστάθει Συστημάτων - 3 Η ευστάθει συνδέετι με τη συνάρτηση μετφοράς (κι άρ κι τη διφορική εξίσωση) του συστήμτος. Διάφοροι ορισμοί της ευστάθεις έχουν δοθεί. Γι πράδειγμ, έν σύστημ χρκτηρίζετι ως ευστθές ότν: u(t) < N y(t) < M < με u(t) σήμ εισόδου, y(t) πόκριση κι Ν, Μ>0 κι. Ο πρπάνω μθημτικός ορισμός (που νφέρετι στη βιβλιογρφί ως BIBO- Bounded Input, Bounded Output) υπογρμμίζει ότι σε έν ευστθές σύστημ μι δεδομένη διέγερση δεν πρόκειτι ν προκλέσει άπειρη πόκριση. (1) 9

10 Ευστάθει Συστημάτων - 4 Άλλος ορισμός βσίζετι στη χρήση της κρουστικής συνάρτησης δ(t) κι χρκτηρίζει ευστθές το σύστημ γι το οποίο: u(t) = δ(t) lim y(t) = 0 t (2) 10

11 Ευστάθει Συστημάτων - 5 Άλλος ορισμός βσίζετι στη χρήση της κρουστικής συνάρτησης δ(t) κι χρκτηρίζει ευστθές το σύστημ γι το οποίο: u(t) = δ(t) lim y(t) t = 0 (2) Άρ η στιγμιί διέγερση του συστήμτος προκλεί πόκριση που συγκλίνει τελικά στο μηδέν (κι δεν εμφνίζει τλντωτική συμπεριφορά, γι πράδειγμ). 11

12 Ευστάθει Συστημάτων - 6 Άλλος ορισμός βσίζετι στη χρήση της κρουστικής συνάρτησης δ(t) κι χρκτηρίζει ευστθές το σύστημ γι το οποίο: u(t) = δ(t) lim y(t) = 0 t Άρ η στιγμιί διέγερση του συστήμτος προκλεί πόκριση που συγκλίνει τελικά στο μηδέν (κι δεν εμφνίζει τλντωτική συμπεριφορά, γι πράδειγμ). Αντίστοιχ, ότν το ευστθές σύστημ διεγείρετι πό έν σήμ βημτικής μορφής, τότε η πόκρισή του θ συγκλίνει σε κάποι συγκεκριμένη (όχι άπειρη) τιμή. (2) 12

13 Ευστάθει Συστημάτων - 7 Η ευστάθει εξετάζετι πό τους πόλους* του συστήμτος. * Πόλοι του συστήμτος είνι οι λύσεις του χρκτηριστικού πολυωνύμου (δηλδή του πολυωνύμου του προνομστή) της συνάρτησης μετφοράς του. Οι μηδενιστές (ρίζες) του συστήμτος είνι οι λύσεις του πολυωνύμου του ριθμητή της συνάρτησης μετφοράς. 13

14 Ευστάθει Συστημάτων - 8 Η ευστάθει εξετάζετι πό τους πόλους* του συστήμτος. Έν σύστημ είνι ευστθές ότν όλοι οι πόλοι του έχουν ρνητικό πργμτικό μέρος. * Πόλοι του συστήμτος είνι οι λύσεις του χρκτηριστικού πολυωνύμου (δηλδή του πολυωνύμου του προνομστή) της συνάρτησης μετφοράς του. Οι μηδενιστές (ρίζες) του συστήμτος είνι οι λύσεις του πολυωνύμου του ριθμητή της συνάρτησης μετφοράς. 14

15 Ευστάθει Συστημάτων - 9 Η ευστάθει εξετάζετι πό τους πόλους* του συστήμτος. Έν σύστημ είνι ευστθές ότν όλοι οι πόλοι του έχουν ρνητικό πργμτικό μέρος. Αν το ευστθές σύστημ έχει πόλους πργμτικούς ριθμούς, τότε υτοί θ είνι ρνητικοί. * Πόλοι του συστήμτος είνι οι λύσεις του χρκτηριστικού πολυωνύμου (δηλδή του πολυωνύμου του προνομστή) της συνάρτησης μετφοράς του. Οι μηδενιστές (ρίζες) του συστήμτος είνι οι λύσεις του πολυωνύμου του ριθμητή της συνάρτησης μετφοράς. 15

16 Ευστάθει Συστημάτων - 10 Η ευστάθει εξετάζετι πό τους πόλους* του συστήμτος. Έν σύστημ είνι ευστθές ότν όλοι οι πόλοι του έχουν ρνητικό πργμτικό μέρος. Αν το ευστθές σύστημ έχει πόλους πργμτικούς ριθμούς, τότε υτοί θ είνι ρνητικοί. Αν το πργμτικό μέρος των πόλων είνι μηδέν, τότε εμφνίζετι τλντωτική συμπεριφορά της πόκρισης y(t) γι σήμ εισόδου βημτικής (ή κρουστικής) μορφής που συνεχίζετι γι «άπειρο» χρόνο. Ανφερόμστε τότε σε διάφορη ευστάθει ή ουδετερότητ. 16

17 Ευστάθει Συστημάτων - 11 * Πόλοι του συστήμτος είνι οι λύσεις του χρκτηριστικού πολυωνύμου (δηλδή του πολυωνύμου του προνομστή) της συνάρτησης μετφοράς του. Οι μηδενιστές (ρίζες) του συστήμτος είνι οι λύσεις του πολυωνύμου του ριθμητή της συνάρτησης μετφοράς. 17

18 Πρτηρήσεις στην Ευστάθει Συστημάτων 18

19 Πρτηρήσεις - 1 Ανφερόμστε στους πόλους της συνάρτησης μετφοράς του συστήμτος με τη δεδομένη συνδεσμολογί. Αν, γι πράδειγμ, έν σύστημ G(s) είνι ευστθές ως υτοτελές σύστημ, δηλδή έχει πόλους με ρνητικό πργμτικό μέρος, τότε: 19

20 Πρτηρήσεις - 2 Ανφερόμστε στους πόλους της συνάρτησης μετφοράς του συστήμτος με τη δεδομένη συνδεσμολογί. Αν, γι πράδειγμ, έν σύστημ G(s) είνι ευστθές ως υτοτελές σύστημ, δηλδή έχει πόλους με ρνητικό πργμτικό μέρος, τότε: ΔΕΝ μπορούμε ν ποφνθούμε γι την ευστάθει του συστήμτος σε κλειστό βρόχο ΜΕΧΡΙ ν υπολογίσουμε τη νέ συνάρτηση μετφοράς που χρκτηρίζει τη συνδεσμολογί υτή κι ν εξετάσουμε τους νέους πόλους που προκύπτουν. 20

21 Πρτηρήσεις - 3 Η διδικσί υτή είνι ρκετά επίπονη ν έχουμε κάποιο σύνθετο ελεγκτή C(s) στον κλειστό βρόχο (γιτί;) ή, πολύ πλά, το χρκτηριστικό πολυώνυμο κλειστού βρόχου που προκύπτει είνι υψηλής τάξης (βθμού). Το ίδιο, προφνώς, ισχύει κι γι υτοτελές σύστημ με χρκτηριστικό πολυώνυμο υψηλής τάξης (βθμού). Γι τούτο έχουν προτθεί κριτήρι που διερευνούν την ευστάθει του συστήμτος, χωρίς τη λύση του χρκτηριστικού πολυωνύμου, λλά πλά χρησιμοποιώντς τους συντελεστές του. 21

22 Κριτήριο Routh 22

23 Κριτήριο Routh - 1 Υποθέστε ότι το χρκτηριστικό πολυώνυμο του συστήμτος είνι Q(s)= n s n + n-1 s n s+ 0. Τότε οι συντελεστές του γράφοντι όπως στο πρκάτω διάγρμμ: s n n n-2 n-4... s n-1 n-1 n-3 n-5... s n-2 n-1 n-2 n bn-1 = n- 1 s n-3 bn-1n-3 cn-1 = bn- 1 s 0 n-1 b n-3 n-3 b c n-1 n-4 n n-5 n-3 = b n-1 b n-1 n-5 n-1 n-5 n-3 = bn-1 b n = 23

24 Κριτήριο Routh - 2 s n n n-2 n-4... s n-1 n-1 n-3 n-5... s n-2 n-1n-2 bn-1 = n- 1 s n-3 bn-1 n-3 cn-1 = bn- 1 n n-1 b n-3 n-3 s 0 b c n-1 n-4 n n-5 n-3 = b n-1 Αν οι συντελεστές της πρώτης στήλης (που φίνοντι με δίγρμμο περίγρμμ) δεν εμφνίζουν λλγή προσήμου τότε το σύστημ είνι ευστθές. b n-1 n-5 n-1 n-5 n-3 = bn-1 b n = 24

25 Κριτήριο Routh - 3 s n n n-2 n-4... s n-1 n-1 n-3 n-5... s n-2 n-1n-2 bn-1 = n- 1 s n-3 bn-1 n-3 cn-1 = bn- 1 n n-1 b n-3 n-3 s 0 b c n-1 n-4 n n-5 n-3 = b n-1 Αν οι συντελεστές της πρώτης στήλης (που φίνοντι με δίγρμμο περίγρμμ) δεν εμφνίζουν λλγή προσήμου τότε το σύστημ είνι ευστθές. Σε άλλη περίπτωση, το πλήθος των ενλλγών προσήμου 25 δείχνει κι το πλήθος των στθών πόλων. b n-1 n-5 n-1 n-5 n-3 = bn-1 b n =

26 Κριτήριο Routh Πρδείγμτ 26

27 Πράδειγμ 1 (1) Έστω χρκτηριστικό πολυώνυμο Q(s)= s 3-2 s 2-5 s+6. Υποθέτουμε ότι δεν μπορούμε ν υπολογίσουμε τους πόλους υτού (οι οποίοι έχουν τις τιμές 1,-2 κι 3). Με το κριτήριο Routh έχουμε: s s s 1 s 0 [(-2) (-5)-6 1]/(-2) = -2 [(-2) 6-0/(-2) =6 0 27

28 Πράδειγμ 1 (2) Έστω χρκτηριστικό πολυώνυμο Q(s)= s 3-2 s 2-5 s+6. Υποθέτουμε ότι δεν μπορούμε ν υπολογίσουμε τους πόλους υτού (οι οποίοι έχουν τις τιμές 1,-2 κι 3). Με το κριτήριο Routh έχουμε: s s s 1 s 0 [(-2) (-5)-6 1]/(-2) = -2 [(-2) 6-0/(-2) =6 Εμφνίζοντι δύο λλγές προσήμου (πό 1 σε -2 κι πό -2 σε 6) στην στήλη που μς ενδιφέρει, άρ υπάρχουν δύο στθείς πόλοι (οι οποίοι, προφνώς, θ είνι οι 1 κι 3). 0 28

29 Πράδειγμ 2 Έστω το χρκτηριστικό πολυώνυμο Q(s)= s 3-3 s+2, όπου με χρήση του κριτηρίου Routh s s 2 0!! 2 s 1 ;;;;; ;;; s 0 ;;;;; Στην (ιδιάζουσ) περίπτωση που ένς όρος της εν λόγω στήλης προκύπτει ίσος με το 0, ντικθιστούμε τον όρο υτό πό μι «πολύ μικρή θετική» ποσότητ ε, κι συνεχίζουμε όπως κι πριν. Έστω γι πράδειγμ το οποίο θ εξετστεί με το κριτήριο Routh: 29

30 Πράδειγμ 2 (Συνέχει) s s 2 0!! Αντικτάστση πό ε>0 2 s 1 [-3 ε-2]/ε 0 s 0 2 Ο όρος {[-3 ε-2]/ε} είνι ρνητικός, άρ υπάρχουν στθείς πόλοι. Δύο ενλλγές προσήμου (πό ε σε {[-3 ε-2]/ε} κι πό {[- 3 ε-2]/ε} σε 2) άρ υπάρχουν δύο στθείς πόλοι (πράγμ σωστό φού υπολογίζοντς τις λύσεις του συγκεκριμένου πολυωνύμου βρίσκουμε 1, 1 κι -2). 30

31 Ιδιιτερότητες Εφρμογής Κριτηρίου Routh 31

32 Ιδιιτερότητες Εφρμογής Κριτηρίου Routh Αν σε μι ολόκληρη σειρά όλοι οι όροι είνι ίσοι με μηδέν, τότε ή υπάρχουν 2 συζυγείς φντστικές λύσεις, ή 2 πργμτικές με διφορετικά πρόσημ ή, τέλος, 2 μιγδικές συμμετρικές ως προς το μηδέν. 32

33 Εφρμογή Κριτηρίου Routh στην Ευστάθει Κλειστού Βρόχου 33

34 Εφρμογή Κριτηρίου Routh στην Ευστάθει Κλειστού Βρόχου - 1 Έστω το πρκάτω σχήμ ελέγχου, στο οποίο θ πρέπει ν κθοριστεί η τιμή του ελεγκτή Kp ώστε ν έχουμε ευστάθει: Χρησιμοποιώντς τον τύπο της συνάρτησης μετφοράς κλειστού βρόχου θ έχουμε: Y(s) C(s) G(s) Kp G(s) Kp = = = 3 2 R(s) 1+ C(s) G(s) 1+ Kp G(s) s + 3 s + 2 s + Kp 34

35 Εφρμογή Κριτηρίου Routh στην Ευστάθει Κλειστού Βρόχου - 2 Άρ σχημτίζουμε τον πρκάτω πίνκ: s s 2 3 Kp s 1 [6-Kp]/3 0 s 0 Kp που επιβάλλει γι ευστάθει του συστήμτος θετικότητ του όρου [6- Kp], δηλδή Κp<6. 35

36 Τέλος Ενότητς