MAJ. MONTELOPOIHSH II

Transcript

1 MAJ MONTELOPOIHSH II ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 009 ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΙV Οι ασκήσεις είναι από το βιβλίο του Simon Haykin Θα ακολουθήσει ακόμη ένα φυλλάδιο τις επόμενες μέρες Άσκηση (σελ 366- πρόβλημα 56) Λύση: Υπολογίζουμε τη χαρακτηριστική συνάρτηση του διανύσματος (Z(t ), Z(t )) f(u, v) = E e i(uz(t)+vz(t))] E exp ( i(u cos(πt ) + v cos(πt ))X + i(u sin(πt ) + v sin(πt ))Y )] E exp ( i(u cos(πt ) + v cos(πt ))X )] E exp ( i(u sin(πt ) + v sin(πt ))Y )] γιατί οι X, Y είναι ανεξάρτητες Η χαρακτηριστική συνάρτηση μιας τυπικής κανονικής είναι Ee itx ] = e t /, επομένως f(u, v) = exp ( (u cos(πt ) + v cos(πt )) (u sin(πt ) + v sin(πt )) ) = exp ( (u + v + uv(cos(πt ) cos(πt ) + sin(πt ) sin(πt ))) ) = exp ( (u + v + uv cos(π(t t ))) ) Αυτή όμως είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση μιας κανονικής σε δύο διαστάσεις με μέση τιμή (0,0) και πίνακα διασποράς ( ) cos(π(t Σ = t )) cos(π(t t )) Άρα οι (Z(t ), Z(t )) ακολουθούν κανονική κατανομή με μέση τιμή m = 0 και πίνακα διασποράς Σ Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να παρατηρήσουμε ότι οι Z(t i ) είναι γραμμικοί συνδυασμοί των X, Y που έχουν από κοινού κανονική κατανομή Επομένως οι (Z(t ), Z(t ),, Z(t k )) ακολουθούν κανονική κατανομή για οποιαδήποτε k-άδα χρόνων (t,, t k ), δηλαδή η Z είναι ανέλιξη Gauss Μπορούμε να υπολογίσουμε τις παραμέτρους της ως εξής m i = EZ(t i )] = 0 και Σ ij = EZ(t i )Z(t j )] = E (X cos(πt i ) + Y sin(πt i ))(X cos(πt j ) + Y sin(πt j )) ] = EX ] cos(πt i ) cos(πt j ) + EY ] sin(πt i ) sin(πt j ) + EXY ](cos(πt i ) sin(πt j ) + sin(πt i ) cos(πt j )) = cos(πt i ) cos(πt j ) + sin(πt i ) sin(πt j ) + 0 = cos(π(t t ))

2 Εφόσον η Z είναι ανέλιξη Gauss με σταθερή μέση τιμή και η συνδιασπορά Σ ij = EZ(t i )Z(t j )] εξαρτάται μόνο από τη διαφορά t j t i η Z είναι στάσιμη Άσκηση (σελ 370- πρόβλημα 57) Λύση: α) Η R X (τ) είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της S X (f) = ( f f 0 ) + + δ(f) Άρα, +f 0 R X (τ) = = f0 ( f )e πifτ df + f 0 f 0 f0 0 ( f f 0 ) cos(πfτ) df + = sin (πf 0 τ) -/f 0 -/f 0 /f 0 /f 0 π f 0 τ + β) Η ισχύς που αντιστοιχεί σε ένα εύρος συχνοτήτων f, f ] είναι το ολοκλήρωμα της S X (f) στο διάστημα αυτό Επομένως η ισχύς που αντιστοιχεί σε μηδενική συχνότητα είναι P dc = γ) P ac = f 0 f 0 f f 0 df = f 0 δ) Αν f 0 τ Z τότε EX(t)X(t + τ)] = (η ελάχιστη τιμή της R X (τ) Αυτό από μόνο του δεν συνεπάγεται ότι οι X(t) και X(t + τ) είναι ασυσχέτιστες Πάρτε για παράδειγμα X(t) = Z + Y (t) όπου η Y t είναι στάσιμη στοχαστική διαδικασία με μέση τιμή 0 και συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R Y (τ) = sin (πf 0τ) π f 0τ και Z τυχαία μεταβλητή ανεξάρτητη από την Y με μέση τιμή μηδέν και διασπορά Τότε οι X(t), X(t + τ) δεν είναι ασυσχέτιστες Αν όμως Z τότε EX(t)] = και άρα οι X(t), X(t + τ) είναι ασυσχέτιστες Ακόμη και σ αυτήν την περίπτωση δεν μπορούμε να συμπεράνουμε εν γένει ότι οι X(t), X(t + τ) είναι ανεξάρτητες Ενδιαφέρουσα εξαίρεση αποτελεί η περίπτωση που η X είναι Gauss, οπότε αν οι X(t), X(t + τ) είναι ασυσχέτιστες τότε είναι και ανεξάρτητες Άσκηση 3 (σελ 37- πρόβλημα 59) Η πυκνότητα φάσματος ισχύος της εισόδου δίνεται από το μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης: S X (f) = e ν τ e πifτ dτ Μπορείτε είτε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα απ ευθείας είτε να ανακαλέσετε ότι ο μετασχηματισμός Fourier της e t είναι + 4π και να χρησιμοποιήσετε την f ιδιότητα του μετασχηματισμού Fourier ως προς την αλλαγή της χρονικής κλίμακας: S X (f) = ν + 4π ( f = ν ν ) ν + π f

3 Η συνάρτηση μεταφοράς του κυκλώματος είναι H(f) = +πircf Επομένως η πυκνότητα φάσματος ισχύος στην έξοδο θα είναι S Y (f) = H(f) S X (f) = ν + 4π (RC) f ν + π f Για να βρούμε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της εξόδου R Y (τ) θα πρέπει να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier της S Y Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους Είτε παρατηρώντας ότι η S Y είναι το γινόμενο μετασχηματισμών γνωστών συναρτήσεων (οπότε η R Y θα είναι η συνέλιξη αυτών των συναρτήσεων) είτε γράφοντας το γινόμενο στον τύπο για την S Y ως διαφορά δύο κλασμάτων Εδώ θα κάνουμε το δεύτερο Συγκεκριμένα, αν νrc μπορούμε να γράψουμε και άρα S Y (f) = R Y (τ) = ( (νrc) ν + π f 4(RC) ) + 4π (RC) f (e ν τ (νrc) RCe ) τ RC ν Επειδή η R Y εξαρτάται συνεχώς από το ν μπορούμε να βρούμε την τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης όταν νrc = παίρνοντας το όριο ν /RC στην παραπάνω σχέση: ) R Y (τ) = lim ( ν e ν τ RCe τ RC ν + νrc RC ν RC RC = 4RC d dν ( ) e ν τ ν = (RC + τ )e τ RC ν= RC Σαν άσκηση μπορείτε να επιβεβαιώσετε το τελευταίο αποτέλεσμα (όταν νrc = ) γράφοντας την R Y σαν συνέλιξη της συνάρτησης g(t) = e τ RC με τον εαυτό RC της Άσκηση 4 (σελ 37- πρόβλημα 50) Υπολογίζουμε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της ανέλιξης X EX(t)X(t + τ)] = A E cos ( πf t + Θ ) cos ( πf (t + τ) + Θ )] = A E cos(πf τ) + cos ( πf (t + τ) + Θ )] Υπολογίζουμε τις παραπάνω αναμενόμενες τιμές ως εξής ] E cos(πf τ) = cos(πwτ)f F (w) dw = = ˆf F (τ) + ˆf F ( τ) 3 e πiwτ + e πiwτ f F (w) dw

4 Για τη δεύτερη αναμενόμενη τιμή θα χρειαστούμε την από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των F, Θ Εφόσον είναι ανεξάρτητες αυτή θα είναι Επομένως, E cos ( πf (t+τ)+θ )] = Φ(w, θ) = f F (w), w R, θ 0, π] π ( π Άρα η X είναι στάσιμη με την ευρεία έννοια και R X (τ) = A 0 cos ( πw(t+τ)+θ ) ) ff (w) dθ dw = 0 π ˆf F (τ) + ˆf F ( τ) Παίρνοντας το μετασχηματισμό Fourier στην παραπάνω υπολογίζουμε την πυκνότητα φάσματος ισχύος S X (ξ) = A f F ( ξ) + f F (ξ) Αν η f F είναι άρτια έχουμε S X (ξ) = A /f F (ξ) και αν η F παίρνει μια μόνο τιμή f 0 δηλαδή f F (ξ) = δ(ξ f0)+δ(ξ+f0) τότε S X = A δ(ξ f 0)+δ(ξ+f 0) Άσκηση 5 (σελ 378- πρόβλημα 53) Η συνάρτηση μεταφοράς του εν λόγω βαθυπερατού φίλτρου είναι H(f) = + πifrc Δεδομένου ότι ο θόρυβος στην είσοδο έχει σταθερή πυκνότητα φάσματος ισχύος N 0 / η πυκνότητα φάσματος ισχύος του θορύβου n( ) στην έξοδο είναι S n (f) = H(f) S w (f) = N 0 / + 4π f (RC) Οπως έχουμε δει εφόσον η είσοδος του γραμμικού φίλτρου είναι στάσιμη ανέλιξη Gauss το ίδιο θα ισχύει και για την έξοδο n, ενώ η μέση τιμή της εξόδου θα είναι μηδέν αφού η μέση τιμή της εισόδου είναι μηδέν Άρα n(t) N (0, σ ) Μπορούμε να υπολογίσουμε τη διασπορά είτε από την πυκνότητα φάσματος ισχύος, είτε από τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της n: σ = En (t)] = R n (0) = S n (f) df Μπορείτε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας ολοκληρωτικά υπόλοιπα Εναλλακτικά, παρατηρήστε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της S n (η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης δηλαδή) μας είναι γνωστός Επομένως σ = N0 4RC R n (τ) = N 0 τ 4RC e RC 4

5 Άσκηση 6 (σελίδα 378- πρόβλημα 534) Υπολογίζουμε πρώτα τη συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου Αν x(t) και y(t) είναι η τάση στην είσοδο και στην έξοδο αντίστοιχα και i(t) το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα έχουμε x(t) i(t)r y(t) = 0 Ομως η τάση στα άκρα του πηνίου (που συμπίπτει με την τάση εξόδου) συνδέεται με το ρεύμα i(t) με τη σχέση y(t) = L di(t) dt Παίρνοντας το μετασχηματισμό Fourier στις παραπάνω εξισώσεις μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς: H(f) = πifl R + πifl, οπότε η πυκνότητα φάσματος ισχύος της εξόδου είναι S n (f) = H(f) N 0 = N 0 4π f L R + 4π f L Για να υπολογίσετε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης παρατηρήστε ότι ( ), οπότε S n (f) = N 0 R R + 4π f L R(τ) = N 0 δ(τ) N 0R R τ 4L e L Άσκηση 7 (σελ 380- πρόβλημα 539) Θεωρούμε ότι η κεντρική συχνότητα του θορύβου είναι f c =5,5Hz με εύρος ζώνης B =, 5Hz Οπως είδαμε στην τάξη η συμφασική και ορθογώνια συνιστώσα έχουν πυκνότητα φάσματος ισχύος { S n (f f c ) + S n (f + f c ), αν f B S nc (f) = S ns (f) = 0, διαφορετικά Από τη γραφική παράσταση της S n βρίσκουμε, 5 αν f 0, 5 S nc (f) = S ns (f) =, 5, 5 x αν 0, 5 f, 5 0 διαφορετικά Αντίστοιχα, οι ετεροφασματικές πυκνότητες δίνονται από τις { i(s n (f + f c ) + S n (f f c )), αν f B S ncn s (f) = S nsn c (f) = 0, διαφορετικά οπότε i(0, 5f + 0, 75) αν, 5 f 0, 5 if αν f 0, 5 S ncn s (f) = S nsn c (f) = i(0, 5f 0, 75) αν 0, 5 f, 5 0 διαφορετικά 5

6 Άσκηση 8 (σελ 38- πρόβλημα 54) Για τον ζωνοπερατό θόρυβο Gauss N(t) θα χρησιμοποιήσουμε την αναπαράσταση N(t) = r(t) cos ( πf c t + ψ(t) ), όπου r(t) = N c (t) + N s (t) και η ψ(t) είναι ομοιόμορφη στο 0, π] και ανεξάρτητη της r(t) Η περιβάλλουσα της N( ) είναι επομένως η r( ) και άρα η έξοδος της διάταξης που δίνει το τετράγωνο της περιβάλλουσας είναι η Z(t) = r (t) = N c (t) + N s (t) Οι N c (t), N s (t) ακολουθούν κανονική κατανομή με μέση τιμή μηδέν αφού ο N(t) είναι Gauss με μέση τιμή μηδέν Παρατηρήστε ότι οι N c (t) και N s (t) έχουν πυκνότητα φάσματος ισχύος που βρίσκεται όπως στην προηγούμενη άσκηση { N 0, αν f B S Nc (f) = S Ns (f) = 0, διαφορετικά, και ετεροφασματικές πυκνότητες S NcN s (f) = S NsN c (f) = 0 (παρατηρήστε ότι η S N (f) είναι τοπικά συμμετρική γύρω από την f c ) Άρα οι N c (t), N s (t) είναι ανεξάρτητες (είναι ασυσχέτιστες αφού R NcN s 0 και η από κοινού τους κατανομή είναι κανονική) και η διασπορά καθεμιάς δίνεται από την σ = EN c (t)] = EN s (t)] = B B Δηλαδή η από κοινού πυκνότητα πιθανότητας είναι f(u, v) = u +v 4πN 0 B e 4N 0B N 0 df = N 0 B Επομένως, μπορούμε να υπολογίσουμε την συνάρτηση κατανομής της Z(t) Για κάθε z > 0 έχουμε F Z (z) = P Z(t) z ] = P Nc (t) + Ns (t) z ] = u +v z u +v 4πN 0 B e 4N 0B Μετασχηματίζοντας σε πολικές συντεταγμένες έχουμε z π dudv r F Z (z) = 0 0 4πN 0 B e 4N 0B r dθdr = e z 4N 0B Επομένως η Z ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 4N 0 B 6