Ενεργα - RC φίλτρα 2ης τάξης

Transcript

1 Ενεργα - C φίλτρα 2ης τάξης Κεφάλαιο 5 5. Εισγωγή Είδαµε στο κεφάλαιο 3 ότι από τις προδιαγραφές ενός φίλτρου, µπορούµε να υπολογίσουµε µια πραγµατοποιήσιµη συνάρτηση µεταφοράς που τις ικανοποιεί. Εχοντας την συνάρτηση µεταφοράς και την θέση των πόλων και των µηδενικών της, µπορούµε να την αναλύσουµε σε γινόµενο πρωτοβάθµιων και δευτεροβάθµιων όρων. Η υλοποίηση της συνάρτησης µεταφοράς, όπως θα δούµε αναλυτικά στο επόµενο κεφάλαιο, µπορεί να γίνει µε την σχεδίαση κυκλωµάτων που υλοποιούν κάθε έναν όρο του γινοµένου και την αλυσωτή σύνδεση των κυκλωµάτων αυτών. Αυτός είναι βασικά ο λόγος για τον οποίο τα κυκλώµατα που υλοποιούν πρωτοβάθµιες και δευτεροβάθµιες συναρτήσεις µεταφοράς, παίζουν σηµαντικό ρόλο στην σχεδίαση ενεργών φίλτρων. Στο προηγούµενο κεφάλαιο παρουσιάστηκαν αρκετά κυκλώµατα ης τάξης και το κεφάλαιο αυτό ασχολείται µε συναρτήσεις και κυκλώµατα 2ης τάξης. Η γενική µορφή µιας ρητής δευτεροβάθµιας συνάρτησης κυκλώµατος είναι: F(s) A z s 2 B z sc z K (s&z )(s&z 2 ) (5.α) A p s 2 B p s C p (s&p )(s&p 2 ) Οι συναρτήσεις δεύτερης τάξης της µορφής αυτής ονοµάζονται διττετράγωνες (biquadratic) και τα κυκλώµατα που τις πραγµατοποιούν διττετράγωνα κυκλώµατα (biquads). Η ορολογία αυτή τείνει να αφορά συναρτήσεις 2ης τάξης ακόµα και όταν έχουν ένα πραγµατικό ή κανένα µηδενικό. Οταν η συνάρτηση δεν k έχει µηδενικά και είναι της µορφής F(s), ονοµάζεται ολοπολική (all pole). Στη γενική (s & p)(s & p ( ) της περίπτωση η διττετράγωνη συνάρτηση είναι της µορφής: F(s) A z s 2 B z sc z A p s 2 B p s C p K s 2 ω oz Q z s 0z s 2 ω 0p Q p s op K A z A p (5.β) Τα Q p και Q z είναι οι συντελεστές ποιότητος των πόλων και των µηδενικών αντίστοιχα και ω οp και ω οz οι φυσικές συχνότητες των πόλων και των µηδενικών αντίστοιχα, µε τους παρακάτω προφανείς ορισµούς συναρτήσει των συντελεστών των τριωνύµων: ω oz C z Q z C z B z ω op C p Q p C p B p (5.2) Καθοριστικό ρόλο στην συµπεριφορά των κυκλωµάτων µε συνάρτηση µεταφορας 2ης τάξης παίζει το Q p που καθορίζει ουσιαστικά την απόσταση των πόλων από τον άξονα jω καθώς και αν θα υπάρχουν δύο συζυγείς µιγαδικοί πόλοι ή δύο πραγµατικοί. Συγκεκριµένα, οι πόλοι της παραπάνω συνάρτησης F(s) είναι: s,2 & B p 2A p ± B 2 p 4A 2 p & C p A p ω οp! 2Q p ± 2Q p 2 & (5.3) Από την σχέση 5.3 γίνεται σαφές ότι: Οι πόλοι είναι µιγαδικοί µόνον όταν Q>0.5 ενώ γιά µικρότερες τιµές, οι πόλοι είναι πραγµατικοί. Η απόσταση των πόλων από τον άξονα jω (το πραγµατικό τους µέρος) είναι, για σταθερή συχνότητα πόλων, αντιστρόφως ανάλογη του 2Q. Ετσι γιά µεγάλα Q, οι πόλοι είναι πλησιέστερα στον άξονα jω, οπότε επιδρούν πιό έντονα στην απόκριση, µε ακραία περίπτωση να είναι το Q άπειρο, οπότε οι πόλοι γίνονται s =jω op και s 2 =-jω op, που αντιστοιχούν στην πραγµατική συχνότητα ω οp για την οποία η απόκριση απειρίζεται. 5 -

2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 5. Το σχήµα 5.α δείχνει τους πόλους και τα µηδενικά της διττετράγωνης συνάρτησης κυκλώµατος όταν Q p >0.5 και Q z >0.5. Υπενθυµίζεται ότι τα µηδενικά των συναρτήσεων µεταφοράς, σε αντίθεση µε τις οδηγούσες συναρτήσεις, µπορούν να βρίσκονται και στο δεξί ηµιεπίπεδο (σχήµα 5.β) σε αντίθεση µε τους πόλους, οι οποίοι για λόγους ευστάθειας βρίσκονται πάντα στο αριστερό ηµιεπίπεδο. ΣΧΗΜΑ 5.2 Το κύκλωµα του σχήµατος 5.2, έχει συνάρτηση µεταφοράς τάσης C s H(s) V 2 (s) E(s) s 2 s C 2 C και εποµένως ω op Q p C 2 Η χρησιµότητα του παθητικού C αυτού κυκλώµατος, περιορίζεται δραµατικά λόγω της µικρής του επιλεκτικότητας, αφού δεν µπορεί να πραγµατοποιήσει Q µεγαλύτερο από , όπως µπορείτε εύκολα να αποδείξετε. Γενικά είναι επιθυµητό να υπάρχει εύκολη και απεριόριστη ρύθµιση της συχνότητας και του συντελεστή ποιότητας Q p των πόλων, ώστε τα κυκλώµατα να µπορούν να χρησιµοποιηθούν χωρίς περιορισµούς. Χρήσιµο επίσης χαρακτηριστικό είναι η δυνατότητα ανεξάρτητης ρύθµισης της συχνότητας και του Q των πόλων, πράγµα που σηµαίνει ότι στον τύπο που δίνει την µια ποσότητα πρέπει να υπάρχει µια µεταβλητή, η οποία να µην εµφανίζεται στον τύπο της άλλης. Για παράδειγµα στο προηγούµενο κύκλωµα του σχήµατος 5.2, είναι δυνατή η ρύθµιση της συχνότητας του πόλου µε το C, το οποίο δεν επηρεάζει την τιµή του Q. Η ρύθµιση όµως του Q µέσω µιας αντιστάσεως επηρεάζει και τηνσυχνότητα. 5.2 Συναρτήσεις µεταφοράς 2ης τάξης Ανάλογα µε τα µηδενικά της, µια συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης χαρακτηρίζεται ως βαθυπερατή (ΒΠ), υψιπερατή (ΥΠ), ζωνοδιαβατή (Ζ ), αποκοπής ζώνης (ΑΖ) ή ολοπερατή (ΟΠ). Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι συναρτήσεις αυτές. 5-2

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ 5.2. Βαθυπερατή συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης Η βαθυπερατή (ΒΠ) συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης είναι ολοπολική της µορφής: H ΒΠ (s) A s 2 s ω o Q ω2 o (5.4) Το µέτρο της βαθυπερατής συνάρτησης µεταφοράς 2ης τάξης για s=jω, δηλ. η απόκριση πλάτους (κέρδους) G(ω), είναι: A G(ω) H(jω) (5.5) ω 4 &2 ο & 2Q 2 ω 4 ο ΣΧΗΜΑ 5.3 Η τιµή της γιά ω=0 είναι: G o G(0) A (5.6) o ενώ γιά πολύ µεγάλες συχνότητες έχουµε: G 4 G(4) 0. Η παράσταση του µέτρου της συνάρτησης, φαίνεται στο σχήµα 5.4 για διάφορες τιµές του Q µε σταθερό ω ο. ΣΧΗΜΑ 5.4 Από την παραπάνω σχέση της G(ω), παίρνοντας την παράγωγο ως προς ω και υπολογίζοντας για ποιά τιµή της συχνότητος µηδενίζεται, βρίσκουµε ότι αυτό συµβαίνει όταν ω ΜΑΧ ω ο & 2Q 2 Για να υπάρχει φυσικά πραγµατική συχνότητα µεγίστου, πρέπει (5.7) &, δηλαδή πρέπει 2Q $

4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Q$ 2. Υπό τον όρο αυτό υπάρχει µέγιστο G MAX της G(ω) στη πραγµατική συχνότητα ω MAX. Η 2 $0.707 µέγιστη τιµή G MAX της G(ω) γιά ω=ω MAX και Q>0.707 είναι: G G MAX o Q AQ (5.7α) & 4Q 2 o & 4Q 2 Το σχήµα 5.5α δείχνει την σχέση της συχνότητος του µεγίστου µε την ω ο και την σχέση του µεγίστου κέρδους προς την ποσότητα G o Q ως συναρτήσεις του Q. ΣΧΗΜΑ 5.5 Για µεγάλα Q, ισχύει ότι ω MAX ω ο και G MAX G o Q AQ (5.7β) o Από τα διαγράµµατα του σχήµατος 5.5, φαίνεται ότι οι σχέσεις 5.7β ισχύουν µε µεγάλη ακρίβεια για Q>4, ενώ δεν ισχύουν για Q<2. Η συχνότητα για την οποία το κέρδος γίνεται 0.707G ο, δηλ. το λογαριθµικό κέρδος πέφτει κατά 3 db από το κέρδος γιά ω=0, ονοµάζεται συχνότητα αποκοπής και υπολογίζεται ότι είναι: ω C ω o & & (5.8) 2Q 2 2Q 2 Από την παραπάνω σχέση µπορεί να συµπεράνει κανείς ότι γιά µεγάλα Q, ισχύει ω C ω o ω o. Το σχήµα 5.6 δείχνει την σχέση συχνότητος αποκοπής και συχνότητος πόλου συναρτήσει του Q. 2 ΣΧΗΜΑ 5.6 Τα παθητικά LC κυκλώµατα που υλοποιούν βαθυπερατή συνάρ τηση 2ης τάξης, έχουν τουλάχιστον δύο στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας (πηνία και πυκνωτές). Τα κυκλώµατα του σχήµατος 5.7 είναι όλα παθητικά βαθυπερατά κυκλώµατα 2ης τάξης, υλοποιούν δηλ. βαθυπερατή συνάρτηση 2ης τάξης. ΣΧΗΜΑ 5.7 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5. Αποδείξτε ότι το κύκλωµα του σχήµατος 5.7α είναι βαθυπερατό 2ης τάξης και υπολογίστε τις τιµές των στοιχείων του ώστε να έχει συχνότητα πόλου ω O =2π5000 rad/sec και Q=. Σχεδιάστε την 5-4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ καµπύλη απόκρισης πλάτους του κυκλώµατος από 00Hz έως 0 KHz. Θεωρώντας πηγή τάσης E(s) στην είσοδο του κυκλώµατος 5.7α, η συνάρτηση µεταφοράς τάσης υπολογίζεται ότι είναι: H(s) V 2 (s) E(s) s 2 s LC L C LC Είναι προφανές ότι πρόκειται γιά βαθυπερατή συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης µε ω o ω Q o LC 2 LC L C L C Σχεδίαση του κυκλώµατος για συγκεκριµένη συχνότητα ω ο και Q, σηµαίνει τον προσδιορισµό των δύο αντιστάσεων, του πυκνωτή και του επαγωγέα από τους παραπάνω τύπους. Με γνωστά δηλ. τα ω 0 και Q, θα πρέπει από τις δύο παραπάνω εξισώσεις να προσδιορίσουµε τέσσερις αγνώστους. Η φαινοµενική αυτή απροσδιοριστία είναι η ευλογία για τον µηχανικό, ο οποίος έχει το δικαίωµα να προσδιορίσει αυθαίρετα κάποιες παραµέτρους. Εµείς λοιπόν θα θεωρήσουµε ότι και k, οπότε οι παραπάνω τύποι γίνονται ω o k LC Q ω o L kc Y LC k o L kc ω o Q Y L k C o Y ω2 0 k & ω 0 Q C k 0 Y C (k ) 2Qω 0 ± & k(k ) 4Q 2 Y k 2! 6Q 2 4Q 2 (k )k Είναι προφανές ότι για να υπάρχει πραγµατική τιµή του πυκνωτή, θα πρέπει: k(k ) $ 4Q 2 Για την απλούστευση των πράξεων o µηχανικός επιλέγει αυθαίρετα (k ) 4Q οπότε βρίσκουµε C... και L k. 2Qω 0! 6Q 2 ω o C o Από τις σχέσεις αυτές µε τα δεδοµένα ω O =2π5000 rad/sec και Q=, βρίσκουµε για =000 Ω (αυθαίρετη επιλογή µηχανικού): C40.77nF L64mH k Ω k562ω. Η καµπύλη απόκρισης πλάτους του κυκλώµατος µε τις παραπάνω τιµές, φαίνεται στο επόµενο σχήµα. Ευκολα επιβεβαιώνει κανείς τις τιµές G Ο =0.39 και G ΜΑΧ =0.45 από τους σχετικούς τύπους. 5-5

6 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 5.8 Ενας σπουδαστής που θα έλυνε το πρόβληµα αυτό, θα ήταν ίσως ικανοποιηµένος, όχι όµως και ένας µηχανικός, αφού οδηγήθηκε σε λύση µε αυθαίρετες επιλογές ενώ υπήρχαν περιθώρια επιλογής της βέλτιστης λύσης και δεν το έκανε Υψιπερατή συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης Η υψιπερατή (ΥΠ) συνάρτηση µεταφοράς είναι της µορφής: H ΥΠ (s) As 2 s 2 s ω o Q ω2 o (5.9α) ΣΧΗΜΑ 5.9 µε ένα µηδενικό s=0 πολλαπλότητος 2. Ανάλογα µε την τιµή του συντελεστή ποιότητας των πόλων, η συνάρτηση µπορεί να έχει δύο πραγµατικούς πόλους ή ένα ζεύγος µιγαδικών πόλων. Το µέτρο της υψιπερατής συνάρτησης µεταφοράς για s=jω, η απόκριση πλάτους, είναι: Aω G(ω) H(jω) 2 (5.9β) ω 4 & 2 ο & ω 4 2Q 2 ο Η τιµή της γιά ω=0 είναι: G o G(0) 0 και γιά πολύ µεγάλες συχνότητες έχουµε: G 4 G(4)A. Η παράσταση της H(ω) συναρτήσει της συχνότητος φαίνεται στο σχήµα 5.0 για διάφορες τιµές του Q. 5-6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ ΣΧΗΜΑ 5.0 Εύκολα αποδεικνύεται και στην περίπτωση αυτή ότι όταν Q>0.707 υπάρχει µέγιστο G MAX της G(ω) στη συχνότητα ω MAX : ω MAX ω ο & 2Q 2 Η µέγιστη τιµή γιά ω=ω MAX και Q>0.707 είναι: (5.0α) G MAX G 4 Q AQ (5.0β) & 4Q 2 & 4Q 2 Για µεγάλα Q, ισχύει ότι: ω MAX ω ο G MAX G 4 Q AQ Η συχνότητα για την οποία το κέρδος γίνεται 2, δηλ. το λογαριθµικό κέρδος είναι κατά 3 2 G G 4 db χαµηλότερο από το κέρδος γιά ω64, ορίζεται ως η συχνότητα αποκοπής και υπολογίζεται ότι είναι: ω C ω o & & (5.) 2 2Q 2Q 2 Γιά µεγάλα Q, ισχύει ω C =0.6436ω ο. Το σχήµα 5. δείχνει την σχέση συχνότητος αποκοπής και συχνότητος πόλου συναρτήσει του Q. 2 ΣΧΗΜΑ 5. Τα παθητικά κυκλώµατα που υλοποιούν υψιπερατή συνάρτηση 2ης τάξης,έχουν τουλάχιστον δύο στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας (πηνία και πυκνωτές). 5-7

8 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 5.2 Τα κυκλώµατα του σχήµατος 5.2 είναι χαρακτηριστικά παθητικά κυκλώµατα που υλοποιούν, όπως µπορείτε να διαπιστώσετε ως άσκηση, υψιπερατή συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης Ζωνοδιαβατή συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης Η ζωνοδιαβατή (Ζ ) συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης είναι: H Ζ (s) As s 2 s ω o Q ω2 o (5.2α) ΣΧΗΜΑ 5.3 Η ζωνοδιαβατή συνάρτηση 2ης τάξης έχει ένα µηδενικό για s=0 και δύο πόλους, οι οποίοι ανάλογα µε την τιµή του Q µπορεί να είναι πραγµατικοί ή ζεύγος µιγαδικών (σχήµα 5.3). Το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς για s=jω, η απόκριση πλάτους, είναι: Aω G(ω) H(jω) (5.2β) ω 4 & 2 ο & ω 4 2Q 2 ο Η τιµή της γιά ω=0 και ω=4 είναι: G o G(0)0 G 4 0 Το σχήµα 5.4 δείχνει την καµπύλη απόκρισης πλάτους της ζωνοδιαβατής συνάρτησης 2ης τάξης για διάφορες τιµές του Q. ΣΧΗΜΑ 5.4 Στην περίπτωση του ζωνοδιαβατού υπάρχει πάντοτε µέγιστο G MAX της G(ω) στη συχνότητα ω MAX =ω ο. Η 5-8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ µέγιστη τιµή γιά ω=ω ο είναι: G MAX G(ω ο ) AQ ω ο Οι συχνότητες για τις οποίες το κέρδος G(ω) γίνεται 0.707Η MAX, δηλ. το λογαριθµικό κέρδος πέφτει κατά 3 db από το κέρδος γιά ω=ω ο, είναι: ω ω o 2Q! 4Q 2 ω o 2Q 4Q 2 (5.3) Οι συχνότητες ω και ονοµάζονται οριακές συχνότητες της ζώνης διέλευσης. Το εύρος της ζώνης διέλευσης BW (Bandwidth) ορίζεται ως BW= -ω και υπολογίζεται ότι είναι: BW!ω ω ο και ισχύει ω (5.4) Q ο Τα παθητικά κυκλώµατα που υλοποιούν ζωνοδιαβατή συνάρτηση 2ης τάξης, έχουν τουλάχιστον δύο στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας (επαγωγείς και πυκνωτές). Τα κυκλώµατα του σχήµατος 5.5 είναι χαρακτηριστικά Συνάρτηση αποκοπης ζώνης 2ης τάξης Η συνάρτηση µεταφοράς αποκοπής ζώνης (ΑΖ) 2ης τάξης είναι: ΣΧΗΜΑ 5.5 H ΑΖ (s) A(s 2 ο ) s 2 s ω o Q ω2 o (5.5) ΣΧΗΜΑ 5.6 Η συνάρτηση έχει ένα φανταστικό ζεύγος µηδενικών για s=±jω ο και δύο πόλους, οι οποίοι ανάλογα µε την τιµή του Q, µπορεί να είναι πραγµατικοί ή ζεύγος συζυγών µιγαδικών. Το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς για s=jω, η απόκριση πλάτους, είναι: G(ω) H(jω) A / ο! ω2 / (5.6) ω 4 & 2 ο & ω 4 2Q 2 ο Η τιµή της γιά ω=0 και ω=4 είναι: G o G(0)Α καιg 4 Α. Η παράσταση της G(ω), η καµπύλη απόκρισης, του φίλτρου αποκοπής ζώνης 2ης τάξης, δίνεται στο σχήµα 5.6α. 5-9

10 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 5.6α Στην περίπτωση του φίλτρου αποκοπής ζώνης υπάρχει πάντοτε µηδενικό της G(ω ο )=0, στη συχνότητα ω ο. Οι συχνότητες για τις οποίες το κέρδος G(ω) γίνεται 0.707G(0), δηλ. το λογαριθµικό κέρδος πέφτει κατά 3 db από το κέρδος γιά ω=0, είναι: ω ω o 2Q! 4Q 2 ω o 2Q 4Q 2 Το εύρος της ζώνης BW ορίζεται ως BW= -ω και υπολογίζεται ότι είναι: (5.7α) BW!ω ω ο Q καιισχύειότι ω ω2 ο (5.7β) Παραπάνω παρουσιάστηκε η περίπτωση που η συχνότητα των µηδενικών είναι ίση µε την συχνότητα των πόλων. Μια τέτια συνάρτηση ΑΖ ονοµάζεται τύπου notch. Οταν η συχνότητα των µηδενικών είναι µεγαλύτερη από την συχνότητα των πόλων, δηλ. H ΑΖ (s) A(s 2 z ) s 2 s ω µε o Q ω2 o ω z >ω o η συνάρτηση ΑΖ ονοµάζεται τύπου notch-βπ. ΣΧΗΜΑ 5.7 Η καµπύλη απόκρισης κέρδους µιας τέτοιας συνάρτησης φαίνεται στο σχήµα 5.7α. Οταν η συχνότητα των µηδενικών είναι µικρότερη από την συχνότητα των πόλων, δηλ. A(s 2 z H ΑΖ (s) ) s 2 s ω µε ω z <ω o o Q ω2 o η συνάρτηση ΑΖ ονοµάζεται τύπου notch-yπ και η καµπύλη κέρδους φαίνεται στο σχήµα 5.7β. Τα παθητικά κυκλώµατα που υλοποιούν συνάρτηση αποκοπής ΣΧΗΜΑ

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ ζώνης 2ης τάξης, έχουν τουλάχιστον δύο στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας (πηνία και πυκνωτές). Τα κυκλώµατα του σχήµατος 5.8 είναι χαρακτηριστικά Ολοπερατή συνάρτηση 2ης τάξης Η ολοπερατή συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης είναι: H ΟΠ (s) s 2! s ω o Q ω2 o s 2 s ω o Q ω2 o (5.8) ΣΧΗΜΑ 5.9 Η συνάρτηση έχει δύο πόλους και δύο µηδενικά µε ίσες συχνότητες και Q, αλλά σε αντίθετο ηµιεπίπεδο. Οταν το Q είναι µεγαλύτερο από 0.5, οι πόλοι και τα µηδενικά είναι συζυγή µιγαδικά ζεύγη, ενώ όταν Q<0.5 έχουµε πραγµατικούς πόλους και πραγµατικά µηδενικά. Χαρακτηριστικό είναι ότι οι πόλοι και τα µηδενικά έχουν την ίδια συχνότητα αλλά τα µηδενικά έχουν θετικό πραγµατικό µέρος, πράγµα που τα τοποθετεί στο δεξί ηµιεπίπεδο, κάτι που επιτρέπεται στις συναρτήσεις µεταφοράς ρεύµατος ή τάσεως. Tο µέτρο G(ω) της H(s) γιά s=jω, είναι G(ω) H(jω) ( o &ω2 ) 2 ω2 o Q 2 ( o &ω2 ) 2 ω2 o το πλάτος δηλ. εξόδου είναι ίσο µε αυτό της εισόδου για όλες τις συχνότητες. Τι µπορεί εποµένως να κάνει ένα τέτοιο κύκλωµα; Q 2 ΣΧΗΜΑ 5.20 Η απάντηση δίνεται µε την καµπύλη απόκρισης φάσης και καθυστέρησης του σχήµατος Η χρησι- µότητα των κυκλωµάτων που πραγµατοποιούν την ολοπερατή συνάρτηση έγκειται στα χαρακτηριστικά φάσης και καθυστέρησης. Ολοπερατά κυκλώµατα χρησιµοποιούνται όταν πρέπει να διατηρηθούν τα χαρακτηριστικά πλάτους της εξόδου ενός κυκλώµατος και πρέπει να διορθωθούν τα χαρακτιριστικά φάσης και καθυστέρησης, όπως για παράδειγµα στην έξοδο φίλτρων. Για τον λόγο αυτό, τα ολοπερατά κυκλώµατα ονοµάζονται και ισοσταθµιστές φάσης ή καθυστέρησης. 5 -

12 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 5.3 Ενεργά-C κυκλώµατα 2ης τάξης Τα επόµενα εδάφια του κεφαλαίου αυτού παρουσιάζουν ενεργά-c κυκλώµατα που υλοποιούν συναρτήσεις µεταφοράς τάσης 2ης τάξης. Επειδή τα κυκλώµατα αυτά έχουν µόνον δύο ειδών παθητικά στοιχεία, αντιστάτες και πυκνωτές C, απλοποιείται η διαδικασία κλιµάκωσης αντίστασης και συχνότητος και παρουσιάζεται µια νέα δυνατότητα µε την εναλλαγή των στοιχείων αυτών Κλιµάκωση αντίστασης και συχνότητας Σε ένα κύκλωµα C, ενεργό ή παθητικό, αν πολλαπλασιάσουµε τις τιµές των αντιστάσεων µε έναν παράγοντα Κ και ταυτόχρονα διαιρέσουµε τις τιµές των χωρητικοτήτων των πυκνωτών µε Κ, δεν αλλάζει η συνάρτηση µεταφοράς. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι όροι που εµφανίζονται στις συναρτήσεις µεταφοράς είναι ή λόγοι αντιστάσεων ή λόγοι χωρητικοτήτων ή γινόµενα C (σταθερές χρόνου). Η αλλαγή των τιµών των αντιστάσεων και πυκνωτών µε τον τρόπο αυτό ονοµάζεται κλιµάκωση αντιίστασης (impedance scaling) και χρησιµοποιείται πολύ συχνά γιά να φέρουµε τις τιµές των στοιχείων σε επιθυµητά επίπεδα. Αν γιά παράδειγµα στο επόµενο κύκλωµα θέλουµε οι πυκνωτές να είναι 0nF αντί γιά 22.5nF χωρίς να αλλάξει η απόκριση του κυκλώµατος, πρέπει να διαιρέσουµε τις χωρητικότητες µε 2.25 γιά να γίνουν 0nF ενώ ταυτόχρονα να πολλαπλασιάσουµε τις αντιστάσεις µε τον ίδιο παράγοντα 2.25 οπότε θα γίνουν 2250Ω από 000 που είναι. H ΒΠ (s) V 3 (s) E(s) ΣΧΗΜΑ 5.2 Παρατηρήστε ότι οι αντιστάσεις που χρησιµοποιούνται απλά για να καθορίσουν µε τον λόγο τους κάποιο κέρδος, δεν είναι απαραίτητo να αλλάξουν. Στην περίπτωση του παραδείγµατος, οι και (k-) χρησιµοποιούνται για να δώσουν στην αντιστρεπτική είσοδο τάση V o /k. Στα ενεργά κυκλώµατα, οι τιµές των αντιστάσεων καλό θα είναι να είναι της τάξεως των δεκάδων ΚΩ ώστε να µην δηµιουργούνται µεγάλα ρεύµατα. Αυτό µπορεί να αποτελέσει οδηγό και για τον προσδιορισµό των πυκνωτών και η κλιµάκωση βοηθάει σ αυτό. Αν σε ένα C κύκλωµα, πολλαπλασιάσουµε µόνον τις αντιστάσεις ή µόνον τις χωρητικότητες επί έναν παράγοντα Κ, τότε λέµε ότι κάνουµε κλιµάκωση συχνότητος (frequency scaling). Πρακτικά αυτό σηµαίνει ότι οι συχνότητες του κυκλώµατος διαιρούνται µε τον παράγοντα Κ. Ετσι αν ένα C φίλτρο έχει συχνότητα αποκοπής ω c και πολλαπλασιάσουµε µόνον τις αντιστάσεις του µε Κ (ή µόνον τις χωρητικότητες), τότε το νέο φίλτρο θα έχει συχνότητα αποκοπής. Φυσικά ισχύει η παρατήρηση για τις αντιστάσεις των K ω c οποίων µετράει µόνον ο λόγος τους, οι οποίες δεν είναι απαραίτητο να αλλάξουν. Με τον τρόπο αυτό µπορούµε και αλλάζουµε τα χαρακτηριστικά συχνότητος των κυκλωµάτων-c ώστε να ικανοποιούν τις απαιτήσεις µας. Το κύκλωµα του σχήµατος 5.22 έχει συνάρτηση µεταφοράς στην V 3 : / που είναι βαθυπερατή συνάρτηση µε & s 2 s 6 / 5-2

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ ω 0 / Q ΣΧΗΜΑ 5.22 Είναι προφανές ότι αν όλες οι αντιστάσεις πολλαπλασιαστούν επί Κ και οι πυκνωτές διαιρεθούν µε Κ, η συνάρτηση µεταφοράς, η συχνότητα των πόλων και το Q δεν αλλάζουν και το κύκλωµα κάνει ακριβώς αυτό που έκανε πριν την αλλαγή. Αν όµως διαιρέσουµε µόνον τους πυκνωτές µε Κ, τότε η συχνότητα των πόλων θα πολλαπλασιαστεί επί Κ, διατηρώντας το ίδιο Q. Ο πολλαπλασιασµός και του αριθµητή επί Κ ως αποτέλεσµα της κλιµάκωσης δεν είναι σηµαντικός αφού η µεταβολή αυτή αφορά όλες τις συχνότητες και δεν επηρεάζει την επιλεκτικότητα. Εποµένως η διαίρεση µόνον των πυκνωτών µε Κ µετατόπισε µόνον την συχνότητα και το ίδιο αποτέλεσµα θα είχαµε αν διαιρούσαµε µόνον τις αντιστάσεις δια Κ. Συµπερασµατικά, για να αλλάξουµε συχνότητα λειτουργίας σε ένα φίλτρο C, αρκεί να επιδράσουµε µόνον στους πυκνωτές ή µόνον στις αντιστάσεις. για να φέρουµε τους πυκνωτές ή τις αντιστάσεις σε ένα επιθυµητό επίπεδο, πρέπει να επιδράσουµε µε αντίστροφο τρόπο στα δύο είδη στοιχείων και C Ο µετασχηµατισµός C-C ή ΒΠ-ΥΠ Αν σε ένα C κύκλωµα αντικαταστήσουµε τις αντιστάσεις (Ω) µε πυκνωτές τιµής / (F) και τους πυκνωτές C (F) µε αντιστάτες αντίστασης /C (Ω), τότε το κύκλωµα που προκύπτει έχει τις εξής ιδιότητες (S.K. Mitra, "A Network Transformation for Active C Networks", Proc. IEEE, vol. 55, pp , 967): Οποιαδήποτε συνάρτηση αγωγιµότητος του αρχικού κυκλώµατος Y ο (s), στο νέο κύκλωµα θα είναι Y(s) sy o (5.20α) s Οποιαδήποτε συνάρτηση αντίστασης του αρχικού κυκλώµατος Ζ ο (s), στο νέο κύκλωµα θα είναι Z(s) (5.20β) s Z o s Οποιαδήποτε συνάρτηση µεταφοράς του αρχικού κυκλώµατος Η ο (s), στο νέο κύκλωµα θα είναι H(s) H o (5.20γ) s Αν εποµένως έχουµε ένα ΒΠ φίλτρο µε συνάρτηση µεταφοράς A H ΒΠ (s) s 2 s ω o Q ω2 ο µε την αντικατάσταση -C θα γίνει H ΥΠ (s)h ΒΠ s ΥΠ As2 s 2 s ω µε ω ΥΠ ΥΠ ω ο Q ω2 ΥΠ 5-3

14 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 5.23 Για παράδειγµα το κύκλωµα (α) του σχήµατος 5.23, (βαθυπερατό Sallen-Key που θα παρουσιάσουµε παρακάτω), έχει συνάρτηση µεταφοράς k H ΒΠ (s) V 0 (s) E(s) s 2 s & k Το κύκλωµα του σχήµατος 5.23β περιµένουµε να έχει συνάρτηση µεταφοράς ks H ΥΠ (s)h ΒΠ 2 s s 2 s ( & k) Το κύκλωµα 5.23β αναλύεται και υπολογίζεται ότι έχει συνάρτηση µεταφοράς H(s) V 0 (s) E(s) ks 2 s 2 s & k όπου εισάγοντας τις τιµές των στοιχείων βρίσκουµε, όπως περιµέναµε: H(s) V 0 (s) E(s) ks 2 s 2 s ( & k) Μετά τον µετασχηµατισµό, που οδηγεί σε περίεργες τιµές, µπορεί κανείς να κάνει κλιµακώσεις αντίστασης και συχνότητος. Ο µετασχηµατισµός C-C µετατρέπει ένα βαθυπερατό φίλτρο σε υψιπερατό (και αντίστροφα), ένα ζωνοδιαβατό σε άλλο ζωνοδιαβατό και ένα αποκοπής ζώνης σε άλλο αποκοπής ζώνης. Για τον λόγο αυτό, επειδή δηλ. ο µετασχηµατισµός µετατρέπει µόνον το βαθυπερατό σε υψιπερατό ενώ αφήνει τις άλλες κατηγορίες αµετάβλητες, ονοµάζεται και µετασχηµατισµός ΒΠ-ΥΠ. Στο προηγούµενο παράδειγµα εφαρµογής του µετασχηµατισµού C-C, παρατηρήσατε ότι δεν αντικατεστάθησαν µε πυκνωτές οι αντιστάσεις r a και r b, που ρυθµίζουν το κέρδος της ανάδρασης επειδή η τιµή τους δεν παίζει κανένα ρόλο στην διαµόρφωση της συνάρτησης µεταφοράς αφού µετράει µόνον ο λόγος τους. Τυχόν µετασχηµατισµός και των r a και r b δεν είναι λάθος αλλά προσθέτει ακόµη δύο πυκνωτές στο κύκλωµα, χωρίς να είναι απαραίτητο. 5.4 Κυκλώµατα Sallen-Key Οι.P. Sallen και E.L Key του ΜΙΤ, στην εργασία τους "A practical method of designing C active filters" (IE Trans Circuit Theory, vol.ct-2, pp.74-85, March 955) πρότειναν κάποια κυκλώµατα µε έναν τελεστικό ενισχυτή σε διάταξη µη αντιστρεπτικού ενισχυτή τάσης, για την υλοποίηση συναρτήσεων 2ης τάξης. Κυκλώµατα 2ης τάξης µε έναν ΤΕ αναφέρονται συχνά ως SAB (Single Amplifier Biquads) 5.4. Βαθυπερατό Φίλτρο 2ης τάξης Sallen and Key Το κύκλωµα του σχήµατος 5.24 µε έναν τελεστικό ενισχυτή υλοποίεί ΒΠ συνάρτησης 2ης τάξης. 5-4

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ ΣΧΗΜΑ 5.24: Βαθυπερατό φίλτρο Sallen-Key Η συνάρτηση µεταφοράς του ΒΠ αυτού κυκλώµατος υπολογίζεται ότι είναι: H(s) V 0 (s) E(s) s 2 s k & k (5.2α) όπου το k είναι πάντοτε µεγαλύτερο από την µονάδα: k r B r A Οι αντιστάτες r A και r B ρυθµίζουν την αρνητική ανατροφοδότηση και παίζουν καθοριστικό ρόλο στο Q του κυκλώµατος, ενώ δεν επηρεάζουν καθόλου την συχνότητα του πόλου όπως φαίνεται από τις παρακάτω σχέσεις που δίνουν τις ποσότητες αυτές: ω 0 ω 0 Q και Q 2 &k (5.2β) Οταν πρόκειται το κύκλωµα αυτό να πραγµατοποιήσει µια δεδοµένη συνάρτηση µεταφοράς, τότε είναι δεδοµένα το ω ο και το Q, οπότε θα πρέπει να προσδιορίσουµε τις τιµές των στοιχείων του κυκλώµατος ώστε να δίνουν τα µεγέθη αυτά. Τα προς προσδιορισµό στοιχεία είναι 5 (δύο αντιστάσεις, δύο πυκνωτές και το k της αρνητικής ανατροφοδότησης), ενώ έχουµε µόνον τον περιορισµό του συγκεκριµένου ω 0 και του Q. Αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι µπορούµε να ορίσουµε αυθαίρετα µερικά στοιχεία και να υπολογίσουµε τα υπόλοιπα. Γιά το κύκλωµα Sallen and Key υπάρχουν τρείς καθιερωµένοι τρόποι υπολογισµού των στοιχείων γιά δεδοµένο ω ο και Q, που παρουσιάζονται παρακάτω. Σχεδίαση Ι (Μοναδιαίου κέρδους και ίσων αντιστάσεων) Επιλέγουµε k= (δηλ. r B =0) και = = οπότε έχουµε: απ όπου υπολογίζεται ότι 2Q ω 0 και 2ω 0 Q ΣΧΗΜΑ 5.24α: Σχεδίαση µε k= 5-5

16 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Στην σχεδίαση αυτή ο λόγος των χωρητικοτήτων είναι 4Q 2. Γιά υψηλά λοιπόν Q, π.χ. της τάξεως του 00, ο πυκνωτής θα πρέπει να είναι 4x0 4 φορές µεγαλύτερος από τον. Η µεγάλη διασπορά των τιµών των στοιχείων είναι ανεπιθύµητη στη σχεδίαση κυκλωµάτων και οδηγεί σε τεράστιες δυσκολίες στην µικροηλεκτρονική πραγµατοποίησή τους, πράγµα που περιορίζει την χρησιµότητά της σχεδίασης αυτής µε k= σε κυκλώµατα µε χαµηλά Q. Σχεδίαση ΙΙ (Ισων αντιστάσεων και ίσων πυκνωτών) Στην δεύτερη επιλέγουµε = =C και = = οπότε ω 0 C περίπτωση αυτή επιλέγουµε µια οποιαδήποτε τιµή γιά τον, ρυθµίζουµε το k 4 και διατηρούµε την 3 σχέση των σταθερών χρόνου =3. Κάτω από αυτές τις συνθήκες προκύπτει ότι: ω 0 και Q 3 3 απ όπου υπολογίζεται ότι: 3Q ω 0 Q 3ω 0 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5.2 Σχεδιάστε το ΒΠ κύκλωµα Sallen and Key ώστε να πραγµατοποιεί την A H(s) s 2 s(4000π) 4@0 8 π 2 και Q 3&k απ όπου υπολογίζονται τα στοιχεία C k 3 & ω 0 Q Από το γινόµενο C που είναι πλέον γνωστό, επιλέγοντας µια επιθυµητή τιµή, υπολογίζουµε το C ή αντίστροφα. Πρέπει να σηµειωθεί ότι αφού το k> πρέπει το Q>0.5 πράγµα που σηµαίνει ότι µε την επιλογή ίσων αντιστάσεων και πυκνωτών, έχουµε ελάχιστη τιµή στο Q του κυκλώµατος το 0.5. Σχεδίαση ΙΙΙ (Ελάχιστης ευαισθησίας) Η σχεδίαση αυτή οφείλεται στον W. Saraga ("Sensitivity of 2-nd order Sallen-Key-type active C filters", Electrin.Lett. 3, pp ) και είναι αυτή που οδηγεί στο κύκλωµα ελάχιστης ευαισθησίας. Στην Υπολογίστε το Α και σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης. Εύκολα βρίσκουµε ότι ω 0 =2π0000 και Q=5. Ακολουθώντας την σχεδίαση Saraga µε =0!8 =0nF (αυθαίρετη επιλογή µας), k=4/3 (όπως ορίζει η συγκεκριµένη σχεδίαση) βρίσκουµε: 3@5@0 & nf 2π@0 38.5Ω & Ω 3@2π@0 &8 Γιά τις παραπάνω τιµές που προκύπτουν από την σχεδίαση Saraga, η σταθερά Α υπολογίζεται να είναι A=0.789x0-0. H καµπύλη απόκρισης φαίνεται στο επόµενο σχήµα. 5-6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ Ενεργό ΥΠ φίλτρο 2ης τάξης Sallen and Key Ο µετασχηµατισµός C-C µετατρέπει όπως είδαµε ένα ενεργό-c βαθυπερατό φίλτρο σε υψιπερατό (και αντίστροφα) και για το λόγο αυτό ονοµάζεται και µετασχηµατισµός ΒΠ-ΥΠ. Κατά τον µετασχηµατισµό, αντιστάσεις των οποίων µετράει µόνον η τιµή του λόγου τους και όχι οι τιµές τους, δεν αντικαθίστανται µε πυκνωτές. Ετσι στο σχήµα 5.25 όπου µετασχηµατίζεται το ΒΠ κύκλωµα Sallen-Key (α) σε υψιπερατό (κύκλωµα β), οι δύο αντιστάσεις οι οποίες µε τον λόγο τους ορίζουν το k, δεν αντικαθίστανται µε πυκνωτές. Τυχόν µετασχηµατισµός και των r A και r B δεν είναι λάθος, αλλά προσθέτει ακόµη δύο πυκνωτές στο κύκλωµα, χωρίς αυτό να είναι απαραίτητο. ΣΧΗΜΑ 5.25 Εφαρµόζοντας τον ΒΠ-ΥΠ µετασχηµατισµό στο ΒΠ κύκλωµα Sallen and Key (κύκλωµα 5.25α), προκύπτει το οµώνυµο υψιπερατό κύκλωµα του σχήµατος 5.23β, η συνάρτηση µεταφοράς του οποίου υπολογίζεται ότι είναι: H(s) V 0 (s) (5.22α) E(s) ks 2 s 2 s & k όπου το k είναι πάντοτε µεγαλύτερο από την µονάδα, αφού k r B. Αυτό σηµαίνει ότι ο συντελεστής r A του s του παρονοµαστή µπορεί µε ρύθµιση του k να γίνει όσο µικρός θέλουµε και εποµένως το Q να πάρει µολύ µεγάλες τιµές. Ο λόγος των αντιστάσεων r A και r B ρυθµίζει την αρνητική ανατροφοδότηση και παίζει και εδώ καθοριστικό ρόλο στο Q του κυκλώµατος ενώ δεν επηρεάζει καθόλου την συχνότητα του πόλου, όπως φαίνεται από τις παρακάτω σχέσεις που δίνουν τις ποσότητες αυτές: ω 0 Q (5.22β) & k Οι αντίστοιχες σχεδιάσεις που παρουσιάστηκαν στην περίπτωση του ΒΠ κυκλώµατος Sallen and Key ισχύουν και στην περίπτωση του ΥΠ, οδηγούν όµως σε διαφορετικά αποτελέσµατα ως προς τις τιµές των στοιχείων. Ως άσκηση, υπολογίστε τους τύπους υπολογισµού των στοιχείων του υψιπερατού κυκλώµατος Sallen-Key και για τις τρείς σχεδιάσεις Το ζωνοδιαβατό Sallen and Key Με µερικές αλλαγές, το ΒΠ κύκλωµα Sallen and Key µετατρέπεται σε ζωνοδιαβατό 2ης τάξης (σχήµα 5.26) µε συνάρτηση µεταφοράς 5-7

18 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 5.26: Ζωνοδιαβατό Sallen-Key H(s) s 2 s ks &k µε k r B r A (5.22α) Ο λόγος των αντιστάσεων r A και r B ρυθµίζει την αρνητική ανατροφοδότηση και παίζει καθοριστικό ρόλο στο Q του κυκλώµατος ενώ δεν επηρεάζει την συχνότητα του πόλου όπως φαίνεται από τις παρακάτω σχέσεις που δίνουν τις ποσότητες αυτές: ω 0 Q &k (5.22β) ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5.3 As Η συνάρτηση µεταφοράς H(s) s 2 s 2π@0000 (2π@0000) 2 Q µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε Ζ κύκλωµα Sallen and Key µε ω 0 =2π0 4. Χρησιµοποιώντας την σχεδίαση ίσων αντιστάσεων και πυκνωτών = =000Ω (δική µας επιλογή) και = βρίσκουµε, γιά Q=0.5, ότι = =22.5 nf και k= Η ίδια σχεδίαση µε Q=5 θα δώσει = =000Ω, = =22.5 nf και k=3.77 Καµπύλη απόκρισης για Q=

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ Καµπύλη απόκρισης για Q=5 Οι αντίστοιχες καµπύλες απόκρισης των δύο κυκλωµάτων µε διαφορά µόνο στο Q, δίνονται στα παραπάνω σχήµατα.σηµειώνεται ότι στις καµπύλες αυτές δίνεται το κέρδος σε db (20logG(ω) αντί του G(ω), του µέτρου της H(jω)) και ότι ο άξονας συχνοτήτων είναι λογαριθµικός. 5.5 Κυλώµατα εληγιάννη Το βασικό κύκλωµα εληγιάννη είναι ένα ενεργό κύκλωµα ενός τελεστικού ενισχυτή (SAB, σχήµα 5.27), που πραγµατοποιεί ζωνοδιαβατή συνάρτηση 2ης τάξης και µπορεί να πραγµατοποιήσει υψηλά Q. Το κύκλωµα παρουσιάστηκε από τον Καθηγητή του Πανεπιστηµίου Πάτρας Θ. εληγιάννη (T.Deliyannis,"High-Q factor Circuit with reduced sensitivity", Electron.Lett., vol.4, pp.567, 968). Το κύκλωµα βασίζεται στον διαφοριστή - µε θετική ανατροφοδότηση µέσω των αντιστάσεων r A και r B. Γιά το Ζ κύκλωµα εληγιάννη υπολογίζεται ότι: H(s) V ο (s) E(s)! s 2 s ΣΧΗΜΑ 5.27 (& k ) s & (k&) (5.23α) ω o Q & (k&) (5.23β) & (k&) Ο καθορισµός των τιµών των στοιχείων του κυκλώµατος εληγιάννη στηρίζεται στην εξίσωση των πυκνωτών = =C (ελεύθερη επιλογή) και στην επιλογή ενός σταθερού λογου αντιστάσεων τις σταθερές τα υπόλοιπα στοιχεία υπολογίζονται να είναι: β ω 0 C β ω 0 C k Q(β2)& β 2Q& β β. Με αυτές (5.23γ) 5-9

20 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Η επιλογή της σταθεράς β είναι καθοριστική γιά την ευαισθησία του κυκλώµατος. Υπάρχει δηλ. µια τιµή του λόγου β των αντιστάσεων γιά την οποία ελαχιστοποιείται η ευαισθησία του κυκλώµατος. Η τιµή αυτή δεν είναι γενική αλλά εξαρτάται κάθε φορά από τις συνθήκες σχεδίασης. Εφαρµογή του µετασχηµατισµού C-C στο Ζ κύκλωµα εληγιάννη του σχήµατος α, δίνει ακόµη ένα Ζ κύκλωµα εληγιάννη που φαίνεται στο παρακάτω σχήµα ως β. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5.4 Γιά να σχεδιάσουµε ένα Ζ φίλτρο εληγιάννη µε συχνότητα πόλου 2000 Hz και Q=0, θα χρησιµοποιήσουµε τους παραπάνω τύπους µε αυθαίρετη επιλογή = =0 nf και β=42. Η επιλογή του β µπορεί να είναι αυθαίρετη αλλά εδώ έχει υπολογιστεί ώστε να ελαχιστοποιεί την ευαισθησία. Με τις επιλογές αυτές υπολογίζονται τα υπόλοιπα στοιχεία να είναι: =.23 kω =5.6 kω και k=32.06 δηλ. r B =3.06 kω και r A = kω Η καµπύλη απόκρισης του κυκλώµατος φαίνεται στο σχήµα. Ο κατακόρυφος άξονας είναι το λογαριθµικό κέρδος σε db. Το γενικό διττετράγωνο κύκλωµα εληγιάννη Αναλύοντας την αντίσταση του κυκλώµατος 5.27α όπως στο σχήµα 5.28 µε α # και τροφοδοτώντας της είσοδο στην µη αντιστρεπτική είσοδο µέσω µιας αντίστασης, η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος γίνεται H(s) V o (s) s 2 2 & E(s) b C 2 s 2 2 C & α b(&λ) λ s 2(&λ) s (5.24) 5-20

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ ΣΧΗΜΑ 5.28 Φυσικά εκτός από το α, µικρότερα της µονάδας είναι και το b και το λ. Για b=0, δηλ. χωρίς τροφοδότηση της εισόδου στην µη αντιστρεπτική είσοδο, η συνάρτηση µεταφοράς γίνεται ζωνοδιαβατή 2ης τάξης: H(s) V o (s) E(s) µ ε ω o & s 2 2 C & (&λ) και Q C C s λ s 2(&λ) & 2 λ 2(&λ) (5.25α) (5.25β) Το κύκλωµα εκτός από ζωνοδιαβατό (b=0) µπορεί να σχεδιαστεί ως αποκοπής ζώνης τύπου notch και ως ολοπερατό. Για συνάρτηση µεταφοράς αποκοπής ζώνης τύπου notch πρέπει Στην περίπτωση αυτή: H(s) V o (s) E(s) b α & 2 b(&λ) s 2 2 C & 0 ] α b (&λ) 2 s 2 λ s 2(&λ) b(s 2 o ) s 2 s ω o Q ω2 o (5.26) (5.27) µε ω o C Q ω o 2 λ & 2 C 2(&λ) Για να υλοποιήσει το κύκλωµα ολοπερατή συνάρτηση µεταφοράς πρέπει & λ 2(&λ) α & 2 b(&λ) & & λ 2(&λ) (5.28) Το κύκλωµα Friend Το κύκλωµα του Friend, σχήµα 5.29, είναι µια επέκταση του γενικού κυκλώµατος του εληγιάννη µε τροφοδότηση της εισόδου µέσω διαιρέτη τάσης και στην αντιστρεπτική είσοδο. 5-2

22 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 5.29 Το κύκλωµα φαίνεται στο σχήµα 5.29 και αποτελεί µια καλή άσκηση ο υπολογισµός της συνάρτησης µεταφοράς του, που είναι της µορφής: H(s) K ms 2 cs d s 2 as b µε τους παρακάτω ορισµούς: A A AA C C CC B B c K 2 K 2 & K C & K 3 BB C A 3B AA B A CC F B C B C BB 2 F K AA A AA K 2 CC C CC K 3 BB B BB K m K 2 d K 2 A B & K 3 A B C F a & C F B C & F A b & A C F B Η χρήση του κυκλώµατος είναι πολύ σύνθετη και δεν προσφέρει ιδιαίτερα πλεονεκτήµατα έναντι του γενικού κυκλώµατος εληγιάννη. 5.6 Κυκλώµατα πολλαπλής ανάδρασης (Multiple Feedback, MF) 5.6. Βαθυπερατά φίλτρα πολλαπλής ανάδρασης Το κύκλωµα του σχήµατος 5.30 στηρίζεται σε έναν ολοκληρωτή, η έξοδος του οποίου ανατροφοδοτείται µέσω της στον κόµβο εισόδου του, στον οποίο συνδέεται ένα κύκλωµα C. ΣΧΗΜΑ 5.30 Η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος υπολογίζεται ότι είναι: 5-22

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ H(s)! s 2 s Η συχνότητα και ο συντελεστής ποιότητος του ζεύγους των πόλων είναι: (5.29α) ω o Q (5.29β) Ενδιαφέρον είναι το γεγονός ότι το Q είναι δυνατόν να ρυθµιστεί ανεξάρτητα από την συχνότητα, ρυθµίζοντας την αντίσταση, από την οποία δεν εξαρτάται η συχνότητα Υψιπερατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης Το κύκλωµα του σχήµατος 5.3, προκύπτει εφαρµόζοντας τον µετασχηµατισµό ΒΠ-ΥΠ στο βαθυπερατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης του προηγουµένου εδαφίου. ΣΧΗΜΑ 5.3 Στο κύκλωµα αυτό υπολογίζεται ότι : H(s)! s 2 s s 2 C 3 C 3 C 3 (5.30α) ω o Q (5.30β) C 3 C 3 C 2 C C 3 C 3 Σηµειώνεται ότι και στο κύκλωµα αυτό, είναι δυνατή η ανεξάρτητη ρύθµιση του συντελεστού ποιότητος Q, µέσω του πυκνωτή, ο οποίος δεν υπεισέρχεται στον τύπο της συχνότητος Ζωνοδιαβατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης Το ζωνοδιαβατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης του σχήµατος 5.32, έχει συνάρτηση µεταφοράς ΣΧΗΜΑ

24 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ H(s)! H(s)! ω o s 2 s s Q (5.3) C 2 Αν στο ζωνοδιαβατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης προσθέσουµε θετική ανάδραση όπως στο σχήµα 5.33, τότε η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος γίνεται: k s s 2 s & k& (5.32) ΣΧΗΜΑ 5.33 Το κύκλωµα αυτό επιτρέπει ευκολότερη ρύθµιση του Q, µέσω του k, ανεξάρτητα από την συχνότητα Φίλτρο αποκοπής ζώνης τύπου notch πολλαπλής ανάδρασης ΣΧΗΜΑ 5.34 Το κύκλωµα του σχήµατος 5.34 έχει συνάρτηση µεταφοράς H(s) s 2 s & s 2 s Η κεντρική συχνότητα (συχνότητα του πόλου) και το Q είναι: (5.33α) 5-24

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ ω o Q (5.33β) C Είναι προφανές ότι για να είναι η παραπάνω συνάρτηση µεταφοράς συνάρτηση αποκοπής ζώνης, πρέπει ο συντελεστής του s του αριθµητή να είναι µηδενικός. Από αυτό προκύπτει ότι πρέπει: (5.33γ) Συνήθως αυτό ρυθµίζεται µετά την ρύθµιση της συχνότητος και του Q, µέσω των αντιστάσεων και. Το κύκλωµα δεν µπορεί να υλοποιήσει συνάρτηση µεταφοράς ΑΖ τύπων notch-βπ και -ΥΠ. 5.7 Άλλα κυκλώµατα 2ης τάξης 5.7. Το διττετράγωνο κύκλωµα GIC Στο κύκλωµα του σχήµατος (α), παράλληλα προς τον πυκνωτή, έχει τοποθετηθεί ένας προσοµοιωµένος επαγωγέας (κύκλωµα Antoniou) µε επαγωγή L C. Το ισοδύναµο κύκλωµα φαίνεται στο σχήµα 4 (β). Η συνάρτηση µεταφοράς υπολογίζεται ότι είναι: H(s) V o (s) E(s) s o s 2 s o Το φύλλο εργασίας που ακολουθεί δείχνει τον τρόπο µε τον οποίο υπολογίστηκε η συνάρτηση µεταφοράς. 5-25

26 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Η συνάρτηση αυτή είναι Ζ 2ης τάξης µε ω ο 4 C Q C o 2 Στο επόµενο φύλλο εργασίας υπολογίζεται η συνάρτηση µεταφοράς του εικονιζόµενου κυκλώµατος, που στηρίζεται στο GIC διττετράγωνο κύκλωµα. Φυσικά λ< και µ< 5-26

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ Είναι προφανές ότι για µ=2λ η συνάρτηση µεταφοράς είναι ΑΖ 2ης τάξης: (2k&µ) s 2 2 k µ & H(s) s 2 s QC Το κύκλωµα αυτό είναι ικανό να υλοποιεί συναρτήσεις ΑΖ και των τριών τύπων (notch, notch-bπ, notch- ΥΠ). Για την σχεδίαση του κυκλώµατος µε δεδοµένα ω ο και Q των πόλων, επιλέγεται η τιµή του πυκνωτή C και εποµένως. Με δεδοµένο το ω οz των µηδενικών, τα k και µ επιλέγονται ώστε : ω ο C 2k µε 2k > µ µ ω ο ω oz 5.8 Κυκλώµατα 3 τελεστικών ενισχυτών Θα παρουσιαστούν εδώ µερικά κυκλώµατα µε τρεις τελεστικούς ενισχυτές. Αν και ο αριθµός των ΤΕ φαίνεται µεγάλος, οι ιδιότητες των κυκλωµάτων αυτών, ειδικά η χαµηλή τους ευαισθησία, δικαιολογεί πλήρως την ύπαρξή τους και την χρήση τους για την σχεδίαση ενεργών φίλτρων Το κύκλωµα Tow-Thomas Το κύκλωµα του σχήµατος 5.35 µε τρείς ΤΕ και δύο πυκνωτές δηµιουργεί ταυτοχρόνως δύο εξόδους (J.Tow, "Design Formulas for Active C Filters Using Operational Amplifiers", Electron.Lett., vol5, July 969, pp και L.C.Thomas, "The Biquad Part I, some Practical Design Considerations", IEEE Trans Circuit Theory, vol. CT-8, 97, pp ). Η έξοδος του πρώτου ΤΕ είναι συνάρτηση Ζ φίλτρου ενώ η έξοδος του δεύτερου και τρίτου ΤΕ είναι συνάρτηση ΒΠ φίλτρου. Συγκεκριµένα: s H Ζ (s) V (s) & 4 (5.34α) E(s) s 2 s 6 / / H ΒΠ (s) V 3 (s) E(s) & s 2 s 6 / (5.34β) ΣΧΗΜΑ 5.35 Και στις δύο περιπτώσεις έχουµε τον ίδιο παρονοµαστή και εποµένως τους ίδιους πόλους και ίδιο Q, που δίνονται από τους τύπους: ω 0 / Q 3 5 (5.34γ) 5-27

28 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Το κύκλωµα αυτό ισοσταθµίζει το µειονέκτηµα των τριών ΤΕ µε την χαµηλή του ευαισθησία ως προς τα παθητικά στοιχεία, πράγµα που του επιτρέπει την επίτευξη πολύ µεγάλων Q. Η ρύθµιση του Q µπορεί να γίνει από τον λόγο των πυκνωτών. εκαπλασιάζοντας το και υποδεκαπλασιάζοντας τον για παράδειγµα, δεν µεταβάλλεται η συχνότητα αλλά το Q πολλαπλασιάζεται επί δέκα. Η αντίσταση επίσης επιδρά µόνον στο Q και είναι ένας πολύ καλός τρόπος ρύθµισής του. Μια παραλλαγή του διττετράγωνου κυκλώµατος Tow-Thomas οφείλεται στους Akerberg-Mossberg και είναι το ίδιο κύκλωµα µε τον τελευταίο αντιστρεπτικό ενισχυτή µέσα στη διαδροµή ανατροφοδότησης του ολοκληρωτή, όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα Τον ολοκληρωτή αυτό παρουσιάσαµε στο προηγού- µενο κεφάλαιο, όπου σηµειώσαµε και την αντιστροφή των εισόδων του ΤΕ. Η ανάλυση του κυκλώµατος φαίνεται στο επόµενο φύλλο εργασίας. Συµπερασµατικά: H ΒΠ (s) & 5-28 H Ζ s 2 s &s s 2 s ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΩΝ Μια γενικότερη µορφή του κυκλώµατος 3 ΤΕ είναι αυτή που προκύπτει από την τροφοδότηση της εισόδου στις αντιστρεπτικές εισόδους των τελεστικών ενισχυτών µέσω αντιστάσεων, όπως φαίνεται στο σχήµα Η συνάρτηση µεταφοράς γιά την έξοδο V 2 υπολογίζεται ότι είναι: H(s) V 2 (s) E(s)! 8 s 2 s! (5.35α) s 2 s 7 Είναι προφανές ότι µε κατάλληλη επιλογή των τιµών των αντιστάσεων και πυκνωτών, το κύκλωµα µπορεί

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ να πραγµατοποιήσει και συνάρτηση φίλτρου αποκοπής, µπορεί δηλαδή να έχει ζεύγος φανταστικών µηδενικών. ΣΧΗΜΑ 5.37 Πράγµατι µε 7 η συνάρτηση µεταφοράς γίνεται: H(s) V 2 (s)! s 2 6 / 8 7 (5.35β) E(s) s 2 s 8 / 7 Είναι προφανές ότι το κύκλωµα µπορεί και πραγµατοποιεί συναρτήσεις ΑΖ και των τριών τύπων (notch, notch-bπ και notch-υπ) ανάλογα µε την σχέση των αντιστάσεων που εµπλέκονται στους σταθερούς όρους αριθµητή και παρονοµαστή. Για συνάρτηση ΑΖ τύπου notch, απαιτείται να είναι ίσες οι συχνότητες των µηδενικών και των πόλων, οι σταθεροί δηλ. όροι αριθµητή και παρονοµαστή, πράγµα που επιβάλλει και τον περιορισµό 8. Επιλέγοντας 8 = = 7 και = και η συνάρτηση µεταφοράς γίνεται τύπου notch: H(s) V 2 (s) s 2 C! (5.35γ) E(s) s 2 s Με αυτές εποµένως τις επιλογές, η συνάρτηση µεταφοράς δεν εξαρτάται καθόλου από τις τιµές των αντιστάσεων 8,, 7, και, που µπορούν όλες να έχουν την ίδια βολική τιµή. Στην περίπτωση αυτή AZ τύπου notch έχουµε: ω o Q (5.35δ) C 3 2 Το εύρος ζώνης του φίλτρου αποκοπής ζώνης,(notch) δηλ. η ζώνη για την οποία η έξοδος έχει κάτω από την µισή ισχύ, ορίζεται ως BW ω o Q ΣΧΗΜΑ

30 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Το κύκλωµα του σχήµατος 5.38 αποτελεί και αυτό παραλλαγή του αρχικού διττετράγωνου κυκλώµατος µε τρείς τελεστικούς ενισχυτές. Και εδώ τροφοδοτείται η είσοδος στις αντιστρεπτικές εισόδους των τελεστικών αλλά υπάρχει ως προς το προηγούµενο κύκλωµα αντιστροφή της θέσης του ολοκληρωτή και του αντιστρεπτικού ενισχυτή. Γιά το κύκλωµα αυτό υπολογίζεται ότι η συνάρτηση µεταφοράς είναι: V 3 (s) E(s)! 8 s 2 s! 8 7 8! = =C στην παραπάνω σχέση βρίσκουµε: 4π 2 0 Y C 6 µf 2π@500@ (5.36) s 2 s Είναι προφανές ότι µε κατάλληλες επιλογές στον αριθµητή µπορεί να µείνει µόνον ο όρος s 2, δίνοντας στο κύκλωµα συµπεριφορά υψιπερατού φίλτρου δεύτερης τάξης. Αν γιά παράδειγµα επιλεγούν όλες οι αντιστάσεις, πλην της, ίσες µε και οι πυκνωτές ίσοι µε C, τότε η παραπάνω συνάρτηση µεταφοράς γίνεται: H(s) V 3 (s) E(s) Με!! 8 7 s 2 s 2 s C η συνάρτηση µεταφοράς γίνεται V 3 (s) E(s)! 8 µε προφανείς ορισµούς s 2 ω ο 8! C Q (5.37) s 2 s που µπορεί να υλοποιήσει συνάρτηση ΑΖ και των τριών τύπων (notch µε ω z = ω o, notch-bπ µε ω z > ω o και Notch-ΥΠ µε ω z < ω o ) ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5.5 Σχεδιάστε το κύκλωµα τριών ενισχυτών Tow-Thomas µε συχνότητα πόλων 2π500 και Q=0. Αν πάρουµε =0 kω, = = = = kω τότε βρίσκουµε: 0 6 4π 6 0 ενώ από την σχέση του Q βρίσκουµε, που σηµαίνει ότι θα έχουµε ίσους πυκνωτές. Βάζοντας Παρατηρήστε ότι η αντίσταση δεν επιδρά πάνω στη συχνότητα και το Q αλλά καθορίζει µόνον την στάθµη του κέρδους. Η καµπύλες απόκρισης του κυκλώµατος αυτού, όπως τις δίνει το PSpice, µε =0 kω, φαίνονται παρακάτω. 5-30

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ Το κύκλωµα KHN (Kerwin-Huelsman-Newcomb) W.J.Kewin, L.P.Huelsman,.W.Newcomb, "State Variable Synthesis for Insensitive Integrated Circuit Transfer Functions", IEEE J.Solid State Circuits, vol.sc-2, September 967, pp ΣΧΗΜΑ 5.39 Το κύκλωµα ονοµάζεται και φίλτρο µεταβλητών κατάστασης (state variable filter). Χαρακτηριστικό του είναι ότι χρησιµοποιεί δύο αντιστρεπτικούς ολοκληρωτές Miller και δίνει τρεις χρήσιµες εξόδους, µια βαθυπερατή, µια υψιπερατή και µια ζωνοδιαβατή. Οι συναρτήσεις µεταφοράς δίνονται παρακάτω: H ΥΠ (s) V (s) E(s) & s 2 s s 2 (5.38) H Ζ (s) V 2 (s) E(s) & s 2 s s (5.39) 5-3

32 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ H ΒΠ (s) V 2 (s) E(s) & s 2 s (5.40) Το παγκόσµιο (universal) κύκλωµα Το κύκλωµα αυτό αποτελεί παραλλαγή του κυκλώµατος ΚΗΝ µε µια µικρή µετατροπή στην είσοδο, όπως φαίνεται στο σχήµα. Η ονοµασία του είναι βέβαια λίγο υπερβολική, η αλήθεια όµως είναι ότι το κύκλωµα χρησιµοποιείται σε ολοκληρωµένη µορφή και πουλιέται έτοιµο για χρήση µε την απαίτηση µόνον µερικών εξωτερικών εξαρτηµάτων, τα οποία καθορίζουν την συχνότητα των πόλων και το Q. Πλήρεις λεπτοµέρειες για το κύκλωµα υπάρχουν στο βιβλίο ενός από τους εµπνευστές του, του L.P.Huelsman µε τίτλο "Active and Passive Analog Filter Design", McGraw-Hill, 993 (σελ ) καθώς και στο Databook της National Semiconductor "Data Acquisition Linear Devices" και στην σχετική βιβλιογραφία της εταιρείας Burr-Brown. ΣΧΗΜΑ 5.40 Οι συναρτήσεις µεταφοράς του κυκλώµατος δίνονται παρακάτω για τις δύο περιπτώσεις της εισόδου. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Μη αντιστρεπτική συγκρότηση µε Ε 2 =0 ΣΧΗΜΑ 5.4 Στην περίπτωση αυτή το κύκλωµα δίνει τις παρακάτω συναρτήσεις µεταφοράς H ΥΠ (s) V (s) E(s) ( K 3 K 4 ) K s 2 s 2 ( K 3 K 4 ) K 2 ω s K 3 ω (4.4) 5-32

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ H Ζ (s) V 2 (s) E(s) & ( K 3 ) K ω s s 2 ( K 3 K 4 ) K 2 ω s K 3 ω (5.42) H ΒΠ (s) V 3 (s) ( K 3 ) K ω E(s) s 2 ( K 3 K 4 ) K 2 ω s K 3 ω Στις παραπάνω σχέσεις έχουν χρησιµοποιηθεί οι εξής ορισµοί: K 7 ω K 2 7 K 3 K 4 8 (5.43) Ολες οι συναρτήσεις µεταφοράς έχουν τον ίδιο παρονοµαστή και εποµένως κοινή συχνότητα πόλου και Q, που δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: ω o ω K 3 Q ( K 3 )K 2 K 3 ω 7 Μια τυπική σχεδίαση είναι να πάρουµε Κ 3 =0., ίσους πυκνωτές nf, = =00kΩ, =0kΩ και 8 =4, οπότε οι παραπάνω σχέσεις απλοποιούνται ως εξής: ω o 36.2@06 Q kΩ 7 Είναι προφανές ότι οι αντιστάσεις, µπορεί να θεωρηθεί ότι καθορίζουν την συχνότητα ενώ η ρύθµιση του Q γίνεται ανεξάρτητα από τις και 7 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2: Αντιστρεπτική συγκρότηση µε Ε =0 ΣΧΗΜΑ 5.42 Στην περίπτωση αυτή, θεωρούµε =4 και Ε =0, οπότε η ανάλυση του κυκλώµατος δίνει 5-33

34 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ H ΥΠ (s) V (s) & K 4 s 2 E(s) s 2 ( K 3 K 4 ) K 2 ω s K 3 ω H Ζ (s) V 2 (s) K 4 ω s E(s) s 2 ( K 3 K 4 ) K 2 ω s K 3 ω H ΒΠ (s) V 3 (s) & K 4 ω E(s) s 2 ( K 3 K 4 ) K 2 ω s K 3 ω Στις παραπάνω σχέσεις έχουν χρησιµοποιηθεί οι εξής ορισµοί: K 7 K 2 7 K 3 K 4 8 (5.44) (5.45) (5.46) ω Και στην περίπτωση της αντιστρεπτικής συγκρότησης, όλες οι συναρτήσεις µεταφοράς έχουν τον ίδιο παρονοµαστή και εποµένως κοινή συχνότητα πόλου και Q, που δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: ω o ω K 3 Q ( K 3 K 4 )K 2 K 3 ω 7 8 Μια τυπική σχεδίαση είναι να πάρουµε Κ 3 =0., ίσους πυκνωτές nf, = =00kΩ, =0kΩ και 8 =4, οπότε οι παραπάνω σχέσεις απλοποιούνται ως εξής: ω o 36.2@06 Q kΩ 7. 0kΩ 8 Είναι προφανές ότι οι αντιστάσεις, µπορεί να θεωρηθεί ότι καθορίζουν την συχνότητα ενώ η ρύθµιση του Q γίνεται ανεξάρτητα από τις αντιστάσεις 7 και ηµιουργία µηδενικών Για την δηµιουργία µηδενικών είδαµε έως τώρα την µέθοδο της τροφοδότησης της εισόδου σε κατάλληλους κόµβους του κυκλώµατος (π.χ. κύκλωµα σχήµατος 5.37). Μια άλλη µέθοδος είναι να αθροίσει κανείς κάποιες τάσεις του κυκλώµατος χρησιµοποιώντας έναν απλό αθροιστή. Συνήθως αυτό γίνεται στα ενεργά κυκλώµατα µε περισσότερους τελεστικούς ενισχυτές όπως για παράδειγµα στο κύκλωµα Ackerberg-Mossberg του σχήµατος 5.36, το οποίο µε τον αθροιστή φαίνεται στο σχήµα Η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος στην έξοδο του αντιστρεπτικού αθροιστή υπολογίζεται ότι είναι: 5-34

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ H(s) V o (s) s 2 s E(s) k & λ & µ k k C s 2 s C ΣΧΗΜΑ 5.43 Το κύκλωµα εποµένως υλοποιεί ΒΠ και Ζ συνάρτηση στις εξόδους του ου και 2ου ΤΕ αντίστοιχα και στην έξοδο του 4ου ΤΕ (του αθροιστή) µπορεί, µε κατάλληλη επιλογή τιµών των k, λ και µ και υλοποιεί συναρτήσεις µεταφοράς ΥΠ και ΑΖ 2ης τάξης (και των τριών τύπων). Σε µια γενικότερη µέθοδος για την δηµιουργία µηδενικών, χρησιµοποιείται ένα κύκλωµα διπλού-τ, όπως στα παρακάτω σχήµατα. ΣΧΗΜΑ 5.44 Για το κύκλωµα του σχήµατος 5.44α υπολογίζεται ότι: H(s) k s 2 s 2 4(& k) s C που σηµαίνει ότι πρέπει k<. Ο ίδιος περιορισµός ισχύει και στο κύκλωµα 5.44β το οποίο έχει: H(s) αk s 2 α s 2 4(& k) s C 5-35

36 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Η διαφορά των δύο κυκλωµάτων έγκειται στο ότι το 5.44α έχει H(0)=H(4)=k και είναι εποµένως τύπου notch,ενώ το 5.44β έχει H(0)=k και H(4)=αk µε α< και είναι τύπου notch-βπ. Μια γενική αντιµετώπιση της σχεδίασης των φίλτρων αποκοπής ζώνης τύπου notch, στηρίζεται στο σχήµα H(s) As s 2 s ω o Q ω2 o ΣΧΗΜΑ 5.45 Για την πραγµατοποίηση ενός φίλτρου αποκοπής στηρίζεται σε ένα ζωνοδιαβατό κύκλωµα συνάρτησης µεταφοράς As H Ζ (s) s 2 s ω o Q ω2 o Αν επιλέξουµε τότε η έξοδος στον αθροιστή θα είναι k QA ω o & AQ ω o που είναι µια συνάρτηση µεταφοράς αποκοπής ζώνης 2ης τάξης. AQ ω o (s 2 o ) s 2 s ω o Q ω2 o Στο επόµενο κεφάλαιο τα κυκλώµατα 2ης τάξης που παρουσιάστηκαν εδώ, θα χρησιµοποιηθούν για την σχεδίαση ενεργών-c κυκλωµάτων µεγαλύτερης τάξης. Για το σκοπό αυτό παραθέτουµε έναν συγκεντρωτικό πίνακα µε τα κυκλώµατα του κεφαλαίου αυτού, τα οποία είναι τα πιό γνωστά και δηµοφιλή, χωρίς να σηµαίνει ότι δεν υπάρχουν και άλλα. ΠΙΝΑΚΑΣ 5.: Ενεργά-C κυκλώµατα 2ης τάξης ΚΥΚΛΩΜΑ ΛΕΠΤΟΜΕΡΕΙΕΣ ΒΠ Sallen-Key Υλοποιεί ΒΠ συνάρτηση (Βλέπε εδάφιο 5.4.) k H(s) s 2 s & k YΠ Sallen-Key Υλοποιεί ΥΠ συνάρτηση (Βλέπε εδάφιο 5.4.2) ks H(s) 2 s 2 s &k 5-36

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑ ΛΕΠΤΟΜΕΡΕΙΕΣ Ζ Sallen-Key Υλοποιεί Ζ συνάρτηση (Βλέπε εδάφιο 5.4.3) ks H(s) s 2 s &k Ζ εληγιάννη Υλοποιεί Ζ συνάρτηση (Βλέπε εδάφιο 5.5) (& s k ) H(s)! s 2 s & (k&) Γενικό διττετράγωνο κύκλωµσ εληγιάννη Υλοποιεί διττετράγωνη συνάρτηση (Βλέπε εδάφιο 5.5) s 2 2 α & s C 2 b (&λ) H(s) b s 2 2 λ & 2 s C 2(& λ) Ζ, Ολοπερατή και ΑΖ (µόνον notch) ΒΠ Κύκλωµα Πολλαπλής ανάδρασης (MF) (Βλέπε εδάφιο 5.6.) H(s)! s 2 s ΥΠ Κύκλωµα Πολλαπλής ανάδρασης (MF) (Βλέπε εδάφιο 5.6.2) s 2 C H(s)! 2 s 2 s C 3 C 3 Ζ Κύκλωµα Πολλαπλής ανάδρασης (MF) (Βλέπε εδάφιο 5.6.3) s H(s)! s 2 s C 3 Ζ Κύκλωµα Πολλαπλής ανάδρασης (MF) (Βλέπε εδάφιο 5.6.3).. &k s Η(s) s 2 s & (k&) Κύκλωµα ΑΖ Πολλαπλής ανάδρασης (MF) ΜΟΝΟΝ Notch (Βλέπε εδάφιο 5.6.4). H(s) s 2 s & s 2 s 5-37

38 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑ Z GIC Biquad ΛΕΠΤΟΜΕΡΕΙΕΣ H(s) V o (s) E(s) s o s 2 s o ω ο Q o ΑΖ GIC Biquad Με λ 2 µ (2k&µ) s 2 2 k H(s) µ & s 2 s QC Κύκλωµα 3ΤΕ Tow-Thomas Ζ +ΒΠ (Εδάφιο 5.7.) s H Ζ (s) V (s) & 4 E(s) s 2 s 6 / / H ΒΠ (s) V (s) 3 & 2 E(s) s 2 s 6 / Κύκλωµα 3ΤΕ Tow-Thomas Ζ +ΒΠ+ΑΖ (Notch, Notch-ΒΠ, Notch- ΥΠ) (Εδάφιο 5.7.) H(s) V (s) 2 E(s)! s 2 s! s 2 s 8 7 Παραλλαγή Tow-Thomas Ζ +ΒΠ+ΑΖ (Notch, Notch-ΒΠ, Notch- ΥΠ) (Εδάφιο 5.7.) V 3 (s) E(s)! 8 s 2 s! 8 7 8! s 2 s Κύκλωµα ΚΗΝ (ΒΠ, ΥΠ, Ζ εδάφιο 5.7.2) H ΥΠ (s) V (s) E(s) & H Ζ (s) V 2 (s) E(s) & s 2 s s 2 s s 2 s 5-38

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΝΕΡΓΑ-C ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑ ΛΕΠΤΟΜΕΡΕΙΕΣ H ΒΠ (s) V 2 (s) E(s) & s 2 s BΠ/Ζ Akerberg-Mossberg & C H ΒΠ (s) s 2 s 5 &s C H Ζ s 2 s 5 Παγκόσµιο κύκλωµα, µη αντιστρεπτική συγκρότηση (ΥΠ, ΒΠ, Ζ, εδάφιο 5.7.3) H ΥΠ (s) V (s) E(s) ( K 3 K 4 )K s 2 s 2 ( K 3 K 4 )K 2 ω s K 3 ω H Ζ (s) V 2 (s) E(s) &( K 3 )K ω s s 2 ( K 3 K 4 )K 2 ω s K 3 ω H ΒΠ (s) V 3 (s) E(s) ( K 3 )K ω s 2 ( K 3 K 4 )K 2 ω s K 3 ω K 7 ω K 2 7 K 3 K 4 8 Παγκόσµιο κύκλωµα, αντιστρεπτική συγκρότηση (ΥΠ, ΒΠ, Ζ, εδάφιο 5.7.3) H ΥΠ (s) V (s) E(s) &K 4 s 2 s 2 ( K 3 K 4 )K 2 ω s K 3 ω H Ζ (s) V 2 (s) E(s) K 4 ω s s 2 ( K 3 K 4 )K 2 ω s K 3 ω H ΒΠ (s) V 3 (s) E(s) & K 4 ω s 2 ( K 3 K 4 )K 2 ω s K 3 ω K 7 ω K 2 7 K 3 K 4 8 Κύκλωµα 4 ΤΕ (ΥΠ και ΑΖ) & λ & µ k H(s) V o (s) s 2 s 4 k 4 E(s) k C s 2 s C 5-39

40 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΚΕΝΗ ΣΕΛΙ Α 5-40