ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΜαθηματικάγιαΟικονομολόγους II-Μάθημα 5 ο -6 ο Όριο-Συνέχεια-Παράγωγος-Διαφορικό

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΜαθηματικάγιαΟικονομολόγους II-Μάθημα 5 ο -6 ο Όριο-Συνέχεια-Παράγωγος-Διαφορικό"

Ησιοδ Ζάχος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΜαθηματικάγιαΟικονομολόγους II-Μάθημα 5 ο -6 ο Όριο-Συνέχεια-Παράγωγος-Διαφορικό

2 ΟΡΙΣΜΟΣΟΡΙΟΥ Θεωρούμε την συνάρτηση z=f(x,y)/d όπου D ανοικτό υποσύνολο του R Ποια η συμπεριφορά της συνάρτησης f καθώς το σημείο P ( x, y ) P ( x 0, y 0 ) Ο αριθμός l λέγεται όριο της συνάρτησης καθώς το σημείο τείνει από το σημείο και γράφεται lim ( x, y) = P ( x, y ) > ( x, y ) 0 0 (, ) P ( x, y ) P x y 0 0

3 ΚΛΑΣΣΙΚΟΣΟΡΙΣΜΟΣΟΡΙΟΥ Μια συνάρτηση f(x,y) θα λέμε ότι έχει όριο έναν πραγματικό αριθμός l καθώς το σημείο (, ) P ( x, y ) P x y και συμβολίζεται ως ( x, y ) ( x, y ) ανκαιμόνοεάν f ( x, y ) ( ) ( ) καθώς l το ε > 0 ο υ ν δ i = δ i ( ε ) > 0 : f ( x, y ) l < ε ό τ α ν x - x < δ, y - y < δ κ α ι x, y x, y

4 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Έστω δύο συναρτήσεις f(x,y), g(x,y) με κοινό πεδίο ορισμού και lim f ( x, y) = l, lim g ( x, y) = m ( x, y ) > ( x, y ) ( x, y ) > ( x, y ) Άθροισμα. Γινόμενο 3. Πηλίκο Παράδειγμα: ( x, y ) > ( x, y ) [ ] lim f ( x, y) ± g ( x, y) = l ± m Ποιο το όριο της συνάρτησης ( x, y ) > ( x, y ) ( x, y ) > ( x, y ) [ ] lim f ( x, y) g ( x, y) = lm 0 0 [ ] lim f ( x, y) / g ( x, y) = l / m f x y = x + y (, ) = + όταν ( x, y) (1, )

5 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Γιαναείναιμιασυνάρτησησυνεχήςσεένασημείο P ( x 0, y 0 ) θα πρέπει: 1. Ναυπάρχειτοόριοτηςσυνάρτησηςστοσημείο αυτό,. Ναορίζεταιησυνάρτησηστοσημείοαυτόκαι 3. Ναισχύει lim ( xy, ) = l ( xy, ) > ( x, y ) 0 0 Παράδειγμα Να εξεταστεί ως προς την συνέχεια η συνάρτηση: f ( x, y) = xy, εάν x + y x + y 0 0, x = y = 0

6 ΟΡΙΣΜΩΝΣΥΝΕΧΕΙΑ Μια συνάρτηση z=f(x,y)/d όπου D ανοικτό υποσύνολο του R θα καλείται φραγμένη στο A D ε ά ν Μ : f ( x, y ) M ( x, y ) A Μια συνάρτηση z=f(x,y)/d όπου D ανοικτό υποσύνολο του R συνεχής εάν θα καλείται ομοιόμορφα ε f 0 δ (ε ) f 0 : f ( P ) f ( P ) < ε P, P : PP < δ (ε ) 1 1 1

7 ΕΝΝΟΙΑΜΕΡΙΚΗΣΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Έστω η συνάρτηση y=f(x1,x,, xn).εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή xi μπορεί να μεταβληθεί από xi σε xi+δxi ενώ οι υπόλοιπες παραμένουν σταθερές τότε η y θα μεταβληθεί κατά Δy.Εάν υπάρχει και είναι πεπερασμένο το όριο όταν Δxi 0 τότε η y=f(x1,x,, xn) είναι παραγωγίσιμη ως προς Δxi.Το όριο καλείται μερική παράγωγος.

8 ΜΕΡΙΚΗΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών (x,y) μπορεί να εκφραστεί με βάση τους παρακάτω ορισμούς: f f x y f ( x+ x, y) f ( x, y) f ( x, y) = lim = x 0 x x f ( x, y+ y) f ( x, y) f ( x, y) = lim = y 0 x y

9 ΓΡΑΦΙΚΗΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ζ=Φ(Χ,Υ) ΕΠΙΠΕ Ο Χ=Χ0 P0(X0,Y0)

10 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση y=f(x1,x,, xn) θα είναι παραγωγίσιμη εάν και μόνο εάν είναι παραγωγίσιμη σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της. Τότε ορίζεται το διάνυσμα μερικών παραγώγων(διάνυσμα βαθμίδας) σε κάθε σημείο x του πεδίου ορισμού της ως εξής: gradf f = f f f,,..., x x x 1 n

11 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Να υπολογίσετε τις μερικές παραγώγους των κάτωθι συναρτήσεων x f ( x, y) =, f ( x, y) = ln( x y ), f ( x, y) = e, g( x, y) = x + xy+ y 3 3y Η συνάρτηση παραγωγής μιας επιχείρησης δίνεται ως εξής: Να υπολογίσετε τις μερικές παραγώγους ως προς K,L και το διάνυσμα βαθμίδας. 3 x+ y 3 5 a 1 a Q AK L A =, > 0, 0 < a < 1

12 ΜΕΡΙΚΗΠΑΡΑΓΩΓΟΣΑΝΩΤΕΡΗΣΤΑΞΗΣ Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση u=f(x,y,z)/d. Οι μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης θα δίνονται ως εξής: u( x, y, z) f ( x, y, z) = ( ) = fyx ( x, y, z) x y x y u( x, y, z) f ( x, y, z) = ( ) = fyzz ( x, y, z) 3 z y z z y m variables n order m+ n 1 n

13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Να υπολογίσετε τις δεύτερης τάξης μερικές παραγώγους των συναρτήσεων. x y f ( x, y) = sin xy, f ( x, y) = ln( x + y ), f ( x, y) = e + Μια επιχείρηση παράγει δύο προϊόντα με την παρακάτω συνάρτηση κόστους. Ποια τα οριακά κόστη των δύο προϊόντων; ( ) TC ( Q, Q ) = 50+ Q + Q ln Q Q1 + Q Q

14 ΘΕΩΡΗΜΑ SCHWARZ Έστω η συνάρτηση f(x,y) ορισμένη σε έναν τόπο D συνεχής με συνεχής μερικές παραγώγους πρώτης τάξης f ( x, y) f ( x, y), x y και υπάρχουν και είναι συνεχείς στο D οι συναρτήσεις f ( x, y ) f ( x, y ), y x x y τότε f ( x, y ) f ( x, y ) = y x x y

15 ΕΣΣΙΑΝΗΜΗΤΡΑΙ Ο πίνακας(μήτρα) όλων των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης μιας συνάρτησης υπολογισμένης σε ένα σημείο καλείται εσσιανή μήτρα και δίνεται ως εξής: H x * ( ) f f f... x1 x1 x x1 x n f f1n f f n = = f f fn fnn xn x1 xn

16 ΕΣΣΙΑΝΗΜΗΤΡΑΙΙ Εάν οι μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης είναι συνεχείς τότε από το θεώρημα του Swarz έχουμε ότι η εσσιανή μήτρα είναι και συμμετρική H x * ( ) f f f... x1 x1 x x1 x n f f1n f f n = = f f fn fnn xn x1 xn

17 ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΗ Μια συνάρτηση z=f(x,y)/d είναι διαφορίσιμη όταν: Υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι ως προς x,y Ημεταβολή f = f ( x + x, y + y ) f ( x, y ) της συνάρτησης f στο(x,y) καθώς και σε γειτονικό αυτής σημείο έχει την μορφή: f = f x + f y + H ( x, y ) x + P ( x, y ) y, όπου x H, P 0, x, y 0 y

18 ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΛΥΣΙΔΩΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ-CHAIN RULE Εάν η συνάρτηση z=f(x,y)/d είναι κλάση C1 και υπάρχουν οι παράγωγοι x= xt ( ), y= yt ( ), a t b όπου τότε η συνάρτηση f είναι συνάρτηση της t και ισχύει ο ακόλουθος τύπος 1 ' ' xt yt ( ), ( ) df f dx f dy f f = + = + dt x dt y dt x x ' ' x ( t) y ( t) df f dx1 f dx f dxn = dt x dt x dt x dt n

19 ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΛΥΣΙΔΩΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ-CHAIN RULE Εάν η συνάρτηση z=f(x,y)/d είναι κλάση C1 και xu, xv, yu, yv υπάρχουν οι παράγωγοι των συναρτήσεων x= xuv (, ), y= yuv (, ) τότε η συνάρτηση f είναι συνάρτηση των u,v και Ισχύoυν οι ακόλουθοι τύποι: df fdx fdy = + = fx + fy du xdu ydu x u y u df fdx fdy = + = fx + fy dv xdv ydv x v y v u,v ανεξάρτητες µεταβλητές x,y ενδιάµεσες µεταβλητές

20 ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΛΥΣΙΔΩΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΝΘΕΤΩΝΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ-CHAIN RULE- ΕΦΑΡΜΟΓΗ Δίνεται η συνάρτηση Να υπολογιστούν τα Πωςορίζεταιη d f; f u v w u vw (,, ) = ό π ο υ u = u ( x, y ) = x + y v = v ( x, y ) = x y w = w ( x, y ) = xy df, d f, στο Π(1,) για dx=0.1,dy=-0.

21 ΟΛΙΚΟΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ Ολικό διαφορικό πρώτης τάξης μιας συνάρτησης f (x,y) στο σημείο P(x,y) ονομάζεται η συνάρτηση Το διαφορικό μιας συνάρτησης λειτουργεί ως μια ικανοποιητική προσέγγιση της διαφοράς Δf. df = f x + f y x y df = f x + f y = f ( x, y ) dx + f ( x, y ) dy = x y x y = dx + dy f x y ιαφορικός Τελεστής

22 ΟΛΙΚΟΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙΙ-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ: 1. d ( k) = 0, k R. d ( kx± ly) = kdx± ldy 3. d ( xy) = xdy+ ydx 4. d ( x ) ( x) x 5. d e = e dx 6. ( ) y = ydx xdy = y k k 1 d x kx dx

23 ΟΛΙΚΟΔΙΑΦΟΡΙΚΟΔΕΥΤΕΡΗΣΤΑΞΕΩΣΙΙΙ Ολικό διαφορικό δεύτερης τάξης μιας συνάρτησης f (x,y) στο σημείο P(x,y) ονομάζεται η συνάρτηση d f ( f ) xdx fydy = + Εάν λάβουμε υπόψη το θεώρημα του Schwarz και κάνουμε τις πράξεις θα έχουμε ότι: d f d ( fxdx f ydy ) d ( fx ) dx d ( f y ) dy = + = + = f f f dx + dy + dxdy x y x y Π αράδειγµα w = f x y z = x + y + z + x y + z (,, ) x t t t y t t z t t t ( ) = + 1, ( ) = 3, ( ) = + 4 3

24 ΟΛΙΚΟΔΙΑΦΟΡΙΚΟΑΝΩΤΕΡΗΣΤΑΞΗΣ Ολικό διαφορικό Μ τάξης μιας συνάρτησης f (x,y) στο σημείο P(x,y) ονομάζεται η συνάρτηση M ( x y ) ( (..( ) M d f = f dx + f dy = d d df Θέλειμεγάληπροσοχήτονακατανοήσουμεότι τοκ τάξεως διαφορικό με την έννοια της δύναμης λαμβάνει συμβολικό χαρακτήρα και δεν είναι τετράγωνο, κύβος κ.τ.λ.

25 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Να υπολογίσετε το διαφορικό πρώτης και δεύτερης τάξεως της συνάρτησης. Να βρεθεί το διαφορικό δεύτερης τάξης της συνάρτησης χρησιμότητας u = xy εισοδηματικού περιορισμού u = x + xy δεδομένο ότι γνωρίζουμε την εξίσωση I = p x + p y 1 / 1 / 3 3. Η παραγωγή μιας επιχείρησης είναι Q ( K, L ) = 6 0K L. Προς το παρόν χρησιμοποιούνται 1000 εργατοώρες και έχει επενδυθεί κεφάλαιο 900 εκ. Να προσεγγιστεί η αλλαγή στην παραγωγήόταντοκεφάλαιοαυξηθείκατά1 εκ. καιοι εργατοώρες κατά. x y

26 ΟΜΟΓΕΝΗΣΣΥΝΑΡΤΗΣΗ I Μια συνάρτηση z=f(x,y)/d θα καλείται ομογενής βαθμούκεάνγιακάθεκμεγαλύτεροήισοτου μηδενός ισχύει ότι: Είναι η παρακάτω συνάρτηση ομογενής και τι βαθμού; n f ( Kx, Ky) = K f ( x, y) f ( K, L) = K + 3L

27 ΟΜΟΓΕΝΗΣΣΥΝΑΡΤΗΣΗ II Μια συνάρτηση παραγωγής έχει σταθερό βαθμό υποκατάστασης(constant returns to scale) όταναύξησητων εισροώνκατάκποσοστόαυξάνειτιςεκροέςκατάτοίδιο ποσοστό, φθίνοντα βαθμό υποκατάστασης(decreasing returns to scale) εάν έχουμε αύξηση των εκροών κατά μικρότεροποσοστόκκαιαυξάνονταβαθμό(increasing returns to scale) εάν οι εκροές αυξάνουν με ποσοστό µεγαλύτερο του Κ.

28 ΘΕΩΡΗΜΑ EULER Για την ομογενή συνάρτηση z=f(x,y)/d ισχύει ότι xz + yz = Kz, K βαθµός οµοιογένειας x y Εφαρμογή στην Cobb-Douglas!

29 ΤΙΝΑΔΙΑΒΑΣΩ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ E-CLASS ΚΕΦΑΛΑΙΟ8 Ο ΑΠΟΞΕΠΑΠΑΔΕΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ8 Ο ΑΠΟ CHIANG.

Σχετικά έγγραφα

ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ

ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ2011-2012 ΜαθηματικάγιαΟικονομολόγουςΙI-Μάθημα 7 ο - ΟΜΟΓΕΝΗΣ-ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR- McLAURIN ΚΛΙΣΗ-GRADIENT Εάν µια συνάρτηση f(x,y) έχει µερικές