Ενεργός διατοµή Χρυσός Κανόνας του Fermi

Transcript

1 Μαθηµα 3 0 Ενεργός διατοµή Χρυσός Κανόνας του Fermi

2 Μετρήσιμες ποσότητες Παρατηρώντας τη φύση για να καταλάβουμε ποιά είναι τα στοιχειώδη σωμάτια και πώς αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, έχουμε τα εξής τρία πειραματικά εργαλεία (probes) για τις μετρήσεις μας: Bound states of particles: δέσμιες καταστάσεις, π.χ., άτομο, μεσόνιο J/ψ (=c c) Χρησιμοποιούμε μη σχετικιστική Κβαντομηχανική (Schroedinger s formulation) Pacticle scattering (σκέδαση σωματιδίων) Particle decays (π.χ., π - μ - ν μ ) Για μελέτη σκεδάσεων και διασπάσεων σωματιδίων χρησιμοποιούμε την σχετικιστική Κβαντομηχανική (Feynman calculus) 2

3 Διασπάσεις και ρυθµός διάσπασης 3

4 Διάσπαση σωματιδίου (Decay) Η πιθανότητα να διασπαστεί ( probability to decay ) ένα σωματίδιο στο αμέσως επόμενο χρονικό διάστημα dt είναι ανεξάρτητη από το πότε δημιουργήθηκε το σωμάτιο (ηλικία του σωματιδίου) Γ = πιθανότητα διάσπασης στη μονάδα χρόνου = decay rate = decay width dn = N(t+dt) - N(t) = - Γ N(t) dt N(t) = N(0) exp(-γt) Μέσος χρόνος ζωής = mean lifetime = τ = 1/Γ N(t) = N(0) exp(-t/τ) 4

5 Διάσπαση σωματιδίου (Decay) Μέσος χρόνος ζωής = mean lifetime = τ = 1/Γ Αν ένα σωματίδιο μπορεί να κάνει decay με πολλούς (= n) τρόπους, τότε ο ολικός ρυθμός διασπάσεών του (= total decay rate) θα είναι: Γ Τ Ο Τ = Γ 1 + Γ 2 + Γ Γ n To lifetime είναι τ = 1/Γ Τ Ο Τ Το ποσοστό των σωματιδίων που κάνουν decay με τον τρόπο i, ονομάζεται branching ratio ή branching fraction Branching ratio for decay mode i = B i = Γ 1 / Γ Τ Ο Τ% π.χ., φορτισμένο πιόνιο, π + (= u d) Μάζα π + = MeV, Lifetime = 2.6 x 10-8 sec π + μ + ν μ BR= % BR φυσική των π + e + ν e BR = 1.2 x 10-4 αλληλεπιδράσεων 5

6 6

7 7

8 Ενεργός διατομή αλληλεπίδρασης και ρυθμός μιας αλληλεπίδρασης 8

9 Ενεργός διατομή Όταν έχουμε σκέδαση δύο σωματιδίων, μιλάμε για την ενεργό διατομή της αλληλεπίδρασης Η ενεργός διατομή μπορεί να θεωρηθεί σαν η ενεργός επιφάνεια που παρουσιάζει ο πυρήνας Χ σε σημειακό επερχόμενο σωματίδιο α α σ t o t X R Αλλά δεν είναι το ίδιο!% Δεν έχουμε hit or miss στην αλληλεπίδραση σωματιδίων. Βέβαια, η ενεργός διατομή δεν είναι γεωμετρικός παράγοντας, αλλά συλλογική ιδιότητα των δύο σωματιδίων που αλληλεπιδρούν. Εξαρτάται και από τον τύπο των σωματιδίων και από την ενέργειά τους 9

10 Παράδειγμα: ενεργός διατομή γ+d (d= 2 1 H= δευτέριο) γ+p Η ενεργός διατομή είναι συλλογική ιδιότητα των δύο σωματιδίων που αλληλεπιδρούν: εξαρτάται από τον τύπο των σωματιδίων και την ενέργειά τους 10

11 Μιά αίσθηση μεγέθους ενεργών διατομών Ας πάρουμε τη γεωμετρική θεώρηση μιας σκέδασης α Σωματίδιο α σκεδάζεται από πυρήνα με ακτίνα r = 6 fm. σ X R Αν θεωρήσουμε το α σημειακό που πέφτει τυχαία οπουδήποτε στον μεγάλο κύκλο R, και επίσης θεωρήσουμε την επιφάνεια σ που παρουσιάζει ο πυρήνας σαν την ενεργό επιφάνεια αλληλεπίδρασης, τότε η ενεργός διατομή αλληλεπίδρασης είναι σ = π * r 2 = 113 fm 2 = 1.13 b H πιθανότητα το α να πέσει πάνω στον πυρήνα = π * r 2 / π * R 2 = σ / (π * R 2 ), με σ=1.13 b, που είναι η σωστή τάξη μεγέθους για ισχυρές πυρηνικές αλληλεπιδράσεις. 11

12 Διαφορική Ενεργός διατομή Αν το σωμάτιο προσπίστει με b+db η σκέδαση θα γίνει σε γωνία θ+dθ (αν περάσει από απειροστή επιφάνεια dσ θα σκεδαστεί σε στεραιά γωνία dω) Σωμάτιο (ηλεκτρόνιο) σκεδάζεται (soft) από δυναμικό (Coulomb, π.χ. πρωτόνιο), κατά γωνία θ Η σκέδαση αυτή είναι συνάρτηση της απόστασης b (impact parameter) H θ(b) εξαρτάται από το δυναμικό dσ = D(θ)dΩ Ο συντελεστής αναλογίας D(θ) ονομάζεται διαφορική ενεργός διατομή 12

13 Διαφορική Ενεργός διατομή dσ = b db dφd(θ) dω = sin(θ) dθ dφ 13

14 Σκέδαση Rutherford Αν ο πυρήνας είναι σημειακό φοτίο: Rutherford approximatιοn 14

15 Ενεργός διατομή: επί μέρους και ολική Η ενεργός διατομή δεν είναι γεωμετρικός παράγοντας% Εξαρτάται από τα σωματίδια που αλληλεπιδρούν και τις ενέργειές τους π.χ. σ(π+p) > σ(e+p) > σ(ν+p) Εξαρτάται επίσης και από τα παραγόμενα σωματίδια και τα χαρακτηριστικά τους Mπορούμε να ορίσουμε τις επί μέρους ενεργές διατομές = exclusive cross section ) = σ i% π.χ., σ(pp W), σ(pp Z) ολική ενεργός διατομή = inclusive cross section = σ t o t = Σ σ i % π.χ., σ tot (pp) = σ(pp W) + σ(pp Z)

16 Ενεργός διατομή και ρυθμός αλληλεπίδρασης Δέσμη σωματιδίων α, προσπίπτει με ταχύτητα υ σε υλικό με πυρήνες Χ% Χ α ρ α = επιφανειακή πυκνότητα da δέσμης σωματιδίων α υ*dt Επιφανειακή πυκνότητα της δέσμης α = ρ α = αριθμός σωματιδίων α, ανά μονάδα επιφάνειας Ροή φ των σωματιδίων α : αριθμός σωματιδίων α, από επιφάνεια da σε χρόνο dt : ρ α * da * υ * dt. Αριθμός σωματιδίων α ανα μονάδα επιφάνειας, ανά μονάδα χρόνου: φ = ρ α * υ Αριθμός των α που διέρχεται από επιφάνεια π R 2 γύρω έναν πυρήνα Χ, στη μονάδα χρόνου (dt=1) : ρ α * υ * π R 2 Πιθανότητα αλληλεπίδρασης ενός α με έναν πυρήνα Χ = Ρυθμός (dn/dt) αλληλεπίδρασης σωματιδίων α με έναν πυρήνα Χ: (ρ α *υ*π R 2 )*(σ/ π R 2 ) = ρ α *υ*σ tot = ροή * ενεργός διατομή σ πr 2 16

17 Ενεργός διατομή και μέση ελεύθερη διαδρομή Δέσμη σωματιδίων α, προσπιτει με ταχύτητα υ σε υλικό με πυρήνες Χ Αντίστοιχα με την προηγούμενη σελίδα: Ρυμός αντίδρασης (dn/dt) ενός σωματιδίου α με τους πυρήνες Χ του στόχου: ρ x *υ * σ tot (σαν να είμαι πάνω στο α και να βλέπω τους πυρήνες Χ να έρχονται με ταχύτητα υ, oπότε έχω: ροή των σωματιδίων Χ * ενεργός διατομή αλληλεπίδρασης) Για μία αλληλεπίδραση απαιτείται κατά μέσο όρο χρόνος τ = 1/(ρ x *υ * σ tot ) da υ*dt Μέση ελεύθερη διαδρομή = τ*υ = 1/(ρ x * σ tot ) α Χ ρ Χ = επιφανειακή πυκνότητα πυρήνων Χ 17

18 Ρυθµός αλληλεπίδρασης 18

19 Σκέδαση: α + b -> c + d a b 19

20 Σκέδαση και ενεργός διατομή a b σ=κάτι σαν την επιφάνεια που παρουσίαζει το σωματίδιο b στο επερχόμενο σωματίδιο α% Αλλά δεν είναι το ίδιο!% Δεν έχουμε hit or miss στην αλληλεπίδραση σωματιδίων 20

21 Σκέδαση και ενεργός διατομή Ισύχει και για δέσμες σωματιδίων 21

22 Ο Χρυσός Κανόνας του Fermi O Χρυσός Κανόνας για την Διασπάση σωματιδίου πυκνότητα των καταστάσεων dn/de0 (Phase space) χώρος των φάσεων Phase space 22

23 23

24 Κινηματική και Φυσική των αλληλεπιδράσεων Η πιθανότητα να συμβεί κάποια διάσπαση και η κατανομή των προϊόντων στο χώρο υπολογίζεται από τη φυσική της αλληλεπίδρασης Η ενέργεια και ορμή των προϊόντων μιάς διάσπασης είναι θέμα κινηματικής 24

25 Ισότροπη κατανομή στο χώρο (στερεά γωνία Ω) Αν δεν το υπαγορεύη η φυσική της αλληεπίδρασης η κατανομή των προϊόντων στον χώρο είναι ισοτροπική 25

26 Isotropic distribution of products 26

27 Μερικοί σχετικοί ιστότοποι Rutherford scattering:% Ενεργός διατομή σκέδασης:% Great experiments in Physics% 27

28 BACKUP SLIDES 28

29 29

30 Σχετικιστική κινηματική: Σχετικιστική κινηματική E = mc 2 = η ενέργεια πού έχω επειδή απλά και μόνο έχω μάζα m ενέργεια μάζα c = ταχύτητα του φωτός Η μάζα είναι μια μορφή ενέργειας γενικά, µ ε κινητική ενέργεια Κ,έχουµε : E= Κ+m c 2 E= m γ c 2, όπου γ = 1 1 β 2, και β = υ/c, µ ευ= ταχύτητα σωµατιδίου p= m γ υ= m γ β c,όπου p= ορµή E 2 = ( pc) 2 +(m c 2 ) 2 E [MeV], p [MeV/c], m [MeV/c 2 ] Σηµείωση: µε c = 1, γράφουµε : E 2 = p 2 +m 2,κλπ. 30

31 c= 197 MeV fm, όπου = h 2π Μονάδες c= m /s µονάδα ταχύτητας 1 µονάδα ενέργειας ev = C b V = Joule Συνήθως χρησιμοποιούμε το MeV (= 10 9 ev) Σταθερά του Plank = h = x J s α= e 2 e2 [ mks]= 4 πε 0 c c [cgs]= α = η σταθερά λεπής υφής = 1/137 µονάδα δράσης (ενέργειας χρόνου) 1 Θα χρησιμοποιούμε παντού: ev για ενέργεια (ή MeV στην πυρηνική), 1/4πε 0 = 1 σε όλους τους τύπους,% και θα βάζουμε: Μετράμε:% c= 197 MeV fm Μάζα: MeV/c 2 (αφού Ε = mc 2 ) Ορμή: MeV/c (αφού p = mγβc) Χρόνο σε: 1/MeV (αφού η μονάδα δράσης = Ενέργεια * Xρόνος = 1) Μήκος σε: μονάδες χρόνου = 1/MeV (αφού η μονάδα ταχύτητας=1) 1 amu = 1/12 μάζας ουδέτρου ατόμου 12 C = MeV/c 2 Mάζα ηλεκτρονίου = MeV/c 2 Μάζα πρωτονίου = MeV/c 2, Μάζα νετρονίου = MeV/c 2 e 2 = α c, όπουα = 1 /137 31