ΚΕΦΑΛΑΙΟ IΙΙ: TAΣΕΙΣ ΣΤΟ Ε ΑΦΟΣ. 1. Τάσεις σε συνεχή μέσα (ε πανάληψη) 2. Τάσεις σε α-συνεχή. μέσα. 3. Ενεργός και Ολική τάση

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ IΙΙ: 3. Ενεργός και Ολική άη TAΣΕΙΣ ΣΤΟ Ε ΑΦΟΣ. Τάεις ε υνεχή μέα (ε πανάληψη). Τάεις ε α-υνεχή μέα 4. Γεωαικές άεις (λόγω ιδίου βάρους) 5. Τάεις λόγω εξωερικών φορίων Θεωρία Ελαικόηας Καανομή άεων - επίπεδη έναη Καανομή άεων - αξονουμμερική άη Γενικές οδηγίες εφαρμογής ην πράξη Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 63

2 .Τάεις ε ΣΥΝΕΧΗ μέα (ε πανάληψη) θεικές φορές ων άεων που ακούναι ε εδαφικό ΣΗΜΕΙΟ Ο οριμός είναι υνάρηη ου υήμαος υνεαγμένων θεικές φορές ων άεων που ακούναι ε ΕΠΙΠΕ Ο () ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να υπολογιθούν οι αλγεβρικές ιμές ων άεων, (α) ο ημείο ΑΒΓ (β) α επίπεδα ΑΒ, ΒΓ & Γ (-) Ο οριμός ΕΝ είναι υνάρηη ου υήμαοςγ. υνεαγμένων Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 64

3 Υπολογιμός άεων που ακούναι ε υχαίο επίπεδο κύκλος κύκλος ΜΟΗ ΜΟΗR θ θ θ θ sin cos θ θ εξίωη κύκλου MOHR εξίωη κύκλου MOHR Βαικά Χαρακηριικά Κύκλου MOHR: Βαικά Χαρακηριικά Κύκλου MOHR MOHR: y x 3 α ο κένρο: ( ) max 3 max xy y x R ηακίνα: Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 65

4 ΠΟΛΟΣ επιπέδων Εάνενώωονπόλο Οp ενός κύκλου MOHR με ένα ημείο ην περιφέρεια ου Α (, ), όε η ευθεία ΟpΑ είναι παράλληλη προς ο επίπεδο επί ου οποίου ακούναι οι άεις (, ). ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Ένας κύκλος Mor θεωρείαι όι έχει οριθεί πλήρως ΜΟΝΟΝ ΟΤΑΝ, εκός από ο κένρο και ην ακίνα, ΕΧΕΙ ΟΡΙΣΘΕΙ ΚΑΙ Ο ΠΟΛΟΣ ΤΩΝ ΕΠΙΠΕ ΩΝ κύκλος ΜΟΗR ων άεων: Είναι ο Γεωμερικός Τόπος ων αικών υνδυαμών ( n, n ) που ανιοιχούν ε όλα α επίπεδα που διέρχοναι από ένα δεδομένο ημείο Α Επομένως, κάθε ημείο ης περιφέρειας ου κύκλου MOHR ανιοιχεί ις άεις n, n που ακούναι ε κάποιο επίπεδο (n-n) δια ου ημείου Α Άρα, ελικώς, εάν γνωρίζω ον κύκλο MOHR ενός ημείου Α, γνωρίζω πλήρως και ην εναική ου καάαη Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 66

5 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Να χεδιαθεί ο κύκλος Mor. Να υπολογιθούν οι κύριες άεις και α επίπεδα εφαρμογής ους 3. Να υπολογιθούν οι άεις οεπίπεδοα-α. Να χεδιαθεί ο κύκλος Mor. 3 ; 3. xy ; 4. x ; Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 67

6 . Τάεις ε Α-ΣΥΝΕΧΗ μέα. Τάεις ε Α-ΣΥΝΕΧΗ μέα (μέες) άεις εδάφους (μέες) άεις εδάφους i i i i a T a T, a N a N a T a T, a N a N (μέες) άεις εδάφους (μέες) άεις εδάφους Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 68

7 i xi yi N A i >> i T A x >> T i y >> A i x y άεις (επαφής) ων κόκκων (μέες) άεις εδάφους: N i Txi, x, y α α α T yi η ερώηη η ερώηη Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 69

8 3. ΕΝΕΡΓΟΣ και ΟΛΙΚΗ άη ορθές άεις N N i u α α u (υν-) ενεργός ολική άη άη πίεη πόρων διαμηικές άεις T i ( ) α ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΟΥ ΤΑΣΗΣ!!!! u Η διαμηική ανοχή ου εδάφους εξαράαι μόνον από ις ενεργές άεις ( c tan φ ) αοχ ίας Παραμορφώεις έχουμε μόνον όαν μεαβληθούν οι ενεργές άεις Δ Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 70

9 Α Α Α Α εν είναι δυναόν να έχω μεαόπιη ης πλάκας χωρίς να μεαβληθεί ο μήκος ου ελαηρίου που ανιπροωπεύει ον εδαφικό κελεό. Αυό όμως θα έχει ως υνέπεια να μεαβληθεί η δύναμη ου ελαηρίου καά F και η ανίοιχη ενεργός άη καά F/A. Ερώηη... Κάθε άνοιξη, οβάθοςμιαςλίμνηςαυξάνειαπόζ Ι ε Ζ ΙΙ, και η ανίοιχη (υδροαική) πίεη επί ου πυθμένα ης λίμνης από p I γ w Z I ε p IΙ γ w Z IΙ. Θα έχω καθίζηη λόγω ης πρόθεης υμπίεης ου πυθμένα ης λίμνης; Ζ Ι pi γ w Z I p IΙ γ w Z IΙ Ζ ΙΙ Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 7

10 3. ΓΕΩΣΤΑΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ λόγω ιδίου βάρους γενικά υνήθης περίπωη: γεωαικές άεις οριζόνια επιφάνεια εδάφους οριζόνια ρωμαογραφία ομοιόμορφη επιφόριη Ξηρό ομοιόμορφο έδαφος ή Βάρος Σήλης επιφ. διαομής γ A A γ K o K o ν από θεωρία ελαικόηας (ε 0) ν (γιαί;) 0,4 0,6 υνήθη εδάφη > 0,60 προφοριμένα εδάφη Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 7

11 Ξηρό ανομοιόμορφο έδαφος 0 K o γ () d K o ν από θεωρία ελαικόηας (ε 0) ν (γιαί;) 0,4 0,6 υνήθη εδάφη > 0,60 προφοριμένα εδάφη Έδαφος & Νερό Ολικές άεις: γ o () d u Πίεη πόρων: u γ υ * Ενεργές άεις: u o γ () d γ υ * K o ΠΡΟΣΟΧΗ: η ειρά υπολογιμών είναι: u ( u ) ( K ) ( u ) Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. o Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 73

12 υπικές ΑΣΚΗΣΕΙΣ (α) Να υπολογιθούν οι ολικές και οι ενεργές άεις που ακούναι ο ημείο Α. (β) Να χεδιαθεί ο κύκλος Μor ων ενεργώνκαιωνολικώνάεωνγιαο ημείο αυό. (γ) Να υπολογιθούν οι ενεργές και οι ολικές άεις που ακούναι ο επίπεδο α-α (δ) Να υπολογιθεί η μέγιη διαμηική άη (ολική και ενεργή) και ο επίπεδο εφαρμογής ης. (ε) Να υπολογιθεί η μέγιη ιμή ου λόγου / και ο επίπεδο εφαρμογής ων ανιοίχων άεων. γ ξ 6 kn/m 3 γ κορ 9 kn/m 3 K o 0.50 γ ξ 5 kn/m 3 γ κορ 8 kn/m 3 K o.00 A A γ κορ 0 kn/m 3 K o 0.50 (ή.50) α α 30 o 30 o q00 kpa α 0 m - m α (I) - 8 m 0 m - m - 4 m - 8 m (II) Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 74

13 5. ΤΑΣΕΙΣ λόγω ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ α. Γενικά εξ. παραμορφώεων χέεις άεων παραμορφ. ε x ε y ε ρ x x ρ y y ρ,,, γ xy ( ν ν ) ε x x y Ε ε y..., ε... ( ν ) γ xy xy Ε γ y..., γ x..., ρ ρ x y y x x x y y (υνοριακές υνθήκες) εξ. ιορροπίας yx x x 0 y xy y y 0 x x y 0 x y Μέθοδοι επίλυης Θεωρία Ελαικόηας έδαφος γραμμικώς ελαικό, ιόροπο και ομοιογενές Αριθμηικές Μέθοδοι π.χ. πεπεραμένα οιχεία ή πεπεραμένες διαφορές Πολύ υχνά, για προκααρκικούς υπολογιμούς, χρηιμοποιείαι η Θ. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ αν ανκαι ο ο έδαφος πανίως πληρεί ις χεικές απαιήεις!!!!!!!! Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. γιαί άραγε ; ; ; ; 75

14 γιαί άραγε ; ; ; ; Είναι ημανικά απλούερη από ις άλλες δύο (αναλυικές χέεις ή διαγράμμαα, εφαρμογή επαλληλίας, κλπ.) Υπάρχουν κάποιες περιπώεις που ο έδαφος υμπεριφέρεαι πράγμαι ως γραμμικώς ελαικό Ουπολογιμόςων άεων (όχι όμως και ων παραμορφώεων) δεν είναι ιδιαίερα ευαίθηος ως προς ις ιδιόηες ου υλικού π.χ. ε Q A E, Q A, ε 0 ν ε Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 76

15 β. Χαρακηριικές λύεις από ην θεωρία ελαικόηας ομοιόμορφη ορθή φόριη q ε απειρομήκη γραμμή ομοιόμορφη ορθή πίεη ε απειρομήκη λωρίδα (πλάος b) υνθήκες επίπεδης παραμόρφωης Η παραμόρφωη καά μήκος ης φόριης είναι ε Χ 0 0 & ηανίοιχηάηείναι Χ ν ( Υ Ζ ).Συγκενρωμένο a πειρομήκες γραμμικό φορίo x xy 0, ε x 0 Επίπεδη παραμόρφωη! όλα ανεξάρηα ου x q y ( y ) y π 3 q π ( y ) q y y y π ( y ) x ν( y ) Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 77

16 . Ομοιόμορφη (κάθεη) πίεη ε απειρομήκη λωρίδα p π p y π p y sina sin a π [ a sina cos( a β )] [ a sina cos( a β )] ( β ) ν ( ) x y y p 3 π y p π p π [ a sin( a) ], sin(a ) max y [ a sin( a) ] προοχή: ο α ε ακίνια β. Χαρακηριικές λύεις από ην θεωρία ελαικόηας υνθήκες Αξονο-υμμερικής έναης (η μεαόπιη κάθεα ην ακίνα είναι U Θ 0) υγκενρωμένη ορθή δύναμη P ομοιόμορφη ορθή πίεη p ε επιφάνεια κύκλου (R) Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 78

17 3.Συγκενρωμένο ημειακό φορίο, P (F) Boussinesq,J. (890): 3 3P 3P π R π r 5 5 / ( ) ( ) P 3r ν R r (3) 3 πr R R ( ) 3P r ν P R r, 5 θ π R πr R R u P ν ( ν ) R r πer R ur P ( ν ) r ( ν ) r ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: πer R R.. ανεξάρηη ων ων E,ν E,ν (ενώ r r και και θ θ εξαρώναι μόνον από από ο ο ν) ν).. Ανίθεα οι οι μεακινήεις και και οι οι παραμορφώεις είναι είναι ανιρόφως ανάλογεςου μέρου ελαικόηαςε. Ε. Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 79

18 4.Ομοιόμορφη ορθή πίεη,p, ε κυκλική επιφάνεια 4.Ομοιόμορφη ορθή πίεη,p, ε κυκλική επιφάνεια Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 80

19 4.Ομοιόμορφη ορθή πίεη,p, ε κυκλική επιφάνεια ( ) ( ) 3 r 3 R R p p R p ν ν θ Ειδικά για ην περίπωη όπου yr0, δηλαδή καά μήκος ου άξονα: Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 8

20 Χρήιμες παραηρήεις-οδηγίες για ην εφαρμογή ων ελαικών λύεων ην πράξη π.χ. φόριη ε ΑΡΧΗ SAINT VENANT κυκλική επιφάνεια Σε απόαη μεγαλύερη από μία περίπου διάμερο ης φοριζόμενης επιφάνειας, οι άεις είναι υνάρηη ης υνιαμένης ης φόριης και όχι ης καανομής ης. Σην πράξη αυό ημαίνει όι, γιααβάθηαυάμπορούμενα χρηιμοποιούμε ις χέεις από ην Θ. Ελαικόηας ακόμη και εάν δεν ανιοιχούν η καανομή ης επιβαλλόμενης φόριης. Αρκεί βέβαια η «πραγμαική» και η «ιοδύναμη» φόριη να έχουν ην ίδια υνιαμένη Αρχή ης ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ ων φορίεων ε (Q Q.q) ε (Q ) ε (Q )... ε(q) (Q Q.q) (Q ) (Q )... (q) για παράδειγμα... Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 8

21 ΒΑΘΟΣ ΕΠΙΡΡΟΗΣ Είναι ο βάθος ο οποίο απαιείαι προκειμένου να μειωθεί η καακόρυφη πρόθεη άη ο 0% ης μέης επιβαλλόμενης ην επιφάνεια ου εδάφους Βάθος Επιρροής κυκλικού και λωριδωού φορίου p 0,0 R R 4 κύκλος λωρ ίδα ΒΑΘΟΣ ΕΠΙΡΡΟΗΣ 3 P ( r 0 ) π ( y 0 ) q π ( a) 3.3 a a υγκενρωμ ένο γραμμικ ό απειρ όμηκες Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 83

22 ΒΟΛΒΟΣ ων ΤΑΣΕΩΝ ιοαικές γραμμές ης βάθος επιρροής b : απειρομήκης λωρίδα 4b : κυκλική επιφάνεια Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 84

23 3. Bαικά ημεία κεφαλαίου. Οριμός θεικών/αρνηικών άων που ακούναι ε ΣΗΜΕΙΟ Οριμός θεικών/αρνηικών άων που ακούναι ε ΕΠΙΠΕΔΟ Κύκλος MOHR ων άεων: πως ορίζεαι & πως χρηιμοποιείαι Τάεις ε μη υνεχή μέα: Μέες άεις & άεις επαφής Τάεις ε μη υνεχή μέα: Ολικές άεις, ενεργές άεις & πιέεις πόρων ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΟΥ ΤΑΣΗΣ, παραδείγμαα που να αποδεικνύουν ο «αληθές» ης από ο εργαήριο και ην φύη Υπολογιμός (ολικών & ενεργών) καακόρυφων γεωαικών άεων, πάνω και κάω από ον υδροφόρο ορίζονα. Υπολογιμός (ολικών & ενεργών) οριζόνιων γεωαικών άεων, πάνω και κάω από ον υδροφόρο ορίζονα. Πως ορίζεαι ο Κ ο ; Τάεις λόγω εξωερικών φορίων: Εξάκηη ην εφαρμογή ων ελαικών λύεων (αναλυικές χέεις και διαγράμμαα). Αρχή ης «επαλληλίας ων φορίεων»: προϋποθέεις εφαρμογής & πρακικά οφέλη. Αρχή Saint Venant. Βάθος επιρροής και «βολβός ων άεων» Τάεις λόγω εξωερικών φορίων: Είναι ενεργές ή ολικές; Πως υπολογίζεαι ο εξωερικό φορίο που απαιείαι για να προκληθεί αοχία ε ένα ημείο ου εδάφους (ε υνδυαμό με ο κεφάλαιο 6); Πως υπολογίζεαι η υπερπίεη ων πόρων που προκαλεί η εφαρμογή εξωερικής φόριης υπό αράγγιες υνθήκες (ε υνδυαμόμεοκεφάλαιο7); Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 85

24 Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγηής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 86