Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
|
|
- Ωσαννά Βέργας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
2 ÌÜèçìá 10 ÐÁÑÁÃÙÃÏÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ - ÌÅÑÏÓ II 10.1 Áêñüôáôá êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Áêñüôáôá Ïñéóìüò (ðåñéï Þò). óôù 0 R êáé r > 0. Ôüôå ïñßæåôáé óáí ðåñéï Þ ôïõ óçìåßïõ 0 ìå áêôßíá r êáé óõìâïëßæåôáé ìå $ ( 0 ; r) Þ áðëü $ ( 0 ) ôï áíïéêôü äéüóôçìá ( 0 r; 0 + r) (Ó ). Ïñéóìüò (ôïðéêü áêñüôáôï). óôù ìßá óõíüñôçóç f D êáé óçìåßï 0 D. Ôüôå èá ëýãåôáé üôé ç f ðáñïõóéüæåé óôï 0 Ýíá ôïðéêü ìýãéóôï, áíôßóôïé á ôïðéêü åëü éóôï ôüôå êáé ìüíïí, üôáí õðüñ åé $ ( 0 ), Ýôóé þóôå f() f ( 0 ), áíôßóôïé á f() f ( 0 ) ãéá êüèå $ ( 0 ) D. Ïñéóìüò (ïëéêü áêñüôáôï). óôù ìßá óõíüñôçóç f D êáé óçìåßï 0 D. Ôüôå èá ëýãåôáé üôé ç f ðáñïõóéüæåé óôï 0 Ýíá ïëéêü ìýãéóôï, áíôßóôïé á ïëéêü åëü éóôï ôüôå êáé ìüíïí, üôáí f() f ( 0 ) áíôßóôïé á f() f ( 0 ) ãéá êüèå D. 1
3 2 ÐáñÜãùãïò óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 1.0 y r 0 r Ó Þìá : Ðåñéï Þ ôïõ óçìåßïõ 0 = 3 ìå áêôßíá r = 1. $(3; 1) = $(3) = (2; 4) Ôüôå Ïñéóìüò (èýóç áêñüôáôïõ). íá óçìåßï 0 D óôï ïðïßï ç óõíüñôçóç f ðáñïõóéüæåé ìýãéóôç, áíôßóôïé á åëü éóôç ôéìþ, èá ëýãåôáé èýóç áêñüôáôïõ (etremum) ôçò f (Ó ) Ó åôéêü èåùñþìáôá Èåþñçìá (Fermat). Áí ìßá óõíüñôçóç f D ìå D áíïéêôü äéüóôçìá ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï 0 D Ýíá ôïðéêü áêñüôáôï (ìýãéóôï Þ åëü éóôï) êáé åðß ðëýïí õðüñ åé ç ðáñüãùãïò ôçò f óôï 0, ôüôå éó ýåé f ( 0 ) = 0. Ôï áíôßóôñïöï ôïõ ðáñáðüíù èåùñþìáôïò äåí éó ýåé ðüíôïôå. ÐáñáôÞñçóåéò i) Áí ôï óçìåßï 0 åßíáé Üêñï ôïõ äéáóôþìáôïò D, ôüôå ç ðáñüãùãïò f () äåí ìçäåíßæåôáé ðüíôïôå, üðùò áõôü öáßíåôáé óôç óõíüñôçóç f() ôïõ Ó ìå ðåäßï ïñéóìïý [0:5; 4:7].
4 Áêñüôáôá êáé ó åôéêü èåùñþìáôá 3 f M 2 B 2 1 A N 1 M 1 N 2 a b Ó Þìá : Ôá óçìåßá N 2, Â, áíôßóôïé á ôá A, M 1 åßíáé èýóåéò ôïðéêïý åëü éóôïõ, áíôßóôïé á ôïðéêïý ìýãéóôïõ, åíþ ôï óçìåßï N 1, áíôßóôïé á ôï M 2 åßíáé èýóç ïëéêïý åëü éóôïõ, áíôßóôïé á ïëéêïý ìýãéóôïõ f M 2 B 2 1 A N 1 M 1 N 2 a b Ó Þìá : ÓõíÜñôçóç f() = 0: ( 4: )(9: : )(0: : ). Ç f () = 0 óôá óçìåßá N 1 ; M 1 ; N 2 ; M 2, åíþ åßíáé f (a) = f (0:5) = 5:11353 êáé f (b) = f (4:7) = 7:810628, äçëáäþ ôï Èåþñçìá ôïõ Fermat äåí åöáñìüæåôáé
5 4 ÐáñÜãùãïò óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f Ó Þìá : ÓõíÜñôçóç f() = 3. Ç f () = 3 2 ìçäåíßæåôáé óôï óçìåßï 0 = 0, áëëü ç f äåí Ý åé áêñüôáôï óôï 0 ii) Áí ç ðáñüãùãïò ìéáò óõíüñôçóçò f D ìçäåíßæåôáé óå Ýíá åóùôåñéêü óçìåßï 0 D, ôüôå äåí óõíåðüãåôáé ðüíôïôå üôé ôï óçìåßï áõôü åßíáé èýóç áêñüôáôïõ, üðùò áõôü öáßíåôáé óôç óõíüñôçóç f() = 3 üðïõ f () = 3 2 êáé ç ïðïßá ìçäåíßæåôáé óôï óçìåßï 0 = 0, åíþ ç f áíýñ åôáé óôï óçìåßï áõôü, äçëáäþ äåí ðáñïõóéüæåé áêñüôáôï (Ó ). iii) Ôá óçìåßá ðïõ ìçäåíßæåôáé ç ðñþôç ðáñüãùãïò ëýãïíôáé êáé êñßóéìá óçìåßá (critical points) ôçò óõíüñôçóçò. Äßíïíôáé ôþñá ùñßò áðüäåéîç ôá ðáñáêüôù èåìåëéþäç èåùñþìáôá ôïõ Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý. Èåþñçìá (Rolle). óôù üôé ç óõíüñôçóç f [a; â ] åßíáé óõíå Þò ãéá êüèå [a; â ] êáé åðß ðëýïí üôé õðüñ åé ç f () Þ áðåéñßæåôáé ãéá êüèå (a; â). Áí f(a) = f(â), ôüôå õðüñ åé ôïõëü éóôïí Ýíá óçìåßï (a; â), Ýôóé þóôå f () = 0. (Ó ) Èåþñçìá (ìýóçò ôéìþò). óôù üôé ç óõíüñôçóç f [a; â ] åßíáé óõíå Þò ãéá êüèå [a; â ] êáé åðß ðëýïí üôé ãéá êüèå (a; â) õðüñ åé
6 ÌåëÝôç óõíüñôçóçò 5 f 4 N 3 2 A B 1 M a b Ó Þìá : Èåþñçìá ôïõ Rolle. ÓõíÜñôçóç f() = 0: ( 5: )(2: : ). Ç f () = 0 óôá óçìåßá M = 1:45 êáé N = 4:7 ç f () Þ áðåéñßæåôáé. Ôüôå õðüñ åé ôïõëü éóôïí Ýíá óçìåßï (a; â) (Ó ), Ýôóé þóôå f () = f(â) f(a) â a : ( ) 10.2 ÌåëÝôç óõíüñôçóçò Óôçí ðáñüãñáöï áõôþ èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ åöáñìüæïíôáé ãéá ôç ìåëýôç êáé ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôïõ äéáãñüììáôïò ìéáò óõíüñôçóçò. ÓõíéóôÜôáé óôïí áíáãíþóôç åêôüò áðü ôç èåùñçôéêþ ìåëýôç, íá êüíåé êáé åöáñìïãþ ôùí áóêþóåùí ðïõ ëýíïíôáé óôï ìüèçìá ìå ìáèçìáôéêü ðáêýôá, üðùò åßíáé ôï MATHEMATICA, MATLAB ê.ëð Ìïíïôïíßá óõíüñôçóçò Áñ éêü ãßíåôáé õðåíèýìéóç ôïõ ïñéóìïý ôçò ìïíïôïíßáò ìéáò óõíüñôçóçò, ðïõ äüèçêå óôï ÌÜèçìá 3. Ôï ðåäßï ïñéóìïý D ôùí óõíáñôþóåùí èá èåùñåßôáé
7 6 ÐáñÜãùãïò óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f 4 M A B a M b Ó Þìá : Èåþñçìá ôçò ìýóçò ôéìþò. ÓõíÜñôçóç f() = 0: ( 5: )(0: ). Ç åöáðôïìýíç óôï óçìåßï M üðïõ = M = 2:55 åßíáé ðáñüëëçëç ôçò åõèåßáò AB üôé åßíáé Ýíá áíïéêôü äéüóôçìá, åêôüò êáé áí äéáöïñåôéêü ïñßæåôáé. Ïñéóìüò (ìïíïôïíßáò). óôù ç óõíüñôçóç f D êáé 1, 2 D, üðïõ ùñßò íá ðåñéïñßæåôáé ç ãåíéêüôçôá õðïôßèåôáé üôé 1 < 2. Ôüôå áí: i) f ( 1 ) f ( 2 ) ç f èá ëýãåôáé áýîïõóá êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå. ii) f ( 1 ) f ( 2 ) ç f èá ëýãåôáé öèßíïõóá êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå. Êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò ç óõíüñôçóç èá ëýãåôáé ìïíüôïíç. iii) f ( 1 ) < f ( 2 ) ç f èá ëýãåôáé ãíþóéá áýîïõóá êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå. iv) f ( 1 ) > f ( 2 ) ç f èá ëýãåôáé ãíþóéá öèßíïõóá êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå. Óôéò ðåñéðôþóåéò (iii) êáé (iv) ç óõíüñôçóç èá ëýãåôáé ãíþóéá ìïíüôïíç.
8 Ìïíïôïíßá óõíüñôçóçò 7 ÈåùñÞìáôá ó åôéêü ìå ôç ìïíïôïíßá Èåþñçìá Áí ç óõíüñôçóç f D ðáñáãùãßæåôáé ãéá êüèå D êáé éó ýåé f () = 0 ãéá êüèå D, ôüôå ç f Ý åé óôáèåñþ ôéìþ óôï D êáé áíôßóôñïöá. Ðüñéóìá óôù üôé ïé óõíáñôþóåéò f; g D åßíáé ðáñáãùãßóéìåò ãéá êüèå D. Ôüôå ïé óõíáñôþóåéò èá Ý ïõí ßóåò ðáñáãþãïõò ôüôå êáé ìüíïí, üôáí ç äéáöïñü ôïõò åßíáé ìßá óôáèåñþ óõíüñôçóç óôï D. Èåþñçìá (Ýëåã ïò ìïíïôïíßáò). óôù üôé ç óõíüñôçóç f D ðáñáãùãßæåôáé ãéá êüèå D. Ôüôå i) áí f () > 0 ãéá êüèå D, ç f åßíáé ãíþóéá áýîïõóá, ii) áí f () 0 ãéá êüèå D, ç f åßíáé áýîïõóá, iii) áí f () < 0 ãéá êüèå D, ç f åßíáé ãíþóéá öèßíïõóá, iv) áí f () 0 ãéá êüèå D, ç f åßíáé öèßíïõóá. ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç f() = 2 ( 2) ìå f () = (3 4): Ïé ñßæåò ôçò f åßíáé 1 = 0 ìå ðïëëáðëüôçôá 2 êáé 2 = 2 ìå ðïëëáðëüôçôá 1, åíþ ôá êñßóéìá óçìåßá ôçò f åßíáé c 1 = 0 êáé c 2 = 4 3. Ôï ðñüóçìá ôçò ðñþôçò ðáñáãþãïõ äßíïíôáé óôïí Ðßíáêá , åíþ ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò f() óôï Ó , üðïõ ðñïöáíþò áðü ôïí ôýðï ôçò f() ðñïêýðôåé üôé lim f() = êáé lim f() = + : +
9 8 ÐáñÜãùãïò óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f c 1 1 c Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá Ðßíáêáò ÓõíÜñôçóç f f áêñüôáôá ma min
10 Õðïëïãéóìüò áêñüôáôùí Õðïëïãéóìüò áêñüôáôùí Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ôá èåùñþìáôá óýìöùíá ìå ôá ïðïßá õðïëïãßæïíôáé ôá áêñüôáôá ìéáò óõíüñôçóçò, üôáí õðüñ ïõí. Èåþñçìá Áí ç óõíüñôçóç f (a; b) åßíáé óõíå Þò êáé ðáñáãùãßóéìç ãéá êüèå (a; b), ôüôå ïé ðáñáêüôù ðñïôüóåéò åßíáé éóïäýíáìåò i) ç óõíüñôçóç f ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï 0 (a; b) áêñüôáôï, ii) ç ðáñüãùãïò ôçò f ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï 0 áëëáãþ ðñïóþìïõ. ÐáñáôÞñçóç ÅðåéäÞ ôï ðñüóçìï ôçò ðñþôçò ðáñáãþãïõ óõíäýåôáé ìå ôçí ìïíïôïíßá ôçò óõíüñôçóçò, ôüôå óýìöùíá ìå ôï Èåþñçìá , üôáí ç óõíüñôçóç åßíáé áýîïõóá áñéóôåñü ôïõ óçìåßïõ 0 êáé öèßíïõóá äåîéü ôïõ, ôï óçìåßï 0 èá åßíáé èýóç ìåãßóôïõ, åíþ, üôáí åßíáé öèßíïõóá áñéóôåñü ôïõ óçìåßïõ 0 êáé áýîïõóá äåîéü ôïõ, ôï 0 èá åßíáé èýóç åëá ßóôïõ. ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç f() = 2 ( 2) ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò Ôüôå óýìöùíá ìå ôçí ÐáñáôÞñçóç êáé ôïí Ðßíáêá , ç óõíüñôçóç ðñýðåé íá ðáñïõóéüæåé ìýãéóôï óôï óçìåßï = 0, åðåéäþ óôï óçìåßï áõôü áðü áýîïõóá ãßíåôáé öèßíïõóá êáé åëü éóôï óôï = 4 3, åðåéäþ áðü öèßíïõóá ãßíåôáé áýîïõóá (Ó ). Èåþñçìá óôù ç óõíüñôçóç f D, ôýôïéá þóôå íá õðüñ åé ç f () óôï D êáé íá åßíáé óõíå Þò, åíþ ãéá Ýíá óçìåßï 0 D íá éó ýåé f ( 0 ) = 0 (êñßóéìï óçìåßï). Ôüôå, áí õðüñ åé êáé ç f () óôï D êáé éó ýåé f ( 0 ) < 0, áíôßóôïé á f ( 0 ) > 0, ç f ðáñïõóéüæåé óôï 0 ìýãéóôï, áíôßóôïé á åëü éóôï.
11 10 ÐáñÜãùãïò óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 1.0 f c Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ôï äéüãñáììá ôçò óõíüñôçóçò f() = e 2 ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç f() = e 2 : Áðü ôïí ïñéóìü ôçò åêèåôéêþò óõíüñôçóçò ðñïöáíþò ðñïêýðôåé üôé Åðßóçò åßíáé lim f() = lim f() = 0: + f () = 2e 2 ìå ñßæá (êñßóéìï óçìåßï) c 0 = 0: Ôüôå, åðåéäþ ( f () = ) e 2 êáé f (c 0 ) = f (0) = 2 < 0; ç f óýìöùíá ìå ôï Èåþñçìá èá ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï c 0 = 0 ìýãéóôï (ïëéêü) ìå ôéìþ f (c 0 ) = f(0) = 1 (Ó ). ÐïëëÝò öïñýò ç ñßæá ôçò 1çò ðáñáãþãïõ åßíáé êáé ñßæá ôçò 2çò ðáñáãþãïõ ê.ëð. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ï Ýëåã ïò ôçò ýðáñîçò áêñüôáôïõ ãßíåôáé ìå ôï ðáñáêüôù èåþñçìá.
12 Õðïëïãéóìüò áêñüôáôùí 11 Èåþñçìá óôù ç óõíüñôçóç f D üðïõ D áíïéêôü äéüóôçìá, ôýôïéá þóôå íá õðüñ ïõí ïé ðáñüãùãïé ôçò f óôï D ìý ñé êáé ôüîçò 2 1. óôù åðßóçò üôé ãéá êüðïéï 0 D éó ýåé üôé f (k) ( 0 ) = 0 ãéá êüèå k = 1; 2; : : : ; 2 1. Áí ç óõíüñôçóç f (2 1) () åßíáé óõíå Þò óôï D êáé õðüñ åé ç f (2) () êáé åßíáé f (2) ( 0 ) < 0, áíôßóôïé á f (2) ( 0 ) > 0, ôüôå ç f ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï 0 ìýãéóôï, áíôßóôïé á åëü éóôï. ÐáñÜäåéãìá Ç óõíüñôçóç f() = 5 äåí ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï 0 = 0 áêñüôáôï (Ó a), åðåéäþ f (5) ( 0 ) = 120, äçëáäþ ç ôüîç ôçò ìç ìçäåíéêþò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ôçò f åßíáé 5 (ðåñéôôüò áñéèìüò), ïðüôå äåí åöáñìüæåôáé ôï Èåþñçìá , åíþ ç g() = (2 ) 4 ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï 0 = 1 2 áêñüôáôï, åðåéäþ åßíáé g(4) ( 0 ) = 384, äçëáäþ ç ôüîç ôçò ìç ìçäåíéêþò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ åßíáé 4 (Üñôéïò áñéèìüò). ñá ôï Èåþñçìá åöáñìüæåôáé êáé, åðåéäþ g (4) ( 0 ) = 384 > 0, ôï áêñüôáôï åßíáé åëü éóôï (Ó b). f 100 g (a) (b) Ó Þìá : (á) ÓõíÜñôçóç f() = 5 êáé (b) ç g() = (2 1) 4 ìå 0 = 0:5
13 12 ÐáñÜãùãïò óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Õðïëïãéóìüò óçìåßùí êáìðþò, áóýìðôùôùí åõèåéþí óôù ôþñá üôé ç óõíüñôçóç f D Ý åé 2çò ôüîçw ðáñüãùãï óôï D. Ç ìåëýôç ôïõ ðñïóþìïõ ôçò f äßíåé ðñüóèåôåò ðëçñïöïñßåò ãéá ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò f êáé óõãêåêñéìýíá ãéá ôçí êáìðõëüôçôü ôçò (curvature Þ concavity). Åéäéêüôåñá ôá óçìåßá óôá ïðïßá ç 2ç ðáñüãùãïò áëëüæåé ðñüóçìï, ïñßæïõí ôá ëåãüìåíá óçìåßá êáìðþò (inection points) ôïõ äéáãñüììáôïò ôçò f. ÓõãêåêñéìÝíá óôçí ðåñßðôùóç áõôþ éó ýïõí: i) Áí f () > 0 ãéá êüèå D; óýìöùíá ìå ôï Èåþñçìá ç 1ç ðáñüãùãïò ôçò f èá åßíáé áýîïõóá óôï D êáé áíôßóôñïöá. Ôüôå üìùò, êáèþò ôï áõîüíåé óôï D, ï áíôßóôïé ïò óõíôåëåóôþò äéåýèõíóçò ôçò åöáðôïìýíçò óôï óçìåßï (; f()) èá áõîüíåé åðßóçò. Áõôü Ý åé óáí óõíýðåéá ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò f íá âñßóêåôáé ðüíù áðü ôçí åöáðôïìýíç åõèåßá Þ üðùò óõíþèùò ëýãåôáé, ç f óôñýöåé ôá êïßëá Üíù (concave upwards) óôï D. ii) ¼ìïéá, áí f < 0 ãéá êüèå D; ôüôå ç f óôñýöåé ôá êïßëá êüôù (concave downwards) óôï D. ÐáñáôÞñçóåéò i) Ðñïöáíþò óôá óçìåßá êáìðþò åßíáé f () = 0, äéáöïñåôéêü ïé ñßæåò ôçò 2çò ðáñáãþãïõ åßíáé ðéèáíü óçìåßá êáìðþò. ÅðïìÝíùò ç óõíèþêç f () = 0 åßíáé áíáãêáßá, áëëü ü é êáé éêáíþ. 1 ii) Ôá óçìåßá êáìðþò åßíáé åðßóçò äõíáôüí íá êáôçãïñéïðïéçèïýí áðü ôïí áíôßóôïé ï ìçäåíéóìü Þ ìç ôçò 1çò ðáñáãþãïõ. ÓõãêåêñéìÝíá, Ýóôù üôé 0 åßíáé Ýíá óçìåßï êáìðþò, ïðüôå f ( 0 ) = 0. Ôüôå: a. áí åßíáé åðßóçò f ( 0 ) = 0, ôï 0 ëýãåôáé óôáèåñü (stationary) Þ óáãìáôéêü (saddle) óçìåßï êáìðþò, åíþ áí 1 ÂëÝðå Èåþñçìá êáé ÐáñÜäåéãìá
14 Õðïëïãéóìüò óçìåßùí êáìðþò, áóýìðôùôùí åõèåéþí 13 b. f ( 0 ) 0, ôï óçìåßï 0 ëýãåôáé ìç óôáèåñü (non-stationary) óçìåßï êáìðþò. ii) Áí åßíáé f ( 0 ) = 0, åíþ óôï 0 ç f äåí áëëüæåé ðñüóçìï, ôüôå ôï 0 ëýãåôáé óçìåßï êõìáôéóìïý (undulation Þ hypere point) ôïõ äéáãñüììáôïò. 2 ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç ( ) f() = ìå ñßæåò 1 = 1; 2 = 0 ìå ðïëëáðëüôçôá 3 êáé 3 = 1: Ç f åßíáé ðåñéôôþ, ïðüôå ôï äéüãñáììü ôçò èá åßíáé óõììåôñéêü ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí Ï. Ç 1ç ðáñüãùãüò ôçò åßíáé ìå ñßæåò (êñßóéìá óçìåßá) ( ) f () = c 1 0:78; c 2 = 0 ìå ðïëëáðëüôçôá 2 êáé c 3 0:78; åíþ ç 2ç ðáñüãùãüò ôçò ( ) f () = ìå ñßæåò d 1 0:6; d 2 = 0 êáé d 3 0:6: Ôüôå õðïëïãßæïíôáò ôéò ôéìýò ôçò 2çò ðáñáãþãïõ óôá êñßóéìá óçìåßá, äéáöïñåôéêü åîåôüæïíôáò ôç ìïíïôïíßá ôçò f, ðñïêýðôåé üôé: ç f ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï c 1 0:8 ìýãéóôï, åðåéäþ f ( 0:8) < 0, äéáöïñåôéêü åðåéäþ ç f áðü áýîïõóá ãßíåôáé öèßíïõóá, 2 ÂëÝðå óçìåßï 0 = 0:5 óôï Ó b.
15 14 ÐáñÜãùãïò óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá f f f ma min f c 1 d 1 2 d 2 d 3 c c Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá óôï c 3 0:8 åëü éóôï, åðåéäþ f (0:8) > 0, äéáöïñåôéêü åðåéäþ ç f áðü öèßíïõóá ãßíåôáé áýîïõóá, åíþ ãéá ôï óçìåßï 0 Ý ïõìå f (0) = 0, åíþ f (3) (0) = 24 < 0 (ðåñéôôþ ôüîç), ïðüôå óýìöùíá ìå ôï Èåþñçìá äåí õðüñ åé áêñüôáôï ôçò f. Áðü ôï ðñüóçìï ôçò 2çò ðáñáãþãïõ ðñïêýðôåé üôé ôï äéüãñáììá ôçò f Ý åé óçìåßá êáìðþò ôá d 1 0:6; d 2 = 0 êáé d 3 0:6, åðåéäþ ç f áëëüæåé ðñüóçìï óôá óçìåßá áõôü êáé åðß ðëýïí óôñýöåé ôá êïßëá êüôù óôá äéáóôþìáôá ( ; 0:6) êáé (0; 0:6), åðåéäþ
16 Õðïëïãéóìüò óçìåßùí êáìðþò, áóýìðôùôùí åõèåéþí 15 óôá áíôßóôïé á äéáóôþìáôá åßíáé f () < 0, åíþ óôá ( 0:6; 0) êáé (0:6; ) ðñïò ôá Üíù,, åðåéäþ åßíáé f () > 0 (Ó ). ÔÝëïò, åðåéäþ ôï óçìåßï d 2 = 0 åßíáé ñßæá êáé ôçò 1çò ðáñáãþãïõ, óýìöùíá ìå ôéò ÐáñáôçñÞóåéò (iia) ôï óçìåßï áõôü èá åßíáé óáãìáôéêü. Áóýìðôùôåò åõèåßåò Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ïé ðáñáêüôù ïñéóìïß, ðïõ áöïñïýí ôéò ëåãüìåíåò áóýìðôùôåò (asymptotes) åõèåßåò ôïõ äéáãñüììáôïò ìéáò óõíüñôçóçò. Ïñéóìüò (ïñéæüíôéá áóýìðôùôç). óôù ìßá óõíüñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý ôçò ìïñöþò ( ; ã), áíôßóôïé á (ã; + ). Ôüôå ç åõèåßá y = a + b èá ëýãåôáé ïñéæüíôéá áóýìðôùôç (horizontal asymptote) ôïõ äéáãñüììáôïò ôçò f, üôáí lim [f() (a + b)] = 0 ; áíôßóôïé á lim [f() (a + b)] = 0: + + Ôüôå áðü ôïí ðáñáðüíù ïñéóìü ðñïêýðôåé üôé a = f() lim + êáé b = lim [f() a] ( ) + ¼ìïéá ïñßæåôáé êáé ç ðëüãéá áóýìðôùôç (oblique Þ slant) åõèåßá y = a + b; üôáí a 0; åíþ éó ýïõí áíüëïãïé ôýðïé õðïëïãéóìïý ôùí a; b. Ïñéóìüò (êáôáêüñõöç áóýìðôùôç åõèåßá). óôù ìßá óõíüñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý Ýíá ôïõëü éóôïí áíïéêôü äéüóôçìá ôçò ìïñöþò (ã; ä). Ôüôå ç åõèåßá = áíôßóôïé á = èá ëýãåôáé êáôáêüñõöç áóýìðôùôç (vertical asymptote) ôïõ äéáãñüììáôïò ôçò f, üôáí lim f() = + Þ lim f() = ; ( ) +0 +0
17 16 ÐáñÜãùãïò óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ÓõíÜñôçóç f() = +2 1 áíôßóôïé á lim f() = + Þ lim f() = : ( ) ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç f() = ìå ðåäßï ïñéóìïý D = ( ; 1) (1; + ). êáôáêüñõöç áóýìðôùôç ôçò f, åðåéäþ Ôüôå ç åõèåßá = 1 åßíáé åíþ lim f() = êáé lim f() = + ; lim f() = lim f() = 1; + ðïõ óçìáßíåé üôé ç åõèåßá y = 1 åßíáé ïñéæüíôéá áóýìðôùôç ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò ôçò f (Ó ).
18 ÁóêÞóåéò Õðïëïãéóìüò óçìåßùí êáìðþò, áóýìðôùôùí åõèåéþí Íá ìåëåôçèïýí êáé íá ðáñáóôáèïýí ãñáöéêü ïé ðáñáêüôù óõíáñôþóåéò f(): i) vii) + 1 i) viii) (1 + ) e iii) e sin i) 2 ln iv) [ ep 1 ] v) ep [ 1 ] 2 ) i) sin 2 sin cos vi) ln( 2) ii) 2. Íá ãßíåé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôùí áíôßóôñïöùí ôñéãùíïìåôñéêþí, õðåñâïëéêþí êáé áíôßóôñïöùí õðåñâïëéêþí óõíáñôþóåùí. 3. ¼ìïéá ôùí ðïëõùíýìùí 2ïõ êáé 3ïõ âáèìïý ôùí Legendre, Laguerre êáé Hermite. 4. Äýï áíôßèåôá çëåêôñéêü öïñôßá q 1 êáé q 2 åßíáé ôïðïèåôçìýíá óôá óçìåßá A êáé B áíôßóôïé á, üðïõ (AB) = d óôáèåñü. Óôï óçìåßï M ìå (AM) = ôçò åõèåßáò AB ç Ýíôáóç E ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ åßíáé E = 1 4ðå 0 [ ] q1 2 q 2 + (d ) 2 : Íá õðïëïãéóôåß ôï óçìåßï åêåßíï ôçò åõèåßáò AB ãéá ôï ïðïßï ç Ýíôáóç E åßíáé åëü éóôç. 5. Ôï êáëþäéï õðïèáëüóóéïõ ôçëýãñáöïõ áðïôåëåßôáé áðü äýóìç óõñìüôùí áëêïý ìå ìïíùôéêü õëéêü åîùôåñéêü (ôïìþ êõêëéêþ). óôù ï ëüãïò ôçò áêôßíáò ôçò äýóìçò ðñïò ôï ðü ïò ôïõ ìïíùôéêïý. Ôüôå ç ôá ýôçôá äéüäïóçò ôùí óçìüôùí äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç v = a 2 ln :
19 18 ÐáñÜãùãïò óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Íá õðïëïãéóôåß ç ôéìþ ôïõ, Ýôóé þóôå ç ôá ýôçôá íá åßíáé ìýãéóôç. 6. Ç éó ýò P ðïõ ðáñüãåôáé áðü Ýíá çëåêôñéêü óôïé åßï óôáèåñþò çëåêôñåãåñôéêþò äýíáìçò E êáé óôáèåñþò åóùôåñéêþò áíôßóôáóçò r, üôáí äéýñ åôáé ñåýìá äéá ìýóïõ óôáèåñþò åîùôåñéêþò áíôßóôáóçò R, åßíáé P = E2 R (r + R) 2 : Íá õðïëïãéóôåß ç ôéìþ ôïõ R, ðïõ êáèéóôü ôçí éó ý ìýãéóôç. 7. Ç êßíçóç åêêñåìïýò, üôáí ëçöèåß õð' üøéí êáé ç áíôßóôáóç ôïõ áýñá, äßíåôáé áðü ôïí ôýðï è(t) = c e kt cos(ùt + ö); üôáí c; k > 0, ù 0, ö óôáèåñýò êáé è ç ôéìþ ôçò ãùíßáò ðïõ ó çìáôßæåé ôï íþìá ìå ôçí äéåýèõíóç ôçò êáôáêïñýöïõ. Íá õðïëïãéóôïýí ïé ñïíéêýò óôéãìýò, ðïõ ç ãùíßá è ãßíåôáé ìýãéóôç. 3 3 Áðáãïñåýåôáé ç áíáäçìïóßåõóç Þ áíáðáñáãùãþ ôïõ ðáñüíôïò óôï óýíïëü ôïõ Þ ôìçìüôùí ôïõ ùñßò ôç ãñáðôþ Üäåéá ôïõ Êáè. Á. ÌðñÜôóïõ. bratsos@teiath.gr URL:
20 Âéâëéïãñáößá [1] ÌðñÜôóïò, Á. (2011), ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 978{960{351{874{7. [2] ÌðñÜôóïò, Á. (2002), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 960{351{453{5/978{960{351{453{4. [3] ÎÝíïò È. (2008), ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò, Åêäüóåéò ÆÞôç, ISBN 978{ 960{456{092{9. [4] Finney R. L., Giordano F. R. (2004), Áðåéñïóôéêüò Ëïãéóìüò ÉÉ, ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, ISBN 978{960{524{184{1. [5] Spiegel M., Wrede R. (2006), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Ôæéüëá, ISBN 960{418{087{8. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Page
21 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
22 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, Αθανάσιος Μπράτσος. «Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI». Έκδοση: 1.0. Αθήνα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2
( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότερα2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότεραÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí 3.1.1 Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò,
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 8: Τριπλά Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 4: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.
Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 1: Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙII Ενότητα 1: Μετασχηματισμός aplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Αναλυτική Γεωμετρία Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Πολιτικών Μηχ.ΤΕ και Μηχ. Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí
165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò
Διαβάστε περισσότεραÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
Διαβάστε περισσότερα1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Διαβάστε περισσότεραΠΙΝΑΚΕΣ. Θερμοδυναμική 2012 Σελίδα 292
ΠΙΝΑΚΕΣ 2012 Σελίδα 292 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες: Ιδανικά αέρια Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 3: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση
Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß
ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 9: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων
Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 1: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότερα1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων
1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΒάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ενότητα 3: Μοντέλα βάσεων δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικό Σχέδιο - CAD
Τεχνικό Σχέδιο - CAD Προσθήκη Διαστάσεων & Κειμένου ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Εντολές προσθήκης διαστάσεων & κειμένου Στο βασική (Home)
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 2: Οργάνωση και Διοίκηση Εισαγωγή Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙII Ενότητα : Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 11: Θεωρία Οργάνωσης & Διοίκησης Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ)
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ) Ενότητα 6: Εναλλασσόμενα τριφασικά κυκλώματα μόνιμης κατάστασης Δ.Ν. Παγώνης Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Διαβάστε περισσότερα1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Διαβάστε περισσότερα