ιέγερση από το βιβλίο «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων», Ν. Μάργαρη

Transcript

1 Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Κυκλώµατα µε Ηµιτονοειδή ιέγερση από το βιβλίο «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων», Ν. Μάργαρη Πρόβληµα Το κύκλωµα δύο ακροδεκτών του Σχ. διεγείρεται από ηµιτονοειδή πηγή τάσης µε κυµατοµορφή v s (t) V ηµωt V. Να γραφεί η εξίσωση του βρόχου του κυκλώµατος στη συνέχεια να διαµορφωθεί η διαφορική εξίσωση που περιγράφει τη λειτουργία του. Τέλος να προσδιοριστεί το ρεύµα που διαρρέει τους κλάδους του κυκλώµατος στην ηµιτονοειδή µόνιµη κατάσταση ισορροπίας µε τη µέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών. Αριθµητική εφαρµογή: V 4,4V, ω 34 rad/s, Ω L 0,005H. i L v s Σχήµα i L L v s i v L v i Σχήµα (α) Οι νόµοι του Kirchhoff στο κύκλωµα του Σχ.(α) απαιτούν την ικανοποίηση των εξισώσεων v i i i( t) L () v v () L s Αντικαθιστώντας τις σχέσεις v-i των στοιχείων του κυκλώµατος η Εξ.() γίνεται 73

2 ή L di dt L di dt i v (3) s i V ηµωt (4) Θεωρώντας ότι τι κύκλωµα βρίσκεται σε µόνιµη ηµιτονοειδή κατάσταση ισορροπίας δεχό- µαστε ότι το ρεύµα που το διαρρέει έχει τη γενική µορφή Αντικαθιστώντας την Εξ.(5) στην Εξ.(4) έχουµε i ( t ) iss ( t ) Iηµ ( ωt φ ) (5) Θέτουµε οπότε ή Επειδή προκύπτει I [ συν( ωt φ) ηµ ( ωt φ )] V ηµωt (6) εφz (7) Lω ηµz I [ συν( ωt φ) ηµ ( ωt φ )] V ηµωt συνz (8) I [ συν( ωt φ) συνz ηµzηµ ( ωt φ)] ηµωt συνz (9) συνz (0) εφz ωl I π ωl συν( ωt φ z) ηµωt συν( ωt ) () Από την Εξ.() συµπεραίνουµε ότι I () ω L π π φ z εφ (3) Lω Τελικά, το ρεύµα που διαρρέει τους κλάδους του κυκλώµατος προκύπτει Εφαρµογή: i ( t ) iss ( t ) Iηµ ( π ωt εφ ) Lω (4) I V ω L 4, 4 ( ) ( 34) ( ) 4, A 8. 65

3 φ εφ π εφ π Lω. 57 i iss. 64ηµ ( ωt ), Α Πρόβληµα Το κύκλωµα δύο ακροδεκτών του Σχ. διεγείρεται από πηγή ηµιτονοειδούς ρεύ- µατος µε κυµατοµορφή i s (t)i συνωt Α. Να γραφεί η εξίσωση του κόµβου του κυκλώµατος στη συνέχεια να διαµορφωθεί η ολοκληροδιαφορική εξίσωση που περιγράφει τη λειτουργία του. Κατόπιν, να υπολογιστεί η τάση ακροδεκτών τα ρεύµατα των τριών κλάδων του κυκλώµατος στην ηµιτονοειδή µόνιµη κατάσταση ισορροπίας µε τη µέθοδο των προδιοριστέων συντελεστών. Αριθµητική εφαρµογή: I 4,4A, ω 34 rad/s, Ω, L 0,5H C 0,F. i i C i L i s v Ω F H Σχήµα Οι νόµοι του Kirchhoff στο κύκλωµα του Σχ. απαιτούν την ικανοποίηση των εξισώσεων v v vc vl () i ic il is () Αντικαθιστώντας τις σχέσεις v-i των στοιχείων του κυκλώµατος η Εξ.() γίνεται dv v (t) dt L (3) C C v L(t)dt i s(t) Θεωρώντας ότι τι κύκλωµα βρίσκεται σε µόνιµη ηµιτονοειδή κατάσταση ισορροπίας δεχό- µαστε ότι το ρεύµα που το διαρρέει έχει τη γενική µορφή Αντικαθιστώντας την Εξ.(4) στην Εξ.(3) έχουµε v ( t ) vss ( t ) συν ( ωt φ ) (4) ή Cωηµ ( ωt φ) συν( ωt φ) ηµ ( ωt φ) Iσυνωt (5)

4 Θέτουµε οπότε ή Επειδή προκύπτει συν(ωt φ) ( Cω)ηµ(ωt φ) Iσυνωt (6) εφz ( Cω) (7) V συνz συν( ωt φ) συνz ηµ ( ωt φ) ηµz I συνωt (8) ( ωt φ z ) I συνωt συνz (9) συνz εφ z ( Cω) (0) ( Cω) συν( ωt φ z) Iσυνωt () Από την Εξ.() συµπεραίνουµε ότι I () ( Cω) φ z εφ ( Cω) (3) Τελικά, η τάση ακροδεκτών του κυκλώµατος προκύπτει Εφαρµογή: v ( t ) vss ( t ) συν ( ωt εφ ( Cω )) (4) I 4, 4 ( Cω) ( 3, 4) , 45 Α φ εφ ( Cω εφ ) ( εφ 3, 4) ( 3, 4) 89, v vss 0, 45συν( ωt 89, 08 ) Α

5 Πρόβληµα 3 Τα προβλήµατα να λυθούν µε τη µέθοδο των στρεφόµενων διανυσµάτων στο πεδίο του χρόνου. i L L v s i v L v i Σχήµα 3(α) (α) Οι νόµοι του Kirchhoff στο κύκλωµα του Σχ.3(α) απαιτούν την ικανοποίηση των εξισώσεων il i i () v v v () L s Αντικαθιστώντας τις σχέσεις v-i των στοιχείων του κυκλώµατος η Εξ.() γίνεται L di dt i v (3) Θεωρώντας ότι τι κύκλωµα βρίσκεται σε µόνιµη ηµιτονοειδή κατάσταση ισορροπίας δεχό- µαστε ότι jωt vs ηµ ( ωt φ) I{ Ie } (4) j( ωt ϕ) i iss Iηµ ( ωt φ) I{ Ie } (5) Αντικαθιστώντας τις Εξ.(4) (5) στην Εξ.(3) προκύπτει η σχέση s j( ωt ϕ) jωt I{( j ) Ie } I{ e } (6) από την οποία διαπιστώνουµε ότι ισχύει η σχέση Από την Εξ.(0) προκύπτει όπου I e jϕ ( j ) Ie V jlω jϕ jθ θ εφ Lω V L ω e (0) () ()

6 Από την Εξ.() συµπεραίνουµε ότι I V L ω φ εφ Lω (3) (4) Τελικά, το ρεύµα που διαρρέει τους κλάδους του κυκλώµατος προκύπτει i i t ηµ ωt εφ Lω ss ( ) ( ) L ω (5) i i C i L i s v Ω F H Σχήµα 3(β) (β) Οι νόµοι του Kirchhoff στο κύκλωµα του Σχ.3(β) απαιτούν την ικανοποίηση των εξισώσεων v v vc vl () i ic il is () Αντικαθιστώντας τις σχέσεις v-i των στοιχείων του κυκλώµατος η Εξ.() γίνεται dv v (t) dt L (3) C C v L(t)dt i s(t) Θεωρώντας ότι τι κύκλωµα βρίσκεται σε µόνιµη ηµιτονοειδή κατάσταση ισορροπίας δεχό- µαστε ότι jωt is Iσυνωt e{ Ie } (4) j( ωt ϕ) v vss συν( ωt φ) e{ e } (5) Αντικαθιστώντας τις Εξ.(4) (5) στην Εξ.(3) έχουµε j( ωt ϕ) jωt e{[ j( ωc )] e } e{ Ie } Lω (6) από την οποία διαπιστώνουµε ότι ισχύει η σχέση

7 [ ( jϕ j ωc )] e I Lω (7) Από την Εξ.(7) συµπεραίνουµε ότι jϕ I I jθ e e (8) j( ωc ) ( Cω ) Lω όπου θ εφ ( Cω ) (9) Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει I Cω (0) ( ) φ εφ ( Cω ) () Τελικά, η τάση ακροδεκτών του κυκλώµατος προκύπτει v vss I συν( ωt εφ ( Cω )) ( Cω ) () Πρόβληµα 4 Να µετασχηµατιστεί στο πεδίο της συχνότητας το κύκλωµα του Σχ. στη συνέχεια να βρεθεί το ρεύµα ακροδεκτών στο πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου. I L j V s I V L V I Σχήµα 4 Εφαρµόζοντας τους νόµους του kirchhoff στο κύκλωµα του Σχ.4 προκύπτουν οι εξισώσεις

8 I IL I () VL V Vs () Αντικαθιστώντας τις σχέσεις V-I των στοιχείων του κυκλώµατος η Εξ.() γίνεται οπότε ji I Vs (3) Vs Vs I jlω L ω εφ Lω (4) Τελικά, αντικαθιστώντας τις τιµές των µεγεθών προκύπτει I 90 εφ j i. 86 συν( ωt 8. 3 ). 86 ηµ ( ωt ), Α Πρόβληµα 5 Να µετασχηµατιστεί στο πεδίο της συχνότητας το κύκλωµα του Σχ. στη συνέχεια να βρεθεί η τάση ακροδεκτών στο πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου. I I C I L I s V /jωc jlω Σχήµα 5 Οι νόµοι του Kirchhoff στο κύκλωµα του Σχ.5 απαιτούν την ικανοποίηση των εξισώσεων V V VC VL () I IC IL Is () Αντικαθιστώντας τις σχέσεις v-i των στοιχείων του κυκλώµατος λαµβάνοντας υπόψη την Εξ. (), η Εξ.() γίνεται V V jωcv Is (3) j ή

9 οπότε V j(ωc ) s V I (4) Ι εφ ( ωc ) (5) ( ωc ) Τελικά, στο πεδίο του χρόνου έχουµε v I συν( ωt εφ ( Cω )) ( ωc ) (6) Πρόβληµα 6 Να µετασχηµατιστεί το κύκλωµα του Σχ.6 στο πεδίο της συχνότητας. ίνεται vs 00 συν000t (V) vs 00 ηµ ( 000t 60 ) (V). i v s L C αi v s Σχήµα 6 Οι τάσεις τα ρεύµατα των κλάδων αντικαθίστανται από στρεφόµενα διανύσµατα, ενώ οι χωρητικότητες οι αυτεπαγωγές αντικαθίστανται µε χωρητικές επαγωγικές αντιδράσεις αντίστοιχα. Με αυτόν τον τρόπο το κύκλωµα µετασχηµατίζεται σε αυτό του Σχ.6(α). I V s j -j/ωc αi V s (α)

10 I 00<0 o j03 L -j/0 3 C αi 00<30 o (β) Σχήµα 6 Στη συνέχεια αντικαθίστανται οι αριθµητικές τιµές, οπότε προκύπτει το κύκλωµα του Σχ.6(β). Στο σηµείο αυτό πρέπει να σηµειωθεί ότι, πριν από την αντικατάσταση των πηγών µε στρεφό- µενα διανύσµατα, αυτές πρέπει να εκφραστούν µε τον ίδιο τριγωνοµετρικό αριθµό. Για παράδειγµα, η πηγή v s (t) πρέπει να γραφεί ως π vs 00 ηµ ( 000t 60 ) 00 συν( 000t 60 ) 00 συν ( 000t 30 ) V