ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Πιστωτικός Κίνδυνος. Διάλεξη 2: Pricing Defaultable Assets. Μιχάλης Ανθρωπέλος

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Πιστωτικός Κίνδυνος. Διάλεξη 2: Pricing Defaultable Assets. Μιχάλης Ανθρωπέλος"

Τωβίτ Αναγνωστάκης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πιστωτικός Κίνδυνος Διάλεξη 2: Pricing Defaultable Assets Μιχάλης Ανθρωπέλος Μιχάλης Ανθρωπέλος Pricing Defaultable Assets Credit Risk 1 / 11

2 Τιμολόγηση με σταθερή ένταση αθέτησης Με την χρήση της έντασης αθέτησης μπορούμε να τιμολογήσουμε την παρούσα αξία ενός ποσού που θα δοθεί σε ένα μελλοντικό χρόνο T, από έναν υπόχρεο ο οποίος έχει θετική πιθανότητα αθέτησης (pricing of a defaultable zero-coupon bond). Έστω ότι το ποσό είναι μια νομισματική μονάδα και η ένταση αθέτησης είναι σταθερή και ίση με λ > 0. Αναμενόμενη παρούσα αξία λαμβάνοντας υπόψη τις risk-neutral πιθανότητες αθέτησης: B T 0 = E [ e rt ( I {τ>t} + gi {τ T} )] = e rt ( e λt + g(1 e λt ) ) = B f,t 0 Bf,T 0 (1 g)p(d T), όπου B f,t 0 = e rt (present value of risk-free investment). Όταν το ποσοστό ανάκτησης είναι μηδέν, τότε: B T 0 = e (r+λ)t Το επιτόκιο προεξόφλησης επαυξάνεται με την ένταση αθέτησης! Αυτό είναι και το πλεονέκτημα αυτής της μοντελοποίησης.

3 Τιμολόγηση με σταθερή ένταση αθέτησης To bond (ή yield) spread ορίζεται ως η διαφορά ανάμεσα στην απόδοση στην λήξη (yield to maturity) μιας ομολογίας μηδενικού κινδύνου και μιας ομολογίας με θετική πιθανότητα αθέτησης. Στην περίπτωση ομολόγων χωρίς κουπόνια (zero-coupon bond) και με μηδενικό ποσοστό ανάκτησης, τότε ο υπολογισμός είναι απλός: Bond spread = Ένταση αθέτησης = λ Πιο γενικά, το credit (yield) spread είναι η διαδικασία που δίνεται από τον παρακάτω τύπο: S T t = 1 ( ) ln(b T t ) ln(b f,t t ). T t Μιχάλης Ανθρωπέλος Pricing Defaultable Assets Credit Risk 3 / 11

4 Τιμολόγηση με σταθερή ένταση αθέτησης Για περισσότερες καταβολές μέχρι το χρόνο T και έχοντας μηδενικό ποσοστό ανάκτησης, εργαζόμαστε αναλόγως: N N P 0 = c i e rt i P(τ > T i ) = c i e (r+λ)t i i=1 όπου c i είναι η πληρωμή στην χρονική στιγμή T i και T N = T. Πώς θα αλλάξει ο παραπάνω τύπος τιμολόγησης όταν έχουμε θετικό ποσοστό ανάκτησης g; Η ίδια λογική μπορεί να εφαρμοστεί στη τιμολόγηση οποιασδήποτε μορφής τυχαίας χρηματοροής στο χρόνο T: Έστω ένα αξιόγραφο με θετική πιθανότητα αθέτησης (defaultable security) και πληρωμή X (θετική τυχαία μεταβλητή) σε ένα χρόνο T. Τότε, η παρούσα αξία της αναμενόμενης πληρωμής θα είναι: i=1 E [ e rt XI {τ>t} ] = e (r+λ)t E[X], υποθέτοντας ανεξαρτησίας μεταξύ της αθέτησης και της τυχαίας πληρωμής X. Πώς αλλάζει ο τρόπος υπολογισμού όταν η πληρωμή Χ παίρνει και αρνητικές τιμές (για παράδειγμα όταν Χ είναι η πληρωμή μιας θέσης σε ένα συμβόλαιο μελλοντικής εκπλήρωσης future); Μιχάλης Ανθρωπέλος Pricing Defaultable Assets Credit Risk 4 / 11

5 Τιμολόγηση με χρονικά κυμαινόμενη ένταση Από τα παραδείγματα που εξετάσαμε έως τώρα, είδαμε ότι οι δεσμευμένες πιθανότητες αθέτησης (και επομένως και η ένταση αθέτησης) δεν είναι σταθερές στο χρόνο. Σε περίπτωση που επιλέξουμε για την μοντελοποίηση της έντασης αθέτησης μια ντετερμινιστική συνάρτηση του χρόνου λ(t), τότε ο χρόνος αναμονής παραμένει εκθετικά κατανεμημένος, ωστόσο η παράμετρος της κατανομής είναι πλέον συνάρτηση του χρόνου. Η διαδικασία γίνεται μη ομογενής διαδικασία Poisson: Q(t) = P(N t > 0) = 1 P(N t = 0) = 1 e t 0 λ(u)du. Ένα απλό παράδειγμα είναι η κατά τμήματα σταθερή ένταση αθέτησης (piecewise constant default intensity): λ(t) = a i R +, t [T i 1, T i ), για i = 1, 2,..., N. Πρακτικά, από τις αγοραστικές τιμές των ομολόγων (ή δανείων) εκμαιεύουμε τις εντάσεις a i για κάθε χρονική περίοδο. Έπειτα, εφαρμόσουμε τη τιμολόγηση για κάθε ένα από τα συμβόλαια τα οποία συνάπτονται με την εν λόγω εκδότη-δανειζόμενο. Μιχάλης Ανθρωπέλος Pricing Defaultable Assets Credit Risk 5 / 11

6 Τιμολόγηση με στοχαστική ένταση αθέτησης Το να κρατηθεί όμως ντετερμινιστική η ένταση αθέτησης για μεγάλο χρονικό διάστημα είναι μια γενναία απλοποίηση. Με το πέρας του χρόνου, οι παράγοντες που συντελούν στην αθέτηση αλλάζουν (και) με τυχαίο τρόπο, κάτι που σημαίνει ότι η ένταση αθέτησης θα πρέπει να λογίζεται σαν μια στοχαστική και όχι ντετερμινιστική διαδικασία. Η παραγόμενη παραμένει διαδικασία Poisson μη ομογενής, δοθέντος όμως της έντασης της αθέτησης. Πιο συγκεκριμένα: P(τ t (λ s ) 0 s t ) = 1 P(N t = 0 (λ s ) 0 s t ) = 1 e t 0 λudu. Αυτή η διαδικασία N t ονομάζεται δεσμευμένη διαδικασία Poisson ή διαδικασία Cox (conditional Poisson process or Cox process). Για τον υπολογισμό της πιθανότητας αθέτησης μέχρι τον χρόνο T έχουμε: P(τ t) = E[I {τ t} ] = E [ E[I {τ t} (λ s ) 0 s t ] ] [ = 1 E e ] t 0 λ udu. Με άλλα λόγια αρκεί να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή του όρου e t 0 λ udu. Μιχάλης Ανθρωπέλος Pricing Defaultable Assets Credit Risk 6 / 11

7 Τιμολόγηση με στοχαστική ένταση αθέτησης Έστω ένα αξιόγραφο με θετική πιθανότητα αθέτησης και πληρωμή X (θετική τυχαία μεταβλητή) σε ένα χρόνο T. Τότε, η παρούσα αξία της αναμενόμενης πληρωμής θα είναι: E[e rt XI {τ>t} ] = e rt E [ E[XI {τ>t} (λ s ) 0 s t ] ] = e rt E[X]E [e ] t 0 λ udu. Παρομοίως και για περισσότερες από μία σταθερές πληρωμές έχουμε P 0 = N c i e rt i P(τ > T i ) = i=1 N i=1 [ ] c i E e (r+λ)t i. Μιχάλης Ανθρωπέλος Pricing Defaultable Assets Credit Risk 7 / 11

8 Μοντελοποιώντας τη στοχαστική διαδικασία λ t A Reduced Form Model Έστω ότι η στοχαστική διαδικασία λ t είναι κατά βάση ντετερμινιστική αλλά όταν γίνεται κάτι έκτακτο (τυχαίο, shock) που επηρεάζει την πιθανότητα αθέτησης, η διαδικασία αλλάζει είτε θετικά, είτε αρνητικά. Μια ιδέα για τη μοντελοποίηση αυτής της στοχαστικότητας είναι να υποθέσουμε ότι ανάμεσα στις τυχαίας αλλαγές (shocks), η ένταση αθέτησης έχει την τάση να γυρνά σε έναν μακροχρόνιο μέσο (mean-reverting process) Ανάμεσα στο άλματα έχουμε: λ t = γ + e k(t τ) (λ τ γ), που είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης: dλ t = k(γ λ dt t ), για t τ, όπου τ ο χρόνος μιας τυχαίας αλλαγής και k είναι η ταχύτητα επιστροφής στο μακροχρόνιο μέσο γ. Μιχάλης Ανθρωπέλος Pricing Defaultable Assets Credit Risk 8 / 11

9 Μοντελοποιώντας τη στοχαστική διαδικασία λ t Το υπόδειγμα Cox-Ingersoll-Ross υποθέτει ότι τέτοιες τυχαίες αλλαγές μπορούν να γίνουν σε κάθε στιγμή με ένα τρόπο που μοιάζει με τυχαίο περίπατο (random walk). Το υπόδειγμα είναι το ακόλουθο: όπου, W t είναι μια κίνηση Brown. dλ t = k(γ λ t )dt + σ λ t dw t Η προσέγγιση σε διακριτό χρόνο γίνεται ως εξής: λ t+ t λ t k(γ λ t ) t + σ λ t ϵ t t, όπου, ϵ t N(0, 1), με ϵ s, ϵ t ανεξάρτητα s, t > 0, και η σταθερή παράμετρος σ είναι η τυπική απόκλιση του τυχαίου παράγοντα (volatility). [ Κάτω από αυτό το υπόδειγμα, η αναμενόμενη τιμή E e ] t 0 λ udu μπορεί να υπολογιστεί ακριβώς. Μιχάλης Ανθρωπέλος Pricing Defaultable Assets Credit Risk 9 / 11

10 Μοντελοποιώντας τη στοχαστική διαδικασία λ t Πέρα από την παρουσία του συνεχούς τυχαίου περιπάτου (κίνηση Brown), το υπόδειγμα μπορεί να γενικευθεί βάζοντας και τυχαία άλματα σε διακριτούς χρόνους: dλ t = k(γ λ t )dt + σ λ t dw t + dj t όπου, J t είναι η διαδικασία που μετρά το αποτέλεσμα των αλμάτων που έχουν γίνει μέχρι την στιγμή t. Σε περίπτωση για παράδειγμα όπου N t J t = με N t μια Poisson διαδικασία και X i εκθετικά κατανεμημένες ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, ο υπολογισμός των πιθανοτήτων χρεοκοπίας Q(t) είναι σχετικά απλός. Η προσέγγιση σε διακριτό χρόνο γίνεται ως εξής: i=1 λ t+ t λ t k(γ λ t ) t + σ λ t ϵ t t + (J t+ t J t ). X i Μιχάλης Ανθρωπέλος Pricing Defaultable Assets Credit Risk 10 / 11

11 Άσκηση 1. Υπολογίστε την αναμενόμενη τιμή της παρούσας αξίας μιας ομολογίας 6%/5yrs, με εξαμηνιαία καταβολή κουπονιών και ονομαστική αξίας 100, όταν το επιτόκιο συνεχούς προεξόφλησης είναι 3% και η ένταση χρεοκοπίας είναι σταθερή και ίση με 4% (υποθέστε μηδενικό ποσοστό ανάκτησης). 2. Κάντε την ίδια τιμολόγηση όταν η ένταση χρεοκοπίας δεν είναι σταθερή αλλά δίνεται με τον εξής γραμμικό τρόπο: λ(t) = 0, , 003t, t [0, 5]. 3. Υπολογίστε πάλι τις παρούσες αξίες στις ερωτήσεις 1 και 2, λαμβάνοντας υπόψη ένα ποσοστό ανάκλησης ίσο με 40% επί της ονομαστικής αξίας τους ομολόγου. 4. Κάντε τους υπολογισμούς της ερώτησης 1, χρησιμοποιώντας απλό ετήσιο τοκισμό 3,5% για όλα τα χρόνια μέχρι την λήξη της ομολογίας και λαμβάνοντας υπόψη τις πιθανότητες Q(t) αντί για την ένταση αθέτησης λ. (Υπενθυμίζεται ότι για σταθερή ένταση αθέτησης ισχύει ότι Q(t) = 1 e λt ). Μιχάλης Ανθρωπέλος Pricing Defaultable Assets Credit Risk 11 / 11

Σχετικά έγγραφα

ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Πιστωτικός Κίνδυνος. Διάλεξη 1: Εκτιμώντας τις πιθανότητες αθέτησης από τις τιμές της αγοράς

ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πιστωτικός Κίνδυνος Διάλεξη 1: Εκτιμώντας τις πιθανότητες αθέτησης από τις τιμές της αγοράς Μιχάλης Ανθρωπέλος anthropel@unipi.gr http://web.xrh.unipi.gr/faculty/anthropelos