Η ιστορία της Άλγεβρας

Transcript

1 Άλγεβρα είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται γενικά με την έννοια της δομής. Πιο συγκεκριμένα, αντικείμενα της άλγεβρας είναι σύνολα στα οποία έχουν οριστεί πράξεις μεταξύ των στοιχείων τους. Η άλγεβρα είναι ένα είδος κώδικα που σου επιτρέπει να εκφράζεις περίπλοκες σκέψεις χρησιμοποιώντας ελάχιστα σύμβολα, και εντούτοις είναι απολύτως σαφής για όποιον γνωρίζει άλγεβρα. Ετυµολογια : Η λέξη ΑΛΓΕΒΡΑ προέρχεται από τη λατινική Algebra η οποία µε τη σειρά της προέρχεται από την αραβική λέξη al-jabr. Η αραβική λέξη πρωτοεµφανίζεται στο - γραµµένο γύρω στα 825- έργο του µεγάλου άραβα µαθηµατικού al-khwârizmi Αλλά ποια είναι η χρησιμότητα της άλγεβρας; Πόσο σημαντική είναι για την εξέλιξη της μαθηματικής επιστήμης; Είναι γνωστό πως η άλγεβρα είναι η βάση όλων των Μαθηματικών. Η ανάλυση, η γεωμετρία, οι πιθανότητες, ακόμα και η επιστήμη των υπολογιστών, στηρίζονται σε μεγάλο βαθμό σε αυτήν. Όσο περισσότερο εμβαθύνει κανείς στις θεμελιώδεις αρχές της άλγεβρας, τόσο αποκτά μία ευρύτερη εικόνα για την μαθηματική επιστήμη εν γένει. Τέλος, τα νεότερα επιστημονικά πεδία, όπως η επιστήμη των υπολογιστών και η ρομποτική είναι στηριγμένα κατά κύριο λόγο στην Γραμμική Άλγεβρα και τη Θεωρία Ομάδων. Από τα παραπάνω, συμπεραίνει κανείς τη σημαντικότητα της Άλγεβρας. Μπορεί πολλές φορές οι ατελείωτες αποδείξεις της και οι σχεδόν αυτονόητες αλήθειες των θεωρημάτων της να φαίνονται ανιαρές, χωρίς αυτές όμως θα ήταν αδύνατο να υπάρξει οποιαδήποτε άλλη Μαθηματική και όχι μόνο επιστήμη. Η ιστορία της Άλγεβρας

2 Άλγεβρα των πολυωνύµων Ο Abu Bakr al-karaji συνέχισε την εργασία του al-khwarizmi εστιάζοντας στο να εφαρµόσει τις τεχνικές της Αριθµητικής στην Άλγεβρα. Ανέπτυξε µια τεχνική κατά την οποία έδωσε όνοµα στις νιοστές δυνάµεις x n και στα αντίστροφά τους 1/x n. Μπορούσε έτσι να εργαστεί σε πράξεις πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασµός, διαίρεση στα πολυώνυµα. Ο Al-Samaw al εµπλούτισε την εργασία αυτή εισάγοντας αρνητικούς εκθέτες και πρότεινε έναν πίνακα της µορφής : x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 x -1 x -2 x -3 x -4 x -5 x -6 x /2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 Τον χρησιµοποίησε για να εξηγήσει την τεχνική της πρόσθεσης εκθετών x n x m = x n+m. Ο Ευκλείδης και η εξίσωση δευτέρου βαθµού Μολονότι ο όρος Άλγεβρα δηµιουργήθηκε κατά τον Μεσαίωνα πολλές «αλγεβρικές» έννοιες είχαν κάνει την εµφάνισή τους πολύ νωρίτερα Το Βιβλίο 2 των Στοιχείων του Ευκλείδη ασχολείται µε δευτεροβάθµιες αλγεβρικές εξισώσεις. Ο αλγεβρικός συµβολισµός δεν έχει επινοηθεί και ο Ευκλείδης αναπαριστά τους αριθµούς µε ευθύγραµµα τµήµατα. Οι αλγεβρικές ταυτότητες όπως η (a+b) 2 =a 2 +2ab=b 2 παρουσιάζονται µε µορφή γεωµετρική.

3 Οι πρωτοβάθµιες γραµµικές εξισώσεις λύνονται µε γεωµετρικές κατασκευές. Οι δευτεροβάθµιες εξισώσεις ανάγονταν σε γεωµετρικό ισοδύναµο µιας από τις µορφές η οποία στη συνέχεια λυνόταν µε την εφαρµογή των ήδη θεµελιωµένων θεωρηµάτων εµβαδού. Αν και η µέθοδος δεν ήταν πολύ διαφορετική από εκείνη των Βαβυλωνίων, η «ελληνική» αυτή µέθοδος µπορούσε να οδηγήσει σε άρρητους αριθµούς. Η δευτεροβάθµια εξίσωση θεµελιώθηκε για τη λύση προβληµάτων και ειδικά εκείνων που εµπεριέχουν το πυθαγόρειο θεώρηµα. η λύση µιας δευτεροβάθµιας µε τρόπο ελληνικά γεωµετρικό ο Διόφαντος x 2 13x + 36 = 0 Αρκετούς αιώνες αργότερα στην Αλεξάνδρεια του 3 ου µετά τον Χριστό αιώνα ο Διόφαντος µε το βιβλίο του Αριθµητικά παρουσίασε µια όχι γεωµετρική Άλγεβρα στην οποία εντυπωσιάζει η απουσία γενικών µεθόδων και η επινόηση έξυπνων τεχνασµάτων για τη λύση 130 προβληµάτων. Το άλλο στοιχείο που χαρακτηρίζει το έργο του είναι τα πρώτα βήµατα προς τον αλγεβρικό συµβολισµό. Δεν χρησιµοποιεί βέβαια γράµµατα, χρησιµοποιεί όµως συντοµογραφίες ενώ µέχρι την εποχή εκείνη η Άλγεβρα ήταν µόνο ρητορική. Το έργο του το ανακάλυψαν οι Ευρωπαίοι 1200 χρόνια µετά. Στο µεταξύ το έργο των Ελλήνων φαίνεται ότι συνεχίστηκε από τους Άραβες Οι Κινέζοι και τα εννέα κεφάλαια της Μαθηµατικής Τέχνης

4 Τα «εννέα κεφάλαια της Μαθηµατικής Τέχνης» ήταν µία καταγραφή των εξελίξεων στα πρώιµα κινεζικά µαθηµατικά. Ο κύριος όµως στόχος τους είναι η παρουσίαση γνώσεων αστρονοµίας και όχι ειδικά τα µαθηµατικά. Πάντως παρουσιάζονται συστήµατα πρωτοβάθµιων εξισώσεων στο κεφάλαιο 8. Η µέθοδος λέγεται «fang cheng» και οδηγεί στη λύση γραµµικών εξισώσεων. Η πρόσθεση και η αφαίρεση η οποία συµπεριλαµβάνει και αρνητικούς αριθµούς µνηµονεύεται στο ίδιο αυτό βιβλίο στο οποίο γίνεται λόγος και για την «εξαγωγή» της τετραγωνικής και της κυβικής ρίζας µε µέθοδο η οποία θυµίζει τη σύγχρονη Al-jabr, al-khwârizmi και ισλαµικά µαθηµατικά Ο λέξη ΑΛΓΕΒΡΑ προέρχεται από τη λατινική Algebra η οποία µε τη σειρά της προέρχεται από την αραβική λέξη al-jabr. Η αραβική λέξη πρωτοεµφανίζεται στο - γραµµένο γύρω στα 825- έργο του µεγάλου άραβα µαθηµατικού al-khwârizmi «Hisâb al-jabr w al- mugâbalah» ένας τίτλος που σε ελεύθερη απόδοση είναι «Επιστήµη της συνένωσης και της αντίθεσης» και η λέξη al-jabr ήταν για πολλά χρόνια συνώνυµο του «επιστήµη των εξισώσεων». Το αραβικό κείµενο έγινε γνωστό στην Ευρώπη από λατινικές µεταφράσεις. Από τη λέξη al-jabr γεννήθηκε ο λατινικός όρος Algebra που αποδόθηκε στα ελληνικά µε το «Άλγεβρα». Το 1857 βρέθηκε µια λατινική µετάφραση που άρχιζε µε το «Έχει πει ο Αλγορίθµι...». το όνοµα δηλαδή του αλ Χαυαρίσµι έγινε Αλγορίθµι και από την παράφραση αυτή γεννήθηκε και η λέξη ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ που σηµαίνει «µια τυπική διαδικασία ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ µε συγκεκριµένο τρόπο» Το βιβλίο του al-khwarizmi δεν χρησιµοποιεί τον σύγχρονο αλγεβρικό συµβολισµό ούτε και εξισώσεις. Το οτιδήποτε είναι γραµµένο µε λέξεις. Διαπραγµατεύεται κυρίως εξισώσεις. Μελετά έξι διαφορετικούς τύπους εξισώσεων. Ωστόσο τα ισλαµικά µαθηµατικά δεν ασχολούνται µε ΑΡΝΗΤΙΚΟΥΣ αριθµούς. Στη δευτεροβάθµια λόγου χάρη εξίσωση

5 οι αρνητικές ρίζες αγνοούνται. Το ίδιο όµως βιβλίο περιέχει και κανόνες Αριθµητικής που διαµορφώθηκαν µε τα ινδικά πρότυπα για την εκτέλεση πράξεων µε ινδικά ψηφία. Αναφέρεται επίσης σε τετραγωνικές και κυβικές ρίζες, σε κλάσµατα και στη µέθοδο των τριών. Η Άλγεβρα την Αναγέννηση Στην Ευρώπη, η Άλγεβρα των Αράβων αναπτύχθηκε ιδιαίτερα κατά την Αναγέννηση καθώς η ανάπτυξη του εµπορίου ήταν ταχύτατη και οι έµποροι είχαν ανάγκη από κάποια καινούρια βελτιωµένα µαθηµατικά. Οι περισσότεροι µαθηµατικοί στηρίζονταν αρχικά µόνο στα κείµενα των Αράβων αλλά αργότερα και στην Ελληνική «γεωµετρική» Άλγεβρα Οι Ιταλοί τον 14 ο και 15 ο αιώνα Οι Ιταλοί δίδασκαν τους εµπόρους τις ινδοαραβικές τεχνικές για τη λύση προβληµάτων, και - αναπτύσσοντες και προεκτείνοντες τις ισλαµικές µεθόδους - έγραφαν κείµενα τα οποία δηµιούργησαν τη βάση για παραπέρα ανάπτυξη. Οι Ιταλοί εισήγαγαν τον ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟ ο οποίος δεν υπήρχε στην ισλαµική Άλγεβρα. Ωστόσο τα πράγµατα άλλαζαν πολύ αργά και ο σύγχρονος αλγεβρικός συµβολισµός δεν καθιερώθηκα παρά µόνο κατά τον 17 ο αιώνα. Οι Ιταλοί ανέπτυξαν επίσης τη µελέτη της δευτεροβάθµιας εξίσωσης ενώ αναζητούσαν και τεχνικές για τη λύση τρίτου και τετάρτου βαθµού. Ο Maestro Dardi da Pisa εργάστηκε στις εξισώσεις τετάρτου βαθµού τις περισσότερες από τις οποίες τις ανήγαγε σε εξισώσεις δευτέρου βαθµού. O Piero della Francesca επιδόθηκε στη λύση εξισώσεων πέµπτου και έκτου βαθµού

6 16 ος αιώνας. Άγγλοι, Γάλλοι και κυρίως Γερµανοί Ο Nicolas Chuquet στη Γαλλία και ο Christoff Rudolff στη Γερµανία ανέπτυξαν συστήµατα εκθετικού συµβολισµού. Rudolff επισηµαίνει ότι ο πολλαπλασιασµός των δυνάµεων αντιστοιχεί στην πρόσθεση των εκθετών. Ο Rudolff ήταν και ο πρώτος που θα εισάγει το σύµβολο για την τετραγωνική ρίζα επειδή µοιάζει µε το πεζό r, αρχικό της λέξης radix ριζικό. Στο βιβλίο του Die Coss, το 1526, ασχολείται µε τη λύση αλγεβρικών εξισώσεων. Ερευνά τη λύση εξισώσεων τρίτου και µεγαλύτερου βαθµού αλλά τα καταφέρνει µόνο για εξισώσεις που µπορούν και ανάγονται σε δευτεροβάθµιες. Για τη λύση της δευτεροβάθµιας χρησιµοποιεί µια γενική µέθοδο που µοιάζει µε τη σύγχρονη αλλά αδιαφορεί τις ρίζες που είναι αρνητικοί αριθµοί ή µηδέν. Στην Αγγλία παρουσιάζεται η εργασία του Robert Recorde ο οποίος έχει επηρεαστεί από τους Γερµανούς. Στο σηµαντικότερο έργο του κάνει για πρώτη φορά την εµφάνισή του το σύµβολο «ίσον» (=) για την ισότητα δύο αλγεβρικών ποσοτήτων Η λύση της τριτοβάθµιας, υπόθεση των Ιταλών Η ιταλική µαθηµατική παράδοση «αντέχει» και διεισδύει ακόµα και στον 16 ο αιώνα. Η γενική λύση της εξίσωσης τρίτου βαθµού δεν είχε ακόµα επιτευχθεί και ήταν πολλοί οι µαθηµατικοί που εργάζονταν προς αυτό τον στόχο. Ο Ιταλός Scipione del Ferro είχε στο µεταξύ ανακαλύψει µια µέθοδο για τη λύση της x 3 + cx = d την οποία όµως δεν ανακοίνωσε αλλά λίγο πριν πεθάνει την εµπιστεύτηκε στον µαθητή του Antonio Maria Fiore και στον διάδοχό του Annibale

7 della Nave. Λίγο αργότερα ο Niccolo Tartaglia από τη Brescia βρήκε τη λύση γης εξίσωσης x 3 + bx 2 = d αλλά στη λογική της εποχής του δεν την αποκάλυπτε. Ο σχεδόν συνοµίληκός του Gerolamo Cardano τον πίεσε να την αποκαλύψει και ο Tartaglia πείστηκε υπό τον όρο να µην δηµοσιευτεί ποτέ και από κανέναν. Λίγα χρόνια µετά το έτος δηλαδή 1545 µε το πρόσχηµα ότι ο Scipione del Ferro ήταν ο πρώτος που έλυσε την τριτοβάθµια ο Cardano παρουσίασε το έργο του Ars Magna στο οποίο δηµοσίευσε όλες τις λύσεις. Ο Tartaglia διαµαρτυρήθηκε έντονα αλλά η φόρµουλα της τριτοβάθµιας εξίσωσης ονοµάζεται άδικα «φόρµουλα του Cardano» Οι λογάριθµοι Η ιδέα των λογαρίθµων γεννήθηκε πιθανόν από τους αστρονόµους οι οποίοι έπρεπε να πολλαπλασιάζουν και να διαιρούν πολύπλοκες τριγωνοµετρικές ποσότητες. Στο µεταξύ οι πίνακες µε τους αριθµούς και τις δυνάµεις έδειχναν ότι ο πολλαπλασιασµός στον ένα πίνακα αντιστοιχούσε σε πρόσθεση στον άλλο. Στην αυγή του 17 ου αιώνα ο σκωτσέζος John Napier ή Neper είχε την ιδέα της δηµιουργίας ενός πίνακα λογαρίθµων ο οποίος θα διευκόλυνε τους πολλαπλασιασµούς οποιωνδήποτε ποσοτήτων ανάγοντάς τους σε προσθέσεις. Το 1617 δηµοσίευσε τον σχετικό πίνακα και το όνοµά του δηµιούργησε αργότερα τον όρο νεπέριοι λογάριθµοι. Σήµερα η έννοια λογάριθµος έχει διαφοροποιηθεί σε σχέση µε εκείνη που πρότεινε Οο Neper. O λογάριθµος ενός αριθµού, όπως λόγου χάρη ο 50, είναι ο ΕΚΘΕΤΗΣ τον οποίο πρέπει να έχει o αριθµός e ( βάση ) ώστε να είναι ίσος µε 50. e ln50 = 50.

8 Η Άλγεβρα της εποχής µας Η λεγόµενη «κλασική» Άλγεβρα ασχολείται µε «συγκεκριµένα µαθηµατικά αντικείµενα», µε πραγµατικούς ή µιγαδικούς αριθµούς, µε πολυώνυµα και µε ειδικές οµάδες µετασχηµατισµών. Η µοντέρνα Άλγεβρα αντικατέστησε τα µαθηµατικά αυτά αντικείµενα µε στοιχεία ενός συνόλου η φύση του οποίου είναι irrelevant και για τα οποία η σχέση µεταξύ τους αποσαφηνίζεται µε αξιώµατα. Η µοντέρνα αυτή Άλγεβρα µελετά σύνολα εφοδιασµένα µε ένα ή περισσότερους τελεστές των οποίων οι ιδιότητες απορρέουν από αξιώµατα. Η νέα Άλγεβρα χαρακτηρίζεται από υψηλό βαθµό αφαίρεσης, σαφήνεια και γενικότητα. Οι µαθηµατικοί χώροι που σχετίζονται µαζί της εµπεριέχουν διανυσµατικούς χώρους, µήτρες και γραµµικούς χώρους, θεωρία αριθµών και θεωρία οµάδων