Θεώρηµα της Επαλληλίας ή Υπέρθεσης

Transcript

1 Θεώρηµα της Επαλληλίας ή Υπέρθεσης ιαβάζουµε στο βιβλίο «Ηλεκτρικά Κυκλώµατα» του Joseph A. Edminiser στο κεφάλαιο «Θεωρήµατα ικτύων» : «Σύµφωνα µε το θεώρηµα της επαλληλίας ή υπερθέσεως η απόκριση σε κάθε στοιχείο (δηλαδή το ρεύµα που διαρρέει το στοιχείο ή η τάση στα άκρα του) ενός γραµµικού αµφίπλευρου δικτύου (δηλαδή µε στοιχεία µε την ίδια συµπεριφορά και προς τις δυο κατευθύνσεις), που περιέχει δύο ή περισσότερες πηγές είναι το άθροισµα των αποκρίσεων του στοιχείου που προκύπτουν όταν κάθε πηγή ενεργεί χωριστά ενώ οι άλλες έχουν µηδενιστεί (ή γενικότερα αντικατασταθεί από τις εσωτερικές τους αντιστάσεις). Ήδη η αρχή της επαλληλίας (όπως λέγεται συχνά το θεώρηµα της επαλληλίας) χρησιµοποιήθηκε στην ανάλυση δικτύων µε τις µεθόδους ρευµάτων βρόχων και τάσεων κόµβων..» Σαν απλοϊκή εφαρµογή το παρακάτω κύκλωµα :, E r E, r Η ένταση είναι: E E + r + r Αν «δούλευε» µόνο η Ε : E, r r E + r + r

2 Αν «δούλευε» µόνο η Ε : r E, r E + r + r Το ρεύµα Ι είναι το αλγεβρικό άθροισµα των Ι και Ι,. Τα παραπάνω ισχύουν διότι ο αντιστάτης είναι γραµµικό στοιχείο. εν θα ίσχυαν αν π.χ. στη θέση του αντιστάτη είχαµε µια κρυσταλλοδίοδο. Ακόµα και να είχε αντίθετη πολικότητα η Ε δεν θα είχαµε υπέρθεση διότι η χαρακτηριστική της διόδου δεν είναι γραµµική. Η υπέρθεση επίσης αφορά στην ένταση. Η, σε χρόνο, παραγόµενη θερµότητα δεν είναι το άθροισµα των θερµοτήτων που θα είχαµε στο δεύτερο και στο τρίτο κύκλωµα. Η διαφορά οφείλεται στο ότι η ένταση του ρεύµατος είναι συνάρτηση πρώτου βαθµού της τάσης ενώ η θερµότητα δευτέρου βαθµού. Ένα δεύτερο παράδειγµα: (Οι πηγές έχουν αµελητέες εσωτερικές αντιστάσεις) E C E Η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι : V ( E E ). e C +

3 Το ρεύµα είναι : ( E + E ). e C Αν υπήρχε µόνο η Ε τότε : V. E e C και Αν υπήρχε µόνο η Ε τότε : V. E e C και E. E e. C e C Εύκολα φαίνεται ότι V V + V και +. Προσέξτε ότι είναι λάθος να πούµε: «Βάλε πρώτα την πρώτη πηγή και όταν ολοκληρωθεί η φόρτιση βάλε την δεύτερη, θα έχεις το ίδιο αποτέλεσµα». Το λάθος αυτό θα µπορούσε να γίνει αν συγχέαµε την αρχή της επαλληλίας µε την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων. Και εδώ η υπέρθεση δεν αφορά στις θερµότητες. Ένα µηχανικό ανάλογο: x x m x+ x m

4 Το κόκκινο σώµα προκαλεί παραµόρφωση x m g k m g k + x. Το πράσινο σώµα προκαλεί παραµόρφωση x Και τα δυο µαζί προκαλούν παραµόρφωση x Η παραπάνω επαλληλία θα ισχύει προφανώς αν το ελατήριο παραµένει στην «γραµµική περιοχή του». Αξιοπρόσεκτο είναι το ότι το πράσινο σώµα προκάλεσε την ίδια παραµόρφωση στο «γυµνό» ελατήριο και στο ήδη παραµορφωµένο (από το κόκκινο σώµα) ελατήριο. Πάλι θα ήταν λάθος να πούµε (παρασυρόµενοι από την αρχή της ανεξαρτησίας): «Κρέµασε πρώτα το κόκκινο, ξεκρέµασέ το και κρέµασε το πράσινο. Θα δεις την ίδια παραµόρφωση.» Άλλη µια περίπτωση υπέρθεσης: Στον απλό αρµονικό ταλαντωτή (χωρίς απόσβεση) η διαφορική εξίσωση είναι : d x m + k. x 0 d Μια λύση της είναι η : k π x Aηµ + m 6 Μια άλλη λύση της είναι η : k π x Aηµ + m Επειδή η.ε είναι γραµµική έχει επίσης ως λύση την : k π k π x x + x Aηµ + + Aηµ + m 6 m Αυτό σηµαίνει ότι υπό κάποιες αρχικές συνθήκες θα µπορούσε η εξίσωση θέσης να είναι η τελευταία η οποία είναι γραµµικός συνδυασµός των προηγουµένων. Εδώ θα συµφωνήσουµε όλοι ότι µια ταλάντωση εκτελεί και όχι δύο ταλαντώσεις ταυτόχρονα. Μπορούµε να µιλήσουµε για υπέρθεση λύσεων της εξίσωσης και όχι για ταλάντωση που εξελίσσεται σε ταλαντούµενο περιβάλλον (σύνθεση κινήσεων). Θα συµφωνήσουµε ακόµη ότι είναι δύσκολό το να αναγκάσουµε ένα σώµα να εκτελέσει ταυτόχρονα δυο ταλαντώσεις. (Θυµηθείτε την σχετική ανάλυση του Κώστα Μυσίρη hp://ylikone.blogspo.com/009//blog-pos_0.hml ). Ο Πάνος Μουρούζης έκανε µια παραποµπή σε ιδιαιτέρως ευφυή κατασκευή του κ. Τσαούση µε την οποία µπορούµε να δούµε την σύνθεση αυτήν. (hp://users.ioa.sch.gr/dsaousis/ άρθρο 4) Παραθέτω φωτογραφία της κατασκευής.

5 Πιστεύω ότι είναι άλλο πράγµα η υπέρθεση εξισώσεων κίνησης (προϊόν γραµµικότητας) και άλλο η σύνθεση κινήσεων. Κάποιες φορές συγχέονται οι περιοχές δράσεις των δύο αρχών. όπως, πιστεύω, στην παρακάτω περίπτωση. Συµβολή ηχητικών κυµάτων. Με το mulilog καταγράφουµε τα ηχητικά κύµατα από τα δυο αντηχεία. Εύκολα (από την δηµιουργία διακροτήµατος και όχι µόνο) διαπιστώνουµε ότι y y+ y, όπου y η ένδειξη του αισθητήρα όταν λειτουργεί το ένα αντηχείο, y η ένδειξη όταν λειτουργεί το άλλο και y η ένδειξη όταν και τα δύο εκπέµπουν ήχο. Πρόκειται για υπέρθεση το αποτέλεσµα της οποίας καθορίζει η γραµµικότητα του µέσου, θα µπορούσαµε όµως να µιλήσουµε για σύνθεση ; Στην µεµβράνη του αισθητήρα δρουν δυο ταλαντώσεις ταυτόχρονα και θεωρούµε ότι έχουµε σύνθεση ταλαντώσεων. Είναι όµως σύνθεση κινήσεων µε την έννοια ότι ένας παρατηρητής βλέπει την µία και άλλος την άλλη ; Η λέξη «σύνθεση» µας κάνει να ταυτίσουµε διαφορετικά φαινόµενα και τις αρχές που τα διέπουν.