Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο

Transcript

1 Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης. Το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής, και ο η μεταλλική ράβδος ΚΛ μάζας, μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές. Την στιγμή = εκτοξεύουμε τη ράβδο με αρχική ταχύτητα υ. Οι αντιστάσεις των αγωγών και της ράβδου θεωρούνται αμελητέες. α) Να υπολογιστεί η ένταση του ρεύματος, η θέση και η ταχύτητα της ράβδου σαν συνάρτηση του χρόνου. Λύση: Κ υ F υ Σχήμα Λ Για την τυχαία χρονική στιγμή η ταχύτητα της ράβδου δίνεται από τη σχέση, = ( ) υ υ d () η οποία προκύπτει με ολοκλήρωση της, dυ = ad, όπου a = η επιτάχυνση της ράβδου, που οφείλεται στη δύναμη aplace. Για την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα την ίδια χρονική στιγμή έχουμε, d υ = d και με αντικατάσταση από την εξίσωση () προκύπτει η ολοκληρο-διαφορική εξίσωση,

2 με αρχικές συνθήκες, ( ) = και ( ) = υ. d υ ( ) d = d Παραγωγίζοντας την ως προς το χρόνο προκύπτει η γραμμική ομογενής Δ.Ε., με γενική λύση, d d + = (3) = csin + ccos Από τις αρχικές συνθήκες προσδιορίζουμε τις σταθερές ολοκλήρωσης, c = υ και c = Άρα η ένταση του ρεύματος μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση, = υ sin Αντικαθιστώντας στην () έχουμε, ή υ = υ υ sin d υ cos υ = ( ) και για τη θέση της ράβδου θεωρώντας x =, (4) (5) υ x = sin (6) Άρα η ράβδος εκτελεί αρμονική ταλάντωση γύρω από τη θέση εκτόξευσης με πλάτος, υ A = και γωνιακή συχνότητα ω =. Η δύναμη aplace αντικαθιστώντας της ένταση του ρεύματος από την εξίσωση (4) δίνεται από τη σχέση, F = υ sin

3 και λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση (6), F = Η ενέργεια του συστήματος κάθε χρονική στιγμή θα είναι, x E = υ + και αντικαθιστώντας τις εκφράσεις της ταχύτητας και της έντασης του ρεύματος βρίσκουμε, E = υ όπως είναι αναμενόμενο. β) Στο αρχικό κύκλωμα συνδέουμε σε σειρά με το πηνίο, αντίσταση R (σχήμα ). Να υπολογιστούν οι εξισώσεις της έντασης του ρεύματος, της ταχύτητας και της θέσης της ράβδου σαν συνάρτηση του χρόνου. Λύση: Για την ταχύτητα της ράβδου την χρονική στιγμή ισχύει η εξίσωση (). Την R υ F Κ υ Σχήμα Λ χρονική στιγμή έχουμε, d υ R = d και αντικαθιστώντας από την () d υ ( ) d R d = (7) με αρχικές συνθήκες, περίπτωση. Παραγωγίζοντας παίρνουμε, ( ) = και ( ) = υ όπως και στην προηγούμενη 3

4 d R d d d + + = Η χαρακτηριστική εξίσωση της τελευταίας Δ.Ε. είναι η, (8) με ρίζες, R λ + λ+ = R R λ, = ± 4 Κρίσιμη απόσβεση R Αν = R= η χαρακτηριστική εξίσωση έχει μια διπλή 4 R ρίζα, λ = = και η λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι της μορφής, = + ce c e Από τις αρχικές συνθήκες προσδιορίζουμε τις τιμές των σταθερών ολοκλήρωσης, c, c = υ =, οπότε η λύση είναι η, υ e = (9) Γραφική παράσταση της (9) για αριθμητικές τιμές των σταθερών ίσες με τη μονάδα Αντικαθιστώντας στην εξίσωση () υπολογίζουμε της εξίσωση της ταχύτητας, υ = + υ e () 4

5 Γραφική παράσταση της () για αριθμητικές τιμές των σταθερών ίσες με τη μονάδα Παρατήρηση: Υπολογίζοντας τη συνολική θερμότητα που εκλύεται στην αντίσταση βρίσκουμε, W = Rd = υ αποτέλεσμα που το περιμέναμε λόγω διατήρησης της ενέργειας. Ασθενής απόσβεση R Αν < R< 4 (8) είναι της μορφής, λ = R R, i ± τότε 4 και η λύση της R R R R i + i 4 4 = ce + c e ( ) Από την αρχική συνθήκη, = βρίσκουμε, c = c = c, και η λύση γράφεται, R R = ice sin 4 και από τη δεύτερη των αρχικών συνθηκών υ c = i R 4 και αντικαθιστώντας, ( ) = υ βρίσκουμε, R υ R e sin = R 4 4 () Γραφική παράσταση της () για Για την ταχύτητα βρίσκουμε, R =. και τις τιμές των υπόλοιπων σταθερών ίσες με τη μονάδα 5

6 Λ Λ υ = υe cosω+ sin ω ω () όπου, ω = R 4 και R Λ=. Γραφική παράσταση της () για R =. και τις τιμές των υπόλοιπων σταθερών ίσες με τη μονάδα Με ολοκλήρωση της () βρίσκουμε την εξίσωση της θέσης της ράβδου συναρτήσει ( ) του χρόνου για x =, υω x e Λ Λ υ = Λ sinω sinω cosω Λ + Λ + ω ω ω Λ + ω (3) Γραφική παράσταση της () για R =. ή αν επιλέξουμε, x Λυ = Λ + ω ( ) και τις τιμές των υπόλοιπων σταθερών ίσες με τη μονάδα υω Λ Λ Λ x = e sinω sinω cosω Λ + ω ω ω με γραφική παράσταση, Παρατήρηση: Οι εξισώσεις () και (3) μπορούν να γραφούν και στη μορφή Λ Λ = Ve ( sin + ) x Xe ( sinω θ ) υ ω θ και = + με V, X, θ σταθερές. 6

7 γ) Συνδέουμε σε σειρά με το πηνίο, πυκνωτή χωρητικότητας C (σχήμα 3). Να υπολογιστούν οι εξισώσεις της έντασης του ρεύματος, του φορτίου του πυκνωτή, της ταχύτητας και της θέσης της ράβδου σαν συνάρτηση του χρόνου. Λύση: C υ F Κ υ Για την ταχύτητα της ράβδου την χρονική στιγμή ισχύει η εξίσωση (). Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση που περιγράφει την κατάσταση του κυκλώματος την ίδια χρονική στιγμή είναι η, όπου q q d υ C d = το φορτίο του οπλισμού που συνδέεται με το άκρο Κ της ράβδου, το οποίο θεωρούμε ίσο με μηδέν τη χρονική στιγμή =. Αντικαθιστώντας, την ταχύτητα από την εξίσωση () και το φορτίο του πυκνωτή από τη σχέση, q = d, καταλήγουμε στην εξίσωση, ή με αρχικές συνθήκες, Σχήμα 3 d υ ( ) d ( ) d C d = ( ) d υ + ( ) d C = (4) d = υ. ( ) = και ( ) Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο την εξίσωση (4) έχουμε, Λ d + + = d C (5) 7

8 με λύση (μετά τον προσδιορισμό των σταθερών ολοκλήρωσης από τις αρχικές συνθήκες), ή απλούστερα θέτοντας, + C = ω, = sin + C (6) + C υ υ = (7) ω sin ( ω) Με ολοκλήρωση της (7) βρίσκουμε το φορτίο του πυκνωτή σαν συνάρτηση του χρόνου, υ cos ω = ( ( ω) ) q και από την () βρίσκουμε για την ταχύτητα, (8) υ υ υ ω ω ω = + c os ( ) Για τη θέση της ράβδου βρίσκουμε με ολοκλήρωση της (9), υ ω ω = υ + sin( ω) x 3 (9) Παρατηρήσεις: Υπολογίζοντας την τυχαία χρονική στιγμή, τις ενέργειες, U =, U E = q C και K = υ, με αντικατάσταση των, q, υ από τις (7),(8) και (9) αντίστοιχα, βρίσκουμε (μετά από αρκετές πράξεις), όπως πρέπει. E = U + UE + K = υ Η κίνηση της ράβδου σε σύστημα αναφοράς που κινείται με ταχύτητα V = υ είναι και πάλι αρμονική ταλάντωση με εξισώσεις, ω υ x = sin 3 ω ( ω) υ cos ω, υ = ( ω) 8

9 Στη συνέχεια σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις των μεγεθών, επιλέγοντας τις αριθμητικές τιμές όλων των παραμέτρων ίσες με τη μονάδα. = f υ = f ( ) q = f x = ( ) f Ενέργειες συναρτήσει του χρόνου: Μαγν. πεδίου, Ηλ. πεδίου, Κινητική, Ολική Λευκάδα, 3 Σπύρος Χόρτης - Φυσικός 9