ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß"

Άνθεια Βούλγαρης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï áíáãíþóôçò ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá [,, ]. 8. ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß 8.. Ïñéóìüò óõíý åéáò Ïñéóìüò (óõíý åéáò). óôù ç óõíüñôçóç f D êáé óçìåßï 0 D. Ôüôå ç f èá ëýãåôáé óõíå Þò (continuous) óôï óçìåßï 0 D ôüôå êáé ìüíïí, üôáí õðüñ åé ôï lim 0 f() êáé éó ýåé (Ó a) lim f() = f ( 0 ) : (8.. - ) 0 Óå êüèå Üëëç ðåñßðôùóç èá ëýãåôáé áóõíå Þò óôï óçìåßï 0 (Ó b êáé Ó ). 57

2 58 ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f f 5 5 Ó Þìá : ÓõíÜñôçóç óõíå Þò óôï 0 =. Éó ýåé lim 0 f() = f ( 0 ). Áóõíå Þò óôï 0 =. ÕðÜñ åé ôï lim 0 f() êáé åßíáé äéáöïñåôéêü áðü ôï f ( 0 ). f f Ó Þìá : ÓõíÜñôçóç áóõíå Þò óôï 0 =, åðåéäþ lim f() 0 lim + f(). ÁñéóôåñÜ óõíå Þò êáé äåîéü óõíå Þò óôï 0 =. 0 Ïñéóìüò (ðëåõñéêþò óõíý åéáò). Ç óõíüñôçóç f D èá ëýãåôáé áñéóôåñü, áíôßóôïé á äåîéü óõíå Þò óôï óçìåßï 0 D ôüôå êáé ìüíïí, üôáí lim 0 f() = f ( 0 ) (Ó a), áíôßóôïé á lim > + 0 f() = f ( 0 ) (Ó b). Åýêïëá áðïäåéêíýåôáé óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü üôé ïé óõíáñôþóåéò a, ïé ôñéãùíïìåôñéêýò êáé ç e åßíáé óõíå åßò óõíáñôþóåéò.

3 Éäéüôçôåò óõíå þí óõíáñôþóåùí Éäéüôçôåò óõíå þí óõíáñôþóåùí Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ïé éäéüôçôåò ôùí óõíå þí óõíáñôþóåùí ìå ôç ìïñöþ ðñïôüóåùí. Ðñüôáóç Áí f; g D óõíå åßò óõíáñôþóåéò óôï óçìåßï 0 D, ôüôå êáé ïé óõíáñôþóåéò f ± g êáé fg åßíáé óõíå åßò óôï óçìåßï 0 D. Ðñüôáóç Áí f; g D óõíå åßò óõíáñôþóåéò óôï óçìåßï 0 D êáé f ( 0 ) 0, ôüôå õðüñ åé ðåñéï Þ $ ( 0 ), ôýôïéá þóôå f ( 0 ) 0 ãéá êüèå $ ( 0 ), ïðüôå ç óõíüñôçóç =f Ý åé Ýííïéá ãéá êüèå D $ ( 0 ) êáé åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï 0 D. Óýìöùíá ìå ôéò éäéüôçôåò áõôýò ïé ðïëõùíõìéêýò, ñçôýò, õðåñâïëéêýò óõíáñôþóåéò åßíáé óõíå åßò óõíáñôþóåéò óôá ðåäßá ïñéóìïý ôùí. 8.. ÈåùñÞìáôá óõíå þí óõíáñôþóåùí Èåþñçìá (óýíèåôçò óõíüñôçóçò). óôù üôé ç óõíüñôçóç u = g() D åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï 0 D êáé ç óõíüñôçóç f(u) g(d) åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï u 0 = g ( 0 ) g(d). Ôüôå ç óýíèåôç óõíüñôçóç h() = f(g()) D åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï 0 D. ÐáñÜäåéãìá Ç óõíüñôçóç f() = ln ( + ) åßíáé óõíå Þò, åðåéäþ åßíáé óýíèåóç ôùí óõíå þí óõíáñôþóåùí (Ó ) f(u) = ln u; üôáí u = g() = + : Ãéá ôïí ïñéóìü ôçò ðåñéï Þò åíüò óçìåßïõ âëýðå ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò.

4 60 ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f y Ó Þìá : ÓõíÜñôçóç f() = ln ( + ), üôáí [ 5; 5]. ÓõíÜñôçóç + ðñüóéíç êáé ln ìðëå êáìðýëç. ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ç óõíüñôçóç f() = e åßíáé óõíå Þò, åðåéäþ åßíáé óýíèåóç ôùí óõíå þí óõíáñôþóåùí (Ó ) f(u) = e u ; üôáí u = : Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ùñßò áðüäåéîç ôá êõñéüôåñá èåùñþìáôá åðß ôùí f y 6 Ó Þìá : ÓõíÜñôçóç f() = e, üôáí [ ; ]. ÓõíÜñôçóç ðñüóéíç êáé e ìðëå êáìðýëç. óõíå þí óõíáñôþóåùí. Èåþñçìá (áíôßóôñïöçò óõíüñôçóçò). óôù üôé ç óõíüñôçóç f D åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï 0 D. Ôüôå, áí õðüñ åé ç áíôßóôñïöþ ôçò óõíüñôçóç f f(d), ç f èá åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï ç 0 = g ( 0 ) g(d).

5 ÈåùñÞìáôá óõíå þí óõíáñôþóåùí 6 Óýìöùíá ìå ôï Èåþñçìá ç ëïãáñéèìéêþ, ïé áíôßóôñïöåò ôñéãùíïìåôñéêýò êáé ïé áíôßóôñïöåò õðåñâïëéêýò óõíáñôþóåéò åßíáé óõíå åßò óõíáñôþóåéò. Èåþñçìá (Bolzano). óôù üôé ç óõíüñôçóç f() [a; b] åßíáé óõíå Þò ãéá êüèå [a; b]. Ôüôå, áí ff < 0, õðüñ åé ôïõëü éóôïí Ýíá óçìåßï ìå (a; b), Ýôóé þóôå f() = 0. (Ó a) ÅöáñìïãÝò ôïõ èåùñþìáôïò ãßíïíôáé óôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôùí åîéóþóåùí. ÐáñáôÞñçóç Áí ç ñßæá åßíáé ðïëëáðëþ ìå âáèìü ðïëëáðëüôçôáò Üñôéï áñéèìü, ôüôå ôï Èåþñçìá äåí éó ýåé (Ó b) f g Ó Þìá : Èåþñçìá ôïõ Bolzano: f() = + + äéüóôçìá [ ; ] êáé =. g() = ( ) üðïõ ç ñßæá = Ý åé ðïëëáðëüôçôá êáé ôï èåþñçìá äåí åöáñìüæåôáé. Èåþñçìá (ãåíßêåõóç Bolzano Þ åíäéüìåóùí ôéìþí). óôù f [a; b] ìßá óõíå Þò óõíüñôçóç êáé f = ç, f = ç ìå ç ç. Áí õðïôåèåß ùñßò ðåñéïñéóìü ôçò ãåíéêüôçôáò üôé ç < ç, ôüôå ãéá êüèå ç (ç ; ç ), õðüñ åé ôïõëü éóôïí Ýíá óçìåßï (ç ; ç ), Ýôóé þóôå f() = ç. Ôï èåþñçìá ãåùìåôñéêü óçìáßíåé üôé êüèå åõèåßá ìå åîßóùóç y = ç, ôýìíåé ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò óõíüñôçóçò óå Ýíá ôïõëü éóôïí óçìåßï (Ó ). Óýìöùíá ôþñá ìå ôï Èåþñçìá áðïäåéêíýåôáé ôï ðáñáêüôù èåþñçìá ôçò ëãåâñáò: Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôï âéâëßï Á. ÌðñÜôóïò [] Êåö. 5.

6 6 ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f 5 Ó Þìá : Ãåíßêåõóç ôïõ èåùñþìáôïò ôïõ Bolzano. Èåþñçìá Áí Ýíá ðïëõþíõìï f() = a 0 + a + : : : + a ìå a 0 åßíáé ðåñéôôïý âáèìïý, åíþ ïé óõíôåëåóôýò ôïõ ðñáãìáôéêïß áñéèìïß, ôüôå õðüñ åé ìßá ôïõëü éóôïí ðñáãìáôéêþ ñßæá ôïõ. Èåþñçìá (ìýãéóôçò êáé åëü éóôçò ôéìþò). óôù üôé ç óõíüñôçóç f() [a; b] åßíáé óõíå Þò ãéá êüèå [a; b]. Ôüôå õðüñ åé Ýíá ôïõëü éóôïí óçìåßï [a; b], áíôßóôïé á óçìåßï [a; b], Ýôóé þóôå (Ó ) f() = min f(); áíôßóôïé á f() = ma f(): [a;b] [a;b] 8.. ÁóõíÝ åéá óõíüñôçóçò Óôçí ðáñüãñáöï áõôþ èá åîåôáóôïýí ôá åßäç áóõíý åéáò ìéáò óõíüñôçóçò (discontinuous function), ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò åöáñìïãýò. ÁóõíÝ åéá ïõ åßäïõò Ïñéóìüò Ç óõíüñôçóç f D èá ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï 0 D áóõíý åéá ïõ åßäïõò ôüôå êáé ìüíïí, üôáí õðüñ ïõí ïé ðëåõñéêýò ïñéáêýò

7 ÁóõíÝ åéá óõíüñôçóçò 6 f 5 Ó Þìá : Èåþñçìá : ìýãéóôï óôï (:5; 5:0) ðñüóéíï êáé åëü éóôï óôï (:65; :0) êüêêéíï óçìåßï. ôéìýò ôçò f óôï 0 D (Þ áðåéñßæïíôáé) êáé ìßá ôïõëü éóôïí áðü áõôýò åßíáé äéüöïñç áðü ôçí ôéìþ ôçò óõíüñôçóçò (Ó ). ÐáñáôçñÞóåéò Óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü Ý ïõìå ôéò ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò: I) ç áóõíý åéá íá äéïñèþíåôáé Þ íá áðáëåßöåôáé, üôáí (Ó ) lim 0 f() = lim + 0 f() = ë (8.. - ) ìå ë ðåðåñáóìýíï áñéèìü, äçëáäþ õðüñ åé ç ïñéáêþ ôéìþ ôçò óõíüñôçóçò f() = lim 0 f() = ë êáé åßíáé äéáöïñåôéêþ áðü ôçí ôéìþ ôçò óõíüñôçóçò óôï óçìåßï 0. II) Ç óõíüñôçóç f íá ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï 0 D ðåðåñáóìýíï Üëìá ìå ôéìþ, Ýóôù d, üðïõ d = lim f() lim f() ; (8.. - ) Óôá ó Þìáôá ôï óôïí -Üîïíá èá ïñßæåé ôï ðéèáíü óçìåßï áóõíý åéáò.

8 6 ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f Λ 5 Ó Þìá : ÐáñáôçñÞóåéò (I) ìå áóõíý åéá óôï 0 = ðñüóéíï êáé lim f() = ë êüêêéíï óçìåßï. äçëáäþ õðüñ ïõí ïé ðëåõñéêýò ïñéáêýò ôéìýò, åßíáé ðåðåñáóìýíåò êáé äéáöïñåôéêýò ìåôáîý ôïõò. ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç f() = :5 áí 0 ( ) áí 0 < áí < < : Èá åîåôáóôåß ç óõíý åéü ôçò ìüíï óôá óçìåßá ðïõ áëëüæåé ï ôýðïò ôçò, äçëáäþ óôá 0 êáé, åðåéäþ óå üëï ôï Üëëï ðåäßï ïñéóìïý ôçò ç f åßíáé óõíå Þò (Ó ). Ôüôå: a. Óçìåßï 0 = 0 Åßíáé lim 0 f() = :5 = lim 0 + f(), äçëáäþ ç f ðáñïõóéüæåé áóõíý åéá ïõ åßäïõò óôï óçìåßï 0 ìå Üëìá d = 0:5,

9 ÁóõíÝ åéá óõíüñôçóçò 65 f Ó Þìá : ÐáñáôçñÞóåéò (II) ÐáñÜäåéãìá ðïõ äéïñèþíåôáé (Ðåñßðôùóç I), áí ôåèåß áí 0 f() = ( ) áí 0 < : b. Óçìåßï 0 = lim f() = 0 = lim + f(), äçëáäþ ç f ðáñïõóéüæåé üìïéá áóõíý åéá ïõ åßäïõò óôï óçìåßï ìå Üëìá d =, ðïõ äåí äéïñèþíåôáé, åðåéäþ áðáéôåßôáé ç áëëáãþ ôïõ ôýðïõ ôçò f, óå áíôßèåóç ìå ôçí ðåñßðôùóç ðïõ áðáéôåßôáé ç áëëáãþ ìüíïí ìéáò óôáèåñüò. iii) Ç f íá ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï 0 D Üðåéñï Üëìá ôüôå êáé ìüíïí, üôáí ïé ðëåõñéêýò ïñéáêýò ôéìýò åßíáé äéáöïñåôéêýò ìåôáîý ôïõò êáé ç ìßá ôïõëü éóôïí áðü áõôýò áðåéñßæåôáé. ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç f() = áí 0 áí > 0:

10 66 ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f Ó Þìá : ÐáñáôçñÞóåéò (III) ÐáñÜäåéãìá ÅîåôÜæåôáé ç óõíý åéü ôçò ìüíï óôï óçìåßï ðïõ áëëüæåé ï ôýðïò ôçò, äçëáäþ óôï 0, åðåéäþ óå üëï ôï Üëëï ðåäßï ïñéóìïý ôçò ç f åßíáé óõíå Þò. Ôüôå lim f() = 0 + = lim 0 f(); 0 + äçëáäþ ç f ðáñïõóéüæåé áóõíý åéá ïõ åßäïõò óôï óçìåßï 0 ìå Üðåéñï Üëìá, ðïõ äåí äéïñèþíåôáé (Ó ). Ç f åßíáé áñéóôåñü óõíå Þò óôï óçìåßï 0 - ðëåõñéêþ óõíý åéá - åðåéäþ lim 0 f() = f(0) = 0. ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ïé óõíáñôþóåéò (Ó ) e áí < 0 f() = 0 áí = 0 êáé g() = e áí > 0: áí < 0 áí = áí > : H ìåëýôç ôùí ãßíåôáé áíüëïãá ìå åêåßíç ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò

11 ÁóõíÝ åéá óõíüñôçóçò 67 f g Ó Þìá : ÐáñáôçñÞóåéò (III): áóõíý åéá ìå Üðåéñï Üëìá. ÓõíÜñôçóç f() = ep ( ) : óçìåßï áóõíý åéáò 0 = 0. Ôï äéüãñáììá ôçò f, üôáí < 0 êüêêéíç êáé > 0 ìðëå êáìðýëç, åíþ ç åõèåßá y = - êáöý êáìðýëç - ïñßæåé ôçí ôéìþ lim ± f() = e 0 =. ¼ìïéá ç g() = ìå óçìåßï áóõíý åéáò 0 = (êáöý åõèåßá) êáé äéüãñáììá ôçò g, üôáí < êüêêéíç êáé > ìðëå êáìðýëç. ÁóõíÝ åéá ïõ åßäïõò Ïñéóìüò Ç óõíüñôçóç f D èá ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï 0 D áóõíý åéá ôïõ ïõ åßäïõò ôüôå êáé ìüíïí, üôáí äåí ïñßæåôáé ç ïñéáêþ ôéìþ ôçò f óôï óçìåßï 0 D. ÐáñÜäåéãìá H óõíüñôçóç f() = sin áí 0 0 áí = 0 åßíáé óõíå Þò ãéá êüèå 0 ùò óýíèåóç ôùí óõíå þí óõíáñôþóåùí êáé g() = sin ( ) - Ó Ãéá ôç óõíý åéá óôï 0 åîåôüæïíôáé ôá ðëåõñéêü üñéá ôçò f. óôù ïé áêïëïõèßåò a = = ìå = ; ; : : : êáé b = ÂëÝðå ÌÜèçìá ÓåéñÝò - Áêïëïõèßåò. + = ìå = ; ; : : :

12 68 ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò üðïõ lim a = lim b = 0. Ôüôå lim f (a ) = lim f (b ) = ( ) ( + ( sin ) sin ) = + ( ) = ; åíþ ( + ) = + (+) = + ; äçëáäþ ãéá ôçí ßäéá óõíüñôçóç Ý ïõìå äéáöïñåôéêü üñéá óôï óçìåßï 0, ðïõ åßíáé Üôïðï óýìöùíá ìå ôçí éäéüôçôá ôïõ ìïíïóþìáíôïõ ôïõ ïñßïõ êáé åðïìýíùò Ý ïõìå óôï 0 áóõíý åéá ôïõ ïõ åßäïõò. f g Ó Þìá : ÓõíÜñôçóç f() = sin ( ). g() = sin ( ). ÁóêÞóåéò. Íá åîåôáóôïýí ùò ðñïò ôç óõíý åéá óå üëï ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí ïé ðáñáêüôù óõíáñôþóåéò f(): [ i) ; = ; 0; ] v) ( ] 0 ; = + ; ; cos ; [ ; 0) ; 0 ii) vi) ; [0; ) ; = 0 ; [; ]

13 iii) + ; 0 ; = 0 ÁóõíÝ åéá óõíüñôçóçò 69 vii) + ; 0 ; = 0 iv) cos sin + ; 0 sin viii) ; = k; + e = ; 0 ; = 0. ¼ìïéá ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí f() êáé íá ãßíåé ç ìïñöþ ôïõ äéáãñüììáôïò óôá Üêñá ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôùí ( ) i) e iv) sinh ii) iii) + e = v) ln(sin ) ( ep ) ( ) vi) tan.. ¼ìïéá ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí f() i) ln tan ( ) iv) tan ( ) ii) ( + ) tan v) e = iii) e =( ) vi) ln cos. Äåßîôå üôé ç åîßóùóç + = 0 Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ðñáãìáôéêþ ñßæá óôï äéüóôçìá (; ). ÁðáíôÞóåéò -: Ïé áðáíôþóåéò óôéò ÁóêÞóåéò ðñïêýðôïõí áðü ôá äéáãñüììáôá, ðïõ áêïëïõèïýí. Ôá ðéèáíü óçìåßá áóõíý åéáò 0 áðåéêïíßæïíôáé ìå, ôá áíôßóôïé á óçìåßá ( 0 ; f ( 0 )) ìå. Ïé åõèåßåò = 0 ìå äéáêåêïììýíåò ðñüóéíåò, åíþ ïé y = lim ± f() ìå äéáêåêïììýíåò

14 70 ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò êáöý ãñáììýò.. ÅöáñìïãÞ ôïõ ÈåùñÞìáôïò ôïõ Bolzano. f 6 f Ó Þìá : óêçóç: i, ii. f f 6 6 Ó Þìá : óêçóç: iii, v.

15 ÁóõíÝ åéá óõíüñôçóçò 7 f f Ó Þìá : óêçóç: v, vi. f f Ó Þìá : óêçóç: vii, viii. f f Ó Þìá : óêçóç: i, ii. 5 f f Ó Þìá : óêçóç: iii, v.

16 7 ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f f Ó Þìá : óêçóç: v, vi. f f Ó Þìá : óêçóç: i, ii. f 5 f Ó Þìá : óêçóç: iii, iv. f f Ó Þìá : óêçóç: v, vi.

17 8. Âéâëéïãñáößá [] ÌðñÜôóïò, Á. (0). ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç. ISBN 978{960{5{87{7. [] ÌðñÜôóïò, Á. (00). Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç. ISBN 960{5{5{5/978{960{5{5{. [] Finney, R. L. & Giordano, F. R. (00). Áðåéñïóôéêüò Ëïãéóìüò ÉÉ. ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò. ISBN 978{960{5{8{. [] Spiegel, M. & Wrede, R. (006). Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Ôæéüëá. ISBN 960{8{087{8. Âéâëéïãñáößá ãéá ðåñáéôýñù ìåëýôç ÐáðáäçìçôñÜêçò, Ì. (05). ÁíÜëõóç: ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò ìéáò ÌåôáâëçôÞò http : ==f ourier:math:uoc:gr= papadim=analysis n:pdf ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò: ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí èýóç ããñáöá Page 7

18 7

Σχετικά έγγραφα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται