Prof. dr DRAGICA JEVTIĆ, dipl.inž.tehn. DODACI BETONU

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Prof. dr DRAGICA JEVTIĆ, dipl.inž.tehn. DODACI BETONU"

Transcript

1 Prof. dr DRAGICA JEVTIĆ, dipl.inž.tehn. DODACI BETONU

2 Upotrebljavamo termin dodatak betonu ili aditiv (,,adjuvant" na francuskom,,,admixture" na engleskom) koji označava svaki proizvod dodat pri mešanju uobičajenih sastavnih delova maltera i betona, koji je u tečnom stanju ili u obliku praha, a dozira se prema masi (težini) cementa, u cilju promene izvesnih željenih karakteristika maltera i betona bilo u svežem, bilo pri prelazu iz svežeg u očvrsilo stanje, bilo u očvrslom stanju.

3 Upotreba dodataka malteru i betonu u cilju promene, izvesnih osobina maltera i betona stara je isto toliko koliko i upotreba samog cementa tj. uopšte veziva. Rimljani su već upotrebljavali krv, svinjsku mast i mleko kao dodatke pucolanskom malteru, da poboljšaju konzistenciju svežeg maltera. Mada Rimljani to nisu znali, krv je aerant i na taj način ovaj dodatak je bez ikakve sumnje poboljšavao trajnost rimskog maltera. Posle otkrivanja cementa i betona, dodaci betonu su najpre bili potcenjivani, svakako zbog neuspele primene, pa čak jedno vreme smatrani otrovom za cement".

4 Odlučni period nastupa kada se došlo do uverenja da dodaci koji su stvarali vazdušne mehurove u betonu povećavaju otpornost betona na uticaj mraza. Dakle, može se reći da je vazduh odigrao bitnu ulogu. S druge strane, kriterijum maksimalne gustine učinio je da se razviju plastifikatori, a prvi izveštaj o ovome tipu dodataka betonu bio je publikovan od strane Roša godine. Primena dodataka betonu u nas nije ni približno jednaka kao u svetu; dodaci betonu su primenjeni uglavnom na velikim gradilištima i pri izradi hidrotehničkog betona.

5 DODACI BETONU PREMA JUS STANDARDIMA I VEZA SA EN 934/2 Dodaci betonu prema JUS standardima Oblast Dodaci betonu obuhvataju sledeći domaći standardi: - JUS U.M1.034 (1996) Dodaci betonu, Definicije i klasifikacije, pri čemu, ovaj standard se ne odnosi na mineralne dodatke betonu; - JUS U.M1.035 (1996) Dodaci betonu, kvalitet i proveravanje kvaliteta; - JUS U.M1.036 (1996) Dodaci betonu, Priprema epruveta za ispitivanje uticaja dodataka na osobine betona;

6 - JUS U.M1.037 (1981) Dodaci betonu, Prethodno ispitivanje radi izbora dodataka betonu sa određenim agregatom i cementom; - JUS U.M1.038 (1996) Dodaci betonu, Određivanje potrebne količine vode za cementni malter sa dodatkom; -JUS U.M1.039 (1982) Dodaci betonu, Ispitivanja fizičkohemijskih svojstava; -JUS U.M1.044 (1982) Dodaci betonu, Ispitivanje uticaja dodataka na koroziju armature.

7 Prema ovim standardima tj. prema U.M1.034, dodaci betonu su podeljeni u sledeće grupe: -superplastifikatori -plastifikatori -aeranti -usporivači vezivanja -ubrzivači vezivanja -ubrzivači procesa očvršćavanja -zaptivači - dodaci za betoniranje pri niskim temperaturama.

8 Superplastifikatori: dodaci betonu koji smanjuju količinu vode za spravljanje betona date konzistencije za najmanje 12 %. Plastifikatori: dodaci betonu koji pri jednakoj količini vode poboljšavaju obradivost betona ili pri jednakoj obradivosti betona omogućuju smanjivanje količine vode do 12 %.

9 Aeranti: dodaci betonu koji pri mešaju betona izazivaju stvaranje mehurića vazduha koji su ravnomerno raspoređeni u masi betona i koji povećavaju postojanost prema mrazu. Usporivači vezivanja: dodaci betonu koji odgađaju početak i kraj vezivanja cementa. Ubrzivači vezivanja: dodaci betonu koji ubrzavaju vezivanje cementa. Iz ove grupe izuzimaju se ubrzivači za mlazni beton (torkret-beton).

10 Ubrzivač procesa očvršćavanja: dodaci betonu koji ubrzavaju očvršćavanje betona. Zaptivači: dodaci betonu koji hemijskim reakcijama ili mehaničkim putem povećavaju vodonepropustljivost betona. Dodaci za betoniranje pri niskim temperaturama: dodaci betonu koji omogućavaju betoniranje pri temperaturama ispod +5 C.

11 Dodaci betonu mogu imati kombinovani uticaj na svojstva betona. U tom slučaju, u nazivu grupe dolazi na prvo mesto njegova osnovna karakteristika koja ima najveći uticaj na svojstva betona. Na primer: -aerant - plastifikator, -usporivač vezivanja - plastifikator i sl.

12 Hemijski dodaci betonu prema EN 934/2 Oni se, prema ovom standardu, dele na sledeće grupe: 1. Hemijski dodaci reduktori vode/plastifikatori (Water reducing/plasticizing admixture) 2. Hemijski dodaci visokog stepena redukcije vode/superplastifikatori (High range water reducing/superplasticizing admixture) 3. Dodaci zadrživači vode (Water retaining admixture) 4. Hemijski dodaci aeranti (Air entraining admixture) 5. Hemijski dodaci ubrzivači vezivanja (Set accelerating admixture)

13 6. Hemijski dodaci ubrzivači procesa očvršćavanja (Hardening accelerating admixture) 7. Hemijski dodaci usporivači vezivanja (Set retarding admixture) 8. Hemijski dodaci zaptivači (Water resisting admixture) 9. Hemijski dodaci reduktori vode /plastifikatori sa efektom usporavanja vezivanja (Set retarding/water reducing/plasticizing admixture) 10. Hemijski dodaci visokog stepena redukcije vode/superplastifikatori sa efektom usporavanja vezivanja (Set retarding/high range water reducing/superplasticizing admixture) 11. Hemijski dodaci reduktori vode/plastifikatori sa efektom ubrzavanja vezivanja (Set accelerating/ water reducing/plasticizing admixture).

14 Hemijski dodaci reduktori vode/plastifikatori omogućavaju smanjenje količine vode bez uticaja na konzistenciju betonske mešavine, ili koji ne utičući na sadržaj vode povećavaju sleganje/ rasprostiranje betonske mešavine, ili proizvode simultano oba efekta. Hemijski dodaci visokog stepena redukcije vode/superplastifikatori omogućavaju bez uticaja na konzistenciju smanjenje sadržaja vode u visokom stepenu za datu betonsku mešavinu, ili koji bez uticaja na sadržaj vode povećavaju u značajnoj meri sleganje/rasprostiranje, ili proizvode simultano oba efekta.

15 Dodaci zadrživači vode smanjuju gubitak vode putem smanjenja izdvajanja vode na površini betona (bleeding). Hemijski dodaci aeranti proizvode sitne mehuriće vazduha uniformno raspoređene, koji ostaju prisutni i u očvrslom betonu. Hemijski dodaci ubrzivači vezivanja skraćuju vreme početka vezivanja (transformacija mešavine iz plastičnog u očvrslo stanje).

16 Hemijski dodaci ubrzivači očvršćavanja utiču na razvoj ranih čvrstoća betona, sa uticajem ili bez uticaja na vreme vezivanja. Hemijski dodaci usporivači vezivanja produžavaju vreme transformacije mešavine iz plastičnog u očvrslo stanje.

17 Hemijski dodaci zaptivači smanjuju kapilarno upijanje očvrslog betona. Hemijski dodaci reduktori vode/plastifikatori sa efektom usporavanja vezivanja po definiciji predstavljaju hemijske dodatke koji proizvode kombinovane efekte smanjenja sadržaja vode/efekat plastificiranja (primarni efekat) i efekat usporavanja vezivanja kao sekundarni efekat.

18 Hemijski dodaci visokog stepena redukcije vode/superplastifikatori sa efektom usporavanja vezivanja čine one hemijske dodatke koji proizvode kombinovane efekte visokog stepena redukcije vode/superplastificirajući efekat kao primarni i efekat usporavanja vremena vezivanja kao sekundarni. Hemijski dodaci reduktori vode /plastifikatori sa efektom ubrzavanja vezivanja imaju kombinovani efekat redukcije vode/ plastifikacije (kao primarni efekat) kao i efekat ubrzavanja vezivanja (sekundarni efekat).

19 Ako se analizira klasifikacija prema EN 934/2, vidi se da postoje hemijski dodaci sa osnovnim, primarnim svojstvom, kao i oni koji poseduju kako primarni, tako i sekundarni efekat, tj. deluju simultano na svojstva betona. Naime, radi se o kombinovanom efektu smanjenja sadržaja vode, tj. efektu plastificiranja ili superplastificiranja i efektu usporavanja ili ubrzavanja vezivanja (hemijski dodaci pod brojevima 9, 10 i 11).

20 Prema EN 934/2 postoji posebna grupa dodataka zadrživači vode (Water retaining admixture) koja kao posebna grupa ne postoji u domaćim standardima, dok u domaćim standardima postoji tip Hemijski dodaci za betoniranje pri niskim temperaturama, koji nije prisutan u EN 934/2.

21 Kvalitet i proveravanje kvaliteta dodataka betonu ispituje se u svemu prema JUS U.M1.035 (1996). Prema ovom standardu precizno se navodi kako se uzima prosečni uzorak za ispitivanje dodatka betonu. Nadalje, navedena su sva hemijska i fizičkohemijska ispitivanja dodataka koja treba obaviti kao i ispitivanje uticaja na osobine cementne paste i maltera i ispitivanje uticaja dodataka na osobine betona.

22 Tabela 1

23 Tabela 2

24 Tabela3.1. Specifični zahtevi zahemijskedodatkevisokogstepena redukcijevode(hrwr)/superplastifikatore(zaistukonzistenciju) Svojstvo 1 Redukcija vode 2 Čvrstoća pri pritisku 3 Sadržaj vazduha u svežem betonu Referentni beton EN referentni beton I EN referentni beton I EN referentni beton I Metoda ispitivanja sleganje EN ili rasprostiranje EN pren :1999 EN Zahtevi Na ispitivanoj mešavini 12% u odnosu na kontrolnu mešavinu na 1 dan: na ispitivanoj mešavini 140% u odnosu na kontrolnu mešavinu na 28 dana: na ispitivanoj mešavini 115% u odnosu na kontrolnu mešavinu Povećanje do 2% na ispitivanoj mešavini u odnosu na kontrolnu mešavinu

25 Tabela 3.2. Specifični zahtevi za hemijskedodatkevisokog stepena redukcijevode (hrwr) /superplastifikatore(pri konstantnomvodocementomfaktoru) Svojstvo Referentni beton Metoda ispitivanja Zahtevi 1 Porast konzistencije 2 Zadržavanje konzistencije 3 4 Čvrstoća pri pritisku Sadržaj vazduha u svežem betonu EN referentni beton IV EN referentni beton IV EN referentni beton IV EN referentni beton IV sleganje EN ili rasprostiranje EN sleganje EN ili rasprostiranje EN pren :1999 EN Porast sleganja 120 mm u odnosu na početno (30 ± 10) mm Porast rasprostiranja 160 mm u odnosu na početno (350 ± 20) mm 30 min nakon doziranja dodatka konzistencija na ispitivanoj mešavini ne sme da padne ispod vrednosti prvobitne konzistencije na kontrolnoj mešavini na 28 dana: na ispitivanoj mešavini 90% u odnosu na kontrolnu mešavinu Povećanje do 2% na ispitivanoj mešavini u odnosu na kontrolnu mešavinu

26 Tabela 4. Specifični zahtevi za dodatkezadrživačevode (pri istojkonzistenciji) Svojstvo Referentni beton Metoda ispitivanja Zahtevi 1 Izdvajanje vode (bleeding) 2 3 Čvrstoća pri pritisku Sadržaj vazduha u svežem betonu EN referentni beton II EN referentni beton II EN referentni beton II EN pren :1999 EN Na ispitivanoj mešavini smanjenje od 50% u odnosu na kontrolnu mešavinu na 28 dana: na ispitivanoj mešavini 80% u odnosu na kontrolnu mešavinu Povećanje do 2% na ispitivanoj mešavini u odnosu na kontrolnu mešavinu

27 Tabela 5. Specifični zahtevi za hemijske dodatke aerante (pri istojkonzistenciji) Svojstvo Referentni beton Metoda ispitivanja Sadržaj vazduha u svežem betonu (uvučeni vazduh) Karakteristike pornog prostora u očvrslom betonu Čvrstoća pri pritisku EN referentni beton III EN referentni beton III EN referentni beton III EN EN c pren :1999 Zahtevi Povećanje od 2,5% po zapremini na ispitivanoj mešavini u odnosu na kontrolnu; ukupan sadržaj vazduha 4% - 6% (zapreminski) a Faktor razmaka (spacing factor) kod ispitivane mešavine 0,200 mm na 28 dana: na ispitivanoj mešavini 75% u odnosu na kontrolnu mešavinu a Svi zahtevi se odnose na istu ispitivanu mešavinu. b Dozaža se ne preporučuje, već treba prethodnim probama dostići zahtevani sadržaj vazduha c EN je referentna metoda. Mogu se koristiti i druge metode za određivanje faktora razmaka (spacing factor) čime će se dobiti isti rezultati kao i za metodu EN

28 Tabela 6. Specifični zahtevi za hemijske dodatke ubrzivače vremena vezivanja (pri istojkonzistenciji) Svojstvo Početak vremena vezivanja Čvrstoća pri pritisku Sadržaj vazduha u svežem betonu Referentni malter/beton Metoda ispitivanja EN malter EN EN referentni beton I EN referentni beton I pren :1999 EN Zahtevi Na 20 o C: 30 min na ispitivanoj mešavini; Na 5 o C: na ispitivanoj mešavini 60% u odnosu na kontrolnu mešavinu na 28 dana: 80% u odnosu na kontrolnu mešavinu na 90 dana na ispitivanoj mešavini od kontrolne mešavine na 28 dana Povećanje od 2% na ispitivanoj mešavini od kontrolne mešavine na 28 dana

29 Tabela 7. Specifični zahtevi za hemijske dodatke ubrzivače očvršćavanja (pri istojkonzistenciji) Svojstvo Referentni beton Metoda ispitivanja 1 Čvrstoća pri pritisku 2 Sadržaj vazduha u svežem betonu EN referentni beton I EN referentni beton I pren :1999 EN Zahtevi na 20 o C, posle 24 h: na ispitivanoj mešavini 120% u odnosu na kontrolnu mešavinu; na 20 o C, posle 28 dana: na ispitivanoj mešavini 90% u odnosu na kontrolnu mešavinu; na 5 o C, posle 48 h: na ispitivanoj mešavini 130% u odnosu na kontrolnu Povećanje do 2% po zapremini na ispitivanoj mešavini u odnosu na kontrolnu mešavinu

30 Tabela 8. Specifični zahtevi za hemijske dodatke usporivače vremena vezivanja (pri istojkonzistenciji) Svojstvo 1 Vreme vezivanja 2 3 Čvrstoća pri pritisku Sadržaj vazduha u svežem betonu Referentni malter/beton Metoda ispitivanja EN malter EN EN referentni beton I EN referentni beton I pren :1999 EN Zahtevi Početak: na ispitivanoj mešavini kontrolna mešavina +90 min Kraj: na ispitivanoj mešavini kontrolna mešavina min na 7 dana: na ispitivanoj mešavini 80% u odnosu na kontrolnu mešavinu na 28 dana: na ispitivanoj mešavini 90% u odnosu na kontrolnu mešavinu Povećanje do 2% na ispitivanoj mešavini u odnosu na kontrolnu mešavinu

31 Tabela 9. Specifični zahtevi za hemijske dodatke zaptivače (pri istojkonzistenciji ili istomvodocementnomfaktoru) a Svojstvo 1 Kapilarna apsorpcija 2 3 (upijanje) Čvrstoća pri pritisku Sadržaj vazduha u svežem betonu Referentni malter/beton Metoda ispitivanja EN malter EN EN referentni beton I EN referentni beton I pren :1999 EN Zahtevi Ispitivanje na 7 dana, nakon 7 dana nege: na ispitivanoj mešavini 50% po masi u odnosu na kontrolnu mešavinu Ispitivanje na 28 dana posle 90 dana nege: na ispitivanoj mešavini 60% po masi u odnosu na kontrolnu mešavinu na 28 dana: 85% u odnosu na kontrolnu mešavinu Povećanje do 2% na ispitivanoj mešavini u odnosu na kontrolnu mešavinu a Sva ispitivanja se obavljaju ili pri istoj konzistenciji ili pri istom vodocementnom faktoru

32 Tabela 10. Specifičnizahtevi zahemijske dodatkereduktorevode/ plastifikatoresa efektomusporavanjavezivanja(zaistu konzistenciju) 1 Svojstvo Čvrstoća pri pritisku 2 Vreme vezivanja 3 Redukcija vode 4 Sadržaj vazduha u svežem betonu Referentni malter/beton EN referentni beton I Metoda ispitivanja pren :1999 EN malter EN EN referentni beton I EN referentni beton I Sleganje EN ili rasprostiranje EN EN Zahtevi na 28 dana: na ispitivanoj mešavini 100% u odnosu na kontrolnu mešavinu Početak: na ispitivanoj mešavini od kontrolne mešavine + 90 min; Kraj: na ispitivanoj mešavini od kontrolne mešavine min Na ispitivanoj mešavini 5% u odnosu na kontrolnu mešavinu Povećanje do 2% na ispitivanoj mešavini u odnosu na kontrolnu mešavinu

33 Tabela Specifičnizahtevi za hemijskedodatkevisokog stepena redukcijevode (hrwr) /superplastifikatoresa efektomusporavanja vezivanja (za istu konzistenciju) Svojstvo 1 Čvrstoća pri pritisku 2 Vreme vezivanja 3 Redukcija vode 4 Sadržaj vazduha u svežem betonu Referentni malter/beton EN referentni beton I Metoda ispitivanja pren :1999 EN malter EN EN referentni beton I EN referentni beton I Sleganje EN ili rasprostiranje EN EN Zahtevi na 7 dana: na ispitivanoj mešavini 100% u odnosu na kontrolnu mešavinu na 28 dana: na ispitivanoj mešavini 115% u odnosu na kontrolnu mešavinu Početak: na ispitivanoj mešavini od kontrolne mešavine + 90 min Kraj: na ispitivanoj mešavini od kontrolne mešavine min Na ispitivanoj mešavini 12% u odnosu na kontrolnu mešavinu Povećanje do 2% na ispitivanoj mešavini u odnosu na kontrolnu mešavinu

34 Tabela Specifičnizahtevi za hemijskedodatkevisokog stepena redukcijevode (hrwr)/superplastifikatoresa efektom usporavanja vezivanja (pri istomvodocementnomfaktoru) Svojstvo 1 Zadržavanje konzistencije 2 Čvrstoća pri pritisku 3 Sadržaj vazduha u svežem betonu Referentni malter/beton EN referentni beton IV EN referentni beton IV EN referentni beton I Metoda ispitivanja Sleganje EN ili rasprostiranje EN pren :1999 EN Zahtevi 60 min posle dodavanja hemijskog dodatka konzistencija ne sme da padne ispod vrednosti konzistencije dobijene na kontrolnoj mešavini na 28 dana: na ispitivanoj mešavini 90% u odnosu na kontrolnu mešavinu Povećanje do 2% na ispitivanoj mešavini u odnosu na kontrolnu mešavinu

35 Tabela 12. Specifični zahtevi za hemijskedodatkereduktore vode/plastifikatoresa efektomubrzavanja vezivanja (za istu konzistenciju) 1 2 Svojstvo Čvrstoća pri pritisku Početak vremena vezivanja 3 Redukcija vode 4 Sadržaj vazduha u svežem betonu Referentni beton/malter EN referentni beton I Metoda ispitivanja pren :1999 EN malter EN EN referentni beton I EN referentni beton I Sleganje EN ili rasprostiranje EN EN Zahtevi na 28 dana: na ispitivanoj mešavini 100% u odnosu na kontrolnu mešavinu Na 20 o C: na ispitivanoj mešavini 30 min na 5 o C: na ispitivanoj mešavini 60% u odnosu na kontrolnu mešavinu Na ispitivanoj mešavini 5% u odnosu na kontrolnu mešavinu Povećanje do 2% na ispitivanoj mešavini u odnosu na kontrolnu mešavinu

36 Tabela 14. Zahtevi za referentni beton Referentni beton I Vrsta hemijskog dodatka reduktori vode/plastifikatori hrwr/superplastifikatori ubrzivači vezivanja ubrzivači očvršćavanja usporivači vezivanja Sadržaj cementa 4) kg/m 3 Sleganje 2) (mm) Konzistencija Rasprostiranje 2) (mm) 350 ± 5 70 ± ± 20 zaptivači II zadrživači vode 3) 350 ± ± ± 20 III aeranti 350 ± 5 50 ± ± 10 IV hrwr/superplastifikatori 350 ± 5 30 ± ± 20

37 REZULTATI SOPSTVENIH ISPITIVANJA Uticaj superplastifikatora na promenu konzistencije, čvrstoće i trajnosti betona U daljem će se prikazati rezultati sopstvenih laboratorijskih ispitivanja primene jednog superplastifikatora na bazi melmenta. Radi se o promeni konzistencije betona u zavisnosti od procenta upotrebljenog superplastifikatora, kao i o čvrstoćama betona pri pritisku za slučaj kada se upotrebom superplastifikatora smanjuje potrebna količina vode u betonu uz uslov obezbedjenja iste konzistencije. Reprezentovaće se rezultati ispitivanja koji se odnose kako na mešavine betona spravljene bez dodatka superplastifikatora, tako i na one izrađene sa dodatkom superplastifikatora.

38 Kod svih betonskih mešavina bila je prisutna ista vrsta, klasa i količina cementa (PC 30z45B kg/m3) fabrike Beočin, kao i ista granulometrijska kompozicija agregata. Primenjen agregat je bio rečni, "Moravac", separisan u četiri uobičajene frakcije (0/4, 4/8, 8/16 i 16/31,5 mm). U granulometrijskoj kompoziciji bile su prisutne sledeće količine pojedinih frakcija 0/4-30%; 4/8-20%; 8/16-20% i 16,31,5-30%. Uzorci su spravljeni u laboratorijskoj protivstrujnoj mešalici kapaciteta 120 litara, tipa Eirich, a ugradjivani na vibro stolu Vibro- Verken sa 2890 vibracija/min i amplitudom cca 1 mm. Konzistencija betonskih mešavina ispitivana je na dva načina: preko mere sleganja (standard JUS U.M8.050) i preko Vebe metode (standard JUS U.M8.054).

39 Na sl. 1 prikazani su rezultati merenja konzistencije mešavina u funkciji vodocementnih faktora i upotrebljcne količine superplastifikatora. Vodocementni faktori izradjenih mešavina, kao što se vidi, varirali su izmedju 0,35 i 0,70. Sl. 1. Zavisnost konzistencije betona od vodocementnog faktora i sadržaja superplastifikatora

40 Prema tome, dakle, tretirano je sedam betonskih mešavina bez dodatka superplastifikatora (elaloni) i sedam betonskih mešavina sa dodatkom superplastifikatora. Na spravljenim betonskim uzorcima, tj. na očvrslom betonu, odredjivana je čvrstoća pri pritisku nakon 28 dana. Rezultati ispitivanja prikazani su na sl. 2.

41 Na osnovu sprovodenih ispitivanja može se zaključiti da se pri modeliranju karakteristika betona u posmatranim slučajevima najveći efekti ostvaruju kod betona plastične konzistencije, kod kojih je vodocementni faktor izmedju 0,45 i 0,50. Betoni iste konzistencije bez superplastifikatora zahtevaju vodocementne faktore koji se kreću izmedju 0,50 i 0,55, što znači da se radi o razlikama u količini vode za oko 10%. Medjutim, pod ovakvim uslovima postoji osetna razlika u ostvarenim čvrstoćama betona; čvrstoće betona sa superplastifikatorom su za više od 30% iznad čvrstoća betona etalona (sl. 2).

42 Sl. 2. Zavisnost čvrstoće pri pritisku betona od vodocementnog faktora i sadržaja superplastifikatora

43 Sa sl. 1 zaključuje se da se primenom superplastifikatora širi područje prihvatljivih betonskih mešavina tj. i sa nižim vodocementnim faktorima, a uz primenu superplastifikatora, dobijaju se mešavine zadovoljavajućeg stepena ugradljivosli. Koji procenat dodatka superplastifikatora treba dozirati da bi se dobila tražena konzistencija pokazaće prethodne probe kojima pri ovakvim ispitivanjima treba pokloniti posebnu pažnju. Visoki vodocementni faktori, kako pokazuju ova ispitivanja, ne treba da se kombinuju sa dodatkom superplastifikatora, jer se time uz vrlo malo smanjivanje sadržaja vode za odredjenu konzistenciju, ostvaruju zanemarljivo mala povećanja čvrstoća pri pritisku. To je i potpuno razumljivo, jer ovakvi betoni već sami po sebi imaju potrebnu plastičnost, a dodatak superplastifikatora može da proizvede i štetan efekat u smislu pojave segregacije.

44 Na osnovu svega napred izloženog nameće se zaključak da se upotrebom superplastifikatora ne utiče samo na poboljšavanje tehnoloških karakteristika svežeg betona. Zahvaljujući smanjenoj količini vode, betoni spravljeni sa superplastifikatorima, po pravilu, imaju uvek manju kapilarnu poroznost od analognih betona spravljenih bez superplastifikatora, pa u svetlu poznatih stavova o strukturi betona proizilazi da će ovi betoni imati i poboljšane fizičko-mehaničke karakteristike, kao i povećanu trajnost.

45 Mogućnost dobijanja visokih ranih čvrstoća betona Kao sledeći primer modifikovanja svojstava betona biće prikazana mogućnost dobijanja betona visokih ranih čvrstoća simultanom upotrebom superplastifikatora i jednog ubrzivača, što znači da će se dovoljno visoke vrednosti čvrstoća betona u kratkom roku dobiti uticanjem na proces hidratacije cementa kako na hemijskoj, tako i na fizičkoj osnovi. Pri ovome će se poći od uslova da predmetni beton i u svežem stanju zadovoljava odredjene uslove, a to su plastična konzistencija, mogućnost transportovanja i ugradjivanja pomoću betonske pumpe, kao i mogućnost njegovog kompaktiranja primenom uobičajenih tipova vibratora. Drugim rečima neće se koristiti mešavine izuzetno krutih konzistencija (sa malo tečne faze), pošto je poznato da se visoke rane čvrstoće dobrim delom mogu ostvariti i na ovaj način, jer bi usvajanje ovakvih mešavina zahtevalo i primenu naročitih tehnoloških postupaka u fazi ugradjivanja (vrlo intenzivno vibriranje, presovanje i sl.).

46 Mehanizam simultanog delovanja superplastifikatora i ubrzivača na brzinu procesa hidratacije cementa, kao što je već pomenuto, svodi se na simultano ispoljavanje hemijskih i fizičkih efekata. Ubrzivači, kao što je poznato, intenziviraju reakciju hidrolize i hidratacije klinker minerala, a naročito trikalcijumsilikata (C 3 S). Putem odredjenih hemijskih reakcija povećava se specifična površina produkata hidratacije, menja se morfologija i dimenzionalni raspored gelskih i kapilarnih pora, čime se u krajnjoj liniji znatno brže ostvaruje relativno visok nivo kompaktnosti cementnog kamena, odnosno betona. Treba samo imati u vidu da su danas u primeni dve osnovne vrste ubrzivača: ubrzivači na bazi hlorida i tzv. bezhlorni ubrzivači. Čini se da u praktičnoj primeni prednost treba dati ovom drugom tipu ubrzivača, pošto supstance na bazi hlorida, ukoliko se primenjuju u znatnijim količinama mogu da prouzrokuju koroziju čelika u konstrukcijama od armiranog i prednapregnutog betona.

47 Za obezbedjenje visokih ranih čvrstoća betona, u konkretnom slučaju usvojeni su sledeći polazni parametri za projektovanje betona: - čvrstoća pri pritisku, dobijena putem ispitivanja betonskih kocki sa ivicama 20 cm, nakon 16 h treba da iznosi min. 8 MPa; - konzistencija sveže betonske mase, izražena putem veličine sleganja Abramsovog konusa, treba da se kreće u granicama 8-10 cm; -količina cementa i granulometrijski sastav agregata treba da odgovaraju poznatim kriterijumima za pravilno unošenje betona u oplatu putem betonske pumpe; -usvojene količine dodataka betonu (ubrzivača i superplastilikatora) treba da garantuju vreme obradljivosti betona od min 1 h, na temperaturi 20 C i pri relativnoj vlažnosti vazduha od 60-70%.

48 Konkretna betonska mešavina odabrana je nakon izvršenih prethodnih ispitivanaja efikasnosti više tipova superplastifikatora i ubrzivača nekoliko domaćih proizvodjača, pri čemu se kroz ova ispitivanja tražio odgovor na pitanje u vezi najpovoljnije kombinacije upotrebljenih dodataka i njihove kompatibilnosti sa upotrebljenim cementom (u datom slučaju odabran je cement PC 30z45B, fabrike Beočin) tako da je sa tim cementom kao optimalno rešenje dobijena kombinacija jednog bezhlornog ubrzivača u količini od 2% u odnosu na masu cementa, koji je bio u praškastom stanju, i jednog superplastifikatora na bazi melmenta u količini od 6% u odnosu na masu cementa, koji je bio u tečnom stanju.

49 Treba naglasiti da su zadovoljavajući rezultati u pogledu konzistencije svežeg betona dobijeni i sa količinom superplastifikatora od 3%, ali se pokazalo da se sa ovom količinom superplastifikatora ne može obezbediti zahtevano vreme obradljivosti. Naime, beton sa manjim sadržajem superplastifikatora vrlo brzo ispoljava tendenciju smanjivanja veličine sleganja po Abramsu, tako da veličina sleganja posle 15 minuta pada na svega 5-6 cm što nije dovoljno pri primeni postupka unošenja sveže betonske mase u oplatu putem pumpe za beton.

50 S obzirom da je u pitanju ''pumpani" beton, kao i s obzirom na to da je u predmetnom agregatu bilo prisutno izuzetno malo čestica krupnoće ispod 0,25 mm, usvojena je količina cementa od 400 kg/m 3, što je nešto više od uobičajeno potrebne količine za ovakvu vrstu betona. Upotrebljen je "savski" agregat, pran i separisan u četiri frakcije.

51 Sastav sveže betonske mešavine bio je: Cement 400 kg/m 3 Agregat 1870 kg/m 3 Voda140 kg/m 3 Superplastifikator 24 kg/m 3 Ubrzivač 8 kg/m 3 Zapreminska masa svežeg betona 2442 kg/m 3 Sleganje h = 9 cm Vebe t = 3,5 s.

52 Ispitivanje čvrstoće predmetnog betona vršeno je na uzorcima oblika kocke ivica 20 cm pri starostima betona od 8, 16 i 24 h, kao i nakon 28 dana. Rezultati ispitivanja prikazani su u narednoj tabeli.

53 Tabela 3. Zavisnost čvrstoća pri pritisku u funkciji vremena Čvrstoće pri pritisku (MPa) 8 časova 16 časova 24 časa 28 dana 4,31 10,44 15,77 45,66

54 Na osnovu prikazanih rezultata može se zaključiti da se simultanom upotrebom superplastifikatora i ubrzivača mogu relativno lako ostvariti dovoljno visoki nivoi ranih čvrstoća betona. Dobijene čvrstoće pri pritisku su tolike da se monolitne betonske konstrukcije već posle 16 časova mogu osloboditi pojedinih delova oplate (npr. bočnih strana u slučaju grednih nosača), a u pojedinim slučajevima već nakon 24 časa oplata se može ukloniti i u potpunosti. U slučaju fabričke proizvodnje betonskih elemenata i konstrukcija, pak, ostvarene visoke rane čvrstoće nakon 16 i 24 časa mogu značajno da povećaju stepen iskorišćenja kalupa (oplata), tako da se na ovaj način, a takodje i zbog uštede energije potrebne pri primeni odredjenih postupaka ubrzanog očvršćavanja (zaparivanje, zagrevanje putem električne struje i dr.), mogu ostvariti veoma povoljni ekonomski efekti.

55 Simultana upotreba superplastifikatora i zaptivača Da bi se postigli željeni efekti, u praksi se veoma često kombinuju dva ili više dodatka betonu. Za izradu jednog plivačkog bazena postavljen je uslov čvrstoće pri pritisku -MB 35, čvrstoće pri zatezanju -min 2,0 MPa, vodonepropustljivosti - max. visina kvašenja prema DiNu cm i minimalnog mogućeg skupljanja. Prikazaće se rezultati laboratorijskih ispitivanja betonskih mešavina za predmetni plivački bazen, za pumpani beton, koje su spravljene sa Dmax = 31,5 mm (oznaka 1) ili sa Dmax - 16 mm (oznaka 2). U oba slučaja upotrebljen je cement PC 15z45B, Novi Popovac. Sastavi ovih mešavina prikazani su u tabeli 4, a mehaničke karakteristike u tabeli 5.

56 Tabela 4. Sastav mešavina za pumpani beton Cement (kg/m 3 ) PC15z45B Agregat (kg/m 3 ) 0/4 4/8 8/16 16/31,5 Voda Vodocementni faktor Aditivi (ukupno kg/m 3 ) Superplastifikator Zaptivač Fluidocementni faktor Zapreminska masa u svežem stanju (kg/m 3 ) Sleganje po Abramsu (cm) ,371 12,25 5,25 7,00 0, ,400 13,30 5,7 7,6 0,

57 Tabela 5. Rezultati ispitivanja čvrstoće pri pritisku Oznaka betona Čvrstoća pri pritisku (MPa) Odnos čvrstoće dana 38,2 39,0 38,1 38,43 36,2 37,0 36,8 36,67 28 dana 49,50 49,90 50,50 49,96 54,50 53,90 53,75 54,05 0,770 0,678

58 Kao što se vidi, mada se radilo o betonskim mešavinama sa sleganjem izmedju 9-11 cm (što se tražilo za pumpani beton), ove mešavine pokazale su visoke mehaničke karakteristike (50-54 MPa), i to uz primenu umerenih količina cementa ( kg/m 3 ). Visine kvašenja prema DIN-u 1048 iznosile su max. 2,2 cm i 2,1 cm, za oznaku 1, i oznaku 2, respektivno, što je znatno niže od postavljenog zahteva. Srednje vrednosti čvrstoća pri zatezanju cepanjem iznosile su 2,21 MPa (oznaka 1) i 2,44 MPa (oznaka 2).

59 Uticaj superplastifikatora na vrstu cementa Uticaj dodatka betonu superplastifikatora na svojstva betona u funkciji upotrebljene vrste cementa prikazaće se na sledećem primeru. Za eksperimentalna istraživanja primenjeni su cementi oznaka PC 45B i PC 30z45B istog proizvodjača, fabrike Beočin, što znači da se radilo o jednom čistom portland cementu i jednom komercijalnom cementu sa 30% zgure, na bazi istog portland cementnog klinkera. U oba slučaja klasa cementa je bila 45B, što znači brži prirast čvrstoće.

60 Usvojene su mešavine oznaka A, B i C, sa konstantnom količinom cementa od 350 kg/m 3 betona, što u oblasti tehnologije betona predstavlja jednu srednju dozu cementa. Pored ovoga, ova doza je optimalna i sa gledišta primene superplastifikatora, pošto efekti dejstva superplastifikatora kao što je napred već rečeno, zavise i od upotrebljene količine cementa. Kod ovih ispitivanja, dakle, želelo se da se oceni efikasnost superplastifikatora, kako za slučaj uobičajenih (umerenih) količina cementa, tako i za slučaj umerenih doza samog superplastifikatora.

61 Mešavina oznake A odgovara betonu spravljenom sa čistim portland cementom, mešavina oznake B je isto tako beton spravljen sa čistim portland cementom, ali uz dodatak 2% superplastifikatora, dok je mešavina sa oznakom C beton spravljen od komercijalnog cementa PC 30z45B, takodje uz dodatak 2% superplastifikatora. Kod svih mešavina korišćen je agregat "Moravac" separisan i pran u ukupnoj količini od 1930 kg/m3 betona, pri čemu je njegov granulometrijski sastav definisan sledećim učešćem pojedinih kategorija zrna: 0/2 20%, 2/4 12%, 4/8 16%, 8/16, 21% i 16/31,5 31%.

62 Količina vode u pojedinim mešavinama odredjivana je na bazi uslova istih konzistencija, što znači da se težilo da se dobiju mešavine približno istih stepena ugradljivosti. Pošlo se od uslova da sve tri vrste betona (A, B i C) budu približno normalno plastične konzistencije tj. da imaju meru konzistencije 3-5 sekundi po Vebeu. Ovaj uslov je zadovoljen sa vodocementnim faktorima prikazanim u tabeli 6.

63 Tabela 6. Vodocementm faktori i konzistencije betonskih mešavina A, B i C Oznaka uzoraka V/C % dodatka Sleganje Mere konzistencije Vebe Rasprostiranje Zapreminska masa svež.bet. cm (s) (cm) g b (kg/m 3 ) A 0,504 / 5,5 3, B 0, ,0 4, C 0, ,5 4,

64 Napominje se, da je kod betona oznake B i oznake C količina tečna faze smanjena u odnosu na beton oznake A za oko 18%, a za slučaj iste konzistencije. Čvrstoće pri pritisku betonskih mešavina oznaka A, B i C prikazane su na sl. 3. Kao što se vidi, vrsta cementa i njegova kompatibilnost sa upotrebljenim dodatkom, u ovom slučaju superplastifikatorom, bitno opredeljuje karakteristike betona.

65 Beton oznake C ima nešto sporiji prirast čvrstoće do starosti od oko 7 dana u odnosu na beton oznake B, dok docnije, prirast njegove čvrstoće postaje intenzivniji, tako da već pri starosti od 28 dana pokazuje najveće vrednosti čvrstoća. Beton oznake B u vremenu od 28 dana ima nešto nižu čvrstoću od betona C, dok je čvrstoća betona A u istom vremenu oko 40% manja od čvrstoće betona C.

66 Slika 3. Čvrstoća betona A, B i C u funkciji vremena

67 ZAKLJUČAK Na osnovu svega izloženog, može se zaključiti da se znalačkom upotrebom dodataka betonu može značajno uticati na modeliranje karakteristika betona, kako u svežem, tako i u očvrslom stanju. Pri tome, neophodno je prethodnim probama odabrati procenat dodatka betonu i potvrditi njegovu kompatibilnost sa odredjenom vrstom cementa. Ako se, na primer, superplastifikator kombinuje sa još nekim dodatkom betonu (ubrzivač, zaptivač, itd.) procenat dodatka i kompatibilnost sa odabranim superplastifikatorom takodje treba dokazati prethodnim probama na osnovu važećih standarda.

68 Na kraju treba istaći da ne treba očekivati da će se upotrebom dodataka betonu postići željeni kvalitet ako se po ostalim parametrima izrade betona nije pravilno postupilo. Dodaci betonu nisu neki čudotvorni proizvodi koji bi, na primer, poboljšali još cement, ili omogućili da se od nepovoljne granulometrijske kompozicije napravi kvalitetan beton. Ako beton nema dobar granulometrijski sastav, ili je tokom ugradnje segregirao, nikakvi dodaci za povećanje nepropustljivosti betona neće koristiti. Upotreba dodatka betonu opravdana je samo onda kada su preduzete sve mere da se dobije kvalitetan beton, pa da se stručnom upotrebom dodataka betonu očekuje dalje poboljšanje.

69 Dodatke betonu ne treba primenjivati po svaku cenu, kao što ih ne treba apriori odbacivati. Treba istaći i to da nema dodatka sa tako širokim spektrom dejstva kojim bi se mogle poboljšati sve željene osobine betona, tim pre što su neke od njih međusobno suprotne.

70 Mora se uvek znati šta pomoću dodataka betonu treba da se postigne i kakav će biti njhov uticaj na beton u svakom pogledu. Na području modernog građevinarstva, dodaci betonu su nešto novo. Godinama je beton bio poznat kao mešavina cementa, agregata i vode. Danas se zna da se ovaj sastav može znalačkom i stručnom primenom dodataka betonu poboljšati, pa oni sve češće postaju četvrta komponenta betona.

71 HEMIJSKI DODACI BETONU PREMA EN 934/2 Prema EN 934/2:2002 Hemijski dodaci za beton, malter i injekcione mase, tj. Admixtures for concrete, mortar and grout - Part 2: Concrete admixtures - Definitions, requirements, conformity, marking and labelling, po definiciji predstavljaju materije koje se dodaju za vreme procesa mešanja (spravljanja) betona u količini ne većoj od 5% u odnosu na masu cementa, da bi promenili svojstva betonske mešavine u svežem i/ili u očvrslom stanju.

72 1. Hemijski dodaci reduktori vode/plastifikatori (Water reducing/plasticizing admixture) 2. Hemijski dodaci visokog stepenaredukcije vode/superplastifikatori (High range waterreducing/superplasticizing admixture) 3. Dodaci zadrživači vode(water retaining admixture) 4. Hemijski dodaci aeranti (Air entraining admixture) 5. Hemijski dodaci ubrzivači vezivanja(set accelerating admixture) 6. Hemijski dodaci ubrzivači procesaočvršćavanja(hardening accelerating admixture) 7. Hemijski dodaci usporivači vezivanja(set retarding admixture) 8. Hemijski dodaci zaptivači (Water resisting admixture) 9. Hemijski dodaci reduktori vode /plastifikatori saefektomusporavanjavezivanja (Set retarding/water reducing/plasticizing admixture) 10. Hemijski dodaci visokog stepenaredukcije vode/superplastifikatori saefektom usporavanjavezivanja(set retarding/high range water reducing/superplasticizing admixture) 11. Hemijski dodaci reduktori vode/plastifikatori saefektomubrzavanjavezivanja (Set accelerating/water reducing/plasticizing admixture).

73 Svojstvo Metoda ispitivanja Zahtevi 1 Homogenost a Vizuelno Homogenost bez tragova segregacije. 2 Boja a Vizuelno Uniformnost koja odgovara opisu proizvođača. 3 Aktivna IR spektar ne treba da pokaže komponenta a EN 480-6b značajnu promenu u odnosu na referentni spektar dat od strane 4 Zapreminska masa (samo za tečnosti) 5 Sadržaj suve materije a ISO 758 EN c proizvođača. D ± 0,03 ako je D > 1,10 D ± 0,02 ako je D 1,10 gde je D vrednost data od strane proizvođača. 0,95 T X < 1,05 T za T 20% 0,90 T X < 1,10 T za T < 20% T je vrednost koju daje proizvođač u % mase; X je rezultat ispitivanja u % mase.

74 Svojstvo Metoda ispitivanja Zahtevi 6 ph vrednost a ISO 4316 U opsegu koji navodi proizvođač ili ±1 od te vrednosti. EN sa maksimalnom 7 Uticaj na vezivanje pri maksimalnoj dozi preporučenom do- zom na referentnom malteru sa 4 različite vrste cementa prema EN Rezultati ispitivanja se prilažu. 8 Ukupan hlor ad ISO 1158 e 0,10% po masi, ili ne iznad procenta koji označava proizvođač 9 Hlor rastvoren u vodi (Cl) a EN ,10% po masi, ili ne iznad procenta koji označava proizvođač Sadržaj alkalija EN Ne iznad procenta koji navodi (Na 2 O proizvođač ekvivalent) a Ponašanje prema koroziji fg Bez pojave korozije na čeliku ugrađenom u beton

75

76 Tabela 2. Specifični zahtevi za hemijskedodatkereduktore vode/plastifikatore(za istu konzistenciju) Svojstvo Referentni beton 1 Redukcija EN vode referentni beton I 2 Čvrstoća pri pritisku 3 Sadržaj vazduha u svežem betonu EN referentni beton I EN referentni beton I Metoda ispitivanja sleganje EN ili rasprostiranje EN Zahtevi Na ispitivanoj mešavini 5% u odnosu na kontrolnu mešavinu pren :1999 na 7 i 28 dana: na ispitivanoj mešavini 110% u odnosu na kontrolnu mešavinu EN Povećanje do 2% na ispitivanoj mešavini u odnosu na kontrolnu mešavinu

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90 REFERENTNI BETON I REFERENTNI MALTER Za spravljanje referentnogbetona i maltera treba koristiti cement oznake CEM I, klase čvrstoće 42,5, u svemu prema ENV Upotrebljeni cement treba da sadrži 7-11% C3A (po masi), proračunatog iz hemijske analize u svemu prema EN Specifična površina cementa određena prema EN treba da se kreće u granicama od 3200 cm2/g do 4000 cm2/g,.

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

BETONI VISOKIH. Uvod. pritisku granicu od 100 MPa. em rezultat primene određenih postupaka tokom proizvodnje i ugrađivanja betonskih mešavina.

BETONI VISOKIH. Uvod. pritisku granicu od 100 MPa. em rezultat primene određenih postupaka tokom proizvodnje i ugrađivanja betonskih mešavina. BETONI VISOKIH ČVRSTOĆA Uvod Zahvaljujući intenzivnom razvoju u oblasti teorije i tehnologije betona, danas se na bazi cementa kao veziva mogu dobiti i betoni kod kojih čvrstoće pri pritisku premašuju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

VEŽBA 7. ISPITIVANJE BETONA I NJEGOVIH KOMPONENTI

VEŽBA 7. ISPITIVANJE BETONA I NJEGOVIH KOMPONENTI VEŽBA 7. ISPITIVANJE BETONA I NJEGOVIH KOMPONENTI O betonu... Beton je konstruktivni materijal koji nastaje očvršćavanjem mešavine: kamenih agregata, mineralnog veziva i vode aditivi Aktivne komponente

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

MIKROARMIRANI BETONI I MALTERI

MIKROARMIRANI BETONI I MALTERI MIKROARMIRANI BETONI I MALTERI VRSTE VLAKANA ZA MIKROARMIRANJE MALTERA I BETONA Prirodnog porekla celulozna pamučna jutana od konoplje od bambusa,, i dr. VLAKNA Vešta tačkog porekla čelična (od običnog

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje sastava betona

Projektovanje sastava betona Projektovanje sastava betona Predavanje, 04.12.2012. Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez SADRŽAJ Opće postavke Izbor komponentnih materijala Agregat Cement Voda Aditivi Sastav

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKAT BETONSKE MEŠAVINE Redosled postupaka

PROJEKAT BETONSKE MEŠAVINE Redosled postupaka Redosled postupaka - Izbor komponentnih materijala (na osnovu vrste konstrukcije, sredine u kojoj se gradi i ekonomskih aktora) - Određivanje nominalno najvećeg zrna agregata (D) (na osnovu planova oplate

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

BETONI UVOD Komponente

BETONI UVOD Komponente BETONI Sadržaj aj 1. Uvod 2. Materijali za izradu betona 3. Određivanje sastava betona 4. Svojstva svežeg betona 5. Fizičko mehanička svojstva očvrslog betona 6. Reološka svojstva očvrslog betona 7. Ispitivanja

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Projekat betona. Vježbe, Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez

Projekat betona. Vježbe, Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez Projekat betona Vježbe, 08.01.2013. Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez Opis objekta Poslovno stambeni objekat Spratnost: Su + Pr + 4 + Pk Neto površina objekta 6277,54 m 2 Dati

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKAT BETONSKE MEŠAVINE Redosled postupaka

PROJEKAT BETONSKE MEŠAVINE Redosled postupaka Redosled postupaka - Izbor koponentnih aterijala (na osnovu vrste konstrukcije, sredine u kojoj se gradi i ekonoskih faktora) - Određivanje noinalno najvećeg zrna agregata (D) (na osnovu planova oplate

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Beton. Predavanje,

Beton. Predavanje, Beton Predavanje, 21.09.2012. Betoni Vještački kameni materijal dobijen očvršćavanjem mješavine nekog vezivnog materijala i agregata (granulata) Vezivni materijal: gips, kreč, cement, asfalt, epoksi smole

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Komponente betona: Agregat, Voda i Aditivi

Komponente betona: Agregat, Voda i Aditivi Komponente betona: Agregat, Voda i Aditivi Predavanje, 05.11.2013. Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez SADRŽAJ Osnovni uslovi kvaliteta agregata Granulometrijski sastav agregata

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Osobine očvrslog betona

Osobine očvrslog betona Osobine očvrslog betona Predavanje, 13.11.2012. Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez Struktura očvrslog betona Svojstva očvrslog betona zavise: Karakteristika komponenata Strukture

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Osobine očvrslog betona

Osobine očvrslog betona Osobine očvrslog betona Predavanje, 19.11.2013. Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez SADRŽAJ Struktura očvrslog betona Voda u očvrslom betonu Prsline i pukotine Fizičko-mehaničke

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif.   SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU AGREGAT Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aeif. jcrnojevac@gmail.com SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU JOSIP JURAJ STROSSMAYER UNIVERSITY OF OSIJEK 1 Pojela agregata PODJELA AGREGATA - PREMA

Διαβάστε περισσότερα

SVJEŽI BETON. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

SVJEŽI BETON. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif.   SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU SJEŽI BETON Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif. jcrnojevac@gmail.com SEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU JOSIP JURAJ STROSSMAYER UNIERSITY OF OSIJEK 1 Uvod Beton je umjetni građevni materijal

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

STRUKTURA OČVRSLOG BETONA

STRUKTURA OČVRSLOG BETONA STRUKTURA OČVRSLOG BETONA Formiranjestrukture Formiranje strukture I Početnaetapa etapa formiranja početne strukture, kada, usled vezivanja,cementa masa svežeg betona počinje da prelazi u čvrsto agregatno

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON. ("Sl. list SFRJ", br. 11/87) I OPŠTE ODREDBE. Član 1

PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON. (Sl. list SFRJ, br. 11/87) I OPŠTE ODREDBE. Član 1 PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON ("Sl. list SFRJ", br. 11/87) I OPŠTE ODREDBE Član 1 Ovim pravilnikom propisuju se uslovi i zahtevi koji moraju biti ispunjeni pri projektovanju,

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα