Osnovni pojmovi iz teorije proizvodnje

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Osnovni pojmovi iz teorije proizvodnje"

Transcript

1 Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 10. travnja Osnovni pojmovi iz teorije proizvodnje Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić Inzeko 2013; LN-5a 1. Uvod Cilj ovog predavanja je razjasniti studentima sljedeće pojmove: proizvodna funkcija; ukupni, granični i prosječni proizvod; zakon padajućeg graničnog proizvoda; koncept izokvante; budžetsko ograničenje poduzeća; optimalizacija proizvodnje u kratkom roku; proizvodnja u dugom roku. Teme obrađene u ovom materijalu predaju se na prvom dijelu petog predavanja iz Inženjerske ekonomike, prema rasporedu predavanja koji se primjenjuje od akademske godine 2011/12. 74

2 2. Proizvodna funkcija Poduzeće angažira ulazne resurse (inpute) kako bi proizvelo, i u konačnici prodalo, svoje proizvode i usluge (outpute). Da bi proizvelo outpute u količini Qj, ono koristi inpute u količinama Xi. Funkcija koja povezuje količine inputa s količinama outputa naziva se funkcijom proizvodnje. Inputi su različite sirovine, poluproizvodi koji se ugrađuju u proizvod, pa zatim rad radnika, strojevi i proizvodni pogoni, i tako dalje. Riječju input obuhvaćamo sve što je potrebno da bi se proizveo proizvod ili usluga. Ako govorimo o inputima u smislu šire definiranih kategorija, onda se često koristimo pojmom faktora proizvodnje. Već smo ranije u ovom predmetu rekli da su osnovni faktori proizvodnje zemlja, kapital i rad. Ipak, u mikroekonomskoj teoriji proizvodnje u pravilu mislimo na finiju podjelu inputa. Outputi poduzeća su svi njegovi proizvodi. Rijetko koje poduzeće proizvodi samo jedan proizvod. Tako na primjer, tvornica automobila proizvodi, recimo, petnaest različitih tipova automobila, a i svaki od tih tipova prodaje se u sijaset različitih varijanti, s obzirom na opremu vozila, snagu motora, estetske dodatke, itd. Većina proizvodnih poduzeća na svijetu proizvodi više outputa, i to koristeći više inputa, ponekad čak i mnogo inputa. Središnje pitanje teorije proizvodnje je optimalizacija korištenja inputa, odnosno postizanje najveće proizvodnje uz dana ograničenja resursa raspoloživa poduzeću Najjednostavnija forma funkcije proizvodnje je linearna matrica:, odnosno: Q = F X. [ ] [ ] [ ] Ona opisuje kako se inputi transformiraju u outpute. Ona je, dakle, vanjski matematički opis proizvodnog poduzeća, ako to poduzeće shvatimo kao crnu kutiju. Takva matrica naziva se još i tehnologijom. Uočite da u ovom opisu uopće ne koristimo novčane jedinice. Teorija proizvodnje je, prije svega, analitičko sredstvo tehničkog karaktera. Ono nije usmjereno na monetarne vrijednosti, već na naturalne pokazatelje proizvodnje broj proizvoda, tone, litre, kubne metre, megavatsate, prevaljene kilometre itd. Zapazite da se i novac može, u istom teoretskom okviru, smatrati jednim od inputa potrebnih u proizvodnji. Matrica s konstantnim koeficijentima predstavlja tehnologiju s konstantnim dugoročnim prinosom na opseg. Naime, povećamo li sve inpute za isti postotak, i svi outputi povećat će se za točno isti taj postotak. To nije općenito svojstvo, tako da matrica s konstantnim koeficijentima nije najopćenitiji oblik funkcije proizvodnje. No, nas interesira samo pojam proizvodne funkcije, i dalje ga nećemo detaljnije razrađivati. 75

3 Treba zapaziti da je uz istu tehnologiju moguće proizvesti isti output uz korištenje različitih količina inputa. Drugim riječima, inputi mogu biti međusobno zamjenjivi. Primjerice, ljudski rad i strojevi mogu se međusobno supstituirati. Na primjer, korištenjem pedeset radnika s lopatama i jednog bagera moguće je dnevno iskopati jednaku količinu rova za polaganje kabela kao pomoću trideset radnika i dva bagera, ili dvadeset i pet radnika i tri bagera. 3. Ukupni, granični i prosječni proizvod Sada ćemo definirati pojam proizvoda pojedinog, i uz njega vezane pojmove graničnog i prosječnog proizvoda. Ukupni proizvod je količina nekog outputa (u poduzeću koje proizvodi više outputa), odnosno količina jedinog outputa (u poduzeću koje proizvodi samo jedan output), pri nekoj razini korištenja inputa. Za višeproizvodno poduzeće, tu funkciju smo već gore naveli u općem obliku, pomoću funkcije proizvodnje: Q = F X, gdje su Q i X vektori outputa, odnosno inputa. Kad promatramo bilo koji konkretan output, nazovimo ga Q ϵ Q, bez obzira radi li se o poduzeću s više proizvoda, ili pak samo s jednim, vrijedi općenito da je taj konkretan output (kao i svi ostali, ako ih ima) funkcija količina svih inputa: Q = f (x1, x2, xi, xn), gdje su xi količine inputa Xi. Dakle, proizvod je količina nekog outputa koju proizvode inputi (X1, X2, Xi, XN) u količinama (x1, x2, xi, xn). Granični proizvod definira se kao povećanje količine outputa, ako se neki od inputa promijeni za jednu jedinicu. Dakle, granični proizvod i-tog inputa je sljedeća parcijalna derivacija: Prosječni proizvod po jedinici i-tog inputa definira se, pak, kao: Prosječni i granični proizvod stoje u čvrstom matematičkom odnosu. Da bismo to vidjeli, derivirat ćemo prosječni proizvod i-tog inputa po tom inputu: ( ) ( ) ( ) ( ) 76

4 Dobiveni izraz jednak je nuli kad su granični i prosječni proizvod ovog inputa jednaki. No, tada očito derivacija funkcije prosječnog proizvoda tog inputa ima ekstremnu vrijednost. To znači da krivulja graničnog proizvoda siječe krivulju prosječnog proizvoda u točki njenog ekstrema. Kakav je taj ekstrem, vidjet ćete za koji trenutak, nastavite li čitati. 4. Zakon padajućeg graničnog proizvoda Vrlo je važno uočiti da definicija graničnog proizvoda inputa vrijedi u uvjetima ceteris paribus. Kada količine svih inputa držimo konstantnima, a mijenjamo količinu samo jednog od njih, uočit ćemo specifičan oblik funkcionalne zavisnosti ukupnog i graničnog proizvoda. Naime, dodatnim angažmanom samo jednog inputa ukupni će proizvod najčešće rasti do neke granice, a zatim će početi padati. Zašto je to tako, objasnit ćemo na primjeru: Pretpostavimo da vinogradarsko poduzeće proizvodi grožđe. Stručne poslove oko brige za nasade tijekom cijele godine obavlja stalno zaposlena radna snaga. Međutim, kada dođe vrijeme za berbu, vinogradar mora unajmiti sezonsku radnu snagu koja će pobrati grožđe sa čokota u vrlo kratkom vremenskom razdoblju, na primjer u pet dana. Promatrajmo ukupni i granični proizvod kao funkciju količine sezonske radne snage kao inputa. Pretpostavimo da je vinograd tako velik da za planirani posao objektivno treba stotinjak ljudi. Ako u pet dana raspoloživih za berbu vinogradar ne angažira ni jednog sezonskog radnika, količina ubranog grožđa (output) bit će vrlo mala, onolika koliko stignu pobrati vlasnik poduzeća i stalno zaposleni radnici (npr. direktor, agronom, knjigovođa, tajnica i čistačica). Veliki dio dozrelog grožđa će pojesti vrapci. Zbog toga će vlasnik poduzeća ipak zaposliti određeni broj sezonskih radnika. U principu, količina ubranog grožđa bit će to veća što je veći broj angažiranih sezonaca. Međutim, ako ih vlasnik zaposli više od nekog optimalnog broja, oni će početi više smetati jedni drugima prilikom prolaska s košarama do kamiona u kojeg istresaju urod i natrag, pa će ukupni proizvod angažiranjem dodatnih radnika rasti sve sporije. Ako vlasnik pogrešno procijeni, pa angažira previše radnika, zbog opće gužve oni će uspjeti ubrati manje grožđa nego da ih je angažiran manji broj. Prema tome, ukupni proizvod, kao funkcija inputa sezonske radne snage, najprije raste s brojem radnika, ali sve sporije i sporije, da bi onda počeo padati. To je zakon padajućih prinosa, za kojega se često koristi i termin zakon padajućeg graničnog proizvoda. Njegov karakter vrlo je sličan karakteru zakona padajuće granične korisnosti, kojeg smo obradili kada smo govorili o teoriji potrošača. Kao što potrošač uživa sve manju i manju dodatnu korist ili zadovoljstvo konzumiranjem dodatnih 77

5 jedinica proizvoda, tako i poduzeće ima sve manju i manju dodatnu korist upotrebom dodatnih jedinica inputa u proizvodnji. Štoviše, ta korist povećanjem količine preko neke kritične granice može početi padati. Na prvi pogled, ova svojstva ovisnosti ukupnog, odnosno graničnog, proizvoda o količini određenog inputa, ceteris paribus, mogu biti jednostavno posljedica zahtjeva da se količina svih ostalih inputa drži konstantnom. Tada je neminovno da nastanu efekti gužve (engl. crowding), opisani u prethodnom primjeru. Međutim, na sljedećem primjeru vidjet ćemo da se isti tijek ovih funkcija može ostvariti i u uvjetima kada ne postoji gužva u smislu smanjenja efikasnosti proizvodnog procesa zbog zagušenja komunikacijskih resursa, a u primjeru sa sezonskim beračima upravo je o tome bila riječ. Promotrit ćemo granični proizvod pesticida kao inputa u proizvodnji grožđa. Njegova primjena u bilo kojoj količini je tehnički jednostavna i jeftina, te se može izvesti gotovo bez ikakve interakcije s ostalim proizvodnim procesima u vinogradu. Zamijetit ćemo da je početna količina pesticida sigurno vrlo korisna, jer uništava nametnike i osigurava veći prinos. Bez ikakve uporabe pesticida gotovo sav urod bi pojeli kukci. Nakon neke upotrijebljene količine nema više mnogo preživjelih nametnika, pa je dodatni proizvod iste dodatne količine pesticida sve manji i manji, ali još uvijek pozitivan. Korištenjem daljnjih dodatnih količina pesticida grožđe postaje suviše zatrovano, pa ga treba dodatno ispirati (što košta), ili ga prodavati po niskoj cijeni 1. Napokon, korištenjem ekstremnih količina i sama biljka biološki strada od pesticida, pa proizvedena količina grožđa i u količinskom smislu počinje padati. 1 To, naravno, ne utječe na proizvod u smislu količina, ali dovodi do nepotrebnih dodatnih troškova, i/ili narušavanja kvalitete. 78

6 Temeljem ovih primjera, na gornjoj slici je ilustriran je zakon padajućih prinosa, koji u biti opisuje ideju da granični proizvod faktora pada s porastom njihove količine. Uočite na gornjem grafu da je krivulja ukupnog proizvoda, Q, nacrtana tako da sugerira da u početnom dijelu, pri razmjerno malim količinama angažiranog inputa, granični proizvod, QM,i, može čak biti rastuća funkcija, ako input karakterizira neki minimalni prag djelovanja 2, prije kojeg njegov proizvod raste vrlo sporo ili nimalo, ali nakon određene količine QM,i definitivno počinje padati, da bi naposljetku poprimio i negativne vrijednosti. Donji graf prikazuje istodobno funkcije graničnog proizvoda, QM,i, i prosječnog proizvoda, QA,i. Primijetite da prosječni proizvod raste sve dok je granični proizvod veći od prosječnog. Kada granični proizvod postane manji od prosječnog, krivulja prosječnog troška postaje padajuća. (To smo izveli matematički na kraju prošlog poglavlja.) Sljedeća slika ilustrira utjecaj tehnološkog napretka na funkciju proizvodnje. Tehnološki napredak vodi ka povećanju produktivnosti rada, jer je za proizvodnju istog outputa potrebno manje rada, s obzirom da tehnologija preuzima dio poslova od ljudi. Povećanje produktivnosti rada glavni je izvor blagostanja suvremenog doba. 5. Koncept izokvante Ranije u ovom predmetu obradili smo pojam indiferentnosti potrošača s obzirom na različite košarice proizvoda prema kojima potrošač ima jednake preferencije. Lokus koji povezuje te košarice nazivali smo u dvodimenzionalnom slučaju krivuljom indiferencije. Pokazali smo da su krivulje indiferencije, ili, u slučaju više varijabli (proizvoda), površine ili hiperpovršine indiferencije, konveksne, i da je ta konveksnost posljedica zakona padajuće granične korisnosti. 2 Eto jednostavnog primjera za input koji ima neki minimalan prag djelovanja. Pretpostavimo da usluga koju poduzeće daje na tržištu uključuje prenošenje teških tereta. Na primjer, neka se radi o poduzeću za selidbe stanova. Ljudski rad nosača ormara, frižidera, kreveta i ostaloga ima sve karakteristike padajućeg graničnog proizvoda, ali ima i prag djelovanja. Naime, za prenošenje ormara velikih dimenzija i velike težine, pješice po stepeništu, jedan ili dva čovjeka naprosto nisu dovoljna, i koliko god se trudili, oni neće moći obaviti nikakav posao. Treba ih najmanje tri. 79

7 Pročitajte ponovno to poglavlje, kako ne bismo morali iste izvode i argumentaciju ponavljati na ovom mjestu. S obzirom da za proizvođače vrijedi zakon padajućih graničnih prinosa, možemo po istoj logici očekivati da i proizvođači imaju neke slične krivulje indiferencije kada biraju između različitih košarica inputa, odnosno faktora proizvodnje, koje proizvode istu količinu outputa, pa su zbog toga indiferentni prema tim količinskim kombinacijama inputa. Krivulje potrošačke indiferencije bile su konveksne zbog toga što su krivulje ukupne korisnosti (zadovoljstva) za sve proizvode iz košarice bile: (a) po vrijednosti pozitivne; (b) prva derivacija im je po vrijednosti bila pozitivna; (c) druga derivacija im je bila negativna. Krivulja ukupnog proizvoda, Q, kao funkcije količine određenog inputa, xi, prikazana na prethodnim slikama također pokazuje ista takva svojstva, s tim da za sasvim male vrijednosti xi njena druga derivacija može imati negativan iznos, a za velike vrijednosti xi njena i prva i druga derivacija imaju negativan iznos. Zbog jednostavnosti razmatranja pretpostavit ćemo da poduzeće radi s količinama inputa koje nisu sasvim male (tj. nisu ispod praga djelovanja inputa), te da isto tako ne radi s prevelikim količinama inputa (jer bi to bilo iracionalno, s obzirom da ukupan output za prevelike količine inputa pada). Dakle, pretpostavit ćemo da poduzeće radi u području količina inputa naznačenom na sljedećoj slici, i da istovrsna restrikcija domene vrijedi za sve inpute. Sad kad smo funkcije ukupnog i graničnog prihoda sveli na oblik jednak obliku funkcija ukupne i granične korisnosti s kojima smo radili u lekciji o teoriji potrošača, možemo bez ponavljanja izvoda zaključiti da krivulje indiferencije proizvođača prema košaricama inputa također imaju konveksan oblik. Ako razmatramo više od dva inputa, radi se o površinama ili hiper-površinama indiferencije. Naravno, te krivulje, površine i hiper-površine imaju svoje posebno ime: one se nazivaju izokvantama. Izokvanta je lokus kojeg čine sve kombi-nacije količina inputa koje daju jednaku vrijednost outputa. Prema tome, kao ni krivulje/površine indiferencije, izokvante se također ne sijeku, nego čine familiju krivulja/površina, od kojih svaka predstavlja jednu razinu proizvodnje. Što je veća razina proizvodnje, to je izokvanta smještena više prema van od ishodišta koordinatnog sustava. Koncept 80

8 izokvanata ilustriran je gornjom slikom, koja se, naravno, odnosi na dva inputa ili faktora proizvodnje. Na sljedećoj je slici izdvojena samo jedna izokvanta, koja odgovara nekoj konkretnoj razini proizvodnje: Na toj je izokvanti izdvojena jedna točka. Ako se u okolini te točke količina prvog inputa promijeni za neku vrlo malu vrijednost, x1, da bi se zadržala ista ukupna razina proizvodnje, količina drugog inputa mora se promijeniti za x2. Kako i dalje radimo s naturalnim količinama inputa, a ne s njima odgovarajućim monetarnim vrijednostima (tj. troškovima tih inputa), omjer između infinitezimalno malih promjena jednog i drugog inputa, pri čemu su sve druge varijable konstantne (ceteris paribus), naziva se graničnom stopom tehničke supstitucije: SM(1 2) = x2/ x1 = QM,1/QM,2. Ova veličina mjeri za koliko je potrebno promijeniti količinu inputa 2, ako se količina inputa 1 promijeni za x1. S obzirom na pretpostavku ceteris paribus, radi se o parcijalnoj derivaciji koja pokazuje nagib izokvante. Taj je nagib po apsolutnoj vrijednosti jednak kvocijentu graničnih proizvoda prvog i drugog inputa. Naime, ako malo smanjenje korištenja inputa 2 smanji ukupni proizvod za iznos graničnog proizvoda tog inputa, želimo li ostati na istoj izokvanti, moramo dodati upravo onoliku, opet malu, količinu inputa 1, čiji će granični proizvod nadomjestiti upravo iznos izgubljenog graničnog proizvoda inputa 2. Dakle, x1 QM,1 = x2 QM,2. To je vrlo važan zaključak, što će postati jasno malo kasnije, nakon analize optimalnog odabira kombinacije inputa. Naravno, tehnička stopa supstitucije postoji i ako promjene inputa nisu infinitezimalno male. Tada ona nije granična, nego obična : S(1 2) = x2/ x1 xi = konst. i 1,2. Primijetite da su zbog konveksnosti izokvanata stope tehničke supstitucije uvijek negativne. Dodatnim angažiranjem jednog inputa potrebno je angažirati 81

9 manje drugog, a da bi ukupni proizvod ostao isti. Utoliko su ti inputi djelomični supstituti, odnosno djelomični komplementi. Sljedeća ilustracija prikazuje nekoliko različitih tipova izokvanti, kao i područje u kojem se one mogu nalaziti, ako prolaze kroz neku proizvoljno odabranu točku X. Među njima ćete najprije uočiti običnu konveksnu izokvantu (B), koju karakterizira djelomična zamjenjivost, odnosno komplementarnost, inputa. Ako je izokvanta ravni padajući pravac (A), inputi su savršeni supstituti. To znači da je granična tehnička stopa supstitucije ista u čitavom rasponu količina dvaju inputa. Dakle, pri bilo kojoj razini korištenja tih inputa, zamjena jednog od njih drugim jednako košta u terminima zamjenske količine onog drugoga. Treći tip izokvante prikazane na slici pod oznakom C pojavljuje se kad su inputi savršeni komplementi. On se sastoji od dvije ravne linije, paralelne sa svakom od koordinatnih osi, koje se sastaju u jednoj točki, poput slova L. Takva vrsta krivulje često se u literaturi naziva Leontijevljevom krivuljom, po ruskom ekonomistu i nobelovcu Vasiliju Leontijevu ( ). Ako se nalazimo na horizontalnom dijelu Leontijevljeve izokvante, poduzeće za proizvodnju outputa koristi uvijek istu količinu inputa x2, bez obzira na količinu x1, dokle god je potonja veća od neke minimalne. Obratno, kada se nalazimo na horizontalnom dijelu Leontijevljeve izokvante, poduzeće za proizvodnju outputa koristi uvijek istu količinu inputa x1, bez obzira na količinu x2, dokle god je potonja veća od neke minimalne. Osjenčani prostor između krivulja A i C na gornjoj slici predstavlja područje u kojem se mogu nalaziti izokvante kojima je prva derivacija negativna, a druga pozitivna. Krivulja B je samo jedna takva izokvanta. Naravno, ne postoje konkretne jednadžbe krivulja A i C koje bi određivale nekakve fundamentalne limite unutar kojih se mogu nalaziti izokvante. Poruka ove slike je da padajuća konveksna funkcija koja prolazi kroz danu točku X ni u kojoj svojoj točki ne može biti zakrivljena u donju poluravninu ispod pravca, niti može biti zakrivljenija prema gore i desno od pravokutnog loma. Stoga ova slika ima samo ulogu ideograma, odnosno podsjetnika na ključne matematičke osobine izokvanti. 82

10 6. Budžetsko ograničenje poduzeća Svako poduzeće ograničeno je resursima kojima raspolaže, pa tako i novcem kojeg može uložiti u nabavu inputa potrebnih za proizvodnju. Na primjeru proizvodnje za koju je potrebno samo dva inputa prikazat ćemo kako poduzeće odabire optimalnu kombinaciju inputa, uz koju će proizvodnja pri danom budžetskom ograničenju biti najjeftinija. Prema tome, ovoga trenutka u priču uključujemo cijene inputa. Do sada smo se bavili samo njihovim količinama. Pretpostavimo da je jedinična cijena inputa xi jednaka Pi. U našem primjeru indeks i poprima samo dvije vrijednosti: 1 i 2. Ako su jedinične cijene oba inputa neovisne o količinama koje poduzeće nabavlja, ukupan trošak dobave inputa bit će x1p1 + x2p2. Pretpostavimo da poduzeće može potrošiti iznos od S kuna na dobavu ta dva inputa. Tada vrijedi: x1p1 + x2p2 = S. Podijelimo li tu jednadžbu sa S, dobit ćemo izraz kojeg možemo napisati u obliku: Ovo je implicitni oblik jednadžbe pravca. U nazivnicima se vide odsječci tog pravca na koordinatnim osima: S/P1 na osi x1, odnosno S/P2 na osi x2. Kako su oba iznosa S/Pi evidentno pozitivna, pravac svakako mora biti padajući. Interesantan je samo njegov odsječak u prvom kvadrantu, za pozitivne količine inputa. Sljedeća slika prikazuje nekoliko pravaca budžetskog ograničenja za različite iznose budžeta S. To su sve paralelni pravci, jer se odsječci na osima mijenjaju proporcionalno sa S. Ti se pravci često nazivaju i pravcima jednakih troškova (engl. isocost line), jer su sazdani od točaka u kojima je vrijednost S, a to je ukupan trošak na sve inpute, ista. Nagib pravca jednakih troškova iznosi: (S/P2)/(S/P1) = P1/P2. 83

11 7. Optimalizacija proizvodnje u kratkom roku Sada ćemo u zajednički dijagram ucrtati pravac budžetskog ograničenja koji odgovara stvarnom ograničenju S, kao i familiju izokvanti koje opisuju preferencije u odabiru inputa s obzirom na razinu proizvodnje: Uz dano budžetsko ograničenje, poduzeće će nastojati uhvatiti izokvantu najudaljeniju od ishodišta, a koja još uvijek barem u jednoj točki zadovoljava budžetsko ograničenje. Naravno, radi se o izokvanti koja tangira zadani pravac budžetskog ograničenja. Kombinacija inputa bit će definirana točkom u kojoj budžetski pravac tangira izokvantu: (x1,opt, x2,opt). Upravo to je izokvanta s najvišom mogućom razinom proizvodnje uz zadano budžetsko ograničenje, i upravo to je točka koja određuje kombinaciju inputa koju će poduzeće primijeniti. Prisjetimo se sada da je granična stopa tehničke supstitucije po predznaku jednaka recipročnoj vrijednosti kvocijenta graničnih proizvoda faktora: SM(1 2) = x2/ x1 = QM,1/QM,2. No, u točki optimalne kombinacije inputa, (x1,opt, x2,opt), granična stopa tehničke supstitucije (tj. nagib izokvante) također je po apsolutnoj vrijednosti jednaka kvocijentu jediničnih cijena faktora, pa imamo: SM(1 2) = x2/ x1 = QM,1/QM,2 = P1/P2. Iz toga jednostavno slijedi jedan vrlo važan odnos: QM,1/P1 = QM,2/P2. Optimalna kombinacija inputa je ona kod koje je omjer graničnih proizvoda i jediničnih cijena inputa jednak. Primijetite da ovaj zaključak vrijedi za sve parove inputa, ceteris paribus. No, to onda znači da isto tako vrijedi i za sve inpute: 84

12 Ako poduzeće u proizvodnji koristi N različitih inputa, ono će optimizirati proizvodnju tako da izabere količinsku kombinaciju inputa kod koje granični proizvod zadnje jedinice novca jednak za sve inpute. Matematički se to pravilo najmanjeg troška zapisuje na sljedeći način: To znači da je znak raspoznavanja optimalno organizirane proizvodnje sljedeći: ako poduzeće pri danoj razini proizvodnje uloži neku određenu (malu) sumu novca u dodatan angažman bilo kojeg inputa, doprinos ukupnom proizvodu bit će jednak bez obzira o kojem se inputu radilo. Kada ne bi bilo tako, poduzeće bi znalo da nije u optimalnoj točki jer bi bilo očito da trenutno zapošljava neke inpute koji su manje učinkoviti (tj. skuplji) od nekih drugih. Tada bi ono restrukturiralo proizvodnju kupujući više efikasnijih inputa (npr. novih strojeva), i istodobno rješavajući se onih manje efikasnih inputa (npr. kroz otpuštanje radnika). No, zbog zakona padajućeg graničnog proizvoda, inputi čije bi korištenje raslo (strojevi) bili bi u graničnom smislu sve manje efikasni, a oni čije bi korištenje padalo (radnici) bili bi u graničnom smislu sve više efikasni. U jednom trenutku bi došlo do izjednačenja. Na taj način bi poduzeće na kraju eliminiralo razlike u troškovnoj učinkovitosti svih inputa koje koristi, i došlo bi u stanje optimuma opisanog zadnjom formulom. Promotrimo sada kako poduzeće vrši ekspanziju proizvodnje u kratkom roku. Sljedeća slika prikazuje više pravaca budžetskog ograničenja i više izokvanti u istom grafikonu. Ako poduzeće dobro posluje, akumulirajući dobit, i kroz godine postiže da mu je svota raspoloživa za dobavu varijabilnih inputa sve veća i veća, točke u kojima će poduzeće raditi pomiču se od ishodišta prema van po trajektoriji koju čine dirališta pravaca budžetskog ograničenja i izokvanata na sve višoj razini proizvodnje. Naravno, oblik te linije može biti bilo kakav to ovisi o obliku i međusobnom položaju izokvanti, odnosno o preferencijama proizvođača prema varijabilnim inputima. Duž čitave te linije poduzeće je u ravnoteži, tj. ono ostvaruje načelo najmanjeg troška, samo pri različitim razinama proizvodnje. 85

13 8. Proizvodnja u dugom roku Zakonitosti koje smo upoznali u dosadašnjem izlaganju, a to su zakon padajućeg graničnog proizvoda i pravilo najmanjeg troška,tipične su zakonitosti kratkog roka. Pod pojmom kratkog roka u smislu teorije proizvodnje podrazumijeva se razdoblje u kojem jedan (ili nekolicina) inputa varira, dok su svi ostali (većina) konstantni. Nasuprot tome, dugi rok je razdoblje u kojemu su svi inputi varijabilni. Kao što smo već rekli, zakon padajućeg graničnog troška, iz kojega se izravno izvodi načelo najmanjeg troška, posljedica je, među ostalim, pretpostavke da input kojeg promatramo varira, dok su svi ostali inputi konstantni. U dugom roku ta temeljna pretpostavka ne stoji, tako da niti zakon padajućeg graničnog proizvoda u općem slučaju ne mora nužno vrijediti. U dogom roku razmatrat ćemo jedan sasvim drugačiji koncept, a to je koncept prinosa na opseg. Primijetite da za razgraničenje pojmova kratkog i dugog roka uopće nije odlučujuće vremensko trajanje samo po sebi. Poduzeća koja proizvode pomoću stabilne i uhodane, a jednostavne, tehnologije možda će se u kratkom roku nalaziti dosta godina, dok će neka poduzeća, koja stalno moraju investirati u proširenje kapaciteta zbog stalno rastuće potražnje (npr. infrastrukturne mreže, poput mreža za prijenos električne energije), mogu poslovati permanentno u uvjetima dugog roka. U dugom roku, zbog pretpostavke varijabilnosti svih inputa, ne možemo sa sigurnošću primijeniti logiku kratkoročnog modela padajućeg graničnog proizvoda zbog toga što se promjenama inputa koji su u kratkom roku varijabilni mogu prilagoditi promjene onih inputa, koji su u kratkom roku bili fiksni. Na primjer, ako u neku tvorničku halu sa strojevima stane najviše dvije stotine radnika, koji opslužuju strojeve, operiraju sirovinama, proizvodima, ambalažom i slično, prevoze robu, itd., počnemo dodavati još radnika, umjesto da povećamo proizvodnju, smanjit ćemo je, jer će radnici početi smetati jedni drugima. No, kada pređemo u dugi rok sagradivši još jednu proizvodnu halu, broj radnika možemo znatno povećati, a njihov dodatni proizvodni učinak bit će pozitivan i sumjerljiv njihovom broju. Prema tome, kada dopustimo da se mijenjaju svi faktori proizvodnje, mnogi učinci ograničenosti fiksnih resursa, koji su doveli do fenomena padajućeg graničnog proizvoda varijabilnih faktora, ili mu barem doprinijeli, više ne egzistiraju. Stoga za dugi rok ne vrijede kratkoročni modeli koje smo razmatrali. U dugom roku najčešće se promatra jedna posebna situacija, u kojoj se svi faktori proizvodnje (inputi) mijenjaju za isti faktor, k. Tada govorimo o prinosima na opseg, koje razvrstavamo u tri kategorije: 86

14 Padajući prinosi na opseg (padajuće ekonomije razmjera) povećanje svih faktora proizvodnje za isti faktor k dovodi do povećanja proizvodnje, ali za faktor manji od k. Konstantni prinosi na opseg (konstantne ekonomije razmjera) povećanje svih faktora proizvodnje za isti faktor k dovodi do povećanja proizvodnje točno za faktor k. Rastući prinosi na opseg (rastuće ekonomije razmjera) povećanje svih faktora proizvodnje za isti faktor k dovodi do povećanja proizvodnje točno za faktor veći od k. Ista proizvodna tehnologija može u fazama svog životnog ciklusa proći kroz sva tri oblika ekonomije razmjera. Pritom treba imati na umu da najčešće vremenskim razdobljima koja se protežu kroz desetke godina, pa i više. Kad je tehnologija u ranoj fazi uzleta, koja slijedi fazu prihvaćanja, količina proizvoda može naspram ukupnog proizvodnog kapaciteta rasti vrlo brzo, i k tome još ubrzavati. U stabilnoj fazi životnog ciklusa, kad je tehnologija zrela, ona može pokazivati karakteristike konstantne ekonomije razmjera, dok pri kraju životnog ciklusa, kad je tehnologija zastarjela i kad je pregažena novim načinima proizvodnje, dodatna ulaganja u opseg postaju sve manje učinkovita, sve dok, jednog dana, tehnologija konačno ne izumre. Međutim, postoje i tehnologije, odnosno industrije, u kojima praktički uvijek prevladava jedan tip ekonomije razmjera. Primjerice, u mrežnim industrijama rastuća ekonomija opsega prisutna je gotovo u svim slučajevima i uvijek, zbog mrežnih sinergijskih efekata. Mreže su najčešće to korisnije, što ih više korisnika upotrebljava. (Pod pojmom mreže ne treba podrazumijevati samo industrije u kojima postoje stvarne fizičke mreže. Primjerice, i društvene mreže, koje se sastoje od socijalnih kontakata, a ne od žica i čvorova, pokazuju učinke mrežne ekonomije. Za vježbu, uzmite po vlastitom odabiru bilo koji primjer mrežne industrije, bilo s fizičkim, bilo s ne-fizičkim mrežama, i pokušajte kvalitativno analizirati postoje li u njima, te kakve su, ekonomije razmjera.) Tehnologije kod kojih postoje rastući prinosi na opseg često se susreću u industrijama u kojima postoje prirodni monopoli. Prirodni monopol, štoviše, najčešće i jest posljedica rastućih prinosa na opseg. Rastuća efikasnost korištenih faktora proizvodnje znači, na primjer, da je efikasnije koristiti jedan dvostruki obujam inputa nego dva jednostruka. Bolje je imati jednu veliku tvornicu, nego dvije male. Utoliko manji igrači ne mogu biti konkurentni velikima, a sa stanovišta alokacije ukupnih društvenih resursa, monopol je ekonomski najučinkovitiji način proizvodnje. Ekonomije opsega predstavljaju ozbiljne barijere za ulaz novih konkurenata u industriju (engl. entry barriers). O tim aspektima bit će više riječi kasnije na ovom predmetu, u lekciji koja je posvećena industrijskoj organizaciji. 87

15 9. Pitanja i zadaci za provjeru znanja Sve što je potrebno da biste odgovorili na postavljena pitanja nalazi se u tekstu. Glede zadataka, naznačena je metoda rješavanja, bez grafičkog prikazivanja problema. Grafikoni u ovom materijalu dovoljni su Vam da si predočite zadane podatke. Preporučamo Vam da prilikom rješavanja sami konstruirate grafičke prikaze. Zadaci slični ovima mogli bi biti zadani na kontrolnim zadaćama i ispitima. Također, provjere znanja mogu sadržavati i složenije zadatke, za čije rješavanje će biti potrebno, među ostalim, i znanje gradiva iz ovog materijala. Za sve što Vam nije jasno i ne možete se domisliti sami ili pomoću literature, pitajte nastavnika nakon predavanja, ili pošaljite s pitanjem i/ili zahtjevom za konzultacijama na adresu: dubravko.sabolic@gmail.com. Pitanja: 1. Što je funkcija proizvodnje, odnosno tehnologija? Objasnite nedostatak modela u kojem je funkcija proizvodnje predstavljena matricom s konstantnim koeficijentima. 2. Objasnite zakon padajućih graničnih prinosa, kad je promjenjiv samo jedan input, odnosno nekoliko njih, ali ne svi. Je li tada riječ o poduzeću u kratkom ili u dugom roku? 3. Po Vašem mišljenju, je li funkcija graničnih prinosa, koju pokazuje neki konkretan input u konkretnoj proizvodnji i u uvjetima ceteris paribus, nužno neovisna, ili pak nužno ovisna, o razini korištenja nekog drugog inputa u istoj proizvodnji. Pokušajte to karakterizirati nekakvim matematičkim modelom. 4. Izvedite i objasnite pravilo najmanjeg troška u kratkom roku. 5. Što je dugi rok u smislu teorije proizvodnje? 6. Zašto u dugom roku ne vrijede nužno zakonitosti padajućeg graničnog prinosa kakve postoje u kratkom roku? Zadaci: Tip zadataka koji se može zadavati u okviru ovdje obrađenog gradiva ne razlikuje se ni po čemu bitnom od tipa zadataka koje ste upoznali nakon savladane lekcije o teoriji potrošača. Stoga je mnogo važnije da dobro razumijete teoretske koncepte koji su izneseni u ovom materijalu, jer će Vam oni zatrebati za kvalitetno praćenje izlaganja o troškovima proizvodnje, koje se nalazi odmah u sljedećoj bilješci s predavanja iz ove serije. Stoga ste za ovu priliku oslobođeni rješavanja zadataka. 88

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova

VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova I SKUPINA ZADATAKA 1. Proizvodna funkcija predstavlja odnos između a) inputa i outputa b) troškova i radnika c) ukupnog proizvoda i graničnog

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Jedanaesto predavanje, 11. svibnja 2016. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman, Microeconomics with Calculus Maksimizacija profita poduzeća koje posluje

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

7. Troškovi Proizvodnje

7. Troškovi Proizvodnje MIKROEKONOMIJA./. 7. Troškovi Proizvodnje Autori: Penezić Andrija Miković Ivana Pod vodstvom: Prof.dr. Đurđice Fučkan Prezentacije su napravljene prema : Pindyck, R.S./ Rubinfeld, D.L. () MIKROEKONOMIJA

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Varijabilni. troškovi. Ukupni. troškovi. Granični troškovi

Varijabilni. troškovi. Ukupni. troškovi. Granični troškovi Ovisnost troškova o promjenama opsega proizvodnje Stalni troškovi Varijabilni troškovi Ukupni troškovi Granični troškovi Prosječni troškovi troškovi proizvodnje su različiti po: svom porijeklu (prirodnim

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u diferencijalni račun

Uvod u diferencijalni račun Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Prikaz sustava u prostoru stanja

Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave

Διαβάστε περισσότερα

6. Proizvodnja. doc. dr. sc. Katarina Bačić, kolegij Mikroekonomija, 2013.

6. Proizvodnja. doc. dr. sc. Katarina Bačić, kolegij Mikroekonomija, 2013. 6. Proizvodnja Proizvodnja Kako tvrtke mogu učinkovito proizvoditi? Kako donose odluke o optimalnoj p? Kako se mijenjaju troškovi kao posljedica promjene ulaznih troškova i razina proizvodnje? Odgovor:

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Maksimalizacija profita

Maksimalizacija profita Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 3. travnja 2013. Maksimalizacija profita Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić Inzeko 2013; LN-5b 1. Uvod

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Osnove ekonomije. Poglavlje 0. Kako čitati dijagrame

Osnove ekonomije. Poglavlje 0. Kako čitati dijagrame Poglavlje 0. Kako čitati dijagrame 1) Kada je odnos dviju varijabli inverzan, grafički se taj odnos prikazuje krivuljom koja, a vrijednost nagiba je. a) opada, pozitivna b) raste, pozitivna c) opada, negativna

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

TROŠKOVI PROIZVODNJE. Copyright 2004 South-Western/

TROŠKOVI PROIZVODNJE. Copyright 2004 South-Western/ TROŠKOVI PROIZVODNJE Šta su troškovi? Mikroekonomija se bavi ponudom, tražnjom i tržišnom ravnotežom. Prema zakonu ponude preduzeća su spremna da proizvedu i prodaju veću količinu nekog dobra kada je cena

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova

, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα