Πληροφορική. Ενότητα 2: Α. Μεταβλητές. Όλα είναι πίνακες. Β. Δεδομένα. Σφάλματα. Δομές. Κωνσταντίνος Καρατζάς Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
|
|
- Νάρκισσα Κορομηλάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πληροφορική Ενότητα 2: Α. Μεταβλητές. Όλα είναι πίνακες. Β. Δεδομένα. Σφάλματα. Δομές. Κωνσταντίνος Καρατζάς Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πληροφορική Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 2
3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πληροφορική Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 3
4 Ο Μ Α Δ Α Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ω Ν Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Ω Ν Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ ( I S A G ) 4 Δ.#2.1: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ - ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ - ΟΛΑ ΕΙΝΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Κώστας Καρατζάς Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, ΑΠΘ
5 5 Μεταβλητές
6 Μεταβλητές 6 Κάθε μας ενέργεια, υπολογισμός και δομή προγραμματισμού προϋποθέτει ότι έχουμε δημιουργήσει μεταβλητές οι οποίες «κουβαλούν» τις τιμές που συμμετέχουν στους υπολογισμούς
7 Μεταβλητές: το δοχείο με τα δεδομένα 7 Οι μεταβλητές εκφράζονται με νόμιμα ονόματα, και αντιστοιχούν σε θέσεις μνήμης, στις οποίες φιλοξενούνται δεδομένα συγκεκριμένου τύπου ανά μεταβλητή. Αποφασίστε εξ αρχής το πλήθος και τον τύπο των μεταβλητών που χρειάζεστε (ανάλυση προβλήματος). Δώστε σ αυτές περιγραφικά ονόματα.
8 Αναθέσεις τιμών σε μεταβλητές 8 Το σύμβολο της ανάθεσης είναι το «=» και όχι το «==». Π.χ. Α=2 (η μεταβλητή Α λαμβάνει την τιμή 2) B= peristeri (η μεταβλητή B λαμβάνει την τιμή peristeri ) Αλλά: Α==2 (έλεγχος του εάν η μεταβλητή Α έχει την τιμή 2. Το αποτέλεσμα είναι.τrue. ή.false.)
9 Μεταβλητές 9 Και ποια η «φύση» των μεταβλητών στο Matlab?
10 10 Όλα είναι.. Πίνακες & διανύσματα!
11 Τι είναι ένας πίνακας για τον Η/Υ; Περιοχή στη μνήμη του υπολογιστή που έχει «βαπτιστεί». Τα στοιχεία του πίνακα καταλαμβάνουν διαδοχικές θέσεις μνήμης x(1) x(2) x(3)...
12 Πίνακες, διανύσματα & μηχανική Διανύσματα: μετατόπισης, δυνάμεων, ιδιοδιανύσματα σε ταλαντώσεις, τάσεις, κλπ Παράδειγμα: η κινητική ενέργεια ενός δυναμικού συστήματος που αποτελείται από τρείς σημειακές μάζες m 1, m 2 και m 3, που κινούνται σε μία διάσταση με ταχύτητες v 1, v 2 και v 3 αντίστοιχα δίδεται από τη σχέση: 12
13 Πίνακες, διανύσματα & μηχανική Η σχέση αυτή γράφεται: Όπου:
14 Ένα καθημερινό πρόβλημα..
15
16 Παραδείγματα
17
18 Όλα ξεκινούν ως ακολούθως
19 19 Πίνακες και Διανύσματα Όλες οι μεταβλητές του Matlab νοούνται ως πίνακες. Η ανάθεση τιμής σε μεταβλητή δημιουργεί αυτόματα τον πίνακα >> a=5; >> a(1) ans = 5 >> a(1,1) ans = 5 >> a(2)??? Attempted to access a(2); index out of bounds because numel(a)=1. >> a(1,2)??? Attempted to access a(1,2); index out of bounds because numel(a)=1.
20 Περί πινάκων... Κατασκευή Διαστάσεις Πρόσβαση/Τροποποίηση στοιχείων
21 Κατασκευή Πινάκων 21 Τα στοιχεία ενός διανύσματος ή πίνακα τοποθετούνται εντός τετραγωνικών αγκυλών. Με «,» (κόμμα) ή (κενό) καθορίζονται οι στήλες Με «;» (ελληνικό ερωτηματικό) καθορίζονται οι γραμμές >> u=[ ]; >> v=[1,2,3,4]; >> w=[1;2;3;4]; Μεταβλητές >> A=[1 2 3; 4 5 6]; >> whos Name Size Bytes Class Attributes A 2x3 48 double u 1x4 32 double v 1x4 32 double w 4x1 32 double
22 Πράξεις μεταξύ Πινάκων 22 Οι πράξεις μεταξύ των πινάκων είναι οι ακόλουθες: ^ : Ύψωση σε δύναμη *, /, \ : Πολλαπλασιασμός, Δεξιά και Αριστερή Διαίρεση +, - : Πρόσθεση και Αφαίρεση. : Ο τελεστής «.» οδηγεί σε πράξεις στοιχείο προς στοιχείο
23 Παραδείγματα πράξεων μεταξύ Πινάκων 23 >> a=[1 2;3 4]; >> b=[5 6;7 8]; >> a+b ans = >> a-3*b ans = Πρόσθεση στοιχείο προς στοιχείο. Όμοιο με a.+b Όλα τα στοιχεία του b θα πολλαπλασιαστούν με >> a*b ans = >> a.*b ans = Κανονικός πολλαπλασιασμός πινάκων Πολλαπλασιασμός στοιχείο προς στοιχείο a = b =
24 Παραδείγματα πράξεων μεταξύ Πινάκων 24 >> a^2 ans = Πολλαπλασιασμός πινάκων, όμοιο με a*a >> a/b ans = Δεξιά διαίρεση, όμοιο με a*b >> a.^2 ans = Πολλαπλασιασμός στοιχείων, όμοιο με a.*a >> a\b Αριστερή διαίρεση, όμοιο με a -1 *b ans = a = b = >> a./b Διαίρεση στοιχείο προς στοιχείο ans =
25 Ανάστροφος και Αντίστροφος 25 >> a=[1 2;3 4]; >> a' % Ανάστροφος του πίνακα a ans = >> inv(a) % Ο Αντίστροφος του πίνακα a ans = >> a^-1 % Ο Αντίστροφος του πίνακα a ans =
26 26 Εγγενείς συναρτήσεις: Στοιχειώδεις Πίνακες Το Matlab περιέχει μία σειρά από συναρτήσεις που παράγουν στοιχειώδεις πίνακες οι οποίοι χρησιμοποιούνται συχνά.
27 27 Εγγενείς συναρτήσεις: Στοιχειώδεις Πίνακες Το Matlab περιέχει μία σειρά από συναρτήσεις που παράγουν στοιχειώδεις πίνακες οι οποίοι χρησιμοποιούνται συχνά. Συνάρτηση Ερμηνεία
28 28 Εγγενείς συναρτήσεις: Στοιχειώδεις Πίνακες Το Matlab περιέχει μία σειρά από συναρτήσεις που παράγουν στοιχειώδεις πίνακες οι οποίοι χρησιμοποιούνται συχνά. Συνάρτηση eye(n,m) Ερμηνεία Ταυτοτικός (μοναδιαίος) πίνακας
29 29 Εγγενείς συναρτήσεις: Στοιχειώδεις Πίνακες Το Matlab περιέχει μία σειρά από συναρτήσεις που παράγουν στοιχειώδεις πίνακες οι οποίοι χρησιμοποιούνται συχνά. Συνάρτηση eye(n,m) zeros(n,m) Ερμηνεία Ταυτοτικός (μοναδιαίος) πίνακας Πίνακας με μηδενικά
30 30 Εγγενείς συναρτήσεις: Στοιχειώδεις Πίνακες Το Matlab περιέχει μία σειρά από συναρτήσεις που παράγουν στοιχειώδεις πίνακες οι οποίοι χρησιμοποιούνται συχνά. Συνάρτηση Ερμηνεία eye(n,m) Ταυτοτικός (μοναδιαίος) πίνακας zeros(n,m) Πίνακας με μηδενικά ones(n,m) Πίνακας με μονάδες (1)
31 31 Εγγενείς συναρτήσεις: Στοιχειώδεις Πίνακες Το Matlab περιέχει μία σειρά από συναρτήσεις που παράγουν στοιχειώδεις πίνακες οι οποίοι χρησιμοποιούνται συχνά. Συνάρτηση eye(n,m) zeros(n,m) Ερμηνεία Ταυτοτικός (μοναδιαίος) πίνακας Πίνακας με μηδενικά ones(n,m) Πίνακας με μονάδες (1) rand(n,m), randn(n,m) Πίνακας τυχαίων αριθμών (ομοιόμορφη και κανονική κατανομή)
32 32 Εγγενείς συναρτήσεις: Στοιχειώδεις Πίνακες Το Matlab περιέχει μία σειρά από συναρτήσεις που παράγουν στοιχειώδεις πίνακες οι οποίοι χρησιμοποιούνται συχνά. Συνάρτηση Ερμηνεία eye(n,m) Ταυτοτικός (μοναδιαίος) πίνακας zeros(n,m) Πίνακας με μηδενικά ones(n,m) Πίνακας με μονάδες (1) rand(n,m), Πίνακας τυχαίων αριθμών (ομοιόμορφη και κανονική κατανομή) randn(n,m) magic(n) Μαγικός πίνακας
33 Παραδείγματα χρήσης συναρτήσεων στοιχειωδών πινάκων 33 >> zeros(2,3) ans = >> eye(2) ans = >> magic(2) ans = >> rand(1,5) ans =
34 Πρόσβαση σε Στοιχεία Πινάκων 34 >> a=rand(5); % Πίνακας τυχαίων αριθμών 5x5 a =
35 Πρόσβαση σε Στοιχεία Πινάκων 35 >> a=rand(5); % Πίνακας τυχαίων αριθμών 5x5 a = >> a(2,4) % Στοιχείο 2 ης γραμμής, 3 ης στήλης ans =
36 Πρόσβαση σε Στοιχεία Πινάκων 36 >> a=rand(5); % Πίνακας τυχαίων αριθμών 5x5 a = >> a(8) % Τι σημαίνει αυτό;;;
37 Πρόσβαση σε Στοιχεία Πινάκων 37 >> a=rand(5); % Πίνακας τυχαίων αριθμών 5x5 a = >> a(8) % Τι σημαίνει αυτό;;; ans = % Γιατί;
38 Πρόσβαση σε Στοιχεία Πινάκων 38 >> a=rand(5); % Πίνακας τυχαίων αριθμών 5x5 a = >> a(8) % Τι σημαίνει αυτό;;; ans = % Γιατί; % Τα στοιχεία του πίνακα καταλαμβάνουν % διαδοχικές θέσεις στη μνήμη, ανά % γραμμή και στήλη!!!
39 39 Διάλειμμα!
40 Πρόσβαση σε Στοιχεία Πινάκων 40 >> % Στοιχεία γραμμών 1 ως 3, και στηλών 3 ης ως τελευταίας
41 41 Πρόσβαση σε Στοιχεία Πινάκων >> a(1:3,3:end) % Στοιχεία γραμμών 1 ως 3, και στηλών 3 ης ως τελευταίας ans =
42 42 Πρόσβαση σε Στοιχεία Πινάκων >> a(1:3,3:end) % Στοιχεία γραμμών 1 ως 3, και στηλών 3 ης ως τελευταίας ans = >> % Στοιχεία περιττών γραμμών (1,3,5) και των στηλών 2,3,5
43 43 Πρόσβαση σε Στοιχεία Πινάκων >> a(1:3,3:end) % Στοιχεία γραμμών 1 ως 3, και στηλών 3 ης ως τελευταίας ans = :2:end (από, βήμα, έως) >> a(1:2:end,[2,3,5]) % Στοιχεία περιττών γραμμών (1,3,5) και των στηλών 2,3,5 ans =
44 44 Πρόσβαση σε Στοιχεία Πινάκων >> a(1:3,3:end) % Στοιχεία γραμμών 1 ως 3, και στηλών 3 ης ως τελευταίας ans = :2:end (από, βήμα, έως) >> a(1:2:end,[2,3,5]) % Στοιχεία περιττών γραμμών (1,3,5) και των στηλών 2,3,5 ans = >> % Όλα τα στοιχεία της 1 ης γραμμής (: σημαίνει όλες οι στήλες)
45 45 Πρόσβαση σε Στοιχεία Πινάκων >> a(1:3,3:end) % Στοιχεία γραμμών 1 ως 3, και στηλών 3 ης ως τελευταίας ans = :2:end (από, βήμα, έως) >> a(1:2:end,[2,3,5]) % Στοιχεία περιττών γραμμών (1,3,5) και των στηλών 2,3,5 ans = >> a(1,:) % Όλα τα στοιχεία της 1 ης γραμμής (: σημαίνει όλες οι στήλες) ans =
46 Τροποποίηση στοιχείων πίνακα 46 Με τον ίδιο τρόπο που προσπελαύνουμε (επιλεκτικά) τα στοιχεία ενός πίνακα, μπορούμε και να αλλάξουμε τις τιμές τους: >> a=magic(3) a = >> a(2,2)=100; >> disp(a) >> a(1:2,2:end)=zeros(2,2); >> disp(a) Τι κάναμε εδώ?
47 Κατασκευή Πινάκων και Διανυσμάτων 47 Στο Matlab μπορούμε να δημιουργήσουμε εύκολα διανύσματα τα οποία έχουν συγκεκριμένα χαρακτηριστικά (διαστάσεων, τιμών κλπ): >> u=[0:0.1:0.5] % από 0 με βήμα 0.1 ως 0.5 % (το βήμα μπορεί να είναι και αρνητικό) u = Ομοίως μπορούμε να κατασκευάσουμε νέους πίνακες με «πρώτη ύλη» υφιστάμενους πίνακες: >> a=[1 2;3 4]; >> [a a; zeros(2,2) ones(2,2)] % προσοχή στις διαστάσεις ans =
48 Η εντολή repmat 48 Με την εντολή repmat (repeat matrix δηλ. επανέλαβε πίνακα) μπορούμε να δημιουργήσουμε μεγάλους πίνακες συνδυάζοντας έναν μικρότερους πίνακες ή διανύσματα. Π.χ., >> a=[1 2;3 4]; >> repmat(a,1,2) % χρησιμοποίησε ως στοιχείο τον α για 1 γραμμή και 2 στήλες ans = >> repmat(1:3,3,2) % χρησιμοποίησε ως στοιχείο τον [1 2 3 ] για 3 γραμμές και 2 στήλες ans =
49 Εγγενείς συναρτήσεις για διανύσματα 49 Το Matlab παρέχει μία σειρά από εγγενείς συναρτήσεις με τις οποίες μπορούμε εύκολα να επιτελέσουμε διάφορες λειτουργίες σε διανύσματα: Συμβολισμός max, min mean, median, std length sum, prod sort round Μέγιστο και Ελάχιστο διανύσματος Συνάρτηση Μέση τιμή, μεσαία τιμή και τυπική απόκλιση Μήκος διανύσματος Άθροισμα και γινόμενο στοιχείων διανύσματος Ταξινόμηση διανύσματος Στρογγύλευση τιμής (στον εγγύτερο ακέραιο)
50 Εγγενείς συναρτήσεις για διανύσματα 50 Το Matlab παρέχει μία σειρά από εγγενείς συναρτήσεις με τις οποίες μπορούμε εύκολα να επιτελέσουμε διάφορες λειτουργίες σε διανύσματα: Συμβολισμός max, min mean, median, std length sum, prod sort round dot cross norm Μέγιστο και Ελάχιστο διανύσματος Συνάρτηση Μέση τιμή, μεσαία τιμή και τυπική απόκλιση Μήκος διανύσματος Άθροισμα και γινόμενο στοιχείων διανύσματος Ταξινόμηση διανύσματος Στρογγύλευση τιμής (στον εγγύτερο ακέραιο) Βαθμωτό (εσωτερικό) γινόμενο δύο διανυσμάτων (τι εκφράζει για τον Μηχανικό?) Διανυσματικό (εξωτερικό) γινόμενο δύο διανυσμάτων (τι εκφράζει για τον Μηχανικό?) Νόρμα (μήκος) διανύσματος (τι εκφράζει για τον Μηχανικό?)
51 Παραδείγματα εγγενών συναρτήσεων διανυσμάτων 51 >> a=round(100*rand(1,5)) a = >> length(a) ans = 5 >> max(a) ans = 76 >> prod(a) ans = >> [sorted pos]=sort(a,'descend') sorted = pos = Κάθε συνάρτηση μπορεί να κληθεί με αρκετούς διαφορετικούς τρόπους >> mean(a) ans = 55 >> dot(a,a) ans = 16935
52 Εγγενείς συναρτήσεις για πίνακες 52 Συμβολισμός Συνάρτηση max, min Μέγιστο και Ελάχιστο κατά στήλη mean, median, std Μέση, μεσαία και τυπική απόκλιση κατά στήλη size Διαστάσεις πίνακα sum, prod Άθροισμα και γινόμενο στηλών πίνακα det Ορίζουσα πίνακα rank Τάξη πίνακα eig Ιδιοτιμές και Ιδιοσυναρτήσεις πίνακα diag Στοιχεία κύριας διαγωνίου πίνακα
53 53 Παραδείγματα εγγενών συναρτήσεων πινάκων >> a=magic(3); >> diag(a) >> size(a) ans = ans = >> max(a) ans = >> rank(a) ans = 3 >> mean(a,2) % Μέση τιμή γραμμών ans = 5 5 >> det(a) ans = >> [eigvec eigval]=eig(a) >> mean(a) % μέση τιμή στηλών ans = eigvec = eigval =
54 Εφαρμογή: Επίλυση γραμμικού συστήματος 54 Έστω το 3x3 γραμμικό σύστημα Το σύστημα αυτό μπορεί να γραφεί με την μορφή: ΑΧ=Β όπου Έτσι, αν ο Α είναι αντιστρέψιμος πίνακας, τότε η λύση Χ θα είναι: Χ=Α -1 *Β Η παραπάνω σχέση στο Matlab ισοδυναμεί με την αριστερή διαίρεση Α\Β.
55 Επίλυση γραμμικού συστήματος 55 Να λυθεί το γραμμικό σύστημα: >> A=[3 2 1; 2 3 1; 1 2 1]; >> B=[39; 34; 26]; >> det(a) % Έλεγχος αν υπάρχει αντίστροφος ans = 2 >> x=a\b % Στο ίδιο καταλήγουμε αν γράψουμε inv(a)*b x =
56 56 Εφαρμογή: Εσωτερικό και Εξωτερικό γινόμενο
57 57 Εφαρμογή: Εσωτερικό και Εξωτερικό γινόμενο
58 Εφαρμογή: Εσωτερικό και Εξωτερικό γινόμενο 58 >> u=[1 2 3]; >> v=[-3 2 1]; >> dot(u,v) % Εσωτερικό γινόμενο ans = 4 >> theta=acos(dot(u,v)/(norm(u)*norm(v))) % γωνία διανυσμάτων theta = >> theta=rad2deg(theta) % μετατροπή από ακτίνια σε μοίρες theta =
59 59 Εφαρμογή: Εσωτερικό και Εξωτερικό γινόμενο
60 60 Εφαρμογή: Εσωτερικό και Εξωτερικό γινόμενο
61 61 Εφαρμογή: Εσωτερικό και Εξωτερικό γινόμενο
62 Εφαρμογή: Εσωτερικό και Εξωτερικό γινόμενο 62 >> u=[1 2 3]; >> v=[-3 2 1]; >> cross(u,v) % συνιστώσες i, j, k ans = >> cross(v,u) ans =
63 Συνοψίζοντας 63 Η γνώση διαχείρισης πινάκων με Η/Υ απαραίτητη Matlab: Όλα είναι πίνακες/διανύσματα Έχουμε πολλούς άμεσους τρόπους αναφοράς σε περιοχές πινάκων/διανυσμάτων Χρησιμοποιούμε έτοιμες/διαθέσιμες συναρτήσεις Η χρήση του υπολογιστικού περιβάλλοντος προϋποθέτει καλή γνώση της σχετικής θεωρίας Εμπρός για ασκήσεις!
64 64 Τέλος 2 ης ώρας Κώστας Καρατζάς Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΑΠΘ
65 Ο Μ Α Δ Α Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ω Ν Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Ω Ν Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ ( I S A G ) Δ.#02.2: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ -ΔΕΔΟΜΕΝΑ -ΣΦΑΛΜΑΤΑ - ΔΟΜΕς Κώστας Καρατζάς Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, ΑΠΘ
66 Στοιχεία ενός προγράμματος - Δεδομένα - Δομές (προγραμματιστικές)
67 Σήμερα Πως αναπαριστούμε δεδομένα στον Η/Υ; Δυαδική αναπαράσταση Τύποι μεταβλητών Πίνακες
68 Σήμερα Πως αναπαριστούμε δεδομένα στον Η/Υ; Δυαδική αναπαράσταση Τύποι μεταβλητών Πίνακες 2.Περί σφαλμάτων
69 Σήμερα Πως αναπαριστούμε δεδομένα στον Η/Υ; Δυαδική αναπαράσταση Τύποι μεταβλητών Πίνακες 2.Περί σφαλμάτων 3. Ποιες δομές είναι απαραίτητες για να αναπτύσσουμε προγράμματα; Θεώρημα Boehm-Jacopini Λογικά διαγράμματα <--> Κώδικα Συναρτήσεις
70 1. Πως αναπαριστούμε δεδομένα στον Η/Υ;
71 Δυαδική Αναπαράσταση
72 Μερικά μεγέθη bit = {0, 1} 1 Byte = 8 bits 1 KB = 1024 (=2^10) Bytes 1 MB = 1024 (=2^10) KB...
73 Ακέραιος αριθμός 1101 = 1*(2^3) + 1*(2^2) + 0*(2^1) + 1*(2^0) = = 13
74 Ερώτηση Ποιο εύρος ακέραιων αριθμών μπορώ να αναπαραστήσω με 1 byte;
75 Απάντηση = = ή -127 ως 127 (αρνητικοί - θετικοί)
76 Πραγματικοί αριθμοί s * M * B E s (sign): πρόσημο (+ ή -) M (Mantissa): Ακέραιος αριθμός Β (Base): Συνήθως το 2 E (exponent): Ακέραιος αριθμός
77 Ερώτηση Ποιο εύρος πραγματικών αριθμών μπορώ να αναπαραστήσω με 64 bit; s = 1 bit M = 52 bit E = 11 bit --> καθορίζει το εύρος
78 Απάντηση B E = 2^ = 2^2047 2^0 ως 2^2047 ή 2^-1023 ως 2^1023 (10^-308 ως 10^308)
79 Χαρακτήρες; Πόσα bytes χρειάζομαι για χαρακτήρες;
80 1 byte αρκεί! Ascii table...
81 Ακρίβεια Η ακρίβεια αναπαράστασης των αριθμών στον υπολογιστή είναι πεπερασμένη! εντολή eps(): δίνει την μικρότερη απόσταση μεταξύ του 1 και του αμέσως μεγαλύτερου αριθμού διπλής ακριβείας, και είναι ίση με e-016
82 Περί σφαλμάτων
83 Σφάλματα σε υπολογισμούς Ανθρώπινα Λάθη Είναι πολλές φορές σφάλματα κατανόησης ή τυπογραφικά Τυχαία Σφάλματα Προέρχονται από φυσικά φαινόμενα (υπερθέρμανση αγωγών, κοσμική ακτινοβολία, κλπ) Πειραματικά Σφάλματα Προέρχονται από την πεπερασμένη ακρίβεια των οργάνων μέτρησης Υπολογιστικά Σφάλματα (Αποκοπής, Στρογγύλευσης και Υπερχείλισης - Υποχείλισης)
84 Ariane 5 Καταστροφή κατά τη παρθενική του πτήση. Το οικονομικό κόστος ήταν 500 εκ. δολάρια!
85 Η καταστροφή!
86 Ariane 5 Μελετώντας την καταστροφή του πυραύλου Ariane 5, διαπιστώθηκε ότι τμήμα του νέου λογισμικού προέρχονται από την αποστολή του Ariane 4. Η λάθος «σύνδεση» των τμημάτων παλαιού και νέου λογισμικό (ανάθεση μεταβλητής real σε integer) οδήγησε σε σφάλμα υπερχείλισης. Αυτό λανθασμένα μεταφράστηκε από το λογισμικό του πυραύλου ως απόκλιση από την τροχιά!
87 Σφάλμα αποκοπής (truncation error) Σφάλμα αποκοπής είναι η διαφορά του αληθούς αποτελέσματος από το αντίστοιχο που προέκυψε σε έναν πρακτικό υπολογισμό. Το σφάλμα αποκοπής θα υπήρχε ακόμη και σε έναν «τέλειο» υπολογιστή με ακριβή αποθήκευση των αριθμών. Ωστόσο, το σφάλμα αποκοπής είναι γνωστό και ο προγραμματιστής μπορεί να το εκτιμήσει. H αριθμητική ανάλυση ασχολείται με την ανάπτυξη μεθόδων ελαχιστοποίησης αυτών των σφαλμάτων.
88 Αιτίες του σφάλματος αποκοπής Οφείλεται σε προσεγγίσεις όπως: αποκοπή μιας αριθμοσειράς που επιχειρεί να εκφράσει μία αριθμητική ποσότητα αντικατάσταση μιας παραγώγου από μία διαιρεμένη διαφορά στην προσπάθεια αριθμητικής προσέγγισής της αντικατάσταση μιας οποιασδήποτε συνάρτησης από ένα πολυώνυμο τερματισμός μιας επαναληπτικής διαδικασίας πριν από τη σύγκλιση κλπ
89 Παραδείγματα Κατά τη προσέγγιση της συνάρτησης του ημιτόνου μέσω σειράς προκύπτει σφάλμα αποκοπής, αφού δεν είναι δυνατό να συνυπολογίσουμε άπειρους όρους:
90 Σφάλμα στρογγύλευσης (roundoff error) Σφάλμα στρογγύλευσης είναι η διαφορά του αποτελέσματος που παράγεται από ένα δοσμένο αλγόριθμο που χρησιμοποιεί «αριθμητική ακριβείας» και του αποτελέσματος που παράγεται από τον ίδιο αλγόριθμο όταν χρησιμοποιεί αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας, ή αλλιώς «προσεγγιστική αριθμητική». Οφείλεται στη μη ακριβή αναπαράσταση των πραγματικών αριθμών και στις αριθμητικές πράξεις που γίνονται μεταξύ αυτών.
91 Όπου το χάος ελλοχεύει Ο αριθμός 0.1 του δεκαδικού συστήματος αντιστοιχεί στον δυαδικό μη ακέραιο και περιοδικό αριθμό με περίοδο Λαμβάνοντας υπόψη πως το μήκος της βάσης για την αναπαράσταση αριθμών διαμέσου της μορφής της κινητής υποδιαστολής είναι πεπερασμένο, αυτό σημαίνει ότι όλοι αυτοί οι δεκαδικοί ακέραιοι δεν μπορούν να αναπαρασταθούν στον υπολογιστή παρά μόνο προσεγγιστικά
92 Όπου το χάος ελλοχεύει Αυτό συνεπάγεται πως αν η βάση έχει n ψηφία, το σφάλμα που προκύπτει λόγω απόρριψης των υπολειπόμενων δεκαδικών ψηφίων ισούται κατά μέσο όρο με το μισό του τελευταίου δυαδικού ψηφίου που αναπαρίσταται, δηλαδή με 0.5x2 -n. Έτσι, σε αριθμούς απλής ακριβείας, η αναπαράσταση του δεκαδικού 0.1 συνεπάγεται σφάλμα περίπου ίσο με 0.5x2-23, δηλαδή ~0.596x10-8 (machine precision) Συνεπώς, η απεικόνιση αριθμών με μορφή κινητής υποδιαστολής δημιουργεί σφάλματα!
93 Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε ένα πρόγραμμα στο οποίο ορίζεται ένας πραγματικός αριθμός x, στη συνέχεια προσθέτουμε σ αυτόν 1000 φορές τον επίσης πραγματικό αριθμό step και τέλος αφαιρούμε από το άθροισμα 1000 φορές τον ίδιο αριθμό step. Δηλαδή x=x o x=x+step (1000 φορές) x=x-step (1000 φορές) Μετά το πέρας των παραπάνω υπολογισμών αναμένουμε να η τιμή της μεταβλητής x να έχει και πάλι την αρχική τιμή x o.
94 Παράδειγμα Για x=0.1 και step=0.1 το αποτέλεσμα της εκτέλεσης θα είναι: Χ= Αυτό οφείλεται στην μη ακριβή αποθήκευση του πραγματικού αριθμού που μετά από 2000 «μη ακριβείς» πράξεις δημιουργεί (σωρευτικά) μεγάλο σφάλμα στρογγύλευσης. Το σφάλμα αυτό στην περίπτωση τυχαίας στρογγύλευσης (προς τα πάνω και προς τα κάτω) θα είναι της τάξης Ν 1/2 ε m. Έτσι, για Ν=2000 πράξεις και ακρίβεια μηχανής: ε m =3x10-8 για αριθμούς απλής ακρίβειας θα έχουμε σφάλμα ~10-6, όση και η διαφορά του 0.1 από τη τελική τιμή του x.
95 Παράδειγμα Για x=2.0 και step=0.5 το αποτέλεσμα της εκτέλεσης θα είναι: Χ=2.0 Οι τιμές είναι ακριβείς! Σε αντίθεση με τον 0.1 ο αριθμός 2 και ο 0.5 αποθηκεύονται ακριβώς στην απεικόνιση κινητής υποδιαστολής. Έτσι, δεν έχουμε σφάλμα στρογγύλευσης και ομοίως κατά την εκτέλεση πράξεων δεν έχουμε σωρρευτικό σφάλμα. Ακριβή απεικόνιση κινητής υποδιαστολής έχουν οι αριθμοί της μορφής: a/2 n, όπου a και n ακέραιοι αριθμοί
96 Σφάλμα υπερχείλισης ή υποχείλισης Overflow 1000^103=Inf Underflow 1E-100 * 1E-300=0 Truncation (αποκοπή) 1E > e+010
97 Απόλυτο και σχετικό σφάλμα Η μέτρηση του σφάλματος γίνεται με το Απόλυτο Σφάλμα και το Σχετικό Σφάλμα. Απόλυτο Σφάλμα είναι η διαφορά της πραγματικής από την εκτιμώμενη τιμή: Απ. Σφάλμα = Πραγματική Τιμή Εκτιμώμενη Τιμή Σχετικό Σφάλμα είναι το απόλυτο σφάλμα εκφρασμένο σε ποσοστό της πραγματικής τιμής: Σχ. Σφάλμα = (Πραγματική Τιμή Εκτιμώμενη Τιμή) / Πραγματική Τιμή Το απόλυτο σφάλμα εκφράζεται στις μονάδες του μεγέθους που μετράμε, ενώ το σχετικό σε ποσοστό
98 3. Ποιες δομές είναι απαραίτητες για να αναπτύσσουμε προγράμματα;
99 Δομές Απλή Εντολή Δομή ακολουθίας Δομή επιλογής Δομή επανάληψης
100 Θεώρημα Boehm - Jacopini Κάθε αλγόριθμος μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας μόνο 3 δομές 1. Σειριακή εκτέλεση 2. Επιλογή 3. Επανάληψη
101 Λογικο Διάγραμμα Αρχή - Τέλος Επιλογή Διαδικασία Κατεύθυνση
102 Πρωτοβάθμια Εξίσωση
103 Πρωτοβάθμια Εξίσωση if (συνθήκη)... else μπορείτε να το μετατρέψετε σε πρόγραμμα; Περιμένετε το εργαστήριο της επόμενη εβδομάδας!
104 Οι τρεις αυτές δομές είναι αρκετές για να λύσουμε προβλήματα μπορούμε να είμαστε αποτελεσματικοί;
105 Συναρτήσεις Τμήματα κώδικα που τα χρησιμοποιούμε πολλές φορές.
106 Συναρτήσεις Τμήματα κώδικα που τα χρησιμοποιούμε πολλές φορές.?
107 Συναρτήσεις Τμήματα κώδικα που τα χρησιμοποιούμε πολλές φορές.? - Πιο απλά προγράμματα - Ευκολότερα στην ανάπτυξη & τη διαχείριση
108 Εγγενείς Συναρτήσεις Το Matlab διαθέτει εκατοντάδες εγγενείς (έτοιμες) συναρτήσεις. Ποιες θα μπορούσαν να είναι αυτές;
109 Οικογένειες συναρτήσεων Μαθηματικές: sqrt, sin, cos, tan, exp, log,... Πίνακες: ones, zeros, eye, magic,... Διανυσματικές: sum, mean, std, min, max,... Τυχαίοι αριθμοί: rand, randn, randi,... Γραφήματα: plot, hist, xlabel, ylabel, title,...
110 Οικογένειες συναρτήσεων Μαθηματικές: sqrt, sin, cos, tan, exp, log,... Πίνακες: ones, zeros, eye, magic,... Διανυσματικές: sum, mean, std, min, max,... Τυχαίοι αριθμοί: rand, randn, randi,... Γραφήματα: plot, hist, xlabel, ylabel, title,...
111 Matlab HELP! ή στο περιβάλλον εργασίας του προγράμματος
112 Τι είδαμε σήμερα; Πως διαχειρίζεται τις μεταβλητές ο υπολογιστής & ποιες οι συνέπειες αυτού. Ποια η σημασία των πινάκων για το Matlab. Ποιες είναι οι απαραίτητες δομές σε μία γλώσσα προγραμματισμού Εγγενείς συναρτήσεις στο Matlab. Δυαδική αναπαράσταση Σφάλματα
113 Στην επόμενη διάλεξη... Πως θα δημιουργήσετε τις δικές σας συναρτήσεις! Δείτε τις βιντεο-διαλέξεις Μελετήστε τις ασκήσεις εργαστηρίου πρίν προσέλθετε, Ρίξτε μία ματιά στα quiz!
114 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Κωνσταντίνος Καρατζάς. «Πληροφορική. Ενότητα 2: Α. Μεταβλητές. Όλα είναι πίνακες. Β. Δεδομένα. Σφάλματα. Δομές». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πληροφορική Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
115 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πληροφορική Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
116 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Θεσσαλονίκη, Εαρινό Εξάμηνο
117 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σημειώματα
118 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πληροφορική Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
Πληροφορική. Ενότητα 1: Α. Οργάνωση μαθήματος. Β. Στοιχεία Προγραμματισμού -Προγραμματιστικές Δομές, Πρόγραμμα, Γλώσσες.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πληροφορική Ενότητα 1: Α. Οργάνωση μαθήματος. Β. Στοιχεία Προγραμματισμού -Προγραμματιστικές Δομές, Πρόγραμμα, Γλώσσες. Κωνσταντίνος Καρατζάς
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο
Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Ενότητα 2: Δημιουργία και Επεξεργασία διανυσμάτων και πινάκων μέσω του Matlab Διδάσκουσα: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Συστήματα αρίθμησης
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Συστήματα αρίθμησης Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 8 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΟργάνωση Υπολογιστών
Οργάνωση Υπολογιστών Επιμέλεια: Γεώργιος Θεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστές Ι. Άδειες Χρήσης. Τύποι δεδομένων. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Υπολογιστές Ι Τύποι δεδομένων Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρονικοί Υπολογιστές
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Δεδομένα στη C++ Ζαχαρούλα Ανδρεοπούλου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων: Αριθμητική του Υπολογιστή, Αριθμητικά Συστήματα Μετατροπές, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης Μαθησιακοί Στόχοι Η Ενότητα 2 διαπραγματεύεται θέματα
Διαβάστε περισσότεραΔύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:
Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Προγραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική Ενότητα 4: Δομές Ελέγχου Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 1: Εισαγωγή στη Φυσική-Ακρίβεια & Σημαντικά Ψηφία- Βαθμωτά Μεγέθη-Διανυσματικά Μεγέθη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 1: Εισαγωγή στη -Ακρίβεια & Σημαντικά Ψηφία- Βαθμωτά Μεγέθη-Διανυσματικά Μεγέθη Παπαζάχος Κωνσταντίνος Καθηγητής Γεωφυσικής,
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Προγραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική Ενότητα 2: Μεταβλητές και Σταθερές Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Υπολογιστές
Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα #4: Πίνακες στο MATLAB Καθ. Δημήτρης Ματαράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Πίνακες στο MATLAB MATLAB Fundamentals Α. Καλαμπούνιας Επισκόπιση: Scalars και
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Πληροφορική
Εισαγωγή στην Πληροφορική Αριθμητικά Συστήματα ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Συντήρησης Πολιτισμικής Κληρονομιάς Βασικές Έννοιες Ένα Αριθμητικό Σύστημα αποτελείται από ένα
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Προγραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική Ενότητα 3: Εισαγωγή και Εμφάνιση Δεδομένων Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική ΙΙ Ενότητα 1
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Πληροφορική ΙΙ Ενότητα 1: Εισαγωγή Θεματική Ενότητα: Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρονικοί Υπολογιστές
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Εντολές Αντικατάστασης, Συναρτήσεις και Σχόλια στη C++ Ζαχαρούλα Ανδρεοπούλου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 9ο Aντώνης Σπυρόπουλος Σφάλματα στρογγυλοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΙστορία της μετάφρασης
ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων: Κώδικες, 1ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης Μαθησιακοί Στόχοι Η Ενότητα 2 διαπραγματεύεται
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI. Άδειες Χρήσης. Τύποι δεδομένων, μεταβλητές, πράξεις. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI Τύποι δεδομένων, μεταβλητές, πράξεις Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρονικοί Υπολογιστές
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Πίνακες στη C++ Ζαχαρούλα Ανδρεοπούλου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΥπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Αναλυτική επίλυση του μαθηματικού ομοιώματος: Σύμμορφη Απεικόνιση Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Η/Υ. Βασικές Προγραμματιστικές Δομές. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος
Προγραμματισμός Η/Υ Βασικές Προγραμματιστικές Δομές ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Δομή Ελέγχου Ροής (IF) Η εντολή IF χρησιμοποιείται όταν
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Υπολογιστές
Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 2 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άσκηση 2 ου εργαστηρίου
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 1 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική Επιστήμη και
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο
Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Ενότητα 4: Τελεστές - Αλγόριθμος Διδάσκουσα: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11η: Οργανισμοί της Εκκλησίας της Ελλάδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών
Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Υπολογιστές
Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα #2: Αναπαράσταση δεδομένων Αβεβαιότητα και Ακρίβεια Καθ. Δημήτρης Ματαράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Αναπαράσταση δεδομένων (Data Representation), Αβεβαιότητα
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 10η: Απεσταλμένοι του Ρωμαίου Ποντίφικα και Ρωμαϊκή Κουρία Κυριάκος Κυριαζόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΔύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:
Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην πληροφορική
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 3: Δυαδικά Συστήματα Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.
ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8η: Ο νέος αντιρατσιστικός νόμος και ο ν.4301/2014 Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ενότητα 1: Στοιχεία Διανυσματικού Λογισμού Σκορδύλης Εμμανουήλ Καθηγητής Σεισμολογίας,
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Tylor Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Commos. Για
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 4 Ενότητα 10
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10: Διαιρέσεις της μονάδας και επέκταση του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΠαράκτια Τεχνικά Έργα
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΘΕΣΗ ΥΓΡΩΝ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΥΠΟΒΡΥΧΙΟΙ ΑΓΩΓΟΙ Ενότητα 5 η : Κατασκευαστικά παραδείγματα Γιάννης Ν. Κρεστενίτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕλληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Πληροφορική Ι. Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.
Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Πληροφορική Ι Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ Ενότητα # 17: Ταχύτητα Αντιδράσεων Ακρίβος Περικλής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ
ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Η/Υ. Ενότητα 4: Εντολές Επιλογής
Προγραμματισμός Η/Υ Ενότητα 4: Νίκος Καρακαπιλίδης, Καθηγητής Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Έλεγχος της ροής ενός προγράμματος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές Προγραμματισμού και Χρήση Λογισμικού Η/Υ στις Κατασκευές
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τεχνικές Προγραμματισμού και Χρήση Λογισμικού Η/Υ στις Κατασκευές Ενότητα 3: Διαδικασίες λογικών αποφάσεων και βρόγχων εργασιών Αναστάσιος
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Η/Υ. 8 η ενότητα: Περιβαλλοντικά και μαθηματικά προβλήματα. Τμήμα. Τεχνολόγων Περιβάλλοντος. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Προγραμματισμός Η/Υ 8 η ενότητα: Περιβαλλοντικά και μαθηματικά προβλήματα Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Η/Υ. Ενότητα 2β: Εισαγωγή στη C (Μέρος Δεύτερο)
Προγραμματισμός Η/Υ Ενότητα 2β: Νίκος Καρακαπιλίδης, Καθηγητής Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Κατανόηση της έννοιας του Τελεστή
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική. Ενότητα 4: Α. Λογικές εκφράσεις (Παραστάσεις και Δείκτες). Β. Δομές Προγραμματισμού. Κωνσταντίνος Καρατζάς Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πληροφορική Ενότητα 4: Α. Λογικές εκφράσεις (Παραστάσεις και Δείκτες). Β. Δομές Προγραμματισμού Κωνσταντίνος Καρατζάς Τμήμα Μηχανολόγων
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 2: Όψεις Όνομα Καθηγητή: Παρασκευοπούλου Ροδούλα Α.Π.Θ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2α: Χάρτης Karnaugh (Βοηθητικό υλικό)
Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2α: (Βοηθητικό υλικό) Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Κατανόηση της χρήσης του Χάρτη Karnaugh 2 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΔιπλωματική Ιστορία Ενότητα 2η:
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2η: Η εμφάνιση των εθνών-κρατών και οι συνέπειες στο διεθνές σύστημα Ιωάννης Στεφανίδης, Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 11η: Σύγκριση Ρωσικής Ορθόδοξης Εκκλησίας και Καθολικής Εκκλησίας Κυριάκος Κυριαζόπουλος
Διαβάστε περισσότερα1.4 Αριθμητική υπολογιστών και σφάλματα
Γ. Γεωργίου, Αριθμητική Ανάλυση 1.4 Αριθμητική υπολογιστών και σφάλματα Στην παράγραφο αυτή καλύπτουμε πρώτα γενικά το θέμα της αριθμητικής υπολογιστών και στην συνέχεια διαπραγματευόμαστε την έννοια του
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση Ι
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 5: Όρια και Συνέχεια Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων Ενότητα 2
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Θέματα Απόδοσης Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΔομημένος Προγραμματισμός
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Δομημένος Προγραμματισμός Ενότητα 2: Τύποι μεταβλητών Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Σύνθετοι αναλυτικοί - αριθμητικοί υπολογισμοί Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΙστορία της μετάφρασης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Η μετάφραση των εβδομήκοντα, η εκπαίδευση των μεταφραστών κατά Κικέρωνα, η τέχνη της μετάφρασης από την αρχαιότητα μέχρι τα
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι
Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι Ενότητα: Επαναληπτικές Ασκήσεις Ενότητας 4 Όνομα Καθηγητή: Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.: Το Ολοκλήρωμα Βασικές ιδιότητες Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 4: Τομές ΙΙ Όνομα Καθηγητή: Γιώργος Ανδρεάδης Τμήμα: Μηχανολόγων Μηχ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Η/Υ. Αλγόριθμοι. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος
Προγραμματισμός Η/Υ Αλγόριθμοι ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Ανάπτυξη Λογισμικού Η διαδικασία ανάπτυξης λογισμικού μπορεί να παρομοιαστεί
Διαβάστε περισσότερα