ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ"

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συγγρφή Επιμέλει: Πνγιώτης Φ. Μοίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ασυνεχή συνεχή συστήμτ Οι μέθοδοι νζήτησης των κνονικών τρόπων τλάντωσης που περιγράφηκν στ πλά συστήμτ δεν είνι εύκολο ν εφρμοστούν σε περιπτώσεις συστημάτων με πολύ μεγάλο ριθμό βθμών ελευθερίς, γιτί τότε το μθημτικό πρόβλημ γίνετι ογκώδες, φού ντιστοιχεί μι διφορική εξίσωση σε κάθε έν βθμό ελευθερίς. Έτσι είνι πρίτητη η νάπτυξη άλλων μεθόδων γι την νζήτηση των κνονικών τρόπων τλάντωσης πολυβάθμιων συστημάτων. Γενικά τ συστήμτ με μεγάλο ριθμό βθμών ελευθερίς τξινομούντι σε δυο κτηγορίες : ) Εκείν στ οποί ο ριθμός των βθμών ελευθερίς, ν κι μεγάλος θεωρείτι πεπερσμένος, δηλδή τ κινητά μέρη του συστήμτος είνι δικριτά κι επομένως το μέσο στο οποίο γίνετι η μελέτη των τλντώσεων θεωρείτι συνεχές. β) Εκείν στ οποί ο ριθμός των βθμών ελευθερίς είνι τόσο μεγάλος, ώστε ν θεωρείτι πρκτικά άπειρος, δηλδή η δομή του μέσου είνι τόσο πυκνή ώστε ν χρκτηρίζετι συνεχές. Χρκτηριστικά πρδείγμτ συνεχών συστημάτων ποτελούν συστήμτ τλντώσεων που προκύπτουν με την πολλπλή επνάληψη ενός βσικού τλντωτή (περιοδική δομή), π.χ. μι σειρά μζών συζευγμένων με ελτήρι, μι χορδή που φέρει έν μεγάλο ριθμό σφιριδίων, έν μεγάλο πλήθος συζευγμένων εκκρεμών ή μι περιοδική επνάληψη ενός βσικού κυκλώμτος C. Αντίστοιχ χρκτηριστικά πρδείγμτ συνεχών συστημάτων ποτελούν εκείν στ οποί τ κινητά μέρη τους δεν μπορούν ν δικριθούν μετξύ τους, όπως π.χ. μι χορδή κτά μήκος της οποίς κτνέμετι συνεχώς η μάζ της ή μι ομοξονική γρμμή μετφοράς σημάτων η οποί χρκτηρίζετι πό μι κτνεμημένη υτεπγωγή κι χωρητικότητ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εγκάρσιες τλντώσεις χορδής με Ν σφιρίδι m - m F φ m m x + m y F θ m y - y + Σχήμ. Έστω η χορδή του Σχήμτος. μελητές μάζς που τείνετι με τάση Τ στη διεύθυνση x κι φέρει Ν όμοι σφιρίδι μάζς m σε ίσες μετξύ τους ποστάσεις, τ οποί μπορούν ν μεττοπίζοντι μόνο κάθετ στη διεύθυνση της χορδής κι όλ πάνω στο ίδιο επίπεδο. Στο Σχήμ. φίνετι μι τυχί τριάδ γειτονικών σφιριδίων με σκοπό ν μελετηθεί η κίνηση του μεσίου. Θεωρώντς μι τυχί φάση του συστήμτος όπου η μάζ έχει μεττοπιστεί κτά y, η μάζ + κτά y+ κι η μάζ - κτά y- τότε μελώντς τ βάρη η μάζ δέχετι τη δύνμη F πό το δεξιό τμήμ της χορδής κι τη δύνμη F πό το ριστερό τμήμ της χορδής. Έτσι οι δυνάμεις κτά τη διεύθυνση x της χορδής λόγω ισορροπίς είνι : F coθ F κι coθ F co φ F ( ) coφ όπου Τ η δύνμη με την οποί είνι τεντωμένη η χορδή (τάση χορδής). Ενώ η εξίσωση κίνησης κτά την κάθετη διεύθυνση y στη χορδή σύμφων με το ο νόμο του Newto είνι : F m F i θ F y d i φ m dt κι ντικθιστώντς τις F,F πό τις σχέσεις ( ) προκύπτει: taθ - Τtaφ m d y dt ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αλλά πό το σχήμ εύκολ προκύπτει ότι : y y taθ κι taφ y y Άρ τελικά η εξίσωση κίνησης γι τη -οστή μάζ πίρνει τη μορφή : y y y y d y m dt d y dt ( y m y y ) ( ) Η διφορική εξίσωση ( ) στην πργμτικότητ ντιπροσωπεύει έν σύστημ Ν διφορικών εξισώσεων ης τάξης γι τις Ν άγνωστες συνρτήσεις y, =,,3,,Ν. Γι την επίλυση της ( ) θεωρείτι ότι στο σύστημ έχει διεγερθεί ποκλειστικά μόνο ένς τρόπος τλάντωσης, οπότε όλ τ κινητά μέρη του συστήμτος πρέπει ν εκτελούν ρμονική τλάντωση με την ίδι συχνότητ (του διεγερμένου τρόπου) κι την ίδι φάση. Επίσης ν θεωρηθεί ότι το πλάτος της θέσης της -οστής μάζς είνι Α, τότε η χρονική μετβολή της πόκλισης της -οστής μάζς πό τη θέση ισορροπίς (γενική λύση της ( )) θ είνι : y ( t) A co( ωt φ) ( 3) Ομοίως είνι, y+(t) = A+co(ωt + φ) κι y-(t) = A-co(ωt + φ) οπότε χρησιμοποιώντς υτές τις τιμές του y στην εξίσωση κίνησης ( ) προκύπτει : - ω Α ( A A m ) mω A A ( 4) Τ A Η σχέση ( 4) είνι η θεμελιώδης εξίσωση κι πρέχει τ σχήμτ των τρόπων τλάντωσης, δηλδή τη σχέση των πλτών των τλντωτών του συστήμτος. Η γενική λύση της ( 4) είνι : B i θ Ccoθ ( 5) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ όπου Β,C είνι υθίρετες στθερές κι το θ είνι κάποι στθερή γωνί γι μι δεδομένη τιμή της ω, που πρέπει ν προσδιοριστεί. Σύμφων με την ( 5) τ πλάτη Α+ κι Α- είνι : B i( ) θ Cco( )θ Β(iθco θ coθiθ) C(coθcoθ - iθiθ) B i( ) θ Cco( )θ - Β(iθco θ coθiθ) C(coθcoθ iθiθ) Επομένως θροίζοντς τις πρπάνω προκύπτει : - (Bi θ Ccoθ)co θ A coθ κι ντικθιστώντς το άθροισμ υτό στη σχέση ( 4) προκύπτει : mω coθ ( 6) Τ Δηλδή πρτηρείτι ότι πό τη σχέση υτή μπορεί ν εκφρστεί η συχνότητ του τρόπου τλάντωσης που έχει διεγερθεί συνρτήσει του θ (φού Α ) ως : 4Τ θ ( coθ) i ( 7) m m ω Η τιμή του θ (στθερή γι δεδομένη ω) προσδιορίζετι εύκολ πό τις ορικές συνθήκες του προβλήμτος. Έτσι επειδή τ άκρ της χορδής είνι συνδεδεμέν σε κλόνητ τοιχώμτ θ πρέπει ν είνι κίνητ. Αλλά στις θέσεις υτές δεν υπάρχουν σφιρίδι κι έτσι θ χρησιμοποιηθεί η σχέση ( 5) που δίνει το πλάτος της -οστής μάζς γι = κι =N+ φού το πλήθος των σφιριδίων είνι Ν. Δηλδή είνι Αο = ΑΝ+ = οπότε η ( 5) δίνει: ο i Cco C ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Συνεπώς στο συγκεκριμένο πρόβλημ που τ άκρ της χορδής είνι κίνητ η σχέση ( 5) γι το πλάτος της κίνησης των μζών πίρνει τη μορφή: κι γι =Ν+ υτή δίνει : Α = Biθ ( 8) i(n )θ i(n )θ π ( N )θ π θ,,,..., Ν ( 9) Αντικθιστώντς την τιμή υτή του θ στις σχέσεις ( 8) κι ( 7) προκύπτει το πλάτος τλάντωσης Α της -οστής μάζς στη συγκεκριμένη συχνότητ κνονικού τρόπου τλάντωσης ω : π B i, =,,,N ( ) ενώ οι επιτρεπόμενες συχνότητες ω των κνονικών τρόπων τλάντωσης είνι : ω 4 i m π, =,,,N ( ) ( ) Δηλδή επληθεύετι εδώ η γενική ρχή σύμφων με την οποί το πλήθος των κνονικών τρόπων τλάντωσης ενός συστήμτος είνι ίσο με τον ριθμό των βθμών ελευθερίς του, φού Ν είνι οι επιτρεπόμενες συχνότητες όσοι κι οι βθμοί ελευθερίς του συστήμτος. Πρτηρείτι ότι γι = η ( ) δίνει μηδενικά πλάτη γι όλες τις μάζες ενώ η ( ) δίνει μηδενική συχνότητ, οπότε δεν υφίσττι τλάντωση. Επίσης γι =N+ η ( ) δίνει πάλι μηδενικά πλάτη, λλά η ( ) πίρνει την μέγιστη τιμή ω max 4 / m, η οποί λέγετι συχνότητ ποκοπής κι χρκτηρίζει όλ τ περιοδικά τλντωνόμεν συστήμτ. Τέλος γι >N+ η ( ) δίνει συχνότητες οι οποίες έχουν ήδη προκύψει γι Ν, οπότε δεν ντιστοιχούν σε νέους κνονικούς τρόπους τλάντωσης. Άρ τελικά η ( 3) λόγω της ( ) δίνει τη μεττόπιση κάθε σφιριδίου ότν έχει διεγερθεί ο -οστός κνονικός τρόπος τλάντωσης ως : π y ( t) B i co(ω t φ ), =,,,N ( ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η γενική κίνηση των σφιριδίων ότν έχουν διεγερθεί όλοι οι κνονικοί τρόποι τλάντωσης του συστήμτος θ δίνετι πό την επλληλί των σχέσεων ( ) που ντιστοιχούν στις Ν τιμές που μπορεί ν πάρει το. π Δηλδή : y (t) B i co(ω t φ ) N Στο κόλουθο σχήμ έχουν σχεδιστεί τ σχήμτ των κνονικών τρόπων τλάντωσης μις χορδής με Ν=5 σφιρίδι, όπως προκύπτουν πό τη σχέση ( ) γι =,,,5. =5 =4 =3 = = Σχήμ. Πρτηρείτι ότι τ σχήμτ των κνονικών τρόπων τλάντωσης έχουν κυμτοειδή μορφή όσον φορά τις θέσεις των σφιριδίων. Τ τμήμτ της χορδής που συνδέουν τ σφιρίδι διτηρούν το ευθύγρμμο σχήμ τους επειδή η μάζ τους είνι μελητέ. Επομένως κτά την τλάντωση εκτετμένων συστημάτων οι επιμέρους τλντωτές ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ κινούντι με τέτοιο τρόπο ώστε ν σχημτίζοντι στάσιμ κύμτ, όπως είνι η ενλλκτική ονομσί που ποδίδετι στ σχήμτ των κνονικών τρόπων τλάντωσης ενός εκτετμένου συστήμτος. Με τον όρο στάσιμο χρκτηρίζετι το μετάθετο του σχήμτος του κνονικού τρόπου τλάντωσης στο χώρο. Σε όλ τ στάσιμ κύμτ που πεικονίζοντι στο Σχήμ. υπάρχουν σημεί όπου το πλάτος είνι μέγιστο κι ονομάζοντι κοιλίες κι σημεί (εκτός πό το χμηλότερο τρόπο τλάντωσης =) όπου το πλάτος μηδενίζετι κι ονομάζοντι δεσμοί. Διχρονικά η κίνηση σε κάποιον κνονικό τρόπο τλάντωσης γίνετι σύμφων με τη σχέση ( ), που δείχνει ότι ενώ το σχήμ του τρόπου πρμένει νλλοίωτο, το πλάτος της κίνησης μετβάλλετι συνρτήσει του co(ωt+φ). Πρτήρηση : Ορίζοντς το μήκος κύμτος λ ως το μήκος στο οποίο η φάση του κύμτος μετβάλλετι κτά π πρτηρείτι ότι στο συνολικό μήκος της χορδής που είνι =(N+) η φάση του κνονικού τρόπου τλάντωσης μετβάλλετι κτά π κι επομένως ισχύει : λ π (N ) λ, π,,..., N ( 3) Δηλδή τ μήκη των στάσιμων κυμάτων του συστήμτος της χορδής με τ Ν σφιρίδι είνι υποπολλπλάσι του διπλσίου του μήκους της χορδής. Επίσης ορίζετι ο κυμτάριθμος ως το πλήθος των μηκών κύμτος που ντιστοιχεί σε π μονάδες μήκους ή διφορετικά η μετβολή της φάσης νά μονάδ μήκους, δηλδή : π ( 4) λ Συνεπώς σύμφων με τις σχέσεις ( 3) κι ( 4) οι κυμτάριθμοι των στάσιμων κυμάτων που ντιστοιχούν στον κνονικό τρόπο τλάντωσης του συστήμτος είνι : π π, =,,,Ν ( 5) ( ) Από τις σχέσεις ( 3) κι ( 5) πρτηρείτι ότι όσο μεγλύτερος είνι ο ριθμός του κνονικού τρόπου τλάντωσης, τόσο μικρότερο είνι το μήκος κύμτος κι τόσο μεγλύτερος ο κυμτάριθμος του ντίστοιχου στάσιμου κύμτος. Από τη σχέση ( 5) προκύπτει ότι : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ π Ν ( 6) Άρ συνδυάζοντς τις σχέσεις ( 3), ( 5), ( -9) κι ( 6) προκύπτει η γενική εξίσωση γι τις μεττοπίσεις των σφιριδίων της χορδής ως : y (t) (Bi Cco ) co(ω t φ ) ( 7) Ενώ η ( ) λόγω της ( 6) πρέχει τις συχνότητες ω των κνονικών τρόπων τλάντωσης του συστήμτος συνρτήσει των ντίστοιχων κυμτάριθμων ως : ω 4 4 i ω i, m m,,..., Ν ( 8) Η σχέση ( 8) κι γενικά σχέσεις της μορφής ω=ω() ονομάζοντι σχέσεις δισποράς κι ποτελούν ενδογενές χρκτηριστικό του συστήμτος στο οποίο νφέροντι, φού πό υτές μπορούν ν εκτιμηθούν οι ιδιότητες του μέσου στο οποίο νπτύσσοντι τ κύμτ. Η γρφική πράστση της σχέσης ( - 8) δίνετι στο κόλουθο σχήμ. ω max 4 / m ω ω Ν ω ω N =π/ Σχήμ.3 Πρτηρείτι πό τη σχέση ( 8) ότι η ορική τιμή της συχνότητς ωmax ντιστοιχεί σε i(/) / π/ π/ την ορική τιμή του κυμτάριθμου. Άρ η τιμή ωmax δεν ντιστοιχεί σε συχνότητ κνονικού τρόπου τλάντωσης, λλά είνι μόνο το όριο στο οποίο τείνουν οι συχνότητες των κνονικών τρόπων τλάντωσης ότν το πλήθος των βθμών ελευθερίς είνι μεγάλο. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εγκάρσιες τλντώσεις ομογενούς ελστικής χορδής Σε μι συνεχή χορδή, που προυσιάζει συνεχή κτνομή μάζς, κάθε μόριο του υλικού πό το οποίο είνι κτσκευσμένη είνι κι ένς στοιχειώδης τλντωτής. Το πλήθος των μορίων υτών είνι τόσο μεγάλο ν κι πεπερσμένο, που μπορεί ν θεωρηθεί άπειρο, άρ άπειρο θ είνι κι το πλήθος των βθμών ελευθερίς κι το πλήθος των τρόπων τλάντωσης ενός συνεχούς συστήμτος. y Τcoθ Στοιχειώδες τμήμ χορδής θ Τiθ y(x,t) Τi(θ+dθ) Τ θ+dθ Τco(θ+dθ) x x+dx x Σχήμ.4 Έστω έν στοιχειώδες τμήμ μήκους dx κι μάζς dm μις ομογενούς ελστικής χορδής που έχει στθερή γρμμή πυκνότητς μάζς ρ=dm/dx. Αρχικά η χορδή βρισκότν πάνω στον άξον x κι τείνετι με μι στθερή τάση Τ σε όλο το μήκος της, πρόλο που υτή είνι ελάχιστ εκττή. Σε μι τυχί χρονική στιγμή t το στοιχειώδες υτό τμήμ πέχει πόστση y(x,t) πό τη θέση ισορροπίς, όπου θεωρείτι ότι οι μεττοπίσεις y(x,t) πό τη θέση ισορροπίς είνι δυντές μόνο πάνω στο επίπεδο xy κι ότι είνι πολύ μικρές έτσι ώστε οι γωνίες που σχημτίζοντι πό τη διτργμένη χορδή κι τη διεύθυνση ισορροπίς της x ν είνι μικρές. Η δύνμη που σκείτι πάνω στο στοιχειώδες υτό τμήμ είνι Τ κι σχημτίζει γωνί θ με τον άξον x στο έν άκρο του κι Τ με γωνί θ+dθ στο άλλο άκρο. Επομένως η δύνμη που σκείτι στο στοιχειώδες υτό τμήμ στη διεύθυνση x είνι Τco(θ+dθ) Τcoθ, ενώ στη διεύθυνση y είνι Τi(θ+dθ) Τiθ. Επειδή όμως οι γωνίες θεωρήθηκν μικρές θ ισχύουν οι προσεγγίσεις coθ, co(θ dθ) κι iθ θ, i(θ dθ) θ dθ, οπότε η δύνμη στη διεύθυνση x θ είνι μηδέν (δηλδή δεν υπάρχει μεττόπιση προς τη διεύθυνση x), ενώ η δύνμη στη διεύθυνση y θ είνι : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ( θ dθ) - Τθ Τdθ ( 9) Στη χρονική στιγμή t η κλίση του στοιχειώδους τμήμτος της χορδής είνι ίση με κι επίσης είνι ίση με την μερική πράγωγο της συνάρτησης y(x,t) ως προς x. Δηλδή : taθ θ taθ y(x, t) dθ θ dθ dx ( ) x dx x x Έτσι πό τις σχέσεις ( 9) κι ( ) προκύπτει ότι η y συνιστώσ της δύνμης είνι : dθ Τ dx x κι σύμφων με το ο νόμο του Newto πρέπει υτή ν ισούτι με τη μάζ dm=ρdx επί την επιτάχυνση y(x, t) / t. Άρ : dx dm x t x dm dx t x ρ t ( ) Η σχέση ( ) είνι η μορφή της εξίσωσης κίνησης της συνεχούς χορδής κι ονομάζετι κυμτική εξίσωση. Η εξίσωση υτή είνι μι διφορική εξίσωση ης τάξης με μερικές πργώγους κι δεν περιγράφει πλά κι μόνο τις τλντώσεις μις συνεχούς χορδής, λλά περιγράφει γενικά τη διάδοση κυμάτων στη χορδή υτή. Επίσης πρτηρείτι ότι η ποσότητ της τάσης προς τη γρμμική πυκνότητ Τ/ρ έχει διστάσεις τετργώνου τχύτητς κι επομένως / ρ υ είνι η τχύτητ μετάδοσης της κίνησης κτά μήκος της χορδής. Οι συνρτήσεις y(x,t) που είνι λύσεις της κυμτικής εξίσωσης ( ) ονομάζοντι κυμτοσυνρτήσεις. Υποθέτοντς ότι ένς μονδικός τρόπος τλάντωσης έχει διεγερθεί τότε όλ τ σημεί της χορδής τλντώνοντι με την ίδι συχνότητ κι φάση, οπότε η κυμτοσυνάρτηση y(x,t) έχει τη μορφή : A(x)co(ωt φ) ( ) όπου το πλάτος Α(x) είνι το σχήμ του τρόπου που ντιστοιχεί στη συχνότητ ω. Αντικθιστώντς την ( ) στην κυμτική εξίσωση ( ) προκύπτει : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ d A(x) ρ co(ωt φ) -ω ( x)co(ωt φ) dx d A(x) ω ρ ( x) dx ( 3) Η ομογενής διφορική εξίσωση ( 3) περιγράφει τ σχήμτ των κνονικών τρόπων τλάντωσης της χορδής κι η γενική της λύση, δηλδή το σχήμ του τρόπου που ντιστοιχεί στη συχνότητ ω είνι : ( x) Bix Ccox ( 4) όπου Β κι C υθίρετες στθερές κι =π/λ είνι ο κυμτάριθμος κι σύμφων με τη ( 3) ισχύει : ω ρ Η σχέση ( 5) ποτελεί τη σχέση δισποράς της συνεχούς χορδής. ( 5) Άρ η κυμτοσυνάρτηση y(x,t) γι τη μεττόπιση της χορδής σε έν συγκεκριμένο τρόπο λόγω των ( ) κι ( 4) είνι : y( x, t) ( Bix Ccox)co(ωt φ) ( 6) Γι τον προσδιορισμό των κυμτάριθμων χρησιμοποιούντι οι ορικές συνθήκες Dirichlet στ άκρ της χορδής (x= κι x=) που είνι κίνητ. Δηλδή η συνάρτηση Α(x) θ είνι μηδενική στ άκρ της χορδής, οπότε η ( 4) δίνει : Γι x= : Α() Bi Cco Β C C Άρ το πλάτος Α(x) γράφετι ως : Α(x)=Bix ( 7) Έτσι γι x= η ( 7) δίνει : Α() Bi Bi i π π, =,,3, ( 8) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η σχέση ( 8) πρέχει τους κυμτάριθμος που ντιστοιχούν σε κάθε τρόπο τλάντωσης κι πρτηρείτι ότι βρίσκοντι σε πλήρη νλογί με τους κυμτάριθμους που δίνει η σχέση ( 5) γι τη χορδή με Ν σφιρίδι. Η μόνη διφορά εντοπίζετι στο ότι στη χορδή με σφιρίδι το πλήθος των τρόπων τλάντωσης είνι πεπερσμένο κι ίσο με τον ριθμό των βθμών ελευθερίς, ενώ στη συνεχή χορδή το πλήθος των τρόπων τλάντωσης είνι άπειρο. Επομένως στη συνεχή χορδή τ σχήμτ των κνονικών τρόπων τλάντωσης (δηλδή τ στάσιμ κύμτ όπως λέγοντι) είνι άπειρ κι δίνοντι σύμφων με την ( 7) πό τη σχέση : A(x) i x, =,, ( 9) Τ μήκη των στάσιμων κυμάτων που ντιστοιχούν στους κνονικούς τρόπους τλάντωσης της χορδής με τη βοήθει της ( 8) δίνοντι πό τη σχέση : λ π (8) λ π λ π/, =,, ( 3) Δηλδή τ μήκη των στάσιμων κυμάτων είνι κέρι υποπολλπλάσι του διπλάσιου μήκους της χορδής. Επίσης οι συχνότητες των κνονικών τρόπων τλάντωσης σύμφων με τις σχέσεις ( 5) κι ( 8) είνι : ω ρ π ω ω, =,, ( 3) Τ ρ ρ Πρτηρείτι ότι οι συχνότητες των κνονικών τρόπων τλάντωσης είνι κέρι π πολλπλάσι της συχνότητς ω που ντιστοιχεί στο χμηλότερο τρόπο ρ τλάντωσης = κι ονομάζετι θεμελιώδης συχνότητ, ενώ όλες οι υπόλοιπες ρμονικές της. Το κόλουθο σχήμ πριστάνει τ σχήμτ των κνονικών τρόπων τλάντωσης ή τ στάσιμ κύμτ των τεσσάρων πρώτων ρμονικών (=,,3,4) που επιτρέποντι μετξύ των δυο στθερών άκρων μις συνεχούς χορδής. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ =4 =3 = = Σχήμ.5 Πρτηρείτι ότι κι στ στάσιμ κύμτ της συνεχούς χορδής υπάρχουν σημεί μέγιστης πομάκρυνσης που λέγοντι κοιλίες κι σημεί με μηδενική πομάκρυνση που λέγοντι δεσμοί. Η χρονική συμπεριφορά της κίνησης της χορδής ότν έχει διεγερθεί ο -οστός κνονικός τρόπος τλάντωσης δίνετι πό τη σχέση : B i x co(ω t φ ), =,, ( 3) Ενώ στη γενική περίπτωση η τυχί κίνηση της ομογενούς ελστικής χορδής ότν έχουν διεγερθεί όλοι οι κνονικοί τρόποι τλάντωσης προκύπτει με επλληλί όλων των κνονικών τρόπων τλάντωσης κι περιγράφετι πό την κυμτοσυνάρτηση : B i x co(ω t φ ) ( 33) όπου οι στθερές Β κι φ προσδιορίζοντι πό τις ρχικές συνθήκες, δηλδή την ρχική θέση κι την ρχική τχύτητ της χορδής. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Πρτήρηση : Συγκρίνοντς τη διέγερση κι τη δημιουργί στάσιμων κυμάτων της χορδής με σφιρίδι κι της συνεχούς χορδής εξάγοντι τ κόλουθ συμπεράσμτ : ) Στη χορδή με σφιρίδι το πλήθος των κνονικών τρόπων τλάντωσης είνι ίσο με τον ριθμό των βθμών ελευθερίς, ενώ στη συνεχή χορδή είνι άπειρο. β) Τ σχήμτ των κνονικών τρόπων τλάντωσης (στάσιμ κύμτ) είνι κριβώς τ ίδι, όπως ποδίδοντι στ Σχήμτ. κι.5, εφόσον δε ληφθούν υπόψη τ σφιρίδι κι τ ευθύγρμμ τμήμτ της χορδής με σφιρίδι. Βέβι στη συνεχή χορδή τ σχήμτ υτά θεωρητικά είνι άπειρ, λλά στην πράξη μόνο η πρτήρηση των χμηλών τρόπων τλάντωσης είνι δυντή, φού έχουν θεωρηθεί μόνο μικρές μεττοπίσεις της χορδής πό τη θέση ισορροπίς. γ) Οι συχνότητες των κνονικών τρόπων τλάντωσης στην περίπτωση της συνεχούς χορδής έχουν ρμονική σχέση μετξύ τους (δηλδή σχέση πλών πολλπλάσιων της θεμελιώδους συχνότητς ω), σε ντίθεση με την περίπτωση της χορδής με σφιρίδι όπου οι συχνότητες δεν έχουν μετξύ τους ρμονική σχέση, όπως φίνετι πό τις σχέσεις ( 3) κι ( ). ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Μετάβση πό συνεχές σε συνεχές σύστημ Η εξγωγή της κυμτικής εξίσωσης ( ) μπορεί ν προκύψει κι πό την εξίσωση ( ) γι τη χορδή με Ν σφιρίδι ν υποτεθεί ότι ο ριθμός Ν των σφιριδίων τείνει στο άπειρο. Τότε ν το μήκος της χορδής θεωρηθεί πεπερσμένο κι ίσο με, η πόστση μετξύ δυο διδοχικών σφιριδίων θ τείνει στο μηδέν. Δηλδή οι μάζες των σφιριδίων συγχωνεύοντι σε μι συνεχή χορδή η οποί έχει τώρ μάζ. Επομένως η εγκάρσι μεττόπιση του -οστού σφιριδίου πό τη θέση ισορροπίς μπορεί ν γράφει ως : y ( t) y(, t) ( 34) φού η θέση του στη διεύθυνση x είνι ίση με x=. Αντίστοιχ οι μεττοπίσεις των δυο γειτονικών σφιριδίων - κι + θ είνι : y y - (t) y(, t) (t) y(, y(x -, t) t) y(x, t) ( 35) Ανπτύσσοντς τις συνρτήσεις y(x-,t) κι y(x+,t) σε σειρές aylor γύρω πό το σημείο x γι στθερό t κι κρτώντς όρους μέχρι δεύτερης τάξης ως προς φού υτό τείνει στο μηδέν, προκύπτουν : y(x -, t) y(x, t) - x y(x, t) y(x, t) x x x Αθροίζοντς τις πρπάνω σχέσεις κτά μέλη κι νδιτάσσοντς τους όρους προκύπτει : y(x, t) y(x -, t) ( 36) x Αλλά πό τις σχέσεις ( 34) κι ( 35) είνι : d y dt t κι ( 37) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ y y y y(x, t) - y(x -, t) - (-36) x Άρ η εξίσωση ( ) λόγω των σχέσεων ( 37) γίνετι : t m x x m t ( 38) Αλλά επειδή κτά μήκος της χορδής συνντάτι έν σφιρίδιο μάζς m γι κάθε μήκος, ο λόγος m/ είνι η μάζ νά μονάδ μήκους κι επομένως η γρμμική πυκνότητ μάζς ρ. Οπότε τελικά η ( 38) δίνει : x ρ t ( 39) Δηλδή στο όριο που το Ν σφιρίδι δίνει την κυμτική εξίσωση. κι επομένως, η εξίσωση κίνησης της χορδής με Πρτήρηση : 4 Η σχέση δισποράς της χορδής με Ν σφιρίδι ( 8) ω i στο όριο που το m κι τουλάχιστον γι τους πιο χμηλούς τρόπους τλάντωσης στους οποίους ντιστοιχούν μικροί κυμτάριθμοι το γινόμενο είνι πολύ μικρό τείνοντς στο μηδέν κι ισχύει η προσέγγιση i / / οπότε η σχέση δισποράς γίνετι : ω 4 m m η σχέση Αλλά m/=ρ είνι η γρμμική πυκνότητ μάζς κι επομένως ότν το δισποράς της χορδής με σφιρίδι δίνει τη σχέση δισποράς της συνεχούς χορδής ( 5): ω ρ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ενέργει τλντωνόμενης χορδής Θεωρείτι μι ομογενής χορδή μήκους κι γρμμικής πυκνότητς ρ=dm/dx που έχει τ άκρ της στθερά κι τλντώνετι σε κνονικό τρόπο τλάντωσης. d dm dy y(x,t) dm x= dx x= Σχήμ.6 Η κινητική ενέργει ενός στοιχειώδους τμήμτος dm της χορδής, το οποίο στη θέση ισορροπίς βρίσκετι στη θέση x κι έχει μήκος dx ενώ σε μι τυχί θέση έχει μεττόπιση y(x,t) κι εγκάρσι τχύτητ υ y y / t, είνι : d dmυ y y dm t y d ρ t dx Άρ η ολική κινητική ενέργει της χορδής είνι το ολοκλήρωμ της προηγούμενης κτά μήκος της χορδής. Δηλδή : y ρ dx ( 4) t Η δυνμική ενέργει της χορδής οφείλετι στην πρμόρφωση του σχήμτος της χορδής. Έτσι το στοιχειώδες τμήμ μάζς dm, που ρχικά έχει μήκος dx, μετά την πρμόρφωση έχει μήκος d: d y ( dx) (dy) d dx x ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αλλά γι μικρές μεττοπίσεις y(x,t), η κλίση της χορδής σύμφων με την προσέγγιση ν y / x ( ε) νε γι ε<< είνι : είνι επίσης μικρή, οπότε y d dx x / y dx x Συνεπώς η μετβολή του μήκους του στοιχειώδους τμήμτος dm είνι : y d dx dx x y dx d dx x Η δυνμική ενέργει του στοιχειώδους τμήμτος είνι το έργο που πράγει η τάση Τ με την οποί έχει τεντωθεί η χορδή κι προκλεί τη μετβολή υτή του μήκους. Δηλδή : y dv (d - dx) dv dx x Άρ η ολική δυνμική ενέργει της χορδής προκύπτει με ολοκλήρωση της τελευτίς κτά μήκος της χορδής. Δηλδή : y V dx ( 4) x dx Στην περίπτωση που η χορδή τλντώνετι με κάποιο κνονικό τρόπο τλάντωσης θ είνι : y (x,t) (B i x C co x)co(ω t φ) ( 4) Επειδή όμως το ριστερό άκρο της χορδής είνι στθερό η ( 4) δίνει : Οπότε η ( 4) πίρνει τη μορφή : y(x,t) C co(ω t φ) y C (x,t) B i xco(ω t φ) ( 43) y (x, t) Επίσης είνι : Bω i xi( ωt φ) ( 44) t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

20 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ y (x, t) κι B co x co(ω t φ) x ( 45) Όπου πό την ορική συνθήκη του δεξιού άκρου που είνι κλόνητο η ( 43) δίνει : y(x,t) B i co(ω t φ) π i π, =,, ( 46) κι σύμφων με τη σχέση δισποράς ( 3) οι δυντές τιμές της συχνότητς ω είνι : π ω, =,, ( 47) ρ Άρ η κινητική ενέργει της χορδής στο -οστό τρόπο τλάντωσης σύμφων με τις σχέσεις ( 4) κι ( 44) είνι : Κ y ρ x dx ρb ω i (ω t φ) i xdx Όμως : i xdx ( co x)dx x i x 4 i (46) 4 i π Οπότε : K ρb ω (47) ρb π i (ω i (ωt φ) t φ) ρ K B π 4 i (ω t φ) ( 48) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Επίσης η δυνμική ενέργει της χορδής στο -οστό τρόπο τλάντωσης σύμφων με τις σχέσεις ( 4) κι ( 45) είνι : Όμως : V y x dx B co (ω t φ) co xdx co xdx ( co x)dx x i x... Οπότε : V B (46) B π co (ω co (ωt φ) t φ) V B π 4 co (ω t φ) ( 49) Άρ η ολική ενέργει στο -οστό τρόπο τλάντωσης της χορδής σύμφων με τις σχέσεις ( 48) κι ( 49) είνι : π E K V B, =,, ( 5) 4 4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 4

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 4 ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 4 ΘΕΜΑ A Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΓΩΝΙΣΜ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-04 ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: (ΠΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 04/0/04 ΘΕΜ Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτσεις -4 κι δίπλ το γράμμ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

* ' 4. Σώµ εκτελεί γ..τ µε συχνότητ f. H συχνότητ µε την οποί µεγιστοποιείτι η δυνµική ενέργει τλάντωσης είνι. f =2f β. f =f/2 γ. f =f δ. f =4f Β. Στη

* ' 4. Σώµ εκτελεί γ..τ µε συχνότητ f. H συχνότητ µε την οποί µεγιστοποιείτι η δυνµική ενέργει τλάντωσης είνι. f =2f β. f =f/2 γ. f =f δ. f =4f Β. Στη * '! " # $ # # " % $ " ' " % $ ' " ( # " ' ) % $ THΛ: 270727 222594 THΛ: 919113 949422 ' " % +, Α. Γι τις πρκάτω προτάσεις 1-4 ν γράψετε το γράµµ, β, γ ή δ, που ντιστοιχεί στην σωστή πάντηση 1. Κύκλωµ

Διαβάστε περισσότερα

Yποθέτουμε ότι αρχικά είναι φορτισμένος ο πυκνωτής με φορτίο Q ο. Mετά το κλείσιμο του κυκλώματος και σε τυχούσα χρονική στιγμή ισχύει:

Yποθέτουμε ότι αρχικά είναι φορτισμένος ο πυκνωτής με φορτίο Q ο. Mετά το κλείσιμο του κυκλώματος και σε τυχούσα χρονική στιγμή ισχύει: 0 Kεφ. TAΛANTΩΣEIΣ (prt, pges 0-4 Πράδειγμ 5. Tο κύκλωμ LC Yποθέτουμε ότι ρχικά είνι φορτισμένος ο πυκνωτής με φορτίο Q ο. Mετά το κλείσιμο του κυκλώμτος κι σε τυχούσ χρονική στιγμή ισχύει: O ς κνόνς Kirchhff

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//6 ΘΕΜΑ Οδηγί: Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της ερώτησης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ ΘΕΜ 1ο ΘΕΜΤ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 000 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1. Ένς νεµιστήρς

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στα ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης

γραπτή εξέταση στα ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9//0 έως 09/0/ γρπτή εξέτση στ ΦΥΣΙΚΗ Γ' κτεύθυνσης Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμ: Βθμός: Ημερομηνί: 8//00 Ύλη: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Τλντώσεις - Κύμτ Αθνσιάδης Φοίβος,

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Συγγρφή Επιµέλει: Πνγιώτης Φ Μοίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 wwwpmoiasweelcom ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΡΓΟ - ΕΝΕΡΓΕΙΑ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΡΓΟ - ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΡΓΟ - ΕΝΕΡΓΕΙΑ Συγγρφή Επιμέλει: Πνγιώτης Φ. Μοίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pias.weebl.c ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξετστική ερίοδος ό 8// έως 08/0/ γρτή εξέτση στο μάθημ ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμ: Βθμός: Ονομτεώνυμο: Κθηγητές: ΤΡΙΔΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΜ ο Στις ρκάτω ερωτήσεις ν γράψετε στο τετράδιό σς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΑΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΑΤΟΣ

ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΑΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΑΤΟΣ ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΤΟΣ Ο ομογενής κύλινδρος(γιο-γιό) του σχήμτος έχει μάζ Μ=5kg κι κτίν R=0,m. Γύρω πό τον κύλινδρο είνι τυλιγμένο βρές κι μη εκττό νήμ, το ελεύθερο άκρο του οποίου τρβάμε προς τ πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας βασισμένες στο βιβλίο των μαθηματικών της Γ τάξης

Ερωτήσεις θεωρίας βασισμένες στο βιβλίο των μαθηματικών της Γ τάξης Ερωτήσεις θεωρίς βσισμένες στο βιβλίο των μθημτικών της Γ τάξης 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΑΣ 27 Απριλίου 29 2 Μθημτικά Γ Τάξης 1. Τι είνι πληθυσμός, άτομο κι μέγεθος ενός πληθυσμού; Πληθυσμός ονομάζετι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E. ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

1ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικής Α τάξης Γενικού Λυκείου

1ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικής Α τάξης Γενικού Λυκείου ο Επνληπτικό Διγώνισμ Φυσικής Α τάξης Γενικού Λυκείου Θέμ Α: (Γι τις ερωτήσεις Α. έως κι Α.4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της πρότσης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πρότση.) Α. Στην ευθύγρμμη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ Δύο ομογενείς δίσκοι, ένς μεγάλος μάζς Μ=3kg κι κτίνς =40 κι ένς μικρός μάζς m=kg κι κτίνς =10, ενώνοντι έτσι ώστε ν συμπίπτουν τ κέντρ τους. Ο δίσκος κτίνς διθέτει υλάκι

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2. Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Α. Δύο σώματα ίσης μάζας m κινούνται σε οριζόντιο επίπεδο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Α. Δύο σώματα ίσης μάζας m κινούνται σε οριζόντιο επίπεδο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Εισγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (7-7-7) Μηχνική Ονομτεπώνυμο Τμήμ ΘΕΜΑ 1 Α. Δύο σώμτ ίσης μάζς m κινούντι σε οριζόντιο επίπεδο όπως φίνετι στο πρκάτω σχήμ. Α υ Β a O = Εάν γι t = το σώμ Α κινείτι με στθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο Μθημτικά Β Κτ/νσης ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός: Έλλειψη με εστίες Ε κι Ε λέγετι ο γεωμ τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο του ΕΈ Το στθερό υτό άθροισμ

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σττιστική είνι ο κλάδος των µθηµτικών που συγκεντρώνει στοιχεί τ τξινοµεί κι τ προυσιάζει σε κτάλληλη µορφή ώστε ν µπορούν ν νλυθούν κι ν ερµηνευτούν. Πληθυσµός είνι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

* 4. Οµογενές στερεό σώµ στρέφετι γύρω πό στθερό άξον, υπό την επίδρση στθερής ροπής τ. Συνεπώς όλ τ υλικά σηµεί που το ποτελούν. έχουν την ίδι επιτρό

* 4. Οµογενές στερεό σώµ στρέφετι γύρω πό στθερό άξον, υπό την επίδρση στθερής ροπής τ. Συνεπώς όλ τ υλικά σηµεί που το ποτελούν. έχουν την ίδι επιτρό *! " # $ # # " % $ " " % $ " ( # " ) % $ THΛ: 270727 222594 THΛ: 919113 949422 " % +, Α. Γι τις πρκάτω προτάσεις 1-4 ν γράψετε το γράµµ, β, γ ή δ, που ντιστοιχεί στην σωστή πάντηση 1. Αν στο διπλνό κύκλωµ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

Φαινόμενο Doppler με επιταχυνόμενο παρατηρητή και όχι μόνο!

Φαινόμενο Doppler με επιταχυνόμενο παρατηρητή και όχι μόνο! Φινόμενο Doppler με επιτχυνόμενο πρτηρητ κι όχι μόνο! Έν πυροσβεστικό όχημ κινείτι με στθερ τχύτητ υ =7Km/h προς κίνητο υ μοτοσικλετιστ. υ Κάποι στιγμ = που πέχουν πόστση d=684m το πυροσβεστικό όχημ ρχίζει

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx I. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ.Ορισμένο ολοκλήρωμ.πράγουσ.θεμελιώδες Θεώρημ.Βσικά ολοκληρώμτ 5.Γρμμικότητ 6.Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ή με ντικτάστση 7.Ολοκλήρωση κτά μέρη 8.Ολοκληρώμτ ρητών 9.Ολοκληρώμτ τριγωνομετρικών.γενικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΙ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ 1

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΙ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ 1 Υλικό Φσικής-Χηµείς ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΙ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΜΕ ΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ) Στην κάτω άκρη ενός ιδνικού τήριο είνι δεµένο έν σώµ πο έχει µάζ m m κι ισορροπεί. Στην κάτω άκρη ενός άλλο οµοίο τήριο είνι

Διαβάστε περισσότερα

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π2.2 Γι ν δούμε με ποιο τρόπο ο τύπος των τεσσάρων συντελεστών προκύπτει πό την (2.2.1) χρειάζετι πρώτ τ γενικεύσουμε τις έννοιες της πυκνότητς κι της ροής νετρονίων. ε κάθε θέση r της κρδιάς

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΘΕΜΑ 376/Β. Σε έν σώμ μάζς m που ρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο σκούμε κτκόρυφη στθερή δύνμη μέτρου F, οπότε το σώμ κινείτι κτκόρυφ προς τ πάνω με

Διαβάστε περισσότερα

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής, Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

v 0x = v 0 > 0, v 0y = 0.

v 0x = v 0 > 0, v 0y = 0. Εθνικό Κποδιστρικό Πνεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμ Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχνική Ι, Τμήμ Κ Τσίγκνου & Ν Βλχάκη, 4 Ινουρίου 07 Διάρκει εξέτσης 3 ώρες, Κλή επιτυχί bonus ερωτήμτ) Ονομτεπώνυμο:, ΑΜ: Ν ληφθεί υπόψη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι

Διαβάστε περισσότερα

Επιτάχυνση και ισχύς σε καμπυλόγραμμη κίνηση

Επιτάχυνση και ισχύς σε καμπυλόγραμμη κίνηση Επιτάχυνση κι ισχύς σε κμπυλόγρμμη κίνηση Έν σημεικό σφιρίδιο Σ μάζς m=0,kg είνι δεμένο m στο άκρο βρούς κι μη Σ εκττού νήμτος μήκους =0,m, το άλλο άκρο του οποίου είνι στερεωμένο σε οριζόντι οροφή. Το

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam Theoretical Problem No. 1. Λύση

39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam Theoretical Problem No. 1. Λύση 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 8 11 Υπολογισμός της πόστσης TG Λύση 3 3 3 Ο όγκος του νερού στην κοιλότητ είνι V = 1cm = 1 m Το μήκος του πυθμέν της κοιλότητς είνι d = L atan 6

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ σε κάθε ριθµό το γράµµ που ντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

EI.3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ 1.Αξία κατανάλωσης 2.Πλεόνασμα καταναλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.Πλεόνασμα προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασμα

EI.3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ 1.Αξία κατανάλωσης 2.Πλεόνασμα καταναλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.Πλεόνασμα προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασμα EI.3 ΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ.Αξί κτνάλωσης.λεόνσμ κτνλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.λεόνσμ προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνσμ. ργμτική ξί (Χρησιμότητ) της κτνάλωσης Η ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης: = () έχει κτρχήν την γνωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 17-18 Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities)

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities) Το υπόδειγµ Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Πργωγικές Εξωτερικότητες Κεφλίου Romer-ype exernales Α. Αποκεντρωµένη Οικονοµί Υποθέστε µί κλειστή οικονοµί η οποί πρτίζετι πό πλήθος νοικοκυριών κι πλήθος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο. Τμήμα

Ονοματεπώνυμο. Τμήμα Ηλεκτρομγνητισμός (6-7-9) Ονομτεπώνυμο Τμήμ ΘΕΜΑ 1 A. Έν σωμάτιο με φορτίο -6. n τοποθετείτι στο κέντρο ενός μη γώγιμου σφιρικού φλοιού εσωτερικής κτίνς c κι εξωτερικής 5 c. Ο σφιρικός φλοιός περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0. Ερωτήσεις νάπτυξης 1. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΒΡΑΧΥΣΤΟΧΡΟΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΚΑΙ ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER LAGRANGE

Η ΒΡΑΧΥΣΤΟΧΡΟΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΚΑΙ ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER LAGRANGE Η ΒΡΑΧΥΣΤΟΧΡΟΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΚΑΙ ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER LAGRANGE Η δημοσίευση του Γιάννη Φιορεντίνου γι το πρόβλημ της βρχυστόχρονου ήτν μι πρό(σ)κληση. Διβάζοντς την εκφώνηση του προβλήμτος ποφάσισ ν δώσω μι πλήρη

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα)

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα) Εθύγρμμες Κινήσεις (Σμπκνωμέν) Χρήση Λελεδάκης Κωστής ( koleygr@gmailcom ) Οι σημειώσεις πεθύνοντι σε κάποιον πο θέλει ν μάθει ή ν θμηθεί τ βσικά στοιχεί των εθύγρμμων κινήσεων (χωρίς πργώγος κι ολοκληρώμτ)

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

mr 3 e 2λt. 1 + e d dt 2G v 1 = m 2 r o, 2 ˆr + 1 r , v 2 = m 1

mr 3 e 2λt. 1 + e d dt 2G v 1 = m 2 r o, 2 ˆr + 1 r , v 2 = m 1 Εθνικό κι Κποδιστρικό Πνεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμ Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχνική Ι, Τμήμ Κ Τσίγκνου & Ν Βλχάκη, 4 Σεπτεμβρίου 8 Διάρκει εξέτσης 3 ώρες, Κλή επιτυχί bonus ερωτήμτ Ονομτεπώνυμο:, ΑΜ: Ν ληφθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο

Διαβάστε περισσότερα

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ ΑΠΑΝΤΗΕΙ ΦΥΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ 3/0/09 ΓΙΑΝΝΗ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗ ΘΕΜΑ Α Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτσεις Α-Α4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστ πάντηση. Α. ε ποιο πό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 6. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Θεωρί Μέθοδος Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός. Έστω συνάρτηση y f( πργωγίσιµη στο. Ρυθµός µετβολής του y ως προς στο σηµείο λέγετι η πράγωγος f ( κι Ρυθµός µετβολής του y ως προς λέγετι

Διαβάστε περισσότερα

Micro-foundations of macroeconomics (or Το υπόδειγμα Άριστης Οικονομικής Μεγέθυνσης)

Micro-foundations of macroeconomics (or Το υπόδειγμα Άριστης Οικονομικής Μεγέθυνσης) Miro-foundaions of maroeonomis (or Το υπόδειγμ Άριστης Οικονομικής Μεγέθυνσης) Α. Αποκεντρωμένη Οικονομί Υποθέστε μί κλειστή οικονομί η οποί πρτίζετι πό πλήθος όμοιων νοικοκυριών κι πλήθος όμοιων επιχειρήσεων.

Διαβάστε περισσότερα