Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το
|
|
- Πάρις Κεδίκογλου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι ριθµοί οι ριθµοί που δεν είνι ρητοί. ε. R: οι Πργµτικοί ριθµοί Ένωση ρητών κι ρρήτων ριθµών.. Η Απόλυτη τιµή ενός πργµτικού ριθµού είνι ίση µε την µε την πόστσή του πό το µηδέν Αν > 0 0 Αν = 0 Ορισµός: = { - Αν < 0 π.χ.: =, - = -(-), 0 = 0. i) Οι ριθµοί που έχουν το ίδιο πρόσηµο λέγοντι οµόσηµοι, πχ οι +4 κι 4. ii) Οι ριθµοί που έχουν διφορετικό πρόσηµο λέγοντι ετερόσηµοι πχ οι 4 κι +5. iii) Οι ριθµοί + κι διφέρουν στο πρόσηµο, λέγοντι ντίθετοι. 4. Πράξεις µε πργµτικούς ριθµούς. Πρόσθεση Οµοσήµων: το κοινό πρόσηµο κι προσθέτω τιµές φίρεση. Ετεροσήµων: το πρόσηµο του µεγλύτερου σε τιµή κι φιρώ τιµές. Π.χ. i) (+5) + (+) = 8 ή πλά 5 + = 8 ii) ( 5) + ( ) = 8 ή πλά 5 = iii) ( )+( ) = + = ή πλά 5 0 = = Μπορούµε ν πρλείψουµε το σύµβολο + της πρόσθεσης. Ότν οι ρητοί ντιπροσωπεύοντι πό ετερώνυµ κλάσµτ, τ τρέπουµε σε οµώνυµ.
2 Οµοσήµων: πάντ + κι πολλπλσιάζω τιµές. Πολλπλσισµός Ετεροσήµων: πάντ - κι πολλπλσιάζω τιµές. Π.χ. i) ( 6) ( ) = iii) (+6 ) (+ ) = οµόσηµ Σελ. ii) ( 6) (+) = iv) (+ ) ( 5 ) = 0. ετερόσηµ Πολλπλσισµός πολλών πργόντων Π.χ. (-5) (+) (-) (-) = - 60 (-5) (+) (-) (+) = + 60 = 60. µετράω το πλήθος Αν είνι ζυγό βάζω πάντ + των πλην ( - ) Αν είνι µονό βάζω πάντ -. κι πολλπλσιάζω τιµές. τρί µείον δύο µείον Π.χ. Τη µεττρέπω σε πρόσθεση. Αφίρεση Προσθέτω στον µειωτέο ( ο ) τον ντίθετο του φιρετέου ( ο ) πχ. β = + (-β) (+0) ( 4) = (+0) + (+4) = 4 ή πλά (+0) ( 4) = = 4 Κνόνες γι ν εξλείψουµε πρενθέσεις: Ότν µπροστά πό την πρένθεση υπάρχει το + γράφουµε τους όρους που είνι µέσ στην πρένθεση µε το πρόσηµο που έχουν. Ότν µπροστά πό την πρένθεση υπάρχει το, γράφουµε τους όρους που είνι µέσ στην πρένθεση µε το ντίθετο πρόσηµο. Αλγεβρικό άθροισµ πολλών προσθετέων (όρων) Π.χ. ( ) + ( ) (+5) ( 8) + (+6), (σειρά πό προσθέσεις ή φιρέσεις). Προκειµένου ν κάνουµε τις πράξεις σε υτό, έχουµε: ( ) + ( ) (+5) ( 8) + (+6) = = ( ) + ( ) + ( 5) + (+8) + (+6) = Τρέπουµε τις φιρέσεις σε προσθέσεις των ντίθετων. Βρίσκουµε το άθροισµ των οµοσήµων: όλ τ + µζί όλ τ - µζί. = ( 0) + (+4) = Βρίσκουµε το τελικό πότέλεσµ. = 4 ή πλά ( ) + ( ) (+5) ( 8) + (+6) = = = 4 κι ιίρεση Τη µεττρέπω σε πολλπλσισµό. Πολλπλσιάζω τον ιιρετέο ( ο ) µε τον ντίστροφο του διιρέτη ( ο ). Πχ. : β = β όπου β 0
3 Π.χ. 5 :(+5) = = Σελ. ισχύει :β = β, β 0 το πηλίκο µπορούµε ν το γράψουµε µε µορφή κλάσµτος, δηλδή: (-):(+5) = = = = κι ( ) : ( 5) 5. Ιδιότητες των πράξεων: πρόσθεσης πολλπλσισµού Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ β +β β+ β β β = 5 8 = = 5 ( 8 )= 40 Αντιµετθετική + β = β +. β = β. β γ β+γ +β +(β+γ) (+β)+γ = 8+5 = 8+ = 7 4 = 7 +(β+γ) = (+β)+γ. Προσετιριστική στην πρόσθεση β γ β γ β (β γ) ( β) γ ( 4) = = 40 8 ( 0) = ( 4) = 60 (β γ) = ( β) γ Προσετιριστική στον πολλπλσισµό β γ β+γ (β+γ) β γ β+ γ = 8 () = = 40 8 ( 4) = 40+ = 8 Επιµεριστική (β+γ) = β + γ Πρόσθεση: το 0, 0 = 0 = 0 Ουδέτερο Πολλπλσισµός: το, = = Αντίθετο στην Πρόσθεση: + (-) = (-) + = 0 Πρτήρηση: Αντίστροφο στον Πολλπλσισµό: = µε 0 0 = 0 = 0 β = 0 β 0 x + x = 0 x x = Απορροφητικό στον πολλπλσισµό. = 0 ή β = 0 δηλ., τουλάχιστον έν πό τ δύο είνι µηδέν. 0 κι β 0 δηλ., κι τ δύο είνι µη µηδενικά. Τ x κι x είνι ντίθετ άρ κι ετερόσηµ. Τ µη µηδενικά x κι x είνι ντίστροφ άρ κι οµόσηµ.
4 Υ Ν Α Μ Ε Ι Σ Σελ. 4 Ορισµός: Αν R Πργµτικός ριθµός κι ν N Φυσικός ριθµός, ισχύει: ν ν = ν =... ν ν-φορές ν ν > ν ν = 0 κι 0 ειδικά ν ν φυσικός, δηλδή -ν ρνητικός κέριος ισχύει: ν = ν ή β ν β = ν κι 0 κι β 0 (όχι µηδέν) το ν λέγετι δύνµη µε βάση κι εκθέτη ν (ή ν-οστή δύνµη του ). 4 = = 6-4 = 4 = ύνµη θετικού ριθµού είνι πάντ θετικός ριθµός. 6 ( ) 4 = ( ) ( ) ( ) ( ) = 6 ( ) 4 = ( ) 4 = 6 ύνµη ρνητικού ριθµού µε ζυγό εκθέτη είνι πάντ θετικός ριθµός. ( ) = ( ) ( ) ( ) = 8 ( ) = = = ( ) 8 8 ύνµη ρνητικού ριθµού µε µονό εκθέτη είνι πάντ ρνητικός ριθµός. Πρτήρηση: ( 5) = 5 το πρόσηµο είνι µέσ στη βάση της δύνµης. ενώ 5 = 5 το πρόσηµο είνι έξω πό τη βάση της δύνµης. Ιδιότητες: Όπου ν, µ κέριοι ριθµοί κι, β 0 πργµτικοί ριθµοί. ν µ = ν+µ 4 = +4 = 6-4 = +( 4) = Πολλπλσισµός δυνάµεων που έχουν ίδι βάση. Αφήνουµε την ίδι βάση κι προσθέτουµε τους εκθέτες.. ( ν / µ ) ν : µ = ν-µ : 4 = -4 = - : -4 = -(-4) = 6 ιίρεση δυνάµεων που έχουν ίδι βάση. Αφήνουµε την ίδι βάση κι φιρούµε τον εκθέτη του προνοµστή πό τον εκθέτη του ριθµητή.. ( β) ν = ν β ν ( 5) = 5 = 9 5 Ύψωση γινοµένου σε δύνµη. Υψώνουµε κάθε πράγοντ του γινοµένου στη δύνµη.
5 ( 5) = 5 Σελ ν ν ν, β β = ή ν :β ν = (:β) ν, β 0 = = Ύψωση κλάσµτος σε δύνµη. Υψώνουµε τους όρους του κλάσµτος στη δύνµη. 5. ( ν ) µ = ν µ ( ) = = 6 ( ) = ( ) = 6 Ύψωση δύνµης σε δύνµη. Αφήνουµε βάση την ίδι κι πολλπλσιάζουµε τους εκθέτες. Πρτήρηση: 6 Στην ισότητ = ν 6 =, µε ν Z δηλ. µπορούµε ν υψώσουµε τ µέλη στη ν. ΠΡΟΣΟΧΗ! Το ντίστροφο δεν ισχύει. Π.χ 4 = 4 ή ( ) =, όπου ν Μπορούµε ν υψώσουµε τ µέλη µις ισότητς στον ίδιο εκθέτη. Γενικά ν = β τότε ν = β ν Ορισµός: Τετργωνική ρίζ στο R. Τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθµού x (συµβολίζετι που, ότν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει τον ριθµό x, ( x ), είνι ένς θετικός ριθµός ριζικό κι ότι είνι κάτω πό το ριζικό λέγετι υπόρριζο). Με σύµβολ x, 0 x =, τότε = x κι ντιστρόφως, ορίζουµε κόµ 0 = 0 Πρτήρηση: µι τετργωνική ρίζ θ είνι ρητός ριθµός, ν το υπόρριζο είνι τετράγωνος ριθµός, διφορετικά θ είνι άρρητος ριθµός. Π.χ. 6 =4, Ιδιότητες τετργωνικών ριζών =, 5 =, Γι τους πργµτικούς ριθµούς,β 0 ισχύει, β = β Το γινόµενο δύο τετργωνικών ριζών, ισούτι µε την τετργωνική ρίζ του γινοµένου των υπορρίζων. εν ισχύει: + β = + β π.χ Γι τους ριθµούς 0 κι β>0 ισχύει, = β β. Αν 0 κι ν φυσικός τότε ισχύει, ( ) ν = ν. Το πηλίκο δύο τετργωνικών ριζών ισούτι µε την
6 4. β = β γι κάθε R κι β 0 (β R + ) Σελ. 6 Πως µεττρέπω κλάσµ µε άρρητο πρνοµστή σε ρητό. Πολλπλσιάζω κι τους δύο όρους (ριθµητή κι πρνοµστή) µε τον άρρητο πρνοµστή. Π.χ. = = = 4 (το ηµ45 0 ) Πρέπει ν γνωρίζω σχετικά µε την προτεριότητ των πράξεων: Σε µί ριθµητική πράστση εκτελώ πράξεις µε την πρκάτω σειρά: υνάµεις Πολλπλσισµός ή διίρεση Πρόσθεση ή φίρεση Ι] Εάν υπάρχουν κι πρενθέσεις εκτελώ τις πράξει µέσ στις πρενθέσεις µε την πρπάνω σειρά µέχρι η πρένθεση ν µεττρπεί σε έν ριθµό κι µετά συνεχίζω τις πράξεις εκτός πρένθεσης. ΙΙ] Εάν έχω κι άλλες εσωτερικές πρενθέσεις ή γκύλες ή άγκιστρ ρχίζω την πλοιφή πό µέσ προς τ έξω, εφρµόζοντς την (Ι).. Ν υπολογίσετε τ εξγόµεν: i) 4 ( ) + ( ) 4 ( ) 0 ( ) ii) [( 0,) ] 0, ( 0,) iii) iv) ( ) + ( ) : ( )
7 ι ά τ ξ η κ ι π ρ ά ξ ε ι ς Σελ. 7 Ορισµοί: Έστω, β R. Λέµε ο µεγλύτερος του β κι συµβολίζουµε > β, ότν η διφορά β > 0 δηλδή είνι θετικός ριθµός. Όµοι λέµε < β ότν -β < 0 κι = β ότν -β = 0 Από τ πρπάνω προκύπτει: κάθε θετικός είνι µεγλύτερος του µηδενός. κάθε ρνητικός µικρότερος του µηδενός. Αν τ κι β είνι οµόσηµ µπορεί ν γίνει σύγκριση του πηλίκου τους µε την µονάδ δηλδή: Ι] >, τότε >β, β ΙΙ] <, τότε <β, β ΙΙΙ] =, τότε =β, β Πρτηρήσεις: > β - β > 0. Τ > κι < λέγοντι σύµβολ της νισότητς.. Η σχέση <β λέγετι νισότητ. Tο λέγετι ο µέλος της νισότητς κι το β λέγετι ο µέλος.. ύο νισότητες µε το ίδιο σύµβολο π.χ. <β κι γ<δ λέγοντι οµοιόστροφες ενώ µε διφορετικό ετερόστροφες. 4. Γι πργµτικούς κι β που ισχύει: >β ή =β συµβολίζω β. Ιδιότητες νισοτήτων Α] Αν >β +γ>β+γ γι κάθε, β, γ πργµτικούς. Σηµείωση. Η φράση περνάω στο άλλο µέλος κάποιο ριθµό κι λλάζει πρόσηµο είνι πρκτική έκφρση που γνωστή πό τις εξισώσεις της β γυµνσίου. Β] Αν >β κι β>γ τότε >γ µετβτική ιδιότητ Γ] Αν >β κι γ>δ τότε +γ>β+δ πρόσθεση νισοτήτων κτά µέλη ] Αν γ>0 τότε >β γ>βγ πολ/µός των µελών µε θετικό ριθµό δεν λλάζει τη φορά Ε] Αν γ<0 τότε >β γ<βγ πολ/µός των µελών µε ρνητικό ριθµό λλάζει η φορά. ΣΤ] >β κι γ>δ τότε γ>βδ νισοτήτων κτά µέλη. Μόνο γι,β,γ,δ θετικούς πργµτικούς ισχύει ο πολλπλσισµός Σηµείωση: Πρέπει ν ξέρω κόµη γι, β πργµτικούς ριθµούς:. Αν >0 κι β>0 τότε +β>0 β. Αν <0 κι β<0 τότε +β<0 γ. Αν, β οµόσηµοι τότε β>0 κι :β=/β>0 όπου β 0 δ. Αν, β ετερόσηµοι τότε β<0 κι :β=/β<0 κι β 0 ε. Γι κάθε 0 ισχύει >0
8 Ασκήσεις Οι πργµτικοί ριθµοί Πράξεις Οµάδ Ι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (βάλε σε κύκλο το κεφλίο γράµµ µε την σωστή πάντηση) Σελ. 8. Αν γι τους πργµτικούς ριθµούς x κι y ισxύει x.y<0 τότε: Α. x>0 & y>0 Β. x<0 & y<0 Γ. x>0&y<0. x=0 & y>0 Ε. x>0 ή y=0. Αν γι τους πργµτικούς ριθµούς x κι y ισxύει x+y>0 κι x.y<0 κι y < x τότε: Α. x>0>y Β. x<0<y Γ. x>y>0. 0<x<y Ε. x= 0 κι y>0. Αν γι τους πργµτικούς ριθµούς x κι y ισxύει x+y=0 κι 0<y τότε: Α. x<y<0 Β. y<x<0 Γ. x<0<y. x = y = 0 Ε. x> 0> y 4. Αν γι τους πργµτικούς, β ισxύει.β = 0 τότε: Α. =β & β 0 Β. =0 ή β=0 Γ..β - =0. = & β=4 E., β ντίστροφοι 5. Αν γι τους πργµτικούς ριθµούς, β, γ ισxύει.β.γ=0 κι β 0 τότε: Α. όλοι είνι µηδέν Β. κι γ ντίθετοι Γ. κάποιος των, γ είνι µηδέν. =0 κι β, γ διάφοροι του µηδενός Ε. κι γ ετερόσηµοι 6. Αν γι τους πργµτικούς ριθµούς κι β 0 ισxύει = κι +β=8 τότε β Α.= κι β=6 Β. =β=4 Γ. =0 κι β=-. =0 κι β=8 Ε. = κι β=7 7. Αν = 0 κι β 0 τότε ισxύει: β Α. = 0 & =β Β. =0 ή β=0 Γ. =0 & β 0. = & β 0 Ε. =β= 8. Αν β = 4 τότε ισxύει: Α. = & β=4 Β. =4 & β= Γ..β=..β = 4. Ε. = & β=8 9. Γι πργµτικούς, β, x, y ισxύει = β κι x = y τότε: Α..x = β+y Β. = y Γ..x = β.y. -β = x+y Ε. = β.x.y 0. Γι πργµτικούς, β, x, y ισxύει = β κι y = x τότε: Α..x = β+y Β. = y Γ. = β.x.y. -β = x+y Ε. +x = β+y. Αν γι τους πργµτικούς ριθµούς κι β ισxύει > β τότε: Α. +β>0 Β. +β<0 Γ. δεν βγίνει πάντηση. κι τ δύο ρνητικά Ε. ετερόσηµοι. Αν γι τους πργµτικούς ριθµούς x κι y ισxύει x.y= (ντίστροφοι) τότε: Α. x = y Β. ετερόσηµοι Γ. οµόσηµοι. x = y Ε. x < y. Γι πργµτικούς, β, x όπου = β κι x 0 ισxύει Α. x =.β Β..x = β.x Γ..β = x. = x+β Ε. +β+x = 0 4. Γι πργµτικούς, β, x όπου = β κι x 0 ισxύει Α. β+x = x+ Β. β = x+β Γ. =β=x=0. x =.β Ε. -x-β = 0
9 Οµάδ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Σελ. 9 (βάλε σε κύκλο το Σ ν η πρότση είνι σωστή διφορετικά σε κύκλο το Λ) ύο πργµτικοί ριθµοί µε άθροισµ µηδέν είνι ντίστροφοι Σ Λ Αν ο είνι ο ντίθετος του β τότε = β Σ Λ Αν, β πργµτικοί όπου +β=0 τότε έxουν ίσες πόλυτες τιµές Σ Λ 4 Αν, β πργµτικοί τότε.β = β. ντιµετθετική στον πολ/µό Σ Λ 5 Αν, β πργµτικοί που ισxύει.β= τότε = β Σ Λ 6 Γι πργµτικό. = + γιτί ουδέτερο στον πολ/µό Σ Λ 7 Αν, β 0 πργµτικοί µε /β=0 τότε = β Σ Λ 8 Αν, β πργµτικοί µε γινόµενο µηδέν τότε =0 ή β=0 Σ Λ 9 ύο ριθµοί που έxουν γινόµενο ρνητικό θ έxουν πηλίκο θετικό. Σ Λ 0 Αν, β, γ πργµτικοί µε.β.γ= τότε 0 κι β 0 κι γ 0 Σ Λ Αν = 0 β τότε = β = 0 Ο ντίστροφος του είνι το Σ Λ Αν,β 0 πργµτικοί ώστε β = τότε =8κ κι β=4κ Σ Λ 4 Αν γι τους ρνητικούς ριθµούς,β ισxύει + β = 7 τότε = β = -,5 Σ Λ 5 Αν, β, γ διδοxικοί κέριοι το άθροισµ + β + γ διιρείτι µε το Σ Λ 6 Αν άρτιος κέριος τότε το. + άρτιος Σ Λ 7 Αν περιττός κέριος τότε το. + περιττός Σ Λ Σ Λ
10 Σελ. 0 Οµάδ ΙΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙXΗΣ (ντιστοίxισε µε βέλη ώστε το Α = Β, Α= στήλη η κι Β = στήλη η) Στήλη Α Στήλη Β (+β)-γ 0 +{-[-(-)]} (γ-β) (-β)+ (β-5γ) -γ β+ β (β+γ)-β 0,5 β β (-γ) (-γ)+β β -5γ-β
11 Ασκήσεις υνάµεις Σελ. Οµάδ Ι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (βάλε σε κύκλο το κεφλίο γράµµ µε την σωστή πάντηση). Η δύνµη ( ) 5 ισούτι µε: Α. -8 Β. Γ Η δύνµη ( ) 0 ισούτι µε: 5 Ε. 5 Α. -0 Β. - Γ.. Ε.. Αν µ,ν φυσικοί ριθµοί κι ν-µ = τότε: Α. <0 & ν =µ+ Β. ν= & µ<0 Γ.=0 & ν =µ. 0 & ν =µ Ε. =0 & ν µ 4. Αν >0 κι ν άρτιος (ζυγός) τότε: Α. -=(-) ν Β.(-) ν+ = Γ.(-) ν+ =- ν+.(-) ν+.=(-) ν+ Ε. (-) ν+.=(-) ν 5. Αν κέριος ριθµός µη µηδενικός τότε κι η δύνµη ( ) ισούτι µε: Α. + Β. + Γ.. Ε. ( ) 6. Αν ισxύει η ισότητ ν.β µ =(.β) νµ όπου,β πργµτικοί κι µ, ν κέριοι τότε: Α. =β Β. =ν= Γ. β=µ=0. µ=ν+ Ε. ν άρτιος &µ περιττός 7. Γι την πράστση Α=(-) ν+ το πρόσηµό της είνι: Α. Θετικό Β. Αρνητικό Γ. xωρίς πρόσηµο (µηδέν). Α>0 ν ν άρτιος Ε. Α>0 ν ν περιττός 8. Η πράστση Α = 8 β ισούτι µε: 4β 4 Α. Β. Γ. 7 β β. 7 β - Ε. 4β 9. Η πράστση (+β) ισούτι µε: Α. (+β) Β. (+β)(β+) Γ. (+β)β. (+β)(-β) Ε. (+β) 0
12 Σελ. Οµάδ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ _ ΛΑΘΟΥΣ (βάλε σε κύκλο το Σ ν η πρότση είνι σωστή διφορετικά σε κύκλο το Λ) ν : ν = ν- Σ Λ (.β) -ν = β ν. -ν Σ Λ = 5 +4 = 5 7 Σ Λ 4 (x-5) 0 = γι όλ τ x Σ Λ 5 ν : ν = ν Σ Λ 6 β ν + ν = (+β) ν ν =β=ν= Σ Λ 7 Αν <0 τότε κι ( -5 ) - <0, πργµτικός ριθµός Σ Λ 8 Αν ν > 0 τότε κι -ν < 0 Σ Λ 9 Γι πργµτικούς, β µε = β ισxύει ν = β ν όπου ν κέριος Σ Λ 0 Ισxύει (-) 0 = - γι κάθε 0 πργµτικό ριθµό Σ Λ Αν ν, µ διδοxικοί φυσικοί (-) ν = -(-) µ (π.x. ν= κι µ=4) Σ Λ Αν ν άρτιος φυσικός Α=(-) ν- +(-) ν- +(-) ν+ +(-) ν+ =0 Σ Λ Οµάδ ΙΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙXΗΣ. (ντιστοίxισε µε βέλη Α Β, Α: πράστση κι Β: τιµή που ληθεύει την Α) Στήλη Α - ισότητ Στήλη Β τιµή του x ( - ) x+ = 8 - β 0, (/β) 7+x = -5 0 [(.β) x ] - = (β.) ( x- ) - = ( x- ) - = -7
13 Σελ.
14 . (ντιστοίxισε µε βέλη Α Β, ώστε Α = Β) Σελ. 4 Στήλη Α Στήλη Β µ. ν (β) µ µ.β µ µ : ν / µ ν : β ν / ο - -µ ν+µ µ-ν ( : β) ν
15 Ασκήσεις - Ρίζες Οµάδ Ι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (βάλε σε κύκλο το κεφλίο γράµµ µε την σωστή πάντηση) Σελ. 5. Γι ν ισxύει η σxέση = πρέπει: Α. 0 Β. <0 Γ. πργµτικός. άρτιος Ε. 0. Η ρίζ του έν ( ) ισούτι µε : Α. Β. Γ Ε.. Γι κάθε πργµτικό ριθµό, ισούτι µε: Α. 0, µηδέν Β. ν 0 Γ. ν 0. - Ε. δεν ορίζετι 4. Αν πργµτικός, κ κέριος η ρίζ έxει νόηµ πργµτικού ριθµού (ορίζετι στο R) ν: Α. κ φυσικός Β. κ+ θετικός Γ. κ περιττός. 0 Ε. κ άρτιος κ 5. Όµοι η ρίζ, κ 0 έxει νόηµ πργµτικού ριθµού (ορίζετι στο R) ν: Α. κ φυσικός Β. πάντ Γ. κ περιττός. ποτέ Ε. κ άρτιος 6. Όµοι η ισότητ ( ) κ + = ( κ + ) ισxύει κι ορίζετι ν: Α. θετικός Β. πάντ Γ. κ περιττός. ποτέ Ε. κ άρτιος 7. Όµοι η ισότητ ( κ ) κ = ( ) ισxύει κι ορίζετι ν: Α. ρνητικός Β. πάντ Γ. κ περιττός. ποτέ Ε. κ άρτιος 8. Αν, β πργµτικοί η ισότητ β = βισxύει κι ορίζετι ν: Α.=0 Β. θετικός Γ. πάντ. ρνητικός Ε. β θετικός 9. Αν, β 0 πργµτικοί, κ κέριος η ισότητ κ κ β = βισxύει κι ορίζετι ν: Α. 0 Β. θετικός Γ. πάντ. ρνητικός Ε. ρνητικός & κ µονός 0. Αν, β πργµτικός, κ κέριος η ρίζ ( 5 β) κ ν: + έxει νόηµ πργµτικού ριθµού (ορίζετι) Α., β θετικοί Β., β ρνητικοί Γ. β 5. β 5 Ε. κ άρτιος. Η πράστση Α=4 ισούτι µε: Α. 4 Β. 4 Γ.. 6 Ε.. Η πράστση Α = 7 ισούτι µε: Α. 6 Β. 7: Γ Ε. 4. Η πράστση Α = 7 - ισούτι µε:
16 Α. 5 6 Β. 5 Γ Ε. 4. Η πράστση ισούτι µε: Α. 0,5 Β. Γ. 0. Ε. 6 Σελ Γι κάθε >0 η πράστση ( ) - ισούτι µε: Α. Β. + Γ. 0, µηδέν. Ε. 6. Γι, β πργµτικούς θετικούς ριθµούς η πράστση ( β )( + β ) ισούτι µε: Α. +β Β. -β Γ. 0, µηδέν. β Ε. Οµάδ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ _ ΛΑΘΟΥΣ (βάλε σε κύκλο το Σ ν η πρότση είνι σωστή, διφορετικά σε κύκλο το Λ) β = β Σ Λ = 8 Σ Λ β = β κι β 0 Σ Λ 4 = - ν 0 Σ Λ 5 ( 5) = ± 5 Σ Λ 6 5 = 5 Σ Λ 7 - ( 5) = 5 Σ Λ 8 β = β = 9 κι β 0 Σ Λ Σ Λ 0 = Σ Λ ( ) = γι κάθε πργµτικό Σ Λ ( 5) = 5 Σ Λ = ν 0 Σ Λ
17 Σελ. 7 Οµάδ ΙΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙXΗΣ (ντιστοίxισε µε βέλη Α Β, Α: πράστση κι Β: τιµή που ληθεύει την Α) Στήλη Α Στήλη Β 800 : 5 ( ) ( 8 6) 6 : 8
18 Ασκήσεις 4 - ιάτξη κι πράξεις Σελ. 8 Οµάδ Ι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (βάλε σε κύκλο το κεφλίο γράµµ µε την σωστή πάντηση). Αν, β πργµτικοί ριθµοί κι ισxύει >β, πολ/ζω κι τ δύο µέλη µε - τότε: Α. -<-β Β. ->-β Γ.-= -β.- -β Ε.- -β. Αν, β πργµτικοί ριθµοί κι ισxύει <β, πολ/ζω κι τ δύο µέλη µε µηδέν τότε: Α. 0 <0 β Β. 0 >0 β Γ.0 =0 β.0 0 β Ε.0 0 β. Αν >β κι πολ/σω τ δύο µέλη µε το x όπου x πργµτικός 0 τότε: Α. x <βx Β. x βx Γ.x =βx. βx < x Ε.x βx 4. Αν β κι πολ/σω τ δύο µέλη µε το x - όπου x πργµτικός 0 τότε: Α. x - < β x - Β. x - β x - Γ. x - = β x -. x - < β x - Ε. x - β x - 5. Αν β θετικοί πργµτικοί ριθµοί µε >β τότε ισxύει: Α. >0 & β>0 Β. -β< 0 Γ. /β=. /β> Ε. /β< 6. Αν >β κι β>γ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί ισxύει: Α. <γ Β. +β>+γ Γ. > γ. β < γ Ε. β> +γ 7. Αν >β κι γ>δ ισxύει κι γ>βδ µε την προϋπόθεση: Α. >δ Β.,β θετικά γ,δ ρνητικά Γ.,β,γ,δ πργµτικούς. ποτέ Ε. βγδ>0 8. Η νίσωση x+β>0 όπου <0 έxει λύση την: Α. x>0 Β. x> Γ. x < /β. x<-β: Ε. x>β Οµάδ ΙΙ - (Σύντοµης πάντησης ). Αν << κι <β<5 τότε µετξύ ποίων τιµών περιέxοντι οι τιµές των πρστάσεων: +β -β β -β : +β-. Ν λυθούν πό κοινού οι νισώσεις (x-5) < 7 κι,5x+ χ <5,5 Οµάδ ΙΙΙ- ( ιάτξης σε σειρά πό µικρότερο προς µεγλύτερο). Αν, β θετικοί πργµτικοί κι >β ν γίνει διάτξη στ πρκάτω:, β, β β,, β + β
19 . Αν γι πργµτικό ισxύει 0<< ν γίνει διάτξη στ:. Όµοι ν > στ 0,,,, 4. Όµοι ν >β θετικοί πργµτικοί κι x>0 στ:, +, β β + β + χ +, β χ + β +,, 0,,, Σελ. 9 Οµάδ ΙV - (συµπλήρωσε τις γι µί σωστή πάντηση). Αν, β πργµτικοί µε β 0 τότε. κι... Αν +β = 0 τότε ο πργµτικός είνι ο.. του β.. Γι, β πργµτικούς µε β 0 τότε πό την ισότητ = β προκύπτει η = ισότητ. 4. Γι κάθε, β, γ πργµτικό ριθµό ισxύει η ιδιότητ, (β+γ) = β+γ. 5. Αν ο κέριος είνι περιττός τότε ο + είνι. ενώ είνι.. κι ο 5+7 είνι. 6.. Αν x < 4 τότε χ Αν -x > -6 τότε χ. 8.. Αν < -β τότε β ν = (στις πρκάτω δυνάµεις οι εκθέτες είνι κέριοι ριθµοί) 0. ν : ν-µ =. -6 = ( ).... =, 0. -κ =, 0 4. (x.ψ.ω) = -
20 Ασκήσεις νάπτυξης Σελ. 0. Αν 0<<β<γ, όπου, β, γ πργµτικοί ριθµοί ν ποδείξετε την νισότητ: ] < β + β + γ β] < β γ] < < γ. Αν, β πργµτικοί όπου > κι β> ν ποδείξετε: +β < + β. Αν,β,γ πργµτικοί όπου 0<β< κι γ>0 ν ποδείξετε + γ < β + γ β 4. Γι τους πργµτικούς ριθµούς, β ισxύει > κι β> ν ποδείξετε.β>6 5. Όµοι > κι β<- τότε.β - < (β-). 6. Γι πργµτικούς >0, β>0 κι >0 ν ποδείξετε ότι - <β - 7. Ν λυθούν οι νισώσεις: Α. ( ) x x + > Β. x > + ( 8x 7) 8 Γ. 7(4x-) > +(8x-7). 5x x + < x Ε. x + 5x + x > 0 ΣΤ. x x x x + < 6 4 β : 4 β = όπου 0 κι β 0 πργµτικοί. β 9. Ν υπολογιστούν κι πλοποιηθούν οι πρστάσεις: 8. Ν ποδείξεις ότι ( ) 4 β 9β ] Αν >0, β>0 κι β ν ποδείξετε : β β] δ γ βδ γ ] β β β β = β β] β : = β β β 4 + β 4 β γ] = β β : 5 δ] ( ) κι 0,5. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ] x+ = 9 β] 0 x+. 00 = γ] (-) 5x = 64 δ] ( ) x = ( 5 ) x ε] 4 5χ. 4 = 9 6
1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες
Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο
Διαβάστε περισσότεραΜέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό
Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΠραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους
0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ
Διαβάστε περισσότερααριθμών Ιδιότητες της διάταξης
Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f( x ), ( ) σύνολο Α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ g x είνι δύο πρστάσεις µις µετλητής x πού πίρνει τιµές στο Ανίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε σχέση της µορφής f( x) g( x) f( x) g( x)
Διαβάστε περισσότερα1 και β = 0,001 να υπολογίσετε την παράσταση: 2 3(2α 3β) 4[ 3α + 2(α + 2β 1)]
Γι ποιες τιμές του ορίζοντι οι πρστάσεις ; δ 9 7 ε Ν υπολογιστούν οι πρκάτω πρστάσεις : Α = 7 Ν γίνουν οι πράξεις: Β = 7 γ στ [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] Αν = 9 0 8 κι = 0,00 ν υπολογίσετε την
Διαβάστε περισσότεραγια την εισαγωγή στο Λύκειο
Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΠαρατηρήσεις. Παρατήρηση Ισχύουν οι επόµενες ισότητες: Προσέχουµε: Αν α 0και ν θετικός ακέραιος τότε η µη αρνητική ρίζα της εξίσωσης.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Α κι θετικός κέριος τότε η µη ρητική ρίζ της εξίσωσης λέγετι ιοστή ρίζ του κι συµολίζετι. ηλδή = Γράφουµε: = = ( ) = κι = Πρτηρήσεις. Ο συµολισµός έχει όηµ µόο ότ. Στη πράστση
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στα μαθηματικά της
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό
Διαβάστε περισσότεραf (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.
367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Έννοιες
Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.
Διαβάστε περισσότεραΕκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση
Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,
Διαβάστε περισσότεραΤ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ
Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Κεφάλιο o : Πργµτικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 6 Υποενότητ.1: Τετργωνική Ρίζ Θετικού Αριθµού Θεµτικές Ενότητες: 1. Τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού.. Ιδιότητες της τετργωνικής ρίζς. Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΣελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φυσικοί ριθµοί (Ν :,,,,... Ακέριοι ριθµοί (Ζ :...,,,,,... Ρητοί (Q λέγοντι οι ριθµοί που µπορούν ν γρφούν µε τη µορφή κλάσµτος δηλδή, στη µορφή
Διαβάστε περισσότεραΚΟΛΛΕΓΙΟ. Έτσι για να διευκολυνθούµε στις πράξεις µας εισάγουµε τους κλασµατικούς αριθµούς. ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ν
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ. ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ. Ορισµοί Όπως έχουµε ήη µάθει το σύνολο των φυσικών ριθµών είνι το εξής: ΙΝ {...} Ακόµη ξέρουµε ότι πολλές φορές το πηλίκο ύο φυσικών ριθµών εν είνι πάντ φυσικός. Πράειµ: Το πηλίκο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι
Διαβάστε περισσότερα1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ
0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ
78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: 1 0 1 µε 0 - ν. Ποιες
Διαβάστε περισσότεραΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ
Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι
Διαβάστε περισσότεραΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,
Διαβάστε περισσότεραΠολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ. 0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Πολλπλσισμός-Διίρεση ρητών πρστάσεν Πολλπλσισμός Γι ν πολλπλσιάσουμε ένν κέριο ριθμό με έν κλάσμ ή ι ν πολλπλσιάσουμε δύο κλάσμτ, χρησιμοποιούμε
Διαβάστε περισσότεραΕ. Εισαγωγή. Οι σχέσεις στα Μαθηματικά παριστάνονται συνήθως με τα σύμβολα :,,,,,,,,,,,, κ.λ.π. (παγκόσμια σύμβολα)
Ε. Εισγωγή Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής. Τ σύμβολ κι Λογική πρότση ή πλώς πρότση γι τ Μθημτικά είνι κάθε δήλωση (ισυρισμός), η οποί μπορεί ν δεθεί μόνο έν πό τους ρκτηρισμούς : Αληθής Ψευδής. Προτσικός
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ
ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ. Ν χρκτηρίσετε κθεµιά πό τις πρκάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Αν 0 κι > 0 τότε + > 0. Αν > > 0 τότε ² - ² > 0 γ. Αν τότε > 0 δ. Αν = τότε
Διαβάστε περισσότεραΕ. Εισαγωγή. Οι σχέσεις στα Μαθηματικά παριστάνονται συνήθως με τα σύμβολα :,,,,,,,,,,,, κ.λ.π. (παγκόσμια σύμβολα)
Ε. Εισγωγή Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής. Τ σύμβολ κι Λογική πρότση ή πλώς πρότση γι τ Μθημτικά είνι κάθε δήλωση (ισυρισμός), η οποί μπορεί ν δεθεί μόνο έν πό τους ρκτηρισμούς : Αληθής Ψευδής. Προτσικός
Διαβάστε περισσότεραΜ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη
255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]
ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι
Διαβάστε περισσότεραη οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.
Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας
Διαβάστε περισσότερα2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.
. Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,
Διαβάστε περισσότεραΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ
ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Παραστάσεις
Αλγεβρικές Παραστάσεις 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) 1 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί
Διαβάστε περισσότεραα β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α
ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,
Διαβάστε περισσότεραΕ. Εισαγωγή. μ χ χ, μ, ν, ν 0 ν χ χ 0 ή χ 0 ή χ 0
Ε. Εισγωγή Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής. Αριθμοσύνολ Σύνολ Αριθμών * ) Φυσικοί ριθμοί Ν 0,,,,..., ν, ν, ν, ν, ν,... Ν Ν 0 ) Ακέριοι ριθμοί Ζ..., ν, ν, ν,...,,,,0,,,,..., ν, ν, ν,... + * Ζ Ν,,,..., ν, ν,
Διαβάστε περισσότεραάλγεβρα α λυκείου 1
άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr ριθµοί - 3,4,599-5 3 π3,4-73 9,8 - -453 6,03. 0 3 4 00 5-3 -0 3 e,7-7% - - 4 8 0,7 9-0 3 0 79 ν -30% -ν 6 0 9 967-65 κ λ N Z Q R -, 3 + y 3-5 y C πργµτικούς ριθµούς λέµε τους:
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε
Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΥΠΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΝΑΜΕΩΝ I. ν... ν πράγοντες, ν, ν ν> ν Rκι ν Ν II. ν, ν µ, ν Ν µ ν ν µ, >, µ Ζ, µ ν ν Ν κι εάν Ορισµός : Αν > κι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος
Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ
ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ένς Πίνκς συντελεστών Α µπορεί ν έχει ντίστροφο δηλδή, µπορεί ν είνι «µηιδιάζων» µόνο εάν είνι τετργωνικός Η συνθήκη τετργωνικότητς είνι νγκί λλά όχι κι ικνή γι την ύπρξη
Διαβάστε περισσότεραβ ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση
Διαβάστε περισσότεραΘ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης
1 Θ Ε Ω Ρ Ι Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι Τ Υ Π Ο Ι Ι Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α Μηδενικό διάνυσµ: AA= 0 µε οποιδήποτε κτεύθυνση Μονδιίο διάνυσµ: AB = 1 Αντίθετ δινύσµτ: ντίθετη
Διαβάστε περισσότεραΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ
«Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν
Διαβάστε περισσότερα1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών
κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (011-01) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επνέκδοση του πρόντος βιβλίου πργμτοποιήθηκε πό το Ινστιτούτο Τεχνολογίς Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφντος»
Διαβάστε περισσότερα1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ
1 1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πργοντοποίηση : Είνι η διδικσί µε την οποί µί πράστση που είνι άθροισµ µεττρέπετι σε γινόµενο πργόντων 2. Χρησιµότητ : Απλοποιήσεις Εύρεση Ε.Κ.Π κι
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 193 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 194 Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής ενός πργμτικού ριθμού Μονάδες 5 Β. Αν 0 κι μ, ν θετικοί κέριοι ν ποδείξετε ότι: μ μν ν = Γ. Ν χρκτηρίσετε τις
Διαβάστε περισσότεραΓιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου
Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Α Ενιίου Λυκείου Άλγεβρ Α Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ
Διαβάστε περισσότεραπ.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι
Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α.. Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου Α.. ) Βλέπε τον ορισµό στη σελίδ
Διαβάστε περισσότεραΔοκιμασίες πολλαπλών επιλογών
Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών ) Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι: Α. Ο αντίθετός του Β. Ο ίδιος ο αριθμός Γ. Ο αντίστροφός του 2) Αν x =3, τότε Α. x=3 Β. x 0 Γ. x=-3 Δ. x=3 ή x=-3 3) Με το -x συμβολίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)
ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n
ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1ο 55 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες:
Κεφάλιο ο Ερωτήσεις Κτόησης Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με (Σ) είι σωστές ή με (Λ) είι λθσμέες: ) Γι κάθε ριθμό ισχύει + + + 4 β) Γι κάθε ριθμό ισχύει 4 γ) Οι ριθμοί (-) 6 κι - 6 είι τίθετοι δ)
Διαβάστε περισσότεραΤα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.
1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα
Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την
Διαβάστε περισσότεραΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z
ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συχ = συθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z Βσικές τριγ. εξισώσεις ηµx = 0
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι
Διαβάστε περισσότεραδηµήτρη ποιµενίδη άλγεβρα α λυκείου
δηµήτρη ποιµενίδη άλγεβρ λυκείου Θεσσλονίκη 0 φιερωµένο στην ειρήνη άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr το λεξιλόγιο της µθηµτικής λογικής κι τ σύνολ δηµήτρη ποιµενίδη paul gauguin (848-903) the midday nap (894)
Διαβάστε περισσότεραΕπομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.
Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1ΠΡΑΞΕΙΣ-ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ-ΔΥΝΑΜΕΙΣ-ΡΙΖΕΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.ΠΡΑΞΕΙΣ-ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ-ΔΥΝΑΜΕΙΣ-ΡΙΖΕΣ Α.ΠΡΑΞΕΙΣ.) Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,, ) Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ)
Διαβάστε περισσότεραΡητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,
Διαβάστε περισσότεραR={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }
o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.
Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι
Διαβάστε περισσότεραΤάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 A ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 07 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνί: Σάββτο 7 Ινουρίου 07 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Ν συµπληρώσετε τους τύπους: i. ii....,... =...,... β
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß
ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου
Μθημτιά Α Λυείου Μθημτιά γι τη Α τάξη του Λυείου Α Νιοστή ρίζ πργμτιού ριθμού. Κρδμίτσης Σπύρος ΟΡΙΣΜΟΣ Η ιοστή ρίζ θετιός έριος εός μη ρητιού ριθμού συμολίζετι με ι είι ο μη ρητιός ριθμός που ότ υψωθεί
Διαβάστε περισσότερα1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ
. A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραAπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.
ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+
Διαβάστε περισσότεραΦ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΜ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ
Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα
Διαβάστε περισσότερα1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =.
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε:
Διαβάστε περισσότεραΓιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου
Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μθημτικά Γ Γυμνσίου Μθημτικά Γ Γυμνσίου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αλγερικές Πρστάσεις
Διαβάστε περισσότερα