Μηχανική Ρευστών και Εφαρμοσμένη Υδραυλική

Transcript

1 Μηχανική Ρευστών και Εφαρμοσμένη Υδραυλική Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου Αριστοτέλης Μαντόγλου Αναπληρωτής Καθηγητής Αθήνα 006

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΡΕΥΣΤΩΝ. Εισαγωγή Τα σώματα κατατάσσονται στην κλασσική μηχανική, ανάλογα με την μορφή τους σε κανονικές συνθήκες θερμοκρασίας και πίεσης, σε στερεά, υγρά και αέρια. Τα υγρά και τα αέρια ονομάζονται ρευστά επειδή ρέουν δηλαδή παραμορφώνονται συνεχώς υπό την επίδραση εφαπτομενικών (διατμητικών) τάσεων όπως φαίνεται στο Σχήμα -. Σχήμα - Μηχανική ρευστών είναι ο κλάδος της μηχανικής που μελετά την συμπεριφορά των ρευστών σε ηρεμία και κίνηση. Είναι θεμελιώδης κλάδος για πολλές ειδικότητες μηχανικών και διδάσκεται στα τμήματα Πολιτικών, Α. Τοπογράφων, Μηχανολόγων, Ναυπηγών, Αεροναυπηγών Μηχανικών, Γεωπόνων, Περιβαλλοντολόγων, κλπ. Στους κλάδους των Πολιτικών Μηχανικών καθώς και των Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών ενδιαφέρουν η μελέτη, ο σχεδιασμός και κατασκευή έργων αξιοποίησης, διαχείρισης και προστασίας υδατικών πόρων. Νέα πεδία έρευνας έχουν αναπτυχθεί στις μέρες μας λόγω ρύπανσης νερού, ξηρασίας και λειψυδρίας καθώς και κλιματικής αλλαγής. Με την ραγδαία ανάπτυξη των υπολογιστών είναι δυνατό να διερευνηθεί η συμπεριφορά πολύπλοκων ροών πραγματικών ρευστών με αριθμητικές μεθόδους επίλυσης των αντιστοίχων εξισώσεων.

3 Η Εφηρμοσμένη Υδραυλική αποτελεί εφαρμοσμένο κλάδο της Μηχανικής Ρευστών που μελετά την ισορροπία και κίνηση του νερού σε κλειστούς και ανοικτούς αγωγούς. Στο μάθημα αυτό μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά των υγρών και ιδίως του νερού. Τα υγρά είναι σχεδόν ασυμπίεστα και παίρνουν το σχήμα του δοχείου στο οποίο βρίσκονται. Έννοιες και Ορισμοί Ρευστό είναι το υλικό σώμα το οποίο παραμορφώνεται συνεχώς υπό την επίδραση διατμητικής τάσης. Τα ρευστά διακρίνονται σε - Συμπιεστά και ασυμπίεστα - Πραγματικά (ιξώδη) και ιδανικά (ή τέλεια) - Νευτώνεια και μη Νευτώνεια ρευστά Ρευστό σωματίδιο: Σε κάθε σημείο του χώρου ( x, yz, ) και κάθε χρονική στιγμή βρίσκεται ένα ρευστό σωματίδιο (όγκος ρευστού απειροστού όγκου και μάζας Δm ) με ιδιότητες τις ιδιότητες του ρευστού στο αντίστοιχο σημείο. Το ρευστό σωματίδιο συμμετέχει στην κίνηση του ρευστού και την χρονική στιγμή βρίσκεται στη θέση ( x xy, yz, z) +Δ +Δ +Δ. ΔU t+δt t θα.. Φυσικές Ιδιότητες Ρευστών Πυκνότητα (ρ) Η πυκνότητα του ρευστού στη θέση (,, ) x yz και χρονική στιγμή από το λόγο της μάζας του ρευστού σωματιδίου δια του όγκου αυτού: μαζα Δm dm ρ = = lim = ογκο ΔU 0 ΔU du t ορίζεται 3 Οι διαστάσεις πυκνότητας είναι: [ ] ρ = ML και οι μονάδες μέτρησης είναι gr 3 CGS.. cm. kgr 3 SI. m Η πυκνότητα εξαρτάται από την θερμοκρασία και συγκεκριμένα για νερό στους 0 4 C είναι: ρ = gr 3 ή ρ = 000 Kgr 3 cm m 3

4 Η πυκνότητα εξαρτάται εν γένει και από την πίεση. Τα υγρά (πχ. νερό) μπορούν να θεωρηθούν ότι είναι πρακτικά ασυμπίεστα. Για ασυμπίεστα ρευστά η πυκνότητα είναι σταθερή και ανεξάρτητη της πίεσης. Τα ομογενή υγρά αποτελούνται από ένα μόνο είδος υγρού και η πυκνότητα του ρευστού παραμένει παντού σταθερή αν δεν υπάρχουν διαφορές θερμοκρασίας. Ειδικό Βάρος (γ) Το ειδικό βάρος ρευστού στη θέση (,, ) x yz και χρονική στιγμή από το βάρος του ρευστού σωματιδίου δια του όγκου αυτού δηλαδή: ( ) βαρος Δ mg dm γ = = lim = g = ρ g ογκος ΔU 0 ΔU du t ορίζεται όπου g = 9.8m sec στο πεδίο βαρύτητας της γης. Οι διαστάσεις του ειδικού βάρους είναι: [ ] όπου ρ = ML T και οι μονάδες μέτρησης είναι dyn 3 C.G.S cm Nt 3 = S.I m mkgr sec * * gr 3, tn kgr = 3 τεχνικο συστημα cm m m m 3 cm 5 Nt = Kgr = 0 0 = 0 dyn. sec sec Το σχετικό ειδικό βάρος (η σχετική πυκνότητα) ορίζεται από το λόγο: Πίεση ρευστού γ ρ δ = = γ ρ Ας θεωρήσουμε τον όγκο ρευστού όρια της επιφανείας E 0 0 HO,4 C HO,4 C U από ρευστό. Η δύναμη του σχήματος που περιβάλλεται στα ΔF που ασκείται στην στοιχειώδη επιφάνεια ΔE από το ρευστό που βρίσκεται έξω από τον όγκο U αναλύεται σε κάθετη και εφαπτομενική συνιστώσα με μέτρα Δ P και Δ T αντίστοιχα. Ορίζουμε σαν ορθή τάση το λόγο της κάθετης συνιστώσας της δύναμης δια της επιφανείας: ΔP dp ΔT dt σ = lim =. Η διατμητική τάση ορίζεται από: τ = lim =. ΔE 0 ΔE de Δ E 0 ΔE de 4

5 Σχήμα - Ανάλυση δυνάμεων στην στοιχειώδη επιφάνεια Δ E Όταν δεν υπάρχουν διατμητικές τάσεις ( τ = 0 ), η ορθή τάση ονομάζεται πίεση του ρευστού δηλαδή: p = σ. Η πίεση είναι βαθμωτό μέγεθος και όχι διανυσματικό και είναι θετική όταν αντιστοιχεί σε θλιπτική τάση (προς το εσωτερικό του όγκου) Όμως η ύπαρξη πίεσης p σε στοιχειώδη επιφάνεια ΔE υπονοεί την άσκηση δύναμης Δ P = pδe που έχει μέτρο p ΔΕ εσωτερικό του όγκου U. και διεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια Δ E και με φορά προς το Στην μέτρηση της πίεσης διακρίνουμε την απόλυτη πίεση και την σχετική πίεση pσχ = pαπολ p atm όπου p σχ = η σχετική πίεση ως προς την ατμοσφαιρική. Οι διαστάσεις της πίεσης είναι: [ ] p = ML T και μονάδα πίεσης στο σύστημα SI είναι το Pascal: Pa = Nt. Οι συνήθεις μονάδες μέτρησης είναι m 5

6 Nt Pa = m kp cm t m dyn cm 6 dyn bar = 0 cm Ιξώδες ή συνεκτικότητα ρευστών Τα ρευστά αντίθετα με τα στερεά παραμορφώνονται συνεχώς υπό την επίδραση διατμητικών τάσεων. Όταν υφίσταται σχετική κίνηση μεταξύ γειτονικών στρώσεων ρευστού, αυτό προβάλει αντίσταση στην παραμόρφωση του που οφείλεται στην μοριακή συνοχή. Τι ιξώδες ή συνεκτικότητα χαρακτηρίζει την αντίσταση (εσωτερική τριβή) του ρευστού στις παραμορφώσεις λόγω διατμητικών τάσεων που επενεργούν σ αυτό. Στα υγρά αύξηση της θερμοκρασίας προκαλεί μείωση μοριακής συνοχής και επομένως μείωση του ιξώδους. Σχήμα -3 Παραδείγματά κατανομής ταχύτητας μεταξύ ακίνητης και κινούμενης πλάκας καθώς και σε αγωγό κυκλικής διατομής. Ο Νεύτωνας απέδειξε πειραματικά ότι du τ = μ, όπου: τ =διατμητική τάση dy τριβής ανά μονάδα επιφάνειας ρευστού, μ =συντελεστής δυναμικού ιξώδους ή συνεκτικότητα ρευστού και κάθετη στη ροή όπως φαίνεται στο Σχήμα -4. du = μεταβολή της ταχύτητας κατά την διεύθυνση dy 6

7 Σχήμα -4. Ρευστό κινούμενο πάνω από ακίνητο όριο Όταν το μ είναι ανεξάρτητο του τ ή du dy το ρευστό λέγεται Νευτώνειο (πχ. νερό, αέρας) αλλιώς ονομάζεται μη Νευτώνειο ρευστό (μέλι). Ιδεατά (ιδανικά ρευστά) ονομάζονται τα ρευστά που δεν εμφανίζουν συνεκτικότητα ( μ = 0 ). Ιδεατά ρευστά δεν υπάρχουν στη φύση αλλά είναι προϊόν μαθηματικής απλοποίησης. Η συνεκτικότητα μ εξαρτάται από την θερμοκρασία και στα υγρά καθώς η θερμοκρασία αυξάνεται το μ μικραίνει αφού επέρχεται χαλάρωση της μοριακής δομής τους. Οι διαστάσεις της συνεκτικότητας είναι: [ τ ] FT M [ μ] = = = = ML T du L LT dy Οι μονάδες συνεκτικότητας είναι το όπου sec gr poise = 00centipoise = dyn = CGS cm cmsec Pa sec= Nt sec SI m cm 5 dyn = gr = 0 Nt και Pa = Nt είναι μονάδα μέτρησης της τάσης sec m (δύναμη ανά επιφάνεια). v Το κινηματικό ιξώδες ή κινηματική συνεκτικότητα ορίζεται από τη σχέση: μ = όπου ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού. Η κινηματική συνεκτικότητα έχει ρ διαστάσεις : [ ] ν = L T και μονάδες: 7

8 cm 4 m stoke = = 0 CGS sec sec m SI sec 8

9 ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ Η υδροστατική είναι κλάδος της μηχανικής που μελετά τους νόμους που διέπουν τα ρευστά όταν αυτά βρίσκονται σε ισορροπία, δηλαδή όταν δεν υπάρχουν μεταβολές της ταχύτητας στο χώρο. Στην περίπτωση αυτή οι μερικές παράγωγοι των ταχυτήτων u u u στο χώρο είναι μηδενικές ( = = = 0 ) και επομένως δεν δρουν σ αυτά x y z διατμητικές δυνάμεις. Επομένως οι επιφανειακές δυνάμεις που ασκούνται από το ρευστό σε μια επιφάνεια είναι κάθετες προς την αντίστοιχη επιφάνεια. Σχήμα - Υγρό σε ισορροπία μέσα σε στερεό όριο. Η δύναμη F που ασκείται στον πυθμένα του δοχείου στο Σχήμα - είναι F ομοιόμορφα κατανεμημένη και η πίεση του ρευστού ορίζεται από: p = όπου F = E κάθετη δύναμη κατανεμημένη στην επιφάνεια του πυθμένα ενώ E = επιφάνεια πυθμένα. Αν η F δεν είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη η πίεση μεταβάλλεται από σημείο ΔF df σε σημείο και ορίζεται από την γενικότερη σχέση: p = lim =. Δ E 0 ΔE de Από τον 3 ο Νόμο του Νεύτωνα που ορίζει ότι: Δράση = Αντίδραση προκύπτει ότι τα όρια ασκούν πιάνω στο ρευστό δύναμη ίση σε ένταση και αντίθετη σε διεύθυνση με αυτή που το ρευστό ασκεί πάνω στα τοιχώματα. 9

10 . Αρχή Pascal Η πίεση σε οποιοδήποτε σημείο ρευστού που βρίσκεται σε ηρεμία είναι η ίδια προς όλες τις διευθύνσεις, δηλαδή η πίεση δεν εξαρτάται από την διεύθυνση της επιφάνειας που περνά από το σημείο στο οποίο ενεργεί. (Η απόδειξη έγινε στην αίθουσα ). Μεταβολή Πιέσεως με το Υψόμετρο Θεωρούμε τον ορθογώνιος διαφορικό όγκο αναφοράς Δx, Δy,Δz. Σχήμα - Επειδή δεν υπάρχουν διατμητικές δυνάμεις, από την ισορροπία στον άξονα των x και y προκύπτει ότι p p pδδ y z p+ Δx ΔΔ y z = 0 = 0 x x. p p pδδ z x p y z x Δ ΔΔ = = y y Επομένως η πίεση p είναι ανεξάρτητη των ( x, y ) και εξαρτάται μόνο από το υψόμετρο z. Βλέπε επίσης Νουτσόπουλος και Χριστοδούλου κεφ.. 0

11 Η ισορροπία στον άξονα των z δίνει: p pδδ x y p+δp ΔΔ x y ΔΔΔ z x y = pδδ x y p+ Δz ΔΔ x y ΔΔΔ z x y = z p Δ p = Δz. z ( ) γ γ 0 όπου p και απλοποιώντας: = γ. Επειδή η πίεση εξαρτάται μόνο από το υψόμετρο z, z μπορούμε να γράψουμε: p dp dp = = γ = dz z dz γ και ολοκληρώνοντας μεταξύ z = z p z dp = dz = ( z z) = t γ p z Η σχέση αυτή ισχύει για συμπιεστά και ανομοιογενή ρευστά. Για ομογενή και ασυμπίεστα ρευστά ισχύει γ = σταθερο και p p p p = ( z z) + z = + z Δ p= p p = γ ( z z) = γ t γ γ γ γ ή p z γ + = σταθερό. Δηλαδή η κατανομή της πίεσης σε ρευστά που βρίσκονται σε ισορροπία είναι υδροστατική. Οι διαστάσεις της πίεσης είναι: [ ] σύστημα SI είναι το Pascal: Pa = Nt. m p = ML T και μονάδα πίεσης στο Ο όρος p έχει διαστάσεις μήκους και ονομάζεται ύψος πίεσης ενώ ο όρος γ p + z ονομάζεται πιεζομετρικό φορτίο. Όταν το σημείο z βρίσκεται στην ελεύθερη γ επιφάνεια του ρευστού ισχύει p = p όπου p a = ατμοσφαιρική πίεση. Η απόλυτη a πίεση σε βάθος t είναι: p = pa + γ t ενώ η σχετική πίεση οργάνου (ως προς την ατμοσφαιρική) : p = p pa = γ t.

12 Kp ton Η ατμοσφαιρική πίεση είναι: p = a cm = m στην επιφάνεια της θάλασσας και ορίζεται: Kp cm 0 0 C και ονομάζεται φυσική ατμόσφαιρα. Τεχνητή ατμόσφαιρα:.3 Διαφορικά Μανόμετρα Βλέπε άσκηση -6 η οποία λύθηκε στην αίθουσα..4 Υδροστατικές Δυνάμεις σε Τοιχώματα Δοχείων και σε Βυθισμένα Σώματα Σε πρακτικές εφαρμογές διαστασιολόγησης τοιχωμάτων δοχείων, δεξαμενών, φραγμάτων, θυροφραγμάτων, πρέπει να υπολογίσουμε τις δυνάμεις που ασκεί το υγρό στα τοιχώματα..4. Δυνάμεις σε Κατακόρυφες Επιφάνειες Θεωρούμε κατακόρυφα τοιχώματα με ομοιογενές υγρό ύψους Η και πλάτους b όπως φαίνεται στο σχήμα. Στη στοιχειώδη λωρίδα βάθους dt και πλάτους b η υδροστατική πίεση είναι: p= γ t και η δύναμη που ασκεί το νερό στην επιφάνεια είναι df = γ t de = γ tbdt. Η κατανομή της πίεσης φαίνεται στο Σχήμα -3 και ορίζεται ένα πρίσμα πιέσεων τριγωνικής μορφής. Σχήμα -3 Βλέπε επίσης Νουτσόπουλος και Χριστοδούλου κεφ..6

13 Η συνολική δύναμη που ασκείται στην επιφάνεια του τοιχώματος είναι H H H F = df = γtbdt = γbh = γ bh = γtκ E = pκ 0 0 E όπου p κ = γ t κ είναι η πίεση στο κέντρο βάρους της επιφάνειας Ε. Το σημείο εφαρμογής της δύναμης είναι σε βάθος t π που υπολογίζεται εξισώνοντας τις ροπές των συνιστωσών δυνάμεων με τη ροπή της συνισταμένης. Παίρνοντας τις ροπές ως προς το σημείο 0 που βρίσκεται στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού H H γ bt dt 0 tf π = tdf tπ = = H H 3 0 Δηλαδή η συνισταμένη δύναμη διέρχεται από το κέντρο βάρους του πρίσματος πιέσεων. Για θυρίδα σε βάθος H H ισχύει H H H H F = df = tbdt = b H H = H + H b= t E = p γ γ ( ) γ ( ) γ κ κ E H H Επίσης αποδεικνύεται ότι η συνισταμένη δύναμη διέρχεται από το κέντρο του πρίσματος πιέσεων. γ b Γενικότερα μπορεί να αποδειχτεί ότι για κάθε είδους επίπεδη επιφάνεια: Τα μέγεθος της συνισταμένης δύναμης εκφράζεται ως το γινόμενο της θεωρούμενης επιφάνειας επί την πίεση στο κέντρο βάρους της επιφάνειας Το άνυσμα της δύναμης διέρχεται από το κέντρο βάρους του πρίσματος πιέσεων 3

14 Σχήμα Γενίκευση σε Επίπεδη Κεκλιμένη Επιφάνεια Στα στοιχειώδη τμήματα της επιφάνειας de οι ασκούμενες δυνάμεις είναι κάθετες στην επιφάνεια (δεν υπάρχουν εφαπτομενικές δυνάμεις για ισορροπούντα υγρά). Επομένως έχουν διεύθυνση του άξονα z. Οπότε df = df = 0 και df = df = γ t de. Η συνισταμένη δύναμη έχει μέτρο z γ γ sinθ γ sinθ 0 γ 0E E E F = tde = yde = y E = t x y 4

15 όπου y0 = y E de η απόσταση του κέντρου βάρους της διατομής από το σημείο 0. E t 0 = απόσταση του κέντρο βάρους από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού γ t 0 = πίεση στο κέντρο βάρους της διατομής Επομένως για τυχούσα επιφάνεια η συνολική υδροστατική δύναμη έχει μέτρο το γινόμενο του εμβαδού της επιφάνειας επί την πίεση την ασκούμενη στο κέντρο βάρους αυτής. Το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης δύναμης: ( x, y ) πίεσης βρίσκεται από το θεώρημα των ροπών. Ροπή ως προς άξονα x : yπ F = ydf E π π καλείται κέντρο Ροπή ως προς άξονα y : xπ F = xdf E Όπου : df Οπότε y π = γ t de ydf γtyde γ y de = E E E I xx F = γ y0sinθ Ε = y0e = y0e Όπου I xx = y deη ροπή αδρανείας της επιφανείας ως προς άξονα Ox. Ισχύει: E xx ( ) 0 xx 0 I = I + y E Όπου ( 0) I xx = ροπή αδρανείας ως προς κεντροβαρικό παράλληλο προς Ox άξονα. Οπότε: ( ) 0 I xx ixx 0 0 y0e y0 yπ = y + = y + Όπου i xx = ακτίνα αδρανείας της διατομής ως προς κέντρο βάρους της. Επειδή I ( 0) xx > 0 > y y π Η απόσταση x π δίνεται από: 0 x π xdf γtxde γ xyde = I E E E xy F = γ y0sinθ E = y0e = y0e Όπου I xy = xy de. Οπότε: E ( 0) I xy x = x + π 0 y E όπου ( 0) I xy = το γινόμενο αδρανείας της 0 επιφάνειας ως προς τους κεντροβαρικούς άξονες παράλληλους προς τους (Ox,Oy). 5

16 ( ) 0 Το πρόσημο του I μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό. Όταν υπάρχει συμμετρία της xy διατομής ως προς άξονα παράλληλο προς τον y ισχύει ( 0) I = 0. xx Για ορθογώνια επιφάνεια ισχύει h i xx =, i = 0. xy Σχήμα -5 ΠΙΝΑΚΕΣ 6

17 7

18 8

19 9

20 .4.3 Δυνάμεις σε καμπύλες επιφάνειες Σχήμα -6 Οι ασκούμενες δυνάμεις σε καμπύλες επιφάνειες μπορούν ευκολότερα να υπολογιστούν αναλύοντας τες σε οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα. Ας θεωρήσουμε την τυχαία καμπύλη επιφάνεια του σχήματος. Η κατεύθυνση των επιμέρους στοιχειωδών δυνάμεων που ασκούνται κάθετα σε κάθε στοιχειώδες εμβαδόν της επιφάνειας μεταβάλλονται από σημείου σε σημείο και επομένως δεν μπορούν να προστεθούν αριθμητικά. Η μεθοδολογία που ακολουθείται είναι αυτή που αναφέρθηκε στην αίθουσα 3. 3 Βλέπε επίσης Νουτσόπουλος και Χριστοδούλου κεφ

21 3 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Η κινηματική και δυναμική των ρευστών μελετά τους βασικούς νόμους που διέπουν τα ρευστά όταν αυτά βρίσκονται σε κίνηση. Η μαθηματική ανάλυση της κίνησης ρευστών είναι περισσότερο πολύπλοκη από την υδροστατική. Οι δυνάμεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις είναι διανυσματικά μεγέθη και χαρακτηρίζονται από τις εντάσεις τους και τις διευθύνσεις. Επίσης όταν τα ρευστά κινούνται εμφανίζονται du διατμητικές τάσεις λόγω κίνησης και τριβής ( τ y = μ ). dy Ανάλογα με την ταχύτητα του ρευστού διακρίνουμε δύο τύπους ροής. Για μικρές ταχύτητες η ροή είναι στρωτή και τα σωματίδια του ρευστού κινούνται σε στρώσεις. Για μεγαλύτερες όμως ταχύτητες η ροή είναι τυρβώδης και τα σωματίδια του ρευστού κινούνται ακανόνιστα με στροβιλισμούς. Συνήθως η ροή στα πρακτικά προβλήματα που ενδιαφέρουν τον υδραυλικό μηχανικό είναι τυρβώδης. Οι νόμοι που περιγράφουν την τυρβώδη ροή δεν είναι πλήρως γνωστοί και απαιτούνται πειραματικά στοιχεία για την κατανόηση του φαινομένου. 3. Ορισμοί της Κινηματικής Ρευστών Σχήμα 3- Γραμμές ροής και διανύσματα ταχύτητας Τροχιά ενός ρευστού σωματιδίου είναι ο γεωμετρικός τόπος των θέσεων του κατά την μεταβολή του χρόνου t. Γραμμή ροής ρευστού σωματιδίου είναι η γραμμή που έχει την ιδιότητα σε μια δεδομένη χρονική στιγμή t να έχει σαν εφαπτομένη, σε οποιοδήποτε σημείο της, το διάνυσμα της ταχύτητας.

22 Μόνιμη ροή έχουμε όταν η ταχύτητα σε όλα τα σημεία είναι σταθερή και αμετάβλητη με το χρόνο (μπορεί όμως να μεταβάλλεται με τη θέση). Μη μόνιμη ροή έχουμε όταν η ταχύτητα σε όλα τα σημεία είναι μεταβάλλεται με το χρόνο. Στην περίπτωση της μόνιμης ροής οι γραμμές ροής δεν μεταβάλλονται με το χρόνο και οι τροχιές των ρευστών σωματιδίων συμπίπτουν με τις γραμμές ροής. Όμως στην περίπτωση της μη μόνιμης ροής οι γραμμές ροής μεταβάλλονται με τον χρόνο και οι τροχιές των ρευστών σωματιδίων δεν συμπίπτουν με γραμμές ροής. Ροϊκός σωλήνας (σωλήνας ροής) είναι ένας απειροστός αγωγός που η επιφάνεια του αποτελείται από γραμμές ροής με οδηγό κλειστή καμπύλη. Δεν υπάρχει συνιστώσα ταχύτητας κάθετη προς τις γραμμές ροής επομένως δεν υπάρχει ροή κάθετη προς τα τοιχώματα του σωλήνα ροής. Σχήμα 3- Ροϊκός σωλήνας 3.. Ταχύτητα Η θέση ενός ρευστού σωματιδίου είναι συνάρτηση του χρόνου t, δηλαδή ισχύει r = r() t. Η ταχύτητα ενός ρευστού σωματιδίου είναι συνάρτηση της θέσης και του χρόνου t, δηλαδή V = V( r, t) και ορίζεται από την εξίσωση r

23 Δr dr V ( r, t) = lim = Δ t 0 Δt dt (3.) όπου Δr είναι η απόσταση κατά μήκος της τροχιάς πάνω στην οποία κινείται το ρευστό σωματίδιο και Δt είναι η αντίστοιχη μεταβολή του χρόνου ( Σχήμα 3-3). Σχήμα 3-3 Η ταχύτητα είναι διάνυσμα και εξαρτάται από τη θέση r και από το χρόνο t, δηλαδή εξαρτάται από ( x, yzt,, ) σε καρτεσιανό σύστημα αξόνων (,, ) uvw,, ισχύει οι συνιστώσες του διανύσματος της ταχύτητας V x yz. Αν στους άξονες (,, ) x yz, Δx dx u = u( x, y, z, t) = lim = Δ t 0 Δt dt Δy dy v = v( x, y, z, t) = lim = Δ t 0 Δt dt Δz dz w= w( x, y, z, t) = lim = Δ t 0 Δt dt (3.) 3

24 Σχήμα 3-4 όπου Δx, Δy, Δ z είναι οι προβολές της μετατόπισης r μέτρο (ένταση) της ταχύτητας ορίζεται από Δ στους άξονες (,, ) x yz. Το V = u + v + w. Οι συνιστώσες της ταχύτητας αφορούν σημειακές ταχύτητες στη θέση ( x, yz, ) και χρόνο t. 3.. Επιτάχυνση Η επιτάχυνση ρευστού σωματιδίου ορίζεται σαν ΔV dv a( r, t) = lim = (3.3) Δ t 0 Δt dt Όπου ΔV είναι η μεταβολή της ταχύτητας του ρευστού σωματιδίου σε χρόνο Δt. Σχήμα 3-5 Στην περίπτωση της μόνιμης ροής σε ένα σταθερό σημείο δεν υπάρχει επιτάχυνση στο χρόνο, αλλά μπορεί να υπάρχει επιτάχυνση στο χώρο 4

25 Ας εξετάσουμε την κίνηση ρευστού σωματιδίου στην περίπτωση μονοδιάστατης κίνησης στον άξονα των x. Λόγω της κίνησης του ρευστού το ρευστό σωματίδιο μετακινήθηκε σε χρονικό διάστημα dt από τη θέση x στη θέση x + dx και η ταχύτητα του άλλαξε κατά du. Η μεταβολή αυτή προέρχεται είτε από πιθανές αλλαγές του πεδίου ταχυτήτων συναρτήσει του χρόνου είτε λόγω μετακίνησης του ρευστού σωματιδίου σε γειτονικό σημείο του χώρου όπου η ταχύτητα είναι διαφορετική(σχήμα 3-5). Η συνολική μεταβολή της ταχύτητας ενός ρευστού σωματιδίου σε χρόνο dt εκφράζεται από το άθροισμα dx = u dt έχουμε u u du = dt + dx. Θέτοντας t x u u du u u du = dt + udt = + u. Επομένως η συνολική t x dt t x du u u επιτάχυνση στην κατεύθυνση x εκφράζεται από: ax = = + u dt t x. Σχήμα 3-6 Παρατηρούμε ότι η επιτάχυνση του ρευστού σωματιδίου αποτελείται από δύο u μέρη. Το πρώτο μέρος εκφράζεται με τον όρο και λέγεται τοπική επιτάχυνση, t u ενώ το δεύτερο μέρος εκφράζεται με τον όρο u, κλπ. και ονομάζεται μεταθετική x 5

26 επιτάχυνση. Η τοπική επιτάχυνση εκφράζει την μεταβολή της ταχύτητας στο συγκεκριμένο σημείο με την πάροδο του χρόνου, ενώ η μεταθετική επιτάχυνση εκφράζει την μεταβολή της ταχύτητας που οφείλεται στη μετακίνηση του ρευστού σωματιδίου σε άλλο σημείο του χώρου όπου η ταχύτητα είναι διαφορετική. διάστημα Στην γενικότερη περίπτωση τρισδιάστατης ροής (Σχήμα 3-6) σε χρονικό dt το σωματίδιο μετακινήθηκε από τη θέση ( x, yz, ) στη θέση ( x + dx, y + dy, z + dz) και η ταχύτητά του άλλαξε κατά (,, ) μεταβολή της ταχύτητας εκφράζεται τώρα με τα ολικά διαφορικά du dv dw. Η συνολική u u u u du = dt + dx + dy + dz t x y z v v v v dv = dt + dx + dy + dz t x y z w w w w dw = dt + dx + dy + dz t x y z (3.4) και αντικαθιστώντας dx = u dt, dx = v dt, dx = wdt η επιτάχυνση a με συνιστώσες ( ax, ay, a z) εκφράζεται σαν du u u u u ax = ax( x, y, z, t) = = + u + v + w dt t x y z dv v v v v ay = ay( x, y, z, t) = = + u + v + w dt t x y z dw w w w w az = az( x, y, z, t) = = + u + v + w dt t x y z (3.5) Παρατηρούμε πάλι ότι η επιτάχυνση ρευστού αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο u v w μέρος εκφράζεται με τους όρους,, και εκφράζει την τοπική επιτάχυνση, t t t u u ενώ το δεύτερο μέρος εκφράζεται με τους όρους u + v + w u, κλπ. και x y z εκφράζει την μεταθετική επιτάχυνση. 6

27 3..3 Παροχή: Ορισμοί Θεωρούμε ροικό σωλήνα όπως στο σχήμα που περιβάλλει τις στοιχειώδεις επιφάνειες de και de οι οποίες θεωρούνται κάθετες στα αντίστοιχα διανύσματα της ταχύτητας V και V αντίστοιχα. Σχήμα 3-7 Σε στοιχειώδη χρόνο dt διέρχεται στοιχειώδης όγκος ρευστού du από την στοιχειώδη επιφάνεια de. Ο λόγος dq du dt = (3.6) ονομάζεται (στοιχειώδης) παροχή που διέρχεται από την στοιχειώδη επιφάνεια de. Έστω dl = V dt γραμμής ροής στην περιοχή της επιφάνειας η μετακίνηση των ρευστών σωματιδίων κατά μήκος της de. Η μετακίνηση αυτή είναι στην κατεύθυνση των γραμμών ροής που εξ ορισμού είναι παράλληλες της ταχύτητας V αφού το de είναι απειροστού μεγέθους. Επομένως συμπεραίνουμε ότι όγκος du από = de dl που εισέρχεται σε χρόνο dt από την στοιχειώδη επιφάνεια de δίνεται du = de V dt και αντικαθιστώντας στην (3.6) έχουμε dq du dt de V dt dt = = = V de (3.7) 7

28 Αν ο ροικός σωλήνας δεν είναι απειροστού μεγέθους αλλά έχει εμβαδόν E κάθετα στην ροή, η συνολική παροχή που διέρχεται από τον σωλήνα είναι Q = dq = V de (3.8) E E Η μέση ταχύτητα στη διατομή E ορίζεται από V Q = E = E E V de (3.9) 3..4 Οριακές Συνθήκες Στην Κίνηση Ρευστών Στα όρια ενός ρευστού που έρχεται σε επαφή με ακίνητο στερεό όριο η κάθετη προς το όριο συνιστώσα της ταχύτητας είναι μηδενική. Η οριακή αυτή συνθήκη ονομάζεται κινηματική οριακή συνθήκη. Στα πραγματικά ρευστά όπου εμφανίζονται δυνάμεις τριβής λόγω συνεκτικότητας του ρευστού ισχύει επιπλέον μια δεύτερη οριακή συνθήκη που ονομάζεται φυσική οριακή συνθήκη. Σύμφωνα με αυτήν η εφαπτομενική συνιστώσα της ταχύτητας σε ακίνητο στερεό όριο είναι επίσης μηδενική. 3. Παράλληλη Ροή Θεωρούμε μόνιμη και παράλληλη ροή. Στην παράλληλη ροή οι γραμμές ροής είναι παράλληλες και δεν υπάρχει κίνηση στην κατεύθυνση την κάθετη προς τις γραμμές ροής. Επομένως η συνιστώσα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε κατεύθυνση κάθετη προς τις γραμμές ροής είναι μηδενική. Θεωρούμε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ του σχήματος και εξετάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται σ αυτό. Αφού δεν υπάρχουν μεταβολές της ταχύτητας στην κατεύθυνση της ροής οι διατμητικές τάσεις στις πλευρές ΑΔ και ΒΓ του ορθογωνίου θα είναι μηδενικές. Επομένως στην κατεύθυνση την κάθετη προς την ροή ασκούνται στο ορθογώνιο ΑΒΓΔ μόνο οι δυνάμεις πιέσεως στις πλευρές ΑΒ και ΔΓ καθώς και η προβολή της δύναμης βαρύτητας. Επειδή η ταχύτητα και η επιτάχυνση κάθετα προς την ροή είναι μηδενικές ο ος νόμος του Νεύτωνα δίνει: 8

29 ( ) ( ) ( )( )cos 0 p ΔΓ p ΑΒ γ ΑΒ ΑΔ θ = p p γ Δ z = 0 Δ A p p p pδ pa za zδ = + zδ = + za + z = γ γ γ Δ A Επομένως γ ( ) 0 σταθερο Δ A όπου σε παρένθεση είναι τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. Η σχέση αυτή δείχνει ότι η κατανομή της πίεσης είναι υδροστατική. Σχήμα 3-8 Κίνηση στοιχειώδους όγκου αναφοράς σε παράλληλη ροή 9

30 4 ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΟΗΣ ΣΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΓΚΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Η περιγραφή της κίνησης των ρευστών γίνεται συνήθως με δύο τρόπους προσέγγισης. Ο ένας τρόπος που θα εξεταστεί σε επόμενο κεφάλαιο (ανάλυση σε διαφορικό όγκο αναφοράς) περιγράφει τις εξισώσεις που διέπουν την κίνηση του ρευστού σε ένα σημείο του χώρου συναρτήσει των συντεταγμένων ( x, yz, ) και του χρόνου t. Οι εξισώσεις αυτές αποτελούν ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους που περιγράφει την ταχύτητα κίνησης του ρευστού, την πίεση, κλπ. Οι διαφορικές αυτές εξισώσεις είναι πολύπλοκες και απαιτούν αριθμητικές λύσεις με χρήση υπολογιστών, εκτός από ειδικές περιπτώσεις κίνησης ρευστών όπου οι εξισώσεις αυτές απλοποιούνται. Με την συνεχή ανάπτυξη υπολογιστικών μεθόδων και υπολογιστικών μοντέλων οι εξισώσεις αυτές έχουν βρει εφαρμογές σε πλήθος προβλημάτων δυσδιάστατης και τρισδιάστατης ροής. Ο δεύτερος τρόπος προσέγγισης, που είναι και το θέμα του παρόντος κεφαλαίου, εξετάσει τους νόμους που διέπουν την κίνηση σε πεπερασμένους (και όχι απειροστούς) όγκους αναφοράς. Η μέθοδος αυτή έχει σημαντικές πρακτικές εφαρμογές σε πλήθος προβλημάτων όπου δεν ενδιαφέρουν όλες οι λεπτομέρειες του πεδίου ροής ιδιαίτερα όταν η ροή, σε κάποιες τουλάχιστον περιοχές του πεδίου ροής είναι μονοδιάστατη. Αρχικά θα διατυπωθεί το θεώρημα μεταφοράς του Reynolds και κατόπιν θα διατυπωθούν οι εξισώσεις ρευστών σε πεπερασμένους όγκους αναφοράς οι οποίες στηρίζονται στο θεώρημα αυτό. Ιδιαίτερη έμφαση θα δοθεί στην περίπτωση όπου η ροή είναι μονοδιάστατη σε κάποιες τουλάχιστον περιοχές του πεδίου ροής. 4. Θεώρημα Μεταφοράς Reynolds Θεωρούμε ένα ρευστό του οποίου τα ρευστά σωματίδια βρίσκονται εν κινήσει. Έστω ένα σύστημα (ομάδα) σωματιδίων Σ που μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t καταλαμβάνουν τον όγκο U. Έστω a η τιμή μιας ιδιότητας του ρευστού ανά μονάδα μάζας ρευστού. Η ολική ποσότητα της ιδιότητας a εκφράζεται από το ολοκλήρωμα a στον όγκο ρευστού U (4.) A = adm= ρadu U U 30

31 όπου ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού η οποία μπορεί εν γένει να εξαρτάται από την θέση και το χρόνο. Για a = το A εκφράζει τη μάζα του ρευστού στον όγκο U. Επειδή το σύστημα ρευστών σωματιδίων Σ συμμετέχει στην γενικότερη κίνηση του ρευστού μετά από χρόνο Δt το σύστημα των ρευστών σωματιδίων Σ θα μετακινηθεί και θα καταλαμβάνει όγκο U που είναι διαφορετικός από τον όγκο U ( Σχήμα 4-). Ας εξετάσουμε αρχικά την μονοδιάστατη κίνηση ρευστού στον άξονα x όπως φαίνεται στο Σχήμα 4-. Κατόπιν θα γενικευτούν οι εξισώσεις στην περίπτωση τρισδιάστατης ροής και ανομοιόμορφης κατανομής ταχυτήτων στο χώρο. Η ολική μεταβολή της ποσότητας A του συστήματος Σ σε χρόνο ολική χρονική παράγωγος του A γράφεται dt Δ t 0 t Δ t 0 Σ Δ Σ Δt Δ t γράφεται ρadu ρadu da ΔA ( ) ( ) lim lim U t +Δ = = t U t Δ A και η (4.) Από το Σχήμα 4- προκύπτει ότι U = U + U 3 ενώ U = U+ U οπότε η (4.) γράφεται ρadu ρadu ρadu ρadu da ( +Δ ) ( ) = lim + Δ Δ U t t U t U3 U lim dt Δ t 0 t Δ t 0 Σ t (4.3) όμως επειδή στο όριο Δt 0 οι όγκοι U ( t+ Δ t) = U ( t) = U ο πρώτος όρος της (4.3) γράφεται ρadu ( +Δ ) ( ) ρadu lim U t t U t = ρadu Δ t 0 Δt dt U d (4.4) 3

32 Σχήμα 4-. Μονοδιάστατη ροή Ο όρος U ρadu εκφράζεται σαν ρadu = ρaδ s de = ρav Δ tde =Δt ρav de U U E E (4.5) E s όπου η επιφάνεια της διατομής, Δ η απόσταση που διανύουν τα ρευστά σωματίδια σε χρόνο Δt, και V είναι η ταχύτητα ροής στην διατομή. Τα διανύσματα de έχουν μέτρο τα στοιχειώδη εμβαδά de και κατεύθυνση προς το εσωτερικό του όγκου ρευστού. Επομένως τα V και de έχουν την ίδια κατεύθυνση οπότε VdE = VdE. Αντίστοιχα στη διατομή έχουμε ρadu = ρaδ s de = ρav Δ tde = Δt ρav de (4.6) U U E E όπου τώρα τα V και de έχουν αντίθετη κατεύθυνση και επομένως VdE = VdE Επομένως ο δεύτερος όρος του δεξιού σκέλους της (4.3) γράφεται ρadu lim U Δt Δ t 0 3 U ρadu = ρav de ρav de E3 E Αντικαθιστώντας την (4.4) και (4.7) στην (4.3) έχουμε da d = ρadu ρavde ρavde dt Σ dt U E3 E (4.7) (4.8) 3

33 Σχήμα 4- Στην γενική περίπτωση ενός όγκου αναφοράς όπως στο Σχήμα 4- ο όρος U ρadu εκφράζεται ως εξής. Ο όγκος U μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από στοιχειώδη πρισματικά τμήματα du με εμβαδόν βάσης de διάστημα που διανύθηκε από το ρευστό σε χρόνο και πλευρές Δ s που αντιστοιχεί στο Δ t ώστε να φτάσει στη νέα του θέση. Επομένως ρadu = ρaδ scosθde = ρav Δ tcosθde =Δt ρavde U E E E (4.9) όπου η ολοκλήρωση γίνεται στην επιφάνεια E = ( ΑΒΓ ). Ο όρος αναλύεται με όμοιο τρόπο με την παρατήρηση ότι η φορά της ταχύτητας εδώ είναι αντίρροπη προς το διάνυσμα de, επομένως U 3 ρadu ρadu = ρaδ scosφde = ρavcosφδ tde = Δt ρavde U3 E3 E3 E3 (4.0) όπου η ολοκλήρωση γίνεται στην επιφάνεια E 3 = ( ΑΔΓ ). Επομένως ο δεύτερος όρος της εξίσωσης (4.3) γίνεται 33

34 lim U Δ t 0 ρadu 3 U Δt ρadu = ρav de ρav de = ρav de E3 E E (4.) όπου E = E + E η ολική επιφάνεια που περιβάλει τον όγκο U. Αντικαθιστώντας την (4.4) και την (4.)στην (4.3) και έχουμε da d = ρadu dt dt Σ U E ρavde (4.) Η σχέση αυτή είναι γνωστή σαν το θεώρημα μεταφοράς του Reynolds και διατυπώνεται ως εξής: «Η ολική μεταβολή μιας ιδιότητας ρευστού που καταλαμβάνει σε χρονική στιγμή t τον όγκο U ισούται με την ανά μονάδα χρόνου μεταβολή της ιδιότητας μέσα στον όγκο U μείον την καθαρή εισροή ανά μονάδα χρόνου της ιδιότητας από την επιφάνεια E που περιβάλει τον όγκο U. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα αυτό παράγονται οι εξισώσεις διατήρησης της μάζας του ρευστού (εξισώσεις συνέχειας), ποσότητας κίνησης (ορμής), και ενέργειας σε πεπερασμένο όγκο αναφοράς και οι οποίες αποτελούν τους θεμελιώδεις νόμους της Μηχανικής Ρευστών. 4. Εξίσωση Συνέχειας Επιλέγοντας a = η ιδιότητα A που προκύπτει από το ολοκλήρωμα (4.) ταυτίζεται με τη μάζα M του ρευστού που καταλαμβάνει τον όγκο U αφού Εφαρμόζοντας την (4.) για a = M = ρ du (4.3) U έχουμε dm d = ρdu dt dt Σ U E ρv de Όμως σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της μάζας του συστήματος ισχύει για το dm σύστημα των ρευστών σωματιδίων = 0 dt και η (4.4) γράφεται d dt U Σ ρdu = E ρv de (4.4) (4.5) 34

35 Η εξίσωση αυτή είναι η γενική ολοκληρωμένη εξίσωση συνεχείας σύμφωνα με την οποία «η ανά μονάδα χρόνου μεταβολή της μάζας μέσα στον όγκο αναφοράς U ισούται με την ολική καθαρή εισροή μάζας από την επιφάνεια E που περιβάλει τον όγκο αυτό». Στην περίπτωση της μόνιμης ροής δεν υπάρχουν μεταβολές ως προς τον χρόνο και επομένως οι αντίστοιχες παράγωγοι της (4.5) μηδενίζονται οπότε η εξίσωση συνεχείας γράφεται ρ VdE = 0 (4.6) E Δηλαδή στην περίπτωση της μόνιμης ροής η συνολική καθαρή εισροή μάζας σε οποιονδήποτε σταθερό όγκο αναφοράς είναι μηδενική. Με διαφορετική διατύπωση «όση μάζα εισρέει από τμήματα του όγκου αναφοράς ανά μονάδα χρόνου ισούται με την μάζα που εκρέει ανά μονάδα χρόνου από άλλα τμήματα του όγκου αναφοράς». Στην περίπτωση ασυμπίεστων ρευστών η πυκνότητα ρ είναι σταθερή και η (4.6) γράφεται: VdE= 0 (4.7) E 4.. Εξίσωση Συνεχείας Για Μέση Μονοδιάστατη Ροή Θεωρούμε τμήμα σωληνωτού αγωγού μήκους Δ s όπως στο σχήμα και έστω E και E τα εμβαδά κάθετα στις διατομές του αγωγού στις θέσεις και και V και V οι αντίστοιχες ταχύτητες. 35

36 Σχήμα 4-3 Στην γενική περίπτωση μεταβαλλόμενης διατομής του αγωγού (αγωγός με ελαστικά τοιχώματα) η εξίσωση συνεχείας προκύπτει από τη γενική εξίσωση διατήρησης της μάζας του ρευστού (4.5) που γράφεται d dt ρ du = ρv de = ρ V de ρ V de = ρ Q ρ Q = Δ ρq U E E E ( ) (4.8) όπου θεωρήσαμε ότι οι διατομές είναι κάθετες προς τις αντίστοιχες ταχύτητες και ότι η πυκνότητα σε όλο το πλάτος κάθε διατομής E, Eείναι σταθερή και ίση με ρ, ρ αντίστοιχα. (Η παροχή ορίζεται σύμφωνα με την (3.8)). Αλλά ρdu = ρδs E. Επομένως η (4.8) γράφεται Θεωρώντας το όριο για συνεχείας: U ( ρq) d d Δ ( ρδ se) = Δ( ρq) ( ρe) = dt dt Δs Δt 0 και Δs 0 παίρνουμε την διαφορική εξίσωση (4.9) 36

37 ( ρe) ( ρq) t + = 0 s (4.0) Κάνοντας την αντικατάσταση Q διατομή, η (4.0) γράφεται = V E όπου ( ρ E) ( ρ VE) Q V = είναι η μέση ταχύτητα στη E + = 0 t s Για ρ = σταθερο και ανεξάρτητο των ( st, ), η εξίσωση (4.) απλοποιείται: (4.) E Q + = 0 (4.) t s Στην περίπτωση της μόνιμης ροή δεν υπάρχουν μεταβολές ως προς το χρόνο E Q δηλαδή ισχύει = 0 =0 δηλαδή η παροχή είναι ανεξάρτητη του s και t. t s Επομένως στην περίπτωση της μόνιμης ροής: Q = σταθερο. Στην περίπτωση αυτή ισχύει για τυχούσες διατομές και : Q = EV = EV = σταθερο (4.3) όπου V, V είναι οι μέσες ταχύτητες της σταθερής και ασυμπίεστης ροής στις διατομές E, E. Αν η διατομή είναι αμετάβλητη συναρτήσει του s, ισχύει V = V = σταθερο. 37

38 4.. Γενίκευση σε κόμβους αγωγών Σχήμα 4-4 Έστω ότι έχουμε 5 σωλήνες που συνδέονται όπως στο Σχήμα 4-4. Θεωρούμε όγκο αναφοράς που ταυτίζεται με τα όρια των σωλήνων καθώς και 5 επιφάνειες κάθετες στους αντίστοιχους σωλήνες σε περιοχές όπου η ροή είναι ομοιόμορφη. Αν η πυκνότητα του ρευστού θεωρηθεί σταθερή σε κάθε διατομή, η γενική εξίσωση συνεχείας (4.5) κάνοντας παρόμοια ανάλυση όπως και στην (4.8) γράφεται d dt U ρdu = ρv de = ρ Q + ρ Q ρ Q ρ Q ρ Q E d dm Για συνθήκες μόνιμης ροής ισχύει du 0 dt ρ = =, οπότε η (4.4) γράφεται dt U Q Q 3Q3 4Q4 5Q5 0 Αντικαθιστώντας Q i = VE η i i (4.5) γράφεται (4.4) ρ + ρ ρ ρ ρ = (4.5) ρ + ρ ρ ρ ρ = (4.6) VE VE 3VE 3 3 4VE 4 4 5VE όπου V i = Qi E = E V de η μέση ταχύτητα στη διατομή i. Στην γενική περίπτωση i i i i Ei πολλών αγωγών η εξίσωση αυτή γράφεται και σαν 38

39 ( ρiqi) = ( ρ j j) εισροων εκροων Για ασυμπίεστα ρευστά ρi = ρ και η (4.6) γράφεται Q (4.7) VE + VE VE 3 3 VE 4 4 VE 5 5 = 0 (4.8) Γενικότερα η εξίσωση αυτή γράφεται Q = i Qj εισροων εκροων (4.9) 4.3 Εξισώσεις κίνησης ρευστού κατά μήκος γραμμής ροής. Εξίσωση Bernoulli Ο ος νόμος του Νεύτωνα ορίζει ότι η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα ισούται με τη μάζα επί την επιτάχυνση του σώματος. Εφαρμόζοντας το ο Νόμο του Νεύτωνα σε ένα ρευστό σωματίδιο προκύπτει dv df = dma = dm dt (4.30) όπου df είναι η συνισταμένη στοιχειώδης δύναμη που δρα σε στοιχειώδη μάζα ρευστού dm και a είναι η επιτάχυνση της μάζας dm. Η συνισταμένη δύναμη df αποτελείται από το σύνολο των δυνάμεων που δρουν στο ρευστό σωματίδιο και αποτελείται από τις δυνάμεις βαρύτητας (καθολικές δυνάμεις), και τις επιφανειακές δυνάμεις που ενεργούν στα όρια της επιφάνειας που περιβάλλει το ρευστό σωματίδιο. Οι δυνάμεις αυτές αποτελούνται από τις δυνάμεις πιέσεως που ενεργούν κάθετα στα όρια καθώς και τις διατμητικές δυνάμεις τριβής που ενεργούν εφαπτομενικά προς τα όρια της επιφάνειας του ρευστού σωματιδίου. Οι δυνάμεις αυτές οφείλονται στο ιξώδες του ρευστού και στα ιδανικά ρευστά θεωρούνται αμελητέες. 39

40 Σχήμα 4-5 Στοιχειώδης όγκος ρευστού κυλινδρικής μορφής που κινείται κατά μήκος μιας γραμμής ροής Θεωρούμε την κίνηση ρευστού σωματιδίου που αφορά στοιχειώδη όγκο ρευστού κυλινδρικής μορφής με διατομή de και μήκος ds που κινείται κατά μήκος μιας γραμμής ροής όπως φαίνεται στο σχήμα. Έστω ρ η πυκνότητα του ρευστού και dm = ρ de ds η μάζα του. Οι δυνάμεις που ασκούνται στη κατεύθυνση της γραμμής ροής s αποτελούνται από: Α) Δυνάμεις πιέσεως: ( ) Β) Συνιστώσα του βάρους: ( γ de ds)sinθ p p p de p + dp de = p de p + ds de = ds de s s Γ) Διατμητικές δυνάμεις λόγω τριβών στην πλευρική επιφάνεια του ρευστού σωματιδίου: τ dπ ds όπου d Π είναι η περίμετρος του κυλίνδρου και τ είναι μια μέση διατμητική τάση στην επιφάνεια του κυλίνδρου. Η μεταβολή της ταχύτητας του ρευστού σωματιδίου σε στοιχειώδη χρόνο οφείλεται α) σε πιθανή μεταβολή του πεδίου ταχυτήτων λόγω μη μονιμότητας της V ροής και είναι dt και β) η κίνηση του ρευστού σωματιδίου σε απόσταση Vdt σε t dt 40

41 πεδίο ανομοιόμορφης ροής δημιουργεί μεταβολή της ταχύτητας είναι V Vdt. s Επομένως η συνολική μεταβολή της ταχύτητας του ρευστού σωματιδίου σε χρόνο ισούται με το «ολικό διαφορικό» της ταχύτητας V δηλαδή Διαιρώντας με το dt έχουμε. a s V V dv = dt + V dt. t s dv V V = = + V (4.3) dt t s Δηλαδή η συνολική επιτάχυνση στην διεύθυνση s αποτελείται από την τοπική καθώς και την μεταθετική επιτάχυνση. Εφαρμόζοντας τον ο νόμο του Νεύτωνα στην κατεύθυνση s : p V V dfs = dm as ds de ( γde ds)sinθ τ dπ ds = ρde ds + V s t s και διαιρώντας δια της μάζας dm = ρ de ds παίρνουμε: dt p τ d V V gsinθ Π = + V ρ s ρ de t s (4.3) Έστω dz η μεταβολή του υψομέτρου στην απόσταση ds. Λόγω της καθετότητας dz των πλευρών τριγώνων ισχύει: sinθ =. ds Ορίζουμε την υδραυλική ακτίνα της διατομής σαν στην (4.3) παίρνουμε: de R = και αντικαθιστώντας dπ V V p dz τ + V + + g = t s ρ s ds ρr (4.33) Η (4.33) είναι η εξίσωση κίνησης πραγματικών ρευστών κατά μήκος μιας γραμμής ροής. Για ασυμπίεστα ρευστά ισχύει η πυκνότητα ρ = σταθερο, και διαιρώντας δια g 4

42 V V p dz τ V V p τ = z = g t s g s γ ds γr g t s g γ γr (4.34) Για μόνιμη ροή η παράγωγος ως προς το χρόνο είναι μηδενική και η (4.34) γίνεται Η εξίσωση αυτή γράφεται d V p τ z ds + + g γ = γ R dh ds (4.35) τ = (4.36) γ R όπου ο όρος H V p = + + z (4.37) g γ έχει μονάδες μήκους και εκφράζει την μηχανική ενέργεια ανά μονάδα μάζας του ρευστού και ονομάζεται ολικό ύψος ή φορτίο ενέργειας. Οι όροι της εξίσωσης (4.37) έχουν διαστάσεις μήκους. Ο όρος V g ονομάζεται ύψος ή φορτίο ταχύτητας, ο όρος p ονομάζεται ύψος ή φορτίο πίεσης ενώ ο όρος γ z ονομάζεται ύψος ή φορτίο θέσης. Το άθροισμα p + z ονομάζεται πιεζομετρικό ύψος ή φορτίο. γ Για ιδανικά ρευστά χωρίς συνεκτικότητα, οι διατμητικές τάσεις είναι μηδενικές ( τ = 0 ) οπότε η (4.34) γίνεται V H + = 0 g t s (4.38) dh Για μόνιμη ροή η (4.35) δίνει 0 ds =. Επομένως πάνω στη γραμμή ροής ισχύει H = V p z σταθερο πανω στις γραμμες ροης g + γ + = (4.39) 4

43 Η σχέση (4.39) ονομάζεται εξίσωση του Bernoulli και ισχύει για μόνιμη ροή σε ιδανικά και ασυμπίεστα ρευστά κατά μήκος των γραμμών ροής όταν δεν προστίθεται ή αφαιρείται ενέργεια με κανένα τρόπο (πχ. τριβές, αντλίες, υδροστρόβιλοι, κλπ.). Στην περίπτωση αυτή οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται στο ρευστό είναι δυνάμεις λόγω πιέσεων. Αν προστίθεται ή αφαιρείται ενέργεια από το σύστημα από μηχανές (αντλίες ή υδροστρόβιλοι) δημιουργούνται δυνάμεις λόγω των μηχανών που πρέπει να ληφθούν υπόψη. Όταν η ροή είναι μη περιστροφική (παράλληλη ροή με σταθερή ταχύτητα σε όλο το πεδίο ροής) υπάρχει υδροστατική κατανομή της πίεσης (βλέπε 3.) και η (4.39) ισχύει σε ολόκληρο το πεδίο ροής ακόμα και σε πραγματικά ρευστά.. Η περίπτωση όμως της μη περιστροφικής κίνησης πραγματικών ρευστών είναι σπάνια και δεν έχει πρακτικό ενδιαφέρον. 4.4 Νόμος Διατήρησης Ποσότητας Κίνησης Ρευστού Tο θεώρημα του Reynolds μαζί με τον ο νόμο του Νεύτωνα όταν εφαρμόζονται σε πεπερασμένο όγκο αναφοράς παρέχουν την εξίσωση ποσότητας κίνησης. Η εξίσωση αυτή μαζί με την εξίσωση διατήρησης της μάζας (συνέχειας) και ενέργειας χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων της Εφαρμοσμένης Υδραυλικής. Η ποσότητα κίνησης (ορμή) ρευστού σωματιδίου μάζας m που κινείται με ταχύτητα V ορίζεται σαν το γινόμενο M = mv. Ο ος νόμος του Νεύτωνα δίνει: dv d( mv) dm F = ma = m = = dt dt dt (4.40) όπου dm είναι η μεταβολή της ποσότητας κίνησης του ρευστού σωματιδίου σε χρόνο dt. Το άθροισμα F παριστάνει τις εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στην μάζα m και αποτελούνται από τις α) επιφανειακές δυνάμεις που ασκούνται στα όρια που περιβάλουν την επιφάνεια της μάζας και διακρίνονται στις κάθετες στα όρια δυνάμεις πίεσης F, και στις εφαπτομενικές προς τα όρια δυνάμεις λόγω διατμητικών p τάσεων (δυνάμεις τριβής) F τ, και β) καθολικές δυνάμεις που κατανέμονται στον όγκο του ρευστού όπως είναι οι δυνάμεις βαρύτητας F g. 43

44 Αν η μάζα του ρευστού αποτελείται από σύστημα ρευστών σωματιδίων που κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες η συνολική ποσότητα κίνησης σε όγκο αναφοράς U ορίζεται σαν το άθροισμα των επί μέρους ποσοτήτων κίνησης: M = Vdm= ρvdu U U (4.4) Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση (4.40) γράφεται dv d dm F = a dm = ρ du = ρv du = dt dt dt U U U Σ Σ (4.4) όπου F = άθροισμα των δυνάμεων που ενεργούν πάνω στον όγκο U και dm είναι η συνολική μεταβολή της ποσότητας κίνησης σε χρόνο dt. Το διαφορικό στην εξίσωση αυτή είναι ολικό διαφορικό και περιλαμβάνει τις μεταβολές της ποσότητας κίνησης του συστήματος Σ λόγω της αλλαγής του πεδίου ταχυτήτων συναρτήσει του χρόνου καθώς και τις μεταβολές λόγω μετακίνησης των ρευστών σωματιδίων του συστήματος σε άλλα σημεία όπου επικρατούν διαφορετικές συνθήκες ταχύτητας. Θέτοντας a = V στην (4.) έχουμε την έκφραση της ολικής μεταβολής της ποσότητας κίνησης ρευστού σε πεπερασμένο όγκο αναφοράς. και από την (4.4) έχουμε d d ρv du = ρv du ρv ( VdE dt dt U Σ U E ) (4.43) d F = ρvdu ρv( VdE) dt U E (4.44) Η εξίσωση αυτή ορίζει ότι «το σύνολο των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο ρευστό που καταλαμβάνει την χρονική στιγμή t τον όγκο αναφοράς U ισούται με την ανά μονάδα όγκου χρόνου μεταβολή της ποσότητας κίνησης εντός του όγκου αναφοράς μείον την καθαρή εισροή ποσότητας κίνησης ανά μονάδα χρόνου από την επιφάνεια που περικλείει τον όγκο αυτόν». 44

45 Το άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται στο στον όγκο ρευστού U εκφράζονται σαν F = F F F g + p + (4.45) τ Σε καρτεσιανές συντεταγμένες η εξίσωση (4.44) γράφεται ως εξής F = F + F + F d = udu ρu( VdE) F = F + F + F d = vdu ρv( VdE) F = F + F + F d = wdu ρw( VdE) x px τ x gx dt ρ U E y py τ y gy dt ρ U E z pz τ z gz dt ρ U E (4.46) όπου uvw,, οι προβολές του ανύσματος της ταχύτητας στους άξονες x, yz., Όταν η ροή είναι μόνιμη η εξίσωση ποσότητας κίνησης γράφεται F = ρv VdE και σε καρτεσιανούς άξονες E ( ) F F F F ρu VdE ( ) x = p + x τ + x g = x E F F F F ρv VdE ( ) y = p + y τ + y g = y E Fz = Fp + F F ( ) z τ + z g = ρw VdE z E (4.47) (4.48) Ας εξετάσουμε τον κόμβο στο Σχήμα 4-4 και ας θεωρήσουμε σαν όγκο αναφοράς αυτόν που σχηματίζεται μεταξύ των τοιχωμάτων των αγωγών και των διατομών,, 3, 4 και 5 που είναι κάθετες στους αγωγούς. Η εξίσωση (4.47) γράφεται F = ρv VdE E ( ) = V V de V V de V V de V V de V V de ) ρ ( ) ρ ( ) ρ ( ) ρ ( ) ρ ( E E E3 E4 E5 (4.49) 45

46 Όμως ισχύει VdE = VdE, VdE = VdE, VdE VdE = VdE οπότε η (4.49) γράφεται: = VdE VdE , F = ρv V de + ρv V de + ρv V de ρv V de ρv V de ( ) ( ) ( ) ( ) ( E3 E4 E5 E E = VdE4 και ) (4.50) ή F = ρv dq + ρv dq + ρv dq ρv dq ρv dq ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E3 E4 E5 E E = ρ jvdq j j ρivdq i i εκροων E εισροων j Ei (4.5) Αν η πυκνότητα ρ είναι σταθερή η (4.5) γράφεται F ρ VjdQ = j Vid i εκροων E εισροων Q j E i (4.5) Η ταχύτητα σε ένα σημείο της διατομής μπορεί να εκφραστεί σαν V = V n όπου V είναι το μέτρο της ταχύτητας και n είναι ένα διάνυσμα κάθετο στη διατομή. Επομένως τα ολοκληρώματα στην (4.5) γράφονται VdQ= VndQ= n VdQ= nβvq= βvq όπου V είναι το διάνυσμα της μέσης E E E ταχύτητας στη διατομή. Ο συντελεστής β ονομάζεται συντελεστής συνόρθωσης κινητικής ενέργειας β που για μια τυχούσα διατομή E VdQ β = = V de E E VQ V E ορίζεται από την σχέση (4.53) όπου V, V είναι τα μέτρα της τοπικής και της μέσης ταχύτητας στην διατομή E. Αντικαθιστώντας η (4.5) γράφεται: F = ρ β V Q βv εκροων εισροων ( j j j) ( i iqi) (4.54) 46

47 όπου Vi είναι το διάνυσμα της μέσης ταχύτητας στην διατομή i. Συχνά η γραμμή που δηλώνει ότι πρόκειται για μέση ταχύτητα στη διατομή παραλείπεται για διευκόλυνση και γράφουμε: V = V. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες η (4.54) γράφεται: = Fx ρ ( β jvjxq j ) ( βivixqi ) εκροων εισροων = Fy ρ ( β jvjyq j ) ( βiviyqi ) εκροων εισροων Fz = ρ ( β jvjzq j ) ( βivizqi ) εκροων εισροων (4.55) όπου Vx, Vy, V z είναι προβολές του διανύσματος της μέσης ταχύτητας V στους άξονες ( x, yz, ). Ο συντελεστής συνόρθωσης της κινητικής ενέργειας είναι πάντα μεγαλύτερος από την μονάδα. Για στρωτή ροή με παραβολική κατανομή της ταχύτητας είναι β =.33 ενώ για τυρβώδη ροή είναι β.03. Σε πρακτικά προβλήματα υδραυλικού μηχανικού η ροή είναι συνήθως τυρβώδης και θεωρούμε β οπότε οι (4.55) γράφονται: = Fx ρ ( VjxQ j ) ( VixQi ) εκροων εισροων = Fy ρ ( VjyQ j ) ( ViyQi ) εκροων εισροων Fz = ρ ( VjzQ j ) ( VizQi ) εκροων εισροων (4.56) Από την εξισώσεις αυτές που ονομάζονται εξισώσεις κίνησης μπορούν να υπολογιστούν οι δυνάμεις που ασκεί ο σωλήνας στο νερό και αντίστροφα. Για παράδειγμα όταν έχουμε έναν αγωγό με μια είσοδο και μια έξοδο όπως στο Σχήμα 4-6 ισχύει ότι Q = Q οπότε η (4.56) γράφεται 47

48 ( ) Fx = ρq Vx V x Fy = ρq( Vy Vy) Fz ρq( Vz Vz) = (4.57) Σχήμα 4-6 Στον αγωγό που βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο όπως φαίνεται στο Σχήμα 4-6 οι δυνάμεις που ασκούνται στο νερό δίνονται από την (4.57) και, αφού ο αγωγός βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο (x,y), αναλύονται ως εξής: F px i F py i ( ) Fpx F px+ F x = ρq Vx Vx Fpy F ( ) py+ F y= ρq Vy Vy B Fz ρq( Vz Vz) + = = 0 όπου και είναι οι προβολές στους άξονες x και y της δύναμης πίεσης (4.58) F p i που ασκείται στην επιφάνεια Ei όπου i =, ; F x, Fy και Fz είναι οι προβολές στους άξονες x, y και z της δύναμης F που ασκεί ο σωλήνας στο νερό; και B είναι το βάρος του νερού μεταξύ των διατομών και και ασκείται στην κατεύθυνση z. Σύμφωνα με την αρχή δράσης αντίδρασης αφού ο σωλήνας ασκεί στο νερό δύναμη 48

49 F και το νερό θα ασκεί στο σωλήνα δύναμη ίση και αντίθετη δηλαδή N = F. Αντικαθιστώντας στην (4.58) και θέτοντας F ( p E ) = και F = ( p E όπου px i i i x py i i i) y i =, έχουμε ( ) ( ) ρ ( ) Nx = pe p E Q Vx V x x x Ny = ( pe) ( p E) ρq y y ( Vy Vy) Nz = B (4.59) Η συνιστώσα N z που ασκεί το νερό στο σωλήνα ισούται με το βάρος του νερού στον όγκο αναφοράς και έχει φορά προς τα κάτω. Η συνισταμένη δύναμη που ασκεί ο σωλήνας στο νερό στο επίπεδο x,y έχει μέτρο N = N + N y και προέρχεται από xy x τις τριβές στα τοιχώματα του σωλήνα καθώς και από δυνάμεις πιέσεως λόγω της αλλαγής της διεύθυνσης της ροής. Συνήθως στα προβλήματα οριζόντιας ροής ζητείται η συνισταμένη δύναμη N στο επίπεδο της ροής και η οποία όπως xy αναφέρθηκε οφείλεται στις τριβές και δυνάμεις πιέσεως λόγω αλλαγής κατεύθυνσης ροής και όχι στο βάρος του νερού. Συνήθως στα προβλήματα χρησιμοποιείται η εξίσωση συνεχείας Q = Q = Q Q = EV = EV καθώς και η εξίσωση διατήρησης της ενέργειας που θα εξεταστεί σε επόμενο κεφάλαιο. Αν δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας λόγω τριβών χρησιμοποιείται και η εξίσωση Bernouli: V p V p z z g + γ + = g + γ + όπου z είναι τα αντίστοιχα υψόμετρα. Για οριζόντιο αγωγό ισχύει z = z. 49

50 4.5 Εφαρμογή: Ροή νερού σε σωλήνα Σχήμα 4-7 Ας εξετάσουμε τη ροή στο σωλήνα στο Σχήμα 4-7 όπου ο όγκος αναφοράς ορίζεται μεταξύ των διατομών και. Θεωρούμε ότι η ροή είναι μόνιμη και ότι οι μεταβολές διατομής του σωλήνα είναι βαθμιαίες. Η απόσταση μεταξύ των διατομών είναι Δs και θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν απότομες μεταβολές της διατομής κατά την κατεύθυνση της ροής s ώστε η ροή να θεωρείται ότι είναι πρακτικά παράλληλη. Θεωρούμε στοιχειώδη ροικό σωλήνα εμβαδού de. Εφαρμόζοντας την εξίσωση διατήρησης της ποσότητας κίνησης (4.56) στον άξονα s Fs = ρ ( VjsdQ j) ( VisdQi) = ρdq( V V εκροων εισροων ) (4.60) όπου V, V είναι οι ταχύτητες στις διατομές και αντίστοιχα. Επίσης λόγω συνέχειας θέσαμε dq = dq = dq. Θεωρούμε ότι οι δυνάμεις την κατεύθυνση s αποτελούνται από τις δυνάμεις πίεσης, τις δυνάμεις τριβής στην περίμετρο όπου το υγρό έρχεται σε επαφή με τον σωλήνα, καθώς και η συνιστώσα του βάρους στην κατεύθυνση s. Θεωρούμε ότι δεν ασκούνται άλλες δυνάμεις (πχ. λόγω μηχανών -αντλίας ή υδροστροβίλου) στο ρευστό. Οι δυνάμεις στις επιφάνειες και ίσες με ( ) F = pde p +Δp de Δp de ps όπου οι πιέσεις αναφέρονται στο κέντρο βάρους 50

51 της διατομής και για παράλληλη ροή έχουμε υδροστατική κατανομή πίεσης στη διατομή και επομένως η δύναμη ισούται με το εμβαδόν της διατομής επί την πίεση στο κέντρο βάρους της διατομής. Επίσης για Δs 0 θεωρείται ότι de de = de. Οι δυνάμεις τριβής στην περίμετρο όπου το υγρό έρχεται σε επαφή με τον σωλήνα είναι ίσες με F τ s = τ dπδ s όπου τ είναι η μέση διατμητική τάση στην περίμετρο του σωλήνα. Η συνιστώσα του βάρους στην κατεύθυνση s δίνεται από F = γdeδ s sinθ. Επομένως η (4.60) δίνει gs ( ) Δp de τ dπδs γ de Δ s sinθ = ρ dq V V = ρ dq Δ V (4.6) Εκφράζοντας Δ z = Δ s sinθ και θέτοντας R = de όπου R είναι η υδραυλική dπ ακτίνα της διατομής έχουμε τ Δs Δz dq Δp τ Δz ΔV Δp γ Δ s = ρ Δ ( V) = ρvδ( V) γ = ρv R Δs de Δs R Δs Δs και διαιρώντας δια γ έχουμε (4.6) Δp τ Δz ΔV = V γ Δs γr Δs g Δs Για σταθερή πυκνότητα ρευστού η σχέση αυτή γράφεται καθώς Δs 0 (4.63) Δp Δz ΔV τ dp dz dv τ + + V = + + V = γ Δs Δs g Δs γr γ ds ds g ds γr (4.64) Ο όρος dv V ds εκφράζεται σαν dv dv V = ds. Η (4.64) γράφεται d p V τ + z + = ds γ g γ R (4.65) (Η εξίσωση αυτή αντιστοιχεί στην (4.35) που έχει παραχθεί απ ευθείας με την εφαρμογή ου ου Νόμου του Νεύτωνα και χωρίς την μεσολάβηση της εξίσωσης διατήρησης της ποσότητας κίνησης για την περίπτωση κίνησης ρευστού σωματιδίου κατά μήκος μιας γραμμής ροής). Ολοκληρώνοντας την (4.65) μεταξύ δύο σημείων και παίρνουμε 5

52 V p V p τ H H = + + z + + z = d g γ g γ s γr s s (4.66) Ο όρος: V g p + + z εκφράζει την μηχανική ενέργεια ανά μονάδα βάρους ρευστού γ ενώ ο όρος h s τ = γr s ds εκφράζει το έργο των διατμητικών δυνάμεων ανά μονάδα βάρους ρευστού καθώς αυτό κινείται μεταξύ των θέσεων και. Επειδή ο όρος αυτός είναι αρνητικός ισχύει H H < 0 H < H. Λόγω της ύπαρξης ιξώδους σε πραγματικά ρευστά μηχανική ενέργεια μετατρέπεται συνεχώς σε θερμότητα, λόγω τριβής και των δινών του τυρβώδους. Επειδή η ενέργεια αυτή σπάνια μετασχηματίζεται σε μηχανική ενέργεια έχει επικρατήσει να θεωρείται ως απώλεια ενέργειας ή απώλεια φορτίου. Το βάρος ρευστού που διέρχεται ανά μονάδα χρόνου από τη διατομή είναι: ρ gvde= ρ gdq. Πολλαπλασιάζοντας την (4.66) επί ρ dq έχουμε s V p V p τ + + z ρgdq z ρgdq ds gdq g γ + + = g γ ρ (4.67) γr s Ο όρος ρ gdq εκφράζει το βάρος ρευστού που διέρχεται από μια διατομή του V p σωλήνα ανά μονάδα χρόνου. Επομένως το γινόμενο + + z ρ gdq εκφράζει g γ μηχανική ενέργεια που διέρχεται από τη στοιχειώδη διατομή de ανά μονάδα χρόνου. Θεωρούμε τώρα ένα σωλήνα με πεπερασμένη διατομή Ολοκληρώνοντας την E όπως στο σχήμα. (4.67) σε ολόκληρη τη διατομή παίρνουμε για ρ = σταθερο s V p V p τ + + z dq + + z dq = ds dq = h Q g γ g γ γr (4.68) E E E s όπου s τ h = d Q γ R s dq (4.69) E s εκφράζει τη μέση απώλεια ενέργειας ανά μονάδα βάρους υγρού που διέρχεται από τη διατομή. 5

53 Θεωρώντας ότι η ροή σε κάθε διατομή και είναι παράλληλη, η κατανομή της πίεσης σε διατομές κάθετες στην ροή είναι υδροστατική οπότε διαιρώντας δια Q η (4.68) γράφεται V p V p z dq z dq h Q = g γ Q g γ E E V p V p dq + + z dq + + z = h Q g γ Q g γ E E (4.70) Ορίζοντας E 3 VdE 3 = ave, όπου ο συντελεστής a ονομάζεται συντελεστής συνόρθωσης της κινητικής ενέργειας η (4.70) γράφεται V p V p a z a z g + γ + g + γ + = h (4.7) Ο συντελεστής a είναι a στην περίπτωση της στρωτής ροής και a.05 στην περίπτωση της τυρβώδους ροής. Στην πράξη τα περισσότερα προβλήματα αφορούν τυρβώδη ροή και θέτουμε a. Οπότε η (4.7) γράφεται V p V p z z g + γ + = g + γ + +h (4.7) όπου V Q = V = είναι μέσες οι ταχύτητες ροής και h είναι απώλειες ενέργειας E μεταξύ των διατομών και λόγω τριβής. Αν δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας λόγω τριβών παίρνουμε τη εξίσωση V p V p + + z = + + z (4.73) g γ g γ Η εξίσωση αυτή έχει τη μορφή της εξίσωσης του Bernoulli με τη μόνη διαφορά ότι στην (4.39) χρησιμοποιείται η σημειακή ταχύτητα ενώ στην (4.73) χρησιμοποιείται η μέση ταχύτητα στη διατομή. 53

54 Στην περίπτωση που εξετάστηκε παραπάνω οι απώλειες είναι ανάλογες του μήκους και γι αυτό ονομάζονται γραμμικές απώλειες και συμβολίζονται με h όπου h L. Όμως η εξίσωση (4.7) είναι γενικότερη και ισχύει και όταν υπάρχουν και απώλειες που εμφανίζονται σε συγκεκριμένες περιοχές της ροής (τοπικές απώλειες) που θα εξεταστούν σε επόμενο κεφάλαιο. Οι απώλειες αυτές συμβολίζονται με που εκφράζει τοπικές απώλειες μεταξύ των διατομών και ανά μονάδα βάρους του ρευστού. Η εξίσωση (4.7) ισχύει όταν δεν προστίθεται ή αφαιρείται ενέργεια από το σύστημα από μηχανές (αντλίες ή υδροστρόβιλοι). Εάν υπάρχουν μηχανές που παρεμβάλλονται στην κίνηση του νερού καθώς και τοπικές και γραμμικές απώλειες (4.7) γενικεύεται ως εξής V p V p z z h hl M g + γ + = g + γ h (4.74) όπου hm = ha + hυ εκφράζει ενέργεια που απομακρύνεται από το σύστημα μέσω μηχανικού άξονα ανά μονάδα βάρους ρευστού ( h υ εκφράζει ενέργεια που αποδίδεται h L σε υδροστρόβιλο και h a εκφράζει ενέργεια που προσφέρεται από αντλία). Η εξίσωση (4.74) γράφεται και ως εξής: όπου H = H + h + hl + hm (4.75) V p H = + + z είναι το ολικό ύψος ενέργειας στη διατομή. g γ 4.6 Εξίσωση Ενέργειας Η μακροσκοπική εξίσωση ενέργειας προκύπτει από την εφαρμογή του νόμου διατήρησης ενέργειας σε ενα όγκο ελεγχου. Η εξαγωγή των σχετικών εξισώσεων απαιτεί γνώσεις θερμοδυναμικής που έστω και αν οι σπουδαστές δεν τις θυμούνται καλο θα ήταν να προσπαθήσουν να κατανοήσουν τις βασικές ένοιες του κεφαλαίου. 54

55 Σχήμα 4-8 Στην περίπτωση του παραπάνω σχήματος χρησιμοποιούμε το θεώρημα Reynolds όπου στη θέση της ιδιότητας A θέτουμε την ολική ενέργεια A. Επειδή η ενέργεια εκφράζεται A = me όπου m είναι μάζα και e η ειδική ενέργεια, η κατανεμημένη ιδιότητα a στην περίπτωση αυτή είναι a μάζας ρευστού). Επομένως η εξίσωση Reynolds γράφεται da d = ρedu dt dt Σ U E ρevde = e (ενέργεια ανά μονάδα όπου το πρώτο μέλος τη εξίσωσης εκφράζει ρυθμό μεταβολής της ενέργειας του συστήματος. Όμως σύμφωνα με το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα ισχύει da dθ dw = dt dt dt Σ (4.76) (4.77) όπου d Θ dw ο ρυθμός πρόσδοσης θερμότητας από το περιβάλλον στο σύστημα και dt dt ο ρυθμός απόδοσης έργου από το σύστημα στο περιβάλλον. Αντικαθιστώντας στην (4.76) έχουμε για έναν ακίνητο όγκο αναφοράς U dθ dw d = ρedu dt dt dt U E ρevde (4.78) 55

56 Για να γίνει η εξίσωση αυτή χρήσιμη στην πράξη πρέπει να προσδιοριστούν οι διάφορες μορφές της ενέργειας που περιέχονται στους όρους Θ, W και e. Στα προβλήματα της μηχανικής ρευστών αντιμετωπίζουμε συνήθως τρεις μορφές ενέργειας: την δυναμική, την κινητική και την εσωτερική ενέργ εια. Έτσι η ειδική ενέργεια είναι ίση με όπου e δ e= e + e + uˆ (4.79) δ κ είναι η δυναμική ενέργεια, e είναι η κινητική ενέργεια και û η εσωτερική κ ενέργεια ανοιγμένες ανά μονάδα μάζας ρευστού. Η δυναμική ενέργεια εκφράζει την ενέργε ια που έχει το ρευστό λόγω της θέσης του μέσα στο πεδίο βαρύτητας και δίνεται από την εξίσωση e δ = gz, όπου g είναι η επιτάχυνση βαρύτητας και z η απόσταση του κέντρου μάζας του ρευστού σωματιδίου από ένα επίπεδο αναφοράς. Η κινητική ενέργεια είναι η ενέργεια που έχει το ρευστό λόγω της ταχύτητας του. Η κινητική ενέργεια εκφράζεται από V e κ = όπου V είναι η ταχύτητα του ρευστού σωματιδίου. Επομένως η εξίσωση υπολογισμού της ειδικής ενέργειας γράφεται V e= uˆ + + gz (4.80) Στις περισσότερες εφαρμογές της Μηχανικής Ρευστών το έργο W εμφανίζεται με δύο μορφές: ως αξονικό έργο, W s και ως έργο επιφανειακών δυνάμεων. Το αξονικό έργο παράγεται από το ρευστό μέσα στο όγκο έλεγχ ου και μεταφέρεται στο περιβάλλον από τμήματα της επιφάνειας έλεγχου διαμέσου των οποίων δεν υπάρχει ροή ρευστού. Για παράδειγμα, αυτό μπορεί να συμβεί με περιστροφή ενός άξονα ή με μετατόπιση των ορίων του όγκου έλεγχου. Το έργο των επιφανειακών δυνάμεων χρησιμοποιείται για την εξουδετέρωση των δυνάμεων που δρουν πάνω στην επιφάνεια έλεγχου και διακρίνεται σε έργο καθέτων δυνάμεων καθώς και έργο εφαπτομενικών δυνάμενων. Το έργο καθέτων δυνάμεων εκφράζεται σαν όπου ds = Vdt. Επομένως dw p dw p = ds pde = dt E E pvde (4.8) 56

57 dw dw dw s p dw dws p τ dw = + + = ρ VdE + dt dt dt dt dt ρ dt Αντικαθιστώντας στην (4.78) έχουμε E τ (4.8) dθ dws dwτ d p = ρedu e VdE dt dt dt dt + ρ ρ (4.83) U E Η (4.83) είναι η μακροσκοπική εξίσωση διατήρησης της ενέργειας ενός συστήματος ρευστών σωματιδίων. Ο όγκος ελέγχου αποτελείται από σειρά σωλήνων εισόδου και εξόδου (μονοδιάστατη περίπτωση) Έστω ότι η επιφάνεια ελέγχου συμπίπτει με τα εσωτερικά τοιχώματα των αγωγών, αντλίας, κλπ., και στις θέσεις και τέμνει κάθετα το ρεύμα που εισέρχεται και εξέρχεται από τον όγκο ελέγχου. Επομένως το έργο των διατμητικών τάσεων είναι μηδέν. Έτσι στην περίπτωση αυτή ισχύει dθ dws d p = ρedu e VdE dt dt dt + ρ ρ (4.84) U Επειδή η παράπλευρη επιφάνεια του όγκου ελέγχου είναι αδιαπέραστη από ρευστού η εξίσωση αυτή γράφεται d dw d p p dt dt dt Θ s = ρedu + e ρvde e ρvde ρ + ρ U E E d p p = ρedu + e ρ VdE + + e ρ V de dt U E ρ ρ E E = (4.85) Στην ειδική περίπτωση της μόνιμης ροής η (4.85) γράφεται Θ dws = uˆ gz ρ ˆ VdE u gz ρvde dt ρ = ρ E E d p V p V dt p V p V gz ρvde gz ρvde ρ ρ E E = (4.86) 57

58 όπου θεωρήσαμε ότι uˆ ρ VdE = ρ VdE E E ˆ = u και χρησιμοποιήσαμε την εξίσωση συνέχειας. Χρησιμοποιώντας τον συντελεστή συνόρθωσης κινητικής ενέργειας 3 V a= E V de (4.87) E και την εξίσωση συνέχειας Q = Q = Q η παραπάνω εξίσωση (4.86) γράφεται d Θ dw s p V p V = ρq + a + gz ρq + a + gz dt dt ρ ρ έχουμε και διαιρώντας με gq ρ dθ dw s p V p V a z a z ρgq dt dt = γ g γ g (4.88) dθ Ο όρος παριστάνει θερμότητα που προσδίδεται στον όγκο ελέγχου ανά γ Q dt μονάδα βάρους ρευστού ανά μονάδα χρόνου. Συνήθως ο όρος αυτός είναι αρνητικός αφού λόγω τριβών ενέργεια του συστήματος μετατρέπεται συνεχώς σε θερμότητα που συχνά χάνεται από το σύστημα και εκλύεται στην ατμόσφαιρα Ο όρος αυτός εκφράζει την ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμότητα λόγω τριβών και εκφράζεται d Θ = + όπου h εκφράζει γραμμικές απώλειες σε αγωγούς που γ Q dt σαν ( h hl ) είναι ανάλογες του μήκους του αγωγού και h L εκφράζει τοπικές απώλειες σε συγκεκριμένες περιοχές της ροής όπως σε στενώσεις ή διευρύνσεις αγωγών, σε dws γωνίες κλπ. Ο όρος γ Q dt παριστάνει το αντίστοιχο αξονικό έργο που αποδίδεται στο περιβάλλον ανά μονάδα βάρους ρευστού ανά μονάδα χρόνου και συνήθως εκφράζεται σαν dws = h M = h a + h υ όπου h υ εκφράζει ενέργεια που αποδίδεται γ Q dt σε υδροστρόβιλο και h a εκφράζει ενέργεια που προσφέρεται από αντλία. Αν δεν υπάρχουν μηχανές (αντλίες, υδροστρόβιλοι) ο όρος αυτός είναι μηδενικός. Τελικά η (4.88) γράφεται 58

59 p V p V + a + z = + a + z + h + hl ha + h υ (4.89) γ g γ g Στην γενικότερη περίπτωση ενός κόμβου όπως στο Σχήμα 4-4 η εξίσωση ενέργειας μπορεί να γενικευτεί στον όγκο αναφοράς του σχήματος ως εξής Δ H L +ΔH QH + QH = QH QH QH γ M (4.90) όπου ΔH L εκφράζει την απώλεια ενέργειας ανά μονάδα χρόνου μέσα στον όγκο αναφοράς και Δ H M εκφράζει ενέργεια που ενδεχομένως απομακρύνεται από το σύστημα μέσω μηχανικού άξονα ανά μονάδα χρόνου. 4.7 Γραμμή ενέργειας και πιεζομετρική γραμμή Η γραμμή που συνδέει τις τιμές του ύψους ενέργειας H κατά μήκος του αγωγού ονομάζεται γραμμή ενέργειας (ΓΕ) ενώ η γραμμή που συνδέει τις τιμές των p πιεζομετρικών φορτίων + z ονομάζεται πιεζομετρική γραμμή (ΠΓ). Όταν γ υπάρχουν απώλειες ενέργειας το υψόμετρο της γραμμής ενέργειας μειώνεται κατά τη διεύθυνση της ροής. Η πιεζομετρική γραμμή βρίσκεται σε απόσταση V g κάτω από την γραμμή ενέργειας. Σε αγωγούς με ανομοιόμορφη διατομή είναι δυνατόν το πιεζομετρικό φορτίο να αυξάνεται στην διεύθυνση της ροής εάν η διατομή αυξάνεται (Σχήμα 4-9). 59

60 Σχήμα

61 5 ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΟΗΣ 5. Εξισωση Συνεχειας Σε Διαφορικο Ογκο Αναφορας Θεωρούμε απειροστό στοιχείο ρευστού με πλευρές ΑΒΓΔΑ Β Γ Δ όπως φαίνεται στο Σχήμα 5- και έστω η θέση του σημείου Α έχει συντεταγμένες (x,y,z). Σχήμα 5-. Η μάζα ρευστού που διέρχεται από την πλευρά ΑΑ Δ Δ προς τα δεξιά, δηλαδή η μάζα ρευστού που εισέρχεται στον διαφορικό όγκο σε χρόνο ( ) dt, δίνεται από ρ udt dydzόπου dl = u dt είναι η μετακίνηση των ρευστών σωματιδίων σε χρόνο dt προς τα δεξιά. Η μάζα που εξέρχεται από την απέναντι πλευρά ΒΒ Γ Γ σε χρόνο dt δίνεται από ( ρu) ρu+ x dx dtdydz όπου ( ρ ) u dx = d ( ρ u x ) η μεταβολή του ρ u μεταξύ των πλευρών ΑΑ Δ Δ και ΒΒ Γ Γ. Η καθαρή εισροή μάζας από τις δύο απέναντι πλευρές ΑΑ Δ Δ και ΒΒ Γ Γ κάθετες στον άξονα x είναι: ( ρu) ( ρu) ρ( u dt) dy dz ρu + dx dt dy dz = dt dx dy dz x x Γράφοντας αντίστοιχες εξισώσεις στους άξονες y και z παίρνουμε 6

62 ( ρu) ( ρu) ρ( u dt) dy dz ρu + dx dt dy dz dt dx dy dz x = x ( ρv) ( ρv) ρ( v dt) dz dx ρv + dy dt dz dx dt dx dy dz y = y ( ρw) ( ρw) ρ( wdt) dx dy ρw + dz dt dx dy = dt dx dy dz z z (5.) χρόνο Το άθροισμα των παραπάνω σχέσεων δίνει την καθαρή εισροή μάζας σε dt. Λόγω της αρχής διατήρησης της μάζας θα πρέπει η καθαρή εισροή μάζας να ισούται με την μεταβολή μάζας μέσα στον διαφορικό όγκο χρόνο dt που δίνεται από dv = dx dy dz σε ρ dm = d( ρdv ) = d ( ρdx dy dz) = dt dx dy dz (5.) t Αθροίζοντας τις (5.) εξισώνοντας με την (5.) και απλοποιώντας έχουμε: ( ρu) ( ρv) ( ρw) ρ t x y z = 0 (5.3) που είναι η γενική διαφορική εξίσωση συνεχείας ρευστού σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Η εξίσωση αυτή ισχύει για συμπιεστά καθώς και για ασυμπίεστα ρευστά, για μόνιμη ή και μη μόνιμη ροή, καθώς και για συνεκτικά ( μ > 0 ) καθώς και μη συνεκτικά (τέλεια: μ = 0 ) ρευστά. Για να ισχύει η εξίσωση (5.3), θα πρέπει τα ρ, uvw,, να είναι συνεχείς συναρτήσεις των x, yzt,, και να μην υπάρχουν θετικές και αρνητικές πηγές. Παραγωγίζοντας τα γινόμενα παίρνουμε ρ u v w ρ u ρ v ρ w ρ + 0 t + + x y z = (5.4) x y z 6

63 Στην περίπτωση που η πυκνότητα των ρευστών μεταβάλλεται με σχετικά αργό ρυθμό στο χώρο σχετικά με τις μεταβολές στο χρόνο (και συγκεκριμένα όταν u ρ v ρ w ρ ρ + + << ), η εξίσωση (5.4) μπορεί να απλοποιηθεί ως εξής: x y z t ρ u v w + ρ + + = 0 t x y z (5.5) Για ασυμπίεστα ρευστά ισχύει ρ = σταθερο, οπότε η (5.3) γράφεται: u v w + + = 0 x y z (5.6) Για συμπιεστά ρευστά και μόνιμη ροή η (5.3) γράφεται: ( ρu) ( ρv) ( ρw) + + x y z = 0 (5.7) Για ροή σε δύο διαστάσεις (x,y) ο τελευταίος όρος με τις παραγώγους ως προς y μηδενίζεται και η (5.3) γράφεται ( ρu) ( ρv) ρ + + t x y = 0 (5.8) και αντίστοιχα γράφονται και οι υπόλοιπες εξισώσεις (5.5), (5.6) και (5.7). Η εξίσωση διατήρησης της μάζας (5.3) σε μια διάσταση γράφεται: ( ρu) ρ + = 0 t x (5.9) και για ασυμπίεστα ρευστά ( ρ = σταθερο ) u = σταθερο (5.0) 63

64 6 ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ 6. Χαρακτηρισμός Ροής: Στρωτή και Τυρβώδης Ροή Η Εφαρμοσμένη Υδραυλική εξετάζει τη ροή πραγματικών ρευστών σε κλειστούς και ανοικτούς αγωγούς. Στα πραγματικά ρευστά οι τριβές εντός του ρευστού είναι μη μηδενικές και λόγω της κίνησης του ρευστού μηχανική ενέργεια μετατρέπεται συνεχώς σε θερμότητα δηλαδή υπάρχουν συνεχώς απώλειες ενέργειας λόγω τριβών. Σε πραγματικά ρευστά ο συντελεστής συνεκτικότητας είναι μεγαλύτερος του μηδενός και υπάρχουν εν γένει διατμητικές τάσεις. Η ύπαρξη διατμητικών τάσεων συνεπάγεται δύο δυνατές καταστάσεις ροής Στρωτή ροή Τυρβώδη ροή Τα πειράματα του Reynolds 883 ήταν τα πρώτα πειράματα στα οποία διαπιστώθηκαν οι διάφορες καταστάσεις ροής και πραγματοποιήθηκαν με μια συσκευή όπως εικονίζεται στο Σχήμα 6-. Η παροχή καθώς και η ταχύτητα του νερού ρυθμίζονταν μέσω στρόφιγγας ενώ υπήρχε δυνατότητα χρωματισμού της κίνησης των ρευστών σωματιδίων μέσω μιας χρωστικής ουσίας. Σχήμα 6- Συσκευή Reynolds Μεταβάλλοντας την παροχή καθώς και την ταχύτητα ροής στο σωλήνα μέσω της στρόφιγγας ο Reynolds διαπίστωσε τις ακόλουθες καταστάσεις ροής (Σχήμα 6-) 64

65 . Μικρή ταχύτητα ροής στο σωλήνα: Στρωτή ροή - χρωστική ουσία κινείται παράλληλα με τα τοιχώματα του σωλήνα σε μια ευθεία σαν νήμα γραμμή.. Ταχύτητα ροής μεγαλύτερη: Κυματοειδής ροή - ταλαντώσεις και μικρή διασπορά χρωστικής ουσίας. 3. Ταχύτητα ροής μεγάλη: Τυρβώδης ροή - Διασπορά της χρωστικής ουσίας που καθώς κινείται κατάντη τείνει να χρωματίσει όλη τη διατομή. Σχήμα 6- (a) Στρωτή και (b) τυρβώδης ροή σε σωλήνα κυκλικής διατομής Κάνοντας διάφορα πειράματα με διαφορετικές ταχύτητες ροής, διαφορετικά υγρά και σε αγωγούς με διαφορετικές διαμέτρους ο Reynolds ανακάλυψε ότι η κατάσταση της ροής εξαρτάται από τον εξής αδιάστατο αριθμό R e VD = (6.) ν και ο οποίος ονομάστηκε αριθμός του Reynolds. Ανάλογα με τις τιμές του αριθμού Reynolds, έχουμε τις ακόλουθες καταστάσεις ροής. Για R e < 000 η ροή είναι στρωτή (ονομάζεται και παράλληλη ροή) και η κίνηση γίνεται σε παράλληλες στρώσεις 65

66 . Για 000 < R e < η ροή κυμαίνεται κατά περιοχές μεταξύ στρωτής και τυρβώδους ροής 3. Για < R e. Η ροή είναι τυρβώδης, δηλαδή ακανόνιστη και συνεχώς μεταβαλλόμενη (μη παράλληλη) Στην πράξη η πιο συνηθισμένη κατάσταση ροής είναι η τυρβώδης ροή η οποία εμφανίζεται στο 99% των περιπτώσεων. Η στρωτή ροή αν και σπάνια είναι ευκολότερη στην ανάλυση γι αυτό αναφέρεται συχνά στην υδραυλική. Στη στρωτή ροή οι μεταβολές της ταχύτητας ( uvwκαθώς,, ) και η πίεση p είναι βαθμιαίες και ομαλές σαν συνάρτηση του χρόνου και των χωρικών συντεταγμένων( x, yzt,, ). Στην τυρβώδη ροή όμως οι ταχύτητες καθώς και οι πιέσεις σε κάθε σημείο του χώρου είναι ακανόνιστες και μεταβάλλονται συνεχώς σαν συνάρτηση του χρόνου γύρω από μια μέση τιμή (Σχήμα 6-3). Σχήμα 6-3 Τοπική ταχύτητα τυρβώδους ροής συναρτήσει του χρόνου Στην περίπτωση αυτή οι συνιστώσες της ταχύτητας μπορούν να εκφραστούν ως εξής u = u + u v = v + v (6.) w = w + w ενώ η συνιστώσα της τοπικής πίεσης εκφράζεται ως: 66

67 p = p+ p (6.3) όπου uvwpείναι,,, οι μέσες τιμές των ταχυτήτων και πίεσης και u, v, w, p είναι οι αποκλίσεις των ταχυτήτων και πίεσης ως προς τις μέσες τιμές τους αντίστοιχα (Σχήμα 6-4). Επειδή οι τοπικές ταχύτητες και η πίεση είναι ακανόνιστες και συνεχώς μεταβαλλόμενες συναρτήσεις του χρόνου είναι αδύνατο να υπολογιστούν. Αυτό που ενδιαφέρει στην πράξη όμως είναι οι μέσες τιμές των ταχυτήτων και πίεσης και όχι οι τοπικές λεπτομέρειες της ροής που άλλωστε μεταβάλλονται συνεχώς. Σχήμα 6-4. Τοπική ταχύτητα και πίεση τυρβώδους ροής Στην περίπτωση στρωτής ροή ς και όταν η μόνη συνιστώσα της ταχύτητας είναι κατά μια διεύθυνση του άξονα x (δηλαδή ότα ν v= w= 0 ) και όταν οι 67

68 μεταβολές του u είναι μηδενικές κατά τους άξον ες x και z (δηλαδή du = du = 0 ) dx dz η διατμητική τάση στη θέση y είναι ανάλογη της παραγώγου της ταχύτητας στη du διεύθυνση y δηλαδή τ = μ, όπου dy μ = ρν είναι ο συντελεστής δ υναμικής συνεκτικότητας, ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού και ν είναι ο συντελεστής κινηματικής συνεκτικότητας. Αντίστοιχα στην περίπτωση της τυρβώδους ροής ορίζεται η μέση διατμητική du τάση τ = η όπου η είναι συντελεστής που ονομάζεται συντελεστής δυναμικής dy συνεκτικότητας και εξαρτάται από το τυρβώδες του ρευστού. 6. Εξίσωση ενέργειας για στρωτή ροή σε αγωγούς ομοιόμορφης κυκλικής διατομής Για μικρές ταχύτητες ροής σε σωλήνες η ροή είναι στρωτή χωρίς τυρβώδες (βλέπε ορισμούς στρωτής και τυρβώδους ροής στο κεφάλαιο 5). Η ροή σε σωλήνα κυκλικής διατομής είναι ομοιόμορφη 4 και παράλληλη αν η διατομή του σωλήνα παραμένει σταθερή κατά μήκος του σωλήνα (Σχήμα 6-5). 4 Ομοιόμορφη είναι η ροή στην οποία η ταχύτητα δεν μεταβάλλεται κατά μήκος του αγωγού. 68

69 Σχήμα 6-5. Κατανομή ταχύτητας στη διατομή Σε παράλληλη ροή γνωρίζουμε ότι η κατανομή της πίεσης είναι υδροστατική σε διατομές κάθετες στον αγωγό. Επομένως σε διατομές κάθετες στον αγωγό το p πιεζομετρικό φορτίο h= z+ είναι σταθερό σε όλη την επιφάνεια της διατομής και γ εξαρτάται μόνο από την απόσταση s κατά μήκος του σωλήνα. Σχήμα 6-6. Μόνιμη στρωτή ροή σε κυκλικό σωλήνα Για ομοιόμορφη ροή δεν η ταχύτητα στη διατομή δεν εξαρτάται από την dv απόσταση s και επομένως = 0 και η εξίσωση (4.65) γράφεται για ασυμπίεστο ds ρευστό του οποίου το ειδικό βάρος γ = ρg είναι σταθερό και ανεξάρτητο του s 69

70 d p γ dh τ = γ + z R= r ds γ ds όπου για κυκλική διατομή η υδραυλική ακτίνα είναι r R =. Ο όρος p h= + z γ εκφράζει το πιεζομετρικό φορτίο στη θέση s. Όταν υπάρχουν απώλειες ενέργειας λόγω τριβών του ρευστού η παράγωγος dh ds έχει αρνητικό πρόσημο. Η διατμητική dv dv τάση δίνεται από τη σχέση τ = μ = dy μ. Οπότε η (6.4) γράφεται dr dv γ dh γ dh μ = r dv = rdr. Για παράλληλη ροή η ποσότητα dr ds μ ds και η dh ds (6.4) p h= +z καθώς γ είναι σταθερή σε όλο το εύρος της διατομής και ανεξάρτητη του r. Ολοκληρώνοντας την σχέση αυτή από 0 έως r = r0 V = 0 έχουμε r και θέτοντας την οριακή συνθήκη για V γ dh = ( r 0 r ) (6.5) 4μ ds όπου r 0 είναι η ακτίνα του σωλήνα. Η μέγιστη ταχύτητα προκύπτει για r = 0 και είναι ίση με V γ dh = 4μ ds r (6.6) 0 0 Αντικαθιστώντας την (6.6) στην (6.5) προκύπτει r V = V0 r 0 Η μέση ταχύτητα στη διατομή του σωλήνα δίνεται από τη σχέση (6.7) Q Q V = = = V da V ( r r ) π r dr V A πr π r = = π r r0 0 0 E

71 Από την (6.7) προκύπτει ότι η κατανομή της ταχύτητας σε στρωτή ροή σε αγωγούς κυκλικής διατομής είναι παραβολική V( r) τ V r = r 0 ( r) μ 0. Επομένως ισχύει dv μvr = = (6.8) dr r Στην περίπτωση αγωγού κυκλικής διατομής διαμέτρου και ακτίνας r όπως D 0 στο Σχήμα 6-6, οι απώλειες ενέργειας ανά μονάδα βάρους ρευστού εκφράζονται από την εξίσωση (4.69) ως εξής: ( r) s s r 0 τ τ h = ds dq = V ( r) π r Q γr Q γr E s s 0 dr ds Θεωρώντας ότι τ είναι πρακτικά σταθερό μεταξύ των σημείων και ισχύει (6.9) s s τ τ τ ds = ( s s ) και αντικαθιστώντας γr γr ( r) ( ) E π r r R = = = Π π r dv r = μ το ολοκλήρωμα στην (6.9) εκφράζεται dr και ( ) τ r 4π 4π μ4vr r V( r) πrdr = τ( r) V( r) dr = V dr = γr γ γ r0 r 0 r0 r0 r r0 4 r0 r0 r0 r dr πμV r 3πμV 3πμV 8πμV = = = γr r γr γr γ Επομένως από την (6.9) προκύπτει ( ) s r0 s τ r 8πμV 8πμV h = V ( r) r dr ds ds L Q π = R Q = Q s γ 0 γ γ s όπου L= s s Reynolds από τη σχέση η απόσταση μεταξύ των δύο διατομών. Ορίζοντας τον αριθμό R e VD = (6.0) ν όπου ν = μ είναι ο συντελεστής κινηματικής συνεκτικότητας του ρευστού έχουμε ρ 7

72 8πμV 8πμV 64 L V 64 h = L= L= = Q D γ π ρ g VD D g e V 4 ν L V R D g (6.) όπου h είναι οι απώλειες ενέργειας λόγω τριβών κατά μήκος του σωλήνα. Συνήθως η μέση ταχύτητα στη διατομή γράφεται απλούστερα V γράφεται = V οπότε παραπάνω εξίσωση L V h = (6.) D g Επειδή οι απώλειες h είναι ανάλογες του μήκους του σωλήνα L ονομάζονται και γραμμικές απώλειες. Ο συντελεστής 64 = (6.3) R ονομάζεται συντελεστής τριβής. Η εξίσωση (6.) εκφράζει τις απώλειες ενέργειας λόγω τριβών κατά μήκος του σωλήνα ονομάζεται εξίσωση του Darcy-Weisbach και, όπως θα εξεταστεί στο κεφάλαιο 5 ισχύει και στην περίπτωση της τυρβώδους ροής σε σωλήνες. e 6.3 Απώλειες Ενέργειας σε Σωλήνες Κυκλικής Διατομής: Τυρβώδης Ροή Η κατανομή της ταχύτητας στην περίπτωση τυρβώδους ροής σε σωλήνα παριστάνεται γραφικά στο Σχήμα 6-7 και εκφράζεται από εξισώσεις που δεν ακολουθούν την παραβολική κατανομή όπως στην περίπτωση της στρωτής ροής (εξισώσεις (6.) και (6.)) 7