Διακριτά Μαθηματικά. Γιάννης Εμίρης. Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ. Νοέμβριος

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διακριτά Μαθηματικά. Γιάννης Εμίρης. Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ. Νοέμβριος"

Κάρμη Αλεξίου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΔιακριτάΜαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ Νοέμβριος 2016 Διακριτά Μαθηματικά

2 ΕπαγωγήκαιΑναδρομή [Rosen,κεφ. 5] Διακριτά Μαθηματικά

3 Μαθηματικήεπαγωγή [Rosen 5.1] Μέθοδος απόδειξης μιας μαθηματικής πρότασης Π(n), η οποία εξαρτάταιαπόένανφυσικό n N. ΣκοπόςείναιναδείξουμεπωςηΠ(n)είναιαληθής, n n 0 N. Δύο στάδια: Βάση:δείχνουμεπωςηΠ(n 0 )είναιαληθής. Επαγωγική Υπόθεση: Θεωρουμε πως ισχύει η Π(k), όπου k n 0. ΕπαγωγικόΒήμα:δείχνουμεπως Π(k) Π(k +1). Διακριτά Μαθηματικά

4 Παράδειγμαεπαγωγής Για a 1, n N,δείξτεπως Π(n) : 1+a+ +a n = an+1 1 a 1. Λύση. Επαγωγικήβάση, Π(0): 1 = (a 1)/(a 1):αληθής. Βήμα: 1+ +a k +a k+1 = (a k+2 1)/(a 1) ak+1 1 a 1 +a k+1 = ak+2 1 a 1 a k+1 1+a k+2 a k+1 = a k+2 1 : αληθής. ΟΕΔ Διακριτά Μαθηματικά

5 Επαγωγήγιαανισότητα Παράδ. 7. Οι αρμονικοί αριθμοί ορίζονται ως Ν.δ.ό. H 2 n 1+ n 2, n N. H j = j, j 1. Λύση.Βάση: n = 1 : H 2 = n = 2 : H 4 = = ΕπαγωγικόΒήμα. H 2 n+1 = H 2 n n n+1 1+ n 1 n n = 1+. 2n+1 2 Διακριτά Μαθηματικά

6 Πληθικόςαριθμόςδυναμοσυνόλου Θεώρημα. P(A) = 2 A. Απόδειξημεεπαγωγήωςπρος A = n 0. Βάσηεπαγωγής: A 0 = 0 A 0 = 2 A 0 = { } = 1. Επιπλέον A 1 = 1 A 1 = {a} 2 A 1 = {,{a}} = 2. Επαγωγικόβήμα: A k = A k 1 {a}, A k = k 1. Κάθευποσύνολοτου A k είτεπεριέχειτο aείτεόχι: ( ) P(A k ) = P(A k 1 ) {B {a}} B Ak 1 ( ) = P(A k 1 ) B P(Ak 1) {B {a}} P(A k ) = 2 P(A k 1 ) = 2 2 k 1 = 2 k. Διακριτά Μαθηματικά

7 Βήματααπόδειξης Διακριτά Μαθηματικά

8 Ισχυρήεπαγωγή [Rosen 5.2] Ισχυρή επαγωγή: Βάση:δείχνουμεπωςηΠ(n 0 )είναιαληθής. Επαγωγική Υπόθεση: Θεωρουμε πως ισχύουν όλες οι Π(n 0 ),...,Π(k),όπου k n 0. Επαγωγικό Βήμα: δείχνουμε πως [Π(i),i = n 0,...,k] Π(k +1). Καλείται και Πλήρης Επαγωγή. Διακριτά Μαθηματικά

9 Παράδειγμα Π.χ.Κάθεφυσικός n 2είναιείτεπρώτοςείτεγινόμενο πρώτων. Απόδ.Βάση:Ο n = 2είναιπρώτος. Επαγωγικήυπόθεση:Ηπρότασηισχύειγια i = 2,...,k. Επαγωγικό βήμα: Ανοk +1είναιπρώτος,ηπρότασηαποδείχθηκε. Αλλιώς k +1 = ab, a,b : 1 < a,b < k +1. Υπόθεση οι a,bείναιείτεπρώτοιείτεγινόμεναπρώτων, άρακιοk +1είναιγινόμενοπρώτων. ΟΕΔ Διακριτά Μαθηματικά

10 ΥπολογιστικήΓεωμετρία e p V (p) window V (e) Απλό πολύγωνο: ορίζεται από μια ακολουθία ακμών οι οποίες τέμνονται μόνο ανά δύο γειτονικές σε μια(κοινή) κορυφή. Μηαπλάκαιαπλάπολύγωνα(κυρτόκαιμηκυρτό).

11 Διαγώνιοι v u k w u v Λήμμα.Κάθεαπλόπολύγωνομε 4ακμέςέχειμιαεσωτερική διαγώνιο. Θα αποδειχθεί αργότερα.

12 Τριγωνοποίηση Θεώρ.Κάθεαπλόπολύγωνομε n 3ακμέςυποδιαιρείται (τριγωνοποιείται) σε n 2 τρίγωνα. Απόδ.Βάση. n = 3τρίγωνο, n = 4τετράπλευροκυρτόήμη. Επαγωγική Υπόθεση. Η πρόταση ισχύει για πολύγωνα με k ακμές, k 3. Επαγωγικό Βήμα. Θα δείξουμε την πρόταση για πολύγωνο με k +1ακμές, k 3. Από το Λήμμα φέρνουμε διαγώνιο που υποδιαιρεί το πολύγωνο σεδύοπολύγωναμεπλήθοςακμών j +1,(k +1) j +1, αντίστοιχα.καθέναέχει 3ακμές(π.χ. j 2). Καθένατριγωνοποιείταιμε j 1,k jτρίγωνα,άρασυνολικά k 1τρίγωνα. ΟΕΔ

13 ΑπόδειξηΛήμματος Λήμμα.Κάθεαπλόπολύγωνομε 4ακμέςέχειμίαεσωτερική διαγώνιο. Απόδ.Εστωηαριστερότερηκορυφή uτουπολυγώνου,και v,w οι γειτονικές της κορυφές. Αν η διαγώνιος vw είναι εσωτερική, το Λήμμα αποδείχθηκε. Αλλιώς,ηvwτέμνειτοπολύγωνο.Απότιςκορυφέςεντόςτου τριγώνου (vuw),επιλέγουμετην kώστεηγωνία uvkναείναι ελάχιστη, και παίρνουμε την διαγώνιο uk. v u k w u v

14 ναδρομικόςορισμός,δομικήεπαγωγή [5.3] Ορ. Αναδρομικός ή επαγωγικός ορισμός συναρτήσεων: Βάση:ητιμήτηςσυνάρτησηςστοσημείο n 0 = 0,ήσε περισσότερα σημεία ώστε να είναι καλώς ορισμένη. Αναδρομικό Βήμα: Κανόνας εύρεσης τιμής σε κάποιον ακέραιο, από τις τιμές σε μικρότερους ακεραίους. Παράδειγμα: συνάρτηση Fibonacci: f 0 = 0,f 1 = 1, f n = f n 1 +f n 2.

15 Παράδειγμα Ν.δ.ό.γιατη Fibonacci: f n > φ n 2, n 3,φ = (1+ 5)/2. Απόδ. Ισχυρή επαγωγή. Βάσηγια n = 3,4: f 3 = 2 > φ, f 4 = 3 > φ 2 = (3+ 5)/2. Επαγωγική/Αναδρομική υπόθεση: f j > φ j 2, 3 j k. Παρατηρήστεπωςτο φείναιλύσητης x 2 x 1 = 0. Επαγωγικό/Αναδρομικό Βήμα. Για k 4, θ.δ.ό. f k+1 > φ k 1 = φ 2 φ k 3 = (φ+1)φ k 3 = φ k 2 +φ k 3. Γνωρίζουμε f k+1 = f k +f k 1,άραηανισότηταισχύει. ΟΕΔ

16 Δομικήεπαγωγή Μια απόδειξη δομικής επαγωγής αποτελείται από δύο βήματα: Βήμα Βάσης: Δείχνουμε το αποτέλεσμα για τα στοιχεία στο βήμα βάσης του αναδρομικού ορισμού. Αναδρομικό/ επαγωγικό Βήμα: Δείχνουμε πως, αν η πρόταση αληθεύει για τα στοιχεία που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή νέων στοιχείων στο αναδρομικό βήμα του ορισμού, τότε το αποτέλεσμα ισχύει για τα νέα αυτά στοιχεία. Η δομική επαγωγή εφαρμόζεται στην απόδειξη ιδιοτήτων για αναδρομικώς ορισμένα σύνολα.

17 Αναδρομικάορισμένασύνολα Π.χ. Υποσύνολο S ακέραιων αριθμών, που ορίζεται ως εξής. Βάση: 3 S. ΑναδρομικόΒήμα. x S,y Sτότε x+y S. Π.χ.10:Θαδείξουμεπως S = A,όπου Aτοσύνολοτων θετικών πολλαπλασίων του 3. A S:Κάθε 3n Sμε(απλή)επαγωγήωςπρος n 1. S A(Δομικήεπαγωγή): ΣτοιχείασυνόλουαπόΒάση: 3 A. ΣτοιχείααπόΑναδρομή:Θ.δ.ό. x,y S x+y A: x,y S x,y A x+y A επαγωγικήυπόθεση ωςπολλαπλάσιατου3

18 Δένδραμερίζα Μελετάμε την απλούστερη κατηγορία γράφων (graphs): τα δένδρα (trees) είναι συνεκτικοί γράφοι χωρίς κύκλο. Δένδρα με ρίζα: αποτελούνται από ένα σύνολο κορυφών/κόμβων με μια ξεχωριστή κορυφή, τη ρίζα, και ακμές που συνδέουν ορισμένους κόμβους.(για δυο κόμβους, είτε υπάρχει μοναδική ακμή είτε όχι).

19 Πλήρεςδυαδικόδένδρο Αναδρομικός ορισμός Πλήρους δυαδικού Δένδρου(πδδ) Αναδρομική Βάση: Υπάρχει πλήρες δυαδικό δένδρο(πδδ) αποτελούμενο μόνο από μια κορυφή/κόμβο r(τη ρίζα). Αναδρομικόβήμα.Αν T 1,T 2 πδδ,υπάρχειπδδπουγράφεται T = T 1 T 2 αποτελούμενοαπόμιαρίζα rμαζίμετιςακμέςπου συνδέουντην rμεκαθεμιάαπότιςρίζεςτωνυποδένδρων T 1,T 2.

20 Υψος,πλήθοςκόμβων Δύο αναδρομικοί ορισμοί: Υψος h(t)πλήρουςδυαδικούδένδρου T: Βάση: h(t) = 0,αντο Tαποτελείταιμόνοαπότηρίζα. Αναδρομικόβήμα.Αν T 1,T 2 είναιπδδ,τότετοπδδ T = T 1 T 2 έχειύψος h(t) = 1+max{h(T 1 ),h(t 2 )}. Πλήθοςκόμβων/κορυφών n(t)πδδ T: Βάση: n(t) = 1,αντο Tαποτελείταιμόνοαπότηρίζα. Αναδρομικόβήμα.Αν T 1,T 2 είναιπδδ,τότετοπδδ T = T 1 T 2 έχει n(t) = 1+n(T 1 )+n(t 2 ).

21 Σχέσηύψους,πλήθουςκόμβων Θεώρ. n(t) 2 h(t)+1 1,γιαπδδ T. Απόδειξη με δομική επαγωγή. Βήμαβάσης:Αντο Tαποτελείταιμόνοαπόρίζα, n(t) = Αναδρομικόβήμα. n(t) = 1+n(T 1 )+n(t 2 ) 1+(2 h 1+1 1)+(2 h 2+1 1) 2max{2 h 1+1,2 h 2+1 } 1 = 2 2 max{h 1,h 2 }+1 1 = 2 2 h(t) 1 = 2 h(t)+1 1.

Σχετικά έγγραφα

Π(n) : 1 + a + + a n = αν+1 1

Π(n) : 1 + a + + a n = αν+1 1 Διακριτά Μαθηματικά [Rosen, κεφ. 5] Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Νοέμβριος 2017 Επαγωγή και Αναδρομή [Rosen, κεφ. 5] Μαθηματική επαγωγή [Rosen 5.1] Μέθοδος απόδειξης μιας μαθηματικής