Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi

Transcript

1 Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja Osnovni pojmovi Kruto telo Rastojanje ma koje tačke je stalno, ne menja se, telo se ne deformiše predmet proučavanja mehanike Čvrsto telo Rastojanje ma koje tačke se menja pod dejstvom sila, realna tela koja mogu da se deformišu menjaju svoj oblik i veličinu PREDMET ZUČVNJ OTPORNOST MTERJL

2 0/4/009 Predmet izučavanja otpornosti materijala - vrste čvrstih tela Štap Ploča Ljuska Masiv d a b d << a d << b d Štap Telo čija je dužina znatno veća od njegovih dimenzija poprečnog preseka poprečni presek Prema obliku Prav ili Kriv Prema poprečnom preseku Pun (masivan) Tankozidni sa otvorenim ili zatvorenim profilom težište preseka osa štapa

3 0/4/009 Zadatak otpornosti materijala Proračun čvrstoće OdreĎivanje dimenzija elemenata, zavisno od odabranog materijala, koji isključuju mogućnost loma Proračun krutosti (deformabilnosti) Dimenzije koje obezbeďuju deformacije u odreďenim granicama OdreĎivanje deformacija tog elementa pod opterećenjem Proračun stabilnosti Da element pod opterećenjem zadrži prvobitni oblik u eksploataciji i ne izgubi stabilnu ravnotežu Osnovne pretpostavke otpornosti materijala Neprekidnost materijala Homogenost materijala zotropnost materijala (u svim pravcima) Elastičnost materijala

4 0/4/009 Podela sila koje deluju Spoljašnje Unutrašnje Osnovne pretpostavke otpornosti materijala Pretpostavka o linearnoj zavisnosti napona i deformacija (Hukov zakon) Princip početnih dimenzija (deformacije su male) Princip nezavisnosti dejstva sile (superpozicije) Princip Sen-Venana 4

5 L z 0/4/009 Spoljašnje sile se dele: ktivne Reaktivne Po mestu delovanja zapreminske površinske linijske koncentrisane Po karakteru dejstva statičke dinamičke udarne Spoljašnje i unutrašnje sile z U Telo je u ravnoteži kada na njega deluju dve sile jednakih veličina, kolinearne i suprotnih smerova + U Prema zakonu akcije i reakcije: Usled dejstva tereta, spoljašnjih sila, pojaviće se sile koje se odupiru dejstvu spoljašnjih sila - unutrašnje sile G G Szi = G - = 0 u G 5

6 0/4/009 Naprezanja, naponi i deformacije Kada čvrsto telo napadaju spoljašnje sile kažemo da je NPREGNUTO ili u stanju naprezanja Pod uticajem spoljnih sila telo donekle menja svoj oblik i zapreminu DEORMŠE SE Osnovne vrste naprezanja: ksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje Savijanje zvijanje 6

7 0/4/009 ksijalno naprezanje Zatezanje Pritisak z + ksijalno naprezanje izazivaju sile kolinearne sa osom štapa ili više sila čija je rezultanta u pravcu ose štapa Smicanje ko deluju samo transferzalne (poprečne) sile, naprezanje je čisto smicanje + - 7

8 0/4/009 Uvijanje - torzija ko u preseku deluje samo moment torzije naprezanje je čisto uvijanje - torzija m t - m B + Savijanje ko u preseku deluje samo moment savijanja naprezanje je čisto savijanje m B m B 8

9 0/4/009 zvijanje + ko je štap napregnut aksijalnim silama a poprečni presek štapa mali u odnosu na dužinu štapa (vitki štapovi) nastaće slučaj izvijanja vlakana, jer vlakna prelaze u krive linije - Savijanje proste grede silama Savijanje i smicanje Postojanje momenta savijanja izaziva savijanje Postojanje transverzalne sile - izaziva smicanje B 9

10 0/4/009 Savijanje konzole silom Savijanje i smicanje Postojanje momenta savijanja izaziva savijanje Postojanje transverzalne sile - izaziva smicanje B Uvijanje konzole silom na kraku B Savijanje, uvijanje i smicanje Postojanje momenta uvijanja izaziva uvijanje Postojanje momenta savijanja izaziva savijanje Postojanje transverzalne sile - izaziva smicanje 0

11 0/4/009 Unutrašnje sile. Metoda preseka Preseći telo zamišljenom ravni na mestu gde treba odrediti unutrašnje sile Odbaciti jedan deo Dejstvo odbačenog dela zameniti silama Postaviti statičke jednačine ravnoteže Odrediti unutrašnje sile, komponente glavnog vektora i glavnog momenta Unutrašnje sile. Metoda preseka Preseći telo zamišljenom ravni na mestu gde treba odrediti unutrašnje sile n m o

12 0/4/009 Unutrašnje sile. Metoda preseka Odbaciti jedan deo Dejstvo odbačenog dela zameniti silama Unutrašnje sile. Metoda preseka Postaviti statičke jednačine ravnoteže Odrediti unutrašnje sile, komponente glavnog vektora i glavnog momenta S = 0 S = 0 S = 0 SM = 0 SM = 0 SM z = 0 R MR

13 0/4/009 Unutrašnje sile. Metoda preseka C M M z M z z M z z M M z m n o Naponi, sile u preseku a D D D d p sr = p = lim = D D d M D D 0 t n Odnos unutrašnje sile i površine na koju ona deluje, mera intenziteta sile, je srednji napon psr Ukupan napon p je vektor kolinearan je sa vektorom sile

14 0/4/009 Napon Odnos unutrašnje sile D koja deluje na površinu D preseka opterećenog tela, ako veličina ove površine teži ka nekoj graničnoj vrednosti - ako ovu površinu smanjujemo do beskonačno malih dimenzija, sužavajući njenu konturu oko tačke M. Granična vrednost ovog odnosa, koju definiše intenzitet unutrašnjih sila koje deluju na datu površinu u posmatranoj tački M, zove se NPON. Naponi, normalni i tangencijalni s t M D t p = + t s a p n Normalni napon s (sigma) - izduženje ili skraćenje Tangencijalni napon t (tau) 4

15 0/4/009 Geometrijske karakteristike poprečnog preseka Geometrijske karakteristike poprečnog preseka Površina poprečnog preseka Statički moment poprečnog preseka Momenti inercije poprečnog preseka

16 0/4/009 Površina poprečnog preseka C C C C5 C k C n- C n n n,,..., n C C ; C ;... C C ; ; n n n Površina poprečnog preseka n i i... n d Dimenzija L Jedinica m

17 0/4/009 Statički moment površine za osu d S d r S d Dimenzija L Jedinica m Statički moment Za složenu površinu koja se sastoji od više prostih površina, statički moment za neku osu jednak je zbiru statičkih momenata pojedinih prostih površina u odnosu na istu osu S S d d d d d d d... d... n n d d... n n... n n n i n i i i i i

18 0/4/009 Koordinate težišta d r C C C C d S d d S d C Po Varinjonovoj teoremi: (moment rezultante jednak je zbiru momenata komponenata) Primer : 6 R 4

19 0/4/009 5 Brojni primer: 0.85;0 6, ; 6 ; C C C C C C R 4 Brojni primer: 8 4, cm ) ( 6 cm S cm S cm S ) ( cm S cm S cm S cm S S S S cm S S S S

20 0/4/009 Brojni primer: h C C C C S 4.66 C. 75cm 4.8 S 7.98 C 0. cm 4.8 Karakteristike statičkih momenata poprečnog preseka Za osu simetrije statički moment površine jednak je nuli jer ova osa prolazi kroz težište. ko površina ima dve ose simetrije ili više takvih osa, težište se nalazi u presečnoj tački tih osa Kososimetrične površine imaju težište u tački kose ose simetrije ko osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli 6

21 0/4/009 Momenti inercije ravnih povšina ksijalni moment inercije d d Centrifugalni moment inercije d Polarni moment inercije o r d ksijalni moment inercije d O r d d ksijalni moment inercije površine predstavlja zbir proizvoda svih elementarnih površina i kvadrata njihovih rastojanja od odgovarajuće ose u ravni te površine Dimenzija L 4 4 Jedinica m 7

22 0/4/009 Centrifugalni moment inercije d d r O Centrifugalni moment površine predstavlja zbir proizvoda svih elementarnih površina i oba njihova rastojanja od osa u ravni te površine Dimenzija L 4 4 Jedinica m Polarni moment inercije r d r O r d O O d d d Polarni moment inercije u odnosu na pol O u ravni te površine predstavlja proizvod svih elementarnih površina i kvadrata njihovih rastojanja od tog pola 4 4 Dimenzija L Jedinica m 8

23 0/4/009 Karakteristike momenata inercije ksijalni i polarni moment inercije su uvek pozitivni Centrifugalni moment inercije može biti veći, manji ili jednak nuli Svaka površina ima bar jedan par osa za koje je centrifugalni moment inercije jednak nuli Znak polarnog momenta inercije >0 <0 >0 <0 <0 >0 9

24 b b 0/4/009 Momenti inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem (Štajnerova teorema) Moment inercije za ose težišne Oh a =a+ d h h d d O O C h h =b+ h h hd ko osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli Momenti inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem (Štajnerova teorema) U izrazima za momente inercije za X i Y osu vrednosti koordinata i zamenjujemo vrednostima, prema slici a bh O a O C =a+ d h h =b+ h 0

25 0/4/009 Momenti inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem (Štajnerova teorema) b h d b h d h d b hd b b S b ko osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost ose od paralelne težišne ose z d b Momenti inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem (Štajnerova teorema) a d a d d a d a d h a Sh a ko osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost ose od paralelne težišne ose z a h

26 b 0/4/009 Momenti inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem (Štajnerova teorema) a bh d h a b h hd a as hd b b S h d d ab ab ko osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost ose od paralelne težišne ose z, dok je a udaljenost ose od paralelne težišne ose h, h ab d Momenti inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem (Štajnerova teorema) Kada se koordinatni početak sistema O h poklapa sa težištem tada su ose i h težišne ose Statički moment za težišne ose jednak je nuli, a koordinate c b; S S h c 0 a O a O C =a+ d h h =b+ h

27 =b b b 0/4/009 Momenti inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem (Štajnerova teorema) Momenti, h i h sopstveni momenti inercije Proizvod površine preseka i udaljenosti od ose osa naziva se položajni moment inercije O a O C =a+ d h h =b+ h b, a, ab Momenti inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem (Štajnerova teorema) Momenti inercije za težišne ose Oh nazivaju se sopstveni momenti inercije Momenti inercije za vantežišne ose jednaki su zbiru sopstvenih momenata inercije i položajnih momenata inercije O a =a O C kada su, h težišne ose d h

28 0/4/009 Momenti inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem (Štajnerova teorema) a b Za težišne ose, h za paralelno pomeren koordinatni sistem izrazi za momente dobijaju oblik b h a h ab Moment inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem jednak je zbiru sopstvenog momenta inercije(uvek za težišne ose) i položajnog momenta inercije Momenti inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem (Štajnerova teorema) Moment inercije za vantežišne paralelne ose jednak je zbiru sopstvenih momenata inercije (težišnih) i položajnih momenata inercije h h C C C C Napomena: rastojanja c i c uzimati sa svojim znakom 4

29 0/4/009 Momenti inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem (Štajnerova teorema) Moment inercije za paralelne težišne ose jednak je razlici momenata inercije za vantežišne paralelne ose i položajnih momenata inercije h h C C C C Napomena: rastojanja c i c uzimati sa svojim znakom Momenti inercije za zaokrenuti koordinatni sistem (za težišne ose) Poznati su momenti inercije za težišne ose C,, Za neki zaokrenuti za ugao j koordinatni sistem ucv treba odrediti momente inercije u, v, uv u C u d v j N M j Q P v 5

30 0/4/009 Momenti inercije za zaokrenuti koordinatni sistem (za težišne ose) u u d v j N M v C u MN CM j PQ CM Q P sinj cosj u SQ NQ SQ MP cosj sinj Momenti inercije za zaokrenuti koordinatni sistem (za težišne ose) u u v v d cosj sinj d cos j d sin j d sinj cosj cos j u d v sin j uv sin j sinj cosj sinj cosj d sin j d cos j d sinj cos j cos j uvd sinj cosj uv sinj cosj d sinj cosj cos j sin j Koristeći transformaciju koordinata dobijaju se: d cos j sin jd d d 6

31 0/4/009 Momenti inercije za za okrenuti koordinatni sistem (za težišne ose) Kako je: cos j cos j, sin j cos j, sinj cosj sin j cos j sin j cos j zrazi za izračunavanje težišnih momenata inercije za zaokrenute ose sada su u cos j sin j cos j sin j v uv sin j cos j ko su poznati momenti inercije za jedan par težišnih osa bez integraljenja mogu se izračunati momenti inercije za zaokrenute težišne ose Glavni momenti inercije i glavne ose inercije Kako se drugi izraz za moment može dobiti iz prvog zamenom j sa j+90 o analiziraju se drugi i treći izraz cos j sin j u uv sin j cos j Navedeni izrazi su neprekidne funkcije ugla j pa se mogu odrediti ekstremne vrednosti: du dj sin j cos j 0 argument j koji zadovoljava ovu jednačinu obeležimo sa a sin cos 0 :cos tg 7

32 0/4/009 Glavni momenti inercije i glavne ose inercije Ugao određuje položaj glavnih težišnih osa cos tg tg sin tg 4 4 ma 4 min 4 0 uv j tg tg tg Glavni momenti inercije i glavne ose inercije Za težišne ose za koje aksijalni momenti inercije imaju ekstremne vrednosti, centrifugalni moment inercije je jednak nuli. obrnuto ako je za dve upravne težišne ose centrifugalni moment inercije jednak nuli, onda aksijalni momenti za te ose imaju ekstreme 8

33 h d 0/4/009 Elipsa inercije Za površinu poznate su glavne težišne ose () i () i glavni težišni momenti inercije i. Za proizvoljnu težišnu osu u pod uglom j dobija se u cos j sin j () j u Deljenjem leve i desne strane sa površinom dobija se i, i Poluprečnici inercije za glavne ose i u u Poluprečnik inercije za osu u i i C N(,) () i u i cos j i sin j i i Momenti inercije pravougaonika d h bh h bh d b d,, b, h C C 0 d bd b hb d h d, 0 d hd C b h b b h b d d d, d bd Za težišne ose i h C C b bh h bh C bh 4 hb b hb h C bh 4 h h b b C C 4 h bh 0 9

34 h 0/4/009 Momenti inercije i elipsa inercije pravougaonika i D Za težišne ose obeležene sa i momenti inercije iznose: bh b h,, 0 i D Poluprečnici inercije su i C T bh h i i h 0, 9h bh 6 b h b i i b 0, 9b bh 6 b Za proizvoljnu osu tangenta paralelna sa odabranom osom, i rastojanje od C do tačke dodira tangente T je i D. D i D Podaci iz tablica za krug R D 4 r C 4 4 D r 0,049D ,7854r 4 D i i 0 D r 4 0

35 0/4/009 Podaci iz tablica za polovinu kruga e e C R D r 8 4r e 0.D; e r e D r r 4 4 r D 0.9r D 0.05D 4 4 r 8 D r D 4 Postupak pri određivanju momenata inercije složene površine. zabrati koordinatni sistem O i odrediti položaj težišta. Odrediti momente inercije za težišne ose svake površine, pa primenom Štajnerove teoreme odrediti momente inercije za težišne ose složene površine. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije 4. Odrediti glavne centralne momente inercije 5. Odrediti poluprečnike elipse inercije i nacrtati elipsu inercije

36 /4/009 Primer izračunavanja momenata za složenu površinu C.5 Odabrati ose i i odrediti težište ; C0;0, 8 8; C.5;6.5, 8 8; C.5; 6.5 C S S 0cm, S 8cm, S 0cm, 5cm S 8cm, S 5cm.5 C S S S C C S S S Primer izračunavanja momenata za složenu površinu C.5 Odrediti momente inercije za ose i C C C C C C C C C C.5

37 0/4/009 Primer izračunavanja momenata za složenu površinu = Odrediti momente inercije za ose i bh 44cm b h cm 4 4 C = 4 0cm Primer izračunavanja momenata za složenu površinu Odrediti momente inercije za ose i C 8 bh b h cm cm 4 cm 4

38 /4/009 Primer izračunavanja momenata za složenu površinu C.5 Odrediti momente inercije za ose i cm 4 C C cm 4 C cm Primer izračunavanja momenata za složenu površinu () () 6.7 o C Odrediti ugao glavnih osa 64 tg arctg ma ma 64 ma min 006cm 4 99cm 0 uv j min 4 0 uv j ma 64 4

39 0/4/009 Primer izračunavanja momenata za složenu površinu () Poluprečnici inercije () 006 i 5. 66cm 8 C 6.7 o 99 i. 88cm 8 Postupak pri određivanju momenata inercije složene površine. Podeliti složenu površinu na određen broj manjih površina za koje je lako odrediti: Težište površine Statičke momente inercije površina za težišne ose Sopstvene momente inercije površine za težišne ose ksijalne momente inercije površine za težišne ose Centrifugalne momente inercije površine za težišne ose Polarne momente inercije površine za težišne ose 5

40 0/4/009 Postupak pri određivanju momenata inercije složene površine. zabrati koordinatni sistem O i odrediti položaj težišta. Odrediti momente inercija za težišne ose svake površine pa primenom Štajnerove teoreme odrediti momente inercije za težišne ose složene površine 4. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije 5. Odrediti glavne centralne momente inercije 6. Odrediti poluprečnike elipse inercije i nacrtati elipsu inercije Napomene pri određivanju momenata inercije složene površine Treba koristiti simetriju težište složene površine je uvek na osi simetrije Osa simetrije je ujedno i jedna glavna osa inercije, a druga glavna osa prolazi kroz težište i upravna je na prvu ko površina ima više osa simetrije težište je u njihovom preseku a one su ujedno i glavne ose inercije Za glavne ose uvek je centrifugalni moment inercije jednak nuli 6

41 0/4/009 7 Primer : 6 R Brojni primer: 0.85;0 6, ; 6 ; C C C C C C R 4

42 0/4/009 Brojni primer: h C C C C S 4.66 C. 75cm 4.8 S 7.98 C 0. cm 4.8 Brojni primer: C h C cm C.4;0.67 bh 4 6 cm b h 6 6cm

43 0/4/009 Brojni primer: h C C 6cm C 0.4;. bh 6. cm 6 6 b h 6 cm b h cm 4 Brojni primer: h C C 6.8cm C.6;0 4 4 r 6. 8cm cm 4 r

44 0/4/009 Brojni primer: h h h h h cm h cm h h 4 h h h cm Rezime Površina poprečnog preseka Statički moment površine poprečnog preseka Težište površine ksijalni moment inercije Centrifugalni moment inercije Polarni moment inercije Štajnerova teorema - sopstveni + položajni Momenti inercije za zaokrenuti koordinatni sistem Glavni momenti inercije i glavne ose inercije Elipsa inercije i glavne težišne ose 0

45 0/4/009 Postupak pri određivanju momenata inercije složene površine. zabrati koordinatni sistem O i odrediti položaj težišta. Odrediti momente inercija za težišne ose svake površine, pa primenom Štajnerove teoreme odrediti momente inercije za težišne ose složene površine. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije 4. Odrediti glavne centralne momente inercije 5. Odrediti poluprečnike elipse inercije i nacrtati elipsu inercije

46 //009 ksijalno naprezanje Zatezanje Pritisak z ksijalno naprezanje ksijalno naprezanje (zatezanje ili pritisak) je takvo naprezanje pri kome se u poprečnim presecima opterećenog dela, najčešće štapa, javljaju samo aksijalne unutrašnje sile (unutrašnje sile su u pravcu uzdužne ose štapa) 4

47 //009 ksijalno naprezanje ksijalno naprezanje izazivaju sile kolinearne sa osom štapa ili više sila čija je rezultanta u pravcu ose štapa z Kod aksijalnog naprezanja postoje samo normalni naponi M s n Normalni napon s (sigma) - izduženje ili skraćenje Nema tangencijalnih napona t (tau) 5

48 //009 Unutrašnje sile i naponi Ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila Dijagram promene aksijalne sile a B z z a B Zanemaren je uticaj težine štapa, posmatra se homogeni štap konstantnog poprečnog preseka Unutrašnje sile i naponi Za proizvoljni zamišljeni normalni presek važe uslovi ravnoteže: B a B z z a 0 0 s B 6

49 //009 Unutrašnje sile i naponi a B Normalni napon konstantan u svakoj tački poprečnog preseka Poprečni presek nepromenljiv čitavom dužinom štapa Normalan napon dobija se kao odnos sile po površini s B B a a s s d s d s Jedinica MPa Stare jedinice: kp/mm i kg/cm Deformacije kod aksijalnog naprezanja Čelični štap dužine l deformisaće se pod dejstvom sile zatezanja Dužina će se povećati za l Ukoliko su veće aksijalne sile utoliko su veća i izduženja l l l l 7

50 //009 Deformacije kod aksijalnog naprezanja Čelični štap dužine l deformisaće se pod dejstvom sile pritiskanja Dužina će se smanjiti za l Ukoliko su veće pritisne aksijalne sile utoliko su veća i skraćenja l l l Deformacije kod aksijalnog naprezanja Deformacija (u oba slučaja) je u promeni dužine štapa Deformacija je zavisna od veličine aksijalnih sila te raste ukoliko su sile veće Uz odgovarajuću opremu moguće je snimiti zavisnost izmeďu spoljašnjeg opterećenja (aksijalnih sila) i odgovarajućih deformacija 8

51 //009 Dijagram sile i deformacije čelične šipke kn l mm Dijagrami napona i dilatacije Dijagram sile i izduženja zavisi od dimenzija šipke Za svaku ispitivanu šipku dobio bi se sličan dijagram Da bi se otklonile neusaglašenosti i dobile poredive vrednosti izvršena je standardizacija metodologije ispitivanja i epruvete koje se koriste 9

52 //009 Dijagrami napona i dilatacije Za debele materijale propisane su prave cilindrične epruvete Za limove propisane su pljosnate epruvete Propisane su i dužine epruveta i to: DUGČKE KRTKE l0 0d 0 l0 5d 0 Standardna epruveta za ispitivanje zatezanjem 0

53 //009 spitivanje zatezanjem na hidrauličnoj kidalici Savremene mašine za ispitivanje zatezanjem

54 //009 Dijagrami sila - izduženje za različite materijale Dijagram sila izduženje dijagram napon - dilatacija Umesto izduženja naneti odnos izduženja i prvobitne dužine e Dilatacija, neimenovan broj e l l 0 0

55 //009 Dijagram sila izduženje dijagram napon - dilatacija Umesto sile naneti odnos sile i površine poprečnog preseka s Napon MPa s 0 Prema važećim standardima napon se označava sa R Dijagram napon - dilatacija M Pa s e Dijagram napon - dilatacija za meki čelik

56 //009 Karakteristične tačke na dijagramu napon - dilatacija s M Pa M K s M s E s P E TG P TD a tg a=e P - granica proporcionalnosti E - granica elastičnosti Tg -gornja granica tečenja Td - donja granica tečenja M - maksimalna čvrstoća K - tačka prekida e Hukov zakon Od koordinatnog početka do tačke P postoji proporcionalnost izmeďu napona i dilatacije E koeficijent proporcionalnosti MODUL ELSTČNOST ili Jungov modul dimenzija MPa s E e 4

57 h //009 Hukov zakon Hukov zakon u obliku s=ee Zamenom u izrazu za dilataciju kao e=l/lo Napon kao odnos s=/ Dobija se izraz za Hukov zakon u obliku l l Dužina šipke posle prekida l E l l l e l e l Poasonov koeficijent m l b l epb eph e m e e uzdužna dilatacija p e P poprečna dilatacija koeficijent zavisnosti poprečne dilatacije od uzdužne Poasonov koeficijent je neimenovan broj 5

58 //009 Poasonov koeficijent zračunavanjem zapremina pre i posle deformacije dobija se zapreminska dilatacija kao V l b h e e m V e me V lb h l bh V V V ev V V Poasonov koeficijent i modul elastičnosti Materijal Čelik luminijum Bakar Mesing Sivi liv Beton m [-] 0, 0,4 0, 0,7 0,5 /6 E [ M Pa ]

59 //009 Dimenzionisanje aksijalno napregnutog štapa, dozvoljeni napon, stepen sigurnosti Obrasci u otpornosti materijala izvedeni su na osnovu Hukovog (Robert Hooke) zakona, to jest zakona proporcionalnosti Pri dimenzionisanju delova treba to poštovati, pa dozvoljeni napon merodavan za proračun mora biti manji od napona na granici proporcionalnosti što se postiže uvoďenjem stepena sigurnosti Dozvoljeni napon mora biti manji od napona na granici proporcionalnosti s M Pa M K s M s E s P E TG P TD a tg a=e P - granica proporcionalnosti E - granica elastičnosti Tg -gornja granica tečenja Td - donja granica tečenja M - maksimalna čvrstoća K - tačka prekida e 7

60 //009 Dimenzionisanje aksijalno napregnutog štapa, dozvoljeni napon, stepen sigurnosti Stepen sigurnosti je količnik jačine na kidanje, zatezne čvrstoće, ili granice tečenja materijala od kog je proračunavani štap i dozvoljenog napona M s s M doz T s T s doz Dozvoljeni napon Dozvoljeni napon je količnik jačine na kidanje, zatezne čvrstoće, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti s doz s d s M 8

61 //009 Stepen sigurnosti Zavisno od toga na koju karakteristiku se odnosi, razlikuju se: Stepen sigurnosti u odnosu na zateznu čvrstoću Stepen sigurnosti u odnosu na granicu tečenja M s s M doz T s T s doz Na izbor veličine stepena sigurnosti utiču Tačnost odreďivanja spoljašnjih sila Način dejstva spoljašnjih sila Namena projektovane konstrukcije Zakonska regulativa za odreďene projekte Osobine primenjenih materijala 9

62 //009 Stepen sigurnosti prema vrsti opterećenja. Mirno opterećenje. Jednosmerno promenljivo. Naizmenično promenljivo Stepeni sigurnosti U okviru ovog kursa biće korišćeni stepeni sigurnosti u odnosu na zateznu čvrstoću Biće rešavani primeri sa mirnim opterećenjima 0

63 //009 Stepen sigurnosti Vrednosti stepena sigurnosti u odnosu na zateznu čvrstoću koji se sreću u literaturi: Za čelik termički neobraďen za mirno opterećenje.5- za naizmenično promenljivo 5-6 Za liveno gvožďe za mirno opterećenje -6 za naizmenično promenljivo 5- Primer primene stepena sigurnosti z tablica karakteristika materijala za odreďen materijal očitava se zatezna čvrstoća Primer za Č.0545 s M = MPa s eh =80-00 MPa s s M 500 doz 76 MPa

64 //009 Napon aksijalno napregnutog štapa Napon aksijalno napregnutog dela mora biti manji ili jednak dozvoljenom naponu Normalni napon ili napon kod zatezanja predstavlja količnik aksijalne sile i površine poprečnog preseka s s doz MPa Kod aksijalnog naprezanja postoje tri osnovna zadatka Poznato je opterećenje i poprečni presek štapa i treba odrediti veličinu napona Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka Poznati su poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalne sile s s s doz doz

65 //009 Definisanje veličine napona aksijalno napregnutog štapa Odrediti vrednosti opterećenja odnosno aksijalnu silu koja deluje na štap zračunati površinu poprečnog preseka štapa zračunati napon koji nastaje delovanjem aksijalne sile Uporediti vrednost sa odreďenim dozvoljenim naponom s s doz MPa Dimenzionisanje aksijalno napregnutog štapa Odrediti vrednost aksijalne sile koja deluje na štap Odrediti dozvoljeni napon za odabrani materijal Sračunati potrebnu površinu preseka m s doz

66 //009 Za dimenzionisani štap odrediti vrednost aksijalne sile Odrediti površinu preseka Odrediti dozvoljeni napon za poznati materijal i definisani stepen sigurnosti Sračunati maksimalnu aksijalnu silu s doz N Preporuke pri dimenzionisanju. Veličina aksijalnog opterećenja - statika. Površina poprečnog preseka. Normalni napon za poprečni presek - stepen sigurnosti 4. Za odabrani materijal dozvoljeni napon 5. Veličina poprečnog preseka 6. Veličina opterećenja za poznatu površinu i materijal 4

67 //009 Uticaj temperature na deformacije i napone Pod uticajem toplote sva tela se šire Širenje zavisi od materijala i temperaturne razlike Promena dužine štapa proporcionalna je dužini štapa, vrsti materijala i promeni temperature Uticaj temperature na deformacije i napone l l l l a l t l l l e l l a t 5

68 //009 Uticaj temperature na deformacije i napone Koeficijent linearnog širenja o a C Materijal Čelik luminijum Bakar Mesing Sivi liv o - a [ C ] Unutrašnje sile i naponi usled zagrevanja Ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila Dijagram promene aksijalne sile za statički neodreďen nosač z z a B 0 0 Usled promene toplote nastaje izduženje štapa Pošto izmeďu oslonaca ne dolazi do izduženja, raste napon u samom štapu 6

69 //009 Unutrašnje sile i naponi usled zagrevanja t t t l l a t l e a t l s E e s E a t a s a s o o ko je nastala deformacija u zoni elastičnosti materijala, za postojeću temperaturnu razliku nastala bi dilatacija Prema Hukovom zakonu napon je definisan kao proizvod modula elastičnosti i dilatacije Može se odrediti i unutrašnja sila Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa s ko analiziramo aksijalno napregnut štap i neki presek pod uglom p 7

70 //009 Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa U svakoj tački poprečnog preseka aksijalno napregnutog štapa javlja se normalni napon s, a tangentnog napona t nema s (napon je vektorska veličina ima pravac, smer i intenzitet) U kosom preseku aksijalno napregnutog štapa javlja se totalni napon p p Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa s ko analiziramo aksijalno napregnut štap i neki presek pod uglom p 8

71 //009 Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa ko analiziramo aksijalno napregnut štap i neki presek pod uglom s p s Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa ko analiziramo uočeni normalni presek i kosi presek pod uglom s p p z cos p s p s s 0 cos s cos 9

72 //009 Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa Komponente napona u pravcu normale i tangente na posmatrani kosi presek s s p n t t s p p cos s cos s cos t p psin s sin cos s sin Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa nalizom dobijenih izraza u funkciji ugla s p s cos i t p s sin imajući na umu p s t Najveći normalni naponi su za =0 o s ma =s, a najmanji, odnosno jednaki nuli za =90 o s min =0 Najveći tangencijalni i najmanji naponi su za =45 o t ma,min =+- / s 0

73 //009 Grafički prikaz Morov krug napona s p s cos t p s sin p s t Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa 45 o 90 o Kod krtih materijala (kaljenih čelika, sivog liva ili kamena) prekid je poprečan Kod plastičnih, mekih, materijala (meki čelik, bakar, aluminijum) pucaju pod uglom od 45 o

74 /4/009 Naprezanje u dva pravca Naponi i deformacije Glavni naponi Naprezanje sudova male debljine Naprezanje u dva pravca (ravansko) Zatezanje u dva pravca Pritisak u dva pravca Zatezanje i pritisak (smicanje)

75 /4/009 Zatezanje u dva pravca Tanka ploča, debljine d, napregnuta je silama jednako podeljenim po površinama osnova u pravcu: O ose O ose Zatezanje u dva pravca Veličine sila na jedinicu površine označimo sa s, odnosno s u pravcu O imamo silu X u pravcu O silu Y Sile X ne izazivaju napone u ravni u-u Sile ne izazivaju napone u ravni p-p

76 h /4/009 Hukov zakon Od koordinatnog početka do tačke P (granice proporcionalnosti) postoji proporcionalnost izmeďu napona i dilatacije E s E koeficijent proporcionalnosti MODUL ELSTČNOST ili Jungov modul Dimenzija napona MPa Poasonov koeficijent l m b l pb ph m uzdužna dilatacija p P poprečna dilatacija koeficijent zavisnosti poprečne dilatacije od uzdužne Poasonov koeficijent je neimenovan broj

77 /4/009 Dilatacija u pravcu O Na osnovu pokazanih zavisnosti, dobija se: Pozitivna dilatacija u pravcu O Negativna poprečna dilatacija u pravcu O ose kao posledica istezanja u pravcu O ose Ukupna dilatacija u pravcu O ose s s s m E E E ms s E m s E Dilatacija u pravcu O Na osnovu pokazanih zavisnosti, dobija se: Pozitivna dilatacija u pravcu O Negativna poprečna dilatacija u pravcu O ose kao posledica istezanja u pravcu O ose Ukupna dilatacija u pravcu O ose s s s m E E E ms s E m s E 4

78 /4/009 Dilatacija u pravcu osa O i O s E s m E s ms E s E s m E s ms E Komponentni naponi u kosom preseku zatezanje u dva pravca ko iz tanke ploče, debljine d, napregnute silama jednako podeljenim po površinama osnova u pravcu osa O i O, izdvojimo prizmu male debljine d i ispitamo ravnotežu 5

79 /4/009 Komponentni naponi u kosom preseku =c d cosj =c d sinj Komponentni naponi u kosom preseku zatezanje u dva pravca X i Y i s cd cos j s cb cos j cd sinj 0 n s cd sinj s cb sinj cd cos j 0 n 6

80 /4/009 Komponentni naponi u kosom preseku zatezanje u dva pravca X Y i s cos j sinj s cos j n s sinj cos j s sinj n i s cd cos j s cb cos j cd sinj 0 n s cd sinj s cb sinj cd cos j 0 n Komponentni naponi u kosom preseku zatezanje u dva pravca s cos j sinj s cos j n s sinj cos j s sinj n cos j sinj sin j cos j Saberemo jednačine i dobijamo normalni napon s n s cos j s sin j 7

81 /4/009 Komponentni naponi u kosom preseku zatezanje u dva pravca s cos j sinj s cos j n s sinj cos j s sinj n sinj cos j sinj cosj sin j Oduzmemo drugu jednačinu od prve i dobijamo tangencijalni napon n s s sin j Komponentni naponi u kosom preseku zatezanje u dva pravca s n s cos j s sin j n s s sin j 8

82 /4/009 Komponentni naponi u kosom preseku zatezanje u dva pravca - Morov krug s s sin j n s s cos j s cos j s sin j s n s BD cos j s Pritisak u dva pravca Tanka ploča, debljine d, napregnuta je silama jednako podeljenim po površinama osnova u pravcu: O ose O ose 9

83 /4/009 Dilatacija u pravcu O kod pritiska u dva pravca Na osnovu pokazanih zavisnosti, dobija se: Negativna dilatacija u pravcu O Pozitivna poprečna dilatacija u pravcu O ose kao posledica pritiska u pravcu O ose Ukupna dilatacija u pravcu O ose s s s m E E E ms s E s m E Dilatacija u pravcu O kod pritiska u dva pravca Na osnovu pokazanih zavisnosti, dobija se: Negativna dilatacija, skraćenje, u pravcu O Pozitivna poprečna dilatacija u pravcu O ose kao posledica sabijanja u pravcu O ose Ukupna dilatacija u pravcu O ose s s s m E E E ms s E m s E 0

84 /4/009 Dilatacija u pravcu osa O i O kod pritiska u dva pravca s E s E s s ms m E E s m E s ms E Po apsolutnoj vrednosti ove dilatacije su jednake zbiru dilatacija kod zatezanja u dva pravca samo suprotnog znaka Zatezanje i pritisak Tanka ploča, debljine d, napregnuta je silama jednako podeljenim po površinama osnova u pravcu: O ose O ose

85 /4/009 Dilatacija u pravcu O Na osnovu pokazanih zavisnosti, dobija se: Pozitivna dilatacija u pravcu O Pozitivna poprečna dilatacija u pravcu O ose kao posledica pritiska u pravcu O ose Ukupna dilatacija u pravcu O ose s s s m E E E ms s E s m E Dilatacija u pravcu O Na osnovu pokazanih zavisnosti, dobija se: Negativna dilatacija u pravcu O Negativna poprečna dilatacija u pravcu O ose kao posledica istezanja u pravcu O ose Ukupna dilatacija u pravcu O ose s s s m E E E ms s E m s E

86 /4/009 Dilatacija u pravcu osa O i O s s s ms m E E E s s s ms m E E E Komponentni naponi u kosom preseku zatezanje i pritisak - Morov krug s n s cos j s sin j s s sin j n

87 /4/009 Zatezanje i pritisak Važan slučaj je kada su pritisni i zatežući napon jednaki po apsolutnoj vrednosti s s s Dilatacija u pravcu osa O i O kada su pritisni i zatežući naponi jednaki s s s m s E Po apsolutnoj vrednosti jednake su i dilatacije, samo suprotnog znaka kod po apsolutnoj vrednosti jednakih zatežućih i pritisnih napona m s E 4

88 /4/009 Komponentni naponi u kosom preseku jednakih napona na zatezanje i pritisak - Morov krug s s cos j s sin j s cos j n n s s sin j s sin j Jednaki naponi na zatezanje i pritisak za slučaj j=45 o s s cos j n sin 90 o cos90 o 0 s sin j n s n 0 s n Čisto smicanje 5

89 /9/0 primer zadatka za grafički Momenti inercije složene ravne površi Složena površ čiji moment inercije se traži

90 /9/0 Podeliti na poznate površi Odrediti težište složene površi C C d S d d S d

91 /9/0 z tablica očitati vrednosti momenata za težišne ose svake površi Momenti inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem (Štajnerova teorema) Moment inercije za vantežišne paralelne ose jednak je zbiru sopstvenih momenata inercije (težišnih) i položajnih momenata inercije C C C C Napomena: rastojanja c i c uzimati sa svojim znakom

92 /9/0 Za težišne ose odrediti momente inercije No Za težišne ose odrediti momente inercije No 4

93 /9/0 Za težišne ose odrediti momente inercije No Za težišne ose odrediti momente inercije 5

94 /9/0 Glavni momenti inercije i glavne ose inercije u uv Kako se drugi izraz za moment može dobiti iz prvog zamenom j sa j+90 o analiziraju se drugi i treći izraz cos j sin j sin j cos j Navedeni izrazi su neprekidne funkcije ugla j pa se mogu odrediti ekstremne vrednosti: du sin j cos j 0 dj argument j koji zadovoljava ovu jednačinu obeležimo sa a sin a cos a 0 : cos a tg a Glavne centralne ose inercije tg a U primeru tga<0 6

95 /9/0 Poluprečnici inercije Elipsa inercije 7

96 /9/0 Elipsa inercije za dati primer Smicanje Unutrašnje sile i naponi, deformacije, modul klizanja, dimenzionisanje 8

97 /9/0 Osnovne vrste naprezanja: ksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje Savijanje zvijanje Smicanje ko deluju samo transverzalne (poprečne) sile, naprezanje je čisto smicanje + - 9

98 /9/0 naliza naprezanja u dva pravca, ravansko naprezanje Zatezanje u dva pravca Pritisak u dva pravca Zatezanje i pritisak - odakle se dobija odnos modula elastičnosti i modula klizanja Smicanje Za razliku od dilatacija kod zatezanja, kod čistog smicanja nema promene zapremine već se deformacija ogleda u promeni oblika Deformacija se naziva klizanje i registruje kroz ugao klizanja ili kraće klizanje g Klizanje se može dovesti u vezu sa tangencijalnim naponom Klizanje je vrlo mali ugao

99 /9/0 Modul klizanja Klizanje je srazmerno tangencijalnom naponu Kao i kod aksijalnog naprezanja važi Hukov zakon Koeficijent srazmere naziva se modul klizanja G Gg Veza modula elastičnosti i modula klizanja E G m G modul klizanja MPa E modul elastičnosti MPa m - Poasonov koeficijent MPa

100 /9/0 Poasonov koeficijent i modul elastičnosti Materijal Čelik luminijum Bakar Mesing Sivi liv Beton m [-] 0, 0,4 0, 0,7 0,5 /6 E [ M Pa ] Moduli klizanja i elastičnosti za čelik E E 8 N G 40 m,6 m Pa G=8 0 4 MPa modul klizanja MPa E=, 0 5 MPa - modul elastičnosti m=0, Poasonov koeficijent u starim jedinicama E=, 0 6 kp/cm G=8 0 5 kp/cm 4

101 /9/0 Zatezna čvrstoća i smicajna čvrstoća Kao i kod zatezanja mogu se snimiti dijagrami zavisnosti tangencijalnog napona i klizanja pri čistom smicanju Granica razvlačenja je mnogo niža, oko 80% od granice tečenja kod zatezanja Pošto se u tablicama češće nalaze vrednosti zatezne čvrstoće za odreďeni materijal od vrednosti smicajne čvrstoće koristi se njihov odnos Dozvoljeni napon kod zatezanja Dozvoljeni napon je količnik jačine na kidanje, zatezne čvrstoće materijala, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti doz d M 5

102 /9/0 Dozvoljeni napon kod uvijanja (torzije) Dozvoljeni napon je količnik jačine na torziju, smicajne torzione čvrstoće materijala, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti doz d M Dozvoljeni smičući napon Najčešće se koristi vrednost dozvoljenog napona na zatezanje umanjena na 80% ds 0,75 0, 80 de 6

103 /9/0 Smičući napon Napon dela izloženog smicanju mora biti manji ili jednak dozvoljenom naponu Tangencijalni napon smicanja predstavlja količnik smičuće sile i površine poprečnog preseka doz MPa Primeri čisto smičućeg napona Zakivci i zakovane konstrukcije zrada rezervoara zrada ramnih i nosećih konstrukcija zakivanjem (sada sve češće ustupaju mesto varenim konstrukcijama) n doz lim d Zakivak lim d p = 4 7

104 /9/0 Primeri čisto smičućeg napona Proračun tačkasto zavarenog spoja (jezgro zavarenog spoja čini sočivo stopljenog materijala izloženo čistom smicanju) n doz lim lim d zavareno sočivo lim zavareno sočivo lim d p = 4 Primeri čisto smičućeg napona Primena zavrtnjeva za osiguranje od preopterećenja neke konstrukcije Za prekid pri montaži da bi se sprečila demontaža (montaža brave pod volanom) M 8

105 /9/0 Kod smičućeg naprezanja postoje tri osnovna zadatka. Poznato je opterećenje i poprečni presek smičuće površine i treba odrediti veličinu napona. Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka (broj elemenata). Poznati su poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalne sile smicanja Definisanje veličine napona dela izloženog čistom smicanju Odrediti vrednosti opterećenja odnosno smičuću silu koja deluje na deo zračunati površinu poprečnog preseka dela Sračunati napon koji nastaje delovanjem poprečne sile Uporediti vrednost sa odreďenim dozvoljenim naponom doz MPa 9

106 /9/0 Dimenzionisanje dela napregnutog na smicanje Odrediti vrednost poprečne - smičuće sile koja deluje na deo Odrediti dozvoljeni napon za odabrani materijal Sračunati potrebnu površinu preseka m doz Odrediti smičuću silu koju može da prenese deo Odrediti površinu preseka Odrediti dozvoljeni napon za poznati materijal i definisani stepen sigurnosti Sračunati maksimalnu smičuću (poprečnu) silu doz N 0

107 /9/0 Preporuke pri dimenzionisanju. Veličina smičućeg opterećenja - statika. Površina poprečnog preseka. Tangencijalni napon za poprečni presek 4. Stepen sigurnosti 5. Za odabrani materijal dozvoljeni tangencijalni napon 6. Veličina poprečnog preseka 7. Veličina opterećenja za poznatu površinu i materijal Rezime Spoljašnjoj smičućoj sili suprostavlja se unutrašnja sila - proizvod napona i površine Smičući napon ma ravnomerno je rasporeďen po površini G modul klizanja Hukov zakon: Napon je proporcionalan proizvodu modula klizanja i ugla klizanja Maksimalni smičući napon je količnik sile smicanja i površine poprečnog preseka

108 //009 Uvijanje - torzija Obrtni moment i moment uvijanja Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka Odnos modula elastičnosti i modula klizanja Dimenzionisanje delova izloženih čistom uvijanju Uvijanje - torzija ko u preseku deluje samo moment torzije naprezanje je čisto uvijanje - torzija m m t B - +

109 //009 Definicija uvijanja Uvijanje je naprezanje pri kome se u svakom poprečnom preseku štapa javlja samo moment koji obrće oko ose štapa moment uvijanja ili moment torzije M t Obrtni moment i moment uvijanja Kod štapa koji je izložen uvijanju ili torziji deluje samo moment uvijanja dok ostale unutrašnje sile - aksijalna sila, transverzalna i moment savijanja ne postoje. Uzročnici naprezanja su spoljašnji obrtni momenti koji deluju na štap u ravnima upravnim na njegovu osu

110 //009 Obrtni moment i moment uvijanja d d = d = M d Štap izložen dejstvu dva sprega Da bi štap bio u ravnoteži momenti ovih spregova treba da budu međusobno jednaki po intenzitetu, a suprotnih smerova Obrtni moment i moment uvijanja M R Da bi se odredio unutrašnji moment uvijanja iskorišćena je metoda preseka Štap se preseca zamišljenom ravni R M z

111 //009 Obrtni moment i moment uvijanja Svaki od delova treba da bude u ravnoteži M M t M t =M M t =M M t M To je moguće ako je unutrašnji moment u uočenom preseku jednak obrtnom momentu suprotnog smera Momenti se razlikuju samo po smeru saglasno zakonu akcije i reakcije Obrtni moment i moment uvijanja M M M t + M M z Moment uvijanja M t, unutrašnji moment, smatra se pozitivnim ako obrće u smeru kazaljke na časovniku posmatran iz vrha normale na ravan momenta Dijagram momenta uvijanja analiziranog štapa 4

112 //009 Obrtni moment i moment uvijanja izlaz ulaz izlaz M =knm M =5kNm M =knm M t knm polje M t M + M -knm knm B polje M t Primer transmisije gde se pogoni vratilo sa 5 knm, a na dva izlaza prosleđuje odnosno knm Raspodela torzionog momenta merodavna za određivanje dimenzija vratila i napona u presecima ima izgled kao M na slici -knm Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka a c M g l b' d' q d b Mt C B - Moment uvijanja M t =M deluje u ravni B Nastaje deformacija pa vlakno se ab na spoljašnjem omotaču UVJ na ab, a vlakno cd na cd za ugao g stovremeno se u ravni B zakrene Cd na Cb za ugao q 5

113 //009 Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka a c M g l b' d' q d b Mt C B - z trouglova Dabb i DCbb jednaki lukovi bb Lg=Rq odnosno na nekom prečniku Lg=rq Ugao naginjanja srazmeran je udaljenju od ose r g g za r 0 g 0 R Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka Tangencijalni, smicajni napon po poprečnom preseku se menja po zakonu prave linije Za vlakno koje se poklapa sa geometrijskom osom tangencijalni napon je jednak nuli C Najveći je za r=r, ma = g g r R = r R 6

114 //009 Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka b b' d d' q r C R bb' = R q = lg dd' = r q = lg g = g r R zmeđu tangencijalnog napona i deformacije klizanja postoji odnos =Gg - Hukov zakon Klizanje je srazmerno tangencijalnom naponu G - modul klizanja E modul elastičnosti Hukov zakon s=ee Modul klizanja E G Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka Tangencijalni napon deluje na d, elementarnu površinu na nekom prečniku r Ovo se svodi na elementarnu silu d Zbir momenata elementarnih sila za tačku O daje moment torzije Mt d r C = r R M t rd r d R R o o polarni moment inercije 7

115 //009 Najveći tangencijalni smicajni napon ma M tr 0 M W t 0 MPa = ma maksimalni tangencijalni napon, MPa 0 polarni moment inercije, m 4 W 0 polarni otporni moment W 0 0 R m Ugao uvijanja u rad q M t l G 0 l R G ma rad = ma maksimalni tangencijalni napon, MPa 0 polarni moment inercije, m 4 G modul klizanja, MPa L - dužina, m 8

116 h //009 Ugao uvijanja u stepenima 80 M t l 80 l q G R G 0 ma o = ma maksimalni tangencijalni napon, MPa 0 polarni moment inercije, m 4 G modul klizanja, MPa L - dužina, m Poasonov koeficijent l b l epb eph e - e e uzdužna dilatacija p e P poprečna dilatacija koeficijent zavisnosti poprečne dilatacije od uzdužne Poasonov koeficijent je neimenovan broj 9

117 //009 Poasonov koeficijent i modul elastičnosti Materijal Čelik luminijum Bakar Mesing Sivi liv Beton [-] 0, 0,4 0, 0,7 0,5 /6 E [ M Pa ] Veza modula elastičnosti i modula klizanja G E MPa G modul klizanja, MPa E modul elastičnosti, MPa - Poasonov koeficijent 0

118 //009 Moduli klizanja i elastičnosti za čelik G E E 40,6 N m 8 Pa G=8 0 4 MPa modul klizanja E=, 0 5 MPa - modul elastičnosti =0, Poasonov koeficijent u starim jedinicama E=, 0 6 kp/cm G=8 0 5 kp/cm Zatezna čvrstoća i uvojna (torziona) čvrstoća Pošto se u tablicama češće nalaze vrednosti zatezne čvrstoće za određeni materijal od vrednosti uvojne čvrstoće koristi se njihov odnos M 0,5-0, 6 s M

119 //009 Dozvoljeni napon kod zatezanja Dozvoljeni napon je količnik jačine na kidanje, zatezne čvrstoće, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti s doz s d s M Dozvoljeni napon kod uvijanja (torzije) Dozvoljeni napon je količnik jačine na torziju, smicajne (torzione) čvrstoće, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti doz d M

120 //009 Dozvoljeni torzioni (smicajni) napon Pošto se u tablicama češće nalaze vrednosti dozvoljenog napona na zatezanje koristi se odnos d 0,5-0, 6 s d Dimenzionisanje vratila i štapova pri uvijanju Dimenzionisanje dela prema maksimalnom torzionom naponu - uslov čvrstoće Dimenzionisanje prema dozvoljenom uglu uvijanja po jedinici dužine - uslov deformabilnosti ODBRT NEPOVOLJNJ KRTERJUM ODNOSNO VEĆE DMENZJE

121 //009 Dimenzionisanje prema najvećem torzionom naponu Najveći napon pri uvijanju Dobija se poprečni presek Za kružni poprečni presek ma M t W0 M t WO doz doz D 6 M t doz Dimenzionisanje prema dozvoljenoj deformabilnosti dozvoljeni ugao uvijanja Najveći ugao pri uvijanju rad q doz m Dobija se poprečni presek q M t G0 O M Gq q t ' doz doz Za kružni poprečni presek D M Gq t doz 4

122 //009 Dimenzionisanje Nakon određivanja prethodne dve vrednosti dimenzija poprečnog preseka iz: Uslova čvrstoće Uslova deformabilnosti bira se računom dobijena veća vrednost Kod torzionog naprezanja postoje tri osnovna zadatka. Poznato je opterećenje i poprečni presek štapa i treba odrediti veličinu napona i ugla deformacije. Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka. Poznat je poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalnog torzionog momenta 5

123 //009. Određivanje veličine napona i ugla deformacije Poznato je opterećenje i poprečni presek štapa i treba odrediti veličinu napona i ugla deformacije M t W0 MPa q M t G0 rad. Određivanje veličine poprečnog preseka Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka W O M t doz m O M Gq t ' doz m 4 q doz rad m 6

124 //009. Određivanje veličine torzionog momenta koji deo sme da prenese Poznat je poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalnog torzionog momenta M M t t W 0 O G q doz ' doz Nm M Gq t ' doz q doz rad m Kao merodavna uzima se manja vrednost Veza između obrtnog momenta i snage Kada je poznata snaga koju prenosi analizirani deo (vratilo, štap) poznat je i obrtni moment P M W s M P Nm odnosno J 7

125 //009 Veza između obrtnog momenta i snage Kada je poznata snaga koju prenosi analizirani deo (vratilo, štap) poznat je i obrtni moment n P M 0 W n o min n min - M 0P n Nm Rezime Moment uvijanja jednak je spoljašnjem obrtnom momentu suprotnog smera M t =M Kod uvijanja najviše se deformišu (uvijaju) spoljašnja vlakna, vlakna u osi se ne deformišu Smicajni napon ma najveći je na spoljašnjim vlaknima G modul klizanja Hukov zakon: napon je proporcionalan proizvodu modula klizanja i ugla uvijanja Maksimalni smičući napon je količnik momenta M t torzije i W 0 polarnog otpornog momenta Maksimalni ugao uvijanja je količnik momenta torzije M t i proizvoda modula klizanja i polarnog momenta inercije G 0 8

126 /9/009 Ravni nosači Klasifikacija nosača Klasifikacija opterećenja Sile i momenti u poprečnom preseku Pojam statičkog nosača Nosači su tela, u okviru konstrukcije ili mašine koja primaju opterećenja i prenose ih na oslonce Svako kruto telo vezano za nepokretnu ravan i opterećeno silama, zove se nosač

127 /9/009 Noseće konstrukcije Kućišta mašina Karoserije automobila Noseće konstrukcije graďevinskih mašina Vagoni i cisterne Dizalična postrojenja Pretovarni mostovi Mostovi Nadvožnjaci i podvožnjaci Krovne konstrukcije Dalekovodi Nosači nadzemnih toplovoda Karoserija automobila - nosači složenog oblika kod automobia

128 /9/009 Karoserija automobila - nosači složenog oblika kod automobia Sistem zadnjeg oslanjanja - nosači složenog oblika kod automobila

129 /9/009 Karoserija automobila - nosači složenog oblika kod automobia Podela nosača Prema položaju opterećenja Prema obliku Prema obliku poprečnog preseka 4

130 /9/009 Podela nosača prema položaju opterećenja Ravanske - imaju ravan simetrije i napadne linije svih sila nalaze se u toj ravni Prostorne napadne linije sila koje deluju na nosač ne nalaze se u istoj ravni Podela nosača prema obliku Pune imaju pun poprečni presek. Puni nosači su najčešće prizmatičnog ili cilindričnog oblika Rešetkaste sastavljene od lakih nosača štapova meďusobno zglobno povezanih tako da čine jednu krutu konstrukciju 5

131 /9/009 Podela nosača prema obliku nosača Prosti Složeni Pojam linijskog nosača Ukoliko je dimenzija poprečnog preseka nosača daleko manja od njegove treće dimenzije, onda je takav nosač linijski nosač. Najčešći primeri u mašinstvu su vratila, poluge, osovine Prosti nosači Prosta greda Greda sa prepustima Konzola Okvirni nosač ram Rešetkasti nosač 6

132 /9/009 Primer okvirnog nosača - rama Primer rešetkastog nosača 7

133 /9/009 Prosta greda To je nosač koji je na svojim krajevima vezan nepokretnim i pokretnim osloncem Rastojanje izmeďu oslonaca zove se raspon grede a B z a L Prosta greda sa prepustima To je nosač koji je na svojim krajevima vezan nepokretnim i pokretnim osloncem Rastojanje izmeďu oslonaca zove se raspon grede, a van oslonca prepust, sa jedne ili sa dve strane a B M z e a e L 8

134 /9/009 Konzola To je nosač koji je na svom kraju uklješten M a z a L Složeni nosači dva ili više prostih nosača povezanih zglobovima Gerberova greda Gerberova greda sa prepustima a B G M B Konzola sa Gerberovim zglobom a B G M B Okvirni nosač sa Gerberovim zglobovima ram sa Gerberovim zglobovima M G z a B 9

135 /9/009 Vrste opterećenja Koncentrisano opterećenje dejstvo sile se prenosi na veoma mali deo dužine nosača, kaže se da opterećenje deluje u jednoj tački Kontinualno - teret je rasporeďen po izvesnoj dužini nosača Koncentrisano opterećenje a M B - Koncentrisana sila Moment Spreg sila L 0

136 /9/009 Kontinualno opterećenje B z B z Ravnomerno rasporeďeno na odreďenoj dužini Promenljivo opterećenje na odreďenoj dužini Kontinualno opterećenje q Specifično opterećenje B z q kn/m z Ravnomerno rasporeďeno na odreďenoj dužini q=const. q=q(z) B z z Promenljivo opterećenje na odreďenoj dužini q=q(z) q=q(z) B z

137 /9/009 Vrste delovanja opterećenja Direktno neposredno B ndirektno - posredno B Jednačine ravnoteže za proste nosače Z Y i i M 0 0 i 0 M a B L - a a L M z M B a z L

138 /9/009 Veze i reakcije veza Cilindrični zglob u ravni Cilindrični zglob je veza dva tela sa osovinom u ravni Reakcija veze je ravanska sila j k z Veze i reakcije veza Pokretni cilindrični zglob u ravni Pokretni cilindrični zglob je veza dva tela sa osovinom u ravni i mogućnošću kretanja po ležištu Reakcija veze je normalna sila k z

139 /9/009 Veze i reakcije veza Uklještenje u ravni Veza uklještenja je kada se zavari profil za noseću konstrukciju ili uzida greda u zid Reakcije veze su. Sila u ravni. Moment u ravni M M i 0i j k z Osnovne statičke veličine u poprečnom preseku Transverzalna (poprečna) sila ksijalna (uzdužna) sila Napadni moment Promene osnovnih statičkih veličina duž nosača prikazuju se odgovarajućim dijagramima 4

140 /9/009 Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Konvencija o znacima opterećenja grede Mf + K T Transverzalna sila se definiše kao algebarski zbir svih spoljašnjih sila upravnih na osu grede koje deluju sa leve strane od preseka p-p p 4 p B T Mf + L L T Y D D i T Yi Transverzalna sila se K definiše kao algebarski zbir svih spoljašnjih sila upravnih na osu grede koje deluju sa desne strane od preseka p-p 5

141 /9/009 Konvencija o znacima opterećenja grede Mf + T p 4 T Mf + K p B K L L K Z D i K Z ksijalna sila se ksijalna sila se definiše kao algebarski zbir svih spoljašnjih sila koje deluju u pravcu ose grede sa leve strane od preseka p-p D i definiše kao algebarski zbir svih spoljašnjih sila koje deluju u pravcu ose grede sa desne strane od preseka p-p Konvencija o znacima opterećenja grede Mf + K T D M f M D i Moment savijanja sa leve strane se definiše kao algebarski zbir svih momenata spoljašnjih sila i momenata koji deluju na gredu sa leve strane od preseka p-p p 4 p B T Mf + K L M f M L i Moment savijanja sa desne strane se definiše kao algebarski zbir svih momenata spoljašnjih sila i momenata koji deluju na gredu sa desne strane od preseka p-p 6

142 /9/009 Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju Savijanje Savijanje se najčešće analizira kod nosača već izučavanih u okviru mehanike ili statike Noseće konstrukcije mašina i postrojenja se se po principima statike prevode u prostorne i ravanske proste nosače Opterećenja se prevode u odgovarajuće: koncentrisane sile, kontinualna opterećenja, momente i spregove 7

143 /9/009 Čisto savijanje Ravan savijanja Neutralna ravan Neutralna osa Neutralna (elastična) linija Čisto savijanje ko deluje samo moment savijanja, naprezanje je čisto savijanje Na gredu deluju dva sprega jednakih intenziteta a suprotnih smerova u vertikalnoj ravni m z Bm B 8

144 /9/009 Čisto savijanje proste grede spregovima Spregovi istog intenziteta, a suprotnih smerova deluju u vertikalnoj ravni koja prolazi kroz uzdužnu osu nosača z Ova vertikalna ravan je RVN SVJNJ Horizontalna osa u ravni koja sadrži uzdužnu osu, a upravna je na nju (obeležena sa ) naziva se NEUTRLN OS Čisto savijanje proste grede spregovima 9

145 /9/009 Čisto savijanje proste grede spregovima - M +M B l -M -M -M z Yi Y B 0 Z i M Z Y 0 Z 0 M M l B 0 Y 0 M f M B 0 B TR z TR 0 Čisto savijanje Ovakvo opterećenje grede moguće je ostvariti kod grede sa dva jednaka prepusta na čijim krajevima deluju jednake sile B c l c 0

146 /9/009 Čisto savijanje grede B c Y l B c Yi Y B 0 B Z i M Z 0 Z 0 c Y Y c ll 0 B B Čisto savijanje Statički dijagrami za ovu gredu sa prepustima c Y B B l c polje polje polje Za polje -M -M -M z M f c z z c TR - z - TR 0

147 /9/009 Čisto savijanje Deformacija usled savijanja momentima Pod dejstvom prikazanih spregova greda se deformiše tako što vlakna menjaju svoju dužinu Dužina jednih vlakana se povećava, a dužina drugih se smanjuje Vlakna koja se niti izdužuju niti skraćuju zovu se neutralna vlakna

148 /9/009 Deformacija usled savijanja momentima u ravni savijanja Uočava se i utoliko veće izduženje vlakana ukoliko je vlakno udaljenije od neutralne ose sa spoljašnje strane (a-a veće od b-b) Sa druge strane, sa unutrašnje strane skraćenje vlakana je veće što su vlakna udaljenija od neutralne linije (c-c veće od d-d) Najviše se izdužuju spoljašnja vlakna Deformacija usled savijanja momentima Uočena vlakna čija je dilatacija jednaka nuli (niti se izdužuju niti skraćuju) Neutralna vlakna se pojavljuju po čitavom poprečnom preseku Obrazuju neutralnu površinu Presečna linija ravni savijanja i neutralnih linija savijanja naziva se neutralnom linijom ili ELSTČNOM LNJOM

149 /9/009 Čisto savijanje nastaje Kada je ravan dejstva spregova (ravan savijanja) istovremeno i ravan simetrije grede Kada ravan savijanja prolazi kroz geometrijsku osu z grede Osnovne jednačine savijanja Veza izmeďu aksijalne deformacije i napona jednačina savijanja - promena normalnog napona jednačina savijanja krivina elastične linije 4

150 /9/009 Prizmatična greda opterećena na čisto savijanje Nastaju deformacije izduženja ili skraćenja vlakana Poprečni preseci unutar grede su zaokrenuti jedan u odnosu na drugi Dilatacija posmatranih vlakna na nekom udaljenju od neutralne linije može se dovesti u vezu sa modulom elastičnosti (Hukov zakon) i poluprečnikom krivine elastične linije Prva jednačina savijanja Normalni napon u nekoj tački poprečnog preseka s M moment sprega s M aksijalni moment inercije površine za tu osu udaljenost posmatranog vlakna od ose 5

151 /9/009 Druga jednačina savijanja K R K- krivina elastične linije M moment sprega aksijalni moment inercije površine za tu osu E modul elastičnosti k Μ E Μ B B=E. krutost savijanja grede R k poluprečnik krivine 6

152 /6/009 Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

153 /6/009 Savijanje Savijanje se najčešće analizira kod nosača već izučavanih u okviru mehanike ili statike Noseće konstrukcije mašina i postrojenja se se po principima statike prevode u prostorne i ravanske proste nosače Opterećenja se prevode u odgovarajuće: koncentrisane sile, kontinualna opterećenja, momente i spregove Čisto savijanje Ravan savijanja Neutralna ravan Neutralna osa Neutralna (elastična) linija

154 /6/009 Čisto savijanje ko deluje samo moment savijanja, naprezanje je čisto savijanje Na gredu deluju dva sprega jednakih intenziteta, a suprotnih smerova u vertikalnoj ravni m z Bm B Čisto savijanje proste grede spregovima Spregovi istog intenziteta, a suprotnih smerova deluju u vertikalnoj ravni koja prolazi kroz uzdužnu osu nosača z Ova vertikalna ravan je RVN SVJNJ Horizontalna osa u ravni koja sadrži uzdužnu osu, a upravna je na nju (obeležena sa ) naziva se NEUTRLN OS

155 /6/009 Čisto savijanje proste grede spregovima Čisto savijanje proste grede spregovima - M +M B l -M -M -M z Yi Y B 0 Z i M Z Y 0 Z 0 M M l B 0 Y 0 M f M B 0 B TR z TR 0 4

156 /6/009 5 Čisto savijanje Ovakvo opterećenje grede moguće je ostvariti kod grede sa dva jednaka prepusta na čijim krajevima deluju jednake sile l c c B Čisto savijanje grede B B i Y Y Y i Z Z Z 0 B l l c c M Y B l c c B Y B

157 /6/009 Čisto savijanje Statički dijagrami za ovu gredu sa prepustima c Y B B l c polje polje polje Za polje -M -M -M z M f c z z c - TR - z TR 0 Čisto savijanje 6

158 /6/009 Deformacija usled savijanja momentima Pod dejstvom prikazanih spregova greda se deformiše tako što vlakna menjaju svoju dužinu Dužina jednih vlakana se povećava, a dužina drugih se smanjuje Vlakna koja se niti izdužuju niti skraćuju zovu se neutralna vlakna Deformacija usled savijanja momentima u ravni savijanja Uočava se utoliko veće izduženje vlakana ukoliko je vlakno udaljenije od neutralne ose sa spoljašnje strane (a-a veće od b-b) Sa druge strane, sa unutrašnje strane skraćenje vlakana je veće što su vlakna udaljenija od neutralne linije (c-c veće od d-d) Najviše se izdužuju spoljašnja vlakna 7

159 /6/009 Deformacija usled savijanja momentima Uočena vlakna čija je dilatacija jednaka nuli (niti se izdužuju niti skraćuju) Neutralna vlakna se pojavljuju po čitavom poprečnom preseku Obrazuju neutralnu površinu Presečna linija ravni savijanja i neutralnih linija savijanja naziva se neutralnom linijom ili ELSTČNOM LNJOM Čisto savijanje nastaje Kada je ravan dejstva spregova (ravan savijanja) istovremeno i ravan simetrije grede Kada ravan savijanja prolazi kroz geometrijsku osu z grede 8

160 /6/009 Osnovne jednačine savijanja Veza izmeďu aksijalne deformacije i napona jednačina savijanja - promena normalnog napona jednačina savijanja krivina elastične linije Prizmatična greda opterećena na čisto savijanje Nastaju deformacije - izduženja ili skraćenja vlakana Poprečni preseci unutar grede su zaokrenuti jedan u odnosu na drugi Dilatacija posmatranih vlakana na nekom udaljenju od neutralne linije može se dovesti u vezu sa modulom elastičnosti (Hukov zakon) i poluprečnikom krivine elastične linije 9

161 /6/009 Prva jednačina savijanja Normalni napon u nekoj tački poprečnog preseka s M moment sprega s z M aksijalni moment inercije površine za tu osu udaljenost posmatranog vlakna od ose Druga jednačina savijanja K Rk K- krivina elastične linije M moment sprega aksijalni moment inercije površine za tu osu E modul elastičnosti B=E. krutost savijanja grede R k poluprečnik krivine Μ E Μ B 0

162 /6/009 Prva jednačina savijanja pokazuje da: s z Normalni napon u nekoj tački poprečnog preseka proporcionalan je napadnom momentu M savijanja i udaljenju od neutralne ose Normalni napon je obrnuto proporcionalan momentu inercije poprečnog preseka za neutralnu osu koja se poklapa sa težišnom osom M Prva jednačina savijanja pokazuje da: s z M Kod čistog savijanja napadni moment je u svakom preseku isti, pa normalan napon ne zavisi od koordinate z To znači da ne zavisi i od udaljenosti poprečnog preseka od oslonca Normalni napon ne zavisi od koordinate, što znači da je isti u svim tačkama ravni paralelnoj koordinatnoj ravni z kroz osu grede z

163 /6/009 Prva jednačina savijanja pokazuje da: s z M Normalni napon zavisi samo od udaljenosti vlakana od neutralne ose C U tačkama neutralne ose C, on je jednak 0 Zbog toga se ti naponi nazivaju i ivični naponi Druga glavna jednačina savijanja pokazuje da: Μ Μ K R E B Usled savijanja osa z se krivi i postaje elastična linija grede Druga glavna jednačina služi za odreďivanje krivine te elastične linije Za gredu konstantnog poprečnog preseka i konstantan napadni moment: k K =const.

164 /6/009 Druga glavna jednačina savijanja pokazuje da: K R k Μ E Μ B Krivina elastične linije je konstantna Ovu osobinu ima samo kružni luk koji prolazi kroz oslonce i B. Kod čistog savijanja elastična linija je kružni luk koji prolazi kroz oslonce i B. Savijanje vertikalnim teretima koncentrisanim silama; kontinualnim opterećenjima u vertikalnoj ravni

165 /6/009 Primer grede sa dve koncentrisane sile Y i M B a 4a 6a B 0 0kN B 40kN 0 Primer grede sa dve koncentrisane sile Maksimalni moment savijanja M fma = 80 knm Maksimalna transverzalna sila tma = 40 kn 4

166 /6/009 Promena transverzalne sile i momenta savijanja duž podužne ose nosača: U svakom poprečnom preseku imamo odgovarajuću transverzalnu silu U svakom poprečnom preseku imamo odgovarajući moment savijanja. Transverzalna sila izaziva smicanje Moment savijanja izaziva savijanje nosača oko poprečne težišne ose Jednačine savijanja važe i kod savijanja silama i moraju biti ispunjeni uslovi: Da neutralna linija prolazi kroz težište svih poprečnih preseka Da je neutralna osa težišna osa poprečnog preseka Da je neutralna osa, osa simetrije poprečnog preseka tj. glavna centralna ose inercije preseka. 5

167 /6/009 Glavne jednačine savijanja s z M K R k Μ f E Treća glavna jednačina T S b - Tangencijalni napon grede opterećene na savijanje S - Moment inercije površine za neutralnu osu C b - širina poprečnog preseka za neutralnu osu 6

168 /6/009 Raspored normalnog napona po poprečnom preseku s z M Raspored normalnog napona po poprečnom preseku Odnos / ma zavisi od oblika poprečnog preseka i naziva se OTPORN MOMENT POPREČNOG PRESEK W L ma 7

169 /6/009 Otporni moment različitih ravnih preseka pravougaonik Otporni moment različitih ravnih preseka kvadrat 8

170 /6/009 Otporni moment različitih ravnih preseka Krug i kružni prsten Raspodela tangencijalnog napona po poprečnom preseku S T S T Transverzalna sila - Tangencijalni napon grede opterećene na savijanje - Moment inercije površine za neutralnu osu C - promenljiva širina poprečnog preseka za neutralnu osu 9

171 /6/009 Maksimalni normalni napon nosača izloženog opterećenju na savijanje s ma M ma W Maksimalni normalni napon Maksimalni moment savijanja Otporni moment poprečnog preseka Raspodela tangencijalnog napona po poprečnom preseku pravougaonika ma T ma ma 4 h 0

172 /6/009 Raspodela tangencijalnog napona po poprečnom preseku kruga ma 4 T ma ma R Raspodela tangencijalnog napona po poprečnom preseku limenog nosača ma T ma 0

173 /6/009 Dimenzionisanje nosača opterećenih na savijanje Postoje dva različita zadatka:. Poznato je opterećenje koje deluje na nosač, a treba odrediti vrednosti najvećeg normalnog i tangencijalnog napona koji se javljaju. Poznato je opterećenje, raspon, način oslanjanja i oblik nosača koji se mora upotrebiti, a traže se dimenzije poprečnog preseka OdreĎivanje veličina normalnog i tangencijalnog napona ako je poznato opterećenje s M ma ma W S Najveći normalni napon javlja se u opasnom preseku, u najudaljenijem vlaknu Najveći tangencijalni napon javlja se u preseku u kome je najveća tangencijalna sila Opasni presek najveći moment savijanja i najveća transverzalna sila definišu se iz statičkih dijagrama nosača T

174 /6/009 OdreĎivanje dimenzija poprečnog preseka nosača M ma s s ma W fdoz s ma s fdoz Maksimalni napon manji od dozvoljenog ma s fdoz Prema definisanom opterećenju izračunati otporni moment preseka Po odreďivanju dimenzija proveriti da li je tangencijalni napon manji od dozvoljenog W M ma fdoz Provera tangencijalnih napona Kod čeličnih konstrukcija tangencijalni naponi su vrlo mali pa se ova provera često i ne vrši Proveru obavezno vršiti kod drvenih konstrukcija

175 /6/009 Rezime: Dimenzionisanje nosača Odrediti otpore oslonaca Nacrtati statičke dijagrame i iz njih odrediti najveći napadni moment i najveću transverzalnu silu Prema izabranom materijalu definisati dozvoljene napone na savijanje Odrediti otporni moment poprečnog preseka Proveriti da li su najveći normalni i tangencijalni napon manji od dozvoljenih 4

176 //00 Savijanje elastične linije nalitička metoda odreďivanja elastične linije zračunavanje ugiba i nagiba uz pomoć tablica Prva jednačina savijanja Normalni napon u nekoj tački poprečnog preseka s M moment sprega s z M aksijalni moment inercije površine za tu osu udaljenost posmatranog vlakna od ose

177 //00 Druga jednačina savijanja K Rk K- krivina elastične linije M moment sprega aksijalni moment inercije površine za tu osu E modul elastičnosti Μ E Μ B B=E. krutost savijanja grede R k poluprečnik krivine Diferencijalna jednačina elastične linije Pomoću druge glavne jednačine definisana je krivina elastične linije savijenog nosača z matematike je poznato da se pod krivinom podrazumeva odnos Gde je: R poluprečnik krivine ds elementarni luk K da elementarna promena ugla d s da R Μ E Μ B

178 //00 Nagib tangente krive prema O osi iz matematike Nagib tangente krive f() je prvi izvod funkcije koja predstavlja krivu tg, a da cos a d Kako je element luka krive ds d d d Odatle je krivina K R da ds d cos ds a Diferencijalna jednačina elastične linije Usled savijanja težište nekog preseka se spušta (u peavcu ose) za dužinu koju nazivamo ugib elastične linije (strela) tangenta sa osom z gradi ugao koji se naziva nagib grede

179 //00 Diferencijalna jednačina elastične linije proste grede M E L f M B L f B L M f Gde su: M f moment savijanja u preseku z B = E. savojna krutost grede nalitičko odreďivanje elastične linije Odrediti otpore oslonaca za rešavani nosač Napisati izraze za promenu momenta savijanja u funkciji od podužne koordinate z Proizvod savojne krutosti i drugog izvoda jednak je negativnom momentu savijanja i to predstavlja diferencijalnu jednačinu elastične linije L B M f 4

180 //00 nalitičko odreďivanje elastične linije ntegraljenjem dobija se jednačina promene nagiba u zavisnosti od koordinate z Ponovnim integraljenjem dobija se jednačina promene ugiba u zavisnosti od koordinate z ntegracione konstante odreďuju se iz uslova da su ugibi oslonaca jednaki nuli i kod nosača u nekom preseku na kraju polja promene opterećenja oba kraja moraju imati isti ugib i nagib Primer jednačine elastične linije proste grede Otpori oslonaca polje 0 z a b M z z L polje a z L b M z z a z z a L b L a B L 5

181 //00 Primer jednačine elastične linije proste grede Oba izraza za moment mogu se objediniti a M z z a z z a L Uvedena je Klebšova crta ili masna crta Ona obeležava kraj prvog polja i početak drugog polja Primer jednačine elastične linije proste grede: Diferencijalna jednačina B a B M z L L M f z a z z a zvršiti integraciju u polju pre crte po z u polju posle crte po (z-a) 6

182 //00 7 Primer jednačine elastične linije proste grede ntegracione konstante se uvek stavljaju ispred crte OdreĎuju se iz graničnih uslova a z C z L a B 6 6 a z C z C z L a B 0, 0 0, L z z Primer jednačine elastične linije proste grede a z L C L L a B L Uslov za z=0 pripada prvom polju pa se primenjuje na deo ispred crte C C C L a B Uslov za z=l pripada drugo polju pa se primenjuje ceo izraz briše se crta L b L b C

183 //00 8 Primer jednačine elastične linije proste grede JEDNČN NGB 6 L a z L z L b L b B L Primer jednačine elastične linije proste grede z jednačine ugiba zamenom z=a dobije se ugib ispod sile L b L b B L a z

184 //00 Primer jednačine elastične linije proste grede u osloncima zamenom z = 0 dobijamo nagib u osloncu L a b b a z 0 6 B L L L u osloncima zamenom z = L dobijamo nagib u osloncu B L a b b z L 6 B L L L Elastične linije statički odreďenih nosača U tablicama iz Otpornosti materijala postoje obraďeni karakteristični nosači i definisane jednačine elastične linije, ugiba i nagiba. Za odreďivanje karakteristične vrednosti potrebnog ugiba ili nagiba za konkretan nosač sa definisanim opterećenjima treba koristiti princip superpozicije (sabiranja dejstava) 9

185 //00 Elastične linije statički odreďenih nosača Za posmatrani nosač uočiti koja opterećenja deluju Uzeti kolika su udaljenja opterećenja od oslonaca Za svako opterećenje na nosaču povaditi podatke iz tablica Napraviti konačan zbir na željenoj poziciji Primer rešavanja istog zadatka Primenom metode direktne integracije Korišćenjem gotovih izraza u tablicama 0

186 //00 Postavka zadatka Za datu gredu sa dve sile odrediti ugib ispod sile i ugao nagiba ispod sile Primenom direktne integracije Korišćenjem tablica Za dati nosač OdreĎivanje otpora oslonaca i osnovnih statičkih dijagrama Pošto nije poznat poprečni presek izvršiti dimenzionisanje kako bi se odredila savojna krutost B Poznato je da je greda od čelika s doz =0 MPa i E=. 0 5 MPa, i da je greda kružnog poprečnog preseka

187 //00 Primer grede sa dve koncentrisane sile Maksimalni moment savijanja M fma = 80 knm Maksimalna transverzalna sila tma = 40 kn OdreĎivanje dimenzija poprečnog preseka U datom slučaju Mfma = 80 knm M s W f s doz W Standardno najbliže veće je d=0.m M s f doz 0 d 0. 89m

188 //00 OdreĎivanje dimenzija poprečnog preseka grede Za dobijeno d=0.m moment inercije za osu d Savojna krutost je d B E Nm B 5707,96kNm OdreĎivanje jednačine elastične linije Za odreďene otpore oslonaca napisati izraz za moment savijanja po poljima M z 0 z M z a 0 z 0z z z a z a M z 4

189 //00 Rešavanje zadatka direktnom integracijom Napisati izraze za momente savijanja po poljima zvršiti integraciju po promenljivim Odrediti integracione konstante iz graničnih uslova Odrediti tražene vrednosti nagiba i ugiba OdreĎivanje jednačine elastične linije B zraz za moment predstavlja diferencijalnu jednačinu elastične linije zraz za moment možemo napisati predvajanjem momenata po poljima Klebšovom ili masnom crtom z a z a M z 4 L M f 4

190 //00 OdreĎivanje jednačine elastične linije L B M f Diferencijalna jednačina elastične linije dobija oblik z a z a B z 4 Za konkretan slučaj zamenimo vrednosti B z 50z 4 0 z 0 OdreĎivanje jednačine elastične linije zvršiti integaljenje po promenljivoj z za prvo polje, po (z-) za drugo i (z-4) za treće polje z 50z 4 B 0 z 0 z B 0 C 0 z B 0 Cz C 0 6 z z 4 50 z z

191 //00 OdreĎivanje jednačine elastične linije ntegracione konstante odreďuju se iz graničnih uslova z 0 0 Pošto je to u prvom polju, uzima se izraz do prve Klebšove crte B 0 6 z 0 C 0 C 0 C 0 0 OdreĎivanje jednačine elastične linije ntegracione konstante odreďuju se iz graničnih uslova z L 6 0 Pošto je to u trećem polju, uzima se ceo izraz B z C z C 4800 C

192 //00 OdreĎivanje jednačine elastične linije Konačan oblik za dati primer je z 50z 4 B 0 z 0 z B z z 4 50 B z z 0 z z Prema dobijenim izrazima izračunava se: Ugib ispod sile za koje je z=4, pripada kraju drugog polja, pa se uzima izraz do druge masne crte z B z 0 z z B kNm

193 //00 Prema dobijenim izrazima izračunava se: Nabib ispod sile za koje je z=, pripada kraju prvog polja, pa se uzima izraz do prve masne crte z B z z 4 50 B Prema dobijenim izrazima izračunava se: Ugib ispod sile 40kNm 40kNm 0.057m 5. 7mm B 5707 Nabib ispod sile rad B o 8

194 //00 Rešavanje zadatka korišćenjem tablica Odrediti položaje i uticaj opterećenja Očitati izraze za rešavani zadatak zvršiti zamenu vrednosti u primeru za mesto dejstva sile Prosta greda tab 9

195 //00 Prosta greda Prosta greda 0