Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων
|
|
- Ἀνδρέας Φιλιππίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων
2 Βελτιστοποίηση Μέρος 1a: Συμβατικές Μέθοδοι
3 Βελτιστοποίηση; Maximum Minimum
4 Βελτίωση Δικτύων Ύδρευσης Απώλειες σε νερό: 50% Μήκος αγωγών: Αθήνας 7000 km! Αντικατάσταση; Ποιων; Στόχοι; Νερό; Ενέργεια; Κόστος; Πίεση;
5 Flow(L/s) Total Head (m) Βέλτιστη Λειτουργία Δικτύων Ύδρευσης Βελτιστοποίηση λειτουργίας αντλιών (scheduling) Low Zone SR Levels Peak Tariff Στόχοι; Ενέργεια; Ποιότητα νερού; :00:00 06:30:00 08:00:00 09:30:00 11:00:00 12:30:00 14:00:00 15:30:00 17:00: St Trinians Booster Pump 18:30:00 20:00:00 21:30:00 23:00:00 00:30:00 02:00:00 03:30: :00:00 07:00:00 09:00:00 11:00:00 13:00:00 15:00:00 17:00:00 19:00:00 21:00:00 23:00:00 01:00:00 03:00:00
6 Flood Damage ( ) Flood Consequence Βελτιστοποίηση Αντιπλημμυρικών Έργων και Σχεδίων Επιδιόρθωση δικτύων (ή τοποθέτηση αναχωμάτων) Βέλτιστη παρέμβαση για μείωση του οικονομικού και κοινωνικού κόστους 120, ,000 80,000 Flood Damage Flood Consequence , ,000 20, Inc. pipe diameter Pipe storage Node Baseline storage (2 nodes) Node storage SUDs SUDs (2 nodes & swales) Inc. pipe Pipe diameter storage (3 (3 pipes) pipes) Mitigation Option
7 Ποιο απλά προβλήματα; Ανακύκλωση Νερού Βέλτιστες διαστάσεις συστήματος (δεξαμενές επεξεργασμένου και ανεπεξέργαστου νερού) για την επίτευξη: μέγιστης μείωσης αναγκών σε πόσιμο νερό με το ελάχιστο κόστος και την καλύτερη ποιότητα
8 Βελτιστοποίηση Ενιαίων Συστημάτων: Δίκτυα αποχέτευσης, βιολογικοί καθαρισμοί, υδάτινοι αποδέκτες Sewer network SC3 SC1 SC4 SC2 Wastewater Treatment Plant Activated Sludge Treatment: Primary Clarifier, Aerator, Secondary Clarifier SC5 SC7 Storm Tank SC6 CSO River
9 Βελτιστοποίηση διαχείρισης υδροσυστημάτων Εύηνος Σήραγγα Ευήνου- Μόρνου Μόρνος km Μεγάλη χωρική κλίμακα Γεωτρήσεις Βασιλικών Υδραγωγείο Μόρνου Συστήματα πολλαπλού σκοπού Ανταγωνιστικά κριτήρια (κόστος, αξιοπιστία, καλή ποιότητα νερού) Γεωτρήσεις Υλίκης Βελτιστοποίηση υπό καθεστώς αβεβαιότητας (εισροές, ζήτηση, έργα) Υλίκη Υδραγωγείο Υλίκης Ενωτικό υδραγωγείο ΜΕΝ Μάνδρας Γεωτρήσεις ΒΑ Πάρνηθας ΜΕΝ Μενιδίου Μαραθώνας ΜΕΝ Περισσού ΜΕΝ Κιούρκων
10 Βέλτιστη προσαρμογή (βαθμονόμηση) υδρολογικών μοντέλων Αναπαράσταση σύνθετων φυσικών συστημάτων (λεκάνες απορροής, υδροφορείς) Διεργασίες με έντονη χωρική ετερογένεια Έμμεση εκτίμηση παραμέτρων, μέσω «σύγκρισης» των αποκρίσεων του μοντέλου με μετρήσεις Πχ. με Nash Sutcliffe
11 Objective (Max) Βέλτιστη λύση: όχι πάντα η κορυφή της καμπύλης Αβεβαιότητα στις παραμέτρους Αβεβαιότητα στην αντίληψή μας για το πρόβλημα Μεταβολές στα δεδομένα και τις διεργασίες του συστήματος «Εύρωστη» λύση (robust solution)
12 Προσομοίωση - Βελτιστοποίηση
13 Θεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης Η έννοια της βελτιστοποίησης χρησιμοποιείται (συνήθως) σε προβλήματα λήψης αποφάσεων (decision-making) ή αντίστροφα προβλήματα (calibration), και προϋποθέτει μια διαδοχή από εναλλακτικές επιλογές (alternatives) και αξιολογήσεις (evaluations) των επιπτώσεων κάθε επιλογής. Κάθε επιλογή που ικανοποιεί τους περιορισμούς του προβλήματος καλείται εφικτή (feasible). Το σύνολο των εφικτών επιλογών καλείται εφικτός χώρος ή χώρος αποφάσεων (decision space) ή χώρος αναζήτησης (search space). Αν κάθε εφικτή επιλογή μπορεί να περιγραφεί από ένα σύνολο μεταβλητών ελέγχου (control variables) x = {x 1, x 2,..., x n } και αν σε κάθε τέτοια περιγραφή μπορεί να αντιστοιχιστεί ένα μέτρο επίδοσης (performance measure), τότε ως βέλτιστη (optimal) λαμβάνεται η απόφαση που μεγιστοποιεί το εν λόγω μέτρο. Η μαθηματική έκφραση του μέτρου επίδοσης καλείται αντικειμενική ή στοχική συνάρτηση (objective function) και συμβολίζεται f(x). Το μέτρο επίδοσης μπορεί να περιλαμβάνει ένα ή περισσότερα κριτήρια, οπότε η στοχική συνάρτηση είναι, αντίστοιχα, βαθμωτή ή διανυσματική. Η γενική μορφή της πολυκριτηριακής στοχικής συνάρτησης είναι f(x) = {f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x)}.
14 Το πρόβλημα της βελτιστοποίησης Γενική διατύπωση: min/max f(x) = f(x 1, x 2,, x n ) s.t. g j (x 1, x 2,, x n ),, = 0, για j = 1,, k x i min x i x i max, για i = 1,, n Μορφές αντικειμενικής (ή αλλιώς στοχικής) συνάρτησης: Με συνεχείς ή όχι μεταβλητές ελέγχου (π.χ., ακέραιες, διακριτές) Γραμμική ή μη Προσδιοριστική ή σχοχαστική Κυρτή (μοναδικό ακρότατο) ή μη κυρτή (πολλαπλά ακρότατα) Με αναλυτική ή μη αναλυτική έκφραση της ίδιας καθώς και των παραγώγων της (1 ης και 2 ης τάξης). Με αμελητέο ή σημαντικό φόρτο υπολογισμού (στοχικές συναρτήσεις σε πραγματικές εφαρμογές που αποτιμώνται μέσω προσομοίωσης) Μορφές περιορισμών: Ενσωματωμένοι στη στοχική συνάρτηση Πεδίο ορισμού = όρια μεταβλητών ελέγχου Εφικτός χώρος (πεδίο ορισμού)
15 Kατηγορίες περιορισμών Στη γενική περίπτωση, θεωρούμε ότι το πεδίο αναζήτησης X R n περιγράφεται από μαθηματικούς περιορισμούς (constraints) της μορφής: g(x)=g(x 1, x 2,, x n ), =, 0 Στα μοντέλα, οι σχέσεις ισότητας αντιπροσωπεύουν, κατά κανόνα, εξισώσεις διατήρησης μάζας ή ενέργειας, πρόκειται δηλαδή για αυστηρά διατυπωμένους περιορισμούς που απορρέουν από φυσικούς νόμους. Η απλούστερη κατηγορία περιορισμών είναι σχέσεις της μορφής l x u, που εκφράζουν όρια διακύμανσης παραμέτρων ή περιορισμούς χωρητικότητας. Οι περιορισμοί ορίου αναφέρονται στην βιβλιογραφία ως ρητοί (explicit). Ειδικές κατηγορίες περιορισμών: περιορισμοί ακεραιότητας (integrity), οι οποίοι αναφέρονται σε μεταβλητές ελέγχου που λαμβάνουν αποκλειστικά ακέραιες τιμές. περιορισμοί δυαδικότητας (boolean), όπου X = {0, 1}, με την τιμή x = 0 να αντιστοιχεί σε άρνηση (false) ενώ η τιμή x = 1 υποδηλώνει κατάφαση (true). τελεστές ή λογικές εκφράσεις, όπως if then else, and, or, οι οποίοι κωδικοποιούνται μόνο σε γλώσσα υπολογιστή αριθμήσιμα σύνολα τιμών που υποδηλώνουν «διαθέσιμες» επιλογές (π.χ. σύνολα διαμέτρων εμπορίου σε προβλήματα βελτιστοποίησης δικτύων).
16 Χώρος αναζήτησης x 2 Κυρτός, υπερεπίπεδος x 2 Κυρτός, μη γραμμικός x 2 max x 2 min x 1 min x 1 max x 1 x 1 x 2 Μη κυρτός, συνεχής x 2 Μη κυρτός, μη συνεχής x 1 x 1 Ευστρατιάδης Α. & Μακρόπουλος Χ., (2016), Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Υδροπληροφορική
17 Ακρότατα (βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς) Έστω συνάρτηση f(x) ορισμένη στο R n που είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της και έχει συνεχείς μερικές παραγώγους δευτέρας τάξεως. Κάθε σημείο μηδενισμού του διανύσματος κλίσης της συνάρτησης, δηλαδή κάθε σημείο x * για το οποίο: ονομάζεται στάσιμο (stationary). f(x * ) = grad f(x * ) = 0 Στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι κυρτή, η f έχει μοναδικό στάσιμο σημείο που αντιστοιχεί στο ολικό ακρότατο αυτής (ελάχιστο ή μέγιστο). Κατά συνέπεια, αν μια συνάρτηση ικανοποιεί την αναγκαία συνθήκη της στασιμότητας ( f(x * ) = 0) και την ικανή συνθήκη κυρτότητας, τότε παρουσιάζει μοναδικό (ολικό) ακρότατο στο σημείο x *. Αν η συνάρτηση είναι μη κυρτή, τότε έχει περισσότερα του ενός στάσιμα σημεία, καθένα από τα οποία μπορεί να είναι τοπικό ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο ή σημείο σέλας.
18 Ακρότατα συναρτήσεων
19 Χώρος απόκρισης f(x) Θέση ακροτάτου Περιοχή «αυχένα» f(x 1, x 2 ) x x
20 Τοπικά και ολικά ακρότατα f(x 1, x 2 ) = x 12 + x 2 2 Τοπικό ελάχιστο (x 1*, x 2* ) = (0.618, 0.371), f * = Σημείο σέλας Ολικό ελάχιστο (x 1*, x 2* ) = (0, 0), f * = 0 Ολικό ελάχιστο (x 1*, x 2* ) = (0.314, 0.705), f * = f(x 1, x 2 ) = 0.5(1.1x 1 x 2 ) (x 1 0.5)(x 2 0.5)
21 Παραδείγματα μη κυρτών συναρτήσεων Ευστρατιάδης Α. & Μακρόπουλος Χ., (2016), Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Υδροπληροφορική
22 Ακρότατα (βελτιστοποίηση με περιορισμούς) Έστω συνάρτηση f(x), με k περιορισμούς της μορφής g(x) := [g 1 (x),..., g k (x)] T 0. Το σημείο x * είναι η ολικά ελάχιστη λύση της f εφόσον ικανοποιεί τους περιορισμούς και επιπλέον υπάρχει διάνυσμα μη αρνητικών συντελεστών λ = (λ 1,..., λ k ) Τ τέτοιο ώστε: λ i g i x = 0, για καθε i = 1,, k df(x ) dg x λτ = 0 T dx dx Οι παραπάνω εκφράσεις, που είναι αναγκαίες προϋποθέσεις ύπαρξης ακροτάτου ενός προβλήματος με περιορισμούς, είναι γνωστές ως συνθήκες Kuhn-Tucker. Οι συνθήκες Kuhn-Tucker είναι ικανές και αναγκαίες για την ύπαρξη ολικού ελαχίστου της f, εφόσον τόσο η συνάρτηση όσο και οι περιορισμοί είναι κυρτές συναρτήσεις. Κάθε πρόβλημα βελτιστοποίησης με περιορισμούς μπορεί να αναχθεί σε πρόβλημα χωρίς περιορισμούς, με θεώρηση της βοηθητικής συνάρτησης: φ x, λ = f x k i=1 λ i g i x, x R n Δεδομένου ότι λ i g i (x * ) = 0 για κάθε i, το ολικό ακρότατο της φ(x, λ) ταυτίζεται με το ολικό ακρότατο της f(x), δηλαδή φ(x *, λ * ) = f(x * ). Η επίλυση του μετασχηματισμένου προβλήματος γίνεται θεωρώντας ως μεταβλητές ελέγχου τις αρχικές παραμέτρους x καθώς και τους συντελεστές λ (πολλαπλασιαστές Lagrange).
23 Εφαρμογή Έστω ότι ένα εργοστάσιο αφαλάτωσης χρειάζεται για να λειτουργήσει h = 20 /ώρα για το κόστος εργασίας και s = 170 /τόνο για χημικά. Έστω, ότι το συνολικά του έσοδα περιγράφονται από την παρακάτω εξίσωση: R(h, s) = 200h 0.5 s 0.2 Αν ο συνολικός διαθέσιμος προϋπολογισμός είναι Π 0 = Να βρείτε τις παραμέτρους h, s που αποδίδουν τα μέγιστα συνολικά έσοδα? Περιορισμός: Π 0 = 20h + 170s ή 20h + 170s Π 0 = 0
24 φ h, s, λ = 200h 0.5 s 0.2 λ(20h + 170s Π 0 ) dφ dh = 0 = 100h 0.5 s λ Εφαρμογή: Επίλυση dφ ds = 0 = 20h0.5 s λ dφ dλ = 0 = 20h 170s + Π 0 Π 0 = 20h + 170s Αφού, Π 0 = τότε μένει να λύσουμε ένα σύστημα 3 αγνώστων και 3 εξισώσεων. Λύνοντας το παραπάνω σύστημα για οποιαδήποτε τιμή Π 0 παίρνουμε τη βέλτιστη λύση των h, s.
25 Εφαρμογή: Υδραυλικά βέλτιστες διατομές
26 Εφαρμογή: Βέλτιστη ορθογωνική διατομή
27 Χειρισμός περιορισμών μέσω συναρτήσεων ποινής Η ύπαρξη περιορισμών σε ένα μη γραμμικό πρόβλημα βελτιστοποίησης δυσχεραίνει εξαιρετικά την διαδικασία βελτιστοποίησης, καθώς προϋποθέτει: την αναλυτική έκφραση των παραγώγων της στοχικής συνάρτησης και των περιορισμών (ώστε να μπορούν να διατυπωθούν οι συνθήκες Kuhn-Tucker) την εύρεση των στάσιμων σημείων της βοηθητικής συνάρτησης, δηλαδή των διανυσμάτων x * και λ * (αναγκαία συνθήκη στασιμότητας) την ισχύ της ικανής συνθήκης κυρτότητας. Εναλλακτικά, οι περιορισμοί ενσωματώνονται στη στοχική συνάρτηση ως συναρτήσεις ποινής (penalty functions). Στην περίπτωση αυτή, ορίζεται ένα μετασχηματισμένο πρόβλημα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς, της μορφής: όπου p i (x) 0 κατάλληλα ορισμένη συνάρτηση, τέτοια ώστε p i (x) = 0 αν g i (x) 0, και p i (x) > 0 αν g i (x) > 0. Μειονέκτημα της παραπάνω προσέγγισης είναι: ο αυθαίρετος ορισμός των συναρτήσεων p i (x) η ύπαρξη ασυνέχειας στο όριο του εφικτού χώρου (συνήθως δεχόμαστε p i (x) 0 αν δεν παραβιάζεται ο περιορισμός ή παραβιάζεται οριακά, και p i (x) >> 0 αλλιώς).
28 Γεωμετρική ερμηνεία συναρτήσεων ποινής Παρατήρηση: Ενώ με την προσθήκη των όρων ποινής αίρονται όλοι οι περιορισμοί, οπότε ο εφικτός χώρος ταυτίζεται με το R n, αλλοιώνεται η επιφάνεια απόκρισης της στοχικής συνάρτησης, η γεωμετρία της οποίας γίνεται γενικά πιο πολύπλοκη.
29 Παράδειγμα: Βέλτιστη κατανομή υδατικών πόρων Ταμιευτήρας χρησιμοποιείται για την ύδρευση ενός οικισμού και την άρδευση δύο αγροτικών περιοχών. Η ολική ποσότητα νερού πουδιατίθεται ανά έτος είναι 10 hm 3, ενώ η παροχετευτικότητα του κύριου αρδευτικού υδραγωγείου, ανηγμένη σε ετήσια βάση, ανέρχεται σε 6 hm 3. Για λόγους πολιτικής πρέπει να δοθούν τουλάχιστον 2 hm 3 για την ύδρευση και από 1 hm 3 για τις δύο αρδευτικές χρήσεις. Να εκτιμιθεί η βέλτιστη κατανομή νερού για τις τρείς χρήσεις, ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος από αυτό. Δίνονται οι συναρτήσεις απόδοσης για τις τρεις χρήσεις: f 1 x 1 = 4x f 2 x 2 = 5exp(0.3x 2 1) f 3 x 3 = 15 2x Ταμιευτήρας Οικίσκος Αγροτική περιοχή Α Αγροτική περιοχή Β Κύριο αρδευτικό υδραγωγείο
30 Μεταβλητές ελέγχου: ποσότητες που διατίθεται για ύδρευση (x 1 ), άρδευση περιοχής Α (x 2 ) και άρδευση περιοχής Β (x 3 ). Αντικειμενική συνάρτηση (= οικονομικό όφελος, προς μεγιστοποίηση): f x 1, x 2, x 3 = 4x exp 0.3x x Φυσικοί περιορισμοί : Συνολική ποσότητα που διατίθεται: x 1 +x 2 +x 3 =10 Παροχετευτικότητα κύριου αρδευτικού υδραγωγείου: x 2 +x 3 6 Λειτουργικοί περιορισμοί : Ελάχιστη απαίτηση για ύδρευση: x 1 2 Ελάχιστη απαίτηση για άρδευση περιοχής Α: x 2 1 Ελάχιστη απαίτηση για άρδευση περιοχής Β: x 3 1
31
32
33
34 Αν δεν υπήρχαν περιορισμοί, η βέλτιστη λύση θα ήταν? Εξαιτίας του εξισωτικού περιορισμού, η βέλτιστη λύση βρίσκεται πάνω σε ένα επίπεδο ποιο;
35 Επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης Επίλυση με εξονυχιστική απαρίθμηση όλων των λύσεων. Με τυχαία αναζήτηση (Random Search) Επίλυση με αναλυτικές, μαθηματικές μεθόδους (hill climbing) Επίλυση με δυναμικό προγραμματισμό, με διάσπαση του προβλήματος σε στάδια και διακριτοποίηση του πεδίου ορισμού των μεταβλητών. Επίλυση με γραμμικό προγραμματισμό, με «γραμμικοποίηση» της αντικειμενικής συνάρτησης. Επίλυση με μη γραμμικές τεχνικές (π.χ. εξελικτικοί αλγόριθμοι), με ενσωμάτωση των περιορισμών ως όρων ποινής στη αντικειμενική συνάρτηση.
36 Εξονυχιστική Απαρίθμηση Επιλέγεται ένα βήμα διακριτοποίησης των μεταβλητών ελέγχου (π.χ. 1 hm 3 ), το οποίο προσδιορίζει την ακρίβεια προσέγγισης της βέλτιστης λύσης. Εξετάζονται όλοι οι συνδυασμοί λύσεων, δηλαδή 11 3 = 1331 συνδυασμοί, και απορρίπτονται αυτοί που παραβιάζουν τους περιορισμούς ως μη εφικτοί. Από το σύνολο των εφικτών λύσεων, εντοπίζεται αυτή που μεγιστοποιεί την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. f 1 x 1 = 4x f 2 x 2 = 5exp(0.3x 2 1) f 3 x 3 = 15 2x Ταμιευτήρας Οικίσκος Κύριο αρδευτικό υδραγωγείο Περιορισμοί: x 1 +x 2 +x 3 =10 x 2 +x 3 6 x 1 2 x 2, x 3 1 Αγροτική περιοχή Α Αγροτική περιοχή Β f x 1, x 2, x 3 = 4x exp 0.3x x 3 0.5
37 Κόστος μιας τέτοιας προσέγγισης Απαιτούμενος αριθμός δοκιμών για n = 10 και δ = hm 3 : περίπου 10 40!!! Απαιτούμενος αριθμός δοκιμών με εξελικτικό αλγόριθμο: 10 3 έως 10 4
38 Τυχαία Αναζήτηση maxf=0 For j=1 to n x2=rand[εφικτό] x3=rand[εφικτό] x1=10-x2-x3 Calculate: f(x1,x2,x3) IF f(x1,x2,x3) > maxf maxf= f(x1,x2,x3) maxx1=x1 maxx2=x2 maxx3=x3 end Next j n: αριθμός επαναλήψεων (Δυστυχώς μεγάλος και το αποτέλεσμα δεν είναι εγγυημένο)
39 Αναλυτικές μέθοδοι (gradient or hill-climbing methods) Βασίζονται στις μερικές παραγώγους των συναρτήσεων Προϋποθέτουν συνέχεια, ύπαρξη παραγώγων και μοναδικού ελάχιστου Καταλήγουν σε τοπικά βέλτιστα
40 Πρόβλημα Έχουμε ένα ποτάμι και 3 εργοστάσια που ανήκουν στην ίδια εταιρεία και φτιάχνουν διαφορετικά προϊόντα (που χρειάζονται όσο περισσότερο νερό γίνεται στη διαδικασία παραγωγής). Εργοστάσια j = 1, 2 and 3 Κατανομή νερού x j και R (η οικολογική παροχή) Ποια κατανομή μεγιστοποιεί το συνολικό καθαρό κέρδος της εταιρείας; (Σj NB j (x j ). Το συνολικό νερό περιορίζεται σε μια ποσότητα. Υποθέστε ότι το καθαρό κέρδος NB j (x j ), από το νερό x j για κάθε εργοστάσιο j, είναι:
41 Επίλυση με Αναλυτική μέθοδο (κλίσεις- gradients) Μπορούμε να υπολογίσουμε το βέλτιστο σημείο για κάθε εργοστάσιο ξεχωριστά (το μέγιστο της συνάρτησης: df/dx=0) dnb(x 1 )/dx 1 =0 για x 1 = 3 (x 2 =2.33, x 3 =8) Σύνολο: Τι γίνεται όμως αν έχουμε μόνο 6; Προφανώς η απλή ανάλυση δεν αρκεί (η λύση είναι ανέφικτη).
42 Hill Climbing Αναλυτική μέθοδος. Η μέθοδος διαιρεί το διαθέσιμο Q σε ΔQ Κατανέμει το κάθε ΔQ με τρόπο ώστε να προκύπτει η μέγιστη σχετική αύξηση του καθαρού κέρδους για το ΔQ. Η διαδικασία δουλεύει εδώ γιατί οι συναρτήσεις είναι κοίλες: το σχετικό κέρδος μειώνεται όσο περισσότερο νερό κατανέμεται νερού.
43 Διάγραμμα ροής ενός αλγορίθμου «hill climbing» R: οικολογική παροχή
44 Επίλυση (για Qmax=8, R=2) dnb/dx Όσο μικρότερο το ΔQ, τόσο πιο ακριβές το αποτέλεσμα Η διαδικασία σταματά όταν η μέγιστη σχετική αύξηση είναι ισο-μοιρασμένη
45 Μικρό ΔQ καλύτερη κατανομή
46 Πολιτική κατανομής στα εργοστάσια; Επιλύσαμε γι' αυτό (1,1,4,R) Ποιο είναι αυτό το σημείο;
47 Λύση με πολλαπλασιαστές Lagrange Ας υποθέσουμε ότι το κέρδος των εργοστασίων B j (x j ), καθορίζεται εν μέρει από τη ποσότητα του προϊόντος που παράγει και τη τιμή μονάδας. Όπως πριν, το νερό είναι ο περιοριστικός παράγοντας. Η ποσότητα του παραγόμενου προϊόντος p j, από κάθε εργοστάσιο j εξαρτάται από το νερό x j, που παίρνει το εργοστάσιο. P j (x j ) είναι ο μέγιστος αριθμός προϊόντος, p j, που μπορεί να παράγει το εργοστάσιο j αν πάρει νερό x j. (Συναρτήσεις παραγωγής: γενικά κοίλες = όσο αυξάνει το x j, η κλίση dp j (x j )/dx j, της συνάρτησης παραγωγής μειώνεται).
48 Δεδομένα Συναρτήσεις Παραγωγής Συναρτήσεις Κόστους Παραγωγής Τιμές Μονάδας: όσο μικρότερη η τιμή τόσο περισσότερο προϊόν μπορούν να πουλήσουν
49 Αντικειμενική Συνάρτηση Περιορισμοί: Σχέση νερού και παραγωγής
50 Επίλυση Μπορούμε (αρχικά) να βρούμε το μέγιστο καθαρό κέρδος για κάθε εργοστάσιο θεωρώντας ότι δεν υπάρχει πρόβλημα διαθέσιμου νερού: Και να υπολογίσουμε που μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος για κάθε εργοστάσιο:
51 Προκύπτει p 1 =3.2, p 2 =4.0, p 3 =3.9 Μέγιστο καθαρό κέρδος Αυτό θέλει x 1 =10.2, x 2 =13.6 και x 3 =14.5 = 38.3 μονάδες παροχής. Αν έχουμε λιγότερο; Πρέπει να προσθέσουμε τους περιορισμούς σαν ισότητες: Θυμηθείτε ότι: Περιορισμοί: Σχέση νερού και παραγωγής
52 Όμως, από Kuhn-Tucker: Δεδομένου ότι λ i g i (x * ) = 0 για κάθε i, το ολικό ακρότατο της φ(x, λ) ταυτίζεται με το ολικό ακρότατο της f(x), δηλαδή φ(x *, λ * ) = f(x * ). Πολλαπλασιαστές Lagrange
53 Παίρνοντας παραγώγους ως προς τους 10 αγνώστους προκύπτουν 10 εξισώσεις: Τι κάνουμε εδώ; Μεγιστοποιούμε την αντικειμενική συνάρτηση ( f(x * )=0)
54 Οι οποίες μπορούν να επιλυθούν σαν σύστημα (βλ. μαθηματικά 1 ου -2 ου εξαμήνου) για διαφορετικές τιμές του Q
55 Προσοχή: Δεν είναι σίγουρο ότι έχουμε πραγματικά βέλτιστη λύση με αναλυτικές μεθόδους (μπορεί να είναι τοπικά ακρότατα). Οι πολλαπλασιαστές δεν διαχωρίζουν μέγιστα από ελάχιστα (απλά df/dx=0), άρα πρέπει να προσέχετε τη μορφή της συνάρτησης.
Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Χρήστος Μακρόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης και κλασικές μαθηματικές μέθοδοι
Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Υδροπληροφορική Θεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης και κλασικές μαθηματικές μέθοδοι Ανδρέας Ευστρατιάδης & Χρήστος Μακρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Μέρος b: Συμβατικές Μέθοδοι συνέχεια Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος Στόχος βελτιστοποίησης:
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Διαχείριση Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Μέρος b: Συμβατικές Μέθοδοι συνέχεια Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος Στόχος βελτιστοποίησης: Εύρεση
Διαβάστε περισσότερα3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση με περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής Διάλεξη 9-10 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραΤο µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα
Ερευνητικό έργο: Εκσυγχρονισµός της εποπτείας και διαχείρισης του συστήµατος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ανδρέας Ευστρατιάδης και Γιώργος Καραβοκυρός Τοµέας
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Υδατικών Πόρων Πολυκριτηριακή ανάλυση
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Πολυκριτηριακή ανάλυση Ανδρέας Ευστρατιάδης & Δημήτρης Κουτσογιάννης Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Αθήνα Άδεια
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας
Ημερίδα της ΕΥΔΑΠ για την Παγκόσμια Ημέρα Νερού Αθήνα, 22 Μαρτίου 2001 Συστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας Δημήτρης Κουτσογιάννης
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας
Ημερίδα της ΕΥΔΑΠ για την Παγκόσμια Ημέρα Νερού Αθήνα, 22 Μαρτίου 2001 Συστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας Δημήτρης Κουτσογιάννης
Διαβάστε περισσότερα4.γ. μερική επανάληψη, εισαγωγή στη βελτιστοποίηση υδατικών συστημάτων. Δρ Μ.Σπηλιώτης
4.γ. μερική επανάληψη, εισαγωγή στη βελτιστοποίηση υδατικών συστημάτων Δρ Μ.Σπηλιώτης Ολοκληρωμένη διαχείριση υδατικών πόρων (integrated water resources management), έμφαση στην εξέταση όλων των πτυχών
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην υδροπληροφορική και βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων
Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Υδατικών Πόρων Υδροπληροφορική Εισαγωγή στην υδροπληροφορική και βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Ανδρέας Ευστρατιάδης, Χρήστος Μακρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην υδροπληροφορική και βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων
Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Υδατικών Πόρων Υδροπληροφορική Εισαγωγή στην υδροπληροφορική και βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Ανδρέας Ευστρατιάδης, Χρήστος Μακρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση προβληµάτων
Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Ταμιευτήρα
Διαχείριση Ταμιευτήρα Μονοκριτηριακή βελτιστοποίηση Διαχείριση υδατικών πόρων Ανάγκη σύνθεσης επιστημών Σημερινό μάθημα: έμφαση στη χρήση εννοιών και μεθόδων από την επιχειρησιακή έρευνα Κουτσογιάννης,
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Χρήστος Μακρόπουλος Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΜΠ Tα Διαχειριστικά Προβλήματα Μοντέλα που επιβάλουν τους περιορισμούς
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Βασικός τελικός στόχος κάθε επιστηµονικής τεχνολογικής εφαρµογής είναι: H γενική βελτίωση της ποιότητας του περιβάλλοντος Η βελτίωση της ποιότητας ζωής Τα µέσα µε τα
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Υδατικών Πόρων Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Δημήτρης Κουτσογιάννης Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια
Διαβάστε περισσότεραΥ ΡΟΓΑΙΑ. Λογισµικό ιαχείρισης Υδατικών Πόρων. Υ ΡΟΝΟΜΕΑΣ: : Βέλτιστη διαχείριση υδροσυστηµάτων
Υ ΡΟΓΑΙΑ Λογισµικό ιαχείρισης Υδατικών Πόρων Υ ΡΟΝΟΜΕΑΣ: : Βέλτιστη διαχείριση υδροσυστηµάτων Υ ΡΟΓΑΙΑ: Υδρονοµέας Hydria Ζυγός Μοντέλο υδρολογικού ισοζυγίου λεκάνης Ρύπος Εκτίµηση ρυπαντικών φορτίων Ηριδανός
Διαβάστε περισσότεραΑστικά υδραυλικά έργα
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 14: Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής
Κεφάλαιο 14: Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής Έλεγχος λειτουργίας δικτύων διανομής με χρήση μοντέλων υδραυλικής ανάλυσης Βασικό ζητούμενο της υδραυλικής ανάλυσης είναι ο έλεγχος
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο
Διαβάστε περισσότερα1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση δικτύων διανομής
Υδραυλική & Υδραυλικά Έργα 5 ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Ανάλυση δικτύων διανομής Χρήστος Μακρόπουλος, Ανδρέας Ευστρατιάδης & Παναγιώτης Κοσσιέρης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά θέµατα δικτύων διανοµής
Ειδικά θέµατα δικτύων διανοµής Σηµειώσεις στα πλαίσια του µαθήµατος: Τυπικά υδραυλικά έργα Ακαδηµαϊκό έτος 2005-06 Ανδρέας Ευστρατιάδης & ηµήτρης Κουτσογιάννης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ Ακρότατα Δρ. Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. TEI Δυτικής Ελλάδας 2 Ακρότατα συνάρτησης Έστω συνάρτηση f A R 2 R και ένα σημείο P(x, y ) A. Η τιμή f(x, y )
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη χρήση μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης. Η μέθοδος του μητρώου μοναδιαίας απόκρισης Νικόλαος
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Εφαρμογές μαθηματικού προγραμματισμού στη διαχείριση των υδατικών πόρων Νικόλαος Θεοδοσίου- Αν. καθηγήτης Α.Π.Θ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση
Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 4: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραΣχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού
3ο Πανελλήνιο Επιστημονικό Συνέδριο Χημικής Μηχανικής Αθήνα,, IούνιοςI 200 Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού Γιώργος Μαυρωτάς Δανάη
Διαβάστε περισσότεραmax f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0
Μαθηματικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης - Εστιάζουμε στο ακόλουθο πρόβλημα μεγιστοποίησης μιας αντικειμενικής συνάρτησης f υπό ένα σύνολο ανισοτικών περιορισμών: max f( x,..., x ) { x,..., x } 1 n 1 st. :
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Τα μαθηματικά της αριστοποίησης ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ. Τιμή μιας παραγώγου σ ένα σημείο. Παράγωγοι
Κεφάλαιο ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Τα μαθηματικά της αριστοποίησης Πολλές οικονομικές θεωρίες ξεκινούν με την υπόθεση ότι ένα άτομο ή επιχείρηση επιδιώκουν να βρουν την άριστη τιμή μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου
EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Υπολογιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης και Σχεδιασμού Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου Διδάσκων:
Διαβάστε περισσότεραΗ επίδραση της δειγματοληπτικής αβεβαιότητας των εισροών στη στοχαστική προσομοίωση ταμιευτήρα
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Η επίδραση της δειγματοληπτικής αβεβαιότητας των εισροών στη στοχαστική προσομοίωση ταμιευτήρα Ελένη Ζαχαροπούλου
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Αναλυτικές τεχνικές - Ειδικά θέματα θεωρίας - Λύση ασκήσεων πράξης ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Τι μάθαμε μέχρι τώρα: Να επιλύουμε
Διαβάστε περισσότεραυναµικός προγραµµατισµός
υναµικός προγραµµατισµός Σηµειώσεις στα πλαίσια του µαθήµατος: Βελτιστοποίηση συστηµάτων υδατικών πόρων Ανδρέας Ευστρατιάδης και ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραυναµικός προγραµµατισµός
υναµικός προγραµµατισµός Σηµειώσεις στα πλαίσια του µαθήµατος: Βελτιστοποίηση συστηµάτων υδατικών πόρων Ανδρέας Ευστρατιάδης και ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017 Αντικειμενικοί στόχοι Η μελέτη των βασικών στοιχείων που συνθέτουν ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια: Δρ Μ. Σπηλιώτης Κείμενα σχήματα Τσακίρης 2008 Και κατά τις παραδόσεις του Κ.Κ.Μπέλλου
Συλλογικά δίκτυα κλειστών αγωγών υπό πίεση Βελτιστοποίηση Επιμέλεια: Δρ Μ. Σπηλιώτης Κείμενα σχήματα Τσακίρης 2008 Και κατά τις παραδόσεις του Κ.Κ.Μπέλλου Γενικές αρχές Συλλογικό: Μόνιμοι αγωγοί με σκάμμα
Διαβάστε περισσότεραΑπό το μεμονωμένο υδραυλικό έργο στο υδροσύστημα: Το παράδειγμα του υδρολογικού σχεδιασμού των έργων Ευήνου
Από το μεμονωμένο υδραυλικό έργο στο υδροσύστημα: Το παράδειγμα του υδρολογικού σχεδιασμού των έργων Ευήνου Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΑπό το μεμονωμένο υδραυλικό έργο στο υδροσύστημα: Το παράδειγμα του υδρολογικού σχεδιασμού των έργων Ευήνου
Από το μεμονωμένο υδραυλικό έργο στο υδροσύστημα: Το παράδειγμα του υδρολογικού σχεδιασμού των έργων Ευήνου Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός
Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Καταναλωτή. Υποδειγματοποίηση της συμπεριφοράς του καταναλωτή. Βασική έννοια: Βελτιστοποίηση υπό περιορισμό.
Θεωρία Καταναλωτή Υποδειγματοποίηση της συμπεριφοράς του καταναλωτή. Βασική έννοια: Βελτιστοποίηση υπό περιορισμό. Προτιμήσεις (preferences) Εισοδηματικός περιορισμός (budget constraint) Άριστη επιλογή
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ - Εφικτός χώρος λύσεων - Συνάρτηση Lagrange - Γενικές συνθήκες ECM ΣΥΝΘΗΚΕΣ CONSTRAINED Ιδιαιτερότητες των προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότερα1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος
Περίγραμμα διάλεξης 5 Βιβλίο Chiang και Wainwright (κεφ 74,75,76) 1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος Έστω η συνάρτηση (x) όπου x R ή εναλλακτικά γράφουμε ( 1 2 ) Το διάνυσμα x περιέχει τις ανεξάρτητες
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.
Διαβάστε περισσότερα15η Πανελλήνια Συνάντηση Χρηστών Γεωγραφικών Συστηµάτων Πληροφοριών ArcGIS Ο ΥΣΣΕΥΣ
15η Πανελλήνια Συνάντηση Χρηστών Γεωγραφικών Συστηµάτων Πληροφοριών ArcGIS Ο ΥΣΣΕΥΣ Ολοκληρωµένη ιαχείριση Υδατικών Συστηµάτων σε Σύζευξη µε ΕξελιγµένοΥπολογιστικόΣύστηµα Υ ΡΟΓΕΙΟΣ: Μοντέλο γεω-υδρολογικής
Διαβάστε περισσότεραΔιάρθρωση παρουσίασης
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ & ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ Βέλτιστη Διαχείριση Συστημάτων Ταμιευτήρων Εφαρμογή στο Σύστημα Αχελώου - Θεσσαλίας Διπλωματική
Διαβάστε περισσότεραΕυχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17
Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΠΜΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ & ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΚΕΜΕΡΙΔΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΣχεδιασμός Χημικών Διεργασιών και Βιομηχανιών Διάλεξη 6
Σχεδιασμός Χημικών Διεργασιών και Βιομηχανιών Διάλεξη 6 Δευτέρα, 14 Απριλίου 008 Οικονομική Ανάλυση Βιομηχανιών και Διεργασιών 1 Εισαγωγή Αριστοποίηση: ενός κριτηρίου (αντικειμενικής συνάρτησης) πολυκριτηριακή
Διαβάστε περισσότεραΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας
ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας Σχεδιασμός αντικειμένων, διεργασιών, δραστηριοτήτων (π.χ. τεχνικά έργα, έπιπλα, σκεύη κτλ) ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ (conceptual design) ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ
Διαβάστε περισσότεραΔΥΠ χρησιμοποιώντας πολύκριτηριακές μεθόδους
Διαχείριση Ταμιευτήρα ΔΥΠ χρησιμοποιώντας πολύκριτηριακές μεθόδους Διαχείριση Ταμιευτήρα Προσομοίωση VS Βελτιστοποίηση(?) Προσομοίωση, διάφορα δάφ «τρεξίματα» για την επιλογή της βέλτιστης τιμής, ικανότητα
Διαβάστε περισσότεραΑστικά δίκτυα αποχέτευσης ομβρίων
Υδραυλική & Υδραυλικά Έργα 5 ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Αστικά δίκτυα αποχέτευσης ομβρίων Ανδρέας Ευστρατιάδης & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία παραγωγού. Μικροοικονομική Θεωρία Ι / Διάλεξη 11 / Φ. Κουραντή 1
Θεωρία παραγωγού Σκοπός: Μεγιστοποίηση κερδών (υπάρχουν κι άλλοι σκοποί, π.χ. ένας μάνατζερ επιδιώκει την μεγιστοποίηση εσόδων κτλ. Τελικά όμως σκοπεύει στην μεγιστοποίηση των κερδών για να μπορέσει να
Διαβάστε περισσότεραΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ
3 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3.1 Εισαγωγη ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τα συστηματα εφαρμοζονται σε αναπτυξιακα προγραμματα, σε μελετες σχεδιασμου εργων, σε προγραμματα διατηρησης ή προστασιας περιβαλλοντος και υδατικων πορων και
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι
Διαβάστε περισσότεραΑστικά υδραυλικά έργα
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΥδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες
Υδροηλεκτρικά Έργα 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΆριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας
Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας - Υποθέτουμε μια οικονομία που αποτελείται από: Δύο καταναλωτές 1,. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Χάρης Δούκας, Πάνος Ξυδώνας, Ιωάννης Ψαρράς
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Και Μηχανικών Υπολογιστών ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ
Διαβάστε περισσότεραQ 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής
Διαβάστε περισσότεραAf(x) = και Mf(x) = f (x) x
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι. Λύσεις 9 Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων,
Διαβάστε περισσότεραΙωάννα Ανυφαντή, Μηχανικός Περιβάλλοντος Επιβλέπων: Α. Ευστρατιάδης, ΕΔΙΠ ΕΜΠ. Αθήνα, Ιούλιος 2018
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Δ.Π.Μ.Σ. «ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ» ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Ιωάννα Ανυφαντή, Μηχανικός Περιβάλλοντος
Διαβάστε περισσότεραΜεγιστοποίηση της Χρησιμότητας
Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας - Πρόβλημα Καταναλωτή: Επιλογή καταναλωτικού συνδυασμού x=(x, x ) υπό ένα σύνολο φυσικών, θεσμικών και οικονομικών περιορισμών κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά
Διαβάστε περισσότεραΣελίδα 1. (Είναι: Λ = Λίμνη, ΑΔ = Αρδευτική Δεξαμενή, Γ1 = Γεώτρηση 1, Γ2 = Γεώτρηση 2)
Σελίδα 1 ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ - ΑΣΚΗΣΗ 1 - ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΕ ΠΟΣΟΤΙΚΑ, ΠΟΙΟΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1) ΔΕΔΟΜΕΝΑ 1.1) ΔΙΑΔΡΟΜΕΣ Δi ΚΑΙ
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ - Θεμελιώδεις έννοιες - Επισκόπηση ύλης - Χρήσιμες πληροφορίες ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα επιλογής
Διαβάστε περισσότεραΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. Αριθμητικές μέθοδοι ελαχιστοποίησης ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ
ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Πρόβλημα Βελτιστοποίησης: Μεγιστοποίηση ή Ελαχιστοποίηση συνάρτησης στόχου: f(,..., N ) Καθορισμός του διανύσματος = [,..., N ], που καταλήγει σε μέγιστη ή ελάχιστη τιμή της
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΠΜΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ & ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΚΕΜΕΡΙΔΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
(Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Χάρης Δούκας, Πάνος Ξυδώνας, Ιωάννης Ψαρράς
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Και Μηχανικών Υπολογιστών ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής
Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 5- Σημειώσεις
Διάλεξη 5- Σημειώσεις 1 Κοίλες (concave) και κυρτές (convex) συναρτήσεις Σημείωση: Μόνο για συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε ένα (κυρτό) διάστημα R και παραγωγίσιμες τουλάχιστον δύο φορές στο εσωτερικό
Διαβάστε περισσότεραΗ γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού
Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016
Διαβάστε περισσότεραΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ & ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΠΜΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ & ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΙΩΑΝΝΑ
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11. (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης: y = xy, που έχει θετικές τιμές: y 0 και ικανοποιεί: y(0) = 1. 2.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11 Μέρος Α 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης () στο διάστημα, της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται με την
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης
Συναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης - Στο εξής, συμβολίζουμε την ποσότητα του καταναλωτικού αγαθού με q. - Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: q=f(k,l),
Διαβάστε περισσότερα