Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora"

Transcript

1 Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno odredena jednim brojem (na primjer: masa, temperatura, vrijeme, površina geometrijske figure, zapremina tijela, itd.). Vektorskom veličinom ili vektrorom naziva se svaka veličina koja je definisana: intenzitetom, pravcem i smjerom. Geometrijski, vektori se predstavljaju orjentisanim dužima u ravni ili prostoru. Vektore najčešće obilježavamo malim slovima latinice sa strelicom iznad slova, na primjer: a, b, c, d, e,... Ako želimo naglasiti koja je početna, a koja krajnja tačka vektora tada vektore obilježavamo sa dva velika slova i strelicom iznad njih, na primjer: AB, PQ, CD,..., gdje prvo slovo označava početak, a drugo slovo kraj vektora. a B A P Q Dužina vektora a naziva se intenzitet ili modul vektora a i obilježava se sa a. Vektor čiji je intenzitet jednak nuli naziva se nula-vektor i označavamo ga sa 0. Vektor čiji je intenzitet jednak jedinici naziva se jedinični vektor ili 1

2 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje 1 ANALITIČKA vektora GEOMETRIJA ort. Jedinični vektor vektora a označava se sa ort a ili a 0. Za dva vektora a i b kažemo da su kolinearna ako pripadaju istim ili paralelnim pravim. Posmatrajmo dva vektora a i b, zbir vektora a + b računamo po pravilu paralelograma, na način prikazan na sljedećoj slici. D a C b a + b b A a B Za sabiranje vektora važe sljedeća svojstva: 1. a + b = b + a (zakon komutacije) 2. ( a + b) + c = a + ( b + c) (zakon asocijacije) 3. a + 0 = 0 + a = a (zakon identiteta) 4. a + ( a) = 0 (zakon inverzije) Proizvod vektora a i skalara λ je vektor λ a istog pravca kao i vektor a, intenzitet mu je λ a, a smjer mu je isti kao i vektora a, ako je λ > 0, odnosno suprotan smejru vektora a, ako je λ < 0. Neka su i, j jedinični vektori x i y ose redom, kao na slici b y y b a y j a b x i a x x Elvis Baraković 2 Edis Mekić

3 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje 1 ANALITIČKA vektora GEOMETRIJA Tada vektor a mozemo zapisati na sljedeći način a = a x i + a y j = (a x, a y ). M 3 z M k O i j M 2 y x M 1 M Pošto su M 1, M 2, M 3 ortogonalne projekcije tačke M na koordinatne ose, onda je kao što se i vidi sa predhodne slike jer je: te je: OM = OM 1 + OM 2 + OM 3 M 1 M = OM 2 OM 1 = x i, i OM 2 = y j, M M = OM 3, OM 3 = z k, gdje su x, y i z tri realna broja koji potpuno odreduju položaj tačke M, ili pravougle koordinate vektora OM. Prema tome vektor OM možemo zapisati pomoću pravouglih koordinata u obliku: OM = x i + y j + z k, a njegov intenzitet računamo po formuli OM = x 2 + y 2 + z 2. Ako se vektor projektuje ortogonalno na koordinatne ose dobit ćemo: x = OM cosα, y = OM cosβ, z = OM cos γ, (1) Elvis Baraković 3 Edis Mekić

4 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje 1 ANALITIČKA vektora GEOMETRIJA gdje su α, β i γ uglovi koje vektor OM zaklapa sa koordinatnim osama. Kvadriranjem a zatim sabiranjem jednakosti (1) i imajući uvidu da je OM 2 = x 2 + y 2 + z 2, dobit ćemo da je: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 Linearna kombinacija vektora a i (i = 1, 2, 3,..., n) je vektor oblika α 1 a 1 + α 2 a α n a n = n α i a i. (2) i=1 Za vektore a i (i = 1, 2, 3,..., n) kažemo da su linearno nezavisni ako iz n α i a i slijedi α i = 0 za svako i = 1, 2, 3,..., n, ako je bar jedan od brojeva i=1 α i različit od nule tada za vektore a i (i = 1, 2, 3,..., n) kažemo da su linearno zavisni. Za dva vektora a = a x i + a y j + a z k i b = bx i + b y j + b z k kažemo da su kolinearna ako vrijedi a = λ b, odakle se dobije da je a x b x = a y b y = a z b z = λ. Jedinični vektor vektora a racunamo po formuli a 0 = a a. Primjer 1.1 Ako stranice jednakostraničnog trougla uzmemo za vektore, da li su ti vektori jednaki? Rješenje: Nisu, jer iako vektori strana imaju iste intenzitete, oni nemaju isti pravac i smjer, pa nisu ispunjeni uslovi jednakosti vektora. Primjer 1.2 Ispitati linearnu nezavisnost vektora a = 2 i + j + 4 k, b = 7 i + 5 j k i c = 2 i + j. Rješenje: Formirajmo linearnu kombinaciju vektora a, b i c, α a + β b + γ c = 0. Nakon zamjene vektora a, b i c dobijamo α( 2 i + j + 4 k) + β(7 i + 5 j k) + γ(2 i + j) = 0. Elvis Baraković 4 Edis Mekić

5 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje 1 ANALITIČKA vektora GEOMETRIJA Nakon sredivanja dobijamo ( 2α + 7β + 2γ) i + (α + 5β + γ) j + (4α β) k = 0. Da bi posljednja jednakost bila zadovoljena mora biti 2α + 7β + 2γ = 0 α + 5β + γ = 0 4α β = 0 Dobijeni sistem je homogeni, izračunajmo njegovu determinantu D = = Kako je determinanta sistema različita od nule to posljednji sistem ima samo trivijalno rješenje (α, β, γ) = (0, 0, 0). Odnosno dati vektori su linearno nezavisni. Primjer 1.3 Razložiti vektor a u pravcu vektora b i c, ako je: a = 3 p 2 q, b = 2 p + q, c = 7 p 4 q, Rješenje: Razložen vektor a u pravcu vektora b i c glasi: a = α b + β c, gdje su α i β realni parametri koje treba odredit. 3 p 2 q = α( 2 p + q) + β(7 p 4 q) = 2α p + α q + 7β p 4β q = ( 2α + 7β) p + (α 4β) q. Da bi posljednja relacija bila identički jednaka moraju odgovarajući koeficijenti biti jednaki, tj. 2α + 7β = 3 α 4β = 2. Rješavanjem dobijenog sistema jednačina dobijamo da je α = 2 i β = 1, pa razložen vektor a u pravcu vektora b i c glasi: a = 2 b + c. Elvis Baraković 5 Edis Mekić

6 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Primjer 1.4 Dati su vektori u = ( 1, 9, 5), v = (0, 4, 6) i w = (1, 3, 0). Razložiti vektor a = (2, 3, 1) u pravcu vektora u, v i w. Rješenje: Razložen vektor a u pravcu vektora u, v i w glasi: a = α u + β v + γ w, gdje su α, β i γ realni parametri koje treba odredit. (2, 3, 1) = α( 1, 9, 5) + β(0, 4, 6) + γ(1, 3, 0) = ( α, 9α, 5α) + (0, 4β, 6β) + (γ, 3γ, 0) = ( α + γ, 9α 4β + 3γ, 5α + 6β) Da bi posljednja relacija bila identički jednaka moraju odgovarajući koeficijenti biti jednaki, tj α + γ = 2 9α 4β + 3γ = 3 5α + 6β = 1 Rješavanjem dobijenog sistema jednačina dobijamo da je α = 11 8, β = i γ = 27 pa razložen vektor a u pravcu vektora u, v i w glasi: 8 a = Proizvod vektora u v w. Definicija 1.1 Skalarnim ili unutrašnjim proizvodom vektora a i b, u oznaci a b, nazivamo skalar koji je jednak proizvodu intenziteta tih vektora i kosinusa ugla koji oni zaklapaju: a b = a b cos ( a, b). (3) Iz formule (3) slijedi da je kosinus ugla izmedu vektora a i b dat formulom cos ( a, b) = a b a b. Teorem 1.1 Skalarni proizvod dva vektora a = (a x, a y, a z ) i b = (b x, b y, b z ), jednak je zbiru proizvoda odgovarajućih koordinata tj. a b = a x b x + a y b y + a z b z. Elvis Baraković 6 Edis Mekić

7 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Teorem 1.2 Dva vektora a = (a x, a y, a z ) i b = (bx, b y, b z ) su ortogonalna ako i samo ako je njihov skalarni proizvod jednak nuli: a b = 0 a x b x + a y b y + a z b z = 0. Definicija 1.2 Vektorski proizvod dva vektora a i b, koji obilježavamo sa a b, je vektor definisan na sljedeći način: 1. vektor c = a b okomit (normalan) je na ravan koju odreduju vektori a i b, 2. smjer vektora c = a b je takav da uredena trojka ( a, b, c) obrazuje triedar desne orjentacije, 3. intenzitet a b vektora a b jednak je mjernom broju površine paralelograma konstruisanog nad vektorima a i b : a b = a b sin ( a, b). c b a Uslov kolinearnosti dva vektor a i b je a b = 0. Vektorski proizvod vektora a = a x i+a y j +a z k = (ax, a y, a z ) i b = b x i+b y j + b z k = (bx, b y, b z ), možemo izračunati na sljedeći način a i j k b = a x a y a z b x b y b z. Osobine vektroskog proizvoda: Elvis Baraković 7 Edis Mekić

8 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA 1. a b = ( b a), 2. (λ a) (µ b) = λµ( a b), 3. i i = j j = k k = 0, i j = k, j k = i, k i = j, j i = k, k j = i, i k = j, k i + j 4. ( a + b) c = a c + b c. Definicija 1.3 Mješoviti proizvod tri vektora a = a x i+a y j+a z k = (ax, a y, a z ), b = bx i + b y j + b z k = (bx, b y, b z ), i c = c x i + c y j + c z k = (cx, c y, c z ) je broj koji je jednak skalarnom proizvodu vektora a i b c. Računamo ga na sljedeći način: a ( b c) = a x a y a z b x b y b z c x c y c z Apsolutna vrijednost mješovitog proizvoda tri nekomplanarna vektora jednaka je zapremini paralelopipeda konstruisanog nad tim vektorima, tj. V = a ( b c).. a c b Elvis Baraković 8 Edis Mekić

9 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Vektori a = a x i + a y j + a z k = (ax, a y, a z ), b = b x i + b y j + b z k = (bx, b y, b z ), i c = c x i + c y j + c z k = (cx, c y, c z ) su komplanarni (pripadaju istoj ravni) ako i samo ako je a ( b c) = 0. Primjer 1.5 Odredti skalarni proizvod vektora a = 2 i 3 j + 3 k i b = 3 i + j 4 k gdje su i, j i k medusobno okomiti ortovi. Rješenje: a b = (2 i 3 j + 3 k) ( 3 i + j 4 k) = 2 ( 3) + ( 3) ( 4) = 21. Primjer 1.6 Odrediti skalarni proizvod vektora a = 2 m 3 n i b = m+2 n, ako je m = 2, n = 3 i ugao izmedu vektora m i n, ( m, n) = π 3. Rješenje: a b = (2 m 3 n) ( m + 2 n) = 2 m m n + 3 n m 6 n 2 = m n = m n = m n cos ( m, n) = cos π 3 = = 41. Primjer 1.7 Odrediti parametar m tako da intenziteti vektora a = (2λ m, m, m 1) gdje je λ 0 i b = (m + 1, m 2, 0) budu jednaki, zatim naći sinus ugla izmedu njih. Rješenje: Po uslovu zadatka mora biti a = b a 2 = b 2 (2λ m ) 2 + m 2 + (m 1) 2 = (m + 1) 2 + (m 2) 2. Odnosno nakon sredivanja 4λ 2m = 4 λ 2m = 1 m = 0. Za ovu vrijednost parametra m dati vektori imaju oblik a = (2, 0, 1) b = (1, 2, 0). Elvis Baraković 9 Edis Mekić

10 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Odrdimo prvo pomoću skalarnog proizvoda kosinus ugla izmedu ova dva vektora: a b = a a b b cosα cosα = a b. Kako je to je a b = (2, 0, 1) (1, 2, 0) = ( 2) + ( 1) 0 = 2, a = ( 1) 2 = 5, b = ( 2) = 5, Odavde i iz cosα = 2 5. sin 2 α + cos 2 α = 1 sin α = 1 cos 2 α = 1 ( ) = 5 5. Primjer 1.8 Odrediti realni parametar λ tako da vektori a = 2 i 3 j i b = λ i + 4 j budu medusobno okomiti. Rješenje: Uslov okomitosti vektora a i b je a b = 0. Odavde je a b = 0 (2 i 3 j) (λ i + 4 j) = 0 2λ 12 = 0 λ = 6. Primjer 1.9 Dati su vektori a = λ p + 17 q i b = 3 p q, gdje je p = 2, q = 5, a ugao izmedu p i q je ϕ = 2π. Odrediti koeficijent λ tako da vektori 3 a i b budu medusobno okomiti. Rješenje: Zbog uslova okomotosti vektora a i b je a b = 0. Skalarni proizvod vektora a i b dat je sa a b = (λ p + 17 q) (3 p q) = 3λ p p + (51 λ) p q 17 q q = 0. Kako je p p = p p cos(0) = p 2 = 4, ( ) ( 2π p q = p q cos = ) = 5, 3 2 Elvis Baraković 10 Edis Mekić

11 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA q q = q q cos(0) = q 2 = 25, to je a b = 12λ + (51 λ) ( 5) = 17λ 680 = 0. Odavde dobijamo da je λ = 40. Primjer 1.10 U trouglu ABC čije su stranice BC = 5, CA = 6 i AB = 7, naći skalarni proizvod vektora BA i BC. Rješenje: C 6 5 β B Po definiciji skalarnog proizvoda je Primjenom kosinusne teoreme imamo A 7 BA BC = BA BC cosβ. cosβ = AB2 + BC 2 CA 2 2 AB BC = = 19 35, pa je traženi skalarni proizvod 19 BA BC = = 19. Primjer 1.11 Naći brojnu vrijednost izraza: a a b 2 b c + 1, ako je: a = 4 m n, b = m + 2 n i c = 2 m 3 n, gdje je: m 2 = 4, n 2 = 1 i ( m, n) = π 2. Elvis Baraković 11 Edis Mekić

12 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Rješenje: Pošto je ( m, n) = π 2 to slijedi da je m n = 0, pa će biti: a 2 = = a a = (4 m n) ( m + 2 n) = 16 m 2 8 m n + n 2 = 65 a b = (4 m n) ( m + 2 n) = 4 m m n 2 n 2 = 14 b c = ( m + 2 n) (2 m 3 n) = 2 m 2 + m n 6 n 2 = 2. Prema tome imamo da je: a a b 2 b c + 1 = = 104. Primjer 1.12 U jednoj tački djeluju sile F 1 i F 2 pod uglom od 120 pri čemu su intenziteti sila F 1 = 7 i F 2 = 4. Izračunati intenzitet rezultujuće sile F. Rješenje: F 1 F = F1 + F 2 F 1 F = F 1 + F 2. F 2 = F F = ( F 1 + F 2 ) ( F 1 + F 2 ) = F F 1 F 2 + F 2 2 = F 1 F 2 cos ( = ) + 16 = Odnosno, intenzitet rezultujuće sile F je F = 37. Primjer 1.13 Koji ugao obrazuju jedinični vektori p i q, ako se zna da su vektori a = p + 2 q i b = 5 p 4 q uzajamno okomiti? Rješenje: Iz uslova okomitosti vektora a i b je: a b = ( p + 2 q) (5 p 4 q) = 0, Elvis Baraković 12 Edis Mekić

13 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA ili nakon sredivanja 5 p p q 8 q 2 = 0. (4) Kako su p i q jedinični vektori, to vrijedi: p 2 = q 2 = 1 i p q = p q cosα = cosα (α ugao izmedu vektora p i q). Zbog toga jednačina (4) postaje cosα = 1 2, a odavde je traženi ugao α = π 3. Primjer 1.14 Dati su vektori u = (6, 1, 1), v = (0, 3, 1) i w = ( 2, 3, 5). Odrediti parametar t tako da vektori u + t v i w budu medusosbno okomiti. Rješenje: Da bi dva vektora bila medusobno okomita, njihov skalarni proizvod mora biti jednak nuli. Zato je ( u + t v) w = 0. Skalarni proizvod vektora je distributivan u odnosu na zbir, zato posljednja jednačina postaje Kako je to je u w u w + t v w = 0 t = v w. u w = (6, 1, 1) ( 2, 3, 5) = = 4, v w = (0, 3, 1) ( 2, 3, 5) = = 4, t = 4 4 = 1. Primjer 1.15 Izračunati komponente m i n tako da vektori budu kolinearni. a = (m, 5, 1) i b = (3, 1, n) Elvis Baraković 13 Edis Mekić

14 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Rješenje: Uslov kolinearnosti vektora a i b možemo izraziti u obliku: gdje je λ proizvoljan realan broj. Iz odnosno a = λ b, a = λ b (a x, a y, a z ) = (λb x, λb y, λb z ), Eliminacijom parametra λ dobijamo a x = λb x, a y = λb y, a z = λb z. a x b x = a y b y = a z b z, što znači da su komponente kolinearnih vektora proporcionalne. Za date vektore taj uslov glasi: Odavdje slijedi m 3 = 5 1 = 1 n. m 3 = 5 m = 15, 1 n = 5 n = 1 5. Primjer 1.16 Odrediti vektorski proizvod vektora a = i+ j i b = 2 i+ j, gdje su i i j medusobno okomiti ortovi. Rješenje: Primjer 1.17 Odrediti visinu h b spuštenu iz vrha B trougla ABC sa vrhovima A(1, 2, 8), B(0, 0, 4) i C(6, 2, 0). Rješenje: B a h b c C b A Elvis Baraković 14 Edis Mekić

15 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Vektori AB i AC su AB = (0 1) i + (0 ( 2)) j + (4 8) k = i + 2 j 4 k, AC = (6 1) i + (2 ( 2)) j + (0 8) k = 5 i + 4 j 8 k. Površinu trougla možemo računati po formuli P = b h b 2 = AC h b. (5) 2 Medutim, površinu trougla možemo izračunati primjenom vektora na sljedeći način P = 1 2 AB AC = 1 2 i j k = j 14 k = 7 2 j+ k = 7 5. Sada je na osnovu formule (5) h b = 2P AC = ( 8) = Primjer 1.18 Dati su vektori a = (8, 4, 1) i b = (2, 2, 1). Naći: (a) Vektorski proizvod c = a b. (b) Površinu paralelograma odredenog vektorima a i b. (c) Visinu paralelograma koja odgovara stranici koju odreduje vektor a. (d) Površinu trougla odredenog vektorima a i b. Rješenje: (a) Vektorski proizvod vektora a i b računamo pomoću determinante: c = a i j i b = a x a y a z b x b y b z = i j i = (b) = i(4 + 2) j(8 2) + k( 16 8) = = 6 i 6 j 24 k. Elvis Baraković 15 Edis Mekić

16 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA D C b h a A a B Površina paralelograma konstruisanog nad vektorima a i b jednaka je intenzitetu vektorskog proizvoda a b, znači: P = a b = ( 6) 2 + ( 24) 2 = (c) Iz (b) znamo da je P = a b = 18 2, a sa druge strane znamo da površinu paralelograma možemo računati i po formuli P = a h a = a h a. Dakle, imamo P = a b = a h a h a = a b a = = 2 2. (d) Površina trougla jednaka je polovini površine paralelograma konstruisanog nad istim vektorima: P = 1 2 a b = = 9 2. Primjer 1.19 Neka je a b = c d i a c = b d. Pokazati da su vektori a d i b c kolinearni. Rješenje: Kolinearnost vektora a d i b c pokazat ćemo tako što ćemo dokazati da je njihov vektorski proizvod jednak nuli. Imamo: ( a d) ( b c) = a b a c d b + d c. Iskoristimo li uslove date u zadatku imamo: Kako je slijedi ( a d) ( b c) = c d b d d b + d c. c d = d c i d b = b d, ( a d) ( b c) = d c + d b d b + d c = 0, što dokazuje kolinearnost vektora a d i b c. Elvis Baraković 16 Edis Mekić

17 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Primjer 1.20 Dokazati da je ( a b) ( a + b) = 2( a b) i objasniti geometrijsko značenje tog identiteta. Rješenje: Kako je to je ( a b) ( a + b) = a a + a b b a b b. a a = b b = 0 i a b = b a, ( a b) ( a + b) = 2( a b). Intenzitet lijeve strane dokazanog identiteta je površina paralelograma konstruisanog nad dijagonalama datog paralelograma. Ova površina je dva puta veća od površine datog paralelograma. D C b a + b a b A a B Primjer 1.21 Neka je a = b = 5 i ugao izmedu vektora a i b jednak π 4. Naći površinu paralelograma konstruisanog nad vektorima: 2 b a i 3 a + 2 b. Rješenje: Površina paralelograma je intenzitet vektorskog prozvoda (2 b a) (3 a + 2 b) = 6 b a + 4 b b 3 a a 2 a b. Kako je to je b b = 0, a a = 0 i b a = a b, (2 b a) (3 a + 2 b) = 8 ( b a). Elvis Baraković 17 Edis Mekić

18 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Dakle P = (2 b a) (3 a + 2 b) = 8 ( b a) = = 8 b a sin( b, a) = sin π 4 = 2 2. = 200 = Primjer 1.22 Dati su vektori a = (1, 1, 1), b = (1, 1, 0) i c = (1, 1, 0). Odrediti vektor x iz uslova: x b = c i x a = 3. Rješenje: Neka je Tada je x b = i Pa dati uslovi glase x = x 1 i + x 2 j + x 3 k. i j k x 1 x 2 x = x 3i + x 3 j + (x 1 x 2 ) k x a = x 1 + x 2 + x 3. x 3 i + x 3 j + (x 1 x 2 ) k = i j, x 1 + x 2 + x 3 = 3. Iz prvog uslova izjednačavajući odgovarajuće komponente dobijamo x 3 = 1 i x 1 = x 2. Ako ovo uvrstimo u drugi uslov dobijamo 2x 1 1 = 3 x 1 = 2, x 2 = 2. Prema tome traženi vektor x je x = 2 i + 2 j k = (2, 2, 1). Primjer 1.23 Izračunati zapreminu paralelopipeda kojeg obrazuju vektori a = i 3 j + k, b = 2 i + j 3 k i c = i + 2 j + k. Elvis Baraković 18 Edis Mekić

19 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Rješenje: Zapremina paralelopipeda konstruisanog nad vektorima a, b i c jednaka je mješovitom proizvodu tih vektora. c b a V = a x a y a z b x b y b z c x c y c z = = 25. Primjer 1.24 Odrediti parametar t tako da zapremina paralelopipeda obrazovanog vektorima a = (8, 4, 1), b = (2, 3, 6) i c = (t, 2, 1) bude jednaka 150. Rješenje: Zapremina paralelopipeda obrazovanog vektorima a, b i c jednaka je mješovitom proizvodu ovih vektora. V = a ( b c) = a x a y a z = b x b y b z c x c y c z = = 21t Kako je po uslovu zadatka V = 150, to je t t = 150 t = 2. = Primjer 1.25 Izračunati visinu paralelopipeda kojeg obrazuju vektori a = 3 i + 2 j 5 k, b = i j + 4 k i c = i 3 j + k. Rješenje: Zapreminu paralelopipeda razapetog vektorima a, b i c možemo izračunati pomoću mješovitog proizvoda V = ( a b) c. (6) S druge starne znamo da je V = B H, gdje je B površina osnove paralelopipeda, a H njegova visina. Budući da je u našem slučaju osnova paralelopipeda paralelogram odreden vektorima a i b, to je B = a b. Tada je V = B H = a b H. (7) Elvis Baraković 19 Edis Mekić

20 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Iz jednačina (6) i (7) slijedi Kako je i odnosno ( a b) c = a b = H = ( a b) c a. (8) b i j k = 49, = 3 i 17 j 5 k, a b = ( 17) 2 + ( 5) 2 = 323. Uvrštavanjem dobijenih rezultata u (8) dobijamo H = Primjer 1.26 Odrediti parametar α tako da zapremina tetraedra konstruisanog nad vektorima a, b i α c iznosi 2, gdje je 3 a = i + j 2 k, b = 2 i + j k, c = i 1 3 k Rješenje: Zapreminu tetraedra konstruisanog nad vektorima a, b i α c računamo po formuli V = 1 6 ( a b) α c (9) Kako je ( a b) α c = Sada uvrštavanjem u (9) imamo 2 3 = α 0 α α, = 4 3 α. odnosno α = 3 a 1 = 3 i a 2 = 3. Elvis Baraković 20 Edis Mekić

21 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Primjer 1.27 Pokazati da su vektori a = i + 3 j + 2 k, b = 2 i 3 j 4 k, c = 3 i + 12 j + 6 k komplanarni i napisati vektor c kao linearnu kombinaciju vektora a i b. Rješenje: Kako je a ( b c) = = 0, to slijedi da su vektori a, b i c komplanarni. Od tri komplanarna vektora bilo koji može biti predstavljen kao linearna kombinacija druga dva vektora. Napišimo vektor c kao linearnu kombinaciju vektora a i b, tj. c = α a + β b. Ista relacija mora da vrijedi i za odgovarajuće komponente: 3 = α + 2β 12 = 3α 3β 6 = 2α 4β Dati sistem od tri jednačine sa dvije nepoznate je saglasan zbog komplanarnosti vektora, a njegovo jedinstveno rješenje je Odakle dobijamo da je c = 5 a + b. α = 5 i β = 1. Primjer 1.28 Izračunati zapreminu tetraedra čiji su vrhovi tačke A(0, 0, 0), B(3, 4, 1), C(2, 3, 5) i D(6, 0, 3). Rješenje: D C A B Elvis Baraković 21 Edis Mekić

22 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Zapreminu tetraedra možemo izračunati koristeći formulu V = 1 AD ( AB AC). 6 Formirajmo vektore koji čine ivice tetraedra: sada je tražena zapremina AB = (3 0, 4 0, 1 0) = (3, 4, 1) AC = (2 0, 3 0, 5 0) = (3, 2, 5) AD = (6 0, 0 0, 3 0) = (6, 0, 3), V = 1 AD ( AB AC) 6 = = = Prva i ravan u prostoru 2.1 Ravan u prostoru Položaj ravni π u odnosu na prostorni koordinatni sistem najčešće se odreduje na sljedeći način. Povučemo kroz koordinatni početak O normalu n = OP, gdje je P podnožje normale na π. Sa n 0 = {cosα, cosβ, cosγ} označimo jedinični vektor normale n, a vektor položaja proizvoljne tačke M(x, y, z) koja pripada ravni π sa r = {x, y, z}. Projekcija vektora položaja r proizvoljne čatke M ravni π na vektor n 0 biće p jer je OMP pravougli. Elvis Baraković 22 Edis Mekić

23 O 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU z π M(x, y, z) n r n 0 p P y x Prema tome za svaku tačku ravni π vrijedi r n 0 = p. (10) Dobijena jednačina ravni napisana u vektorskom obliku zove se normalni oblik jednačine ravni jer u njoj dolazi od izražaja ort n 0 normale n. U skalarnom obliku ta jednačina ravni glasi: Opšti oblik jednačine ravni glasi: x cosα + y cosβ + z cosγ p = 0. (11) gdje je n = (A, B, C) vektor normale ravni. Ako su ravni: Ax + By + Cz + D = 0, (12) A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 paralelne onda su im vektori normale n 1 = (A 1, B 1, C 1 ) i n 2 = (A 2, B 2, C 2 ) kolinearni, pa su im odgovarajuće koordinate proporcionalne tj. A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 = λ. (13) Elvis Baraković 23 Edis Mekić

24 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Ako su pak, date ravni medusobno normalne (okomite), onda su njihovi vektori normale n 1 = (A 1, B 1, C 1 ) i n 2 = (A 2, B 2, C 2 ) medusobno normalni, pa im je skalarni proizvod jednak nuli, tj. vrijedi: A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. Ako ravan Ax + By +Cz +D = 0 nije paralelna ni sa jednom koordinatnom osom, onda ona od koordinatnih osa odsijeca odsječke: z n x l O m y l = D A, m = D B, n = D C, pa se jednačnia ravni može zapisati u tzv. segmentnom obliku: x l + y m + z n = 1. Jednačina ravni odredene sa tri nekolinearne tačke M 1 (x 1, y 1, z 1 ), M 2 (x 2, y 2, z 2 ) i M 3 (x 3, y 3, z 3 ) glasi x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0, gdje su x, y, z tekuće koordinate. Rastojanje tačke A(x 1, y 1, z 1 ) od ravni Ax + By + Cz + D = 0 računamo po formuli d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D. A2 + B 2 + C 2 Elvis Baraković 24 Edis Mekić

25 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Primjer 2.1 Kolike odsječke odsijeca ravan 3x + 5y 4z 3 = 0 od koordinatnih osa? Rješenje: Odsječci koje data prava odsijeca od koordinatnih osa su: Pa je l = D A, m = D B, n = D C. l = D A = 3 3 = 1, m = D B = 3 5 = 3 5, n = D C = 3 4 = 3 4. Primjer 2.2 Naći presjeke ravni x + 2y z 4 = 0 sa koordinatnim osama i koordinatnim ravnima. Rješenje: Svedimo datu jednačinu na segmentni oblik: x + 2y z 4 = 0 x + 2y z = 4/ : 4 x 4 + 2y 4 z 4 = 1 x 4 + y 2 + z 4 = 1, odavdve vidimo da su odsječci na koordinatnim osam l = 4, m = 2 i n = 4. Medutim, jednačine presjeka koodrinatnih ravni XOY, Y OZ i ZOX dobijamo na sljedeći način. Presjek ravni x+2y z 4 = 0 i XOY (z = 0) dobijamo tako što riješimo sljedeći sistem: x + 2y z 4 = 0 z = 0. Odakle dobijamo da je jednačina presjeka sa XOY ravni x + 2y 4 = 0. Presjek ravni x+2y z 4 = 0 i Y OZ (x = 0) dobijamo tako što riješimo sljedeći sistem: x + 2y z 4 = 0 x = 0. Odakle dobijamo da je jednačina presjeka sa Y OZ ravni 2y z 4 = 0. Presjek ravni x+2y z 4 = 0 i ZOX (y = 0) dobijamo tako što riješimo sljedeći sistem: x + 2y z 4 = 0 y = 0. Odakle dobijamo da je jednačina presjeka sa ZOX ravni x z 4 = 0. Elvis Baraković 25 Edis Mekić

26 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Primjer 2.3 Sastaviti jednačinu ravni koja prolazi: a) kroz tačku K(2, 5, 3) i paralelna je sa koordinatom ravni XOZ, b) kroz tačku L( 3, 1, 2) i osu OZ, c) kroz tačke M(4, 0, 2) i N(5, 1, 7), a paralelna je osi OX. Rješenje: a) Jednačina ravni koja prolazi tačkom K(2, 5, 3) glasi: A(x 2) + B(y + 5) + C(z 3) = 0. Njen vektor normale je n = (A, B, C). Pošto je tražena ravan paralelna sa ravni XOZ (y = 0), čiji je vektor normale n 1 = (0, 1, 0), to su njihovi vektori normale kolinearni tj. vrijedi (A, B, C) = λ(0, 1, 0) A = 0, B = λ, C = 0, pri čemu je λ proizvoljan realan broj. Sada je jednačina tražene ravni B(y + 5) = 0 y + 5 = 0. b) Kako tražena ravan prolazi tačkom L( 3, 1, 2) to njene koordinate zadovoljavaju opštu jednačinu ravni: Ax + By + Cz + D = 0 3A + B 2C + D = 0. (14) S obzirom da ona prolazi i kroz osu OZ, to svaka tačka sa ose OZ pripada traženoj ravni. Tačke koje pripadaju osi OZ su oblika (0, 0, z). Uzmimo tačke P(0, 0, 1) i Q(0, 0, 2) koje pripadaju osi OZ, te tačke pripadaju i traženoj ravni pa je 0 A + 0 B + C + D = 0 C + D = 0, 0 A + 0 B + 2C + D = 0 2C + D = 0. Rješenja posljednjeg sistema su C = 0 i D = 0. Uvrštavanjem ovih vrijedosti u jednačinu (14) dobijamo 3A + B = 0 B = 3A. Ako sada uvrstimo dobijene vrijednosti u opštu jednačinu ravni dobijamo: Ax + By + Cz + D = 0 Ax + 3Ay = 0/ : A x + 3y = 0, tražena jednačina ravni. Elvis Baraković 26 Edis Mekić

27 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU c) Kako tražena ravan Ax + By + Cz + D = 0 sadrži tačke M(4, 0, 2) i N(5, 1, 7), to koordinate datih tačaka zadovoljavaju jednačinu tražene ravni, odnosno dobijamo sljedeći sistem: 4A 2C + D = 0 5A + B + 7C + D = 0. Kako je tražena ravan paralelna osi OX, to je njen vektor normale n = (A, B, C) okomit sa jediničnim vektorom i = (1, 0, 0) ose OX. Odnosno n i = 0 (A, B, C) (1, 0, 0) = 0 A = 0. Uvrštavanjem dobijene vrijednosti u posljednji sistem dobijamo: 2C + D = 0 D = 2C B + 7C + D = 0 Iz druge jednačine dobijamo B + 7C + 2C = 0 B = 9C. Uvrštavanjem dobijenih vrijednosti u poštu jednačinu dobijamo: Ax + By + Cz + D = 0 9Cy + Cz + 2C = 0/ : C 9y + z + 2 = 0 je tražena jednačina ravni. Primjer 2.4 Sastaviti jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku A(2, 1, 1) i koja normalna je na vektor a = {1, 2, 3}. Rješenje: Jednačina ravni koja prolazi kroz tačku A(2, 1, 1) glasi: A(x 2) + B(y 1) + C(z + 1) = 0. S obzirom da je tražena ravan normalna na vektor a = {1, 2, 3}, to je njen vektor normale n = {A, B, C} kolinearan sa vektorom a = {1, 2, 3}, pa su im odgovarajuće koordinate proporcionalne, tj.: Odnosno A 1 = B 2 = C 3 = λ. A = λ, B = 2λ, C = 3λ. Ako dobijene vrijednosti uvrstimo u jednačinu A(x 2)+B(y 1)+C(z+1) = 0, dobijamo traženu jednačinu ravni λ(x 2) 2λ(y 1) + 3λ(z + 1) = 0/ : λ x 2y + 3z + 3 = 0. Elvis Baraković 27 Edis Mekić

28 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Primjer 2.5 Sastaviti jendačinu ravni koja prolazi kroz tačku A(3, 4, 5) i paralelna je sa vektorima a = {3, 1, 1} i b = {1, 2, 1}. Rješenje: Jednačina ravni kroz datu tačku A glasi: A(x 3) + B(y 4) + C(z + 5) = 0. S obzirom da je ova ravan paralelna sa vektorima a i b, to je njen vektor normale n = {A, B, C} normalan na oba vektora, pa je n = a b. π n b a Odnosno, n = a b = i j k Prema tome, tražena jednačina ravni glasi: = i 4 j 7 k = { 1, 4, 7}. 1(x 3) 4(y 4) 7(z + 5) = 0/ ( 1) (x 3) + 4(y 4) + 7(z + 5) = 0 x 3 + 4y z + 35 = 0, odnosno x + 4y + 7z + 16 = 0. Primjer 2.6 Sastaviti jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku A(7, 5, 1) i odsijeca na koordinatnim osama jednake odsječke. Rješenje: Jednačina ravni kroz datu tačku A glasi: A(x 7) + B(y + 5) + C(z 1) = 0. Elvis Baraković 28 Edis Mekić

29 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Kako tražena prava odsijeca na koordinatnim osama jednake odsječke to je l = D A = m = D B = n = D C, odakle je D A = D B = D C A = B = C. Dakle, jednačina tražene ravni glasi A(x 7) + A(y + 5) + A(z 1) = 0. Nakon dijeljenja sa A dobijamo x + y + z 3 = 0. Primjer 2.7 Sastavite jednačinu ravni koja je od koordinatnog početka udaljena za 6 jedinica i čiji su odsječci na koordinatnim osama vezani relacijom l : m : n = 1 : 3 : 2. Rješenje: Iz date proporcije dobija se: l : m = 1 : 3 l : n = 1 : 2 tj. m = 3l i n = 2l. Zamjenom dobijenih vrijednosti za m i n u segmentni oblik jednačine ravni: x l + y m + z n = 1 x dobijamo: l + y 3l + z = 1/ 6l 6x + 2y + 3z 6l = 0. Iz relacije za 2l udaljenost ravni od koordinatnog početka O(0, 0, 0) dobijamo: d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 6l ± = 6, odnosno 6l ± = 6 l = ±7. Dobili smo dva rješenja za l, odnosno postoje 49 dvije ravni koje zadovaljavaju tražene uslove zadatka, to su ravni: 6x + 2y + 3z + 42 = 0 i 6x + 2y + 3z 42 = 0. Primjer 2.8 Izračunati visinu H S piramide čiji su vrhovi u tačkama S(0, 6, 4), A(3, 5, 3), B( 2, 11, 5) i C(1, 1, 4). Elvis Baraković 29 Edis Mekić

30 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Rješenje: S H s C A B Tražena visina H s je udaljenost tačke S od ravni odredene sa tačkama A, B i C. Jednačina ravni koja je odredena sa tačkama A, B i C je: x 3 y 5 z = 0. Nakon izračunavanja determinante dobijamo 42x + 21y + 42z 105 = 0/ : ( 21) 2x y 2z + 5 = 0. Tražena visina H S je udaljenost tačke S(0, 6, 4) od ravni 2x y 2z +5 = 0, odnosno, H S = d = = = 3. Primjer 2.9 Sastaviti jednačinu ravni koja prolazi kroz koordinatni početak i normalna je na ravni 2x y + 5z + 3 = 0 i x + 3y z 7 = 0. Elvis Baraković 30 Edis Mekić

31 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Rješenje: Jednačina ravni koja prolazi kroz koordinatni početak je Ax + By + Cz = 0. n n 1 n 2 Kako je tražena ravan normalna na ravni 2x y+5z+3 = 0 i x+3y z 7 = 0, to je njen vektor normale n = (A, B, C), normalan na ravan koju obrazuju vektori normala datih ravni, n 1 = (2, 1, 5) i n 2 = (1, 3, 1). Pa je n = n 1 n 2, odnosno n = n 1 n 2 = i j k = 14 i + 7 j + 7 k, odnosno n = (A, B, C) = ( 14, 7, 7). Jednačina tražene ravni glasi: 14x + 7y + 7z = 0/ : ( 7) 2x y z = 0. Primjer 2.10 Odrediti parametre m i n tako da ravni: budu paralelne. 2x + my + 3z 5 = 0 nx 6y 6z + 2 = 0 Elvis Baraković 31 Edis Mekić

32 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Rješenje: Da bi ravni bile paralelne, potrebno je da su im koeficijenti uz nepoznate proporcionalni, tj.: 2 n = m 6 = 3 6, odakle se dobija da je m = 3 i n = 4. Primjer 2.11 Kako glasi jednačina ravni koja prolazi tačkama M(3, 5, 1) i N(4, 1, 2), a normalna je na ravan x 8y + 3z 1 = 0? Rješenje: Jednačina tražene ravni glasi Ax + By + Cz + D = 0. n N M n 1 Kako tačke M(3, 5, 1) i N(4, 1, 2) pripadaju traženoj ravni i kako je tražena ravan normalna na ravan x 8y+3z 1 = 0 to je n = MN n 1, jer je vektor n = (A, B, C) normalan na ravan koju čine vektori MN i n 1. Formirajmo vektor MN = (4 3, 1 ( 5), 2 1) = (1, 6, 1), a vektor n 1 = (1, 8, 3). Dakle, sada je: i j k n = = 26 i 2 j 14 k. Elvis Baraković 32 Edis Mekić

33 2.2 Prava u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Odnosno n = (A, B, C) = (26, 2, 14) A = 26, B = 2 i C = 14. Kako tačka M(3, 5, 1) pripada traženoj ravni to njene koordinate zadovoljavaju jednačinu te ravni pa je 3A 5B + C + D = ( 2) 14 + D = 0 D = 74. Odakle dobijamo da je jednačina tražene ravni 26x 2y 14z 74 = 0/ : 2 13x y 7z 37 = 0. Primjer 2.12 Iz pramena ravni: 2x 3y + z 3 + λ(x + 3y + 2z + 1) = 0, izdvojiti onu ravan koja sadrži tačku M(1, 2, 3). Rješenje: Pošto tačka M(1, 2, 3) pripada traženoj ravni datog pramena, to njene koordinate zadovoljavaju jednačinu pramena tj λ( ) = 0 λ = 4. Traženu jednačinu ćemo dobiti kada vrijednost λ = 4 uvrstimo u jednačinu datog pramena ravni, tj.: 2x 3y + z 3 4(x + 3y + 2z + 1) = 0, odnosno 2x + 15y + 7z + 7 = Prava u prostoru Neka prava p u prostoru može biti odredena kao presjek bilo koje dvije ravni π 1 i π 2, koje tom pravom prolaze. Odnosno π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Elvis Baraković 33 Edis Mekić

34 2.2 Prava u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU p π 2 π 1 Pravu možemo zadati i u tzv. kanonskom obliku x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n, gdje je M(x 0, y 0, z 0 ) proizvoljna tačka koja pripada datoj pravoj, a p = (l, m, n) je vetor pravca date prave. Iz kanonskog oblika jednačine prave lahko možemo dobiti parametarski oblik jednačine prave, naime iz x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n = t x = x 0 + lt y = y 0 + mt z = z 0 + nt, t R. Jednačina prave kroz dvije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1 ) i M 2 (x 2, y 2, z 2 ) glasi: Primjer 2.13 x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 = z z 1 z 2 z 1. Elvis Baraković 34 Edis Mekić

35 2.3 Zadaci za samostalan rad 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU 2.3 Zadaci za samostalan rad Zadatak 2.1 Izračunati intenzitet vektora c = 3 a + 2 b, ako je a = 3, b = 4 i ( a, b) = π 3. Rješenje: Iz c c = 217 i c c = c c slijedi c = 217. Zadatak 2.2 Odrediti parametar λ tako da vektori budu okomiti. Rješenje: λ = 6. a = 2 i 3 j i b = λ i + 4 j Zadatak 2.3 Dati su vrhovi A(1, 2, 3), B(3, 2, 1), i C(6, 4, 4) paralelograma ABCD. Odredite koordinate vrha D. Rješenje: D(4, 0, 6). Zadatak 2.4 Odrediti unutrašnje uglove trougla čiji su vrhovi A(5, 2, 4), B(9, 8, 3) i C(16, 6, 11). Rješenje: Odrediti vektore AB, AC, BA, BC i CA, CB, a zatim pomoću skalarnog proizvoda izračunati tražene uglove. α = π 4, β = π 2, γ = π 4. Zadatak 2.5 Vektori a i b obrazuju ugao α = 120 i pri tome je a = 3, b = 5. Odrditi a + b i a b. Rješenje: Iskoristiti činjenicu da je a 2 = a a. Dobija se a + b = 19 i a b = 7. Zadatak 2.6 Neka su p i q jedinični vektori koji zaklapaju ugao α = π 4. Odredite površinu paralelograma sa dijagonalama e = 2 p q i f = 4 p 5 q. Rješenje: Vidi primjer 1.20 P = Zadatak 2.7 Naći ugao α izmedu vektora a i b ako je poznato da je ( a + b) okomito na (7 a 5 b) i da je ( a 4 b) okomito na (7 a 2 b). Rješenje: cosα = Elvis Baraković 35 Edis Mekić

36 2.3 Zadaci za samostalan rad 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Zadatak 2.8 Odrediti visinu h a spuštenu iz vrha A trougla ABC sa vrhovima A(1, 0, 1), B( 1, 1, 1) i C(0, 2, 1). 34 Rješenje: h a = 2. Zadatak 2.9 Izračunati mješoviti proizvod sljedećih vektora: (a) a = (1, 2, 3), b = (3, 1, 2), c = (2, 3, 1) (b) a = ( 2, 1, 1), b = (1, 4, 1), c = (1, 5, 2) Rješenje: (a) ( a b) c = 18, (b) ( a b) c = 6. Zadatak 2.10 Izračunati zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima a = (1, 0, 3), b = ( 1, 1, 0), c = (2, 1, 1). Rješenje: V = 8. Zadatak 2.11 Odrediti parametar t tako da vektori a = (t, 1, 1), b = (1, 2 t, 1) i c = (1, 1, 3 2t) budu komplanarni. Rješenje: Iskoristiti uslov komplanarnosti a ( b c) = 0 t 1 = 1 i t 2 = 3 2. Zadatak 2.12 Vektori a = (1, 2t, 1), b = (2, t, t) i c = (3t, 2, t) su ivice tetraedra. a) Izračunati zapreminu tetraedra. b) Odrediti realan parametar t tako da vektori a, b i c budu komplanarni. Rješenje: a) V = 1 3 (t + 1)(3t2 t + 2), b) t = 1. Zadatak 2.13 Dokazati da je za sve vrijednosti parametra λ. a ( b + λ a) = a b Elvis Baraković 36 Edis Mekić

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Opera u Sidneju, Australija

VEKTORI. Opera u Sidneju, Australija VEKTORI Ciljevi poglavlja Sabiranje i razlaganje vektora na komponente, množenje i deljenje vektora skalarom Predstavljanje vektora u Dekartovom koordinatnom sistemu i operacije sa vektorima koji su izraženi

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

7.5. KOORDINATNI SISTEMI

7.5. KOORDINATNI SISTEMI - 84-75 KOORDINATNI SISTEMI 75 Dekartov desni pravougli koordinatni sistem U paragrafu 73 definisali smo desni pravougli koordinatni sistem (O;i, j, k) gdje su: (a) koordinatni početak ili ishodište O

Διαβάστε περισσότερα

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015 Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

Priprema za ispit znanja Vektori

Priprema za ispit znanja Vektori Priprema za ispit znanja Vektori 1. Dan je pravilni šesterokut ABCDEF. Ako je =, = izrazi pomoću vektore,,. + + =0 = E D = + F S C + + =0 = = A B + + =0 = = =+ 2. Točke A, B, C, D, E i F vrhovi su pravilnog

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *) .7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Koordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema:

Koordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema: Koordinatni sistemi Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema: Kartezijeve koordinate Korištenjem Kartezijevih koordinata položaj tačke u ravni se definiše sa dva broja,

Διαβάστε περισσότερα

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1. . U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Konstruktivni zadaci. Uvod

Konstruktivni zadaci. Uvod Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference

Διαβάστε περισσότερα

Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK

Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Živinice 1.4.014. ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog

Διαβάστε περισσότερα

MAGNETNO SPREGNUTA KOLA

MAGNETNO SPREGNUTA KOLA MAGNETNO SPEGNTA KOA Zadatak broj. Parametri mreže predstavljene na slici su otpornost otpornika, induktivitet zavojnica, te koeficijent manetne spree zavojnica k. Ako je na krajeve mreže -' priključen

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija - vežbe

Analitička geometrija - vežbe Analitička geometrija - vežbe Milica Žigić May 25, 2017 1 Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmed u tačaka 1. Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 3), B( 8 3 ) i C(0). 2. (a) Na brojnoj osi ucrtati

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Zbirka zadataka

Matematika Zbirka zadataka Matematika Zbirka zadataka Kristina Devčić Božidar Ivanković Veleučilište Nikola Tesla u Gospiću Uvod Unaprijed se zahvaljujemo na svakom komentaru o propustima i nedosljednostima, a svaka primjedba glede

Διαβάστε περισσότερα

SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI

SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI VI SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI - 59-6 KARAKTERISTIČNI POLINOM I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI U ovom poglavlju ćemo opisati kako se traži ''najprikladnija'' baza vektorskoga prostora X, baza u

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 2009.

Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 2009. Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 009. Autori: Mr Nada Damljanović Mr Rale Nikolić Recenzenti: Prof. dr Mališa

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNA OPTIMIZACIJA. (zadaci) Milan Jovanović

KONVEKSNA OPTIMIZACIJA. (zadaci) Milan Jovanović KONVEKSNA OPTIMIZACIJA (zadaci) Milan Jovanović 1 Osnovu ove zbirke čine zadaci sa ispita iz Matematičkog programiranja, predmeta koji se predaje na PMF BL od 1998\1999 školske godine. To su zadaci označeni

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.

Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična. Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Navedimo neke primere potencijalnih polja koja su od posebnog interesa u raznim oblastima fizike i tehnike. F = γ m m 0. r, (1.1)

Navedimo neke primere potencijalnih polja koja su od posebnog interesa u raznim oblastima fizike i tehnike. F = γ m m 0. r, (1.1) Glava 1 Teorija polja 1.1 Primeri nekih polja od interesa za fiziku i tehniku Navedimo neke primere potencijalnih polja koja su od posebnog interesa u raznim oblastima fizike i tehnike. Privlačenje dve

Διαβάστε περισσότερα