Lielumus, kurus nosaka tikai tā skaitliskā vērtība, sauc par skalāriem lielumiem.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Lielumus, kurus nosaka tikai tā skaitliskā vērtība, sauc par skalāriem lielumiem."

Transcript

1 1. Vektori Skalāri un vektoriāli lielumi Lai raksturotu kādu objektu vai procesu, tā īpašības parasti apraksta, izmantojot dažādus skaitliskus raksturlielumus. Piemēram, laiks, kas nepieciešams, lai izlasītu šo paragrāfu, varētu būt 2 minūtes, telpas temperatūra, kurā atrodamies, varētu būt + 22, bet mācību klases grīdas laukums 24 m 2. prakstot tādus lielumus kā laiks, temperatūra, garums, tilpums, svars vai cena, ir pietiekami lietot situācijai atbilstošu skaitli un mērvienību, tādā veidā gūstot pilnīgu priekšstatu par apskatāmo lielumu. Lielumus, kurus nosaka tikai tā skaitliskā vērtība, sauc par skalāriem lielumiem. Tomēr ir procesi, kuru raksturošanai ne vienmēr pietiek tikai ar vienu skaitlisku raksturlielumu. Piemēram, apskatot tādus lielumus kā spēks, pārvietojums vai paātrinājums, bez to skaitliskās vērtības svarīgs ir arī virziens. Piemēram, pieliekot vienu un to pašu spēku, ķermeni var pārvietot dažādos virzienos, braucot ar vienu un to pašu ātrumu, var doties dažādos virzienos utt. Latīņu valodā scalaris kāpņveidīgs, ar pakāpieniem. Lielumus, kurus nosaka gan skaitliskā vērtība, gan virziens, sauc par vektoriāliem lielumiem. tšķirību starp skalāru un vektoriālu lielumu viegli saprast, piemēram, aplūkojot kādā kustībā veikto ceļu un pārvietojumu. eļš raksturo noieto attāluma vienību (piemēram, metru vai kilometru) daudzumu. Tas ir skalārs lielums, jo, sakot noieti 400 m, pilnīgi skaidrs, cik garš ceļš ir veikts. Savukārt, pārvietojums raksturo objekta attālumu no kustības sākumpunkta līdz kustības beigu punktam pa gaisa līniju. Pārvietojums ir vektoriāls lielums, jo, lai to raksturotu, svarīgi zināt, cik tālu no sākumpunkta kustības beigās atrodas objekts, kā arī tas, kādā virzienā šis pārvietojums noticis piemēram, 400 m dienvidaustrumu virzienā att. No latīņu valodas vector vedējs, nesējs. pārvietojums Uzdevumi 1.1. oti dažādi lielumu pāri. Izvirzi hipotēzi, kurš pāris šeit neiederas. Paskaidro to. a) arbs, paātrinājums; d) laukums, augstums; b) spēks, ceļš; e) ātrums, masa; c) pārvietojums, garums; f) svars, masa. ceļs 1.2. att. 3

2 Vektora jēdziens, vektora modulis Lai vektoriālus lielumus attēlotu grafiski, izmanto vektorus. Interesanti Vektora jēdzienu lieto arī medicīnā. Par vektoru medicīnā sauc organismu, kas satur noteiktu informāciju un pārnes NS vai RNS molekulas. To bieži izmanto gēnu inženierijā. Vektors ir orientēts nogrieznis, kuru raksturo noteikts garums un virziens. Katram vektoram ir sākumpunkts un galapunkts. Vektorus var apzīmēt: ar diviem lielajiem burtiem, liekot virs tiem bultiņu, ievērojot, ka pirmais burts atbilst vektora sākumpunktam, bet otrs tā galapunktam, piemēram,, ; ar vienu mazo burtu, liekot virs tā bultiņu, piemēram, a, n. a n 1.3. att. s = att. Ja ceļa sākumpunkts sakrīt ar galapunktu, tad pārvietojums ir 0. Uzdevumi Vektoram atbilstošā nogriežņa garumu sauc par vektora moduli jeb vektora garumu un apzīmē ar a. Ja a = 5 cm, tad vektors a ir 5 cm garš, ja = 10, tad vektors ir 10 vienības garš. Vektoru, kura sākumpunkts sakrīt ar galapunktu, sauc par nulles vektoru un pieraksta: 0. Nulles vektora (jeb nullvektora) garums ir vienāds ar 0: 0 = ik dažādus vektorus nosaka visi iespējamie punktu pāri, kurus veido romba virsotnes? Uzraksti tos Uzraksti atšķirību starp: a) nogriezni un vektoru; b) staru un vektoru; c) taisni un vektoru Taisnstūra mala = 3, = 4 (skat att.). Nosaki vektoru,,, garumus Uzzīmē dotos vektorus, ja 4 a) KL = 3, 5 cm, c) t = 0, b) c = 3 5 dm, d) = 2 un = att.

3 Vienādi, vienādi vērsti, pretēji un pretēji vērsti vektori Ja vektori un atrodas uz vienas vai uz paralēlām taisnēm un, ja stari un ir vienādi vērsti, tad vektorus un sauc par vienādi vērstiem vektoriem. Ja stari un ir pretēji vērsti, tad vektorus un sauc par pretēji vērstiem vektoriem. b d c 1.6 att. Vienādi vērsti vektori ir a un d, c un b ; pretēji vērsti vektori ir c un e, f un a. Vienādi vērsti un pretēji vērsti vektori var būt gan vienāda, gan dažāda garuma. Vektorus a un b, kuru moduļi un virzieni ir vienādi, sauc par vienādiem vektoriem un pieraksta a = b. Vektorus a un b, kuru moduļi ir vienādi, bet vērsumi pretēji, sauc par pretējiem vektoriem un pieraksta a = b. a f e F 3 F 1 F att. F 1 un F 2 vienādi vērsti vektori, bet, piemēram, F 2 un F 3 ir pretēji vērsti vektori. e g c a f d b h 1.8. att. Ja četrstūris ir rombs (skat att.), tad c = d, jo to vērsumi ir vienādi un c = d kā romba diagonāles puses. e = h, jo to vērsumi ir vienādi un e = h kā romba malas. Savukārt, vektori a un b, kā arī f un g ir pretēji vektori, jo to moduļi ir vienādi, bet vērsumi pretēji. Zini! Vektorus, kas atrodas vienā plaknē un uz paralēlām taisnēm, sauc arī par kolineāriem vektoriem. Uzdevumi 1.6. Izmantojot doto 1.9. attēlu, uzraksti vektorus, kas ir a) vienādi vērsti vektori, d a b) pretēji vektori, c) nulles vektori, d) vienādi vektori, e) pretēji vērsti vektori. f c b o e g 1.9. att. 5

4 arbības ar vektoriem ģeometriskā formā Pētniecisks uzdevums 1.7. Nepieciešamie materiāli. Klucītis vai kastīte (piemēram, sērkociņu kastīte), divas aukliņas. Uzdevums. Strādājot pārī, izveidojiet modeli no kastītes un aukliņām (skat att.) un to lēnām velciet aiz aukliņām. Vērojiet un mēģiniet uzzīmēt, kādā virzienā pārvietojas kastīte. Izvirziet hipotēzi par priekšmeta pārvietošanās virzienu, un kā tas rodas. Skats no augšas Vektoru saskaitīšana att. Šajā mācību kursā apskatīsim vektoru saskaitīšanu, atņemšanu un vektora reizināšanu ar skaitli. Šo darbību rezultāti atkarīgi gan no vektoru garumiem, gan no to savstarpējiem vērsumiem. 6 F 1 F att. Kādiem jābūt attēlā dotajiem spēkiem F 1 un F 2, lai meitene neiekristu ūdenī? attēlā parādīts tūristu grupas pārgājiena ceļš divu dienu garumā. Pirmajā dienā viņi nogāja ceļu no Stacijas līdz votam, bet otrajā veica ceļu no vota līdz Ezeram. Katras dienas veikto pārvietojumu var attēlot ar vektoriem a un b, kas attiecīgi savieno katras dienas maršruta sākumpunktu un galapunktu. c Stacija Ezers a vots att. cīmredzams, ka kopējo divu dienu pārgājienam atbilstošo pārvietojumu raksturo vektors c, kas savieno Staciju un Ezeru pārgājiena sākumpunktu un galapunktu. Šādā situācijā vektoru c sauc par vektoru a un b summu. Līdzīgi ir, ja uz kādu ķermeni darbojas vairāki spēki. Tādā gadījumā kopējais spēks atbilst atsevišķo spēku vektoru summai. Lai saskaitītu divus vektorus, var izmantot vai nu trijstūra likumu vai paralelograma likumu. b

5 Trijstūra likums. Ja vektori a un b atlikti viens otra galā, tad summas vektors c savieno pirmā vektora sākumpunktu ar otrā vektora galapunktu. Lai attēlā dotos vektorus saskaitītu pēc trijstūra likuma, rīkojas, kā parādīts attēlā. a b a b c att att. a + b = c. Saskaitot attēlā redzamos vektorus un, pēc trijstūra likuma, iegūst vektoru, kura sākumpunkts ir pirmā vektora sākumpunkts un galapunkts ir otrā vektora galapunkts att. + = + =. Ievēro! SK + KL = SL Paralelograma likums. Ja vektori a un b atlikti no kopīga sākumpunkta, tad summas vektors c iziet no vektoru kopīgā sākumpunkta un ir tāda paralelograma diagonāle, kura malas ir vektori a un b. Lai attēlā dotos vektorus saskaitītu pēc paralelograma likuma, rīkojas, kā parādīts attēlā. a b a att att. a + b = c. Saskaitot vektorus gan pēc trijstūra likumu, gan pēc paralelograma likuma, summā iegūst vienu un to pašu vektoru. Pārliecinieties par to paši! Vairāku vektoru summu iegūst, ja pakāpeniski pie pirmā vektora pieskaitot otro vektoru, pie to summas trešo vektoru, pie trīs vektoru summas nākamo vektoru utt. Līdz ar to vairākas reizes pēc kārtas tiek izmantots vektoru saskaitīšanas trijstūra likums. b c F 1 F 2 F att. Ja uz ķermeni darbojas divi spēki F 1 un F 2, tad kopspēka jeb rezultējošā spēka F virzienu un lielumu var noteikt ar paralelograma likumu. 7

6 1.19. attēlā doto vektoru summas vektora iegūšana attēlota attēlā. a c b b d a c s a + b a + b + c d Vektoru atņemšana att att. a + b + c + d = s. Praktiski izpildot vairāku vektoru saskaitīšanu, tos secīgi atliek vienu otram galā, nemeklējot starpsummas vektorus. Summas vektoru iegūst, savienojot pirmā vektora sākumpunktu un pēdējā vektora galapunktu. F E att E + EF = F Ievēro! b a b a b a Par divu vektoru a un b starpību sauc tādu vektoru c, pie kura pieskaitot vektoru b iegūst vektoru a, tātad a b = c, ja c + b = a. Praktiski, vektoru atņemšanu ērtāk aizstāt ar pretēja vektora pieskaitīšanu. Proti, a b = a + ( b ). Vektoru a un b starpības vektora c iegūšanas ceļš parādīts attēlos. a b b b c a att. otie vektori att. Vektora b pretējais vektors att. Izmantojot vektoru saskaitīšanas trijstūra likumu: a b = a + ( b ) = c Vektora reizināšana ar skaitli Par vektora a reizinājumu ar skaitli k (k 0) sauc vektoru b, kura garums b vienāds ar k a, pie tam a) vektori a un b ir vienādi vērsti, ja k > 0, b) vektori a un b ir pretēji vērsti, ja k < 0. 8

7 Vektora reizinājumu ar skaitli apzīmē: b k a =. Vektors a Skaitlis k k a k = 2 2 a a k = 3 3 a Uzdevumi 1.8. Konstruē attēlā doto vektoru saskaitīšanas, atņemšanas vai reizināšanas rezultātā iegūto vektoru. a a) a + b e) a c 1 i) c 2 c b b) a + c + b f) c b j) 2 b c) 2 a g) 2 a c k) 3 5 a + 2 c att ttēlos parādīts, kā uz dažādiem ķermeņiem darbojas dažādi spēki. Nosaki katram ķermenim pieliktā kopspēka virzienu un tā lielumu. a) b) 9 N k = N 15 N c) d) 10 N 1 2 a Ja kādu vektoru reizina ar 0, vienmēr iegūst 0. Ja nullvektoru reizina ar kādu skaitli, arī iegūst 0. d) c h) 0 c l) 23 N 20 N 12 N Zini! 1 2 c 2 b N(ņūtons) spēka vienība. Ja ķermeņa masa ir 1 kg, tad 1 N liels spēks tam piešķir paātrinājumu 1 m s, 2 1 N 1 kg = 1 m. 2 1 s 10 N Uzzīmē divus vektorus a un b. Uzzīmē vektorus a + b, 2 ( a + b), 2 a + 2 b. Ko vari secināt? Uzziņu literatūrā atrodi komutatīvās un asociatīvās īpašību formulējumus. Vai vektoru saskaitīšanai ir spēkā: a) komutatīvā īpašība; b) asociatīvā īpašība? 9

8 1.12. Uzzīmē vektoru a un summas vektoru a + b, izmantojot attēlā dotos vektorus. Uzzīmē vektoru b. a a + b att Uzzīmē divus vektorus. Pieņem, ka viens no tiem ir 2 a, bet otrs ir a + b. Konstruē vektoru b Uzskicē vektoru v. Pieņemsim, ka tas ir ātrums, kura modulis ir 10 km h. a) Uzskicē vektoru 2 v. Ko izsaka šis vektors? b) Uzskicē vektoru v. Ko izsaka šis vektors? oti punkti un. praksti punkta P atrašanās vietu, ja P = k (k 0). (Ieteicams apskatīt četrus gadījumus: k < 0; 0 < k < 1; k = 1; k > 1) Futbola spēles laikā bumbu vienlaicīgi spēra divi spēlētāji, kuri atradās bumbas pretējās pusēs. Kurā no gadījumiem bumbai tiks pielikts lielāks kopīgais spēks? Pamato atbildi. a) 75 N 70 N b) 50 N 25 N Lidoja trīs lidmašīnas. Pirmā lido ar ceļavēju, otrā lido pret vēju, bet uz trešo lidmašīnu pūš sānvējš (skat. a), b), c)). Vēja stiprums un lidmašīnas ātrums visos gadījumos ir vienāds. Uzskicē aptuvenu katras lidmašīnas lidojuma trajektoriju un nosaki, kura no lidmašīnām galamērķi sasniegs pirmā. a) b) c) Latīņu valodā navigatio kuģošana. Tā ir arī zinātne par kustīgu objektu vadīšanu. Trajektorija optimālais maršruts. Kurss virziens, kādā lidotu lidmašīna vai pārvietotos kuģis, ja nebūtu vēja vai straumes Peldētājs 100 metrus baseinā nopeld 50 sekundēs. ik ilgi peldētājs 100 m peldēs pa upi, kuras straumes ātrums ir 1,5 m, ja viņš peld s a) pa straumi, b) pret straumi? Lidmašīnas ātrums ir 480 km h. ik ilgi lidmašīna lidos 940 km, ja pūš 10 km h liels pretvējš? 10

9 prēķinus veikt ar precizitāti līdz desmitdaļām! Piemērs Motorlaivas vidējais ātrums stāvošā ūdenī ir 5 m, tās kurss ir austrumu virzienā. s Straume tek ar vidējo ātrumu 2,5 m, dienvidu virzienā. s a) ik liels ir motorlaivas rezultējošais ātrums, un kāds ir tā virziens? b) ik ilgā laikā motorlaiva šķērsos upi, ja upes platums ir 80 m? c) Par cik metriem no izbraukšanas punkta būs pārvietojusies motorlaiva, ja kustība notiek lejup pa straumi? a) Kurss ir OE virzienā (skat att.), bet straumes virziens ir OS virzienā (skat att.). O 5 m s E att. 2,5 m s S V Rezultējošā ātruma vektoru atrod pēc paralelograma likuma (1.26. att. OV). Rezultējošā ātruma lielums atbilst šī vektora garumam. Trijstūris EVO ir taisnleņķa trijstūris, tādēļ tg EOV = = EV 1 OE 2. Izmantojot kalkulatoru, nosakām leņķa EOV lielumu: 26,6. Tātad laivas trajektorija ir ,6 = 116,6, salīdzinot ar ziemeļu virzienu. Izmantojot Pitagora teorēmu, aprēķinām rezultējošā ātruma vektora garumu: OV = m +, = 31, 25 = 5, 6 ( s ) att. Kompass ir navigācijas instruments Zemes debespušu noteikšanai (no vācu val. kompaß, savukārt no itāļu val. compasso cirkulis un compassare mērīt soļiem). Grādus kompasā mēra, sākot no Ziemeļiem pulksteņrādītāja virzienā. b) Lai aprēķinātu laiku, kas nepieciešams upes šķērsošanai, izmanto trijstūru līdzību. Tā kā rezultējošā ātruma vektors nosaka, pa kādu trajektoriju laiva šķērsos upi, tad trijstūris OVS (skat att.), kura malas ir ātrumu vektoru garumi, ir līdzīgs trijstūrim (skat att.), kura mala atbilst laivas pārvietojumam no viena upes krasta uz otru, bet mala atbilst upes platumam, pēc taisnleņķa trijstūru līdzības pazīmes ll, t. i., ~ OVS att. 80 m s s Tā kā t = (no ātruma aprēķināšanas formulas v = ), tad laiku t var aprēķināt, izdalot veikto ceļu ar rezultējošo ātrumu OV, t. i.,. Tā kā ~ OVS, tad v t OV 80 m = = = 16 s, jeb šo trijstūru līdzības koeficients atbilst laikam t. OV SV m 5 s c) ttālums = 2,5 m s 16 s = 40 m. 11

10 Uzdevumi prēķinus veic ar precizitāti līdz desmitdaļām. Motorlaiva brauca ar vidējo ātrumu 6 m uz rietumiem, straumes vidējais ātrums s ir 3,8 m uz ziemeļiem. s a) Nosaki motorlaivas rezultējošo ātrumu. b) ik ilgi motorlaiva brauks no viena krasta līdz otram, ja upes platums ir 120 m? c) Par cik metriem no izbraukšanas punkta būs pārvietojusies motorlaiva, ja kustība notiek lejup pa straumi? prēķinus veic ar precizitāti līdz desmitdaļām. irētājs stāvošā ūdenī airē ar vidējo ātrumu 5 m s. Upe ir 200 m plata, un straumes vidējais ātrums ir 2 m straume (skat att.). s a) ik tālu straume aiznestu laivu, ja airētu perpendikulāri krastam? att. b) Kādā virzienā jāairē laiva (jānosaka kurss), lai Mezgls ātruma mērvienība jūrā. 1 mezgls = 1 jū- pretējā krastā tā nonāktu tieši pretī izbraukšanas punktam (punktā )? ik liels būs rezultējošais ātrums un cik ilgā laikā airētājs sasniegs pretējo ras jūdze (1,852 km) stundā jeb aptuveni 0,5 m s. c) Kādā virzienā jāairē laiva (kurss), lai visātrāk no- krastu? nāktu pretējā krastā? Uzskicē atbilstošu zīmējumu un aprēķini leņķi starp kursu un trajektoriju. a) Kuteris brauc ar vidējo ātrumu 10 mezgli, tā kurss ir 30 attiecībā pret ziemeļu virzienu. Straumes virziens ir 120 attiecībā pret ziemeļu virzienu, bet kutera rezultējošais ātrums ir 20 mezgli. b) Laivas trajektorija ar Ziemeļu virzienu veido 70 leņķi, tās rezultējošais ātrums ir 8 mezgli, straumes virziens ir 160 un tās ātrums ir 8 mezgli Vējš pūš dienvidrietumu virzienā. Lidmašīnai jālido uz ziemeļiem, lai no pilsētas aizlidotu uz pilsētu. Uzskicē pilsētas iespējamo atrašanās vietu. tpakaļceļā vēja ātrums un virziens nemainās, kā arī lidmašīnas ātrums ir tāds pats. Uzskicē, kāds kurss jānostāda, lai lidmašīna sasniegtu pilsētu prēķinus veic ar precizitāti līdz desmitdaļām. ivi velkoņi velk kuģi tā, kā parādīts attēlā. prēķini velkoņu kopējo rezultējošo spēku Punkti un E ir trijstūra malu un viduspunkti. plūko attēlu un uzraksti: a) kuri vektori ir vienādi; b) kuri vektori ir pretēji; c) kuri vektori ir vienādi vērsti ar vektoru kn kn att. E att.

11 1.26. Vienādsānu trapecē ( = ) novilktas diagonāles, kas krustojas punktā O. tzīmē vektorus,,,, O, O, O, O. Izraksti no dotajiem vektoriem tos vektorus, kas ir a) vienādi vērsti vektori, c) pretēji vektori, b) pretēji vērsti vektori, d) vienāda garuma vektori Uzzīmē trijstūri EF. Uzzīmē doto vektoru summas vektoru. a) F un FE b) E un FE c) F un E d) F un FE Trijstūrī malas = 5 un = 12, = 90. prēķini: a) + ; c) + ; e) + ; g) + ; b) ; d) ; f) ; h). Vektora izteikšana ar dotiem vektoriem plūkosim šaha galdiņu un figūru, kas novietota galdiņa kreisajā apakšējā stūrī (skat att.). Pieņemsim, ka vienā gājienā figūra var pārvietoties vai nu vienu rūtiņu uz augšu, vai vienu rūtiņu pa labi. a O l att. a gājiens uz augšu l gājiens pa labi O = 2l + 3a O = 5a + 6l Lai no sākumpunkta nokļūtu punktā, figūra tiek pārvietota 2 lauciņus pa labi un 3 uz augšu, savukārt, lai nokļūtu punktā, figūru pārbīda 5 lauciņus uz augšu un 6 pa labi. Ja vienu figūras pārvietojumu uz augšu apzīmējam ar vektoru a, bet pārvietojumu pa labi ar vektoru l, tad šajā spēlē katru figūras kopējo pārvietojumu (vektoru) var izteikt, izmantojot šos divus vektorus. Ja plaknē doti divi vektori a un b, kas neatrodas uz paralēlām taisnēm, tad katru citu šīs plaknes vektoru c var izteikt ar dotajiem vektoriem a un b, t. i., vektoru c iespējams uzrakstīt formā c = m a + n b, kur m, n R. Vektoru izteikšanā izmanto vektoru saskaitīšanas, atņemšanas, kā arī reizināšanas ar skaitli likumus att. Izsaki attēlā redzamā šaha zirdziņa vienu gājienu, izmantojot vektorus a un l. Ievēro! Lai izteiktu kādu vektoru, tā ceļš no sākumpunkta līdz galapunktam jāapraksta ar nosacījumos dotajiem vektoriem. 13

12 Piemēri 1. Izteikt vektoru O ar vektoriem a un b. 1) praksta ceļu no uz O. O b risināšanas veids 2. risināšanas veids a a a 1 O b O b b O = O + O = O + 2) Novērtē katru no summas vektoriem O un attiecībā uz vektoriem a un b. O vērsums sakrīt ar b vērsumu un O ir 1,5 reizes garāks par a, tāpēc O = 1,5 a. vērsums sakrīt ar b. Lai izteiktu, piemēram, vektoru un b, ērti izmantot doto risināšanas secību. 1 O vērsums sakrīt ar b vērsumu un O ir 3 reizes garāks par b, tāpēc O = 3 b. vērsums nesakrīt ne ar vektora a, ne ar vektora b vērsumu. pskatīsim daļu no vektora vektoru 1. Vektors 1 = +. ir b pretējs vektors = b, bet 1 sakrīt ar vektoru a, tad 1 = b + a. = 1, 5 = 1 5( b + a) 1,. 3) Summā O = O + vektorus O un aizstāj ar iegūtajām izteiksmēm. O = O + = 1, 5a + 1, 5b. O = O + = 3 b + 1, 5 ( b + a) = 1, 5 b + 1, 5 a. a ar vektoriem a 1) praksta ceļu no uz, kā atsevišķu vektoru summu: = n n n k 2) Novērtē katru no summas vektoriem n i attiecībā uz dotajiem vektoriem a un b, atbildot uz jautājumiem: vai n i vērsums sakrīt ar doto vektoru vērsumu? vai n i ir daļa no dotajiem, vai to daudzkārtnis? vai n i (vai tā daļu) var izteikt kā doto vektoru summu vai starpību? 3) n n n = k summā n i aizstāj ar iegūtajām izteiksmēm.

13 2. ots taisnstūris (skat att.), kurā novilktas diagonāles, kas krustojas punktā O, un vektori O = a un O = b. Izteikt prasītos vektorus ar vektoriem a un b : att. a) ; b) ; c) E, kur E un sadala to attiecībā E : E = 3 : 2. a) Izsaka. Pēc taisnstūra īpašībām = 2O. Tā kā vektoriem un O vērsumi ir pretēji, iegūst: = 2 b. b) Izsaka. praksta ceļu no uz : = O + O. Tā kā O = a un O = b, tad = O + O = a + b = b a. c) Izsaka E. eļu no uz E var aprakstīt vairākos veidos. pskatīsim vienu no tiem: E = + E. = 2 a (skat. a) piemēru). Ja E : E = 3 : 2, tad E = 3 5. Izsaka. praksta ceļu no uz : = O + O = a b 3 3 Tad E = = ( a b). Līdz ar to, E = + E = 2a + a b 2a a b 1 2 a ( ) = = 3 5 b. b a b a b a b a O O O O E Uzdevumi No punkta O atlikti vektori O = a, O = b, O = c, O = d. Izsaki prasītos vektorus ar vektoriem a, b, c un d : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) O ; i) vienkāršo izteiksmi O ; j) ja punkts E ir nogriežņa viduspunkts, izsaki vektorus g) ; h) ; E, E, OE ots paralelograms, O tā diagonāļu krustpunkts. Pārbaudi, vai dotie apgalvojumi ir patiesi. a) + = d) O = O g) + = 0 b) O = e) + = h) O = 0,5 c) O = O f) = i) ( + ) + = 15

14 1.31. Trijstūrī punkts atrodas uz malas un = 2. Punkts E atrodas uz trijstūra malas un E = 2E. = un E = y. Izsaki prasītos vektorus ar vektoriem un y : a) ; b) ; c) E ; d) Trijstūra mediānu krustpunkts ir punkts M. Izsaki M ar E un F ar FM (skat att.). Kādas vienādības vēl var uzrakstīt? M E F att Četrstūris RSTU ir taisnleņķa trapece, MN tās viduslīnija. MR = a, MT = b un MN c = (skat att.). Izsaki prasītos vektorus ar vektoriem a, b un c : a) RS ; b) ST; c) TN; d) RU; e) US! S M R att. T N U Vektora projekcija F att. plūkosim situāciju, kad aiz auklas tiek vilktas ragaviņas (skat att.). Skaidrs, ka vilkšanas spēks tiek pielikts auklas virzienā, taču ragaviņas, kurās kāds sēd, slīd uz priekšu pa zemi. Ja būtu zināms vilcējspēka lielums un arī leņķis, ko tas veido ar zemei paralēlu taisni, varētu aprēķināt vektora projekciju lielumu, kas raksturo ragaviņu kustību uz priekšu. Fizikā apskata divus atšķirīgus jēdzienus vektora ģeometriskā projekcija un vektora projekcija. Vektora ģeometriskā projekcija ir vektors, kuru iegūst, no vektora galapunktiem pret apskatāmo taisni velkot perpendikulus. Vektora galapunkta projekcija atbilst ģeometriskās projekcijas galapunktam, vektora sākumpunkta projekcija atbilst ģeometriskās projekcijas sākumpunktam. a a t Projekcija (no latīņu valodas proiectio mešana uz priekšu) kāda priekšmeta attēls uz plaknes. 16 a t att. Vektora a ģeometriskā projekcija ir vektors a t. a att. Vektora a ģeometriskā projekcija ir vektors a. Ievēro: ass vietā var būt izmantota jebkura cita ass, piemēram, y ass.

15 Vektora a projekcija uz ass ir skaitlis, kurš vienāds ar vektora ģeometriskās projekcijas a garumu a, ja ģeometriskās projekcijas un ass vērsumi sakrīt, ir pretējs skaitlis ģeometriskās projekcijas a garumam, ja ģeometriskās projekcijas un ass vērsumi ir a pretēji att. Vektora, att. Vektora projekcija ir, jo projekcija ir, jo ģeometriskās projekcijas ģeometriskās projekcijas un ass vērsumi sakrīt. un ass vērsumi pretēji. Ja zināms vektora a garums a un leņķis α, ko vektors veido ar ass pozitīvo virzienu, tad var aprēķināt vektora projekcijas garumu, izmantojot formulu a a cosα. = Renārs, velkot rotaļu automašīnu aiz saites, kas vērsta 30 leņķī pret horizontu, pieliek saitei 8 N lielu spēku. ik liela ir horizontālā vilcējspēka projekcija? Ja F = 8 N, tad F = F 3 cos30 = 8 N = 4 3 N. 2 y y y y y att. Vektora projekcija ir y y vektora projekcija ir y y. α a F 30 F a att. cosα = a a att. Piemērs Uzdevumi Uzzīmē (skat att.): a) vektoru ģeometrisko projekciju uz un y asīm; b) vektoru ģeometrisko projekciju uz taisnes y =. y k m 1 s a att. 17

16 1.35. prēķini attēlā doto vektoru projekcijas uz un y asīm Kādā gadījumā: a) vektora projekcija uz ass ir vienāda ar nulli; b) vektora projekcijas modulis uz ass ir vienāds ar vektora garumu? Lidmašīnas ātrums ir 700 km un tās nospraustais kurss ir 60 attiecībā pret ziemeļu virzienu. h prēķini ātruma vektora projekcijas uz un y asīm (y ass sakrīt ar ziemeļu virzienu). 18 c = 2 Novietosim vektoru koordinātu plaknē tā, lai tā sākumpunkts sakrīt ar koordinātu plaknes sākumpunktu O (skat att.). Uz O ass atliksim vektoru i, kurš ir 1 vienību garš, bet uz ass Oy atliksim 1 vienību garu vektoru j. Tā kā katru plaknes vektoru var izteikt ar diviem citiem vektoriem, kas nav paralēli, tad arī vektoru var izteikt ar vektoriem i un j. Pēc paralelograma likuma = i + yj. Šādi izteikta vektora koeficientus un y sauc par vektora koordinātām. Vektoru, kas uzdots koordinātu formā pieraksta: = (; y). Zinot, ka vektora sākumpunkts sakrīt ar koordinātu plaknes sākumpunktu, vektora koordinātas atbilst tā galapunkta koordinātām (skat att.). Zinot vektora koordinātas, var aprēķināt tā garumu. Ja dots vektors = (; y), tad tā moduli (garumu) aprēķina pēc formulas = 2 + y 2. y a = 3 30 b = att Ragaviņas, kurās sēž bērns, velk aiz auklas, kas veido 60 lielu leņķi ar zemi. a) prēķini horizontālo un vertikālo vilcējspēka projekciju, ja ragaviņas tiek vilktas ar 40 N lielu spēku. b) Ja vilcējspēku pieliktu 30 leņķī attiecībā pret horizontu, ragaviņas vilktos vieglāk. Pamato savu atbildi Kā jānovieto projekciju ass, lai divu dažādu vektoru projekcijas uz tās būtu vienādas? Vektora koordinātas y j y 0 y j 0 i i att. (; y) att. Vektora garuma aprēķināšanas formulu, ja dotas tā koordinātas, iegūst, izmantojot Pitagora teorēmu. y Piemērs prēķināt vektora a = (6; 8) garumu. Vektora a = (6; 8) garums jeb modulis ir a 2 2 = = 10.

17 Vektora koordinātas var aprēķināt arī tad, ja tā galapunktu koordinātas neatrodas koordinātu plaknes sākumpunktā. Ja vektora sākumpunkts un galapunkts ir punkti ar koordinātām ( 1 ; y 1 ) un ( 2 ; y 2 ), tad vektora koordinātas ir ( 2 1 ; y 2 y 1 ). y 2 y 1 y 2 y 1 y ( 1 ; y 1 ) ( 2 ; y 2 ) att. Izmantojot zīmējumu, pamato vektora koordinātu aprēķināšanas formulu. Ievēro! Vektoru un koordinātas ir pretēji skaitļi. 1 2 Formulu viegli iegūt, ja vektoru novieto uz tam paralēlas taisnes, kas novilkta caur koordinātu sākumpunktu, tā, lai tā sākumpunkts sakrīt ar koordinātu plaknes sākumpunktu. oti punkti (3; 2) un ( 1; 0). prēķināt vektoru un koordinātas (skat att.). = ( 1 3; 0 2) = ( 4; 2), bet = (3 ( 1); 2 0) = (4; 2). ( 1; 0) Piemērs y (3; 2) att. 0 1 arbības ar vektoriem koordinātu formā Ja vektori doti koordinātu formā, tad tos var gan saskaitīt, gan atņemt, gan reizināt ar skaitli. To dara, ievērojot šādus likumus: Ja doti vektori a = ( 1 ; y 1 ) un b = ( 2 ; y 2 ), tad a + b = ( ; y 1 + y 2 ) a b = ( 1 2 ; y 1 y 2 ) k a = (k 1 ; k y 1 ) y 1 + y 2 y 2 y 1 y 1 y 0 b 2 a a + b b 1 2 Izmantojot attēlu, pamato formulu: a + b = ( ; y 1 + y 2 )! att. 19

18 Piemērs attēlā doti vektori a = (2; 2) un b = (3; 0) un skaitļi k = 3 un m = 0,75. prēķināt vektoru a + b, b a, k a un m b koordinātas. 1) a + b = (2 + 3; 2 + 0) = (5; 2) 2) b a = (3 2; 0 ( 2)) = (1; 2) 3) k a = (3 2; 3 ( 2)) = (6; 6) 4) m b = ( 0,75 3; 0,75 0) = ( 2,25; 0) y 3 a b att. Uzdevumi Koordinātu plaknē atliec dotos vektorus: a) vektoru, ja (4; 5), ( 1; 2); c) vektoram c vienādi vērstu vektoru; b) vektoru c = (2; 3); d) vektoram pretēju vektoru utomašīna brauc no punkta uz E caur punktiem,, (skat att.). a) Izsaki koordinātu formā vektorus,, un E. b) Izsaki koordinātu formā vektoru E. c) prēķini koordinātu formā vektoru summu E. Salīdzini iegūto E summas vektoru ar vektoru E att ots, ka a = (2; 4), b = (3; 6), c = (6; 12) un d = (1;3). prēķini skaitļus k, m un n, 20 ja tas ir iespējams. a) c = k a b) c = m b c) a = n d Konstruē dotos vektorus. Ko var secināt? Zināms, ka: a) = (3; 2) un (4; 0). Nosaki punkta koordinātas. b) = (0; 2) un (4; 5). Nosaki punkta koordinātas. Uzzīmē šos vektorus ots vektors ( 2; 4) un vektors, kuram ( 1; 3) un ( 1; 2). Uzzīmē šos vektorus. a) aprēķini abu vektoru moduļus; b) aprēķini punkta E koordinātas, ja vektori EF un ir vienādi un punkta F koordinātas ir (4; 5); c) izmantojot zīmējumu nosaki abu vektoru viduspunkta koordinātas. Izvirzi hipotēzi kā var aprēķināt vektora viduspunkta koordinātas.

19 1.45. ots v = (1; 2) un u = (3; 0). prēķini: a) 3 v ; b) v + u ; c) v u ; d) 2 v + 3 u oti punkti K(2; 1), L(8; 1) un M(6; 4). prēķini vektoru KL, KM, LM, MK garumus oti punkti (4; 0), (5; 4), ( 3; 1) un (1; 3). Nosaki: a) vektoru un koordinātas; b) un ; c) 1 4 ; d) tāda punkta K koordinātas, kurš sadala nogriezni attiecībā 1 : 3, skaitot no punkta PQRS ir taisnstūris, kuram PQ = 4 cm, QR = 3 cm. prēķini vai izsaki: a) PQ + QR b) PQ + QR c) PQ + RS Punkti (2; 3), (4; 1) un (2; 8) ir trijstūra virsotnes. X ir nogriežņa viduspunkts, bet Y ir nogriežņa viduspunkts. Uz taisnes XY atlikts punkts T tā, lai XY = YT. prēķini punkta T koordinātas. Nosaki un pamato figūras XT veidu oti vektori a = (2; 4) un, kur (1; 1) un ( 2; 2). Uzzīmē vektoru ģeometriskās projekcijas un nosaki to projekcijas uz asīm Vektora a ģeometriskās projekcijas uz asīm ir vektori c = (4; 0) un d = (0; 2). Uzzīmē vektoru a un nosaki tā koordinātas. Uzdevumi par nodaļu No punkta O atlikti divi vektori: O = a un O = b. Punkts M ir nogriežņa viduspunkts, bet N ir nogriežņa O viduspunkts. a) Uzzīmē aprakstam atbilstošu zīmējumu. b) Izsaki vektorus, M, OM, ON un N ar vektoriem a un b.. Izsaki vektoru OH ar vek- c) Punkts H atrodas uz nogriežņa N un H = 2 N 3 toriem a un b. d) punkts P ir nogriežņa O viduspunkts. Pierādi, ka punkti, H, P atrodas uz vienas taisnes prēķinus veic ar precizitāti līdz veseliem grādiem. Sākot ceļojumu no ostas, kuģis virzienā uz rietumiem nobrauca 200 km un pēc tam vēl 240 km virzienā uz dienvidiem. Tad tas salūza. Uzzīmē virzienu, izmantojot vektorus. Uzzīmē virzienu, kādā jādodas glābējiem no ostas, lai pēc iespējas ātrāk nokļūtu pie kuģa un nosaki leņķi starp to un rietumu virziemu. 21

20 1.54. oti punkti (1; 3) un (4; 2). Kādas ir punkta koordinātas, ja vektoru iegūst no punkta ( 2; 3) atliekot vektoru 3. Kāds ir iegūtās figūras veids? tbildi pamato Vektors p ir perpendikulārs vektoram p + q. ots, ka p = 5 un q = 13. prēķini p + q Uzzīmē O = a, O = 5 a, O = b, O = 5 b, O, O. Izsaki ar Peldētājs startēja no viena upes krasta un peldēja tai pāri virzienā uz dienvidiem ar ātrumu 2 km h. Upe ir 200 m plata un tek uz austrumiem ar ātrumu 1 km h. a) ttēlo peldētāja pārvietojumu, izmantojot vektorus. b) prēķini peldētāja rezultējošo ātrumu. c) ik ilgā laikā viņš pārpeldēs upi? ik tālu uz austrumiem no starta vietas viņš būs aizpeldējis? Laura un Laila lūdz izšķirt viņu strīdu. Viņas, saskaitot divus spēka vektorus, kuru lielumi ir 4 N un 3 N, ieguvušas dažādus rezultējošos spēkus. Lauras atbilde ir 7 N, bet Lailas atbilde 5 N. Kurai meitenei ir taisnība? Pamato savu atbildi ots: (0; 4) un (6; 1). Punkts P sadala nogriezni attiecībā 2 : 1, skaitot no punkta. Nosaki punkta P koordinātas. Punkts Q sadala nogriezni attiecībā 5 : 1 skaitot no punkta. Nosaki punkta Q koordinātas Nosaki punkta M koordinātas, ja zināms, ka tas atrodas vienādā attālumā no punktiem (7; 1), ( 2; 2) un ( 1; 5) F 1 ir 3 N liels spēks, kas iedarbojas uz ķermeni vertikāli uz augšu un F 2 ir 3 N liels spēks, kura virziens ir 60 attiecībā pret vertikālo virzienu. a) Uzzīmē gan vektorus F 1 un F 2, gan to summas vektoru. b) prēķini vektoru F 1 un F 2 summas vektora garumu. c) Nosaki vektora F 3 garumu un tā virziena leņķi, ja zināms, ka F 1 + F 2 + F 3 = No viena punkta atlikti vektori a + b, 2 a b un 5 a + 13 b. Pierādi, ka to galapunkti atrodas uz vienas taisnes Uzskicē zīmējumu, kas parāda, ka 2v = 2 v Pierādi, ka kv = k v. Paškontroles uzdevumi 1. oti vektori a un b (skat att.). 22 Uzzīmē a + b, a b, a 2 b! a b att.

21 2. Uzzīmē attēlā doto vektoru b y c d ģeometriskās projekcijas un nosaki a 1 to projekcijas uz koordinātu asīm! ots paralelograms, tā diagonāļu krustpunkts ir punkts O, = a Izsaki ar vektoru a un b palīdzību vektorus: a) ; b) ; c) O ; d) O + O att. un = b. 4. Pastaigājoties suns pārvietojas pa trajektoriju EFG (skat att.), toties suņa saimnieks devās taisni no punkta uz punktu G. Izsaki vektorus,,, E, EF, FG un G koordinātu formā! G E F att. 5. oti punkti (1; 6), (4; 8) un ( 2; 5). Nosaki vektoru, un koordinātas un garumu! 6. ots: ka = a un = b. Izsaki ar vektoriem a un b! Izsaki ar vektoriem a un b! 7. ots u = (3; 1), v = ( 8; 4), w = ( 6; 2). prēķini: a) u + v ; c) 3 u + w ; e) u + 1 w 2 ; g) u + 1 w 2 b) u v ; d) 3u + w ; f) u + 1 w ; h) v. 2 v ; 8. Paralelograma virsotnes atrodas punktos (1; 2), (3; 8), (9; 10) un (; y). prēķini un y! 9. Punkta koordinātas ir (4; 0). trodi punkta P koordinātas, lai P = 2! 10. prēķinus veic ar precizitāti līdz desmitdaļām! Ieva vēlas pārpeldēt upi, kuras straumes ātrums ir 2 km h 3,5 km h. prēķini:. Ieva peld ar ātrumu a) kādā leņķī attiecībā pret krastu viņai jāpeld, lai upi šķērsotu perpendikulāri krastam; b) peldētājas rezultējošo ātrumu! 11. prēķinus veic ar precizitāti līdz vieniem! aļķa vidū ir piesietas divas troses, kuras uz augšu velk divi ceļamkrāni. Vienu trosi ceļamkrāns velk ar 65 kn lielu spēku, bet otru trosi velk otrs ceļamkrāns ar 75 kn lielu spēku. Spēki ar vertikāli veido attiecīgi 46 un 44 lielus leņķus. ik liels ir abu ceļamkrānu rezultējošais spēks? 23

Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Uzdevumu risinājumu paraugi. 4. nodarbība

Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Uzdevumu risinājumu paraugi. 4. nodarbība Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi 4 nodabība piemēs pēķināt vektoa a gaumu un viziena kosinusus, ja a = 5 i 6 j + 5k Vektoa a koodinātas i dotas: a 5 ; a =

Διαβάστε περισσότερα

Mehānikas fizikālie pamati

Mehānikas fizikālie pamati 1.5. Viļņi 1.5.1. Viļņu veidošanās Cietā vielā, šķidrumā, gāzē vai plazmā, tātad ikvienā vielā starp daļiņām pastāv mijiedarbība. Ja svārstošo ķermeni (svārstību avotu) ievieto vidē (pieņemsim, ka vide

Διαβάστε περισσότερα

M.Jansone, J.Blūms Uzdevumi fizikā sagatavošanas kursiem

M.Jansone, J.Blūms Uzdevumi fizikā sagatavošanas kursiem DINAMIKA. Dinmik prkst pātrinājum ršnās cēloħus un plūko tā lielum un virzien noteikšns pħēmienus. Spēks (N) ir vektoriāls lielums; ts ir ėermeħu vi to dĝiħu mijiedrbībs mērs. Inerce ir ėermeħu īpšīb sglbāt

Διαβάστε περισσότερα

Temperatūras izmaiħas atkarībā no augstuma, atmosfēras stabilitātes un piesārħojuma

Temperatūras izmaiħas atkarībā no augstuma, atmosfēras stabilitātes un piesārħojuma Temperatūras izmaiħas atkarībā no augstuma, atmosfēras stabilitātes un piesārħojuma Gaisa vertikāla pārvietošanās Zemes atmosfērā nosaka daudzus procesus, kā piemēram, mākoħu veidošanos, nokrišħus un atmosfēras

Διαβάστε περισσότερα

Gaismas difrakcija šaurā spraugā B C

Gaismas difrakcija šaurā spraugā B C 6..5. Gaismas difrakcija šaurā spraugā Ja plakans gaismas vilnis (paralēlu staru kūlis) krīt uz šauru bezgalīgi garu spraugu, un krītošās gaismas viļņa virsma paralēla spraugas plaknei, tad difrakciju

Διαβάστε περισσότερα

Tēraudbetona konstrukcijas

Tēraudbetona konstrukcijas Tēraudbetona konstrukcijas tēraudbetona kolonnu projektēšana pēc EN 1994-1-1 lektors: Gatis Vilks, SIA «BALTIC INTERNATIONAL CONSTRUCTION PARTNERSHIP» Saturs 1. Vispārīga informācija par kompozītām kolonnām

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS RAJONU 43. OLIMPIĀDE

LATVIJAS RAJONU 43. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 43 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 43 Pārlokot

Διαβάστε περισσότερα

Kontroldarba varianti. (II semestris)

Kontroldarba varianti. (II semestris) Kontroldarba varianti (II semestris) Variants Nr.... attēlā redzami divu bezgalīgi garu taisnu vadu šķērsgriezumi, pa kuriem plūst strāva. Attālums AB starp vadiem ir 0 cm, I = 0 A, I = 0 A. Aprēķināt

Διαβάστε περισσότερα

Logatherm WPS 10K A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013

Logatherm WPS 10K A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013 51 d 11 11 10 kw kw kw d 2015 811/2013 2015 811/2013 Izstrādājuma datu lapa par energopatēriņu Turpmākie izstrādājuma dati atbilst S regulu 811/2013, 812/2013, 813/2013 un 814/2013 prasībām, ar ko papildina

Διαβάστε περισσότερα

2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZE

2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZE Ekspluatācijas gaitā jebkura reāla būve ārējo iedarbību rezultātā kaut nedaudz maina sākotnējo formu un izmērus. Sistēmas, kurās to elementu savstarpējā izvietojuma un izmēru maiņa iespējama tikai sistēmas

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS RAJONU 39. OLIMPIĀDE

LATVIJAS RAJONU 39. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts o grāmatas:adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (-) kārtas (rajou) uzdevumi u atrisiājumi" LATVIJAS RAJONU 9 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 9 Ir jāaprēķia 00-ais

Διαβάστε περισσότερα

Laboratorijas darbu apraksts (I semestris)

Laboratorijas darbu apraksts (I semestris) Laboratorijas darbu apraksts (I semestris) un mērījumu rezultātu matemātiskās apstrādes pamati 1. Fizikālo lielumu mērīšana Lai kvantitatīvi raksturotu kādu fizikālu lielumu X, to salīdzina ar tādas pašas

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Līdzstrāva Strāvas stiprums un blīvums

3.2. Līdzstrāva Strāvas stiprums un blīvums 3.. Līdzstrāva Šajā nodaļā aplūkosim elektrisko strāvu raksturojošos pamatlielumus un pamatlikumus. Nodaļas sākumā formulēsim šos likumus, balstoties uz elektriskās strāvas parādības novērojumiem. Nodaļas

Διαβάστε περισσότερα

ATTIECĪBAS. Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme).

ATTIECĪBAS. Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme). 004, Pēteris Daugulis ATTIECĪBAS Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme). Bināra attiecība - īpašība, kas piemīt

Διαβάστε περισσότερα

P A atgrūšanās spēks. P A = P P r P S. P P pievilkšanās spēks

P A atgrūšanās spēks. P A = P P r P S. P P pievilkšanās spēks 3.2.2. SAITES STARP ATOMIEM SAIŠU VISPĀRĪGS RAKSTUROJUMS Lai izprastu materiālu fizikālo īpašību būtību jābūt priekšstatam par spēkiem, kas darbojas starp atomiem. Aplūkosim mijiedarbību starp diviem izolētiem

Διαβάστε περισσότερα

PREDIKĀTU LOĢIKA. Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem.

PREDIKĀTU LOĢIKA. Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem. 005, Pēteris Daugulis PREDIKĀTU LOĢIKA Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem. Par predikātiem ir jādomā kā par funkcijām, kuru vērtības apgabals ir patiesumvērtību

Διαβάστε περισσότερα

4. APGAISMOJUMS UN ATTĒLI

4. APGAISMOJUMS UN ATTĒLI 4. APGAISMJUMS UN ATTĒLI ptisko mikroskopu vēsture un nākotne Gaismas avota stiprums. Gaismas plūsma Apgaismojums Elektriskie gaismas avoti. Apgaismojums darba vietā Ēnas. Aptumsumi Attēla veidošanās.

Διαβάστε περισσότερα

1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G

1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G 1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G 3. Īss raksturojums Imunoglobulīnu G veido 2 vieglās κ vai λ ķēdes un 2 smagās γ ķēdes. IgG iedalās 4 subklasēs: IgG1, IgG2, IgG3,

Διαβάστε περισσότερα

"Profesora Cipariņa klubs" 2005./06. m.g. 1. nodarbības uzdevumu atrisinājumi. A grupa

Profesora Cipariņa klubs 2005./06. m.g. 1. nodarbības uzdevumu atrisinājumi. A grupa "Profesora Cipariņa klubs" 005./06. m.g.. nodarbības udevumu atrisinājumi A grupa. Viegli pārbaudīt, ka 3 4=44. Tātad meklējamie skaitļi var būt ; 3; 4. Pierādīsim, ka tie nevar būt citādi. Tiešām, ivēloties

Διαβάστε περισσότερα

Bioloģisko materiālu un audu mehāniskās īpašības. PhD J. Lanka

Bioloģisko materiālu un audu mehāniskās īpašības. PhD J. Lanka Bioloģisko materiālu un audu mehāniskās īpašības PhD J. Lanka Mehāniskās slodzes veidi: a stiepe, b spiede, c liece, d - bīde Traumatisms skriešanā 1 gada laikā iegūto traumu skaits (dažādu autoru dati):

Διαβάστε περισσότερα

Testu krājums elektrotehnikā

Testu krājums elektrotehnikā iļānu 41.arodvidusskola Sergejs Jermakovs ntons Skudra Testu krājums elektrotehnikā iļāni 2007 EOPS SOCĀLS FONDS zdots ar ESF finansiālu atbalstu projekta Profesionālās izglītības programmas Elektromontāža

Διαβάστε περισσότερα

Ievads Optometrija ir neatkarīga redzes aprūpes profesija primārās veselības aprūpes sfērā. Šī profesija vairumā attīstīto valstu tiek regulēta ar

Ievads Optometrija ir neatkarīga redzes aprūpes profesija primārās veselības aprūpes sfērā. Šī profesija vairumā attīstīto valstu tiek regulēta ar Ievads Optometrija ir neatkarīga redzes aprūpes profesija primārās veselības aprūpes sfērā. Šī profesija vairumā attīstīto valstu tiek regulēta ar likumu (tās piekopšanai nepieciešama licence un reģistrēšanās).

Διαβάστε περισσότερα

Interferometri

Interferometri 6..6. Interferometri Interferometri ir optiskie aparāti, ar kuriem mēra dažādus fizikālus lielumus, izmantojot gaismas interferences parādības. Plānās kārtiņās koherentie interferējošie stari atrodas relatīvi

Διαβάστε περισσότερα

Laboratorijas darbu apraksts (II semestris)

Laboratorijas darbu apraksts (II semestris) Laboratorijas darbu apraksts (II semestris).5. Zemes magnētiskā lauka horizontālās komponentes noteikšana ar tangensgalvanometru. Katrā zemeslodes vietā Zemes magnētiskā lauka indukcijas vektors attiecībā

Διαβάστε περισσότερα

Atlases kontroldarbs uz Baltijas valstu ķīmijas olimpiādi 2013.gada 07.aprīlī

Atlases kontroldarbs uz Baltijas valstu ķīmijas olimpiādi 2013.gada 07.aprīlī Atlases kontroldarbs uz Baltijas valstu ķīmijas olimpiādi 2013.gada 07.aprīlī Atrisināt dotos sešus uzdevumus, laiks 3 stundas. Uzdevumu tēmas: 1) tests vispārīgajā ķīmijā; 2) ķīmisko reakciju kinētika;

Διαβάστε περισσότερα

6. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMU ATBILDES 8.-9.klases uzdevumi

6. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMU ATBILDES 8.-9.klases uzdevumi 6. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMU ATBILDES 8.-9.klases uzdevumi 1. uzdevums Vai tu to vari? Gāzes Ķīmisko reakciju vienādojumi Ūdeņradis, oglekļa dioksīds,

Διαβάστε περισσότερα

Elektrozinību teorētiskie pamati

Elektrozinību teorētiskie pamati LTVJS LKSMNEĪS NVESTĀTE TEHNSKĀ FKLTĀTE Lauksainiecības enerăētikas institūts.galiħš Elektrozinību teorētiskie paati Elektrisko ėēžu aprēėini Jelgava 8 LTVJS LKSMNEĪS NVESTĀTE TEHNSKĀ FKLTĀTE Lauksainiecības

Διαβάστε περισσότερα

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte datorzinātņu nodaļa

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte datorzinātņu nodaļa Latvijas Univesitāte Fizikas un matemātikas fakultāte datozinātņu nodaļa Eksāmena biļešu atbildes Fizikā (Teoētiskā mehānika, elektomagnētisms, optika) NEPABEIGTS Rīga,. Šis dabs i nācis no http://datzb.intelctuals.net/

Διαβάστε περισσότερα

SKICE. VĪTNE SATURS. Ievads Tēmas mērķi Skice Skices izpildīšanas secība Mērinstrumenti un detaļu mērīšana...

SKICE. VĪTNE SATURS. Ievads Tēmas mērķi Skice Skices izpildīšanas secība Mērinstrumenti un detaļu mērīšana... 1 SKICE. VĪTNE SATURS Ievads... 2 Tēmas mērķi... 2 1. Skice...2 1.1. Skices izpildīšanas secība...2 1.2. Mērinstrumenti un detaļu mērīšana...5 2. Vītne...7 2.1. Vītņu veidi un to apzīmējumi...10 2.1.1.

Διαβάστε περισσότερα

Elektromagnētisms (elektromagnētiskās indukcijas parādības)

Elektromagnētisms (elektromagnētiskās indukcijas parādības) atvijas Uiversitāte Fizikas u matemātikas fakutāte Fizikas oaļa Papiiājums ekciju kospektam kursam vispārīgajā fizikā ektromagētisms (eektromagētiskās iukcijas parāības) Asoc prof Aris Muižieks Noformējums

Διαβάστε περισσότερα

6.4. Gaismas dispersija un absorbcija Normālā un anomālā gaismas dispersija. v = f(λ). (6.4.1) n = f(λ). (6.4.2)

6.4. Gaismas dispersija un absorbcija Normālā un anomālā gaismas dispersija. v = f(λ). (6.4.1) n = f(λ). (6.4.2) 6.4. Gaismas dispersija un absorbcija 6.4.1. Normālā un anomālā gaismas dispersija Gaismas izplatīšanās ātrums vakuumā (c = 299 792,5 ±,3 km/s) ir nemainīgs lielums, kas nav atkarīgs no viļņa garuma. Vakuumā

Διαβάστε περισσότερα

Elektronikas pamati 1. daļa

Elektronikas pamati 1. daļa Egmonts Pavlovskis Elektronikas pamati 1. daļa Mācību līdzeklis interešu izglītības elektronikas pulciņu audzēkņiem un citiem interesentiem Mācību līdzeklis tapis Eiropas reģionālās attīstības fonda projekta

Διαβάστε περισσότερα

Palīgmateriāli gatavojoties centralizētajam eksāmenam ėīmijā

Palīgmateriāli gatavojoties centralizētajam eksāmenam ėīmijā Palīgmateriāli gatavojoties centralizētajam eksāmenam ėīmijā CE ietverto tēmu loks ir Ĝoti plašs: ėīmijas pamatjautājumi (pamatskolas kurss), vispārīgā ėīmija, neorganiskā ėīmija, organiskā ėīmija, ėīmija

Διαβάστε περισσότερα

4. TEMATS ELEKTRISKIE LĀDIŅI UN ELEKTRISKAIS LAUKS. Temata apraksts. Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis. Uzdevumu piemēri

4. TEMATS ELEKTRISKIE LĀDIŅI UN ELEKTRISKAIS LAUKS. Temata apraksts. Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis. Uzdevumu piemēri 4. TEMATS ELEKTRISKIE LĀDIŅI UN ELEKTRISKAIS LAUKS Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri F_11_SP_04_01_P1 Elektriskais lādiņš un lādētu ķermeņu mijiedarbība Skolēna darba

Διαβάστε περισσότερα

2. ELEKTROMAGNĒTISKIE

2. ELEKTROMAGNĒTISKIE 2. LKTROMAGNĒTISKI VIĻŅI Radio izgudrošana Svārstību kontūrs Nerimstošas elektriskās svārstības lektromagnētisko viļņu iegūšana lektromagnētiskais šķērsvilnis lektromagnētisko viļņu ātrums lektromagnētisko

Διαβάστε περισσότερα

TROKSNIS UN VIBRĀCIJA

TROKSNIS UN VIBRĀCIJA TROKSNIS UN VIBRĀCIJA Kas ir skaņa? a? Vienkārša skaņas definīcija: skaņa ir ar dzirdes orgāniem uztveramās gaisa vides svārstības Fizikā: skaņa ir elastiskas vides (šķidras, cietas, gāzveida) svārstības,

Διαβάστε περισσότερα

Rīgas Tehniskā universitāte Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte Vides aizsardzības un siltuma sistēmu institūts

Rīgas Tehniskā universitāte Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte Vides aizsardzības un siltuma sistēmu institūts Rīgas Tehniskā universitāte Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte Vides aizsardzības un siltuma sistēmu institūts www.videszinatne.lv Saules enerģijas izmantošanas iespējas Latvijā / Seminārs "Atjaunojamo

Διαβάστε περισσότερα

6. TEMATS MEHĀNISKĀS SVĀRSTĪBAS UN VIĻŅI. Temata apraksts. Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis. Uzdevumu piemēri

6. TEMATS MEHĀNISKĀS SVĀRSTĪBAS UN VIĻŅI. Temata apraksts. Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis. Uzdevumu piemēri 6. TEMATS MEHĀNISKĀS SVĀRSTĪBAS UN VIĻŅI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri F_10_SP_06_P1 Uzdevums grupai Skolēna darba lapa F_10_UP_06_P1 Seismogrāfa darbības shēma

Διαβάστε περισσότερα

MULTILINGUAL GLOSSARY OF VISUAL ARTS

MULTILINGUAL GLOSSARY OF VISUAL ARTS MULTILINGUAL GLOSSARY OF VISUAL ARTS (GREEK-ENGLISH-LATVIAN) Χρώματα Colours Krāsas GREEK ENGLISH LATVIAN Αυθαίρετο χρώμα: Χρϊμα που δεν ζχει καμία ρεαλιςτικι ι φυςικι ςχζςθ με το αντικείμενο που απεικονίηεται,

Διαβάστε περισσότερα

Norādījumi par dūmgāzu novadīšanas sistēmu

Norādījumi par dūmgāzu novadīšanas sistēmu Norādījumi par dūmgāzu novadīšanas sistēmu Kondensācijas tipa gāzes apkures iekārta 6 720 619 607-00.1O ogamax plus GB072-14 GB072-20 GB072-24 GB072-24K Apkalpošanas speciālistam ūdzam pirms montāžas un

Διαβάστε περισσότερα

Latvijas 44. Nacionālā ķīmijas olimpiāde (2003. gads) Teorētiskie uzdevumi.

Latvijas 44. Nacionālā ķīmijas olimpiāde (2003. gads) Teorētiskie uzdevumi. Latvijas 44. Nacionālā ķīmijas olimpiāde (2003. gads) Teorētiskie uzdevumi. 1. 9 5 p. Pilnībā izkarsēja 5,0g kalcija karbonāta, kas saturēja 3,0% piemaisījumu. Izdalīto gāzi saistīja ar iepriekš nosvērtu

Διαβάστε περισσότερα

Elektriskais lauks dielektriķos Brīvie un saistītie lādiņi

Elektriskais lauks dielektriķos Brīvie un saistītie lādiņi 3... Elktrskas lauks dlktrķos 3... Brīv un sastīt lādņ 79. gadā angļu znātnks S. Grjs (666 736) kurš konstatēja, ka lktrskas lādņš var pārt no vna ķrmņa uz otru, pmēram, pa mtāla stpl. Līdz ar to, var

Διαβάστε περισσότερα

Latvijas 53. Nacionālā ķīmijas olimpiāde

Latvijas 53. Nacionālā ķīmijas olimpiāde 9. klases teorētiskie uzdevumi Latvijas 53. Nacionālā ķīmijas olimpiāde 2012. gada 28. martā 9. klases Teorētisko uzdevumu atrisinājumi 1. uzdevums 7 punkti Molekulu skaitīšana Cik molekulu skābekļa rodas,

Διαβάστε περισσότερα

Kā radās Saules sistēma?

Kā radās Saules sistēma? 9. VISUMS UN DAĻIŅAS Kā radās Saules sistēma? Planētas un zvaigznes Galaktikas un Visums Visuma evolūcija. Habla likums Zvaigžņu evolūcija Visuma apgūšanas perspektīvas Lielu ātrumu un enerģiju fizika

Διαβάστε περισσότερα

Irina Vdoviča. Praktisko darbu materiāls Vispārīgā ķīmija Uzdevumi un vingrinājumi

Irina Vdoviča. Praktisko darbu materiāls Vispārīgā ķīmija Uzdevumi un vingrinājumi Irina Vdoviča Praktisko darbu materiāls Vispārīgā ķīmija Uzdevumi un vingrinājumi Saturs 1. ATOMA UZBŪVE UN PERIODISKAIS LIKUMS... 2 2. VIELU UZBŪVE... 6 3. OKSIDĒŠANAS REDUCĒŠANAS REAKCIJAS... 7 4. ELEKTROLĪTISKĀ

Διαβάστε περισσότερα

IESKAITE DABASZINĪBĀS 9. KLASEI gads 1. variants, 1. daļa

IESKAITE DABASZINĪBĀS 9. KLASEI gads 1. variants, 1. daļa IZGLĪTĪBAS SATURA UN EKSAMINĀCIJAS CENTRS IESKAITE DABASZINĪBĀS 9. KLASEI 2008. gads 1. variants, 1. daļa Maksimālais punktu skaits par 1. daļu 30 p. Aizpilda skolotājs: 1. uzdevums. Vai apgalvojums ir

Διαβάστε περισσότερα

Projekts Tālākizglītības programmas Bioloăijas skolotāja profesionālā pilnveide izstrāde un aprobācija (Nr. VPD1/ESF/PIAA/05/APK/

Projekts Tālākizglītības programmas Bioloăijas skolotāja profesionālā pilnveide izstrāde un aprobācija (Nr. VPD1/ESF/PIAA/05/APK/ C Praktisko darbu modulis 1. laboratorijas darbs Nodarbība. Mikroskopēšanas pamatprincipi augu uzbūves pētīšanā Priekšstatu veidošanās par mikroskopiju Mikroskopēšana ir viena svarīgākajām bioloăijā pielietojamām

Διαβάστε περισσότερα

Isover tehniskā izolācija

Isover tehniskā izolācija Isover tehniskā izolācija 2 Isover tehniskās izolācijas veidi Isover Latvijas tirgū piedāvā visplašāko tehniskās izolācijas (Isotec) produktu klāstu. Mēs nodrošinām efektīvus risinājumus iekārtām un konstrukcijām,

Διαβάστε περισσότερα

2. APGAISMOJUMS UN ATTĒLI. Temata apraksts. Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis. Uzdevumu piemēri

2. APGAISMOJUMS UN ATTĒLI. Temata apraksts. Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis. Uzdevumu piemēri 2. APGAISMOJUMS UN ATTĒLI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri F_12_SP_02_01_P1 Apgaismojuma pētīšana Skolēna darba lapa F_12_SP_02_01_P2 Prasības nacionālā krājuma

Διαβάστε περισσότερα

Būvfizikas speckurss. LBN Ēku norobežojošo konstrukciju siltumtehnika izpēte. Ūdens tvaika difūzijas pretestība

Būvfizikas speckurss. LBN Ēku norobežojošo konstrukciju siltumtehnika izpēte. Ūdens tvaika difūzijas pretestība Latvijas Lauksaimniecības universitāte Lauku inženieru fakultāte Būvfizikas speckurss LBN 002-01 Ēku norobežojošo konstrukciju siltumtehnika izpēte. difūzijas pretestība Izstrādāja Sandris Liepiņš... Jelgava

Διαβάστε περισσότερα

9-1. uzdevums Maks. 2 punkti Latvijas Republikas gada budžets ir aptuveni 2,0 miljardi latu. Cik moli santīmu ir Latvijas gada budžetā?

9-1. uzdevums Maks. 2 punkti Latvijas Republikas gada budžets ir aptuveni 2,0 miljardi latu. Cik moli santīmu ir Latvijas gada budžetā? Latvijas 45. nacionālā ķīmijas olimpiāde ( 2004) Rajona olimpiādes uzdevumi 9. klasei 9-1. uzdevums Maks. 2 punkti Latvijas Republikas 2004. gada budžets ir aptuveni 2,0 miljardi latu. Cik moli santīmu

Διαβάστε περισσότερα

Labojums MOVITRAC LTE-B * _1114*

Labojums MOVITRAC LTE-B * _1114* Dzinēju tehnika \ Dzinēju automatizācija \ Sistēmas integrācija \ Pakalpojumi *135347_1114* Labojums SEW-EURODRIVE GmbH & Co KG P.O. Box 303 7664 Bruchsal/Germany Phone +49 751 75-0 Fax +49 751-1970 sew@sew-eurodrive.com

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROĶĪMIJA. Metāls (cietā fāze) Trauks. Elektrolīts (šķidrā fāze) 1. att. Pirmā veida elektroda shēma

ELEKTROĶĪMIJA. Metāls (cietā fāze) Trauks. Elektrolīts (šķidrā fāze) 1. att. Pirmā veida elektroda shēma 1 ELEKTROĶĪMIJA Elektroķīmija ir zinātnes nozare, kura pēta ķīmisko un elektrisko procesu savstarpējo sakaru ķīmiskās enerģijas pārvēršanu elektriskajā un otrādi. Šie procesi ir saistīti ar katra cilvēka

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIKA UN ELEKTRĪBAS IZMANTOŠANA

ELEKTROTEHNIKA UN ELEKTRĪBAS IZMANTOŠANA Ieguldījums tavā nākotnē Ieguldījums tavā nākotnē Profesionālās vidējās izglītības programmu Lauksaimniecība un Lauksaimniecības tehnika īstenošanas kvalitātes uzlabošana 1.2.1.1.3. Atbalsts sākotnējās

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΠΕΡΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2004

Ο ΠΕΡΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2004 Αριθμός 2204 Ο ΠΕΡΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2004 (Παράρτημα Παράγραφοι 1 και 2) Δηλοποιηση Κατασχέσεως Αναφορικά με τους ZBIGNIEW και MAKGORZATA EWERTWSKIGNIEWEK, με αριθμούς διαβατηρίων Πολωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Saules starojuma enerģijas izmantošana

Saules starojuma enerģijas izmantošana Saules starojuma enerģijas izmantošana Galvenais enerģijas avots Saules sistēmā, arī uz Zemes, ir Saules elektromagnētiskais starojums. Saule ir gāzu-plazmas ķermenis, tās iekšienē notiek kodolu sintēzes

Διαβάστε περισσότερα

6. Pasaules valstu attīstības teorijas un modeļi

6. Pasaules valstu attīstības teorijas un modeļi 6. Pasaules valstu attīstības teorijas un modeļi Endogēnās augsmes teorija (1980.-jos gados) Klasiskās un neoklasiskās augsmes teorijās un modeļos ir paredzēts, ka ilgtermiņa posmā ekonomiskā izaugsme

Διαβάστε περισσότερα

Irina Vdoviča SATURS

Irina Vdoviča SATURS Irina Vdoviča Praktisko darbu materiāls Analītiskā ķīmija. Kvantitatīvā analīze. Laboratorijas darbi, uzdevumi SATURS KVANTITATĪVĀ ANALĪZE... GRAVIMETRIJA... Laboratorijas darbs KRISTALIZĀCIJAS ŪDENS NOTEIKŠANA

Διαβάστε περισσότερα

5. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMI

5. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMI WWW.BIOSAN.LV 5. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMI Atrisināt tālāk dotos uzdevumus un atbildes ierakstīt MS Word atbilžu datnē, ko kā pievienoto dokumentu

Διαβάστε περισσότερα

Leica Lino L360, L2P5, L2+, L2G+, L2, P5, P3

Leica Lino L360, L2P5, L2+, L2G+, L2, P5, P3 Leica Lino L360, L25, L2+, L2G+, L2, 5, 3 Lietotāja rokasgrāata Versija 757665i Latviski Apsveica ūs ar Leica Lino iegādi. Drošības instrukciju nodaļa seko pēc ekspluatācijas instrukciju nodaļas. irs lietojiet

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS NACIONĀLĀ ĶĪMIJAS OLIMPIĀDE RAJONA OLIMPIĀDES UZDEVUMI 9. KLASE

LATVIJAS NACIONĀLĀ ĶĪMIJAS OLIMPIĀDE RAJONA OLIMPIĀDES UZDEVUMI 9. KLASE 9 LATVIJAS NACIONĀLĀ ĶĪMIJAS OLIMPIĀDE 50 2009 RAJONA OLIMPIĀDES UZDEVUMI 9. KLASE Rajona olimpiādes uzdevumi 2009 9. KLASE 9. KLASE Rajona olimpiādes uzdevumi 2009 Salasāmā rokrakstā atrisināt tālāk dotos

Διαβάστε περισσότερα

Šis dokuments ir izveidots vienīgi dokumentācijas nolūkos, un iestādes neuzņemas nekādu atbildību par tā saturu

Šis dokuments ir izveidots vienīgi dokumentācijas nolūkos, un iestādes neuzņemas nekādu atbildību par tā saturu 2011R0109 LV 24.02.2015 002.001 1 Šis dokuments ir izveidots vienīgi dokumentācijas nolūkos, un iestādes neuzņemas nekādu atbildību par tā saturu B KOMISIJAS REGULA (ES) Nr. 109/2011 (2011. gada 27. janvāris),

Διαβάστε περισσότερα

Pētniecības metodes un pētījumu datu analīze skolēnu zinātniski pētnieciskā darba rakstīšanas procesā. Seminārs skolēniem

Pētniecības metodes un pētījumu datu analīze skolēnu zinātniski pētnieciskā darba rakstīšanas procesā. Seminārs skolēniem Pētniecības metodes un pētījumu datu analīze skolēnu zinātniski pētnieciskā darba rakstīšanas procesā. Seminārs skolēniem Dr. oec, docente, Silvija Kristapsone 29.10.2015. 1 I. Zinātniskās pētniecības

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES 11. JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 1. KĀRTAS UZDEVUMI

LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES 11. JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 1. KĀRTAS UZDEVUMI LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES 11. JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 1. KĀRTAS UZDEVUMI Atrisini tālāk dotos sešus uzdevumus un atbildes noformē elektroniski (Word dokuments, PDF datne u.c.) un nosūti uz

Διαβάστε περισσότερα

IEVADS KĻŪDU TEORIJĀ

IEVADS KĻŪDU TEORIJĀ RĪGAS TEHNISKĀS KOLEDŽA I.Klotņa IEVADS KĻŪDU TEORIJĀ 011. 1 1. FIZIKĀLO LIELUMU MĒRĪŠANA Peredze apstprna, ka dažādus tpskus objektus var savā starpā salīdznāt tka pēc tādām īpašībām, kuras raksturo ar

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

EIROPAS REĢIONĀLĀS ATTĪSTĪBAS FONDS Uzlabotas litija tehnoloģijas izstrāde plazmas attīrīšanas iekārtu (divertoru) aktīvo virsmu aizsardzībai Projekts Nr. 2DP/2.1.1.0/10/APIA/VIAA/176 ( Progresa ziņojums

Διαβάστε περισσότερα

RĪGAS TEHNISKĀ UNIVERSITĀTE ENERĢĒTIKAS UN ELEKTROTEHNIKAS FAKULTĀTE INDUSTRIĀLĀS ELEKTRONIKAS UN ELEKTROTEHNIKAS INSTITŪTS

RĪGAS TEHNISKĀ UNIVERSITĀTE ENERĢĒTIKAS UN ELEKTROTEHNIKAS FAKULTĀTE INDUSTRIĀLĀS ELEKTRONIKAS UN ELEKTROTEHNIKAS INSTITŪTS RĪGAS TEHNSKĀ NVERSTĀTE ENERĢĒTKAS N ELEKTROTEHNKAS FAKLTĀTE NDSTRĀLĀS ELEKTRONKAS N ELEKTROTEHNKAS NSTTŪTS VARS RAŅĶS, NNA BŅNA (RODONOVA) ENERGOELEKTRONKA TREŠAS ATKĀRTOTAS ZDEVMS RĪGA 007 DK 6.34 Lekciju

Διαβάστε περισσότερα

1. Ievads bioloģijā. Grāmatas lpp

1. Ievads bioloģijā. Grāmatas lpp 1. Ievads bioloģijā Grāmatas 6. 37. lpp Zaļā krāsa norāda uz informāciju, kas jāapgūst Ar dzeltenu krāsu izcelti īpaši jēdzieni, kas jāapgūst Ar sarkanu krāsu norādīti papildus informācijas avoti vai papildus

Διαβάστε περισσότερα

Brīvie elektroni metālos. 1. Drudes metālu teorija

Brīvie elektroni metālos. 1. Drudes metālu teorija Brīvie eletroni metālos 1. Drudes metālu teorija Metālus vieno virne opīgu īpašību. Visi metāli ir labi siltuma un eletrisās strāvas vadītāji, tiem rasturīga aļamība, plastisums, gaismas spoguļreflesija.

Διαβάστε περισσότερα

5 ml iekšķīgi lietojamas suspensijas (1 mērkarote) satur 125 mg vai 250 mg amoksicilīna, amoksicilīna trihidrāta veidā (Amoxicillinum).

5 ml iekšķīgi lietojamas suspensijas (1 mērkarote) satur 125 mg vai 250 mg amoksicilīna, amoksicilīna trihidrāta veidā (Amoxicillinum). 1. ZĀĻU NOSAUKUMS HICONCIL 125 mg/5 ml pulveris iekšķīgi lietojamas suspensijas pagatavošanai HICONCIL 250 mg/5 ml pulveris iekšķīgi lietojamas suspensijas pagatavošanai 2. KVALITATĪVAIS UN KVANTITATĪVAIS

Διαβάστε περισσότερα

PĀRSPRIEGUMA AIZSARDZĪBAS UN TĀM IZVIRZĀMĀS NORMATĪVĀS PRASĪBAS. E.Vanzovičs, S.Želvis

PĀRSPRIEGUMA AIZSARDZĪBAS UN TĀM IZVIRZĀMĀS NORMATĪVĀS PRASĪBAS. E.Vanzovičs, S.Želvis PĀRSPRIEGUMA AIZSARDZĪBAS UN TĀM IZVIRZĀMĀS NORMATĪVĀS PRASĪBAS E.Vanzovičs, S.Želvis RTU Enerģētikas un elektrotenikas fakultāte Enerģētikas institūts Rīga 2006 ANOTĀCIJA Darbā apskatīta pārsprieguma

Διαβάστε περισσότερα

Darba aizsardzības prasības nodarbināto aizsardzībai pret elektromagnētiskā lauka radīto risku darba vidē

Darba aizsardzības prasības nodarbināto aizsardzībai pret elektromagnētiskā lauka radīto risku darba vidē Izdevējs: Ministru kabinets Veids: noteikumi Numurs: 584 Pieņemts: 13.10.2015. Stājas spēkā: 01.07.2016. Publicēts: "Latvijas Vēstnesis", 202 (5520), 15.10.2015. OP numurs: 2015/202.9 Ministru kabineta

Διαβάστε περισσότερα

NADPH vai FADH 2. vai arī reducējot tādus koenzīmus kā NADH, savienojumus iegūst, importējot kompleksas

NADPH vai FADH 2. vai arī reducējot tādus koenzīmus kā NADH, savienojumus iegūst, importējot kompleksas Vielas un enerăijas maiħa citoplazmā 11. tēma Vielu un enerăijas maiħa Lizosomas Heterofāgija Autofāgija Mikroėermenīši Olbaltumvielu imports peroksisomās Vakuolas Proteosomas RNāze Glikolīze Šūnās gandrīz

Διαβάστε περισσότερα

Pareizas siltinātu fasāžu projektēšanas un izveides rokasgrāmata

Pareizas siltinātu fasāžu projektēšanas un izveides rokasgrāmata Pareizas siltinātu fasāžu projektēšanas un izveides rokasgrāmata Palīglīdzeklis arhitektiem, konstruktoriem, būvuzraugiem un pasūtītājiem SIA SAKRET 2013 /2 Īstais darbam Izdevums veidots sadarbībā ar:

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS 47. NACIONĀLĀ ĶĪMIJAS OLIMPIĀDE (2006)

LATVIJAS 47. NACIONĀLĀ ĶĪMIJAS OLIMPIĀDE (2006) LATVIJAS 47. NACIONĀLĀ ĶĪMIJAS OLIMPIĀDE (2006) Rajona olimpiādes uzdevumi 9. klasei Atrisināt tālāk dotos 6 uzdevumus! Risinājumā parādīt arī visus aprēķinus! Rakstīt glītā, salasāmā rokrakstā! Uz risinājumu

Διαβάστε περισσότερα

MĀCĪBU PRIEKŠMETA MĒRĶIS

MĀCĪBU PRIEKŠMETA MĒRĶIS FIZIKA 10. 12. KLASEI MĀCĪBU PRIEKŠMETA PROGRAMMAS PARAUGS IEVADS Mācību priekšmeta programma ir vispārējās izglītības programmas sastāvdaļa, kuru veido mācību priekšmeta: 1) mērķis un uzdevumi; 2) mācību

Διαβάστε περισσότερα

P. Leščevics, A. GaliĦš ELEKTRONIKA UN SAKARU TEHNIKA

P. Leščevics, A. GaliĦš ELEKTRONIKA UN SAKARU TEHNIKA P. Leščevics, A. GaliĦš ELEKTRONIKA UN SAKARU TEHNIKA Jelgava 008 P. Leščevics, A. GaliĦš ELEKTRONIKA UN SAKARU TEHNIKA Mācību līdzeklis lietišėajā elektronikā Jelgava 008 Mācību līdzeklis sagatavots un

Διαβάστε περισσότερα

Uzlabotas litija tehnoloģijas izstrāde plazmas attīrīšanas iekārtu (divertoru) aktīvo virsmu aizsardzībai

Uzlabotas litija tehnoloģijas izstrāde plazmas attīrīšanas iekārtu (divertoru) aktīvo virsmu aizsardzībai EIROPAS REĢIONĀLĀS ATTĪSTĪBAS FONDS Uzlabotas litija tehnoloģijas izstrāde plazmas attīrīšanas iekārtu (divertoru) aktīvo virsmu aizsardzībai Projekts Nr. 2DP/2.1.1.0/10/APIA/VIAA/176 ( Progresa ziņojums

Διαβάστε περισσότερα

CEĻVEDIS LOGU UN ĀRDURVJU KONSTRUKCIJU IZVĒLEI LOGU UN BALKONA DURVJU KONSTRUKCIJU VEIKTSPĒJAS RAKSTURLIELUMI PĒC

CEĻVEDIS LOGU UN ĀRDURVJU KONSTRUKCIJU IZVĒLEI LOGU UN BALKONA DURVJU KONSTRUKCIJU VEIKTSPĒJAS RAKSTURLIELUMI PĒC www.latea.lv www.lldra.lv CEĻVEDIS LOGU UN ĀRDURVJU KONSTRUKCIJU IZVĒLEI LOGU UN BALKONA DURVJU KONSTRUKCIJU VEIKTSPĒJAS RAKSTURLIELUMI PĒC LVS EN 14351-1 PRIEKŠVĀRDS Eiropas normu un regulu ieviešanas

Διαβάστε περισσότερα

Ārsienu siltināšana. Apmetamās un vēdināmās fasādes

Ārsienu siltināšana. Apmetamās un vēdināmās fasādes Rockwool LATVIJA Ārsienu siltināšana Apmetamās un vēdināmās fasādes Apmetamo fasāžu siltināšana Akmens vates izstrādājumiem, kurus izmanto ēku fasāžu siltināšanai, raksturīga izmēru noturība (tā nedeformējas

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRĪBA UN MAGNĒTISMS. Laboratorijas darbi Uzdevumi patstāvīgai risināšanai

ELEKTRĪBA UN MAGNĒTISMS. Laboratorijas darbi Uzdevumi patstāvīgai risināšanai ELEKTRĪBA UN MAGNĒTISMS Lortorijs dri Uzdevumi ptstāvīgi risināšni RTU Elektrotehniks institūts 1 Krājumā ievietoti priekšmet «Elektrī un mgnētisms» (EuM) lortorijs dru prksti, kurus RTU Elektrotehniks

Διαβάστε περισσότερα

ZĀĻU APRAKSTS. Palīgvielas: satur laktozi (kā laktozes monohidrātu), skatīt apakšpunktu 4.4. Pilnu palīgvielu sarakstu skatīt apakšpunktā 6.1.

ZĀĻU APRAKSTS. Palīgvielas: satur laktozi (kā laktozes monohidrātu), skatīt apakšpunktu 4.4. Pilnu palīgvielu sarakstu skatīt apakšpunktā 6.1. ZĀĻU APRAKSTS 1. ZĀĻU NOSAUKUMS Euthyrox 25 mikrogrami tabletes Euthyrox 100 mikrogrami tabletes 2. KVALITATĪVAIS UN KVANTITATĪVAIS SASTĀVS Viena Euthyrox 25 mikrogrami tablete satur 25 mikrogramus nātrija

Διαβάστε περισσότερα

Cietvielu luminiscence

Cietvielu luminiscence 1. Darba mērķis Cietvielu luminiscence Laboratorijas darba mērķis ir iepazīties ar cietvielu luminiscenci un to raksturojošiem parametriem. Īpaša uzmanība veltīta termostimulētai luminiscencei (TSL), ko

Διαβάστε περισσότερα

PĀRTIKAS UN VETERINĀRAIS DIENESTS

PĀRTIKAS UN VETERINĀRAIS DIENESTS PĀRTIKAS UN VETERINĀRAIS DIENESTS VISS PAR PĀRTIKAS PREČU MARĶĒJUMU Informācija, kas ir sniegta pārtikas preču marķējumā, ir kā vizītkarte, kurā var atrast visu par preci, sākot ar tās nosaukumu, sastāvu

Διαβάστε περισσότερα

Rīgas Tehniskās universitātes Būvniecības fakultāte. Metāla konstrukcijas

Rīgas Tehniskās universitātes Būvniecības fakultāte. Metāla konstrukcijas Rīgas Tehniskās universitātes Būvniecības fakultāte Metāla konstrukcijas Studiju darbs Ēkas starpstāvu pārseguma nesošo tērauda konstrukciju projekts Izpildīja: Kristaps Kuzņecovs Stud. apl. Nr. 081RBC049

Διαβάστε περισσότερα

12987/11 ss 1 DG C I C

12987/11 ss 1 DG C I C EIROPAS SAVIENĪBAS PADOME Briselē, 2011.gada 15. jūlijā (18.07) (OR. en) 12987/11 TRANS 216 PAVADVĒSTULE Sūtītājs: Eiropas Komisija Saņemšanas datums: 2011. gada 14. jūlijs Saņēmējs: Eiropas Savienības

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Informācija lietotājam 08/2009. Montāžas un lietošanas instrukcija. Dokaflex

Informācija lietotājam 08/2009. Montāžas un lietošanas instrukcija. Dokaflex 08/2009 Informācija lietotājam 999776029 LV Montāžas un lietošanas instrukcija Dokaflex 1-2-4 9720-337-01 Ievads Informācija lietotājam Dokaflex 1-2-4 Ievads by Doka Industrie GmbH, -3300 mstetten 2 999776029-08/2009

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

Laboratorijas darbi elektrotehnikā

Laboratorijas darbi elektrotehnikā iļānu 4.arodvidusskola Sergejs Jermakovs ntons Skudra Laboratorijas darbi elektrotehnikā iļāni 2006 zdots ESF projekta Profesionālās izglītības programmas Elektromontāža un elektromehānika uzlabošana un

Διαβάστε περισσότερα

Pārsprieguma aizsardzība

Pārsprieguma aizsardzība www.klinkmann.lv Pārsprieguma aizsardzība 1 Pārsprieguma aizsardzība Pēdējo gadu laikā zibensaizsardzības vajadzības ir ievērojami palielinājušās. Tas ir izskaidrojams ar jutīgu elektrisko un elektronisko

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση.

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση. (, ) =,, = : = = ( ) = = = ( ) = = = ( ) ( ) = = ( ) = = = = (, ) =, = = =,,...,, N, (... ) ( + ) =,, ( + ) (... ) =,. ( ) = ( ) = (, ) = = { } = { } = ( ) = \ = { = } = { = }. \ = \ \ \ \ \ = = = = R

Διαβάστε περισσότερα

MICROMASTER kw kw

MICROMASTER kw kw MICROMASTER 430 7.5 kw - 250 kw Lietošanas instrukcijas 12/02 izlaidums Informācija lietotājam 6SE6400-5AE00-0BP0 Dokumentācija MICROMASTER 430 Palaišanas pamācība Ātrai SPD un BOP-2 palaišanai ekspluatācijā.

Διαβάστε περισσότερα

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 3 6 11 1 12 7 1 2 5 4 3 9 10 8 18 20 21 22 23 24 25 26

Διαβάστε περισσότερα

2 3 4 5 6 7 8 9 10 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 9 10 1 8 12 7 3 1 6 2 5 4 3 11 18 20 21 22 23 24 26 28 30

Διαβάστε περισσότερα

Aļģes sistemātika, bioloģija, izplatība un izmantošana

Aļģes sistemātika, bioloģija, izplatība un izmantošana Aļģes sistemātika, bioloģija, izplatība un izmantošana Kursu vada: Egita Zviedre Biologi, 1. kurss, 2. semestris Aļģes Aļģes (latīņu: Algae) ir gan vienšūnu, gan daudzšūnu, retāk - bezšūnu organismi; Aļģes

Διαβάστε περισσότερα

DOBELES NOVADA ATJAUNOJAMO ENERGORESURSU UN ENERGOEFEKTIVITĀTES IZMANTOŠANAS IESPĒJU ANALĪZE

DOBELES NOVADA ATJAUNOJAMO ENERGORESURSU UN ENERGOEFEKTIVITĀTES IZMANTOŠANAS IESPĒJU ANALĪZE 2012 Eiropas Sociālā fonda projekts Nr.1DP/1.5.2.2.3/11/APIA/SIF/094 Dobeles novada pašvaldības kapacitātes stiprināšana atjaunojamās enerģijas izmantošanas attīstības projektu īstenošanai (vienošanās

Διαβάστε περισσότερα

KOKA UN PLASTMASU KONSTRUKCIJAS (vispārējs kurss)

KOKA UN PLASTMASU KONSTRUKCIJAS (vispārējs kurss) RĪGAS TEHNISKĀ UNIVERSITĀTE Būvkonstrukciju profesora grupa KOKA UN PLASTMASU KONSTRUKCIJAS (vispārējs kurss) LABORATORIJAS DARBI RTU Rīga, 004 Laboratorijas darbi paredzēti RTU būvniecības specialitāšu

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostaciju elektroietaišu ekspluatācija

Elektrostaciju elektroietaišu ekspluatācija Ainars Knipšis, Pēteris Brics Elektrostaciju elektroietaišu ekspluatācija Mācību palīglīdzeklis Ainars Knipšis, Pēteris Brics Elektrostaciju elektroietaišu ekspluatācija Mācību palīglīdzeklis Projekts:

Διαβάστε περισσότερα