Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι"

Transcript

1 Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής

2 5 Μάθημα 5 Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Με το σημερινό 9 μάθημα αρχίζουμε τη μελέτη των Διανυσματικών χώρων, μία πολύ βασική έννοια της Γραμμικής Άλγεβρας Διανυσματικοί χώροι 5.1 Πορεία μελέτης 1. Δείτε από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» τα εξής: (αʹ) Τον ορισμό του διανυσματικού χώρου. Είναι ο ορισμός (βʹ) Δείτε τις παρατηρήσεις συνέχεια. Αναφέρεται στην μοναδικότητα του μηδενικού στοιχείου και του αντιθέτου. (γʹ) Τα παραδείγματα Προσέξτε ένα-ένα τα παραδείγματα διανυσματικών χώρων 2. Δείτε λεπτομερώς το πόρισμα από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α». Αναφέρεται σε βασικές ιδιότητες των πινάκων που θα χρησιμοποιούμε συχνά 3. Δείτε πληροφορίες για τους Διανυσματικούς χώρους ( στα αγγλικά ο όρος είναι vector space ή linear space ) στη διεύθυνση εδώ Πρόκειται για ένα εξαιρετικά κατατοπιστικό άρθρο που περιγράφει και τις διασυνδέσεις και επιρροές της Γραμμικής άλγεβρας και με άλλους κλάδους των Μαθηματικών. 4. Στη διεύθυνση εδώ θα βρείτε ένα καλό βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, μαζί με ένα βιβλίο ασκήσεων και λύσεων! Πάρτε το και αρχίστε τη μελέτη 5. Δείτε το βιντεο-μάθημα από τη διεύθυνση εδώ 6. Δείτε ένα ακόμη βιντεο-μάθημα από τη διεύθυνση εδώ 9 Το βιβλίο αυτό γράφεται το Φθινόπωρο του 2012 για τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος Γραμμική άλγεβρα, Ευάγγελος Ράπτης Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών 20

3 Ταυτόχρονα με τη συνεχιζόμενη μελέτη των πινάκων και των ιδιοτήτων τους, εισάγουμε σήμερα την έννοια του υπόχωρου ενός διανυσματικού χώρου. Ο υπόχωρος είναι ένα μη κενό υποσύνολο του χώρου και έχει την ίδια δομή δηλαδή είναι και αυτός ένας διανυσματικός χώρος με πράξεις τον περιορισμό των πράξεων του χώρου στο σύνολο Α. 5.2 Πορεία μελέτης 1. Μελετήστε προσεκτικά το παράδειγμα από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α». Στο παράδειγμα αυτό γίνεται συζήτηση για τη σωστή χρήση των αξιωμάτων και των ορισμών 2. Δείτε τον ορισμό από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α», της διαφοράς δύο πινάκων A, B F µ ν 3. Δείτε επίσης τον ορισμό από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» (αʹ) Του Συμμετρικού πίνακα, συμμετρικός είναι ένας τετραγωνικός πίνακας Α με την ιδιότητα A = A t (βʹ) Του Αντισυμμετρικού πίνακα,αντισυμμετρικός είναι ένας τετραγωνικός πίνακας Α με την ιδιότητα A = A t 4. Δίνουμε τώρα τον παρακάτω ορισμό Ορισμός 5.1. Εστω V ένας Διανυσματικός χώρος επί του F 10 Το υποσύνολο Α του V θα λέγεται υπόχωρος του V (ή διανυσματικός υπόχωρος του V ) εάν ικανοποιεί τα παρακάτω (αʹ) Το μηδενικό στοιχείο 0 V του χώρου ανήκει στο Α (έτσι το Α είναι μήκενό σύνολο) (βʹ) Αν α και β δύο στοιχεία του Α, τότε και το α+β είναι και αυτό στοιχείο του Α (γʹ) Αν α είναι κάποιο στοιχείο του Α και λ F, τότε και το λα ανήκει στο Α 10 Επισημαίνουμε ότι με το σύμβολο F στο μάθημα αυτό θα συμβολίζουμε ένα από τα τρία σύνολα (αʹ) Το σύνολο R των πραγματικών αριθμών (βʹ) Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών (γʹ) σύνολο Q των ρητών αριθμών 21

4 5.3 Σχόλια 1. Ενας υπόχωρος Α είναι ένας «μικρός διανυσματικός χώρος» μέσα στον «μεγάλο» διανυσματικό χώρο V 2. Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε εάν ένας διανυσματικός χώρος έχει υπόχωρους, πόσους έχει και ποιοί είναι 3. Αν ο Α είναι υπόχωρος του V, συμβολίζουμε με A V 5.4 Άσκηση Να μελετήσετε με στοιχειώδεις τρόπους τους υπόχωρους του παρακάτω διανυσματικού χώρου V = {f : R R f(x) = αx + β, α, β R}. Οι πράξεις στον Διανυσματικό χώρο αυτό είναι οι συνήθεις Τέλος του πέμπτου μαθήματος 22

5 6 Μάθημα 6 Παρασκευή 12 Οκτωβρίου Πορεία μελέτης 1. Μελετήστε το παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα 6.1. Εστω Α και Β δύο υπόχωροι του διανυσματικού χώρου V. Τότε η τομή A B είναι υπόχωρος. Απόδειξη Το μηδενικό στοιχείο 0 V ανήκει εξ ορισμού κα στο Α και στο Β άρα και στην τομή τους. Αν α,β ανήκουν και στον υπόχωρο Α και στον Β, τότε το άθροισμα α+β θα ανήκει επίσης και στους δύο υπόχωρους, άρα και στην τομή τους Αν χ ανήκει στον υπόχωρο Α και στον Β και λ F, τότε από τον ορισμό έχουμε ότι το λχ ανήκει και στον Α και στον Β άρα και στην τομή τους Τελικά η τομή των υπόχωρων είναι υπόχωρος. 2. Από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» να μελετήσετε τον ορισμό και τα παραδείγματα και που αναφέρονται στο γινόμενο πινάκων 6.2 Μία άσκηση και η λύση της Δείξτε ότι το σύνολο των διπλά παραγωγίσιμων συναρτήσεων f : R R που ικανοποιούν τη σχέση f 5 f +6 f = 0 είναι ένας Διανυσματικός χώρος με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς Λύση της άσκησης Η άσκηση αναφέρεται σε ένα σύνολο V πραγματικών συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής. Κάθε στοιχείο f(x) V είναι μία συνάρτηση f : R R, για την οποία υπάρχει η δεύτερη παράγωγος και ισχύει επί πλέον f 5 f + 6 f = 0 Για να είναι το σύνολο V Διανυσματικός χώρος θα πρέπει να ικανοποιούνται τα αξιώματα του Διανυσματικού χώρου δες Το σύνολο V είναι μη κενό, διότι η μηδενική συνάρτηση 0 : R R με 0(x) = 0 x R παραγωγίζεται δύο φορές και προφανώς ικανοποιεί τη συνθήκη f 5 f + 6 f = 0 2. Αν f 1 (x), f 2 (x) V, τότε f 1 5 f f 1 = 0 και f 2 5 f f 2 = 0 Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε (f 1 + f 2 ) 5 (f 1 + f 2 ) + 6 (f 1 + f 2 ) = 0 3. Συνεχίζουμε με τον τρόπο αυτό αποδεικνύοντας ότι ικανοποιούνται όλα τα αξιώματα του διανυσματικού χώρου για το σύνολο V 23

6 6.3 Ασκήσεις για σκέψη 1. Εστω R 2 2 ο διανυσματικός χώρος των 2 2 πινάκων με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς. Να βρείτε όλους τους υπόχωρους που περιέχουν τους παρακάτω ( ) 4 ( πίνακες: ) ( ) ( ) ,,, Εστω R ο διανυσματικός χώρος των πραγματικών αριθμών επί του R. Να βρεθούν οι υπόχωροί του. 3. Εστω R 2 = {(x, y) x, y R} ο διανυσματικός χώρος των ζευγών πραγματικών αριθμών επί του R. Να περιγραφούν οι υπόχωροί του 4. Εστω C ο διανυσματικός χώρος των μιγαδικών αριθμών επί του R. Να περιγραφούν οι υπόχωροί του. 5. Εστω C ο διανυσματικός χώρος των μιγαδικών αριθμών επί του C. Να βρεθούν οι υπόχωροί του. Τέλος του έκτου μαθήματος 24

7 7 Μάθημα 7 Δευτέρα 15 Οκτωβρίου Πορεία μελέτης 1. Δείτε την απόδειξη της πρότασης από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α 11 Είναι εντελώς ίδια με την απόδειξη του θεωρήματος 6.1 παραπάνω. Η μόνη διαφορά είναι ότι δεν έχουμε κατ ανάγκη δύο υπόχωρους αλλά ένα μη κενό σύνολο υπόχωρων, ενδεχομένως και άπειρο. Μελετήστε καλά την απόδειξη 2. Οι υπόχωροι. Μέρος ΙΙ Εστω A i, i I μία οικογένεια υπόχωρων. Τι μπορεί να σημαίνει αυτή η έκφραση; Και γιατί είμαστε αναγκασμένοι να την χρησιμοποιούμε; Και τι αποτελέσματα μπορούμε να πάρουμε; Ας επαναλάβουμε ήδη γνωστά αποτελέσματα που τα διαβάσαμε λίγο πρίν: (αʹ) Αν Α και Β δύο υπόχωροι ενός διανυσματικού χώρου V, τότε και η τομή τους είναι υπόχωρος του V. Απόδειξη: Το μηδενικό στοιχείο 0 V του χώρου ανήκει και στον υ- πόχωρο Α και στον υπόχωρο Β (από τον ορισμό), άρα ανήκει και στην τομή τους. Ετσι η πρώτη απαίτηση για να είναι η τομή A B υπόχωρος ικανοποιείται. Εστω τώρα x, y A B. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι x + y A B. Εχουμε από υπόθεση ότι x, y A και x, y B. Επειδή τώρα Α και Β είναι υπόχωρος θα έχουμε ξεχωριστά ότι x + y A και x + y B, άρα x + y A B Εστω λ F και x A B. Άρα ξεχωριστά θα έχουμε ότι x A και x B. Επειδή τώρα Α και Β υπόχωροι και λ είναι συντελεστής, θα έχουμε λx A λx A Τελικά λx A B. Ικανοποιούνται έτσι και οι τρείς απαιτήσεις και έτσι η τομή δύο υπόχωρων είναι υπόχωρος (βʹ) Η τομή πεπερασμένου πλήθους υπόχωρων του V είναι υπόχωρος επίσης, δηλαδή αν A 1, A 2,, A ν είναι υπόχωροι του V, τότε και η τομή ν i=1 A i είναι υπόχωρος. Η απόδειξη γίνεται με επαγωγή. Δοκιμάστε να την κάνετε (γʹ) Αν τώρα πάρουμε για παράδειγμα όλους τους υπόχωρους του R 2 και θελήσουμε να τους βάλουμε σε μία σειρά θα δούμε ότι αυτό είναι αδύνατο. Αυτό σχετίζεται με ένα σπουδαίο θεώρημα που λέει ότι δέν υπάρχει συνάρτηση f : R N, η οποία να είναι 1-1 και επί. Με άλλα λόγια δεν είναι δυνατόν να βάλουμε τους πραγματικούς αριθμούς σε μια σειρά 11 Το βιβλίο αυτό θα το βρείτε σε ηλεκτρονική μορφή από την αρχική σελίδα του μαθήματος 25

8 και να τους θεωρήσουμε ως στοιχεία ακολουθίας! Υπάρχει μία ιστορία με το ξενοδοχείο των αριθμών που θα πούμε σε επόμενα μαθήματα. Στο μάθημα αυτό δεν θα αποδείξουμε τον παραπάνω ισχυρισμό, αλλά αυτό μας επιβάλει να γράφουμε ως εξής: Εστω A i, i I, η οικογένεια των υπόχωρων του V που έχουν μία ιδιότητα. Δεν μπορούμε, αλλά ούτε χρειαζόμαστε να βάλουμε σε μία σειρά τους υπόχωρους. Θεώρημα 7.1. Εστω Α ένα υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου V. Τότε η τομή όλων των υπόχωρων του V, που περιέχουν το Α είναι υπόχωρος. Απόδειξη Είναι όμοια με την παραπάνω. Η διαφορά βρίσκεται στο γεγονός ότι δεν δικαιούμαστε να θεωρήσουμε τους υπόχωρους που περιέχουν το Α, ως στοιχεία ακολουθίας Θέμα για σκέψη: Να βρεθεί η τομή όλων των υπόχωρων του V. Να βρεθεί η τομή όλων των υπόχωρων του R 2 που ο καθένας περιέχει το (2,3) 3. Δείτε προσεκτικά τον ορισμό από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» του γραμμικού συνδυασμού στοιχείων του υποσυνόλου Κ ενός διανυσματικού χώρου V. Παρατηρήστε ότι (αʹ) Το σύνολο Κ είναι ένα οποιοδήποτε υποσύνολο του διανυσματικού χώρου, πεπερασμένο ή άπειρο. Αρκεί να είναι μη-κενό. (βʹ) Ο γραμμικός συνδυασμός εμπλέκει πάντα πεπερασμένο σύνολο διανυμάτων. 4. Μελετήστε επίσης προσεκτικά την απόδειξη του θεωρήματος από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α». Αναφέρει και αποδεικνύει ότι το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών ενός μη-κενού συνόλου Κ είναι ένας υπόχωρος. 5. Ο παραπάνω υπόχωρος λέγεται υπόχωρος του V που παράγεται από το Κ ή γραμμική θήκη του Κ και συμβολίζεται με < K >. Δες και τον ορισμό από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α». 6. Αν το Κ είναι πεπερασμένο σύνολο, τότε ο υπόχωρος < K > θα λέγεται πεπερασμένα παραγόμενος. 7. Μελετήστε τα παραδείγματα από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α». 8. Από το παράδειγμα από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» διαπιστώστε ότι υπάρχουν διανυσματικοί χώροι, οι οποίοι δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενοι. Βρείτε εσείς ακόμη ένα δικό σας παράδειγμα ενός μη-πεπερασμένα παραγόμενου διανυσματικού χώρου 26

9 9. Εστω Κ ένα μή-κενό υποσύνολο του διανυσματικού χώρου V. Η τομή ό- λων των υπόχωρων του V καθένας εκ των οποίων περιέχει το Κ είναι ένας υπόχωρος K του V. 10. Μελετήστε την απόδειξη της πρότασης από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α». Η πρόταση αυτή με λόγια λέει: Το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών στοιχείων του μη-κενού συνόλου Κ, K V είναι ίσο με την τομή όλων των υπόχωρων του V, καθένας εκ των οποίων περιέχει το Κ. 11. Το μόνο που μένει είναι η περίπτωση Κ=. Στην περίπτωση αυτή αναγκαστικά έχουμε ότι < >= {0 V }. Γιατί; 7.2 Ακόμη μία Άσκηση 1. Δίνεται ο διανυσματικός χώρος R 2 [x] των τριωνύμων με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή R 2 [x] = {α x 2 +β x+γ, α, β, γ R}. Να εξετάσετε εάν το σύνολο {1 + x, 1 + 2x, 1 + x 2, 1 + 2x 2 } παράγει τον διανυσματικό χώρο R 2 [x]. 12 Τέλος του εβδόμου μαθήματος Α». 12 Είναι η άσκηση 1 της παραγράφου 3.3 από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος 27

10 8 Μάθημα 8 Τετάρτη 17 Οκτωβρίου Πορεία μελέτης 1. Δείτε χρήσιμες πληροφορίες για τη θεωρία συνόλων εδώ 2. Δείτε προσεκτικά τους ορισμούς και από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α». Πρόκειται για τους ορισμούς των γραμμικά ανεξάρτητων και γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων ενός διανυσματικού χώρου 3. Δείτε επίσης πολύ προσεκτικά τον ορισμό από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α». Είναι ο ορισμός της βάσης ενός διανυσματικού χώρου Η έννοια 13 της βάσης ενός διανυσματικού χώρου είναι από τις πιο σημαντικές στη Γραμμική άλγεβρα Ας δούμε λίγο πιο αναλυτικά τα παραπάνω. Ξεκινάμε με ένα ορισμό: Ορισμός 8.1. Τα στοιχεία α 1, α 2,, α κ του διανυσματικού χώρου V επί του F θα λέγονται γραμμικά εξαρτημένα αν υπάρχουν συντελεστές λ 1, λ 2,, λ κ F, όχι όλοι μηδέν έτσι ώστε: λ 1 α 1 + λ 2 α λ κ α κ = 0 5. Δες τους ορισμούς και ξανά από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» για την γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων. 6. Δες όλα τα παραδείγματα από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» 7. Δείτε τον ορισμό της βάσης ενός διανυσματικού χώρου από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» 8. Δείτε πληροφορίες για τις βάσεις ενός διανυσματικού χώρου και από τη διεύθυνση: εδώ 9. Δείτε και ακούστε από βίντεο τη διάλεξη του καθηγητή G.Strang εδώ 13 Το βιβλίο αυτό γράφεται το Φθινόπωρο του 2012 για τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ευάγγελος Ράπτης Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών 14 Στη φυσική αντί για βάση μιλάμε για σύστημα αναφοράς 28

11 8.2 Άσκηση Δίνεται ο διανυσματικός χώρος R 2 [x] των τριωνύμων με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή R 2 [x] = {α x 2 + β x + γ, α, β, γ R}. Να εξετάσετε εάν το σύνολο {1 + x, 1 + 2x, 1 + x 2, 1 + 2x 2 } είναι βάση του διανυσματικού χώρου R 2 [x]. Να βρεθούν επίσης δύο βάσεις του χώρου αυτού. Τέλος του ογδόου μαθήματος 29

12 9 Μάθημα 9 Παρασκευή 19 Οκτωβρίου 2012 Συνεχίζουμε με τη μελέτη των βάσεων ενός διανυσματικού χώρου 9.1 Πορεία μελέτης 1. Δείτε ξανά τον ορισμό της βάσης ενός διανυσματικού χώρου από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α», ορισμός Δείτε επίσης και τον ορισμό της βάσης από εδώ 3. Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο διανυσματικός χώρος V παράγεται από ένα στοιχείο το α, α 0 και ας αναρωτηθούμε αν είναι δυνατόν ο V να έχει δύο στοιχεία β και γ γραμμικά ανεξάρτητα. Αν είχε, τότε θα είχαμε ότι και β = λ 1 α γ = λ 2 α Αν λ 1 = 0, τότε και β=0. Αλλά αυτό είναι άτοπο, διότι το μηδενικό στοιχείο δεν μπορεί να συμπεριλαβμάνεται σε σύνολο γραμμικά ανεξαρτήτων στοιχείων, διότι αν {β = 0, γ} τότε θα είχαμε το γραμμικό συνδυασμό 1 β + 0 γ = 0, άτοπο. Άρα λ 1 0. Ομοίως λ 2 0 Θεωρούμε τώρα τον γραμμικό συνδυασμό λ 2 β + ( λ 1 ) γ. Παρατηρούμε ότι λ 2 β + ( λ 1 ) γ = 0 χωρίς οι συντελεστές να είναι μηδέν, άρα το σύνολο {β, γ} είναι γραμμικά εξαρτημένο Συμπέρασμα Πάντα σε ένα διανυσματικό χώρο V, που παράγεται από ένα στοιχείο, ένα σύνολο δύο στοιχείων του είναι γραμμικά εξαρτημένο. 4. Σωστά το μαντέψατε!! Το επόμενο βήμα είναι 5. Βήμα Πάντα σε ένα διανυσματικό χώρο V, που παράγεται από δύο στοιχεία, ένα σύνολο τριών στοιχείων του είναι γραμμικά εξαρτημένο. Αποδεικνύουμε σήμερα ένα «ενδιάμεσο» θεώρημα, το οποίο περιέχει την βασική ιδέα της απόδειξης του θεμελιώδους θεωρήματος: Σε ένα διανυσματικό χώρο V, ο οποίος παράγεται από μ το πλήθος στοιχεία δεν υπάρχουν μ+1 γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία 30

13 Θεώρημα 9.1. Εστω V ένας διανυσματικός χώρος, ο οποίος παράγεται από δύο στοιχεία του. Τότε κάθε υποσύνολο Α του V με τρία στοιχεία είναι γραμμικά εξαρτημένο Απόδειξη: Εστω α και β δύο στοιχεία 15 του V, που τον παράγουν, δηλαδή V =< α, β >. Εστω A = {γ, δ, ɛ} ένα σύνολο τριών στοιχείων του V. (αʹ) Επειδή ο χώρος παράγεται από τα α και β έχουμε ότι υπάρχουν συντελεστές κ και λ με γ = κ α + λ β (βʹ) Αν κ=λ=0, τότε το διάνυσμα γ του χώρου V, είναι το μηδενικό διάνυσμα. Ετσι το σύνολο Α περιλαμβάνει και το μηδενικό διάνυσμα γ και έτσι έχουμε το γραμμικό συνδυασμό 1 γ + 0 δ + 0 ɛ = 0. Ο γραμμικός αυτός συνδυασμός δεν έχει όλους τους συντελεστές μηδέν, όμως το αποτέλεσμα είναι μηδέν. Άρα στην περίπτωση αυτή το σύνολο Α δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητο, είναι γραμμικά εξαρτημένο (γʹ) Στην περίπτωση που κάποιο από τα κ, λ είναι διαφορετικό από το 0, επιλέγουμε π.χ να είναι κ 0. Τότε έχουμε α = 1 γ λ β. Τώρα κ κ κάθε γραμμικός συνδυασμός των α και β είναι (με αντικατάσταση του α) γραμμικός συνδυασμός των γ και β. (δʹ) Είμαστε τώρα στη εξής θέση: Ο διανυσματικός χώρος V παράγεται από τα διανύσματα β και γ (εʹ) Θεωρούμε τώρα το δ. Επειδή δ V και < β, γ >= V από το παραπάνω, έχουμε ότι υπάρχουν συντελεστές ξ 1, ξ 2 με ξ 1 β + ξ 2 γ = δ (ϛʹ) Αν ξ 1 = ξ 2 = 0, τότε και δ=0, οπότε στο σύνολο Α έχουμε ένα στοιχείο το δ=0, άρα το Α δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο σύμφωνα με το επιχείρημα στο σημείο (β). Ετσι υποθέτουμε ότι κάποιο από τα ξ 1, ξ 2 είναι διαφορετικό του μηδενός. Εστω ξ 1 0. τότε μπορούμε να λύσουμε ως προς β την παραπάνω σχέση, δηλαδή μπορούμε να γράψουμε το β ως γραμμικό συνδυασμό των γ και δ. (ζʹ) Ως τώρα αποδείξαμε ότι κάθε γραμμικός συνδυασμός των α και β, άρα κάθε στοιχείο του V, γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των γ και δ (ηʹ) Συνεχίζουμε με το ɛ. Αφού το ɛ είναι στοιχείου του V, θα υπάρχουν λ 1, λ 2 συντελεστές με λ 1 γ + λ 2 δ = ɛ. Καταλήγουμε στον γραμμικό συνδυασμό λ 1 γ + λ 2 δ + ( 1)ɛ = 0. Καταλήγουμε έτσι σε ένα γραμμικό συνδυασμό των στοιχείων του συνόλου A = {γ, δ, ɛ}, ο οποίος είναι μηδέν, χωρίς να είναι όλοι οι συντελεστές μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι το Α είναι γραμμικά εξαρτημένο 15 Συνήθως ένα στοιχείο κάθε διανυσματικού χώρου το λέμε και διάνυσμα 31

14 9.2 Ασκήσεις για λύση 1. Εστω V ένας διανυσματικός χώρος που παράγεται από δύο στοιχεία α και β. Δείξτε ότι οποιεσδήποτε βάσεις του V έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων 2. Δείξτε ότι το σύνολο λύσεων Λ του γραμμικού συστήματος x + 3y + 4z = 0 2x + 4y + 5z = 0 είναι ένας υπόχωρος του R3. Βρείτε επίσης μία βάση αυτού. 3. Να βρεθεί η μορφή όλων των γραμμικών συστημάτων 3 εξισώσεων με αγνώστους x, y, z, των οποίων το σύνολο λύσεων είναι το Λ, που βρήκατε στην προηγούμενη άσκηση. Να βρεθεί ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας ενός από τα συστήματα που βρήκατε. 4. Δίνεται ο διανυσματικός χώρος R 2 [x] των τριωνύμων με πραγματικούς συντελεστές. Βρείτε μία βάση αυτού. Εξετάστε εάν τα τριώνυμα f ( x) = 2x + 5, f 2 (x) = 2x 2 + 5, f 3 (x) = x 2 + x, f 4 (x) = x 2 1 είναι γραμμικά εξαρτημένα. Μετά να εξετάσετε αν 4 οποιαδήποτε τριώνυμα είναιπάντα γραμμικά εξαρτημένα. 5. (αʹ) Να βρεθεί το σύνολο λύσεων του παρακάτω γραμμικού 16 συστήματος x 1 + x 2 + 3x 3 x 4 = 1 3x 1 + x 2 2x 3 + x 4 = 1 2x 1 + x 2 x 3 + 2x 4 = 3 (βʹ) Δίνονται 17 τα στοιχεία (2, 1, 0, 3) και (2, 1, 0, 4) του διανυσματικού χώρου (R 4, +, ).Να βρεθούν α, β R 4, έτσι ώστε το σύνολο (2, 1, 0, 3), (2, 1, 0, 4), α, β να είναι βάση του R 4 Άσκηση 9.2. Να βρεθεί η μορφή των υπόχωρων του Διανυσματικού χώρου ( 2, +, ) Σημειώνεται ότι ο Διανυσμτικός χώρος ( 2, +, ) περιέχει όλα τα διανύσματα του επιπέδου με κοινή αρχή κάποιο σημείο Τέλος του ενάτου μαθήματος 16 Το θέμα αυτό είχε τεθεί σε εξετάσεις 17 Το θέμα αυτό είχε τεθεί σε εξετάσεις 32

15 10 Μάθημα 10 Δευτέρα 22 Οκτωβρίου Πορεία μελέτης 1. Παρατήρηση Αν A = {α 1, α 2,, α κ } ένα υποσύνολο 18 του διανυσματικού χώρου V, το οποίο περιέχει το μηδενικό διάνυσμα 0, τότε το Α είναι γραμμικά εξαρτημένο, δηλαδή δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: Χωρίς λάθος μπορούμε να υποθέσουμε ότι α 1 = 0. Τότε όμως μπορούμε να γράψουμε τον γραμμικό συνδυασμό 2. 1 α α α κ Ο τελευταίος γραμμικός συνδυασμός είναι μηδέν, χωρίς να είναι μηδέν ό- λοι οι συντελεστές. Σύμφωνα με τον ορισμό το σύνολο Α είναι γραμμικά εξαρτημένο. Θεώρημα Εστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του F, ο οποίος παράγεται από ν στοιχεία του. Τότε κάθε υποσύνολο Α του V με ν +1 στοιχεία του χώρου V είναι γραμμικά εξαρτημένο Απόδειξη: Εστω A = {α 1, α 2,, α ν } ένα σύνολο διανυσμάτων 19 τα ο- ποία παράγουν τον χώρο, δηλαδή κάθε στοιχείο του χώρου, γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων του Α. Εστω τώρα B = {β 1, β 2,, β ν+1 }, ν + 1 διανύσματα του χώρου. Θα αποδείξουμε ότι το σύνολο Β είναι γραμμικά εξαρτημένο. Το στοιχείο β 1 ανήκει στο χώρο και αφού ο χώρος παράγεται από το σύνολο Α, θα υπάρχουν συντελεστές λ 1, λ 2,, λ ν με λ 1 α λ ν α ν = β 1 Αν όλοι οι συντελεστές είναι μηδέν, τότε και β 1 = 0, άρα το σύνολο Β είναι γραμμικά εξαρτημένο, αφού περιέχει το 0. Εστω τώρα ότι δεν είναι όλοι οι συντελεστές μηδέν. Χωρίς λάθος θεωρούμε 18 Το βιβλίο αυτό γράφεται καθημερινά το Φθινόπωρο του 2012 για τις ανάγκες της διαδασκαλίας του μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι, Χειμερινό εξάμηνο Ευάγγελος Ράπτης Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών 19 έχουμε πεί ότι τα στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου τα λέμε και διανύσματα 33

16 ότι λ 1 0 αλλάζοντας αν χρειάζεται τη σειρά των α 1, α 2,, α ν. Τότε όμως μπορούμε να λύσουμε την τελευταία σχέση ως προς α 1 και να έχουμε α 1 = 1 λ 1 β 1 λ 2 λ 1 α 2 λ ν λ 1 α ν Η τελευταία σχέση σημαίνει ότι το διάνυσμα α 1 είναι γραμμικός συνδυασμός των β 1, α 2,, α ν Λοιπόν έχουμε: (αʹ) Κάθε στοιχείο του V είναι γραμμικός συνδυασμός των α 1, α 2,, α ν (βʹ) Το α 1 είναι γραμμικός συνδυασμός των β 1, α 2,, α ν (γʹ) Άρα κάθε στοιχείο του V είναι γραμμικός συνδυασμός των β 1, α 2,, α ν, δηλαδή ο χώρος V παράγεται από τα β 1, α 2,, α ν ή όπως γράφουμε V =< β 1, α 2,, α ν > Με την ίδια λογική, όπως παραπάνω το διάνυσμα β 2 θα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των β 1, α 2,, α ν άρα β 2 = ξ 1 β 1 + ξ 2 α 2 + ξ 3 α 3 + ξ ν α ν ( ) Υπάρχουν οι παρακάτω περιπτώσεις: (αʹ) ξ 2 = ξ 3 = ξ 4 = = ξ ν = 0. Τότε β 2 = ξ 1 β 1 Το τελευταίο σημαίνει ότι το σύνολο B = {β 1, β 2,, β ν+1 }, είναι γραμμικά εξαρτημένο, διότι υπάρχει ο γραμμικός συνδυασμός ξ 1 β 1 + ( 1) β β β ν+1 = 0 (βʹ) Αν κάποιο από τα ξ 2, ξ 3, ξ ν+1 είναι διαφορετικό από το μηδέν, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ξ 2 0, αλλάζοντας τη σειρά αν χρειάζεται των α 2,, α ν. Το τελευταίο σημαίνει ότι το α 2 γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των β 1, β 2, α 3,, α ν Τελικά η πορεία είναι ως εξής: είτε σε κάποιο ενδιάμεσο στάδιο έχουμε ότι το Β είναι γραμμικά εξαρτημένο είτε «διώχνουμε» ένα- ένα τα α i, i = 1, 2, και βάζουμε στη θέση τους β i, i = 1, 2, 3,. Στο τέλος, δηλαδή όταν διώχνουμε το α ν και βάλουμε στη θέση του το β ν, τα α i, i = 1, 2, τελειώνουν και έχουμε ότι τα β 1, β 2,, β ν παράγουν το χώρο V. Ομως υπάρχει και το β ν+1. Αυτό θα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός ή β ν+1 = µ 1 β 1 + µ 2 β µ ν β ν µ 1 β 1 + µ 2 β µ ν β ν + ( 1)β ν+1 = 0 και τελικά σε κάθε περίπτωση το σύνολο Β είναι γραμμικά εξαρτημένο 34

17 1. Θυμηθείτε τον ορισμό για τη γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία διανυσμάτων από την παράγραφο Πρόταση (αʹ) Εστω Α και Β δύο υποσύνολα ενός διανυσματικού χώρου V επί του F και A B. Εάν το Α είναι γραμμικά εξαρτημένο, τότε και το Β είναι γραμμικά εξαρτημένο. (βʹ) Εστω Α και Β δύο υποσύνολα ενός διανυσματικού χώρου επί του F και A B. Εάν το Β είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε και το Α είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Απόδειξη: (α ) Ας υποθέσουμε ότι το Α είναι γραμμικά εξαρτημένο σύνολο διανυσμάτων του διανυσματικού χώρου V επί του F. Θα υπάρχουν τότε στοιχεία α 1, α 2,, α ν V και συντελεστές λ 1, λ 2,, λ ν F, όχι όλοι μηδέν με λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + λ ν α ν = 0 Ομως τα διανύσματα α 1, α 2,, α ν V δεν είναι μόνο στοιχεία του Α αλλά και του Β. Σύμφωνα με τον ορισμό θα είναι και το Β γραμμικά εξαρτημένο σύνολο (β ) Το σύνολο Α έχει δύο δυνατότητες. Είτε να είναι γραμμικά ανεξάρτητο είτε να είναι γραμμικά εξαρτημένο. Η ισχύς της μίας δυνατότητας αποκλείει την άλλη. Αν το Α είναι γραμμικά εξαρτημένο, τότε και το σύνολο Β, που περιέχει το Α, θα είναι γραμμικά εξαρτημένο, άτοπο από την υπόθεση. Ετσι η μοναδική δυνατότητα που απομένει είναι να είναι το Α γραμμικά ενεξάρτητο σύνολο. Πρόταση Εστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του F. επίσης Εστω (αʹ) Α ένα υποσύνολο του V το οποίο παράγει τον χώρο, δηλαδή V =< A >. Ως υπενθύμιση σημειώνουμε ότι αυτό σημαίνει, το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών του συνόλου Α είναι όλος ο χώρος V. Επί πλέον έστω ότι το Α έχει ν το πλήθος στοιχεία (βʹ) Β ένα υποσύνολο του διανυσματικού χώρου V, γραμμικά ανεξάρτητο με μ το πλήθος στοιχεία. Συμπέρασμα: µ ν Απόδειξη: Εστω ότι δεν ισχύει µ ν. τότε θα ισχύει η σχέση µ > ν. Το τελευταίο σημαίνει ότι μπορούμε στο γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο Β 35

18 υπάρχουν τουλάχιστον ν + 1 στοιχεία. Διαλέγουμε, λοιπόν ένα σύνολο ν + 1 στοιχείων του Β. Σύμφωνα με την πρόταση 10.3 το σύνολο αυτό θα είναι γραμμικά ανεξάρτητο, άτοπο από το θεώρημα Θεώρημα Εστω B 1 και B 2 δύο βάσεις ενός διανυσματικού χώρου V επί του F. Εστω επίσης ότι τα σύνολα B 1 και B 2 είναι πεπερασμένα. Συμπέρασμα: Το πλήθος των στοιχείων της βάσης B 1 είναι ίσο με το πλήθος των στοιχείων της βάσης B 2. Απόδειξη: Ετσω ότι το B 1 έχει μ στοιχεία και το B 2 έχει ν στοιχεία. Υ- πενθυμίζουμε ότι ένα υποσύνολο του V είναι βάση εάν (αʹ) Παράγει τον χώρο V (βʹ) Είναι γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο Τώρα το B 1 παράγει τον χώρο και το B 2 είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Άρα ν µ σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση. Αντιστρέφοντας τους ρόλους των B 1 και B 2 βρίσκουμε µ ν και τελικά έχουμε μ=ν 5. Ορισμός Εστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του F. Εάν μία βάση του είναι πεπερασμένη και έχει ν στοιχεία, τότε και κάθε άλλη βάση του είναι πεπερασμένη και έχει ν στοιχεία. Τον αριθμό των στοιχείων μιας οποιασδήποτε βάσης τον λέμε διάσταση του χώρου και τον συμβολίζουμε με dim F V Ασκήσεις Άσκηση Να βρεθεί η διάσταση του χώρου των πινάκων R 2 2. επίσης και μία βάση του Βρείτε Άσκηση Να βρεθεί η διάσταση του διανυσματικού χώρου C R των μιγαδικών επί των πραγματικών Άσκηση Να βρεθεί η διάσταση του διανυσματικού χώρου C C των μιγαδικών επί των μιγαδικών Άσκηση Εξετάστε εάν 4 οποιαδήποτε γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία του χώρου των πινάκων R 2 2 αποτελούν βάση αυτού. Άσκηση Εξετάστε εάν 4 οποιαδήποτε στοιχεία του χώρου των πινάκων R 2 2, τα οποία τον παράγουν αποτελούν βάση αυτού. Τέλος του δεκάτου μαθήματος 36

19 11 Μάθημα 11 Τετάρτη 24 Οκτωβρίου 2012 Βάση και διάσταση ενός διανυσματικού χώρου. Μέρος Πορεία μελέτης 1. Θεώρημα 11.1 (Θεώρημα ανταλλαγής). Εστω A = {α 1, α 2,, α ν } και B = {β 1, β 2,, β µ }, δύο υποσύνολα του διανυσματικού χώρου V επί του F με τις ιδιότητες (αʹ) Το σύνολο Α παράγει το χώρο (βʹ) Το σύνολο Β είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Τότε έχουμε τα εξής: (αʹ) ν µ (βʹ) Μπορούμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, να αφαιρέσουμε από το σύνολο Α τα διανύσματα α 1, α 2,, α µ και να τα αντικαταστήσουμε με τα β 1, β 2,, β µ, α µ+1, α µ+2,, α ν, με αποτέλεσμα ο χώρος V, να εξακολουθεί να παράγεται από αυτά, δηλ < β 1, β 2,, β µ, α µ+1, α µ+2,, α ν >= V Απόδειξη: Το πρώτο μέρος του θεωρήματος το έχουμε αποδείξει στην πρόταση Το δεύτερο μέρος προκύπτει από την απόδειξη του θεωρήματος Δείτε εδώ και το σχετικό βίντεο. Το βίντεο μπορείτε να το δείτε με σχόλια στο YouTube σε δύο μέρη: Πρώτο μέρος εδώ και δεύτερο μέρος εδώ 3. Θεώρημα 11.2 (Θεώρημα επέκτασης). Εστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του F, πεπερασμένης διάστασης ν και B = {β 1, β 2,, β µ } ένα σύνολο γραμμικά ανεξαρτήτων διανυσμάτων του V. Τότε το Β επεκτείνεται σε μία βάση του V, δηλαδή υπάρχουν διανύσματα α µ+1, α µ+2,, α ν έτσι ώστε το σύνολο {β 1, β 2,, β µ, α µ+1, α µ+2,, α ν } να είναι μία βάση του χώρου. Απόδειξη: Αφού ο χώρος έχει πεπερασμένη διάσταση, θα υπάρχει ένα σύνολο A = {α 1, α 2,, α ν }, το οποίο είναι βάση. Ως βάση του χώρου, παράγει 37

20 τον V. Από την άλλη μεριά το σύνολο B = {β 1, β 2,, β µ } είναι ένα σύνολο γραμμικά ανεξαρτήτων διανυσμάτων του V. Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα 11.1, μπορούμε να προσαρτήσουμε στο σύνολο B = {β 1, β 2,, β µ } κάποια διανύσματα του Α έτσι ώστε το σύνολο Γ = {β 1, β 2,, β µ, α µ+1, α µ+2,, α ν } να παράγει το χώρο. Θα αποδείξουμε ότι το σύνολο αυτό είναι και γραμμικά ανεξάρτητο, άρα τελικά είναι βάση. Εστω ότι το Γ δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητο, δηλαδή είναι γραμμικά εξαρτημένο. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν συντελεστές ξ 1, ξ 2,, ξ ν F, όχι όλοι μηδέν έτσι ώστε ξ 1 β 1 + ξ 2 β ξ µ β µ + ξ µ+1 α µ+1 + ξ µ+2 α µ ξ ν α ν = 0 Αφού δεν είναι όλοι οι συντελεστές μηδέν, μπορούμε να υποθέσουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι ξ 1 0. Τότε η παραπάνω εξίσωση λύνεται ως προς β 1. Ακολουθώντας τις ιδέες της πρότασης 10.3 διαπιστώνουμε ότι ο χώρος (αφού αφαιρέσουμε το β 1 ), παράγεται από ν-1 διανύσματα. Ομως έχουμε η διάσταση του χώρου είναι ν, άρα στο χώρο υπάρχουν ν γραμμικά ενεξάρτητα διανύσματα, άτοπο από το θεώρημα της ανταλλαγής Τελικά το σύνολο Γ είναι και γραμμικά ανεξάρτητο (το ότι παράγει το χώρο το έχουμε ήδη βρεί) άρα είναι βάση. Τέλος του ενδεκάτου μαθήματος 38

21 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Ράπτης Ευάγγελος «Γραμμική Άλγεβρα, Ενότητα 2 η, Διανυσματικοί χώροι». Έκδοση: 1.0. Αθήνα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

22 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Μάθημα Πορεία μελέτης....

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Μάθημα Πορεία μελέτης.... Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 3 II Αρχικά μαθήματα 5 1 Μάθημα 1 5 1.1 Εισαγωγή............................... 5 1.2 Πορεία μελέτης............................ 5 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 1: Πολυωνυμικές σχέσεις και ταυτότητες, μέρος Ι

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 1: Πολυωνυμικές σχέσεις και ταυτότητες, μέρος Ι Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 1: Πολυωνυμικές σχέσεις και ταυτότητες, μέρος Ι Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μέρος I Εναρξη μαθήματος 5 7 Υπολογιστική Άλγεβρα (439) ) Ευάγγελος

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 10 Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους 10.1 Τρίτο μέρος Επαναλαμβάνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 4: Ορίζουσες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 4: Ορίζουσες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 4: Ορίζουσες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής 23 Μάθημα 23 Παρασκευή 30 Νοεμβρίου 2012 23.1 Ορίζουσες 1. Οι ορίζουσες εκτός των άλλων εφαρμογών, βοηθούν και στην εύρεση λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 3: Πολυώνυμα τρίτου βαθμού

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 3: Πολυώνυμα τρίτου βαθμού Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 3: Πολυώνυμα τρίτου βαθμού Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μέρος II Πολυώνυμα μίας μεταβλητής 17 Κεφάλαιο 3 Πολυώνυμα τρίτου βαθμού 3.1 Μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 6: Ο αλγόριθμος της διαίρεσης

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 6: Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 6: Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μέρος III Πολυώνυμα πολλών μεταβλητών 33 Κεφάλαιο 6 Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Τετάρτη

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 7: Βάσεις Groebner I

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 7: Βάσεις Groebner I Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 7: Βάσεις Groebner I Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Βάσεις Groebner Ι Τετάρτη 21 Μαϊου 2014 7.1 Ιδεώδη μονονύμων Εχουμε ήδη δει οτι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 2: Γραμμικές συναρτήσεις (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 4 2 η Άσκηση... 7 3 η Άσκηση... 10 Χρηματοδότηση... 12 Σημείωμα Αναφοράς... 13 Σημείωμα Αδειοδότησης...

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική ΙΙΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Φυσική ΙΙΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Φυσική ΙΙΙ Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Ασκήσεις ΦΙΙΙ Ασκήσεις κυκλωμάτων συνεχούς ρεύματος. Κανόνες Kirchhoff. Γ. Βούλγαρης 2 Ο Νόμος των Ρευμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 6: Όριο και συνέχεια συναρτήσεων (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 4: Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλύτερου βαθμού

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 4: Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλύτερου βαθμού Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 4: Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλύτερου βαθμού Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλυτέρου βαθμού 4.1 Εξίσωση τετάρτου

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.02: Βασικά Θεωρήματα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.02: Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 10: Συστήματα γραμμικών εξισώσεων (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 1: Συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 1: Κρίσιμα συμβάντα Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Απομαγνητοφώνηση αποσπάσματος από Β Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 7: Άλγεβρα Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Ερευνητικά συμπεράσματα για τις ανισότητες Δυσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων. Άσκηση 3η. Στυλιανού Ιωάννης. Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων. Άσκηση 3η. Στυλιανού Ιωάννης. Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Άσκηση 3η Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-370: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 3: Μη γραμμικές συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 4: Θέματα σχετικά με τη διδασκαλία της συνέχειας. Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Σε μια τάξη Γ Λυκείου στα μαθηματικά κατεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Διαδικασία και Μάθηση στο Νηπιαγωγείο Ενότητα 1: Εισαγωγή

Εκπαιδευτική Διαδικασία και Μάθηση στο Νηπιαγωγείο Ενότητα 1: Εισαγωγή Εκπαιδευτική Διαδικασία και Μάθηση στο Νηπιαγωγείο Ενότητα 1: Εισαγωγή Διδάσκουσα: Μαρία Καμπεζά Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Σκοποί ενότητας Να ενημερωθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 2.1: Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Διδακτική Πρακτική Διδακτική πρακτική: Σοφία Μιχαλοπούλου.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 3: Μη γραμμικές συναρτήσεις (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Διάλεξη 13: Καμπύλες κόστους Ανδρέας Παπανδρέου Σχολή Οικονομικών και Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μορφές καμπυλών κόστους Καμπύλη

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 11: Είδη και μετασχηματισμοί πινάκων Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Είδη και μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 19: Εισαγωγή στα τετραγωνικά δυναμικά. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 19: Εισαγωγή στα τετραγωνικά δυναμικά. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 19: Εισαγωγή στα τετραγωνικά δυναμικά Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι μια πρώτη επαφή με την έννοια των τετραγωνικών

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Διάλεξη 11: Μεγιστοποίηση κέρδους Ανδρέας Παπανδρέου Σχολή Οικονομικών και Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Οικονομικό κέρδος Μια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 8: Εφαρμογές παραγώγων Μελέτη και βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός κανονικής τ.μ.

Ορισμός κανονικής τ.μ. Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 4: Τυχαίες τυχαίες μεταβλητές Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Ορισμός κανονικής τ.μ. Ορισμός κανονικής τ.μ. Μια συνεχής τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Διάλεξη 12: Ελαχιστοποίηση κόστους Ανδρέας Παπανδρέου Σχολή Οικονομικών και Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Ελαχιστοποίηση κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ISO 17025 5.9. ΔΙΑΣΦΑΛΙΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ (1) 5.9.1 Το Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Φιλοσοφία της Ιστορίας και του Πολιτισμού

Φιλοσοφία της Ιστορίας και του Πολιτισμού Φιλοσοφία της Ιστορίας και του Πολιτισμού Ενότητα 1: Εισαγωγή στις έννοιες Ιστορίας και Πολιτισμού Λάζου Άννα Εθνικὸ και Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Aθηνών Τμήμα Φιλοσοφίας Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας Φιλοσοφία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός 1/8 Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.05: Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος

Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Δυναμικής Άκαμπτου Σώματος... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 1.2 Ερώτηση 2... 4 1.3 Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 11 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις

Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Ταλαντώσεων... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 2. Ασκήσεις Ταλαντώσεων... 4 2.1 Άσκηση 1... 4 2.2 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την εφαρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.03: Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 1.1: Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Διδακτική Πρακτική Διδακτική πρακτική: Βασιλική Λεβέντη.

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Ενότητα 2: Δημιουργία και Επεξεργασία διανυσμάτων και πινάκων μέσω του Matlab Διδάσκουσα: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας

Γενική Φυσική Ενότητα: Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Γενική Φυσική Ενότητα: Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ασκήσεις στην Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας... 4 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονική. Ενότητα 5: DC λειτουργία Πόλωση του διπολικού τρανζίστορ. Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Ηλεκτρονική. Ενότητα 5: DC λειτουργία Πόλωση του διπολικού τρανζίστορ. Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ηλεκτρονική Ενότητα 5: D λειτουργία Πόλωση του διπολικού τρανζίστορ Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιεχόμενα ενότητας Μεθοδολογία D ανάλυσης των κυκλωμάτων με διπολικά τρανζίστορ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Ενότητα: Εργασίες Διδάσκων: Βασίλης Κόμης, Καθηγητής komis@upatras.gr www.ecedu.upatras.gr/komis/ Τμήμα Επιστημών

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 3: Η συνάρτηση Green σε επίπεδη γεωμετρία και η μέθοδος των ειδώλων σε σφαιρική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγική ή Εκπαίδευση ΙΙ

Παιδαγωγική ή Εκπαίδευση ΙΙ Παιδαγωγική ή Εκπαίδευση ΙΙ Ενότητα 2 Ζαχαρούλα Σμυρναίου Σχολή: Φιλοσοφική Τμήμα: Φιλοσοφίας Παιδαγωγικής Ψυχολογίας Μορφές διδασκαλίας Οι Μορφές διδασκαλίας Αναφέρονται στον τρόπο παρουσίασης του μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 3: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις μιας μεταβλητής Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 1. Ιστορική αναδρομή της διδακτικής της

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 3. Ο ρόλος του εκπαιδευτικού: σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 1.1: Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Διδακτική Πρακτική Διδακτική πρακτική: Έλλη Χουντάλα.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 19: Η συνάρτηση Green για την κυματική εξίσωση και θεώρημα Poynting Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 5: Ακολουθίες, όρια, σειρές (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα : Κρίσιμα συμάντα Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό 3.4. H συνάρτηση = α + Η ευθεία με εξίσωση =

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 8: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ) για συστήματα διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 16: Αναπαράσταση τελεστών με μήτρες. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 16: Αναπαράσταση τελεστών με μήτρες. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 16: Αναπαράσταση τελεστών με μήτρες Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να αναπτύξει την μεθοδολογία εύρεσης ιδιοτιμών

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 7: Κανονικότητες, συμμετρίες και μετασχηματισμοί στο χώρο Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Ι. Ενότητα 2: Θερμοδυναμικές συναρτήσεις. Σογομών Μπογοσιάν Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Ι. Ενότητα 2: Θερμοδυναμικές συναρτήσεις. Σογομών Μπογοσιάν Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Ι Ενότητα 2: Θερμοδυναμικές συναρτήσεις Σογομών Μπογοσιάν Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας αυτής είναι η εισαγωγή νέων θερμοδυναμικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 6: Θέματα σχετικά με τη διδασκαλία των ολοκληρωμάτων. Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Ένας μαθητής κατά την μελέτη της ολοκλήρωσης

Διαβάστε περισσότερα

P (B) P (B A) = P (AB) = P (B). P (A)

P (B) P (B A) = P (AB) = P (B). P (A) Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 2: Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Διαισθητική έννοια ανεξαρτησίας Διαισθητική

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 18: Νόμοι Maxwell Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσίασει τις εξισώσεις Maxwell. 2 Περιεχόμενα ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 1: Εισαγωγή Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 12: Θεωρήματα Ehrenfest-Parity- -Μέση τιμή τελεστή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 12: Θεωρήματα Ehrenfest-Parity- -Μέση τιμή τελεστή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 12: Θεωρήματα Ehrenfest-Parity- -Μέση τιμή τελεστή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει τις ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα