ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο 20: Το βαρυτικό πεδίο... 3 Κριτήριο Αξιολόγησης Κεφάλαιο 21: Το βαρυτικό πεδίο της Γης Κριτήριο Αξιολόγησης...

Transcript

1

2 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο Κριτριο Αξιολόγησης Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης Κριτριο Αξιολόγησης Απαντσεις Ερωτσεων Λύσεις Ασκσεων Απαντσεις Ερωτσεων, Ασκσεων και Προβλημάτων του σχολικού βιβλίου..

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o ΤΟ ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΘΕΩΡΙΑ.) Τι γνωρίζετε για τη βαρυτικ έλξη; Έστω δύο σώματα με πολύ μικρές διαστάσεις (σημειακές μάζες) που έχουν μάζες και και βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους. Σύμφωνα με τον νόμο της παγκόσμιας έλξης, που διατύπωσε ο Νεύτωνας, οι δύο αυτές σημειακές μάζες έλκονται με δύναμη που έχει μέτρο F G. Η ελκτικ δύναμη είναι διατηρητικ και κεντρικ. Στον νόμο της παγκόσμιας έλξης το G είναι μία σταθερά, γνωστ ως σταθερά της παγκόσμιας έλξης. Οπουδποτε στο Σύμπαν η τιμ της σταθεράς G είναι: G 6,67 N / kg Η σταθερά G είναι ανεξάρτητη από τη μάζα των σωμάτων και από το υλικό που τα περιβάλλει. Η σχέση F G δίνει και τις ελκτικές δυνάμεις με- ταξύ δύο ομογενών σφαιρικών μαζών, οπότε είναι η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους και οι ελκτικές δυνάμεις έχουν σημεία εφαρμογς τα κέντρα των δύο σφαιρών. Ο Cavendish με τη βοθεια ενός ζυγού στρέψης υπολόγισε τη σταθερά G.

4 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος Οι βαρυτικές δυνάμεις: Έχουν μεταξύ τους σχέση δράσης - αντίδρασης. Υπάρχουν ανεξάρτητα από το σχμα το μέγεθος των σωμάτων την απόσταση μεταξύ τους. Είναι ανεξάρτητες από το υλικό που υπάρχει μεταξύ των σωμάτων. Παρότι ελαττώνονται με την απόσταση, ποτέ δε γίνονται ακριβώς μηδέν. Επομένως, κάθε σωματίδιο στο Σύμπαν έλκει όλα τα άλλα σωματίδια, έστω και ανεπαίσθητα, ακόμη και όταν η απόστασ του από αυτά είναι πολύ μεγάλη..) Τι είναι το βαρυτικό πεδίο; Η αλληλεπίδραση μεταξύ μαζών είναι δύναμη από απόσταση και επομένως μπορεί να περιγραφεί με την έννοια του πεδίου. Κάθε μάζα δημιουργεί γύρω της πεδίο, που ονομάζεται πεδίο βαρύτητας βαρυτικό πεδίο. Εάν κάποια άλλη μάζα βρεθεί μέσα σε αυτό το πεδίο, θα δεχτεί δύναμη από αυτό. Βαρυτικό πεδίο ονομάζεται εκείνος ο χώρος στον οποίο κάθε μάζα δέχεται δύναμη. Για την περιγραφ του βαρυτικού πεδίου χρησιμοποιούμε τα μεγέθη ένταση και δυναμικό..) Τι γνωρίζετε για την ένταση του βαρυτικού πεδίου; Έστω ένα βαρυτικό πεδίο. Ένταση g του πεδίου βαρύτητας σε ένα σημείο του ονομάζεται το σταθερό πηλίκο της δύναμης F που θα δεχτεί μία μάζα, εάν βρεθεί σε αυτό το σημείο, προς τη μάζα αυτ. Δηλαδ: F g Η ένταση g έχει την ίδια κατεύθυνση με τη δύναμη F. Στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων η μονάδα μέτρησης της έντασης είναι το N/kg το /s. Όπως προκύπτει από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, η επιτάχυνση που θα αποκτσει ένα σώμα μάζας, εάν αφεθεί ελεύθερο στο πεδίο βαρύτητας, είναι F. Από τον ορισμό της έντασης προκύπτει: g

5 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο Επομένως: Η ένταση του πεδίου βαρύτητας σε ένα σημείο του ταυτίζεται με την επιτάχυνση που θα αποκτσει ένα σώμα, εάν αφεθεί ελεύθερο σε εκείνο το σημείο..) Να υπολογίσετε την ένταση σε ένα σημείο ενός βαρυτικού πεδίου που δημιουργείται από σημειακ μάζα. Έστω ένα βαρυτικό πεδίο που έχει δημιουργηθεί από σημειακ μάζα M. Εάν σε ένα σημείο Α του πεδίου που απέχει απόσταση από τη μάζα M τοποθετσουμε μία σημειακ μάζα, αυτ θα δεχτεί δύναμη το μέτρο της οποίας υπολογίζεται από τη σχέση: M F G Γνωρίζουμε ότι η ένταση του πεδίου στο σημείο Α δίνεται από τη σχέση: g F Από τις σχέσεις και M προκύπτει: g G.5) Πώς ορίζεται το δυναμικό στο πεδίο βαρύτητας; Επειδ το βαρυτικό πεδίο είναι διατηρητικό, μπορούμε να χρησιμοποισουμε για την περιγραφ του το δυναμικό. Δυναμικό V του πεδίου βαρύτητας σε ένα σημείο του Α ονομάζεται το σταθερό πηλίκο του έργου της δύναμης του πεδίου, όταν μεταφέρεται μάζα από το σημείο Α W στο άπειρο, προς τη μάζα αυτ. Δηλαδ: V A A Στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων η μονάδα μέτρησης του δυναμικού είναι το J/kg. Ειδικά για το πεδίο που δημιουργείται από μία σημειακ μάζα M, το δυναμικό σε ένα σημείο M του Α που απέχει απόσταση από τη μάζα M δίνεται επίσης από τη σχέση: VA G.6) Τι είναι η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων του πεδίου βαρύτητας; Έστω δύο σημεία Α και Β ενός βαρυτικού πεδίου. 5

6 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος Διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων Α και Β του πεδίου βαρύτητας ονομάζεται το πηλίκο του έργου της δύναμης του πεδίου κατά τη μετακίνηση μίας μάζας από W το σημείο Α έως το σημείο Β προς τη μάζα αυτ. Δηλαδ: V A B A VB.7) Τι γνωρίζετε για τη δυναμικ ενέργεια ενός συστματος σημειακών μαζών; Η δυναμικ ενέργεια του συστματος δύο σημειακών μαζών και που απέχουν μεταξύ τους απόσταση είναι ίση με το έργο που απαιτείται για να μεταφερθούν οι δύο μάζες από πολύ μακριά και να τοποθετηθούν στις θέσεις τους. Η δυναμικ ενέργεια του συστματος δίνεται από τη σχέση U G. Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι, για να κάνουμε άπειρη την απόσταση δύο μαζών που αρχικά βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους, πρέπει να προσφέρουμε ενέργεια στο σύστημα. Αποδεικνύεται ότι η δυναμικ ενέργεια του συστματος τριών σημειακών μαζών, και που βρίσκονται στις θέσεις Α, Β και Γ αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχμα, υπολογίζεται από τη σχέση: U G G G Η δυνατότητα να προσθέτουμε τους όρους δυναμικς ενέργειας για όλα τα ενδεχόμενα ζεύγη σωμάτων προκύπτει από το πειραματικό γεγονός ότι οι βαρυτικές δυνάμεις υπακούουν στην αρχ της υπέρθεσης. 6

7 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο Δυνάμεις παγκόσμιας έλξης ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Δύο σημειακές μάζες και που βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους αλληλεπιδρούν με βαρυτικές δυνάμεις το μέτρο των οποίων δίνεται από τη σχέση: F G Οι βαρυτικές δυνάμεις μεταξύ δύο μαζών είναι πάντοτε ελκτικές. Η σταθερά της παγκόσμιας έλξης G είναι ανεξάρτητη των μαζών και του υλικού που τις περιβάλλει και οπουδποτε στο Σύμπαν έχει σταθερ τιμ G 6,67 N kg. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα για τη δράση - αντίδραση, οι βαρυτικές δυνάμεις μεταξύ των σημειακών μαζών έχουν αντίθετη φορά και ίσα μέτρα. Όπως προκύπτει από τη σχέση F G, το μέτρο της βαρυτικς δύναμης μεταξύ δύο μα- ζών είναι ανάλογο των μαζών και και αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου της απόστασης μεταξύ τους. Τα συμπεράσματα αυτά αποτυπώνονται και στα παρακάτω διαγράμ- F f και F f. ματα Υπολογισμός απόστασης και μάζας Από τον νόμο της παγκόσμιας έλξης F G μπορούμε να υπολογίσουμε: την απόσταση μεταξύ των δύο μαζών: F G G G F F την τιμ της μίας μάζας, π.χ. της : F G G F F G 7

8 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος Μεταβολ της δύναμης παγκόσμιας έλξης Όταν μεταβάλλονται είτε η απόσταση μεταξύ των δύο σημειακών μαζών είτε οι τιμές των μαζών και είτε και τα δύο ταυτόχρονα, μεταβάλλεται το μέτρο της ελκτικς δύναμης μεταξύ τους. Το μέτρο F της ελκτικς δύναμης στην τελικ κατάσταση μπορούμε να το εκφράσουμε σε σχέση με το μέτρο F της ελκτικς δύναμης στην αρχικ κατάσταση όπου οι δύο σημειακές μάζες απέχουν απόσταση, όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα. Παράδειγμα Έστω ότι διπλασιάζεται η τιμ της μάζας και ταυτόχρονα τριπλασιάζεται η απόσταση μεταξύ των δύο μαζών. Δηλαδ, και. Εφαρμόζοντας τον νόμο της παγκόσμιας έλξης, έχουμε: F G F G F G F F Ισορροπία μάζας Για να ισορροπεί μία σημειακ μάζα που βρίσκεται σε χώρο όπου υπάρχουν δύο άλλες σημειακές μάζες και, πρέπει η συνισταμένη ελκτικ δύναμη που δέχεται από τις δύο μάζες να είναι μηδέν. Επομένως, η μάζα πρέπει να τοποθετηθεί μεταξύ των δύο μαζών και και επάνω στην ευθεία που τις ενώνει, όπως φαίνεται στο σχμα. Ένταση βαρυτικού πεδίου Η ένταση g ενός βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο δίνεται από τη σχέση g F, όπου F είναι η δύναμη που θα δεχτεί μία μάζα, εάν βρεθεί σε αυτό το σημείο. Η σχέση αυτ είναι γενικ και ισχύει για οποιοδποτε βαρυτικό πεδίο. Ειδικά για το βαρυτικό πεδίο που δημιουργείται M από μία σημειακ μάζα M ισχύει επίσης η σχέση g G. Η ένταση σε ένα σημείο του βαρυτικού πεδίου είναι πάντα ομόρροπη της δύναμης, υπάρχει ανεξάρτητα από το εάν τοποθετηθεί σε αυτό το σημείο δοκιμαστικ σημειακ μάζα και είναι ανεξάρτητη από την τιμ της μάζας αυτς. Σχέση έντασης-μάζας και έντασης-απόστασης στο βαρυτικό πεδίο M Όπως προκύπτει από τη σχέση g G, το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου είναι ανάλογο της μάζας M που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο και αντιστρόφως ανάλογο του τε- 8

9 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο τραγώνου της απόστασης από αυτό. Τα συμπεράσματα αυτά αποτυπώνονται και στα παρακάτω δια γράμματα g fm και g f. Σημεία βαρυτικού πεδίου με μηδενικ ένταση Έστω ένα βαρυτικό πεδίο που δημιουργείται από δύο σημειακές μάζες και που βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Η συνισταμένη ένταση του βαρυτικού πε δίου μηδενίζεται σε ένα σημείο Γ του πεδίου το οποίο βρίσκεται στο ευθύγραμμο τμμα ΑΒ, όπως φαίνεται στο σχμα. Κίνηση μάζας μέσα σε βαρυτικό πεδίο Έστω ότι σε ένα βαρυτικό πεδίο που έχει δημιουργηθεί από μία σημειακ μάζα M αφνουμε ελεύθερο να κινηθεί ένα σωματίδιο μάζας. Η μοναδικ δύναμη που δέχεται το σωματίδιο είναι η δύναμη από το βαρυτικό πεδίο. Το σωματίδιο θα αρχίσει να κινείται με επιτάχυνση το μέτρο της οποίας δίνεται από τη σχέση: F M G Η κίνηση του σωματιδίου είναι επιταχυνόμενη. Για την κίνηση του σωματιδίου δεν ισχύουν οι σχέσεις t και x t, επειδ η επιτάχυνση δεν είναι σταθερ. Βαρυτικ δυναμικ ενέργεια του συστματος δύο σημειακών μαζών Η βαρυτικ δυναμικ ενέργεια του συστματος δύο σημειακών μαζών και που βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους δίνεται από τη σχέση U G. Όπως προκύπτει από αυτ τη σχέ- ση, η δυναμικ ενέργεια του συστματος αυξάνεται με την απόσταση (αυξάνεται από μεγάλες αρνητικές τιμές προς το μηδέν). Τα συμπεράσματα αυτά αποτυπώνονται στο διάγραμμα U f. 9

10 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος Εάν η μία μάζα είναι πολύ μεγάλη και δεν κινείται, τότε θεωρούμε ότι η δυναμικ ενέργεια του συστματος είναι η δυναμικ ενέργεια της άλλης μάζας. A Δυναμικό σε ένα σημείο του βαρυτικού πεδίου Έστω ένα βαρυτικό πεδίο και μία σημειακ μάζα που βρίσκεται στο σημείο Α του πεδίου. W Το δυναμικό στο σημείο Α δίνεται από τη σχέση V A A, όπου WA είναι το έργο της δύναμης του πεδίου προκειμένου η μάζα να μεταφερθεί από το σημείο Α στο άπειρο. Η σχέση αυτ είναι γενικ και ισχύει για οποιοδποτε είδος βαρυτικού πεδίου. Ειδικά για το βαρυτικό πεδίο που δημιουργείται από μία M σημειακ μάζα M ισχύει η σχέση V G, όπου η από- σταση του σημείου Α από τη μάζα M. Το δυναμικό σε ένα σημείο του βαρυτικού πεδίου ορίζεται ανεξάρτητα από το εάν θα τοποθετσουμε όχι σε αυτό το σημείο δοκιμαστικ μάζα. Το δυναμικό είναι μονόμετρο μέγεθος και επομένως για τον υπολογισμό του αρκεί να προσδιορίσουμε μόνο την αλγεβρικ του τιμ. Δυναμικό σε ένα σημείο βαρυτικού πεδίου που δημιουργείται από πολλές μάζες Έστω ένα πεδίο που οφείλεται σε δύο περισσότερες σημειακές μάζες. Για να βρούμε το δυναμικό σε ένα σημείο Α του πεδίου, υπολογίζουμε το δυναμικό που προκαλεί στο σημείο Α κάθε σημειακ μάζα και στη συνέχεια προσθέτουμε αλγεβρικά τα δυναμικά αυτά. Δηλαδ: V V V... V A A A A Διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων ενός βαρυτικού πεδίου Έστω σημειακ μάζα M που δημιουργεί βαρυτικό πεδίο και δοκιμαστικ σημειακ μάζα που μετακινείται από το σημείο Α στο σημείο Β του πεδίου. Η διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων Α και Β δίνεται από τη σχέση A W V A, που είναι γενικ και ισχύει για όλα τα είδη των βαρυτικών πεδίων. Ειδικά για το βαρυτικό πεδίο που δημιουργείται από μία μάζα M ισχύει η σχέση M M VA VA VB G G GM, όπου και είναι οι αποστάσεις των σημείων Α και Β αντίστοιχα από τη μάζα M.

11 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο Έργο δύναμης κατά τη μετακίνηση μάζας σε βαρυτικό πεδίο Έστω μία σημειακ μάζα που μετακινείται από το σημείο Α στο σημείο Β ενός βαρυτικού πεδίου, χωρίς να μεταβληθεί η κινητικ της ενέργεια. Επειδ στις δύο θέσεις Α και Β η μάζα είναι ακίνητη, πρέπει στη μάζα, εκτός από τη δύναμη F του βαρυτικού πεδίου, να ασκείται και μία εξωτερικ δύναμη F. Από το θεώρημα μεταβολς της κινητικς ενέργειας έχουμε: W F F B A W V V F F W W W W W V V F F F A B ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.8) Δύο ομογενείς σφαίρες Σ και Σ με μάζες 6kg και 6kg αντίστοιχα συγκρατούνται σε τέτοια θέση ώστε τα κέντρα τους να απέχουν απόσταση d, όπως φαίνεται στο σχμα. Η τιμ της σταθεράς της παγκόσμιας έλξης είναι G 6,67 N kg. α) Να βρείτε το μέτρο της βαρυτικς έλξης που δέχεται κάθε σφαίρα και να σχεδιάσετε τα αντίστοιχα διανύσματα. β) Να προσδιορίσετε το σημείο στο οποίο πρέπει να τοποθετηθεί μία τρίτη ομογενς σφαίρα Σ μάζας kg ανάμεσα στις άλλες δύο με το κέντρο της στο ευθύγραμμο τμμα που ορίζουν τα κέντρα των δύο σφαιρών, ώστε να ισορροπεί. γ) Να υπολογίσετε τη συνισταμένη δύναμη που δέχεται η σφαίρα Σ, όταν τοποθετηθεί σε τέτοια θέση ώστε το κέντρο της να βρίσκεται στο μέσο του ευθύγραμμου τμματος που ορίζουν τα κέντρα των σφαιρών Σ και Σ. Λύση α) Οι βαρυτικές δυνάμεις μεταξύ των δύο σφαιρών είναι ελκτικές, έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσο μέτρο, που υπολογίζεται από τον νόμο της παγκόσμιας έλξης: 66 F G F 6,67 d 9 F,6 Οι βαρυτικές δυνάμεις έχουν μεταξύ τους σχέση δράσης - αντίδρασης.

12 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος β) Έστω ότι η σφαίρα ισορροπεί σε απόσταση x από τη σφαίρα, οπότε η απόστασ της από τη σφαίρα είναι d x. Εφόσον η σφαίρα ισορροπεί, οι δυνάμεις F και F που δέχεται από τις σφαίρες και αντίστοιχα είναι αντίθετες. F F F G G x d x 6 6 x 6 x d x x x x 6 x x x x x Εάν x 8x, προκύπτει x 8. x Αυτό σημαίνει ότι η σφαίρα πρέπει να τοποθετηθεί δεξιά από τη σφαίρα. Τότε όμως, επειδ οι βαρυτικές δυνάμεις είναι πάντοτε ελκτικές, οι δύο δυνάμεις που θα δέχεται από τις άλλες σφαίρες θα έχουν ίσα μέτρα και ίδια κατεύθυνση και επομένως η σφαίρα δε θα ισορροπεί. x Εάν x 8x, προκύπτει x 8. x Οι βαρυτικές δυνάμεις είναι πάντοτε ελκτικές. Στο βαρυτικό πεδίο που έχει δημιουργηθεί από δύο ομογενείς σφαίρες, το σημείο στο οποίο πρέπει να τοποθετηθεί μία τρίτη σφαίρα ώστε να ισορροπεί βρίσκεται στο ευθύγραμμο τμμα που ενώνει τα κέντρα των δύο σφαιρών. γ) Η δύναμη F που δέχεται η σφαίρα από τη σφαίρα έχει μέτρο: 6 F G F 6,67 F 9,6 d/ Η δύναμη F που δέχεται η σφαίρα από τη σφαίρα έχει μέτρο: 6 F G F 6,67 F 9,6 d/ Η συνισταμένη των δυνάμεων F και F έχει μέτρο FF 9 F, και κατεύθυνση ίδια με την κατεύθυνση της δύναμης F, όπως φαίνεται στο σχμα.

13 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο.9) Δύο μικρές σφαίρες Σ και Σ με μάζες και 8 βρίσκονται ακίνητες στα σημεία Α και Β αντίστοιχα μίας ευθείας ε και απέχουν απόσταση d μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο σχμα. Δίνεται η σταθερά της παγκόσμιας έλξης G. α) Να υπολογίσετε τη συνισταμένη ένταση του βαρυτικού πεδίου που δημιουργούν οι δύο σφαίρες σε ένα σημείο Γ του ευθύγραμμου τμματος ΑΒ που απέχει απόσταση d από το σημείο Α και να σχεδιάσετε το διάνυσμά της. d 5 β) Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου Δ της ευθείας ε στο οποίο η συνισταμένη ένταση του βαρυτικού πεδίου είναι μηδέν. γ) Να υπολογίσετε το συνολικό δυναμικό στο σημείο Δ. Λύση α) Η ένταση του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί η σφαίρα στο σημείο Γ είναι: g G g G g d 5G d d 5 Η ένταση του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί η σφαίρα στο σημείο Γ είναι: 8 g G g d G g.5g 6d d 5 Η συνισταμένη ένταση στο σημείο Γ είναι: g g g g.5g 5G 6d d g.65g 6d Στο σχμα φαίνεται η κατεύθυνση της συνισταμένης έντασης του βαρυτικού πεδίου στο σημείο Γ. β) Έστω ότι το σημείο Δ απέχει απόσταση x από το σημείο Α και απόσταση d x από το σημείο Β. Επομένως, έχουμε: g g g G G d x x Σε κάθε σημείο ενός βαρυτικού πεδίου υπάρχουν τόσες εντάσεις όσα είναι τα σώματα που βρίσκονται στο βαρυτικό πεδίο. Η συνισταμένη ένταση σε ένα σημείο είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα όλων των εντάσεων στο σημείο αυτό.

14 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος 8 8 G G 9 d x x d x x d x x Επομένως: 9x dx x d και 9x d x 8xd x d (απορρίπτεται, επειδ το σημείο Δ ανκει στο ευθύγραμμο τμμα 8 ΑΒ) γ) Το συνολικό δυναμικό στο σημείο Δ είναι ίσο με το άθροισμα των δυναμικών των πεδίων που δημιουργούν οι δύο σφαίρες. Επομένως: x d x 8 V G G d 9d V G d V V V V G G Στο βαρυτικό πεδίο που έχει δημιουργηθεί από δύο ομογενείς σφαίρες, το σημείο στο οποίο η συνισταμένη ένταση είναι μηδέν βρίσκεται στο ευθύγραμμο τμμα που ενώνει τα κέντρα των δύο σφαιρών. Το δυναμικό σε ένα σημείο βαρυτικού πεδίου είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα όλων των δυναμικών που οφείλονται σε όλα τα σώματα που δημιουργούν το πεδίο..) Τρεις μικρές σφαίρες Σ, Σ και Σ με μάζες βρίσκονται ακίνητες στις κορυφές Α, Β και Γ αντίστοιχα ενός ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α, όπως φαίνεται στο σχμα. Δίνεται:,7. α) Να υπολογίσετε το συνολικό δυναμικό στο μέσο Δ της πλευράς ΑΒ. β) Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης του βαρυτικού πεδίου κατά τη μετακίνηση μίας σφαίρας Σ μάζας από το σημείο Δ μέχρι το άπειρο. γ) Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου Ζ της πλευράς ΒΓ στο οποίο ισχύει η σχέση VZ 5V Z, όπου V Z και V Z είναι τα δυναμικά που οφείλονται στις σφαίρες Σ και Σ αντίστοιχα. Λύση α) Το συνολικό δυναμικό στο σημείο Δ είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των δυναμικών των πεδίων που δημιουργούν οι τρεις σφαίρες. Γνωρίζοντας ότι και, έχουμε: V V V V V G G G V G G G G V 5,5

15 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο β) Το έργο της δύναμης του βαρυτικού πεδίου κατά τη μετακίνηση της σφαίρας από το σημείο Δ μέχρι το άπειρο υπολογίζεται από τη σχέση: WF V V WF V G WF 5,5 Το έργο της βαρυτικς δύναμης κατά τη μετακίνηση μίας μάζας μεταξύ δύο σημείων του πεδίου δεν εξαρτάται από τη διαδρομ που θα ακολουθσει η μάζα, αλλά από την αρχικ και την τελικ της θέση. γ) Έστω ότι το σημείο Ζ απέχει απόσταση x από την κορυφ Β και απόσταση x από την κορυφ Γ. VZ 5V Z G 5G x x 5 x x x5x x 6.) Δύο μικρές σφαίρες Σ και Σ με μάζες και συγκρατούνται ακίνητες στα σημεία Α και Β αντίστοιχα μίας ευθείας ε και απέχουν απόσταση μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο σχμα. Αφνουμε τις σφαίρες ελεύθερες να κινηθούν. Η μοναδικ δύναμη που δέχονται οι δύο σφαίρες είναι η βαρυτικ δύναμη που ασκεί η μία στην άλλη. Δίνεται η σταθερά της παγκόσμιας έλξης G. α) Να βρείτε τη σχέση των μέτρων των ταχυττων των δύο σφαιρών κάθε χρονικ στιγμ. β) Να υπολογίσετε τις ταχύτητες και των σφαιρών Σ και Σ αντίστοιχα τη χρονικ στιγμ κατά την οποία η μεταξύ τους απόσταση είναι. F γ) Να υπολογίσετε τον λόγο της βαρυτικς δύναμης που ασκεί η μία σφαίρα F στην άλλη στην αρχικ θέση και στη θέση όπου η απόσταση μεταξύ τους είναι. Λύση α) Επειδ οι σφαίρες δε δέχονται άλλες δυνάμεις εκτός από τη μεταξύ τους ελκτικ δύναμη, το σύστημα είναι απομονωμένο και η ορμ του διατηρείται. Εφαρμόζοντας την αρχ διατρησης της ορμς για το σύστημα των δύο σφαιρών, έχουμε: p p Σε ένα σύστημα που είναι μονωμένο ισχύει κάθε χρονικ στιγμ η αρχ διατρησης της ορμς του συστματος. 5

16 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος β) Εφαρμόζουμε την αρχ διατρησης της μηχανικς ενέργειας για το σύστημα των δύο σφαιρών μεταξύ της αρχικς τους θέσης και της θέσης όπου η μεταξύ τους απόσταση είναι : U K U K G G G G 6 / 6G 6G 5 5 Επομένως: 6G 5 G γ) Όταν η απόσταση μεταξύ των δύο σφαιρών είναι, έχουμε: F G F G Όταν η απόσταση μεταξύ των δύο σφαιρών είναι, έχουμε: F G F 6G / G F Επομένως: F F F 6 6G Σε ένα σύστημα όπου ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις δυνάμεις που δεν παράγουν έργο ισχύει κάθε χρονικ στιγμ η αρχ διατρησης της μηχανικς ενέργειας του συστματος. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ.) Να διατυπώσετε τον νόμο της παγκόσμιας έλξης..) Τι είναι η σταθερά της παγκόσμιας έλξης και ποια είναι η τιμ της; 6

17 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο.) Να σχολιάσετε την πρόταση: «Η ένταση του πεδίου βαρύτητας σε ένα σημείο του ταυτίζεται με την επιτάχυνση που θα αποκτσει ένα σώμα, εάν αφεθεί ελεύθερο σε εκείνο το σημείο»..5) Να κατασκευάσετε τα διαγράμματα στα οποία φαίνεται πώς μεταβάλλεται η ένταση του βαρυτικού πεδίου που δημιουργείται από μία σημειακ μάζα M σε συνάρτηση με τη μάζα M και σε συνάρτηση με την απόσταση από αυτ..6) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα στο οποίο φαίνεται πώς μεταβάλλεται το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου που δημιουργείται από μία σημειακ μάζα M σε συνάρτηση με την απόσταση από αυτ..7) Τι υποδηλώνει το αρνητικό πρόσημο στη σχέση που δίνει τη δυναμικ ενέργεια του συστματος δύο σημειακών μαζών;.8) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα στο οποίο φαίνεται πώς μεταβάλλεται η δυναμικ ενέργεια του συστματος δύο σημειακών μαζών σε συνάρτηση με την απόσταση μεταξύ τους. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ.9) Η δύναμη που ασκείται μεταξύ δύο σημειακών μαζών είναι: α) ανάλογη με το άθροισμα των δύο μαζών. β) ανάλογη με το τετράγωνο της μεταξύ τους απόστασης. γ) ανεξάρτητη από το υλικό που παρεμβάλλεται μεταξύ των δύο μαζών..) Οι βαρυτικές δυνάμεις μεταξύ δύο σημειακών μαζών είναι: α) πάντοτε ελκτικές. β) πάντοτε απωστικές. γ) άλλοτε απωστικές και άλλοτε ελκτικές ανάλογα με τη θέση των δύο μαζών..) Οι βαρυτικές δυνάμεις με τις οποίες αλληλεπιδρούν δύο σώματα πολύ μικρών διαστάσεων: α) είναι αντίθετες. β) έχουν ίσα μέτρα και ίδιες κατευθύνσεις. γ) έχουν ίσα μέτρα και κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις. 7

18 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος.) Εάν διπλασιάσουμε την απόσταση δύο σημειακών μαζών, το μέτρο της βαρυτικς δύναμης με την οποία αλληλεπιδρούν: α) διπλασιάζεται. β) υποδιπλασιάζεται. γ) υποτετραπλασιάζεται..) Ο νόμος της παγκόσμιας έλξης εκφράζεται με τη σχέση: α) F G β) F G γ) F.) Η τιμ της παγκόσμιας σταθεράς G: α) εξαρτάται από το υλικό που παρεμβάλλεται μεταξύ των σωμάτων. β) εξαρτάται από τις μάζες των σωμάτων. γ) σε οποιοδποτε σημείο του σύμπαντος είναι G 6,67 N kg..5) Η βαρυτικ δύναμη μεταξύ δύο σωμάτων με μάζες και υπολογίζεται από τη σχέση F G : α) ανεξάρτητα από το σχμα και το μέγεθος των σωμάτων. β) ανεξάρτητα από την απόσταση των δύο σωμάτων. γ) μόνο αν πρόκειται για σημειακές μάζες ομογεν σφαιρικά σώματα..6) Κεντρικές ονομάζονται οι δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ δύο σωμάτων και ο φορέας τους: α) έχει διεύθυνση κάθετη στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα μάζας των σωμάτων. β) συμπίπτει με την ευθεία που ενώνει τα κέντρα μάζας των σωμάτων. γ) έχει διεύθυνση που σχηματίζει γωνία 5 με την ευθεία που ενώνει τα κέντρα μάζας των σωμάτων..7) Βαρυτικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος όπου: α) κάθε φορτίο δέχεται δύναμη. β) κάθε μάζα δέχεται δύναμη. γ) κάθε μάζα μεγαλύτερη από kg δέχεται δύναμη..8) Ποιες προτάσεις είναι σωστές; Η ένταση g του πεδίου βαρύτητας σε ένα σημείο: 8

19 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο α) έχει μέτρο ίσο με το πηλίκο της δύναμης F που δέχεται μία μάζα η οποία βρίσκεται σε αυτό το σημείο προς τη μάζα αυτ. β) είναι διανυσματικό μέγεθος. γ) έχει διεύθυνση κάθετη στη διεύθυνση της δύναμης F που δέχεται μία μάζα από το βαρυτικό πεδίο..9) Η μονάδα μέτρησης της έντασης του βαρυτικού πεδίου στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων είναι το: α) N/g β) /s γ) N/kg.) Το σχμα που δείχνει σωστά το διάνυσμα της έντασης στο σημείο Α του βαρυτικού πεδίου το οποίο δημιουργείται από μία μάζα είναι το: α) I β) II γ) III.) Η ένταση ενός βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο του Α είναι g 6/s. Ποια πρόταση είναι σωστ; α) Εάν στο σημείο Α τοποθετσουμε μάζα kg, αυτ θα δεχτεί βαρυτικ δύναμη F 6N. β) Εάν στο σημείο Α τοποθετσουμε μάζα kg, αυτ θα δεχτεί βαρυτικ δύναμη F N. γ) Εάν στο σημείο Α τοποθετσουμε μάζα kg, αυτ θα δεχτεί βαρυτικ δύναμη F N..) Σε κάθε σημείο του πεδίου βαρύτητας η ένταση: α) έχει μέτρο διπλάσιο από το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας. β) έχει διεύθυνση κάθετη στη διεύθυνση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. γ) ταυτίζεται με την επιτάχυνση της βαρύτητας..) Μία σημειακ μάζα M δημιουργεί ένα βαρυτικό πεδίο. Η ένταση g σε ένα σημείο του πεδίου που απέχει απόσταση από τη σημειακ μάζα M δίνεται από τη σχέση: α) g G M M M β) g G γ) g G 9

20 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος.) Το διάγραμμα στο οποίο φαίνεται πώς μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τον παράγοντα το μέτρο g της έντασης ενός βαρυτικού πεδίου το οποίο έχει δημιουργσει σημειακ μάζα είναι το: α) I β) II γ) III.5) Σημειακ μάζα M δημιουργεί ένα βαρυτικό πεδίο. Σε απόσταση από τη σημειακ μάζα η ένταση του πεδίου έχει μέτρο g. Σε απόσταση από τη σημειακ μάζα η ένταση του πεδίου έχει μέτρο g. Ποια σχέση είναι σωστ; α) g g β) g g γ) g g 9 9.6) Δυναμικό V του πεδίου βαρύτητας σε ένα σημείο του Α ονομάζεται: α) το γινόμενο του έργου της δύναμης του πεδίου, όταν μεταφέρεται μάζα από το σημείο Α στο άπειρο, επί τη μάζα αυτ. β) το σταθερό πηλίκο του έργου της δύναμης του πεδίου, όταν μεταφέρεται μάζα από το σημείο Α στο άπειρο, προς τη μάζα αυτ. γ) το σταθερό πηλίκο του έργου της δύναμης του πεδίου, όταν μεταφέρεται μάζα από το σημείο Α στο άπειρο, προς το τετράγωνο της μάζας αυτς..7) Η μονάδα μέτρησης του δυναμικού του βαρυτικού πεδίου στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων είναι το: α) J/g β) N/kg γ) J/kg.8) Μία σημειακ μάζα M δημιουργεί ένα βαρυτικό πεδίο. Το δυναμικό V A σε ένα σημείο Α του πεδίου που απέχει απόσταση από τη σημειακ μάζα M δίνεται από τη σχέση: M M M α) VA G β) V A G γ) VA G

21 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο.9) Το διάγραμμα στο οποίο φαίνεται πώς μεταβάλλεται σε συνάρτηση με την απόσταση η τιμ του δυναμικού ενός βαρυτικού πεδίου το οποίο έχει δημιουργσει σημειακ μάζα M είναι το: α) I β) II γ) III.) Σημειακ μάζα M δημιουργεί ένα βαρυτικό πεδίο. Σε απόσταση από τη μάζα M το δυναμικό του πεδίου είναι V. Σε απόσταση από τη μάζα M το δυναμικό του πεδίου είναι V. Ποια σχέση είναι σωστ; α) V V β) V V γ) V V 5.) Σημειακ μάζα M δημιουργεί ένα βαρυτικό πεδίο. Το δυναμικό σε ένα σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση από τη σημειακ μάζα: α) μειώνεται με την πάροδο του χρόνου. β) εξαρτάται από τη μάζα που θα τοποθετσουμε στο σημείο Α. γ) έχει απόλυτη τιμ που είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης..) Διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων Α και Β ενός πεδίου βαρύτητας ονομάζεται: α) το πηλίκο του έργου της δύναμης του πεδίου κατά τη μετακίνηση μίας μάζας από το σημείο Α έως το σημείο Β προς το τετράγωνο της μάζας αυτς. β) το πηλίκο του έργου της δύναμης του πεδίου κατά τη μετακίνηση μίας μάζας από το σημείο Α έως το σημείο Β προς τη μάζα αυτ. γ) το γινόμενο του έργου της δύναμης του πεδίου κατά τη μετακίνηση μίας μάζας από το σημείο Α έως το σημείο Β επί τη μάζα αυτ..) Η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων Α και Β ενός βαρυτικού πεδίου που έχει δημιουργηθεί από μία σημειακ μάζα: α) αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου. β) εξαρτάται από τη θέση των σημείων Α και Β. γ) εξαρτάται από τη μάζα που θα μετακινηθεί από το σημείο Α έως το σημείο Β.

22 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος.) Σημειακ μάζα M δημιουργεί ένα βαρυτικό πεδίο. Ποια πρόταση είναι σωστ; α) Το δυναμικό σε ένα σημείο του βαρυτικού πεδίου έχει θετικ αλγεβρικ τιμ. β) Η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων του βαρυτικού πεδίου είναι πάντοτε αρνητικ. γ) Το δυναμικό και η διαφορά δυναμικού έχουν την ίδια μονάδα μέτρησης..5) Η δυναμικ ενέργεια U ενός συστματος δύο υλικών σημείων με μάζες και που απέχουν μεταξύ τους απόσταση υπολογίζεται από τη σχέση: α) U G β) U G γ) U G.6) Τρεις σημειακές μάζες βρίσκονται στις θέσεις Α, Β και Γ ενός βαρυτικού πεδίου, όπως φαίνεται στο σχμα. Γνωρίζουμε ότι AB. Η δυναμικ ενέργεια του συστματος των τριών μαζών είναι: α) U 5G β) U G γ) U G.7) Το διάγραμμα που δείχνει πώς μεταβάλλεται η δυναμικ ενέργεια ενός συστματος δύο σημειακών μαζών σε συνάρτηση με την απόσταση μεταξύ τους είναι το: α) I β) II γ) III ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ.8) Δύο ομογενείς σφαίρες με μάζες και έλκονται με δύναμη μέτρου F, όταν τα κέντρα τους απέχουν απόσταση. Εάν τριπλασιάσουμε τη μάζα κάθε σφαίρας και υποδι-

23 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο πλασιάσουμε την απόσταση μεταξύ των κέντρων τους, το μέτρο F της μεταξύ τους βαρυτικς δύναμης είναι: α) F 9F β) F 6F γ) F 8F.9) Τα κέντρα των δύο ομογενών σφαιρών και του σχματος, με μάζες και αντίστοιχα, απέχουν απόσταση R. Τα μέτρα των ελκτικών δυνάμεων F και F μεταξύ των δύο σφαιρών συνδέονται με τη σχέση: α) F F β) F F γ) F F.5) Δύο ομογενείς σφαίρες και με μάζες που συνδέονται με τη σχέση βρίσκονται σε τέτοια θέση ώστε τα κέντρα τους να απέχουν απόσταση R. Το κέντρο μίας τρίτης ομογενούς σφαίρας βρίσκεται στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα των δύο άλλων σφαιρών σε απόσταση d R από το κέντρο της σφαίρας, όπως φαίνεται στο σχμα. Τα μέτρα των δυνάμεων F και F που δέχεται η σφαίρα από τις σφαίρες και αντίστοιχα συνδέονται με τη σχέση: α) F 8F β) F 9F γ) F F.5) Δύο σωμάτια και με μάζες που συνδέονται με τη σχέση συγκρατούνται ακίνητα σε απόσταση R. Αφνουμε τα σωμάτια ελεύθερα να κινηθούν και θεωρούμε ότι η κίνησ τους επηρεάζεται μόνο από τη βαρυτικ αλληλεπίδραση. Ποια πρόταση είναι σωστ; α) Τα σωμάτια θα αρχίσουν να απομακρύνονται, εκτελώντας ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. β) Τα σωμάτια θα αρχίσουν να πλησιάζουν κινούμενα ευθύγραμμα ομαλά. γ) Τα μέτρα των επιταχύνσεων των σωματίων κάθε χρονικ στιγμ μέχρι να έρθουν σε επαφ συνδέονται με τη σχέση..5) Δύο μικρές σφαίρες με μάζες και βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους και έξω από οποιοδποτε πεδίο βαρύτητας, όπως φαίνεται στο σχμα. Το μέτρο της συνισταμένης έντασης του βαρυτικού πε δίου που δημιουργείται από τις δύο σφαίρες στο μέσο Μ της απόστασης μεταξύ τους είναι: α) gm G β) g M 6G γ) g M G

24 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος.5) Μία μικρ σφαίρα μάζας δημιουργεί βαρυτικό πεδίο. Το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο Α που απέχει από τη σφαίρα απόσταση da d είναι ga 9N/kg. Το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο Β που απέχει από τη σφαίρα απόσταση db d είναι: α) gb 6N / kg β) gb 67,5N/kg γ) gb 8N/kg.5) Δύο μικρές σφαίρες με μάζες και βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Στο σημείο Γ που βρίσκεται στην ίδια ευθεία με τα σημεία Α και Β και σε απόσταση από το σημείο Β, όπως φαίνεται στο σχμα, η συνισταμένη ένταση του βαρυτικού πεδίου έχει μέτρο: α) g G β) g G γ) g G.55) Δύο μικρές σφαίρες με μάζες βρίσκονται στις κορυφές Β και Γ ενός ορθογώνιου και ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με ABd, όπως φαίνεται στο σχμα. Το μέτρο της συνισταμένης έντασης του βαρυτικού πεδίου που δημιουργείται από τις δύο σφαίρες στην κορυφ Α του τριγώνου είναι: α) g G β) d g G γ) d 5 g G d.56) Τέσσερις μικρές σφαίρες με μάζες βρίσκονται στις κορυφές Α, Β, Γ και Δ ενός τετραγώνου πλευράς d, όπως φαίνεται στο σχμα. Το μέτρο της συνισταμένης έντασης του βαρυτικού πεδίου που δημιουργείται από τις τέσσερις σφαίρες στο κέντρο Ο του τετραγώνου είναι: α) g G β) d g G γ) g d.57) Μία μικρ σφαίρα μάζας δημιουργεί ένα βαρυτικό πεδίο. Το μέτρο του δυναμικού σε ένα σημείο Α του πεδίου που βρίσκεται σε απόσταση A από τη σφαίρα είναι κατά %

25 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο μικρότερο από το μέτρο του δυναμικού σε ένα σημείο Β του πεδίου που απέχει απόσταση B από τη σφαίρα. Ποια σχέση είναι σωστ; B 5 B B 5 α) β) γ) 5 A A A.58) Μία μικρ σφαίρα μάζας δημιουργεί ένα βαρυτικό πεδίο. Στο διάγραμμα του σχματος φαίνεται πώς μεταβάλλεται το δυναμικό σε ένα σημείο του πεδίου σε συνάρτηση με την απόστασ του από τη σφαίρα. Ποια σχέση είναι σωστ; α) 9 β) γ) 6.59) Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες και 6 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα μίας ευθείας και απέχουν απόσταση μεταξύ τους. Ένα σημείο Γ της ευθείας βρίσκεται δεξιά από το σημείο Β και απέχει από αυτό απόσταση, όπως φαίνεται στο σχμα. Το συνολικό δυναμικό στο σημείο Γ είναι: α) V 58 G β) V 5 6 G 5 γ) V G 5.6) Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες και βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα μίας ευθείας και απέχουν απόσταση μεταξύ τους. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι λανθασμένη; α) Στο μέσο Μ του ευθύγραμμου τμματος ΑΒ το συνολικό δυναμικό είναι μηδέν. β) Η συνολικ ένταση του πεδίου είναι μηδέν σε ένα σημείο Γ του ευθύγραμμου τμματος ΑΒ που απέχει απόσταση A από το σημείο Α. γ) Η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων που βρίσκονται στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμματος ΑΒ είναι μηδέν..6) Μία μικρ σφαίρα Σ μάζας δημιουργεί ένα βαρυτικό πεδίο. Σε ένα σημείο Β του πεδίου, το οποίο απέχει απόσταση από τη σφαίρα Σ, αφνουμε ελεύθερη να κινηθεί μία μικρ σφαίρα μάζας. Η σφαίρα θα κινηθεί: 5

26 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος α) προς σημεία με υψηλότερο δυναμικό. β) αρχικά προς σημεία με υψηλότερο δυναμικό και στη συνέχεια προς σημεία με χαμηλότερο δυναμικό. γ) προς σημεία με χαμηλότερο δυναμικό..6) Μία ακίνητη μικρ σφαίρα Σ μάζας M βρίσκεται σε ένα σημείο Α και δημιουργεί βαρυτικό πεδίο. Σε ένα σημείο Β του πεδίου αφνουμε ελεύθερη να κινηθεί μία μικρ σφαίρα μάζας. Η σφαίρα μετακινείται αρχικά από το Β έως το Γ και στη συνέχεια από το Γ έως το Δ, όπως φαίνεται στο σχμα. Γνωρίζουμε ότι ABd και d. Εάν W F και W F είναι τα έργα της βαρυτικς δύναμης κατά τη μετακίνηση της σφαίρας από το Β έως το Γ και από το Γ έως το Δ αντίστοιχα, ποια σχέση είναι σωστ; α) WF WF β) WF W F γ) WF WF 5 Στις παρακάτω Ασκσεις και Προβλματα δίνεται η σταθερά της παγκόσμιας έλξης: G 6,67 N kg ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5.6) Δύο πρωτόνια βρίσκονται σε απόσταση. Δίνεται η μάζα του πρωτονίου 7 p,67 kg. Να υπολογίσετε το μέτρο της βαρυτικς έλξης μεταξύ των δύο πρωτονίων. Πόσο γίνεται το μέτρο της βαρυτικς έλξης μεταξύ των δύο πρωτονίων, εάν διπλα σιαστεί η μεταξύ τους απόσταση;.6) Δύο ομογενείς σφαίρες και με μάζες 5kg και 9kg αντίστοιχα συγκρατούνται σε τέτοια θέση ώστε τα κέντρα τους να απέχουν απόσταση d, όπως φαίνεται στο σχμα. Να βρείτε: α) σε ποιο σημείο πρέπει να τοποθετηθεί μία τρίτη σφαίρα μάζας kg ανάμεσα στις άλλες δύο σφαίρες ώστε να ισορροπεί, 6

27 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο β) τη συνισταμένη δύναμη που δέχεται η σφαίρα, όταν τοποθετηθεί σε τέτοια θέση ώστε το κέντρο της να βρίσκεται στο μέσο του ευθύγραμμου τμματος που ορίζουν τα κέντρα των σφαιρών και..65) Δύο ομογενείς σφαίρες και με μάζες kg και 6kg αντίστοιχα συγκρατούνται σε τέτοια θέση ώστε τα κέντρα τους να απέχουν απόσταση d, όπως φαίνεται στο σχμα. Να βρείτε: α) το μέτρο της βαρυτικς έλξης που δέχεται κάθε σφαίρα, β) τη συνισταμένη δύναμη που δέχεται μία τρίτη σφαίρα μάζας kg, όταν τοποθετηθεί σε τέτοια θέση ώστε το κέντρο της να βρίσκεται στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα των δύο σφαιρών, αριστερά από τη σφαίρα και σε απόσταση d από το κέντρο της..66) Μία μικρ σφαίρα μάζας δημιουργεί γύρω της βαρυτικό πεδίο. Το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο Α του πεδίου που απέχει από τη σφαίρα απόσταση A είναι ga 6,67 N / kg. Να υπολογίσετε: α) τη μάζα, β) το μέτρο της βαρυτικς δύναμης F που δέχεται μικρ σφαίρα μάζας kg, όταν τοποθετείται στο σημείο Α, γ) το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο Β που βρίσκεται σε απόσταση B κατά % μικρότερη από την απόσταση A..67) Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες και 9 βρίσκονται ακίνητες στα σημεία Α και Β αντίστοιχα μίας ευθείας και απέχουν απόσταση μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο σχμα. Α. Να σχεδιάσετε το διάνυσμα της συνισταμένης έντασης του βαρυτικού πεδίου και να υπολογίσετε το μέτρο της: α ) στο μέσο Μ του ευθύγραμμου τμματος ΑΒ, α ) σε ένα σημείο Γ της ευθείας που βρίσκεται δεξιά από το σημείο Β και απέχει απόσταση από αυτό. Β. Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου Δ της ευθείας στο οποίο η συνισταμένη ένταση του πεδίου είναι μηδέν. 7

28 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος.68) Μία μικρ σφαίρα μάζας,5kg είναι ακίνητη σε σημείο Α και δημιουργεί γύρω της βαρυτικό πεδίο. Α. Το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο Β του πεδίου που απέχει 9 από τη σφαίρα απόσταση B είναι gb,65 N / kg. Να υπολογίσετε: α ) την απόσταση, α ) το μέτρο της δύναμης που δέχεται από το πεδίο μία μικρ σφαίρα μάζας kg, που τοποθετείται σε ένα σημείο Γ το οποίο απέχει από τη σφαίρα απόσταση. Β. Σε ένα σημείο Δ το ποσοστό στα εκατό της μείωσης της έντασης του βαρυτικού πεδίου σε σχέση με την ένταση στο σημείο Β είναι g% %. Να υπολογίσετε την από- 8 9 σταση..69) Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες και 6 βρίσκονται ακίνητες στα σημεία Α και Β αντίστοιχα μίας ευθείας και απέχουν απόσταση μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο σχμα. Να προσδιορίσετε: α) τη θέση ενός σημείου Γ του ευθύγραμμου τμματος ΑΒ όπου τα μέτρα των εντά σεων g και g των βαρυτικών πεδίων που δημιουργούνται από τις σφαίρες και αντίστοιχα συνδέονται με τη σχέση g 6g, β) τη θέση ενός σημείου Δ της ευθείας που βρίσκεται αριστερά από το σημείο Α και όπου τα μέτρα των εντάσεων g και g των βαρυτικών πεδίων που δημιουργούνται από τις σφαίρες και αντίστοιχα συνδέονται με τη σχέση g g, γ) τη θέση ενός σημείου Ε της ευθείας που βρίσκεται δεξιά από το σημείο Β και όπου τα μέτρα των εντάσεων g και g των βαρυτικών πεδίων που δημιουργούνται από τις σφαίρες και αντίστοιχα συνδέονται με τη σχέση g g..7) Μία μικρ σφαίρα Σ μάζας kg είναι ακίνητη σε ένα σημείο και δημιουργεί γύρω της βαρυτικό πεδίο. Το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο του Α που απέχει από τη σφαίρα απόσταση A είναι VA 6,67 J / kg. α) Να υπολογίσετε την απόσταση A. β) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα στο οποίο φαίνεται πώς μεταβάλλεται το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου σε συνάρτηση με την απόσταση από τη σφαίρα Σ για αποστάσεις από έως A. 8

29 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο γ) Να υπολογίσετε το ποσοστό στα εκατό της μεταβολς της απόλυτης τιμς του δυναμικού στο σημείο Α, εάν η σφαίρα Σ αντικατασταθεί με άλλη σφαίρα που έχει μάζα,5kg..7) Μία μικρ σφαίρα Σ μάζας kg είναι ακίνητη σε ένα σημείο και δημιουργεί γύρω της βαρυτικό πεδίο. Το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο του Α είναι VA,6685 J / kg και το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο του Β είναι gb 6,67 N / kg. Να υπολογίσετε: α) τις αποστάσεις A και B των σημείων Α και Β αντίστοιχα από τη σφαίρα Σ, β) το δυναμικό στο σημείο Β, γ) το έργο της βαρυτικς δύναμης για μετακίνηση μίας μάζας kg από το σημείο Β στο σημείο Α..7) Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες και βρίσκονται ακίνητες στα σημεία Α 8 και Β αντίστοιχα μίας ευθείας και απέχουν απόσταση μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο σχμα. α) Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου Γ της ευθείας που βρίσκεται δεξιά από το σημείο Β και όπου οι απόλυτες τιμές των δυναμικών V και V των βαρυτικών πεδίων που δημιουργούνται από τις σφαίρες και αντίστοιχα συνδέονται με τη σχέση V V. β) Στο σημείο Γ τοποθετούμε μία σφαίρα μάζας. Να υπολογίσετε τη δυναμικ ενέργεια της σφαίρας. γ) Να υπολογίσετε το έργο της βαρυτικς δύναμης για μετακίνηση της σφαίρας από το σημείο Γ σε ένα σημείο όπου δε δέχεται καμία επίδραση από τις δύο σφαίρες και..7) Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες και 9 βρίσκονται ακίνητες στα σημεία Α και Β αντίστοιχα μίας ευθείας και απέχουν απόσταση d μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο σχμα. α) Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου Γ της ευθείας όπου η συνολικ ένταση του βαρυτικού πεδίου είναι μηδέν. β) Να υπολογίσετε το δυναμικό V του βαρυτικού πεδίου στο σημείο Γ. γ) Να υπολογίσετε το έργο της βαρυτικς δύναμης για μετακίνηση μίας μάζας 9

30 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος από το σημείο Γ σε ένα σημείο Δ όπου το δυναμικό V του βαρυτικού πεδίου που δημιουργείται από τις σφαίρες και είναι V V..7) Μία μικρ σφαίρα μάζας kg είναι ακίνητη σε ένα σημείο A και δημιουργεί γύρω της βαρυτικό πεδίο. Μία άλλη μικρ σφαίρα μάζας kg μετακινείται από ένα σημείο Β, που απέχει από τη σφαίρα απόσταση B, σε ένα σημείο Γ, όπως φαίνεται στο σχμα. Η μεταβολ της δυναμικς ενέργειας κατά τη μετακίνηση της σφαίρας είναι UB 6,67 J. α) Να υπολογίσετε το δυναμικό στο σημείο Β. β) Να βρείτε την απόσταση του σημείου Γ από τη σφαίρα. γ) Να συγκρίνετε τα μέτρα των βαρυτικών δυνάμεων F B και F που δέχεται η σφαίρα στις θέσεις Β και Γ αντίστοιχα..75) Τρεις μικρές σφαίρες, και με μάζες kg, kg και kg αντίστοιχα βρίσκονται ακίνητες στις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς,667, όπως φαίνεται στο σχμα. Να υπολογίσετε: α) τη συνολικ δυναμικ ενέργεια του συστματος των τριών μαζών, β) την ενέργεια που απαιτείται ώστε οι τρεις σφαίρες να μεταφερθούν στο άπειρο. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ.76) Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες και βρίσκονται ακίνητες στις κορυφές Β και Γ αντίστοιχα ενός ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ με πλευρές AB και, όπως φαίνεται στο σχμα. Η συνισταμένη ένταση του βαρυτικού πεδίου στο μέσο Μ της πλευράς ΒΓ του τριγώνου έχει μέτρο g M. Να υπολογίσετε το μέτρο της συνισταμένης έντασης του βαρυτικού πεδίου στην κορυφ Α του τριγώνου σε συνάρτηση με την ένταση g M.

31 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο.77) Ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρά. Στις κορυφές Β και Γ και στο μέσο Μ της πλευράς ΒΓ του τριγώνου βρίσκονται ακίνητες τρεις μικρές σφαίρες με μάζες, και αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχμα. Να υπολογίσετε: 8 α) το μέτρο της συνισταμένης έντασης του βαρυτικού πεδίου στην κορυφ Α του τριγώνου, β) το συνολικό δυναμικό του βαρυτικού πεδίου στην κορυφ Α, γ) το έργο της συνολικς βαρυτικς δύναμης για τη μετακίνηση μίας μάζας από την κορυφ Α στο άπειρο..78) Τέσσερις μικρές σφαίρες με μάζες,, και βρίσκονται ακίνητες στις κορυφές Α, Β, Γ και Δ αντίστοιχα ενός τετραγώνου πλευράς, όπως φαίνεται στο σχμα. Να υπολογίσετε: α) το συνολικό δυναμικό του βαρυτικού πεδίου στο κέντρο Ο του τετραγώνου, β) τη δυναμικ ενέργεια μίας μικρς σφαίρας μάζας 5, εάν αυτ τοποθετηθεί στο σημείο Ο, γ) το μέτρο της συνισταμένης έντασης του βαρυτικού πεδίου στο σημείο Ο..79) Τρεις μικρές σφαίρες, και με μάζες, και συγκρατούνται ακίνητες στα σημεία Α, Β και Γ αντίστοιχα της περιφέρειας ενός κύκλου κέντρου Κ και ακτίνας R, όπως φαίνεται στο σχμα. Γνωρίζουμε ότι 5. Να υπολογίσετε: α) το συνολικό δυναμικό του βαρυτικού πεδίου στο σημείο Κ, β) το έργο της συνολικς βαρυτικς δύναμης για τη μετακίνηση μίας μάζας από το σημείο Κ στο άπειρο, γ) τη συνολικ ένταση του βαρυτικού πεδίου στο σημείο Κ..8) Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες και 8 βρίσκονται ακίνητες στα σημεία Α και Β αντίστοιχα μίας ευθείας και απέχουν απόσταση d μεταξύ τους. Το συνο-

32 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος λικό δυναμικό σε ένα σημείο Γ της ευθείας που βρίσκεται δεξιά από το σημείο Β και απέχει από αυτό απόσταση d, όπως φαίνεται στο σχμα, είναι V. Να υπολογίσετε: α) το συνολικό δυναμικό V σε ένα σημείο Δ της ευθείας που βρίσκεται αριστερά από το σημείο Α και απέχει από αυτό απόσταση d σε συνάρτηση με το δυναμικό V, β) το έργο της βαρυτικς δύναμης κατά τη μετακίνηση μικρς σφαίρας μάζας από το σημείο Γ μέχρι το σημείο Δ, g γ) τον λόγο g των μέτρων των εντάσεων g και g του βαρυτικού πεδίου στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα..8) Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες και βρίσκο- νται ακίνητες στις κορυφές Α και Β αντίστοιχα ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ πλευράς, όπως φαίνεται στο σχμα. Δίνεται:,. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της δύναμης μεταξύ των δύο σφαιρών, β) το συνολικό δυναμικό του βαρυτικού πεδίου V και V στις κορυφές Γ και Δ αντίστοιχα του τετραγώνου, γ) το έργο της βαρυτικς δύναμης κατά τη μετακίνηση μικρς σφαίρας μάζας από το σημείο Γ στο άπειρο, δ) το μέτρο της συνισταμένης έντασης του βαρυτικού πεδίου στο σημείο Δ..8) Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες και βρίσκονται ακίνητες στα άκρα Α και Β αντίστοιχα της διαμέτρου ΑΒ ενός ημικυκλίου ΑΓΒ που έχει κέντρο Ο και ακτίνα R, όπως φαίνεται στο σχμα. Δίνεται:,. Να υπολογίσετε: s προσδίδου- α) το συνολικό δυναμικό του βαρυτικού πεδίου V και V O στο μέσο Γ του ημικυκλίου και στο κέντρο του Ο αντίστοιχα, β) το έργο της βαρυτικς δύναμης κατά τη μετακίνηση μικρς σφαίρας μάζας από το σημείο Γ μέχρι το σημείο Ο, γ) το μέτρο της συνισταμένης έντασης του βαρυτικού πεδίου στο σημείο Γ..8) Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες και αντίστοιχα βρίσκονται ακίνητες σε απόσταση μεταξύ τους. Τη χρονικ στιγμ t

33 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο με στη σφαίρα ταχύτητα μέτρου, όπως φαίνεται στο σχμα. Κατά τη διάρκεια της κίνησης των σφαιρών επιδρά μόνο η βαρυτικ δύναμη που ασκεί η μία σφαίρα στην άλλη. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα της σφαίρας, όταν η σφαίρα έχει ταχύτητα μέτρου, καθώς και τη δυναμικ ενέργεια του συστματος των δύο σφαιρών την ίδια χρονικ στιγμ, β) τη βαρυτικ δυναμικ ενέργεια του συστματος των δύο σφαιρών τη χρονικ στιγμ κατά την οποία τα μέτρα των ταχυττων των δύο σφαιρών είναι ίσα..8) Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες και αντίστοιχα βρίσκονται ακίνητες στα σημεία Α και Β σε απόσταση μεταξύ τους. Κάποια χρονικ στιγμ εκτοξεύουμε ταυτόχρονα τις δύο σφαίρες με ταχύτητες ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς, όπως φαίνεται στο σχμα. Θεωρούμε ότι η μοναδικ δύναμη που επιδρά στις σφαίρες είναι η βαρυτικ δύναμη που ασκεί η μία στην άλλη. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο του ρυθμού μεταβολς της ορμς κάθε σφαίρας τη στιγμ της εκτόξευσης, β) το μέτρο της ταχύτητας της μίας σφαίρας τη χρονικ στιγμ κατά την οποία σταμα τάει για πρώτη φορά η άλλη, καθώς και τη βαρυτικ δυναμικ ενέργεια του συστματος των δύο σφαιρών την ίδια χρονικ στιγμ, γ) την κοιν ταχύτητα που θα αποκτσουν οι σφαίρες..85) Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες συγκρατούνται ακίνητες στα σημεία Α και Β σε απόσταση μεταξύ τους. Μία τρίτη σφαίρα μάζας βρίσκεται στο μέσο Γ του ευθύγραμμου τμματος ΑΒ, όπως φαίνεται στο σχμα. Κάποια χρονικ στιγμ αφνουμε ταυτόχρονα τις τρεις σφαίρες ελεύθερες να κινηθούν. Θεωρούμε ότι οι μοναδικές δυνάμεις που επιδρούν στις σφαίρες είναι οι βαρυτικές δυνάμεις που ασκούν η μία στην άλλη. α) Να αποδείξετε ότι η σφαίρα θα παραμείνει ακίνητη. β) Να υπολογίσετε την κινητικ ενέργεια του συστματος των τριών σφαιρών τη χρονικ στιγμ κατά την οποία οι σφαίρες και απέχουν μεταξύ τους απόσταση.

34 Κριτριο Αξιολόγησης ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Θέμα ο α) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; i) Η ένταση του πεδίου βαρύτητας σε ένα σημείο έχει πάντα αντίθετη κατεύθυνση με τη δύναμη που θα ασκηθεί σε μία μάζα, εάν βρεθεί σε εκείνο το σημείο. ii) Όταν ένα σώμα κινείται σε βαρυτικό πεδίο, το έργο της δύναμης του πεδίου είναι ανεξάρτητο της διαδρομς που ακολουθεί το σώμα και εξαρτάται μόνο από την τελικ θέση του σώματος. iii) Όταν μία μάζα αφεθεί ελεύθερη να κινηθεί στο βαρυτικό πεδίο, κινείται προς τα σημεία που το δυναμικό μειώνεται. β) Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες και αντίστοιχα βρίσκονται ακίνητες στα σημεία Α και Β σε απόσταση μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο σχμα. Θεωρούμε ότι η μοναδικ δύναμη που επιδρά στις σφαίρες είναι η βαρυτικ δύναμη που ασκεί η μία στην άλλη. Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; i) Για να αυξσουμε τη δυναμικ ενέργεια του συστματος των δύο σφαιρών, πρέπει να μειώσουμε τη μεταξύ τους απόσταση. ii) Εάν μειώσουμε κατά 5% την απόσταση μεταξύ των δύο σφαιρών, μειώνεται και η δυναμικ ενέργεια του συστματος κατά 5%. iii) Το έργο της βαρυτικς δύναμης που ασκεί η μία σφαίρα στην άλλη για μετακίνηση των δύο σφαιρών στο άπειρο δίνεται από τη σχέση W G. Θέμα ο α) Μία μικρ σφαίρα μάζας δημιουργεί γύρω της βαρυτικό πεδίο. Τα μέτρα της έντασης του βαρυτικού πεδίου g B και g σε δύο σημεία Β και Γ αντίστοιχα συνδέονται με τη σχέση g g B 6. Οι δυναμικές ενέργειες U B και U που έχει μία σφαίρα μάζας, όταν βρίσκεται στα σημεία Β και Γ αντίστοιχα, συνδέονται με τη σχέση: U B i) U 6 U B ii) U 6 U B iii) U β) Μία μικρ σφαίρα μάζας είναι ακίνητη στην κορυφ Α λείου κεκλιμένου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχμα. Τα δυναμικά του βαρυτικού πεδίου V B και V στα σημεία Β και Γ αντίστοιχα συνδέονται με τη σχέση V. Η γωνία κλίσης του κεκλιμένου επιπέδου VB είναι:

35 i) ad Θέμα ο ii) ad 6 iii) ad Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες και βρίσκονται ακίνητες στα σημεία Α και Β αντίστοιχα μίας ευθείας και απέχουν απόσταση d μεταξύ τους. Σε ένα σημείο Γ της ευθείας που βρίσκεται δεξιά από το σημείο Β και απέχει από αυτό απόσταση d, όπως φαίνεται στο σχμα, τα μέτρα της έντασης των βαρυτικών 5 Κριτριο Αξιολόγησης πεδίων g και g που δημιουργούνται από τις μάζες και αντίστοιχα συνδέονται με τη σχέση g 7g. Δίνεται η σταθερά της παγκόσμιας έλξης G 6,7 N kg. Να υπολογίσετε: α) τον λόγο των δύο μαζών, β) τις μάζες και, εάν γνωρίζουμε ότι η δύναμη μεταξύ τους έχει μέτρο η απόστασ τους είναι d, γ) το συνολικό δυναμικό V στο σημείο Γ. F, N και Θέμα ο Δύο μικρές σφαίρες και με μάζες και αντίστοι- χα ηρεμούν σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους. Κάποια χρονικ στιγμ προσδίδουμε στη σφαίρα ταχύτητα μέτρου, όπως φαίνεται στο σχμα. Η μοναδικ δύναμη που δέχονται οι δύο σφαίρες είναι η βαρυτικ δύναμη που ασκεί η μία στην άλλη. Θεωρούνται γνωστά τα μεγέθη G, και. Να υπολογίσετε: α) την απόσταση μεταξύ των σφαιρών, όταν τα μέτρα των ταχυττων και των δύο σφαιρών και αντίστοιχα συνδέονται με τη σχέση, β) τη βαρυτικ δυναμικ ενέργεια του συστματος των δύο σφαιρών, όταν απέχουν απόσταση μεταξύ τους, γ) το μέτρο της βαρυτικς δύναμης που ασκεί η μία σφαίρα στην άλλη, όταν η μεταξύ τους απόσταση είναι. 5

36

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ O ΤΟ ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ.) Πώς υπολογίζεται η ένταση και το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου της Γης; Έστω ένα σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση h από την επιφάνεια της Γης και επομένως σε απόσταση R h από το κέντρο της. Θεωρώντας με ικανοποιητικ προσέγγιση τη Γη ως μία ομογεν σφαίρα μάζας M και ακτίνας R, η ένταση του βαρυτικού πεδίου M της στο σημείο Α δίνεται από τη σχέση: ga G R h Παρομοίως, το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου της Γης στο σημείο Α δίνεται από τη σχέση: M VA G R h M Εάν στη σχέση g G θέσουμε R h M 5,98 kg, 6 R 6,8 και h, υπολογίζουμε την ένταση g του πεδίου βαρύτητας της Γης στην επιφάνειά της: M g G g 9,8/s R Η ένταση και το δυναμικό σε ένα σημείο του πεδίου βαρύτητας δεν εξαρτώνται από τη μάζα του σώματος που μπορεί να βρίσκεται σε αυτό το σημείο. Όταν αφσουμε ένα σώμα να κινηθεί ελεύθερα στο βαρυτικό πεδίο της Γης, αυτό κινείται από σημεία με υψηλό δυναμικό προς σημεία με χαμηλότερο δυναμικό. Ο Νεύτωνας απέδειξε ότι τις παλίρροιες τις προκαλούν οι διαφορές στη βαρυτικ έλξη της Σελνης στις εκ διαμέτρου αντίθετες πλευρές της Γης. 7

38 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος.) Να κατασκευάσετε τα διαγράμματα g f και V f που δείχνουν πώς μεταβάλλεται το μέτρο της έντασης g και το δυναμικό V του βαρυτικού πεδίου της Γης σε συνάρτηση με την απόσταση από το κέντρο της. A M M Οι σχέσεις g G και V G δίνουν το μέτρο της έντασης και το δυναμικό αντί- στοιχα του βαρυτικού πεδίου της Γης σε σημεία που βρίσκονται στο εξωτερικό της, δηλαδ για R. Όπως προκύπτει από τις παραπάνω σχέσεις, το μέτρο της έντασης είναι αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου της απόστασης από το κέντρο της Γης, ενώ η απόλυτη τιμ του δυναμικού είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης. Η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης είναι μηδέν στο άπειρο. Στην περίπτωση που μελετάμε κινσεις δορυφόρων, πυραύλων κτλ. που γίνονται σε σχετικά μεγάλες αποστάσεις από τη Γη, το δυναμικό θεωρείται μηδέν στο άπειρο, ενώ έχει αρνητικ τιμ στο βαρυτικό πεδίο της Γης. Η φυσικ σημασία του αρνητικού προσμου είναι ότι για τη μεταφορά ενός σώματος εκτός του πεδίου απαιτείται προσφορά ενέργειας σε αυτό. Στα παρακάτω διαγράμματα φαίνεται πώς μεταβάλλεται το μέτρο της έντασης g και το δυναμικό Vτου βαρυτικού πεδίου της Γης σε συνάρτηση με την απόσταση από το κέντρο της..) Πώς υπολογίζεται η ταχύτητα διαφυγς ενός σώματος από το βαρυτικό πεδίο της Γης; Έστω ένα σώμα Σ μάζας που βρίσκεται σε ένα σημείο Α στην επιφάνεια της Γης. Ταχύτητα διαφυγς ενός σώματος ονομάζεται η ελάχιστη ταχύτητα με την οποία πρέπει να εκτοξευθεί το σώμα ώστε να διαφύγει οριστικά από το πεδίο βαρύτητας της Γης. Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα διαφυγς του σώματος Σ, εφαρμόζουμε την αρχ δια τρησης της μηχανικς ενέργειας του συστματος Γη-σώμα Σ. Προκειμένου να απλουστεύσουμε το πρόβλημα, θεωρούμε ότι η Γη δεν κινείται και αγνοούμε τις βαρυτικές επιδράσεις από τα άλλα ουράνια σώματα και την αντίσταση του ατμοσφαιρικού αέρα. 8

39 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης Κατά την κίνηση του σώματος Σ μεταξύ δύο θέσεων ισχύει: KUK U Εφαρμόζουμε τη σχέση μεταξύ του σημείου Α και του άπειρου, δηλαδ εκεί όπου δεν υπάρχει βαρυτικ έλξη και επομένως η δυναμικ ενέργεια του συστματος Γη-σώμα Σ είναι μηδέν. Η ελάχιστη τιμ της ταχύτητας με την οποία πρέπει να εκτοξευθεί το σώμα είναι αυτ για την οποία το σώμα θα φτάσει στο άπειρο με μηδενικ ταχύτητα. Επομένως: M KU G GM R R Θέτοντας τις τιμές M 5,98 kg, 6 R 6,8 και G 6,67 N / kg, προκύπτει ότι η ταχύτητα διαφυγς ενός σώματος από την επιφάνεια της Γης είναι:,k / s.k / h Εάν εκτοξεύσουμε το σώμα από ένα σημείο που βρίσκεται σε ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Γης, προκύπτει ότι η ταχύτητα διαφυγς του σώματος δίνεται από τη σχέση: GM R h Ένας δορυφόρος κοντά στην επιφάνεια της Γης πρέπει να έχει εφαπτομενικ ταχύτητα μεταξύ 8k / s και,k / s. Με ταχύτητα μικρότερη των 8k / s θα πέσει στη Γη, ενώ με ταχύτητα πάνω από, k / s θα διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο της Γης και θα τεθεί σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο κάποιο άλλο σώμα. Με ταχύτητα μεγαλύτερη από,5k / s θα ξεφύγει τελείως από το ηλιακό σύστημα. Η αρχικ ώθηση που δίνεται στον δορυφόρο τον ανεβάζει πάνω από την ατμόσφαιρα. Μία άλλη ώθηση του δίνει οριζόντια ταχύτητα μεταξύ 8k / s και, k / s, για να τεθεί σε τροχιά γύρω από τη Γη. Για να έχουμε την τροχιά που επιθυμούμε, έχουμε συνεχείς πυροδοτσεις από βοηθητικούς πυραύλους που διαθέτει ο δορυφόρος ώστε να γίνονται οι διορθώσεις που απαιτούνται..) Τι είναι οι μαύρες τρύπες; Εάν στη σχέση GM, που δίνει την ταχύτητα διαφυγς ενός σώματος από την R επιφάνεια ενός ουράνιου σώματος μάζας M και ακτίνας R, θέσουμε c, όπου 8 c /s είναι η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στον αέρα, και λύσουμε ως προς GM R, έχουμε: RS c 9

40 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος Η ακτίνα αυτ ονομάζεται ακτίνα Schwazschild. Εάν ένα ουράνιο σώμα μάζας M έχει ακτίνα μικρότερη από την ακτίνα Schwazschild, δεν επιτρέπει σε τίποτε, ούτε καν στο φως, να διαφύγει από το πεδίο βαρύτητάς του. Ως μαύρες τρύπες χαρακτηρίζονται στη σύγχρονη φυσικ τα ουράνια σώματα τα οποία έχουν ακτίνα μικρότερη από την ακτίνα Schwazschild και επομένως δεν είναι άμεσα παρατηρσιμα, αλλά κάνουν αισθητ την παρουσία τους από τις ισχυρότατες βαρυτικές έλξεις που ασκούν στον περίγυρό τους. Η πυκνότητα της ύλης σε μία μαύρη τρύπα είναι τεράστια. Για παράδειγμα, για να περιπέσουν ο Ήλιος και η Γη σε κατάσταση μαύρης τρύπας, πρέπει να συμπιεσθούν τόσο, ώστε οι ακτίνες τους να γίνουν R k και R 9 αντίστοιχα. H Ο όρος μαύρη τρύπα είναι ευρύτατα διαδεδομένος και επινοθηκε το 967 από τον Αμερικανό αστρονόμο και θεωρητικό φυσικό Τζον Γουίλερ. Δεν αναφέρεται σε τρύπα με τη συνθη έννοια του όρου, αλλά σε μια περιοχ από το βαρυτικό πεδίο της οποίας τίποτα δεν μπορεί να διαφύγει..5) Να συγκρίνετε το βαρυτικό με το ηλεκτροστατικό πεδίο. Τα δύο πεδία παρουσιάζουν ορισμένες ομοιότητες: Οι δυνάμεις ακολουθούν τον νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου, δηλαδ τα μέτρα τους είναι αντιστρόφως ανάλογα με το τετράγωνο της απόστασης. Οι φορείς των δυνάμεων βρίσκονται πάνω στην ευθεία που ενώνει τα σημειακά φορτία τις σημειακές μάζες, δηλαδ οι δυνάμεις είναι κεντρικές. Οι δυνάμεις είναι συντηρητικές. Τα δύο πεδία παρουσιάζουν ουσιαστικές διαφορές: Οι ηλεκτροστατικές δυνάμεις είναι ελκτικές απωστικές, ενώ οι βαρυτικές δυνάμεις είναι μόνο ελκτικές. Οι ηλεκτροστατικές δυνάμεις εξαρτώνται από το είδος του υλικού που υπάρχει ανάμεσα στα φορτία, ενώ οι βαρυτικές δυνάμεις δεν εξαρτώνται από το υλικό που υπάρχει ανάμεσα στις μάζες. Υπάρχουν δύο είδη ηλεκτρικών φορτίων, αλλά μόνο ένα είδος μάζας. Οι ηλεκτροστατικές δυνάμεις κυριαρχούν στον μικρόκοσμο (άτομα, μόρια κτλ.), ενώ οι βαρυτικές δυνάμεις κυριαρχούν στον μακρόκοσμο (μεγάλα σώματα, πλαντες κτλ.).

41 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης Η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης σε απόσταση h από την επιφάνειά της δίνεται από τη σχέση g G. M R h Σχέση έντασης g με την ένταση g στην επιφάνεια της Γης Στην επιφάνεια της Γης η ένταση του βαρυτικού πεδίου υπολογίζεται από τη σχέση g G. Επομένως: M R M G R h g g R g R g M g G R h g R h R Σχέση έντασης g με την πυκνότητα ρ της Γης Εάν θεωρσουμε τη Γη ως ομογεν σφαίρα με πυκνότητα, η μάζα της δίνεται από τη σχέση M V. Επειδ ο όγκος της Γης δίνεται από τη σχέση V R, έχουμε: M R g G g G R h R h Για h ισχύει: g GR Σχέση έντασης g με το δυναμικό V του βαρυτικού πεδίου Σε απόσταση h από την επιφάνεια της Γης το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου της Γης είναι V G. Επομένως: R M h G g R V M h M G R h g g V R h R Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης V h Εύρεση σημείου ανάμεσα στη Γη και στη Σελνη όπου η συνισταμένη ένταση του βαρυτικού πεδίου είναι μηδέν Έστω ότι το σημείο Α, όπου η συνισταμένη ένταση του βαρυτικού πεδίου είναι μηδέν, απέ-

42 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος χει από το κέντρο της Γης απόσταση x, όπως φαίνεται στο σχμα. Θεωρώντας ότι η απόσταση μεταξύ των κέντρων της Γης και της Σελνης είναι d, το σημείο Α απέχει από το κέντρο της Σελνης απόσταση d x. Γνωρίζουμε ότι οι μάζες της Γης και της Σελνης, και αντίστοιχα, συνδέονται με τη σχέση 8. Επομένως: g g g g g M M G G x d x x d x M M x d x 8 x Άρα: 9 x 9d 9x x 9d d x και d x 9 (απορρίπτεται, επειδ x > και d x > ) x Δυναμικό του βαρυτικού πεδίου της Γης Το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου της Γης σε απόσταση h από την επιφάνειά της δίνεται M από τη σχέση V G. R h Σχέση δυναμικού V με το δυναμικό V στην επιφάνεια της Γης Στην επιφάνεια της Γης το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου υπολογίζεται από τη σχέση M V G. Επομένως: R M G V R h V M G R V R V R h R V V R h Σχέση δυναμικού V με την πυκνότητα ρ της Γης Από τις σχέσεις M V και V R, που συνδέουν τη μάζα της Γης με τον όγκο της V και την πυκνότητά της, έχουμε: M R V G V G R h R h Για h ισχύει: V G R

43 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης Υπολογισμός του έργου του βάρους κατά τη μετακίνηση ενός σώματος μεταξύ δύο θέσεων Έστω ότι ένα σώμα μάζας μετακινείται από το σημείο Α στο σημείο Β του βαρυτικού πεδίου της Γης, τα οποία απέχουν αποστάσεις A και B από το κέντρο της αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχμα. Το έργο του βάρους κατά τη μετακίνηση του σώματος μεταξύ των σημείων Α και Β υπολογίζεται από τη σχέση: WA B VA V B WA B G G A B M Από τη σχέση GM g R g G R έχουμε: WA B G B A Από τις σχέσεις και προκύπτει: WA B B A Όπως φαίνεται από την προηγούμενη σχέση, το έργο είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομ μεταξύ των σημείων Α, Β και εξαρτάται μόνο από την αρχικ και την τελικ θέση. Για τον υπολογισμό του έργου του βάρους για μετακίνηση ενός σώματος μεταξύ δύο θέσεων που βρίσκονται μακριά από το κέντρο της Γης και απέχουν μεγάλη απόσταση x δεν μπορούμε να χρησιμοποισουμε τη σχέση W B = gx, επειδ η ένταση g δεν έχει σταθερ τιμ. Ταχύτητα διαφυγς από το βαρυτικό πεδίο της Γης Η ταχύτητα διαφυγς ενός σώματος που εκτοξεύεται από σημείο που βρίσκεται σε ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Γης υπολογίζεται από τη σχέση GM R h. Σχέση ταχύτητας διαφυγς υ δ και έντασης g M Από τη σχέση g G, που δίνει την ένταση του βαρυτικού πεδίου της R Γης στην επιφάνειά της, έχουμε GM. Επομένως: GM R h R h Για h ισχύει:

44 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος Σχέση ταχύτητας διαφυγς υ δ και δυναμικού V M Από τη σχέση V G, που δίνει το δυναμικό στην επιφάνεια της Γης, έχουμε R GM V R. Άρα: V R R h Για h ισχύει: V Για να διαφύγει ένα σώμα από το βαρυτικό πεδίο της Γης, πρέπει η μηχανικ του ενέργεια να είναι μεγαλύτερη ίση με μηδέν. Εάν είναι αρνητικ, το σώμα επιστρέφει στην επιφάνεια της Γης. Ταχύτητα διαφυγς από το βαρυτικό πεδίο ενός ουράνιου σώματος Η ταχύτητα διαφυγς ενός σώματος που εκτοξεύεται από σημείο που βρίσκεται σε ύψος h πάνω από την επιφάνεια ενός ουράνιου σώματος μάζας M και ακτίνας R υπολογίζεται από τη σχέση: GM R h GM R h Όπως προκύπτει από αυτ τη σχέση, το τετράγωνο της ταχύτητας διαφυγς είναι ανάλογο με τη μάζα M του ουράνιου σώματος, όπως φαίνεται και στο διάγραμμα του σχματος. Περιφορά δορυφόρου γύρω από τη Γη Ένας δορυφόρος μάζας περιφέρεται γύρω από τη Γη σε ύψος h πάνω από την επιφάνειά της. Υπολογισμός ταχύτητας του δορυφόρου Η δύναμη της παγκόσμιας έλξης παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου δύναμης. Επομένως: F F G M R h R h M G R h R Όπως φαίνεται από την προηγούμενη σχέση, η ταχύτητα του δορυφόρου είναι ανεξάρτητη από τη μάζα του και εξαρτάται μόνο από την απόστασ του από την επιφάνεια της Γης. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι δορυφόροι που κινούνται στην ίδια κυκλικ τροχιά έχουν ίδια ταχύτητα. h

45 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης Κινητικ ενέργεια του δορυφόρου Η κινητικ ενέργεια του δορυφόρου υπολογίζεται από τη σχέση: K K R h Δυναμικ ενέργεια του δορυφόρου M U G U R h R h Μηχανικ ενέργεια του δορυφόρου KU E R h R h E R h Από τις σχέσεις που δίνουν την κινητικ, τη δυναμικ και τη μηχανικ ενέργεια του δορυφόρου προκύπτουν: K U, U K και E E Περίοδος περιφοράς του δορυφόρου R h R h R h R h R h T T T T R g R h Όπως προκύπτει από την προηγούμενη σχέση, η περίοδος περιφοράς του δορυφόρου είναι ανεξάρτητη από τη μάζα του. Το ίδιο ισχύει για τη συχνότητα και τη γωνιακ ταχύτητα του δορυφόρου. Διάγραμμα T f, όπου T η περίοδος περιφοράς και η απόσταση του δορυφόρου από το κέντρο της Γης R h T R g T R Όπως φαίνεται από τη σχέση T R h g T, το τετράγωνο της περιόδου της περιφοράς του δορυφόρου είναι ανάλογο με την τρίτη δύναμη της απόστασς του από το κέντρο της Γης. Αυτό αποτυπώνεται στο διάγραμμα του σχματος. 5

46 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος Μεταβολ της ενέργειας κατά τη μετακίνηση του δορυφόρου από τροχιά ακτίνας σε τροχιά ακτίνας Συνθκες έλλειψης βαρύτητας Έστω ένας δορυφόρος που περιφέρεται γύρω από τη Γη. Ο δορυφόρος καθώς και όλα τα σώματα που βρίσκονται μέσα σ αυτόν έχουν κεντρομόλο επιτάχυνση g, όπου g είναι η ένταση του πεδίου βαρύτητας της Γης στο ύψος της τροχιάς του δορυφόρου. Ένας αστροναύτης που βρίσκεται μέσα στον δορυφόρο δέχεται την έλξη από τη Γη και τη δύναμη επαφς N από το δάπεδο. Από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα προκύπτει: F gg N Δηλαδ, το δάπεδο δεν ασκεί καμία δύναμη στον αστροναύτη και αυτό φαίνεται ως έλλειψη βαρύτητας. ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.6) Ένας δορυφόρος μάζας περιφέρεται σε κυκλικ τροχιά γύρω από τη Γη σε απόσταση h 5.6k από την επιφάνειά της, όπως φαίνεται στο σχμα. Δίνονται η μάζα της Γης M 5,98 kg, η ακτίνα της Γης R 6.k και η σταθερά της παγκόσμιας έλξης G 6,67 N kg. α) Να υπολογίσετε το μέτρο υ της ταχύτητας περιφοράς του δορυφόρου. β) Να υπολογίσετε την περίοδο Τ περιφοράς του δορυφόρου. υ γ) Να υπολογίσετε τη μεταβολ της ορμς του δορυφόρου σε χρονικό διάστημα T t, εάν η μάζα του δορυφόρου είναι kg. δ) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα στο οποίο φαίνεται πώς μεταβάλλεται το τετράγωνο της περιόδου περιφοράς του δορυφόρου T σε συνάρτηση με την τρί- τη δύναμη της απόστασς του από το κέντρο της Γης για τιμές της απόστασης από R έως R. Δίνεται:. 6

47 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης Λύση α) Η δύναμη της παγκόσμιας έλξης παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου δύναμης. Επομένως: F F M G R h R h M G R h,86 / s β) Από τη σχέση, που συνδέει την ταχύτητα T με την περίοδο περιφοράς σε μία ομαλ κυκλικ κίνηση, έχουμε: R h R h T T 85,599 s γ) Σε χρονικό διάστημα t ο δορυφόρος έχει εκτελέσει μισ περιφορά, όπως φαίνεται στο σχμα. Επομένως: p p p p p p 6,6 kg / s 6 R h M δ) Από τις σχέσεις T και G και θέτοντας R h R h, έχουμε: T T M G T M G Όπως προκύπτει από τη σχέση T GM T GM είναι ανάλογα, άρα η γραφικ παράσταση, τα μεγέθη T και T f είναι ευθεία. Από τη σχέση προκύπτει ότι για R έχουμε R T GM και για R R έχουμε T GM. Τα παραπάνω συμπεράσματα αποτυπώνονται στο διά- T f. γραμμα Η ταχύτητα περιφοράς ενός δορυφόρου γύρω από τη Γη είναι ανεξάρτητη της μάζας του δορυφόρου και μειώνεται όταν αυξάνεται η απόστασ του από το κέντρο της Γης. Η περίοδος περιφοράς ενός δορυφόρου γύρω από τη Γη είναι ανεξάρτητη της μάζας του δορυφόρου και αυξάνεται όταν αυξάνεται η απόστασ του από το κέντρο της Γης. 7

48 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος.7) Ένα σώμα μάζας εκτοξεύεται κατακόρυφα από την επιφάνεια της Γης με ταχύτητα μέτρου. Θεωρούνται γνωστές η ακτίνα R της Γης και η ένταση g του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της. α) Να υπολογίσετε τη μέγιστη απόσταση από το κέντρο της Γης στην οποία θα φτάσει το σώμα. β) Να κατασκευάσετε τα διαγράμματα K f, U f και E f f στα οποία φαίνεται πώς μεταβάλλονται σε συνάρτηση με την απόσταση του σώματος από το κέντρο της Γης η κινητικ του ενέργεια, η δυναμικ του ενέργεια και η μηχανικ του ενέργεια αντίστοιχα κατά την κίνησ του από την επιφάνεια της Γης μέχρι να φτάσει στο ανώτερο ύψος. Λύση α) Η ταχύτητα διαφυγς ενός σώματος που εκτοξεύεται από την επιφάνεια της Γης δίνεται από τη σχέση GM R. Επειδ ισχύει GM g R, προκύπτει: Επειδ, το σώμα δε διαφεύγει από το βαρυτικό πεδίο της Γης. Εφαρμόζοντας το θεώρημα έργου - ενέργειας μεταξύ της αρχικς και της τελικς θέσης του σώματος, έχουμε: W F V V V V GM R R R R R R β) Η δυναμικ ενέργεια δίνεται από τη σχέση: U G M U Όπως προκύπτει από την προηγούμενη σχέση, η δυναμικ ενέργεια είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης του σώματος από το κέντρο της Γης. Για R έχουμε: U Για R έχουμε: U 8

49 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης Η μηχανικ ενέργεια είναι σταθερ και δίνεται από τη σχέση: M U G R g R g R g R Η κινητικ ενέργεια υπολογίζεται από τη σχέση: U Για R έχουμε: g R Για R έχουμε: Τα παραπάνω συμπεράσματα αποτυπώνονται στο διπλανό διάγραμμα. Όταν η μηχανικ ενέργεια ενός σώματος που εκτοξεύεται από ένα σημείο του βαρυτικού πεδίου της Γης είναι μεγαλύτερη ίση με το μηδέν, το σώμα διαφεύγει από το βαρυτικό πεδίο. Εάν η μηχανικ ενέργεια είναι αρνητικ, το σώμα επιστρέφει στην επιφάνεια της Γης..8) Από ένα σημείο Α του βαρυτικού πεδίου της Γης το οποίο βρίσκεται σε ύψος h R πάνω από την επιφάνειά της εκτοξεύεται κατακόρυφα προς το διάστημα σώμα μάζας kgμε ταχύτητα μέτρου 6 / s. Δίνονται η ακτίνα της Γης R 6.k και η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της g / s. α) Να υπολογίσετε τη μηχανικ ενέργεια του σώματος στο σημείο Α. β) Να υπολογίσετε την κινητικ ενέργεια του σώματος σε ύψος h R από την επιφάνεια της Γης. γ) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα διαφύγει στο διάστημα και να βρείτε την ταχύτητά του, όταν βρεθεί εκτός πεδίου βαρύτητας της Γης. Λύση α) Η μηχανικ ενέργεια στο σημείο Α υπολογίζεται από τη σχέση: M U G M G R h R 9

50 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος,56 J β) Η μηχανικ ενέργεια είναι σταθερ. Στο ύψος h R πάνω από την επιφάνεια της Γης ισχύει: U U M G R h K,8 J γ) Επειδ η μηχανικ ενέργεια είναι θετικ, το σώμα θα διαφύγει στο διάστημα. Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα του σώματος στο άπειρο, εφαρμόζουμε την αρχ διατρησης της μηχανικς ενέργειας μεταξύ του σημείου Α και ενός σημείου εκτός πεδίου βαρύτητας της Γης. U Επειδ το βαρυτικό πεδίο της Γης είναι συντηρητικό, η μηχανικ ενέργεια διατηρείται εφόσον κατά την κίνηση του σώματος δεν υπάρχουν τριβές. 6 /s.9) Α. Ένα διαστημικό όχημα μάζας εκτοξεύεται κατακόρυφα από ύψος h R πάνω από την επιφάνεια της Γης με ταχύτητα. Να υπολογίσετε: α ) την ταχύτητα του οχματος σε ύψος h R πάνω από την επιφάνεια της Γης, g α ) τον λόγο g των μέτρων των εντάσεων g και g του βαρυτικού πεδίου της Γης στα ύψη h και h αντίστοιχα. Β. Με τη βοθεια βοηθητικών πυραύλων, όταν το διαστημικό όχημα φτάνει στο ύψος h, μπαίνει σε κυκλικ τροχιά μετατρεπόμενο σε τεχνητό δορυφόρο της Γης. Να υπολογίσετε: β ) την πρόσθετη ταχύτητα που πρέπει να προσδώσουν στο όχημα οι βοηθητικοί πύραυλοι για να το θέσουν σε κυκλικ τροχιά, β ) την περίοδο περιφοράς T του οχματος και το μέτρο της μεταβολς της κεντρομόλου επιτάχυνσς του σε χρονικό διάστημα t T. 5

51 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης h M G R h Λύση α ) Εφαρμόζοντας το θεώρημα έργου - ενέργειας μεταξύ των υψών h και h, έχουμε: W F VV VV GM GM R R R R 6 α ) Η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης σε ύψος h πάνω από την επιφάνειά της έχει M μέτρο που δίνεται από τη σχέση g G. Επομένως: R h M M G G g R g R g 9 g g g M G R β ) Όταν το όχημα κινείται σε κυκλικ τροχιά γύρω από τη Γη, η βαρυτικ έλξη από τη Γη παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου δύναμης. Επομένως: F F R M G R h R h M G R h Όπως φαίνεται στο σχμα, το μέτρο της επιπλέον ταχύτητας που πρέπει να προσδώσουν στο όχημα οι βοηθητικοί πύραυλοι υπολογίζεται από τη σχέση: 6 β ) Η ταχύτητα συνδέεται με την περίοδο περιφοράς σε μία ομαλ κυκλικ κίνηση με τη σχέση T. Για R h έχουμε: 6 R 6R 6R R T T T 6 T g 5

52 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος Σε χρονικό διάστημα t T το όχημα εκτελεί το μίας περιφοράς γύρω από τη Γη. Όπως φαίνεται στο σχμα, η μεταβο- λ της κεντρομόλου επιτάχυνσς του σε χρονικό διάστημα t T υπολογίζεται από τη σχέση: g 9R GM g 9R g 9.) Ένας δορυφόρος Δ μάζας περιφέρεται σε κυκλικ τροχιά γύρω από τη Γη σε απόσταση από το κέντρο της με ταχύτητα υ. Με εσωτερικό μηχανισμό προκαλείται διάσπαση του δορυφόρου σε δύο τμματα και με μάζες και αντίστοιχα. Το τμμα κινείται στην ίδια τροχιά αλλά σε αντίθετη κατεύθυνση από την αρχικ. Το τμμα έχει τετραπλάσια ταχύτητα από την ταχύτητα διαφυγς του από αυτό το σημείο. Να υπολογίσετε: α) τα μέτρα των ταχυττων των τμημάτων και αμέσως μετά τη διάσπαση σε συνάρτηση με την ταχύτητα υ, β) τις μάζες και σε συνάρτηση με τη μάζα, γ) τη μεταβολ της μηχανικς ενέργειας του συστματος κατά τη διάρκεια της διάσπασης, δ) την περίοδο περιφοράς T του τμματος σε συνάρτηση με την περίοδο περιφοράς T του δορυφόρου Δ γύρω από τη Γη. Λύση α) Όταν ο δορυφόρος κινείται σε κυκλικ τροχιά γύρω από τη Γη, η βαρυτικ έλξη από τη Γη παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου δύναμης. Επομένως: M M F F G G Ομοίως για το τμμα ισχύει: Στην ομαλ κυκλικ κίνηση το διάνυσμα της κεντρομόλου επιτάχυνσης μεταβάλλεται, ενώ το μέτρο της μένει σταθερό. 5

53 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης F F G M G Από τις σχέσεις και προκύπτει: Η ταχύτητα του τμματος είναι: GM Από τις σχέσεις και προκύπτει: β) Εφαρμόζοντας την αρχ διατρησης της ορμς για τον δορυφόρο και τα τμματα, κατά τη διάρκεια της διάσπασης, έχουμε: p p M γ) Η μεταβολ της μηχανικς ενέργειας κατά τη διάρκεια της διάσπασης υπολογίζεται από τη σχέση: K U K U Η δυναμικ ενέργεια πριν από τη διάσπαση είναι: U G M Η δυναμικ ενέργεια αμέσως μετά τη διάσπαση είναι: M M M U G G G Επειδ, έχουμε: U G M U U 5 Από τις σχέσεις και 5 προκύπτει: K K Κατά τη διάρκεια διάσπασης η μάζα του συστματος διατηρείται. Κατά τη διάρκεια διάσπασης ενός σώματος η μηχανικ ενέργεια του συστματος αυξάνεται, επειδ στο σώμα προστίθεται ένα μέρος της ενέργειας που χρησιμοποιθηκε για τη διάσπαση. 5

54 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος δ) Η ταχύτητα συνδέεται με την περίοδο περιφοράς σε μία ομαλ κυκλικ κίνηση με τη σχέση T. Επειδ, προκύπτει: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ.) Να κατασκευάσετε τα διαγράμματα στα οποία φαίνεται πώς μεταβάλλεται η ένταση και το δυναμικό του πεδίου βαρύτητας της Γης σε συνάρτηση με την απόσταση από το κέντρο της Γης..) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει την ένταση g του βαρυτικού πεδίου της Γης σε απόσταση R από το κέντρο της με την ένταση g του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της, όπου R είναι η ακτίνα της Γης..) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει την απόλυτη τιμ V του δυναμικού του βαρυτικού πεδίου της Γης σε απόσταση R από το κέντρο της με την απόλυτη τιμ V του δυναμικού του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της, όπου R είναι η ακτίνα της Γης..) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διαφυγς ενός σώματος, εάν το σημείο εκτόξευσς του βρίσκεται σε ύψος R πάνω από την επιφάνεια της Γης, όπου R είναι η ακτίνα της Γης, σε συνάρτηση με την ένταση g του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της..5) Τι γνωρίζετε για την ακτίνα Schwazschild; Να γράψετε τη σχέση με την οποία την υπολογίζουμε..6) Πώς γίνεται αντιληπτ μία μαύρη τρύπα;.7) Τι ακτίνες πρέπει να έχουν ο Ήλιος και η Γη ώστε να έχουν πυκνότητα παρόμοια με την πυκνότητα την οποία έχει η ύλη που περιέχεται σε μία μαύρη τρύπα; 5

55 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης.8) Να εξηγσετε γιατί οι τεχνητοί δορυφόροι που περιφέρονται σχετικά κοντά στη Γη παραμένουν στην τροχιά τους για λίγο χρόνο, ενώ η Σελνη κινείται πάντα στην ίδια τροχιά..9) Ένας δορυφόρος κινείται σε τροχιά γύρω από τη Γη σε ύψος στο οποίο η ένταση του g βαρυτικού πεδίου της Γης έχει μέτρο g, όπου g είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της. Να υπολογίσετε το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης του δορυφόρου..) Δύο δορυφόροι και περιφέρονται γύρω από τη Γη με ταχύτητες με μέτρα και αντίστοιχα. Να σχολιάσετε την άποψη ότι οι δύο δορυφόροι δεν είναι δυνατόν να συγκρουστούν..) Να σχολιάσετε την πρόταση: «Ένα διαστημόπλοιο που ξεκινά από τη Γη για να φτάσει στη Σελνη πρέπει να εκτοξευθεί με ταχύτητα τουλάχιστον, k / s»..) Ένα σώμα μετακινείται από την επιφάνεια της Γης στην επιφάνεια της Σελνης. Να εξηγσετε πώς μεταβάλλεται η συνισταμένη βαρυτικ δύναμη που δέχεται..) Να εξηγσετε γιατί, ενώ η δύναμη που ασκεί ο Ήλιος στη Σελνη είναι περίπου διπλάσια από τη δύναμη της παγκόσμιας έλξης που ασκεί η Γη στη Σελνη, η Σελνη δε διαφεύγει από τη Γη..) Να εξηγσετε εάν μπορεί ένας δορυφόρος που εκτοξεύεται από ένα κανόνι να τεθεί σε τροχιά γύρω από τη Γη. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ.5) Η βαρυτικ δύναμη που ασκεί η Γη σε ένα σώμα που βρίσκεται στο πεδίο βαρύτητας της Γης: α) δε μηδενίζεται ποτέ. β) είναι σταθερ, ανεξάρτητα από την απόσταση του σώματος από το κέντρο της Γης. γ) δεν εξαρτάται από τη μάζα του σώματος. 55

56 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος.6) Η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης, με μάζα M και ακτίνα R, σε ύψος h από την επιφάνειά της δίνεται από τη σχέση: M M M α) g G β) g G γ) g G R h R h R h.7) Το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου της Γης, με μάζα M και ακτίνα R, σε ύψος h R από την επιφάνειά της δίνεται από τη σχέση: α) V G M β) M V G γ) V G M R R R.8) Στην επιφάνεια της Σελνης η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Σελνης είναι μικρότερη από την ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνεια της Γης: α) τρεις φορές. β) τέσσερις φορές. γ) έξι φορές..9) Η ταχύτητα διαφυγς με την οποία πρέπει να εκτοξεύσουμε ένα σώμα από την επιφάνεια της Γης υπολογίζεται από τη σχέση: α) GM R β) GM R γ) GM R.) Η ταχύτητα διαφυγς με την οποία πρέπει να εκτοξεύσουμε ένα σώμα από την επιφάνεια της Γης είναι: α). / h β), / s γ),k / s.) Η ακτίνα Schwazschild δίνεται από τη σχέση: GM GM α) RS β) R S c c GM γ) RS c.) Ποιες προτάσεις είναι σωστές; α) Ένα ουράνιο σώμα με ακτίνα μικρότερη της ακτίνας Schwazschild δεν επιτρέπει στο φως να διαφύγει από το πεδίο βαρύτητάς του. β) Η σχέση που δίνει την ακτίνα Schwazschild παράγεται λαμβάνοντας υπόψη τις διορθώσεις που επέφερε η θεωρία της σχετικότητας στην κλασικ μηχανικ. γ) Για να περιπέσει σε κατάσταση μαύρης τρύπας ο Ήλιος, πρέπει να συμπιεσθεί σε μια σφαίρα ακτίνας k. 56

57 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης.) Ποιες προτάσεις είναι σωστές; α) Για να περιπέσει σε κατάσταση μαύρης τρύπας η Γη, πρέπει να συμπιεσθεί σε μια σφαίρα ακτίνας 9c. β) Σε περιοχές του σύμπαντος όπου ανιχνεύουμε ασυνθιστα μεγάλης έντασης εκπομπ ακτινοβολίας Χ υποπτευόμαστε την ύπαρξη μιας μαύρης τρύπας. γ) Η ταχύτητα διαφυγς από την επιφάνεια του Ήλιου είναι 68k / s..) Η ταχύτητα διαφυγς ενός σώματος από την επιφάνεια της Γης: α) είναι ανάλογη με τη μάζα της Γης. β) είναι αντιστρόφως ανάλογη με την ακτίνα της Γης. γ) δεν εξαρτάται από τη μάζα του σώματος που εκτοξεύεται..5) Η ταχύτητα διαφυγς ενός σώματος που εκτοξεύεται από ύψος h από την επιφάνεια της Γης: α) δεν εξαρτάται από την κατεύθυνση της αρχικς ταχύτητας του σώματος. β) είναι ανάλογη του ύψους h. γ) είναι αντιστρόφως ανάλογη του ύψους h..6) Το διάγραμμα που δείχνει πώς μεταβάλλεται το δυναμικό στο πεδίο βαρύτητας της Γης είναι το: α) β) γ) 57

58 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ.7) Η βαρυτικ έλξη της Γης σε ένα μλο μάζας που βρίσκεται στην επιφάνειά της έχει μέτρο F N. Όταν το μλο βρίσκεται σε απόσταση R από το κέντρο της Γης, όπου R είναι η ακτίνα της Γης, το μέτρο F της βαρυτικς έλξης της Γης είναι: α) F,5N β) F,5N γ) F,N.8) Ένας άνθρωπος μάζας επάνω στην επιφάνεια της Γης έχει βάρος B. Εάν υποθέσουμε ότι, χωρίς να μεταβληθεί η μάζα της Γης, αυξάνεται η ακτίνα της κατά %, το βάρος B του ανθρώπου είναι: α) B B β) B 5 B γ) B 5 B ) Ένας άνθρωπος μάζας επάνω στην επιφάνεια της Γης έχει βάρος B. Ο όγκος της Γης δίνεται από τη σχέση V R. Εάν υποθέσουμε ότι, χωρίς να μεταβληθεί η μέση πυκνότητα της Γης, μειώνεται η ακτίνα της κατά %, το βάρος B του ανθρώπου είναι: α) B 9 B β) B B γ) B B.) Η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνεια της Γης είναι g και σε ύψος h R, όπου R είναι η ακτίνα της Γης, είναι g. Ποια σχέση είναι σωστ; g α) g g β) g g γ) g 9.) Η μέση απόσταση μεταξύ της επιφάνειας της Σελνης και του κέντρου της Γης είναι d 6R, όπου R είναι η ακτίνα της Γης. Οι εντάσεις του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνεια της Γης και στην επιφάνεια της Σελνης, g και g αντίστοιχα, συνδέονται με τη σχέση: g α) g g β) g g γ) g ) Η απόσταση μεταξύ των κέντρων της Γης και της Σελνης είναι d. Οι μάζες M, της M Γης και της Σελνης αντίστοιχα συνδέονται με τη σχέση 8. Στο σημείο Α του ευ- θύγραμμου τμματος που ενώνει τα κέντρα της Γης και της Σελνης τα μέτρα των εντά- 58

59 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης σεων των βαρυτικών πεδίων της Γης και της Σελνης, g και g αντίστοιχα, συνδέονται με τη σχέση g g. Το σημείο Α απέχει από το κέντρο της Γης απόσταση: α) 9d d β) d d γ) d 6d.) Το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της είναι V και σε ύψος h R από την επιφάνεια της Γης, όπου R είναι η ακτίνα της Γης, είναι V. Ποια σχέση είναι σωστ; V α) V 8 V β) V V γ) V.) Από την επιφάνεια της Γης εκτοξεύουμε κατακόρυφα προς τα πάνω M ένα σώμα μάζας με ταχύτητα μέτρου G, όπου και R R είναι η μάζα και η ακτίνα της Γης αντίστοιχα. Το μέγιστο ύψος h ax πάνω από την επιφάνεια της Γης που θα φτάσει το σώμα είναι: R R R α) hax β) hax γ) hax 7 5.5) Από την επιφάνεια της Γης εκτοξεύουμε κατακόρυφα προς τα πάνω ένα σώμα μάζας με ταχύτητα διαφυγς. Η μάζα και η ακτίνα της Γης είναι και R αντίστοιχα. Το δυναμικό του πεδίου βαρύτητας της Γης στο σημείο όπου η ταχύτητα του σώματος έχει μέτρο είναι: M M M α) V G β) V G γ) V G 7R 6R 5R.6) Η ταχύτητα διαφυγς ενός σώματος από την επιφάνεια της Γης, η ακτίνα R της Γης και η ένταση g του πεδίου βαρύτητας της Γης στην επιφάνειά της συνδέονται με τη σχέση: α) β) γ).7) Η ταχύτητα διαφυγς ενός σώματος από την επιφάνεια της Γης και το δυναμικό V του πεδίου βαρύτητας της Γης στην επιφάνειά της συνδέονται με τη σχέση: α) V β) V γ) V 59

60 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος.8) Από ύψος h R από την επιφάνεια της Γης εκτοξεύουμε κατακόρυφα M προς τα πάνω ένα σώμα μάζας με ταχύτητα μέτρου G, R όπου και R είναι η μάζα και η ακτίνα της Γης αντίστοιχα. Στο σημείο όπου το σώμα σταματά στιγμιαία η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης είναι: M M M α) g G β) g G γ) g G R 6R 8R.9) Σε ένα σημείο Β το οποίο απέχει απόσταση h B από την επιφάνεια της Γης το δυναμικό M του πεδίου βαρύτητας είναι VB G, όπου και R είναι η μάζα και η ακτίνα της R Γης αντίστοιχα. Εάν g είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της, η ταχύτητα διαφυγς ενός σώματος από το σημείο Β δίνεται από τη σχέση: α) β) γ).5) Ένας δορυφόρος μάζας περιφέρεται γύρω από τη Γη σε ύψος h 9R πάνω από την επιφάνειά της, όπου R είναι η ακτίνα της Γης. Εάν g είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της, η κεντρομόλος επιτάχυνση του δορυφόρου στο ύψος h δίνεται από τη σχέση: g α) g β) g γ) 5.5) Ένας δορυφόρος μάζας περιφέρεται γύρω από τη Γη σε ύψος h πάνω από την επιφάνειά της με ταχύτητα μέτρου. Η ταχύτητα διαφυγς του δορυφόρου από αυτό το ύψος είναι. Ποια σχέση είναι σωστ; α) β) γ) 6

61 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης.5) Ένας πλαντης κινείται σε κυκλικ τροχιά γύρω από τον Ήλιο, όπως φαίνεται στο σχμα. Εάν και είναι η περίοδος περιφοράς του πλαντη και η ακτίνα της τροχιάς του αντίστοιχα, ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα που δείχνουν πώς μεταβάλλεται το τετράγωνο της περιόδου περιφοράς T σε συνάρτηση με την τρί- τη δύναμη της απόστασης είναι σωστό; α) β) γ).5) Ένας δορυφόρος μάζας περιφέρεται σε κυκλικ τροχιά γύρω από τη Γη σε απόσταση από το κέντρο της. Ο δορυφόρος βρίσκεται συνεχώς πάνω από τον ίδιο τόπο του Ισημερινού. Γνωρίζουμε ότι g είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της, R η ακτίνα της Γης και T η περίοδος περιστροφς της Γης γύρω από τον άξονά της. Ποια σχέση είναι σωστ; α) R T g β) R T g γ) R T g.5) Ένας δορυφόρος μάζας περιφέρεται σε κυκλικ τροχιά ακτίνας R γύρω από τη Γη, όπου R είναι η ακτίνα της Γης. Η ενέργεια που απαιτείται ώστε ο δορυφόρος να μεταφερθεί και να περιφέρεται σε κυκλικ τροχιά ακτίνας 6R γύρω από τη Γη είναι E. Εάν g είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της, ποια σχέση είναι σωστ; α) E β) E γ) E 6 6

62 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος.55) Δύο δορυφόροι και περιφέρονται γύρω από τη Γη σε ύψη h R και h 8R πάνω από την επιφάνειά της, όπου R είναι η ακτίνα της Γης, με περιόδους περιφοράς T και T αντίστοιχα. Ποια σχέση είναι σωστ; T 8 T T 8 α) β) γ) T 7 T 7 T ΑΣΚΗΣΕΙΣ.56) Η βαρυτικ έλξη που δέχεται ένας άνθρωπος μάζας από τη Γη, που έχει μάζα και ακτίνα R, έχει μέτρο F 8N στην επιφάνεια της θάλασσας. Να βρείτε το μέτρο της βαρυτικς έλξης που δέχεται ο άνθρωπος: α) σε απόσταση R από το κέντρο της Γης, β) σε ύψος R από την επιφάνεια της Γης..57) Ένας δορυφόρος περιφέρεται γύρω από τη Γη σε ύψος h 9R πάνω από την επιφάνειά της. Δίνονται η ακτίνα της Γης R 6.k και η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της g /s. Να υπολογίσετε: α) την ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στο ύψος h, β) το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου της Γης στο ύψος h, γ) το ποσοστό στα εκατό της μεταβολς του μέτρου της έντασης του βαρυτικού πεδίου της Γης, εάν ο δορυφόρος περιφέρεται σε ύψος h επιφάνεια της Γης. R από την.58) Ένα σώμα Σ μάζας βρίσκεται σε ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Γης, όπου η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης είναι g,5/s. Δίνονται η ακτίνα της Γης R 6.k και η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της g /s. Να υπολογίσετε: α) το ύψος h, β) το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου της Γης στο ύψος h, 6

63 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης γ) το έργο της δύναμης του βαρυτικού πεδίου της Γης για τη μετακίνηση του σώματος Σ από το ύψος h στην επιφάνεια της Γης, εάν γνωρίζουμε ότι kg..59) Σε ύψος h R πάνω από την επιφάνεια της Γης η ένταση και το βαρυτικό πεδίο της Γης είναι g και V αντίστοιχα. Οι μάζες, και οι ακτίνες R, R της Γης και της Σελνης αντίστοιχα συνδέονται με τις σχέσεις 8 M R και M R. α) Να υπολογίσετε την ένταση g και το δυναμικό V του βαρυτικού πεδίου της Σελνης σε ύψος h R πάνω από την επιφάνειά της. β) Εάν στο ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Σελνης ένα σώμα έχει βάρος B, να υπολογίσετε το βάρος του B στο ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Γης..6) Η απόσταση των κέντρων της Γης και της Σελνης είναι d 6R, όπου R είναι η ακτίνα της Γης, και ο λόγος των μαζών Γης και Σελνης M, αντίστοιχα είναι 8. Να M προσδιορίσετε τη θέση των σημείων της ευθείας που ενώνει τα κέντρα της Γης και της Σελνης στα οποία: α) το μέτρο της συνισταμένης έντασης του βαρυτικού πεδίου είναι g 8g 9, όπου g είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στο ίδιο σημείο, β) η συνισταμένη ένταση του βαρυτικού πεδίου είναι μηδενικ, V 8 γ) ισχύει η σχέση V 7, όπου V, V είναι τα δυναμικά των βαρυτικών πεδίων της Γης και της Σελνης αντίστοιχα στο ίδιο σημείο..6) Από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου, γωνίας κλίσης 6, που βρίσκεται στην επιφάνεια της Σελνης εκτοξεύουμε σώμα μάζας με αρχικ ταχύτητα με μέτρο και διεύθυνση ίδια με τη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου. Το σώμα σταματά στιγμιαία, αφού διανύσει διάστημα s 79. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία με το ίδιο σώμα 8 σε κεκλιμένο επίπεδο, γωνίας κλίσης, που βρίσκεται στην επιφάνεια της Γης και το σώμα σταματά στιγμιαία, αφού διανύσει διάστημα s. Οι μάζες, και οι ακτί- 6

64 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος νες R, R της Γης και της Σελνης αντίστοιχα συνδέονται με τις σχέσεις M 8 M R. Να υπολογίσετε: R α) το διάστημα s, β) τη γωνία κλίσης που θα έπρεπε να έχει το κεκλιμένο επίπεδο στη Σελνη, ώστε να s ισχύει η σχέση s 79..6) Από μικρό ύψος h από την επιφάνεια της Γης εκτοξεύουμε σώμα με οριζόντια ταχύτητα μέτρου. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία από το ίδιο ύψος h από την επιφάνεια της Σελνης. Οι μάζες, και οι ακτίνες R, R της Γης και της Σελνης αντίστοιχα M R συνδέονται με τις σχέσεις 8 και. Να συγκρίνετε: M R α) τους χρόνους κίνησης του σώματος t και t μέχρι να φτάσει στο έδαφος της Γης και της Σελνης αντίστοιχα, β) τα μέτρα των ταχυττων και που έχει το σώμα, όταν φτάνει στο έδαφος της Γης και της Σελνης αντίστοιχα, γ) τα βεληνεκ στις δύο περιπτώσεις..6) Η βαρυτικ δύναμη που δέχεται ένα σώμα Σ, μάζας, που βρίσκεται στην επιφάνεια της Σελνης έχει μέτρο F N. Ο όγκος μίας σφαίρας ακτίνας R δίνεται από τη σχέση V R. α) Να υπολογίσετε τη βαρυτικ δύναμη F που δέχεται το σώμα Σ, όταν βρίσκεται στην επιφάνεια ενός ουράνιου σώματος Ο που έχει διπλάσια ακτίνα από τη Σελνη και τριπλάσια πυκνότητα από αυτ. β) Να συγκρίνετε τα μέτρα και των ταχυττων διαφυγς του σώματος Σ από τις επιφάνειες της Σελνης και του ουράνιου σώματος Ο αντίστοιχα. και.6) Ένα σώμα μάζας εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου από ύψος h R πάνω από την επιφάνεια της Γης. Το σώμα σταματά στιγμιαία σε ύψος h R από την επιφάνεια της Γης. Δίνονται η ακτίνα της Γης R 6.k και η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της g /s. Να υπολογί- σετε: 6

65 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης U α) τον λόγο U των δυναμικών ενεργειών U και U του σώματος, όταν βρίσκεται στο ύψος h και στο ύψος h αντίστοιχα, β) το μέτρο της αρχικς ταχύτητας, γ) το ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Γης, όπου βρίσκεται το σώμα όταν η ταχύτητά του έχει μέτρο /s..6.65) Οι μάζες A, και οι μέσες ακτίνες R A, R του Άρη και της Γης αντίστοιχα συνδέονται με τις σχέσεις MA M και RA. Ο όγκος μίας σφαίρας ακτίνας R δίνεται από R τη σχέση V R. Να συγκρίνετε: α) τις μέσες πυκνότητες και του Άρη και της Γης αντίστοιχα, β) τις εντάσεις των βαρυτικών πεδίων g A και g στις επιφάνειες του Άρη και της Γης αντίστοιχα, γ) τις ταχύτητες διαφυγς και από τις επιφάνειες του Άρη και της Γης αντίστοιχα..66) Η μέση απόσταση d A των κέντρων του Άρη και του Ήλιου και η μέση απόσταση d των d κέντρων της Γης και του Ήλιου συνδέονται με τη σχέση, 5. Οι μάζες A, του d MA Άρη και της Γης αντίστοιχα συνδέονται με τη σχέση. Να συγκρίνετε: M α) τα μέτρα των δυνάμεων F A και F που δέχονται από τον Ήλιο ο Άρης και η Γη αντίστοιχα, β) τα μέτρα των ταχυττων περιφοράς A και του Άρη και της Γης αντίστοιχα, γ) τα μέτρα των κεντρομόλων επιταχύνσεων και του Άρη και της Γης αντίστοιχα, δ) τις περιόδους περιφοράς T A και T του Άρη και της Γης γύρω από τον Ήλιο αντίστοιχα..67) Η ταχύτητα με την οποία φτάνει στη Γη ένας μετεωρίτης εκτιμάται από το μέγεθος του κρατρα που ανοίγει κατά την πρόσκρουσ του στην επιφάνεια της Γης. Σύμφωνα με αυτό, ένας μετεωρίτης μάζας έφτασε στη Γη με ταχύτητα μέτρου,6 / s. Δίνονται η ακτίνα της Γης 6 R 6, και η ένταση του βαρυτικού πεδίου στην επιφάνειά της g /s. Να υπολογίσετε: 65

66 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος α) το μέτρο της ταχύτητας του μετεωρίτη σε απόσταση R από το κέντρο της Γης, β) το μέτρο της ταχύτητας με την οποία εισέρχεται ο μετεωρίτης στο βαρυτικό πεδίο της Γης..68) Ένας δορυφόρος μάζας περιφέρεται σε κυκλικ τροχιά γύρω από τη Γη σε απόσταση από το κέντρο της και έχει ολικ ενέργεια E. Να υπολογίσετε: α) την κινητικ ενέργεια του δορυφόρου, β) τη δυναμικ ενέργεια του δορυφόρου, γ) την ταχύτητα περιφοράς του δορυφόρου. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ.69) Ένας δορυφόρος μάζας περιφέρεται σε κυκλικ τροχιά γύρω από τη Γη σε ύψος h R από την επιφάνεια της Γης και έχει κινητικ ενέργεια K. Η ελάχιστη ενέργεια που απαιτείται ώστε αυτός ο δορυφόρος να μεταφερθεί από την επιφάνεια της Γης στο ύψος h είναι E. Θεωρούμε γνωστές την ακτίνα R της Γης και την ένταση g του βαρυτικού πεδίου στην επιφάνειά της. Να υπολογίσετε: g α) τον λόγο g, όπου g είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης σε ύψος h, β) τον ελάχιστο χρόνο που απαιτείται ώστε το διάνυσμα της ταχύτητας του δορυφόρου να μεταβληθεί κατά K γ) τον λόγο E., όταν αυτός περιφέρεται σε ύψος h,.7) Ένας μετεωρίτης μάζας βρίσκεται σε απόσταση h R από την επιφάνεια της Γης και κατευθύνεται προς το κέντρο της με ταχύτητα 8 / s. Δίνονται η ακτίνα της Γης R 6.k, η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της g /s και,68. Οι αντιστάσεις του αέρα θεωρούνται αμελητέες. Να υπολογίσετε: 66

67 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης α) την ταχύτητα του μετεωρίτη, όταν βρίσκεται σε ύψος h R πάνω από την επιφάνεια της Γης, β) την ταχύτητα με την οποία θα φτάσει ο μετεωρίτης στην επιφάνεια της Γης, γ) την περίοδο περιφοράς του μετεωρίτη, εάν τον θέσουμε σε κυκλικ τροχιά γύρω από τη Γη στο ύψος h πάνω από την επιφάνειά της..7) Δύο δορυφόροι και περιφέρονται γύρω από τη Γη σε κυκλικές τροχιές που βρίσκονται σε ύψη h 8R και h R αντίστοιχα πάνω από την επιφάνεια της Γης. Τη χρονικ στιγμ t s οι δύο δορυφόροι και διέρχονται από τα σημεία Β και Γ αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχμα. Δίνονται η ακτίνα της Γης R 6.k και η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της g /s. α) Να βρείτε τον λόγο των ταχυττων των δύο δορυφόρων. β) Να συγκρίνετε τις περιόδους της κυκλικς κίνησης των δύο δορυφόρων. γ) Να προσδιορίσετε τη χρονικ στιγμ κατά την οποία οι δύο δορυφόροι θα βρεθούν ξανά ταυτόχρονα στις θέσεις Β και Γ για πρώτη φορά μετά τη χρονικ στιγμ t. δ) Να συγκρίνετε τις ταχύτητες διαφυγς των δύο δορυφόρων και, εάν εκτοξευθούν από τα ύψη h και h αντίστοιχα..7) Από την επιφάνεια της Γης εκτοξεύουμε κατακόρυφα ένα σώμα μάζας GM με ταχύτητα μέτρου 8R, όπου M και R η μάζα και η ακτίνα της Γης αντίστοιχα. Να υπολογίσετε: α) το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου της Γης στο σημείο όπου η ταχύτητα του σώματος έχει μέτρο, β) την ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στο σημείο όπου η ταχύτητα του σώματος έχει μέτρο 8, γ) το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει το σώμα. 67

68 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος.7) Από την επιφάνεια της Γης εκτοξεύουμε κατακόρυφα ένα σώμα μάζας με ταχύτητα μέτρου. Όταν το σώμα απέχει από την επιφάνεια της GM Γης απόσταση h 9R, έχει ταχύτητα μέτρου R, όπου M και R η μάζα και η ακτίνα της Γης αντίστοιχα. α) Να υπολογίσετε το δυναμικό και την ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στο ύψος h. β) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος σε ύψος h R πάνω από την επιφάνεια της Γης. γ) Να ελέγξετε εάν το σώμα θα διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο της Γης..7) Από την επιφάνεια της Γης εκτοξεύουμε κατακόρυφα ένα σώμα μάζας με ταχύτητα μέτρου. Το σώμα σταματά στιγμιαία όταν απέχει από την επιφάνεια της Γης απόσταση h R. Η μάζα της Γης M, η ακτίνα της R και η ένταση του βαρυτικού της πεδίου στην επιφάνειά της g θεωρούνται γνωστές. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας, β) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος και τον λόγο U της δυναμικς προς την κινητικ ενέργεια του σώματος σε ύψος h R K πάνω από την επιφάνεια της Γης, γ) τα ποσοστά στα εκατό της μεταβολς της κινητικς ενέργειας και της μεταβολς της R δυναμικς ενέργειας του σώματος για μετατόπισ του από ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Γης στο ύψος h..75) Ένα διαστημικό όχημα μάζας 6.kg κατευθύνεται προς τη Γη. Τη στιγμ κατά την οποία το όχημα βρίσκεται σε ύψος h R από την επιφάνεια της Γης έχει ταχύτητα μέτρου. Δίνονται η ακτίνα της Γης R 6.k και η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της g /s. Α. Εάν δε λειτουργσουν οι ανασχετικοί πύραυλοι του οχματος, το όχημα θα προσκρούσει στην επιφάνεια της Γης με ταχύτητα μέτρου / s. Να υπολογίσετε: α ) την ταχύτητα, α ) την κινητικ ενέργεια του οχματος, όταν απέχει απόσταση h R από την επιφάνεια της Γης. 68

69 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης Β. Εάν κατά τη διάρκεια καθόδου του οχματος από το ύψος h μέχρι την επιφάνεια της Γης λειτουργσουν οι ανασχετικοί πύραυλοι δημιουργώντας σταθερ ανασχετικ δύναμη F, να υπολογίσετε την τιμ της δύναμης F ώστε το όχημα να φτάσει στην επιφάνεια της Γης: β ) με ταχύτητα μέτρου / s, β ) με μηδενικ ταχύτητα..76) Ένας διαστημικός σταθμός μάζας περιφέρεται σε ελλειπτικ τροχιά γύρω από τη Γη. 6 Όταν ο σταθμός βρίσκεται σε απόσταση από το κέντρο της Γης, έχει ταχύτητα μέτρου /s, ενώ, όταν βρίσκεται σε απόσταση, η ταχύτητά του έχει μέτρο /s. Δίνεται η ακτίνα της Γης R 6.k και η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της g /s. Να υπολογίσετε: α) την απόσταση, β) την ενέργεια E που πρέπει να προσφερθεί σε μία συσκευ Σ, μάζας kg, που βρίσκεται στον διαστημικό σταθμό, όταν βρίσκεται σε απόσταση από το κέντρο της Γης, ώστε να φτάσει στο άπειρο με κινητικ ενέργεια K,88 J, γ) την ελάχιστη ενέργεια E in που πρέπει να προσφερθεί στη συσκευ Σ, ώστε να φτάσει στο άπειρο..77) Α. Ένα διαστημικό όχημα ξεκινά χωρίς αρχικ ταχύτητα από την επιφάνεια της Γης και κινείται κατακόρυφα με σταθερ επιτάχυνση μέτρου 5,6 / s. Δίνονται η ακτίνα της Γης R 6.k, η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της /s και 8 6,5. α ) Να προσδιορίσετε τη χρονικ στιγμ t κατά την οποία το όχημα έχει ταχύτητα μέτρου 5.6 / s. α ) Να υπολογίσετε την ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στο ύψος στο οποίο βρίσκεται το όχημα τη χρονικ στιγμ t. Β. Τη χρονικ στιγμ t το όχημα σταματά να επιταχύνεται. Να ελέγξετε εάν το όχημα θα διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο της Γης. Γ. Να υπολογίσετε ποια σταθερ επιτάχυνση πρέπει να έχει το όχημα ώστε, όταν βρίσκεται σε απόσταση R από το κέντρο της Γης, να σταματσει να επιταχύνεται και να φτάσει στο άπειρο με μηδενικ ταχύτητα. g 69

70 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος.78) Τη χρονικ στιγμ t s ένα διαστημικό όχημα μάζας ξεκινά με ταχύτητα μέτρου 8 / s από την επιφάνεια της Γης και κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω. Η προωστικ δύναμη των πυραύλων του οχματος είναι σε κάθε θέση για όλη τη διάρκεια της κίνησς του τριπλάσια κατά μέτρο και αντίθετης φοράς από το βάρος του. Δίνονται η ακτίνα της Γης R 6.k και η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της g /s. Να υπολογίσετε: α) την επιτάχυνση του οχματος τη χρονικ στιγμ t, β) το μέτρο της ταχύτητας του οχματος, όταν βρίσκεται σε απόσταση h R από την επιφάνεια της Γης, γ) την απόσταση από το κέντρο της Γης και το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου της Γης g τη χρονικ στιγμ κατά την οποία η επιτάχυνση του οχματος είναι..79) Δύο δορυφόροι και έχουν ίδιες μάζες και περιφέρονται γύρω από τη Γη σε κυκλικές τροχιές που βρίσκονται σε ύψη h 8R και h 5R αντίστοιχα πάνω από την επιφάνεια της Γης. Τη χρονικ στιγμ t s οι δύο δορυφόροι και διέρχονται από τα σημεία Β και Γ αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχμα. Θεωρούμε γνωστ την ένταση g του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της. α) Να συγκρίνετε τις συχνότητες περιφοράς f και f των δορυφόρων και αντίστοιχα. K β) Να βρείτε τον λόγο K των κινητικών ενεργειών K και K των δορυφόρων και αντίστοιχα. γ) Να βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο δορυφόρων τη χρονικ στιγμ t T, όπου T είναι η περίοδος περιφοράς του δορυφόρου. δ) Να υπολογίσετε το μέτρο της μεταβολς της κεντρομόλου επιτάχυνσης του δορυφόρου 5T από τη χρονικ στιγμ t μέχρι τη χρονικ στιγμ t, όπου T είναι η περίοδος περιφοράς του. 7

71 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης.8) Ένας δορυφόρος, μάζας, περιφέρεται γύρω από τη Γη σε απόσταση h R από την επιφάνειά της, όπου R η ακτίνα της Γης. Κάποια χρονικ στιγμ ο δορυφόρος συγκρούεται πλαστικά με δορυφόρο, μάζας, που κινείται σε αντίθετη φορά από τον δορυφόρο. Να βρείτε: α) τη σχέση των ταχυττων περιφοράς και των δορυφόρων και αντίστοιχα με την ταχύτητα διαφυγς τους από το ίδιο ύψος, β) την κοιν ταχύτητα των δορυφόρων μετά τη σύγκρουση μεταξύ τους, γ) το ποσοστό στα εκατό της μεταβολς κατά απόλυτη τιμ της μηχανικς ενέργειας του συστματος των δύο δορυφόρων κατά τη διάρκεια της σύγκρουσης, δ) την ταχύτητα του συσσωματώματος των δύο δορυφόρων, όταν φτάνει στην επιφάνεια της Γης..8) Ένας δορυφόρος μάζας περιφέρεται γύρω από τη Γη στο επίπεδο του Ισημερινού σε ύψος h από την επιφάνεια της Γης. Ο δορυφόρος βρίσκεται συνεχώς πάνω από τον ίδιο τόπο του Ισημερινού. Θεωρούνται γνωστές η ακτίνα της Γης R, η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της g και η περίοδος περιστροφς της Γης γύρω από τον άξονά της T. Να υπολογίσετε: α) την απόσταση του δορυφόρου από το κέντρο της Γης, β) το δυναμικό και την ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στο ύψος h, γ) τη μηχανικ ενέργεια του δορυφόρου στο ύψος h, δ) τη μεταβολ της ορμς του δορυφόρου σε χρονικό διάστημα t, όπου είναι η περίοδος περιφοράς του δορυφόρου..8) Ένας δορυφόρος με μάζα kg περιφέρεται γύρω από τη Γη σε ύψος h R πάνω από την επιφάνειά της. Μετά από ορισμένο χρόνο ο δορυφόρος χάνει ύψος και περιφέρεται σε ύψος h. Κατά τη μετακίνηση αυτ ο δορυφόρος διανύει συνολικ απόσταση μκους δεχόμενος δύναμη αντίστασης σταθερού μέτρου A που,8 6 είναι συνεχώς εφαπτόμενη στην ελικοειδ τροχιά του και η κινητικ του ενέργεια αυξάνεται κατά K J. Δίνονται η ακτίνα της Γης, 9 R 6.k και η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της g /s. Να υπολογίσετε: 7

72 Φυσικ B Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β τόμος α) το ύψος h, β) την ένταση και το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου της Γης στο ύψος h σε συνάρτηση με την ένταση και το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της g και V αντίστοιχα, γ) το μέτρο της δύναμης που δέχεται ο δορυφόρος από τη Γη στο ύψος h, δ) το μέτρο της αντίστασης A..8) Α. Ένα διαστημικό όχημα με μάζα M kg περιφέρεται σε τροχιά γύρω από τη Σελνη σε ύψος h 8k πάνω από την επιφάνειά της. Το όχημα μεταφέρει σεληνάκατο μάζας. Δίνονται η ακτίνα της Σελνης R.68k και η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Σελνης στην επιφάνειά της,6/s. Οι επιδράσεις άλλων ουράνιων σωμάτων g εκτός της Σελνης στο διαστημικό όχημα θεωρούνται αμελητέες. Να υπολογίσετε: α ) το μέτρο της ταχύτητας περιφοράς του διαστημικού οχματος, α ) το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου της Σελνης σε κάποιο σημείο της τροχιάς του οχματος. Β. Κάποια χρονικ στιγμ το όχημα ελευθερώνει τη σεληνάκατο με τέτοιον τρόπο ώστε η ταχύτητά της να είναι μηδέν. Η σεληνάκατος αρχίζει να κατεβαίνει προς τη Σελνη εκτελώντας ευθύγραμμη κίνηση και με τη χρση των ανασχετικών πυραύλων φτάνει στην επιφάνειά της με μηδενικ ταχύτητα. Ακριβώς μετά την ελευθέρωση της σεληνακάτου το δια στημικό όχημα έχει ταχύτητα μέτρου,9 / s. Να υπολογίσετε: β ) τη μάζα της σεληνακάτου, β ) τη μεταβολ της ορμς του διαστημικού οχματος και της σεληνακάτου κατά τη διάρκεια της ελευθέρωσης της σεληνακάτου, β ) το έργο W F της δύναμης των ανασχετικών πυραύλων κατά τη μετακίνηση της σεληνακάτου από ύψος h μέχρι την επιφάνεια της Σελνης..8) Από την επιφάνεια της Γης εκτοξεύουμε κατακόρυφα προς τα πάνω πύραυλο χωρίς αρχικ ταχύτητα ο οποίος περιέχει σώμα μάζας kg. Το σώμα δέχεται από τον πύραυλο προωστικ δύναμη F μέχρι να φτάσει σε ύψος h R πάνω από την επιφάνεια της Γης, όπου R η ακτίνα της Γης. Το μέτρο της δύναμης μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση F xr SI με x R, όπου x η απόσταση του πυραύλου από το κέντρο της Γης. Όταν ο πύραυλος φτάνει στο ύψος h, εξαντλούνται τα καύσιμά του. Δίνονται η ακτίνα της Γης R 6.k και η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της g /s. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα διαφυγς στο ύψος h, 7

73 Κεφάλαιο : Το βαρυτικό πεδίο της Γης β) την ταχύτητα του σώματος στο ύψος h και να αποδείξετε ότι το σώμα θα διαφύγει από το πεδίο βαρύτητας της Γης, γ) την ταχύτητα που θα έχει το σώμα, όταν βγει από το βαρυτικό πεδίο της Γης..85) Ένας δορυφόρος Δ με μάζα περιφέρεται γύρω από τη Γη σε απόσταση R από το κέντρο της. Με εσωτερικό μηχανισμό προκαλείται διάσπαση του δορυφόρου σε δύο τμματα και με μάζες και αντίστοιχα. Το τμμα κινείται στην ίδια τροχιά αλλά σε αντίθετη κατεύθυνση από την αρχικ. Το τμμα φτάνει στην επιφάνεια της Γης με ταχύτητα μέτρου 5. Θεωρούνται γνωστές η ακτίνα R της Γης και η ένταση g του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του δορυφόρου Δ ακριβώς πριν από τη διάσπαση και την ταχύτητα του τμματος ακριβώς μετά τη διάσπαση, καθώς και τις περιόδους περιφοράς του δορυφόρου Δ και του τμματος, β) το μέτρο της ταχύτητας του τμματος ακριβώς μετά τη διάσπαση, γ) τις σχέσεις των μαζών και με τη μάζα, δ) τη μεταβολ της ενέργειας του συστματος κατά τη διάρκεια της διάσπασης. 7

74 Κριτριο Αξιολόγησης ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Θέμα ο α) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; i) Το βαρυτικό πεδίο της Γης είναι ανομοιογενές. ii) Η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης μειώνεται αντιστρόφως ανάλογα με το τετράγωνο της απόστασης από το κέντρο της Γης. iii) Το βαρυτικό πεδίο της Γης είναι ακτινικό και η έντασ του σε ένα σημείο έχει διεύθυνση κάθετη στη διεύθυνση που ορίζεται από το κέντρο της Γης και το σημείο. β) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; i) Το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου της Γης μειώνεται καθώς απομακρυνόμαστε από το κέντρο της Γης. ii) Εάν μία μάζα αφεθεί ελεύθερη στο βαρυτικό πεδίο της Γης, θα κινηθεί προς σημεία όπου η δυναμικ της ενέργεια αυξάνεται. iii) Η δυναμικ ενέργεια του συστματος της Γης και μίας μάζας που βρίσκεται στο βαρυτικό πεδίο της Γης είναι πάντοτε αρνητικ. γ) Ένας πλαντης περιφέρεται γύρω από τον Ήλιο. Ποια πρόταση είναι σωστ; i) Η ολικ ενέργεια του πλαντη είναι θετικ. ii) Η δυναμικ ενέργεια του πλαντη είναι αρνητικ. iii) Η κινητικ ενέργεια του πλαντη είναι μεγαλύτερη από την απόλυτη τιμ της δυναμικς ενέργειας. δ) Ένα σώμα εκτοξεύεται από την επιφάνεια της Γης με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα διαφυγς. Η ολικ ενέργεια του σώματος είναι: i) E ii) E iii) E Θέμα ο α) Δύο δορυφόροι Α και Β με μάζες A και B A περιφέρονται γύρω από τη Γη σε κυκλικές τροχιές ακτίνων R R και RB 5R αντίστοιχα, όπου R είναι η ακτίνα της Γης. Οι κινητικές ενέργειες των δορυφόρων συνδέονται με τη σχέση: KA 5 i) K 9 B KA ii) K 9 B KA iii) K B 7

75 β) Ένας πλαντης Π έχει ακτίνα R R και μέση πυκνότητα, όπου R και είναι αντίστοιχα η ακτίνα και η μέση πυκνότητα της Γης. Ο όγκος μίας ομογενούς σφαίρας ακτίνας ενός σώματος από την επι- R υπολογίζεται από τη σχέση V R. Η ταχύτητα διαφυγς φάνεια του πλαντη Π και η ταχύτητα διαφυγς Γης συνδέονται με τη σχέση: i) ii) iii) 8 του ίδιου σώματος από την επιφάνεια της Κριτριο Αξιολόγησης Θέμα ο Από το σημείο Α που βρίσκεται σε ύψος h R πάνω από την επιφάνεια της Γης εκτοξεύεται σώμα μάζας με ταχύτητα, όπου R είναι η ακτίνα της Γης και g η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην επιφάνειά της. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διαφυγς του σώματος από το σημείο Α. β) Να ελέγξετε εάν το σώμα θα βγει από το πεδίο βαρύτητας και να βρείτε την ταχύτητα την οποία θα έχει εκτός του βαρυτικού πεδίου. γ) Να υπολογίσετε το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου της Γης στο σημείο όπου το σώμα έχει ταχύτητα μέτρου. 8 Θέμα ο Α. Δύο σφαιρικοί πλαντες και περιφέρονται γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους, εκτελώντας κυκλικές κινσεις χωρίς την επίδραση άλλων δυνάμεων εκτός από τη μεταξύ τους έλξη. Η απόσταση μεταξύ των κέντρων των δύο πλανητών και είναι 8R, όπου R είναι η ακτίνα του πλαντη, και οι μάζες τους και αντίστοιχα συνδέονται με τη σχέση 9. Να βρείτε: α ) τη σχέση μεταξύ των ακτίνων, των κυκλικών τροχιών των δύο πλανητών και της απόστασης μεταξύ τους, α ) τη σχέση μεταξύ των κεντρομόλων επιταχύνσεων των δύο πλανητών, α ) τη σχέση μεταξύ των μέτρων της μεταβολς της ορμς σε χρονικό διάστημα t T, όπου T είναι η περίοδος περιφοράς των δύο πλανητών. 75

76 Κριτριο Αξιολόγησης Β. Εκτοξεύουμε ένα βλμα από την επιφάνεια του πλαντη. Να υπολογίσετε: β ) τη θέση όπου η συνισταμένη δύναμη που δέχεται το βλμα είναι μηδέν, β ) την ελάχιστη ταχύτητα με την οποία πρέπει να εκτοξευτεί το βλμα, ώστε να φτάσει στον πλαντη. 76

77 apad.indd 77 //7 ::5