OSNOVNA SVOJSTVA LEŽIŠNIH STIJENA i FLUIDA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "OSNOVNA SVOJSTVA LEŽIŠNIH STIJENA i FLUIDA"

Transcript

1 OSNOVNA SVOJSTVA LEŽIŠNIH STIJENA i FLUIDA riremio D. Vulin (za korištenje uz skritu B.Goričnik, Termodinamika ugljikovodika ) Zagreb, Ova kratka skrita redstavlja minimum znanja otreban za ocjenu dovoljan iz redmeta OSLSiF 1

2 1. SASTAV LEŽIŠNIH FLUIDA 1.1. Ležišni fluidi U raktičnom naftnom inženjerstvu (engl. etroleum engineering), odnosno, secifičnije, ležišnom inženjerstvu (reservoir engineering) od ležišnim fluidima odrazumijevaju se: 1) Smjese ugljikovodika i neugljikovodične rimjese: - rirodni lin - kondenzat - nafta 2) ležišna voda 1.2. Izražavanje sastava u rirodnoj smjesi ugljikovodika Najstariji i analitički najjednostavniji način izražavanja sastava uključuje gruiranje svih konstituenata, molekulske mase veće od C 6 u C 7+ komonentu (oćenito C +-komonenta ili samo luskomonenta; s raktičnog stanovišta, to je često ovršinska, sirova nafta ili kondenzat). Proširena formulacija sastava uključuje određivanje ojedinačnih, čistih, odnosno gruiranih komonenti do C 10+ ili C 11+ ili C 20+, osebno u slučaju linsko-kondenzatnih sustava. C n redstavlja kraći zais alkana sa n brojem ugljikovih atoma u molekuli Najzastuljeniji sojevi u ležištima nafte, lina i kondenzata. Najzastuljeniji sojevi u roizvodnim ležištima ugljikovodika su alkani (oća formula CH n 2n 2 ). Plin će imati većinski udio u sastavu metan (C1, tj. CH 4 ). Usoredbom lina, mokrog lina, kondenzata i nafte, može se uoćiti orast gustoće rema nafti, što znači da su sve više zastuljeni sojevi alkana veće gustoće (etan = C2, tj. CH 2 6, roan, C3, butan, entan, heksan, hetan...). Pored alkana, u sastavu ležišnog fluida često od ugljikovodičnih sojeva mogu biti cikloalkani i aromati. Osim ugljikovodičnih sojeva, sastavu u ležišnog fluida može biti ležišna slana (mineralizirana) voda (eng. brine), kisik, sumor, dušik i ugljični dioksid. 2

3 2. OPĆE KARAKTERISTIKE FAZNOG PONAŠANJA FLUIDA (tekućina-lin) 2.1. Faza Faza je definirana kao određeni, homogeni dio sustava, koji je uočljivom i konačnom granicom odijeljen od drugih dijelova (faza) sustava. Homogenost faze odnosi se na istovjetnost intenzivnih fizičkih i kemijskih svojstava unutar ojedine faze. U homogenom sustavu, svi dijelovi sustava imaju ista fizičko-kemijska svojstva, a je takav sustav nužno jednofazni. U heterogenom sustavu svi dijelovi sustava nemaju ista fizičko-kemijska svojstva, a se takav sustav sastoji od dvije ili više faza Sustav Sustav može biti čista tvar (jedna komonenta čini sastav, na r. čisti metan) ili vrlo složena smjesa tvari, kao što su smjese ugljikovodika u ležištu, koje se, ovisno o tlaku, temeraturi i sastavu mogu ojavljivati samo kao lin ili samo kao tekućina, tj. kao jednofazni sustav, ili kao smjesa lina i tekućine, tj. dvofazni sustav. U nekim slučajevima eksloatacije ležišnih fluida, nar. neke arafinske nafte, moguće je ostojanje triju faza u sustavu (teži arafinski ugljikovodici kao kruta faza) Broj stunjeva slobode višefaznog sustava Broj stunjeva slobode (F), otrebnih za ois višefaznog sustava ovisi o broju faza i broju komonenti smjese (N) rema Gibbsovom faznom ravilu: F N 2 (0.1) Prema (0.1), za određivanje faznog stanja čiste tvari (N = 1) dovoljno je secificirati samo tlak ili temeraturu, a za dvokomonentni sustav (N = 2) treba secificirati tlak i temeraturu. Stoga se fazno onašanje višekomonentnih smjesa rikazuje u,t-dijagramu, koji se naziva i faznim dijagramom. U slučaju ležišnih ugljikovodičnih fluida, fazno onašanje, PVT onašanje ili PVT svojstva su sinonimi, tj. znače isto Fazni rijelazi Fazni rijelazi u nekoj smjesi ovise o 1. tlaku, 2. rivlačnim silama između molekula, 3. silama odbijanja između molekula, 4. sadržaju kinetičke energije molekula, tj. temeraturi 2.5. Fazno onašanje jednokomonentnog sastava fluida (čisti metan, etan...) U -T dijagramu 1-komonentnog sustava ostoji samo jedna krivulja tlaka ara. Krivulja tlaka ara ovezuje niz,t-točaka (,T-uvjeta), ri kojima koegzistiraju linska i tekuća faza. Pri bilo kojem -T uvjetu izvan (lijevo ili desno od krivulje) krivulje tlaka ara ostoje ili samo tekućina ili samo lin! Kritična točka jednokomonentnog sustava: najviša vrijednost tlaka i temerature ri kojoj još mogu ostojati dvije faze. 3

4 Krivulja tlaka ara za jednokomonentni sastav c C L Tlak G Temeratura T c Slika 2.1. Fazno stanje komonente u -T dijagramu. Moguće su takve romjene i T, koje dovode do faznih rijelaza BEZ vidljivog stvaranja faznih diskontinuiteta (tj. granica između faza) - na rimjer, ukoliko se očne ovećavati lina (G) tlak u odručju gdje je temeratura veća od T, a zatim se, nakon što je tlak iznad csustav očne hladiti (smanjivati temeratura) isod T c, zaobići će se krivulja tlaka ara i doći će do rijelaza u tekuću fazu bez vidljivog stvaranja faznih diskontinuiteta. c 2.6. Tlak rosišta Tlak rosišta je. tlak ri kojem očinje kondenzacija (od engl. dew oint) 2.7. Tlak zasićenja Tlak zasićenja je tlak ri kojem očinje isaravanje (od engl. bubble oint; bubble = mjehurić lina) 2.8. Karakteristike faznog onašanja smjese (višekomonentnog sustava) Uz dvije termodinamičke varijable (tlak i temeratura) u sustav unosi se nova dodatna varijabla tj. sastav. Zato fazno onašanje ostaje složenije. 1. Krivulje tlakova rosišta ( d) i tlakova zasićenja ( b) se više ne odudaraju (kod jednokomonentnog sustava i d i b su ista krivulja krivulja tlakova ara) 2. Ove krivulje obuhvaćaju široko odručje -T uvjeta, u kojem koegzistiraju dvije faze. Zato se,t-dijagram smjesa naziva i fazni dijagram. 3. Za svaki sastav smjese / sustava ostoji zasebni dijagram faza sa svojom kritičnom točkom. Iz usoredbe 2 krivulje jednokomonentnog sustava te faznog dijagrama višekomonentnog sustava (slika 2.2.) može se zaključiti: Krivulje tlaka rosišta i tlaka zasićenja čine granicu između dvofaznog i jednofaznih odručja, odnosno, obuhvaćaju dvofazno odručje (engl. hase boundary enveloe). Širina (ili "debljina") dvofaznog odručja otrilike je roorcionalna omjeru kritičnih temeratura i kritičnih volumena najlakše i najteže komonente. Pri T = konst.: b smjese je niži od b lakše komonente smjese d smjese je viši od d teže komonente smjese c (kritični tlak) smjese je veći od c komonenata i najveći za smjesu s jednakim udjelima komonenata. 4

5 T c (kritična tem.) smjese je vrijednost između T c komonenata Veličina dvofaznog odručja raste ovećanjem broja komonenata smjese i razlikom u vrelištima (ili mol. masama) komonenata. C C 50% etana + 50% n-hetana Tlak C C Etan N-hetan 10% etana + 90% n-hetana Temeratura Slika 2.2. Dvofazni dijagram smjese (lijevo) i dvofazni dijagram binarnog sustava (smjesa od 2 komonente, desno) Kritična točka C smjese (engl. critical ili lait oint) - točka, gdje se ne može razlikovati tekuća od linske faze - točka, u kojoj se sajaju krivulje rosišta i "vrelišta" Maxcondenbar (M.P.) ili cricondenbar ( k) - Najveći tlak na krivulji granice faza tj. P b ili P d krivulja. (otrebno ga je definirati jer kod smjese, za razliku od čiste tvari, ostoji dvofazno odručje ri tlaku iznad kritičnog tlaka) Maxcondenterm (M.T.) ili cricondenterm (T k) - Najveća temeratura na krivulji granice faza. (jer često ostoji dvofazno odručje ri temeraturi većoj od kritične). 5

6 2.9. Klasifikacija ugljikovodika rema faznom dijagramu. 1. NORMALNE NAFTE - A: Slojni tlak = b (zasićena, saturated) - A :Slojni tlak P>P b (odzasićena undersaturated nafta) - A-B-C: ravnotežni odnosi faza ri izotermnoj eksanziji - A-Se.:romjena -T-uvjeta i relativnih količina faza tijekom roizvodnje - Sastav: (laki) + (srednji) < (teški ugljikovodici) L + S < T - Plinski faktor: 0-500?! Slika 2.3. Fazni -T dijagram nafte 2. HLAPIVE NAFTE - A-B: jače isaravanje na očetku tlačne deresije - C-D: slabije otaravanje ri srednjim tlakovima - Sastav: L + S > T - Plinski faktor: ?! Slika 2.4. Fazni -T dijagram hlaive nafte 6

7 3. PLINSKI KONDENZATI - Početno stanje u ležištu: obično iznad kritične točke i izvan dvofaznog odručja - Tiično: retrogradno onašanje! - A-B: sniženjem : kondenzacija tekuće faze, - ovećanjem : isaravanje - Pri B: maksimum retrogradne kaljevine - B-C: normalno isaravanje - Sastav: L + S >> T - Plinski faktor: od Slika 2.5. Fazni dijagram fluida za kojeg je tiično retrogradno onašanje (kondenzat) 4. VLAŽNI PLIN (WET GAS) - AB:Izoterma na slojnoj temeraturi: - Temeratura je iznad kritične temerature sustava, a nema kondenzacije! - ASe.: Promjena,T-uvjeta tijekom roizvodnje - U searatoru dolazi do izdvajanja tekuće faze, zato naziv vlažni ili mokri (wet) lin. - Konačna količina kondenzata od normalnim,t-uvjetima ("stock-tank") je mala! - Sastav:L >> S, T = O Slika 2.6. Fazni dijagram mokrog lina 7

8 4. SUHI PLIN (DRY GAS) - AB: izoterma na slojnoj temeraturi - AStock-tank: - Pri svim romjena,t-uvjeta u realnim roizvodnim okolnostima sustav ostaje u linskoj fazi. - Sastav: L >>> S, T = O Slika 2.7. Fazni dijagram suhog lina (u svim fazama roizvodnje ne ojavljuje s etekuća faza) 8

9 3. ZAKONITOSTI I JEDNADŽBE KOJE ODREĐUJU SVOJSTVA PLINOVA U linovima molekule su jako udaljene jedne od drugih a svojstva lina ne ovise o međumolekulskim silama. Zato se svi linovi slično onašaju, osim ri velikom tlaku i temeraturi. Za razliku od linova, svojstva tekućina i krutina jako ovise o međumolekulskim silama. Plin je homogeni fluid bez oblika i volumena; lin isunjava volumen sremnika i za razliku od tekućine nema ovršine, odnosno međuovršine. Svaki lin se onaša kao idealni lin ri niskom tlaku i višoj temeraturi, na r. ri standardnim uvjetima (STP, standardni tlak i temeratura, sc = 1,01325 bar, T sc = 15 C ). Svojstva idealnog lina su: 1. Volumen samih molekula lina beznačajan je u odnosu na volumen koji zauzima lin, 2. Nema sila rivlačenja ili odbijanja između molekula lina niti između molekula i zidova sremnika. 3. Sudari između molekula su elastični i nema gubitka unutrašnje energije molekula ri sudaru. Zakon idealnog lina definira ovisnost volumena lina o tlaku i temeraturi i količini tvari, a izveden je na temelju ekserimentalnih radova Boylea, Daltona, Guy_Lussaca odnosno Charlesa i Avogadra Boyleov zakon Boyleov zakon glasi: 1 V 1 2 V2 ili 1 V2 2 V const. V T i V 1 T Slika 3.1. Boyleova izoterma 3.2. Gay-Lussacov zakon. Ovisnost volumena lina o temeraturi određivali su Dalton (1801), zatim Guy-Lussac ( ), dok je rva neobjavljena mjerenja obavio Charles (1787). Iz ekserimentalnih odataka ustanovljena je linearna ovisnost volumena lina o temeraturi ri konstantnom tlaku (ovećanjem temerature lin se širi, tj. ovećava volumen i obrnuto): V V T ili const. T tj. V T V T 0 0 9

10 Sve izobare konvergiraju rema istoj vrijednosti temerature od C, koja je kasnije rihvaćena kao nulta točka (0 K) na termodinamičkoj (asolutnoj) skali temerature. Slika 3.2. Izobare lina u V-T dijagramu Avogadrov zakon Avogadrov zakon definira jednoznačan odnos volumena lina i količine tvari. Za čiste linove i linske smjese, A. Avogadro je ustanovio (1811.) da ri konstantnom tlaku i temeraturi, isti volumeni svih linova sadrže isti broj čestica (molekula ili atoma; Avogadrov zakon). Drugim riječima ista količina tvari, nar. 1 mol bilo kojeg lina ri istim,t-uvjetima zauzima isti volumen. Jedan mol tvari sadrži Avogadrov broj, N A = 6, molekula. U slučaju linova, volumen 1 mola lina (molni volumen, ) je 3 3 dm m g mol 1kg mol ri T = K i = bar Zakon idealnog lina Zakon idealnog lina moguće je izvesti kombinacijom je Boyleovog, Charlesovog i Avogadrovog zakona. Promjena volumena neke konstantne količine (mase) lina uslijed romjene tlaka i temerature od stanja 1 do stanja 2 može se rikazati kao: T1 const. 2 const. V V V 1 1, T1 ( Boyle ) 2 2, T1 ( Charles ) 2, T2 Za rvu,t-romjenu (Boyle) vrijedi V V odnosno V V a za drugu (Charles) V T V T 2 odnosno 1 2 V T 1 V2 T 2 10

11 1V 1 TV 1 2 1V 1 2V2 V iz čega roizlazi da je odnosno, tj const. T T T T 2 2 Ako se konstanta za 1 mol lina označi s R tada vrijedi 1 2 R T Prema Avogadrovu zakonu, ri istom tlaku i temeraturi molni volumen bilo kojeg lina je isti, nar. za linove A i B vrijedi A B i dalje T A R A odnosno T R B B T T Iz jednakosti molnih volumena roizlazi da je RA RB što vrijedi samo ako je R R R A B 3.5. Oća i individualna linska konstanta R = oća linska konstanta; vrijedi za sve linove. Jednadžba stanja idealnog lina je dakle: Za 1 mol : RT Za bilo koju količinu, masu lina V n RT. U SI-sustavu jedinica vrijednost R = kpa m, K kgmol Individualna linska konstanta (R ). Ako je m = masa a M = molna masa tada je broj molova n jednak n m M Za bilo koju masu nekog lina vrijedi: V = m R T odnosno V = n M R T ' Za 1 mol lina (n = 1) jednadžba stanja je M R T iz čega je očito da je individualna linska konstanta neke čiste tvari ili smjese jednaka kvocijentu oće linske konstante i molne mase tvari ili smjese: ' R R M 11

12 3.6. Daltonov zakon Daltonov zakon arcijalnih ostulira da je ukuni tlak linske smjese jednak zbroju tlakova komonenti smjese. Parcijalni tlak svake komonente u smjesi jednak je tlaku, koji bi vladao u sremniku istog volumena, isunjenom istom količinom samo te komonente: i y i 3.7. Amagatov zakon Amagatov zakon arcijalnih, odnosno aditivnih volumena definira da je ukuni volumen idealne linske smjese zbroj volumena, koje bi ojedine komonente zauzimale same ri istom tlaku i temeraturi. (Volumeni čistih komonenti su arcijalni volumeni). Prema jednadžbi stanja idealnog lina arcijalni volumeni čistih komonenti linske smjese, A, B, C, itd. su definirani kao RT RT VA na, VB nb, itd. tj. omjer arcijalnih volumena komonenti i ukunog volumena jednak je dakle molarnim udjelima komonenti (sastavi linskih smjesa, izraženi volumnim udjelima brojčano su identični sastavu u molarnim udjelima): Vi V n n i y i 3.8. Osnovna i najvažnija volumetrijska svojstva fluida m Gustoća je definirana kao masa o jediničnom volumenu: V Gustoća je izrazita funkcija sastava, tj. broja ugljikovodika različite molne mase i njihova relativna udjela u rirodnim ugljikovodičnim smjesama. volumen V Budući da je molni volumen,, definiran kao količina tvari n 1 i uzevši u obzir da je m n M, dobiva se da je M. M ( M molna gustoća; M - iz n M V za n = 1) M Molni volumen bilo kojeg lina ili linske smjese ri standardnim,t-uvjetima uvijek je isti i ne ovisi o sastavu: m 3 /kgmol ri 15C, bar (U Hrvatskoj roisani STP uvjet; NN br.48 od , član 24) ; m 3 /kgmol ri 15.6C, bar (60 F, 1 Atm), m 3 /kgmol ri 0C, bar. Secifični volumen je volumen jedinične mase tvari (u rirodnim znanostima, secifično najčeće znači V 1 odijeljeno s masom ): v m Veza između molnog i secifičnog volumena može se izvesti iz rethodnih izraza: 12

13 v n m Relativna gustoća ( ; rije secifična težina, engl. secific gravity ili samo gravity) je omjer gustoće zadanog fluida i gustoće referentnog fluida ri secificiranim,t-uvjetima. Najčešće su to standardni (sc),t-uvjeti. ( sc, Tsc ) (, T ) ref sc sc Referentni fluid za tekućine je voda, čija gustoća ri standardnim uvjetima ( sc = bar, T sc =15.6 o C) iznosi w kg/m 3, a za linove je to zrak, čija je gustoća ri istim,t-uvjetima a kg/m 3. o Za naftu je sc o M g g g Mg Mg a za linove g M a a M a sc a sc Relativna gustoća lina jednaka je dakle kvocijentu njegove molne mase i molne mase zraka. Moguće je odrediti molnu masu lina bez oznavanja njegovog sastava, tj. na temelju gravimetrijski određene relativne gustoće lina. Molna masa linske smjese jednaka je M N y M g i i i1 Relativne gustoće lina i nafte su indirektni okazatelj njihova sastava te se rabe kao arametar u mnogim različitim korelacijama PVT i drugih svojstava linsko-naftnih sustava. Česti korelacijski arametar je i relativna gustoća nafte, izražena stunjevima API (akronim za American Petroleum Institute): o( API ) odnosno o o API Koeficijent izotermne komresibilnosti lina definiran je oćenito: c g 1 Vg 1 g 1 vg Vg g vg T T T 3.9. Korekcije za realne linove Zbog djelovanja međumolekulskih sila, mjereni volumen realnog lina je u odručju nižeg tlaka manji, a u odručju višeg tlaka veći od volumena, izračunanog jednadžbom stanja idealnog lina Ovo odstuanje kvantitativno je izraženo Z-faktorom (sinonimi: korekcijski faktor, faktor odstuanja ili faktor komresibilnosti lina; engl. gas comressibility factor, gas deviation factor), definiranim za 1 mol lina: realni V realni Z idealni Videalni, T, T, n 13

14 Slika 3.3. Oćenita krivulja Z-faktora (korekcije volumena za realni lin) Jednadžba stanja realnog lina (JS, engl. comressibility real gas equation) V Z n RT ili za 1 mol lina: Z RT odnosno, uvođenjem secifičnog volumena ( v 1 ): M v Z RT M Jednostavnost jednadžbe odrazumijeva izravno i lako računanje volumetrijskih svojstava realnih linova, ako je oznata točna vrijednost Z-faktora isitivanog lina ri zadanom,t-uvjetu (ili uvjetima). Vrijednost Z-faktora ovisi o tlaku, temeraturi i vrsti (sastavu, z i) lina, tj. Z f, T, zi. Izvori odataka o Z-faktoru nekog rirodnog lina su: - Laboratorijska volumetrijska mjerenja na uzorku tog lina, - Uoraba ooćenih korelacija Z-faktora, i - Računanje Z-faktora uorabom neke od jednadžbi stanja (JS). Ovo osljednje temelji se na ugradbi Z-faktora u neku od nr. kubičnih jednadžbi stanja, sustitucijom omoću definicijskog izraza za Z-faktor, koji roizlazi iz V Z n RT Volumni faktor realnog lina (B g). Volumni faktor, B, oćenito je omjer volumena dotičnog fluida ri nekim (na r. ležišnim ili searatorskim) uvjetima tlaka i temerature te volumena ri standardnim -T uvjetima. Za volumni faktor lina, otrebno je dakle znati volumen linske faze. U slučaju da dio lina kondenzira (vlažni, mokri lin), volumni faktor lina se i dalje računa samo s volumenima linske faze: Vg T, Bg V g sc, Tsc 14

15 Za dva,t-uvjeta i uzevši u obzir skoro idealno onašanje lina ri standardnim,t-uvjetima (tj. da je ri s.c. Z sc 1), što se lako izvede dijeljenjem dvije jednadžbe stanja realnog lina (tada je ri standardnim uvjetima tlak također jednak jedinici): V sc Vsc Z T Bg Z T Zsc Tsc Tsc Volumnim faktorom se na najjednostavniji način definira volume samo jedne faze Zakon (načelo) koresondentnih stanja (ZKS) Analiza velikog broja ekserimentalnih izotermi Z-faktora čistih tvari okazuje da su o obliku međusobno slične. Na temelju toga Johannes Diderik van der Waals (1873) je ostulirao načelo koresondentnih stanja za čiste tvari: Ako se, V i T izraze relativno rema odgovarajućim kritičnim svojstvima tvari (tzv. reducirane veličine stanja) odnos reduciranog tlaka i reduciranog volumena ostaje isti za sve tvari. Drugim riječima, rema zakonu koresondentnih stanja, ako čiste tvari imaju iste vrijednosti dviju reduciranih veličina stanja, imat će istu vrijednost i treće reducirane veličine. Reducirane veličine stanja su: T V r ; Tr ; Vr ; T V c c c itd. Primjenljivost ZKS isitana je stavljanjem odataka ekserimentalno određenih izotermi Z-faktora različitih čistih tvari (nar. metan, etan, kisik, dušik, itd.) u Slika.3.4. Korelacija ekserimentalnih isti dijagram, kao funkciju reduciranog tlaka i izotermi Z-faktora nekih čistih tvari. reducirane temerature. Iz dijagrama se vidi da u slučaju čistih tvari zakon koresodentnih stanja daje sasvim dobre rezultate Generalizirana korelacija za određivanje Z-faktora smjese ZKS oćenito ne daje idealno točne rezultate, osebice u slučaju smjesa raznorodnih sojeva. Međutim, rimijenjen na linove, srodne o kemijskoj građi (nar. arafinski ugljikovodici rirodnih ugljikovodičnih smjesa) daje korelacije, koje su dovoljno točne za rosječne inženjerske otrebe. Izravna rimjena ZKS na smjese srodnih rirodnih ugljikovodika nije moguća, jer stvarne vrijednosti kritičnih veličina smjesa ( c, T c ) ekserimentalno je teško odrediti. Zato su u svrhu korelacije fizikalnih svojstava uvedene fiktivne kritične veličine smjese, tzv. seudokritične veličine smjese; seudokritični tlak, c i seudokritična temeratura, T c. Najjednostavniju definiciju seudokritičnih veličina stanja smjese, temeljenu na sastavu čistih komonenti smjese, roorcionalno njihovim molnim udjelima, redložio je Kay (Kayevo ravilo miješanja): N T y T i y c i ci c i ci i1 i1 N 15

16 gdje su y i molni udjeli a T ci i ci kritična temeratura, odnosno kritični tlak komonenti ugljikovodične smjese, koja sadrži ukuno N komonenti. Na temelju rezultata obrade ekserimentalnih volumetrijskih odataka velikog broja binarnih (metan i viši ugljikovodici iz rirodnog lina) ugljikovodičnih smjesa različita sastava, Standing i Katz su izradili oznatu ooćenu korelaciju za određivanje Z-faktora rirodnog lina kao funkciju seudoreduciranog tlaka i temerature, tj.: Z f (, T ) gdje su za zadani tlak ( ) i temeraturu (T ) odgovarajuće seudoreducirane veličine definirane kao T r i Tr T c Pokazalo se da korelacija daje dobre rezultate (odstuanja korelacijskih vrijednost Z-faktora od mjerenih vrijednosti su 2%) za tzv. slatki rirodni lin (engl. sweet gas), tj. rirodni lin sa sadržajem kiselih neugljikovodičnih linova (H 2S i CO 2) te inertnog dušika (N 2) manjim od 5 mol.%. r r c Slika 3.5. Standing, M.B. and Katz, D.L.: Density of Natural Gases, Trans. AIME, 146, (1942)

17 4. EKSPERIMENTANI POSTUPCI ZA VT KARAKTERIZACIJU FLUIDA Najvažnija svojstva ležišnih fluida Najvažnija svojstva ležišnih fluida otrebna za razradu, roizvodnju i transort ugljikovodika su ona koja najbolje oisuju fazna (količine tekuće i linske faze), volumetrijska (VT romjene) i transortna svojstva (viskoznost) fluida, a ovise rije svega o tiu ležišnog fluida: jednofazni i dvofazni sustavi jednofazni sustavi tekuća faza linska faza Slika 4.1. Svojstva fluida i ristu analizi ovisi o tiu fluida što se najbolje uočava na faznom dijagramu. Svojstva kvantitativni odnosi faza V-izoterme; fazni dijagrami linski faktori R s tlak rosišta, Pd, P b tlak zasićenja Tekuća faza (nafta, kondenzat) Plinska faza (rirodni lin) volumne romjene B o, V L B g komresibilnost c o Z, c g gustoća o g viskoznost o g sastav (komonentni, gruni) x i, i=1, N y i, i=1, N Metode određivanja svojstava (A) Ekserimentalne Izravna VT mjerenja uzorka u laboratoriju i analize sastava Lab. odaci se rabe za za kalibraciju matematičkih PVT modela fluida (B) Računske Iz emirijskih korelacija Primjenom jednadžbi stanja za matematički ois PVT onašanja određenog fluida Dubinsko uzorkovanje Uzorkovanje na searatoru Nafte + + Kondenzati

18 Pregled ekserimentalne VT-karakterizacije ležišnog fluida U realnim uvjetima roizvodnje ugljikovodika najveći dio romjena -T uvjeta zbiva se unutar dvofaznog odručja na riadnom faznom dijagramu. Laboratorijskim isitivanjima (testovi) i analizama nastoje se što vjernije reroducirati stvarne VT romjene originalnog ležišnog fluida i kvantitativno oisati odgovarajućim VT veličinama ili arametrima). Uzorak slojnog ili ležišnog fluida odvrgava se slijedećim osnovnim isitivanjima Sustav Test PVT odaci V = f() NAFTA Eksanzija fluida uz konstantni tlak zasićenja - b i V b sastav ri TR (CCE) relativni volumeni V rel i -V izoterma ri temeraturi ležišta i = f () (eventualno) nižim temeraturama 1 KONDENZAT d, 2 NAFTA 3 NAFTA 4 KONDENZAT Searator test (Flash otlinjavanje) (SEP) Sniženje i T fluida do normalnih,t-uvjeta uz određivanje količina linske i tekuće faze (lin se ne odvaja od nafte - kontaktno otlinjavanje) Diferencijalno otlinjavanje ri T R (DIFF) Stunjevito snižavanje tlaka uz otuno uklanjanje linske faze, nastale ri svakom stunju tlačne deresije (sastav fluida se stalno mijenja). Diferencijalno otlinjavanje ri T R i V=konst. (CVD) Također izobarno uklanjanje linske faze ri svakom stunju tlačne deresije, ali uz održavanje konstantnog očetnog volumena sustava (V@P d) količine tekuće faze V L = f(,t) fazni dijagram linski (flash)faktor, R sf vol. Faktor nafte, B of o i g, bi sastavi faza (x i, y i) linski (diff) i volumni faktor: R sd, B od, o, g, y i = f() d (ili SAT) V d V rel V L, Z, y i = f() 5 NAFTA Određivanje viskoznosti i gustoće tekuće faze tijekom diferencijalnog otlinjavanja o, o, = f() 4.3. Najvažniji arametri iz VT analiza Definicija ili ovisnost,v-izoterma (CCE, constant comosition exansion) Komresibilnost odzasićenog fluida c c = (1/V) (V /) Tlak zasićenja P b Volumen fluida ri P b V b Relativni volumen fluida V rel V rel = V/V b = f() Krivuolja faktora komresibilnosti lina Z Z = f() 18

19 Searatorski test (flash otaravanje) Rezidualni volumen tekuće faze V STO Volumni faktor kod flash otaravanja B of B of = V b/v STO Searatorski linski faktor (GOR f) R sf R sf = V g/v STO Gustoća nafte of of = f() Viskoznost nafte of of = f() Diferencijalno otaravanje - NAFTE - (DIFF) Volumni faktor B od B od = V b/v STO = f() Plinski faktor (GOR d) R sd R sd = V g/v STO = f() Gustoća nafte od od = f() Viskoznost nafte od od = f() Diferencijalno otaravanje - KONDENZATI - (CVD constant volume deletion) Količina retrogradnog kondenzata V liq. V liq. = f() Količina i sastav otarenog lina GOR GOR = f() Faktor komresibilnosti lina Z Z = f() 4.4. Princii laboratorijskih PVT isitivanja slojnih fluida Ti fluida: ZASIĆENA NAFTA, HLAPIVA NAFTA Određivanje,V-izoterme i searator test (CCE + flash otaravanje) 1) Određena količina fluida se injektira u mjernu PVT ćeliju volumetrijskom umom (otiskivanjem s Hg) ri > b; 2) Usostavi se konstantna temeratura (T R) u nekoliko koraka; ri tome se mjeri romjena volumena fluida s orastom temerature (termička eksanzija) 3) Povećanjem volumena fluida, sustavno se mijenja tlak, od slojnog tlaka rema nižim tlakovima. Pri svakom novom,t-uvjetu usostavi se ravnoteža faza (konstantni i T) 4) Na kraju se fluid otari ri kontroliranim,t-uvjetima searatora, odnosno ri normalnim,tuvjetima. Izmjere se volumeni otarenog lina i reostale nafte (stock-tank oil) T 1 T 2 T R atm = konst.>> b T = konst. = TR T T (T-V odnosi) (-V odnosi) Searator (Flash) test Slika 4.2. CCE test s flash otaravanjem na kraju testa. Do osljednjeg koraka (flash otaravanje) nema romjene sastava! Mjereni odaci (volumeni) korigiraju se zbog eksanzije i komresije Hg i ćelije. Na temelju korigiranih ekserimentalnih PV-odataka računaju se relativne PVT veličine / arametri na temelju rethodno određenih b i V b fluida i rikazuju u obliku dijagrama kao funkcija tlaka: R s 19

20 komresibilnost odzasićene nafte c relativni volumen nafte V/V b = f () volumni faktor nafte(flash) B of linski faktor (flash GOR) R sf c 1 V V P R sf V V g STO B of V V b STO T=71 C Bo i 1 bar, 71 C 1 bar, 15,6 C Bob 150 (b=172 bar) Slika 4.3. rimjer krivulje volumnog faktora dobivene CCE testom s flash otaravanjem (na 1 bar, 15.6 C) na kraju testa Ti fluida: ZASIĆENA NAFTA, HLAPIVA NAFTA Diferencijalno otaravanje ri T R = konst. 1) Nova količina fluida injektira se u mjernu VT ćeliju i usostave izotermni uvjeti na tem. ležišta; 2) Povećanjem volumena tlak se snizi isod P b. Nastaju 2 faze u ćeliji. Dvofazni sustav se uravnoteži miješanjem ( i T konst.) 3) Pri izobarnim uvjetima (injektiranje Hg) ukloni se linska faza. Mjeri se volumen lina i volumen reostale zasićene nafte romijenjenog sastava 4) Tlak se snizi - nastaju oet 2 faze. Postuak se onavlja sve do 1 bar. b 1 b 1 konst. 1 konst. 1 ' b konst. otaravanje ravnoteža isuštanje linske faze Slika 4.4. Diferencijalno otaravanje ri ležišnoj temeraturi. zasićena nafta otaravanje ravnoteža Na temelju korigiranih ekserimentalnih PV odataka računaju se PVT arametri kao funkcija tlaka: 20

21 volumni faktor nafte (B od) linskih faktor (R sd) gustoća nafte sastav i gustoća lina ri svakom koraku B od V V b STO R sd V V g STO Naomena: isti roces otaravanja onavlja se u tlačnom viskozimetru uz određivanje viskoznosti tekuće faze romjena viskoznosti, o = f(). Slika 4.5. Faktor otoljenog lina dobiven diferencijalnim otaravanjem ri ležišnoj temeraturi. Kada je tlak veći od tlaka zasićenja očetnog sastava ležišne nafte (nema linske kae) nije moguće više otoiti lin u nafti i R s je konstantan. Naomena, sličan dijagram mogu će je dobiti bilježenjem volumena linske faze ri CCE testu, ali se krivulje iak malo razlikuju (diferencijalnim testom se najčešće dobiju nešto veće vrijednosti). Često se rimjenjuje retvorba, ako nisu dostune krivulje iz oba mjerenja: Rs fb R R, R sf Rs fb Rsdb sd sdb faktor otoljenog lina ri tlaku zasićenja (CCE test) - faktor otoljenog lina ri tlaku zasićenja (test diferencijalnog otaravanja). Procesi unutar ležišta isod tlaka zasićenja su sličniji testu diferencijalnog otaravanja, a rocesi unutar tubinga su sličniji flash rocesu, tj, CCE testu. Ti fluida: VLAŽNI PLIN, PLINSKI KONDENZAT Određivanje,V-izoterme (CCE) R s / m 3 /m ) Određenoj količini fluida u mjernoj VT ćeliji se određuju -V odnosi ri T=konst. Pri tome se mjere i volumeni tekuće faze (V L), nastale retrogradnim isaravanjem ili kondenzacijom. 2) Za definiranje faznog dijagrama treba izmjeriti dodatne PV izoterme na nekoliko nižih temeratura: T 1 < T 2 < T 3 < T R Na temelju korigiranih ekserimentalnih PV odataka određuje se d i računa se količina retrogradne kaljevine, kao funkcija tlaka: V L = f() ri T R Iz krivulja rinosa retrogradne kaljevine kao funkcije tlaka i temerature VL = f(,t) (izoterme). konstruira se fazni dijagram / bar 21

22 V L 1 2 > 1 3 > 2 4 > 3 5 > 4 6 > 5 = d ili sat V L1 V L2>V L1 V L3=max. V L4<V L3 V L5<V L4 V L = 0 normalna kondenzacija retrogradno otaravanje Slika 4.6. Određivanje -V izoterme kondenzatnih linova. Ti fluida: VLAŽNI PLIN, PLINSKI KONDENZAT Diferencijalno otlinjavanje uz V=konst. ri T R (CVD) 1) Odredi se volumen fluida ri d i T R (ležišna tem.) (V s = konst.); 2) Poveća se V fluida (V>V s) sniženjem tlaka isod P d.nastali dvofazni sustav (lin + retrogradni kondenzat) se uravnoteži (ri =konst.) i izmjeri se količina retrogradne kaljevine Postuci (2) i (3) se onavljaju sve do normalnog tlaka 3) Pri izobarnim uvjetima uklanja se linska faza sve dok se ne usostavi očetno volumno stanje tj. V s sustava; 4) Postuci (2) i (3) se onavljaju sve do normalnog tlaka. V 1 = konst. 1 = SAT 2 < SAT 3 = 2 4 < 2 5 = 4 V 1 = konst. V 2 > V 1 V 3 = V 1 V 4 > V 1 V 5 = V 1 ( volumen ležišta ) isuštanje linske faze isuštanje linske faze Slika 4.7. Diferencijalno otaravanje ri konstantnom volumenu (kondenzat). Na temelju korigiranih ekserimentalnih PV odataka računa se kao funkcija tlaka: 22

23 Količina retrogradne kaljevine, V L = f() ri T R Količina nastalog lina Sastav linske faze Z-faktor linske faze Viskoznosti linske faze (računom iz sastava) 5. RAVNOTEŽNI ODNOSI FAZA UGLJIKOVODIČNIH SUSTAVA Određivanje fazne ravnoteže ugljikovodičnog sustava (smjese) sastoji se u izračunavanju: 1) količina linske i tekuće faze 2) sastava linske i tekuće faze 3) određivanja granične točke između jednofaznog i dvofaznog sustava tlak zasićenja b (rijelaz iz tekuće faze u dvofazno) i tlak rosišta d (rijelaz iz linskog odručja u dvofazno) kod bilo kojih secificiranih -T uvjeta unutar dvofaznog odručja faznog dijagrama sustava. Rasodjele svake komonente "i" sustava između linske i tekuće faze, tj. koncentracije komonente u fazama kod ravnotežnih,t uvjeta kvantitativno je oisana riadnim ravnotežnim omjerom, K: K y i x i i k i = ravnotežni omjer ("konstanta") kom. "i"; y i = molarni udjel "i" u linskoj fazi; x i = molarni udjel "i" u tekućoj fazi. Vrijednosti K ovise o: tlaku; temeraturi; sastavu smjese. zato K NISU konstantne! tj. za istu komonentu kod ISTIH,T uvjeta u dvije smjese RAZLIČITOG sastava K nije isti. Ovisnost K o sastavu smjese raste ovećanjem tlaka i temerature. Računanje kvantitativnih odnosa faza omoću K-omjera je relativno jednostavno uz uvjet da odabrane vrijednosti K odgovaraju realnim odnosima fazne rasodjele komonenti u složenim smjesama ugljikovodika od ležišnim -T uvjetima. Vrijednosti K-omjera mogu se u rinciu dobiti: 1) rimjenom RAOULT-ovog i DALTON-ovog zakona za idealne linove / otoine o yi i Ki, xi 2) ekserimentalno (mjerenjem količina sastava linske i tekuće faze za niz tlakova ri svakoj izotermi. Najčešće se izmjeri samo ar izotermi što nije dovoljno za recizno određivanje faznog, -T dijagrama slike 2.2. do 2.7.) (u nedostatku detaljne analize) emirijske korelacije K-omjera (uz korektno definirani konvergentni tlak) 3) iz fugaciteta komonenti smjese, rimjenom jednadžbi stanja. 4) Primjenom korelacijskih krivulja ili analitičkih izraza. 23

24 6. KUBIČNE JEDNADŽBE STANJA REALNIH PLINOVA 6.1. Van der Waalsova jednadžba stanja Emirijska jednadžba stanja idealnog lina RT sadrži dvije nerealne retostavke: volumen molekula je beznačajan; molekule su točkaste mase. Iz RT roizlazi da 0 kada. nema sila rivlačenja ili odbijanja između molekula Pri razradi svoje JS realnog lina van der Waals (1873) uzima u to u obzir na slijedeći način: 1. Molni volumen lina,, definiran jednadžbom stanja idealnog lina ( RT ) treba korigirati, tj. smanjiti zbog sila rivlačenja između molekula realnog lina, kao i zbog vlastitog volumena molekula, što je obuhvaćeno arametrom b : RT b Kada vrijednost volumena b, a se b smatra i vlastitim volumenom molekula (tzv. kovolumen). 2. Efektivni tlak realnog lina jednak je razlici tlakova zbog međusobnog odbijanja i rivlačenja molekula, = odbijanja - rivlačenja. Tlak rivlačenja roorcionalan je koncentraciji (c) molekula, rivl. c 2. Kada se koncentracija izrazi brojem molova o volumenu, tj. c n, izraz za tlak uzajamnog rivlačenja molekula za 1 mol (n=1) je 1 a rivl. 2 ri čemu je konstanta roorcionalnosti a drugi arametar jednadžbe stanja. Budući da sile međumolekulskog rivlačenja smanjuju efektivni tlak, treba oduzeti korekcijski faktor 2 a da bi se dobila van der Waalsova jednadžba realnog lina: RT b a 2 Razmatranjem vdw JS vidi se da ri malom tlaku i velikom volumenu, članovi b i mali, tj. b 0 i 0 2 a, a se vdw JS reducira ri tim uvjetima na RT idealnog lina. S druge strane, ri velikom tlaku ( ) ostaje vrlo mali, tj. b. a 2 ostaju vrlo tj. jednadžbu stanja U raksi se jednadžba stanja rabi najčešće za računanje volumena fluida, a se reuređenjem jednadžba može isati 3 RT 2 a ab b 0 odnosno sustitucijom ZRT gdje su bezdimenzionalni arametri A i B definirani kao: i daljnjim reuređenjem 3 2 Z B Z AZ AB 1 0 a A i RT 2 b B RT 24

25 T > Tc Tc T < Tc V U skladu s rvom formulacijom načela koresondentnih stanja rema van der Waalsu ( tvari ri istim reduciranim,t-uvjetima imaju iste reducirane volumene ) reducirani oblik jednadžbe je: 3 3V 1 8 T r 2 r r Vr 6.2. Parametri kubične jednadžbe stanja Naomena: oglavlja 6.2. i 6.3. su detaljno obrađena u kolegiju Termodinamika (rof. dr.sc. M. Golub) Određivanje vrijednosti konstanti a i b za čistu tvar temelji se na činjenici da su ri kritičnoj točki (točka infleksije, izoterme ri kritičnoj temeraturi) rva i druga derivacija tlaka o volumenu jednake nuli (Sl.6.2): c T c c T c 0 C T T c T T c T T c Slika 6.1. Određivanje a i b iz svojstava kritične izoterme čiste tvari Budući da je horizontalnost kritične izoterme u točki infleksije analitički definirana s diferenciranjem o c daje: Tc Tc RTc 2a V Tc V b 2 V 3 c c 0 2RT 6a 2 c V T V Vc c c b 0 iz čega su izrazi a i b, definirani kritičnim veličinama čiste tvari, jednaki: 25

26 a RT c RTc c 8 64 c b 1 1 RT c c 3 8 c Volumen samih molekula lina kritičnog volumena. Ekserimentalno određena vrijednost za b je od 0.24 do 0.28 V c. Definicijski izrazi za a i b, često se išu tako da uključuju tzv. omega koeficijente: 2 2 R Tc a a c RTc b b c gdje su a a b Ovako formulirani a i b omogućuju da se u rocesu rilagođavanja kubične jednadžbe stanja sistematski variraju vrijednosti a i b tijekom regresije na ekserimentalne odatke i tako dobiju a i b, koji daju točniji ois faznog onašanja konkretne ugljikovodične smjese Rješenja van der Waalsove jednadžbe Računati volumeni u ovisnosti o zadanom tlaku (-V odnosi) ri T = konst. za čistu tvar okazani su na Sl.6.2. Pri tome una crta označava granice dvofaznog odručja i ekserimentalne -V odatke unutar dvofaznog odručja, a točkasta odatke, izračunate kubičnom jednadžbom stanja. Pri temeraturi T<T c, rješenja jednadžbe su tri realna korijena (rješenja) za volumen ili Z-faktor. C B E D T =const Slika V odnosi čiste tvari, izračunati van der Waalsovom kubičnom jednadžbom stanja 26

27 Najmanja vrijednost korijena, 3 (točka B) odgovara tekućoj fazi (volumen zasićene tekućine). Najveća vrijednost korijena, (točka D) odgovara linskoj fazi (volumen zasićene are). Vrijednost srednjeg 1 korijena, (točka E u dvofaznom odručju) nema fizikalnog značenja. Krivulja rješenja jednadžbe unutar dvofaznog odručja ima karakteristični oblik i naziva se van der Waalsova etlja. U jednofaznom odručju, ri T >T c, jednadžba ima samo jedan realni korijen, koji odgovara volumenu fluida ri zadanom tlaku. U raksi se najčešće rabi forma jednadžbe, kubične u Z-faktoru, Rješenjem jednadžbe o Z dobiju se, analogno onom o volumenu: u jednofaznom odručju: 1 realni korijen, Z u dvofaznom odručju: 3 korijena: Z V, Z m, i Z L ri čemu najveći korijen (Z V ili Z G ) odnosi se na zasićenu aru, odnosno, linsku fazu, najmanji korijen (Z L ) odnosi se na tekuću fazu, dok Z m nema fizikalnog značenja. Uvrštenjem vrijednosti odgovarajućeg Z-faktora u V ZnRT može se dalje jednostavno računati volumen, gustoća, itd. fluida ili faza Pravila miješanja Pravila miješanja otrebno je rimijeniti u roračunima za smjese. Do sada okazane kubične jednadžbe stanja vrijede za čistu tvar, ri čemu su arametri jednadžbe stanja definirani oznatim kritičnim veličinama čiste tvari. Primjena JS na višekomonentne smjese zahtijeva određivanje vrijednosti arametara jednadžbe stanja za smjesu. Pravila miješanja, izvedena egzaktnim metodama statističke mehanike za virijalne koeficijente, trebaju oisati sile rivlačenja i odbijanja između molekula različitih tvari u smjesi. Parametri a i b jednadžbe za smjesu se određuju na slijedeći način: a y y a a i j i j i j ri čemu je aij geometrijska srednja vrijednost, tj: aij aia j Parametar b definiran je kao b yibi i Praktični izrazi za računanje a ij najčečće uključuju dodatni arametar, binarni interakcijski koeficijent, koji uzima u obzir interakciju (rivlačne sile) između raznovrsnih molekula: a a a 1 k ij i j ij tako da izraz za a ostaje: a y y a a (1 k ) i j i j i j ij Binarni interakcijski arametri ( k ij, katkada i ij ; engl. binary interaction arameter, BIP) su zaravo korekcijski faktori u vezi s interakcijom međusobnog rivlačenja nesličnih molekula u realnim smjesama, koji se određuju na temelju ekserimentalnih odataka o PVT-onašanju binarnih smjesa, nar. smjese CO 2-CH 4, ili CH 4-C 12H 26, itd. U jednadžbi stanja za takvu binarnu smjesu, kij je jedina neoznanica, čija vrijednost se u onavljanim računima tako dugo mijenja dok se ne ostigne slaganje izračunanog i 27

28 ekserimentalno određenog svojstva binarne smjese, na r. tlaka zasićenja, čime je utvrđena vrijednost k ij za taj binarni sustav. Vrijednost k ij između o veličini sličnih molekula, na r. ugljikovodika C 2-C 3 ili C 3-C 5 jednaka je nuli, dok je kij između o veličini dosta različitih molekula (nar C 1-C 7+) ili između ugljikovodičnih i neugljikovodičnih molekula (nar. CO 2-CH 4) različita od nule. Binarni interakcijski koeficijenti određeni su za većinu sojeva, koji su konstituenti ležišnih fluida, te se mogu naći u literaturi. BIP su česti regresijski arametri u rocesu rilagođavanja neke od JS ekserimentalnim PVT odacima za konkretni ležišni ugljikovodični sustav Druge oznate kubične jednadžbe stanja Sve suvremene kubične (ili dvoarametarske) jednadžbe stanja redstavljaju oboljšanja van der Waalsove jednadžbe. Jednadžba stanja Redlicha i Kwonga U odnosu na vdw JS, RT a, Redlich-Kwongova 2 b JS sadrži ovisnost o temeraturi na slijedeći način: RT a b ( b) T Reducirani oblik Redlich-Kwongove jednadžbe stanja je: r 3T r 9a 3 T 3 r b r r r b Soave-Redlich-Kwongova jednadžba Soave je modificirao RK jednadžbu stanja uvođenjem oćenitije temeraturne ovisnosti arametra a, koja se sastoji u zamjeni a T s a RT a b ( b) ri čemu je 1 ri T Tc, dok je za sve druge temerature T 2 1 m 1 r 2 m gdje je = Pitzerov acentrični faktor Na taj način u SRK jednadžbi stanja arametar a ostaje ovisan o temeraturi i acentričnom faktoru, a = f(t, ). Parametri a i b SRK jednadžbe stanja, definirani su kao: 28

29 a 2 2 R Tc a i c b b RT c c Jednadžba stanja Penga i Robinsona Pri razvoju nove 2-arametarske jednadžbe stanja, cilj Penga i Robinsona (1976) bio je: - oboljšanje točnost računanja gustoća tekuće faze u blizini kritične točke, - rimjenljivost jednadžbe ri svim računima svih svojstava fluida u okviru roizvodnje i rerade rirodnog lina, - arametri jednadžbe stanja moraju biti definirani samo kritičnim tlakom i kritičnom temeraturom te acentričnim faktorom Ovaj cilj je u dobroj mjeri i ostignut jednadžbom stanja, u kojoj je modificiran arametar a što je ovećalo točnost računane gustoće tekuće faze u usoredbi s SRK jednadžbom stanja: RT a b ( b) b b ri čemu su 1 m 1 T r 2 m Izraz za m je kasnije modificiran u svrhu oboljšanja točnosti računa sustava s više teških komonenti: 2 3 m Parametri a i b su: b a 2 2 R Tc a i c b RT c b uz vrijednosti omega koeficijenata a c i 6.6. Korekcija volumena tekuće faze (volume shift) Usoredbom molnog volumena tekuće faze, izračunanog nekom od kubičnih jednadžbi stanja s odgovarajućim ekserimentalnim odacima za čiste tvari, unutar velikog rasona tlaka isod kritične točke, nađen je sistematski, skoro konstantni otklon ( omak volumena, volume shift) rema većim izračunanim vrijednostima u odnosu na rave, mjerene vrijednosti L L. Posljedica toga je da su računane gustoće tekuće faze manje od stvarnih. Drugim riječima, ako se računani korigira L oduzimanjem nekog konstantnog korekcijskog faktora, računane gustoće tekuće faze bit će točnije. Ovaj ristu rvi je rimijenio Peneloux (1982) na SRK jednadžbu stanja uvođenjem korekcijskog arametra c ( arametar volumnog omaka ) na slijedeći način : c x c corr. L L L i i i corr. gdje je L = korigirani, = računani, nekorigirani molni volumen, a xi je molni udjel komonente u L tekućoj fazi. Vrijednosti individualnih volumnih arametara komonenti smjese (čiste tvari), c i,određuju se na temelju nekoliko redloženih korelacija, kao funkcija c, T c i, dakle dobivenih regresijskim usklađivanjem ekserimentalnih i računanih volumena zasićene tekuće faze čistih tvari ri T r =

30 30

31 7. LEŽIŠNE VODE U ležištima ugljikovodika uvijek ima i vode, koja se naziva ležišnom vodom, ili slojnom vodom ili slanom ležišnom vodom (engl. formation water, ili formation brine; izraz brine se oćenito odnosi na vodu s ovećanim sadržajem toljivih soli, nar. NaCl; i morska voda je brine). Ležišne vode se razlikuje obzirom na orijeklo: 1. Konatna voda (engl. connate, od lat. connatus, zajednički rođen) je originalna voda, orijeklom iz vremena stvaranja sedimentne stijene, 2. Meteoritska voda je ležišna voda oborinskog orijekla 3. Intersticijalna voda je voda u orama stijene bez obzira na orijeklo Sve ležišne vode sadrže toljive anorganske soli, retežno natrijev klorid (NaCl), a razlikuju se o sadržaju i sastavu otoljenih soli Koncentracije, C, otoljenih tvari (iona) u vodi izražavaju se na nekoliko načina: C m je koncentracija u m (od engl. arts er milion, dijelova na milijun dijelova). Odnosi se na dijelove mase, tj. jedan gram otoljene tvari na milijun grama otoine. C je koncentracija, izražena brojem miligrama otoljene tvari o litri otoine. mg / L C w je koncentracija u masenim %, tj. broj grama otoljene tvari u 100 grama otoine. Drugi način izražavanja koncentracije je brojem molova ili ekvivalenata o jediničnom volumenu otoine ili otaala: Molaritet, C M je broj molova otoljene tvari / 1 L otoine Molalitet, C m je broj molova otoljene tvari / 1 L čiste vode Normalitet, C N, je broj ekvivalentnih masa otoljene tvari / 1 L otoine. Ekvivalentna masa iona (ekv.m.) = atomska ili molekulska masa iona valencija iona tako da je nr. za natrij (Na + ; valencija=1, A Na+ = g/gmol) ekv.m.= 22.99/1 = 22.99, a za kalcijev ion (Ca 2+ ; valencija =2, A Ca2+=40.08 g/gmol), ekv.m. = 40.08/2 = g/ekv.m. Koncentracija otoljenih iona u miliekvivalentima, C mekv / L dobije se iz masenih koncentracija dijeljenjem s ekvivalentnom masom: a vrijede i slijedeći odnosi: C C mg / L mekv / L 1000 ekv. m. C N C C w C 10 m 4 4 m Cw 10 C mg / L Cmg / L w Cm w Cw 10 w 4 gdje je w gustoća slane vode, koja ovisi o ukunom sadržaju otoljenih soli u vodi. 31

32 8. VISKOZNOST LEŽIŠNIH FLUIDA 8.1. Definicija viskoznosti i odjela fluida rema reološkim svojstvima Viskoznost je mjera unutrašnjeg otora rotjecanju fluida i naziva se reološkim svojstvom fluida (od. grčki rhein, teći). Reologija se bavi fenomenima rotjecanja i deformacija fluida tijekom rotjecanja. Reološka svojstva često se nazivaju transortnim svojstvima fluida. Viskoznost μ definirana je kao konstanta roorcionalnosti u izrazu koji ovezuje silu F o jediničnoj ovršini A, otrebnu da se održi jedinični gradijent brzine, dv/dx, u fluidu koji teče (Sl.9.1): d F A A dx x tj. F A x Ovako definirano svojstvo fluida naziva se dinamičkom viskoznošću (katkada i asolutnom viskoznošću ), ili, najčešće, samo viskoznost. A Površina okretne loče Brzina x Sila F Slika.8.1. Rasored sila ri rotjecanju viskoznog fluida U SI sustavu, jedinica za viskoznost je Pas, a u starom c-g-s sustavu P ili cp. 1 cp = 1 mpas Omjer sile i ovršine je smično narezanje, ( = F/A), a brzina smicanja, D, definirana je gradijentom dυ/dx. Dinamička viskoznost je konstanta roorcionalnosti u relaciji između smičnog narezanja i brzine smicanja: D Fluidi se dijele na: Fluid 1) Njutonske fluide. Viskoznost je konstantna tj. ne ovisi o brzini smicanja; odnos = f (D) je linearan; 2) Nenjutonske fluide. Odnos -D je nelinearan i viskoznost ovisi o brzini smicanja. Više od 90% svih fluida su nenjutonski fluidi. Njihovo reološko onašanje razlikuje se rema načinu ovisnosti viskoznosti o -D odnosu i o ostojanju graničnog smičnog narezanja, y, koje se još naziva i tlak ouštanja (engl. yield oint, točka ouštanja). Tlak ouštanja je minimalna sila, koju je otrebno rimijeniti da bi neki nenjutonski fluidi uoće očeli teći. Nenjutonski fluidi dakle se dijele na nenjutonske fluide bez točke ouštanja i na nenjutonske fluide s točkom ouštanja. Nenjutonski fluidi s točkom ouštanja nisu jednofazne tekućine nego višefazni Neomična loča 32

33 sustavi s jednom ili više faza, disergiranih u homogenoj tekućini, nr. emulzije, islake, te nafte s ovećanim sadržajem arafina. Slika 8.2. Krivulje rotjecanja ili reogrami fluida. Odnos smičnog narezanja i brzine smicanja (A) te viskoznosti i brzine smicanja (B) za njutonski (N) i nenjutonski: =seudolastični, B = Binghamski lastični, d =dilatantni fluid. bez tlaka ouštanja. U dijagramu (C) okazani su reogrami analognih nenjutonskih fluida, ali s tlakom ouštanja, y 8.2. Utjecaj tlaka, temerature i sastava na viskoznost ležišnih fluida Prirodni lin je, analogno drugim linovima, njutonski fluid. Na viskoznost lina konstantnog sastava romjene -T uvjeta utječu na slijedeći način: 1) Povećanjem temerature raste kintetička energija lina, tj. učestalost sudara između molekula lina. Zato se ovećana i unutrašnje trenje: viskoznost lina POVEĆAVA se s temeraturom ri konstantnom tlaku 2) Povećanjem tlaka se smanjuje razmak između molekula, raste učestalost međumolekulskih sudara, odnosno unutrašnje trenje: viskoznost lina RASTE s tlakom ri konstantnoj temeraturi. 3) Privlačne sile između većih molekula su veće nego između molekula manje molekulske mase. Povećanjem udjela komonenti veće molekulske mase raste unutrašnje trenje u linu, tj. viskoznost lina RASTE s ovećanjem molekulske mase ili gustoće lina. METODE ODREĐIVANJA VISKOZNOSTI LEŽIŠNIH FLUIDA ležišni,t uvjeti lin nafta voda Korelacije, (ili ekserimentalna kailarna viskozimetrija; složeno i skuo!) Ekserimentalno, (tlačni viskozimetar koji mjeri omoću kotrljajuće kuglice) Korelacije; ekserimentalno (viskozimetar s kuglom) samo kod većih količina otoljenog lina (nar. CO 2) okolišni,t-uvjeti sirova nafta Ekserimentalno, kailarna i rotacijska viskozimetrija; 33

34 c g, bar 9. Tiične krivulje ležišnih fluida komresibilnost lina 1/bar volumni faktor lina, Bg Bg, m 3 /m , bar tlak, bar 1.5 Volumni faktor nafte, Bo 1.4 faktor otoljenog lina, Rs Bo, m 3 /m Rs, m 3 /m tlak, bar , bar viskoznost nafte, o o, mpa s , bar viskoznost vode, w volumni faktor vode, Bw w, mpa s Bw, m 3 /m , bar tlak, bar 34

35 viskoznost lina, g g, mpa s , bar g, kg/m gustoća lina, g , bar gustoća vode, w gustoća nafte, o 1030 o, kg/m w, kg/m , bar, bar 35

36 9. Pitanja na koje je otrebno znati odgovore 1. Kako je definirana relativna gustoća lina, a kako za naftu? 2. Nacrtati krivulju izoterme -B o i ojasniti koji ekserimenti se koriste za određivanje takve krivulje 3. Nacrtati krivulju -R s i ojasniti koji ekserimenti se koriste za određivanje takve krivulje 4. Prema kriterijima za klasifikaciju ležišnih ugljikovodika naisati koja su mjerodavna svojstva kondenzata 5. Naisati relativnu gustoću lina izraženo omoću molarne mase, M g 6. Koji je odnos gustoće nafte i API-relativne gustoće nafte, naisati kako se računa API gustoća 7. Nacrtati fazni T- dijagram i omoću njega oisati svojstva kondenzata 8. Nacrtati fazni T- dijagram i omoću njega oisati teške nafte 9. Nacrtati fazni T- dijagram i omoću njega oisati svojstva mokrog i suhog lina 10. Nacrtati fazni T- dijagram i omoću njega oisati svojstva hlaive nafte 11. Što je krikondenterm? 12. Što je krikondenbar? 13. Načini terenskog uzimanja uzorka nafte, lina i kondenzata. 14. Koji VT test se koristi samo za nafte? 15. Oisati VT test diferencijalnog otaravanja kod naftnog fluida. Koje odatke se može ridobiti iz dotičnog testa? 16. Oisati VT test diferencijalnog otaravanja kod kondenzatnog fluida. Koje odatke se može ridobiti iz dotičnog testa? 17. Oisati VT test izotermne eksanzije ri stalnom sastavu (CCE). Koje odatke se može ridobiti iz dotičnog testa? 18. Oisati VT test flash otaravanja. Koje odatke se može ridobiti iz dotičnog testa? 19. Koji su osnovni arametri koji karakteriziraju slojnu vodu? 20. Kako se izražava/oisuje sastav fluida? 21. O čemu ovise fazni rijelazi nekog ležišnog fluida? 22. Izrazite B g omoću jednadžbe stanja za realni lin. 23. Što je binarni interakcijski arametar, u kojim se JS koristi? 24. Nacrtati T- dijagram lakše komonente (nr. metana) i teže komonente (nr. entana). Nacrtati teoretsko dvofazno odručje i kritičnu točku smjese te dvije komonente u omjeru (50%-50%) 25. Naisati definicijske izraze za Bo, Bg, Rs, secifični volumen te API gustoću. 26. Nabrojati ekserimente koji se koriste za VT karakterizaciju ugljikovodika. 27. Pojasniti ojam broj stunjeva slobode za smjesu i za čistu komonentu. 28. Na koje načine se sve može odrediti Z-faktor nekog lina. 29. Iz kojeg ekserimenata se može odrediti B g, B o i R s 30. Pravila miješanja. 31. Kako se oisuju volumne romjene sadržaja i količine roizvedenog lina (linski faktori, definicijski izrazi) 32. Kako se za ojedini fluid određuje viskoznost? 33. Naisati van der Waalsovu jednadžbu stanja i navesti koje modifikacije su uveli ostali oisani autori jednadžbi stanja. 34. Što je ravnotežni K i omjer i o čemu ovisi? 35. Kako se može odrediti K i omjer? 36. Daltonov zakon. Raoultov zakon. 37. Nacrtati i ojasniti reograme fluida. 38. Kojim arametrima se mogu izraziti koncentracije, otoljenih tvari (iona) u vodi? 39. Zakon (načelo) koresondentnih stanja. Koja je razlika mjerenog i ooćenog (Standing-Katzovog) dijagrama Z faktora? 40. Avogadrov, Gay-Lussacov i Boyleov zakon. Oisati i skicirati. 41. Oisati Amagatov i Daltonov zakon. 42. Volumni omak (volume shift) 43. Rješenja van der Waalsove jednadžbe. 44. Koja svojstva smjese je otrebno oznavati kako bi se računski odredila njena kritična svojstva ( c i T c)? 36

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc.

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Lidija Furač Pri normalnim uvjetima tlaka i temperature : 11 elemenata su plinovi

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

DEFINICIJA APSORPCIJA. za proračun je važno znati ravnotežnu topivost plina iz plinske smjese u kapljevini

DEFINICIJA APSORPCIJA. za proračun je važno znati ravnotežnu topivost plina iz plinske smjese u kapljevini APSORPCIJA DEFINICIJA Asorcija je tehnološka oeracija kojom se lin otaa u kaljevini (asorbens) desorcija je oslobađanje lina iz kaljevine PREDAVANJA 2 za roračun je važno znati ravnotežnu toivost lina

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016.

12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016. 12 SKUPIN ZDK IZ FIZIKE I 6 linja 2016 Zadatak 121 U osudi - sremniku očetnog volumena nalazi se n molova dvoatomnog lina na temeraturi rema slici) Plin izobarno ugrijemo na temeraturu, adijabatski ga

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

DAMIR&SILVANA DESTILACIJA. Title goes here

DAMIR&SILVANA DESTILACIJA. Title goes here DMIR&SILVN DESTILCIJ Je tehnološka oeracija kojom se tekuća smjesa hlaivih komonenata isaravanjem i naknadnim ukaljivanjem ara razdvaja na relativno čiste komonente Destilacija se zasniva na različitoj

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

=1), što znači da će duljina cijevi L odgovarati kritičnoj duljini Lkr. koji vlada u ulaznom presjeku, tako da vrijedi

=1), što znači da će duljina cijevi L odgovarati kritičnoj duljini Lkr. koji vlada u ulaznom presjeku, tako da vrijedi Primjer. Zrak (R=87 J/(kg K), κ=,4) se iz atmosfere ( =, bar, T =88 K) usisava oz cijev romjera D = mm, duljine L = m, rema slici. Treba odrediti maksimalno mogući maseni rotok m max oz cijev uz retostavku

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Tako se dobivaju linije kondenzacije i linije ključanja tekuće smjese

Tako se dobivaju linije kondenzacije i linije ključanja tekuće smjese DESTILCIJ Je tehnološka oeracija kojom se tekuća smjesa hlaivih komonenata isaravanjem i naknadnim ukaljivanjem ara razdvaja na relativno čiste komonente Destilacija se zasniva na različitoj hlaivosti

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA

Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA Relativna skala masa elemenata: atomska jedinica mase 1/12 mase atoma ugljika C-12. Unificirana jedinica atomske mase (u)

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

T O P L I N A P l i n s k i z a k o n i

T O P L I N A P l i n s k i z a k o n i 1. Da bi mogli matematički oisati lin uvodimo ojam tzv. idealnog lina. Koji odgovor nije točan? Idealni lin o retostavci je onaj lin kod kojeg: a) možemo zanemariti međudjelovanje između molekula, tj.

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Slično važi i za bilo koje druge kombinacije nekondenzujućih ( O

Slično važi i za bilo koje druge kombinacije nekondenzujućih ( O 8. Vlažni gasovi 8.1 Uvod - smeše realnog i idealnog gasa - smeše kondenzujućeg i nekondenzujućeg gasa - arno gasne smeše - najoznatiji redstavnik ažan vazduh - smeša (suvog) vazduha idealnog gasa i age

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA ŠIFRA DRŽAVNO TAKMIČENJE II razred UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA Test regledala/regledao...... Podgorica,... 008. godine 1. Izračunati steen disocijacije slabe kiseline, HA, ako je oznata analitička koncentracija

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

GASNO STANJE.

GASNO STANJE. GASNO STANJE http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html AGREGATNA STANJA MATERIJE Četiri agregatna stanja materije na osnovu stepena uređenosti, tj. odnosa termalne energije čestica i energije međumolekulskih

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za biofiziku i radiologiju. Medicinski fakultet Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku. Vlaga zraka

Katedra za biofiziku i radiologiju. Medicinski fakultet Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku. Vlaga zraka Katedra za biofiziku i radiologiju Medicinski fakultet Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Vlaga zraka Vlagu zraka čini vodena para koja se, uz ostale plinove, nalazi u zraku. Masa vodene pare

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα