Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Μετασχηματισμός Furier Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Δομή της παρουσίασης 2 Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Επέκταση των Σειρών Furier σε Μετ/σμό Furier Μετασχηματισμός Furier για Πραγματικά Σήματα Μετασχηματισμός Furier για Περιοδικά Σήματα Ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

2 Ανάλυση Furier 3 Ανάλυση Furier : ανάλυση των σημάτων σε ημιτονοειδείς συνιστώσες. Με την ανάλυση Furier είναι δυνατή η αναπαράσταση των σημάτων στο πεδίο της συχνότητας, δηλαδή ο υπολογισμός του φάσματος που καταλαμβάνουν. Επιτρέπει το χαρακτηρισμό των συστημάτων με χρήση της Συνάρτησης Μεταφοράς. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την Ανάλυση Furier. Ο τύπος του σήματος καθορίζει το ποιά μέθοδος θα χρησιμοποιείται κάθε φορά. Περιοδικά Σήματα αναπαριστώνται με Σειρές Furier. Σήματα Ενέργειας με Μετασχηματισμό Furier. Ανάλυση Furier & Φάσμα 4 Οι Σειρές Furier δίνουν ΔΙΑΚΡΙΤΟ ΦΑΣΜΑ, ενώ ο Μετασχηματιμός Furier ΣΥΝΕΧΕΣ ΦΑΣΜΑ. Τα περιοδικά σήματα έχουν διακριτό φάσμα. Αλλά αν το φάσμα είναι διακριτό δεν είναι υποχρεωτικά και περιοδικό το σήμα. Αν το φάσμα είναι συνεχές το σήμα σίγουρα δεν είναι περιοδικό. 2

3 Επέκταση των Σειρών Furier 5 Υποθέτουμε ένα μη περιοδικό σήμα x(t) και αναζητούμε την ανάπτυξή του για το διάστημα T /2 t T /2. Η επιλογή της T είναι αυθαίρετη χωρίς βλάβη της γενικότητας. Αναζητούμε μια ανάπτυξη για το x T t / 2 / 2 xt T tt 0 αλλού Επέκταση των Σειρών Furier 6 Για να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε την ανάπτυξη σε σειρά Furier ορίζουμε περιοδικό σήμα p T T n x t x t nt Δηλαδή ένα σήμα από συνεχείς επαναλήψεις του περικομμένου σήματος, το οποίο ισούται με το αρχικό σήμα x(t) στο επιθυμητό διάστημα T /2 t T /2. 3

4 Επέκταση των Σειρών Furier 7 Στο διάστημα T /2 t T /2 p T xt x t xe f n T n T /2 n T /2 n T nf n f f f n p n 2 nt j T 2n 2nt j j T T x e de n f nf f T Επέκταση των Σειρών Furier 8 T /2 n xt f x e d e n T /2 j2 f j2 f t Όταν T, f 0, f 0 θα προκύψει αναπαράσταση η οποία θα ισχύει για όλες τις χρονικές στιγμές t j2 f j2 ft xt xe de df j2 ft j2 ft X f x t e dt x t X f e df n 4

5 Μετασχηματισμός Furier 9 Η συνάρτηση X(f) είναι ισοδύναμη των μιγαδικών συντελεστών Furier και δίνει το μέτρο και τη φάση των διαφόρων συχνοτικών συνιστωσών του x(t). Η X(f) είναι μια μετασχηματισμένη έκδοση της x(t) και καλείται μετασχηματισμός Furier της x(t). Η x(t) καλείται αντίστροφος μετ/σμός Furier της X(f) Το ζευγάρι των x(t), X(f) καλείται ζεύγος Furier. Με το μετασχηματισμό Furier μεταπηδούμε από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας και αντίστροφα με τον αντίστροφο μετ/σμό Furier. Μετασχηματισμός Furier 0 Η X(f) καλείται και φάσμα του σήματος x(t), είναι γενικά μιγαδική και έχει πλάτος και φάση που αναπαριστούν το πλάτος και τη φάση των συχνοτικών συνιστωσών του x(t). Συχνά συμβολίζουμε - X f x t x t X f Παρατηρήστε ότι τη συνάρτηση χρόνου τη συμβολίζουμε με μικρό γράμμα, ενώ τη συνάρτηση συχνότητας με κεφαλαίο. 5

6 Μετ/σμός Furier Μοναδιαίας Κρουστικής j2 ft F t t e dt F X f t Η δ(t) είναι μια εξιδανικευμένη πηγή που περιέχει όλες τις συχνότητες με ίδιο πλάτος. Άρα η απόκριση ενός συστήματος στη δ(t) παρέχει τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος, δηλαδή τον τρόπο που επιδρά το σύστημα στις φασματικές συνιστώσες του σήματος εισόδου. 2 Μετ/σμός Furier Σταθερής (dc) Συνιστώσας j2 ft j0 f e dt e F f 6

7 3 Παράδειγμα : Φάσμα Τετραγωνικού Παλμού a /2 x t A t x(t) A -a/2 a/2 t F a /2 j2 ft j2 ft A j2 ft a /2 x t Aa /2 t e dt A e dt e j2 f a /2 a /2 ja f ja f A ja f ja f A e e A e e sin a f j2 f f 2j f sin a f Aa a f Aa sinc af 4 Παράδειγμα : Φάσμα Τετραγωνικού Παλμού X(f) Aa Μηδενισμοί n f a -4/a -3/a -2/a -/a /a 2/a 3/a 4/a f 7

8 5 Παράδειγμα : Φάσμα Βαθυπερατού Φίλτρου X f A f W 0 f W X(f) A W j2 ft j2 ft x t X f e df Ae df A A e e e j2t W j2t j2 ft W j2wt j2wt A sin 2Wt sin 2Wt2AW t 2Wt 2AWsinc 2Wt W -W W f 6 Παράδειγμα : Φάσμα Βαθυπερατού Φίλτρου Παρατηρήστε τη δυαδικότητα ανάμεσα στις συναρτήσεις στα πεδία του χρόνου και της συχνότητας 8

9 Μετ/σμός Furier για Πραγματικά Σήματα 7 j2 ft x t x t e dt cs2 sin 2 x t ft dt j x t ft dt Αν η x(t) είναι πραγματική τότε και τα δύο ολοκληρώματα είναι πραγματικά και συμβολίζουν το πραγματικό και φανταστικό μέρος της X(f). Επειδή το cs είναι άρτια συνάρτηση ενώ το sin περιττή, το πραγματικό μέρος της X(f) θα είναι άρτια συνάρτηση της f και το φανταστικό μέρος περιττή συνάρτηση της f. Μετ/σμός Furier για Πραγματικά Σήματα 8 Άρα για πραγματικά σήματα ο μετ/σμός Furier είναι μια ερμιτιανή συνάρτηση, δηλαδή ή X f X f X f X f Αν η x(t) είναι άρτια, τότε το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι 0 και η X(f) θα είναι πραγματική και άρτια. Αν η x(t) είναι περιττή, τότε το πραγματικό μέρος της X(f) είναι 0 και η X(f) θα είναι φανταστική και περιττή. 9

10 Συμμετρίες και Σχέσεις Συναρτήσεων 9 Η αρτιότητα του σήματος στο πεδίο του χρόνου διατηρείται και στο πεδίο της συχνότητας, ενώ αν το σήμα είναι περιττό στο πεδίο του χρόνου παραμένει περιττό στο πεδίο της συχνότητας αλλά από πραγματικό γίνεται φανταστικό και αντίστροφα Re Im Re Im x t t e t t j t e t j e t Re Im Re Im X f O f E f O f j O f E f j E f Συμμετρίες και Σχέσεις Συναρτήσεων 20 xt X f Άρτιο Περιττό Μιγαδικό & Άρτιο (Πραγματικό & Φανταστικό) Μιγαδικό & Περιττό (Πραγματικό & Φανταστικό) Μιγαδικό Ερμιτιανό, δηλαδή Άρτιο Πραγματικό & Περιττό Φανταστικό Μιγαδικό Αντιερμιτιανό, δηλαδή Περιττό Πραγματικό & Άρτιο Φανταστικό Άρτιο Περιττό Άρτιο Περιττό Μιγαδικό & Άρτιο (Πραγματικό & Φανταστικό) Μιγαδικό & Περιττό (Πραγματικό & Φανταστικό) Πραγματικό Φανταστικό Άρτιο Περιττό 0

11 Συμμετρίες και Σχέσεις Συναρτήσεων 2 xt X f Φανταστικό xt x t Φανταστικό & Άρτιο Φανταστικό & Περιττό Πραγματικό x t x t Πραγματικό & Άρτιο xt x t x t Πραγματικό & Περιττό x t x t x t X f X f ή X f X f Περιττό Πραγματικό & Άρτιο Φανταστικό (Μιγαδικό Αντιερμιτιανό) Φανταστικό & Άρτιο Πραγματικό & Περιττό Μιγαδικό Ερμιτιανό X f X f ή X f X f Άρτιο Πραγματικό & Περιττό Φανταστικό Πραγματικό & Άρτιο X f X f X f Φανταστικό & Περιττό X f X f X f 22. Ιδιότητα Γραμμικότητας (Linearity) F x t x2 t X f X 2 f όπου α,β δύο αυθαίρετα βαθμωτά μεγέθη. Παράδειγμα t 2 x t t x x t t 3 2 F F X f x t sinc f X 2 f x2 t f 3 2 X f sinc f f

12 23 2. Ιδιότητα της Δυαδικότητας (Duality) Αν F X f x t τότε x f F X t Παράδειγμα t sinc f sinc f F f f F sinc t F sinct Ιδιότητα Αλλαγής Χρονικής Κλίμακας (Time Scaling) f F xat X a a Αν a> τότε η x(at) είναι μια συμπίεση της x(t), ενώ η X(f /a) είναι μια επέκταση της X(f). Το αντίστροφο ισχύει για a<. Άρα συμπίεση στο πεδίο του χρόνου συνεπάγεται επέκταση στο πεδίο της συχνότητας. Συνδέστε την ταχύτητα μετάδοσης με το φάσμα που καταλαμβάνει το σήμα στο πεδίο της συχνότητας. 2

13 25 t a t 2a F t sinc f F /2 2 2 Fa t t a asinc af 2 2 F a t a sinc af a t Ιδιότητα Χρονικής Ολίσθησης (Time Shifting) x t t X f e F 2 ft δηλαδή μια χρονική ολίσθηση κατά t στο σήμα x(t) συνεπάγεται μια ολίσθηση φάσης κατά e -j2πft στο πεδίο της συχνότητας. 5. Ιδιότητα Ολίσθησης στη Συχνότητα (Frequency Shifting) ή Διαμόρφωσης (Mdulatin) j j 2 fct F x t e X f f c 3

14 27 5. Ιδιότητα Ολίσθησης στη Συχνότητα (Frequency Shifting) ή Διαμόρφωσης (Mdulatin) 28 cs2 f t cs2 x t j2 ft j2 ft F ft Fe e 2 F 2 f f f f 2 x(t) X(f) t -f 0 +f f - /f 4

15 29 sin 2 f t F sin 2 ft x t j2 ft j2 ft e e F 2 j 2 j x(t) jx(f) f f f f -f t f f - /f 30 cs2 F xt F gtcs2 f t x t g t f t j2 ft j2 ft e e F g t 2 G f f G f f 2 2 G 0 5

16 3 6. Ιδιότητα Εμβαδού στο Χρόνο xtdt X 0 δηλαδή το εμβαδόν της συνάρτησης στο χρόνο ισούται με την τιμή του μετ/σμού Furier για f=0. 7. Ιδιότητα Εμβαδού στη Συχνότητα 0 x X f df Ιδιότητα της Συνέλιξης στο Χρόνο F x t y t X f Y f Άρα για να υπολογίσουμε την απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος αρκεί ο υπολογισμός του γινομένου του μετ/σμού Furier της διέγερσης X(f) με τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος H(f). y t x t h t Y f X f H f 6

17 33 Παράδειγμα F t sinc f t tt F 2 t sinc f Ιδιότητα της Διαφόρισης στο Χρόνο γενικεύοντας d x t j f X f dt dt 2 d n x t j f X f n n 2 7

18 35 Παράδειγμα Ad a /2 t a a A t t dt 2 2 a A t 2 A a /2 t d a /2 t d dt a/2 t j2 f a/2 t a/2 t dt j2 f a A t 2 36 Παράδειγμα a a d j2 f j2 f 2 2 A a /2 t A t a t a Ae e dt 2 2 dt A e e A a /2 t j2 f j2 f f 2j a a j2 f j2 f d 2 2 A a /2 t Ae e j fa j fa sin fa A sin fa Aa Aa sinc fa f fa 8

19 37 0. Ιδιότητα της Διαφόρισης στη Συχνότητα j d tx t X f 2 df γενικεύοντας n n j d txt X f n 2 df n 38. Ιδιότητα της Ολοκλήρωσης στο Χρόνο t X f xd X f j2 f Ιδιότητα Συζυγούς Συνάρτησης x t X f 3. Ιδιότητα Συνέλιξης στο Πεδίο της Συχνότητας x t x t X f X f X X f d

20 39 Παράδειγμα : Υπολογίστε το μετασχηματισμό Furier του πραγματικού και του φανταστικού μέρους ενός μιγαδικού σήματος x t Rex t jim xt Re x t 2 x t x t x t Rex t jim x t Im x t x t x t Ιδιότητες γραμμικότητας και συζυγούς συνάρτησης 2 j Re x t 2 X f X f Im x t X f X f 2 j 40 Παράδειγμα : Υπολογίστε την κρουστική απόκριση συστήματος (ζωνοπερατού φίλτρου) με συνάρτηση μεταφοράς H f H f f f f f BP LP 20

21 4 sin 2Wt HLP f 2Wsinc2Wt2W 2Wt f f f f 2cs2 f t hbp t HBP f HLP f f f f f LP H f f f f f 4Wsinc 2Wt cs 2 f t 42 2

22 43 Μετασχηματισμός Furier για Περιοδικά Σήματα Αποδεικνύεται ότι η ανάπτυξη σε Σειρές Furier ενός περιοδικού σήματος διευκολύνεται υπολογίζοντας τους μιγαδικούς συντελεστές Furier ως εξής Ορισμός του σήματος x(t) από το x p (t) για μια περίοδο Υπολογισμός του φάσματος X(f) του x(t) με μετ/σμό Furier Υπολογισμός του φάσματος σε διακριτές συχνότητες f=n/t, ώστε να προκύψουν οι αντίστοιχες αρμονικές Πολλαπλασιασμός κάθε αρμονικής με /T δηλαδή n xn X T T 44 Μετασχηματισμός Furier για Περιοδικά Σήματα 2 nt j T j2 nft p n n n n x t xe xe j 2 nft x t x e X f p n p n n n X f X f X nf f nf T n T T T n p 22

23 45 Μετασχηματισμός Furier για Περιοδικά Σήματα Παράδειγμα Α x(t) τ xt t A X f A sinc f -T -τ/2 0 τ/2 T t x n A n sinc T T Η σχέση αθροίσματος του Pissn 46 Αν λοιπόν y(t) είναι ένα μη περιοδικό σήμα, τότε η περιοδική επανάληψη του μπορεί να γραφεί Η σχέση αθροίσματος του Pissn υποδεικνύει ότι αν τότε n y t nt g t x t ytnts fs T n G f Y mfs X f mf T s m s s s 23

24 Ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί 47 Η βασική ιδέα μιας ολοκληρωτικής αναπαράστασης είναι η περιγραφή του σήματος x(t) με τη βοήθεια της πυκνότητας (density) ˆx s και ενός αυθαίρετου πυρήνα (kernel) ts, ως εξής Αντίστοιχα μπορούμε να ορίσουμε και τον αντίστροφο πυρήνα (reciprcal kernel) s, t x t xˆ s t, s ds, tt S xˆ s x t s, t dt, ss T Ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί 48 Αντικαθιστώντας,, x t x s d t s ds ST T,, x s t s dsd S Προκειμένου να ισχύει η τελευταία θα πρέπει, βάσει της ιδιότητας της συνάρτησης δέλτα, να ισχύει S s, t, sds t 24

25 Ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί 49 Αντικαθιστώντας στην πυκνότητα xˆ s xˆ t, d s, t dt T S S xˆ st, t, dtd T Προκειμένου να ισχύει η τελευταία θα πρέπει, βάσει της ιδιότητας της συνάρτησης δέλτα, να ισχύει T st, t, dt s Ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί 50 Αν οι πυρήνες ικανοποιούν την εξίσωση ts, st, καλούνται αυτο αντίστροφοι (self reciprcal). Οι μετασχηματισμοί που περιέχουν αυτοαντίστροφους πυρήνες καλούνται ορθομοναδιαίοι (unitary) επειδή x xˆ 25

26 Ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί 5 Ο μετασχηματισμός Furier είναι λοιπόν ένας ορθομοναδιαίος μετασχηματισμός αφού j2ft t, f e, T, j2ft f, t e, S, και εξορισμού ˆx s X f Η σχέση του Parseval 52 Έστω τα ολοκληρώσιμα σήματα x t xˆ s x t s, t dt yˆ s y t s, t dt όπου ο αυτο αντίστροφος πυρήνας είναι T T, y t S s, t, sds s, s, ds t S 26

27 Η σχέση του Parseval 53 Για το εσωτερικό γινόμενο ισχύει xy ˆ, ˆ xs ˆ yˆ sds S ST STT,,,, x y d x, y T TT T T T x s d y t s t dt ds x y t s s t d dt ds x y t t d dt x y t t dt d Η σχέση του Parseval 54 Για τα σήματα x t, y t και τους μετασχηματισμούς Furier X f, Y f, ισχύει XY, X f Y f df xy, x t y t dt 27

28 55 Ευχαριστώ για την προσοχή σας Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Τηλ: e mail: kanatas@unipi.gr 28