1 ο Διαγώνισμα (με χρήση μικροϋπολογιστή) ΜΕΡΟΣ Β. Ερώτηση Β1 Ανάλυση. Η παράγωγος f μιας συνάρτησης f δίνεται από τον τύπο f (x)=e x -2x 2.

Transcript

1 1 ο Διαγώνισμα (με χρήση μικροϋπολογιστή) ΜΕΡΟΣ Β Ερώτηση Β1 Ανάλυση Η παράγωγος f μιας συνάρτησης f δίνεται από τον τύπο f (x)=e x -2x 2. a) Χρησιμοποιείστε τον μικροϋπολογιστή για να δείξετε ότι η συνάρτηση f έχει μέγιστο για x=x0, με 1,48< x0<1,49. (βαθμοί 4) b) Αν είναι γνωστό ότι f(0)=, βρέστε την f(x). (βαθμοί 3) c) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=2. (11,7224) (βαθμοί 3) Ερώτηση Β2 Ανάλυση Χρησιμοποιείστε τον μικροϋπολογιστή για όλους τους υπολογισμούς αυτής της ερώτησης. Εκχύνεται στο αίμα ενός ασθενούς ένα φάρμακο την χρονική στιγμή t=0. Καθώς περνά ο χρόνος η συγκέντρωση στο αίμα του φαρμάκου εξασθενίζει. O τύπος f(t)=(0,6t+1,7)e -0,t, t 0 δίνει την συγκέντρωση του φαρμάκου στο αίμα σε γραμμάρια ανά λίτρο (g/l), σε συνάρτηση του χρόνου t που παρέρχεται σε ώρες (h). a) Υπολογίστε την συγκέντρωση του φαρμάκου στο αίμα 3 ώρες μετά την έκχυσή του. (0,78 g/l) (βαθμοί 2) b) Σχεδιάστε την γραφική παράσταση της f στο διάστημα 0 t 8. (βαθμοί 2) c) Υπολογίζεται ότι το φάρμακο δεν ενεργεί όταν η συγκέντρωσή του είναι μικρότερη από 0,2 g/l. Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης της f, ή με κάποιον άλλο τρόπο, καθορίστε το χρονικό διάστημα που το φάρμακο είναι ενεργό. (6,708) (βαθμοί 2) d) Υπολογίστε το f (t) και δείξτε ότι η f είναι φθίνουσα. (βαθμοί ) e) Υπολογίστε το f (3) και εξηγείστε τι σημαίνει. (βαθμοί 4) 1

2 Ερώτηση Β3 Πιθανότητες Χρησιμοποιείστε τον μικροϋπολογιστή για όλους τους υπολογισμούς αυτής της ερώτησης. Το βάρος των αυγών που γεννούν οι κότες σε ένα μεγάλο πτηνοτροφείο ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο όρο 60 g και διασπορά 4g. a) Υπολογίστε την πιθανότητα ένα από τα αυγά να ζυγίζει λιγότερο από 6 g. (0,8943) (βαθμοί 3) b) Υπολογίστε την πιθανότητα το βάρος ενός αυγού να διαφέρει από την μέση τιμή 3g. (0,4674) (βαθμοί 3) c) Να βρεθεί το k έτσι ώστε η πιθανότητα το βάρος ενός αυγού να ανήκει στο διάστημα [60-k, 60+k] να είναι 0,. (k=2,69796) (βαθμοί 3) Τα αυγά τοποθετούνται σε θήκες των 6 ή των 12 θέσεων. Κατά την μεταφορά κάποια αυγά είναι πιθανόν να σπάσουν. Η πιθανότητα να σπάσει ένα αυγό είναι 0,007. d) Να υπολογισθεί η πιθανότητα σε μία θήκη των 6 αυγών να υπάρχει ακριβώς ένα αυγό σπασμένο. (0,043338) (βαθμοί 3) e) Να υπολογισθεί η πιθανότητα σε μία θήκη των 12 αυγών να μην υπάρχει κανένα σπασμένο αυγό. (0,913621) (βαθμοί 3) Ερώτηση Β4 Στατιστική Χρησιμοποιείστε τον μικροϋπολογιστή για όλους τους υπολογισμούς αυτής της ερώτησης. Μια επιχείρηση ενδιαφέρεται για τον μηνιαίο αριθμό των επισκέψεων στην νέα ιστοσελίδα της. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθμό των επισκέψεων σε εκατομμύρια, του 4 μήνες που ακολούθησαν το άνοιγμα της ιστοσελίδας. Σειρά του μήνα (x) Αριθμός (y) των επισκεπτών (σε εκατομμύρια)

3 a) Να βρεθεί η ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης του y πάνω στο x. (y=10x+27,) (βαθμοί 4) b) Υποθέτοντας ότι η προηγούμενη προσαρμογή ισχύει για όλο το 1 ο έτος, δώστε μία εκτίμηση των επισκέψεων τον 12 ο μήνα που ακολούθησε το άνοιγμα της ιστοσελίδας. (14700) (βαθμοί 3) Μετά τα αποτελέσματα των 4 πρώτων μηνών η επιχείρηση απεφάσισε την διενέργεια ενημερωτικής καμπάνιας, για να αυξήσει των αριθμών των επισκέψεων, αρχίζοντας από τον ο μήνα. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τους 7 πρώτους μήνες τον αριθμό των επισκέψεων στην ιστοσελίδα: Σειρά του μήνα (x) Αριθμός (y) των επισκεπτών (σε εκατομμύρια) c) Θέτουμε z=ln(y). Να βρεθεί η ευθεία γραμμικής παλινδρόμισης του z πάνω στο x. (z=0,206x+3,328) (βαθμοί ) d) Να βρεθεί το y ως συνάρτηση του x (y=27,82 1,28 x ) (βαθμοί 2) e) Χρησιμοποιώντας την καινούργια προσαρμογή να γίνει πρόβλεψη για τον 12 ο μήνα που ακολούθησε το άνοιγμα της ιστοσελίδας. (63000) (βαθμοί 3) f) Χρησιμοποιώντας την 1 η προσαρμογή να βρεθεί σε ποιο μήνα ο αριθμός των επισκεπτών θα έφθανε τις 63 χιλιάδες. (3,) (βαθμοί 3) 3

4 2 ο Διαγώνισμα (με χρήση μικροϋπολογιστή) ΜΕΡΟΣ B ΕΡΩΤΗΣΗ B1 ANAΛΥΣΗ Bαθμοί Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 3 2 f(x)=x +3x. a) Να γίνει πίνακας μεταβολών της f και να εξεταστεί ως προς την μονοτονία και να βρεθούν οι συντεταγμένες των ακροτάτων της. b) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων τομής της f και της ευθείας l: y=-2x. 2 c) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν η f και η ευθεία l. 2 6 ΕΡΩΤΗΣΗ B2 ANAΛΥΣΗ Bαθμοί Τα μέλη ενός ανθρωπιστικού οργανισμού βρίσκονται σε ένα έρημο μέρος. Διαπιστώνουν ότι η πίεση σε ένα λάστιχο ελαττώνεται. Μη έχοντας εφεδρικό τροχό, κατευθύνονται στο πλησιέστερο χωριό που βρίσκεται 1 ώρα και μισή μακριά. Η πίεση του προβληματικού λάστιχου δίνεται από τον τύπο f(x)=1+e 1-x και εκφράζεται σε kg/cm 2, ενώ το x εκφράζει ώρες. Η αρχή του χρόνου είναι η στιγμή που το όχημα αρχίζει να κινείται προς το χωριό. a) Υπολογίστε το f (x) και δείξτε ότι η f είναι φθίνουσα. 4 Χρησιμοποιείστε τον μικροϋπολογιστή για να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα. b) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f μεταξύ του x = 0 και x = 4. 2 c) Ποια είναι η πίεση του λάστιχου που έχει πρόβλημα, την στιγμή που αρχίζουν να κινούνται προς το χωριό; d) Ποια θα είναι η πίεση 3 τέταρτα αργότερα; 2 2 e) Το όχημα ακινητοποιείται όταν η πίεση στο λάστιχο είναι μικρότερη ή ίση με 1, kg/cm 2. Θα προλάβει το αμάξι να φθάσει στο χωριό; Να δικαιολογηθεί η απάντηση. 4

5 ΕΡΩΤΗΣΗ B3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Bαθμοί Χρησιμοποιείστε τον υπολογιστή για όλα τα ερωτήματα της παρακάτω άσκησης. Σε μια αποθήκη υπάρχει μεγάλο απόθεμα από μήλα. Το βάρος των μήλων ακολουθεί την κανονική κατανομή με μ=10 g και σ=,4 g. Ο φύλακας της αποθήκης παίρνει στην τύχη ένα μήλο από το απόθεμα. a) Να υπολογισθεί η πιθανότητα το βάρος του μήλου να είναι μεταξύ 90 g και 11 g. 3 b) Να υπολογισθεί η πιθανότητα το βάρος του μήλου να είναι μεγαλύτερο από 110 g. 3 c) Θεωρούμε το 1 % των μήλων που είναι τα ποιο βαριά. Να υπολογισθεί το ελάχιστο του βάρους τους. 4 Η εμπειρία δείχνει ότι το % των μήλων δεν είναι προς πώληση. d) Διαλέγουμε 80 μήλα στην τύχη. Να υπολογισθεί η πιθανότητα να υπάρχουν πάνω από μήλα που δεν μπορούν να πωληθούν. ΕΡΩΤΗΣΗ B4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ ένα μικρό χωριό στα βόρεια της χώρας αναμένεται επιδρομή από κουνούπια. Καθώς ο πληθυσμός των κουνουπιών αυξάνεται με ρυθμούς ανεξέλεγκτους, έγινε εισαγωγή νυχτερίδων για να περιοριστεί η αύξηση. Στον παρακάτω πίνακα το x παριστάνει τον αριθμό των ημερών μετά την εισαγωγή των νυχτερίδων και το y τον αριθμό των κουνουπιών σε εκατομμύρια. x (ημέρες) y (εκατομμύρια ) 1,27 1,1 1,6 1,78 1,8 Χρησιμοποιείστε τον μικροϋπολογιστή για τους παρακάτω υπολογισμούς. a) Να γίνει το διάγραμμα διασποράς των παραπάνω σημείων. 3

6 b) Να βρεθεί η ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης του y πάνω στο x. 4 Το διάγραμμα διασποράς υποδηλώνει ότι ένα λογαριθμικό μοντέλο θα ήταν καταλληλότερο 0,4 από το γραμμικό. Θεωρούμε την μεταβλητή z e. c) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα στρογγυλεύοντας τις τιμές της μεταβλητής z στο 2 ο δεκαδικό ψηφίο. x (μέρες) z Να γίνει το διάγραμμα διασποράς του παραπάνω πίνακα. y 1,3 d) Να βρεθεί η ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης της z πάνω στην x. 3 e) Να εκτιμηθεί στο τέλος ποιας ημέρας ο αριθμός των κουνουπιών θα 2,12 εκατομμύρια χρησιμοποιώντας και τα δύο προηγούμενα μοντέλα. (ερ. b) και d)). Ποιο από τα δύο αποτελέσματα είναι το ποιο αξιόπιστο; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. 6