Β. Θέματα για την Αξιολόγηση του Μαθηματικού Αλφαβητισμού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Β. Θέματα για την Αξιολόγηση του Μαθηματικού Αλφαβητισμού"

Transcript

1 Β. Θέματα για την Αξιολόγηση του Μαθηματικού Αλφαβητισμού

2

3 ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Στην παραπάνω φωτογραφία βλέπετε τις πατημασιές κάποιου άνδρα. Η απόσταση από τη φτέρνα της μιας πατημασιάς μέχρι τη φτέρνα της άλλης αποτελεί το μήκος ενός βήματος, το οποίο ονομάζουμε Ρ. Ο βηματισμός των ανδρών εκφράζεται από τον τύπο,. Ο τύπος δείχνει κατά προσέγγιση την σχέση ανάμεσα στο ν και στο Ρ, όπου ν = το πλήθος των βημάτων που κάνει ένας άνδρας ανά λεπτό, και P = το μήκος σε μέτρα (m) του βήματος του άνδρα. Eρώτηση 1: ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ Ο Γιάννης κάνει 70 βήματα ανά λεπτό. Ποιο είναι το μήκος του βήματός του; Υπολογίστε το, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Να γράψετε τους υπολογισμούς σας στον χώρο που ακολουθεί. ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 203

4 Ερώτηση 2: ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Το μήκος βήματος του Θανάση είναι 0,80 μέτρα. Να υπολογίσετε την ταχύτητα βαδίσματος του Θανάση, σε μέτρα ανά λεπτό και σε χιλιόμετρα ανά ώρα, χρησιμοποιώντας τον προηγούμενο τύπο. Να γράψετε τους υπολογισμούς σας στο χώρο που ακολουθεί. 204 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

5 ΜΗΛΙΕΣ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2000 Ένας αγρότης θέλει να φυτέψει μηλιές σε σειρές και σε τετράγωνο σχήμα. Σκέφτεται να προστατέψει τις μηλιές από τον αέρα, περιφράζοντάς τις με κυπαρίσσια. Στα παρακάτω διαγράμματα βλέπουμε τη διάταξη των δέντρων, όπως τα φαντάζεται ο αγρότης. Κάθε διάγραμμα περιλαμβάνει διαφορετικές σειρές από μηλιές. (ν = σειρές από μηλιές) Ερώτηση 1: ΜΗΛΙΕΣ Συμπληρώστε τα στοιχεία που λείπουν στον παρακάτω πίνακα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ ν Πλήθος δέντρων μηλιάς Πλήθος κυπαρισσιών ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 205

6 Ερώτηση 2: ΜΗΛΙΕΣ Οι τύποι που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε, για να υπολογίσετε το πλήθος των δέν τρων μηλιάς και το πλήθος των κυπαρισσιών στα παραπάνω διαγράμματα, είναι δύο: Πλήθος δέντρων μηλιάς = ν 2 Πλήθος κυπαρισσιών = 8ν όπου ν είναι ο αριθμός των σειρών που σχηματίζουν οι μηλιές. Υπάρχει μια τιμή του ν, για την οποία το πλήθος των δέντρων μηλιάς ισούται με το πλήθος των κυπαρισσιών. Να βρείτε αυτήν την τιμή του ν και να περιγράψετε παρακάτω τον τρόπο, με τον οποίο την υπολογίσατε. Ερώτηση 3: ΜΗΛΙΕΣ Ας υποθέσουμε ότι ο αγρότης μεγαλώνει συνέχεια το περιβόλι του προσθέτοντας συνεχώς σειρές δέντρων. Ενώ ο αγρότης μεγαλώνει το περιβόλι του προσθέτοντας σειρές, θα χρειαστεί περισσότερες μηλιές ή κυπαρίσσια; Γράψτε παρακάτω τον τρόπο με τον οποίο βρήκατε την απάντησή σας. 206 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

7 ΠΑΤΙΝΙΑ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Ο Ερρίκος κάνει συχνά πατίνι. Επισκέφθηκε ένα κατάστημα που ονομάζεται ΤΟ ΠΑΤΙΝΙ, για να εξετάσει τις τιμές. Στο κατάστημα αυτό, μπορείς να αγοράσεις ένα πατίνι με πλήρη εξοπλισμό. Μπορείς επίσης να αγοράσεις ξεχωριστά μία σανίδα για πατίνι, ένα σετ 4 τροχών, ένα σετ 2 αξόνων και ένα σετ εξαρτημάτων, για να κατασκευάσεις το πατίνι μόνος σου. Οι τιμές του καταστήματος για τα προϊόντα αυτά είναι οι παρακάτω: Προϊόντα Πατίνι με πλήρη εξοπλισμό Τιμές σε ζεντ 82 ή 84 Σανίδα για πατίνι 40 ή 60 ή 65 Σετ 4 τροχών 14 ή 36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ Σετ 2 αξόνων 16 Σετ εξαρτημάτων (ρουλεμάν με μπίλιες, λαστιχένια τακάκια, παξιμάδια και βίδες) 10 ή 20 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 207

8 Ερώτηση 1: ΠΑΤΙΝΙΑ Ο Ερρίκος θέλει να φτιάξει μόνος του ένα πατίνι. Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη τιμή που πρέπει να πληρώσει στο κατάστημα αυτό, για να κατασκευάσει μόνος του το πατίνι; (α) Ελάχιστη τιμή:...ζεντ. (β) Μέγιστη τιμή:...ζεντ. Ερώτηση 2: ΠΑΤΙΝΙΑ Το κατάστημα προσφέρει τρία διαφορετικά είδη σανίδας για πατίνι, δύο διαφορετικά σετ τροχών και δύο διαφορετικά σετ εξαρτημάτων. ιαθέτει όμως μόνο ένα σετ αξόνων. Πόσα διαφορετικά πατίνια μπορεί να κατασκευάσει ο Ερρίκος; Κυκλώστε την απάντησή σας. Α. 6 Β. 8 Γ Ερώτηση 3: ΠΑΤΙΝΙΑ Ο Ερρίκος διαθέτει 120 ζεντ και θέλει να αγοράσει με τα χρήματα αυτά το ακριβότερο πατίνι που μπορεί. Πόσα χρήματα έχει τη δυνατότητα να ξοδέψει ο Ερρίκος για καθένα από τα 4 μέρη του πατινιού; Να γράψετε τις απαντήσεις σας στον πίνακα που ακολουθεί. Μέρη του πατινιού Σανίδα Τροχοί Άξονες Εξαρτήματα Ποσό (σε ζεντ) 208 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

9 ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Η Μέι Λινγκ από τη Σιγκαπούρη ετοιμάζεται για ταξίδι τριών μηνών στη Νότια Αφρική στο πλαίσιο προγράμματος ανταλλαγής σπουδαστών. Πρέπει να ανταλλάξει δολάρια Σιγκαπούρης (SGD) με Νοτιαφρικάνικα ραντ (ZAR). Ερώτηση 1: ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑ Η Μέι Λινγκ έμαθε ότι η τιμή συναλλάγματος ανάμεσα στα δολάρια Σιγκαπούρης και τα Νοτιαφρικάνικα ραντ ήταν: 1 SGD = 4,2 ZAR Η Μέι Λινγκ αντάλλαξε δολάρια Σιγκαπούρης με Νοτιαφρικάνικα ραντ στην πιο πάνω τιμή συναλλάγματος. Πόσα Νοτιαφρικάνικα ραντ έλαβε η Μέι Λινγκ; Απάντηση:... Ερώτηση 2: ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ Μετά τρεις μήνες, η Μέι Λινγκ επέστρεψε στη Σιγκαπούρη έχοντας υπόλοιπο ZAR. Τα αντάλλαξε με δολάρια Σιγκαπούρης, παρατηρώντας ότι η τιμή συναλλάγματος είχε αλλάξει σε: 1 SGD = 4 ZAR Πόσα δολάρια Σιγκαπούρης πήρε η Μέι Λινγκ; Απάντηση:... ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 209

10 Ερώτηση 3: ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑ Κατά τη διάρκεια των τριών αυτών μηνών η τιμή συναλλάγματος άλλαξε από 4,2 σε 4 ZAR για κάθε SGD. Όταν η Μέι Λινγκ αντάλλαξε τα Νοτιαφρικάνικά της ραντ με δολάρια Σιγκαπούρης, την συνέφερε καλύτερα που η τιμή συναλλάγματος έγινε 4 ZAR αντί 4,2 ZAR; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 210 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

11 ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΤΙ ΡΑΣΗΣ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Σε ένα αγώνισμα δρόμου, ο «χρόνος αντίδρασης» είναι το χρονικό διάστημα ανάμεσα στην εκπυρσοκρότηση του όπλου για την εκκίνηση και στη στιγμή που ο δρομέας φεύγει από το βατήρα. Ο «τελικός χρόνος» συμπεριλαμβάνει το χρόνο αντίδρασης και το χρόνο της κούρσας του δρομέα. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το χρόνο αντίδρασης και τον τελικό χρόνο για 8 δρομείς, σε ένα αγώνισμα δρόμου 100 μέτρων. ιάδρομος Χρόνος αντίδρασης (σε δευτερόλεπτα) Τελικός χρόνος (σε δευτερόλεπτα) 1 0,147 10,09 2 0,136 9,99 3 0,197 9,87 4 0,180 εν τελείωσε την κούρσα 5 0,210 10,17 6 0,216 10,04 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ 7 0,174 10,08 8 0,193 10,13 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 211

12 Ερώτηση 1: ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΤΙ ΡΑΣΗΣ Να προσδιορίσετε τον χρυσό, τον αργυρό και τον χάλκινο νικητή αυτού του αγώνα. Στον παρακάτω πίνακα να συμπληρώσετε το διάδρομο, τον χρόνο αντίδρασης και τον τελικό χρόνο των νικητών. Mετάλλιο ιάδρομος Χρόνος αντίδρασης (σε δευτερόλεπτα) Τελικός χρόνος (σε δευτερόλεπτα) ΧΡΥΣΟ ΑΡΓΥΡΟ Ερώτηση 2: ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΤΙ ΡΑΣΗΣ Μέχρι σήμερα, κανένας άνθρωπος δεν είναι ικανός να αντιδράσει στην εκπυρσοκρότηση του όπλου σε χρόνο λιγότερο από 0,110 δευτερόλεπτα. Αν ο χρόνος αντίδρασης που καταγράφεται για κάποιο δρομέα, είναι λιγότερος από 0,110 δευτερόλεπτα, τότε εκτιμάται ότι συνέβη μια λανθασμένη εκκίνηση, επειδή ο δρομέας θα πρέπει να έφυγε πριν ακούσει το όπλο. Αν ο χάλκινος νικητής είχε γρηγορότερο χρόνο αντίδρασης, θα είχε την ευκαιρία να κερδίσει το αργυρό μετάλλιο; Να γράψετε ένα επιχείρημα για να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 212 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

13 ΚΑΡ ΙΑΚΟΙ ΠΑΛΜΟΙ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Για λόγους υγείας, οι άνθρωποι θα πρέπει να περιορίζουν τις δυνάμεις τους, για παράδειγμα κατά τη διάρκεια της άθλησης, ώστε να μην υπερβούν μια συγκεκριμένη συχνότητα καρδιακών παλμών. Για χρόνια, η σχέση ανάμεσα στην προτεινόμενη μέγιστη συχνότητα καρδιακών παλμών ενός ατόμου και στην ηλικία του, περιγραφόταν με τον παρακάτω τύπο: Προτεινόμενη μέγιστη συχνότητα καρδιακών παλμών = ηλικία Πρόσφατες έρευνες έδειξαν ότι ο τύπος αυτός θα έπρεπε να τροποποιηθεί λίγο. Ο καινούργιος τύπος είναι ο ακόλουθος: Προτεινόμενη μέγιστη συχνότητα καρδιακών παλμών = (0,7 x ηλικία) Ερώτηση 1: ΚΑΡ ΙΑΚΟΙ ΠΑΛΜΟΙ Ένα άρθρο εφημερίδας αναφέρει: «Λόγω της χρήσης του νέου τύπου αντί του παλιού, ο μέγιστος αριθμός που προτείνεται για τους καρδιακούς παλμούς ανά λεπτό, μειώνεται λίγο για τους νέους ανθρώπους και αυξάνεται λίγο για τους ηλικιωμένους». Από ποια ηλικία και μετά αυξάνεται η προτεινόμενη μέγιστη συχνότητα καρδιακών παλμών λόγω χρήσης του νέου τύπου; Να γράψετε τον τρόπο σκέψης σας. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 213

14 Ερώτηση 2: ΚΑΡ ΙΑΚΟΙ ΠΑΛΜΟΙ Ο τύπος της προτεινόμενης μέγιστης συχνότητας καρδιακών παλμών = (0,7 x ηλικία) χρησιμοποιείται επίσης, για να εκτιμήσει πότε η σωματική άσκηση είναι πιο αποτελεσματική. Έρευνες έχουν δείξει ότι η σωματική άσκηση είναι πιο αποτελεσματική, όταν οι καρδιακοί παλμοί φθάσουν στο 80% της προτεινόμενης μέγιστης συχνότητας. Να γράψετε έναν τύπο που να υπολογίζει τη συχνότητα καρδιακών παλμών, ως συνάρτηση της ηλικίας, για να είναι η σωματική άσκηση πιο αποτελεσματική. 214 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

15 ΚΟΥΝΙΑ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Ερώτηση 1: ΚΟΥΝΙΑ Ο Mιχάλης κάθεται πάνω σε μια κούνια. Αρχίζει να κάνει κούνια προσπαθώντας να φθάσει όσο το δυνατόν πιο ψηλά. Πoιο από τα παρακάτω διαγράμματα αναπαριστά καλύτερα την απόσταση των ποδιών του από το έδαφος, καθώς κάνει κούνια; ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 215

16 ΚΥΛΙΟΜΕΝΟΙ ΙΑ ΡΟΜΟΙ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Ερώτηση 1: ΚΥΛΙΟΜΕΝΟΙ ΙΑ ΡΟΜΟΙ Στα δεξιά, βλέπετε μια φωτογραφία κυλιόμενων διαδρόμων. Το διάγραμμα Απόσταση- Χρόνος που ακολουθεί, δείχνει τη σύγκριση μεταξύ του «περπατήματος πάνω στον κυλιόμενο διάδρομο» και του «περπατήματος στο χώρο δίπλα στον κυλιόμενο διάδρομο». Υποθέτοντας ότι στο παραπάνω διάγραμμα και τα δυο άτομα περπατούν με το ίδιο μήκος βήματος, να προσθέσετε μία γραμμή, η οποία θα αναπαριστά την απόσταση ως προς τον χρόνο για ένα άτομο που στέκεται ακίνητο πάνω στον κυλιόμενο διάδρομο. 216 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

17 ΛΕΙΧΗΝΕΣ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2000 Ένα από τα επακόλουθα της υπερθέρμανσης του πλανήτη μας είναι το λειώσιμο των πάγων. ώδεκα χρόνια μετά το λειώσιμο των πάγων, αρχίζουν να αναπτύσσονται στους βράχους μικροσκοπικά φυτά που ονομάζονται λειχήνες. Κάθε λειχήνα αναπτύσσεται σε σχήμα περίπου κυκλικό. Ο παρακάτω τύπος χρησιμοποιείται για να υπολογιστεί κατά προσέγγιση η διάμετρος (δ) της λειχήνας σε σχέση με την ηλικία της:, για t 12 όπου δ η διάμετρος της λειχήνας σε mm και t ο αριθμός των ετών που έχουν περάσει μετά το λειώσιμο των πάγων. Ερώτηση 1: ΛΕΙΧΗΝΕΣ Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο, υπολογίστε τη διάμετρο που θα έχει μια λειχήνα, 16 έτη μετά το λειώσιμο των πάγων. Γράψτε την απάντησή σας στο χώρο που ακολουθεί. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ Ερώτηση 2: ΛΕΙΧΗΝΕΣ Η Άννα μέτρησε τη διάμετρο μιας λειχήνας που βρήκε σε κάποιο μέρος και είδε ότι ήταν 35 mm. Πόσα χρόνια έχουν περάσει από το λειώσιμο των πάγων σε αυτό το μέρος; Εξηγήστε παρακάτω πώς βρήκατε την απάντησή σας. ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 217

18 Ερώτηση 3: ΛΕΙΧΗΝΕΣ Σε πόσα χρόνια από σήμερα, μια λειχήνα που τώρα έχει διάμετρο 35 mm θα έχει διπλασιάσει τη διάμετρό της; Εξηγήστε παρακάτω πώς βρήκατε την απάντησή σας. 218 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

19 ΜΕΛΕΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΥΨΟΣ ΤΩΝ ΕΦΗΒΩΝ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Στο παρακάτω διάγραμμα παρουσιάζεται το μέσο ύψος των αγοριών και των κοριτσιών στην Ολλανδία κατά το έτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ Ερώτηση 1: ΜΕΛΕΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΥΨΟΣ ΤΩΝ ΕΦΗΒΩΝ Μετά το έτος 1980, το μέσο ύψος των εικοσάχρονων κοριτσιών αυξήθηκε κατά 2,3 cm φτάνοντας στα 170,6 cm. Να γράψετε παρακάτω ποιο ήταν το μέσο ύψος ενός εικοσάχρονου κοριτσιού το έτος Απάντηση:... cm ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 219

20 Ερώτηση 2: ΜΕΛΕΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΥΨΟΣ ΤΩΝ ΕΦΗΒΩΝ Να εξηγήσετε πώς αυτό το διάγραμμα δείχνει ότι κατά μέσον όρο, ο ρυθμός ανάπτυξης των κοριτσιών μειώνεται από τα 12 χρόνια τους και μετά. Ερώτηση 3: ΜΕΛΕΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΥΨΟΣ ΤΩΝ ΕΦΗΒΩΝ Σύμφωνα με αυτό το διάγραμμα, σε ποια χρονική περίοδο της ζωής τους τα κορίτσια είναι, κατά μέσον όρο, ψηλότερα από τα συνομήλικά τους αγόρια; 220 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

21 ΝΤΕΠΟΖΙΤΟ ΝΕΡΟΥ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Ερώτηση 1: ΝΤΕΠΟΖΙΤΟ ΝΕΡΟΥ Ένα ντεπόζιτο νερού έχει τη μορφή και τις διαστάσεις που φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Αρχικά το ντεπόζιτο είναι άδειο. Μετά το γεμίζουμε νερό με ρυθμό ένα λίτρο ανά δευτερόλεπτο. Ποια από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις δείχνει πώς το ύψος του νερού μεταβάλλεται με την πάροδο τού χρόνου; ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 221

22 ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΦΑΡΜΑΚΩΝ ΣΤΟ ΑΙΜΑ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Ερώτηση 1: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΦΑΡΜΑΚΩΝ ΣΤΟ ΑΙΜΑ Σε ένα νοσοκομείο χορηγείται μια ένεση πενικιλίνης σε μια γυναίκα. Η πενικιλίνη διασπάται προοδευτικά, έτσι ώστε μετά από μια ώρα μόνο το 60% της πενικιλίνης θα παραμείνει ενεργό. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται με τον ίδιο ρυθμό: στο τέλος κάθε ώρας παραμένει ενεργό μόνο το 60% της πενικιλίνης που υπήρχε στο τέλος της προηγούμενης ώρας. Ας υποθέσουμε ότι στη γυναίκα χορηγείται μια δόση πενικιλίνης 300 milligrams στις 8 η ώρα το πρωί. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, γράφοντας την ποσότητα πενικιλίνης που θα παραμένει ενεργή στο αίμα της γυναίκας, ανά διαστήματα μίας ώρας, από τις 8 το πρωί μέχρι τις 11 το πρωί. Ώρα 08:00 09:00 10:00 11:00 Πενικιλίνη 300 (σε mg) 222 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

23 Ερώτηση 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΦΑΡΜΑΚΩΝ ΣΤΟ ΑΙΜΑ Ο Πέτρος πρέπει να πάρει 80 mg από ένα φάρμακο, για να ελέγξει την πίεση στο αίμα του. Η παρακάτω γραφική παράσταση δείχνει την αρχική ποσότητα φαρμάκου και την ποσότητα που παραμένει ενεργή στο αίμα του μετά από μία, δύο, τρεις και τέσσερις ημέρες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ Πόσο φάρμακο παραμένει ενεργό στο τέλος της πρώτης ημέρας; Κυκλώστε την απάντησή σας. Α. 6 mg Β. 12 mg Γ. 26 mg. 32 mg ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 223

24 Ερώτηση 3: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΦΑΡΜΑΚΩΝ ΣΤΟ ΑΙΜΑ Από τη γραφική παράσταση της προηγούμενης ερώτησης μπορείτε να συμπεράνετε ότι ο λόγος της ποσότητας φαρμάκου που παραμένει ενεργή στο αίμα του Πέτρου προς την αντίστοιχη της προηγούμενης ημέρας, είναι σχεδόν ο ίδιος για κάθε ημέρα. Στο τέλος κάθε ημέρας ποιο από τα παρακάτω εκφράζει, κατά προσέγγιση, το ποσοστό φαρμάκου που παραμένει ακόμη ενεργό από την προηγούμενη ημέρα; Κυκλώστε την απάντησή σας. A. 20% B. 30% Γ. 40%. 80% 224 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

25 ΤΑΧΥ ΡΟΜΙΚΑ ΤΕΛΗ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Τα ταχυδρομικά τέλη στη χώρα Ζεντ υπολογίζονται σύμφωνα με το βάρος των αντικειμένων (που στρογγυλοποιείται προς το πλησιέστερο γραμμάριο), όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Βάρος (στρογγυλοποιημένο προς το πλησιέστερο γραμμάριο) Τέλη Μέχρι 20 g 0,46 ζεντ 21 g 50 g 0,69 ζεντ 51 g 100 g 1,02 ζεντ 101 g 200 g 1,75 ζεντ 201 g 350 g 2,13 ζεντ 351 g 500 g 2,44 ζεντ 501 g 1000 g 3,20 ζεντ 1001 g 2000 g 4,27 ζεντ 2001 g 3000 g 5,03 ζεντ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 225

26 Ερώτηση 1: ΤΑΧΥ ΡΟΜΙΚΑ ΤΕΛΗ Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα απεικονίζει καλύτερα τα ταχυδρομικά τέλη στη χώρα Ζεντ; (Ο οριζόντιος άξονας δείχνει το βάρος σε γραμμάρια και ο κατακόρυφος άξονας δείχνει τα τέλη σε ζεντ.) Ερώτηση 2: ΤΑΧΥ ΡΟΜΙΚΑ ΤΕΛΗ Η Ιωάννα θέλει να στείλει σ ένα φίλο της δύο αντικείμενα που ζυγίζουν 40 και 80 γραμμάρια αντίστοιχα. Λαμβάνοντας υπόψη τα ταχυδρομικά τέλη στη χώρα Ζεντ, να βρείτε εάν είναι φθηνότερο να στείλει τα δύο αντικείμενα σε ένα πακέτο ή να στείλει τα δύο αντικείμενα σε δύο χωριστά πακέτα. Να δείξετε τους υπολογισμούς σας για κάθε μία αποστολή. 226 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

27 ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΥ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟΥ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2000 Στην παρακάτω γραφική παράσταση παρουσιάζονται οι μεταβολές της ταχύτητας ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου που τρέχει τον δεύτερο γύρο του σε μια μη κυκλική επίπεδη διαδρομή μήκους 3 χιλιομέτρων. Ερώτηση 1: ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΥ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ Πόση περίπου απόσταση έχει διανύσει το αυτοκίνητο από τη γραμμή εκκίνησης μέχρι να φτάσει στην αρχή του μακρύτερου ευθύγραμμου τμήματος της διαδρομής; Κυκλώστε την απάντησή σας. Α. 0,5 km Β. 1,5 km Γ. 2,3 km. 2,6 km ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 227

28 Ερώτηση 2: ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΥ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟΥ Σε ποιο σημείο της διαδρομής του δεύτερου γύρου σημειώθηκε, κατά προσέγγιση, η μικρότερη ταχύτητα; Κυκλώστε την απάντησή σας. Α. Στη γραμμή εκκίνησης Β. Στα 0,8 km περίπου Γ. Στα 1,3 km περίπου. Περίπου στο μισό της διαδρομής Ερώτηση 3: ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΥ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟΥ ιαβάστε τις παρακάτω προτάσεις και κυκλώστε την πρόταση που δείχνει τι συμβαίνει στην ταχύτητα του αυτοκινήτου μεταξύ των ενδείξεων 2,6 km και 2,8 km. Α. Η ταχύτητα του αυτοκινήτου παραμένει σταθερή. Β. Η ταχύτητα του αυτοκινήτου αυξάνεται. Γ. Η ταχύτητα του αυτοκινήτου μειώνεται.. Η ταχύτητα του αυτοκινήτου δεν μπορεί να προσδιοριστεί από τη γραφική παράσταση. 228 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

29 Ερώτηση 4: ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΥ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟΥ Στο σχήμα που ακολουθεί, βλέπετε πέντε διαφορετικές διαδρομές αγώνων αυτοκινήτου. Σε ποια από τις παρακάτω διαδρομές έτρεξε το αυτοκίνητο της άσκησης, για να δώσει την προηγούμενη γραφική παράσταση της ταχύτητας; Κυκλώστε το σωστό σχήμα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 229

30 ΦΑΡΟΣ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Οι φάροι είναι πύργοι με ένα φωτεινό σηματοδότη στην κορυφή. Οι φάροι βοηθούν τα πλοία να βρουν το δρόμο τους μέσα στη νύκτα, όταν πλέουν κοντά στις ακτές. Ο σηματοδότης του φάρου στέλνει φωτεινά σήματα με έναν κανονικό και καθορισμένο τρόπο. Κάθε φάρος έχει το δικό του ρυθμό που αναβοσβήνει. Στο παρακάτω διάγραμμα βλέπετε το ρυθμό που αναβοσβήνει ένας συγκεκριμένος φάρος. Το φως ανάβει εναλλάξ ανάμεσα σε σκοτεινές περιόδους. Αυτός είναι ένας συνηθισμένος τύπος φωτισμού. Ύστερα από κάποιο χρονικό διάστημα ο τύπος φωτισμού επαναλαμβάνεται. Ο χρόνος για έναν πλήρη κύκλο του τύπου φωτισμού, πριν αρχίσει να επαναλαμβάνεται, ονομάζεται περίοδος. Αν βρείτε την περίοδο ενός τύπου φωτισμού, είναι εύκολο να επεκτείνετε το διάγραμμα για τα επόμενα δευτερόλεπτα ή λεπτά ή ώρες. 230 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

31 Ερώτηση 1: ΦΑΡΟΣ Ποιο από τα παρακάτω θα μπορούσε να είναι η περίοδος του τύπου φωτισμού αυτού του φάρου; Να κυκλώσετε την απάντησή σας. Α. 2 δευτερόλεπτα Β. 3 δευτερόλεπτα Γ. 5 δευτερόλεπτα. 12 δευτερόλεπτα Ερώτηση 2: ΦΑΡΟΣ Για πόσα δευτερόλεπτα ο φάρος στέλνει φωτεινά σήματα κατά τη διάρκεια ενός λεπτού; Να κυκλώσετε την απάντησή σας. Α. 4 Β. 12 Γ Ερώτηση 3: ΦΑΡΟΣ Στα παρακάτω τετραγωνάκια να σχεδιάσετε ένα διάγραμμα για τον πιθανό τύπο φωτισμού ενός φάρου που στέλνει φωτεινά σήματα διάρκειας 30 δευτερολέπτων σε κάθε λεπτό. Η περίοδος αυτού του τύπου φωτισμού πρέπει να είναι ίση με 6 δευτερόλεπτα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 231

32 ΦΡΕΝΑΡΙΣΜΑ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2000 Θα ονομάσουμε συνολική απόσταση φρεναρίσματος, την απόσταση που διανύει ένα κινούμενο αυτοκίνητο, μέχρι να ακινητοποιηθεί. Η απόσταση αυτή είναι ίση, κατά προσέγγιση, με το άθροισμα: Α. Της απόστασης που διανύει το αυτοκίνητο όση ώρα χρειάζεται για να αντιδράσει ο οδηγός, μέχρι να ακουμπήσει το πόδι του στο φρένο (απόσταση του χρόνου αντίδρασης του οδηγού). Β. Της απόστασης που διανύει το αυτοκίνητο από τη στιγμή που ο οδηγός αρχίζει να πατάει το φρένο, μέχρι την ακινητοποίηση του αυτοκινήτου (απόσταση φρεναρίσματος). Το διάγραμμα «σαλιγκαριού» της επόμενης σελίδας δείχνει πώς οι τιμές των τριών αποστάσεων εξαρτώνται από τις τιμές της ταχύτητας, όταν ένα αυτοκίνητο τρέχει κάτω από ιδανικές συνθήκες (δηλαδή οδηγός με άριστα αντανακλαστικά, φρένα και λάστιχα σε άριστη κατάσταση και στεγνός δρόμος με καλό οδόστρωμα). 232 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

33 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 233

34 Ερώτηση 1: ΦΡΕΝΑΡΙΣΜΑ Αν ένα αυτοκίνητο τρέχει με 110 km/h, ποια είναι η απόσταση του χρόνου αντίδρασης του οδηγού; Γράψτε την απάντησή σας στο χώρο που ακολουθεί. Ερώτηση 2: ΦΡΕΝΑΡΙΣΜΑ Αν ένα αυτοκίνητο τρέχει με 110 km/h, ποια είναι η συνολική απόσταση φρεναρίσματος; Γράψτε την απάντησή σας στο χώρο που ακολουθεί. Ερώτηση 3: ΦΡΕΝΑΡΙΣΜΑ Αν ένα αυτοκίνητο τρέχει με 110 km/h, πόσο χρόνο θα χρειαστεί μέχρι να ακινητοποιηθεί; Γράψτε την απάντησή σας στο χώρο που ακολουθεί. Ερώτηση 4: ΦΡΕΝΑΡΙΣΜΑ Αν ένα αυτοκίνητο τρέχει με 110 km/h, ποια είναι η απόσταση φρεναρίσματος; Γράψτε την απάντησή σας στο χώρο που ακολουθεί. Ερώτηση 5: ΦΡΕΝΑΡΙΣΜΑ Μια οδηγός, ταξιδεύoντας με ιδανικές συνθήκες, ακινητοποιεί το αυτοκίνητό της σε συνολική απόσταση 70,7 μέτρων. Με ποια ταχύτητα 234 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

35 έτρεχε το αυτοκίνητο πριν αντιδράσει η οδηγός; Γράψτε την απάντησή σας στο χώρο που ακολουθεί. Ερώτηση 6: ΦΡΕΝΑΡΙΣΜΑ Αν ένα αυτοκίνητο τρέχει σε βρεγμένο δρόμο, χωρίς να αλλάξουν οι υπόλοιπες συνθήκες, τότε η απόσταση φρεναρίσματος (και όχι η απόσταση του χρόνου αντίδρασης του οδηγού) αυξάνεται κατά 40%. Το παραπάνω διάγραμμα δείχνει ότι, αν ένα αυτοκίνητο τρέχει με ιδανικές συνθήκες και με 80 km/h, τότε η συνολική απόσταση φρεναρίσματος του αυτοκινήτου είναι 57,7 m. Αν το αυτοκίνητο τρέχει με την ίδια ταχύτητα, αλλά σε βρεγμένο δρόμο, χωρίς να αλ λάξουν οι υπόλοιπες συνθήκες, ποια από τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις δεί χνει πώς να υπολογίζουμε τη συνολική απόσταση φρεναρίσματος του αυτ ο κι νή του; Κυκλώστε τη σωστή απάντηση. Α. 57,7 1,4 Β. (57,7 16,7) 1,4 Γ. 16,7 + (57,7 1,4). 16,7 + (57,7 16,7) 1,4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ Ερώτηση 7: ΦΡΕΝΑΡΙΣΜΑ Στην επόμενη σελίδα βλέπετε τέσσερα ζεύγη γραφικών παραστάσεων. Σε αυτές οι οριζόντιοι άξονες δείχνουν τις τιμές της ταχύτητας (σε km/h) και οι κατακόρυφοι άξονες τις τιμές (σε μέτρα) για την απόσταση του χρόνου αντίδρασης του οδηγού και για την απόσταση φρεναρίσματος αντίστοιχα. ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 235

36 Ποιο ζεύγος γραφικών παραστάσεων απεικονίζει σωστά τις πληροφορίες του διαγράμματος «σαλιγκαριού»; Κυκλώστε την απάντησή σας. A B Γ 236 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

37 ΑΓΡΟΚΤΗΜΑΤΑ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2000 Στη φωτογραφία βλέπετε μια αγροτική κατοικία που έχει σκεπή σε σχήμα πυραμίδας. Το παρακάτω σχήμα αναπαριστά τη σκεπή της αγροτικής κατοικίας. Στο σχήμα, στο οποίο αναγράφονται οι πραγματικές διαστάσεις της σκεπής, η βάση ΑΒΓ της σκεπής είναι ένα τετράγωνο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ Τα δοκάρια που υποστηρίζουν τη σκεπή αντιστοιχούν στις ακμές του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ΕΖΗΘΙΚΛΜ. Το Ε είναι το μέσον της ακμής ΑΤ της πυραμίδας, το Ζ είναι το μέσον της ακμής ΒΤ, το Η είναι το μέσον της ακμής ΓΤ και το Θ είναι το μέσον της ακμής Τ. Όλες οι ακμές της πυραμίδας έχουν μήκος 12 m. ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 237

38 Ερώτηση 1: ΑΓΡΟΚΤΗΜΑΤΑ Υπολογίστε το εμβαδόν της βάσης ΑΒΓ της σκεπής. Εμβαδόν της βάσης ΑΒΓ της σκεπής = m² Ερώτηση 2: ΑΓΡΟΚΤΗΜΑΤΑ Υπολογίστε το μήκος της ΕΖ, μιας από τις οριζόντιες ακμές του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. Το μήκος της ΕΖ = m 238 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

39 ΑΝΤΑΡΚΤΙΚΗ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2000 Αυτός είναι ένας χάρτης της Ανταρκτικής. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ Ερώτηση 1: ΑΝΤΑΡΚΤΙΚΗ Χρησιμοποιήστε την κλίμακα αυτού του χάρτη και υπολογίστε κατά προσέγγιση το εμβαδόν της Ανταρκτικής. Γράψτε τον τρόπο σκέψης σας και εξηγήστε πώς κάνατε τους υπολογισμούς σας. (Για να βοηθηθείτε στους υπολογισμούς σας, μπορείτε να ζωγραφίσετε και πάνω στον χάρτη). ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 239

40 ΑΡΙΘΜΗΜΕΝΟΙ ΚΥΒΟΙ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Ερώτηση 1: ΑΡΙΘΜΗΜΕΝΟΙ ΚΥΒΟΙ Στο διπλανό σχήμα υπάρχουν δύο ζάρια. Το ζάρι είναι ένας ειδικά αριθμημένος κύβος, για τον οποίο ισχύει ο παρακάτω κανόνας: Το άθροισμα των κουκκίδων των δύο απέναντι εδρών του είναι πάντα 7. Μπορείτε να κατασκευάσειτε έναν απλό αριθμημένο κύβο κόβοντας, διπλώνοντας και κολλώντας ένα χαρτόνι. Αυτό μπορεί να γίνει με πολλούς τρόπους. Στα παρακάτω σχήματα με τις κουκκίδες στις έδρες, βλέπετε τέσσερις τρόπους κατασκευής τέτοιων κύβων. Ποια από τα παρακάτω σχήματα μπορούν να διπλωθούν έτσι, ώστε να σχηματιστεί ένας κύβος, για τον οποίο να ισχύει ο κανόνας ότι το άθροισμα των κουκκίδων των δύο απέναντι εδρών του ισούται με 7; Στον πίνακα που ακολουθεί, για κάθε σχήμα να κυκλώσετε το «Ναι» ή το «Όχι». Σχήμα I II III IV Ισχύει ο κανόνας ότι το άθροισμα των κουκκίδων των δύο απέναντι εδρών του ισούται με 7; Ναι / Όχι Ναι / Όχι Ναι / Όχι Ναι / Όχι 240 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

41 ΒΕΡΑΝΤΑ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2000 Ερώτηση 1: ΒΕΡΑΝΤΑ Ο Nίκος θέλει να στρώσει με πλάκες την βεράντα του καινούργιου του σπιτιού που είναι σχήματος ορθογωνίου. Η βεράντα έχει μήκος 5,25 μέτρα και πλάτος 3,00 μέτρα. Για τη δουλειά αυτή, ο Νίκος θα χρειαστεί 81 πλάκες για κάθε τετραγωνικό μέτρο. Υπολογίστε πόσες πλάκες θα χρειαστεί ο Νίκος, για να στρώσει ολόκληρη τη βεράντα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 241

42 ΜΑΣΤΟΡΕΜΑΤΑ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Ερώτηση 1: ΜΑΣΤΟΡΕΜΑΤΑ Ένας μάστορας έχει στο μαγαζί του 32 μέτρα συρματόπλεγμα και θέλει να το χρησιμοποιήσει, για να περιφράξει τον κήπο του. Σκέφτεται να εφαρμόσει ένα από τα παρακάτω σχέδια περίφραξης. Ποια από τα παραπάνω σχέδια περίφραξης κήπου μπορούν να κατασκευαστούν με 32 μέτρα συρματόπλεγμα; Να κυκλώσετε το «Ναι» ή το «Όχι» για καθένα από τα σχέδια Α, Β, Γ, χωριστά. Σχέδιο περίφραξης κήπου Σχέδιο A Σχέδιο B Σχέδιο Γ Σχέδιο Μπορεί να κατασκευαστεί με 32 μέτρα συρματόπλεγμα; Ναι / Όχι Ναι / Όχι Ναι / Όχι Ναι / Όχι 242 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

43 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Συχνά, στη μοντέρνα αρχιτεκτονική, τα κτήρια έχουν ασυνήθιστα σχήματα. Η παρακάτω φωτογραφία δείχνει τη μακέτα ενός «στριφτού κτηρίου» που σχεδιάστηκε στον υπολογιστή, και την κάτοψη του ισογείου. Τα σημεία του ορίζοντα δείχνουν τον προσανατολισμό του κτηρίου. Στο ισόγειο του κτηρίου υπάρχει η κυρία είσοδος και χώρος για καταστήματα. Πάνω από το ισόγειο υπάρχουν 20 όροφοι με διαμερίσματα. Η κάτοψη κάθε ορόφου είναι ίδια με την κάτοψη του ισογείου, αλλά ο προσανατολισμός κάθε ορόφου είναι λίγο διαφορετικός σε σχέση με τον όροφο που βρίσκεται ακριβώς κάτω από αυτόν. Ο κύλινδρος περιλαμβάνει το φρεάτιο του ανελκυστήρα και μια έξοδο σε κάθε όροφο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 243

44 Ερώτηση 1: ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Να εκτιμήσετε το συνολικό ύψος του κτηρίου σε μέτρα. Να εξηγήσετε την απάντησή σας. Οι παρακάτω φωτογραφίες δείχνουν πλευρικές όψεις του στριφτού κτηρίου. Ερώτηση 2: ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Από ποια θέση έχει τραβηχτεί η φωτογραφία της πλευρικής όψης 1; Κυκλώστε την απάντησή σας. Α. Από το Βορρά Β. Από τη ύση Γ. Από την Ανατολή. Από το Νότο 244 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

45 Ερώτηση 3: ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Από ποια θέση έχει τραβηχτεί η φωτογραφία της Πλευρικής όψης 2; Κυκλώστε την απάντησή σας. Α. Από Βορειοδυτικά Β. Από Βορειοανατολικά Γ. Από Νοτιοδυτικά. Από Νοτιοανατολικά Ερώτηση 4: ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Κάθε όροφος με διαμερίσματα παρουσιάζει μια συγκεκριμένη «στροφή» σε σχέση με το ισόγειο. Το ρετιρέ (ο 20ός όροφος πάνω από το ισόγειο) σχηματίζει ορθή γωνία με το ισόγειο. Η παρακάτω κάτοψη αναπαριστά το ισόγειο. Πάνω σ αυτό το σχήμα, να σχεδιάσετε την κάτοψη του 10ου ορόφου, δείχνοντας πώς είναι τοποθετημένος ο όροφος αυτός σε σχέση με το ισόγειο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 245

46 ΝΟΜΙΣΜΑΤΑ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2000 Σας ζητούν να σχεδιάσετε μια καινούρια σειρά νομισμάτων. Όλα τα νομίσματα της σειράς πρέπει να είναι κυκλικά, χρώματος ασημί αλλά με διαφορετική διάμετρο. Σας γνωρίζουμε επίσης, ότι η ιδανική σειρά νομισμάτων, σύμφωνα με ερευνητικές διαπιστώσεις, πρέπει να ανταποκρίνεται στις ακόλουθες προδιαγραφές: Η διάμετρος κάθε νομίσματος δεν πρέπει να είναι μικρότερη από 15 mm ούτε μεγαλύτερη από 45 mm. Αν πάρουμε στην τύχη ένα νόμισμα από τη σειρά, τότε η διάμετρος του αμέσως επόμενου νομίσματος πρέπει να είναι τουλάχιστον κατά 30% μεγαλύτερη. Η μηχανή κοπής των νομισμάτων μπορεί να κόψει νομίσματα που έχουν διάμετρο μόνο ίση με έναν ακέραιο αριθμό χιλιοστομέτρων (mm) (π.χ. η μηχανή μπορεί να κόψει ένα νόμισμα διαμέτρου 17 mm, αλλά δεν μπορεί να κόψει νόμισμα διαμέτρου 17,3 mm). Ερώτηση 1: ΝΟΜΙΣΜΑΤΑ Υπολογίστε τις διαμέτρους μιας σειράς νομισμάτων, ώστε να ανταποκρίνονται στις παραπάνω προδιαγραφές, αρχίζοντας από ένα νόμισμα διαμέτρου 15 mm. Η σειρά σας να περιλαμβάνει περισσότερα από τρία νομίσματα. 246 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

47 ΠΙΤΣΕΣ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2000 Σε μια πιτσαρία σερβίρονται δύο είδη πίτσας στρογγυλού σχήματος, οι οποίες έχουν το ίδιο πάχος, αλλά διαφορετικά μεγέθη. Η μικρότερη πίτσα έχει διάμετρο 30 cm και κοστίζει 30 ζεντ*. Η μεγαλύτερη έχει διάμετρο 40 cm και κοστίζει 40 ζεντ. *ζεντ = νόμισμα της χώρας όπου βρίσκεται η πιτσαρία. Ερώτηση 1: ΠΙΤΣΕΣ Ποια από τις δύο πίτσες έχει την πιο συμφέρουσα τιμή; ικαιολογήστε παρακάτω την απάντησή σας. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 247

48 ΠΛΗΡΩΜΗ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΟ ΕΜΒΑ ΟΝ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Οι ένοικοι ενός κτηρίου με διαμερίσματα, αποφάσισαν να το αγοράσουν. Θα συγκεντρώσουν χρήματα κατά τέτοιον τρόπο, ώστε καθένας να πληρώσει ένα ποσό ανάλογο προς το μέγεθος του διαμερίσματός του. Για παράδειγμα, ο ένοικος ενός διαμερίσματος, το οποίο καταλαμβάνει το ένα πέμπτο του συνολικού εμβαδού δαπέδου όλων των διαμερισμάτων, θα πληρώσει το ένα πέμπτο της συνολικής αξίας του κτηρίου. Ερώτηση 1: ΠΛΗΡΩΜΗ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΟ ΕΜΒΑ ΟΝ Να κυκλώσετε το «Σωστό» ή το «Λάθος» για κάθε μια από τις προτάσεις που ακολουθούν. Πρόταση Ο ένοικος του πιο μεγάλου διαμερίσματος θα πληρώσει περισσότερα χρήματα για κάθε τετραγωνικό μέτρο του διαμερίσματός του, από αυτόν που κατοικεί στο πιο μικρό διαμέρισμα. Εάν γνωρίζουμε το εμβαδόν δύο διαμερισμάτων και την τιμή του ενός από αυτά, μπορούμε να υπολογίσουμε και την τιμή του δευτέρου. Εάν γνωρίζουμε την τιμή του κτηρίου και το ποσό που θα πληρώσει ο κάθε ιδιοκτήτης, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το συνολικό εμβαδόν όλων των διαμερισμάτων. Εάν η συνολική τιμή του κτηρίου μειωθεί κατά 10%, κάθε ιδιοκτήτης θα πληρώσει 10% λιγότερο. Σωστό / Λάθος Σωστό / Λάθος Σωστό / Λάθος Σωστό / Λάθος Σωστό / Λάθος 248 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

49 Ερώτηση 2: ΠΛΗΡΩΜΗ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΟ ΕΜΒΑ ΟΝ Υπάρχουν τρία διαμερίσματα στο κτήριο. Το μεγαλύτερο διαμέρισμα που είναι το διαμέρισμα 1, έχει συνολικό εμβαδόν 95 m 2. Τα διαμερίσματα 2 και 3 έχουν εμβαδόν 85 m 2 και 70 m 2 αντίστοιχα. Η τιμή πώλησης του κτηρίου είναι ζεντ. Πόσα χρήματα θα πρέπει να πληρώσει ο ιδιοκτήτης του διαμερίσματος 2; Να δείξετε τους υπολογισμούς σας. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 249

50 ΣΚΑΛΑ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Ερώτηση 1: ΣΚΑΛΑ Tο παρακάτω σχήμα απεικονίζει μια σκάλα με 14 σκαλοπάτια και με συνολικό ύψος 252 cm: Ποιο είναι το ύψος καθενός από τα 14 σκαλοπάτια; Ύψος:... cm. 250 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

51 ΣΥΝΑΥΛΙΑ ΡΟΚ ΜΟΥΣΙΚΗΣ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Ερώτηση 1: ΣΥΝΑΥΛΙΑ ΡΟΚ ΜΟΥΣΙΚΗΣ Για μία ροκ συναυλία επέλεξαν ένα γήπεδο σχήματος ορθογωνίου διαστάσεων 100 μέτρων επί 50 μέτρα. Όλα τα εισιτήρια πουλήθηκαν και το γήπεδο γέμισε με θεατές που ήταν όλοι όρθιοι. Ποια από τις παρακάτω εκτιμήσεις είναι η καλύτερη, για να περιγράψει τον συνολικό αριθμό ατόμων που παρακολούθησε τη συναυλία αυτή; Κυκλώστε την απάντησή σας. Α Β Γ Ε ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 251

52 ΣΥΝΘΕΣΕΙΣ ΜΕ ΚΥΒΟΥΣ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Στη Σούζαν αρέσει να κάνει συνθέσεις με μικρούς κύβους, όπως αυτός που βλέπετε στο παρακάτω σχήμα: Η Σούζαν έχει πολλούς μικρούς κύβους σαν αυτόν του σχήματος και χρησιμοποιεί κόλλα, για να τους ενώσει και να κάνει άλλες συνθέσεις. Η Σούζαν πρώτα κολλάει οκτώ κύβους μαζί, για να κάνει τη σύνθεση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα A: Στη συνέχεια η Σούζαν κατασκευάζει τις συνθέσεις που φαίνονται στα παρακάτω σχήματα B και Γ: 252 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

53 Ερώτηση 1: ΣΥΝΘΕΣΕΙΣ ΜΕ ΚΥΒΟΥΣ Πόσους μικρούς κύβους θα χρειαστεί η Σούζαν, για να κατασκευάσει τη σύνθεση του σχήματος B; Απάντηση:...κύβους. Ερώτηση 2: ΣΥΝΘΕΣΕΙΣ ΜΕ ΚΥΒΟΥΣ Πόσους μικρούς κύβους θα χρειαστεί η Σούζαν, για να κατασκευάσει τη σύνθεση του σχήματος Γ; Απάντηση:...κύβους. Ερώτηση 3: ΣΥΝΘΕΣΕΙΣ ΜΕ ΚΥΒΟΥΣ Η Σούζαν αντιλαμβάνεται ότι χρησιμοποίησε περισσότερους μικρούς κύβους από όσους πραγματικά χρειαζόταν, για να κατασκευάσει μια σύνθεση σαν αυτή του σχήματος Γ. Καταλαβαίνει ότι θα μπορούσε να έχει κολλήσει τους μικρούς κύβους αφήνοντας εσωτερικά ένα κενό. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός κύβων που χρειάζεται, για να κατασκευάσει μια σύνθεση σαν αυτή του σχήματος Γ που να έχει εσωτερικά κενό; Απάντηση:... κύβοι. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ Ερώτηση 4: ΣΥΝΘΕΣΕΙΣ ΜΕ ΚΥΒΟΥΣ Τώρα η Σούζαν θέλει να κατασκευάσει μία σύνθεση που να έχει μήκος 6 μικρών κύβων, πλάτος 5 μικρών κύβων και ύψος 4 μικρών κύβων. Θέλει να χρησιμοποιήσει τον μικρότερο δυνατό αριθμό κύβων αφήνοντας το μεγαλύτερο δυνατό κενό στο εσωτερικό της σύνθεσης. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός κύβων που θα χρειαστεί, για να κατασκευάσει αυτή τη σύνθεση; Απάντηση:... κύβοι. ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 253

54 ΣΧΗΜΑΤΑ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2000 Ερώτηση 1: ΣΧΗΜΑΤΑ Ποιο από τα παραπάνω σχήματα έχει τη μεγαλύτερη επιφάνεια; ικαιολογήστε την απάντησή σας. Ερώτηση 2: ΣΧΗΜΑΤΑ Περιγράψτε μια μέθοδο προσδιορισμού του εμβαδού για το σχήμα Γ. Ερώτηση 3: ΣΧΗΜΑΤΑ Περιγράψτε παρακάτω έναν τρόπο που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση την περίμετρο του σχήματος Γ. 254 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

55 ΤΡΙΓΩΝΑ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2000 Ερώτηση 1: ΤΡΙΓΩΝΑ Κυκλώστε το ένα από τα παρακάτω σχήματα που ανταποκρίνεται στην ακόλουθη περιγραφή. Tο τρίγωνο ΗΖΘ είναι ορθογώνιο και έχει τη γωνία Θ ορθή. Η πλευρά ΘΖ είναι μι κρό τερη από την ΗΘ. Το M είναι μέσον της ΗΖ και το N είναι μέσον της ΖΘ. Το Σ εί ναι ένα σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου. Tο τμήμα MN είναι μεγαλύτερο από το ΜΣ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 255

56 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΝΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Ερώτηση 1: ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΝΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει τα αποτελέσματα ενός διαγωνίσματος στη Φυσική για δύο ομάδες μαθητών, που τις ονομάζουμε «oμάδα A» και «oμάδα B». Ο μέσος βαθμός για την ομάδα Α είναι 62 και για την ομάδα B είναι 64,5. Οι μαθητές περνούν με επιτυχία το συγκεκριμένο διαγώνισμα, όταν ο βαθμός τους είναι 50 και πάνω. Παρατηρώντας το διάγραμμα, ο καθηγητής ισχυρίστηκε ότι η ομάδα B είχε καλύτερη επίδοση στο διαγώνισμα απ ό,τι η ομάδα A. Οι μαθητές της ομάδας A δεν συμφωνούν με τον καθηγητή τους και προσπαθούν να τον πείσουν ότι η ομάδα Β δεν είχε απαραιτήτως καλύτερη επίδοση. Αντλώντας στοιχεία από το διάγραμμα, να γράψετε ένα μαθηματικό επιχείρημα, το οποίο θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν οι μαθητές της ομάδας A. 256 ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

57 ΕΞΑΓΩΓΕΣ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Τα παρακάτω διαγράμματα δίνουν πληροφορίες για τις εξαγωγές που κάνει η χώρα Ζεντ, η οποία έχει ως επίσημο νόμισμα το ζεντ. Ερώτηση 1: ΕΞΑΓΩΓΕΣ Ποια ήταν η συνολική αξία των εξαγωγών (σε εκατομμύρια ζεντ) της χώρας Ζεντ, το έτος 1998; Aπάντηση:... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ Ερώτηση 2: ΕΞΑΓΩΓΕΣ Πόση ήταν η αξία των εξαγωγών σε φρουτοχυμούς για τη χώρα Ζεντ, το έτος 2000; Κυκλώστε την απάντησή σας. Α. 1,8 εκατομμύρια ζεντ Β. 2,3 εκατομμύρια ζεντ Γ. 2,4 εκατομμύρια ζεντ. 3,4 εκατομμύρια ζεντ Ε. 3,8 εκατομμύρια ζεντ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 257

58 ΛΗΣΤΕΙΕΣ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Ερώτηση 1: ΛΗΣΤΕΙΕΣ Σε ένα τηλεοπτικό κανάλι, ένας δημοσιογράφος σχολίασε την παρακάτω γραφική παράσταση ως εξής: «Η γραφική παράσταση δείχνει ότι σημειώθηκε τεράστια αύξηση στον αριθμό των ληστειών από το έτος 1998 μέχρι το έτος 1999.» Νομίζετε ότι ο δημοσιογράφος ερμήνευσε σωστά την παραπάνω γραφική παράσταση; Να γράψετε ένα επιχείρημα που να τεκμηριώνει την απάντησή σας. 258 ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

59 ΥΨΟΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Ερώτηση 1: ΥΨΟΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Μια μέρα, κατά τη διάρκεια του μαθήματος των Μαθηματικών, υπολογίστηκε το ύψος όλων των μαθητών. Το μέσο ύψος των αγοριών ήταν 160 cm και το μέσο ύψος των κοριτσιών ήταν 150 cm. Η Ελένη ήταν η ψηλότερη - το ύψος της ήταν 180 cm. Ο Κώστας ήταν ο πιο κοντός - το ύψος του ήταν 130 cm. ύο παιδιά απουσίαζαν την ημέρα εκείνη από την τάξη και ήρθαν την επομένη. Μετρήθηκε το ύψος τους και υπολογίστηκαν εκ νέου ο μέσοι όροι. Προς έκπληξη όλων, το μέσο ύψος των κοριτσιών και το μέσο ύψος των αγοριών δεν άλλαξαν. Ποιο από τα παρακάτω συμπεράσματα μπορούμε να εξάγουμε από αυτές τις πληροφορίες; Να κυκλώσετε το «Ναι» ή το «Όχι» για κάθε συμπέρασμα. Συμπέρασμα Και τα δύο παιδιά είναι κορίτσια. Μπορούμε να εξάγουμε αυτό το συμπέρασμα; Ναι / Όχι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΦΑΒΗΤΙΣΜΟΣ Το ένα παιδί είναι αγόρι και το άλλο κορίτσι. Και τα δύο παιδιά έχουν το ίδιο ύψος. Το μέσο ύψος του συνόλου των μαθητών δεν άλλαξε. Ο Κώστας παραμένει ο πιο κοντός. Ναι / Όχι Ναι / Όχι Ναι / Όχι Ναι / Όχι ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 259

PISA. Programme for International Student Assessment. Διεθνές Πρόγραμμα για την Αξιολόγηση των Μαθητών

PISA. Programme for International Student Assessment. Διεθνές Πρόγραμμα για την Αξιολόγηση των Μαθητών PISA Programme for International Student Assessment Διεθνές Πρόγραμμα για την Αξιολόγηση των Μαθητών ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ file:///c:/documents and Settings/eu2003gr.KEE/Επιφάνεια εργασίας/sy NEDRIO/KEE

Διαβάστε περισσότερα

Β. Θέματα για την Αξιολόγηση του Μαθηματικού Αλφαβητισμού

Β. Θέματα για την Αξιολόγηση του Μαθηματικού Αλφαβητισμού Β. Θέματα για την Αξιολόγηση του Μαθηματικού Αλφαβητισμού ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Θέμα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Στην παραπάνω φωτογραφία βλέπετε τις πατημασιές κάποιου άνδρα. Η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες ΕΝΟΤΗΤΑ. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας.

Ακολουθίες ΕΝΟΤΗΤΑ. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας. ΕΝΟΤΗΤΑ Ακολουθίες Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας. Να αναπαριστούμε τις ακολουθίες με διάφορους τρόπους. Να βρίσκουμε τον επόμενο όρο ή τον

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 1. Ο Άρης έφαγε 5 μιας σοκολάτας και ο Φίλιππος έφαγε 1 10 σοκολάτας περισσότερο από τον Άρη. Τι μέρος της σοκολάτας έμεινε;

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 015 Εισαγωγικό σημείωμα Σύμφωνα με τις οδηγίες της ΔΕΠΠΣ: Στα Μαθηματικά ελέγχονται οι ικανότητες των μαθητών/τριών στην κατανόηση και στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ. Θέματα: - Μονάδες μέτρησης (μήκος, μάζα, χωρητικότητα, θερμοκρασία) - Κλίμακα - Έννοιες χρόνου - Εκτίμηση - Περίμετρος, εμβαδόν, όγκος

ΜΕΤΡΗΣΗ. Θέματα: - Μονάδες μέτρησης (μήκος, μάζα, χωρητικότητα, θερμοκρασία) - Κλίμακα - Έννοιες χρόνου - Εκτίμηση - Περίμετρος, εμβαδόν, όγκος ΜΕΤΡΗΣΗ Θέματα: - Μονάδες μέτρησης (μήκος, μάζα, χωρητικότητα, θερμοκρασία) - Κλίμακα - Έννοιες χρόνου - Εκτίμηση - Περίμετρος, εμβαδόν, όγκος 1 Μονάδες μέτρησης (μήκος, μάζα, χωρητικότητα, θερμοκρασία)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ. «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 1. Να συμπληρώσεις στα κουτάκια τους αριθμούς που λείπουν:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ. «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 1. Να συμπληρώσεις στα κουτάκια τους αριθμούς που λείπουν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 1. Να συμπληρώσεις στα κουτάκια τους αριθμούς που λείπουν: : 11+ 15= 24 : 17+ 11= 16 : 11 13= 17 : 11 14= 26 i 7+

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 0-0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 0 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής). THE G

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣ: 1 ΩΡΑ 3 ΛΕΠΤΑ Το δοκίμιο αυτό αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο μέρος αποτελείται από 15 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014-2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 20 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 11 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Δ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 11 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Δ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 11 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2010 Χρόνος: 60 λεπτά Δ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποια από τις ακόλουθες παραστάσεις έχει το ίδιο αποτέλεσμα με (15-5) + 6 ; Α) (15-6)

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο άνθρωπος ξεκινά τη στιγμή t=0 από τη θέση x=50 m και όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα κινείται προς τα αριστερά. Στη συνέχεια σε κάθε σημειωμένη θέση στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Α. ΚΙΝΗΣΗ - ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΧΡΟΝΟΣ - ΤΑΧΥΤΗΤΑ 1. Πάνω σε έναν άξονα xοx επιλέγουμε τα σημεία Α(0), Β(-3m), Γ(5m) και Δ(3m). Να βρείτε το διάστημα και τη μετατόπιση του κινητού

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων :

5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων : ΛΥΚΕΙΟ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Κ E Φ Α Λ Α Ι Ο Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ 1ο Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΡΙΜΗΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Γενικής Παιδείας 5o Φύλλο Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας

Διαβάστε περισσότερα

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ 1. Δύο αμαξοστοιχίες κινούνται κατά την ίδια φορά πάνω στην ίδια γραμμή. Η προπορευόμενη έχει ταχύτητα 54km/h και η επόμενη 72km/h. Όταν βρίσκονται σε απόσταση d, οι μηχανοδηγοί αντιλαμβάνονται

Διαβάστε περισσότερα

7. Ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων του (δεκαδικού) αριθμού ; Α: 4 Β: 6 Γ: 7 Δ: 10

7. Ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων του (δεκαδικού) αριθμού ; Α: 4 Β: 6 Γ: 7 Δ: 10 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Σ ένα ημερολόγιο διαγράφουμε τις ημερομηνίες του μηνός Ιουλίου 2004 οι οποίες περιέχουν ένα τουλάχιστον περιττό ψηφίο. Ποιος είναι ο αριθμός των ημερών που μένουν; Α: 9 Β: 10 Γ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Β Κεφάλαιο 4ο Γεωμετρικά Στερεά Χρύσα Παπαγεωργίου Μαθηματικός - Πληροφορικός Το ορθό πρίσμα και τα στοιχεία του Κάθε ορθό πρίσμα έχει: Δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ Μ- ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ.

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ Μ- ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21-12-2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ Μ- ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ. ΘΕΜΑ A Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολική Χρονιά: 015-016 Ασκήσεις Επανάληψης για την B Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί Αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα 1. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα πιο κάτω: 1) ².³ = ) (³) 5 = 3) 5 : 8 = 4) ( 5. 7 ) :

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Κινηματική Ομάδα Δ.

1.1. Κινηματική Ομάδα Δ. 1.1.41. Μια μπάλα κινείται. 1.1. Ομάδα Δ. Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται μια μπάλα που κινείται ευθύγραμμα, κατά μήκος ενός χάρακα, ενώ στο διτο χρόνο. πλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της θέσης της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά. * Όλες οι απαντήσεις να δοθούν πάνω στα φυλλάδια.

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά. * Όλες οι απαντήσεις να δοθούν πάνω στα φυλλάδια. ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά * Να απαντήσεις σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. * Όλες οι απαντήσεις να δοθούν πάνω στα φυλλάδια. * Ο βαθμός για την κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Κινηματική Ομάδα Ε

1.1. Κινηματική Ομάδα Ε 1.1. Ομάδα Ε 61. Μετά από λίγο αρχίζει να επιταχύνεται. Δυο αυτοκίνητα Α και Β κινούνται σε ευθύγραμμο δρόμο με σταθερές ταχύτητες υ Α=21,8m/s και υ Β=12m/s, προς την ίδια κατεύθυνση. Σε μια στιγμή τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; Ποια είναι η σχέση που συνδέει δύο ανάλογα ποσά x, y; Τι είναι ο συντελεστής αναλογίας; Πάνω σε τι σχήµα βρίσκονται τα ζεύγη (x, y) για δύο ανάλογα ποσά x, y; Πότε δύο ποσά

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο:... Όνοµα:... Όνοµα πατέρα:... e-mail:... ιεύθυνση:... Τηλέφωνο:... Εξεταστικό Κέντρο:... Σχολείο προέλευσης:... Τάξη:... Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1η εξεταστική περίοδος από 4/10/15 έως 08/11/15 γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Α Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να επιλέξετε τη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. α) Στην παραπάνω εικόνα οι χρωματιστοί δείκτες μας δείχνουν κάποιους αριθμούς. Συμπληρώστε τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ).

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ). 1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ). *1. Μια κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΕΝΤΡΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

1. Μια σφαίρα κινείται ευθύγραμμα και στο παρακάτω σχήμα βλέπετε την θέση της Α για t=0.

1. Μια σφαίρα κινείται ευθύγραμμα και στο παρακάτω σχήμα βλέπετε την θέση της Α για t=0. 1. Μια σφαίρα κινείται ευθύγραμμα και στο παρακάτω σχήμα βλέπετε την θέση της Α για t=0. Αν η ταχύτητα της σφαίρας μεταβάλλεται όπως στο διπλανό διάγραμμα: A) Χαρακτηρίστε την κίνηση της σφαίρας: i) Από

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 η ( x 2) 2. i) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α, αν χ = 0. ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Β, αν χ = 2 2 [ 3 8 ( 3) ]

Άσκηση 1 η ( x 2) 2. i) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α, αν χ = 0. ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Β, αν χ = 2 2 [ 3 8 ( 3) ] ά ς w w w.e - m at hs.g r ά έ ί ς ά ά έ ά ς ί ά Άσκηση 1 η i) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α, αν χ = 0 4 2 3 3 6 3 ( x 2) 2 x 1 x x 1 x 2 ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Β, αν χ = 2 3 27 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν δεν είναι σωστή για την εικόνα με τα επίπεδα σχήματα; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση.

Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν δεν είναι σωστή για την εικόνα με τα επίπεδα σχήματα; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. 5Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν δεν είναι σωστή για την εικόνα με τα επίπεδα σχήματα; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. Α. Οι κύκλοι είναι διπλάσιοι σε αριθμό από τα τετράγωνα. Β.

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Διαγώνισμα Α Λυκείου Κυριακή 15 Νοεμβρίου 2015

1 ο Διαγώνισμα Α Λυκείου Κυριακή 15 Νοεμβρίου 2015 1 ο Διαγώνισμα Α Λυκείου Κυριακή 15 Νοεμβρίου 2015 Διάρκεια Εξέτασης 3 ώρες Ονοματεπώνυμο. ΘΕΜΑ Α: Στις ερωτήσεις Α1 ως και Α4 επιλέξτε την σωστή απάντηση: Α1. Αν υ η ταχύτητα ενός κινητού και α η επιτάχυνσή

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ενότητα 17 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις για λύση 1. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / s, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s. Να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις Α. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Να γράψετε στο φύλλο των απαντήσεών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Δίνονται οι δεκαδικοί περιοδικοί αριθμοί x 0,6 και y 2,13. xy α. Να υπολογίσετε την τιμή του πηλίκου x y. 1 106 β. Να διατάξετε κατά

Διαβάστε περισσότερα

µε το µέτρο του µεγέθους. ii. Στη γλώσσα που χρησιµοποιούµε στην καθηµερινή µας ζωή ορίζουµε ως µέση ταχύτητα το

µε το µέτρο του µεγέθους. ii. Στη γλώσσα που χρησιµοποιούµε στην καθηµερινή µας ζωή ορίζουµε ως µέση ταχύτητα το Ερωτήσεις βιβλίου. Συµπλήρωσε τις λέξεις που λείπουν από το παρακάτω κείµενο έτσι ώστε οι προτάσεις που προκύπτουν να είναι επιστηµονικά ορθές: i. Η θέση ενός σώµατος καθορίζεται σε σχέση µε ένα σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧΑΓΓΕΛΟΥ ΛΑΚΑΤΑΜΕΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:...ΤΜΗΜΑ:...ΑΡ.:... (α) Να ελέγξετε ότι το γραπτό αποτελείται από 11 σελίδες.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧΑΓΓΕΛΟΥ ΛΑΚΑΤΑΜΕΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:...ΤΜΗΜΑ:...ΑΡ.:... (α) Να ελέγξετε ότι το γραπτό αποτελείται από 11 σελίδες. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧΑΓΓΕΛΟΥ ΛΑΚΑΤΑΜΕΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011 2012 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΒΑΘΜΟΣ Αρ.:..... Ολογρ.:..... ΥΠΟΓΡΑΦΗ:..... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05.06.2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ:

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Προκειμένου να προσδιορίσουμε τη θέση ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΕΝΤΡΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ Μάθηµα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ηµεροµηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α).

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α). Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Για να υπολογίσει κάποιος την (0 ) χρησιµοποιεί για + προσέγγιση τον αριθµό +, ενώ ένας άλλος τον αριθµό. 3 α) Να εκτιµήσετε ποια από τις δύο προσεγγίσεις δίνει το ελάχιστο (απόλυτο)

Διαβάστε περισσότερα

1 8 και ο δεύτερος παίρνει το υπόλοιπο. Παρακάτω, ο πρώτος παραπόταμος χωρίζεται στα 3 και το ένα τμήμα του παίρνει το του νερού του 8 ) 1 2

1 8 και ο δεύτερος παίρνει το υπόλοιπο. Παρακάτω, ο πρώτος παραπόταμος χωρίζεται στα 3 και το ένα τμήμα του παίρνει το του νερού του 8 ) 1 2 Kangourou Sans Frontières Θέματα Καγκουρό 00 LEVELS: - (για μαθητές της Β' και ' τάξης Λυκείου) Ερωτήσεις βαθμών: ) Οι αριθμοί και και δύο άγνωστοι αριθμοί γράφονται μέσα στα τετραγωνάκια του διπλανού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΕΞΙΟΤΗΤΕΣ - 02

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΕΞΙΟΤΗΤΕΣ - 02 . Το εμβαδόν του παρακάτω σχήματος είναι ίσο με: 5α β. 6α γ. 9α δ. 4α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΕΞΙΟΤΗΤΕΣ - 0 α 3α α α. Αν το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔΕΖ είναι 5m και το εμβαδόν του ορθογωνίου ΗΘΙΚ είναι 9m, πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μέρος Β Κεφάλαιο 1ο Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο Θεώρημα 1.4 Πυθαγόρειο Θεώρημα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μέρος Β Κεφάλαιο 1ο Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο Θεώρημα 1.4 Πυθαγόρειο Θεώρημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Β Κεφάλαιο 1ο Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο Θεώρημα 1.4 Πυθαγόρειο Θεώρημα Τι παρατηρήσατε στο video; 1η δραστηριότητα (Φύλλο Εφαρμογής (1) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y . Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2010-2011 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Αυτό το γραπτό αποτελείται από 25 ερωτήσεις. Να απαντήσεις σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2014 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2014 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 04 Α Λυκείου 9 Μαρτίου 04 ΟΔΗΓΙΕΣ:. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε χαρτί Α4 ή σε Τετράδιο το οποίο θα σας δοθεί και το οποίο θα παραδώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις

Ευθύγραμμες Κινήσεις Ευθύγραμμες Κινήσεις Μεγέθη της Κίνησης. Η ένδειξη της ταχύτητας σε ένα αυτοκίνητο είναι 7km/h και σε μία μοτοσικλέτα 08km/h. Ποιες είναι οι ταχύτητες των δύο οχημάτων σε μονάδες του διεθνούς συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το ο Γενικό Λύκειο Χανίων [00-0 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το ήθος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Να λύσετε τα προβλήματα 1 και 2 και να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Να λύσετε τα προβλήματα 1 και 2 και να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2017- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Να λύσετε τα προβλήματα 1 και 2 και να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Πρόβλημα 1. Η Ελένη, ο Ευκλείδης και ο Σαμπέρ αγόρασαν από ένα

Διαβάστε περισσότερα

1ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 30 Νοέµβρη 2014 Κινηµατική Υλικού Σηµείου

1ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 30 Νοέµβρη 2014 Κινηµατική Υλικού Σηµείου 1ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 30 Νοέµβρη 2014 Κινηµατική Υλικού Σηµείου Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1

Διαβάστε περισσότερα

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της.

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να σχηµατίσετε τις γεωµετρικές προόδους µε: α) α 1 = 5 και λ = 3 2 1 β) α 1 = και λ = 3 1 γ) α 1 = - 20 και λ = 2 2. * Ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στους αριθµούς 2, 16,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική γενικής παιδείας

Φυσική γενικής παιδείας Προτεινόμενα Θέματα Α ΓΕΛ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 015 Φυσική γενικής παιδείας ΘΕΜΑ Α Να γράψετε τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. H αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.

3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος. . Δίνεται η εξίσωση λ + 4(λ ) = 0, με παράμετρο λ R α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R. γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. ΔΙΑΚΟΝΟΥ, Β. ΟΡΦΑΝΟΠΟΥΛΟΣ, Χ. Δ. ΦΑΝΙΔΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 1. α. Από τις παρακάτω έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος είναι ο 66ος όρος στην ακολουθία γραμμάτων ΑΒΒΓΓΓΔΔΔΔΕΕΕΕΕ, όπου Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου;

Ποιος είναι ο 66ος όρος στην ακολουθία γραμμάτων ΑΒΒΓΓΓΔΔΔΔΕΕΕΕΕ, όπου Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου; Πρόβλημα 214 Τα θρανία στην τάξη του Γιάννη είναι τοποθετημένα σε γραμμές και στήλες. Το θρανίο του Γιάννη είναι στην τρίτη γραμμή από την αρχή και στην τέταρτη από το τέλος. Είναι επίσης στην τρίτη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

2. Μια μοτοσυκλέτα τρέχει με ταχύτητα 108 km/h. α) Σε πόσο χρόνο διανύει τα 120 m; β) Πόσα μέτρα διανύει σε 5 s;

2. Μια μοτοσυκλέτα τρέχει με ταχύτητα 108 km/h. α) Σε πόσο χρόνο διανύει τα 120 m; β) Πόσα μέτρα διανύει σε 5 s; 1. Αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με σταθερή φορά και το ταχύμετρο του (κοντέρ) δείχνει συνεχώς 36 km/h. α) Τι είδους κίνηση κάνει το αυτοκίνητο; β) Να μετατρέψετε την ταχύτητα του αυτοκινήτου

Διαβάστε περισσότερα

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0 1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Διαβάστε περισσότερα

Α) ΕΝΑ ΚΙΝΗΤΟ. 1) Πληροφορίες από διάγραμμα x-t.

Α) ΕΝΑ ΚΙΝΗΤΟ. 1) Πληροφορίες από διάγραμμα x-t. Α) ΕΝΑ ΚΙΝΗΤΟ 1) Πληροφορίες από διάγραμμα x-t Ένα κινητό κινείται ευθύγραμμα και στο σχήμα φαίνεται η μετατόπισή του σε συνάρτηση με τον χρόνο Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές και ποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 5 6 (E - Στ Δημοτικού) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Γνωρίζοντας ότι + + 6 = + + +, ποιόν αριθμό αντιπροσωπεύει το ; A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

The G C School of Careers

The G C School of Careers The G C School of Careers ΔΕΙΓΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟΥ ΔΟΚΙΜΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ Στ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα Αυτό το γραπτό αποτελείται από 16 ασκήσεις. Να απαντήσεις σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις, στον χώρο που σου δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.05.3: Μέγιστα και Ελάχιστα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Ενότητα Β.05.3: Μέγιστα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στις κινήσεις

Ασκήσεις στις κινήσεις Ασκήσεις στις κινήσεις 1. Αμαξοστοιχία κινείται με ταχύτητα 72km/h και διασχίζει σήραγγα μήκους 900m. Ο χρόνος που μεσολάβησε από τη στιγμή που το μπήκε η μηχανή μέχρι να βγει και το τελευταίο βαγόνι από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στην κόλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στην κόλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2017-2018 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 03/12/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Καραβοκυρός Χρήστος ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στην κόλα σας τον αριθμό καθεμιάς

Διαβάστε περισσότερα

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας για την y=αx 2

Φύλλο Εργασίας για την y=αx 2 Πρόβλημα Σε ένα τετραγωνικό περιβόλι πλευράς 10m πρόκειται να χτιστεί μια αποθήκη σχήματος ορθογωνίου, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Α) Να βρεθούν οι διαστάσεις της αποθήκης συναρτήσει του x, αν γνωρίζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières αγκουρό Ελλάς Επώνυµο:... Όνοµα:... Όνοµα πατέρα:... e-mail:... ιεύθυνση:... Τηλέφωνο:... Εξεταστικό έντρο:... Σχολείο προέλευσης:... Τάξη:... Θέµατα αγκουρό 007 Επίπεδο: 4 (για

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα