ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ. Η στροφορμή ενός στερεού σώματος είναι μηδενική, όταν το σώμα δεν περιστρέφεται.

Transcript

1 ο ΓΕΛ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Διερεύνηση της σχέσης L=ω Η στροφορμή ενός στερεού σώματος είναι μηδενική, όταν το σώμα δεν περιστρέφεται. Η ροπή αδράνειας Ι υπολογίζεται ως προς το συγκεκριμένο άξονα περιστροφής του σώματος. Όταν το σώμα περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του, η στροφορμή του είναι L=ω Όταν το σώμα περιστρέφεται γύρω από άξονα που είναι παράλληλος στον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και απέχει απόσταση d από αυτόν, σύμφωνα με το θεώρημα του Steiner η στροφορμή L=ω=(Ι+Μd )ω Η σχέση L=ω μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της στροφορμής υλικού σημείου, όπου Ι είναι η ροπή αδράνειας του υλικού σημείου ως προς τον άξονα περιστροφής. Αντίθετα η σχέση L=mυr δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της στροφορμής στερεού σώματος. Η μεταβολή της στροφορμής στα διάφορα είδη κινήσεων Ομαλή στροφική κίνηση Όταν ένα στερεό σώμα εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση, η γωνιακή του ταχύτητα ω δεν μεταβάλλεται, επομένως η στροφορμή του παραμένει σταθερή. Ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση Στην ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση, η γωνιακή ταχύτητα μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση : ω=ω0 ± αγων t. Άρα η στροφορμή σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από τη σχέση : L=(ω0 ± αγων t)

2 ο ΓΕΛ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ Μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση Στη μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση η γωνιακή επιτάχυνση δεν είναι σταθερή και επομένως δεν ισχύει η σχέση ω=ω0 ± αγων t. Απλό εκκρεμές Καθώς η μάζα m αιωρείται διερχόμενη από τις θέσεις Α και Β, όπως φαίνεται στο σχήμα, μεταβάλλεται συνεχώς η ταχύτητά της υ. Επομένως μεταβάλλεται και η στροφορμή της μάζας m ως προς τον άξονα που διέρχεται από το σημείο Κ. Η τιμή της στροφορμής είναι μέγιστη, όταν η μάζα m βρίσκεται στην κατακόρυφη θέση, οπότε έχει μέγιστη ταχύτητα. Μελέτη περιπτώσεων στις οποίες έχουμε διατήρηση της στροφορμής Περιστρεφόμενος δίσκος στον οποίο επικολλάται μάζα Σε δίσκο που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω,επικολλάται μάζα m, χωρίς να ασκηθούν εξωτερικές ροπές. Επειδή Στεξ=0, η στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. Δηλαδή: Lαρχ=Lτελ ή Ιω=Ιω Αλλά =½MR και Ι=Ι+mr, δηλαδή Ι>Ι Επομένως : Όταν επικολλάται η μάζα m, αυξάνεται η ροπή αδράνειας Ι και άρα μειώνεται η γωνιακή ταχύτητα ω. Δηλαδή, ω<ω

3 ο ΓΕΛ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ Αθλητής του οποίου μεταβάλλεται η ροπή αδράνειας Οι αθλητές του πατινάζ όταν περιστρέφονται συμπτύσσοντας τα χέρια και τα πόδια τους μειώνουν τη ροπή αδράνειάς τους. Η τριβή των παγοπέδιλων με τον πάγο θεωρείται αμελητέα. Το βάρος και η δύναμη που δέχονται από το έδαφος οι αθλητές δεν δημιουργούν ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής. Επειδή δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές, η στροφορμή των αθλητών παραμένει σταθερή, οπότε αυξάνεται η γωνιακή τους ταχύτητα. Εάν οι αθλητές εκτείνουν τα άκρα τους, τότε μειώνεται η γωνιακή τους ταχύτητα. Το ίδιο συμβαίνει με ένα άνθρωπο που βρίσκεται σε περιστρεφόμενη καρέκλα, με τους δύτες, τους ακροβάτες κ.λ.π Σφαίρα με αρχική γωνιακή ταχύτητα που αφήνεται από ύψος Όταν από κάποιο ύψος αφήνεται σφαίρα με αρχική γωνιακή ταχύτητα, επειδή στη σφαίρα ασκείται η δύναμη του βάρους της η ταχύτητά της μεταβάλλεται. Επειδή όμως η ροπή του βάρους ως προς τον άξονα περιστροφής της σφαίρας είναι μηδέν και οι αντιστάσεις του αέρα θεωρούνται αμελητέες, η στροφορμή της σφαίρας παραμένει σταθερή. Η σφαίρα εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση γιατί σταθερό και ομαλά επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση με α=g 3

4 ο ΓΕΛ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ Περιστρεφόμενος δίσκος και σώμα που βρίσκεται πάνω στο δίσκο και μετακινείται Πάνω σε δίσκο που περιστρέφεται γύρω από άξονα βρίσκεται ένας άνθρωπος. Αρχικά ο άνθρωπος βρίσκεται στη θέση Α και η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος είναι ω και στη συνέχεια ο άνθρωπος μετακινείται στη θέση Β, οπότε η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος γίνεται ω. Όταν ο άνθρωπος αλλάζει θέση, μεταβάλλεται η ροπή αδράνειας του συστήματος, αλλά η στροφορμή του παραμένει σταθερή επειδή Στεξ=0. Εάν ο άνθρωπος απομακρύνεται από τον άξονα περιστροφής, η ροπή αδράνειας του συστήματος αυξάνεται και επομένως η γωνιακή του ταχύτητα μειώνεται. Αντίθετα, εάν ο άνθρωπος πλησιάζει προς τον άξονα περιστροφής, η ροπή αδράνειας μειώνεται και επομένως η γωνιακή του ταχύτητα αυξάνεται. Κατά τη διάρκεια της κίνησης του ανθρώπου έχουμε διατήρηση στροφορμής για το σύστημα,αλλά η στροφορμή του ανθρώπου και του δίσκου μεταβάλλονται. Δηλαδή: ΔL=ΔLανθ +ΔLδισ=0 ή ΔLανθ=ΔLδισ Εάν αρχικά τόσο ο δίσκος, όσο και ο άνθρωπος είναι ακίνητοι, και κάποια στιγμή, χωρίς να ασκηθούν εξωτερικές ροπές, ο άνθρωπος αρχίσει να περιστρέφεται, ο δίσκος θα πρέπει να αρχίσει να περιστρέφεται αντίρροπα από τον άνθρωπο έτσι, ώστε να έχουμε διατήρηση της στροφορμής του συστήματος. Δηλαδή : Lαρχ=Lτελ ή 0=Lανθ +Lδισ ή Lανθ=-Lδισ Άρα, εάν ο άνθρωπος περιστρέφεται δεξιόστροφα, ο δίσκος περιστρέφεται αριστερόστροφα. 4

5 ο ΓΕΛ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ Ράβδος και δακτύλιοι που μετακινούνται πάνω στη ράβδο Στη ράβδο, που περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα, βρίσκονται δύο δακτύλιοι με μάζες m και m. Στη συνέχεια, μέσω μηχανισμού που δεν ασκεί εξωτερική ροπή στο σύστημα, οι δακτύλιοι μετακινούνται σε θέσεις πλησιέστερα προς τον άξονα περιστροφής. Επειδή μειώνεται η απόσταση των δακτυλίων από τον άξονα περιστροφής, η ροπή αδράνειας του συστήματος μειώνεται. Η στροφορμή του συστήματος όμως παραμένει σταθερή, άρα αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής. Εάν οι δακτύλιοι μετακινούνται, απομακρυνόμενοι από τον άξονα περιστροφής η ροπή αδράνειας του συστήματος αυξάνεται και επομένως μειώνεται η γωνιακή του ταχύτητα. Περιστρεφόμενοι δίσκοι που έρχονται σε επαφή Δύο δίσκοι περιστρέφονται αντίρροπα γύρω από κοινό άξονα με γωνιακές ταχύτητες ω και ω. Κάποια στιγμή, χωρίς οι δίσκοι να δεχτούν εξωτερική ροπή, έρχονται σε επαφή και κινούνται με κοινή γωνιακή ταχύτητα ω. Εφόσον δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές, η στροφορμή διατηρείται για το σύστημα των δύο δίσκων: Lαρχ=Lτελ ή Ιω-Ι ω =(Ι+Ι)ω Εάν ρολογιού. L > L, τότε το σύστημα περιστρέφεται αντίθετα από τους δείκτες του Εάν οι δύο δίσκοι στην αρχή περιστρέφονται ομόρροπα, θα έχουμε πάλι διατήρηση της στροφορμής, αλλά θα ισχύει : Ιω+Ιω=(Ι+Ι)ω Διατήρηση της στροφορμής έχουμε και στην περίπτωση που ο ένας δίσκος είναι ακίνητος αρχικά, οπότε : Ιω=(Ι+Ι)ω 5

6 ο ΓΕΛ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ Ράβδος ή τροχαλία που συγκρούεται με κινούμενο βλήμα Κατακόρυφη ράβδος μήκους l, η οποία μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ανώτερο άκρο της, είναι αρχικά ακίνητη όπως φαίνεται στο σχήμα. Βλήμα μάζας m που κινείται με ταχύτητα υο, σφηνώνεται στο κατώτερο άκρο της ράβδου. Τη στιγμή της σύγκρουσης το σύστημα δεν δέχεται εξωτερικές ροπές, επομένως για το σύστημα έχουμε διατήρηση της στροφορμής, δηλαδή: Lαρχ=Lτελ ή mυοl=ιολω ή mυοl= (Ιρ + ml )ω Επομένως για το σύστημα μετά τη σύγκρουση το σύστημα ράβδος-βλήμα θα αρχίσει να περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα : m0 m Σφαιρίδιο που εκτελεί κυκλική κίνηση και αλλάζει ταχύτητα Σφαιρίδιο μάζας m, είναι δεμένο σε νήμα που περνάει από κατακόρυφο σωλήνα ΚΛ. Στο ελεύθερο άκρο του νήματος ασκούμε δύναμη F, υπό την επίδραση της οποίας το σφαιρίδιο διαγράφει κύκλο ακτίνας R. Όταν η δύναμη είναι F,το σφαιρίδιο έχει ταχύτητα υ και διαγράφει κύκλο με ακτίνα R, ενώ όταν η δύναμη γίνεται F, η ακτίνα γίνεται R και η ταχύτητα υ. Επειδή η δύναμη F δεν έχει ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής, έχουμε διατήρηση της στροφορμής. Δηλαδή: Lαρχ=Lτελ ή mυr=mυr ή υr =υr Όταν η ακτίνα αυξάνεται μειώνεται η ταχύτητα του σφαιριδίου, ώστε η στροφορμή να παραμένει σταθερή. Αντίθετα, όταν η ακτίνα μειώνεται, η ταχύτητα του σφαιριδίου αυξάνεται. Η δύναμη F είναι κεντρομόλος δύναμη και ισχύει F= mυ /R 6

7 ο ΓΕΛ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ 7 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑ. Σχέση κινητικής ενέργειας και στροφορμής στη στροφική κίνηση Για την περιστροφική κίνηση ενός σώματος, από τις σχέσεις Κ=½Ιω και L=Ιω, προκύπτει :. Η κινητική ενέργεια στην κύλιση χωρίς ολίσθηση Όταν ένα στερεό σώμα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, ο λόγος της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής κίνησης προς την κινητική ενέργεια λόγω στροφικής κίνησης, είναι σταθερός και εξαρτάται από τη ροπή αδράνειας του στερεού. Έστω ένα στερεό που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του δίνεται από τη σχέση : Ι=λΜR όπου λ αριθμός ακέραιος ή κλάσμα. Η κινητική ενέργεια της σφαίρας δίνεται από το άθροισμα : Κ=Κμετ+Κστρ Επειδή Ι=λΜR και στην κύλιση χωρίς ολίσθηση ισχύει υ=ωr L L M M M M MR M

8 ο ΓΕΛ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ 3. Η δυναμική ενέργεια υλικού σημείου και στερεού σώματος Η δυναμική ενέργεια ενός υλικού σημείου μάζας m που βρίσκεται σε ύψος h από το οριζόντιο επίπεδο που έχουμε ορίσει ότι έχει μηδενική δυναμική ενέργεια, δίνεται από τη σχέση : U=mgh Όταν πρόκειται για στερεό σώμα, το ύψος h ορίζεται ως η απόσταση του επιπέδου από το κέντρο βάρους του σώματος. Η δυναμική ενέργεια του στερεού μάζας Μ δίνεται από τη σχέση: U=Mgh 4. Έργο της στατικής τριβής στην κύλιση χωρίς ολίσθηση Ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση σταθερής δύναμης που ασκείται στο κέντρο του τροχού. Η στατική τριβή Τ είναι η δύναμη που στρέφει τον τροχό, αφού το βάρος W και η δύναμη F έχουν μηδενική ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής. Η ροπή της τριβής τ=τr είναι σταθερή, επομένως το έργο της μπορεί να υπολογισθεί από τη σχέση W=τθ. Oταν ο τροχός έχει στραφεί κατά γωνία θ, το κέντρο μάζας του έχει μετακινηθεί κατά απόσταση s=rθ. Το έργο της τριβής για τη στροφική κίνηση είναι : Wτσ=τθ ή Wτσ=ΤRθ ή Wτσ=Τs Το έργο της τριβής για τη μεταφορική κίνηση είναι : Wτμ=-Τs Επομένως το συνολικό έργο της τριβής είναι : Wτ = Wτμ + Wτσ ή Wτ =Τs +(-Τs ) ή Wτ =0 Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήξουμε για οποιοδήποτε στερεό σώμα εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση. Άρα στην κύλιση χωρίς ολίσθηση το συνολικό έργο της στατικής τριβής είναι μηδέν, γιατί η στατική τριβή δεν μειώνει τη μηχανική ενέργεια του συστήματος μετατρέποντάς την σε θερμότητα, όπως η τριβή ολίσθησης. Μέσω του έργου της, αυξάνει (ή μειώνει) την κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής κίνησης μειώνοντας ή (αυξάνοντας) αντίστοιχα την κινητική ενέργεια λόγω στροφικής κίνησης. Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο η στατική τριβή δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της,γι αυτό δεν παράγει έργο. 8

9 ο ΓΕΛ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ 5. Υπολογισμός του έργου δύναμης Έργο του βάρους στη στροφική κίνηση Έστω μια ομογενής ράβδος ΑΒ μάζας m και μήκους L που στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α. Η ροπή του βάρους ως προς τον άξονα περιστροφής είναι τw =0, όταν η ράβδος είναι κατακόρυφη τw=wl/, όταν η ράβδος είναι οριζόντια. Η ροπή του βάρους δεν είναι σταθερή και για τον υπολογισμό του έργου δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τη σχέση Ww=τθ Επειδή το βάρος είναι συντηρητική δύναμη, το έργο του μπορεί να υπολογισθεί από τη σχέση : Ww= Uαρχ- Uτελ Για τη μετακίνηση της ράβδου από την οριζόντια στην κατακόρυφη θέση : Ww=mgL/-0 ή Ww=mgL/ Έργο της τάσης νήματος στην κατακόρυφη κίνηση τροχού Η τάση του νήματος είναι η δύναμη που στρέφει τον τροχό, αφού το βάρος έχει μηδενική ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής του τροχού. Η ροπή της τάσης του νήματος είναι σταθερή και μπορούμε να υπολογίσουμε το έργο από τη σχέση : W=τθ. Όταν ο τροχός έχει στραφεί κατά γωνία θ, το κέντρο μάζας του έχει μετακινηθεί κατά απόσταση : s=rθ Το έργο της τάσης του νήματος για τη στροφική κίνηση είναι : WΤσ=τθ ή WΤσ=ΤRθ ή WΤσ=Τs Το έργο της τάσης του νήματος για τη μεταφορική κίνηση είναι : WΤμ=-Τs Επομένως το συνολικό έργο της τάσης του νήματος είναι : WΤ= WΤμ + WΤσ ή WΤ = Τs +(-Τs) ή WΤ=0 Το έργο της τάσης του νήματος είναι ίσο με μηδέν με την προϋπόθεση ότι το νήμα είναι ακλόνητα στερεωμένο. Εάν το νήμα δεν είναι στερεωμένο και στο ελεύθερο άκρο του ασκείται δύναμη το σημείο εφαρμογής της οποίας μετακινείται, τότε WΤ 0 9

10 ο ΓΕΛ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ Έργο δύναμης που ασκείται μέσω νήματος στην κύλιση χωρίς ολίσθηση Όταν ο τροχός έχει στραφεί κατά θ, το κέντρο μάζας του έχει μετακινηθεί κατά απόσταση s=rθ. Το έργο της δύναμης για τη σύνθετη κίνηση υπολογίζεται εφαρμόζοντας τον ορισμό του έργου δύναμης, δηλαδή WF=Fs, όπου s εφαρμογής της δύναμης. η μετατόπιση του σημείου Β Το σημείο Β έχει ίδια ταχύτητα με το ανώτερο σημείο Γ του τροχού, για το οποίο ισχύει υγ=υ.άρα, όταν το κέντρο μάζας του τροχού έχει μετατοπιστεί κατά s, το σημείο Β έχει μετατοπιστεί κατά s=s. Επομένως WF=Fs ή WF=Fs 6. Αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ΑΔΜΕ ισχύει στις παρακάτω περιπτώσεις: Όταν οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι συντηρητικές. Όταν στο σώμα ασκούνται μη συντηρητικές δυνάμεις που δεν παράγουν έργο κατά την κίνηση του σώματος. 7. Εφαρμογή του θεωρήματος έργου ενέργειας και της αρχής διατήρησης της μηχανικής ενέργειας Κύλιση χωρίς ολίσθηση σε κεκλιμένο επίπεδο Στερεό σώμα (σφαίρα, τροχός, κύλινδρος,κλπ.) αφήνεται να κυλήσει χωρίς ολίσθηση σε κεκλιμένο επίπεδο, με γωνία κλίσης φ. Όταν το στερεό έχει διανύσει απόσταση s έχουμε: ΘΜΚΕ για τη σύνθετη κίνηση : Κτελ-Καρχ=ΣW =Ww ή m 0 mgs m mgh Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήξουμε, εφαρμόζοντας και ΑΔΜΕ: U U mgh m 0

11 ο ΓΕΛ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ Κύλιση χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο επίπεδο υπό την επίδραση σταθερής δύναμης. Η δύναμη ασκείται στην περιφέρεια του στερεού Για μετακίνηση του κέντρου μάζας του τροχού κατά s έχουμε : ΘΜΚΕ για τη σύνθετη κίνηση : W WF m 0 F s Γιατί όταν το κέντρο μάζας του τροχού έχει μετατοπιστεί κατά εφαρμογής Β της δύναμης F έχει μετατοπιστεί κατά s. s,το σημείο. Ο φορέας της δύναμης διέρχεται από το κέντρο του στερεού Για μετακίνηση του κέντρου μάζας του τροχού κατά s έχουμε : ΘΜΚΕ για τη σύνθετη κίνηση : W WF m 0 F s Περιστρεφόμενη ράβδος Μια ομογενής ράβδος ΟΑ, μάζας Μ και μήκους L μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο. Στο άκρο της Α είναι στερεωμένη μάζα m. Η ράβδος αφήνεται να κινηθεί από την οριζόντια θέση. Για την περιστροφή της ράβδου από την οριζόντια μέχρι την κατακόρυφη θέση, έχουμε : ΘΜΚΕ για την κίνηση του συστήματος ράβδος μάζα m : L W WW WW 0 Mg m gl ΑΔΜΕ για το σύστημα : U U MgL m gl L Mg

12 ο ΓΕΛ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ Μπορείτε να μαντέψετε το αποτέλεσμα της κούρσας; Όλα τα κυλιόμενα σώματα έχουν την ίδια μάζα και την ίδια ακτίνα,αλλά διαφορετική ροπή αδράνειας. Η ροπή αδράνειας κάθε κυλιόμενου σώματος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του δίνεται από τη σχέση : Ι=λΜR όπου λ συντελεστής αριθμητικός που εξαρτάται από το στερεό που κυλίεται. Π.χ. αν κυλίεται σφαίρα η ροπή αδράνειας είναι ίση με άρα το λ= /5. Στο σχήμα δεν φαίνεται ότι όλα τα στερεά έχουν την ίδια ακτίνα. Θα θεωρήσουμε ότι την έχουν. 0 Mgh Mgh U M M U MR 0 Mgh M gh gh gh M Άρα όσο μικρότερο συντελεστή λ έχει το στερεό τόσο μεγαλύτερη ταχύτητα έχει. Για κυλιόμενα στερεά σφαίρα (λ=/5), στεφάνη (λ=), κύλινδρο (λ=/) πρώτη έρχεται η σφαίρα, ακολουθεί ο κύλινδρος και τελευταία η στεφάνη.