ERORI ÎN CALCULUL NUMERIC
|
|
- Γιώργος Κοντόσταυλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 CALCUL NUMERIC. Erori în calculul numeric 1 ERORI ÎN CALCULUL NUMERIC 1. NUMERE APROXIMATIVE EROAREA ABSOLUTĂ ŞI RELATIVĂ Numărul a se numeşte aproximare a numărului A dacă valorile lor se deosebesc neînsemnat şi a poate înlocui A în calcule numerice. Dacă a < A vom numi a aproximare prin lipsă, dacă a > A aproximare prin adaos. De exemplu pentru π numărul 3.14 va fi aproximare prin lipsă, iar 3.14 aproximare prin adaos. Într-adevăr 3.14 < π < Prin eroare a se înńelege diferenńa A a (uneori şi a A). În dependenńă de raportul a şi A, a poate fi negativ sau pozitiv. Pentru a obńine numărul exact A se adăugă la a valoarea erorii a A = a + a De multe ori este cunoscută valoarea aproximativă a fără a se cunoaşte semnul erorii. În aceste cazuri se utilizează eroarea absolută, care se defineşte în felul următor: Eroare absolută a valorii aproximative a se consideră modulul diferenńei dintre valoarea exactă A şi valoarea aproximativă a. = A a Eroarea absolută nu este un indice suficient pentru estimarea exactităńii calculelor sau măsurătorilor. Fie că în urma măsurării lungimii a două bare au fost obńinute rezultatele: m ± 0.5cm. 18 cm ± 0. cm Cu toate că valoarea absolută a erorii în primul caz este mai mare, este evident că prima măsurătoare a fost realizată mult mai exact decât a doua. Pentru a determina calitatea măsurătorii (calculului) se raportează mărimea erorii absolute la o unitate de lungime (sau, în caz general, la o unitate de măsură respectivă). Eroare relativă δ a valorii aproximative se consideră raportul dintre eroarea absolută şi modulul numărului exact A ( A 0) δ = / A Exemplu: O bară are lungimea de 100 cm. În urma unei măsurări a fost stabilită o valoare a lungimii egală cu 101 cm. DistanŃa dintre punctele A şi B este de 3000 m. În urma măsurării s-a obńinut distanńa de 997 m. Se cere să se determine eroarea relativă a fiecărei măsurări şi măsurarea mai exactă. Rezolvare: pentru prima măsurare = = 1 cm δ = pentru măsurarea a doua = 0,01
2 CALCUL NUMERIC. Erori în calculul numeric = = 3 δ = = 0,001 m Deoarece eroarea relativă a celei de a doua măsurări este mai mică, această măsurare este mai exactă. Întrebări şi exercińii 1. ExplicaŃi nońiunea de eroare. DaŃi exemple de aparińie a erorilor în situańii reale.. DefiniŃi nońiunea de eroare absolută. ExemplificaŃi. 3. DefiniŃi nońiunea de eroare relativă. ExemplificaŃi. Cum se va modifica formula de calcul a erorii relative, dacă eroarea trebuie indicată în % de la valoarea exactă a mărimii cercetate? 4. O bară cu lungimea exactă de 100 cm a fost măsurată cu o eroare absolută de cm. Care sunt valorile posibile, obńinute în procesul de măsurare? 5. Volumul exact al unui vas este de 0l. Măsurările de volum au fost efectuare cu o eroare relativă de Care sunt valorile posibile ale volumului măsurat?
3 CALCUL NUMERIC. Erori în calculul numeric 3. SURSELE ERORILOR DE CALCUL Erorile, care apar în timpul rezolvării problemelor pot proveni din diferite surse. Cunoaşterea curselor de aparińie a erorilor permite ocolirea lor şi minimizarea efectului cumulativ al erorilor. Cele mai des întâlnite tipuri de erori sunt: Erori de problemă Erori de metodă Erori ale datelor de intrare Erori de aproximare Erori de rotunjire. Erori de problemă. Această categorie de erori apare în situańiile când modelul matematic ales pentru rezolvarea problemei nu descrie complet procesul real cercetat. Astfel, în exemplul (1. Modelul matematic şi modelarea matematică) pentru a construi modelul matematic al sistemului bilă-arc s-a utilizat ecuańia oscilańiilor armonice pentru deformańii mici şi în lipsa forńei de frecare. Prin urmare, rezultatul obńinut prin utilizarea formulei va fi diferit de cel exact, diferenńa fiind cu atât mai semnificativă cu cât e mai mare forńa de frecare în sistemul real şi deformarea arcului. Erori de metodă. Este o categorie de erori generată de imposibilitatea determinării unei metode exacte de rezolvare a problemei. În acest caz problema inińială este rezolvată prin o metodă euristică, care poate genera diferenńe destul de mari între rezultatul obńinut şi cel exact. Un exemplu elocvent este utilizarea metodei Greedy pentru rezolvarea problemei rucsacului., care are următoarea formulare: Este dat un rucsac de volum S şi n obiecte cu volumele v i, i = 1.. n şi costurile c i, i = 1.. n. Să se pună în rucsac obiecte din setul propus astfel, încât costul total al obiectelor puse în rucsac să fie cât mai mare posibil. Dacă pentru rezolvarea problemei este folosită metoda Greedy în majoritatea cazurilor soluńia obńinută va fi mai rea decât cea exactă. Astfel, pentru un set din cinci obiecte cu volumele 5, 7, 13, 0, 10, preńurile respectiv de 4, 8, 15, 3, 5, şi un rucsac cu volumul de 30 unităńi prin metoda Greedy se obńine soluńia cu valoarea 7 formată din obiectele cu indicii 3,, 1. Pentru acelaşi set de date inińiale, soluńia determinată prin metoda trierii sau reluării are valoarea 31, fiind formată din obiectele cu indicii şi 4. Erori ale datelor de intrare. Deseori procesul de modelare matematică se bazează pe rezultatele unor experienńe, adică pe careva seturi de mărimi numerice, obńinute în urma măsurărilor. Aceste mărimi nu sunt exacte. (ex.: distanńa, masa, viteza). În cele ce urmează se va cerceta, cum pot influenńa erorile inińiale (a datelor de intrare) rezultatele finale. Exemplul 1: fie că se cercetează un model descris de funcńia f ( x) = x + x + 1 pe segmentul [ 0,1] ( x [0,1] ) Este cunoscut că x se calculează cu o exactitate de 0,01 (adică eroarea absolută la determinarea lui x nu depăşeşte 0,01). Dacă z este valoarea exactă a argumentului, atunci z x 0,01. Vom încerca să determinăm în ce măsură influenńează eroarea la măsurarea inińială a valorilor lui x rezultatul calculului: f ( x) f ( z) = x + x + 1 z z 1 = x + x z z = ( x z)( x + z) + x z = ( x z)( x + z + 1)
4 CALCUL NUMERIC. Erori în calculul numeric 4 Deoarece x + z +1 3şi z x 0, 01, rezultă f ( x) f ( z) 3 0,01. DiferenŃa dintre valoarea funcńiei de argument exact (z) şi valoarea funcńiei de argument măsurat (x) este o mărime constantă. De aici rezultă că erorile de calcul nu depind de x ci numai de exactitatea cu care acesta este măsurat. Se consideră că funcńia f ( x) : I R posedă proprietatea Lipschits dacă o constantă m > 0 astfel încât: f ( x) f ( z) m z x, x, z I. Se consideră că determinarea valorilor funcńiei f (x) este stabilă la erori, dacă f (x) posedă proprietatea Lipschits. În alńi termini, stabilitatea funcńiei la erori presupune variańii mici ale valorilor funcńiei la variańii mici ale argumentului. Erori de aproximare. Este o categorie de erori generate de anumite definińii şi nońiuni matematice. PrezenŃa lor este acceptată, în special în problemele care folosesc nońiunea de limită, convergenńă etc. ApariŃia este motivată de însăşi structura definińiei care conńine elemente de aproximare. Exemplul : Se consideră că şirul { x n } este convergent şi are limita x dacă pentru orice ε > 0, ε 0, există un rang n ( n ε ) astfel încît x xn < ε n > nε. Din punct de vedere al analizei numerice ε indică precizia cu care x n îl aproximează pe x. Fie ε = 0, 001. Dacă şirul x } este convergent şi are limita x, înseamnă că ) { n astfel încât n > nε x x < 0, 001. n n ε ( n 0, 001 În procesul de calcul al limitei se utilizează o aproximare consecutivă, care se apropie tot mai mult de limita exactă, fără a o atinge. Stoparea procesului de calcul are loc atunci când deviańia (eroarea) devine mai mică decât eroarea maximă admisibilă (ε ). Exemplul 3: Apropierea valorilor termenilor şirului 1/n de limita lui 0. n=1 1/n =1 n= 1/n =0,5 n= 501 1/n = 0, n= 50 1/n = 0,00199 n= 503 1/n = 0, n= 999 1/n = 0, n= /n = 0, n= /n = 0, De reńinut, că rezultatele obńinute prin calcul numeric sunt acceptate doar ca rezultate cantitative, şi nu pot servi drept demonstrańie pentru careva afirmańii matematice.
5 CALCUL NUMERIC. Erori în calculul numeric 5 Erori de rotunjire. Este un tip aparte de erori, generate de faptul că în procesul prelucrării mărimilor numerice în calculator ele pot fi păstrate doar cu un anumit număr de semne zecimale după virgulă. Exemplu poate servi constanta π ; valorile funcńiilor trigonometrice etc. Fie A= {а 1, а, а 3,, а n } mulńimea tuturor numerelor care pot fi reprezentate în calculator. (Se consideră că а 1 < а < < а n ) Vom cerceta oricare din numerele (а i + а i+1 )/. Evident el lipseşte în mulńimea inińială A. În cazul aparińiei unei asemenea situańii de calcul apare eroarea legată de înlocuirea rezultatului real prin numărul cel mai apropiat de el din mulńimea A. Această procedură este numită rotunjire. FuncŃia de rotunjire aplicată la calculatoare se defineşte în felul următor: x R, а i, а i+1 A rd (x)= а i dacă x [а i, (a i + а i+1 )/ ) rd (x)= а i+1 dacă x [(a i + а i+1 )/, а i+1 ] Utilizarea funcńiei de rotunjire generează abateri de la legile de bază ale operańiilor aritmetice: adunarea, înmulńirea nu mai sunt asociative, distributive. Exemplul 4: Fie că în procesul de calcul se poate opera cu cel mult 3 cifre după virgulă. În acest caz pentru numerele a=0,334 b=0,331 c=0,33 se obńine rd(rd(a+b)+c) = rd(rd(0,4665)+0,33) = rd(0,467+0,33) = 0,7 rd(a+rd(b+c)) = rd(0,334+rd(0,4661)) = rd(0,334+0,466) =rd(0,6994) = 0,699 În cazul rotunjirii rezultatelor de calcul erorile nu depăşesc după modul valoarea de 0,5*10 -n,(aceste erori se numesc erori de rotunjire absolute) unde n este numărul de semne semnificative(care pot fi percepute) în procedura de calcul. Erorile de rotunjire pot fi atât pozitive cît şi negative. În cazul alternării lor are loc procesul de compensare, în rezultat eroarea finală nu creşte odată cu numărul de calcule. Întrebări şi exercińii 1. IdentificaŃi principalele surse de erori. ExemplificaŃi. DaŃi exemple de erori, generate de imposibilitatea formulării exacte a problemei. MotivaŃi imposibilitatea formulării exacte. 3. Utilizarea metodei Greedy în rezolvarea problemelor de cele mai multe ori duce la ob- Ńinerea unui soluńii diferite de soluńia optimă. De ce? 4. Care funcńii posedă proprietatea de stabilitate a calculului valorilor fańă de erori? 5. Este oare stabil fańă de erori calculul valorilor funcńiei liniare? Dar al funcńiei y = x, x 1,? [ ] 6. ExplicaŃi nońiunea de eroare de aproximare. x0 = 0 7. SoluŃia unei probleme se calculează iterativ după formula x i + 1 = + x i Va atinge oare şirul soluńiilor calculate valoarea soluńiei exacte? StabiliŃi experimental
6 CALCUL NUMERIC. Erori în calculul numeric 6 sau analitic soluńia exactă. După câte iterańii eroarea absolută a soluńiei calculate va deveni mai mică de 0,0001? 8. Din care motiv rezultatele obńinute prin metode numerice nu pot servi drept demonstrańii a afirmańiilor matematice? 9. Care este motivul aparińiei erorilor de rotunjire? ExemplificaŃi. 10. ScrieŃi un program care determină produsul şi câtul numerelor 1, şi 0, AnalizaŃi rezultatele obńinute. ExplicaŃi cauzele aparińiei erorii.
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραNoţiuni introductive
Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραI. Noţiuni introductive
Metode Numerice Curs 1 I. Noţiuni introductive Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate astfel încât să fie rezolvate numai prin operaţii aritmetice. Prin trecerea
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότερα1.3. Erori în calculele numerice
Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018 1/41 Cuprins Caracterizarea
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραAparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραConf.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Conf.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, 2012 Cuprins 1 2 3 4 5 6 În
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCURS: METODE EXPERIMENTALE ÎN FCS
Cunoaşterea în fizică se bazează pe experimente şi măsurători. Pentru verificarea oricărei teorii => experiment => măsurători. Toate măsurătorile sunt afectate de erori. Nu putem măsura ă ceva cu exactitate
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραLaborator biofizică. Noţiuni introductive
Laborator biofizică Noţiuni introductive Mărimi fizice Mărimile fizice caracterizează proprietăţile fizice ale materiei (de exemplu: masa, densitatea), starea materiei (vâscozitatea, fluiditatea), mişcarea
Διαβάστε περισσότεραValori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Διαβάστε περισσότεραRezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare. Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότερα4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότερα2. CALCULE TOPOGRAFICE
. CALCULE TOPOGRAFICE.. CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE Distanţa în linie dreaptă dintre două puncte se poate calcula dacă
Διαβάστε περισσότεραLucrarea de laborator nr. 2
Metode Numerice Lucrarea de laborator nr. I. Scopul lucrării Reprezentarea numerelor reale în calculator. Erori de rotunjire. II. III. Conţinutul lucrării. Reprezentarea numerelor reale sub formă normalizată..
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραIV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραTeme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice As. Ruxandra Barbulescu Septembrie 2017 Orice nelamurire asupra enunturilor/implementarilor se rezolva in cadrul laboratorului de MN,
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότερα1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Διαβάστε περισσότεραAnaliza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener
Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Se consideră predicatul binar p(x, y) : 4x + 3y = 206, x, y N și mulțimea A = {(x, y) N N 4x+3y = 206}. a) Determinați
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότερα