Μαθηματικά Γ Λυκείου Προσανατολισμού

Transcript

1 Σ 6-7 Μθημτικά Γ Λυκείου Προσντολισμού Σημειώσεις μθημτικών ου ευθύνοντι σε μθητές της Γ Λυκείου. Χωρισμένες σε ενότητες γι την κλύτερη κτνόηση της ύλης Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης 6-7

2

3 Πρόλογος Αγητέ νγνώστη Σκοός των σημειώσεων ου κολουθούν δεν είνι σε κμί ερίτωση ν υοκτστήσουν το σχολικό ιλίο. Άλλωστε έχουν γρφεί με δεδομένο ότι σε κάθε ενότητ, έχει ρώτ μελετηθεί υτό. Άλλωστε, σε κάθε ενότητ, στο τμήμ των ειλέον σκήσεων, γίνετι άντ νφορά στις ντίστοιχες σκήσεις του σχολικού ιλίου. Στην έκδοση 6-7 οι όοιες νφορές γίνοντι, φορούν στο ΝΕΟ σχολικό ιλίο κι κτά συνέει τη νέ ρίθμηση σελίδων. Ο στόχος του ειμελητή υτής της έκδοσης είνι ν δώσει στους μθητές τη δυντότητ ν ειλύσουν ερισσότερες σκήσεις γι την εριτέρω κτνόηση της ύλης, κι ν τους εντάξει στο ύφος των σκήσεων ου θ τους ζητηθούν στις ολυτήριες/νελλδικές εξετάσεις. Είσης, είνι μι ευκιρί ώστε ν λλγούν ό σκόριες σημειώσεις κι φυλλάδι ου δίνοντι ό τον διδάσκοντ κτά την διάρκει της χρονιάς κι ν είνι όλ υτά συγκεντρωμέν σε έν μέρος. Όσον φορά το σχολείο, ήτν μι ρώτης τάξης ευκιρί ώστε ν μειώσει το κόστος των φωτοτυιών στις δύσκολες εοχές ου ερνάμε. Η γρφειοκρτί όμως της ελληνικής διοίκησης (σχολική ειτροή), ρά τις ροσάθειες της διεύθυνσης του ου Λυκείου, δεν το εέτρεψε. Γι υτό κι τυώνετι με ροσωικά έξοδ του ειμελητή της έκδοσης, Δούδη Δημήτρη (κι διτίθετι δερεάν). Σετέμριος 6 Αλεξνδρούολη Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

4 Ευχριστίες - Αφιερώσεις Τέλος, είνι χρέος μου ν τονίσω την εξιρετική συνεργσί μετξύ των μθημτικών του ου Ενιίου Λυκείου. Ειδικότερ, θ ήθελ ν ευχριστήσω τον Κνιστή Θόδωρο ου με τίμησε με την εμιστοσύνη του. Η ντλλγή όψεων, σχολίων κι σημειώσεων με τον τελευτίο κτέστησε εφικτό το συγκεκριμένο οτέλεσμ. Συνάμ, οι συζητήσεις ου συχνά κάνουμε με διάφορους συνδέλφους μθημτικούς, τόσο του σχολείου, όσο κι άλλων όως τ μέλη της lisari team (της οοίς είμι μέλος) όσο κι ο ξιόλογος κι γητός Κώστς Τηλέγρφος, είνι ιδιίτερ εοικοδομητικές κθώς συμάλουν στη διρκή δισάφηση ολλών ερωτημάτων ου ροκύτουν κτά κιρούς άνω στη σχολική ύλη. Αυτό οηθάει στο ν εμλουτίζετι κι ν διορθώνετι το ρόν ιλίο συνεχώς. Τους ευχριστώ δημοσίως όλους. Αφιερωμένο στην Αθηνά, την Αλεξάνδρ κι την Στεφνί Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

5 Πίνκς Περιεχομένων Πρόλογος-Αφιερώσεις.. σελ. Πίνκς Περιεχομένων.. σελ. Βιλιογρφί σελ. 4 Κεφάλιο ο : Όριο Συνέχει Συνάρτησης Ενότητ η.) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ... σελ. 5 Ενότητ η.) ΙΣΟΤΗΤΑ, ΠΡΑΞΕΙΣ, ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ σελ. Ενότητ η.) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ. σελ. 9 Ενότητ 4 η.) - - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ.. σελ. 6 Ενότητ 5 η. -. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ σελ. 4 Ενότητ 6 η.4 ΟΡΙΟ ΣΤΟ (Έννοι, Πλευρικά, Όριο Τυτοτικής Στθερής συνάρτησης).5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ (Διάτξη, Πράξεις).. σελ. 6 Ενότητ 7 η.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ (Κριτήριο Πρεμολής, Τριγωνομετρικά Όρι, Όριο Σύνθετης). σελ. 4 Ενότητ 8 η.6 Μη Πεερσμένο Όριο στο... σελ. 45 Ενότητ 9 η.7 Όρι Συνάρτησης στο Άειρο. σελ. 47 Ενότητ η ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ σελ. 5 Ενότητ η.8) Συνέχει συνάρτησης σελ. 54 Ενότητ η.8 Συνέχει συνάρτησης σε διάστημ & Βσικά Θεωρήμτ σελ. 59 Ενότητ η.8 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ σελ. 68 ΚΕΦ ο: Διφορικός Λογισμός Ενότητ 4 η. Η έννοι της ργώγου.. σελ. 74 Ενότητ 5 η. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. σελ. 79 Ενότητ 6 η. ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. σελ. 8 Ενότητ 7 η. -. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... σελ. 89 Ενότητ 8 η.4 Ρυθμός Μετολής σελ. 9 Ενότητ 9 η. -.4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ σελ. 97 Ενότητ η.5) Θεώρημ Rolle... σελ. Ενότητ η.5) Θεώρημ Μέσης Τιμής (Διφορικού Λογισμού) σελ. 9 Ενότητ η.6 ) Συνέειες Θεωρήμτος Μέσης Τιμής (Διφορικού Λογισμού) σελ. 6 Ενότητ η ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ. σελ. Ενότητ 4 η.6 ) Μονοτονί Συνάρτησης.. σελ. Ενότητ 5 η.7 Τοικά Ακρόττ Συνάρτησης Θεώρημ Fermat σελ. 9 Ενότητ 6 η.8 Κυρτότητ - Σημεί Κμής Συνάρτησης σελ. 5 Ενότητ 7 η.9) ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL.. σελ. 9 Ενότητ 8 η.9) ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ.. σελ. 4 Ενότητ 9 η. Μελέτη κι Χάρξη γρφικής ράστσης Συνάρτησης σελ. 47 Ενότητ η ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ. σελ. 49 ΚΕΦ ο: Ολοκληρωτικός Λογισμός Ενότητ η. Πράγουσ Συνάρτησης. σελ. 5 Ενότητ η.4 Ορισμένο Ολοκλήρωμ.5 Θεμελιώδες Θεώρημ Ολοκληρωτικού Λογισμού - Μέθοδοι Ολοκλήρωσης. σελ. 58 Ενότητ η.7 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΧΩΡΙΩΝ.. σελ. 74 Ενότητ 4 η.-.7 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ... σελ. 8 Ενότητ 5 η..7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ) σελ. 8 Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

6 Βιλιογρφί Πηγές [] Σχολικό ιλίο ΟΕΔΒ, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής κι Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Γ Λυκείου», έκδοση 6 [] Ψηφικά Εκιδευτικά Βοηθήμτ [ [] Κέντρο Εκιδευτικής Έρευνς (Κ.Ε.Ε.), Εκδόσεις γι την ξιολόγηση των μθητών [εδώ] [4] Ελληνική Μθημτική Ετιρεί (Ε.Μ.Ε.) [5] Πιστοοιημέν Φροντιστήρι Ορόσημο, Βιλιοτετράδι Ενάληψης ***** [6] Χρ. Στεργίου, Χρ. Νάκης, Ιωάν. Στεργίου, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Λυκείου, Γ, Γ, Εκδ. Σάλς» [7] Μάρλς Ανστάσιος, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Λυκείου, Θετικής& Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Τεύχη Α Β, Ελληνοεκδοτική» [8] Πδάκης Βσίλης, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Λυκείου, Θετικής& Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Γ, Γ, Εκδ. Σάλς» ***** [9] Κνιστής Θεόδωρος, Μθημτικός στο ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης, ροσωικές σημειώσεις. [] Μύρος Ιωάννης, Μθημτικός στ Γενικά Λύκει Λιμενρίων κι Λιμέν Θάσου, ροσωικές σημειώσεις [εδώ]. [] Χράς Γιάννης, Μθημτικός στο ο ΓΕΛ Ν. Σμύρνης, ροσωικές σημειώσεις [εδώ]. ***** [] Πλάτρος Π. Γιάννης, Διευθυντής Δευτεροάθμις Εκ/σης Ν. Μεσσηνίς, «Διδκτικά εμόδι στην έννοι της σύμτωτης συνάρτησης». [] Ελευθεριάδης Μάριος, «Ολοκληρώμτ». [4] Ελευθερίου Πρόδρομος, Σχολικός Σύμουλος Μθημτικών Ν. Λέσου, «Η συνάρτηση ορισμένη ό ολοκλήρωμ». [5] Κυρικόουλος Αντώνης, «Συνρτήσεις ου ορίζοντι ό Ολοκλήρωμ». [6] Τηλέγρφος Κώστς, «Σημεί τομής ντιστροφών - Αντιστροφή κι είλυση νισώσεων», στο «ΣΕΜΙΝΑΡΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 9//5 [7]» Αθνσιάδης Κωνστντίνος, «Δύο χρήσιμες μέθοδοι στον Ολοκληρωτικό Λογισμό», στο «ΣΕΜΙΝΑΡΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 9//5 ***** [8] Χτζόουλος Μάκης, [ Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχει Συνάρτησης Φυλλάδι555 Ενότητ η ο Σημντικές ρτηρήσεις. Αν ο τύος της συνάρτησης συνοδεύετι με το εδίο ορισμού της, τότε δεν νζητούμε το εδίο ορισμού της.. ΠΡΟΣΟΧΗ! Tο εδίο ορισμού το ρίσκουμε με τον ρχικό τύο κι όχι ό τον τύο ου ροκύτει μετά ό τυχόν λοοιήσεις.. Αν το εδίο ορισμού Α δεν δίνετι, τότε δεχόμστε ως τέτοιο το A { / () }. 4. Μελετούμε συνρτήσεις όου το εδίο ορισμού Α είνι διάστημ ή ένωση διστημάτων. ***** 5. Το σύνολο τιμών μις συνάρτησης είνι το σύνολο (A) {y / υάρχει με y ()}. ***** 6. Γι την συνάρτηση χρησιμοοιούμε τις εκφράσεις: «Η συνάρτηση είνι ορισμένη στο σύνολο Δ» κι εννοούμε ότι το Δ είνι υοσύνολο του εδίου ορισμού της. «Η συνάρτηση είνι ορισμένη στο» κι εννοούμε ότι το νήκει στο εδίο ορισμού της. 7. Ότν γράφουμε, υτόμτ θεωρούμε ότι η ορίζετι στο. 8. Έστω συνάρτηση : A B. Τότε ***** Αν, τότε (ροφνώς, εξ ορισμού συνάρτησης) ( ) ( ),, A. Το ντίστροφο;.) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Αν ( ) ( ), τότε,, A Το ντίστροφο; ***** 9. Μι συνάρτηση ονομάζετι άρτι στο Α, ν A ισχύουν: i) A κι ii) ( ) () Μι άρτι συνάρτηση έχει άξον συμμετρίς τον y y. [γιτί;] Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

8 *****. Μι συνάρτηση ονομάζετι εριττή στο Α, ν A ισχύουν: i) A κι ii) ( ) () Μι εριττή συνάρτηση έχει κέντρο συμμετρίς την ρχή των ξόνων Ο. ***** [γιτί;]. Μι συνάρτηση ονομάζετι εριοδική με ερίοδο Τ στο Α, ν A ισχύουν: i) T A, T A κι ii) ( Τ) () ( T). Κάθε σημείο της γρφικής ράστσης C της εληθεύει την εξίσωση y (), δηλδή M(,y ) C y ( ). *****. Οοιδήοτε κάθετη στον ευθεί τέμνει την C σε το ολύ έν σημείο. 4. Με την οήθει της γρφικής ράστσης της, μορούμε ν ρούμε το λήθος των λύσεων της εξίσωσης () κ. 5. Η γρφική ράστση της ***** () γ, είνι ρολή με άξον συμμετρίς την ευθεί κ κορυφή το σημείο Δ K, 4. Η C ρίσκετι ρος τ άνω ν ή ρος τ κάτω ν ***** 6. Αν γνωρίζουμε την C, τότε με την οήθει της ρίσκουμε κι τ κόλουθ: Η Η Η Η C είνι συμμετρική της C ως ρος τον άξον. C είνι τ μη ρνητικά τμήμτ των C κι Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης C. C με g() () c, c ροκύτει με κτκόρυφη μεττόιση της C κτά c g μονάδες άνω ν c ή κτά c μονάδες κάτω ν c. C με g() ( c), c ροκύτει με οριζόντι μεττόιση της C κτά c g μονάδες ριστερά ν c ή κτά c μονάδες δεξιά ν c. ***** 7. Με την οήθει των γρφικών ρστάσεων των, g στο ίδιο ορθοκνονικό σύστημ ξόνων μορούμε ν λύσουμε γρφικά μι εξίσωση () g(), οι τετμημένες των κοινών σημείων. Μι νίσωση () g(), ροολή στον του τμήμτος τη C ου ρίσκετι «άνω» ό την Cg.

9 Μέθοδοι. Γι ν ρούμε το εδίο ορισμού μις συνάρτηση μις συνάρτησης της οοίς δίνετι μόνο ο τύος της y. Θ ίρνουμε γι εδίο ορισμού της το ευρύτερο υοσύνολο του R στο οοίο έχει νόημ ργμτικού ριθμού η έκφρση, δηλδή Α /. Άρ, ρέει ν λάουμε υόψη μς τους ρκάτω εριορισμούς: i) Αν () είνι ολυωνυμική, τότε A ii) Αν g() (), τότε A { / h() } h() iii) Αν () k g(), k, k, τότε A { / g() } iv) Αν () lng() ή () logg() v) Αν () ημg() vi) Αν () συνg() vii) Αν () εφg(), τότε A, τότε A, τότε, τότε A { / g() } A { / συν g() } { / g() k,k } viii) Αν () σφg(), τότε A { / ημ g() } { / g() k, k } i) Αν h() () g(), τότε A { / g() & h() } ή A {D / g() } h Σχόλιο: η ερίτωση υτή είνι ιο ερίλοκη, κι συνήθως σε σκήσεις δίνοντι κτάλληλ τέτοι ώστε η άση ν είνι θετική! ) Αν η είνι συνδυσμός ό των ράνω, κάνω συνλήθευση των εριορισμών.. Γι ν ρω τον τύο () της συνάρτησης γι την οοί ισχύει μί ισότητ ου εριέχει δυνάμεις της (), μετσχημτίζω την ισότητ στην () g() ν κι ίρνω () g() () g().. Γι ν ρω τους τύους δύο συνρτήσεων κι g με κοινό. ο. Α τότε ρκεί ν έχω: η έν σύστημ με γνώστους () κι g(), η μί σχέση ου μορεί ν άρει τη μορφή, οότε ίρνω ό υτήν () () σ () g() σ () σ () κι g() σ (). 4. Γι ν ρούμε τ σημεί τομής της C με τον άξον, λύνουμε το σύστημ Άρ την εξίσωση () κι ρίσκω τις τετμημένες. (). y Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

10 5. Γι ν ρούμε τ σημεί τομής των C, C, λύνουμε το σύστημ g Άρ την εξίσωση () g() κι ρίσκω τις τετμημένες. y (). y g() 6. Γι ν ρούμε τ, γι τ οοί η C είνι άνω (ντίστοιχ κάτω) ό τον άξον, λύνουμε την νίσωση () (ντίστοιχ () ). 7. Γι ν ρούμε τ γι τ οοί η C είνι άνω ό τη () g(). C, λύνουμε την νίσωση g 8. Ο ροσδιορισμός του συνόλου τιμών (A) μις συνάρτησης μορεί ν γίνει με ένν ό τους ρκάτω τρόους: Με τον ορισμό, ροσδιορίζοντς το σύνολο Α y / υάρχει A με y i) Βρίσκω το εδίο ορισμού Α της. ii) Λύνω την εξίσωση y () () ως ρος (στο ).. iii) Στην ορεί είλυσης της (), σημειώνω τους τυχόν εριορισμούς ( ) γι το y ώστε ν έχει λύση η () ως ρος (στο ). iv) Τ ου θ ροκύψουν ρέει ν νήκουν στο εδίο ορισμού της, δηλδή A, όου θ ροκύψουν ιθνώς νέοι εριορισμοί ( ) γι το y. v) Το σύνολο τιμών (A) ρίσκετι ό την συνλήθευση των εριορισμών του y ( ) κι ( ) Με την οήθει των εννοιών του ορίου, της συνέχεις κι της μονοτονίς όως θ δούμε ρκάτω. Με την οήθει των ργώγων όως θ δούμε στο ρκάτω κεφάλιο. Με την οήθει της γρφικής ράστσης. Η ροολή όλων των σημείων της γρφικής ράστσης της άνω στον άξον yy δίνει το σύνολο τιμών της. Ασκήσεις Α. Έννοι, Πεδίο ορισμού, Σύνολο τιμών, Γρφική ράστση συνάρτησης. Ν ρεθεί το εδίο ορισμού των ρκάτω συνρτήσεων: [σχ. Α, σελ 7] i) 4 () ii) ln () 4 iii) () log iv) () log v) 4 () vi) () εφ 6 Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

11 vii) () σφ 6 viii) () i) () ) () i). Έστω οι συνρτήσεις () e () κι i) Ν ρεθούν τ σημεί τομής των C κι ii) Ν ρεθούν τ σημεί τομής των e e ii) () ημ g() 5 6. [σχ. Α,Α, σελ 7] C κι iii) Ν ρεθούν τ διστήμτ στ οοί η iv) Ν ρεθούν τ διστήμτ στ οοί η C. g C με τους άξονες. g. Έστω οι συνρτήσεις () log(5 ) κι g() log. i) Εξετάστε ν η C τέμνει τους άξονες; ii) Εξετάστε ν οι C κι C έχουν κοινά σημεί. g C ρίσκετι άνω ό την C. g C ρίσκετι κάτω ό τον άξον. g 4. Ν ρεθούν τ διστήμτ στ οοί η γρφική ράστση της () ρίσκετι άνω ό την γρφική ράστση της g(). 5. Δίνετι η συνάρτηση της οοίς η γρφική ράστση δικρίνετι στο διλνό σχήμ: i) Ν ρεθεί το εδίο ορισμού της. ii) Ν εξετάσετε ν το είνι τιμή της συνάρτησης. iii) Ν ρείτε το ( ). iv) Ν ρείτε το σύνολο τιμών της. v) Ν ειλύσετε την εξίσωση (). vi) Ν ειλύσετε τις νισώσεις () κι (). 6. Δίνετι η συνάρτηση της οοίς η γρφική ράστση δικρίνετι στο διλνό σχήμ: i) Ν ρεθεί το εδίο ορισμού της. ii) Ν εξετάσετε ν το είνι τιμή της συνάρτησης. iii) Ν ρείτε το (). iv) Ν ρείτε το σύνολο τιμών της. v) Ν ειλύσετε την εξίσωση (). vi) Ν ειλύσετε τις νισώσεις () κι (). Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

12 Κτσκευή γρφικής ράστσης συνάρτησης 7. Ν γίνει η γρφική ράστση των συνρτήσεων: [σχ. Α6, Β, Β5, σελ 7-] i) () ( ) ii) iv) () ln v) () iii) () e () vi) () ln vii) () viii) () 8. Σχεδιάστε την γρφική ράστση των συνρτήσεων:,,, 9. Στο ίδιο σύστημ ξόνων ν σχεδιάσετε τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων, g, h ότν: g ln, (i) ln, (ii) ln g ln h ln. Στο ίδιο σύστημ ξόνων ν σχεδιάσετε τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων, g, h ότν: g h. Ν γίνουν οι γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων:, φ. Ν γίνουν οι γρφικές ρστάσεις των:, g g e φ g,, h, g,. Εξηγήστε οιες ό τις ρκάτω ισότητες, το y δεν είνι συνάρτηση του κι δικιολογήστε την άντησή σς: (i) y (ii), (iv) y, (v) y (iii), y, 4. Ν ρείτε τον τύο της συνάρτησης ότν ισχύει: y i) ii) iii) ( ) 4 5 γι κάθε. (ln ) γι κάθε. 6 ( ) γι κάθε. 5. Αν γι τις συνρτήσεις, g ισχύει g είνι στθερές συνρτήσεις. [()] [g()] ( g)() γι κάθε, τότε οι, Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

13 6. Ν ελέγξετε ν οι ριθμοί 5 κι μορεί ν είνι τιμές της συνάρτησης (). 7. Στο διλνό διάγρμμ λέουμε τη γρφική ράστση μις συνάρτησης. Ν ρεθεί το λήθος των λύσεων της εξίσωσης () Ν ρεθεί το σύνολο τιμών των συνρτήσεων: i) () ii) iv) () ln v) () iii) e () vi) e () () 5 vii) () - ln( - 4) viii) () i) () ) () ln 9. Ν ρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης (),,. Β. Άρτιες, εριττές κι εριοδικές συνρτήσεις. Ν δείξετε ότι οι ρκάτω συνρτήσεις είνι εριττές: i) () 4 ii) iv) () ln 4 () iii) (). Ν δείξετε ότι οι ρκάτω συνρτήσεις είνι άρτιες: i) () συν ii) () ln Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

14 . Δίνετι η συνάρτηση :. Ν δείξετε ότι: i) Η συνάρτηση ii) Η συνάρτηση () ( ) g() είνι άρτι. () ( ) h() είνι εριττή. iii) Κάθε συνάρτηση ορισμένη στο γράφετι ως άθροισμ μις άρτις κι μις εριττής συνάρτησης. Έστω συνάρτηση : με () ( ) (), γι κάθε. Ν οδείξετε ότι η είνι άρτι. 4. Δίνετι η συνάρτηση : με τύο () ημ. Ν δείξετε ότι ο ριθμός T είνι μι ερίοδός της. 5. Έστω συνάρτηση : η οοί είνι εριττή κι γι την οοί ισχύει ότι ()( ) γι κάθε, ν οδείξετε ότι ()( ),. 6. Έστω συνάρτηση :R R ώστε y () (y) ( y) γι κάθε, y. Ν δείξετε ότι: i) η C διέρχετι ό την ρχή των ξόνων ii) η είνι εριττή. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

15 Φυλλάδι555 Ενότητ η ο.) ΙΣΟΤΗΤΑ, ΠΡΑΞΕΙΣ, ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σημντικές ρτηρήσεις. Δύο συνρτήσεις είνι ίσες ότν ισχύουν δύο () ροϋοθέσεις: D D A (δηλδή ν έχουν ίσ εδί ορισμού) g A : () g() (δηλδή ν έχουν τις ίδιες τιμές γι κάθε στοιχείο του κοινού τους εδίου ορισμού). Είνι ΛΑΘΟΣ η έκφρση: Δύο συνρτήσεις είνι ίσες, ότν έχουν το ίδιο εδίο ορισμού κι τον ίδιο τύο. Γι ράδειγμ οι συνρτήσεις () A,, είνι ίσες, λλά δεν έχουν τον ίδιο τύο. κι g() 4 με *****. Είνι δυντόν δύο συνρτήσεις ν έχουν ίδιο εδίο ορισμού, το ίδιο σύνολο τιμών κι ν μην είνι ίσες.χ. οι συνρτήσεις () ημ κι g() συν. 4. Αν, όμως είνι ίσες δύο συνρτήσεις τότε: (D ) g(d ) (δηλδή ν έχουν ίσ σύνολ τιμών) g C C g (δηλδή οι γρφικές τους ρστάσεις τυτίζοντι) ***** 5. Δυο συνρτήσεις είνι διάφορες μετξύ τους κι γράφουμε g ν κι μόνο ν μι ό τις συνθήκες του ορισμού δεν ισχύει (δηλδή ν D κοινό εδίο ορισμού γι το οοίο ν ισχύει () g() ). ***** Dg ή ν υάρχει τουλάχιστον στο 6. Δύο συνρτήσεις κι g μορεί ν μην είνι ίσες στο εδίο ορισμού τους, λλά σε έν κοινό υοσύνολό τους Δ D D ν ισχύει Δ : () g(). g Τότε, λέμε ότι οι συνρτήσεις κι g είνι ίσες στο Δ. Άρ, ν είνι ώστε ν είνι g, ζητείτι το ευρύτερο δυντό υοσύνολο του (ν υάρχει) τέτοιο g. ***** Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

16 7. ()g(), A ()= ή g(), A, δηλδή: γι κάοιες τιμές του θ είνι () κι γι κάοιες τιμές του θ είνι g(). ΔΕΝ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ότι () γι κάθε A ή g() γι κάθε A (δηλδή ()g(), A ()=, A ή g(), A ). Π.χ., (), κι, g(), τότε () g() γι κάθε, 8. Ομοίως, ν γι κάθε A ισχύει (), δεν σημίνει ότι () γι κάθε A ή () γι κάθε A. Σημίνει ότι γι κάοιες τιμές του θ είνι () κι γι κάοιες τιμές του θ είνι (). Π.χ., (), τότε, () γι κάθε. ***** 9. Οι ράξεις μετξύ συνρτήσεων έχουν νόημ μόνο ν το εκάστοτε εδίο ορισμού δεν είνι το κενό.. Οι ράξεις μετξύ συνρτήσεων δημιουργούν ΝΕΕΣ συνρτήσεις.. Εκτός ό τις ράξεις συνρτήσεις k, k με D D κι (k )() k (), λλά κι k ν, ν * με D ν D κι g, g, g,, μορούμε ν ορίσουμε κι: g ν ( )() () ν *****. Η σύνθεση συνρτήσεων δημιουργεί ΝΕΑ συνάρτηση.. Αν :Α κι g:β τότε Η σύνθεση g ορίζετι, ν Β Β / g() Α ή λλιώς ν g(b) A. Η σύνθεση g ορίζετι, ν Α A / () B ή λλιώς ν (A) B. 4. Γι ν ορίσουμε την συνάρτηση g ρώτ ρίσκουμε το εδίο ορισμού της κι μετά τον τύο της γιτί σε άλλη ερίτωση μορούμε ν οδηγηθούμε σε λάθος συμεράσμτ. 5. Ειδικές εριτώσεις: Αν D, τότε εειδή D : () g, ροκύτει ότι ορίζετι ΠΑΝΤΑ η σύνθεση g της με την g. Αν D, τότε εειδή D : g() g, ροκύτει ότι ορίζετι ΠΑΝΤΑ η σύνθεση g της g με την. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

17 6. Η ντιμετθετική ιδιότητ δεν ισχύει άντ στην σύνθεση συνρτήσεων. Δηλδή ν δυο συνρτήσεις είνι τέτοιες ώστε ν ορίζοντι g κι g τότε δεν ισχύει άντ g g. Φυσικά κι υάρχουν εριτώσεις όου η ντιμετθετική ιδιότητ μορεί ν ισχύει, όως στο ράδειγμ ρκάτω, λλά υτό δεν είνι ο κνόνς!!! Έστω τυχί συνάρτηση : κι η τυτοτική συνάρτηση g(),. Τότε ισχύει ότι g g 7. Η ροσετιριστική ιδιότητ, όμως, ισχύει άντ στην σύνθεση συνρτήσεων. Δηλδή ισχύει άντ g h g h, εφόσον οι τρεις συνρτήσεις είνι τέτοιες ώστε ν ορίζοντι οι εκάστοτε συνθέσεις. Μέθοδοι. Γι ν ροσδιορίσουμε οοιδήοτε ράξη μετξύ συνρτήσεων ρέει ρώτ ν ρίσκουμε το ντίστοιχο εδίο ορισμού κι ν εξετάζουμε ν είνι διάφορο του κενού.. Γι ν ροσδιορίσουμε την συνάρτηση g κολουθούμε την ρκάτω διδικσί: Προσδιορίζουμε τ εδί ορισμού Α κι Β των,g ντίστοιχ, ν φυσικά δεν δίνοντι. Προσδιορίζουμε το σύνολο Β Β / g() Α ή λλιώς Β / Β κι g() Α κι εξετάζουμε ν είνι διάφορο του κενού οότε ορίζετι η g. Η g έχει εδίο ορισμού Β κι τύο g () g(). Θεωρούμε τις συνρτήσεις κι g με τύους:. (), A () (), A g (), Β κι g() g (), Β Γι ν ροσδιορίσουμε την g θ συνθέσουμε κάθε «κλάδο» της με όλους τους «κλάδους» της g κι έτσι θ έχουμε: g () g (), Β Β / g () Α g (), Β Β / g () Α g (), Β Β / g () Α g (), Β Β / g () Α Αν οοιοδήοτε ό τ σύνολ Β,Β,Β,Β είνι κενό τότε ο ντίστοιχος κλάδος δεν ορίζετι κι ρλείετι. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

18 Ασκήσεις Α. Ισότητ συνρτήσεων [σχ. Α7, σελ 8]. Ν εξετάσετε σε οιες ό τις ρκάτω εριτώσεις είνι = g. Στις ερίτωση ου είνι () g(). g, ν ροσδιορίσετε το ευρύτερο δυντό υοσύνολο του στο οοίο ισχύει i) () κι g() - ii) () κι g() - iii) () κι g() iv) () - κι g() -. Ν ρεθεί ο λ ώστε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις g λ. λ 4 λ 4 κι Β. Πράξεις μετξύ συνρτήσεων [σχ. Α8, σελ 8]. Σε κάθε μί ό τις ρκάτω εριτώσεις ν ορίσετε τις συνρτήσεις: g, g, : g i) ii) iii) () - κι g() 4, () κι g() ln () κι g()= 5, 4 7, 5 6, 4, 5 Γ. Σύνθεση συνρτήσεων 4. Γι κάθε έν ό τ ζεύγη συνρτήσεων κι g ου ρουσιάζοντι ρκάτω, ν ροσδιορίσετε τις νέες συνρτήσεις ου ζητούντι: [σχ. Α, Α, Α, σελ 8-9] i) () - κι g() ln, τις g κι g ii) () κι g()=, τις g, g κι iii) iv) e () κι g()=ln(-), τις g, g,, κι g g e +, 4<<6 +, <<4 ()= κι g()=, την σύνθεση της g με την -, 6 <8 -, 4 <7 Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

19 5. Ν ρείτε τη συνάρτηση στις ρκάτω εριτώσεις: [σχ. Β6, σελ ] i) ii) iii) ( g)() 4 4, γι κάθε, ν g(). ( g)(), γι κάθε, ν g() ln. (g )() 9 ημ, γι κάθε, ν g(). iv) (g )(), γι κάθε {}, ν g(). 6. Oι συνρτήσεις () κι g() ορίζοντι στο. Ν ρεθεί η ράμετρος, ώστε ν ισχύει g, γι κάθε. 7. Δίνετι η συνάρτηση : [,]. Ν ρεθεί το εδίο ορισμού των συνρτήσεων: i) g() ( ), ii) h() ( ), iii) φ() (ln ) 8. Δίνετι η συνάρτηση με τύο της συνάρτησης h με τύο h() (ln ) ( ). (). Ν ρεθεί το εδίο ορισμού κι ο τύος 9. Έστω συνάρτηση :. Αν γι οοιδήοτε στθερή συνάρτηση g με D είνι g g g, ν οδείξετε ότι η είνι η τυτοτική συνάρτηση.. Έστω οι συνρτήσεις,g :. Ν δείξετε ότι: i) ν η είνι άρτι κι η g εριττή, τότε οι g, g είνι άρτιες ii) ν, g είνι εριττές, τότε οι g, g είνι εριττές iii) ν η είνι άρτι, τότε η g είνι άρτι.. Έστω συνάρτηση :, τέτοι ώστε ν ισχύει (),. Ν οδείξετε ότι (). Δ. Συνρτησική εξίσωση [Είνι εξίσωση με άγνωστο τη συνάρτηση (),οότε φτιάχνω σύστημ με άγνωστο την ().]. Αν γι τη συνάρτησης, ισχύει () ( ) γι κάθε, ν ρείτε: i) τον τύο της κι ii) το σύνολο τιμών της. * *. Αν γι τη συνάρτηση : ισχύει γι κάθε, ν ρείτε τον τύο της. Ε. Συνρτησική σχέση [Σχέση τυτότητ μετξύ τιμών () κι (y). Δίνουμε κτάλληλες τιμές στο,.χ., y, οότε ρίσκουμε το ().], κλ μέχρι ν γίνει λοιφή του y Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

20 4. Έστω συνάρτηση :, η οοί γι κάθε, y ικνοοιεί τη σχέση: ( y) () (y). Ν οδειχθεί ότι: i) () κι ii) η είνι εριττή. 5. Έστω συνάρτηση :, γι την οοί ισχύουν οι σχέσεις: () γι κάθε () κι ( y) ( y) () (y), γι κάθε, y (). Ν οδείξετε ότι: i) () κι ii) η είνι άρτι. 6. Aν γι την : ισχύουν () κι ( y) () (y), γι κάθε, y, ν δειχθεί (). 7. Αν γι την συνάρτηση :, είνι () κι ισχύει η σχέση ( y) ( y) y, γι κάθε, y, ν ρεθεί ο τύος της. 8. Έστω συνάρτηση :, η οοί γι κάθε ικνοοιεί τη σχέση () Ν οδείξετε ότι: i) ii) () 4 γι κάθε, Αν γι την συνάρτηση :, είνι () 4, γι κάθε, ν δειχθεί ότι ().. Αν γι τη συνάρτηση οδείξετε ότι: i) () = ii) ν iii) ν, όου ν * : ισχύει y y γι κάθε *, y, ν [εκτός σχολικής ύλης] Προλήμτ. Το κόστος μονάδων ροϊόντος είνι ροϊόντος είνι Π() 5, τότε: i) Ν εκφράσετε το κέρδος Ρ ως συνάρτηση του. ii) Ν ρείτε ότε η ειχείρηση θ έχει κέρδος κι ότε ζημιά. [σχ. Α4-5, Β-4, 9, σελ. 7-] K() 4. Αν η τιμή ώλησης μονάδων. Δίνετι ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â 9 ). Αν (BΓ) 4 κι (AB), ν εκφράσετε την ροολή της κάθετης λευράς ΑΓ άνω στην υοτείνουσ ως συνάρτηση του. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

21 Φυλλάδι555 Ενότητ η ο.) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ Σημντικές ρτηρήσεις. Μι συνάρτηση μορεί ν ρουσιάζει το ίδιο είδος μονοτονίς σε δύο υοσύνολ A, A (ξέν μετξύ τους) του εδίου ορισμού της, χωρίς όμως ν είνι μονότονη στο A A., Π.χ. ) () ή ) (),. Αν μι συνάρτηση ρουσιάζει το ίδιο είδος μονοτονίς σε δύο υοσύνολ A (, ] κι A [,) του εδίου ορισμού της, τότε είνι μονότονη στο A A (,). [γιτί;]. Αν μι συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη στο εδίο ορισμού της τότε έχει το ίδιο είδος μονοτονίς σε κάθε υοσύνολό της. 4. Είνι κάθε συνάρτηση οωσδήοτε μονότονη σε κάοιο υοδιάστημ του εδίου ορισμού της; 5. Γι ν δείξω ότι μι συνάρτηση δεν είνι γνησίως ύξουσ (.χ.) σε έν διάστημ Δ, ρκεί έν ντιράδειγμ!!! Δηλδή ρκεί ν δείξω ότι υάρχουν, τέτοι ώστε ( ) ( ). ***** Δ με 6. Αν η συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη σε έν διάστημ Δ, τότε: «η γρφική ράστση C της τέμνει τον άξον το ολύ σε έν () σημείο» ή λλιώς «η εξίσωση () έχει το ολύ μί ρίζ στο Δ». [γιτί;] 7. Αν η συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη σε έν διάστημ Δ κι η εξίσωση () έχει μί ρίζ στο Δ, τότε υτή η ρίζ είνι μονδική. [γιτί;] 8. Γι κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση σε έν διάστημ Δ ισχύει ότι η C τέμνει κάθε οριζόντι ευθεί y k, k το ολύ σε έν () σημείο. [γιτί;] 9. Αν οι συνρτήσεις κι g έχουν διφορετικό είδος μονοτονίς σε έν διάστημ Δ, τότε η εξίσωση () g() έχει το ολύ μί ρίζ στο Δ. [γιτί;]. Έστω :Δ κι, ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) Δ με. Τότε ισχύουν οι ρκάτω ισοδυνμίες: κι ( ) ( ) ομόσημοι γνησίως ύξουσ στο Δ. κι ( ) ( ) ετερόσημοι γνησίως φθίνουσ στο Δ.. Αν μι συνάρτηση γνησίως ύξουσ στο διάστημ (, ] κι γνησίως φθίνουσ στο [,) του εδίου ορισμού της, τότε η ρουσιάζει στο (,) μέγιστο στο το ( ). Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

22 . Αν μι συνάρτηση γνησίως φθίνουσ στο διάστημ (, ] κι γνησίως ύξουσ στο [,) του εδίου ορισμού της, τότε η ρουσιάζει στο (,) ελάχιστο στο ( ).. Αν μι συνάρτηση γνησίως μονότονη σε έν διάστημ (,), τότε η δεν το [γιτί;] [γιτί;] ρουσιάζει στο (,) κρόττ. [γιτί;] 4. Αν μι συνάρτηση γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ [,], τότε η ρουσιάζει ελάχιστο στο κι μέγιστο στο. 5. Αν μι συνάρτηση γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ [,], τότε η ρουσιάζει μέγιστο στο κι ελάχιστο στο. ***** 6. Έστω συνάρτηση : A με σύνολο τιμών (A) Δ. Υάρχουν οι εξής εριτώσεις: ) ν είνι Δ [λ,μ], τότε (εξ ορισμού του συνόλου τιμών) min ) ν είνι Δ [λ,μ), τότε (εξ ορισμού του συνόλου τιμών) min λ κι ma μ, λ κι ma δεν υάρχει, γ) ν είνι Δ (λ,μ], τότε (εξ ορισμού του συνόλου τιμών) min δεν υάρχει κι ma δ) ν είνι Δ (λ,μ), τότε (εξ ορισμού του συνόλου τιμών) min κι ma δεν υάρχουν. 7. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Αν γι μι συνάρτηση ισχύει: Γι ν είνι ma ***** μ, (), A δεν είνι σωστό ν γράψουμε ma [γιτί;] [γιτί;]., ρέει υοχρεωτικά κι η εξίσωση () ν έχει λύση στο A!!! 8. ) Αν είνι ma μ, τότε (), A. ) Αν είνι min ε, τότε (), A. Σημντικές ροτάσεις (χρειάζοντι όδειξη). Βσική Πρότση: (γι χρήση σε είλυση νισώσεων) Αν μι συνάρτηση : A είνι γνησίως ύξουσ στο Α, τότε ισχύει η συνεγωγή: «ν ( ) ( ) τότε». [Άρ, ν A τότε ισχύει η ισοδυνμί: «( ) ( )»].. Βσική Πρότση: (γι χρήση σε είλυση νισώσεων) Αν μι συνάρτηση : A είνι γνησίως φθίνουσ στο Α, τότε ισχύει η συνεγωγή: «ν ( ) ( ) τότε». [Άρ, ν A τότε ισχύει η ισοδυνμί: «( ) ( )»].. Βσική Πρότση: (γι χρήση σε είλυση εξισώσεων) [Ισχύει λόγω - ρκάτω] Αν μι συνάρτηση : A είνι γνησίως ύξουσ (ή γνησίως φθίνουσ) στο Α, τότε ισχύει η συνεγωγή: «ν ( ) ( ) τότε» [Άρ, ισχύει η ισοδυνμί: ( ) ( ) ]. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

23 4. Η σύνθεση συνρτήσεων με ίδιο είδος μονοτονίς στο, οδηγεί άντ σε συνάρτηση γνησίως ύξουσ στο. 5. Η σύνθεση συνρτήσεων με διφορετικό είδος μονοτονίς στο, οδηγεί άντ σε συνάρτηση γνησίως φθίνουσ στο. 6. Αν είνι μι μη στθερή κι άρτι συνάρτηση, τότε σε συμμετρικά ως ρος την ρχή ***** ***** των ξόνων διστήμτ (υοσύνολ του εδίου ορισμού) η έχει ντίθετο είδος μονοτονίς. (.χ. γνησίως ύξουσ στο (,) κι γνησίως φθίνουσ στο (, ) ) Συμέρσμ: μι άρτι συνάρτηση δεν μορεί ν είνι γνησίως μονότονη. 7. Αν είνι μι μη στθερή κι εριττή συνάρτηση, τότε σε συμμετρικά ως ρος την ρχή των ξόνων διστήμτ (υοσύνολ του εδίου ορισμού) η έχει το ίδιο είδος μονοτονίς. (.χ. γνησίως ύξουσ στο [,] κι στο [, ] ) ***** 8. Αν μι συνάρτηση είνι άρτι κι ρουσιάζει στο μέγιστο, τότε στο ρουσιάζει άλι μέγιστο, το ( ). (ντιστοίχως γι το ελάχιστο). 9. Αν μι συνάρτηση είνι εριττή κι ρουσιάζει στο μέγιστο, τότε στο ρουσιάζει ελάχιστο, το ( ). (ντιστοίχως γι το ελάχιστο). Συμέρσμ: Μι άρτι συνάρτηση διτηρεί τ κρόττ, ενώ μι εριττή την μονοτονί! Μέθοδοι. Γι ν μελετήσουμε μι συνάρτηση ως ρος την μονοτονί εργζόμστε με ένν ό τους ρκάτω τρόους: Αευθείς με τον ορισμό με τη οήθει της «κτσκευστικής μεθόδου» κι με την οήθει των ιδιοτήτων της διάτξης. Χρήσιμες ιδιότητες διάτξης: ν ν *, ν ν ν * ( ) ( ), ν κ κ, κ Αν, τότε Αν, τότε Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

24 Με τη οήθει του «λόγου μετολής», όου εξετάζουμε το ρόσημό του λ,, Α με. Προσθούμε ν γράψουμε την σν άθροισμ ή σύνθεση συνρτήσεων γνωστής μονοτονίς. Με ργώγους [ο οιο εύχρηστος, λλά ργότερ ]. Στις συνρτήσεις «ολλλού τύου» εξετάζουμε την μονοτονί σε κάθε κλάδο. Αν ροκύψει το ίδιο είδος μονοτονίς σε όλους τους κλάδους εξετάζουμε την μονοτονί σε όλο το εδίο ορισμού. Αν ροκύψει διφορετική μονοτονί σε δύο κλάδους δεν είνι μονότονη στο εδίο ορισμού της.. Γι ν εξετάσουμε ν μι συνάρτηση έχει κρόττ εργζόμστε με ένν ό τους ρκάτω τρόους: Αευθείς με τον ορισμό με τη οήθει της «κτσκευστικής μεθόδου» κι με την οήθει χρήσιμων νισοϊσοτήτων. ν,, με το «ίσον» ν ισχύει γι,,, με το «ίσον» ν ισχύει γι,,, με το «ίσον» ν ισχύει γι,,, με το «ίσον» ν ισχύει γι,,, με το «ίσον» ν ισχύει γι. Με την οήθει του συνόλου τιμών της συνάρτησης. Με την μονοτονί κι την συνέχει (λίγο ργότερ ) Με την ράγωγο της συνάρτησης (ρκετά ργότερ ). Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

25 Ασκήσεις Α. Μονοτονί συνάρτησης. Ν εξετάσετε ως ρος τη μονοτονί τις ρκάτω συνρτήσεις: [σχ. Α, Α4 σελ 8-9] [) Συνθετική μέθοδος άνω στον ορισμό ή/κι ) μέθοδος του λόγου μετολής ] i) () ln( ) e ii) () iii) () ln iv) () v) (),, vi), (), vii) () 5 9 viii) (). ) Έστω η συνάρτηση ου είνι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ Δ. Ν δείξετε ότι η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ. ) Έστω οι συνρτήσεις,g ου είνι γνησίως φθίνουσες σε έν διάστημ Δ. Ν δείξετε ότι η συνάρτηση +g είνι γνησίως φθίνουσ.. ) Ν οδείξετε τις σημντικές ροτάσεις 4 & 5. ) N ρεθεί η μονοτονί της συνάρτησης συν () e συν,,. 4. Αν : A (, ) είνι γνησίως ύξουσ στο Α κι η g : A (, ) είνι γνησίως φθίνουσ στο Α, ν οδειχθεί ότι η g είνι γνησίως ύξουσ στο Α. 5. A) Η συνάρτηση, ορισμένη στο, είνι άρτι κι γνησίως μονότονη στο [,],, με (), (). i) Αοδείξτε ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο [,] κι γνησίως φθίνουσ στο [,]. ii) Αοδείξτε ότι η είνι γνησίως φθίνουσ στο [,] κι γνησίως ύξουσ στο [,]. στο [,]. B) Μελετήστε την μονοτονί της συνάρτησης h() Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

26 6. Έστω συνάρτηση : γνησίως ύξουσ με (). i) Ν λύσετε την εξίσωση. ii) N λύσετε την νίσωση ( ). iii) Ν ρείτε το εδίο ορισμού της συνάρτησης g (). 7. ) Ν οδειχθεί ότι κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το ολύ μί ρίζ. ) Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 7 κι ii) ln. 8. ) Ν οδειχθεί ότι η συνάρτηση () γνησίως φθίνουσ στο. ) Ν λυθούν η νίσωση ) Ν οδειχθεί ότι η συνάρτηση () ln γνησίως ύξουσ στο (, ). ) Ν λυθεί η νίσωση ln( ) ln( ). ) Ν μελετήσετε ως ρος τη μονοτονί τη συνάρτηση ) Ν οδείξετε συνe e συνe. () συν στο [,].. ) Αν η είνι γνησίως ύξουσ στο, ν οδείξετε ότι η συνάρτηση g() () ( ) είνι είσης γνησίως ύξουσ στο. ) Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο. h() e e. Δίνετι η συνάρτηση γι την οοί ισχύει: Ν δείξετε ότι η δεν είνι γνησίως φθίνουσ. 5 () e 6 () γι κάθε.. Έστω : γνησίως μονότονη συνάρτηση. Αν η C τέμνει τους άξονες κι y y στ σημεί με τετμημένη κι τετγμένη ντίστοιχ ) ν ρείτε το είδος της μονοτονί της. ) Αν g γνησίως φθίνουσ στο, ν εξετάσετε ως την μονοτονί της g g κι της g. 4. Έστω η συνάρτηση 7 () 5 με D [, ). ) Ν εξετάσετε την ως ρος την μονοτονί. ) Ν δείξετε ότι υάρχει μονδικό σημείο στο οοίο η C τέμνει τον άξον. γ) Ν λύσετε την νίσωση 4 στο [, ). Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

27 5. Αν η συνάρτηση : είνι γνησίως ύξουσ κι η C διέρχετι ό το σημείο, ν λυθεί η νίσωση A, Έστω οι συνρτήσεις,g :. Αν η είνι γνησίως φθίνουσ κι ισχύει g( ) () g() γι κάθε, ν ρεθεί ο τύος της g. Β. Ακρόττ συνάρτησης 7. Ν ρείτε τ κρόττ των συνρτήσεων: i) () ii) (), A [, 6] iii) φ() 7 8. Αν η γρφική ράστση της διέρχετι ό τ σημεί A(,),B(,) κι ισχύει () 5, οδείξτε ότι η συνάρτηση έχει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή. 9. Αν () 4 6, ) ν μελετήσετε ως ρος τη μονοτονί την κι ) ν ροσδιορίσετε τ κρόττά της.. Έστω οι συνρτήσεις,g : γι τις οοίες ισχύει Ν ρείτε την ελάχιστη κτκόρυφη όστση των. Έστω οι συνρτήσεις,g : γι τις οοίες ισχύει Αν η γρφική ράστση της g τέμνει την ευθεί y δείξετε ότι η ρουσιάζει ολικό ελάχιστο. () g() γι κάθε. C κι C. g () (g() ) γι κάθε. σε τουλάχιστον έν σημείο, ν Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

28 Φυλλάδι555 Ενότητ 4 η ο. - - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ Σημντικές ρτηρήσεις Συνρτήσεις -. Πρόκειτι γι συνρτήσεις οι οοίες έχουν έν μόνο ρότυο A γι κάθε τιμή τους, ή σε διφορετικά (ρότυ) του εδίου ορισμού ντιστοιχούν διφορετικές εικόνες.. [Συνέει του ορισμού] Μι συνάρτηση είνι - ν κι μόνο ν : η εξίσωση y () με y κι A, έχει το ολύ μι λύση γι κάθε y (A) η εξίσωση () y έχει μονδική λύση ως ρος. κάθε οριζόντι ευθεί ( y σημείο. k) τέμνει την γρ. ράστση C της το ολύ σε έν. Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση στο εδίο ορισμού της, είνι κι συνάρτηση - σε υτό. 4. Προσοχή!!! Το ντίστροφο ΔΕΝ ισχύει. Κάθε συνάρτηση - στο εδίο ορισμού της, δεν είνι ριτήτως γνησίως μονότονη συνάρτηση σε υτό. (ρείτε ντιράδειγμ) Ισχύει, όμως ότι: 5. Αν η δεν είνι -, τότε δεν είνι κι μονότονη. 6. Μι συνάρτηση μορεί ν είνι - σε υοσύνολ του D, λλά όχι στο (ρείτε ντιράδειγμ) 7. Μι - συνάρτηση έχει το ολύ μι ρίζ (δηλ. η εξίσωση () έχει το ολύ μι λύση). Αντίστροφες Συνρτήσεις 8. [Συνέει του ορισμού] Η ντίστροφη συνάρτηση έχει ως εδίο ορισμού, το σύνολο τιμών (A) της, της : D. έχει ως σύνολο τιμών, το εδίο ορισμού της A, ισχύει () y (y) Αυτό σημίνει, ότι ν η ντιστοιχίζει το στο y, τότε η ντιστρόφως. Δηλδή, η () γι κάθε A κι (y) y γι κάθε y (Α). είνι η ντίστροφη διδικσί της, οότε ντιστοιχίζει το y στο κι Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

29 9. Προσοχή!!! στον συμολισμό της ντίστροφης κι το σύμολο () () ().. Αν η είνι ντιστρέψιμη, τότε κι η είνι ντιστρέψιμη με.. Αν η δεν είνι ντιστρέψιμη, τότε δεν είνι - (λόγω ντιθετοντιστροφής).. Αν η δεν είνι ντιστρέψιμη, τότε δεν είνι γνησίως μονότονη (λόγω ντιθετοντιστροφής).. Αν η δεν είνι γνησίως μονότονη, τότε δεν συνεάγετι ότι η δεν είνι ντιστρέψιμη (ρείτε ντιράδειγμ). 4. Κάθε εριοδική συνάρτηση δεν είνι Πολλές φορές ξέρουμε ότι μι συνάρτηση έχει ντίστροφη δεν μορούμε ν ρούμε τον τύο της. Αυτό συμίνει γιτί δεν μορούμε ν λύσουμε λγερικά ως ρος την εξίσωση y () (Γι ράδειγμ η συνάρτηση με τύο 5 () 6 5,, ενώ είνι - κι ντιστρέφετι, δεν μορούμε ν λύσουμε λγερικά την εξίσωση 5 y 6 5 ως ρος, γι την εύρεση του τύου της ντιστρόφου συνάρτησης). Είνι όμως σημντικό ν γνωρίζουμε ότι υάρχει. Βσικές Προτάσεις (χρειάζοντι όδειξη). Εάν η συνάρτηση είνι άρτι τότε δεν είνι -.. Εάν η συνάρτηση είνι ντιστρέψιμη κι εριττή, τότε κι η συνάρτηση είνι εριττή.. Εάν η συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη στο A, τότε κι η συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη στο (A) κι μάλιστ με το ίδιο είδος μονοτονίς. y () 4. Τ κοινά σημεί των C κι C ρίσκοντι ό την είλυση του συστήμτος y () ή λλιώς της εξίσωσης () () [η μόνη ου δεν χρειάζετι όδειξη]. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

30 5. Αν :Α γνησίως ύξουσ τότε: με Α (Α), δηλ. τ κοινά () () () σημεί των C κι C ρίσκοντι άνω στην διχοτόμο της γωνίς του ρώτου κι τρίτου τετρτημορίου, την y. (Αυτό ισχύει διότι, υό τις συγκεκριμένες ροϋοθέσεις, οι εξισώσεις () κι () () είνι ισοδύνμες [όδειξη]). [Πρτήρηση: το ράνω συμέρσμ μορεί ν διτυωθεί κι ως εξής: «τότε τ συστήμτ,, y () y () y () y () y y είνι ισοδύνμ»]. 6. Αν :Α γνησίως φθίνουσ τότε οι C κι C μορεί ν έχουν κοινά σημεί κι εκτός της ευθείς y. (ρείτε ντιράδειγμ) 7. Αν :Α γνησίως φθίνουσ κι εριττή, τότε: με Α (Α), () () () δηλ. τ κοινά σημεί των C κι C ρίσκοντι άνω στην διχοτόμο της γωνίς του δεύτερου κι τέτρτου τετρτημορίου, την y. Μέθοδοι. Γι ν δείξουμε ότι μί συνάρτηση είνι συνάρτηση - τότε : θεωρούμε δύο τυχί, A τέτοι ώστε ( ) ( ) κι κτλήγουμε στο ότι (χρησιμοοιείτι κυρίως ότν μς δίνετι ο τύος της συνάρτησης) θεωρούμε δύο τυχί, A τέτοι ώστε κι κτλήγουμε στο ότι ( ) ( ) (χρησιμοοιείτι κυρίως σε θεωρητικές σκήσεις). Δείχνουμε ότι η συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη στο εδίο ορισμού της. Θεωρούμε έν τυχίο y κι δείχνουμε ότι η εξίσωση y Γρφικά () έχει το ολύ μι ρίζ στο Α. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

31 . Γι ν δείξουμε ότι μί συνάρτηση «ολλλού τύου» είνι συνάρτηση - τότε δείχνουμε ότι κάθε κλάδος είνι - (όως ράνω) κι στην συνέχει: δείχνουμε ότι τ σύνολ τιμών, νά δύο, είνι ξέν μετξύ τους, είτε δείχνουμε ότι είνι - στην ένωση, νά δύο, κάθε συνόλου των εν λόγω κλάδων, ειλέγοντς τυχί, ου ν νήκουν στ σύνολ υτά, έν στο κθέν, είτε γρφικά κτσκευάζοντς την γρφική ράστση.. Γι ν δείξω ότι μι συνάρτηση ΔΕΝ είνι - ρκεί ν δείξω ότι: υάρχουν, A με τέτοι ώστε ( ) ( ) ή ότι υάρχει ευθεί ράλληλη στον ου ν τέμνει την σημεί. C σε ερισσότερ του ενός 4. Κάνουμε χρήση της ιδιότητς της - συνάρτησης σε είλυση εξισώσεων κι νισώσεων. 5. Γι την εύρεση της ντίστροφης μίς συνάρτησης, εξσφλίζουμε το - της συνάρτησης κι στη συνέχει ρίσκουμε το σύνολο τιμών της (A). 6. Γι την εύρεση του τύου της ενλλάσσουμε το y με το. θέτουμε y () κι λύνουμε ως ρος. Κτόιν 7. Εάν η συνάρτηση είνι εριττή τότε μορεί ν είνι - (.. () λλά μορεί κι όχι (.. () ημ ). Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

32 Ασκήσεις Α. Συνάρτηση -. Ν εξετάσετε ν είνι - οι ρκάτω συνρτήσεις: i) iv) vii) () () e v) () viii), ii) () iii) (), vi) () e () ln i) (), <, () ) e () e [σχ. Α σελ 8] e e. Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση με (),, δεν είνι -.. Έστω : γι την οοί ισχύει: ( )() (), γι κάθε. ) Ν δειχθεί ότι η είνι -. ) Ν υολογισθεί το (). γ) Ν οδειχθεί ότι δεν είνι άρτι στο. δ) Ν λυθεί η εξίσωση ( ) ( 8). 4. Αν η συνάρτηση ορίζετι στο κι η είνι -, τότε δείξετε ότι κι η είνι Έστω συνάρτηση :, τέτοι ώστε ν ισχύει (),. ) Ν οδείξετε ότι (). ) Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση δεν είνι Ν λυθεί η εξίσωση ln με. (Γ) 7. Δίνετι η συνάρτηση 5 (). ) Ν δειχθεί ότι η είνι -. ) Ν λυθεί η εξίσωση γ) Ν λυθεί η νίσωση 5. 5 e e e. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

33 8. (Γενικές Εξετάσεις 998) Η συνάρτηση : ικνοοιεί τη σχέση ) Ν δειχθεί ότι η είνι -. ) Ν λυθεί η εξίσωση (()) (),. ( ) (4 ). (Δ) 9. Δίνετι η συνάρτηση : ώστε ν ισχύει ( y) () (y) γι κάθε, y. ) Ν δειχθεί ότι η (). ) Ν δειχθεί ότι η συνάρτηση είνι εριττή. γ) Αν η εξίσωση () έχει μονδική ρίζ την, ν δείξετε ότι η είνι -. Β. Αντίστροφη συνάρτηση [σχ. Α, σελ 8]. Ν ρεθούν οι ντίστροφες (ν υάρχουν) των συνρτήσεων της άσκησης (εκτός ό τις εριτώσεις iv, v).. Ν ρείτε τις ντίστροφες των ρκάτω συνρτήσεων κι ν χράξετε τις γρφικές ρστάσεις τους στο ίδιο σύστημ ξόνων: i) () ii) (),. Αοδείξτε ότι δεν είνι ντιστρέψιμες οι συνρτήσεις: i) 4 () 5 ii) () iii) () e συν. Αν () ( ), ν ρεθούν τ, ώστε. 4. Δίνετι συνάρτηση : ου ικνοοιεί τη σχέση ( )() (), γι κάθε *. ) Ν οδείξετε ότι η είνι ντιστρέψιμη ) Ν ρείτε την ντίστροφή της. 5. Aν () ν ρείτε: ) το ( ) κι ) το ώστε (). 6. Αν οι : A B κι g : B είνι ντιστρέψιμες, ν οδειχθεί ότι κι η g είνι ντιστρέψιμη. 7. Έστω οι συνρτήσεις, g γι τις οοίες ισχύει g 5 5 g g γι κάθε. Ν οδείξετε ότι ν υάρχει η - τότε υάρχει η g Αν () κι (()) () γι κάθε, ν οδειχθεί ότι: ) υάρχει η κι ) () (Γ) Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

34 9. Δίνετι η συνάρτηση :, γι την οοί ισχύει ( )() () () γι κάθε. ) Ν δείξετε ότι (). ) Αν () γι κάθε τότε ν δείξετε ότι η ντιστρέφετι. (Γ). Ν ρεθεί η ντίστροφη της συνάρτησης : (, ) γι την οοί ισχύει () 5 γι κάθε.. Δίνετι η συνάρτηση () με εδίο ορισμού A [, ). ) Ν την εξετάσετε ως ρος τη μονοτονί της. ) Ν ρείτε το ελάχιστό της. γ) Ν ρείτε την ντίστροφή της. δ) Ν ρείτε το σύνολο τιμών της.. Δίνετι η συνάρτηση () 6. ) Ν ρείτε την ντίστροφή της. ) Ν λυθεί η εξίσωση ( )(). (Γ). Αν γι κάθε ισχύει ( ) 4 () 9, ν δείξετε ότι η δεν ντιστρέφετι. (Γ) 4. Έστω η συνάρτηση ου είνι γνησίως μονότονη κι διέρχετι ό τ σημεί A(,5) κι B(,). ) Ν ρείτε το είδος της μονοτονίς της. ) Ν ρείτε τους ριθμούς (5) κι () γ) Ν λυθεί η νισότητ ( ).. 5. Δίνετι η συνάρτηση : έτσι ώστε ( y) () (y), () γι κάθε. ) Ν δείξετε ότι (), ( ) γι κάθε. () ) Ν δείξετε ότι (), γι κάθε. γ) Αν η είνι -, ν δείξετε ότι ( y) () (y),, y. (Δ) 6. Ν ρείτε τ κοινά σημεί της γρφικής ράστσης της συνάρτησης () με την ντίστροφή της. (Γ) 7. ) Ν ρείτε την ντίστροφη της συνάρτησης (). ) Ν κάνετε τη γρφική ράστση των συνρτήσεων,. γ) Ν λυθεί η εξίσωση () (). Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

35 8. Δίνετι η συνάρτηση γι την οοί ισχύει ) Ν δείξετε ότι η είνι -. ) Ν ρείτε την. γ) Ν εξετάσετε ν το σημείο Ο(, ) C δ) Ν εξετάσετε ν το σημείο Σ(,) C ε) Ν δείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ. () (), με ( ). στ) Ν λύσετε την εξίσωση () () Γ. Γενικές Ενλητικές 9. Έστω η συνάρτηση : γι την οοί ισχύει ότι. Ν ρείτε το (). ν οροι (), γι κάθε. Αν γι μι συνάρτηση : ισχύει ( y) () (y) γι κάθε, y, ν δειχθεί ότι: i) () ii) η είνι εριττή iii) Αν γνωρίζετι ειλέον ότι (ν) ν(), ν, γι κάθε ν δείξετε ότι: ) () (),, γι κάθε ) * (ρ) ρ(),ρ, γι κάθε. Αν η συνάρτηση : έχει την ιδιότητ () (), γι κάθε ν οδείξετε ότι: (i) η είνι ντιστρέψιμη (ii) είνι () - (iii) () () γι κάθε ( ).. Μι συνάρτηση : έχει την ιδιότητ () γι κάθε. Ν οδειχθεί ότι: (i). (ii) * H έχει σύνολο τιμών το. (iii) H ντιστρέφετι. (iv) () (), Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

36 Φυλλάδι555 Ενότητ 5 η ο. -. Ερωτήσεις άνω στη θεωρί Ερωτήσεις τύου Σωστό - Λάθος. Ο κύκλος είνι γρφική ράστση της συνάρτησης () ρ, όου ρ.. Γι τη συνάρτηση () ln,, ισχύει ( y) () (y) γι κάθε, y.. Γι τη συνάρτηση () γι κάθε, y e,, ισχύει ( y) () (y) 4. Η γρφική ράστση της συνάρτησης ρίσκετι κάτω ό τον άξον. 5. Δύο συνρτήσεις, g είνι ίσες, ν υάρχουν κάοι, ώστε ν ισχύει () g(). 6. Γι ν ορίζοντι το άθροισμ κι το γινόμενο δύο συνρτήσεων κι g θ ρέει τ εδί ορισμού τους ν έχουν κοινά στοιχεί. 7. Αν η συνάρτηση είνι, οι συνρτήσεις g, h έχουν εδίο ορισμού το κι ισχύει h() g() 8. Η συνάρτηση γι κάθε, τότε οι συνρτήσεις g κι h είνι ίσες. (), είνι στθερή. 9. Αν το σύνολο τιμών της είνι το διάστημ,, τότε η δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο.. Δίνετι η συνάρτηση με εξίσωση y (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C με τον άξον μορούν ν ρεθούν, ν θέσουμε όου y κι λύσουμε την εξίσωση.. Αν μι συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ σ έν διάστημ Δ, τότε η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ στο Δ.. Η συνάρτηση ορισμού της. () είνι γνησίως φθίνουσ σε κάθε έν ό τ διστήμτ του εδίου. Αν η εριττή συνάρτηση ρουσιάζει μέγιστο στο σημείο, τότε θ ρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

37 4. Αν μι άρτι συνάρτηση ρουσιάζει κρόττο στο σημείο, τότε ρουσιάζει το ίδιο είδος κροτάτου στο σημείο. 5. Αν μι συνάρτηση είνι άρτι, τότε είνι. 6. Αν μι συνάρτηση είνι, τότε είνι άντοτε εριττή. 7. Η συνάρτηση ν (), ν * είνι: i) άρτι, ν ο ν είνι άρτιος ii) εριττή, ν ο ν είνι εριττός. 8. Αν η συνάρτηση είνι, τότε ισχύουν: i) () ii) γι κάθε ου νήκει στο σύνολο τιμών της. () γι κάθε D. 9. Έστω η συνάρτηση ρστάσεων των, [, ). Τότε κάθε κοινό σημείο των γρφικών C κι C νήκει στην ευθεί y.. Αν μι συνάρτηση είνι άρτι, τότε υάρχει η ντίστροφή της.. Αν οι συνρτήσεις κι g έχουν εδίο ορισμού το τότε ισχύει ότι: i) g g ii) g g.. Δίνετι μι συνάρτηση με εδίο ορισμού το κι η τυτοτική συνάρτηση Ι(), γι κάθε. Τότε ισχύει I () I (), γι κάθε.. Αν οι συνρτήσεις κι g είνι γνησίως μονότονες στο, τότε η συνάρτηση g είνι: i) γνησίως ύξουσ, ν οι, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίς. ii) γνησίως φθίνουσ, ν οι, g έχουν διφορετικό είδος μονοτονίς. 4. Αν η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο Δ με () γι κάθε Δ, τότε η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ Δ. 5. Αν οι συνρτήσεις κι g είνι στο, τότε κι η συνάρτηση g είνι στο. 6. Αν (, y) C, τότε (, y) C. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

38 Φυλλάδι555 Ενότητ 6 η ο.4 ΟΡΙΟ ΣΤΟ (Έννοι, Πλευρικά, Όριο Τυτοτικής Στθερής συνάρτησης) Σημντικές ρτηρήσεις.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ (Διάτξη, Πράξεις). Το όριο μις συνάρτησης στο είνι μί «τοική» έννοι. Εξρτάτι δηλδή ό τη συμεριφορά της συνάρτησης ότν το ίρνει τιμές «κοντά στο».. Το σύμολο σημίνει ότι : Το ροσεγγίζει το όλο κι ερισσότερο, είτε ό μικρότερες είτε ό μεγλύτερες τιμές, χωρίς ν το φθάνει ( ). Η όστση του ό το όλο κι μικρίνει χωρίς ν μηδενίζετι. [Δηλδή ισχύει ότι η οσότητ μικρίνει συνεχώς χωρίς ν μηδενίζετι]. Το σύμολο σημίνει ότι : Το ροσεγγίζει το όλο κι ερισσότερο, ό μεγ- λύτερες τιμές, χωρίς ν το φθάνει. Η όστση του ό το όλο κι μικρίνει χωρίς ν μηδενίζετι. Ανάλογ: Το σύμολο 4. Η συμεριφορά της συνάρτησης στο σημείο δεν εηρεάζει το όριό της ότν το τείνει στο (ν υτό υάρχει). Έτσι ροκύτουν τ εξής: Το μορεί ν νήκει στο εδίο ορισμού της, μορεί κι όχι. Μορεί ν είνι lim () ( ) μορεί κι όχι. 5. Η τιμή του lim () κθορίζετι, ό τις τιμές ου ίρνει η συνάρτηση κοντά στο. Δηλδή, δύο συνρτήσεις ου έχουν τις ίδιες τιμές σε έν διάστημ γύρω ό το λλά μορεί ν διφέρουν στο (ίρνουν διφορετικές τιμές ή η μι ορίζετι κι η άλλη δεν ορίζετι ή κμί δεν ορίζετι) έχουν το ίδιο όριο ότν το τείνει στο (σχολικό ιλίο, σελ. 58-6). ***** 6. Ότν υάρχει το όριο της () στο ( lim () ), τότε υτό είνι μονδικό. ***** 7. Οι έννοιες «το όριο ορίζετι» κι «το όριο υάρχει» είνι διφορετικές. Το όριο μις συνάρτησης στο ορίζετι, ότν η ορίζετι όσο θέλουμε «κοντά στο», δηλ. η ορίζετι σε έν σύνολο της μορφής (, ) (,) ή (, ) ή (,). Έτσι, έν όριο μορεί ν ορίζετι λλά ν μην υάρχει. 8. Ισχύει ότι: lim () lim () lim (). Άρ, Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

39 ν το όριο υάρχει, τότε τ λευρικά όρι (όοι ορίζοντι) είνι ίσ μετξύ τους κι ίσ με το όριο. ν το όριο δεν υάρχει, οιο συμέρσμ μορούμε ν γάλουμε γι τ λευρικά ό- ρι; ***** 9. [Συνέει του ορισμού] lim () lim () lim () lim( h) (γι h ή = h ), λλά κι h lim () lim( h) (γι h ή = h h κι ) *****. Οι ράξεις στ όρι εφρμόζοντι μόνο εφόσον υάρχουν τ ειμέρους όρι.. Μορεί ν υάρχει το όριο μις ράξης συνρτήσεων χωρίς ν υάρχουν τ όρι των ειμέρους συνρτήσεων. Π.χ οι συνρτήσεις κι g δεν έχουν όριο στο. Το όριο όμως του θροίσμτός των υάρχει: Πράγμτι lim () g() lim( ) 8. Βσικές Προτάσεις (όου νφέρετι, χρειάζετι όδειξη). «Αν lim (), τότε () κοντά στο». (θεώρημ ο, σελ. 47, σχολικό) Όμως, ν () κοντά στο, τότε (ρείτε ράδειγμ) lim()...!!! [Ομοίως γι < ]. Αν lim (), τότε () κοντά στο. 4. «Αν lim () limg(), τότε () g() κοντά στο». (γιτί;) Όμως, ν () g() κοντά στο, τότε lim()...limg()!!! [Ομοίως γι < ] ***** 5. «Αν οι συνρτήσεις, g έχουν όριο στο κι () g() κοντά στο, τότε lim () limg()». 6. «Αν η συνάρτηση έχει όριο στο κι () κοντά στο, τότε (θεώρημ ο, σελ. 48, σχολικό) lim ()». (γιτί;) Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

40 7. «Αν lim () τότε ***** lim () lim (). (θεώρημ ο, σελ. 48, σχολικό) Προσοχή!!! Το ντίστροφο δεν ισχύει. Δηλδή, ν lim () δεν συνεάγετι υο- χρεωτικά κι ότι υάρχει το lim () 8. [Ειδική ερίτωση του ράνω γι ] ισχύει lim() lim (). (ρείτε ντιράδειγμ) (η όδειξη με κριτήριο ρεμολής ρκάτω) ***** 9. Αν lim (), τότε lim (). (οδείξτε το) (ν θεωρηθούν γνωστές ροηγούμενες σικές ροτάσεις) Μέθοδοι. Γι ν υολογίσουμε έν όριο της μορφής lim () : Ελέγχουμε ν το όριο υολογίζετι ευθείς με ντικτάστση του με. Ότν στην ροσάθειά μς ν ντικτστήσουμε το με ροκύψει ροσδιοριστί - γι την ώρ θ είνι της μορφής, τότε γι ν την άρουμε είτε: ) ργοντοοιούμε την κι κάνουμε τις ρίτητες λοοιήσεις, ) ή ολλλσιάζουμε τον ριθμητή κι τον ρονομστή με την κτάλληλη συζυγή ράστση, ν η συνάρτηση είνι άρρητη. (κι οδηγούμστε σε μι συνάρτηση g ου συμίτει με την κοντά στο εκτός ό το ). Εάν η συνάρτηση είνι ολλλού τύου, τότε στο σημείο λλγής τύου νζητούμε το όριό της με χρήση λευρικών ορίων. Εάν ζητούντι τιμές ρμέτρων ώστε ν υάρχει το όριο τότε ιτούμε τ δύο λευρικά όρι ν είνι μετξύ τους ίσ, λλά κι ίσ με το όριο της συνάρτησης. Αν ο τύος έχει όλυτες τιμές, ρίσκοντς τ όρι των ρστάσεων μέσ στις - όλυτες τιμές, κθορίζουμε το ρόσημό τους κοντά στο κι γάζουμε τ όλυτ νλόγως. Αν, όμως, σε κάοιο όλυτο η ράστση εντός έχει όριο μηδέν, τότε ίρνουμε λευρικά όρι κι ελέγχουμε ν είνι ίσ. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

41 Ασκήσεις Α. Όριο κι Γρφική Πράστση συνάρτησης [σχ. Α,4 σελ 46-7]. Η γρφική ράστση της συνάρτησης είνι υτή ου φίνετι στο διλνό σχήμ. Ν ρεθούν τ ρκάτω όρι κι τιμές: ) δ) ζ) lim () lim () lim () ) ε) lim () lim () γ) lim () στ) lim () η) () θ) ( ) - y B. Μορφή κι Α [σχ. Α,4, B, σελ 56-8]. Ν υολογίσετε, ν υάρχουν, τ όρι (ρητές κι ριζικά): i) lim ii) 5 iv) lim v) vii) lim ) iii) lim lim m n viii),m, n 5 * m n lim lim,m, n lim 5 4 i) lim (Γ) (Γ) iv) lim * iii) lim vi) lim i) ii) lim lim - (Γ). Ν υολογίσετε, ν ορίζοντι κι υάρχουν, τ όρι (όλυτ): i) lim () κι lim (), όου () ii) lim iii) 5 lim 5 iv) lim 9 v) lim 7 vi) lim 4 (Γ) vii) lim 4 i) lim viii) lim 5 (Γ) (Γ) ) lim 4 Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

42 Γ. Εύρεση Πρμέτρων - «Θέτω» [σχ. Α9,B-4 σελ 57-8] 4. Δίνετι η συνάρτηση lim () Αν lim ν ρείτε τ,. (5 ), (). Ν ρείτε τ,, ώστε το 6, 6. Αν lim 5 ν ρείτε τε, Ν ρείτε τ, ώστε lim Έχουμε την συνάρτηση g() κι lim. 5 4 g() 4 ( ). Ν ρείτε τ, ώστε lim g() 8, 9. ) Έστω,g :. Αν lim () g() κι lim 5() 7g() 4, ν ρείτε τ lim () κι limg(). () ) Έστω,g :. Αν lim lim ()g(). () γ) Έστω : με lim κι Ν ρείτε το κι το lim (). κι lim g() 8 4, ν ρείτε το 4 () () () γι κάθε.,. ) Ν δείξεις ότι η συνάρτηση, με τύο (), ντιστρέφετι κι ν, 4 ρείτε την ντίστροφή της ) ν ρείτε (ν υάρχει) το. lim () (). Δίνετι η συνάρτηση : γι την οοί ισχύει όριο lim. (Γ). (Δ) 4 lim. Ν υολογίσετε το. Η συνάρτηση έχει ργμτικό όριο στο κάθε. Ν ρεθεί το lim. 7 γι κι ισχύει ότι Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

43 Φυλλάδι555 Ενότητ 7 η ο.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ (Κριτήριο Πρεμολής, Τριγωνομετρικά Όρι, Όριο Σύνθετης) Σημντικές ρτηρήσεις. Το κριτήριο ρεμολής Ισχύει κι με γνήσιες νισότητες Συμερίνει την ύρξη του ορίου κι τον υολογισμό του.. Σε όλες τις τριγωνομετρικές συνρτήσεις η νεξάρτητη μετλητή εκφράζετι σε κτίνι, εκτός ν ειδικά τονίζετι ότι εκφράζετι σε μοίρες.. Αν έν τόξο έχει μέτρο σε μοίρες θ κι σε κτίνι, τότε εειδή ημθ ημ κι ό τον τύο θ μεττροής μοιρών σε κτίνι, έχουμε ο 8 Οότε ισχύει: ημθ ημ. Αλλά ν θ 8 ημθ ημ lim lim, θ 8 8 θ ο 4. Χρήσιμες νισότητες: ημ γι κάθε (το ίσον γι ) ημ γι κάθε *. 8 θ. θ τότε κι οότε έχουμε Βσικές Προτάσεις (χρειάζοντι όδειξη). Ισχύει εφ lim.. Ισχύει lim. εφ. Ισχύει lim. ημ 4. Αν g κοντά στο κι, τότε limg lim. 5. (Μηδενική) (Φργμένη) = (Μηδενική) Αν lim () κι η g είνι φργμένη κοντά στο, τότε lim () g(). (όδειξη με τη οήθει του κριτηρίου ρεμολής) Μι συνάρτηση είνι φργμένη ν κι μόνο ν υάρχει ριθμός κ >, τέτοιος ώστε γι κάθε A ν ισχύει () κ,.χ. η () ημh() ή () συνh(). Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

44 Μέθοδοι. Ένς τρίτος () τρόος γι ν άρουμε την ροσδιοριστί της μορφής, κτά τον υολογισμό ενός ορίου της μορφής lim (), ν η συνάρτηση εριέχει τριγωνομετρικές ρ- στάσεις, ροσθούμε ν εμφνίσουμε το ηλίκο ημ(), ώστε ν κάνουμε χρήση των γνωστών ροτάσεων. Ασκήσεις ή το ηλίκο συν() Α. Κριτήριο Πρεμολής [σκ. Α 8, σελ 57]. Αν ισχύει () ( 5) γι κάθε, ν οδειχθεί ότι lim() 5. Έστω συνάρτηση : τέτοι, ώστε: i). Aν lim () () ii) lim () iii) lim (5) () γι κάθε (). Ν ρείτε τ: () () συν, γι κάθε R, ν οδειχθεί ότι lim(). 4. Έστω συνάρτηση : με σύνολο τιμών (A) ( 5,). Ν δείξετε ότι: lim ημ (). 5. Αν γι κάθε ισχύει 4 4, ν οδείξετε ότι: lim. 6. Δίνοντι οι συνρτήσεις, g τέτοιες, ώστε () κι g() κοντά στο. Αν εί λέ- με ον είνι lim () g(), ν οδείξετε ότι lim () κι limg(). 7. Αν ισχύει () γι κάθε, ν υολογίσετε τ όρι: i) lim () ii) iii) () lim () 8 lim () 8. Έστω συνάρτηση : τέτοι, ώστε lim. (Γ) i) Ν ρείτε το lim (). ii) Ν οδείξετε ότι ισχύει (), κοντά στο. iii) Αν γι τις συνρτήσεις, g ισχύει limg(). () g() (), κοντά στο, ρείτε το Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης (Γ)

45 9. Έστω συνάρτηση : τέτοι, ώστε: () lim λ, λ. i) Ν ρείτε το λ. ii) Αν (), γι κάθε κι () () (), γι κάθε, ν οδείξετε ότι lim. (Γ). Έστω συνάρτηση : τέτοι, ώστε: (), γι κάθε (). () Αν είνι lim λ, λ, ν ρείτε : i) το lim (). ii) το λ.. Έστω συνάρτηση : τέτοι, ώστε ν ισχύει Ν ρείτε το όριο της στο. () () κοντά στο. (Δ) Β. Τριγωνομετρικά Όρι [σκ. Α 6,7, σελ 57]. Ν υολογίσετε, ν υάρχουν, τ όρι: i) lim ημ 4 ii) lim συν iii) lim ημ συν iv) ημ( 6) lim 9 ημ v) lim ημ εφ vi) lim (Γ) vii) lim (), ότν συν () με A { κ, κ } ημ viii) lim συν 7 ημ (Δ) i) lim (), ότν, () συν, lim (), ότν ) () ( ) συν, με A (, ) (Γ) i) lim () κι lim, όου συν () ημ με A (Δ) ημ ημ... ημν. Ν ρείτε το θετικό κέριο ν ώστε: lim Ν υολογίσετε το όριο: lim συν. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

46 Γ. Αντικτάστση 5. Η συνάρτηση : είνι εριττή κι lim (). Ν οδείξετε ότι [σκ. Β 4, σελ 58] lim (). (4 ) 6. Έστω συνάρτηση : * με lim. Ν ρείτε το l. () 7. Δίνετι η συνάρτηση γι την οοί ισχύει ( y) ()(y) γι κάθε, y με () κι lim() ν δειχθεί ότι: ) () κι ) lim () ( ) γι κάθε. 8. Δίνετι η συνάρτηση : * γι την οοί ισχύει ( y) () (y) γι κάθε, y * κι lim(). Ν δειχθεί ότι: ) () κι ) lim () ( ) γι κάθε A. 9. Ν υολογίσετε τ όρι: ) συν lim κι ) ημ ημ lim. Δ. Σύνθετ Θέμτ (). Έστω : συνάρτηση ώστε lim. (ν) ) Ν οδείξετε ότι lim ν, ν. ) Αν γι κάθε ισχύει:. Δίνετι η συνάρτηση με τύο () ln. ) Ν ρείτε το εδίο ορισμού της. ) Ν οδείξετε ότι η ντιστρέφετι. (v) ημ (v) ημ ν δείξετε ότι v. γ) Αν η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το διάστημ (,], ν οδείξετε ότι: γι κάθε. () δ) Ν ρείτε το lim (). (Γ) Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

47 Φυλλάδι555 Ενότητ 8 η ο Σημντικές ρτηρήσεις.6 Μη Πεερσμένο Όριο στο. Τ σύμολ κι δεν είνι ριθμοί. Γι την κτνόησή τους, ς φντζόμστε ότι: Το είνι ολύ μεγάλος μετλητός θετικός ριθμός. Το είνι ολύ μεγάλος μετλητός ρνητικός ριθμός Όμως συμεριφέροντι σν ριθμοί, εκτός των εριτώσεων,,,, τις οοίες ονομάζουμε ροσδιόριστες μορφές., Βσική Πρότση (χρειάζετι όδειξη). ) Αν g() () κοντά στο κι ) Αν g() () κοντά στο κι limg() τότε lim () τότε lim (). limg(). Ασκήσεις Α. Όριο κι Γρφική Πράστση συνάρτησης. Ν ρείτε τ όρι (ν υάρχουν) κι τ λευρικά όρι στην ρκάτω γρφική ράστση, στ σημεί 4,,,,,4,6. Σε οι σημεί του διστήμτος 6,, δεν ορίζετι η συνάρτηση; Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

48 Β. Υολογισμός ορίων - Αροσδιόριστες Μορφές, [σκ. Α,, Β, σελ. 6-4] (Σημείωση: κάοι ό τ ζητούμεν όρι μορεί ν μην υάρχουν). Ν ρείτε τ όρι: 9 ) lim ) Δίνετι η συνάρτηση () 4. ) Ν ρείτε το εδίο ορισμού της. ) Ν ρείτε το lim () γ) Ν ρείτε το lim () 4. Αν limg() ν ρεθεί το lim συν g() g() 6 4. lim γ) lim ημ Ν ρείτε τ όρι: ) lim ) lim γ) lim 6. Ν υολογίσετε τ όρι: ) lim e ln ln, ) lim 7. Ν υολογίσετε τ όρι ) lim log ) lim log (Σημείωση: τ όρι των σκήσεων 6 κι 7 μορούν ν υολογιστούν φού διδχθεί η.7 κι κυρίως η.8) 8. Ν υολογίσετε τ όρι ) lim ημ γ) lim εφ ) lim συν lim σφ δ) 7 Γ. Εύρεση Πρμέτρων - «Θέτω» [σκ. Β,4 σελ. 64] Δίνετι η συνάρτηση (),, ) Ν δείξετε ότι γι είνι ) Ν ρεθούν οι τιμές των κι, γι.. Γι τις διάφορες τιμές του μ ν ρείτε, ν υάρχει, το όριο. Ν ρείτε τους λ,μ ώστε η συνάρτηση :. Αν χει ργμτικό όριο, στο. (). Ν ρείτε το λ R ώστε (), γι την οοί γνωρίζουμε ότι lim() 4. (μ ) μ lim (λ μ) (λ μ ) μ,, γι οιες τιμές του είνι lim() ; lim 5λ λ 9.. (Γ) ν έ- Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

49 Σημντικές ρτηρήσεις Φυλλάδι555 Ενότητ 9 η ο.7.7 Όρι Συνάρτησης στο Άειρο. Γι ν έχει νόημ η νζήτηση του lim () μορφής (, ).. Γι ν έχει νόημ η νζήτηση του lim () μορφής (,). ρέει η ν ορίζετι σε έν σύνολο της ρέει η ν ορίζετι σε έν σύνολο της. Προφνώς δεν έχει νόημ η έννοι των λευρικών ορίων στο ή. 4. Οι τριγωνομετρικές συνρτήσεις ημ, συν, εφ, σφ δεν έχουν όριο στο κι στο. 5. Γι τ όρι στο κι στο ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο με την ροϋόθεση ότι: ***** ***** οι συνρτήσεις είνι ορισμένες σε κτάλληλ σύνολ, κι δεν κτλήγουμε σε ροσδιόριστη μορφή. 6. Στ όρι των κολουθιών ισχύουν όσες ιδιότητες έχουν νφερθεί στ όρι συνρτήσεων στο. 7. Ότν, τότε μορούμε ν θεωρούμε ότι (, ),, οότε μορούμε ν γράφουμε:. 8. Ανάλογ, ότν, τότε μορούμε ν θεωρούμε ότι (,), <, οότε μορούμε ν γράφουμε:. Βσικές Προτάσεις (χρειάζοντι όδειξη). Αν g() () h() κι lim h() lim g(), τότε κι lim ().. Αν g() () κοντά στο κι lim g(). Αν g() () κοντά στο κι lim () Ασκήσεις Α. Όριο κι Ιδιότητες τότε lim (). τότε lim g().. Ν ρείτε τ όρι των ολυωνυμικών κι ρητών συνρτήσεων της Α, σελ 68-9 (σχολικό). Ν ρείτε τ όρι των συνρτήσεων με ριζικά των Α (i,ii,iii,iv), σελ 69 (σχολικό). Ν ρείτε τ όρι των συνρτήσεων με όλυτ της Β 4 (i,iii), σελ 69 (σχολικό) Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

50 Β. Αροσδιόριστη Μορφή [Α (i,iii,v), B 4(ii), σελ 69] 4. Δίνετι η συνάρτηση () 6 4 ) Ν δικιολογήσετε ότι μορούμε ν νζητήσουμε το όριο της στο κι στο. ) Ν υολογίσετε το lim () κι το lim (). γ) Ν υολογίσετε το lim () κι το lim (). 4 Γ. Αροσδιόριστη Μορφή [Α (v), (ii,iv,vi), σελ 69] 5. Ν ρείτε τ όρι: ) lim ) lim ) lim 4 ) lim 4 γ) lim( 4 9 ) (Γ) Δ. Πρμετρικά όρι - Αντικτάστση/«Θέτω» [Β,,, σελ 69] 6. Ν ρεθεί το. lim ( ) ( ) γι τις διάφορες τιμές της ρμέτρου 7. Γι τις διάφορες τιμές λ, ν υολογίσετε το: 4 (λ ) (λ ) λ 5 lim ( λ). 8. Ν ρεθούν οι τιμές των ργμτικών ριθμών, ώστε ν είνι lim( 4 ). () () Αν lim, ν ρεθεί το lim. (). Αν () lim, ν ρεθεί το lim ().. Μι συνάρτηση ορίζετι στο διάστημ (, ) ν ρείτε το lim ().. Αν ισχύει lim 4 () 6, Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

51 . Αν : (, ) με i) το lim () () lim, ν ρείτε: ()++ ii) το, ν lim = + P(). Ν ρεθεί το ολυώνυμο P() ν ισχύει ότι: lim κι P() lim γι κάθε. 4. Θεωρούμε συνάρτηση γι την οοί δίνετι ότι άρχουν, τ όρι: i) (8) lim () () lim 5. Ν υολογίσετε, ν υ- () ii) (8) () lim () () Ε. Κριτήριο Πρεμολής 5. ) Αν γι κάθε : (), ν ρεθεί το lim (). ) Αν γι κάθε είνι (), ν ρεθεί το lim (). 6. Γι μι συνάρτηση ισχύει 5 () γι κάθε. Ν ρείτε το lim (). 7. Ν ρείτε το όριο 5 ημ. lim 8. Έστω η συνάρτηση : με ημ. ) Ν οδείξετε ότι () ) Ν υολογίσετε το όριο lim (). ΣΤ. Εκθετικά Λογριθμικά όρι 9. Ν υολογίσετε τ όρι: ) lim ) lim 5 γ) lim,5 δ) lim,5. Ν υολογίσετε τ όρι: ) lim log 5 lim log ),. Ν υολογίσετε τ όρι: ) lim ln ) lim ln(e ) Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

52 . Δίνετι η συνάρτηση θ () ln ) Ν ρείτε το εδίο ορισμού της. ) Ν ρείτε το lim (). γ) Ν ρείτε το lim (). δ) Ν ρείτε το lim () ln. με θ.. ) Ν ρείτε το ) Ν ρείτε το 5 lim. 5 lim 5 4. Ν υολογίσετε το όριο lim 9 log 5. Ν υολογίσετε το όριο lim. log γι τις διάφορες τιμές του θετικού ριθμού.. Ζ. Τριγωνομετρικά όρι 6. Ν ρείτε τ όρι: ) ε) lim ημ 4 ημ lim συν ) στ) συν lim ημ lim + γ) lim ημ δ) ζ) lim ημ 4 lim ημ Πρόλημ 7. Στον ημιάξον Ο ίρνουμε σημείο Μ με τετμημένη κι φέρνουμε τμήμ ΜΝ κάθετο στον O με μέτρο. ) Ν εκφράσετε το μέτρο του τμήμτος ΟΝ συνρτήσει του. ) Ν υολογίσετε το όριο του ηλίκου ON, ότν το Μ ομκρύνετι στο άειρο. OM γ) Ν υολογίσετε το όριο της διφοράς (ON) (OM), ότν το Μ ομκρύνετι στο ά- ειρο. (Γ) Πεερσμένο Όριο Ακολουθίς 8. Ν ρείτε τ όρι των εόμενων κολουθιών: i) ii) 5ν 4ν ν 5ν ν ν ν 7ν 5ν ν ν iii) 6n 5n 7n 4 6n 5 7n 4 n n [Α Δέσμη 987] Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

53 Φυλλάδι555 Ενότητ η ο Ερωτήσεις άνω στη θεωρί Ερωτήσεις τύου Σωστό - Λάθος. Αν : A κι. Aν : A κι A, τότε lim () lim () ( )., τότε. Αν η : A έχει όριο στο 4. Γι ν δείξουμε 5. Ισχύει 6. Αν 7. Αν 8. Αν 9. Αν lim () lim ( h) lim (). lim () lim (), τότε κι, τότε lim (), τότε κι lim (), τότε κι. Ισχύει ότι A. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης A, τότε υτό είνι μονδικό., μορούμε δείξουμε ότι lim[() ]. lim (). lim () ή lim (). 7 lim ( ). lim (). lim () lim(). Αν τ λευρικά όρι της στο είνι ίσ, τότε υάρχει το όριο της.. Aν γι είνι () κι γι είνι (), τότε lim ().. Αν lim[() g()], τότε υάρχει το 4. Αν Α (,), τότε lim () κι το lim g(). lim() lim () κι lim () lim () 5. Αν η έχει θετικό όριο στο, τότε οι τιμές της είνι θετικές στο εδίο ορισμού της. 6. Αν 7. Αν lim (), τότε οι τιμές της είνι ρνητικές κοντά στο. lim (), τότε () γι κάθε A. 8. Aν οι τιμές των κι g είνι άνισες, τότε κι τ όριά τους στο είνι ομοίως άνισ. 9. Υάρχουν συνρτήσεις με θετικές τιμές κοντά στο, ου το όριό τους είνι.. Υάρχουν συνρτήσεις με ρνητικές τιμές κοντά στο, ου το όριό τους είνι θετικό.. Αν () g() κοντά στο, τότε. Ισχύει ότι: lim () h() lim () limg(), ρκεί ν υάρχουν τ όρι υτά. lim () h() lim () lim h(), με την ροϋόθεση ότι υάρχει το. Αν lim[()g()], τότε lim () κι limg().

54 4. Αν υάρχει το lim[()g()], τότε ισχύει 5. Αν είνι (), τότε lim (). lim[()g()] = lim () limg(). 6. Αν 7. Αν 8. Αν lim (), τότε. lim (), τότε. lim (), τότε lim (). 9. Αν lim (), lim g() κι () κοντά στο. Ισχύει ημ() lm i., τότε limg (). Αν υάρχει το lim[() g()], τότε ισχύει lim[() g()] lim () limg().. Ισχύει. Αν 4. Αν () lim. () lim (), τότε () κοντά στο. lim (), τότε lim (). Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης Αν lim () κι limg(), τότε lim[() g()]. () 6. Αν lim () κι limg(), τότε lim. g( ) 7. Αν lim (), τότε η έχει θετικές τιμές στο εδίο ορισμού της. 8. i) Αν lim () κι lim g(), τότε το. lim[()g()] είνι ή. ii) Στην ερίτωση υτή το ρόσημο είνι το ίδιο με το ρόσημο του ορίου της g. 9. i) Αν lim () υτό είνι ή., η g διτηρεί ρόσημο κοντά στο κι το lim[()g()] υάρχει, ii) Στην ερίτωση υτή το ρόσημο είνι το ίδιο με το ρόσημο των τιμών της g. 4. Οι ροσδιόριστες μορφές ρουσιάζοντι κτά τον υολογισμό των ορίων. 4. Όλες οι ράξεις με το ή το είνι μη ειτρετές. 4. Στο κι το δεν υάρχουν λευρικά όρι. () 4. Αν υάρχει το lim, τότε ισχύει g() lim () (). limg() lim g() 44. Αό την νισότητ ημ, γι κάθε με το κριτήριο ρεμολής οδεικνύετι ότι lim ημ. () 45. Αν lim () 46. Αν lim, τότε lim ()., τότε lim ().

55 47. Αν lim (), τότε lim (). 48. Οι τριγωνομετρικές συνρτήσεις δεν έχουν όριο στο. 49. Τ lim(εφ σφ) κι lim(ημ συν ) υάρχουν. Χρκτηρίστε τις ρκάτω ροτάσεις ως ληθείς ή ψευδείς. (Βοηθητικά, σχεδιάστε ρόχειρες γρφικές ρστάσεις) 5. Αν : είνι άρτι κι lim () 5. Αν : είνι εριττή κι lim () 5. Αν, τότε lim () (νάλογ γι )., τότε lim () (νάλογ γι ). lim () κι () κοντά στο, τότε η είνι γνησίως φθίνουσ κοντά στο. 5. Αν () κι γνησίως ύξουσ κοντά στο, τότε lim(). 54. Αν lim (), τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε εριοχή του. 55. Αν lim (), τότε η είνι γνησίως φθίνουσ σε εριοχή του. 56. Αν γνησίως ύξουσ, lim (), τότε κι lim (). 57. Αν γνησίως ύξουσ στο, κι γνησίως φθίνουσ στο lim () ( ).,, τότε Ερωτήσεις Πολλλών Ειλογών 6. Η τιμή ροσεγγίζετι με ικνοοιητική κρί-. Δίνετι η συνάρτηση ( ) 4 7 ει ό τον ριθμό Α.,4 B. 4 Γ.,75 Δ.,5 E. 7. Αό τις ρκάτω ισότητες λάθος είνι η Α. lim συν B. lim συν Γ. lim ημ Δ. lim ημ E. lim εφ Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

56 Φυλλάδι555 Ενότητ η ο.8) Συνέχει συνάρτησης [Ορισμός Συνέχεις Πράξεις με Συνεχείς Συνρτήσεις Συνέχει σε Διστήμτ] Σημντικές ρτηρήσεις Α. Συνέχει σε σημείο. [ο ορισμός νλυτικά] Μι συνάρτηση είνι συνεχής στο ρκάτω τρεις () συνθήκες (ΌΛΕΣ): ) υάρχει το όριο της στο lim () lim () ) A A τότε κι μόνο τότε ότν ικνοοιούντι οι ( δηλδή υάρχουν κι είνι ίσ τ λευρικά όρι ) υάρχει το () (δηλδή η ορίζετι στο ή λλιώς το νήκει στο Α) γ) τ δύο ράνω είνι ίσ μετξύ τους: lim () lim () ().. Συνεώς, μι συνάρτηση είνι συνεχής στο A ν κι μόνο ν: lim () () ή lim () () ή lim ( h) () ή h lim ( h) (), h. Αό τον ορισμό είνι ροφνές ότι ο έλεγχος της συνέχεις έχει νόημ μόνο σε σημείο του εδίου ορισμού της συνάρτησης. 4. Μι συνάρτηση : [,) θ είνι συνεχής στο ενώ 5. μι συνάρτηση :(, ] θ είνι συνεχής στο ότν (ροφνώς) ότν (ροφνώς) lim () (), lim () (). 6. Μι συνάρτηση δεν είνι συνεχής (ή συνεχής) στο ) lim () () A ότν: (υάρχει το όριο λλά είνι διφορετικό ό την τιμή της συνάρτησης) ) Δεν υάρχει κν το όριο της συνάρτησης στο A. 7. ΠΡΟΣΟΧΗ! Αν A, τότε δεν λέμε ότι η είνι συνεχής στο, λλά λώς δεν έχει νόημ ο έλεγχος της συνέχεις στο. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

57 8. Ότν η είνι συνεχής στο, η γρφική της ράστση δεν δικότετι στο σημείο με τετμημένη. 9. Αν γνωρίζουμε ότι μι συνάρτηση με εδίο ορισμού το Α είνι συνεχής στο, τότε: το A υάρχει το το lim () lim () είνι ργμτικός ριθμός lim () () Β. Συνέχει στο εδίο ορισμού. [ο ορισμός] Μι συνάρτηση : A λέγετι συνεχής, ότν είνι συνεχής σε όλ τ σημεί του εδίου ορισμού Α, (δηλδή, ν ισχύει lim () () γι κάθε A ). Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής στο εδίο ορισμού της, τότε είνι συνεχής κι σε κάθε υοσύνολό του.. Η γρφική ράστση μις συνεχούς συνάρτησης σε διάστημ είνι μί συνεχομένη γρμμή (μονοκοντυλιά/ δεν δικότετι).. Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής σε ένωση διστημάτων, τότε η γρφική της ράστση μορεί ν δικότετι. Δείτε ροσεκτικά τ ρκάτω σχήμτ Η είνι συνεχής στο Η είνι συνεχής στο Η είνι συνεχής στο Η είνι συνεχής στο εδίο εδίο ορισμού της εδίο ορισμού της εδίο ορισμού της.ορισμού της A(,) Α ()(,, ) Α ()(,, ) Α ()(,,) (), Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

58 Μέθοδοι. Με τον όρο «μελέτη συνάρτησης ως ρος την συνέχει» εννοούμε την εύρεση των τιμών του εδίου ορισμού της στις οοίες είνι συνεχής.. Γι ν εξετάσουμε ν μι συνάρτηση με κλάδους είνι συνεχής, διιστώνουμε ότι κάθε κλάδος είνι συνεχής συνάρτηση κι μετά εξετάζουμε την συνέχει στ σημεί εκτέρωθεν των οοίων λλάζει τύο (δηλδή έλεγχο στ «συνορικά» σημεί).. Εάν δίνετι ότι η συνάρτηση είνι συνεχής στο κι ζητείτι ν ρεθεί το () ρκεί ν ρεθεί το lim (), φού lim ()=() Ασκήσεις. τότε Α. Συνέχει σε σημείο. [Α,, Β σελ.79-8]. N εξετάσετε ν η συνάρτηση ln( ), () ημ( ), είνι συνεχής στο.. N εξετάσετε ν η συνάρτηση. e, [, ) (),, (,) ln( ) είνι συνεχής στο ( )() ημ( ). Aν η συνάρτηση είνι συνεχής στο σημείο κι ισχύει lim 4, ν ρεθεί το (). 4. Aν γι κάθε ισχύει () ) g( 5 κι g συνεχής στο με g() 5, ν δειχθεί ότι η είνι συνεχής στο. 5. Ν οδείξετε ότι δεν υάρχουν κέριοι ριθμοί κι, ώστε η συνάρτηση, ()= 8 4, ν είνι συνεχής στο. 6. Αν γι την συνάρτηση : ισχύει : () γι κάθε τότε: ) Ν οδείξετε ότι η είνι συνεχής στο. ) Ν εξετάσετε ν η συνάρτηση () g() είνι συνεχής στο. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

59 7. Έστω οι συνρτήσεις,g, h : A. Ν οδείξετε τις ρκάτω ροτάσεις: ) Αν ισχύει g h κι οι, g είνι συνεχείς στο A στο A. ) Αν ισχύει συνεχής στο h() συν () e g(), η h είνι συνεχής στο A A, τότε κι η δεν είνι συνεχής στο 8. Έστω : με () () e, γι κάθε., τότε κι η h είνι συνεχής A. κι η g δεν είνι ) Ν δείξετε ότι () e, γι κάθε. ) Ν εξετάσετε ν η είνι συνεχής στο. 9. Έστω συνάρτηση : γι την οοί δίνετι η σχέση:. Ν οδείξετε ότι η είνι συνεχής στο σημείο. () () (), γι κάθε. Οι συνρτήσεις,g : έχουν την ιδιότητ: κάθε. Ν οδείξετε ότι οι, g είνι συνεχείς στο. () g() () 5 4g() συν, γι Β. Συνέχει στο εδίο ορισμού [Α σελ.8] (). Αν lim κι η είνι συνεχής, ν ρείτε το lim () () 6. Γ. Συνέχει κι εύρεση ρμέτρων [Β, σελ. 8]. Αν (), ln,, ν ρεθούν τις τιμές των, γι τις οοίες η συνάρτηση είνι συνεχής.. Αν 5, (), ν ρεθούν τις τιμές των, γι τις οοίες η συνάρ- 7, τηση είνι συνεχής. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

60 Δ. Συνέχει κι Συνρτησικές σχέσεις 4. Αν η συνάρτηση : ικνοοιεί τη σχέση ( y) () (y) γι κάθε,y, ν οδειχθεί ότι: ) (). ) Αν η είνι συνεχής στο, τότε η είνι συνεχής στο. γ) Αν η είνι συνεχής στο, τότε η είνι συνεχής στο. 5. Αν η συνάρτηση οδειχθεί ότι: : γι κάθε * * ικνοοιεί τη σχέση ( y) () (y) *, y, ν ) (). ) Αν η είνι συνεχής στο, τότε η είνι συνεχής στο *. γ) Αν η είνι συνεχής στο *, τότε η είνι συνεχής στο *. 6. Έστω συνάρτηση : * η οοί είνι συνεχής στο σημείο κι τέτοι ώστε: ( y) () (y) (*) γι κάθε, y. ) Ν ρείτε την τιμή (). ) Ν οδείξετε ότι η είνι συνεχής στο. 7. (*) Έστω συνάρτηση ου ικνοοιεί την σχέση, κι γι την οοί ισχύει ότι lim () 5. 4 Αν η είνι συνεχής στο, ν δειχθεί ότι συνεχής στο. ()() 6 (), γι κάθε Ε. Ν ρεθεί ο τύος της συνεχούς συνάρτησης 8. Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση : [),, η οοί γι κάθε σχέση (). 9. Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση : ( ημ)() ημ.. Έστω η συνεχής συνάρτηση γι την οοί ισχύει: Α, C. κι ) Ν ρείτε τ,. ) Ν δείξετε ότι (),. γ) Ν ρείτε το lim () ημ () ικνοοιεί τη, η οοί γι κάθε ικνοοιεί τη σχέση ( )(), γι κάθε Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

61 Φυλλάδι555 Ενότητ η ο.8 Συνέχει συνάρτησης σε διάστημ & Βσικά Θεωρήμτ Σημντικές ρτηρήσεις. Η συνέχει στο κλειστό διάστημ [,] δεν εξσφλίζει τη συνέχει στ άκρ,. y y 6 O ( ) a () O [ ] a () Βλέε χρκτηριστικά το σχήμ () ό το σχολικό, όου η συγκεκριμένη συνάρτηση είνι συνεχής στο [, ] λλά όχι στο ούτε στο! Θεώρημ του Bolzano. Γι ν ισχύει το Θεώρημ Bolzano ρέει ν ισχύουν ριτήτως κι οι δύο ροϋοθέσεις του.. Αν μι τουλάχιστον ό τις ροϋοθέσεις του Θεωρήμτος Bolzano δεν ισχύει, τότε υτό δε σημίνει κτ νάγκη ότι δεν υάρχει ο (,) τέτοιο, ώστε (). 4. Το Θεώρημ Bolzano εφρμόζετι σε διάστημ κι όχι σε ένωση διστημάτων. 5. Το Θεώρημ Bolzano εξσφλίζει την ύρξη μις τουλάχιστον ρίζς της εξίσωσης () (δεν την ροσδιορίζει κριώς). Αυτό σημίνει ότι μορεί ν υάρχουν κι ερισσότερες ό μί ρίζες. 6. Γεωμετρική ερμηνεί του Θ. Bolzano: Το τμήμ της γρφικής ράστσης της ου εριέχετι μετξύ των ευθειών φορά. κι 7. Οι ρκάτω εκφράσεις είνι ισοδύνμες: «το είνι ρίζ της εξίσωσης ()» «το είνι ρίζ της συνάρτησης» «το» τέμνει τον άξον τουλάχιστον μί είνι σημείο, όου η γρφική ράστση της συνάρτησης τέμνει τον άξον Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης () ()

62 8. Δεν ισχύει το ντίστροφο του Θεωρήμτος Bolzano, δηλδή η ύρξη μις ρίζς δεν εξσφλίζει τη συνέχει της συνάρτησης στο [,] ούτε ότι οι τιμές () κι () είνι ετερόσημες. ()<,()< όχι συνεχής 9. Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι δε μηδενίζετι σ υτό, τότε υτή ή είνι θετική γι κάθε Δ ή είνι ρνητική γι κάθε Δ, δηλδή διτηρεί ρόσημο στο διάστημ Δ. y [άμεσο όρισμ του θ. Bolzano] y 65 ()> O a O a ()< (). Μι συνεχής συνάρτηση διτηρεί ρόσημο σε κθέν ό το διστήμτ στ οοί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζουν το εδίο ορισμού της. () [άμεσο όρισμ του θ. Bolzano]. Αν η είνι συνεχής στο διάστημ Δ κι ισχύει: [Ομοίως ν (ξ) < ] () γι κάθε Δ (ξ) γι κάοιο ξ Δ, τότε () γι κάθε Δ. Αν η είνι συνεχής κι γνησίως μονότονη στο [,], ενώ ειλέον ισχύει () (), τότε η έχει κριώς μί ρίζ στο (,).. Αν η δεν μηδενίζετι στο νοικτό (,) κι οι τιμές στ άκρ είνι ετερόσημες, τότε η δεν είνι συνεχής στο [,]. 4. Αν η δεν μηδενίζετι στο νοικτό (,) κι είνι συνεχής στο [,], τότε οι τιμές στ άκρ είνι ομόσημες Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

63 Θεώρημ ενδιμέσων τιμών 5. Αοτελεί γενίκευση του θεωρήμτος του Bolzano. 6. Το ντίστροφο του θεωρήμτος ενδιμέσων τιμών δεν ισχύει. Δηλδή, ν μι συνάρτηση ίρνει όλες τις τιμές μετξύ () κι () τότε δεν είνι υοχρεωτικά κι συνεχής! 7. Γεωμετρική ερμηνεί του Θεωρήμτος ενδιμέσων τιμών: Κάθε ευθεί y γρφική ράστση C τουλάχιστον σ έν σημείο. η με η [(),()] τέμνει τη 8. Με τη οήθει του θεωρήμτος ενδιμέσων τιμών οδεικνύετι ότι: «η εικόν (Δ) ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης είνι διάστημ». [η όδειξη ως άσκηση] 9. Η εικόν (Δ) ενός διστήμτος Δ μέσω μις στθερής συνάρτησης είνι έν σημείο (μονοσύνολο). Θεώρημ Μέγιστης κι Ελάχιστης τιμής. Με τη οήθει του θεωρήμτος μέγιστης κι ελάχιστης τιμής κθώς κι του θεωρήμτος ενδιμέσων τιμών οδεικνύετι ότι: ( ( ( ( «Η εικόν κλειστού διστήμτος ( είνι κλειστό διάστημ». Γι την κρίει, ν συνεχής ) ) στο [,] ) ) τότε [,] [m, M], όου m κι M. min ma. Προσοχή! Δεν είνι σίγουρο ότι συμίνει το ίδιο με νοικτό διάστημ. ) M M M M m Δ=(, ) νοικτό (Δ)=[m, M] κλειστό () (ξ)= m η ξ () Δ=(, ) νοικτό (Δ)=[m, M) ημινοικτό Α Β Δ=(, ) νοικτό (Δ)=(m, M) νοικτό Δ=[, ] κλειστό (Δ)=[m, M] κλειστό Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης (ξ)=η m y=η () Β m

64 Μέθοδοι. Τ συμεράσμτ του θ. Bolzano μς οηθούν ν ροσδιορίσουμε το ρόσημο της γι τις διάφορες τιμές του. Συγκεκριμέν: ) Βρίσκουμε τις ρίζες της. ) Σε κθέν ό τ υοδιστήμτ ου ορίζουν οι διδοχικές ρίζες, ειλέγουμε ένν ριθμό κι ρίσκουμε το ρόσημο της στον ριθμό υτό. Το ρόσημο υτό είνι κι το ρόσημο της στο ντίστοιχο διάστημ.. Την ύρξη μις ρίζς (δηλδή το «τουλάχιστον») μορούμε ν την οδείξουμε με το θεώρημ Bolzano με το σύνολο τιμών (εξετάζουμε ν το νήκει σε υτό) ή με την ροφνή λύση. Κάθε έν ό τ ράνω μορούμε το εφρμόζουμε σε κάθε έν ό τ διστήμτ ου μς ενδιφερόμστε.. Την μονδικότητ μις ρίζς, σε δεδομένο διάστημ, μορούμε ν την οδείξουμε (φού ρώτ έχουμε εξσφλίσει την ύρξη με ένν ό τους ροηγούμενους τρόους) ν η συνάρτηση είνι - ή γνησίως μονότονη Κάθε έν ό τ ράνω μορούμε το εφρμόζουμε σε κάθε έν ό τ διστήμτ ου μς ενδιφερόμστε. 4. [Με χρήση του θ. Bolzano]. Ότν θέλουμε ν οδείξουμε ότι μι εξίσωση () μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (, ), εφρμόζουμε το θ. Bolzano στο διάστημ [,]. δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημ (, ), εφρμόζουμε το θ. Bolzano στ διστήμτ [, γ] κι [γ,]. Το γ είνι σημείο του (,) τέτοιο, ώστε () (γ) κι γ. Συνήθως το γ είνι το μέσον του διστήμτος [,], δηλδή το σημείο γ. μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ [,] ή () ()., Πρώτ εξετάζουμε την ερίτωση () () () ή () κι έειτ την ερίτωση () () με εφρμογή του θ. Bolzano. ή,, φθάνουμε στη σχέση έχει Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

65 5. Εάν ζητείτι ν δειχθεί ότι υάρχει (,) τέτοιο ώστε () g() θεώρημ Bolzano στο [,] με συνάρτηση την h() () g(). 6. Εάν ζητείτι ν δειχθεί ότι οι C, C g (,) ή [,], εφρμόζουμε τέμνοντι σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη τότε εργζόμστε όως στην ροηγούμενη ερίτωση, φού ως γνωστόν τ κοινά σημεί των γρφικών ρστάσεων των κι g είνι οι λύσεις της εξίσωσης () g() () g(). Αν δεν μορούμε ν λύσουμε την εξίσωση λγερικά, έν τρόος λύσης του ρολήμτος είνι ν θεωρήσουμε τη συνάρτηση h()=() g(), D D, κι ν εφρμόσουμε g το Θεώρημ Bolzano σε κτάλληλο διάστημ. 7. Ότν θέλουμε ν οδείξουμε ότι μι συνάρτηση ίρνει μί τιμή κ, ότν [,], τότε: οδεικνύουμε ότι η είνι συνεχής στο [,] κι ότι η τιμή κ ρίσκετι μετξύ των () κι (), είτε οδεικνύουμε ότι η είνι συνεχής στο [,] κι ότι η τιμή κ ρίσκετι μετξύ της ε- λάχιστης κι της μέγιστης τιμής της. 8. Εύρεσης μις συνεχούς συνάρτησης η οοί εληθεύει μι ισότητ. Αό την άμεση συνέει του θεωρήμτος Bolzano (ότι ν μι συνεχής συνάρτηση δεν μηδενίζετι σε έν διάστημ τότε έχει στθερό ρόσημο σ υτό), μορούμε ν ρούμε μι συνάρτηση η οοί εληθεύει κάοι ισότητ. Ίσως χρειάζετι ρώτ ν μετσχημτίσουμε την ισότητ,.χ. δημιουργώντς στο έν μέλος της το τετράγωνο μις οσότητς ου εριέχει τη συνάρτηση. Βσικές Προτάσεις (χρειάζοντι όδειξη). Κάθε ολυώνυμο εριττού θμού με ργμτικούς συντελεστές, έχει τουλάχιστον μί ργμτική ρίζ.. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής κι γνησίως μονότονη στο διάστημ A, τότε οδεικνύετι ότι : (A) A είνι συνεχής στο (A) κι έχει το ίδιο είδος μονοτονίς. η (Σχόλιο: Το δεύτερο μέρος του συμεράσμτος το έχουμε ήδη οδείξει στις συνρτήσεις. Το ρώτο, το ότι κι η ντίστροφη είνι συνεχής, θ μς δίνετι συνήθως ως δεδομένο). Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής κι - σε έν διάστημ Δ τότε είνι κι γνησίως μονότονη στο Δ. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

66 Ασκήσεις Σχόλιο: Με εξίρεση ένν μικρό ριθμό σκήσεων ρκάτω, οι ερισσότερες σκήσεις θ ρμείνουν κτηγοριοοίητες. Αυτό γίνετι γι κθρά διδκτικούς - ιδγωγικούς λόγους, φού κθώς ολλές ό τις σκήσεις μορούν ν λυθούν με μη μονδικό τρόο, η τοοθέτησή τους σε μι συγκεκριμένη κτηγορί, θ φιρούσε ρωτοουλίες κι σκέψεις ό τους μθητές. Α. Θεώρημ Bolzano [Α 6-9, Β 4,5,7*,8, σελ.8-] [εφρμογή, ροϋοθέσεις, ρόσημο συνάρτησης, ύρξη - μονδικότητ ρίζς]. Ν οδείξετε ότι ικνοοιούντι οι ροϋοθέσεις του θεωρήμτος Bolzano γι την συνάρτηση, (), 5 στο διάστημ [, 5].. Ν ρεθούν οι ράμετροι, ώστε ν ισχύει το θεώρημ του Bolzano γι την συνάρτηση -, () 5-, -+, στο διάστημ [, ].. Ν οδειχθεί ότι η εξίσωση συν έχει μι τουλάχιστον θετική ρίζ. 4. Αν,, ν οδείξετε ότι η εξίσωση ημ έχει (μί τουλάχιστον ) ρίζ της οοίς η όλυτη τιμή δεν υερίνει τον. 5. Ν δείξετε ότι η εξίσωση e ln έχει μονδική ρίζ. 6. N δειχθεί ότι έχει δύο κριώς ρίζες η εξίσωση ()()()()()() 4 7 στο διάστημ (,). Β. Σύνολο Τιμών & Θεώρημ Ενδιμέσων Τιμών [Α, Β 6, σελ. 8-] 7. Ν ρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης () 4,,. 8. Ν ρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης () 4 κι ν λύσετε την νίσωση (). 9. Δίνετι η συνάρτηση : [, ] με (). ) Ν ρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. ) Δείξτε ότι η εξίσωση () έχει μί κριώς ρίζ στο [, ].. Ν εξηγήσετε το λόγο ου δεν υάρχει συνεχής, μη στθερή συνάρτηση :. Γ. Θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής [Β 9, σελ. 8]. Έστω συνεχής μη στθερή συνάρτηση : [, 4]. N δείξετε ότι υάρχει έν τουλάχιστον [, 4] τέτοιος ώστε ν ισχύει () () () (4). 6 Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

67 Δ. Γενικά κι όριστ. Ν δειχθεί ότι η εξίσωση (,) έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημ. Ν οδειχθεί ότι η εξίσωση e έχει μι κριώς ργμτική ρίζ. 4. Ν οδείξετε ότι η εξίσωση ρ,ρ, κι ισχύει ότι κ λ μ μ λ. ρ ρ κ 5. Ν δειχθεί ότι η συνεχής συνάρτηση : με κ, λ,μ έχει κριώς δύο ρίζες, τις τέτοι ώστε γι κάθε ν ισχύει ()()() e συν, έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο (,). 6. Ν οδειχθεί ότι η εξίσωση ln, με διάστημ (,). έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο 7. Αν η είνι συνεχής στο κι ισχύει ότι () ( ) γι κάθε, ν οδείξετε ότι η εξίσωση () έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο. 8. Έστω η συνεχής συνάρτηση : [, 4] με () (4) h() () ( ). ) Ν ρείτε το εδίο ορισμού της h ) Ν οδείξετε ότι η h είνι συνεχής συνάρτηση. κι η συνάρτηση γ) Ν οδείξετε ότι η εξίσωση () ( ) έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο [,]. 9. Αν η είνι συνεχής στο [,] κι ισχύει συν () γι κάθε [,], ν δείξετε ότι η διτηρεί στθερό ρόσημο στο (,).. Έστω η συνεχής : με () κι, 4 είνι διδοχικές ρίζες της εξίσωσης (). lim[ () ]. Ν ρείτε το. Δίνετι η συνεχής συνάρτηση γι κάθε. Ν ρείτε: ) την τιμή () ) τον τύο της γ) το όριο ημ lim () : * γι την οοί ισχύει: 4 () 6() 5 4,. Γι τις συνρτήσεις () κι g() ισχύει: Ν δειχθεί ότι ν το σύνολο τιμών της g είνι το g() (), γι κάθε κι (-) (). B,. Αν γι την : ισχύει () () () κι () ότι η δεν είνι συνεχής. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης , τότε η δεν είνι συνεχής. γι κάθε, ν δείξετε 4. Μι συνάρτηση είνι ορισμένη κι συνεχής στο. Γι κάθε ισχύει η ισότητ () (). Ν οδείξετε ότι η είνι στθερή.

68 5. Έστω συνάρτηση εριττή κι συνεχής στο, με lim (συν). Ν δείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον έν (, ) ώστε (). 6. Η συνάρτηση είνι συνεχής στο, κι () γι κάθε,. Ν οδείξετε ότι υάρχει, ώστε () (). 7. Δίνετι η συνεχής συνάρτηση : με (), γι κάθε. Αν η C διέρχετι ό το σημείο A(, ), ν δείξετε ότι: ) (), γι κάθε. ) υάρχει ξ(, ), τέτοιο ώστε: ξ (ξ). 8. Έστω συνεχής συνάρτηση : με ( ), η οοί ικνοοιεί τη σχέση 6 () () γι κάθε. N ρεθούν οι τιμές () κι (). 9. Δίνετι η συνάρτηση 7 () είνι δύντη στο [,5]. e (), ορισμένη στο [,5]. Ν δείξετε ότι η εξίσωση. Δίνετι η συνάρτηση () e. Ν δειχθεί υάρχουν,, [, ] τ σημεί A()()(),,B,, Γ, ν νήκουν στην γρφική ράστση της. ώστε. Έστω η συνεχής συνάρτηση : [,] με lim () κι ()(). N δείξετε ότι η εξίσωση () 4 έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (,).. Η συνάρτηση είνι συνεχής στο [,] με (-) (), ν οδείξετε ότι υάρχει (, ) ώστε ( ) 4() 7().. Έστω : [,], συνεχής κι γνήσι φθίνουσ συνάρτηση με () (), κ, λ,μ * κι γ(,). Ν οδείξετε ότι υάρχει (,), ώστε (κ λ μ)() κ() λ(γ) μ(). 4. Έστω η συνάρτηση, () 5,,,., ) Ν ρεθούν οι τιμές των, ώστε η ν είνι συνεχής στο. ) Με δεδομένο ότι η είνι συνεχής κι lim () i) Ν ρεθεί η συνάρτηση h() () g(), όου g() ln(-). ii) Αοδείξτε ότι η C h iii) Αοδείξτε ότι η συνάρτηση τέµνει τον άξον σε έν τουλάχιστον σηµείο. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης τουλάχιστον κοινό σημείο γι κάθε κ. Φ() () κι η ευθεί y κ, κ έχουν έν

69 5. Δίνετι η συνεχής συνάρτηση : κάθε κι () 4. γι την οοί ισχύουν: () () γι ) Ν υολογίσετε το όριο: () lim (4). ) Αν lim () 8, οδείξτε ότι η C 5 διέρχετι ό το σημείο με τετγμένη 6. γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g() () συν(). Αοδείξτε ότι η C g τέμνει τον άξον σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημ (4,7). δ) Αοδείξτε ότι υάρχει [, 7], τέτοιο ώστε ν ισχύει () () () 5(5). 6. Δίνετι η συνάρτηση :(,] με () ln. ) Ν ρεθεί το σύνολο τιμών της ) Ν δειχθεί ότι υάρχει κριώς έν ξ(,] τέτοιο, ώστε ξ lnξ ξ. Κι δυο ρολήμτ: 7. Ένς κλόγερος ξεκινά κριώς με την ντολή ό το μονστήρι του ου ρίσκετι στους ρόοδες του ουνού κι νείνει ρος το κελί του ου ρίσκετι στην κορυφή. Αφού ξεκουράστηκε ολλές φορές στην διδρομή, φθάνει στο κελί του κριώς με την δύση. Μετά ό μερικές μέρες νηστείς κι ροσευχής, ξεκινά άλι με την ντολή ό το κελί ν κτείνει ρος το μονστήρι στο οοίο φθάνει άλι κριώς με την δύση. Ν οδείξετε ότι υάρχει έν τουλάχιστον σημείο της διδρομής ό το οοίο ο κλόγερος έρσε την ίδι χρονική στιγμή κι στις δύο ορείες ου έκνε. 8. Ν οδείξετε ότι κάθε χρονική στιγμή υάρχουν δύο ντιδιμετρικά σημεί του ισημερινού της Γης, τ οοί έχουν την ίδι θερμοκρσί. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

70 Φυλλάδι555 Ενότητ η ο.8 Ερωτήσεις άνω στη θεωρί Ερωτήσεις τύου Σωστό - Λάθος. Η συνάρτηση είνι συνεχής στο A ν κι μόνο ν lim () ().. Η συνάρτηση είνι συνεχής στο A ν κι μόνο ν lim ( h) ().. Αν γι την συνάρτηση : ισχύει () (7) 6, τότε η εξίσωση () τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ,7. 4. Αν η συνάρτηση : h έχει μί ληροί τις ροϋοθέσεις του θεωρήμτος Bolzano στο διάστημ 7, 7, τότε η είνι συνεχής στο Η εικόν ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνάρτησης, είνι άντ διάστημ. 6. Αν η συνάρτηση : έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ,7, τότε η ληροί τις ροϋοθέσεις του θεωρήμτος Bolzano στο διάστημ,7. 7. Μι συνάρτηση ου είνι ορισμένη σε κλειστό διάστημ,, έχει άντ μί μέγιστη κι μί ελάχιστη τιμή. 8. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο, κι,, τότε lim (). 9. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο,7,7,5 6,8., τότε. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο,7, τότε,7 lim (), lim () 7.. Αν γι την συνεχή συνάρτηση στο,7 ισχύει () 5 κι (7) 7, τότε η εξίσωση () 45 είνι δύντη.. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής σε σημείο κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο, τότε η συνάρτηση g είνι συνεχής στο.. Αν οι συνρτήσεις, g είνι συνεχής σε σημείο, τότε η συνάρτηση g είνι συνεχής στο. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

71 4. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής σε σημείο κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο, τότε η συνάρτηση g είνι συνεχής στο. 5. Αν οι συνρτήσεις, g είνι συνεχής σε σημείο, τότε η συνάρτηση g είνι συνεχής στο. 6. Αν γι μι συνεχή συνάρτηση στο διάστημ, ισχύουν lim (), τότε η έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο,. 7. Αν γι μι συνάρτηση :, ισχύουν lim () κι lim (), τότε το σύνολο τιμών της είνι το,. lim () κι 8. Αν οι συνρτήσεις, g είνι συνεχής σε σημείο, τότε η συνάρτηση g είνι συνεχής στο. 9. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστημ,, τότε η συνάρτηση συνεχής στο διάστημ, 4. είνι. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστημ, ξίσωση έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο,. κι ισχύει () (), τότε η ε-. Υάρχει ολυώνυμο P() με διδοχικές ρίζες τους ριθμούς, 4, 8 τέτοιο ώστε: P() P() P(5) P(7).. Αν η συνάρτηση :, γ,δ, τότε δεν είνι συνεχής στο διάστημ έχει σύνολο τιμών το διάστημ,.. Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής στο, κι υάρχει ξ, ώστε (ξ), τότε θ ισχύει (), η εξίσωση () δεν έχει ρίζ στο, γι κάθε,. 4. Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστημ,, κι ίρνει δύο διφορετικές τιμές (), () με,,, τότε ίρνει όλες τις τιμές μετξύ των () κι (). 5. Κάθε συνεχής συνάρτηση στο, με () (), ίρνει μόνο τις τιμές μετξύ των () κι (). 6. Aν ()()() 5 () γι κάθε, τότε η είνι συνεχής στο. 7. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο με (), τότε κοντά στο είνι ομόσημες του (). οι τιμές της Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

72 8. Έστω μι συνάρτηση συνεχής στο διάστημ,. Αν η είνι - στο,, τότε είνι κι γνησίως μονότονη στο,. 9. Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ Δ, τότε η ντίστροφή της είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (Δ).. Αν η συνάρτηση με εδίο ορισμού έν διάστημ Δ είνι συνεχής κι - στο Δ, τότε η συνάρτηση είνι συνεχής στο (Δ).. Κάθε συνεχής συνάρτηση με εδίο ορισμού το έχει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή.,. Έστω η συνάρτηση () -,. Ισχύει ότι η είνι συνεχής στο {}.. Η συνάρτηση, της οοίς η γρφική ράστση φίνετι στο σχήμ, είνι συνεχής. y y 4. Η συνάρτηση, της οοίς η γρφική ράστση φίνετι στο σχήμ, είνι συνεχής. y - y Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

73 Ερωτήσεις Πολλλών Ειλογών. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστημ,,τότε οι ό τις ρκάτω ροτάσεις είνι άντ ληθής; Α: Η έχει ρίζ Β: ( ) ( ) Γ: Η δεν έχει ελάχιστο Δ: Η συνάρτηση g() ημ() είνι συνεχής. Η συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστημ,,. Ποι ό τις ρκάτω ροτάσεις είνι άντ ληθής; Α: Η έχει ελάχιστο. Β: lim ()( lim ) Γ: Η έχει ρίζ στο,,. Δ: Αν () κι (5) 8, τότε υάρχει δ τέτοιο ώστε (δ) 4.. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστημ ροτάσεις είνι άντ ληθής; Α: lim () Β: Η έχει μέγιστο στο Γ: lim (), () Δ: Η συνάρτηση g() είνι συνεχής συν,,.,τότε οι ό τις ρκάτω, γι κάθε, τότε οι ό τις ρκά- 4. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής κι τω ροτάσεις είνι άντ ληθής; () ( ) Α: Η συνάρτηση h(), με h(), είνι συνεχής στο. 4 Β: Η δεν έχει ελάχιστο. ( ) Γ: Η συνάρτηση g(), με g(), είνι συνεχής στο. Δ: Η () έχει μί ρίζ. 4 Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

74 5. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστημ, τις ρκάτω ροτάσεις σωστή είνι άντοτε η κι ισχύει () (), τότε ό Α: () γι κάθε, Β: δεν υάρχει ξ, ώστε (ξ) Γ: η διτηρεί στθερό ρόσημο στο, Δ: η C δεν τέμνει οτέ τον άξον y y Ε: κμί ό τις ροηγούμενες ροτάσεις 6. Αν η συνάρτηση έχει γρφική ράστση ου φίνετι στο σχήμ, τότε η εξίσωση () = έχει Α: δύο ρίζες Β: κμί ρίζ Γ: ερισσότερες ό μί ρίζες Δ: μόνο μί ρίζ Ε: τίοτ ό τ ράνω y () O () o 7. Η γρφική ράστση της συνεχούς συνάρτησης είνι υτή ου φίνετι στο σχήμ. Το σύνολο τιμών της είνι y () Α: (),() Β: Γ: (),() (),() Δ: (),() Ε: κνέν ό τ ροηγούμεν () O 8. Η γρφική ράστση της συνεχούς συνάρτησης είνι υτή ου φίνετι στο σχήμ. Το σύνολο τιμών της είνι y ( μ) () Α: Β: (),() (), () ε μ Γ: (),() Δ: (), () ε μ Ε: κνέν ό τ ροηγούμεν () ( ε ) μ ε Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

75 9. Δίνετι μι συνάρτηση με εδίο ορισμού το κι οι ροτάσεις: Ι. συνεχής ΙΙ. άρτι ΙΙΙ. γνησίως μονότονη Η ντίστροφη της υάρχει, ότν ισχύει Α: η Ι Β: η ΙI Γ: οι Ι κι ΙΙ Δ: η ΙΙΙ Ε: η Ι ή η ΙΙ. Γι τη συνάρτηση με τύο () 4 e ισχύει y Α: lim() 4 Β: lim( ) 4 - Γ. η γρφική ράστση της μορεί ν είνι υτή ου φίνετι στο διλνό σχήμ Δ. lim () lim () E. τίοτ ό τ ράνω y n (- ), (-, ). Δίνετι η συνάρτηση (), [, ). Τότε Α. η δεν είνι συνεχής στο (-, ) B. η δεν είνι συνεχής στο (, + ) Γ. η δεν είνι συνεχής στο Δ. lim() E. lim( ) - Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

76 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διφορικός Λογισμός Σημντικές ρτηρήσεις Φυλλάδι555 Ενότητ 4 η ο. Η έννοι της ργώγου. Γι ν ρούμε τον ράγωγο ριθμό μις συνάρτησης σ έν σημείο, ροσέχουμε τ εξής: Το σημείο ρέει ν νήκει στο εδίο ορισμού της συνάρτησης. Ν υάρχει διάστημ της μορφής,, ή, ή, υοσύνολο του εδίο ορισμού της συνάρτησης. Η συνάρτηση ν είνι συνεχής στο. το οοίο ν είνι. H έννοι της ργώγου στο ρίσκει εφρμογή στη φυσική φού: ν θεωρήσουμε = S(t) τη συνάρτηση θέσης ενός κινητού τότε η στιγμιί τχύτητ τη χρονική στιγμή t δίνετι ό τη σχέση υ(t) S(t), δηλδή είνι η ράγωγος της συνάρτησης θέσης. S(t) S(t) Σχόλιο: Ότν έν κινητό κινείτι ρος τ δεξιά, τότε κοντά στο t ισχύει, t t οότε είνι υ(t). S(t) S(t) Ενώ, ότν το κινητό κινείτι ρος τ ριστερά κοντά στο t ισχύει t t δίνε- είνι υ(t). Αντίστοιχ, ροκύτει ότι η ειτάχυνση (t) ενός κινητού τη χρονική στιγμή t τι ό τη σχέση (t) υ(t), δηλδή είνι η ράγωγος της τχύτητς., οότε Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης Βσικές Προτάσεις (χωρίς όδειξη) Αν μι συνάρτηση είνι ργωγίσιμη σε έν, τότε είνι κι συνεχής στο. [Θεώρημ σελ. 99 σχολικού] Αν μι συνάρτηση δεν είνι συνεχής σε έν τότε δεν είνι κι ργωγίσιμη στο. [Λόγω ντιθετοντιστροφής του ράνω θεωρήμτος] Μέθοδοι. Αν ζητείτι ν εξετάσουμε ν μι συνάρτηση με κλάδους, όλυτες τιμές κ.λ.. είνι ργωγίσιμη στο σημείο ου λλάζει τύο, τότε, ρίσκουμε τ λευρικά όρι του λόγου μετολής κι κάνουμε χρήση του ορισμού.

77 . Αν ζητείτι ν εξετάσουμε ν μι συνάρτηση είνι ργωγίσιμη σε κρίο σημείο του εδίου ορισμού της, τότε, εργζόμστε με χρήση του ορισμού στο σημείο υτό, δηλ, ρίσκουμε το όριο του λόγου μετολής της στο σημείο υτό.. Γι ν ρούμε ρμέτρους ώστε η ν είνι ργωγίσιμη σ έν σημείο D ιτούμε η ν είνι κτρχήν συνεχής στο κι μετά ν υάρχει το όριο του λόγου μετολής της στο το οοίο ν είνι ργμτικός ριθμός. 4. Αν ζητείτι ν δείξουμε ότι μι συνάρτηση, γι την οοί δεν γνωρίζουμε τον τύο της λλά μόνο κάοι νισοτική σχέση ου ικνοοιεί, είνι ργωγίσιμη στο του εδίου ο- ρισμού της, τότε: ρίσκουμε την τιμή ό τη δοσμένη σχέση θέτοντς όου το. () () Σχημτίζουμε το λόγο μέσ στη δοσμένη νισότητ. Χρησιμοοιούμε τις ιδιότητες των ορίων (.χ. το κριτήριο ρεμολής) κι ρίσκουμε το () () lim (). 5. Αν ζητείτι ν δείξουμε ότι μι συνάρτηση, γι την οοί δεν γνωρίζουμε τον τύο της λλά μόνο κάοιες ιδιότητές της (.χ. συνρτησικές σχέσεις) κι ότι είνι ργωγίσιμη στο σημείο του εδίου ορισμού της, είνι ργωγίσιμη στο εδίο ορισμού της (δηλ. γι κάθε ), τότε: Βρίσκουμε το () ό τις δοσμένες σχέσεις () () Έχουμε λέον γνωστό ότι lim ( ) () () Πίρνουμε το λόγο κι ρίσκουμε το όριό του ότν χρησιμοοιώ- ντς το ράνω όριο. Αυτό γίνετι συνήθως κάνοντς λλγή μετλητής ώστε ό ν ίρνουμε h. Ειδικά: ν η συνρτησική σχέση είνι της μορφής ( ) τότε κάνουμε την λλγή μετλητής h, ενώ ν η σχέση ου δίνετι είνι της μορφής g( ) τότε κάνουμε την λλγή μετλητής h, h. 6. Αν ζητείτι ν υολογισθεί όριο ου κρύει όριο λόγου μετολής, εξετάζω ν το όριο () () ου δίνετι έχει τη μορφή lim, όου κτάλληλη συνάρτηση οότε κάνω χρήση του ορισμού της ργώγου κι των κνόνων ργώγισης. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

78 Ασκήσεις. Ν εξετάσετε ν είνι ργωγίσιμες οι συνρτήσεις ) () στ σημεί κι.,, ) g() συν, στο σημείο. [Όλες του σχολικού σελ.-4]. Αν. Αν ημ, (), ν ρείτε τ, ώστε η ν είνι ργωγίσιμη στο. 4, () γ, >,, ν ρείτε τ,, γ ώστε η ν είνι ργωγίσιμη στο. 4. Έστω με g(), g(). Ν ρείτε τ, ώστε η συνάρτηση είνι ργωγίσιμη στο. 5. Θεωρούμε συνάρτηση συνεχή στο κι γι κάθε ισχύει η ισότητ: g(), (), ν, () (). Ν ρείτε, ν υάρχει, την ράγωγο της στο σημείο =. () 6. Αν η συνάρτηση είνι ορισμένη στο κι συνεχής στο κι lim οδείξετε ότι η συνάρτηση είνι ργωγίσιμη στο. 7. Αν ργωγίσιμη συνάρτηση στο 8. Aν η συνάρτηση g είνι συνεχής στο είνι ργωγίσιμη στο () (), ν ρείτε το lim., ν -, ν δείξετε ότι η συνάρτηση () ) g( ν κι μόνον ν g(). 9. Αν, g ργωγίσιμες συνρτήσεις στο γι τις οοίες ισχύει () g() κι ()) g( γι κάθε, ν δείξετε ότι () g().. Αν γι κάθε ισχύει () ) g( με g() κι g(), ν δείξετε ότι η εί- νι ργωγίσιμη στο.. Αν οι συνρτήσεις, g είνι ργωγίσιμες στο κι ισχύει () g(), ν δείξετε ότι: () g(). ()() g,. Θεωρούμε συνάρτηση η οοί έχει την ιδιότητ:. Ν δείξετε ότι ().. Aν γι κάθε ισχύει 6 () g() κι οι συνρτήσεις, g είνι ργωγίσιμες στο σημείο, ν δείξετε ότι: ) ( ) g( ) κι ημ () () ημ, γι κάθε ) ( ) g( ) 9 Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

79 4. Έστω συνάρτηση : με (). Ν δείξετε ότι η συνάρτηση με τύο ( ), g() είνι ργωγίσιμη στο. ( 5), 5. Αν η είνι ργωγίσιμη στο σημείο ( h) () ) lim h h ) h γ) = () ( h) ( h) lim = 4 () h () () lim () () δ) lim e () () e () e () ε) h h ο ( h) () () lim, ν δείξετε ότι: 6. Έστω συνάρτηση συνεχής στο, γι την οοί ισχύει. N δειχθεί ότι η είνι ργωγίσιμη στο. () (), γι κάθε 7. Θεωρούμε συνάρτηση γι την οοί ισχύει: () () ημ, γι κάθε. Ν οδείξετε ότι: (i) ημ, γι κάθε. (ii) Η είνι ργωγίσιμη στο. 8. Θεωρούμε δύο συνρτήσεις, g γι τις οοίες ισχύει:. Ν οδείξετε ότι: ) ημ κι g ημ,. ) Οι συνρτήσεις κι g είνι ργωγίσιμες στο. *********** () g() ημ, γι κάθε 9. Αν : γι την οοί ισχύουν ()() y ()y y γι κάθε, y κι (). N δείξετε ότι ) Αν η είνι ργωγίσιμη στο, τότε η είνι ργωγίσιμη στο. ) Αν η είνι ργωγίσιμη στο με (), τότε η είνι ργωγίσιμη στο, (δηλδή σε κάθε ).. Αν :, ργωγίσιμη στο γι την οοί ισχύει ( ) ()συν ()συν γι κάθε,, ν οδείξετε ότι: ) () ) () () συν, γι κάθε. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

80 . Θεωρούμε συνάρτηση :, η οοί ικνοοιεί τη σχέση: ( y) () (y) () (y), γι κάθε, y. Αν η είνι ργωγίσιμη στο σημείο, ν οδείξετε ότι η είνι ργωγίσιμη στο, (δηλδή σε κάθε ).. Δίνετι η συνάρτηση τέτοι ώστε γι κάθε, y ν ισχύει: Δείξτε ότι η είνι ργωγίσιμη σε κάθε. () y ( y) () y.. Έστω συνάρτηση ορισμένη στο, συνεχής στο, η οοί ικνοοιεί τη σχέση 4 () ημ γι κάθε. Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση είνι ργωγίσιμη στο. 4. Έστω συνάρτηση ργωγίσιμη στο με (), η οοί γι κάθε, y * ικνοοιεί τη σχέση ( y) () (y) (). Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση είνι ργωγίσιμη σε κάθε *, με (). 5. Έστω συνάρτηση : ργωγίσιμη στο. Ν οδείξετε ότι () () lim( ) (), όου, με. 6. Έστω μί συνάρτηση η οοί γι κάθε, y ικνοοιεί τη σχέση () (y) y (). Ν οδείξετε ότι: ) () (y) y γι κάθε, y. ) Η συνάρτηση είνι ργωγίσιμη σε κάθε, (). 7. Έστω συνάρτηση :(,) η οοί ικνοοιεί τη σχέση: () (y) ( y) y, γι κάθε, y. Αν είνι (), ν οδείξετε ότι η είνι ργωγίσιμη σε κάθε (,). τέτοι, ώστε y y ) Ν οδείξετε ότι. 8. Έστω συνάρτηση : * γι κάθε *, y. ) Ν οδείξετε ότι () (y). y γ) Ν οδείξετε ότι (y). y δ) Αν η είνι ργωγίσιμη στο, ν οδείξετε ότι θ είνι ργωγίσιμη στο κάθε. 9. Έστω συνάρτηση ργωγίσιμη στο με (), η οοί ικνοοιεί τις σχέσεις: () γι κάθε () κι () (y) 6 ( y) (y) γι κάθε, y (). Ν οδείξετε ότι η είνι ργωγίσιμη σε κάθε R, με () (). Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

81 Φυλλάδι555 Ενότητ 5 η ο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σημντικές ρτηρήσεις. Τ σύμολ () κι () είνι τυτόσημ. Εκφράζουν κι τ δύο την ράγωγο συνάρτηση της. Όμως, δε συμίνει το ίδιο γι τ σύμολ () κι (). Το () εκφράζει την τιμή της ργώγου της στο σημείο, ενώ το () φού ρόκειτι γι ράγωγο στθερού ριθμού (). είνι, -. Η ράγωγος μις συνάρτησης δεν είνι κτ νάγκη μι συνεχής συνάρτηση.. Αν ργωγίσιμη σε σύνολο Α, δεν συμερίνετι ότι η είνι ργωγίσιμη στο Α. Πρώτ λλσσόμστε ό το όλυτο 4. Αν ργωγίσιμη σε σύνολο Α, δεν συμερίνετι ότι η είνι ργωγίσιμη στο Α. 5. Η συνάρτηση () έχει εδίο ορισμού το,,. λλά ργωγίζετι στο 6. Αν υάρχει η νιοστή ράγωγος της συνάρτησης στο D (δηλδή το () (ν) ), σημίνει ότι η είνι συνεχής στο (ν ) κι ορίζετι σε σύνολο της μορφής ( θ, θ) ή (, ] ή [,), με θ. (νιο- 7. Προσοχή! Είνι διφορετικοί οι συμολισμοί στή δύνμη), φού: (ν)(ν ) () () (ν) () (νιοστή ράγωγος) κι ενώ ν ν () () (). ν () Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

82 Ασκήσεις [Α,,4,5 Β, σελ.9-]. Ν οδείξετε ότι:. Ν οδείξετε ότι: e lim. ln lim.. Έστω συνάρτηση : τέτοι, ώστε ( y) () (y) γι κάθε, y. ) Ν οδείξετε ότι (). ) Ν οδείξετε ότι ( y) () (y). γ) Ν οδείξετε ότι η είνι εριττή. δ) Αν η είνι ργωγίσιμη στο, τότε η είνι ργωγίσιμη. 4. Αν γι την συνάρτηση :, ισχύει: ( y) () (y) γι κάθε, y(,) κι ν οδείξετε ότι η είνι ργωγίσιμη. () γι κάθε (,), 5. Έστω : συνάρτηση ργωγίσιμη στο με () κι (). Ν υολογίσετε τ όρι: ) ) γ) () lim () lim () lim 6. Γι τις συνρτήσεις, g δίνοντι συνεχής στο κι όχι ργωγίσιμη σ υτό κι g ργωγίσιμη στο. Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση ( g)() είνι ργωγίσιμη στο, ότν κι μόνο ότν g(). 7. Δίνετι η συνάρτηση : με τύο ) Ν ρείτε την ράγωγο της συνάρτησης., () ημ, ) Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση είνι συνεχής στο. γ) Ν υολογίσετε το όριο lim (). Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

83 Φυλλάδι555 Ενότητ 6 η ο. ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σημντικές ρτηρήσεις. Οι κνόνες ργώγισης ισχύουν γι τις τιμές του στις οοίες όλες οι συνρτήσεις ου εμφνίζοντι ργωγίζοντι. Σχόλιο: Οι κνόνες ργώγισης εφρμόζοντι μόνο σε νοικτά διστήμτ.. Αν θέλουμε ν ρούμε την ράγωγο του θροίσμτος δύο ργωγίσιμων συνρτήσεων, g στο, τότε γράφουμε ( g)() () g() κι όχι () g() γιτί () g() ως ράγωγος της στθερής συνάρτησης () g(). Αντίστοιχη ροσοχή δίνουμε ν θέλουμε ν ρούμε την ράγωγο του γινομένου ή του ηλίκου ή της σύνθεσης δύο ργωγίσιμων συνρτήσεων.. Αν μι συνάρτηση δεν είνι ργωγίσιμη σε έν σημείο του εδίου ορισμού της, δεν σημίνει ότι κι η g, η g ή η g δεν είνι ργωγίσιμη στο. Η εξέτση της ργωγισιμότητς στο σε οοιδήοτε ό τις ράνω συνρτήσεις γίνετι με την οήθει του ορισμού. 4. Μορεί δύο συνρτήσεις, g ν μην είνι ργωγίσιμες σε έν σημείο του εδίου ο- ρισμού τους κι η συνάρτηση g ή g ή g ν είνι ργωγίσιμη στο. Πράδειγμ: Οι συνρτήσεις, g δεν είνι ργωγίσιμες στο σημείο, ενώ η συνάρτηση g έχει τύο ( g)() κι είνι ργωγίσιμη στο. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

84 5. Αν θέλουμε ν υολογίσουμε την ράγωγο συνάρτηση μις συνάρτησης ορισμένης στο Α, θ δουλεύουμε ως εξής: i) Με κνόνες ργώγισης θ υολογίζουμε την, στ νοικτά διστήμτ του εδίου ορισμού της. ii) Εκεί ου κλείνει το εδίο ορισμού Α της ή στ σημεί ου λλάζει ο τύος της, θ δουλεύουμε άντ με τον ορισμό της ράγωγου σε σημείο, γι ν λέουμε ν ορίζετι στη θέση υτή ράγωγος, οότε το σημείο υτό του Α της, θ νήκει στο εδίο ορισμού της ργώγου συνάρτησης, στην ντίθετη ερίτωση δεν θ νήκει στο εδίο ορισμού της ργώγου συνάρτησης. Σχόλιο: Δεν ρίσκουμε οτέ το εδίο ορισμού της ργώγου συνάρτησης ό τον τύο. 6. Αν γι τις συνρτήσεις,g ισχύει ότι () g() τότε () g(). Ενώ ν () g() σημίνει ρίτητ ότι () g(). δεν 7. Αν μι συνάρτηση ορισμένη σε διάστημ Δ, ντιστρέφετι κι η (Δ) με (), ( Δ), τότε: ργωγίσιμη στο, Δ Αόδειξη: Γι κάθε (Δ) ισχύει () εομένως: ()(), ( Δ) () (). Η σχέση () εξσφλίζει ότι, ν () y κι (), τότε. ()(y) Βσικές Προτάσεις (χρειάζοντι όδειξη). Αν μί συνάρτηση είνι άρτι κι ργωγίσιμη στο εδίο ορισμού της, τότε η είνι εριττή.. Αν μί συνάρτηση είνι εριττή κι ργωγίσιμη στο εδίο ορισμού της, τότε η είνι άρτι. ****** Σχόλιο: Ακολουθούν ίνκες με ργώγους συνρτήσεων κι κνόνες ργώγισης, κτά ράση ης γενικής ρχής ότι συνήθως δεν εμφνίζετι στ φυλλάδι θεωρί ου υάρχει μέσ στο σχολικό ιλίο. Αυτό γίνετι, κυρίως, γι ν υάρχουν συγκεντρωμέν σε έν μέρος όλοι οι τύοι κι τ ντίστοιχ εδί ορισμού γι ν διευκολύνετι το διάσμ των μθητών. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

85 ( ΠΙΝΑΚΑΣ Ι ) Πράγωγοι στοιχειωδών συνρτήσεων Συνάρτηση A Πράγωγος Διάστημ ου ργωγίζετι η ) () c (c) ) () () ) 4) 5) ν (), ν {, } κ * (), κ * () 6) () ln 7) () log 8) () ln 9) () ) ) (), [,), ν, (,), ν (,) (,) * () () () ν ν ν κ * κ κ (ln ) [,) e (), [,), ν, (,), ν (,) (log ) (,) ln (ln ) * (e e ) () ln ) () ημ (ημ) συν ) () συν (συν) ημ 4) () εφ A { / συν } { / κ,κ } (εφ) συν ( εφ ) (,) A A 5) () σφ A { / ημ } { / κ,κ } (σφ) ημ ( σφ ) A A 6) () * * 7) (),, * Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

86 Ειδική ερίτωση: ργώγιση της συνάρτησης () Αν μ είνι εριττός ριθμός, τότε η συνάρτηση γράφετι: Αν μ είνι άρτιος ριθμός, τότε η συνάρτηση γράφετι: ν μ *, ν,μ. () μ () ν με A [,). ( ), με μ μ ν ν μ ν, Στη συνέχει, ργωγίζουμε τον κάθε κλάδο στο ντίστοιχο νοιχτό διάστημ κι ε- λέγχουμε ν είνι ργωγίσιμη στο άκρο ή στο σημείο λλγής του τύου. Προσοχή! Η συνάρτηση A [,) ενώ A g. μ () ν με μ άρτιο, είνι διφορετική ό την ( ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ ) Κνόνες Πργώγισης (φορά συνρτήσεις ργωγίσιμες σε έν διάστημ Δ) ) Πράγωγος θροίσμτος ( g)() () g() ) Πράγωγος γινομένου ριθμού εί συνάρτηση ) Πράγωγος γρμμικού συνδυσμού συνρτήσεων 4) Πράγωγος γινομένου (λ )() λ () g() ν μ, φού A. (λ λ... λ )() λ () λ ()... λ () κ κ κ κ ( g)() () g() () g() λλά κι () g() () g() 5) Πράγωγος ηλίκου () g g() ( g h)() () g() h() () g() h() () g() h() (γι ερισσότερες των ργόντων-συνρτήσεων ομδοοιούμε κι κολουθούμε τους ροηγούμενους κνόνες) ( ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙΙ ) Πράγωγος σύνθετης συνάρτησης Αν η συνάρτηση g είνι ργωγίσιμη στο Δ κι η είνι ργωγίσιμη στο g(δ), τότε κι η συνάρτηση g είνι ργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει: ( g)() (g()) g() ή λλιώς (g()) (g()) g() Αν u g(), τότε: (u) (u) u Αν y (u) κι u g(), τότε: dy dy du (κνόνς της λυσίδς) κι γενικά d du d dy dy du du du κ Αν y (u(u(u(...u()...))))), τότε:... κ d du du du d Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

87 ( ΠΙΝΑΚΑΣ ΙV ) Πράγωγοι σικών συνθέτων συνντήσεων Αν η συνάρτηση () είνι ργωγίσιμη, τότε έχουμε: ν ν () ν () (), ν {,} ) ) () ) (), () ) ) ημ() 4) συν() () Αν u (),όου είνι ργωγίσιμη συνάρτηση, τότε έχουμε: ν ν u ν u u, ν {,} u u, u u συν() () ) ημu συνu u ημ() () 4) συνu ημu u () συν () συν () 5) εφ() () 5) εφu u () ημ () ημ () u συν u συν u u ημ u ημ u 6) σφ() () 6) σφu u () e e () () 7) 8) ln () 9) log () () ) u u 7) e e u () () () () 8) ln u () () ln () ln () ) 9) log u u u u u u u ln u u ) ln u λ λ () λ () (), (), λ {, } ) g() Προσοχή! Αν φ() [()] με (), τότε γράφουμε φ() e λ λ u λ u u, u, λ {, } g() ln() κι ργωγίζουμε g() g() ln() g() ln() g() φ() [()] e e g() ln () [()] g() ln ()... Σχόλιο: Το εδίο ορισμού της ργώγου των ράνω συνρτήσεων ροκύτει εύκολ ρτηρώντς τον ντίστοιχο τύο. Ωστόσο, ο έλεγχος της ύρξης ργώγου σε άκρ διστημάτων γίνετι ρίτητ με τον ορισμό. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

88 Ασκήσεις. Ν ρεθεί η ράγωγος των ρκάτω συνρτήσεων: e ln ημ συν, g ημ, h, εφ ) ημ ln ημ συν ημ e ), g, h, φ γ) δ) e () e [Α,,,4,6,,,4,5 Β 7,9 σελ.-] συν ημ (),, g()( ημ),,, h()( ),, φ(), () ημ ημ,, g() log(ημ), (, )(, ), h() ημ(συν )συν(ημ ) ε). Βρείτε τις ργώγους των ρκάτω συνρτήσεων κάνοντς χρήση του συμολισμού. Leibniz (κνόνς της λυσίδς): ) φ() ln(ημ), (, ) 4 k() συν( ) Αφού ρώτ υολογίσετε τ εδί ορισμού των ρκάτω συνρτήσεων, ν ρείτε τις ργώγους υτών: ) ) ()(e )ln( ) g() ln( ) γ) e e h() ( )ln 4. N ρεθεί το εδίο ορισμού των ργώγων των συνρτήσεων: ) ) γ) () g() h() N ρεθεί η ράγωγος της στο σημείο ότν: () ημ κι. 6. Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση : γι την οοί () ημ() γι κάθε. N ρείτε την (). 7. Aν η είνι δύο φορές ργωγίσιμη στο κι εριττή, τότε ν ρείτε: ) την () ) την g() κι, ότν () = κι g() ()ημ (ημ) συν 8. Αν ()= +ημ, ν ρείτε το N οδείξετε ότι: Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

89 ) Αν ) Αν y e ln, τότε, τότε γ) Αν y e ημ συν () () dy y d, τότε y y e συν. Δίνετι η ργωγίσιμη στο συνάρτηση τέτοι ώστε γι κάθε ν ισχύει: ( ) (). Δείξτε ότι η εφτομένη της γρφικής ράστσης της στο είνι ράλληλη στον άξον. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης Aν. Aν () () 64 7, ν δείξετε ότι υάρχει σημείο ημ συν, γι το οοίο ( ). κι g(), (g )() g () () ) Εξετάστε ν ισχύει η σχέση ) Εξετάστε ν ισχύει η σχέση (g )() g () () ***** κι ρείτε την (g )().. Υάρχει η (g )() ;. Ν ρεθεί ολυώνυμο P() τέτοιο ώστε γι κάθε ν ισχύει: P 4P P() ) Αν Ρ() είνι έν ολυώνυμο θμού ν, ν οδείξετε ότι ο ρ κι είνι ράγοντάς του ν κι μόνο ν ο ρ είνι ρίζ του ολυωνύμου κθώς κι της ργώγου του. Δηλδή, ) Ν οδείξετε ότι το Ρ ρ Ρ ρ Ρ ρ. ν ν ν ν ν ν, ν Ν είνι ράγοντς του ολυωνύμου με ν. γ) Ν ρείτε τους ργμτικούς ριθμούς, ώστε το ολυώνυμο 4 ν διιρείτι ό το Ρ Έστω το ολυώνυμο γ με ρίζες ρ,ρ,ρ διφορετικές μετξύ τους. Ν οδείξετε ότι : i) ii) iii) iv) ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ γ γι κάθε ρ,ρ,ρ γ ρ ρ ρ γ *****

90 6. Ν ρείτε τ θροίσμτ: ) ) S e e e e ν ν S e e e νe, ν Ν. 7. Αν η συνάρτηση :, είνι ργωγίσιμη κι ισχύει y ( y) e () e (y) (), γι κάθε, y,, ν δειχθεί: ) () κι ) () () ()e, γι κάθε. 8. Δίνετι η ργωγίσιμη συνάρτηση : γι κάθε * τέτοι ώστε (y) () (y),y * R κι (). Δείξτε ότι: ) () (y) y κι ) () ( ) 9. Δίνετι η δυο φορές ργωγίσιμη συνάρτηση :, γι την οοί ισχύει: () κι ( y) ( y) ()(y) γι κάθε, y. Ν οδείξετε ότι: () () γι κάθε.. Α. Έστω :(,) R [Υολογισμός της - ] συνάρτηση, γνησίως μονότονη κι συνεχής. Αν η είνι ργωγίσιμη στο (,) με () κι η είνι συνεχής στο () τότε: η ργωγίζετι στο Β. Δίνετι η συνάρτηση. Δίνετι η () e,.. () () κι ισχύει () () () e, ν ρείτε τον ριθμό ( )(). (i) Ν οδείξετε ότι η είνι ντιστρέψιμη κι ν ρείτε το εδίο ορισμού της - (ii) Αν γνωρίζουμε ότι η ()(). - είνι ργωγίσιμη στο D -, ν οδείξετε ότι. Aν () ημ,, ν οδείξετε ότι ()(), (,). Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

91 Φυλλάδι555 Ενότητ 7 η ο. -. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σημντικές ρτηρήσεις. Η εφτομένης της γρφικής ράστσης C συνάρτησης σε σημείο εφής Α(, y) είνι ευθεί ου διέρχετι ό το σημείο Α(, y)(, ()) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης την ράγωγο () της στο. Εομένως, η εξίσωση της είνι: y () ()( ) Μεθοδολογί ΓΕΝΙΚΗ ΟΔΗΓΙΑ: Ότν ζητείτι η εξίσωση εφτομένης μι συνάρτησης, τότε: ) Ότν γνωρίζουμε το σημείο εφής A(, ()) κι η συνάρτηση είνι ργωγίσιμη στο Α: η εξίσωση της εφτομένης ροκύτει άμεσ ό τον τύο. ) Ότν δεν γνωρίζουμε το σημείο εφής: το ορίζουμε εμείς, έστω M(, ()), γρά- φουμε την εξίσωση της εφτομένης στο, το οοίο τις συνθήκες του ρολήμτος. ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ρίσκουμε ικνοοιώντς ) Εφτομένη σε γνωστό σημείο Α(,()) της C. [Α 5 σελ, Α 7,B,9, σελ -] ) Βρίσκουμε () κι (). ) Γράφουμε την εξίσωση y () ()( ). ) Εφτομένη (ου διέρχετι) ό γνωστό σημείο Α, εκτός της C. [Α σελ ] ) Ονομάζουμε έστω M(, ()) τo άγνωστο σημείο εφής κι γράφουμε την εξίσωση της εφτομένης στο Μ ε (ε): y y ()( ). () (μονδικός, εομένως, άγνωστος είνι το ) M C ) Μετά ιτούμε η ευθεί ε ν διέρχετι ό το σημείο A Α. γ) Υολογίζουμε το κι γράφουμε τέλος την εξίσωση της ε. ) Εφτομένη με γνωστό συντελεστή διεύθυνσης λ [Α σελ, Α 8,9,B 8 σελ ] ) Ονομάζουμε έστω M(, ()) τo άγνωστο σημείο εφής. ) Τότε λ (), οότε το ροσδιορίζετι. γ) Γράφουμε, τέλος, την εξίσωση της ε. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

92 4) Ευθεί ου εφάτετι σε γρφική ράστση [A, Β,6 σελ ] Γι ν εφάτετι η ευθεί ε : y λ με την C ρέει ν υάρχει σημείο M(, ()) της C γι το οοίο ισχύουν συγχρόνως: ) Το σημείο Μ ν εληθεύει την (ε), δηλδή () λ. ) Η κλίση της ευθείς (ε) ν ισούτι με την ντίστοιχη της C, δηλδή ( ) λ. 5) Κοινή εφτομένη γρφικών ρστάσεων σε κοινό τους σημείο [Β σελ ] Θεωρούμε M(, ()) το κοινό σημείο εφής. Οι γρφικές ρστάσεις των κι g θ έχουν κοινή εφτομένη στο σημείο με τετμημένη ) () g() των C κι y g(), κι ) () g() ν ισχύουν συγχρόνως:, δηλδή το σημείο Μ είνι κοινό σημείο C, οότε εληθεύει τις y g, δηλδή οι C κι Cg εφτόμενες. Αό τις σχέσεις υτές υολογίζουμε το κι κτόιν την εξίσωση της κοινής εφτόμενης. () κι έχουν ράλληλες 6) Κοινή εφτομένη γρφικών ρστάσεων σε διφορετικά σημεί () Ζητείτι ν ρούμε τις εξισώσεις των κοινών εφτομένων των γρφικών ρστάσεων των κι g. Μι ευθεί (ε) θ είνι κοινή εφτομένη των C κι Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης C, g ν υάρχουν σημεί Α(, ()) κι Β(,g()) γι τ οοί ισχύουν: ) ( ) g() ) Η εφτομένη της C στο Α(, ()), διέρχετι ό το Β(,g()). Αό τις ράνω εξισώσεις ρίσκω τ, κι την εξίσωση της κοινής εφτομένης. 7) Κοινή εφτομένη γρφικών ρστάσεων σε διφορετικά σημεί () [Β 4, σελ -] Ζητείτι ν οδείξουμε ότι η εφτόμενη (ε) της Α(, ()) εφάτετι κι στην g C. Αρκεί ν υάρχει σημείο Β,g C σε συγκεκριμένο σημείο ( ()) της C ου ν g ικνοοιεί τ ρκάτω: ) ( ) g() κι ρίσκουμε τ A στ οοί η C g g δέχετι εφτόμενη ράλληλη στην (ε). ) Κτόιν ρίσκουμε τις εφτόμενες της Cg ()= λ+ ( )=g() στ σημεί κι δείχνουμε ότι το σημείο Α(, ()) νήκει σε μι ό τις εφτόμενες ου ρήκμε. A ε:y=λ+ M Cg C M B ε ε C C Cg

93 Ασκήσεις. Δίνετι η συνάρτηση της. Αν C ου άγοντι ό το Κ. () κι το σημείο Κ,. Ν ρείτε τις εφτόμενες () ln, ν ρείτε τ, ώστε η ευθεί ε : y 4 ν είνι εφτόμενη της C στο σημείο της A,().. Γι την ργωγίσιμη στο συνάρτηση δίνετι ότι κάθε. Ν ρείτε την εξίσωση της εφτομένης της 4. Έστω συνάρτηση γι την οοί ισχύει ότι:. Ν οδείξετε ότι είνι ργωγίσιμη στο της C στο σημείο 5. Έστω η συνάρτηση (). Ν ρεθεί η εξίσωση της εφτομένης του διγράμμτος M, (). C ου διέρχετι: 4 () () 4 γι C στο σημείο A,(). ln () γι κάθε Δ κι ν ρείτε την εξίσωση της εφτομένης ) ό το σημείο (,) ) ό το σημείο (, ). 6. Ν ρείτε τις κοινές εφτόμενες των γρφικών ρστάσεων των συνρτήσεων () 4, g(). 7. Δίνετι η συνάρτηση με (i) () 5 κι η ευθεί (ε) : y. Ν ρεθεί ο ργμτικός ριθμός ώστε η ευθεί (ε) ν είνι εφτόμενη της γρφικής ράστσης της κι ν ρείτε το σημείο εφής. (ii) Ν ρείτε τ υόλοι κοινά σημεί της (ε) με την 8. Δίνοντι οι συνρτήσεις g() 5. Ν οδείξετε ότι η εφτόμενη της () C στο σημείο e κι A,(), εφάτετι κι της C. 9. Ν ρείτε τις κοινές εφτόμενες των γρφικών ρστάσεων των συνρτήσεων () κι g() 4.. Θεωρούμε συνάρτηση κι την ευθεί με εξίσωση y η οοί εφάτετι της C στο σημείο με τετμημένη. Δίνετι η συνάρτηση C. g (). Ν υολογίσετε το όριο lim () κ 6κ 7, με κ. ) Ν δείξετε ότι γι τις διάφορες τιμές του κ, η γρφική ράστση της διέρχετι ό στθερό σημείο. ) Ν ρείτε τις τιμές του κ, γι τις οοίες η C εφάτετι στον άξον.. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

94 Φυλλάδι555 Ενότητ 8 η ο Σημντικές ρτηρήσεις.4 Ρυθμός Μετολής. Έστω συνάρτηση y () ργωγίσιμη στο. Ρυθμός μετολής του y ως ρος στο σημείο λέγετι η ράγωγος () κι Ρυθμός μετολής του y ως ρος λέγετι η ράγωγος ().. Αν δύο μεγέθη,y συνδέοντι με την σχέση y () κι ργωγίσιμη συνάρτηση ως ρος, τότε: ) Αν το y υξάνετι ως ρος με ρυθμό, εννοούμε (). ) Αν το y μειώνετι ως ρος με ρυθμό, εννοούμε (). [Κίνηση υλικού σημείου]. Έστω σώμ ου κινείτι κτά μήκος ενός άξον κι ς είνι S S(t) η τετμημένη του σώμτος υτού τη χρονική στιγμή t. H συνάρτηση S κθορίζει τη θέση του σώμτος τη χρονική στιγμή t κι ονομάζετι συνάρτηση θέσης του κινητού. 4. Ο ρυθμός μετολής της S ως ρος το χρόνο t τη χρονική στιγμή t είνι η ράγωγος S(t), της S ως ρος το χρόνο t τη χρονική στιγμή t, λέγετι (στιγμιί) τχύτητ του κινητού τη χρονική στιγμή t κι συμολίζετι με υ(t ). Είνι δηλδή S (t)() = υ t. Αλούστερ, τχύτητ είνι η ράγωγος του διστήμτος ως ρος το χρόνο, δηλδή υ(t) S(t). 5. Ο ρυθμός μετολής της τχύτητς υ ως ρος το χρόνο t τη χρονική στιγμή t είνι η ράγωγος υ(t), της τχύτητς υ ως ρος το χρόνο t τη χρονική στιγμή t, λέγετι (στιγμιί) ειτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t κι συμολίζετι με (t ). Είνι, δηλδή, () t = υ(t)) = S( t. Αλούστερ, ειτάχυνση είνι η ράγωγος της τχύτητς ως ρος το χρόνο, ή η δεύτερη ράγωγος του διστήμτος ως ρος το χρόνο. Δηλδή (t) υ(t) S(t). 6. Εί λέον, ισχύουν τ εξής: ) Αν S(t) ) Αν S(t) γ) Αν S(t), τότε το κινητό ρίσκετι στην ρχή των ξόνων., τότε το κινητό ρίσκετι εί του θετικού άξον., τότε το κινητό ρίσκετι εί του ρνητικού άξον. δ) Αν S(t), τότε το κινητό κινείτι ρος τ δεξιά (θετική φορά). ε) Αν S(t), τότε το κινητό κινείτι ρος τ ριστερά (ρνητική φορά). Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

95 στ) Αν υ(t) S(t), τότε έχουμε κίνηση ρος τ δεξιά. ζ) Αν υ(t) S(t), τότε έχουμε κίνηση ρος τ ριστερά. η) Αν υ(t) S(t), τότε έχουμε μηδενισμό της τχύτητς. θ) Αν υ(t) S(t) ι) Αν υ(t) S(t), τότε έχουμε κίνηση ειτχυνόμενη., τότε έχουμε κίνηση ειρδυνόμενη. ι) Αν (t) S(t), τότε έχουμε κίνηση ειτχυνόμενη. ι) Αν (t) S(t), τότε έχουμε κίνηση ειρδυνόμενη. ιγ) Αν (t) S(t), τότε έχουμε μηδενισμό της ειτάχυνσης. ιδ) Αν (t) S(t) ιε) Αν (t) S(t), τότε έχουμε ύξηση της ειτάχυνσης., τότε έχουμε μείωση της ειτάχυνσης. 7. Ορισμός: Η ευθύγρμμη κίνηση ενός κινητού λέγετι ειτχυνόμενη (ντιστοίχως ειρδυνόμενη), ότν το μέτρο υ(t) της τχύτητς υ(t) υξάνετι (ντιστοίχως μειώνετι). [Οικονομικά μεγέθη] 8. Στην οικονομί, το κόστος ργωγής Κ, η είσρξη (έσοδ) Ε κι το κέρδος Ρ εκφράζοντι συνρτήσει της οσότητς του ργόμενου ροϊόντος. 9. Η σχέση ου συνδέει τις ράνω συνρτήσεις είνι: P()()) t Ε t K(t κι τ ρκάτω: Η ράγωγος Κ() (), ενώ ισχύουν ριστάνει το ρυθμό μετολής του κόστους Κ ως ρος την οσότητ, ότν κι λέγετι ορικό κόστος στο. Η ράγωγος E() ριστάνει το ρυθμό μετολής της είσρξης Ε ως ρος την οσότητ, ότν κι λέγετι ορική είσρξη στο. Η ράγωγος P() ριστάνει το ρυθμό μετολής του κέρδους P ως ρος την οσότητ, ότν κι λέγετι ορικό κέρδος στο.. Αό την () ροκύτει ότι: P()() t Ε t K ()t.. Ακόμη, υάρχουν κι οι κόλουθες έννοιες: Μέσο κόστος ργωγής της οσότητς ενός ροϊόντος, είνι Μέση είσρξη (μέσο έσοδο) της οσότητς ενός ροϊόντος, είνι Μέσο κέρδος της οσότητς ενός ροϊόντος, είνι P() P(). μ Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης K() μ K(). E() μ E().

96 [Σύνθετες συνρτήσεις]. Αν το y είνι συνάρτηση του [ y y() ] κι το είνι συνάρτηση του t ( (t) ), τότε το y είνι τελικά συνάρτηση του t [ y(t) y((t)) ].. Γενικά στ ρολήμτ ρυθμού μετολής κάνουμε χρήση του τύου dy dy du (g )() g () () ν κι ο κνόνς της λυσίδς, με y g(u) κι u (), d du d έχει ευρύτερη εφρμογή. 4. Στο dy, το δηλώνει νεξάρτητη μετλητή κι στη γενική ερίτωση δηλώνει συνάρ- d τηση. 5. Συνάρτηση είνι κι το dy d ροήλθε. όου, y είνι οι μετλητές της συνάρτησης ό την οοί Μέθοδοι. Πως λύνουμε ρολήμτ ρυθμού μετολής Ανγνωρίζουμε τις μετλητές του ρολήμτος Εισημίνουμε τους ρυθμούς μετολής ου δίνοντι κι υτούς ου ζητούντι Βρίσκουμε τύους ου συνδέουν τις μετλητές του ρολήμτος Εφρμόζουμε τον κνόν ργώγισης σύνθετης συνάρτησης ( ή τον κνόν της λυσίδς). Κίνηση σημείου σε κμύλη Οι συντετγμένες του σημείου Μ(, y) της κμύλης φ(, y) χρόνου t. Έτσι: Η εξίσωση της κμύλης γράφετι φ( (t), y(t)). Πργωγίζουμε την σχέση ως ρος t. είνι συνρτήσεις του. Προλήμτ ου οι συνρτήσεις,y συνδέοντι με κάοι σχέση Είνι δυντόν η σχέση υτή ν λύνετι ως ρος y ή ν μη λύνετι ως ρος y ή ν λύνετι με ερισσότερους ό ένν τύους ως ρος y, όως γι ράδειγμ είνι οι y. Τότε, συνήθως, ) Εκφράζουμε τις συνρτήσεις με μι κοινή μετλητή t: (t), y y(t) ) Πργωγίζουμε την σχέση ως ρος t. y p, Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

97 Λυμέν ρδείγμτ [Το «κλσικό» ρόλημ της σκάλς] Μί σκάλ μήκους m είνι τοοθετημένη σ' ένν τοίχο. Το κάτω μέρος Β γλιστράει στο δάεδο με ρυθμό, m/sec. Την στιγμή ου η κορυφή της σκάλς έχει ό το δάεδο,5 m ν ρείτε: ) Τον ρυθμό μετολής της γωνίς θ. ) Την τχύτητ τώσης του Α. Λύση: Αρχικά, σημειώνουμε ως τ μεγέθη, y, θ μετάλλοντι όλ συνρτήσει του χρόνου t. Συνεώς είνι: (t), y(t) κι θ(t), κι ειλέον (t), m / sec. ) Ζητούμενο είνι το θ(t). Ψάχνω μι σχέση ου ν συνδέει τη γωνί θ με όσο το δυντόν μόνο γνωστά μεγέθη. Ισχύει συνθ συνθ(t) (t) συνθ(t) (t) ημθ(t) θ(t) (t) (t) θ(t)... ) Ζητούμενο είνι το y(t). Μι σχέση ου συνδέει τις μετλητές μου είνι Άρ, έχουμε: χρονική στιγμή όου y(t) y 9 [Π. Θεώρημ στο ΟΑΒ]. (t) (t) (t) y(t) 9 (t) (t) y(t) y(t) y(t), όου t y(t), 5m. άρ κι (t) 9 y(t)...,75. η Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

98 Ασκήσεις [Όλες του σχολικού σελ 5-7]. Η θέση ενός κινητού άνω σε άξον κτά την χρονική στιγμή t δίνετι ό την συνάρτηση θέσης S με S(t) t t 6t όου S σε μέτρ κι t σε sec. Ν ρείτε: ) Την ρχική τχύτητ του κινητού. ) Σε οιες χρονικές στιγμές μηδενίζετι η τχύτητ. γ) Πότε η τχύτητ του κινητού είνι ίση με 4 m/sec. δ) Ποι χρονική στιγμή η ειτάχυνση του είνι 8 m/sec. ε) Ποιες χρονικές στιγμές το κινητό λλάζει κτεύθυνση κίνησης. στ) Ν ρεθούν τ χρονικά διστήμτ στ οοί μειώνετι το μέτρο της τχύτητς του κινητού.. Το κόστος ργωγής Κ() κι η τιμή ώλησης Π(), μονάδων ενός ιομηχνικού ροϊόντος δίνοντι ό τις συνρτήσεις () κι Π() 4 ντι- στοίχως. Κ 6 ) N οδείξετε ότι ο ρυθμός μετολής του κέρδους μηδενίζετι ότν ο ρυθμός μετολής του κόστους κι ο ρυθμός μετολής της ώλησης είνι ίσοι. ) Ν οδείξετε ότι ο ρυθμός μετολής του μέσου κόστους μηδενίζετι ότν το μέσο κόστος είνι ίσο με το ορικό κόστος. γ) Ν ρείτε ότε ο ρυθμός μετολής του κέρδους P()( Π )) K(. Η ολική ειφάνει ενός κύου υξάνετι με ρυθμό είνι θετικός. cm / sec. Τη στιγμή κτά την οοί η κμή του κύου είνι,8 m, ν ρείτε το ρυθμό μετολής του όγκου του κύου. 4. Ν δειχθεί ότι η όλυτη τιμή ενός μεγέθους p(t) υξάνει ν κι μόνον ν p(t) p(t). 5. Έν κινητό κινείτι σε κυκλική τροχιά με εξίσωση y. Κθώς ερνάει ό το ση- μείο Α,, η τετγμένη y ελττώνετι με ρυθμό μονάδες νά sec. N ρείτε τον ρυθμό μετολής της τετμημένης κτά την χρονική στιγμή ου το κινητό διέρχετι ό το σημείο Α. 6. Κτά μήκος των λευρών Ο κι Οy μις ορθής γωνίς κινούντι τ σημεί Α κι Β - ντίστοιχ έτσι ώστε (ΟΑ)(ΟΒ) cm. Την χρονική στιγμή t κτά την οοί το κινητό Α κινείτι με τχύτητ 8cm/sec κι έχει ό το Ο όστση (ΟΑ) cm ν ρείτε: γ) Tην τχύτητ με την οοί κινείτι το Β δ) Tον ρυθμό μετολής της όστσης (ΑΒ) Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

99 Φυλλάδι555 Ενότητ 9 η ο. -.4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Ερωτήσεις τύου Σωστό - Λάθος. Μι συνάρτηση είνι ργωγίσιμη σε έν σημείο του εδίου ορισμού της, ότν υ- άρχει το όριο () () lim.. Αν μι συνάρτηση είνι ργωγίσιμη σε έν εσωτερικό σημείο της, τότε () lim () ().. Μι συνάρτηση είνι ργωγίσιμη σε έν εσωτερικό σημείο της, ότν υάρχουν τ όρι κι είνι ργμτικοί ριθμοί. () () lim, () () lim 4. Αν μι συνάρτηση είνι ργωγίσιμη σε έν σημείο είνι συνεχής στο σημείο υτό. 5. Αν μι συνάρτηση δεν είνι συνεχής σε έν σημείο είνι ργωγίσιμη στο σημείο υτό. 6. Αν μι συνάρτηση είνι ργωγίσιμη σε έν σημείο ( h) () lim. h () h 7. Αν μι συνάρτηση είνι ργωγίσιμη σε έν σημείο είνι συνεχής στο σημείο υτό. του εδίου ορισμού του εδίου ορισμού του εδίου ορισμού της, τότε του εδίου ορισμού της, τότε δεν του εδίου ορισμού της, τότε του εδίου ορισμού της, τότε η 8. Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής στο, τότε ορίζετι άντ η εφτομένη της C στο σημείο της,(). 9. Αν μι συνάρτηση είνι ργωγίσιμη στο κι ισχύει (), τότε η εξίσωση της οριζόντις εφτομένης της C στο,() είνι η y.. H εφτομένη της γρφικής ράστσης της στο σημείο της A, (), δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την C.. Γι μι συνάρτηση ισχύει δέχετι οριζόντι εφτομένη. ) e. Τότε η ()( C στο σημείο A,(). Γι ν εφάτετι η C στον άξον, θ ρέει: () κι ().. Αν μι ευθεί (ε) έχει μόνο έν σημείο τομής με τη γρφική ράστση της, τότε είνι οωσδήοτε εφτόμενη υτής. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

100 4. Αν η ργωγίσιμη στο διάστημ Δ, Δ κι είνι μι λύση της εξίσωσης () τότε στο η εφτόμενη της C είνι ράλληλη ρος την διχοτόμο y της ης κι ης γωνίς των ξόνων. 5. Η εφτομένη της γρφικής ράστσης μις στθερής συνάρτησης σε οοιοδήοτε σημείο της, συμίτει με τη γρφική ράστση της συνάρτησης. 6. Αν οι γρφικές ρστάσεις δύο συνρτήσεων τέμνοντι, τότε στο κοινό τους σημείο δέχοντι κοινή εφτομένη. 7. Η συνάρτηση () 8 έχει διφορετική κλίση σε κάθε σημείο της. 8. Υάρχουν δύο τουλάχιστον σημεί της γρφικής ράστσης της συνάρτησης στ οοί η C έχει τον ίδιο ρυθμό μετολής. () 7 9. Αν () g() γι κάθε (,) κι ργωγίσιμη στο (,), τότε η g ργωγίσιμη στο (,) κι () g() γι κάθε (,).. Αν η συνάρτηση είνι δύο φορές ργωγίσιμη γι κάθε, τότε η () είνι συνεχής συνάρτηση γι κάθε.. Αν η : είνι άρτι κι ργωγίσιμη, τότε η είνι εριττή.. Αν ο ριθμός είνι διλή ρίζ της ολυωνυμικής συνάρτησης (), τότε το είνι ρίζ της ().. Αν,g : Δ, Δ διάστημ κι το Δ ώστε η συνάρτηση g στο, τότε η κι η g είνι ργωγίσιμες στο. 4. Αν,g : Δ, Δ διάστημ κι το Δ κι η g ν μην είνι ργωγίσιμη στο, τότε η. 5. Η ρητή συνάρτηση είνι ργωγίσιμη. 6. Αν 7. Αν (),, τότε η είνι ργωγίσιμη με 4, τότε () 8. Αν ργωγίσιμη στο δεν ργωγίζετι στο. 4 () 5,. 9. Αν,g : Δ, Δ διάστημ κι ν είνι ργωγίσιμη ώστε η συνάρτηση ν είνι ργωγίσιμη στο g δεν είνι ργωγίσιμη στο () ( ln ),. κι η g δεν ργωγίζετι στο g () Δ στο, τότε η g είνι ργωγίσιμη στο.. Αν,g : Δ, Δ διάστημ κι Δ ώστε οι συνρτήσεις, g ν μην είνι ργωγίσιμες στο, τότε η g δεν είνι ργωγίσιμη στο.. Αν,g : Δ, Δ διάστημ κι, τότε η g ώστε οι συνρτήσεις, g ν είνι ργωγίσιμες Δ ώστε η ν είνι ργωγίσιμη στο, () κι g ργωγίσιμη στο, τότε η g ργωγίσιμη στο.. Αν,g : Δ, Δ διάστημ κι g() τότε, η g ργωγίσιμη στο. Δ ώστε οι συνρτήσεις g ργωγίσιμες στο με, Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

101 . Αν μι συνάρτηση g δεν είνι ργωγίσιμη στο g(), τότε η g δεν είνι ργωγίσιμη στο. κι η δεν είνι ργωγίσιμη στο 4. Η συνάρτηση με () είνι ργωγίσιμη στο εδίο ορισμού της. 5. Η συνάρτηση με 6. Αν : h() () ημ() είνι ργωγίσιμη. () είνι ργωγίσιμη στο κι ισχύει () ln. ργωγίσιμη, τότε η συνάρτηση h με 7. Αν μι συνάρτηση είνι ολυωνυμική ν θμού, τότε η είνι είσης ολυωνυμική ν-οστού θμού. 8. Αν () ημ, τότε ισχύει άντ () συν. 9. Η συνάρτηση με 4. Αν,g : 4. Αν : (), είνι ργωγίσιμη στο με (). ργωγίσιμες με () g(),, τότε ()( g)(). ργωγίσιμη με ημ συν,, τότε (ημ) 4. Αν () ημ, τότε () (),. 4. Αν () ln( ), τότε (). συν,. 44. Αν η ολυωνυμική συνάρτηση έχει το ρ διλή ρίζ, τότε η έχει το ρ λή ρίζ. () () 45. Αν (), τότε ( h) () 46. Αν lim, τότε (). h h γι κάθε κοντά στο. 47. Είνι () συν. Άρ () ημ. 48. Γι την ισχύει ότι () 5, τότε θ είνι ()(5) 49. Είνι d( 5) d 5. Η συνάρτηση , () 6, είνι ργωγίσιμη στο, με (). 5. Αν η συνάρτηση g είνι ργωγίσιμη στο, τότε ( g)() () g() 5. Ο ρυθμός μετολής μις ργωγίσιμης συνάρτησης στο ισούτι με την ράγωγό της στο. του εδίου ορισμού της, 5. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφτομένης, της γρφικής ράστσης μις ργωγίσιμης συνάρτησης στο του εδίου ορισμού της, ισούτι με το ρυθμό μετολής της συνάρτησης στο. 54. Ο ρυθμός μετολής του διστήμτος ου δινύει έν κινητό, ως ρος το χρόνο, εκφράζει την ειτάχυνση του κινητού. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

102 55. Αν Κ είνι η συνάρτηση ου εκφράζει το κόστος της ργωγής μονάδων ενός ροϊόντος τότε, το όριο lim K() εκφράζει το ορικό κόστος στο. 56. Ο ρυθμός μετολής της ειφάνεις ενός κύκλου ως ρος την κτίν του ισούτι με την ερίμετρο του κύκλου. 57. Έν κινητό κινείτι κτά μήκος του ενός άξον κι υ(t) είνι η τχύτητ του κινητού την χρονική στιγμή t. Πρκάτω είνι η γρφική ράστση της υ(t). Τότε ) Ότν t, 4 ) Ότν t γ) Ότν t 4 δ) Ότν t 6 ε) Ότν t 8 στ) Ότν t, 6 το κινητό κινείτι ρος τ δεξιά. το κινητό είνι κίνητο. το κινητό λλάζει φορά κίνησης. το κινητό έχει ειτάχυνση μηδέν. το κινητό λλάζει φορά κίνησης δεξιά ρος ριστερά. το κινητό ειρδύνει. Ερωτήσεις Πολλλών Ειλογών. Σε οιο ό τ σημεί Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ είνι η y ράγωγος της συνάρτησης ίση με. Α: στο Κ Β: στο Λ Γ: στο Μ Δ: στο Ν Ε: στο Ξ K Λ O Μ Ν Ξ. Η ευθεί (ε) είνι εφτομένη της κμύλης y () στο σημείο Σ(,). Τότε ( ) y=() y ε Α: Β: Σ Γ: Δ: Ε: κνέν ό τ ροηγούμεν - - O Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

103 Σημντικές ρτηρήσεις Φυλλάδι555 Ενότητ η ο.5) Θεώρημ Rolle. Γι ν ισχύει το Θεώρημ Rolle ρέει ν ισχύουν ριτήτως κι οι τρεις ροϋοθέσεις του.. Αν γι μι συνάρτηση ισχύουν οι ροϋοθέσεις του θεωρήμτος Rolle σε έν κλειστό διάστημ [,], τότε, σε ότι φορά στο συμέρσμά του, οι ρκάτω ροτάσεις είνι ισοδύνμες: Υάρχει τουλάχιστον έν (,) τέτοιο ώστε ( ). Η εξίσωση () έχει τουλάχιστον μί ρίζ στο νοιχτό διάστημ (,). Η συνάρτηση έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο νοιχτό διάστημ (,). [ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήμτος Rolle] Η γρφική ράστση της τέμνει τον άξον τουλάχιστον σε έν σημείο A(,) με (,). Υάρχει τουλάχιστον έν (,) τέτοιο ώστε η εφτομένη της γρφικής ράστσης της στο σημείο M,( ) ν είνι ράλληλη στον άξον. [ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήμτος Rolle] Πρτηρήστε ότι γι μι στθερή συνάρτηση ( () c ) είνι ( ) γι κάθε (,) [σχήμ ].. Αν έν σώμ, κινούμενο άνω σε ένν άξον, διέρχετι ό το σημείο Α την χρονική στιγμή t κι ειστρέφει στο Α την χρονική στιγμή t, τότε υάρχει χρονική στιγμή t μετξύ των t, t ου η τχύτητ είνι μηδέν (δηλδή το κινητό στμτημένο). [ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήμτος Rolle] 4. Το ντίστροφο του Θεωρήμτος Rolle δεν ισχύει κτ νάγκη! Δηλδή, ν η ράγωγος μις συνάρτησης μηδενίζετι σε έν εσωτερικό σημείο του εδίου ορισμού της, δεν σημίνει υοχρεωτικά ότι ληρούντι κι οι ροϋοθέσεις του θεωρήμτος Rolle [λέε σχήμτ ρκάτω]. Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης

104 5. Το θεώρημ ειώνει ότι υάρχει μί ρίζ της εξίσωσης () στο (,). Δεν ενδιφέρετι γι τον τρόο ου θ ρούμε έν τέτοιο σημείο. 6. Το Θεώρημ Rolle εφρμόζετι σε διάστημ κι όχι σε ένωση διστημάτων. 7. Σε ερίτωση ου η είνι ργωγίσιμη στο [,], τότε θ είνι συνεχής στο [,] κι εομένως γι την εφρμογή του Θ. Rolle ρκεί ν γνωρίζουμε ότι () (). Βσικές Προτάσεις (χρειάζοντι όδειξη). Αν η είνι ργωγίσιμη στο κι έχει δύο ρίζες, τότε η έχει τουλάχιστον μί ρίζ.. Αν η είνι ργωγίσιμη στο τότε, νάμεσ σε δύο διδοχικές ρίζες της, υάρχει το ολύ μί ρίζ της συνάρτησης.. Αν η είνι δύο φορές ργωγίσιμη στο κι έχει τρεις ρίζες, τότε η έχει δύο τουλάχιστον ρίζες κι η τουλάχιστον μί. 4. Γενικότερ, ν μι συνάρτηση είνι ν-φορές ργωγίσιμη (ν, ν ) κι έχει ν ρίζες, τότε η (ν) (νιοστή ράγωγος) έχει μί τουλάχιστον ρίζ. 5. Αν () γι κάθε, τότε η έχει το ολύ μί ρίζ. 6. Αν () γι κάθε, τότε η έχει το ολύ δύο ρίζες. 7. Αν μι συνάρτηση είνι ργωγίσιμη σε έν διάστημ Δ κι δεν είνι «-» στο Δ τότε η εξίσωση () έχει τουλάχιστον μί λύση στο Δ. 8. Σν συνέει του ράνω έχουμε ότι ν () γι κάθε Δ, τότε η είνι «-». Μέθοδοι. Ενδείξεις γι εφρμογή του θεωρήμτος Rolle είνι ύρξη εκφράσεων στην άσκηση ό- ως: «ν δείξετε ότι η εξίσωση () έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (,)» έχει το ολύ μί ρίζ στο διάστημ (,)» έχει κριώς μί ρίζ στο διάστημ (,)» έχει το ολύ κ ρίζες στο διάστημ (,)» έχει κριώς κ ρίζες στο διάστημ (,)» δεν έχει ρίζ στο διάστημ (,)» Ειμέλει: Δούδης Δημήτρης ο Ενιίο Λύκειο Αλεξνδρούολης