a) b) Slika 3. Izvedba rotora kaveznog stroja a) i shematski prikaz kolutnog rotora b)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "a) b) Slika 3. Izvedba rotora kaveznog stroja a) i shematski prikaz kolutnog rotora b)"

Transcript

1 Fakultet elektrotehnike i računartva Zavod za elektrotrojartvoo i automatizaciju Ainkroni trojevi (motori) Dijelovi redavanja iz kolegija Elektromehanički utavi Zagreb, 009/00.

2 Uvod Ainkroni izmjenični trojevi u najčešće korišteni električni trojevi u uravljanju elektromehaničkim utavima oćenito, a tako i u mehatronici. Glavna im je rednot u tome što u njihovoj kontrukciji nema kliznih kontakta, a e toga odlikuju viokom kontrukcijkom robunošću. Njihovo uravljanje nije bilo tako jednotavno i jeftino kao kod itomjernih trojeva, ali naretkom oluvodičke tehnike u zadnjih 0-tak godina znatno je manjena cijena i loženot kloova učinke elektronike koji dana oiguravaju romjenu brzine vrtnje ainkronih trojeva u širokom radnom odručju. Za odručje mehatronike je od oebne važnoti rimjena izmjeničnih trojeva u robotici, ervo ogonima i drugim odručjima u kojima je kvaliteta uravljanja, brzina i točnot, onovni kriterij odabira. Jednotavne u kontrukcije i korite e u širokom raonu naga, kao motori najmanjih naga do najvećih reda 60 ak MW, a onekad i kao generatori (nr. u vjetroelektranama). Najčešće e izvode trofazno, a amo manjih naga jednofazno. Analiza dinamičkih karakteritika ainkronog troja će u ovom oglavlju biti rikazana u ojednotavljenoj formi. S tim u vezi će biti izveden model troja rilagođen kalarnom, jednotavnijem otuku uravljanja brzinom vrtnje. Takav model e daje iključivo za otrebe uravljanja i u tom milu e, zbog nedovoljne točnoti modela, ne može korititi za otuke dizajniranja (rojektiranja) troja. Karakteritike dinamički ueriornijih vektorki uravljanih ainkronih trojeva biti će dane amo u onovnim crtama. Dvije onovne izvedbe ainkronog izmjeničnog troja u rikazane na lici. x..a) i x..b). I jedna i druga izvedba ima iti tator, u čije u utore otavljena tri (najčešće) namota, geometrijki imetrično raoređena o obodu troja, lika.a). Svaki od ta tri namota u riključeni na odgovarajući fazu trofaznog imetričnog utava naajanja, lika b). Ainkroni troj na l..a) ima kaveznu izvedbu rotora, što mu određuje i naziv - ainkroni kavezni troj. Rotor ovog troja je u obliku kaveza (vjeveričji kavez, engl, quirrel cage) a e odatle ored englekog naziva induction motor ojavljuje i naziv quirrel cage motor. Vodiči u od Cu ili od Al u obliku štaova koji u na krajevima međuobno kratko ojeni vodljivim rtenom, lika. x a) b) Slika. Kavezni troj a) i kliznokolutni troj b), -kavezni rotor, -tatorki namot, 3- kliznokolutni rotor namotom na rotoru, 4-klizni koluti, 5-četkica noačem.

3 Stroj na l..b) ima rotor od lameliranog željeza, u čije e utore otavlja trofazni namot na ličan način kao i za tator troja. Tri lobodna izvoda rotorkog namota e ajaju na klizne kolute (rtenove), a e na takav način može reko rotirajućih koluta i mirujućih četkica uotaviti vodljiva veza rotora vanjkim, tacionarnim vijetom. Zbog toga je ovaj ti troja dobio naziv ainkroni kliznokolutni troj. Njegov rotor je izrađen od lameliranog željeza, željeznih međuobno izoliranih limova, utorima u koje e mješta rotorki namot. Trofazni namot na rotoru je obično ojen u oj zvijezda, ri čemu u jedni krajevi namota ojeni u jednu točku (zvjezdište) a lobodni krajevi namota e ili kratko ajaju ili e reko koluta (rtena) ajaju na riključnu kutiju tatora. Slika. Simetrično raoređeni trofazni namot o obodu troja (a-a, b-b, c-c ) a), međuobno ojenim očecima a, b i c te krajevima a, b i c za tatorki riključak, b). a) b) Slika 3. Izvedba rotora kaveznog troja a) i hematki rikaz kolutnog rotora b) Fizikalnu liku rada izmjeničnog ainkronog troja e može najlakše objaniti reko tzv. okretnog magnetkog olja. Okretno olje nataje kao rezultat djelovanja olja vakog od tri namota ojedinačno ri čemu mora biti iunjen uvjet geometrijke i vremenka imetrije; to znači da namoti moraju biti otuno imetrično geometrijki raoređeni o obodu troja i da vremenki (fazni) omak između truja koja teku tako raoređenim namotima odgovara rotornom kutu između namota. To vrijedi od uvjetom da u tri namota jednoliko raoređeni o cijelom obodu troja dužine πrad. U tom lučaju e kaže da takav troj ima ola, tj. jedan ar olova (=). Jednom aru olova uvijek odgovara jedna erioda naona naajanja, dakle 360.

4 Sutav od tri tatorka namota e može raorediti geometrijki imetrično i na olovinu oboda troja (=). U tom lučaju e na otatak (drugu olovinu) oboda troja mora također imetrično raorediti 3 namota, a to znači da je otrebno itu liku rotornog raoreda namota na olovinu oboda troja onoviti još jednom. Povećavanjem broja olova raored namota o obodu troja e obavlja na način ličan rethodno oianom za =. Iz ove analize lijedi da geometrijki kut koji zauzima oeg troja iznoi 360, a jedan ar olova zauzima geometrijki kut od 360 /. Ako e tvarni kutovi nazovu geometrijkim kutovima, a odgovarajući kutovi u -olnom rikazu električnim kutovima (gdje jednom aru olova odgovara jedna erioda od 360 ), može e uotaviti veza, α = α. (x.) el g Obrazloženje za natanak okretnog olja atoji e u tome što vaki namot za ebe riključen na jednu od faza naona naajanja tvara mirujuće olje kojemu e mijenja amo izno, od makimalnog u jednu tranu (kod makimalne ozitivne truje faze) do makimalnog u drugu tranu (kod makimalne negativne truje faze). Za takvo olje e kaže da je ulirajuće olje. Ako e ojedinačna ulirajuća olja vektorki zbroje, dobije e okretno magnetko olje koje rotira brzinom π f ω = [ rad / ] ili n ω π 60 = 60 = f min, (x.) gdje je ω (n ) inkrona brzina, tj. brzina okretnog olja. Pri tome je makimalni izno okretnog olja,5 uta veća od makimalnog iznoa ulirajućeg olja jednog od namota tatora. Do izraza (x.) e može doći i na drugi način. Naime, za jednu eriodu naona naajanja, T=/f, okretno olje rijeđe ut o obodu troja dužine dva olna razmaka (dvotrukog olnog koraka) koji odgovara kutu α el =360. Ako e uzme da troj ima dva ara olova (=), da je frekvencija naona naajanja f=50hz (T=0m) i da je rijeđeni ut πrad=0,5okr, onda e brzina okretnog olja dobije ako e ređeni ut odijeli vremenom, tj ,5okr 0,5 0 okr 0, okr okr n = = = 500 0m 0 0 = min min. (x.3) Iti rezultat e dobije korištenjem izraza (x.). Ako e za okretno magnetko olje, Φ, uzme u obzir amo onovni harmonik frekvencije f (ω =πf ), magnetki tok u zračnom raoru e može oiati izrazom ( t) Φ = Φm in ω. (x.4) Kružnu frekvenciju magnetkog toka ω određuje kružna frekvencija naona tatora f i broj ari olova () troja rema izrazu (x..) Inducirani naon jednog namota (faze) dobije e rema Faraday-evom zakonu e N k dφ dt = e N k ω Φ in ( ω t) =, (x.5.) m gdje je N broj zavoja rimarnog namota a k faktor roorcionalnoti koji uzima u obzir način oblikovanja namota u utorima tatora (namotni faktor). Efektivna vrijednot naona induciranog u namotu tatora iznoi N k E = ω Φm. (x.6.)

5 Budući da je naon induciran u namotu tatora rema (x.) i (x.3) roorcionalan derivaciji magnetkog toka u zračnom raoru, fazor naona induciranog u namotu tatora rethodi za 90 fazoru magnetkog toka, lika x.5. Naon koji e inducira u namotu rotora ima frekvenciju roorcionalnu razlici kutnih brzina okretnog olja i rotora, ω -ω, jer uravo ovu relativnu brzinu rotor vidi kao brzinu magnetkog olja. Ova razlika kutnih brzina, koja redtavlja mjeru zaotajanja brzine rotora za okretnim magnetkim oljem, zove e klizanje i ono je izraženo reko razlike kutnih brzina ω -ω. Međutim, raktičnije je klizanje izraziti bezdimenzionalno (ili onekad u otocima u odnou na brzinu okretnog olja) a vrijedi ω ω ω ω =, ili = 00%, (x.7) ω ω ri čemu e umjeto kutnih brzina u izraz (x.7) mogu uvrtiti odgovarajuće brzine vrtnje (o/min). Na ličan način kao i za tator, ada e može ri klizanju odrediti inducirani naon rotora. Gledano a trane rotora, kružna frekvencija magnetkog toka u zračnom raoru iznoi ω = ω, a efektivna vrijednot naona induciranog u namotu rotora iznoi N k E = ω Φm. (x.8) Pri tome je N broj zavoja rotorkog namota, a k faktor roorcionalnoti itog značenja kao k, ali e odnoi na rotor. Ako e inducirani naon E ri otvorenom rotoru koji je zakočen označi E 0, onda će e on rema induciranom naonu tatora E odnoiti u omjeru N /N, a rema naonu zatvorenog rotora kod bilo kojeg klizanja (brzine) E = E. (x.9.) 0 Na onovi relacija (x.7) i (x.9), veza između klizanja, brzine i frekvencija tatorkih i rotorkih veličine e može rikazati grafički na lici 4. E 0 E f / f 0 ω 0 ω 0 ω ω Slika.4. Ovinot klizanja, induciranog rotorkog naona i odnoa rotorkih i tatorkih frekvencija o kutnoj brzini rotora Nadomjena hema i vektorko-fazorki dijagram ainkronog troja Na onovi naonke ravnoteže tatorkog kruga, riključenog na inuni naon naajanja U, može e iati da je, E = U R I + j ω L I, (x.0) σ a lično vrijedi i za rotorki krug a zatvorenim namotom (zatvoren trujni krug, U=0) E = R I + j Lσ I ω, (x.)

6 gdje u R, Lσ i I te R, Lσ i I, omki otor, raini induktivitet i truja tatora i rotora reektivno. Uobičajeno je ve veličine rotora reračunati na tatorku tranu, a e takvim reduciranim vrijednotima, što znači rijenoni omjer :, može tator i rotor rikazati u jednoj nadomjenoj hemi što olakšava računanje. Uzevši to u obzir, fazor naona induciranog u namotu rotora je gdje u: = R I + j L σ I E ω, (x.) N I = I N N = k k k E E N k N k σ = Lσ N k L R N k = R N k, (x.3), (x.4), (x.). (x.6) Izraz (N k )/(N k ) je onovni koeficijent za relikavanje rotorkih veličina na tatorku tranu. Ako e izraz (x.) odjeli klizanjem, dobije e izraz za inducirani naona tatora E R E = = I + j ω L I σ. (x.7) Nadomjena hema jedne faze ainkronog troja arametrima rotora reračunatim na tatorku tranu rikazana je na lici x.5. Pri tome L m redtavlja induktivitet magnetiziranja i karakterizira glavni magnetki tok. Na onovi nadomjene heme i izraza (x.), tj. (x.), može e odrediti izno rotorke truje u ovinoti o klizanju, a vrijedi da je E0 E0 I = ili I = R + ( ωl σ ) R + ( ωlσ ) (x.8) Slika x.5 Nadomjena hema jedne faze ainkronog motora arametrima rotora reračunatim na tranu tatora Na onovi izraza (x4.-x6) i (x.8.-x.) može e nacrtati vektorki dijagrama na lici x.5.a). Kut φ je faktor nage, tj. kut između fazora naona i truje tatora. Iz vektorko-fazorkog dijagrama e vidi da je truja magnetiziranja u fazi a tvorenim magnetkim tokom, što znači da u gubici koji nataju zbog vrtložnih truja i hitereze zanemareni (u orečnoj grani na lici x.5., ored induktiviteta, ne otoji otornik koji imbolizira te gubitke). Potoji nekoliko

7 inačica nadomjene heme na lici 5. Jedna od njih, četo korištena, vrijedi za lučaj velikog induktiviteta magnetiziranja L m, ri čemu e taj arametar onda mješta aralelno na am ulaz heme, ri čemu e dobije tzv π model nadomjene heme ainkronog troja. U j I ω L σ E I R ϕ I I R I I m ψ m j I ω L σ E a) b) Slika x.6 Fazorki dijagram a) i bilanca nage b) ainkronog troja Dijagram raodjele nage ainkronog troja rikazan je na lici 6.b.). Od ulazne nage P troja reko zračnog raora e a tatorke na rotorku tranu renoi naga okretnog olja P okr, koja je umanjena za izno gubitaka u namotu i u željezu tatora, P el (P cu ) i P Fe. Prema nadomjenoj hemi na l.x.5. gubici u tatorkim namotima iznoe P el 3 R I =. Množenjem izraza (x.7) I dobije e izraz (x.9) R E I = I + j ω L I σ, (x.0) u kojem realni dio izraza redtavlja nagu o fazi koja relazi reko zračnog raora, R P okr = 3 Re[ E I ] = 3 I. (x.) Gubici u rotorkim namotima reducirani na tranu tatora iznoe P = P = 3 R I, (x.) el okr Elektromehanička (mehanička) naga P meh e dobije kada e od nage okretnog olja P okr odbiju gubici u namotima rotora P el, a vrijedi, R Pmeh = Pokr Pel = ( ) Pokr = 3 I 3 R I = 3 R I. (x.3)

8 Mehanička naga na oovini motora P, dobije e iz mehaničke nage P meh umanjene za gubitke trenja i ventilacije P P meh P tr, v =. (x.4) Korinot ainkronog motora definira e kao omjer između izlazne mehaničke nage P i električne nage na ulazu P P η = 00 %, (x.5) P ri čemu je ulazna naga P = 3 U I coϕ. (x.6) Elektromagnetki moment e dobije iz omjera mehaničke nage P meh i mehaničke brzine vrtnje rotora P R M em = = 3 R I = 3 I, (x.7) ω ω ω meh m m a moment na oovini troja iz omjera mehaničke nage P (x.4) i brzine vrtnje troja ω m (ω) P M M M ω m = = =. (x.8) m Ito tako e elektromagnetki moment može dobiti i omoću magnetkog toka Φ. Izjednačavanjem izraza (x.6) modulom izraza (x.7) dobije e ovinot truje rotora o magnetkom toku Φ, I = N k ω Φ R + m ( ω L ) σ, (x.9) a zatim e uvrštavanjem izraza (x.9) u izraz (x.7) dobije izraz za elektromagnetki moment izražen reko magnetkog toka Φ, M em R = 3 ω N k ω Φm R + ( π f L σ ). (x.30) Sređivanjem izraza (x.30) dobije e lijedeći oblik elektromagnetkog momenta 3 N k Mem = Φm, (x.3) 4 L σ + gdje je rekretno klizanje ri kojem e dobije rekretni moment M i iznoe R R 3 N k = =, M = Φm. (x.3) ω L X 4 L σ σ σ

9 Izrazi (x.30) i (x.3) oznati u od nazivom ojednotavljena Klo-ova jednadžba. Ona vrijedi za kolutne trojeve i za kavezne trojeve koji nemaju izražen efekt otikivanja truje u rotoru. Kod kaveznih trojeva izraženim efektom otikivanja truje u rotoru, Klo-ova jednadžba vrijedi amo u odručju malih klizanja. Ukoliko e želi rikazati ovinot momenta o naonu E 0, onda e reuređenjem izraza (x.30) dobije E0 E0 Mem = K = K ωl R ωl σ σ ωlσ + + ω L R σ. (x.33) Izrazi (x.30) i (x.33) okazuju kako e moment mijenja klizanjem ali ito tako e vidi da e moment mijenja kvadratom magnetkog toka i kvadratom naona. Kloova jednadžba e dota koriti u raktične vrhe u obliku koji ovezuje rekretni moment i rekretno klizanje momentom i klizanjem bilo koje druge radne točke na tabilnom dijelu mehaničke karakteritike. Rezultat izvoda tog oblika Klo-ove jednadžbe je M =, (x.34) M + ri čemu momentu troja M odgovara klizanje, a rekretnom momentu M klizanje. Na onovi Klo-ove jednadžbe može e grafički izveti i rikazati mehanička karakteritika ainkronog troja ω=f(m) za oći lučaj, lika 7. motorki režim (A) M m A M M k rotutrujno kočenje (A) generatorki režim (B) 0 ω ω ω n 0 ω t ω ω M k rotutrujno kočenje (B) B M g generatorki režim (A) M M m motorki režim (B) Slika 7. Mehanička karakteritika ainkronog troja, 4q-rad Mehanička karakteritika ima dva karakteritična odručja; nelinearno, netabilno odručje klizanjem >, i ribližno linearno, tabilno odručje gdje je <. Linearno odručje je jedino odručje mehaničke karakteritike u kojem troj može raditi u tacionarnom tanju. Na lici 7. rikazane u dvije mehaničke karakteritike. Krivulja

10 označena unom crtom (krivulja A) odgovara jednom redolijedu riključnih tezaljki (nr. L, L, L3), a druga krivulja (B, rikazana irekidanom crtom) odgovara riključku gdje u međuobno zamijenjene dvije faze u dovodu (nr. a lijedom L, L3, L). Pri okretanju ainkroni troj razvija otezni moment (M k ) uz klizanje =, što znači da moment troja (motora) u okretanju (M m =M k ) mora biti veći od momenta tereta u mirovanju, M k >M t(k) da bi e troj okrenuo. U motorkom odručju rada, 0<<, mjer okretnog olja i vrtnje rotora u iti, okretno olje vuče rotor do radne točke u kojoj je moment troja jednak momentu tereta. Uobičajeno je radna točka blizu inkrone brzine vrtnje. To oigurava malo klizanje, a tim i dozvoljeno zagrijavanje troja, tj. rad dozvoljenim gubicima definiranim izrazom (x.). Koju će radnu točku otići troj, ovii o karakteritici momenta oterećenja. Ako je u navedenom lučaju troj oterećen amo reaktivnim (aivnim) teretom nazivnog iznoa u oba mjera vrtnje, onda će troj otići nazivnu radnu točku ω n. Na lici 7. je reaktivni teret ucrtan crvenom unom crtom. U odručju > motor koči rotutrujno za što je otrebno međuobno zamijeniti bilo koje dvije riključne tezaljke troja (reverziranje, romjena mjera okretnog olja). Pri tom e dobije irekidanom crtom rikazana mehanička karakteritika troja (krivulja B). Smjerovi okretnog olja i brzine vrtnje rotora u ada urotni, a ako je troj rije reverziranja (zamjene faza) bio u nazivnoj radnoj točci malim klizanjem (krivulja A, točka ω n ), onda će neoredno nakon reverziranja okretnog olja troj očeti kočiti klizanjem ~. Brzina natavlja adati lijedeći okretno olje i kada e otigne ω=0 (=), moguće u dvije ocije. Prva je da e troj iključi naona naajanja, što rezultira zautavljanjem troja. U tom lučaju nije otrebna mehanička kočnica da održi tanje ω=0. Druga je da e troj ne iključuje naajanja, a on natavlja lijediti okretno olje ribližavajući e inkronoj brzini u drugom mjeru (drugog redznaka), - ω. Neka je ada oterećenje otencijalnog (aktivnog) tia, nr. ogon dizanja i uštanja tereta, automobil na koini i lično i neka je također nazivnog iznoa. Ako e dizanje tereta obavlja o krivulji A, troj u motorkom radu nakon uključenja dotiže radnu točku dizanja nazivnog tereta brzinom ω n. Ako e želi zautaviti odizanje tereta otrebno je romijeniti mjer okretnog olja (reverzirati) na iti način kao i kod reaktivnog tereta. Stroj će e dota brzo zautaviti (tanje ω=0) zbog otencijalnog tereta koji mu ri tome omaže. I ovdje u moguće dvije ocije. Ako e u rvoj ociji iključi naon naajanja da bi e troj zautavio, mora e aktivirati mehanička kočnica. U rotivnom bi troj, koji je ada bez riključka naona naajanja, bio otjeran otencijalnim momentom tereta nekontroliranom brzinom uštanja (u drugom mjeru)! U drugoj ociji e troj ne iključuje naajanja da bi e oiguralo kontrolirano uštanje tereta. Budući da je radna točka uštanja jecište linearnog dijela karakteritike motora (krivulja B) i otencijalnog momenta tereta (crvena irekidana crta na lici 7.), uštanje tereta e obavlja nadinkronom brzinom ω t, ri čemu vrijedi -ω t > -ω. Klizanje je negativno, <0, brzina vrtnje rotora je o iznou veća i itog mjera u odnou na okretno olje, troj radi u generatorkom režimu rada i vraća energiju izravno u naojnu mrežu. U raznom hodu (neoterećen troj, =0) naon rotora je E =0, a je i truja rotora I =0. Zbog toga troj ne razvija moment a je brzina rotora jednaka brzini okretnog olja, ω=ω. Ovo je idealna lika rada jer u realnom radu troja uvijek otoji neki mali oteretni moment (trenje u ležajima, vikozno trenje, (ventilatorki efekt, itd.) koji mora biti uravnotežen razvijenim momentom troja. Za taj razvijeni moment otrebna je truja rotora, nju može oigurati naon rotora, a on može natati amo ako je klizanje 0. Konačan zaključak je da brzina vrtnje rotora ne može nikad doeći brzinu okretnog olja, tj. inkronu brzinu, od uvjetom da troj radi amotalno na riključenoj naojnoj mreži.

11 Načini uravljanja ainkronim trojem Prije ojave učinkih (energetkih) retvarača uravljanje ainkronim trojem je bilo značajno ograničeno u odnou na itomjerne trojeve. Potuci uravljanja u e vodili na: Uključenje otora (radni, induktivni ili njihove kombinacija) u tatorki ili rotorki namot (uključivanje redotora u tatorki namot ima vrlo loš ekonomki efekt). Promjenu broja (ari) olova troja, reajanjem namota na tatorkoj trani (rimjer erilice) Uključenje redotora reko kliznih koluta (rtenova) u eriju rotorkim namotom, lika 3.b), vrijedi amo za kliznokolutne motore. Tada u mehaničke karakteritike u linearnom dijelu lične onima u itomjernim nezavino uzbuđenim trojevima. Metoda e ne može korititi za trojeve kaveznim rotorom. Jedina od metoda uravljanja koja e uz rimjenu novih tehnoloških rješenja održala u indutrijkim utavima za maniulacije teretom (nr. kranki i dizalični ogoni) Dana u metode uravljanja brzinom vrtnje ainkronim trojevima uglavnom vezane za uravljanje a kloovima učinke elektronike. Takvi kloovi e u mehatronici nazivaju učinkim ojačalima, ali e četo koriti i već dugo rihvaćen naziv učinki retvarač. Onovna karakteritika takvih retvarača je da odgovarajućim zahtjevima u vom uravljačkom krugu djeluju na kloke retvarača, mijenjajući ritom rirodnu mehaničku karakteritiku troja. Na takav način e iz onovne (rirodne) karakteritike može dobiti čitav niz izvedenih mehaničkih karakteritika. Na onovi da ada izvedenih izraza e dade zaključiti da je razvijeni elektromagnetki moment M em ovian o magnetkom toku Φ, rema (x.30) i (x.3). Ito tako e vidi da je brzina vrtnje rotora ovina o frekvenciji naajanja naona tatora i broja olova troja, izrazi (x.) i (x.3.). Budući da je magnetki tok ovian o naonu i frekvenciji naajanja, jednotavno e može zaključiti da u glavne varijable kojima e može uravljati momentom i brzinom vrtnje troja, uravo naon i frekvencija. Mijenjajući iznoe tih varijabli omoću učinkih retvarača može e oigurati roizvoljna radna točka u 4-kvadrantnom (4q) radu ogona ainkronim trojem. Navedena razmatranja vrijede uglavnom za ainkroni kavezni troj. Prema lici.b) i 3.b), kliznokolutni troj ima rotor kliznim kolutima (rtenima) na koje e ajaju završetci trofaznog namota rotora. Shodno tome, uravljanje ovakvim trojem je vezano iključivo na romjenu iznoa dodatnih otornika R d u rotorkom krugu (tariji način uravljanja) ili romjenom efektivne vrijednoti naona naajanja tatora U itovremenom romjenom dodatnih otornika R d u rotorkom krugu (uvremeniji način uravljanja). U oglavljima o uravljanju ainkronim trojem koje lijede, razmatra e iključivo uravljanje iznoom ali ne i oložajem (faznim omakom) neke veličine u odnou na neku referentnu o. Takvo uravljanje e zove kalarno uravljanje. Za razliku od kalarnog, tzv. vektorkim uravljanjem e uravlja i iznoom i faznim omakom mjerodavnih veličina. Ovdje će e razmotriti u tehničkoj raki najčešće korišteni načini kalarnog uravljanja ainkronim trojem. A) Uravljanje romjenom efektivne vrijednoti naona tatora Uravljanje naonom tatora e zaniva na zakonitoti romjene iznoa momenta troja romjenom efektivne vrijednoti naona naajanja tatora. Uz retotavku da je naon tatora U ribližno jednak induciranom naonu E te na onovi odnoa induciranog naona tatora E i rotora E rema (x.7), moment troja e rema (x.33) mijenja ribližno

12 kvadratom naona naajanja U. Mehaničke karakteritike tako uravljanog troja rikazane u na lici x.8. M U = U > U > U > U n 3 4 U L L L 3 M t U M k M t U 3 U 4 0 ω 3 4 ω a) b) Slika.8. Mehaničke karakteritike naonom tatora uravljanog ainkronog troja a), izmjenični 4q naonki retvarač koji oigurava romjenu efektivne vrijednoti naona tatora Karakteritika naonom uravljanog ainkronog troja je znatno uženo odručje uravljanja i ono rema lici 8. iznoi 0<<. Promjenom naona tatora od U -U 4 rekretno klizanje e ne mijenja, ali e mijenja radna točka tako da e klizanje ovećava a njim i gubici u troju (tolina!). Ako e naon tatora koji e dobije iz naonkog retvarača b) romijeni U =U n na U, onda će e klizanje ovećati a na u lučaju da je motor oterećen kontantnim oterećenjem iznoa M t. Uz itu romjenu naona i oterećenje M t <M t romjena klizanja a 4 na 3 je manja. Ako e retotavi da je klizanje 4 nazivno klizanje (ri nazivnom naonu U n =U i nazivnom oterećenju M tn =M t ) i ako e nazivni naon manji na U, onda će e klizanje a 4 ovećati na 3. Zbog ovećanja gubitaka, tj. tolinkog oterećenja iznad nazivnih, ta radna točka može e amo kratko održati, jer će u rotivnom doći do oštećenja izolacije i mogućeg roboja. Što e tiče okretanja troja iz tanja mirovanja, ono je u lučaju rema lici 8.a) moguće amo naonom naajanja U =U n, jer e amo u tom lučaju može oigurati moment kratkog oja M k (otezni moment) veći od nazivnog momenta tereta M t. Nakon okretanja troja moguće je mijenjati naon naajanja i tim radnu točku ogona vodeći računa da e ne rekorači izno nazivnog tolinkog oterećenja (nazivnih gubitaka). Naravno, radna točka mora biti u tabilnom, linearnom dijelu mehaničke karakteritike. Kao što je rikazano na lici 8.b), izmjenični tiritorki retvarač naona oigurava ogon u va 4 kvadranta rada. Kada u uključeni tiritorki moduli, i 3, riključci tatora u ojeni redolijedom L, L, i L 3 na mrežno naajanje, a e dobije e jedan mjer okretnog olja. Promjena mjera okretnog olja, reverziranje, otiže e bezkontaktno, elektroničkom blokadom modula i 3 i deblokadom modula 4 i 5, čime dobije urotan mjer vrtnje okretnog olja. Tiritorki moduli e atoje od tiritora u antiaralelnom oju koji o funkciji rada odgovara oluvodičkoj komonenti koja e zove triak. Zaključak je da je onovna rednot uravljanja romjenom efektivne vrijednoti naona naajanja tatora jednotavnot uravljanja i jeftino i robuno uravljanje. Veliki nedotatak je uko odručje uravljanja oko nazivne brzine vrtnje i neekonomičnot a tanovišta ovećanja gubitaka ri uravljanju.

13 B) Uravljanje romjenom iznoa dodanih otora u rotorkom krugu (amo za kolutne) Prema izrazu (x.3) rekretno klizanje ovii o omjeru otora rotora R i induktiviteta rainog toka rotora (rotorka raina reaktancija, X σ ). Budući da e izno otora rotora može mijenjati dodavanjem vanjkih otornika R d reko kliznih koluta (lika 3.b). moguće je ovećavanjem iznoa ukunog otora R +R d ovećati rekretno klizanje u odnou na nazivno klizanje definirano amo otorom namota R. Povećanjem rekretnog klizanja točka makimalnog (rekretnog) momenta e omiče u lijevo na mehaničkoj karakteritici, lika 9. M R Rd R d d 3 R M R d 4 R d K R < R < R < R < R d d d3 d4 R d 3 R d K 0 ω a) b) Slika 9. Mehaničke karakteritike ainkronog kolutnog motora za različite iznoe dodanih vanjkih otornika a), hematki rikaz ajanja vanjkih otornika na rtenove rotora b) Kao što e vidi iz like 9.a) i b) uključivanje vanjkih (dodatnih) otornika u rotorki krug otiže e klonicima K i K, čiji broj ovii o broju otornika (kombinacija) koje e mogu otvariti. U rikazanom lučaju korite e 3 vanjka dodana otornika, a je broj mogućih mehaničkih karakteritika ograničen na 4. Jedna je rirodna karakteritika otorom vlatitog faze rotora (R ), a otale 3 e otižu dodavanjem odgovarajućih vanjkih otora u krug rotora, R d, R d i R d3. U uvremenim ogonima zanovanim na ovom tiu troja, uključivanje otornika e obavlja otuno automatki. Uravljački algoritam koji e izvršava na nekom od brzih digitalnih utava (mikroroceori, mikrokontroleri, DSP-i i lično) u vakom trenutku uzorkovanja, računa koliku vrijednot momenta bi motor ri određenoj brzini mogao razviti za vaku od 4 moguće kombinacije. Nakon izračuna mogućih vrijednoti momenata za različite vanjke otornike (4 izračuna za 4 otornička tunja), može e otaviti kriterij odabira jednog od otornika koji daje makimalni mogući razvijeni moment motora. Nakon toga e jednotavno odredi tanje klonika K i K. Kao što e vidi iz like 9.a) odručje uravljanja je rošireno na uni oeg nazivnih vrijednoti, međutim broj radnih točaka koje e mogu dobiti u tom oegu definiran je brojem otorničkih tunjeva (4). Izborom rikladnog vanjkog otornika R dx, može e dobiti takva mehanička karakteritika kod koje je =. To znači da e okretanje troja može obaviti makimalnim (rekretnim) momentom M k =M, a uz to i a manjenom trujom okretanja zbog velikog dodanog vanjkog otora u tom tunju. Zbog ovakvog načina uravljanja u nekim radnim režimima e mogu dobiti klizanja i do makimalnih iznoa od =,5! Primjer ω

14 takvog radnog režima je rotutrujno kočenje ri nadinkronom uštanju tereta. U tom lučaju e okretno olje vrti u jednu tranu inkronom brzinom n, a teret e nadinkrono ušta (u drugu tranu) brzinom od nr.,n. To znači da je klizanje =,! Budući da u električni gubici u obliku toline roorcionalni klizanju rema (x.), mora e voditi računa o odvodu toline i rahlađivanju okolnog rotora u kojima e nalaze drugi ogoni ojetljivi na orat temerature okoline. Gubici u vidu toline e ribližno roorcionalno raoređuju rema iznou otora vakog tunja. To znači da e najmanji dio toline (nazivni) olobađa u rotoru, a otatak na reotale dodatne otornike koji e nalaze izvan troja. Kao što e može zaključiti iz doadašnje analize, ovakav način uravljanja je ekonomki neučinkovit jer je uravljanje, oebno na nižim brzinama vrtnje, vezano za velike gubitke. S tim u vezi je i roblem odvoda toline u vrhu rječavanja odizanja radne temerature okoline. Zbog toga je rimjena ovih trojeva ograničena na ogone većih naga, uglavnom za maniulacije velikim teretima (čeličane, valjaonice, kontejnerki retovar,..), gdje igurnot i ouzdanot rada ima rioritetu odnou na energijku učinkovitot. C) Uravljanje romjenom naona tatora i romjenom otora u rotorkom krugu (A+B) Ovaj način uravljanja kombinira otuak uravljanja A) i B) koji je rethodno izložen, a e neće detaljnije analizirati. To je igurno jedan od najkvalitetnijih otuaka uravljanja ainkronim kolutnim trojem. Kombinacijom jednog i drugog otuka eliminiraju e neki nedotaci ojedinačnih otuaka. Tako nr. ovom metodom e može dobiti roizvoljna radna točka u va 4 kvadranta rada (4q), što je značajno oboljšanje u uravljanju kolutnim trojem. Slika 0. rikazuje rimjer jednog uvremenog indutrijkog ogona zanovanog uravo na ovom koncetu uravljanja ainkronim kolutnim trojem. Slika 0. Primjer utava krana za tranort i maniulaciju kontejnera zanovan na kolutnom troju.

15 Radi e o modularnom multiroceorkom utavu uravljanja koji ima integrirane uravljačke, regulacijke, komunikacijke, dijagnotičke i zaštitne funkcije, a u vrhu onovne zadaće regulacije brzine vrtnje i momenta u utavu maniulacija i tranorta tereta. Glavni mikrokontroler MC6833 obavlja onovnu zadaću regulacije tehnološkog rocea (alikacija), SAB853 mikrokontrolera obavljaju zadaću ditribuiranog utava uravljanja, MC6830 obavljaju U/I komunikaciju a digitalna ignalna roceora ADMC300 luže za etimaciju brzine vrtnje i elektromagnetkog momenta. Zahvaljujući takvom koncetu uravljanja, ainkroni kolutni troj e ribližava vojtvima do ada od njega kvalitetnijim ervo trojevima (itomjerni trojevi, vektorki uravljani ainkroni kavezni trojevi, bezkolektorki itomjerni trojevi ermanentnim magnetima). Primijenjeni otuak uravljanja a tatorke trane (romjena efektivne vrijednoti naona naajanja) i a rotorke trane (dodavanjem vanjkih otornika u eriju otorom namota) je dana utav uravljanja na viokoj tehnološkoj razini. Primjenjuje tehnike etimacije brzine vrtnje i momenta troja, omogućuje regulaciju brzine i momenta troja uz redundanciju enzora brzine (tahogenerator, inkrementalni enkoder, etimator brzine), obavlja automatki odabir dodatnog rotorkog otornika u vrhu dobivanja makimalnog razvijenog momenta troja, omogućuje robuno regenerativno kočenje vraćanjem energije u mrežu. D) Uravljanje romjenom naona i frekvencije naajanja tatora (U/f =kont.) Ako e retotavi da e broj olova ainkronog troja ne mijenja, onda e brzina vrtnje ainkronog troja rema izrazu (x.) može mijenjati romjenom frekvencije naona naajanja. Uz retotavku da je ad naona na otoru R i na rainom induktivitetu L σ namota tatora zanemariv u odnou na inducirani naon, onda na onovi jednadžbe ravnoteže tatorkog kruga rema (x.0) vrijedi ( R + j L ) I << σ E ω U E. (x.35) Uz zadovoljen uvjet iz izraza (x.35) magnetki tok je moguće izraziti iz izraza (x.6) kao Φ m N fn U, (x.36) π f koji uućuje na važan zaključak da e kontantan magnetki tok može održati ako e omjer U/f ačuva kontantnim. Ako e izraz (x.36) uvrti u izraz (x.3), dobije e izraz za rekretni moment M 3 U U = = k. (x.37) 8 π Lσ f f Slika 0.a. Uravljanje U/f=kont u odručju kontantnog momenta (Φ=kont)

16 Ovaj izraz okazuje da e mijenjajuću brzinu vrtnje troja romjenom frekvencije tatorkog naajanja f i održavajući magnetki tok kontantnim držeći omjer U/f kontantnim, izno rekretnog momenta, koji ovii o kvadratu omjera naona i frekvencije tatora, otaje neromijenjen. U odručju malih brzina ad naona na tatorkom otorniku R, ili reciznije rečeno na tatorkoj reaktanciji X, nije zanemariv u odnou na inducirani naon u tatoru E a izrazi (x.35)-(x.37) ne vrijede. Da bi magnetki tok i elektromagnetki moment troja rema (x.3) otali neromijenjeni i ri malim brzinama, otrebno je komenzirati ad naona na reaktanciji namota tatora. Na lici a) rikazana je linearna komenzacija koja je jednotavna za rimjenu a uglavnom zadovoljava zahtjevima uravljanja o načelu U/f=kont. U literaturi e mogu naći i loženiji načini komenzacije. Poljedice nekomenziranog ada naona na tatorkoj reaktanciji e uočavaju u momentnim karakteritikama, gdje e a manjivanjem referentne tatorke frekvencije manjuje rekretni moment na mehaničkoj karakteritici troja. To je dota logično, jer e na nižim frekvencijama ri malom naonu (rema načelu U/f =kont. uravljanja) gotovo av naon otroši na okrivanje ada naona na otoru tatora (I R, tj, tatorkoj reaktanciji I X ) rema lici 5. i izrazu (x.0). To oebno dolazi kod izražaja kod velikih trujnih oterećenja. Na lici. e vidi rednot ovog načina uravljanja, gdje e naon i frekvencija uklađeno mijenjaju. Brzina vrtnje do nazivnog naona (i frekvencije) troja f n e mijenja romjenom naona tatora uz U/f =kont. Radi e o odručju uravljanja naonom ili odručju kontantnog momenta. Nakon dotizanja nazivnog naona U n, brzina e može ovećati iznad nazivne manjenjem magnetkog olja, tj. ovećavanjem frekvencije uz kontantan naona tatora U=U n. To je odručje uravljanja magnetkim tokom ili odručje kontantne nage). Kao što e vidi iz izloženog, radi e raktički o identičnom načinu uravljanja kao i kod itomjernih trojeva, tim da u čak i uravljačke varijable itog značenja, naon tatora (naon armature) i magnetki tok tatora (magnetki tok uzbude). Budući da e magnetki tok u odručju kontantne nage mijenja rema izrazu (x.36) roorcionalno U n /f, tj. k/f, a rema (x.37) makimalni moment M troja (k/f ), onda e dobiju oblici za najvažnije varijable na lici.b). Krivulja momenta redtavlja anvelou makimalnih (rekretnih) momenata za različite frekvencije (brzine). Φ a) b) Slika. Komenzacija ada naona na tatorkoj reaktanciji ri malim brzina vrtnje a) Regulacijke karakteritike u odručju kontantnog momenta i kontantne nage, b) Na lici. rikazane u momentne karakteritike ainkronog troja uravljanog o načelu U/f =kont. za lučaj oterećenja kontantnim momentom a), i za lučaj oterećenja ventilacijkim momentom (M t ~k ω ). U rvom lučaju e uz referentne (zadane) frekvencije f -f 5 uz kontantan moment tereta M t dobiju radne točke brzinama vrtnje ω r -ω r5. Pri tome u

17 odgovarajuće relativne brzine između rotora i okretnog olja Δω r - Δω r5 i one u jednake za ve radne točke. Budući da e klizanje računa rema izrazu (x.7) kao =(ω -ω)/ω, onda e zbog manjenja inkrone brzine ω u nazivniku (od ω do ω 5 ) klizanje ovećava, a tim i gubici a manjivanjem brzine vrtnje ratu. U uoredbi uravljanjem od A, B i C, ti gubici u iak manji u odnou na uravljanje metodom U/f =kont, ogotovo kad e uzme u obzir da je realno oterećenje uvijek bliže oterećenju koje je rikazano na lici.b. Na toj lici e vidi da e manjivanjem brzine vrtnje (zadavanjem referentne frekvencije od f do f 5 ), manjuje i brojnik i nazivnik u izrazu za klizanje =(ω -ω)/ω. To znači da e uz ovakvo oterećenje otiže uravljanje ribližno kontantnim klizanjem, tj. gubitcima. M em Φ=kont. M em Φ = kont. f 4 f 3 f f M t ω r 4 ω r3 ω r ω r M t ω r f 5 ω 5 ω r5 ω 4 ω 3 ω ω ω ω r 4 r5 ω 5 ω 4 ω r3 Δω Δω Δω ω 4 3 Δω Δω 5 Δω 4 Δω 3 a) b) Slika. Mehaničke karakteritike ainkronog troja uz U/f uravljanje i kontantan moment oterećenja a), uz ventilacijki moment oterećenja b) Oćenito e može reći da u kalarni utavi uravljanja ainkronim trojem zanovani na metodi U/f =kont. među najčešće korištenim utavima u indutrijkom okruženju. Iako o dinamičkim okazateljima još uvijek ne može konkurirati itomjernom troju, jednotavnot izvedbe, relativno jednotavno uravljanje i cijena u ainkronom troju velika rednoti. Strukture kalarnog uravljanja Za otvarenje uravljanja ainkronim trojem zanovanog na metodi U/f =kont, otrebno je na tatorkoj trani troja oigurati naon romjenljivog iznoa i frekvencije koji u određeni odgovarajućim referentnim veličinama U ref i f ref. Sklo učinke elektronike koji to omogućava naziva e neizravni izmjenični retvarač, koji e u indutrijkom okruženju četo naziva i frekvencijki retvarač. Prikazan je na lici 3. Satoji e od iravljača, (moguć je i umjerivač) itomjernog međukruga, kočnog kloa (čoera) i izmjenjivača. Kondenzator u itomjernom međukrugu manjuje valovitot iravljenog naona i oigurava izvor kontantnog naona (tzv. utinuti naon). Iz itomjernog naona međukruga ulnoširinkom modulacijom učinkih kloki u izmjenjivaču dobije e onovni harmonik izmjeničnog naona na riključnim tezaljkama ainkronog troja. Naon i frekvencija tog naona u određeni zahtjevom uravljačkog kruga. Kočni klo (čoer) kontrolira izno naona itomjernog međukruga. Naime, u fazama kočenja kada e energija iz troja vraća u itomjerni međukrug, dolazi do unjenja kondenzatora i odizanja naona. Kada naon dotigne granicu douštenog iznoa, uključuje ω 3 ω r Δω ω Δω ω

18 e tranzitor u kočnom klou i va energija e reumjerava na otornik i na njemu troši u obliku toline. Moguće u i inačice neizravnog retvarača u kojem je ulazni klo antiaralelni umjerivač koji omogućava vraćanje energije iz troja u naojnu mrežu. Takav klo je energetki učinkovitiji, ali i kulji, a e koriti iključivo za velike nage i režime rada u kojoj u faze vraćanja energije iz troja relativno čete Slika 3. Strukturna hema neizravnog izmjeničnog retvarača Funkcijka blok hema kalarnog uravljanja ainkronog troja u otvorenoj etlji retvaračem frekvencije utinutim naonom rikazana je na lici x.3. Kao referentna vrijednot zadaje e frekvencija naona tatora, f ref. U kladu metodom uravljanja U/f =kont. na onovu f ref generira e odgovarajuća referentna vrijednot naona U ref. Te dvije referentne vrijednoti omogućuju dobivanje onovnog harmonika izmjeničnog naona na izlazu izmjenjivača, željenog iznoa (U ref ) i frekvencije (f ref ). Strujni ograničavač je jednotavno rješenje kontrole truje tatora u regulacijkom krugu. Sve dok je izno truje iod otavljenog raga, trujni ograničavač raktički nije u funkciji i ne utječe na otatak kloa na lici. Ako dođe do orata truje iznad otavljenog raga, izlaz trujnog ograničavača otavljenog u umacijku točku ignala brzine vrtnje manjuje ulazni ignal f ref u regulator naona. Rezultat toga je da e njim manjuje i izlaz iz regulatora naona U ref u kladu ravilom uravljanja U/f =kont.

19 Slika 3. Funkcijka blok hema kalarnog uravljanja ainkronim trojem u otvorenoj etlji retvaračem frekvencije utinutim naonom Stvarna brzina vrtnje troja ri kalarnom uravljanju u otvorenoj etlji odgovara željenoj inkronoj brzini vrtnje određenoj frekvencijom naona tatora amo u idealnom lučaju, a to je za lučaj idealnog raznog hoda (M t =0). Budući da u realnom vijetu uvijek otoji neki oteretni moment (nr. moment trenja), to znači da otoji i klizanje izraženo razlikom brzina rotora i okretnog olja. Dakle, što je veće oterećenje ainkronog troja, to je veća ogreška između referentne brzine (otavljene odgovarajućom referentnom frekvencijom f ref ) i tvarne brzine rotora. Za komenzaciju te ogreške nužno je uveti ovratnu vezu o brzini rotora. Takvo rješenje je rikazano na lici 4. Na onovi otavljene referentne vrijednoti brzine Slika 4. Funkcijka blok hema kalarnog uravljanja ainkronim trojem u zatvorenoj etlji retvaračem frekvencije utinutim naonom

ELEKTROMOTORNI POGONI - AUDITORNE VJEŽBE

ELEKTROMOTORNI POGONI - AUDITORNE VJEŽBE veučilište u ijeci TEHNIČKI FAKULTET veučilišni preddiplomki tudij elektrotehnike ELEKTOOTONI OGONI - AUDITONE VJEŽBE Ainkroni motor Ainkroni motor inkrona obodna brzina inkrona brzina okretanja Odno n

Διαβάστε περισσότερα

GUBICI ENERGIJE U DINAMIČKIM STANJIMA ASINKRONOG STROJA

GUBICI ENERGIJE U DINAMIČKIM STANJIMA ASINKRONOG STROJA GUBICI ENERGIJE U DINAMIČKIM STANJIMA ASINKRONOG STROJA Dinamička tanja: ZALET REVERZIRANJE PROTUSTRUJNO KOČENJE Pretpotavka: Trenutno u završene električne prijelazne pojave; Jednadžba gibanja: d ω M

Διαβάστε περισσότερα

POGON SA ASINHRONIM MOTOROM

POGON SA ASINHRONIM MOTOROM OGON SA ASNHRON OTORO oučavaćemo amo ogone a tofaznim motoom. Najčešće koišćeni ogon. Ainhoni moto: - ota kontukcija; - jeftin; - efikaan. ETALN RSTEN LANRANO JEZGRO BAKARNE ŠKE KAVEZN ROTOR NAOTAJ LANRANO

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

KOČENJE ASINHRONOG MOTORA

KOČENJE ASINHRONOG MOTORA KOČENJE ASINHRONOG MOTORA Razmatramo tri načina kočenja: 1. Rekuperativno;. Protivtrujno na dva načina; 3. Dinamičko ili kočenje jednomernom trujom. 1. Rekuperativno kočenje Pokazano je da ainhroni motor

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROMOTORNI POGONI SA ASINHRONIM MOTOROM

ELEKTROMOTORNI POGONI SA ASINHRONIM MOTOROM ELEKTROOTORNI POGONI SA ASINHRONI OTORO Poučavamo amo pogone a tofaznim motoom. Najčešće koišćeni moto u elektomotonim pogonima. Ainhoni moto: - jednotavna kontukcija; - mala cena; - vioka enegetka efikanot.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda spoj Snaga trofaznog sustava

Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda spoj Snaga trofaznog sustava 7 TROFAZNI SUSTA Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda soj Snaga troaznog sustava Fourierova analiza 7.1. Troazni sustav Elektrorivredne tvrtke koriste troazne krugove za generiranje, rijenos i razdiobu

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

SINKRONI I ASINKRONI ELEKTRIČNI STROJEVI

SINKRONI I ASINKRONI ELEKTRIČNI STROJEVI UDŽBENICI TEHNIČKOG VELEUČILIŠTA U ZAGREBU MANUALIA POLYTECHNICI STUDIORUM ZAGRABIENSIS IVAN MANDIĆ VESELKO TOMLJENOVIĆ MILICA PUŽAR SINKRONI I ASINKRONI ELEKTRIČNI STROJEVI ZAGREB, 2012. Nakladnik Tehničko

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Mreže za transformaciju impedancije

Mreže za transformaciju impedancije Mreže za tranformaciju imedancije ij FE ZK Zašto tranformirati imedanciju? Na rilaze tranzitoru treba riključiti određene vrijednoti imedancija kako bi e otigli željeni odnoi izmjeničnih naona i truja

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

b) Napon generatora i frekvenciju ako se u stanju navedenom pod a) otpornost otpornika promeni na vrednost 10 Ω.

b) Napon generatora i frekvenciju ako se u stanju navedenom pod a) otpornost otpornika promeni na vrednost 10 Ω. VEŽBE 6. TERMN Zadatak. Troazni inhroni generator 38 V, Y, 5 Hz, 3 in -, Ω, naaja troazni otrošač koji e atoji od tri otornika otornoti Ω regnuta u zvezdu. Pogonka ašina generatora ia ehaničku karakteritiku

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

VILJUŠKARI. 1. Viljuškar se koristi za utovar standardnih euro-pool paleta na drumsko vozilo u sistemu prikazanom na slici.

VILJUŠKARI. 1. Viljuškar se koristi za utovar standardnih euro-pool paleta na drumsko vozilo u sistemu prikazanom na slici. VILJUŠKARI 1. Viljuškar e korii za uoar andardnih euro-pool palea na druko ozilo u ieu prikazano na lici. PALETOMAT a) Koliko reba iljuškara da bi ree uoara kaiona u koji aje palea bilo anje od 6 in, ako

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRIČNI AKTUATORI Ak. god. 2011/2012.

ELEKTRIČNI AKTUATORI Ak. god. 2011/2012. FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA www.fer.hr/predmet/eleakt_a ELEKTRIČNI AKTUATORI Ak. god. 2011/2012. Modul: Automatika Predavanja: Prof. dr. sc. Ivan Gašparac Auditorne vježbe: Laboratorij: Goran

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Operacijsko Pojačalo Kod operacijsko pojačala izlazni napon je proporcionalan diferencijalu

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)

Διαβάστε περισσότερα

ASINHRONIM MOTOROM. Proučavamo samo pogone sa trofaznim motorom.

ASINHRONIM MOTOROM. Proučavamo samo pogone sa trofaznim motorom. ELEKTROMOTORNI POGONI SA ASINHRONIM MOTOROM Proučavamo amo pogone a trofaznim motorom. Najčešće korišćeni motor u elektromotornim pogonima. Ainhroni motor: - jednotavna kontrukcija; - mala cena; - vioka

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA

STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα