f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +"

Transcript

1 Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. Demonstraţie. Deoarece l 0, folosind condiţia ε δ, cu ε = l > 0, rezultă că δ > 0 astfel încât x D\{x 0 }, cu d(x, x 0 ) < δ, avem f(x) l < ε, deci x S(x 0, δ) D\{x 0 }, l l l < f(x) < l +. Dacă l > 0, atunci f(x) > l > 0, iar dacă l < 0, atunci f(x) < l < 0, deci, în ambele situaţii, sgnf(x) = sgnl, x S(x 0, δ) D\{x 0 }. Limite iterate. Pentru funcţiile de variabile (sau, mai general, de p variabile) se pot considera de asemenea aşa-numitele limite iterate: lim lim f(x, y) şi lim lim f(x, y), care, dacă există, nu sunt neapărat x x 0 y y 0 y y 0 x x 0 egale. Observaţie. 1) Se poate întâmpla ca limitele iterate să existe şi să fie egale, dar limita globală (în ansamblul variabilelor): f(x, y) să nu existe. lim (x,y) (x 0,y 0) ) Se poate întâmpla ca limitele iterate să nu existe (sau să nu existe una dintre ele), dar limita globală să existe. 3) Dacă există limita globală şi dacă există lim f(x, y), f(x, y) şi lim x x 0 y y 0 atunci există ambele limite iterate şi sunt egale cu limita globală. 4) Dacă există ambele limite iterate şi sunt diferite, atunci nu există limita globală. Exemplu. Ne propunem să studiem limitele iterate şi limita globală în (0, 0) pentru funcţia f(x, y) = x y+x +y, (x, y) R \{(x, y); x + y = 0}. Avem: lim lim x 0y 0 lim f(x, y) = lim f(x, y). x 0 x+y x+x x y+y = 1, lim lim f(x, y) = lim y 0x 0 y 0 y De altfel, acelaşi rezultat se obţine şi astfel: f(( 1 n+1 n, 0)) = n f(( 1 n, 1 n )) = 1 n 0 1. = 1, deci 1, iar FUNCŢII CONTINUE 1

2 Fie f : D (, d 1 ) (Y, d ) şi a D (prin urmare, a poate fi punct izolat sau punct de acumulare pentru D). Definiţie. i) (cu vecinătăţi) Spunem că funcţia f este continuă în punctul a D dacă V V(f(a)), U V(a) astfel încât x U D, f(x) V (sau, echivalent, f(u D) V ) ii) O funcţie care nu este continuă într-un punct se spune că este discontinuă în punctul respectiv. iii) Funcţia f se numeşte continuă (global) pe mulţimea D dacă este continuă în fiecare punct din D. Observaţie. Dacă a D este punct izolat pentru D, atunci f este continuă în a. Într-adevăr, a fiind punct izolat, U 0 V(a) astfel încât U 0 D = {a}. Prin urmare, V V(f(a)), U 0 V(a) astfel încât f(u 0 D) = f({a}) V, deci f este continuă în a. Teoremă. Fie f : D (, d 1 ) (Y, d ) şi a D D. Atunci f este continuă în a dacă şi numai dacă lim f(x) = f(a). Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că f este continuă în a. Atunci, V V(f(a)), U V(a) astfel încât f(u D) V, de unde, cu atât mai mult, f(u D\{a}) V, ceea ce înseamnă că lim f(x) = f(a). Suficienţa. Presupunem că lim f(x) = f(a). Atunci, V V(f(a)), U V(a) astfel încât f(u D\{a}) V. Întrucât şi f({a}) V, rezultă că f(u D) V, deci f este continuă în a. Consecinţă. Fie f : D (, d 1 ) (Y, d ) şi a D. Atunci f este continuă în a dacă şi numai dacă ori a este punct izolat, ori a D D şi lim f(x) = f(a). Din teorema anterioară şi teorema de caracterizare a existenţei limitei unei funcţii într-un punct, rezultă imediat: Teoremă (de caracterizare a continuităţii punctuale). Următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) f este continuă în punctul a (definiţia cu vecinătăţi); ii) (definiţia cu sfere) S Y (f(a), ε), S (a, δ) astfel încât x S (a, δ) D, f(x) S Y (f(a), ε); iii) (caracterizarea analitică cu ε δ) ε > 0, δ(ε) > 0 astfel încât x D, cu d 1 (x, a) < δ, avem d (f(x), f(a)) < ε; iv) (caracterizarea cu şiruri) (x n ) n D, x n a f(xn ) Y f(a). Teoremă. (caracterizarea pe componente pentru funcţii vectoriale) Funcţia f = (f 1, f,..., f q ) : D R p R q este continuă în punctul a D dacă şi numai dacă toate componentele sale f i, i = 1, q, sunt funcţii continue în a.

3 Exemple. i) Orice funcţie constantă f : (, d) (, d) este continuă pe deoarece a şi (x n ) n, x n a f(xn ) = c f(a) = c. ii) Aplicaţia identică i : (, d) (, d) este continuă pe deoarece a şi (x n ) n, x n a i(xn ) = x n i(a) = a. iii) f : (R, d 0 ) (, d) (d 0 metrica discretă) este continuă pe R deoarece d a R arbitrar, fixat, x 0 n a, n1 N astfel ca n n 1, d 0 (x n, a) < 1, deci x n = a, n n 1. Prin urmare, f(x { n ) = f(a), n n 1, de unde f(x n ) f(a). iv) Fie f : R x y R, f(x, y) = x +y. Observăm că f este continuă pe R. Într-adevăr, f este continuă în (0, 0) : lim f(x, y) = lim x y x +y = lim 0 = f(0, 0) şi f este continuă în orice punct din R \{(0, 0)} : Fie (x n, y n ) n R, (x n, y n ) (x 0, y 0 ) (0, 0), oarecare. Atunci x 0 0 sau y 0 0, de unde, (eventual de la un loc încolo), x n 0 sau y n 0, deci (x n, y n ) (0, 0), n n 0. Prin urmare, f(x n, y n ) = x n yn x x 0 y0 n +y n x 0 +y 0 = f(x 0, y 0 ). Teoremă (continuitatea compunerii). Dacă f : (, d 1 ) (Y, d ) este continuă în a şi g : (Y, d ) (Z, d 3 ) este continuă în b = f(a) Y, atunci g f : (, d 1 ) (Z, d 3 ) este continuă în a. Demonstraţie. (x n ) n, x n a f(xn ) Y f(a) (g f)(x n ) = g(f(x n )) Z g(f(a)) = (g f)(a). Teoremă (de caracterizare a continuităţii globale). Fie f : (, d 1 ) (Y, d ). Următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) f este continuă pe ; ii) D τ Y f 1 (D) τ ( altfel spus, f întoarce mulţimi deschise în mulţimi deschise); iii) Fînchisă Y = f 1 (F ) este închisă în ( altfel spus, f întoarce mulţimi închise în mulţimi închise); iv) A f(a) f(a). Demonstraţie. i) iv): A, y f(a), x A astfel ca f(x) = y. Deoarece x A, (x n ) n A, x n x. Întrucât f este continuă pe, f(x n) f(x). Prin urmare, (f(x n )) n f(a) aşa încât f(x n ) f(x) = y f(a). iv) = iii): Fînchisă Y, fie A = f 1 (F ). Avem f(f 1 (F )) f(f 1 (F )) F = F, deci (f 1 (F )) f 1 (F ), adică, echivalent, f 1 (F ) este închisă. iii) ii): D τ Y, Y \D este închisă în Y, deci din ipoteză f 1 (Y \D) = f 1 (Y )\f 1 (D) = \f 1 (D) este închisă în, deci f 1 (D) este deschisă în. ii) = i): Fie x 0 oarecare, fixat. Arătăm că f este continuă în x 0 folosind definiţia cu sfere. Fie deci S Y (f(x 0 ), ε) oarecare. Deoarece S Y (f(x 0 ), ε) x x +y y = 3

4 este deschisă în, conform cu ii), f 1 (S Y (f(x 0 ), ε)) este deschisă în. Întrucât x 0 f 1 (S Y (f(x 0 ), ε)), există S (x 0, δ) f 1 (S Y (f(x 0 ), ε)), de unde f(s (x 0, δ)) S Y (f(x 0 ), ε), ceea ce arată că f este continuă în x 0. Principiul contracţiei Definiţie. O funcţie f : (, d) (, d) este contracţie dacă λ (0, 1) (numită constanta contracţiei) astfel ca d(f(x), f(y)) λd(x, y), x, y (cu alte cuvinte, prin aplicarea unei contracţii unei perechi de puncte, distanţa dintre ele se contractă). Definiţie. O funcţie f : (, d 1 ) (Y, d ) se numeşte lipschitziană pe dacă L > 0 astfel încât d (f(x), f(y)) Ld 1 (x, y), x, y. Observaţie. Orice contracţie este evident funcţie lipschitziană. Exemple. i) f : R p R +, f(x) = x (norma euclidiană), x R p este lipschitziană pe R p (de constantă Lipschitz L = 1) datorită inegalităţii x y x y, x, y R p, care implică f(x) f(y) x y, x, y R p. ii) în R, orice funcţie derivabilă cu derivata mărginită pe un interval este lipschitziană pe intervalul respectiv (afirmaţia rezultă imediat în baza Teoremei lui Lagrange). Propoziţie. Orice funcţie lipschitziană f : (, d 1 ) (Y, d ) este continuă pe (deci orice contracţie este lipschitziană). Demonstraţie. Evident, a arbitrar, fixat, f este continuă în a : ε > 0, δ(ε) = ε L > 0 astfel încât x, cu d 1(x, a) < δ, avem d (f(x), f(a)) Ld 1 (x, a) < L ε L = ε. Definiţie. Dacă (, d) este un spaţiu metric şi f : (, d) (, d), un element x se numeşte punct fix al lui f dacă f(x ) = x. Teorema lui Banach de punct fix (principiul contracţiei) (teoremă de existenţă şi unicitate). Fie (, d) un spaţiu metric complet şi f : (, d) (, d) o contracţie. Atunci f admite un unic punct fix. Demonstraţie. I. Existenţa punctului fix. Întrucât f este contracţie, există λ (0, 1) astfel ca d(f(x), f(y)) λd(x, y), x, y. Fie x 0 oarecare şi considerăm x 1 = f(x 0 ), x = f(x 1 ) = (f f)(x 0 ),..., x n = f(x n 1 ),... (x n ) n este şir Cauchy: d(x 1, x ) = d(f(x 0 ), f(x 1 )) λd(x 0, x 1 ), 4

5 d(x, x 3 ) = d(f(x 1 ), f(x )) λd(x 1, x ) λ d(x 0, x 1 ),..., d(x n, x n+1 ) λ n d(x 0, x 1 ), n N, de unde, n, p N, ( ) d(x n, x n+p ) d(x n, x n+1 ) + d(x n+1, x n+ ) d(x n+p 1, x n+p ) d(x 0, x 1 )(λ n + λ n λ n+p 1 ) = d(x 0, x 1 )λ n 1 λp 1 λ d(x 0, x 1 )λ n 1 1 λ. i) Dacă d(x 0, x 1 ) = 0, atunci x 1 = f(x 0 ) = x 0, deci x 0 este punct fix. ii) Dacă d(x 0, x 1 ) > 0, cum lim n λn = 0, din ( ) rezultă că ε > 0, n 0 (ε) N astfel ca, n n 0, p N, d(x n, x n+p ) < ε, adică (x n ) n este şir Cauchy şi deci convergent în spaţiul metric complet (, d). Vom arăta că x = lim n x n este punct fix. n N, avem: d(x, f(x)) d(x, x n ) + d(x n, f(x)) = d(x, x n ) + d(f(x n 1 ), f(x)) d(x, x n ) + λd(x, x n 1 ) şi, cum lim n d(x n, x) = 0, rezultă că d(x, f(x)) = 0, deci f(x) = x. II. Unicitatea punctului fix. Dacă ar exista x y puncte fixe în, atunci am avea d(f(x), f(y)) = d(x, y) λd(x, y) < d(x, y), fals. Exemplu. (l, +, ) este spaţiu Banach, cu metrica d(x, y) = (x n y n ), x = (x n ) n, y = (y n ) n l. Funcţia f : l l, f(x) = ( xn ) n, x = (x n ) n l, este o contracţie a lui l în el însuşi şi are unicul punct fix, şirul nul 0 = (0) l. n=1 Homeomorfisme, izometrii Definiţie. f : (, d 1 ) (Y, d ) se numeşte homeomorfism (izomorfism topologic) dacă f este bijectivă şi bicontinuă (f, f 1 sunt continue). Dacă există un homeomorfism între două spaţii metrice, acestea se vor numi homeomorfe. Observaţie. i) Dacă f este homeomorfism, atunci f 1 este de asemenea homeomorfism. ii) Compunerea a două homeomorfisme este de asemenea homeomorfism. şi Definiţie. f : (, d 1 ) (Y, d ) se numeşte izometrie dacă f este bijectivă (conservă distanţele). ( ) d (f(x 1 ), f(x )) = d 1 (x 1, x ), x 1, x 5

6 Două spaţii metrice se numesc izometrice dacă există o izometrie între ele. Observaţie. i) Din condiţia ( ) rezultă că f este injectivă, deci în definiţia anterioară este suficient ca f să fie surjectivă. ii) Dacă f este izometrie, atunci şi f 1 este izometrie. Exemple. i) f : R R, f(x) = x, x R este izometrie. ii) f : R k R k, f(x) = x + a, x R k (a R k fixat) (translaţia) este izometrie, deoarece f este bijectivă şi (x 1 +a) (x +a) = x 1 x, x 1, x R k ( este norma euclidiană). iii) f : R R, f(x) = x 3 este homeomorfism. Probleme propuse. I. 1. Cercetaţi limitele iterate şi limita globală în (0, 0) pentru: i) f(x, y) = x sin 1 y, (x, y) R \{(x, y); y = 0}. ii) f(x, y) = (x + y) sin 1 x sin 1 y, (x, y) {(x, y); x 0, y 0}. { xy iii) f(x, y) = x +y. { xy. Fie f : R +sin(x 3 +y 5 ) R, f(x, y) = x +y 4. Arătaţi că deşi f are limite iterate în (0, 0), nu are limită în (0, 0) în ansamblul variabilelor. 3. Cercetaţi existenţa limitei în (0, 0) pentru funcţia f : R \{(0, 0)} R xy, f(x, y) = ( sin 1 x +y x +y, xy cos 1 x +y x +y ), (x, y) (0, 0). 4. Calculaţi lim f(x), f : R R 3, f(x) = ( 1+x 1 3 x 0 1+x 1, ( ax +b x ) 1 x, m 1+αx n 1+βx x ), a, b R + \{1}, α, β > 0, m, n N, m, n. 5. Studiaţi continuitatea{ pe mulţimea de definiţie a funcţiilor următoare: i) f : R x sin y R, f(x, y) = x +y ; { x ln(1+y ii) f : R ) R, f(x, y) = x +y ; { x ln(1+y ) x sin y iii) f : R R, f(x, y) = x +y ; { x sin x x+y sin y+z sin z, (x, y, z) (0, 0, 0) iv) f : R 3 R, f(x, y, z) = +y +z. 0, (x, y, z) = (0, 0, 0) 6

7 II. 1. Fie f, g : (, d 1 ) (Y, d ) două aplicaţii continue. Arătaţi că mulţimea A = {x ; f(x) = g(x)} este închisă.. Fie f, g : (, d 1 ) (Y, d ) două funcţii continue şi A o mulţime densă în. Arătaţi că dacă f(x) = g(x), x A, atunci f(x) = g(x), x. 3. Arătaţi că dacă (, d) este un spaţiu metric, atunci funcţia d : R + este continuă pe. 4. Fie (, d 1 ) un spaţiu metric complet şi f : (, d 1 ) (Y, d ) o funcţie continuă. Arătaţi că dacă (F n ) n este un şir descendent de mulţimi închise, nevide, cu şirul diametrelor (δ(f n )) n convergent la 0, atunci f( n=1 F n ) = n=1 f(f n ). 5. Fie f, g : (, d 1 ) (R, d u ) două aplicaţii continue. Arătaţi că mulţimea A = {x ; f(x) < g(x)} este deschisă, iar mulţimea B = {x ; f(x) g(x)} este închisă. 6. Fie f : (, d) (R, d u ) o aplicaţie continuă. Arătaţi că mulţimea A = {x ; f(x) < 0} este deschisă, iar mulţimea B = {x ; f(x) = 0} este închisă. 7. Fie f : (, d) (R, d u ). Arătaţi că dacă pentru orice λ R, mulţimile {x ; f(x) > λ} şi {x ; f(x) < λ} sunt deschise, atunci f este continuă pe. 8. Fie (, d) un spaţiu metric şi x 0 fixat. Dacă 0 < r < s, atunci mulţimea M = {x ; r < d(x, x 0 ) < s} este deschisă. inf y A 9. Fie (, d) un spaţiu metric şi A. Definim funcţia f A (x) = d(x, A)(= d(x, y)), x (distanţa de la punctul x la mulţimea A). Arătaţi că: i) f A este continuă pe ; ii) Dacă A, B sunt închise şi disjuncte, atunci mulţimile D A = {x ; d(x, A) < d(x, B)} şi D A = {x ; d(x, A) > d(x, B)} sunt deschise, disjuncte, A D A, B D B (această proprietate de a separa mulţimile închise disjuncte prin mulţimi deschise disjuncte se numeşte proprietate de normalitate (orice spaţiu metric este spaţiu normal). 10. Fie A (, d), A, S(A, r) = {x ; d(x, A) < r}, T (A, r) = {x ; d(x, A) r}, r > 0. Arătaţi că S(A, r) este deschisă, iar T (A, r) este închisă. 11. Precizaţi dacă funcţiile următoare sunt contracţii: i) (R, d), d(x, y) = x y, f : R R, f(x) = 1 5 arctgx; ii) (R +, d), d(x, y) = x y, f : R + R +, f(x) = x + 1; iii) ([ π 4, π ], d), d(x, y) = x y, f : [ π 4, π ] [ π 4, π ], f(x) = sin x; iv) ([1, 9], d), d(x, y) = x y, f : [1, 9] [1, 9], f(x) = x +. 7

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Geometria curbelor şi suprafeţelor 27 Mai 2014

Geometria curbelor şi suprafeţelor 27 Mai 2014 Geometria curbelor şi suprafeţelor 7 Mai 04 Mircea Crâşmăreanu ii Cuprins Introducere v Noţiunea de curbă. Geometria unei curbe Reperul Frenet şi curburi 9 3 Teorema fundamentală a curbelor 7 4 Ecuaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Folosirea formelor normale conduce la eliminarea multora din problemele de redondanţe şi anomalii enunţate anterior. Fie o schemă

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X Prelegerea 13 Coduri Reed - Solomon 13.1 Definirea codurilor RS O clasă foarte interesantă de coduri ciclice a fost definită în 1960 de Reed şi Solomon. Numite în articolul iniţial coduri polinomiale,

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE Andrei Mărcuş Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică 6 martie 2015 Cuprins 1 Ecuaţii algebrice 1 1.1 Ecuaţii binome. Grupul rădăcinilor de ordin

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

1. GRUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţiuni algebrice)

1. GRUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţiuni algebrice) . RUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţini algebrice) Un grpoid poate fi gândit ca n grp c mai mlte elemente nitate. Dacă n grpoid are n singr element nitate, atnci de fapt, este grp. Astfel noţinea de grpoid

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU ZEVEDEI

MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU ZEVEDEI MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU EVEDEI April 1, 25 2 CUPRINS III ELEMENTEDECALCULVARIAŢIONAL 9 11 ELEMENTE DE CALCUL

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Curs 6 Relatii de cointegrare

Curs 6 Relatii de cointegrare Curs 6 Relatii de cointegrare Intuitie: Doua serii de timp sunt in relatie de cointegrare daca nu sunt neaparat corelate, dar o combinatie liniara a lor este de medie si varianta constante: mai devreme

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI APLICATE ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ-

MATEMATICI APLICATE ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ- UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU Dumitru Acu Petrică Dicu Mugur Acu Ana Maria Acu MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ- Cuprins Introducere 6. Necesitatea

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος - Επίδειξη Συμφωνίας În linii mari sunt de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Cineva este de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου D'une façon générale,

Διαβάστε περισσότερα

DOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE. Andra Jugănaru

DOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE. Andra Jugănaru DOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE I Introucere Anra Jugănaru Scopul acestei lucrări este e a prezenta ouă emonstraţii ale teoremei următoare: orice algebră Boole este izomorfă

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective:

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective: TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE Obiective: Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Capitolul 1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Definiţia 1.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma g(t, x, ẋ)

Διαβάστε περισσότερα