f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +"

Transcript

1 Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. Demonstraţie. Deoarece l 0, folosind condiţia ε δ, cu ε = l > 0, rezultă că δ > 0 astfel încât x D\{x 0 }, cu d(x, x 0 ) < δ, avem f(x) l < ε, deci x S(x 0, δ) D\{x 0 }, l l l < f(x) < l +. Dacă l > 0, atunci f(x) > l > 0, iar dacă l < 0, atunci f(x) < l < 0, deci, în ambele situaţii, sgnf(x) = sgnl, x S(x 0, δ) D\{x 0 }. Limite iterate. Pentru funcţiile de variabile (sau, mai general, de p variabile) se pot considera de asemenea aşa-numitele limite iterate: lim lim f(x, y) şi lim lim f(x, y), care, dacă există, nu sunt neapărat x x 0 y y 0 y y 0 x x 0 egale. Observaţie. 1) Se poate întâmpla ca limitele iterate să existe şi să fie egale, dar limita globală (în ansamblul variabilelor): f(x, y) să nu existe. lim (x,y) (x 0,y 0) ) Se poate întâmpla ca limitele iterate să nu existe (sau să nu existe una dintre ele), dar limita globală să existe. 3) Dacă există limita globală şi dacă există lim f(x, y), f(x, y) şi lim x x 0 y y 0 atunci există ambele limite iterate şi sunt egale cu limita globală. 4) Dacă există ambele limite iterate şi sunt diferite, atunci nu există limita globală. Exemplu. Ne propunem să studiem limitele iterate şi limita globală în (0, 0) pentru funcţia f(x, y) = x y+x +y, (x, y) R \{(x, y); x + y = 0}. Avem: lim lim x 0y 0 lim f(x, y) = lim f(x, y). x 0 x+y x+x x y+y = 1, lim lim f(x, y) = lim y 0x 0 y 0 y De altfel, acelaşi rezultat se obţine şi astfel: f(( 1 n+1 n, 0)) = n f(( 1 n, 1 n )) = 1 n 0 1. = 1, deci 1, iar FUNCŢII CONTINUE 1

2 Fie f : D (, d 1 ) (Y, d ) şi a D (prin urmare, a poate fi punct izolat sau punct de acumulare pentru D). Definiţie. i) (cu vecinătăţi) Spunem că funcţia f este continuă în punctul a D dacă V V(f(a)), U V(a) astfel încât x U D, f(x) V (sau, echivalent, f(u D) V ) ii) O funcţie care nu este continuă într-un punct se spune că este discontinuă în punctul respectiv. iii) Funcţia f se numeşte continuă (global) pe mulţimea D dacă este continuă în fiecare punct din D. Observaţie. Dacă a D este punct izolat pentru D, atunci f este continuă în a. Într-adevăr, a fiind punct izolat, U 0 V(a) astfel încât U 0 D = {a}. Prin urmare, V V(f(a)), U 0 V(a) astfel încât f(u 0 D) = f({a}) V, deci f este continuă în a. Teoremă. Fie f : D (, d 1 ) (Y, d ) şi a D D. Atunci f este continuă în a dacă şi numai dacă lim f(x) = f(a). Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că f este continuă în a. Atunci, V V(f(a)), U V(a) astfel încât f(u D) V, de unde, cu atât mai mult, f(u D\{a}) V, ceea ce înseamnă că lim f(x) = f(a). Suficienţa. Presupunem că lim f(x) = f(a). Atunci, V V(f(a)), U V(a) astfel încât f(u D\{a}) V. Întrucât şi f({a}) V, rezultă că f(u D) V, deci f este continuă în a. Consecinţă. Fie f : D (, d 1 ) (Y, d ) şi a D. Atunci f este continuă în a dacă şi numai dacă ori a este punct izolat, ori a D D şi lim f(x) = f(a). Din teorema anterioară şi teorema de caracterizare a existenţei limitei unei funcţii într-un punct, rezultă imediat: Teoremă (de caracterizare a continuităţii punctuale). Următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) f este continuă în punctul a (definiţia cu vecinătăţi); ii) (definiţia cu sfere) S Y (f(a), ε), S (a, δ) astfel încât x S (a, δ) D, f(x) S Y (f(a), ε); iii) (caracterizarea analitică cu ε δ) ε > 0, δ(ε) > 0 astfel încât x D, cu d 1 (x, a) < δ, avem d (f(x), f(a)) < ε; iv) (caracterizarea cu şiruri) (x n ) n D, x n a f(xn ) Y f(a). Teoremă. (caracterizarea pe componente pentru funcţii vectoriale) Funcţia f = (f 1, f,..., f q ) : D R p R q este continuă în punctul a D dacă şi numai dacă toate componentele sale f i, i = 1, q, sunt funcţii continue în a.

3 Exemple. i) Orice funcţie constantă f : (, d) (, d) este continuă pe deoarece a şi (x n ) n, x n a f(xn ) = c f(a) = c. ii) Aplicaţia identică i : (, d) (, d) este continuă pe deoarece a şi (x n ) n, x n a i(xn ) = x n i(a) = a. iii) f : (R, d 0 ) (, d) (d 0 metrica discretă) este continuă pe R deoarece d a R arbitrar, fixat, x 0 n a, n1 N astfel ca n n 1, d 0 (x n, a) < 1, deci x n = a, n n 1. Prin urmare, f(x { n ) = f(a), n n 1, de unde f(x n ) f(a). iv) Fie f : R x y R, f(x, y) = x +y. Observăm că f este continuă pe R. Într-adevăr, f este continuă în (0, 0) : lim f(x, y) = lim x y x +y = lim 0 = f(0, 0) şi f este continuă în orice punct din R \{(0, 0)} : Fie (x n, y n ) n R, (x n, y n ) (x 0, y 0 ) (0, 0), oarecare. Atunci x 0 0 sau y 0 0, de unde, (eventual de la un loc încolo), x n 0 sau y n 0, deci (x n, y n ) (0, 0), n n 0. Prin urmare, f(x n, y n ) = x n yn x x 0 y0 n +y n x 0 +y 0 = f(x 0, y 0 ). Teoremă (continuitatea compunerii). Dacă f : (, d 1 ) (Y, d ) este continuă în a şi g : (Y, d ) (Z, d 3 ) este continuă în b = f(a) Y, atunci g f : (, d 1 ) (Z, d 3 ) este continuă în a. Demonstraţie. (x n ) n, x n a f(xn ) Y f(a) (g f)(x n ) = g(f(x n )) Z g(f(a)) = (g f)(a). Teoremă (de caracterizare a continuităţii globale). Fie f : (, d 1 ) (Y, d ). Următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) f este continuă pe ; ii) D τ Y f 1 (D) τ ( altfel spus, f întoarce mulţimi deschise în mulţimi deschise); iii) Fînchisă Y = f 1 (F ) este închisă în ( altfel spus, f întoarce mulţimi închise în mulţimi închise); iv) A f(a) f(a). Demonstraţie. i) iv): A, y f(a), x A astfel ca f(x) = y. Deoarece x A, (x n ) n A, x n x. Întrucât f este continuă pe, f(x n) f(x). Prin urmare, (f(x n )) n f(a) aşa încât f(x n ) f(x) = y f(a). iv) = iii): Fînchisă Y, fie A = f 1 (F ). Avem f(f 1 (F )) f(f 1 (F )) F = F, deci (f 1 (F )) f 1 (F ), adică, echivalent, f 1 (F ) este închisă. iii) ii): D τ Y, Y \D este închisă în Y, deci din ipoteză f 1 (Y \D) = f 1 (Y )\f 1 (D) = \f 1 (D) este închisă în, deci f 1 (D) este deschisă în. ii) = i): Fie x 0 oarecare, fixat. Arătăm că f este continuă în x 0 folosind definiţia cu sfere. Fie deci S Y (f(x 0 ), ε) oarecare. Deoarece S Y (f(x 0 ), ε) x x +y y = 3

4 este deschisă în, conform cu ii), f 1 (S Y (f(x 0 ), ε)) este deschisă în. Întrucât x 0 f 1 (S Y (f(x 0 ), ε)), există S (x 0, δ) f 1 (S Y (f(x 0 ), ε)), de unde f(s (x 0, δ)) S Y (f(x 0 ), ε), ceea ce arată că f este continuă în x 0. Principiul contracţiei Definiţie. O funcţie f : (, d) (, d) este contracţie dacă λ (0, 1) (numită constanta contracţiei) astfel ca d(f(x), f(y)) λd(x, y), x, y (cu alte cuvinte, prin aplicarea unei contracţii unei perechi de puncte, distanţa dintre ele se contractă). Definiţie. O funcţie f : (, d 1 ) (Y, d ) se numeşte lipschitziană pe dacă L > 0 astfel încât d (f(x), f(y)) Ld 1 (x, y), x, y. Observaţie. Orice contracţie este evident funcţie lipschitziană. Exemple. i) f : R p R +, f(x) = x (norma euclidiană), x R p este lipschitziană pe R p (de constantă Lipschitz L = 1) datorită inegalităţii x y x y, x, y R p, care implică f(x) f(y) x y, x, y R p. ii) în R, orice funcţie derivabilă cu derivata mărginită pe un interval este lipschitziană pe intervalul respectiv (afirmaţia rezultă imediat în baza Teoremei lui Lagrange). Propoziţie. Orice funcţie lipschitziană f : (, d 1 ) (Y, d ) este continuă pe (deci orice contracţie este lipschitziană). Demonstraţie. Evident, a arbitrar, fixat, f este continuă în a : ε > 0, δ(ε) = ε L > 0 astfel încât x, cu d 1(x, a) < δ, avem d (f(x), f(a)) Ld 1 (x, a) < L ε L = ε. Definiţie. Dacă (, d) este un spaţiu metric şi f : (, d) (, d), un element x se numeşte punct fix al lui f dacă f(x ) = x. Teorema lui Banach de punct fix (principiul contracţiei) (teoremă de existenţă şi unicitate). Fie (, d) un spaţiu metric complet şi f : (, d) (, d) o contracţie. Atunci f admite un unic punct fix. Demonstraţie. I. Existenţa punctului fix. Întrucât f este contracţie, există λ (0, 1) astfel ca d(f(x), f(y)) λd(x, y), x, y. Fie x 0 oarecare şi considerăm x 1 = f(x 0 ), x = f(x 1 ) = (f f)(x 0 ),..., x n = f(x n 1 ),... (x n ) n este şir Cauchy: d(x 1, x ) = d(f(x 0 ), f(x 1 )) λd(x 0, x 1 ), 4

5 d(x, x 3 ) = d(f(x 1 ), f(x )) λd(x 1, x ) λ d(x 0, x 1 ),..., d(x n, x n+1 ) λ n d(x 0, x 1 ), n N, de unde, n, p N, ( ) d(x n, x n+p ) d(x n, x n+1 ) + d(x n+1, x n+ ) d(x n+p 1, x n+p ) d(x 0, x 1 )(λ n + λ n λ n+p 1 ) = d(x 0, x 1 )λ n 1 λp 1 λ d(x 0, x 1 )λ n 1 1 λ. i) Dacă d(x 0, x 1 ) = 0, atunci x 1 = f(x 0 ) = x 0, deci x 0 este punct fix. ii) Dacă d(x 0, x 1 ) > 0, cum lim n λn = 0, din ( ) rezultă că ε > 0, n 0 (ε) N astfel ca, n n 0, p N, d(x n, x n+p ) < ε, adică (x n ) n este şir Cauchy şi deci convergent în spaţiul metric complet (, d). Vom arăta că x = lim n x n este punct fix. n N, avem: d(x, f(x)) d(x, x n ) + d(x n, f(x)) = d(x, x n ) + d(f(x n 1 ), f(x)) d(x, x n ) + λd(x, x n 1 ) şi, cum lim n d(x n, x) = 0, rezultă că d(x, f(x)) = 0, deci f(x) = x. II. Unicitatea punctului fix. Dacă ar exista x y puncte fixe în, atunci am avea d(f(x), f(y)) = d(x, y) λd(x, y) < d(x, y), fals. Exemplu. (l, +, ) este spaţiu Banach, cu metrica d(x, y) = (x n y n ), x = (x n ) n, y = (y n ) n l. Funcţia f : l l, f(x) = ( xn ) n, x = (x n ) n l, este o contracţie a lui l în el însuşi şi are unicul punct fix, şirul nul 0 = (0) l. n=1 Homeomorfisme, izometrii Definiţie. f : (, d 1 ) (Y, d ) se numeşte homeomorfism (izomorfism topologic) dacă f este bijectivă şi bicontinuă (f, f 1 sunt continue). Dacă există un homeomorfism între două spaţii metrice, acestea se vor numi homeomorfe. Observaţie. i) Dacă f este homeomorfism, atunci f 1 este de asemenea homeomorfism. ii) Compunerea a două homeomorfisme este de asemenea homeomorfism. şi Definiţie. f : (, d 1 ) (Y, d ) se numeşte izometrie dacă f este bijectivă (conservă distanţele). ( ) d (f(x 1 ), f(x )) = d 1 (x 1, x ), x 1, x 5

6 Două spaţii metrice se numesc izometrice dacă există o izometrie între ele. Observaţie. i) Din condiţia ( ) rezultă că f este injectivă, deci în definiţia anterioară este suficient ca f să fie surjectivă. ii) Dacă f este izometrie, atunci şi f 1 este izometrie. Exemple. i) f : R R, f(x) = x, x R este izometrie. ii) f : R k R k, f(x) = x + a, x R k (a R k fixat) (translaţia) este izometrie, deoarece f este bijectivă şi (x 1 +a) (x +a) = x 1 x, x 1, x R k ( este norma euclidiană). iii) f : R R, f(x) = x 3 este homeomorfism. Probleme propuse. I. 1. Cercetaţi limitele iterate şi limita globală în (0, 0) pentru: i) f(x, y) = x sin 1 y, (x, y) R \{(x, y); y = 0}. ii) f(x, y) = (x + y) sin 1 x sin 1 y, (x, y) {(x, y); x 0, y 0}. { xy iii) f(x, y) = x +y. { xy. Fie f : R +sin(x 3 +y 5 ) R, f(x, y) = x +y 4. Arătaţi că deşi f are limite iterate în (0, 0), nu are limită în (0, 0) în ansamblul variabilelor. 3. Cercetaţi existenţa limitei în (0, 0) pentru funcţia f : R \{(0, 0)} R xy, f(x, y) = ( sin 1 x +y x +y, xy cos 1 x +y x +y ), (x, y) (0, 0). 4. Calculaţi lim f(x), f : R R 3, f(x) = ( 1+x 1 3 x 0 1+x 1, ( ax +b x ) 1 x, m 1+αx n 1+βx x ), a, b R + \{1}, α, β > 0, m, n N, m, n. 5. Studiaţi continuitatea{ pe mulţimea de definiţie a funcţiilor următoare: i) f : R x sin y R, f(x, y) = x +y ; { x ln(1+y ii) f : R ) R, f(x, y) = x +y ; { x ln(1+y ) x sin y iii) f : R R, f(x, y) = x +y ; { x sin x x+y sin y+z sin z, (x, y, z) (0, 0, 0) iv) f : R 3 R, f(x, y, z) = +y +z. 0, (x, y, z) = (0, 0, 0) 6

7 II. 1. Fie f, g : (, d 1 ) (Y, d ) două aplicaţii continue. Arătaţi că mulţimea A = {x ; f(x) = g(x)} este închisă.. Fie f, g : (, d 1 ) (Y, d ) două funcţii continue şi A o mulţime densă în. Arătaţi că dacă f(x) = g(x), x A, atunci f(x) = g(x), x. 3. Arătaţi că dacă (, d) este un spaţiu metric, atunci funcţia d : R + este continuă pe. 4. Fie (, d 1 ) un spaţiu metric complet şi f : (, d 1 ) (Y, d ) o funcţie continuă. Arătaţi că dacă (F n ) n este un şir descendent de mulţimi închise, nevide, cu şirul diametrelor (δ(f n )) n convergent la 0, atunci f( n=1 F n ) = n=1 f(f n ). 5. Fie f, g : (, d 1 ) (R, d u ) două aplicaţii continue. Arătaţi că mulţimea A = {x ; f(x) < g(x)} este deschisă, iar mulţimea B = {x ; f(x) g(x)} este închisă. 6. Fie f : (, d) (R, d u ) o aplicaţie continuă. Arătaţi că mulţimea A = {x ; f(x) < 0} este deschisă, iar mulţimea B = {x ; f(x) = 0} este închisă. 7. Fie f : (, d) (R, d u ). Arătaţi că dacă pentru orice λ R, mulţimile {x ; f(x) > λ} şi {x ; f(x) < λ} sunt deschise, atunci f este continuă pe. 8. Fie (, d) un spaţiu metric şi x 0 fixat. Dacă 0 < r < s, atunci mulţimea M = {x ; r < d(x, x 0 ) < s} este deschisă. inf y A 9. Fie (, d) un spaţiu metric şi A. Definim funcţia f A (x) = d(x, A)(= d(x, y)), x (distanţa de la punctul x la mulţimea A). Arătaţi că: i) f A este continuă pe ; ii) Dacă A, B sunt închise şi disjuncte, atunci mulţimile D A = {x ; d(x, A) < d(x, B)} şi D A = {x ; d(x, A) > d(x, B)} sunt deschise, disjuncte, A D A, B D B (această proprietate de a separa mulţimile închise disjuncte prin mulţimi deschise disjuncte se numeşte proprietate de normalitate (orice spaţiu metric este spaţiu normal). 10. Fie A (, d), A, S(A, r) = {x ; d(x, A) < r}, T (A, r) = {x ; d(x, A) r}, r > 0. Arătaţi că S(A, r) este deschisă, iar T (A, r) este închisă. 11. Precizaţi dacă funcţiile următoare sunt contracţii: i) (R, d), d(x, y) = x y, f : R R, f(x) = 1 5 arctgx; ii) (R +, d), d(x, y) = x y, f : R + R +, f(x) = x + 1; iii) ([ π 4, π ], d), d(x, y) = x y, f : [ π 4, π ] [ π 4, π ], f(x) = sin x; iv) ([1, 9], d), d(x, y) = x y, f : [1, 9] [1, 9], f(x) = x +. 7

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Folosirea formelor normale conduce la eliminarea multora din problemele de redondanţe şi anomalii enunţate anterior. Fie o schemă

Διαβάστε περισσότερα

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Geometria curbelor şi suprafeţelor 27 Mai 2014

Geometria curbelor şi suprafeţelor 27 Mai 2014 Geometria curbelor şi suprafeţelor 7 Mai 04 Mircea Crâşmăreanu ii Cuprins Introducere v Noţiunea de curbă. Geometria unei curbe Reperul Frenet şi curburi 9 3 Teorema fundamentală a curbelor 7 4 Ecuaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X Prelegerea 13 Coduri Reed - Solomon 13.1 Definirea codurilor RS O clasă foarte interesantă de coduri ciclice a fost definită în 1960 de Reed şi Solomon. Numite în articolul iniţial coduri polinomiale,

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

DOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE. Andra Jugănaru

DOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE. Andra Jugănaru DOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE I Introucere Anra Jugănaru Scopul acestei lucrări este e a prezenta ouă emonstraţii ale teoremei următoare: orice algebră Boole este izomorfă

Διαβάστε περισσότερα

1. GRUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţiuni algebrice)

1. GRUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţiuni algebrice) . RUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţini algebrice) Un grpoid poate fi gândit ca n grp c mai mlte elemente nitate. Dacă n grpoid are n singr element nitate, atnci de fapt, este grp. Astfel noţinea de grpoid

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI APLICATE ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ-

MATEMATICI APLICATE ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ- UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU Dumitru Acu Petrică Dicu Mugur Acu Ana Maria Acu MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ- Cuprins Introducere 6. Necesitatea

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, 17-22 august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Problema 1. Câte numere naturale de cinci cifre trebuie să scriem pentru

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Capitolul 1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Definiţia 1.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma g(t, x, ẋ)

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este. Copyright c 007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului atematician 1 inisterul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 007 Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla

2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla 2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla DOMENIUL DE UTILIZARE Capacitate de până la 450 l/min (27 m³/h) Inaltimea de pompare până la 112 m LIMITELE DE UTILIZARE Inaltimea de aspiratie manometrică

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ M Manual pentru clasa a 1-a Cuprins ALGEBRÃ 1. Grupuri... 6 1.1. Legi de compoziþie... 6 1.. Proprietãþi ale legilor de compoziþie... 9 1.3. Grupuri... 1.4. Exemple

Διαβάστε περισσότερα

Calculul valorilor şi vectorilor proprii

Calculul valorilor şi vectorilor proprii Capitolul 4 Calculul valorilor şi vectorilor proprii Valorile şi vectorii proprii joacă un rol fundamental în descrierea matematică a unor categorii foarte largi de procese tehnice, economice, biologice

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon ursul.3. Mării şi unităţi de ăsură Unitatea atoică de asă (u.a..) = a -a parte din asa izotopului de carbon u. a.., 0 7 kg Masa atoică () = o ărie adiensională (un nuăr) care ne arată de câte ori este

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Coduri detectoare şi corectoare de erori

Coduri detectoare şi corectoare de erori Coduri detectoare şi corectoare de erori Adrian Atanasiu Editura Universităţii BUCUREŞTI Prefaţă Vă uitaţi la televizor care transmite imagini prin satelit? Vorbiţi la telefon (celular)? Folosiţi Internetul?

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic şi energia mecanică.

Lucrul mecanic şi energia mecanică. ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

Bazele teoriei riscului

Bazele teoriei riscului Bazele teoriei riscului Mircea Crâşmăreanu ii Contents Mulţimi şi funcţii 3 2 Probabilităţi: abordare clasică 5 3 Probabilităţi: abordare modernă 4 Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare 9 5

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de logicǎ matematicǎ

Elemente de logicǎ matematicǎ Elemente de logicǎ matematicǎ 9 noiembrie 2004 - Calcul propoziţional - Calculul predicatelor - Proceduri de decizie pt. realizabilitate - Demonstrare de teoreme prin rezoluţie Elemente de logicǎ matematicǎ

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία - Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Valeriu Zevedei, Ionela Oancea April 9, 005 CUPRINS 1 CALCUL VECTORIAL 7 1.1 Vectori legaţi,vectori liberi... 7 1. Operaţiilinearecuvectori... 9 1..1

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE. Culegeredeprobleme. Emil STOICA şi Mircea NEAGU

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE. Culegeredeprobleme. Emil STOICA şi Mircea NEAGU ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Culegeredeprobleme Emil STOICA şi Mircea NEAGU Cuprins 1 Spaţii vectoriale. Spaţii euclidiene 1 1.1 Elementeteoreticefundamentale................ 1

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z. Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea

Διαβάστε περισσότερα

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui - Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex

Διαβάστε περισσότερα

Curs 5 Semnale stationare si nestationare. Testul unit root

Curs 5 Semnale stationare si nestationare. Testul unit root Curs 5 Semnale stationare si nestationare. Testul unit root Seriile de timp stationare intuitiv inseamna medie si deviatie standard constante in timp. In aplicatii insa intalnim de obicei marimi nemarginite

Διαβάστε περισσότερα

Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic

Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Logică 24. Echivalenta starilor STARILE ECHIVALENTE DIN CIRCUITELE SECVENTIALE Realizarea unui circuit secvenţial

Διαβάστε περισσότερα

In cazul sistemelor G-L pentru care nu se aplica legile amintite ale echilibrului de faza, relatia y e = f(x) se determina numai experimental.

In cazul sistemelor G-L pentru care nu se aplica legile amintite ale echilibrului de faza, relatia y e = f(x) se determina numai experimental. ECHILIBRUL FAZELOR Este descris de: Legea repartitiei masice Legea fazelor Legea distributiei masice La echilibru, la temperatura constanta, raportul concentratiilor substantei dizolvate in doua faze aflate

Διαβάστε περισσότερα

Grupul ortogonal. Mircea Crasmareanu. Facultatea de Matematică Universitatea Al. I. Cuza Iaşi,

Grupul ortogonal. Mircea Crasmareanu. Facultatea de Matematică Universitatea Al. I. Cuza Iaşi, Grupul ortogonal Mircea Crasmareanu Facultatea de Matematică Universitatea Al. I. Cuza Iaşi, 700506 România mcrasm@uaic.ro http://www.math.uaic.ro/ mcrasm Curs de Perfecţionare 2007 9 Figuri Abstract However

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

P A + P C + P E = P B + P D + P F.

P A + P C + P E = P B + P D + P F. Fie P un punct situat în interiorul cercului C. Prin punctul P se duc trei coarde care determină în jurul punctului P şase unghiuri de 60. Notăm A, B, C, D, E, F (în ordine) capetele acestor coarde. Arătaţi

Διαβάστε περισσότερα

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR Cuprins 15 MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 5 15.1 Câmpuri scalare. Curbe şi suprafeţe de nivel............................. 5 15.2 Derivata după o direcţie şi

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL AL DOILEA

Capitolul 2 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL AL DOILEA Capitolul 2 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL AL DOILEA Studiul ecuaţiilor cu derivate parţiale îşi are originea în secolul al XVIII-lea şi a fost inspirat de modele concrete din mecanică (elasticitate,

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα