MATEMATICĂ 1 ALEXANDRU NEGRESCU

Transcript

1 MATEMATICĂ ALEXANRU NEGRESCU

2

3 Cuprins Cuprins Integrale multiple 5. Integrale duble pe dreptunghiuri Integrale duble pe regiuni oarecare Integrale duble în coordonate polare Integrale triple Integrale triple în coordonate sferice Integrale triple în coordonate cilindrice Miscelaneu

4 CUPRINS

5 Capitolul Integrale multiple. Integrale duble pe dreptunghiuri. Calculaţi valoarea integralei (x y da, unde [,] [,]. Soluţie. Vom avea grijă ca pentru prima integrală să punem, drept capete, valorile extreme ale lui y iar pentru a doua integrală să punem, drept capete, valorile extreme ale lui x: (x y dxdy. Observăm că expresia de sub integrală se poate scrie ca produsul a două funcţii: f(x x şi g(y y (care depind numai de variabila x, respectiv y. Atunci integrala noastră se scrie ca produsul a două integrale: (x y dxdy (x dx ( ( ( x y dy x Pauză de Fortificare Intelectuală. Noţiunea de integrală dublă a fost introdusă în anul 769 de către matematicianul elveţian Leonhard Euler (77-78 în lucrarea e formulis integralibus duplicat.. Calculaţi valoarea integralei (x+y da, unde [,] [,]. Soluţie. Fiind atenţi la capetele de integrare, scriem: (x+y da (x+y dxdy. 5 y

6 6 CAPITOLUL. INTEGRALE MULTIPLE Neputând face vreun truc de genul celui din problema precedentă, trebuie să o calculăm în maniera,,standard, şi anume să evaluăm integrala din interior (după x şi apoi pe cea de-a doua (după y. Aşadar, (x+y dx (x+y (+y (y (+y y, am avut grijă ca, integrând după x, să îl privesc pe y ca o constantă. Acum, substituind ceea ce am calculat în integrala noastră, am redus-o la [(+y y ]dy (+y5 5. Calculaţi valoarea integralei x ; y }. y5 5 ( xy x + da, unde {(x,y R Soluţie. Observăm că expresia de sub integrală se poate scrie ca produsul a două funcţii: f(x x x + şi g(y y (care depind numai de variabila x, respectiv y. Atunci integrala noastră se scrie ca produsul a două integrale, astfel: xy x + da care pot fi calculate elementar: x x + dx y dy, xy x + da x x + dx ln(x + y ln5 ( 8 ( y dy 8ln5. y. Calculaţi volumul corpului situat sub paraboloidul eliptic z x şi deasupra dreptunghiului [,] [,]. Soluţie. Corpului situat sub paraboloidul eliptic z x y şi deasupra dreptunghiului [,] [,] este reprezentat în figura...

7 .. INTEGRALE UBLE PE REGIUNI OARECARE 7 y x Reamintim că volumul corpului situat sub suprafaţa z f(x,y şi deasupra dreptunghiului este dat de relaţia V f(x,yda. Aşadar, volumul corpului nostru este egal cu V ( x y dxdy (x x y x dy ( y ( dy y y 6. Pauză de Fortificare Intelectuală. Paraboloidul eliptic este suprafaţa cuadrică ce este caracterizată de ecuaţia unde a,b,c sunt numere reale. z c x a + y b,. Integrale duble pe regiuni oarecare. Calculaţi siny xcosydxdy. Soluţie. Chiar dacă expresia de sub integrală se scrie ca produsul a două funcţii, care depind numai de variabila x, respectiv y, nu putem aplica această strategie deoarece capetele integralelor nu au valori numerice. Vom calcula pornind de la integrala din interiorul expresiei: siny ( siny xcosydx dy ( x cosy sin ycosydy. dy

8 8 CAPITOLUL. INTEGRALE MULTIPLE În această ultimă integrală, privindu-l pe cosy ca (siny, observăm că ( sin sin y ycosy. Atunci siny xcosydxdy ( sin y π.. Calculaţi dreapta y x+ şi parabola y x. (xy +da, unde este regiunea plană mărginită de Soluţie. Pentru început, să determinăm punctele de intersecţie a dreptei cu parabola. Rezolvăm ecuaţia x + x, adică x x, de unde obţinem că ele se intersectează în punctele (, şi (,. Aşadar, regiunea este descrisă de: {(x,y R x,x y x+}. 8 6 Pentru x [ ;], arcul parabolei y x este margine inferioară pentru iar segmentul de pe dreapta y x+ este margine superioară. Atunci: (xy +da x+ ( xy x+ (xy +dydx x +y dx x (x+dx ( x +x 8.

9 .. INTEGRALE UBLE PE REGIUNI OARECARE 9. Calculaţi de xy, y x şi y x. xda, unde esteregiuneadinprimulcadranmărginită Soluţie. eoarece domeniul nu este atât de accesibil ca la problemele anterioare, îl vom împărţi în domenii mai mici. Cum le găsim? Să aflăm, pentru început, punctele de intersecţie a celor trei grafice. Pentru intersecţia dreptelor y x şi y x, rezolvăm ecuaţia x x şi găsim punctul (,. Pentru intersecţia dreptei y x cu xy, rezolvăm ecuaţia x ( x şi găsim punctul,. Pentru intersecţia dreptei y x cu xy, rezolvăm ecuaţia x ( x şi găsim punctul,. Acum putem să spunem cum împărţim domeniul : alegem ca fiind regiunea cuprinsă între dreptele y x, y x şi x, iar pe ca fiind regiunea cuprinsă între x, y x şi y x. Atunci: xda xda+ xda x x x (xy xdydx+ x x x dx+ + x x dx+ (xy (x x x x ( x dx xdydx dydx 9.. Calculaţi valoarea integralei y e x dxdy.

10 CAPITOLUL. INTEGRALE MULTIPLE Soluţie. eoarece nu există niciun mod elementar de a calcula primitiva lui e x, părem a fi fără putere în faţa acestei integrale. Însă o strategie, ce va da roade aici, este schimbarea ordinii de integrare. omeniul de integrare, care este un triunghi, se scrie: {(x,y R y, y } x. Însă, putem privi acest triunghi şi altfel: Aşadar, y { (x,y R x, y x }. e x dxdy x e x dydx xe x dx e x e. e x y x dx e x (x dx. Integrale duble în coordonate polare Sistemul de coordonate polare este un sistem de coordonate de dimensiune, în care fiecare punct P din plan este determinat de distanţa r faţă de un punct fixat O (numit pol sau origine şi un unghi t, format cu o direcţie fixată. Punctul P îi asociem perechea ordonată (r,t iar r şi t se numesc coordonate polare. Pentru un punct P din plan, coordonatele sale carteziene x şi y se pot scrie astfel: x rcost şi y rsint. omeniile maxime pentru coordonatele polare sunt: r [, şi t [,π. Când trecem din coordonatele carteziene în coordonatele polare să nu uităm să înmulţim cu factorul J r, numit iacobianul transformării! Un lucru ce merită evidenţiat este că x +y r cos t+r sin t r (cos t+sin t r. Se poate nota şi cu (ρ,θ. E de preferat ca ambele caractere să aparţină aceluiaşi alfabet.

11 .. INTEGRALE UBLE ÎN COORONATE POLARE. Calculaţi ( x +y da, unde este discul unitate. Soluţie. Trecând la coordonate polare, x +y r r, unde r [;] şi t [,π]. Atunci: ( x +y da ( rrdrdt. Calculaţi valoarea integralei t π dt ( r r ( rrdr π. sin ( x +y da, unde {(x,y R x +y 9,y }. Soluţie. Transformând în coordonate polare, sin ( x +y sin ( r, unde r x + y [,9], adică r [;], şi t [,π], deoarece y (fiind nenegativ se află în cadranele I şi II. Atunci: sin ( x +y da sin ( r rdrdt dt sin ( ( r rdr scriem r ( r π π(cos cos9.. Calculaţi valoarea integralei sin ( r (r dr π ( cos ( r x +y da, unde {(x,y R x +y y,x,y }. Soluţie. Prezenţa expresiei x + y ne sugerează să utilizăm coordonatele polare. Încercăm! Inegalităţile din domeniul se transcriu: r cos t + r sin t rsint, adică r sint, şi cost,sint. Aşadar: t [ ; π ], r [,sint],

12 CAPITOLUL. INTEGRALE MULTIPLE şi integrala devine x +y da 8 sint sin tdt. Cum sin(x sinx sin x, obţinem că x +y da r rdrdt (sint sin(t dt ( cost+ cos(t π ( r sint dt Calculaţi valoarea integralei I e x dx. Soluţie. Aparent, această problemă nu are nicio legătură cu subiectul nostru. Este o integrală grea. e x nu ne lasă să îi găsim primitiva. Însă coordonatele polare ne vor surprinde cu o frumoasă aplicaţie aici. Nu vedem nicio integrală dublă în enunţ, dar ce ar fi dacă ne-am crea noi una? Să îl observăm pe I : I e x dx e y dy. Acum, să privim acest produs de integrale de la la ca o integrală dublă pe R. E delicată extinderea integralelor duble pe domenii nemărginite, dar să o privim în aceeaşi manieră ca integralele improprii, studiindu-le la limită. Atunci: I e x e y da e (x +y da. R R e acum, transformarea în coordonate polare este evidentă: e (x +y e r, r [;, t [,π], şi integrala devine I + + e r rdrdt e r ( rdrdt (e r dt ( privim e r ( r (e r ( dt π.

13 .. INTEGRALE TRIPLE Atunci I π. Pauză de Fortificare Intelectuală. e x dx este cunoscută sub numele integrala lui Gauss (Gaussiană. Este numită după matematicianul german Carl Friedrich Gauss ( , foto stânga, considerat unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, supranumit Princeps Mathematicorum (Prinţul Matematicii. Această integrală are o gamă largă de aplicaţii: teoria probabilităţilor, mecanica cuantică, etc. eoarece e x este o funcţie pară pe mulţimea R, avem că e x dx şi prinschimbarea devariabilă x t, ea va fi egală cu ( t dt Γ π. e x dx e t. Integrale triple. Calculaţi xyz dv, unde {(x,y,z R x, y, z }. Soluţie. Este o integrală simplă, capetele sunt numerice, trebuie doar să fim atenţi la calcule: xyz dv 5 xyz dxdydz ( xyz dx dydz ( yz dy dz (yz x x x dydz 5 (z y y ( z dz 5 z z dz 5 5. y z. Calculaţi volumul corpului mărginit de paraboloizii z x +y şi z 5 x y.

14 CAPITOLUL. INTEGRALE MULTIPLE Soluţie. Ideea este să proiectăm corpul nostru pe cel mai convenabil plan, în cazul nostru pe xoy. Să vedem cum se intersectează paraboloizii: sistemul { z x +y z 5 x y implică x +y 5 x y, adică x + y. eci paraboloizii se x intersectează după elipsa ( + y, a cărei proiecţie pe planul xoy are aceeaşi ecuaţie. eci proiecţia corpului K pe planul xoy este mulţimea E : {(x,y R x +y }, adică interiorul elipsei găsite mai sus Ne amintim că volumul corpului K, căutat de noi, este Vol(K dv. iferenţa (5 x y (x +y 5 5x 5y 5 5(x +y este nenegativă, aşa că z variază de la cantitatea mai mică, z x +y, la cea mai mare, z 5 x y, putem scrie că ( 5 x y Vol(K dz da. Aşadar: Vol(K E E K x +y z z5 x y [ da zx +y 5 5(x +y ] da. E

15 .5. INTEGRALE TRIPLE ÎN COORONATE SFERICE 5 Să vedem cum îl abordăm pe E. Elipsa x a + y se scrie în coordonate polare: b x arcost, y brsint iar iacobianul transformării este J abr, unde r [,] şi t [,π]. Elipsa noastră se scrie: x rcost, y rsint iar iacobianul transformării este J r. Valoarea expresiei 5 5(x +y este 5 5r. Aşadar volumul nostru a devenit: Vol(K 5 (5 5r dt rdrdt (r r dr π ( r r r.5 Integrale triple în coordonate sferice (5r 5r drdt r 5π. 6 Sistemul de coordonate sferice este un sistem de coordonate cu trei dimensiuni, în care fiecare punct P din spaţiu este determinat de: distanţa (notată cu ρ dintre punctul P şi o origine fixată (O, unghiul zenit (notat cu ϕ format de OP cu axa pozitivă z şi unghiul azimut (notat cu θ format de proiecţia lui OP pe planul xoy cu axa pozitivă x. Astfel, coordonatele carteziene ale unui punct P din plan se scriu: x ρsinϕcosθ, y ρsinϕsinθ, z ρcosϕ. omeniile maxime pentru coordonatele sferice sunt: ρ [,, ϕ [,π], θ [,π]. Când trecem din coordonatele carteziene în coordonatele sferice să nu uităm să înmulţim cu iacobianul transformării, J ρ sinϕ! Un lucru ce merită evidenţiat este că x +y +z ρ sin ϕcos θ +ρ sin ϕsin θ+ρ cos ϕ ρ. Secţiunea aceasta o vom dedica unor calcule,,practice :. Fotbal trigonometric. Aflaţi volumul corpului închis de mingea,,trigonometrică de fotbal.

16 6 CAPITOLUL. INTEGRALE MULTIPLE Soluţie. Amuzant, nu? Cum am putea descrie corpul nostru? rept mulţimea K {(x,y,z R x + y + z }. Aşa cum am văzut mai devreme, volumul lui este Vol(K dv. Şi acum intervin coordonatele sferice (doar mingea e o sferă, nu?: ρ x +y +z, deci ρ [,], iar K Vol(K π ( cosϕ ϕπ ρ sinϕdρdϕdθ ϕ ρ ρ ρ π. dθ sinϕdϕ ρ dρ. Problema cornetului cu îngheţată. Aflaţi volumul corpului situat în interiorul sferei x +y +z z şi în interiorul conului z x +y. Soluţie Ecuaţia sferei se poate rescrie (x + (y + (z, ceea ce ne spune că ea are centrul în punctul de coordonate (,, şi raza egală cu, deci se află deasupra planului xoy, aşa că ne va interesa doar interiorul conului z x +y. Transcriem ecuaţia sferei în coordonate sferice: ρ x +y +z z ρcosϕ, de unde putem caracteriza interiorul sferei ((x +(y +(z prin ρ ρcosϕ, adică ρ cosϕ. Conul, în coordonate sferice, se scrie: ρ cos ϕ z x +y ρ sin ϕcos θ +ρ sin ϕsin θ ρ sin ϕ, [ de unde cos ϕ sin ϕ, adică tg ϕ şi, cum ϕ, π ] (deoarece suntem deasupra planului xoy, rezultă că ϕ π. Astfel, interiorul conului este

17 .6. INTEGRALE TRIPLE ÎN COORONATE CILINRICE 7 caracterizat de ϕ corpului nostru, K,şi scrie: Vol(K 8 [, π ]. Graţie acestor rezultate, putem reveni la volumul cosϕ ρ sinϕdρdϕdθ ( sinϕ ρ ρcosϕ dϕdθ ρ sinϕcos ϕdϕdθ cos ϕ cos ϕ (cosϕ dϕdθ ϕ π ϕ dθ ( dθ dθ π..6 Integrale triple în coordonate cilindrice Sistemul de coordonate cilindrice este un sistem de coordonate cu trei dimensiuni, în care fiecare punct P din spaţiu este determinat de: lungimea proiecţiei (notată cu ρ a segmentului OP pe planul xoy, unghiul azimut (notat cu θ format de proiecţia lui OP pe planul xoy cu axa pozitivă x. Astfel, coordonatele carteziene ale unui punct P din plan se scriu: x ρcosθ, y ρsinθ, z z. omeniile maxime pentru coordonatele sferice sunt: ρ [,, θ [,π], z R. Când trecem din coordonatele carteziene în coordonatele cilindrice să nu uităm să înmulţim cu iacobianul transformării, J ρ! Un lucru ce merită evidenţiat este că x +y ρ cos θ+ρ sin θ ρ.. Calculaţi valoarea integralei mărginită de paraboloidul x +y z şi de planul z. K (x +y dv, unde K este regiunea Soluţie. Planul z,,taie paraboloidul după un cerc de rază. Observăm că regiunea K este un,,vârf de paraboloid, pe care îl proiectăm pe planul xoy în: {(x,y R x +y 6}.

18 8 CAPITOLUL. INTEGRALE MULTIPLE Trecem la coordonatele cilinidrice: x ρcosθ, y ρsinθ, z z. Atunci ρ x + y 6, deci ρ [,], ( iar ecuaţia paraboloidului devine ρ z, adică z ρ ρ. Aşadar, z, şi θ [,π], iar integrala noastră devine: (x +y dv ρ ρdzdθdρ K ρ ( ρ dz dθdρ ρ ( ρ z z dθdρ z ρ (ρ ρ5 dθdρ ( ( ρ ρ5 θπ θ dρ θ π (ρ ρ5 dρ π (ρ ρ6 ρ 5π.. Calculaţi momentul de inerţie al unui con circular drept, omogen, în raport cu axa z. (Conul are raza bazei R, înălţimea H, masa m. Soluţie. Momentul de inerţie al conului K, în raport cu axa z, este dat de formula I z γ(x,y,z (x +y dv. K ρ

19 .6. INTEGRALE TRIPLE ÎN COORONATE CILINRICE 9 eoarece conul este omogen, atunci densitatea γ(x,y,z γ este aceeaşi în fiecare punct şi I z γ (x +y dv. Trecem la coordonate cilindrice: Ecuaţia generală a unui con este K x ρcosθ, y ρsinθ, z z. x +y a z. Să vedem cine este a. eoarece, când x R şi y, avem că z H, obţinem că R a H, deci a R H şi ecuaţia conului se scrie: x +y R H z. În coordonate sferice, ρ R H z, deci z H ρ. Aşadar, R [ ] H ρ [,R], θ [,π], z R ρ,h. Momentul de inerţie devine: I z γ γ γ H R H R π γ HR. R ρ ρdzdρdθ γ H R ρ ( ρ H ρ H dρdθ γ H R ( ρ ρ5 ρr dθ γ H 5R ρ ( ρ z R ( R R 5 zh z H R ρ dρdθ (ρ ρ dρdθ R dθ Nu cunoaştem densitatea γ, dar cunoaştem masa m şi volumul conului, V πr H. Aşa că densitatea γ m V m πr şi, graţie acesteia, momentul H de inerţie este I z π m πr H HR mr.

20 CAPITOLUL. INTEGRALE MULTIPLE.7 Miscelaneu. Calculaţi valoarea integralei I arctgπx arctgx x Soluţie. Aparent, problema nu are nicio legătură cu integralele multiple, însă ideea este să privim expresia arctgπx arctgx ca arctgyx yπ x x, iar y funcţia F(y arctgyx este o primitivă a funcţiei f(y x +x (se arată y uşor folosind schimbarea de variabilă u xy. eci arctgπx arctgx x şi integrala noastră devine I π t arctgyx x yπ y +x y dy dx. π ( +x y dydx +x y dx dy ( arctgxy x ( arctgxy xt dy lim dy y x t y x ( arctgty lim arctg dy t y y arctg ty ( lim dy lim y arctgty π t, dacă y > y dy π lny yπ y π lnπ.. Aflaţi valoarea lui c, pentru care funcţia f(x,y { c(x+y, dacă < x < 5 şi x < y < x+, în rest este densitatea comună de probabilitate a variabilelor aleatoare de tip continuu X şi Y. Soluţie. Una dintre proprietăţile esenţiale ale densităţii comune de probabilitate este f(x,ydxdy.

21 .7. MISCELANEU În cazul nostru, privind domeniul de definiţie a lui f(x,y, avem deunderezultăcăc şi obţinem că c 5 x+ 5 x+ 5 x x c(x+ydydx, (x+ydydx,adicăc 5 (xy + y x+ dx x (x+ dx. Graţie acestei ultime relaţii, deducem că c ( x +x 5, de unde găsim valoarea lui c. Cu acest c este 6 verificată şi nenegativitatea densităţii iar continuitatea sa este evidentă.