Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y)."

Transcript

1 Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: dx f defineşte o ecuaţie explicită. x variabila independentă = f(x, y). (1) C. Timofte Ecuatii diferentiale 1

2 y variabila dependentă (funcţia necunoscută) O ecuaţie care nu depinde de x se numeşte autonomă. O funcţie φ : I 1 I G este soluţie a ecuaţiei (1) dacă: (1) φ este derivabila, (2) φ si derivatele ei verifica: dφ dx = f(x, φ(x)), x I 1. Daca f i sunt componentele lui f, atunci obtinem sistemul: i dx = f i(x, y 1,..., y n ), i = 1, 2,..., n. O solutie a acestui sistem este o functie derivabila, φ( ) = (φ 1 ( ),..., φ n ( )) : I 1 I G, care verifica: dφ i dx = f(x, φ 1(x),..., φ n (x)), x I 1, i = 1,..., n. C. Timofte Ecuatii diferentiale 2

3 Probleme fundamentale in teoria ecuatiilor diferentiale ordinare Existenta solutiilor. Problema Cauchy Pentru f : I G R n continua, se poate arata usor ca exista, local, o solutie a ecuatiei (1). In plus, pentru orice punct (x 0, y 0 ) I G, exista o solutie φ : I 1 I G a ecuatiei (1), cu x 0 I 1 si φ(x 0 ) = y 0. Unicitatea solutiei Studiul calitativ al solutiilor Gasirea solutiilor - solutii explicite C. Timofte Ecuatii diferentiale 3

4 - solutii sub forma implicita: Ψ(x, ϕ(x)) 0, x I 1. (2) - solutii sub forma parametrica: x = α(p, C), y = β(p, C), p J 0 R. (3) - solutia generala: Φ(x, y, C) = 0. unde C este o constanta arbitrara in J R n. Pentru valori particulare ale constantei C, obtinem solutii particulare. - solutii singulare (nu pot fi obtinute din solutia generala prin particularizarea constantei) C. Timofte Ecuatii diferentiale 4

5 Exemplu. Ecuatia are solutia generala dx = 1 y 2, y si solutiile singulare y = ±1. Ecuatii de ordin superior (x + C) 2 + y 2 = 1, C R Ecuatia lui Newton: m d2 r dr = F(t, r, dt2 dt ). Forma generala a unei ecuatii de ordinul n: F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0. (4) C. Timofte Ecuatii diferentiale 5

6 Solutia generala a ecuatiei (4) depinde de n constante arbitrare: y(x) = φ(x, C 1, C 2,..., C n ), C i R, i = 1, 2,..., n. (5) F (x, φ(x), φ (x), φ (x),..., φ (n) (x)) = 0, x (a, b). (6) - solutii implicite: Φ(x, y, C 1, C 2,..., C n ) = 0, C i R, i = 1, 2,..., n. (7) Exemplu. y = 0. Integrand de trei ori, obtinem x 2 y(x) = C C 2x + C 3, C 1, C 2, C 3 R. C. Timofte Ecuatii diferentiale 6

7 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi Fie f : I G R n. Problema Cauchy: dx = f(x, y). (8) = f(x, y) dx y(x 0 ) = y 0. (9) Ecuaţii elementare integrabile prin cuadraturi Ecuaţia fundamentală dx = f(x), C. Timofte Ecuatii diferentiale 7

8 unde f : I R R este o functie continua data. Solutia generala: y(x) = f(x)dx + C, unde C este o constanta reala arbitrara. Constanta C poate fi determinata daca asociem o problema Cauchy prin impunerea conditiei y(x 0 ) = y 0. Obtinem: Exemplul 1. y(x) = y 0 + x x 0 f(x)dx. dx = 1 x 2, x I R \ { 1, 1}. 1 C. Timofte Ecuatii diferentiale 8

9 y(x) = dx x C, unde C este o constanta reala arbitrara. Rezulta Exemplul 2. y(x) = 1 2 ln x 1 x + 1 +C. dx = 2 (x 1) 2, x I R \ {1}, y(0) = 1. Solutia generala este: y(x) = 2 x 1 + C, x I. Din conditia initiala y(0) = 1, rezulta C = 1. C. Timofte Ecuatii diferentiale 9

10 y(x) = x + 1 x 1. Ecuaţii cu variabile separabile Fie I 1 si I 2 intervale deschise in R. Forma generala a unei ecuatii cu variabile separabile este: dx unde f : I 1 R si g : I 2 R sunt functii continue. = f(x)g(y), (10) Algoritm. 1) Daca y 1, y 2,..., y i sunt solutii ale ecuatiei g(y) = 0, atunci φ i (x) y i, pentru x I 1, sunt solutii stationare. C. Timofte Ecuatii diferentiale 10

11 2) Fie J = {y g(y) 0}. Separand variabilele si integrand, obtinem: g(y) = f(x)dx + C. Daca notam cu G o primitiva a functiei 1/g si cu F o primitiva a lui f, atunci obtinem solutia generala in forma implicita: G(y) = F (x) + C. Cand e posibil sa explicitam, obtinem: y = ψ(x, C). Deci, integrala completa a ecuatiei (10) este: y = ψ(x, C), y i (x) = y i. C. Timofte Ecuatii diferentiale 11

12 Exemplul 1. dx = y x, x I R +. Evident, y = 0 este solutie stationara. Pentru y 0, separand variabilele si integrand, obtinem y(x) = Cx, C R. Examplul 2. dx = y cot x, x (0, π/2). Evident, y = 0 este solutie stationara. Pentru y 0, obtinem y(x) = Csin x, C R. C. Timofte Ecuatii diferentiale 12

13 Examplul 3. x 2 y 2 dx + 1 = y, x I R +. Ecuatia poate fi scrisa in forma normala: dx = y 1 x 2 y 2. Evident, y = 1 este solutie stationara. Pentru y 1, separand variabilele si integrand, obtinem solutia generala in forma implicita: y y + ln y 1 = 1 x + C, C R. Examplul 4. C. Timofte Ecuatii diferentiale 13

14 Fie ecuatia: dx = (1 + y2 ) sin x. 2y a) Gasiti solutia ei generala. b) Aflati o solutie particulara care verifica si conditia initiala y(0) = 1. a) Separand variabilele si integrand, rezulta ln (1 + y 2 ) = cos x + C, C R. Deci y 2 = Ce cos x 1. b) Din conditia initiala rezulta y(x) = 2e cos x+1 1. C. Timofte Ecuatii diferentiale 14

15 Ecuaţii omogene Fie f : I R R o functie continua. Forma generala a unei ecuatii omogene este: dx = f( y ). (11) x Algoritm. 1) Schimbarea de variabile u = y x, ne conduce la du dx = f(u) u, (12) x care este o ecuatie cu variabile separabile. C. Timofte Ecuatii diferentiale 15

16 2) Integram ecuatia cu variabile separabile (12) si obtinem solutia generala u = ψ(x, C), unde C este o constanta reala arbitrara, si solutiile stationare u i (x) u i, cu u i solutii ale ecuatiei algebrice f(u) = u. Deci, integrala completa a ecuatiei (12) este: u(x) = ψ(x, C), u i (x) = u i. 3) Integrala completa a ecuatiei (11) este: y(x) = xψ(x, C), y i (x) = xu i (x). Exemplul 1. C. Timofte Ecuatii diferentiale 16

17 Aflati solutia problemei Cauchy: dx = x2 + y 2, x (0, ), xy y(1) = 0. Efectuand schimbarea de variabile ecuatia devine cu solutia generala Astfel, z(x) = y(x) x, dz dx = 1 xz, z 2 (x) = 2ln x + C. y 2 (x) = 2x 2 ln x + Cx 2. C. Timofte Ecuatii diferentiale 17

18 Din conditia initiala y(1) = 0, rezulta C = 0. Deci, solutia problemei Cauchy date este: y 2 (x) = 2x 2 ln x. Exemplul 2. dx = x + y y x. z(x) = y(x) x, x(z 1) dz dx = 1 + 2z z2. Evident, z = si z = 1 2 sunt solutii stationare. Deci, y = x(1 + 2) si y = x(1 2) sunt solutii ale ecuatiei initiale. Pentru C. Timofte Ecuatii diferentiale 18

19 z si z 1 2, separand variabilele si integrand, obtinem x 2 (1 + 2z z 2 ) = C, C R. Deci, solutia generala a ecuatiei initiale, este data implicit de x 2 + 2xy y 2 = C, C R. Exemplul 3. dx = y2 + 2xy x 2, x (0, ). dx = y2 x y x. z(x) = y(x) x C. Timofte Ecuatii diferentiale 19

20 x dz dx = z2 + z. Evident, z = 0 si z = 1 sunt solutii stationare, de unde obtinem y = 0 si y = x. Pentru z 0 si z 1, obtinem Integrand, rezulta Astfel, Cx = dz dx = z2 + z. x z z + 1, C R. y = Cx2 1 Cx, unde C poate fi determinata din conditia initiala. C. Timofte Ecuatii diferentiale 20

21 Ecuaţii care se reduc la ecuaţii cu variabile separabile dx = f(ax + by), (13) unde a si b sunt constante reale date si f : I R R este o functie continua. z = ax + by dz = a + bf(z), (14) dx care este o ecuatie cu variabile separabile. Daca a + bf(z) 0, C. Timofte Ecuatii diferentiale 21

22 separand variabilele si integrand, obtinem dz x = + C, C R. a + b(z) Daca z i sunt solutii ale ecuatiei algebrice a + bf(z) = 0, atunci z i (x) z i sunt solutii stationare ale ecuatiei (14). Deci, integrala completa a ecuatiei (13) este: dz x = a + b(z) + C, z i (x) = z i. Exemplul 1. dx = 2x 2y 1 x y + 1. C. Timofte Ecuatii diferentiale 22

23 z = x y dz dx = 3z z + 1. Evident, z = 0 este solutie statioanra. Astefel, y(x) = x este solutie a ecuatiei initiale. Pentru z 0, z + ln z = 3x + C. Exemplul 2. ln x y = 2x + y + C. dx = x + y + 1 2x + 2y 3. C. Timofte Ecuatii diferentiale 23

24 z = x + y dz dx = z 4 2z 3. Solutia stationara: z = 4 y(x) = 4 x solutie stationara. Pentru z 4, 2z + 5 ln z 4 = x + C. Deci, solutia generala este x + 2y + 5 ln x + y 4 = C. Ecuatii reductibile la ecuatii omogene dx ax + by + c = f( ), (15) αx + βy + γ C. Timofte Ecuatii diferentiale 24

25 unde a, b, c, α, β, γ R si f : I R R este o functie continua. Fie a b = α β. Daca 0, fie (x 0, y 0 ) solutia sistemului ax + by + c = 0, αx + βy + γ = 0. Schimbarea ne conduce la dz ds s = x x 0, z = y y 0 = f( as + bz αs + βz ), C. Timofte Ecuatii diferentiale 25

26 sau care este o ecuatie omogena. z dz a + b ds = f( s α + β z ) = φ( z s ), s Daca = 0, coeficientii sunt proportionali: a α = b β = k dx = f( ax + by + c ) = F (ax + by). k(ax + by) + γ Schimbarea t = ax + by ne conduce la o ecuatie cu variabile separabile. Exemplul 1. dx = 2(y + 2)2 (x + y 1) 2. C. Timofte Ecuatii diferentiale 26

27 Deoarece 0, fie (3, 2) solutia sistemului y + 2 = 0, x + y 1 = 0. s = x 3, z = y + 2 Schimbarea dz ds = 2z2 (z + s) 2. t = z s, C. Timofte Ecuatii diferentiale 27

28 ne conduce la dt ds = t(1 + t2 ) s(1 + t) 2. Evident, avem solutia stationara t = 0, care ne conduce la solutia y = 2. Pentru t 0, separand variabilele si integrand, obtinem t = C s e 2arctan t. Deci: y arctan y + 2 = Ce x 3. Exemplul 2. dx = x y + 1 x + y 3. C. Timofte Ecuatii diferentiale 28

29 In acest caz 0. Fie (1, 2) solutia sistemului x y + 1 = 0, x + y 3 = 0. s = x 1, z = y 2 dz ds = s z s + z. t = z s dt ds = 1 2t t2 s(1 + t). C. Timofte Ecuatii diferentiale 29

30 Solutii stationare: t = 1 ± 2, care ne conduc la y = 2 + (x 1)( 1 ± 2). Pentru t 1 ± 2, obtinem 1 2 ln 1 2t t2 = ln s +C. Ecuaţii liniare x 2 2xy y 2 + 2x + 6y = C 1, C 1 R. O ecuatie liniara de ordinul intai are forma: = a(x)y + b(x), (16) dx unde a, b : I R R sunt functii continue date. C. Timofte Ecuatii diferentiale 30

31 Daca b(x) 0, ecuatia (16) s.n. omogena. dx = a(x)y. (17) Evident, y = 0 este solutie stationara. Pentru y 0, obtinem y = a(x)dx + C 1, unde C 1 este o constanta reala arbitrara. Solutia generala: y = Ce a(x)dx, cu C R. C. Timofte Ecuatii diferentiale 31

32 Integrala completa: y = C e a(x)dx, C R, y = 0. Daca a : I R este continua, atunci, pentru orice (x 0, y 0 ) I R, exista o solutie unica φ( ) : I R a ecuatiei (17) a.i. φ(x 0 ) = y 0. x a(s)ds x φ(x) = y 0 e 0, x I. Exemplul 1. C. Timofte Ecuatii diferentiale 32

33 dx = 1 3 Evident, y = 0 este solutie stationara. y sin x. Pentru y 0, 1 y = Ce 3 cos x, C R. Exemplul 2. dx = y 2x x 2 1, x (1, ). y = 0 este solutie stationara. y = C(x 2 1), C R. C. Timofte Ecuatii diferentiale 33

34 Ecuatii neomogene. Metoda variatiei constantelor. Algoritm. Fie dx 1) Consideram ecuatia omogena: = a(x)y + b(x). (18) cu solutia generala dx = a(x)y, (19) y = Ce a(x)dx. 2) Cautam solutia ecuatiei (18) de forma: y = C(x)e a(x)dx. C. Timofte Ecuatii diferentiale 34

35 dc dx = a(x)dx b(x)e C(x) = b(x)e a(s)ds dx + K, unde K este o constanta reala arbitrara. y(x) = ( b(x)e a(s)ds dx + K) e a(x)dx. Solutia generala a unei ecuatii liniare neomogene este suma solutiei generale a ecuatiei omogene atasate si a unei solutii particulare a ecuatiei neomogene. Daca y 1 (x) este o solutie particulara a ecuatiei (18), y(x) = y 1 (x) + Ce a(x)dx. C. Timofte Ecuatii diferentiale 35

36 Exemplul 1. Ecuatia omogena dx are solutia generala = 2y + ln x x ln x, x I R +. dx = 2y x ln x y = C ln 2 x. Cautam solutii de forma y = C(x) ln 2 x. Rezulta: dc dx = 1 x ln 2 x C. Timofte Ecuatii diferentiale 36

37 C(x) = K 1 ln x. y(x) = ln x + K ln 2 x. Exemplul 2. dx = y x + x cos x. dx = y x y = Cx. MVC: y = C(x)x. C. Timofte Ecuatii diferentiale 37

38 dc dx = cos x C(x) = sin x + K. y(x) = x(sin x + K). Exemplul 3. Ecuatia omogena x dx + (x + 1)y = 3x2 e x, dx = x + 1 x y x (0, ). C. Timofte Ecuatii diferentiale 38

39 are solutia generala y = Ce x x. y = C(x) e x x. C(x) = x 3 + K. y(x) = K e x x + x2 e x. Exemplul 4. C. Timofte Ecuatii diferentiale 39

40 dx = 3 x y + sin x, x (0, π) x3 y(π/2) = 2. y(x) = cos x + C x 3, C R. Ecuatii Bernoulli cos x + π3 y(x) = 4 x 3. dx = a(x)y + b(x)yα, (20) C. Timofte Ecuatii diferentiale 40

41 unde a, b : I R R sunt functii continue si α R \ {0, 1}. Pentru α = 0, ecuatia (20) este o ecuatie liniara neomogena, iar pentru α = 1, ecuatia (20) este liniara si omogena. Schimbarea de variabila: z = y 1 α (21) ne conduce la dz dx = (1 α)a(x)z(x) + (1 α)b(x). (22) z(x) = ψ(x, C). 1 α y(x) = (ψ(x, C)). 1 C. Timofte Ecuatii diferentiale 41

42 Este posibil sa utilizam o metoda de tip MVC. Mai precis, cautam solutii de forma y(x) = C(x)e a(x)dx. (23) Rezulta C(x) = φ(x, K), unde K este o constanta reala arbitrara. y(x) = φ(x, K)e a(x)dx. Exemplul 1. 3y 2 dx y3 = x + 1. dx = 1 3 y + x + 1 y 2, 3 adica o ecuatie Bernoulli cu α = 2. C. Timofte Ecuatii diferentiale 42

43 z = y 3 dz dx = z + x + 1 z(x) = Ce x x 2, C R. y(x) = 3 Ce x x 2. Exemplul 2. dx = 2y tan x + y2, y(π/4) = 2. C. Timofte Ecuatii diferentiale 43

44 z = 1 y dz dx = 2z tan x 1. z(x) = C cos 2 x sin 2x, C R. 2 1 y(x) = C cos 2 x Din conditia initiala y(π/4) = 2, rezulta sin 2x 2. y(x) = 2 4 cos 2 x sin 2x. C. Timofte Ecuatii diferentiale 44

45 Ecuatii Riccati dx = a(x) + b(x)y + c(x)y2, (24) unde a, b, c : I R R sunt functii continue date. Fie y 0 (x) o solutie particulara. Schimbarea z(x) = y(x) y 0 (x) ne conduce la o ecuatie de tip Bernoulli: dz dx = (b(x) + 2y 0(x)a(x))z + a(x)z 2. z(x) = ψ(x, C), C R. C. Timofte Ecuatii diferentiale 45

46 y(x) = y 0 (x) + ψ(x, C). Exemplul 1. Integrati ecuatia dx = y2 sin x + 2 sin x cos 2 x, x (0, π/2), stiind ca admite solutia particulara y 0 (x) = 1 cos x. y(x) = 1 cos x + 1 z(x) dz dx = 2 sin x z + sin x, cos x C. Timofte Ecuatii diferentiale 46

47 cu solutia generala Deci: z(x) = C cos 2 x cos x 3, C R. y(x) = 1 cos x + 3 cos2 x 3C cos 3 x. Exemplul 2. Integrati ecuatia Riccati: dx = y2 y tan x + 1 cos 2 x, stiind ca admite solutia particulara y 0 (x) = tan x. x (0, π/2), y(x) = tan x + 1 z(x) C. Timofte Ecuatii diferentiale 47

48 dz dx = z tan x 1 Deci: z(x) = (ln tan x 2 1 tan x +C) cos x, C R y(x) = tan x + 1 (ln tan x 2 1 tan x +C) cos x Ecuatii exacte Fie D R 2 un domeniu si cu P, Q : D R continue si Q(x, y) 0. P (x, y)dx + Q(x, y) = 0, (25) C. Timofte Ecuatii diferentiale 48

49 Ecuatia (25) s.n. exacta daca exista o functie F : D R, F C 1 (D) a.i. df (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y). (26) F x F y (x, y) = P (x, y), (x, y) = Q(x, y). (27) Daca y(x) este solutie pentru ecuatia (25), atunci df (x, y) = 0. (28) df (x, y(x)) = 0 (29) si F (x, y(x)) = C, C R. (30) C. Timofte Ecuatii diferentiale 49

50 P y Q (x, y) = (x, y), (x, y) D. (31) x (x,y) (x 0,y 0 ) df = F (x, y) F (x 0, y 0 ). (32) (x,y) df = (x 0,y 0 ) (x,y0 ) = (x 0,y 0 ) Deci: F (x, y) = F (x 0, y 0 ) + (x,y) (x 0,y 0 ) P (x, y 0 )dx + (x,y0 ) (x 0,y 0 ) P (x, y)dx + Q(x, y) = (x,y) (x,y 0 ) P (x, y 0 )dx + Q(x, y). (33) (x,y) (x,y 0 ) Q(x, y). (34) F (x, y) = C. (35) C. Timofte Ecuatii diferentiale 50

51 Algoritm. 1) Verificam ca ecuatia este exacta. P (x, y)dx + Q(x, y) = 0 2) Scriem sistemul F x F y (x, y) = P (x, y), (x, y) = Q(x, y). (36) 3) Integram sistemul (36) si aflam F (x, y). 4) Solutia generala este data implicit de F (x, y) = C, C. Timofte Ecuatii diferentiale 51

52 unde C este o constanta reala arbitrara. Exemplul 1. (2x + 3x 2 y)dx + (x 3 3y 2 ) = 0, (x, y) D. P (x, y) = 2x + 3x 2 y, Q(x, y) = x 3 3y 2 P y Q (x, y) = (x, y), (x, y) D. x df (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y). F (x, y(x)) = C, C R. C. Timofte Ecuatii diferentiale 52

53 F (x, y) = F (x 0, y 0 ) + (x,y0 ) (x 0,y 0 ) (2x + 3x 2 y 0 )dx + (x,y) (x,y 0 ) (x 3 3y 2 ). x 2 + x 3 y y 3 = C. Exemplul 2. (2x y + 1)dx + ( x + 2y 1) = 0, (x, y) D. P (x, y) = 2x y + 1, Q(x, y) = x + 2y 1, P y Q (x, y) = (x, y), (x, y) D. x C. Timofte Ecuatii diferentiale 53

54 F (x, y(x)) = C, C R. F (x, y) = F (x 0, y 0 )+ (x,y0 ) (x 0,y 0 ) (2x y 0 +1)dx+ (x,y) (x,y 0 ) ( x+2y 1). Factor integrant x 2 xy + y 2 y + x = C. µ : D R \ {0}, µ C 1 (D), (37) df (x, y) = µ(x, y)(p (x, y)dx + Q(x, y)). (38) C. Timofte Ecuatii diferentiale 54

55 (µ(x, y)p (x, y)) = (µ(x, y)q(x, y)). (39) y x Q (ln µ(x, y))p (x, y) (ln µ(x, y))q(x, y) = y x x P y. (40) Exemplul 1. Integrati urmatoarea ecuatie cautand un factor integrant de forma µ = µ(x): (x 2 y 2 + 1)dx + 2xy = 0, (x, y) D. (µ(x, y)p (x, y)) = (µ(x, y)q(x, y)) y x C. Timofte Ecuatii diferentiale 55

56 rezulta µ(x) = 1 x 2. x 2 y x 2 dx + 2y x care este o ecuatie exacta. = 0, x 2 Cx + y 2 1 = 0, C R. Ecuaţii implicite Forma generala a unei ecuatii implicite: unde F : D R 3 R, F C 1 (D). F (x, y, y ) = 0, (41) C. Timofte Ecuatii diferentiale 56

57 O functie derivabila φ : I R R este solutie a ecuatiei (40) daca (x, φ(x), φ (x)) D, x I si F (x, φ(x), φ (x)) = 0, x I. (42) Ecuatii Lagrange y = x a(y ) + b(y ), unde a, b : I R R, a, b C 1 (I). Notam si diferentiem in raport cu x: y = p xa (p) + b (p) dp dx = p a(p). (43) C. Timofte Ecuatii diferentiale 57

58 a) Daca p a(p) 0, atunci, considerand x = x(p), obtinem dx dp = a (p) p a(p) x + b (p) p a(p). (44) Aceasta este o ecuatie liniara neomogena, integrabila prin MVC. Astfel, obtinem x = x(p, C), C R si, apoi, y = x a(p) + b(p). Deci, obtinem ecuatiile parametrice ale solutiei generale: x = x(p, C), y = y(p, C). b) Daca p a(p) = 0 si p i sunt radacinile reale ale acestei ecuatii algebrice, atunci y(x) = xa(p i ) + b(p i ) sunt solutii singulare. (45) Exemplul 1. C. Timofte Ecuatii diferentiale 58

59 Integrati ecuatia Lagrange: y = 2xy + ln y. Notand y = p si diferentiind in raport cu x, obtinem p = 2p + 2x dp dx + 1 p dp dx, p > 0. Solutia generala: dx dp = 2 p x 1 p 2, x(p) = C p 2 1 p, C R. C. Timofte Ecuatii diferentiale 59

60 x(p) = C p 2 1 p, y(p) = ln p + 2C p 2. Exemplul 2. y = 2xy y 2. y = p p = dp dx (2x 2p). C. Timofte Ecuatii diferentiale 60

61 Pentru p 0, considerand x = x(p), obtinem cu solutia generala dx dp = 2 p x + 2, x(p) = C p 2 + 2p 3, C R. x(p) = C p 2 + 2p 3, Pentru p = 0, obtinem solutia y = 0. Ecuatii Clairaut y(p) = 2C p + p2 3. C. Timofte Ecuatii diferentiale 61

62 unde g : I R R, g C 1 (I). y = x y + g(y ), (46) y = p dp dx (x + g (p)) = 0. (47) a) Daca dp dx = 0, atunci p = C si este solutia generala a ecuatiei (45). y(x) = Cx + g(c), C I, (48) C. Timofte Ecuatii diferentiale 62

63 b) Daca x + g (p) = 0, atunci obtinem solutiile singulare: x(p) = g (p)), y(p) = p g (p)) + g(p). (49) Exemplul 1. Integrati ecuatia Clairaut: y = xy + 1 2y. y = p Rezulta p 0. C. Timofte Ecuatii diferentiale 63

64 dp dx (x 1 2p 2 ) = 0. a) Daca dp dx = 0, atunci p = C si y(x) = Cx + 1 2C, C I R. b) Daca x 1 = 0, atunci 2p2 x(p) = 1 2p 2, Eliminand p, obtinem y(p) = 1 p. y 2 (x) = 2x. C. Timofte Ecuatii diferentiale 64

65 Exemplul 2. y = xy + ay 1 + y 2, a > 0 Solutia generala: y = Cx + Ca 1 + C 2, C R. Solutia singulara: a x(p) = (1 + p 2 ), 3/2 y(p) = ap 3 (1 + p 2 ) 3/2. Eliminand parametrul p, obtinem C. Timofte Ecuatii diferentiale 65

66 care este ecuatia unei astroide. x 2/3 + y 2/3 = a 2/3, Probleme rezolvate 1. Integrati: dx = y(1 y), y(0) = 2. Pentru ca y = 0 si y = 1 nu sunt solutii ale problemei date, separam variabilele: y(1 y) = dx. C. Timofte Ecuatii diferentiale 66

67 y 1 y = C ex, C R. y(x) = 2 2 e x. 2. Integrati ecuatia dx = 2 y + y2, stiind ca y 0 = 2 este o solutie particulara. y(x) = u(x) du dx = 3u + 1 C. Timofte Ecuatii diferentiale 67

68 u(x) = Ce 3x 1 3, C R. y(x) = 1 Ce 3x 1/ Dinamica populatiei. a) Modelul exponential. Rata de schimbare este proportionala cu marimea ei la momentul dat. Daca P (t) este populatia la momentul t, avem dp dt = kp, (50) unde k este o constanta data. Pentru k > 0, avem crestere, iar pentru k < 0 avem descrestere. C. Timofte Ecuatii diferentiale 68

69 Daca impunem conditia initiala P (0) = P 0, obtinem P (t) = P 0 e kt. (51) b) Modelul logistic (Verhulst-Pearl). unde L este o marime limita a populatiei. dp dt = kp (1 P ), (52) L Evident, avem solutiile stationare P = 0 si P = L. Pentru P 0 si P L, separand variabilele si integrand, avem P (t) = LCekt L + Ce kt, C R. (53) C. Timofte Ecuatii diferentiale 69

70 Daca unde P 0 0 si P 0 L, obtinem P (0) = P 0, Deci, P (t) = LP 0. (54) P 0 + (L P 0 )e kt lim P (t) = L. t 4. Legea lui Newton. Fie T temperatura unui obiect dat la momentul t. Avem dt = k(t S), k > 0, dt unde S este temperatura mediului. Impunem si conditia initiala T (0) = T 0. Rezulta T (t) = S + (T 0 S)e kt. C. Timofte Ecuatii diferentiale 70

71 T (t 1 ) S T (t 2 ) S = e k(t 1 t 2 ) k(t 1 t 2 ) = ln T (t 1 ) S T (t 2 ) S. Astfel, putem determina constanta k daca stim intervalul t 1 t 2 (si reciproc). Aplicatie: determinarea timpului mortii. Sa presupunem ca un corp omenesc este descoperit intr-o camera de hotel la ora 10 : 00 p.m. si temperatura lui este de 27 C. Temperatura camerei este constanta, 15 C. Doua ore mai tarziu, temperatura corpului a scazut la 24 C. Sa aflam timpul mortii. Determinam intai constanta k. Avem k = 1 2 ln C. Timofte Ecuatii diferentiale 71

72 Temperatura normala a unei persoane sanatoase este de 36.6 C. Atunci: t d = 1 k ln ore, ceea ce inseamna ca moartea s-a produs in jurul orei 5 : 48 p.m. C. Timofte Ecuatii diferentiale 72

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Capitolul 1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Definiţia 1.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma g(t, x, ẋ)

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective:

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective: TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE Obiective: Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii şi sisteme diferenţiale. Teodor Stihi

Ecuaţii şi sisteme diferenţiale. Teodor Stihi Ecuaţii şi sisteme diferenţiale Teodor Stihi December 6, 204 2 Cuprins Noţiuni introductive 5 2 Ecuaţii diferenţiale liniare (EDL) 7 2. EDL cu coeficienţi constanţi................... 7 2.. Cazul omogen.......................

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL AL DOILEA

Capitolul 2 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL AL DOILEA Capitolul 2 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL AL DOILEA Studiul ecuaţiilor cu derivate parţiale îşi are originea în secolul al XVIII-lea şi a fost inspirat de modele concrete din mecanică (elasticitate,

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Curs 9: METODE NUMERICE UTILIZATE ÎN SIMULAREA SISTEMELOR DINAMICE

Curs 9: METODE NUMERICE UTILIZATE ÎN SIMULAREA SISTEMELOR DINAMICE Curs 9: METODE NUMERICE UTILIZATE ÎN SIMULAREA SISTEMELOR DINAMICE Noțiunea de sistem dinamic Clasificări Noțiunea de simulare Un sistem dinamic este o entitate care se caracterizează printr-un mod specific

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE Andrei Mărcuş Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică 6 martie 2015 Cuprins 1 Ecuaţii algebrice 1 1.1 Ecuaţii binome. Grupul rădăcinilor de ordin

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este. Copyright c 007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului atematician 1 inisterul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 007 Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR Cuprins 15 MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 5 15.1 Câmpuri scalare. Curbe şi suprafeţe de nivel............................. 5 15.2 Derivata după o direcţie şi

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Tema/Unitatea: Numere reale. Radicali. Puteri. Logaritmi. Numere complexe. Funcții și ecuații

Tema/Unitatea: Numere reale. Radicali. Puteri. Logaritmi. Numere complexe. Funcții și ecuații Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU ZEVEDEI

MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU ZEVEDEI MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU EVEDEI April 1, 25 2 CUPRINS III ELEMENTEDECALCULVARIAŢIONAL 9 11 ELEMENTE DE CALCUL

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

MODELAREA PROCESELOR FIZICE SI CHIMICE

MODELAREA PROCESELOR FIZICE SI CHIMICE MODELAREA PROCESELOR FIZICE SI CHIMICE C11, Miercuri, DO1, anii I(C+A), MM-EDO ale sistemelor chimice Jan 20, 2010 MPFC, C11, MM-EDO aferente sistemelor chimice si termice I 1 Det.MM(cum?); bazele modelarii

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

3 Distribuţii discrete clasice

3 Distribuţii discrete clasice 3 Distribuţii discrete clasice 3.1 Distribuţia Bernoulli Probabil cel mai simplu tip de variabilă aleatoare discretă, variabila aleatoare Bernoulli modelează efectuareaunui experiment în care poate apare

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Σ.Δ.Ε. γραμμικές 1 ης τάξης, Σ.Δ.Ε. Bernoulli και Riccatti Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

In cazul sistemelor G-L pentru care nu se aplica legile amintite ale echilibrului de faza, relatia y e = f(x) se determina numai experimental.

In cazul sistemelor G-L pentru care nu se aplica legile amintite ale echilibrului de faza, relatia y e = f(x) se determina numai experimental. ECHILIBRUL FAZELOR Este descris de: Legea repartitiei masice Legea fazelor Legea distributiei masice La echilibru, la temperatura constanta, raportul concentratiilor substantei dizolvate in doua faze aflate

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

A1. Valori standardizate de rezistenţe

A1. Valori standardizate de rezistenţe 30 Anexa A. Valori standardizate de rezistenţe Intr-o decadă (valori de la la 0) numărul de valori standardizate de rezistenţe depinde de clasa de toleranţă din care fac parte rezistoarele. Prin adăugarea

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic şi energia mecanică.

Lucrul mecanic şi energia mecanică. ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al

Διαβάστε περισσότερα

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X Prelegerea 13 Coduri Reed - Solomon 13.1 Definirea codurilor RS O clasă foarte interesantă de coduri ciclice a fost definită în 1960 de Reed şi Solomon. Numite în articolul iniţial coduri polinomiale,

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

Măsurări în Electronică şi Telecomunicaţii 4. Măsurarea impedanţelor

Măsurări în Electronică şi Telecomunicaţii 4. Măsurarea impedanţelor 4. Măsurarea impedanţelor 4.2. Măsurarea rezistenţelor în curent continuu Metoda comparaţiei ceastă metodă: se utilizează pentru măsurarea rezistenţelor ~ 0 montaj serie sau paralel. Montajul serie (metoda

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS

1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS 1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS Γραμμικές μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης λέγονται οι εξισώσεις τύπου y + p(x)y + g(x)y = f(x) (1.1) Οταν f(x) = 0 η εξίσωση y + p(x)y +

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα