# Η Ομάδα SL(2,C) και οι αναπαραστάσεις της

Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η Ομάδα SL(2,C) και οι αναπαραστάσεις της"

## Transcript

1 SL(2, C) SO(3, 1) D : Λ D(Λ) SO(3, 1) 2 1 D : ±A D(π(±A)) SL(2, C) SL(2, C) SO(3, 1) SL(2, C) SO(3, 1) ξ i (, ) K i x µ p µ J µν T µν A µ ψ α

2 J i = J i, () K i = K i, ( ) K i M 0i = (iξ i K i ) A i = 1 2 (J i + ik i ) B i = 1 2 (J i ik i ), [A i, A j ] = iε ijk A k [B i, B j ] = iε ijk B k [A i, B j ] = 0. A, B SL(2, C) J i = A i + B i K i = i(b i A i ) SL(2, C) SU(2) A SU(2) B SL(2, C) = SU(2) SU(2). SL(2, C) (j A, j B ) j A j B (j A, j B ) j = j A + j B, j A + j B 1,..., j A j B SL(2, C)

3 SL(2, C) (1/2, 0) SU(2) C 2 j A = 1/2, j B = 0 A i = 1 2 σ i, B i = 0, J i = 1 2 σ i, K i = i 2 σ i. SL(2, C) [ i ( ) ] [ D(A) = A R = θ σ iξ σ = i σ ] 2 2 ( θ iξ), A SL(2, C) ξ a C 2 ξ α ξ α = (A R ) α βξ β. ξ a D(A) = (A 1 R )T ξ α ξ α = ξ β (A 1 R )β α = [(A 1 R )T ] β α ξ β (A R ) α β(δω) = δ α β + i 2 ω µν(s µν R )α β. ( 0 1 ε αβ = 1 0 ) ε αβ = ( ) (A R ) α γ(a R ) β δ εγδ = ε αβ ε γδ (A 1 R )γ α(a 1 R )δ β = ε αβ

4 C 2 ξ α = ε αβ ξ β, ξ α = ε αβ ξ β ξ α Ξ α = ξ 1 Ξ 2 ξ 2 Ξ 1, j = 0 j 1 = j 2 = 1 2 (0, 1/2) SU(2) j A = 0, j B = 1/2 A i = 0, B i = 1 2 σ i. J i = 1 2 σ i, K i = i 2 σ i. SL(2, C) [ i ( ) ] [ A A L = θ σ + iξ σ = i σ ] 2 2 ( θ + iξ), η α η α η α = (A L ) β. α βη σ 2 σ σ 2 = σ A L = ζa R ζ 1, ζ = iσ 2 A L A R η α ξ α η α η α = (A β. R) α βη PJ i P 1 = J i, PK i P 1 = K i

5 PA i P 1 = B i, PB i P 1 = A i Pξ = η, Pη = ξ P (1/2, 0) (0, 1/2) (n/2, m/2) SL(2, C) (1/2, 0), (0, 1/2) ζ α 1...α n ; β 1... β m ζ α 1...α n ; β 1... β m = (A R ) α 1 γ1... (A R ) α n γn (A R) β 1 δ1... (A R) β ṁ δ m ζ γ 1...γ n ; δ 1... δ m ε αβ SL(2, C) ζ (α 1α 2...α n);( β 1 β2... β m), (n/2, m/2) (n + 1)(m + 1) v µ j = 0, 1 j = 0 v 0 j = 1 v i x µ, p µ, A µ 4D (M µν ) λ ρ = i(δ λ µη νρ δ λ νη µρ )

6 (1, 0) (0, 1) t µν A t µν (1, 0) (0, 1) (1, 0) t µν A,c = 1 2 εµν λρ tλρ A,c (0, 1) t µν A,a = 1 2 εµν λρ tλρ A,a F µν (0, 0) (1, 1) t µν S t µν (0, 0) (1, 1) T µν SL(2, C) Dirac (1/2, 0) (0, 1/2) ( ) ψr Ψ =, ψ L ψ R ξ, ψ L η SL(2, C) ( ) Ψ Ψ AR 0 = Ψ 0 A L P : Ψ ( ψl ψ R ) = ( ) Ψ. θ = 0 ( ) [ ( ) ( )] σ ψ R 2 ξ ξ ξ ψ R = + σ ˆn ψ R 2 2 ( ψ L σ ) [ ( ) ( )] 2 ξ ξ ξ ψ L = σ ˆn ψ L 2 2 ψ R (0) = ψ L (0) ξ γ β

7 ψ R ( p) = ψ L ( p) = ( ) E + m + σ p ψ [2m(E + m)] 1/2 R (0) ( ) E + m σ p ψ [2m(E + m)] 1/2 L (0) E + σ p ψ R ( p) = m ψ L( p) E σ p ψ L ( p) = m ψ R( p) ( m p 0 σ p p 0 + σ p m ) ( ψr ( p) ψ L ( p) ) = 0 (γ µ p µ m)ψ(p) = 0, γ µ ( 0 σµ σ µ 0 ).

8 L P C 1, C 2 C 1, C 2 /p 2 m, s, p, λ {p, λ : p 2 = m 2, λ = s, s + 1,..., s 1, s} p, λ P k µ L k L µ νk ν = k µ, L L k. k µ U(a, Λ) P P µ k, λ = k, λ k µ. [W µ, P ν ] = 0 W µ P µ P µ W ν k, λ = W ν P µ k, λ = W ν k, λ k µ m, s

9 W µ k µ D s (L) D s (L) k, λ = k, λ D s (L) λ λ, L L k, k, λ H(p) SO(3, 1)/L k k µ p µ = H(p) µ νk ν, L k p, λ = U[H(p)] k, λ. P µ p, λ = P µ U[H(p)] k, λ = U[H(p)]U 1 [H(p)]P µ U[H(p)] k, λ = = U[H(p)]P ν k, λ (H(p)) µ ν = U[H(p)] k, λ H(p) µ νk ν = p, λ p µ. U(0, Λ) p, λ = U(Λ) p, λ = U(Λ)U[H(p)] k, λ = U[H(Λp)]U[H 1 (Λp)ΛH(p)] k, λ = = U[H(Λp)] k, λ D s [L(Λ, p)] λ λ = Λp, λ D s [L(Λ, p)] λ λ, L(Λ, p) = H 1 (Λp)ΛH(p) L k L k P H(p) SO(3, 1)/L k k µ = p µ n = 0 L k = SO(3, 1) Λ µ νp µ n = 0, Λ SO(3, 1)

10 m s (m, s) k µ = p µ t = (m, 0) p µ t W 0 = 0, W i = mj i. W µ p µ t SO(3) L pt = SO(3) R(α, β, γ) SO(3), Rp t = p t SO(3) P SO(3) p t, s, λ = p t, λ, λ = s,..., s, p µ t = (m, 0). P µ p t, λ = p t, λ p µ t J 2 p t, λ = p t, λ s(s + 1) J 3 p t, λ = p t, λ λ. H(p) SO(3, 1)/SO(3) λ p µ t p µ t = H(p) µ νp ν t. p λ p, λ = δ λ λδ 3 ( p p) p, λ = p 0 t p 0 U[H(p)] p t, λ = 1 γ U[H(p)] p t, λ.

11 P R(Λ, p) = H(Λp) 1 ΛH(p) SO(3) T (a) p, λ = p, λ e iaµ p µ U(0, Λ) p, λ = (Λp) 0 Λp, λ D s [R(Λ, p)] λ p λ, 0 D s [R] L pt = SO(3) s k µ = p µ l = (ω 0, 0, 0, ω 0 ) p µ l W 0 = W 3 = ω 0 J 3, W 1 = ω 0 (J 1 + K 2 ), W 2 = ω 0 (J 2 K 1 ). [W 1, W 2 ] = 0, [W 2, J 3 ] = iw 1, [W 1, J 3 ] = iw 2. W µ p µ l E 2 L k = E 2 C 2 C 2 = 0, C 2 0 C 2 = 0 E 2 p l, λ P µ p l, λ = p l, λ p µ l J 3 p l, λ = p l, λ λ W 1 p l, λ = W 2 p l, λ = 0.

12 {p µ = (ω, p) : p = ωˆp} p l, λ H(p) SO(3, 1)/E 2 p, λ = H(p) p l, λ (C 1 = C 2 = 0, λ) T (a) p, λ = p, λ e iaµ p µ U(0, Λ) p, λ = (Λp) 0 Λp, λ e iθ(λ,p), p 0 e iθ(λ,p) = p l, λ D[L(Λ, p)] p l, λ = p l, λ D[H 1 (Λp)ΛH(p)] p l, λ, D E 2 λ λ = ±1, ±2

13 SL(2, C) ( ) D(A) =, A SL(2, C). ε αβ ξ, Ξ (1/2, 0) ξ 1 Ξ 2 ξ 2 Ξ 1, SL(2, C) ξ 1 ξ 1 + ξ 2 ξ 2, E 2 = p 2 + m 2 E = γm, p = γm β γ µ : {γ µ, γ ν } = 2η µν S µν = i 4 [γµ, γ ν ] [S µν, γ λ ] = i(γ µ η νλ γ ν η µλ ) p µ l = (ω 0, 0, 0, ω 0 ) W µ

14

### Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

### Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

β α β α β α α α β α β α β α α γ α β α) β β β αβ α β β β α β α β μ μ μ μ μ μ μ α β α μ α β αβ α β α α β α α α α αβ α β α β α β α α β α α α α α α α α α α α α α α α α α β β γδ β αβ α α β β β β β β

Διαβάστε περισσότερα

8 ) / 9! # % & ( ) + )! # 2. / / # % 0 &. # 1& / %. 3 % +45 # % ) 6 + : 9 ;< = > +? = < + Α ; Γ Δ ΓΧ Η ; < Β Χ Δ Ε Φ 9 < Ε & : Γ Ι Ι & Χ : < Η Χ ϑ. Γ = Φ = ; Γ Ν Ι Μ Κ Λ Γ< Γ Χ Λ =

Διαβάστε περισσότερα

### ! # %& # () & +( (!,+!,. / #! (!

! # %& # () & +( (!,+!,. / #! (! 0 1 12!, ( #& 34!5 6( )+(, 7889 / # 4 & #! # %& , & ( () & :;( 4#! /! # # +! % # #!& ( &6& +!, ( %4,!! ( 4!!! #& /

Διαβάστε περισσότερα

### Ν Κ Π 6Μ Θ 5 ϑ Μ % # =8 Α Α Φ ; ; 7 9 ; ; Ρ5 > ; Σ 1Τ Ιϑ. Υ Ι ς Ω Ι ϑτ 5 ϑ :Β > 0 1Φ ς1 : : Ξ Ρ ; 5 1 ΤΙ ϑ ΒΦΓ 0 1Φ ς1 : ΒΓ Υ Ι : Δ Φ Θ 5 ϑ Μ & Δ 6 6

# % & ( ) +, %. / % 0 1 / 1 4 5 6 7 8 # 9 # : ; < # = >? 1 :; < 8 > Α Β Χ 1 ; Δ 7 = 8 1 ( 9 Ε 1 # 1 ; > Ε. # ( Ε 8 8 > ; Ε 1 ; # 8 Φ? : ;? 8 # 1? 1? Α Β Γ > Η Ι Φ 1 ϑ Β#Γ Κ Λ Μ Μ Η Ι 5 ϑ Φ ΒΦΓ Ν Ε Ο Ν

Διαβάστε περισσότερα

### Ε Π Ι Μ Ε Λ Η Τ Η Ρ Ι Ο Κ Υ Κ Λ Α Δ Ω Ν

Ε ρ μ ο ύ π ο λ η, 0 9 Μ α ρ τ ί ο υ 2 0 1 2 Π ρ ο ς : Π ε ρ ιφ ε ρ ε ι ά ρ χ η Ν ο τ ίο υ Α ιγ α ί ο υ Α ρ ι θ. Π ρ ω τ. 3 4 2 2 κ. Ι ω ά ν ν η Μ α χ α ι ρ ί δ η F a x : 2 1 0 4 1 0 4 4 4 3 2, 2 2 8 1

Διαβάστε περισσότερα

### Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ

Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ 2 0 1 6 Τ ε ύ χ ο ς Δ ι α κ ή ρ υ ξ η ς Α ν ο ι κ τ ο ύ Δ ι ε θ ν ο ύ ς Δ ι α γ ω ν ι σ μ ο ύ 0 1 / 2 0 1 6 μ ε κ ρ ι τ ή ρ ι ο κ α τ α κ ύ ρ ω σ η ς τ η ν π λ έ ο ν σ υ μ

Διαβάστε περισσότερα

### < = ) Τ 1 <Ο 6? <? Ν Α <? 6 ϑ<? ϑ = = Χ? 7 Π Ν Α = Ε = = = ;Χ? Ν !!! ) Τ 1. Ο = 6 Μ 6 < 6 Κ = Δ Χ ; ϑ = 6 = Σ Ν < Α <;< Δ Π 6 Χ6 Ο = ;= Χ Α

# & ( ) ) +,. /, 1 /. 23 / 4 (& 5 6 7 8 8 9, :;< = 6 > < 6? ;< Β Γ Η. Ι 8 &ϑ Ε ; < 1 Χ6 Β 3 / Κ ;Χ 6 = ; Λ 4 ϑ < 6 Χ ; < = = Χ = Μ < = Φ ; ϑ =

Διαβάστε περισσότερα

### ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως αληθής (Α) ή ψευδής (Ψ)

Κριτήριο αξιολόγησης στις πιθανότητες Ομάδα: Α Όνομα.Επώνυμο....ημ/νία Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως αληθής (Α) ή ψευδής (Ψ). Δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα δεν είναι ασυμβίβαστα.. Αν Α και

Διαβάστε περισσότερα

### Θ έ λ ω ξ ε κ ι ν ώ ν τ α ς ν α σ α ς μ ε τ α φ έ ρ ω α υ τ ό π ο υ μ ο υ ε ί π ε π ρ ι ν α π ό μ ε ρ ι κ ά χ ρ ό ν ι α ο Μ ι χ ά λ η ς

9. 3. 2 0 1 6 A t h e n a e u m I n t e r C o Ο μ ι λ ί α κ υ ρ ί ο υ Τ ά σ ο υ Τ ζ ή κ α, Π ρ ο έ δ ρ ο υ Δ Σ Σ Ε Π Ε σ τ ο ε π ί σ η μ η δ ε ί π ν ο τ ο υ d i g i t a l e c o n o m y f o r u m 2 0 1

Διαβάστε περισσότερα

l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,

Διαβάστε περισσότερα

### Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Να χαρακτηρίσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τους παρακάτω ισχυρισµούς:. Για κάθε α R ισχύει ότι : α =α.. Για κάθε α R ισχύει ότι : α = α.. Για κάθε α R ισχύει ότι

Διαβάστε περισσότερα

### ! # % & ( ) & + #, +. ! # + / 0 / 1 ! 2 # ( # # !! ( # 5 6 ( 78 ( # ! /! / 0, /!) 4 0!.! ) 7 2 ## 9 3 # ## : + 5 ; )!

! # % & ( ) + ! # % & ( ) & + #, +.! # + / 0 / 1! 2 # ( # 1 3 4 3 #!! ( # 5 6 ( 78 ( # 6 4 6 5 1! /! #! / 0, /!) 4 0!.! ) 7 2 ## 9 3 # 78 78 0 ## : + 5 ; )! 0 / )!! < # / ).

Διαβάστε περισσότερα

### u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt 2 ϕ = 0

u = (u, v, w) ω ω = u = 0 ϕ u u = ϕ u = 0 ϕ 2 ϕ = 0 u t = u ω 1 ρ Π + ν 2 u Π = p + (1/2)ρ u 2 + ρgz ω = 0 ( ϕ t + Π) = 0 ϕ t + Π = C(t) C(t) C(t) = 0 C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt C(t) ϕ ϕ 1 ϕ = ϕ 1 p ρ + ϕ

Διαβάστε περισσότερα

### Τ γ α τ Ψ υ ο α Ιφε γ α Ψφ δ Ρ ολ υ ω Π Ρατ υ Υ ψ δ ξ ξ ο υ ο ψ χ υ ΠΟ ψ Ν χ Λ Υ Υ Ψ ω Ρ ψ Ψ γ

Ε ο ζ δ μ ΝΝ λ Α σ λ Π Ι Λ Ρ υ λ δ ο Ρ β ε Δ Ο υ Π ο π λ ρ υ Ι ξ ρ ρ Ν μ υ β γ α ρ δ ψ λ ε Δ υ λ Π Κ Ο υ ξ δ Τ γ α τ Ψ υ ο α Ιφε γ α Ψφ δ Ρ ολ υ ω Π Ρατ υ Υ ψ δ ξ ξ ο υ ο ψ χ υ ΠΟ ψ Ν χ Λ Υ Υ Ψ ω Ρ ψ Ψ

Διαβάστε περισσότερα

### ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

### Trace evaluation of matrix determinants and inversion of 4 4 matrices in terms of Dirac covariants

Trace evaluation of matrix determinants and inversion of 4 4 matrices in terms of Dirac covariants F. Kleefeld and M. Dillig Institute for Theoretical Physics III, University of Erlangen Nürnberg, Staudtstr.

Διαβάστε περισσότερα

### Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟ ΙΟΙΚΗΣΗΣ

ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιπλ ωµατ ική Εργασία του Φοιτητή ιονύση Παππά Τ µ ή µ α Μ ε τ α ν α σ τ ε υ τ ι κ ή ς π ο λ ι τ ι κ ή ς Τίτλος Εργασίας: Η Συµβολή της Τοπικής Αυτοδιοίκησης στην καταπολέµηση

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες.

ΘΕΜΑ 1[1] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 1 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες Ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε δυναµικό απειρόβαθου πηαδιού και περιράφεται από την 1 πx πx κυµατοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

### 8 9 Θ ] :! : ; Θ < + ###( ] < ( < ( 8: Β ( < ( < ( 8 : 5 6! 5 < 6 5 : ! 6 58< 6 Ψ 5 ; 6 5! < 6 5 & = Κ Ο Β ϑ Β > Χ 2 Β ϑβ Ι? ϑ = Α 7

! # % & ( # ) ( +,,. # ( # / 0 1 2 4 5! 6 7 8 9 9 8 : ; 5 ? Α Β Χ 2Δ Β Β Φ Γ Β Η Ι? ϑ = Α? Χ Χ Ι? ϑ Β Χ Κ Χ 2 Λ Κ >? Λ Μ Λ Χ Φ Κ?Χ Φ 5+Χ Α2?2= 2 Β Η Ν Γ > ϑβ Ο?Β Β Φ Γ Π Λ > Κ? Λ Α? Χ?ΠΛ

Διαβάστε περισσότερα

### !# & () +,!!! #! #./! # #! 0112

!! # %#!# & () +,!!! #! #./! # #! 0112 ! # % & ( ( & )& +, & ( #. / #0 0 0 1 2 3 4 & 5 6 3 2 0 0 6 0 0 1 3 0 ( & 7 4 1 8 0 / 4 1 #& +99:% ;+ 0 /? 0 >? 0 2 0 2 0 ( 1? ( 1 / > 1 ( & 0 2 0 2 3

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΠΗΓΕΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΤΖΩΡΤΖΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Επιβλέπων καθηγητής:αναγνωστοπουλοσ Κ. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ-ΣΕΜΦΕ 26 Σεπτεμβρίου 2016 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

### Φαινόμενο Unruh. Δημήτρης Μάγγος. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο September 26, / 20. Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 1/20

Φαινόμενο Unruh Δημήτρης Μάγγος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο September 26, 2012 1 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 1/20 Outline Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Στον Χωρόχρονο

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

### Section 9: Quantum Electrodynamics

Physics 8.33 Section 9: Quantum Electrodynamics May c W. Taylor 8.33 Section 9: QED / 6 9. Feynman rules for QED Field content: A µ(x) gauge field, ψ(x) Dirac spinor Action Z» S = d x ψ(iγ µ D µ m)ψ Z

Διαβάστε περισσότερα

### Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

### ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A)

Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 7 ο ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 60 Ασκήσεις :,,, σελ 6 Ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα Έστω πίνακας ν ν Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

### ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2003.. 34.. 3 Š 539.12.01 ˆŸ Š Š ˆ ŒˆŠˆ ˆ.. µ²ê µ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê ²µ ÊÎ µ µ ±Éµ 738 ˆ 740 ˆŸ Œ Š Ÿ Š - ˆ Š Œ ƒ ˆ ƒ Ÿ 742 Š Ÿ Š ˆ ŒˆŠ Š ˆ Š ˆ - ˆŸ ( Œ ˆ Š ˆ Š ) 748 Š ˆ ŒˆŠ Ÿ Š Ÿ

Διαβάστε περισσότερα

### ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

### ) 0 ) 2 & 2 & 0 + 6! ) & & & & & ), Γ , Γ 8 (?. Κ Ε 7 ) ) Μ & 7 Ν & & 0 7 & & Γ 7 & & 7 & Ν 2 & Γ Γ ( & & ) Η ++. Ε Ο 9 8 ) 8& & ) & Ε

#! % & ( + ),./! +./+., ( ( 1 #23 + + ), 1 (453.+ 6.+ 6, 7 1 89 3.! :.! :, 1 (453.. / 2 ; ? Α 7 ; Β / / 4 > (? / / ) 8 Χ :/. ++.. +. : 6 : ) )4 ) ) ( 4 )Φ 7 % 6 : : +.. ++. ) & & & & ), Γ, Γ 8 (?.

Διαβάστε περισσότερα

### Πα κ έ τ ο Ε ρ γ α σ ί α ς 4 Α ν ά π τ υ ξ η κ α ι π ρ ο σ α ρ µ ο γ ή έ ν τ υ π ο υ κ α ι η λ ε κ τ ρ ο ν ι κ ο ύ ε κ π α ι δ ε υ τ ι κ ο ύ υ λ ι κ ο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ ΕΣΣΑΛ ΙΑΣ ΠΟΛ Υ ΤΕΧ ΝΙΚ Η ΣΧ ΟΛ Η ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ ΑΝΟΛ ΟΓ Ω Ν ΜΗΧ ΑΝΙΚ Ω Ν Β ΙΟΜΗΧ ΑΝΙΑΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ Π Π Σ ΣΥ ΝΟΠ Τ Ι Κ Η Ε Κ Θ Ε ΣΗ ΠΕ 4 Α Ν Α ΠΤ Υ Ξ Η Κ Α Ι ΠΡ Ο Σ Α Ρ Μ Ο Γ Η ΕΝ Τ Υ ΠΟ Υ Κ Α

Διαβάστε περισσότερα

### Dirac Matrices and Lorentz Spinors

Dirac Matrices and Lorentz Spinors Background: In 3D, the spinor j = 1 representation of the Spin3) rotation group is constructed from the Pauli matrices σ x, σ y, and σ k, which obey both commutation

Διαβάστε περισσότερα

### Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα.

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6 Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Αντίρροπα διανύσµατα. Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων (όλες της οι µορφές). Συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

### Problem 1(a): Starting with eq. (3) proved in class and applying the Leibniz rule, we obtain

PHY 396 K. Solutions for homework set #5. Problem 1a: Starting with eq. 3 proved in class and applying the Leibniz rule, we obtain [ γ κ γ λ, S µν] γ κ [ γ λ, S µν] + [ γ κ, S µν] γ λ γ κ ig λµ γ ν ig

Διαβάστε περισσότερα

### + (!, &. /+ /# 0 + /+ /# ) /+ /# 1 /+ /# # # # 6! 9 # ( 6 & # 6

# % ( + (!, &. /+ /# 0 + /+ /# ) /+ /# 1 /+ /# 2 + + 3 + 4 5 # 6 5 7 + 8 # # 6 (! 9 # ( 6 & 0 6 ) 1 5 + # 6 2 # # + 6 # # 6 # + # # + 6 + # #! 5 # # 6 & # : # # : 6 0 ) 5 + 6 1 # # 2 + # + # # 4 + # 6

Διαβάστε περισσότερα

### 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

### Ó³ Ÿ , º 7(156).. 62Ä69. Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ. .. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ 2. μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ±

Ó³ Ÿ. 009.. 6, º 7(156.. 6Ä69 Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ ˆŒ ˆ - ˆ ƒ ˆ ˆ ˆŸ Š -Œ ˆ Šˆ ˆ.. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ± É ÉÓ μ Ò ÕÉ Ö ²μ Í Ò - μ Ò ² É Ö ³ ÖÉÓ Ì ÒÎ ² ÖÌ, μ²ó ÊÕÐ Ì ±μ ± 4- μ Ò. This paper

Διαβάστε περισσότερα

### ο Θε ος η η µων κα τα φυ γη η και δυ υ υ να α α α µις βο η θο ος ε εν θλι ψε ε ε σι ταις ευ ρου ου ου ου ου σαις η η µα α α ας σφο ο ο ο

Ἐκλογή ἀργοσύντοµος εἰς τὴν Ἁγίν Κυρικήν, κὶ εἰς ἑτέρς Γυνίκς Μάρτυρς. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Ἦχος Νη ε Κ ι δυ υ υ υ ν µι ις Α λ λη λου ου ου ι ι ι ι ο Θε ος η η µων κ τ φυ γη η κι δυ υ υ ν µις βο η θο

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

### ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΧΗΜΕΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ Α ΧΗΜΕΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Για τις προτάσεις Α1 έως και Α5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της πρότασης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή επιλογή. Α1. Η ηλεκτρονιακή δοµή του 11 Νa

Διαβάστε περισσότερα

### ! # % #! # & (! )!! & # # &! # +,!& #. # # & / 0!& # / 12 2 # 3 # 2 ,!& 4556

! # % #! # & (! )!! & # # &! # +,!& #. # # & / 0!& # / 12 2 # 3 # 2,!& 4556 ! # % #! # & (! )!! & # # &! # +,!& #. # # & / 0!& # / 12 2 # 3 # 2,!& 4556 ! ! # % &! ( ) &! # + #, ). / # %# # 0!. 1) 1 /,

Διαβάστε περισσότερα

### Περιεχόμενα. A(x 1, x 2 )

Περιεχόμενα A(x 1, x 2 7 Ολοκληρώματα της Μαγνητοϋδροδυναμικής και Μαγνητοϋδροδυναμικά Κύματα Σχήμα 7.1: Οι τριδιάστατες ελικοειδείς μαγνητικές γραμμές στις οποίες εφάπτεται το διάνυσμα του μαγνητικού

Διαβάστε περισσότερα

### n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α) Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

### cz+d d (ac + cd )z + bc + dd c z + d

T (z) = az + b cz + d ; a, b, c, d C, ad bc 0 ( ) a b M T (z) = (z) az + b c d cz + d (T T )(z) = T (T (z) (T T )(z) = az+b a + cz+d b c az+b + = (aa + cb )z + a b + b d a z + b cz+d d (ac + cd )z + bc

Διαβάστε περισσότερα

### ! # % &! ( )! % +,.! / 0 1 )2 3

! !! # % &! ( )! % +,.! / 0 1 )2 3 ) 4 5! 5 ) 6 2 2 ) 2 3 #! 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333337 83 % ) 1

Διαβάστε περισσότερα

### Now, suppose the electron field Ψ(x) satisfies the covariant Dirac equation (i D m)ψ = 0.

PHY 396 K. Solutions for homework set #7. Problem 1a: γ α γ α 1 {γα, γ β }g αβ g αβ g αβ 4; S.1 γ α γ ν γ α γ α γ ν g να γ ν γ α γ α γ ν γ ν γ α γ α 4 γ ν ; S. γ α γ µ γ ν γ α γ α γ µ g µα γ µ γ α γ ν

Διαβάστε περισσότερα

### Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Σχεδίση µε τη χρήση Η/Υ Κ Ε Φ Λ Ι 1 Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Κ Τ Σ Κ Ε Υ Ε Σ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Σ Ν Θ Π Υ Λ Σ, Ε Π Ι Κ Υ Ρ Σ Κ Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Ι Ι Κ Η Σ Η Σ Κ Ι Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Η Σ Ε Ρ Γ Ω Ν Τ Ε Ι Λ Ρ Ι Σ Σ

Διαβάστε περισσότερα

### α β γ α β γ ( α β )( β γ )( γ α )

Γραµµικά Συστήµατα Να υθούν τα συστήµατα: (α) x+ 4y z= x+ 8y 6z= 9 (β) x+ y 9z= x+ y z= 4x y+ 7z= (γ) y+ z= x ( ) x y = x+ y = 7z ( + ) x+ y 6z= (δ) x+ y+ z= (ε) x+ y+ z= ( + ) x+ (+ ) y= + x+ y= (στ)

Διαβάστε περισσότερα

### 24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

### 2 (4! ((2 (5 /! / Β ;! + %ΧΑ + ((5 % # &

!! # % & # () %# + (, # &,. /01 2 23 () 0 &. 04 3 23 (5 6787%.9 : ; 3!.&6< # (5 2!.& 6 < # ( )!.&+ < # 0= 1 # (= 2 23 0( >? / #.Α( 2= 0( 4 /

Διαβάστε περισσότερα

### ΧΗΜΕΙΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Στις ερωτήσεις Α.1 έως Α.6, να επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Κανάρη 36, Δάφνη Τηλ. 210 9713934 & 210 9769376 ΧΗΜΕΙΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α.1 έως Α.6, να επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Α.1 Σε δύο όμοια δοχεία Δ 1 και Δ 2 έχουν αποκατασταθεί αντίστοιχα

Διαβάστε περισσότερα

### 0,1 (,.. ( ) ) 2 3 ( ) ) # 4 (( ( ) ) 5 6 & 768

! # % & ( ) ) +,.. / 0,1 (,.. ( ) ) 2 3 ( ) ) # 4 (( ( ) ) 5 6 & 768 ! # %&% ( 9 1 0 ( : & & ; < & & ( : ( # ( = : ( 5 6 & : ( 5>? &? Α 0 ; ( < 8 5 & & & Β 0 0 > & & 6 & : & 0 & & 0 ( ( : 50 7# Χ 5 0 (

Διαβάστε περισσότερα

### . IE D I=1 . 0<IE D I<1

1 ( ) 25 2016 : - : (4) 1.,,,,,,....,,....,,... 15 2 3,,. 2. 3.. 40, 8 400. (FC).... FC=80 FC=320 FC=5 FC=40. 1 4 5.,. IE D I>1. 0

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

### Τ Ο Υ Π Α Γ Ι Α Τ Η Β Υ Ρ Ω Ν Λ Ο Γ Α Ρ Ι Α Ε Μ Ο Ι Ε Κ Μ Ε Τ Α Λ Ε Υ Ε Ε Ω Ν ΚΑ Ι Ο Λ Ο Γ Α Ρ Ι Α Ε Μ Ο Ε Α Π Ο Τ Ε Λ Ε Ε Μ Α Τ Α Χ Ρ Η Ε Ε Ω Ε

Τ. Ε. I. E X ΟΛΗ: Τ Μ Η Μ Α : ΚΑΒΑΛΑΕ α ί Ο Ι Κ Η Ε Η Ε & Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Ε Λ Ο Γ Ι Ε Τ Ι Κ Η Ε Π Τ Υ Χ Ι Α Κ Η Εί= ΓΑΕΙΑ Τ Ο Υ Π Α Γ Ι Α Τ Η Β Υ Ρ Ω Ν Θ Ε Μ Α Λ Ο Γ Α Ρ Ι Α Ε Μ Ο Ι Ε Κ Μ Ε Τ Α Λ Ε Υ

Διαβάστε περισσότερα

### (... )..!, ".. (! ) # - \$ % % \$ & % 2007

(! ), "! ( ) # \$ % & % \$ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) \$, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, \$ & % \$ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - \$, \$ &- % \$ % %, * \$ % - % % # \$ \$,, % % #-

Διαβάστε περισσότερα

### 24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

### ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑ Β Β1.

Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 6 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/05/206 ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

### Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

V r,k j F k m N k+1 N k N k+1 H j n = 7 n = 16 Ṽ r ñ,ñ j Ṽ Ṽ j x / Ṽ W 2r V r D N T T 2r 2r N k F k N 2r Ω R 2 n Ω I n = { N: n} n N R 2 x R 2, I n Ω R 2 u R 2, I n x k+1 = x k + u k, u, x R 2,

Διαβάστε περισσότερα

### X Άπειρες ευθείες, X Μία µόνο ευθεία, X ύο µόνο ευθείες.

1. Συµπλήρωσε τα παρακάτω κενά: α. Το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ, που ενώνει δύο σηµεία Α και Β λέγεται απόσταση των σηµείων. β. Μέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ ονοµάζουµε το σηµείο του Μ που

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε

Διαβάστε περισσότερα

### Ó³ Ÿ , º 7(170) Ä1091 ˆŒ ˆ. Œ. ˆ. Ò μí± 1. ˆ É ÉÊÉ É μ É Î ±μ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, Œμ ±

Ó³ Ÿ. 011.. 8, º 7(170.. 1038Ä1091 Š ˆˆ ˆˆ Š ˆŒ ˆ Œ. ˆ. Ò μí± 1 ˆ É ÉÊÉ É μ É Î ±μ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, Œμ ± Î ÉÒ Ì ² ±Í ÖÌ ² É Ö É μ Ö Ô² ±É μ ² ÒÌ ³μ É. Theory of electroweak interactions is given in 4 lectures.

Διαβάστε περισσότερα

### Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1. Α.2. Β.1. Β.2. Β.3. Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α)

Διαβάστε περισσότερα

### Κ Α Τ Α Σ Τ Α Τ Ι Κ Ο

Κ Α Τ Α Σ Τ Α Τ Ι Κ Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Α Α. Σ Υ Σ Τ Α Σ Η - Ε Π Ω Ν Υ Μ Ι Α - Ε Δ Ρ Α - Δ Ι Α Ρ Κ Ε Ι Α Β. Μ Ε Λ Η Τ Ο Υ Σ Υ Ν Δ Ε Σ Μ Ο Υ Γ. Ο Ρ Γ Α Ν Α Δ Ι Ο Ι Κ Η Σ Η Σ Δ. Π Ο Ρ Ο Ι Τ Ο Υ Σ Υ Ν Δ Ε Σ Μ

Διαβάστε περισσότερα

f H f H ψ n( x) α = 0.01 n( x) α = 1 n( x) α = 3 n( x) α = 10 n( x) α = 30 ū i ( x) α = 1 ū i ( x) α = 3 ū i ( x) α = 10 ū i ( x) α = 30 δū ij ( x) α = 1 δū ij ( x) α = 3 δū ij ( x) α = 10 δū ij ( x)

Διαβάστε περισσότερα

### f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

### Γ Ρ Α Π Τ Ε Σ Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΕΜΕΣΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2014-2015 Γ Ρ Α Π Τ Ε Σ Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/06/2015 ΤΑΞΗ: Β ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες (10:30 12:30) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:..

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

### Livros Grátis. Milhares de livros grátis para download.

!! Livros Grátis http://www.livrosgratis.com.br Milhares de livros grátis para download. !! ! # % & ( # ) + +, %! & +! #!! ! # # % # & ( )# & +,..# /010 / 2 30 4 5 6 # 5, 7 8 9 # 6 # 5 : : ;9 # 5 6 # 5

Διαβάστε περισσότερα

### ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

### # # %& ) & +,& & %. / / 6 & / 7 / 8 8 # 3/ 6 & / 7 /

! # # %& ) & +,& & %. / 01 23345 1/ 6 & / 7 / 8 8 # 3/ 6 & / 7 / / ; / 212

Διαβάστε περισσότερα

### Dirac Trace Techniques

Dirac Trace Techniques Consider a QED amplitude involving one incoming electron with momentum p and spin s, one outgoing electron with momentum p and spin s, and some photons. There may be several Feynman

Διαβάστε περισσότερα

### Μάθηµα 1 ο ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 3, σελ. 8. Ασκήσεις : 1, 2, 3 : σελ. 10

Γραµµική Άλγεβρα Σελίδα από 9 Μάθηµα ο ΣΥΝΘΕΤ ΠΝΚΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο, σελ 8 σκήσεις :,, : σελ 0 Λυµένες σκήσεις Άσκηση Να υπολογισθούν οι δυνάµεις του σύνθετου πίνακα: Λύση : Επειδή:

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

### Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε

Διαβάστε περισσότερα

### Διαταραχές Τροχιάς (2)

Διαταραχές Τροχιάς (2) Μάθημα 6 ο Βαρυτικές διαταραχές δυναμικό πεπλατυσμένου σώματος Επίδραση τρίτου σώματος (α) γραμμική αέναη κίνηση (β) κίνηση σε συντονισμό Μη βαρυτικές διαταραχές Μεταβολές του μεγάλου

Διαβάστε περισσότερα

### Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

### x y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k

Σύνοψη Κεφαλαίου 3: Προβολική Γεωμετρία Προοπτική. Εάν π και π 2 είναι δύο επίπεδα που δεν περνάνε από την αρχή O στο R 3, λέμε οτι τα σημεία P στο π και Q στο π 2 βρίσκονται σε προοπτική από το O εάν

Διαβάστε περισσότερα

### υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger

4 υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger 4.1 Κλασσική µηχανική - το πρόβληµα των δύο σωµάτων Θεωρούµε την αλληλεπίδραση ενός ηλεκτρονίου µε µάζα m e και ϕορτίο q e = e µε έναν πυρήνα µε ϕορτίο

Διαβάστε περισσότερα

### Μάθηµα 1 ο ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 3, σελ. 8.

νάλυση Πινάκων Εφαρµογές Σελίδα από 9 Μάθηµα ο ΣΥΝΘΕΤ ΠΝΚΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο, σελ 8 Λυµένες σκήσεις Άσκηση Να υπολογισθούν οι δυνάµεις του σύνθετου πίνακα: Λύση : Επειδή: 0 0 = = 0 0

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΡΓΑΙΑ Εθηίκεζε αμίαο κεηαπώιεζεο ζπηηηώλ κε αλάιπζε δεδνκέλωλ. Παιεάο Δπζηξάηηνο

ΕΡΓΑΙΑ Εθηίκεζε αμίαο κεηαπώιεζεο ζπηηηώλ κε αλάιπζε δεδνκέλωλ Παιεάο Δπζηξάηηνο ΑΘΗΝΑ 2014 1 ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ 1) Δηζαγσγή 2) Πεξηγξαθηθή Αλάιπζε 3) ρέζεηο Μεηαβιεηώλ αλά 2 4) Πξνβιεπηηθά / Δξκελεπηηθά Μνληέια

Διαβάστε περισσότερα

### Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

### 1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ

1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

### Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ

Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι ) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη χ, ψ συνδέονται με την σχέση ψ = f ( χ ), όταν f μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο χ 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του ψ ως προς

Διαβάστε περισσότερα

### βιβλίο περιλήψεων Καινοτόμες και στοχευμένες παρεμβάσεις για την πρόληψη της παιδικής κακομεταχείρισης

ΣΤΡΟΓΓΥΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΕΣ βιβλίο περιλήψεων Στρογγυλή Τράπεζα Καινοτόμες και στοχευμένες παρεμβάσεις για την πρόληψη της παιδικής κακομεταχείρισης Εισηγητής: Γ. Γιαννακόπουλος, Παιδοψυχίατρος Διδάκτωρ Ιατρικής

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Όνομα/Επίθετο:

1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όνομα/Επίθετο: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις από Α1 μέχρι και Α7 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

### ˆ ˆ Œ Ÿ Š Œ ƒˆ Šˆ ˆ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ

Ó³ Ÿ. 2015.. 12, º 2(193).. 281Ä298 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ ˆ ˆ Œ Ÿ Š Œ ƒˆ Šˆ ˆ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ.. Ê 1 Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± Í Œ Ì ²ÖÉ É ±μ É μ É Í ( ƒ) μ μ²ö É μ μ ÉÓ É ²Ó- ÊÕ ² ±Í

Διαβάστε περισσότερα

### ! #! % &! #! ( ) %! # +,, )! #.,. # / (! # /. ) ). 0 1, 2,! # +

! # ! #! % &! #! ( ) %! # +,, )! #.,. # / (! # /. ) ). 0 1, 2,! # + % & / &. 0 3 ( & 4 5. 6 7 & 4 8. 9 5: & 4 :. 56 8 / &. 0 3 ) & 4 4. 6 9 & 4. 4 : & 4 :. 84 88!,. ; 3 + 2 ( < 0 = 0 >? 0 < 2. 0 0 ( Α

Διαβάστε περισσότερα

### SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

### ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2007.. 38.. 6 Š Ÿ ˆŸ Œ Ÿ ˆ Š ƒ. ƒ. Š ³ ±,.. ŠÊ ² μ μ ± μ Ê É Ò Ê É É, μ μ, μ Ö. Œ. Ê ²Ó ± ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... ±μ ²ÓÍÒ Œμ ±μ ±μ μ μ Ê É μ μ Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± ˆ

Διαβάστε περισσότερα

### * * } t. / f. i ^ . «-'. -*.. ;> * ' ί ' ,ΐ:-- ΙΣ Τ Ο Λ Ο Γ ΙΑ Τ Α ΣΥΣΤΗ Μ Α ΤΑ ΟΡΓΑΝΟΝ. Ο.Β.Κ δτο ΥΛΑΣ

% r,r,»v: ' \$ & '"- -.,.. -., * *» # t -..* ' T. < - 'ί" : ', *».- 7 Λ CV';y * ' f y \ '. :.-ή ; / ' w, * * } t ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΠΑΝΝΙΝΠΝ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ V* ι Λ-Α..;. «* '. ft A 1^>>,- 7 - ^Λ' :.-.. ν -»V-

Διαβάστε περισσότερα

### Έστω πρώτα μια συνάρτηση Ρ που πληροί τα αξιώματα (α), (β) και (γ) της ορισμού Ισχύει δηλαδή Ρ(ω j ) 0, για κάθε j = l, 2,...

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΩΡΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Πεπερασμένος_δειγματοχώρος. Έστω ο πεπερασμένος δειγματοχώρος Ω ={ω,ω,...,ω n }. Η σ-άλγεβρα γεγονότων του Ω είναι η επίσης πεπερασμένη συλλογή των n υποσυνόλων του Ω. των

Διαβάστε περισσότερα

### Κρυπτογράφηση Αποκρυπτογράφηση Ερευνητική εργασία Β'1 1 ο Γενικό Λύκειο Ευόσμου

Κρυπτογράφηση Αποκρυπτογράφηση Ερευνητική εργασία Β'1 1 ο Γενικό Λύκειο Ευόσμου 2013-2014 Project Ορισμοί Ιστορία Η αποκρυπτογράφηση στις μέρες μας Κρυπτογράφηση Αποκρυπτογράφηση Αποκρυπτογραφημένο-Κρυπτογραφημένο

Διαβάστε περισσότερα

### Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα