Διπλωματική εργαςία. του φοιτθτι του τμιματοσ Θλεκτρολόγων Μθχανικϊν και. Τεχνολογίασ υπολογιςτϊν τθσ Ρολυτεχνικισ Σχολισ του. Ρανεπιςτθμίου Ρατρϊν

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διπλωματική εργαςία. του φοιτθτι του τμιματοσ Θλεκτρολόγων Μθχανικϊν και. Τεχνολογίασ υπολογιςτϊν τθσ Ρολυτεχνικισ Σχολισ του. Ρανεπιςτθμίου Ρατρϊν"

Transcript

1 ΡΑΝΕΡΙΣΤΘΜΙΟ ΡΑΤΩΝ ΤΜΘΜΑ ΘΛΕΚΤΟΛΟΓΩΝ ΜΘΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΡΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΘΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΑΣΤΘΙΟ ΣΥΣΤΘΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Διπλωματική εργαςία του φοιτθτι του τμιματοσ Θλεκτρολόγων Μθχανικϊν και Τεχνολογίασ υπολογιςτϊν τθσ Ρολυτεχνικισ Σχολισ του Ρανεπιςτθμίου Ρατρϊν ΤΑΝΤΑΟΥΔΑ ΝΙΚΟΛΑΟ-ΔΘΜΘΤΙΟΥ ΤΟΥ ΑΝΔΟΝΙΚΟΥ Αρικμόσ μθτρϊου:612 Θζμα << ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΗ ΕΙΟΔΟΤ-ΚΑΣΑΣΑΗ ΚΑΙ ΕΙΟΔΟΤ-ΕΞΟΔΟΤ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΦΑΙΡΑ-ΡΑΒΔΟΤ>> Επιβλέπων ΕΡΙΚΟΥΟΣ ΚΑΘΘΓΘΤΘΣ ΚΑΗΑΚΟΣ ΔΘΜΟΣΘΕΝΘΣ Αριθμόσ διπλωματικήσ εργαςίασ: Ράτρα,Ιοφλιοσ 211

2 2

3 ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ Ριςτοποιείται ότι θ διπλωματικι εργαςία με κζμα: ΓΑΜΜΙΚΟΡΟΙΘΣΘ ΕΙΣΟΔΟΥ-ΚΑΤΑΣΤΑΣΘΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟΔΟΥ-ΕΞΟΔΟΥ ΜΘ ΓΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΘΜΑΤΟΣ ΣΦΑΙΑΣ-ΑΒΔΟΥ του φοιτθτι του τμιματοσ Θλεκτρολόγων Μθχανικϊν και Τεχνολογίασ υπολογιςτϊν Ν.-Δ.ΤΑΝΤΑΟΥΔΑ Ραρουςιάςκθκε δθμόςια και εξετάςκθκε ςτο τμιμα Θλεκτρολόγων Μθχανικϊν και Τεχνολογίασ Υπολογιςτϊν ςτισ 1/7/211 Ο Επιβλζπων Ο Διευκυντισ του Τομζα Δθμοςκζνθσ Καηάκοσ Επίκουροσ Κακθγθτισ Νικόλαοσ Κοφςουλασ Κακθγθτισ 3

4 4

5 Αριθμόσ Διπλωματικήσ Εργαςιασ: Θζμα:<<Γραμμικοποίηςη ειςόδου-κατάςταςησ και ειςόδουεξόδου μη γραμμικοφ ςυςτήματοσ ςφαίρασ-ράβδου>> Φοιτθτισ: Τανταροφδασ Νικόλαοσ-Δθμιτριοσ Επιβλζπων: Καηάκοσ Δθμοςκζνθσ Περίληψη Σκοπόσ τθσ παροφςθσ διπλωματικισ εργαςίασ είναι θ προςπάκεια γραμμικοποίθςθσ και ο ζλεγχοσ του ςυςτιματοσ ςφαίρασ ράβδου. Αρχικά περιγράφεται το φυςικό ςφςτθμα τθσ ςφαίρασ ράβδου, μελετάται θ ευςτάκεια του και μοντελοποιείται μακθματικά.ζπειτα, αφοφ πραγματοποιθκεί θ προςομοίωςθ του, εφαρμόηονται διάφορετικζσ τεχνικζσ ελζγχου και ςυγκρίνονται με ςκοπό τθν εφρεςθ τθσ καταλλθλότερθσ. 5

6 Abstract This diploma thesis includes the analysis of the nonlinear system of a ball-beam and the design of different control laws.initially,we present the physical system and we derive the mathematical model from the lagrange equation.the nonlinear system fails to be stable with the classic linear control laws and we try to stabilize it by input-state and inputoutput linearization.the ball beam system fails to be controlled by full state linearization and we proposed some approximations for inputoutput linearization.we describe in detail how we can derive the approximate control laws and through simulation we are capable of choosing the best suitable control law.we propose a switch-controller for the nonlinear system which is vital for systems with undefined relative degree and are not input state linearizable. 6

7 ΕΥΧΑΙΣΤΙΕΣ Αρχικά, κα ικελα να αναφζρω κάποια άτομα τα οποία ςυνζβαλαν ςτθ διεκπεραίωςθ αυτισ τθσ διπλωματικισ εργαςίασ. Ρρωτίςτωσ, κα ικελα να ευχαριςτιςω τον επιβλζποντα επίκουρο κακθγθτι κ. Καηάκο Δθμοςκζνθ για τθν εμπιςτοςφνθ που μου ζδειξε, ανακζτοντάσ μου τθν ςυγκεκριμζνθ εργαςία θ οποία ταιριάηει πλιρωσ ςτα ενδιαφζροντά μου,κακϊσ και τισ εφςτοχεσ παρατθριςεισ του ςε κάποια από τα προβλιματα που προζκυψαν. Επιπλζον, κερμζσ ευχαριςτίεσ κζλω να δϊςω και ςτον υποψιφιο διδάκτορα του Ρανεπιςτθμίου του Harvard Ιωάννθ Γκιουλζκα και το Σταφρο Τςόγκα του τμιματοσ θλεκτρολόγων μθχανικϊν τθσ πολυτεχνικισ ςχολισ τθσ ακινασ, για τισ ςυμβοφλεσ τουσ και τθ ςτιριξθ που μου δϊςανε κατά τθ διάρκεια τθσ εκπόνθςθσ τθσ εργαςίασ αυτισ. 7

8 Αφιερώνεται ςε εκείνουσ που πυροβολικθκαν 8

9 9

10 ΠΡΟΛΟΓΟ Σκοπόσ τθσ παροφςθσ διπλωματικισ εργαςίασ είναι θ μελζτθ του ςυςτιματοσ ςφαίρασ-ράβδου.το ςφςτθμα αυτό είναι μθ γραμμικό όπωσ και ςχεδόν όλα τα ςυςτιματα ςτθ φφςθ και κρίνεται αναγκαίοσ ο ζλεγχοσ του απο το μθχανικό ςχεδίαςθσ ςυςτθμάτων ελζγχου. Στο κεφάλαιο 1,αρχικά γίνεται θ περιγραφι του φυςικόυ ςυςτιματοσ και θ μακθματικι μοντελοποίθςθ του με τθ μζκοδο Lagrange.Εξάγεται ζνα προςεγγιςτικό μοντζλο και από αυτό και θ περιγραφι του ςτο χϊρο κατάςταςθσ. Στο κεφάλαιο 2 γίνεται θ γραμμικοποίθςθ του ςυςτιματοσ με τθ βοικεια τθσ ςειράσ Taylor κακϊσ επίςθσ πραγματοποιείται ζλεγχοσ τθσ παρατθρθςιμότθτασ και ελεγξιμότθτασ του ςυςτιματοσ. Στο κεφάλαιο 3 πραγματοποιείται θ προςομοίωςθ του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ και ςυγκρίνεται με αυτι του γραμμικοποιθμζνου κατά Taylor.Σχεδιάηονται διάφοροι ελεγκτζσ,αρκετοί από τουσ οποίουσ αποτυγχάνουνε να ςτακεροποιιςουνε το ςφςτθμα. Στο κεφάλαιο 4 αναπτφςςεται θ μζκοδοσ γραμμικοποίθςθσ με ανάδραςθ και υλοποιείται θ τεχνικι γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-κατάςταςθσ για το ςφςτθμα ςφαίρασ-ράβδου. Στο κεφάλαιο 5 πραγματοποιείται θ μζκοδοσ γραμμικοποίθςθσ ειςόδουεξόδου και βρίςκονται τρεισ προςεγγιςτικζσ γραμμικοποιιςεισ που ςτακεροποιοφν το ςφςτθμα. Στο κεφάλαιο 6 περιγράφεται το Toolbox του Matlab Nenlisys και πραγματοποιοφνται οι προςομοιϊςεισ των προςεγγιςτικϊν γραμμικοποιιςεων ειςόδου-εξόδου και γίνεται ςφγκριςθ μεταξφ τουσ. Στο κεφάλαιο 7 αναπτφςςονται τα ςυμπεράςματα που προκφπτουν από τθ μελζτθ του ςυςτιματοσ και παρακζτονται κάποια προγράμματα υλοποίθςθσ ςτο περιβάλλον του Matlab. 1

11 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΥΧΑΙΣΤΙΕΣ...6 ΡΟΛΟΓΟΣ...1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Ρεριγραφι του φυςικοφ ςυςτιματοσ και μακθματικι μοντελοποιςθ του Ρεριγραφι του ςυςτιματοσ ςφαίρασ-ράβδου Μοντελοποίθςθ Μζκοδοσ Lagrange Εφρεςθ του μακθματικοφ μοντζλου Ραράμετροι του ςυςτιματοσ Ρροςεγγιςτικό μοντζλο Διαφορικζσ εξιςϊςεισ κίνθςθσ Ρεριγραφι ςτο χϊρο κατάςταςθσ Σφνοψθ κεφαλαίου...26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 2. Γραμμικοποίθςθ του ςυςτιματοσ με τθ βοικεια τθσ ςειράσ Taylor Εξαγωγι του γραμμικοποιθμζνου μοντζλου ςτο χϊρο κατάςταςθσ Ζλεγχοσ ελεγξιμότθτασ και παρατθρθςιμότθτασ του γραμμικοποιθμζνου Σφνοψθ κεφαλαίου...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3. Ρροςομοίωςθ του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ και του γραμμικοποιθμζνου κατά Taylor Ρροςομοίωςθ του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ ςφαίρασ-ράβδου Σχεδίαςθ ελεγκτι Lead και προςομοίωςθ του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ ανοιχτοφ βρόχου Ρροςομοίωςθ του γραμμικοποιθμζνου κατά Taylor ςυςτιματοσ Ρροςομοίωςθ γραμμικοποιθμζνου κλειςτοφ βρόχου και ζλεγχοσ Σφνοψθ κεφαλαίου...47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4. Feedback Linearization(Γραμμικοποίθςθ με Ανάδραςθ) Input-State Linearization Οριςμοί Υλοποίθςθ τθσ τεχνικισ Input-State Linearization

12 4.2 Εφαρμογι τθσ τεχνικισ Input-State Linearization ςτο ςφςτθμα ςφαίρασράβδου Σφνοψθ κεφαλαίου...54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5. Μζκοδοσ Input-Output Linearization Input-Output Linearization Input-Output Linearization ςε ςυςτιματα με προςδιοριςμζνο relative degree Input-Output Linearization ςε ςυςτιματα με απροςδιόριςτο relative degree Κανονικζσ Μορφζσ-Normal Forms Zero-Dynamics Τοπικι αςυμπτωτικι ςτακεροποίθςθ Υλοποίθςθ του Input-Output Linearization για το ςφςτθμα ςφαίρασ-ράβδου Γενικι γραμμικοποίθςθ ειςόδου-εξόδου ςυςτθμάτων με ιδιομορφζσ Ρροςζγγιςθ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου Ρρϊτθ προςζγγιςθ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου Δεφτερθ προςζγγιςθ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου Ρροςζγγιςθ με χριςθ παραγϊγων ανϊτερθσ τάξθσ Συμπεριφορά του ςυςτιματοσ γφρω από τθν ιδιομορφία Σφνοψθ κεφαλαίου...76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6. Ρροςομοιϊςεισ των προςεγγίςεων ελζγχου γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου Ρροςομοίωςθ τθσ πρϊτθσ προςεγγιςτικισ γραμμικοποίθςθσ ειςόδουεξόδου(first approximation of input-output linearization) Ρροςομοίωςθ με χριςθ του Nelisys Ρροςομοίωςθ τθσ δεφτερθσ προςεγγιςτικισ γραμμικοποίθςθσ ειςόδουεξόδου(second approximation of input-output linearization) Ρροςομοίωςθ τθσ τρίτθσ προςεγγιςτικισ γραμμικοποίθςθσ ειςόδουεξόδου(third approximation of input-output linearization) Ρροςομοίωςθ τθσ τρίτθσ προςεγγιςτικισ γραμμικοποίθςθσ ειςόδουεξόδου με νόμο ελζγχου για αρχικι ςυνκικθ μακριά από τθν ιδιομορφία

13 6.3.2 Ρροςομοίωςθ τθσ τρίτθσ προςεγγιςτικισ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου με νόμο ελζγχου για αρχικι ςυνκικθ κοντά ςτθν ιδιομορφία Σφνοψθ κεφαλαίου...16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 7. Συμπεράςματα...18 Βιβλιογραφία Ραράρτθμα:Ρρογράμματα ςε περιβάλλον Matlab

14 1.ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΟΤ ΦΤΙΚΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΜΟΝΣΕΛΟΠΟΙΗΗ ΣΟΤ 1.1 Περιγραφή του ςυςτήματοσ ςφαίρασ ράβδου Σκοπόσ αυτοφ του κεφαλαίου είναι θ περιγραφι του ςυςτιματοσ με το οποίο κα αςχολικουμε και θ παρουςίαςθ βαςικϊν ιδιοτιτων του.το ςφςτθμα που διαπραγματεφομαςτε ςε αυτι τθ διπλωματικι εργαςία αποτελείται από μία ομογενι ράβδο και μία ομογενι ςφαίρα.θ ράβδοσ ςτθρίηεται ςε ζναν κατακόρυφο άξονα που βρίςκεται ςτο μζςο αυτισ και μπορεί να περιςτρζφεται γφρω από αυτόν.θ περιςτροφι τθσ ράβδου,θ οποία είναι εφικτι μζςω ενόσ κινθτιρα ςυνεχοφσ ρεφματοσ(dc-motor),κάνει τθ ςφαίρα να ολιςκαίνει κατά το μικοσ αυτισ. Θ μοντελοποίθςθ αυτοφ του φυςικοφ ςυςτιματοσ κα γίνει με χριςθ τθσ μεκόδου Lagrange,θ οποία χρθςιμοποιεί τισ ενζργειεσ του ςυςτιματοσ για τθν εφρεςθ τθσ μακθματικισ του περιγραφισ. 1.2 Μοντελοποίηςη Αρχικά κα κάνουμε μία περιγραφι τθσ μεκόδου Lagrange,με τθ χριςθ τθσ οποίασ κα περιγράψουμε τισ εξιςϊςεισ κίνθςθσ του ςυςτιματοσ μασ Μεθοδοσ Lagrange Αρχικά κα πρζπει να οριςτοφν όλεσ οι πικανζσ κινιςεισ του ςυςτιματοσ μασ από τισ ελεφκερεσ ςυντεταγμζνεσ, (1.1) Στθν περίπτωςθ που υπάρχουνε γεωμετρικοί ι κινθματικοί ςφνδεςμοί ςε ζνα μθχανικό ςφςτθμα ο αρικμόσ των ςυντεταγμζνων k που απαιτείται για τθ περιγραφι τθσ κίνθςθσ μειϊνεται κατά ς,που αντιςτοιχεί ςτον αρικμό των ςυνκθκϊν που ςχετίηονται με τουσ εξαναγκαςμοφσ.οι ςυντεταγμζνεσ που απομζνουν ορίηονται από τισ γενικευμζνεσ ςυντεταγμζνεσ., (1.2) όπου f είναι ο βακμόσ ελευκερίασ του ςυςτιματοσ. Ζτςι οι k ελεφκερεσ ςυντεταγμζνεσ των f γενικευμζνων ςυντεταγμζνων ωσ : μποροφν να γραφτοφν ωσ ςυναρτιςεισ 14

15 (1.3) όπου το t δείχνει τθν επίδραςθ του χρόνου. Με όλεσ αυτζσ τισ ανεξάρτθτεσ μεταβολζσ μποροφν να οριςτοφν τα που είναι οι γενικευμζνεσ ςυντεταγμζνεσ (1.4) Επειδι τα διανφςματα κζςθσ εξαρτϊνται από τισ γενικευμζνεσ ςυντεταγμζνεσ, θ πραγματικι επίδραςθ μιασ εξωτερικισ δφναμθσ περιγράφεται ωσ: δw= = = (1.5) όπου είναι οι γενικευμζνεσ δυνάμεισ. Το δφναται να είναι δφναμθ όταν το είναι απόςταςθ και όταν το περιγράφει ροπι,το ςφςτθμα πρζπει να ςυμπεριλθφκοφν ςτο ςυνδζςμων. είναι γωνία Πλεσ οι δυνάμεισ και οι ροπζσ που δρουν ςτο,ακόμα και οι δυνάμεισ των ελαςτικϊν Τυπικζσ δυνάμεισ ελαςτικϊν μζςων,όπωσ οι δυνάμεισ του γραμμικοφ ελατθρίου,ι οι δυνάμεισ τθσ δυναμικισ γράφονται ωσ (1.6) όπου V είναι θ δυναμικι των δυνάμεων των ελαςτικϊν ςυνδζςμων. Θ ςυνάρτθςθ Lagrange ορίηεται ωσ (Cl dner, Holzweissing 1989) (1.7) όπου T, V είναι θ ολικι κινθτικι και δυναμικι ενζργεια του ςυςτιματοσ αντίςτοιχα Οι εξιςϊςεισ Lagrange δευτζρου τφπου δίνονται από τθ ςχζςθ - = (1.8) όπου είναι οι γενικευμζνεσ δυνάμεισ.πταν το περιζχει μθ ςυντθρθτικζσ δυνάμεισ δθλαδι δυνάμεισ τριβϊν που οδθγεί ςε μείωςθ τθσ ενζργειασ του ςυςτιματοσ κατά τθ διάρκεια τθσ κίνθςθσ,το μπορεί να περιγραφεί ωσ: - (1.9) 15

16 όπου Y : θ ςυνάρτθςθ Rayleigh : οι γενικευμζνεσ ςυντθρθτικζσ δυνάμεισ τθσ δυναμικισ Εφρεςη του μαθηματικοφ μοντζλου Στθν περίπτωςθ μασ οι ελεφκερεσ ςυντεταγμζνεσ είναι οι ορίηοντιοι άξονεσ x,y,ψ,α, και ςυνεπϊσ ο αρικμόσ των ελεφκερων ςυντεταγμζνων k είναι 4. Επειδι όμωσ θ κίνθςθ του κάκε μζλουσ του ςυςτιματοσ δεν είναι ανεξάρτθτθ από τθν κίνθςθ των υπολοίπων μελϊν,ο αρικμόσ των ςυντεγμζνων k που απαιτείται για τθν περιγραφι τθσ κίνθςθσ μειϊνεται κατά ς,ο οποίοσ αντιςτοιχεί ςτον αρικμό των ςυνκθκϊν που ςχετίηονται με τουσ εξαναγκαςμοφσ. Ο μθχανικόσ βακμόσ ελευκερίασ του ςυςτιματοσ ςφαίρασ-ράβδου προκφπτει ςφμφωνα με τουσ Goldner και Holzweissig (1989),μειϊνοντασ τισ τζςςερισ πικανζσ κινιςεισ ςε f=2.ζτςι οι γενικευμζνεσ ςυντεταγμζνεσ είναι τζςςερισ(k=4) και ο αρικμόσ των ςυντεταγμζνων που ςχετίηονται με τουσ εξαναγκαςμοφσ είναι ς=k-f=2. Το γενικό ςφςτθμα ςφαίρασ ράβδου φαίνεται ςτο ςχιμα 1.1,ενϊ ςτο ςχιμα 1.2 φαίνεται ακριβϊσ το μθχανικό μασ ςφςτθμα πωσ υλοποιείται.αντίςτοιχα ςτο ςχιμα 1.3 φαίνεται το διάνυςμα κζςθσ x(t) τθσ ςφαίρασ,οι δυνάμεισ βάρουσ mg και θ γωνία α που εμφανίηει εκείνθ τθ χρονικι ςτιγμι θ ράβδοσ. 16

17 Σχιμα 1.1: Σφςτθμα ςφαίρασ-ράβδου Σχιμα 1.2: Το μθχανικό ςφςτθμα ςφαίρασ ράβδου 17

18 Σχιμα 1.3: Σφςτθμα ςφαίρασ-ράβδου Tότε οι δφο ελεφκερεσ ςυντεταγμζνεσ μποροφν να γραφοφν ωσ ςυναρτιςεισ των δφο γενικευμζνων ςυντεταγμζνων ωσ και (1.1) Ζτςι θ δυναμικι ςυμπεριφορά τθσ ςφαίρασ πρζπει να περιγραφεί ωσ προσ ζνα μεταβαλλόμενο ςφςτθμα αναφοράσ x,y και ωσ προσ ζνα ςτακερό ςφςτθμα ςυντεταγμζνων ξ,η(αδρανειακό ςφςτθμα ςυντεταγμζνων),όπωσ φαίνεται ςτο Σχιμα

19 Σχιμα 1.4:Κακοριςμόσ του διανφςματοσ κζςθσ τθσ ςφαίρασ Δεδομζνου τθσ φπαρξθσ αιςκθτιρων μζτρθςθσ τθσ κζςθσ τθσ ςφαίρασ x και τθσ γωνίασ τθσ ράβδου a, για τον ελεγκτι κατάςταςθσ επιλζγονται οι ακόλουκεσ μεταβολζσ: μεταβολι τθσ κζςθσ τθσ ςφαίρασ (1.11) μεταβολι τθσ γωνίασ τθσ ράβδου Κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ H κινθτικι ενζργεια Τ δίνεται από το άκροιςμα τθσ κινθτικισ ενζργειασ τθσ ςφαίρασ και τθσ κινθτικισ ενζργειασ τθσ ράβδου.ζτςι όπου (1.12) = + (1.13) όπου είναι το άκροιςμα από τθ μεταφορικι και τθ περιςτροφικι κίνθςθ τθσ ςφαίρασ αντίςτοιχα 19

20 και (1.14) Θ ταχφτθτα τθσ ςφαίρασ κακϊσ και θ γωνιακι τθσ ταχφτθτα πρζπει να οριςκοφν ωσ ςυναρτιςεισ των γενικεφμενων ςυντεταγμζνων.το ςχιμα 4 δείχνει όλεσ τισ μεταβλθτζσ που χρειάηονται για τθν εφρεςθ τθσ ςχζςθσ τθσ ταχφτθτασ με το αδρανειακό ςφςτθμα ξ,η.θ ςχζςθ που δίνει τθν Hagedorn 199,Θering u.a 1992) είναι (1.15) Με βάςθ το διάνυςμα κζςθσ ωσ προσ το ςχετικό ςφςτθμα x,y και με =[ προκφπτει από τθν εξίςωςθ (1.15) θ ςχζςθ = + = (1.16) Ζτςι θ ταχφτθτα τθσ ςφαίρασ δίνεται από τθ ςχζςθ Ζνασ εναλλακτικόσ κακοριςμόσ του δίνεται από τισ δφο διαφορικζσ εξιςϊςεισ που περιγράφουν τισ καρτεςιανζσ ςυντεταγμζνεσ του κζντρου τθσ ςφαίρασ ωσ προσ το αδρανειακό ςφςτθμα. (1.17) (1.18) = (1.19) Για τον προςδιοριςμό τθσ γωνιακισ ταχφτθτασ πρζπει να λθφκεί υπ όψιν ότι προκφπτει από τθν περιςτροφι τθσ ςφαίρασ και από τθ περιςτροφι τθσ ράβδου ςφμφωνα με τισ εξιςϊςεισ. Γενικά,θ γωνιακι ταχφτθτα ενόσ μζλουσ ενόσ ςυςτιματοσ που περιλαμβάνει δφο μεταβολζσ γωνίασ και δίνεται ςφμφωνα με τον Frik(1994) από τθ ςχζςθ = +.Ζτςι θ γωνιακι ταχφτθτα τθσ ςφαίρασ κα είναι + = + (1.2) 2

21 Ειςάγοντασ τισ ςχζςεισ (1.17) και (1.2) ςτθν (1.12) προκφπτει θ κινθτικι ενζργεια ωσ προσ τισ γενικευμζνεσ ςυντεταγμζνεσ ( + )) (1.21) Δυναμικι ενζργεια του ςυςτιματοσ Θ δυναμικι ενζργεια του ςυςτιματοσ υπολογίηεται από τουσ ακόλουκουσ ςυντθρθτικοφσ όρουσ: 1.τθ δυναμικι ενζργεια τθσ ςφαίρασ που είναι : (ςχιμα 1.5) 2.τθ δυναμικι ενζργεια του ελατθρίου που είναι: Άρα (1.22) (1.23) V= + (1.24) Σχιμα 1.5 Δυναμικι ενζργεια τθσ ςφαίρασ. 21

22 Μθ ςυντθρθτικζσ δυνάμεισ του ςυςτιματοσ Θ μόνθ μθ ςυντθρθτικι δφναμθ του ςυςτιματοσ είναι θ γραμμικι τριβι ολίςκθςθσ. Ζτςι θ μθ-ςυντθρθτικι δφναμθ Rayleigh ςυνάρτθςθ δίνεται από τθν Υ= (1.25) Χρθςιμοποιϊντασ τϊρα τθν εξίςωςθ Lagrange (1.8), οι εξιςϊςεισ κίνθςθσ του μθχανικοφ ςυςτιματοσ που προκφπτουν παραγωγίηοντασ ωσ προσ τισ γενικευμζνεσ ςυντεταγμζνεσ και ωσ προσ το χρόνο είναι οι ακόλουκεσ*2+ + (1.26) (1.27) 22

23 1.2.3 Παράμετροι του ςυςτήματοσ Στον πίνακα 1.1 βλζπουμε όλεσ τισ φυςικζσ παραμζτρουσ του ςυςτιματοσ ςφαίρασ-ράβδου. m Μάηα ςφαίρασ b Συντελεςτισ τριβισ των μθχανικϊν μερϊν g Στακερά βαρφτθτασ K Στακερά ελατθρίου r Ακτίνα ςφαίρασ(απόςταςθ από το κζντρο τθσ ςφαίρασ ωσ τθν επιφάνεια τθσ ράβδου) L Απόςταςθ εφαρμοηόμενθσ δφναμθσ οπι αδράνειασ ςφαίρασ Ακτίνα ράβδου οπι αδράνειασ ράβδου u(t) είςοδοσ Μ Μάηα ράβδου Πίνακασ 1.1 Παράμετροι του ςυςτιματοσ 1.3 Προςεγγιςτικό μοντζλο Διαφορικζσ εξιςϊςεισ κίνηςησ Επειδι το υπό μελζτθ ςφςτθμα παρουςιάηει μεγάλο βακμό δυςκολίασ λόγω τθσ φπαρξθσ εξαιρετικά μθ γραμμικϊν όρων,κα κάνουμε κάποιεσ απλοποιιςεισ ςτισ φυςικζσ παραμζτρουσ,οι οποίεσ όμωσ δε κα αλλοιϊςουν ςθμαντικά το πραγματικό μοντζλο. 23

24 Θεωροφμε λοιπόν ότι θ ςφαίρα είναι ςθμειακι δθλαδι θ ακτίνα r κα είναι μθδζν και άρα θ ροπι αδράνειασ τθσ ςφαίρασ κα είναι μθδενικι.επίςθσ κα κεωριςουμε ότι θ είςοδοσ θ οποία εφαρμόηεται ςτθ ράβδο δεν είναι δφναμθ,αλλά μία ροπι τ θ οποία εφαρμόηεται ςτο κζντρο τθσ ράβδου.ουςιαςτικά κεωροφμε ότι ο κινθτιρασ βρίςκεται ςτον κατακόρυφο άξονα που περνάει από το μζςο τθσ ράβδου.αυτι θ υπόκεςθ δεν απζχει πολφ από τθ πραγματικότθτα και κα εξθγιςουμε το λόγο αμζςωσ παρακάτω. Ππωσ ςε όλα ςχεδόν τα μθχανικά ςυςτιματα ζτςι και ςτο δικό μασ θ είςοδοσ προκαλείται από κάποια θλεκτρικι μθχανι. Ριο ςυγκεκριμζνα υπάρχει ζνασ κινθτιρασ ςτον οποίο εφαρμόηεται μία τάςθ με αποτζλεςμα να περιςτρζφεται ο ρότορασ και άρα και θ αλυςίδα,θ οποία ςυνδζεται με τθ ράβδο.στθν επιφάνεια του ρότορα υπάρχουν γρανάηια ςτα οποία γατηϊνεται θ αλυςίδα κακϊσ περιςτρζφεται.αν για παράδειγμα ο ρότορασ περιςτραφεί αντιορολογιακά τότε ουςιαςτικά εφαρμόηεται μία δφναμθ F ςτο αριςτερό άκρο τθσ ράβδου με φορά προσ τα κάτω και μία δφναμθ -F ςτο δεξί άκρο με φορά προσ τα πάνω με αποτζλεςμα θ ράβδοσ να ανεβαίνει προσ τα πάνω.ουςιαςτικά αυτζσ οι δφο δυνάμεισ ιςοδυναμοφν με μία ροπι που εφαρμόηεται ςτο κζντρο τθσ ράβδου,θ οποία και τθν περιςτρζφει. Είμαςτε λοιπόν τϊρα ςε κζςθ να παρουςιάςουμε το μοντζλο του ςυςτιματοσ με το οποίο κα αςχολθκοφμε. Οι διαφορικζσ εξιςϊςεισ που περιγράφουν τθν κίνθςθ τθσ ςφαίρασ και τθσ ράβδου αντίςτοιχα είναι : Περιγραφή ςτον χϊρο κατάςταςησ (1.28) (1.29) Ορίηουμε ότι το διάνυςμα κατάςταςθσ είναι το,όπου:,θ κζςθ τθσ ςφαίρασ (1.3),θ ταχφτθτα τθσ ςφαίρασ (1.31),θ γωνία τθσ ράβδου (1.32),θ γωνιακι ταχφτθτα τθσ ράβδου (1.33) Πςον αφορά τθν εξαγωγι των καταςτατικϊν εξιςϊςεων κα κάνουμε χριςθ και των ςχζςεων (1.28) και (1.29) 24

25 Ραραγωγίηοντασ τθν (1.3) κα πάρουμε που λόγω τθσ (1.31) κα προκφψει: (1.34) Πμοια αν παραγωγιςτεί θ (1.31) κα πάρουμε: (1.35) Αντικακιςτϊντασ τθν (1.35) ςτθν (1.28) κα πάρουμε: (1.36) από το οποίο προκφπτει αν αντικαταςτιςουμε τθν (1.3),(1.32),(1.33) (1.37) και επίςθσ είναι (1.38) Επιπλζον βρίςκουμε ότι: (1.39) Αντικακιςτϊντασ τθ ςχζςθ (1.39),(1.38),(1.31) ςτθν (1.29) κα πάρουμε: από όπου τελικά προκφπτει ότι : (1.4) Ζτςι οι καταςτατικζσ εξιςϊςεισ κα είναι ςφμφωνα με τισ ςχζςεισ (1.34),(1.37),(1.38),(1.4) (1.41) Ππωσ παρατθροφμε το μακθματικό μοντζλο (1.41) που περιγράφει το ςφςτθμα μασ είναι μθ γραμμικό,κακϊσ υπάρχουν μθ γραμμικοί όροι όπωσ οι.επιπλζον οι τζςςερισ καταςτάςεισ είναι εξαρτθμζνεσ και δεν μποροφμε να τισ διαχωρίςουμε.(όπωσ οι ) 25

26 1.4 φνοψη κεφαλαίου Στο κεφάλαιο αυτό αςχολθκικαμε με το ςφςτθμα ςφαίρασ-ράβδου. Το υπό ζλεγχο ςφςτθμα αποτελείται από μια ομογενι ράβδο θ οποία διζρχεται επί ενόσ άξονα ευριςκομζνου ςτο μζςο τθσ και μπορεί να περιςτρζφεται γφρω από αυτόν. Επί τθσ ράβδου υπάρχει ομογενισ ςφαίρα θ οποία μπορεί να κυλά κατά μικοσ αυτισ. Θ παράμετροσ ελζγχου του ςυςτιματοσ είναι θ δφναμθ που εφαρμόηεται ςτα άκρα τθσ ράβδου. Γενικά ςτόχοσ του ελζγχου είναι θ κίνθςθ τθσ ςφαίρασ κατά κάποιον προδιαγεγραμμζνο, επικυμθτό τρόπο. Αρχικά περιγράψαμε το ςφςτθμα.εν ςυνεχεία προβικαμε ςε μοντελοποίθςθ του με τθ χριςθ τθσ εξίςωςθσ Lagrange δεφτερθσ τάξθσ και βρικαμε το μακθματικό μοντζλο εκφράηοντασ τισ ελεφκερεσ ςυντεταγμζνεσ βάςθ των γενικευμζνων από τθν εξίςωςθ Langrange.Ζγινε εξαγωγι των εξιςϊςεων κίνθςθσ του μθχανικοφ ςυςτιματοσ ωσ προσ τισ γενικευμζνεσ ςυντεταγμζνεσ.ωςτόςο επειδι το υπό μελζτθ ςφςτθμα παρουςιάηει μεγάλο βακμό δυςκολίασ λόγω τθσ φπαρξθσ εξαιρετικά μθ γραμμικϊν όρων, χρειάςτθκε να κάνουμε κάποιεσ απλοποιιςεισ ςτισ φυςικζσ παραμζτρουσ,οι οποίεσ όμωσ δε κα αλλοιϊςουν ςθμαντικά το πραγματικό μοντζλο. Θεωριςαμε ότι θ ςφαίρα είναι ςθμειακι δθλαδι θ ακτίνα r κα είναι μθδζν και άρα θ ροπι αδράνειασ τθσ ςφαίρασ κα είναι μθδενικι.επίςθσ κεωριςαμε ότι θ είςοδοσ θ οποία εφαρμόηεται ςτθ ράβδο δεν είναι δφναμθ,αλλά μία ροπι τ θ οποία εφαρμόηεται ςτο κζντρο τθσ ράβδου.ουςιαςτικά κεωριςαμε ότι ο κινθτιρασ βρίςκεται ςτον κατακόρυφο άξονα που περνάει από το μζςο τθσ ράβδου. Βάςθ των παραπάνω παραδοχϊν οι διαφορικζσ εξιςϊςεισ που περιγράφουν τθν κίνθςθ τθσ ςφαίρασ και τθσ ράβδου αντίςτοιχα τροποποιθκικανε όπωσ παρακάτω : (1.28) Από τθ ςχζςθ (1.28) μπορζςαμε να εξάγουμε το μοντζλο ςτο χϊρο κατάςταςθσ. Ορίςαμε ότι το διάνυςμα κατάςταςθσ είναι το,όπου,θ κζςθ τθσ ςφαίρασ (1.3),θ ταχφτθτα τθσ ςφαίρασ (1.31),θ γωνία τθσ ράβδου (1.32) 26

27 ,θ γωνιακι ταχφτθτα τθσ ράβδου (1.33) Και με λίγεσ πράξεισ καταλιξαμε ςτο μθ γραμμικό μοντζλο 4 θσ τάξθσ το οποίο βρικαμε ότι είναι: (1.41) Ραρατθροφμε ότι ζχουμε μθ γραμμικοφσ όρουσ.επιπλζον οι τζςςερισ καταςτάςεισ είναι εξαρτθμζνεσ και δεν μποροφμε να τισ διαχωρίςουμε.(όπωσ οι.είναι επιτακτικι θ ανάγκθ να εφαρμόςουμε τθ μζκοδο του feedback linearization για τθ γραμμικοποίθςθ του ςυςτιματοσ,κάτι το οποίο κα δειχκεί αναλυτικά ςτο κεφάλαιο 4.Στο δεφτερο κεφάλαιο κα ακολουκιςει γραμμικοποίθςθ του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ με χριςθ τθσ ςειράσ Taylor για να παρατθριςουμε ποιεσ τεχνικζσ γραμμικοφ ελζγχου εφαρμόηονται και ποια είναι τα βαςικά χαρακτθριςτικά του ςυςτιματοσ μασ. 27

28 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΗ ΣΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΜΕ ΣΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΗ ΕΙΡΑ TAYLOR 2.1 Εξαγωγή του γραμμικοποιημζνου μοντζλου ςτο χϊρο κατάςταςησ. Μία ππώτη πποσέγγιση στη πποσπάθεια σταθεποποίησηρ τος εν λόγω σςστήματορ,είναι η ευαπμογή τηρ θεωπίαρ ελέγσος γπαμμικών σςστημάτων.για το λόγο αςτό κπίνοςμε σκόπιμο να γπαμμικοποιήσοςμε το μη-γπαμμικό μοντέλο(1.41).η γπαμμικοποίηση αςτή είναι η κλασική Ιακωβιανή γπαμμικοποίηση πος γίνεται με τη σπήση τηρ σειπάρ Taylor γύπω από το σημείο ισοπποπίαρ τος σςστήματορ,όπωρ θα παποςσιάσοςμε παπακάτω. Οι καταστατικέρ εξισώσειρ τος μοντέλος έιναι οι κάτωθι: (1.41) Θα γραμμικοποιιςουμε το ςφςτθμα με τθ βοικεια τθσ ςειράσ Taylor.Αρχικά πρζπει να βροφμε το ςθμείο ιςορροπίασ του. και κάνωντασ τισ λιγοςτζσ πράξεισ προκφπτει ότι : (εκεί ιςορροπεί το ςφςτθμα) ςθμείο ιςορροπίασ είναι το επιλζγεται και κατα προζκταςθ προκφπτει : όπου Οπότε αναλφουμε το ςφςτθμα με τθ ςειρά Taylor και απαλείφουμε τουσ μθ γραμμικοφσ όρουσ. (2.1) 28

29 Θ ςειρά Taylor ςτθ γενικι μορφι τθσ γφρω από ζνα ςθμείο α δίνεται από τον ακόλουκο τφπο: (2.1a) Στθ περίπτωςθ μασ εφαρμόηουμε τθ ςειρά Taylor γφρω από το ςθμείο ιςορροπίασ χωρίσ να λαμβάνουμε υπ οψιν ανϊτερουσ όρουσ παραγωγίςθσ,πετυχαίνοντασ με αυτό το τρόπο μία ςχετικι ακρίβεια. (2.2) Εκτελϊντασ τισ πράξεισ και αντικακιςτϊντασ το ςθμείο ιςορροπίασ (2.1) ςτθ ςχζςθ (2.2) κα προκφψει ςχζςθ τθσ μορφισ Θ ςχζςθ (2.3) αποτελεί το γραμμικοποιθμζνο μοντζλο του ςυςτιματοσ ςφαίρασ ράβδου όπου : (2.3) (2.4) Μετά από κάποιουσ υπολογιςμοφσ προκφπτει: A= mg / Iw 1 g 1 (2.5) 29

30 και Β= 1/ Iw Στθν ςυνζχεια υπολογίηουμε τισ ιδιοτιμζσ τθσ μιτρασ Α για να εξεταςτεί θ ευςτάκεια κατά Lagrange.Ρροκφπτουν λοιπόν οι κάτωκι ιδιοτιμζσ: (2.6) Ππωσ είναι φανερό δεν λιφκθκε υπϋόψιν κάποια τιμι για τα τθ ροπι αδράνειασ τθσ ράβδου, και τθν επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ αλλά και ςε αυτι τθ περίπτωςθ είναι δυνατόν να φανεί ότι το γραμμικοποιθμζνο ςφςτθμα είναι αςτακζσ αφοφ υπάρχει γενικά ιδιοτιμι με κετικό πραγματικό μζροσ άρα δε επαλθκεφεται θ ευςτάκεια κατά Lagrange.Το ςφςτθμα δεν είναι ευςτακζσ ςτο ςθμείο ιςορροπίασ. Το γραμμικοποιθμζνο ςφςτθμα μπορεί να γραφτεί ςε μορφι ςφμφωνθ με τθ ςχζςθ (2.3) δθλαδι mg / Iw 1 g 1 + 1/ Iw (2.7) 3

31 Για να μποροφμε να τοποκετιςουμε τισ ιδιοτιμζσ του ςυςτιματοσ ςτα ςθμεία που επικυμοφμε,ςφμφωνα με τθ κεωρία ελζγχου γραμμικϊν ςυςτθμάτων,ικανι και αναγκαία ςυνκικθ είναι το ςφςτθμα μασ να είναι ελζγξιμο.επιπλζον θ μονάδα που εκτιμά κάκε χρονικι ςτιγμι τθ κατάςταςθ καλείται παρατθρθτισ,και ςυνεπϊσ θ παρατθρθςιμότθτα είναι θ ιδιότθτα που μασ επιτρζπει να προςδιορίςουμε οποιαδιποτε χρονικι ςτιγμι τθ κατάςταςθ. 2.2 Ζλεγχοσ ελεγξιμότητασ και παρατηρηςιμότητασ του γραμμικοποιημζνου ςυςτήματοσ. Ασ δοφμε λοιπόν τϊρα αν το γραμμικοποιθμζνο ςφςτθμα είναι ελζγξιμο και παρατθριςιμο. Ο πίνακασ ελεγξιμότθτασ είναι : 1/ Iw 1/ Iw g / Iw g / Iw (2.8) Για να είναι ελζγξιμο κα πρζπει θ ορίηουςα του S να είναι διάφορθ του μθδενόσ,δθλαδι ο C να είναι πλιρουσ τάξεωσ. Πντωσ πλιρωσ ελζγξιμο. ςυνεπϊσ το γραμμικοποιθμζνο ςφςτθμα είναι Αν θ ιδιοτιμι,θ οποία ζχει κετικό πραγματικό μζροσ,δεν ιταν ελζγξιμθ τότε το ςφςτθμα δε κα ιταν ςτακεροποιιςιμο και ςυνεπϊσ δε κα ιταν εφικτι θ ςτακεροποίθςθ του. Αντίςτοιχα,ο πίνακασ παρατθρθςιμότθτασ είναι: 1 1 g g (2.9) 31

32 και Άρα το γραμμικοποιθμζνο ςφςτθμα είναι πλιρωσ παρατθριςιμo.από τα παραπάνω ςυμπεραίνουμε ότι υπάρχει κάποιοσ γραμμικόσ ζλεγχοσ με τθ βοικεια του οποίου μποροφμε να τοποκετιςουμε τισ ιδιοτιμζσ του ςυςτιματοσ κλειςτοφ βρόχου όπου επικυμοφμε,ϊςτε το ςφςτθμα να είναι ευςτακζσ. 2.3 φνοψη κεφαλαίου Στο κεφάλαιο αυτό αςχολθκικαμε με τθ γραμμικοποίθςθ του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ με χριςθ τθσ ςειράσ Taylor.Από το μθ γραμμικό μοντζλο του ςυςτιματοσ ςτο χϊρο κατάςταςθσ βρικαμε το ςθμείο ιςορροπίασ με τθν εξίςωςθ και καταλιξαμε ςτο διάνυςμα κατάςταςθσ : Στθ ςυνζχεια αναλφςαμε το ςφςτθμα ςε ςειρά Taylor γφρω από το ςθμείο ιςορροπίασ απαλείφοντασ τουσ μθ γραμμικοφσ όρουσ οπότε προζκυψε το γραμμικοποιθμζνο μοντζλο τθσ μορφισ Αςχολθκικαμε με τθν ευςτάκεια του γραμμικοποιθμζνου ςυςτιματοσ,ωςτόςο αποδείχκθκε ότι το ςφςτθμα ζχει ιδιοτιμι με κετικό πραγματικό μζροσ άρα αςτακζσ.με τθ χριςθ Matlab υπολογίςαμε τθ μθτρα ελεγξιμοτθτασ και βρικαμε τθν τάξθ τθσ και ότι το ςφςτθμα είναι ελζγξιμο και ςυνεπϊσ μποροφμε να τοποκετιςουμε με γραμμικό ζλεγχο τισ ιδιοτιμζσ του ςυςτιματοσ εκεί που επικυμοφμε,ωςτε το ςφςτθμα να είναι ευςτακζσ.αντίςτοιχα υπολογίςαμε τθ μιτρα παρατθρθςιμότθτασ και βρικαμε ότι το ςφςτθμα είναι πλιρωσ παρατθριςιμο.στο κεφάλαιο 3 κα γίνουνε προςομοιϊςεισ με χριςθ λογιςμικοφ Matlab/Simulink για το μθ γραμμικό και το γραμμικοποιθμζνο ςφςτθμα αντίςτοιχα. 32

33 3.ΠΡΟΟΜΟΙΩΗ ΣΟΤ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΚΑΙ ΣΟΤ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ ΚΑΣΑ TAYLOR 3.1 Προςομοίωςη του μη γραμμικοφ ςυςτήματοσ ςφαίρασ ράβδου. Ππωσ βρικαμε ςτο προθγοφμενο κεφάλαιο 1 οι καταςτικζσ εξιςϊςεισ ςτο χϊρο κατάςταςεισ του μθ γραμμικοφ μοντζλου είναι οι παρακάτω: (1.41) Σχιμα.3.1 Σφςτθμα ςφαίρασ-ράβδου. 33

34 Θ προςομοίωςθ του ςυςτιματοσ κα γίνει κατευκείαν απο τισ εξιςϊςεισ κίνθςθσ Lagrange.Σε αυτό το ςθμείο αξίηει να ςθμειωκεί ότι θ ςυμπεριφορά του μθ γραμμικοφ μοντζλου πρζπει να μθ διαφζρει ιδιαίτερα απο του γραμμικοποιιμενου.για τθ προςομοίωςθ του ςυςτιματοσ (1.41) κα γίνει χριςθ του λογιςμικοφ Simulink του Matlab21a.Το διάγραμμα block που ςχεδιάςαμε ςτο Simulink για τθ προςομοίωςθ του μθ γραμμικοφ μοντζλου είναι το παρακατω: 1 theta d/l Gain1 alpha f(u) 1 s ball beam lagrancian model1integrator3 d/dt(r) 1 s Integrator2 r 1 r1 du/dt Derivative Σχιμα.3.2 Διάγραμμα block ςτο simulink του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ ςφαίρασ ράβδου. Για λόγουσ απλότθτασ του παραπάνω block διαγράμματοσ κα το ειςάγουμε ολόκλθρο ςε ζνα subsystem ςτο simulink με είςοδο theta,θ οποία είναι θ γωνία του βραχίονα ςε ςχζςθ με το ςερβοκινθτιρα που προκαλεί τθ περιςτροφι τθσ ράβδου.θα προκφψει το παρακάτω διάγραμμα block,ςτο οποίο κα ςυνδζςουμε ζνα scope για τθν ζξοδο και είναι θ κζςθ τθσ ςφαίρασ πάνω ςτο ράβδο. 34

35 theta r1 Step ballbeamnonlinearmodel Scope Σχιμα 3.3 Τελικό διάγραμμα προςομοίωςθσ ςφαίρασ ράβδου. Ρρωτοφ κάνουμε τθ προςομοίωςθ πρζπει να ορίςουμε τιμζσ για τα μεγζκθ,οπότε τρζχουμε ςε ζνα παράλλθλο script το κϊδικα: m =.1; R =.1; g = -9.8; L = 2.; d =.5; J =1/6; Τϊρα είμαςτε ςε κζςθ να τρζξουμε τθ προςομοίωςθ του ςυςτιματοσ για τα πρϊτα 1 δευτερόλεπτα.ρρωτοφ βγάλουμε τα αποτελζςματα μασ για τθ κζςθ τθσ ςφαίρασ περιμζνουμε αυτό να πθγαίνει ςε αςτάκεια ςχετικά γριγορα.θ προςομοίωςθ κα μασ δϊςει το ςχιμα 3.4: 35

36 Σχιμα.3.4 Απόκριςθ εξόδου κζςθσ τθσ ςφαίρασ για το μθ γραμμικό μοντζλο ανοιχτου βρόχου ςε βθματικι είςοδο. Από το Σχιμα.3.4. για τθν απόκριςθ εξόδου,όπωσ ιταν και αναμενόμενο το ςφςτθμα ανοιχτοφ βρόχου είναι αςτακζσ προκαλϊντασ να φεφγει θ ςφαίρα ςε μερικά δευτερόλεπτα(ςε 4 δευτερόλεπτα αφου επιλζξαμε μικοσ ράβδου L=2m).Συνεπϊσ χρειάηεται κάποιοσ ζλεγχοσ για να επιτευχκεί ευςτάκεια του ςυςτιματοσ χεδίαςη ελεγκτή Lead και προςομοίωςη μη γραμμικοφ ςυςτήματοσ κλειςτοφ βρόχου. Σε αυτό το ςθμείο κα προςπακιςουμε να βροφμε κάποιον ελεγκτι ϊςτε το μθ γραμμικό ςφςτθμα κλειςτοφ βρόχου να είναι ευςτακζσ.ζςτω ότι ζχουμε τον ελεγκτι Lead με ςυνάρτθςθ μεταφοράσ : (3.1) Επιλζγουμε τον πόλο του ελεγκτι να είναι αρνθτικόσ και το μθδενικό του ελεγκτι να είναι μικρότερο απο τον πόλο του όπωσ ορίηεται ο Lead ελεγκτισ. Θα προκφψει το κάτωκι διάγραμμα ςτο Simulink με τον Lead Ελεγκτι. 36

37 Σχιμα 3.5 Δίαγραμμα υλοποίθςθσ μθ γραμμικό με ελεγκτι Lead Θ απόκριςθ του παραπάνω για βθματικι είςοδο μασ φανερϊνει ότι το μθ γραμμικό ςφςτθμα πλζον είναι ευςτακζσ. Σχιμα 3.6 Απόκριςθ μθ γραμμικοφ για Lead ελεγκτι. 37

38 Amplitude 3.2 Προςομοίωςη του γραμμικοποιημζνου κατά Taylor ςυςτήματοσ. Θα προχωριςουμε τϊρα ςτθ προςομοίωςθ του γραμμικοποιθμζνου κατά Taylor ςυςτιματοσ του οποίου το καταςτατικό μοντζλο υπολογίςτθκε ςτο κεφάλαιο 2 και είναι το παρακάτω ςφμφωνα με τθ ςχζςθ (2.3): mg / Iw 1 g 1 + 1/ Iw (2.3) Ππου ζχωντασ τισ τιμζσ (A) για τθν προςομοίωςθ το καταςτατικό μοντζλο γράφεται για Matlab και προςομοιϊνεται και κα λάβουμε τθν παρακάτω απόκριςθ για βθματικι είςοδο και για ράμπα αντίςτοιχα. ςτο 2.5 x 129 Step Response Time (sec) Σχιμα.3.7 Βθματικι απόκριςθ του γραμμικοποιθμζνου κατά Taylor ςυςτιματοσ ςφαίρασ ράβδου. 38

39 Amplitude Είμαςτε ςε κζςθ να παρατθριςουμε κάποιεσ μικρζσ διαφορζσ ςτισ δφο αποκρίςεισ ωςτόςο δε μασ ενδιαφζρει αυτό κακϊσ τα αποτελζςματα προςομοίωςθσ μασ ςυμπίμπτουν με τα κεωρθτικά μασ εξαιτίασ τθσ κετικισ ιδιοτιμισ του γραμμικοποιθμζνου κατά Taylor καταςτατικοφ μοντζλου και το ςφςτθμα εξακολουκεί να είναι αςτακζσ.θ γραμμικοποιιςθ που κάναμε δε μασ χρθςίμευςε κάπου.θα χρειαςτεί να εφαρμόςουμε τθ τεχνικι επανατοποκζτθςθσ πόλων για τον ζλεγχο του. 6 x 129 Impulse Response Time (sec) Σχιμα.3.8 Κρουςτικι απόκριςθ του γραμμικοποιθμζνου κατά Taylor ςφαίρασ ράβδου. ςυςτιματοσ 39

40 Θα προβοφμε ςε αντίςτοιχθ υλοποίθςθ και ςτο simulink για να δοφμε αν βγάλουμε όμοια ςυμπεράςματα για το γραμμικοποιθμζνο ςφςτθμα.αν τρζξουμε το κϊδικα μασ ςτο Matlab για τισ επιλεγμζνεσ τιμζσ των προκφπτει το ακόλουκο μοντζλο: (3.1) Θα ςχεδιάςουμε το ακόλουκο διάγραμμα ςτο simulink: Step x' = Ax+Bu y = Cx+Du State-Space Scope Σχιμα.3.7 Διάγραμμα γραμμικοποιθμζνου ςτο simulink. Στο κουτί για state-space ειςάγω τουσ πίνακεσ του γραμμικοποιθμζνου μοντζλου και προςομοιϊνω το ςφςτθμα για 1 δευτερόλεπτα με βθματικι είςοδο και αρχικι κζςθ για τθ ςφαίρα.θα λάβουμε το ακόλουκο διάγραμμα ςτθν ζξοδο του scope: 4

41 Σχιμα.3.8 Βθματικι απόκριςθ του γραμμικοποιθμζνου για τα πρώτα 1 δευτερόλεπτα ςτο simulink Και ςε αυτι τθ περίπτωςθ προκφπτει ότι το ςφςτθμα ανοικτοφ βρόχου είναι αςτακζσ εξαιτίασ τθσ ιδιοτιμισ με κετικό πραγματικό μζροσ Προςομοίωςη γραμμικοποιημζνου κλειςτοφ βρόχου και ζλεγχοσ. Το μπλοκ δίαγραμμα για αυτι τθ περίπτωςθ και θ ανάδραςθ για τθ κζςθ τθσ ςφαίρασ φαίνεται ςτο ςχιμα που ακολουκεί. είςοδοσ + - Ελεγκτισ Μοντζλο ςφαίρασράβδου ζξοδοσ Σχιμα 3.9 Δίαγραμμα μπλοκ κλειςτοφ βρόχου γραμμικοφ ςυςτιματοσ ςφαίρασ ράβδου. 41

42 Amplitude Αρχικά κα εξετάςουμε τθ απόκριςθ του ςυςτιματοσ όταν χρθςιμοποιείται αναλογικόσ ζλεγχοσ.ζπειτα κα χρθςιμοποιθκεί διαφορικόσ θ ολοκλθρωτικόσ ζλεγχοσ εάν κρικεί αναγκαίο.θ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ του ελεγκτι είναι θ ακόλουκθ: (3.2) Επιλζγωντασ μόνο αναλογικό ζλεγχο με κζρδοσ και με αρνθτικι μοναδιαία ανάδραςθ,θ απόκριςθ που κα λάβουμε κα δίνει αςτακζσ ςφςτθμα ανεξάρτθτα από τθν τιμι του. 8 x 113 Step Response Time (sec) Σχιμα 3.1 Απόκριςθ με P ζλεγχο για το γραμμικό ςφςτθμα κλειςτοφ βρόχου. Σε αυτό το ςθμείο κα προςκζςουμε διαφορικό όρο ςτον ελεγτι του ςυςτιματοσ και προςομοιϊνοντασ κα παρατθριςουμε τθν επιδραςθ του ςτθν απόκριςθ του.αν επιλζξουμε τα κζρδθ kp = 1; kd = 1; θ απόκριςθ του ςυςτιματοσ είναι θ παρακάτω: 42

43 Amplitude.5 x 113 Step Response Time (sec) Σχιμα 3.11 Απόκριςθ ςυςτιματοσ με PD ζλεγχο Ραρατθροφμε ότι δε λάβαμε τα επικυμθτά αποτελζςματα και για το λόγο αυτό προςκζτουμε και ολοκλθρωτικό ζλεγχο.με κζρδοσ kp =1; kd =1; ki= 1; θ απόκριςθ του ςυςτιματοσ είναι θ παρακάτω και γίνεται φανερό ότι και ςε αυτι τθ περίπτωςθ το ςφςτθμα πθγαίνει ςε αςτάκεια.συνεπϊσ ο ζλεγχοσ δε δοφλεψε ςωςτά. 43

44 Amplitude 16 Step Response Time (sec) Σχιμα 3.12 Απόκριςθ ςφςτθματοσ με PID ζλεγχο Επιπλζον ο γεωμετρικόσ τόποσ ριηϊν για το γραμμικοποιθμζνο ςφςτθμα φαίνεται παρακάτω: 44

45 Imaginary Axis 6 Root Locus Real Axis Σχιμα 3.13 Γεωμετρικόσ τόποσ ριηών για το γραμμικοποιιμενο ςφςτθμα Θ ςχεδίαςθ ενόσ Lead ελεγκτι ίςωσ δοφλευε ωςτόςο κα εφαρμοςτεί επανατοποκζτθςθ πόλων.το διάγραμμα μπλοκ τθσ ςχεδίαςθσ μασ είναι το ακόλουκο: R + y - Σχιμα 3.14 Διάγραμμα γραμμικοφ ςυςτιματοσ για τοποκζτθςθ πόλων Ασ κυμθκοφμε ότι το χαρακτθριςτικό πολυϊνυμο του ςυςτιματοσ κλειςτοφ βρόχου είναι το: (3.3) όπου είναι θ μεταβλθτι Laplace. 45

46 Για το ςυςτθμά μασ οι πίνακεσ είναι και οι δφο.συνεπϊσ πρζπει να υπάρχουν 4 πόλοι.στο ςχεδιαςμό του ελζγχου ανάδραςθσ μποροφμε να τοποκετιςουμε τουσ πόλουσ όπωσ κζλουμε.επιλζγουμε πόλουσ: Ρροςκζτοντασ τον πίνακα οι καταςτατικζσ εξιςϊςεισ μποροφν να γραφτοφν: (3.4) (3.5) Θα προςομοιϊςουμε το ςφςτθμα για βθματικι είςοδο για τα πρϊτα 15 δευτερόλεπτα να παρατθριςουμε τθν ευςτάκεια του.θα λθφκεί το ακόλουκο: Σχιμα 3.15 Απόκριςθ κλειςτοφ ςυςτιματοσ με επανατοποκζτθςθ πόλων 46

47 3.3 φνοψη κεφαλαίου. Στο κεφάλαιο αυτό εκτελζςαμε με τθ βοικεια του λογιςμικοφ Matlab- Simulink τισ προςομοιϊςεισ του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ (1.41).Στθ ςυνζχεια ελζγξαμε το μθ γραμμικό μοντζλο με ελεγκτι Lead και παρατθριςαμε ότι είναι ευςτακζσ με ζνα ςχετικό μόνιμο ςφάλμα.ρροςομοιϊκθκε το γραμμικοποιθμζνο κατά Τaylor γφρω από το ςθμείο ιςορροπίασ(2.3) με τιμζσ και προζκυψε και ςτισ δφο περιπτϊςεισ ότι είναι αςτακι και τα δφο ςυςτιματα και υπάρχει ιδιαίτερθ ανάγκθ για περαιτζρω ζλεγχο.εφαρμόςτθκε χωρίσ επιτυχία P,PI και PID ζλεγχοσ με αποτελζςμα να καταλιξουμε ςτθν τοποκζτθςθ ιδιοτιμϊν για το ςφςτθμα και να προκφψει αυτό ευςτακζσ.στο κεφάλαιο 4 κα προςπακιςουμε να υλοποιιςουμε τθν γραμμικοποίθςθ ειςόδου-κατάςταςθσ(input-state linearization). 47

48 4.FEEDBACK LINEARIZATION (ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΗ ΜΕ ΑΝΑΔΡΑΗ) Μία από τισ βαςικότερεσ μεκόδουσ μθ γραμμικοφ ελζγχου είναι θ feedback linearization,δθλαδι θ γραμμικοποίθςθ με ανάδραςθ.αυτι θ μζκοδοσ χρθςιμοποιείται κατά κόρον ςε μθ γραμμικά ςυςτιματα και ςυγκεκριμζνα ςε εφαρμογζσ ελικοπτζρων,ρομπότ και ιατρικά ςυςτιματα.θ βαςικι ιδζα είναι να εφαρμοςτεί ζνασ αλγεβρικόσ μεταςχθματιςμόσ του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ ςε ζνα ολικϊσ ι μερικϊσ γραμμικό,ϊςτε να εφαρμοςτοφν οι γνωςτζσ τεχνικζσ γραμμικοφ ελζγχου.θ τεχνικι του feedback linearization χρθςιμοποιείται για τθν απλοποίθςθ μοντζλων κατά τθν εφαρμογι ςκεναρϊν και προςαρμοςτικϊν ελεγκτϊν.υπάρχουν δφο διαφορετικζσ τεχνικζσ,θ input-state και θ input-output linearization.στθ γενικια μορφι τθσ θ προςζγγιςθ αυτι περιλαμβάνει τθν εφρεςθ ενόσ μεταςχθματιςμοφ του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ ςε γραμμικό,μζςα από ζνα μεταςχθματιςμό των μεταβλθτϊν και ζνα κατάλλθλο νόμο ελζγχου ωσ είςοδο.θ γραμμικοποίθςθ με ανάδραςθ μπορεί να εφαρμοςτεί ςε ςυςτιματα τθσ μορφισ: όπου, Ο ςτόχοσ μασ είναι να αναπτφξουμε μία είςοδο ελζγχου τθσ μορφισ: που να απεικονίηει ζνα γραμμικό μεταςχθματιςμό ειςόδουεξόδου μεταξφ τθσ νζασ είςοδου v και τθσ εξόδου. 4.1 Input-state linearization Ζςτω ζνα μθ γραμμικό ςφςτθμα τθσ μορφισ.θ input-state linearization τεχνικι λφνει το πρόβλθμα του ελζγχου ςε δφο βιματα. Βιμα 1 : Αρχικά πρζπει να βρεκεί ζνασ μεταςχθματιςμόσ κατάςταςθσ και ζνασ μεταςχθματιςμόσ ειςόδου ϊςτε το μθ γραμμικό ςφςτθμα να μεταςχθματιςτεί ςε ζνα γραμμικό χρονικϊσ αμετάβλθτο τθσ μορφισ: 48

49 Βιμα 2 : Το δεφτερο βιμα περιλαμβάνει τον ςχεδιαςμό ελεγκτι ςφμφωνα με τισ κλαςικζσ τεχνικζσ γραμμικοφ ελζγχου, όπωσ τοποκζτθςθ πόλων Οριςμοί Με ςκοπό να γίνει μία πιο λεπτομερι μελζτθ τθσ τεχνικισ του input-state linearization κεωροφμε το μθ γραμμικό ςφςτθμα μίασ ειςόδου τθσ μορφισ: όπου και είναι ομαλζσ διανυςματικζσ ςυναρτιςεισ. (4.1) Θα μελετιςουμε πότε ζνα τζτοιο ςφςτθμα μπορεί να γραμμικοποιθκεί από μεταςχθματιςμοφσ κατάςταςθσ και ειςόδου,πωσ βρίςκουμε τουσ μεταςχθματιςμοφσ αυτοφσ και πωσ ςχεδιάηουμε ελεγκτζσ βαςιςμζνουσ ςε τζτοιεσ γραμμικοποιιςεισ.οι παρακάτω οριςμοί βοθκοφν ςτθν καλφτερθ κατανόθςθ τθσ μεκόδου.(applied non linear control, Jean-Jacques Slotine, Weiping Li) Oριςμόσ 4.1.Ζνα μθ γραμμικό ςφςτθμα μίασ ειςόδου τθσ μορφισ (4.1) κεωρείται ότι μπορεί να γραμμικοποιθκεί με τθ τεχνικι γραμμικοποίθςθσ ειςόδου κατάςταςθσ (input-state linearizable) εάν υπάρχουν ςε μία περιοχι ςτο, μία ομαλι διανυςματικι ςυνάρτθςθ και ζνασ μθ γραμμικόσ ζλεγχοσ τζτοια ϊςτε οι καινοφργιεσ μεταβλθτζσ κατάςταςθσ και θ καινοφργια είςοδοσ να ικανοποιοφν γραμμικι χρονικά αμετάβλθτθ ςχζςθ (4.2) (4.3) Ππου (4.4) Ραρατθρείται ότι οι πίνακεσ Α και Β ζχουν μία ςυγκεκριμζνθ μορφι που εξαρτάται μόνο από τθ τάξθ του ςυςτιματοσ.ραρόλα αυτά θ γενικότθτα δεν χάνεται,γιατί ζνα γραμμικό ελζγξιμο ςφςτθμα μπορεί να κεωρθκεί ιςοδφναμο με το ςφςτθμα (4.4) φςτερα από ζνα κατάλλθλο μεταςχθματιςμό κατάςταςθσ. Για να ορίςουμε τισ προυποκζςεισ που πρζπει να πλθροφνται ϊςτε να βρεκοφν οι κατάλλθλοι μεταςχθματιςμοί κατάςταςθσ και ειςόδου,κα κάνουμε χριςθ κατάλλθλων τελεςτϊν τθσ άλεβρασ Lie. 49

50 Οριςμόσ 4.2.Ζςτω δφο διανφςματα και οριςμζνα ςτο.ωσ αγκφλθ Lie (Lie bracket) τθσ και είναι ζνα τρίτο διάνυςμα οριςμζνο ωσ : (4.5) Θ αγκφλθ Lie ςυχνότερα ςυναντάται ωσ,ενϊ οι επαναλαμβανόμενεσ αγκφλεσ Lie (Lie brackets) ορίηονται αντίςτοιχα: (4.6) (4.7) Οριςμόσ 4.3. Ζςτω μία ομαλι βακμωτι ςυνάρτθςθ και μία ομαλι διανυςματικι ςυνάρτθςθ.τότε ωσ παράγωγοσ Lie(Lie derivative) ορίηεται το διάνυςμα: Οι επαναλαμβανόμενεσ παράγωγοι Lie(Lie derivative) ορίηονται αντίςτοιχα: (4.8) (4.9) Ραρόμοια εάν είναι μία άλλθ διανυςματικι ςυνάρτθςθ,τότε θ βακμωτι ςυνάρτθςθ είναι : (4.1) Ζτςι εφκολα διαπιςτϊνουμε τθν ςχζςθ τθσ παραγϊγου του Lie(Lie derivative) με τα δυναμικά ςυςτιματα.για ζνα SISO ςφςτθμα ι γενικά για ςφςτθμα βακμοφ: Οι παράγωγοι τθσ εξόδου είναι... 5

51 Θεϊρημα 4.1.Το μθ γραμμικό ςφςτθμα με Ομαλζσ διανυςματικζσ ςυναρτιςεισ,μπορεί να γραμμικοποιθκεί με τθν τεχνικι γραμμικοποίθςθσ ειςόδου κατάςταςθσ (δθλαδι input-state linearization) εάν και μόνο εάν,υπάρχει μία περιοχι τζτοια ϊςτε να ιςχφουν οι ακόλουκεσ ςυνκικεσ: Τα διανφςματα είναι γραμμικϊσ ανεξάρτθτα ςτθ περιοχι Το Lie Bracket οποιουδιποτε ηεφγουσ από το set δίνει ζνα διάνυςμα που μπορεί να εκφραςτεί ωσ γραμμικόσ ςυνδυαςμόσ του αρχικοφ ςετ διανυςμάτων Τλοποίηςη τησ τεχνικήσ input-state linearization Για να υλοποιθκεί θ τεχνικι γραμμικοποίθςθ ειςόδου-κατάςταςθσ(input-state linearization) πρζπει να εκτελεςτοφν τα παρακάτω βιματα: Καταςκευάηουμε τα διανφςματα για το δεδομζνο ςφςτθμα. Ελζγχουμε αν ικανοποιοφνται οι ςυνκικεσ του κεωριματοσ 4.1Βρίςκουμε τθν πρϊτθ κατάςταςθ από τισ εξιςϊςεισ (4.11α) (4.11β) Υπολογίηουμε το μεταςχθματιςμό κατάςταςθσ (4.12) και το μεταςχθματιςμό ειςόδου από τθν εξίςωςθ (4.7) με (4.13α) (4.13β) 51

52 Χρθςιμοποιϊντασ τισ εξιςϊςεισ (4.14α) και (4.14β) καταλιγουμε ςτο γραμμικοποιθμζνο καταςτατικό μοντζλο. 4.2 Εφαρμογή τησ τεχνικήσ input state linearization ςτο ςφςτημα ςφαίρασ ράβδου. Σε αυτι τθν ενότθτα κα εφαρμόςουμε τθν τεχνικι γραμμικοποίθςθσ ειςόδουκατάςταςθσ (input-state linearization).αρχικά κα ερευνθκεί εάν ιςχφουν οι απαραίτθτεσ ςυνκικεσ για να υλοποιθκεί θ τεχνικι αυτι και ςτθ ςυνζχεια κα υπολογιςτεί ο απαραίτθτοσ μεταςχθματιςμόσ ειςόδου που πρζπει να εφαρμόςουμε ζτςι ϊςτε να καταλιξουμε ςτο γραμμικοποιθμζνο ςφςτθμα. Επίςθσ θ γραμμικοποίθςθ με τθ ςειρά Taylor ιταν ανεπιτυχισ όπωσ δείξαμε ςτο 2 ο κεφάλαιο επειδι το γραμμικοποιθμζνο ςφςτθμα που προζκυψε ιτανε αςτακζσ κατά Lagrange( βρικαμε ιδιοτιμι με κετικό πραγματικό μζροσ).συνεπϊσ θ τεχνικι γραμμικοποίθςθσ με ανάδραςθ (feedback linearization) που κα ακολουκιςουμε παρακάτω παρουςιάηει ιδιαίτερθ ςθμαςία. Το καταςτατικό μθ γραμμικό μοντζλο τθσ ςφαίρασ ράβδου όπωσ αποδείχκθκε από το κεφάλαιο 1 είναι: (1.41) Το καταςτατικό μοντζλο μπορεί να γραφτεί ςτθ μορφι (4.1) Συγκεκριμζνα μπορεί να γραφτεί ωσ: (4.15) 52

53 όπου (4.16) είναι ζνασ μθ γραμμικόσ μεταςχθματιςμόσ τθσ ροπισ Ρρζπει να δείξουμε αν επαλθκεφονται οι δφο ςυνκικεσ του κεωριματοσ (4.1).Για τον υπολογιςμό των και ειδικά όςο ανεβαίνουμε δφναμθ,κα χρθςιμοποιιςουμε το λογιςμικό Matlab21a.(αν ιταν n=2,δεν κα είχαμε ιδιαίτερο πρόβλθμα και για υπολογιςμό με το χζρι). Είναι : (4.25) και (4.26) = (4.27) Τελικά είμαςτε ςε κζςθ να καταςκευάςουμε το πίνακα: 53

54 ,, 1 2x1x 4 1 2x1x 4 2x2x4 g cos( x3) 4x2x4 g cos( x3) 4x1x 4^3 3gx4cos( x3) (4.28) Αυτόσ ο πίνακασ ζχει διάςταςθ ίςθ με 4 ςε μία περιοχι κοντά ςτο x=,γεγονόσ που εξαςφαλίηει τθ ςυνκικθ τα παρακάτω διανφςματα να είναι γραμμικϊσ ανεξάρτθτα.,, Πςον αφορά τθ δεφτερθ ςυνκικθ του κεωριματοσ 4.1. κα ζχουμε για το Lie bracket του ηεφγουσ: (4.29) Το οποίο όμωσ δε μπορεί να γραφτεί ςαν γραμμικόσ ςυνδυαςμόσ του αρχικοφ ςετ διανυςμάτων,, πράγμα που μασ οδθγεί ςτο ςυμπζραςμα ότι δεν είναι εφικτι θ γραμμικοποίθςθ ειςόδου-κατάςταςθσ με ανάδραςθ(input-state Feedback linearization) 4.3 φνοψη κεφαλαίου. Στο κεφάλαιο αυτό μελετιςαμε τθ γραμμικοποίθςθ με ανάδραςθ(input-state linearization).αναφζραμε τα βιματα που χρειάηονται για τθν υλοποίθςθ του και ςτθ ςυνζχεια δϊςαμε οριςμοφσ για τθν υλοποίθςθ του μζςω τθσ άλγεβρασ Lie.Επίςθσ αναφζραμε κάποια κεωριματα που πρζπει να ιςχφουν για να εφαρμόςουμε inputstate linearization..στθ ςυνζχεια προχωριςαμε ςτθν υλοποίθςθ και βρικαμε το διάνυςμα,, με χριςθ του λογιςμικοφ Matlab και παρατθριςαμε ότι τα διανφςματα αυτά είναι γραμμικϊσ ανεξάρτθτα και άρα επαλθκεφςαμε τθ πρϊτθ ςυνκικθ που πρζπει να ιςχφει για να εφαρμόςουμε Fullstate Feedback linearization.επιπλζον βρικαμε το διάνυςμα και ζγινε φανερό ότι δε μπορεί να γραφτεί ωσ γραμμικόσ ςυνδυαςμόσ των,,.άρα εντοπίςτθκε πρόβλθμα με τθ δεφτερθ ςυνκικθ και δε γίνεται να εφαρμόςουμε Input-state Feedback linearization.ωςτόςο είμαςτε ςε κζςθ να δοκιμάςουμε να εφαρμόςουμε input-output linearization κάτι το οποίο κα εξεταςτεί αναλυτικά ςτο κεφάλαιο 5. 54

55 5.ΜΕΘΟΔΟ INPUT-OUTPUT LINEARIZATION Θ μζκοδοσ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου είναι ζνασ εναλλακτικόσ τρόποσ να γραμμικοποιιςουμε ζνα μθ γραμμικό ςφςτθμα ςτθ περίπτωςθ που δε μποροφμε να εργαςτοφμε με γραμμικοποίθςθ ειςόδου-κατάςταςθσ.στθ μζκοδο αυτι κα χρθςιμοποιιςουμε τουσ οριςμοφσ που παρατζκθκαν ςτο κεφάλαιο 4 για τθν άλγεβρα Lie και κα ςυμπλθρϊςουμε με κάποιουσ επιπλζον για τθν υλοποίθςθ του. Ζςτω ότι ζχουμε το μθ γραμμικό ςφςτθμα ςτο χϊρο κατάςταςθσ μίασ ειςόδου και μίασ εξόδου τθσ μορφισ : (4.1) Με τθ μζκοδο input-output εννοοφμε τθν παραγωγι γραμμικϊν διαφορικϊν ςχζςεων μεταξφ τθσ εξόδου και τθσ νζασ ειςόδου.συγκεκριμζνα κα αναλφςουμε τα ακόλουκα κζματα. Ρωσ να παράγουμε γραμμικι input-output ςχζςθ για ζνα μθ γραμμικό ςφςτθμα. Ρωσ είναι τα internal dynamics και τα zero dynamics που ςχετίηονται με τθν γραμμικοποίθςθ ειςόδου-εξόδου(input-output linearization). Ρωσ να ςχεδιάηουμε ελεγκτζσ κατάςταςεισ βάςει αυτισ τθσ μεκόδου. Στο γραμμικοποιιμενο κατά input-output linearization ςφςτθμα μασ το οποίο αποτελείται από ζνα διάνυςμα κατάςταςθσ τθσ εξόδου και των πρϊτων παραγϊγων του,πρζπει να καταλάβουμε πωσ θ θ είςοδοσ επειςζρχεται μζςα ςτο ςφςτθμα.για να το πετφχουμε αυτό ειςάγουμε τον όρο του ςχετικοφ βακμοφ. Θεϊρημα 5.1α. Ζνα ςφςτθμα τθσ μορφισ ζχει ςχετικό βακμό ςε ζνα ςθμείο εάν, για κάκε ςε μία γειτονιά του και για όλα τα Σφμφωνα με αυτό τον οριςμό του ςχετικοφ βακμό που ςχετίηεται με τθν χρονίκθ παράγωγο τθσ εξόδου,μποροφμε να κεωριςουμε το ςχετικό κακμό του ςυςτιματοσ μασ ωσ τον αρικμό του πόςεσ φορζσ πρζπει να παραγωγίςουμε τθν ζξοδο μζχρι να εμφανιςτεί θ είςοδοσ 55

56 Θεϊρημα 5.1β. Internal Dynamics(εςωτερικι δυναμικι) ενόσ ςυςτιματοσ είναι οι καταςτάςεισ που ορίηονται από τθ ςχζςθ.θζτοντασ ξ= ςτθν εξίςωςθ αυτι προκφπτει,οι οποίεσ καλοφνται zero dynamics(μθδενικι δυναμικι) ενόσ ςυςτιματοσ.αν τα zero dynamics είναι αςυμπτωτικά ευςτακι,τότε το ςφςτθμα καλείται ςφςτθμα ελαχίςτθσ φάςθσ(minimum phase) Θεϊρημα 5.2. Το input-output linearization μπορεί να επιτεφχκει και ςε ςυςτιματα των οποίων ο ςχετικόσ βακμόσ είναι μικρότεροσ του. Ωςτόςο ςτθ κανονικι μορφι του ςυςτιματοσ ςυμπεριλαμβάνουμε τα zero dynamics(καταςτάςεισ που δεν είναι παρατθριςιμεσ από τθν ζξοδο του ςυςτιματοσ) τα οποία μπορζι να είναι αςτακι.στθ πράξθ τα αςτακι zero dynamics μπορεί να ζχουνε ςθμαντικζσ επιπτϊςεισ ςτο ςφςτθμα.(μπορεί να είναι επικφνδυνα για εςωτερικζσ καταςτάςεισ. 5.1 Input-Output Linearization. Θ γενικι διαδικάςια τθσ μεκόδου αυτισ αναλφεται ςτα διαδοχικά ςτα παρακάτω 4 βιματα. Βιμα1: Ραραγωγίηουμε τθν ζξοδο μζχρι να εμφανιςτεί θ είςοδοσ ςε μία από τισ εξιςϊςεισ για τισ παραγϊγουσ του Δθλαδι κα ζχουμε: (5.1) Θ ςχζςθ (5.1) μασ φανερϊνει ότι μετά από βιματα θ είςοδοσ εμφανίηεται. Βιμα2: Επιλζγουμε τθν ζτςι ϊςτε:, όπου είναι θ ςφνκετθ είςοδοσ (5.2) και (5.3) Βιμα3: Το ςφςτθμα τότε κα ζχει τθ μορφι: (5.4) και ςτθ ςυνζχεια ςχεδιάηουμε ζνα γραμμικό ζλεγχο για αυτό τον γραμμικό ςφςτθμα. Βιμα4: Ελζγχουμε Internal Dynamics. 56

57 Συμπεραςματικα θ βαςικι προςζγγιςθ ςτθ γραμμικοποίθςθ ειςόδουεξόδου(input-output linearization) είναι απλά να διαφορίηουμε τθν ζξοδο μζχρι να εμφανιςτεί μζςα θ είςοδοσ.στθ ςυνζχεια ςχεδιάηουμε ζνα ζλεγχο με ςτόχο να ακυρϊςουμε τθσ μθ γραμμικότθτεσ.ωςτόςο μερικζσ φορζσ αυτό δεν είναι εφικτό επειδι ο relative degree ςε μερικά ςυςτιματα δεν είναι πλιρωσ προςδιοριςμζνοσ Input-Output linearization ςε ςυςτήματα με προςδιοριςμζνο ςχετικό βαθμό. Ασ υποκζςουμε ότι βριςκόμαςτε ςτθ περιοχι ςτο χϊρο κατάςταςθσ.με τθ χριςθ διαφορικισ γεωμετρίασ και με διαδοχικι παραγϊγιςθ ςθμαίνει ότι ξεκινάμε με: (5.5) Εάν για κάποιο ςτο,τότε από ςυνζχεια αυτι ςχζςθ επαλθκεφεται ςε μία γειτονία του.στθ περιοχι ο μεταςχθματιςμόσ ειςόδου κα είναι: (5.6) και οδθγεί ςε γραμμικι ςχζςθ μεταξφ των θ οποία ζχει τθ μορφι: (5.7) το Εάν προκφψει για κάκε,μποροφμε να παραγωγίςουμε ϊςτε να πάρουμε: (5.8) Τότε αν για κάκε,ξαναπαραγωγίηουμε διαδοχικά μζχρι: (5.9) Αυτό ςυνεχίηεται μζχρι κάποιοσ ακζραιοσ να τθρεί :,για κάποιο ςτο (5.1) Ζτςι από ςυνζχεια θ ςχζςθ (5.9) επαλθκεφεται ςε μία περιοχι του. Ο νόμοσ ελζγχου ςτθ περιοχι κα ζχει τθ μορφι: (5.11) 57

58 και εφαρμόηεται ςτθ ςχζςθ (5.9) αποδίδωντασ μία γραμμικι ςχζςθ για τθν ζξοδο και τθ ςφνκετθ είςοδο τθσ μορφισ: (5.12) Ππωσ αναφζραμε και προθγουμζνωσ,ο αρικμόσ των παραγωγίςεων που απαιτοφνται ϊςτε να εμφανιςτεί θ είςοδοσ καλείται ςχετικόσ βακμόσ του ςυςτιματοσ,ωσ επζκταςθ του relative degree των γραμμικϊν ςυςτθμάτων.ωςτόςο πρζπει να ιςχφει,(όπου θ τάξθ του ςυςτιματοσ).αξίηει ςτο ςθμείο αυτό να ειπωκεί ότι αν τότε είμαςτε ςε κζςθ να κάνουμε input-state linearization ςτθ περιοχι Γραμμικοποίηςη ειςόδου-εξόδου(input-output linearization) ςε ςυςτήματα με απροςδιόριςτο ςχετικό βαθμό. Συχνά υπάρχει το ενδεχόμενο να μασ ενδιαφζρουν μόνο οι ιδιότθτεσ του ςυςτιματοσ γφρω από ζνα ςυγκεκριμζνο ςθμείο λειτουργίασ Τότε ο οριςμόσ του relative degree του ςυςτιματοσ διαφοροποιείται. Θ διαδικαςία που κα ακολουκιςουμε είναι ίδια με τθ προθγοφμενθ.ππωσ και πριν παραγωγίηουμε τθν ζξοδο μζχρι θ είςοδοσ να εμφανιςτεί(με άλλα λόγια μζχρι θ παράμετροσ να μθν είναι ταυτοτικά μθδζν ςε μία γειτονιά του. Τότε θ παράμετροσ είναι μθ μθδενικι ςτο δθλαδι(5.1):, Το οποίο ςθμαίνει ότι θ ςχζςθ αυτι επαλθκεφεται ςε μία πεπεραςμζνθ γειτονιά του Μποροφμε επομζνωσ να ποφμε ότι το ςφςτθμα ζχει relative degree ςτο ςθμείο. Ωςτόςο είναι πικανό όταν θ είςοδοσ εμφανιςτεί,θ παράμετροσ να είναι μθδζν ςτο ςθμείο.σε αυτι τθ περίπτωςθ ο relative degree του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ είναι απροςδιόριςτοσ. 5.2 Κανονικζσ μορφζσ-normal Forms Πταν ο relative degree είναι προςδιοριςμζνοσ με το μθ γραμμικό ςφςτθμα μπορεί να μεταςχθματιςτεί με τθ χριςθ των ςαν ζνα μζροσ ενόσ νζου διαγράμματοσ καταςτάςεων ςε μία μορφι που ονομάηεται Normal Form,θ οποία κα μασ επιτρζψει καλφτερθ εποπτεία των Internal και Zero Dynamics. Ζςτω.Τότε ςε μία περιοχι του ενόσ ςθμείου,θ Normal Form ενόσ ςυςτιματοσ μπορεί να γραφτεί ωσ: 58

59 (5.13) (5.14) όπου θ ζξοδοσ του ςυςτιματοσ προςδιορίηεται ωσ: (5.15) Επιπλεόν για τα κα ιςχφει ότι υπαρχει ζνασ μεταςχθματιςμόσ κατάςταςθσ ςτο χϊρο τζτοιοσ ϊςτε: (5.16) (5.17) Στθ ςχζςθ (5.14) παρατθροφμε ότι δεν εμφανίηεται θ είςοδοσ ότι: κακϊσ ιςχφει για το για κάκε ςτο (5.18) Από μακθματικισ πλευράσ για να βροφμε το ακριβζσ διάνυςμα ϊςτε να ολοκλθρωκεί ο μεταςχθματιςμόσ ςε κανονικι μορφι(normal Form),ςυχνά πρζπει να λφςουμε τθ μερικι διαφορικι εξίςωςθ που ικανοποιεί το :,όπου (5.19) Τα ονομάηονται κανονικζσ ςυντεταγμζνεσ(normal coordinates) ι κανονικζσ καταςτάςεισ(normal states) ςτθ περιοχι Να ςθμειωκεί ότι θ ζκφραςθ(5.13) είναι όμοια με τθν ζκφραςθ τθσ ςχζςθσ (5.9),ενϊ το υποςφςτθμα (5.14) δεν περιζχει τθν είςοδο του ςυςτιματοσ. Για να δείξουμε ότι ζνα μθ γραμμικό ςφςτθμα τθσ μορφισ μπορεί να μεταςχθματιςτεί ςε κανονικι μορφι [(5.13),(5.14)],πρζπει να δείξουμε ότι υπάρχει τζτοιοσ μεταςχθματιςμόσ ςυντεταγμζνων και επιπλζον ότι αυτόσ είναι αλθκισ μεταςχθματιςμόσ καταςτάςεων.με άλλα λόγια πρζπει να δείξουμε ότι μπορεί να καταςκευαςτεί το διαφορομορφικό διάνυςμα: (5.2) Τζτοιο ϊςτε θ κανονικι μορφι(normal Form (5.13),(5.14)) να επαλθκεφεται.για να δείξουμε ότι το είναι διαφορομορφικό αρκεί να δείξουμε ότι τα είναι μεταξφ τουσ γραμμικϊσ ανεξάρτθτα. 59

60 Θεϊρημα 5.3. Αν ο relative degree του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ είναι ςε μία περιοχι του,τότε τα είναι γραμμικϊσ ανεξάρτθτα ςτο. Θεϊρημα 5.4. Ο ςχετικόσ βακμόσ(relative degree) ενόσ ςυςτιματοσ τάξθσ είναι πάντα μικρότεροσ ι ίςοσ με.αυτό ςυμβαίνει για το λόγο ότι δε μποροφνε να υπάρξουνε περιςςότερα από γραμμικϊσ ανεξάρτθτα διανφςματα ςε ζνα χϊρο τάξθσ. Θεϊρημα 5.5. Υπάρχουνε ςυναρτιςεισ για να πραγματοποιιςουμε μεταςχθματιςμό ςυντεταγμζνων ςε κανονικι μορφι. 5.3 Zero- Dynamics Ρροςπακϊντασ να εφαρμόςουμε τθ μζκοδο γραμμικοποιιςθσ ειςόδουεξόδου(input-output linearization),θ δυναμικι ςυμπεριφορά του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ διαχωρίηεται ςε ζνα εξωτερικό μζροσ(input-output) και ζνα εςωτερικό(μθ παρατθριςιμο) μζροσ.κακϊσ το εξωτερικό μζροσ αποτελείται από μία γραμικι ςχζςθ μεταξφ του και του είναι εφκολο να ςχεδιάςουμε τθν είςοδο ζτςι ϊςτε θ ζξοδοσ να ςυμπεριφζρεται όπωσ επικυμοφμε.το ερϊτθμα που προκφπτει είναι αν τα Internal Dynamics κα ςυμπεριφερκοφν το ίδιο,με άλλα λόγια αν παραμείνουν φραγμζνεσ οι εςωτερικζσ καταςτάςεισ.κακϊσ ο ςχεδιαςμόσ ελζγχου πρζπει να λαμβάνει υπ όψιν όλθ τθ δυναμικι του ςυςτιματοσ κρίνεται αναγκαίο να εξεταςκεί θ εςωτερικι ςυμπεριφορά του. Τα Internal Dynamics που ςχετίηονται με τθ γραμμικοποίθςθ input-output απλά αντιςτοιχοφ ςτισ τελευταιεσ εξιςϊςεισ τθσ κανονικισ μορφισ(normal Form).Γενικά αυτι θ δυναμικι εξαρτάται από τισ καταςτάςεισ εξόδου Ωςτόςο μπορεί να οριςτεί μία ιδιότθτα των γραμμικϊν ςυςτθμάτων κεωρϊντασ τα Internal Dynamics του ςυςτιματοσ όταν θ είςοδοσ ελζγχου είναι τζτοια ϊςτε θ ζξοδοσ να διατθρείται ίςθ με.αυτι θ διαδικαςία ορίηεται ωσ θ μελζτθ των Zero Dynamics θ οποία μασ επιτρζπει να βγάηουμε ςυμπζραςματα για τα Internal Dynamics. Θ προυπόκεςθ ότι θ ζξοδοσ είναι ίςθ με μθδζν εξαςφαλίηει ότι όλεσ οι χρονικζσ παράγωγοι τθσ ςτο χρόνο ζιναι εξίςου μθδζν.αυτόσ ςθμαίνει ότι τα Internal Dynamics του ςυςτιματοσ ι τα Zero Dynamics,περιγράφουν κίνθςθ περιοριςμζνθ ςε ζνα χϊρο,οριςμζνο για,ο οποίοσ ζχει διάςταςθ Για να λειτουργιςει το ςφςτθμα ςτα Zero Dynamics,με άλλα λόγια για να μείνει θ κατάςταςθ ςτθν επιφάνεια,θ αρχικι κατάςταςθ του ςυςτιματοσ πρζπει να βρίςκεται ςτθν επιφάνεια και επιπλζον θ είςοδοσ να είναι τζτοια ϊςτε το να παραμζνει ςτο μθδζν,με άλλα λόγια το να ιςοφται με: 6 (5.21)

61 Σφμφωνα με αυτι τθν είςοδο και κεωρϊντασ ότι θ αρχικι τιμι τθσ κατάςταςθσ του είναι ςτθν επιφάνεια,με άλλα λόγια αν, τότε θ δυναμικι του ςυςτιματοσ μπορεί να γραφτεί ςε κανονικι μορφι: (5.22) (5.23) Εξ ϋ οριςμόυ θ (5.23) αποτελεί τα Zero Dynamics του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ τθσ μορφισ (4.1): (4.1) Θεϊρημα 5.6. Το μθ γραμμικό ςφςτθμα (4.1) καλείται αςυμπτωτικά ελαχίςτθσ φάςθσ εάν τα Zero Dynamics του είναι αςυμπτωτικά ευςτακι.εάν τα Zero Dynamics είναι αςυμπτωτικά ευςτακι για κάκε,μποροφμε να ποφμε ότι το ςφςτθμα μασ είναι κακολικά αςυμπτωτικό ελαχίςτθσ φάςθσ.σε αντίκετθ περίπτωςθ λζμε ότι είναι τοπικά ελαχίςτθσ φάςθσ. Τϊρα κα κεωριςουμε το ςχεδιαςμό ελεγκτι βαςιςμζνο ςτο input-output linearization.γενικά θ βαςικι ιδζα είναι να ςχεδιαςτεί ελεγκτισ ςφμφωνα με τθ γραμμικι ςχζςθ ειςόδου-εξόδου και ςτθ ςυνζχεια να εξετάςουμε αν τα Internal Dynamics είναι ευςτακι ι όχι Σοπική αςυμπτωτική ςταθεροποίηςη Ζχωντασ πάλι το μθ γραμμικό ςφςτθμα (4.1) είναι αξιοςθμείωτο να αναρωτθκοφμε αν το να επιλζξουμε τθ ςφνκετθ είςοδο ςαν ζνα απλό ελεγκτι τοποκζτθςθσ πόλων είναι ςε κζςθ να εγγυθκεί τθν ευςτάκεια όλου του ςυςτιματοσ.ζςτω ότι κζωροφμε: (5.24) όπου οι ςυντελεςτζσ επιλζγονται ζτςι ϊςτε το πολυϊνυμο: (5.25) να ζχει ρίηεσ ςτο αριςτερό μιγαδικό θμιεπίπεδο.τότε θ είςοδοσ ελζγχου γράφεται: (5.26) Συμπεραςματικά,αν τα Zero Dynamics είναι αςυμπτωτικά ευςτακι,ο νόμοσ ελζγχου ςτακεροποιεί τοπικά το ςφςτθμα. 61

62 Θεϊρημα 5.7. Υποκζτουμε ότι το ςφςτθμα (4.1) ζχει ςχετικό βακμό (relative degree) και επιπλζον ότι τα Zero Dynamics του είναι αςυμπτωτικά ευςτακι.επιλζγουμε τισ ςτακερζσ ϊςτε θ ςχζςθ (5.25) να ζχει ρίηεσ ςτο αριςτερό μιγαδικό θμιεπίπεδο,τότε ο νόμοσ ελζγχου(5.26) επιφζρει τοπικι αςυμπτωτικι ευςτάκεια του ςυςτιματοσ κλειςτοφ βρόχου. 5.4 Τλοποίηςη του input-output linearization για το ςφςτημα ςφαίρασ ράβδου. Ππωσ δείξαμε και ςε προθγοφμενο κεφάλαιο ζχουμε το μθ γραμμικό ςφςτθμα:, (4.15) όπου και με και Θ ζξοδοσ του ςυςτιματοσ πρζπει να ακολουκεί επικυμθτι τροχιά με άλλα λόγια πρζπει: κακϊσ Το υπό εξζταςθ ςφςτθμα φαίνεται ςτο ςχιμα 1 παρακάτω. 62

63 Σχιμα.5.1 Σφςτθμα ςφαίρασ-ράβδου Ακολουκϊντασ τθ κλαςικι διαδικαςία που περιγράφθκε ςτθ παράγραφο 5.1 για τθ διαδικαςία γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου(input-output linearization) παραγωγίηουμε τθν ζξοδο μζχρι να εμφανιςτεί θ είςοδοσ.θα ζχουμε διαδοχικά: (5.27) όπου και (5.28) (5.29) Εάν θ παράμετροσ του ιτανε μθ μθδενικι ςε μία περιοχι που μασ ενδιαφζρει κα μποροφςαμε να χρθςιμοποιιςουμε το νόμο ελζγχου: (5.3) Ζτςι κα ιτανε εφικτό να λάβουμε ζνα γραμμικό ςφςτθμα ειςόδου εξόδου το οποίο περιγράφεται από τθ ςχζςθ παρακάτω: (5.31) 63

64 Δυςτυχϊσ, για το ςφςτθμα ςφαίρασ ράβδου θ μεταβλθτι ελζγχου είναι μθδενικι όταν θ γωνιακι ταχφτθτα τθσ ράβδου ι θ κζςθ τθσ ςφαίρασ είναι μθδζν.συνεπϊσ ο ςχετικόσ βακμόσ (relative degree) του ςυςτιματοσ ςφαίρασ ράβδου δεν είναι ςωςτά προςδιοριςμζνοσ.αυτό γίνεται φανερό αν προςπακιςουμε να βροφμε το ςχετικό βακμό βάςθ του κεωριματοσ 5.1 για και ςυνεπϊσ οπότε κα προκφψει ότι: (5.32) θ οποία είναι μθ μθδενικι ςε μία γειτονία του το οποίο είναι ςθμείο ιςορροπίασ του ςυςτιματοσ.αυτό είναι μοναδικό χαρακτθριςτικό των μθ γραμμικϊν ςυςτθμάτων.οπότε όταν το ςφςτθμα ζχει μθ μθδενικι γωνιακι ταχφτθτα και μθ μθδενικι κζςθ ςφαίρασ,θ είςοδοσ επιδρά κατά ζνα ολοκλθρωτι νωρίτερα από όταν θ γωνιακι ταχφτθτα τθσ ράβδου είναι μθδζν. Κςωσ μποροφμε να μάκουμε κάτι για το ςφςτθμα μελετϊντασ τα zero dynamics του με άλλα λόγια τα internal dynamics ςφμφωνα με τθ προυπόκεςθ ότι θ ζξοδοσ κρατείται ςτακερι και ίςθ με,υπό τον όρο ότι αυτά είναι επαρκϊσ προςδιοριςμζνα Μελζτη των Zero Dynamics για το ςφςτημα ςφαίρασ ράβδου Για το ςφςτθμα ςφαίρασ ράβδου είναι ενδιαφζρον να παρατθριςουμε τθν περίπτωςθ που θ ζξοδοσ κρατείται ςε μία μθ μθδενικι κζςθ ζςτω (αυτό μετατρζπει τθν ζξοδο ςε ).Για να διατθριςουμε αυτι τθ κζςθ,είναι απαραίτθτο όλα τα ανϊτερα διαφορικά να εξαφανιςτοφν. Συνεπϊσ: ( ςτακερι θ κζςθ ςφαίρασ άρα θ ταχφτθτα τθσ ίςθ με μθδζν) οπότε θ τοπολογία των zero dynamics κα είναι: (5.33) (5.34) Για να βροφμε τθ δυναμικι που μπορεί να προκφψει από τθν τοπολογία αυτι ςθμειϊνουμε ότι : Το οποίο ςθμαίνει ότι: 64 (5.35) (5.36)

65 Από τισ παραπάνω ςχζςεισ προκφπτει θ πικανότθτα για τρεισ διακριτζσ ςυμπεριφορζσ των zero dynamics(τα οποία ανικουνε ςτον τόπο ) και είναι οι ακόλουκεσ: (5.37α) (5.37β) (5.37γ) Ραρατθροφμε ότι θ τρίτθ περίπτωςθ (5.37γ) δε περιλαμβάνει ςθμεία ιςορροπίασ κακϊσ : για.θ ςχζςθ μεταξφ αςυνικιςτων zero dynamics και τθσ ζλλειψθσ του ςχετικοφ βακμοφ είναι αξιοςθμείωτθ και ειςάγει πολλά ερωτθματικά.τα δφο μεμονωμζνα ςθμεία και προκφπτουν από τουσ περιοριςμοφσ τθσ ςχζςθσ (5.33).Το μόνο για ζνα ςφςτθμα με ςχετικό βακμό 4 ϊςτε τα zero dynamics να είχανε μθδενικι διάςταςθ.ωςτόςο ςτθ περίπτωςθ μασ το μασ οδθγεί ςε ςφςτθμα ςχετικοφ βακμοφ(relative degree) ιςο με 3.Αυτό ςυμβαίνει για το λόγο ότι τα τελευταία zero dynamics υπάρχουν εξαιτίασ του πρϊτου όρου ςτθν εξίςωςθ του (5.38) οποίοσ εξαναφανίηεται ςτον ίδιο υπόχωρο, όπωσ και ο όροσ. (5.38) Εάν αυτό δεν ιτανε αλικεια τότε κα μποροφςε το να πάρει μία μθδενικι τιμι ςε ζνα ςθμείο που θ είςοδοσ δε κα μποροφςε να το επθρρεάςει(με άλλα λόγια ).Συνεπϊσ το ςφςτθμα ςφαίρασ ράβδου ενϊ αποτυγχάνει να ζχει ςχετικό βακμό είναι ζνα ενδιαφζρον παράδειγμα ςυςτιματοσ που ο ςχετικόσ του βακμόσ είναι ανάμεςα ςε 3 και 4. Επιπλζον ζχουμε δείξει από το κεφάλαιο 4 ότι δε τθροφνται οι δφο ςυνκικεσ για να εφαρμόςουμε full-state linearization και εφόςον ζχουμε πρόςκετο πρόβλθμα με το ςχετικό βακμό του ςυςτιματοσ(relative degree) δεν είμαςτε ςε κζςθ να εφαρμόςουμε το κλαςικό άμεςο input-output linearization.θα δοκιμάςουμε να εφαρμόςουμε προςεγγιςτικι γραμμικοποίθςθ ειςόδου-εξόδου(approximation of input-output linearization). 65

66 5.5 Γενική γραμμικοποίηςη ειςόδου εξόδου(input-output linearization) ςυςτημάτων με ιδιομορφζσ(singularity points). Για ζνα SISO ςφςτθμα: Για ακριβι γραμμικοποίθςθ ειςόδου-εξόδου ακολουκοφμε τθν παρακάτω διαδικαςία όπωσ δείξαμε και ςε προθγοφμενο κεφάλαιο:... Ζςτω,τότε (5.39) Εάν με είναι,τότε είναι ιδιόμορφο ςθμείο άρα ο ςχετικόσ βακμόσ(relative degree) δεν είναι πλιρωσ προςδιοριςμζνοσ και θ ακριβισ γραμμικοποίθςθ κα αποτφχει. Ωςτόςο παραγωγίηοντασ άλλθ μία φορά τθν ζξοδο κα λθφκεί:, ι αλλιϊσ Εκτελϊντασ τισ απλοποιιςεισ κα προκφψει (5.4) Εφόςον θ ςχζςθ (5.4) γράφεται: (5.4α) 66

67 Ζςτω, τότε κα προκφψει θ εξίςωςθ : (5.41) Θ εξίςωςθ τθσ ςχζςθσ (5.41) είναι μία δευτεροβάκμια εξίςωςθ του και ςτθ γενικι τθσ μορφι υπάρχουνε δφο ςυηυγείσ μιγαδικζσ ρίηεσ.ωςτόςο εάν τότε θ ςχζςθ (5.41) μεταςχθματίηεται ςε μία γραμμικι εξίςωςθ και το ζχει μόνο μία πραγματικι ρίηα.αυτό ςτο χϊρο ορίηεται με (ιδιόμορφο ςθμείο) ςε δφο περιοχζσ και Στθν περιοχι αυτι θ ςχζςθ (5.41) κα ζχει μία πραγματικι λφςθ. : Στθν περιοχι αυτι θ ςχζςθ (5.41) μπορεί να ζχει μιγαδικι λφςθ. Κακϊσ θ περιοχι ορίηεται από και θ (5.41) ζχει μοναδικι πραγματικι λφςθ ο ςχετικόσ βακμόσ του ςυςτιματοσ ςτο ιδιόμορφο ςθμείο αλλά και εντόσ τθσ είναι τάξθσ. Ζτςι μπορεί να ςχεδιαςκεί ζνασ διακοπτικόσ ελεγκτισ(switching controller) ο οποίοσ χρθςιμοποιεί ζναν ελεγκτι τάξθσ τθσ μορφισ τθσ ςχζςθσ (5.39),όταν το ςφςτθμα είναι μακριά από το ιδιόμορφο ςθμείο και εναλλαςεται με δεφτερο τάξθσ ελεγκτι που ορίηεται από τθν (5.41) όταν το είναι κοντά ςτο ιδιόμορφο ςθμείο. 5.6 Προςζγγιςη γραμμικοποίηςησ ειςόδου εξόδου(input-output linearization) Σε αυτι το ςθμείο κα δείξουμε ότι με μία κατάλλθλθ επιλογι άλλων διανυςμάτων ςε ζνα χϊρο κοντά ςτα χϊρο των διανυςμάτων του ςυςτιματοσ,μποροφμε να ςχεδιάςουμε ζνα νόμο ελζγχου ανάδραςθσ(feedback control law) για να επιτφχουμε τθν παρακολοφκθςθ τθσ εξόδου.ο νόμοσ ελζγχου κα είναι ςτθν ουςία ο ακριβισ νόμοσ ελζγχου τθσ εξόδου για ζνα προςεγγιςτικό ςφςτθμα.θα καταςτρϊςουμε 2 προςεγγίςεισ γραμμικοποίθςθσ ειςόδουεξόδου(input-output linearization),του ςυςτιματοσ ςφαίρασ-ράβδου.σε αυτι τθ περίπτωςθ καταςκευάηουμε ζνα μθ γραμμικό μεταςχθματιςμό ςυντεταγμζνων: και μία κατάςταςθ ανάδραςθσ(feedback state) : (5.42) (5.43) με ςκοπό να κάνουμε το ςφςτθμα να μοίαηει ςαν μία αλυςίδα από ολοκλθρωτζσ θ οποία παρεμβάλεται από κάποιουσ όρουσ ανϊτερθσ τάξθσ όπωσ φαίνεται και ςτο ςχιμα 2. 67

68 Σχιμα.5.2 Προςεγγιςθ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου εξόδου:μία αλυςίδα που παρεμβάλεται από μικροφσ μθ γραμμικοφσ όρουσ. Κάκε διαδοχικόσ όροσ του μεταςχθματιςμοφ των ςυντεταγμζνων καταςκευάηεται από τθν παραγϊγιςθ του προθγοφμενου ςε ςυνδυαςμό με τισ τροχιζσ του ςυςτιματοσ,παραλείποντασ κάποιουσ όρουσ ανϊτερθσ τάξθσ.ο πρϊτοσ όροσ που επιλζγεται κα είναι θ ζξοδοσ του ςυςτιματοσ.ρροςεγγιςτικι παρακολοφκθςθ επιτυγχάνεται επιλζγοντασ για κάκε ςχεδιαςμό μία κατάλλθλθ ϊςτε να επαλθκεφεται θ ακόλουκθ ςχζςθ: και (5.44) (5.45) Οι δφο ςχζςεισ (5.44) και (5.45) μετατρζπουν το ςφάλμα του ςυςτιματοσ ςε ζνα ευςτακζσ γραμμικό ςφςτθμα που παρεμβάλεται από μικροφσ γραμμικοφσ όρουσ.εδϊ τα επιλζγονται ζτςι ϊςτε το πολυϊνυμο να είναι ζνα πολυϊνυμο κατά Hurwitz(5.25),δθλαδι όλζσ οι ρίηεσ του να είναι αυςτθρϊσ ςτο αριςτερό μιγαδικό θμιεπίπεδο: (5.46) Πρϊτη προςζγγιςη γραμμικοποίηςησ ειςόδου-εξόδου Θ πρϊτθ προςζγγιςθ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου κα γίνει με διαμόρφωςθ του πίνακα του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ όπου : 68

69 Το ςφςτθμα δείξαμε ότι δεν ζχει ςωςτά προςδιοριςμζνο ςχετικό βακμό(relative degree) εξαιτίασ του όρου επιτάχυνςθσ.θα ςχεδιάςουμε το πρϊτο μασ προςεγγιςτικό ςφςτθμα με το να παραλείψουμε τον όρο αυτό. Ζςτω.Ζπειτα επιλζγουμε για κάκε βιμα.με τθ τυπικι εφαρμογι τθσ μεκόδου input-output πιραμε προθγουμζνωσ τα ακόλουκα: (5.27) Στθ περίπτωςθ αυτι κα ιςοφται με: (5.47) Το εμφανίηεται ςτο δεφτερο όρο τθσ 3 θσ παραγϊγιςθσ τθσ εξόδου ςυνεπϊσ κα υποκζταμε ότι ο ςχετικόσ βακμόσ του ςυςτιματοσ είναι 3,εκτόσ από το ςθμείο το οποίο καλείται ιδιόμορφο ςθμείο(singularity point).σε αυτι τθ περίπτωςθ του ιδιόμορφου ςθμείου θ είςοδοσ εξαφανίηεται από τθ ςχζςθ τθσ τρίτθσ παραγϊγου και ο ςχετικόσ βακμόσ δεν είναι πλιρωσ οριςμζνοσ όπωσ είδαμε και από τθ μελζτθ των Zero Dynamics.Θα κζςουμε λοιπόν: (5.48) Δίωχνοντασ το όρο από τθ ςχζςθ (5.48) και παίρνoντασ τθ τρίτθ και τθ τζταρτθ παράγωγο τθσ εξόδου κα ζχουμε: (5.49) Από τθ ςχζςθ (5.49) προκφπτει για τθν είςοδο ελζγχου : (5.5) 69

70 Με άλλα λόγια υπολογίςτθκαν τα παρακάτω: (5.51) Ππωσ ιτανε αναμενόμενο απαλείφοντασ τον όρο που είναι ανϊτερθσ τάξθσ,επιτυγχάνεται ακριβισ προςζγγιςθ του ςυςτιματοσ μασ από ζνα ςφςτθμα με προςδιοριςμζνο ςχετικό βακμό(relative degree).θ επιλογι του να απαλείψουμε το οδθγεί ςε ςυγκεκριμζνο μεταςχθματιςμό ςυντεταγμζνων Σε αυτι τθ περίπτωςθ το προςεγγιςτικό ςφςτθμα προζκυψε από μία απλι μετατροπι του διανφςματοσ του αρχικοφ μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ Δεφτερη προςζγγιςη γραμμικοποίηςησ ειςόδου-εξόδου Για αυτι τθ γραμμικοποίθςθ ειςόδου-εξόδου(input-output linearization) κα απαλείψουμε μόνο τουσ όρουσ που είναι απαραίτθτοι για να λθφκεί ζνα ςφςτθμα με προςδιοριςμζνο ςχετικό βακμό.αυτό είναι εφικτό αν μεταςχθματιςτεί το διάνυςμα του αρχικοφ μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ.υποτίκεται ξανά ότι Στο ςθμείο αυτό ωςτόςο δε κα απαλειφκεί κάποιοσ μθ γραμμικόσ όροσ όπωσ ζγινε ςτθ προθγοφμενθ προςπάκεια γραμμικοποίθςθσ αλλά αντίκετα κα βροφμε το με λίγθ προςοχι ςτισ παραγωγίςεισ και κα προκφψει: Θα απαλειφκεί ςε αυτό το ςθμείο ο όροσ που είναι ιδιόμορφο ςθμείο ςτο μθδζν(singularity point) και κα υπολογιςτεί δίχωσ να λθφκεί αυτόσ υπ όψιν ο υπολογιςμόσ τθσ 4 θσ παραγϊγου τθσ εξόδου θ οποία κα είναι αναλυτικά : Ο όροσ Θ παράγωγοσ του όρου κα είναι: 7

71 και θ παράγωγοσ του αντίςτοιχα: Ρροςκζτωντασ τισ δφο παραπάνω παραγϊγουσ προκφπτει τελικά θ 4 θ τθσ εξόδου του ςυςτιματοσ θ οποία κα είναι: παράγωγοσ (5.52) Βάςει τθσ ςχζςθσ (5.49) βρίςκεται θ είςοδοσ ελζγχου : (5.53) Με άλλα λόγια υπολογίςτθκαν τα παρακάτω: (5.54) Για να επιτευχκεί ζνασ πλιρωσ οριςμζνοσ ςχετικόσ βακμόσ(well defined relative degree) αναγκαςτικαμε να απαλζιψουμε τον όρο κακϊσ είναι μθδζν ςτο ςθμείο αλλά όχι ταυτοτικά μθδζν ςε μία γειτονιά του. Το πλεονζκτθμα του να γραφτεί το ςφςτθμα ςε ςυντεταγμζνεσ όπωσ ςτθν (5.54) είναι ότι γίνεται πλζον εφκολο να αναγνωριςτοφν οι όροι ςτο διάνυςμα του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ που πρζπει να απαλειφκοφν(ςτθ περιπτωςι μασ το ).Ωςτόςο,όταν αυτόσ ο μεταςχθματιςμόσ εκφράηεται πλιρωσ με ςυντεταγμζνεσ είναι ςτθ πράξθ περίπλοκοσ.για παράδειγμα ςτισ ςυντεταγμζνεσ απαλείψαμε το το οποίο αντιςτοιχεί ςε (5.55) και προκφπτει από το αρχικό διάνυςμα Το ςφςτθμα το οποίο ζχει τροποποιθμζνο με αυτό το τρόπο είναι γραμμικοποιιςιμο κατά είςοδο-ζξοδο(input-ouput linearizable) και θ ςχζςθ (5.55) είναι μία προςζγγιςθ του αρχικοφ μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ κακϊσ ζχει ανϊτερθ τάξθ ςτα και το για κάκε 71

72 5.6.3 Προςζγγιςη με χρήςη παραγϊγων ανϊτερησ τάξησ Στισ δφο προθγοφμενεσ προςεγγίςεισ απαλείφκθκαν οι όροι που οδθγοφςαν ςε ιδιόμορφα ςθμεία(singularity points) πρωτοφ πάρουμε τθν 4 θ παράγωγο του και ζτςι ειςάγαμε ικανοποιθτικά ςφάλματα ςτο μοντζλο.μια εναλλακτικι προςζγγιςθ είναι να πάρουμε τθν 4 θ παράγωγο απευκείασ χωρίσ να απαλείψουμε τουσ μθ γραμμικοφσ όρουσ.αυτό γενικά δεν χρθςιμοποιείται γιατί οδθγεί ςε μία διαφορικι εξίςωςθ του θ οποία είναι δφςκολο να λυκεί.ακολουκϊντασ τθ γενικι μζκοδο γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου παραγωγίηουμε τθν ζξοδο μία επιπλζον φορά.άρα κα πάρουμε το ςτο δεξί μζλοσ τθσ τελευταίασ ςχζςθσ. Θ παράγωγοσ του όρου κα είναι: και θ παράγωγοσ του αντίςτοιχα: και τζλοσ θ παράγωγοσ του κα είναι: Ρροςκζτωντασ τισ τρεισ παραπάνω παραγϊγουσ προκφπτει τελικά θ 4 θ τθσ εξόδου του ςυςτιματοσ θ οποία κα είναι: παράγωγοσ (5.56) Γφρω από τθ γειτονιά του ιδιόμορφου ςθμείου ζχουμε απαλείφεται και κα λθφκεί θ ςχζςθ: και ζτςι ο όροσ (5.57) Ζςτω,διαλζγουμε τουσ όρουσ τθσ δευτεροβακμίασ εξίςωςθσ του ςτα ιδιόμορφα ςθμεία με αποτζλεςμα να προκφψει θ εξίςωςθ: (5.58) 72

73 Οπότε αν εφαρμοςτεί γενικι γραμμικοποίθςθ ειςόδου-εξόδου και λθφεί υπ όψιν θ 4 θ παράγωγοσ προκφπτει θ ςχζςθ (5.56) θ οποία είναι διαφορικι εξίςωςθ ωσ προσ.ωςτόςο γφρω από τθ γειτονιά του ιδιόμορφου ςθμείου θ διαφορικι εξίςωςθ του παράγει τθ δευτεροβάκμια εξίςωςθ τθσ ςχζςθσ (5.58) θ οποία μπορεί να χρθςιμοποιθκεί ϊςτε να βρεκεί το.επιπλζον θ εξίςωςθ (5.58) μπορεί να χρθςιμοποιθκεί ϊςτε να προςεγγιςτεί το ςφςτθμα γφρω από τθ γειτονιά τθσ ιδιομορφίασ. Χρθςιμοποιϊντασ τθν ιδζα του διακοπτικοφ ελζγχου(switching controller) που αναλφκθκε ςτθ παράγραφο 5.5 μπορεί να ςχεδιαςτεί ελεγκτισ με τθ χριςθ τθσ ςχζςθσ(5.47):,όταν και βάςει τθσ ςχζςθσ (5.58) όταν Αντίκετα με τισ προθγοφμενεσ προςεγγίςεισ ςτισ παραγράφουσ και θ ςχζςθ (5.58) είναι θ ακριβισ γραμμικοποίθςθ ειςόδου-εξόδου του αρχικοφ ςυςτιματοσ ςτθν ιδιομορφία,χωρίσ τθν απαλειφι όρων.εφόςον θ (5.58) είναι δευτεροβάκμια εξίςωςθ ζχει δφο ςυηυγείσ μιγαδικζσ ρίηεσ.ωςτόςο για να υλοποιθκεί πρακτικά οι ρίηεσ του κα είναι πραγματικοί αρικμοί. Ορίηουμε: Οι λφςεισ τισ (5.58) εξαρτϊνται από τθ τιμι τθσ.για να είναι επιλφςιμθ θ (5.58) πρζπει.είναι δφςκολο να βρεκεί μία ςυνκικθ που να εγγυάται ότι Ωςτόςο θ επόμενθ παράγραφοσ δείχνει ότι θ (5.58) ζχει μία και μόνο μία πραγματικι λφςθ ςε μία γειτονιά τθσ ιδιομορφίασ θ αναπαράςταςθ τθσ οποίασ φαίνεται ςτο ςχιμα 5.3 παρακάτω. 73

74 Σχιμα 5.3 Η γειτονιά του ιδιόμορφου ςθμείου υμπεριφορά του ςυςτήματοσ γφρω από την ιδιομορφία. Ππωσ φανερϊνεται και ςτο ςχιμα 5.3 θ ιδιομορφία τεταρτθμόριο μπορεί να διαχωριςτεί ςε δφο επιμζρουσ περιοχζσ. ςτο 1 Στο ςχιμα 5.3 είναι ο άξονασ. Στο ςχιμα 5.3 είναι ο άξονασ Μποροφμε να ορίςουμε τθ γειτονιάσ τθσ ιδιομορφίασ ωσ:.στο διάγραμμα θ είναι θ γραμμοςκιαςμζνθ περιοχι που περιβάλλεται από 4 υπερβολικζσ περιοχζσ.στθ περίπτωςθ που θ μπορεί να διαιρεκεί ςε 2 επιπλζον περιοχζσ:, 74

75 υνθήκη(1).πταν το ςφςτθμα βρεκεί εντόσ τθσ περιοχισ (5.58) προςεγγίηεται από:,τότε θ ςχζςθ (5.59) δθλαδι απαλείφεται ο όροσ και άρα κα πάρουμε τθν είςοδο ελζγχου: (5.6) Σε αυτό το ςθμείο είναι εφκολο να ςυγκρικεί θ (5.6) με τθν ςχζςθ (5.53) τθσ ζκφραςθσ,όπου: (5.53) Θ μόνθ διαφορά των δφο εξιςϊςεων είναι ςτον όρο και ότι ςτθν (5.6) ζχουμε 4 αντί για 2.Αυτι θ διαφορά οφείλεται ςτο ότι απαλείφεται ο όροσ κατά τθ πρϊτθ προςπάκεια γραμμικοποίθςθσ. Ριο ςυγκεκριμζνα μασ δείχνει ότι θ (5.53) περιγράφει ζνα ςφςτθμα όταν κακϊσ προςπακεί παράλλθλα να το προςεγγίςει όταν.με άλλα λόγια προςζγγιςθ με το να απαλείψουμε ζνα μθ γραμμικό όρο πρωτοφ λθφκεί θ τάξθσ παράγωγοσ τθσ εξόδου αποτελεί μόνο μία μερικι προςζγγιςθ του ςυςτιματοσ κοντά ςτθν ιδιομορφία. υνθήκη(2).πταν το ςφςτθμα βρεκεί εντόσ τθσ με θ (5.58) μπορεί να προςεγγιςκεί με:,δθλαδι απαλείφεται ο όροσ και ο. Σε αυτι τθ περίπτωςθ οι λφςεισ τθσ είναι ζνα ηευγάρι ςυηυγϊν μιγαδικϊν ριηϊν.θ παραπάνω ςυνκικθ για να ζχει θ εξίςωςθ μόνο πραγματικζσ ρίηεσ είναι: (5.61),το οποίο γενικά είναι δφςκολο να εξαςφαλιςκεί.επιπλζον αυτι θ εξίςωςθ είναι πικανό να διαιρζςει και άλλο το χϊρο ςε δφο υποχϊρουσ.στον ζναν κα προκφψουν μόνο πραγματικζσ ρίηεσ και ςτον άλλο μόνο μιγαδικζσ. Ωςτόςο για πρακτικοφσ λόγουσ μόνο μία από τισ λφςεισ τθσ ςχζςθσ (5.61) επιλζγεται και το πραγματικό μζροσ αποτελεί τθ μεταβλθτι ελζγχου.απαιτείται επιπλζον μελζτθ ςτο χϊρο αυτό.συνεπϊσ θ γειτονιά τθσ ιδιομορφίασ μπορεί να προςεγγιςκεί από τθν εξίςωςθ τθσ ςχζςθσ (5.53) και (5.61). 75

76 Διακοπτικοί ελεγκτζσ μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν ϊςτε όταν (μακριά από ιδιομορφία) να χρθςιμοποιείται ακριβισ γραμμικοποίθςθ είςοδου εξόδου(extact input-output linearization),ενϊ όταν να χρθςιμοποιείται ο ζλεγχοσ (5.6),ι (5.61).Το γενικό διάγραμμα του διακοπτικοφ ελεγκτι για το ςφςτθμα ςφαίρασ-ράβδου φαίνεται ςτο ςχιμα 5.4 παρακάτω. 3 θσ τάξθσ ελεγκτθσ 4 θσ τάξθσ ελεγκτθσ (5.47) (5.6) Αν Αν Αν Σφαίρα ράβδοσ ςφςτθμα (5.61) Σχιμα 5.4 Διάγραμμα διακοπτικοφ ελεγκτι ςυςτιματοσ ςφαίρασ-ράβδου 5.7 φνοψη κεφαλαίου. Στο κεφάλαιο αυτό προςπακιςαμε να γραμμικοποιιςουμε το ςφςτθμα ςφαίρασ ράβδου κατά είςοδο-ζξοδο(input-output linearization).αρχικά δϊςαμε τα βιματα τθσ εκτζλεςθσ τθσ κλαςικισ μεκόδου γραμμικοποίθςθσ ειςόδουεξόδου.αναφζρκθκαν οριςμζνα ςθμαντικά κεωριματα(relative degree,input-output linearizable).αναλφκθκε κεωρθτικά πωσ υλοποιείται θ μζκοδοσ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου ςε ςφςτθματα με προςδιοριςμζνο και ςε ςυςτιματα με απροςδιόριςτο ςχετικό βακμό(relative degree).δϊςαμε τουσ οριςμοφσ τθσ κανονικισ μορφισ(normal forms) τα οποία μασ επιτρζπουν να ζχουμε εποπτεία των Internal Dynamics και κατ επζκταςθ και των Zero Dynamics.Εξθγικθκε πωσ προκφπτουν τα Zero Dynamics από τα Internal Dynamics και πραγματοποιικθκε μελζτθ των Zero Dynamics για το ςφςτθμα μασ. Εκτελζςτθκαν 3 προςεγγιςτικζσ γραμμικοποιιςεισ ειςόδου-εξόδου(inputoutput linearization).κατά τθ 1 θ προςζγγιςθ γραμμικοποίθςθσ απαλείφκθκε ο όροσ κατά τθ 2 θ παραγϊγιςθ τθσ εξόδου και οδθγθκικαμε ςε ςφςτθμα με πλιρωσ προςδιοριςμζνο ςχετικό βακμό ίςο με 4,εξάγοντασ νόμο ελζγχου(5.5) και ζνα μθ γραμμικό μεταςχθματιςμό ςυντεταγμζνων. 76

77 Το ίδιο ακριβϊσ εφαρμόςκθκε κατά τθ δεφτερθ προςζγγιςθ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου με τθ διαφορά ότι απαλείφκθκε ο όροσ κατά τθ 3 θ παραγϊγιςθ τθσ εξόδου και οδθγθκικαμε ςε ςφςτθμα με πλιρωσ προςδιοριςμζνο ςχετικό βακμό ίςο με 4,εξάγοντασ νόμο ελζγχου(5.53) και ζνα μθ γραμμικό μεταςχθματιςμό ςυντεταγμζνων. Στθ Τρίτθ προςπάκεια γραμμικοποίθςθσ με χριςθ ανϊτερων όρων δεν απαλείφκθκε κανζνασ όροσ και ζτςι κατά τθν 4 θ παραγϊγιςθ τθσ εξόδου προζκυψε μία διαφορικι εξίςωςθ του θ οποία δίνει διάφορουσ νόμουσ ελζγχου ανάλογα με το που βρίςκεται το ςφςτθμα ςτο χϊρο.τζλοσ,ζγινε αναφορά ςε διακοπτικοφσ ελεγκτζσ(switching controllers),που κα μποροφςαμε να υλοποιιςουμε για τον ζλεγχο του ςυςτιματοσ ςφαίρασ-ράβδου. 77

78 6.Προςομοιϊςεισ των προςεγγίςεων ελζγχου γραμμικοποίηςησ ειςόδου-εξόδου. Στο κεφάλαιο αυτό κα αςχολθκοφμε με τισ προςομοιϊςεισ των παραπάνω προςεγγίςεων γραμμικοποίθςθσ.ππωσ φάνθκε ςτο κεφάλαιο 5 και ςυγκεκριμζνα από το ςχιμα 5.2 θ προςζγγιςθ γραμμικοποίθςθσ είναι μια αλυςίδα από ολοκλθρωτζσ θ οποία παρεμβάλλεται από μικροφσ μθ γραμμικοφσ όρουσ.θ ςχζςθ: (5.45) μασ δείχνει πωσ πρζπει να είναι θ είςοδοσ ςτο ςφςτθμα μασ όπου είναι θ επικυμθτι ζξοδοσ που κζλουμε να ακολουκεί θ προςζγγιςθ τθσ γραμμικοποίθςθσ μασ κάκε φορά.ππωσ αναφζραμε και ςτθ προθγοφμενθ παράγραφο εδϊ τα επιλζγονται ζτςι ϊςτε το πολυϊνυμο να είναι ζνα πολυϊνυμο κατά Hurwitz(5.25),δθλαδι όλζσ οι ρίηεσ του να είναι αυςτθρϊσ ςτο αριςτερό μιγαδικό θμιεπίπεδο: Ευςτάθεια κατά Hurwitz (5.46) Εξετάηοντασ τθ γενικι περίπτωςθ κατά Hurwitz για τουσ ςυντελεςτζσ ςε 4 βακμοφ ςφςτθμα κα ζχουμε: 1 Ππου για τουσ ςυντελεςτζσ του πίνακα Hurwitz: (6.1) (6.2) 78

79 Για να επαλθκεφονται οι ςχζςεισ (6.1) και (6.2) κα επιλζξω κατάλλθλεσ τιμζσ για τα.ρροκφπτουν οι τιμζσ: Ωςτόςο ίςωσ επθρρεάςει θ επιλογι αυτϊν των τιμϊν το πόςο γριγορα δουλεφει ο ζλεγχοσ και εκμθδενίηεται το ςφάλμα παρακολοφκθςθσ.το πολυϊνυμο που κα χρθςιμοποιθκεί κα είναι το (6.3) και βάςει αυτοφ κα τροποποιείται κάκε φορά θ ςχζςθ (5.45): 6.1 Προςομοίωςη τησ πρϊτησ προςεγγιςτικήσ γραμμικοποίηςησ ειςόδου εξόδου(first approximation of input-output linearization) Κατά τθ πρϊτθ προςζγγιςθ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ κακϊσ δεν είναι πλιρωσ προςδιοριςμζνοσ ο ςχετικόσ βακμόσ του ςυςτιματοσ απαλείφουμε οριςμζνουσ όρουσ για να γίνει πλιρωσ οριςμζνοσ.στθ προθγοφμενθ παράγραφο βρικαμε ότι: (6.3) (5.51) Με το να απαλείψουμε τον μθ γραμμικό όρο πετφχαμε ςυγκεκριμζνο ςχετικό βακμό(well defined relative degree) το οποίο επιςθσ μασ οδθγεί ςε ςυγκεκριμζνο μεταςχθματιςμό ςυντεταγμζνων : (5.5) (6.4) 79

80 Πςον αφορά τθν είςοδο κα λάβουμε υπ όψιν τισ ςχζςεισ (5.45) και (6.3) και κα ζχουμε: ι αντικακιςτϊντασ από τθν (6.4) παίρνουμε: (6.5) Βάςει του ςχιματοσ 5.2 και του διανφςματοσ ςυντεταγμζνων (6.4) και τθσ ςχζςθσ (6.5) ςε ςυνδυαςμό με τον ζλεγχο (5.5) κα προχωριςουμε ςτθ προςομοίωςθ του προςεγγιςτικά γραμμικοποιθμζνου ςυςτιματοσ με προςδιοριςμζνο ςχετικό βακμό ςτο λογιςμικό Simulink.Θα ςχεδιαςτεί το ακόλουκο διάγραμμα ςτο Simulink για το νόμο ελζγχου τθσ (5.5): Sine Wave du/dt du/dt du/dt y' y '' y ''' Derivative Derivative1 Derivative2 du/dt Derivative3 y''' 2 Gain v 1 Out1 f4' 1 s Integrator f4 1 f3 1 f2 1 f1 s s s Integrator1 Integrator2 Integrator3 Scope f(u) 1 theta d/l Gain1 x3 du/dt Derivative4 x4 control law for approximation1 2 ball position du/dt Derivative5 ball velocity Σχιμα 6.1 Διάγραμμα ςτο Simulink για τθ πρώτθ προςζγγιςθ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου. 8

81 Ππωσ γίνεται φανερό καταςκευάςαμε τθν είςοδο, τθν αλυςίδα με τουσ ολοκλθρωτζσ και ςτθν ςυνάρτθςθ φτιάχτθκε ο νόμοσ ελζγχου (5.5) αυτισ τθσ προςεγγιςτικισ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου.h είςοδοσ ςχεδιάςτθκε ςτο λογιςμικό όπωσ θ ςχζςθ(6.5) ϊςτε να είναι όλοι οι ςυντελεςτζσ του ευςτακζσ πολυϊνυμο κατά Hurwitz. Ωςτόςο παρατθροφμε ότι ςτισ διάφορεσ προςεγγιςτικζσ γραμμικοποιιςεισ προκφπτουνε ςυςτιματα με πλιρωσ προςδιοριςμζνο ςχετικό βακμό(well defined relative degree) και μποροφμε να χρθςιμοποιιςουμε το toolbox του Matlab «NeliSys» το οποίο καταςκευάςτθκε από τον Μartin Ordeda Προςομοίωςη με χρήςη του NeliSys Το toolbox «NeliSys» περιζχει 4 διαφορετικζσ ενότθτεσ,κάκε μία από τισ οποίεσ εκτελεί διαφορετικζσ λειτουργίεσ ςτα δυναμικά ςυςτιματα.το πρϊτο δίνει τθ δυνατότθτα ςτο χριςτθ να κάνει phase-plane analysis ςε μθ γραμμικά ςυςτιματα 1 ου και 2 ου βακμοφ.το block που μασ δίδεται για αυτι τθ λειτουργία φαίνεται ςτο ςχιμα 6.2. Σχιμα 6.2 Το βοικθμα του NeliSys για τθν phase-plane analysis. Το δεφτερο βοικθμα του λογιςμικοφ είναι θ εκτζλεςθ τθσ ανάλυςθσ των limit cycles.το παράκυρο ειςαγωγισ δεδομζνων για τθν εκτζλεςθ τουσ φαίνεται ςτο ςχιμα

82 Σχιμα 6.3 Ειςαγωγι δεδομζνων για limit cycles ςτο toolbox «NeliSys» Το τρίτο βοικθμα του «NeliSys» είναι αυτό που μασ ενδιαφζρει και αςχολείται με ακριβι γραμμικοποιιςθ ειςόδου-εξόδου.σκοπόσ αυτισ τθσ μεκόδου είναι να ελεγχκεί ζνα μθ γραμμικό ςφςτθμα τθσ μορφισ : και να μεταςχθματιςκεί ςτθ μορφι: με τθ βοικεια ενόσ μθ γραμμικοφ μεταςχθματιςμοφ και ενόσ μθ γραμμικοφ ελζγχου κατάςταςθσ ανάδραςθσ(state-feedback controller). Αφοφ πραγματοποιθκζι το ςυγκεκριμζνο μπορεί να ςχεδιαςκεί ευςτακισ γραμμικόσ ελεγκτισ για τθ γραμμικοποιθμζνθ είςοδο χρθςιμοποιϊντασ κατάλλθλο γραμμικό ζλεγχο όπωσ τοποκζτθςθ πόλων(pole placement).εάν το αρχικό μθ γραμμικό ςφςτθμα είναι ελζγξιμο SISO ςφςτθμα μποροφμε να εφαρμόςουμε το μθ γραμμικό μεταςχθματιςμό: 82

83 και το μθ γραμμικό ζλεγχο : Ρρουπόκεςθ για να είναι επιτεφξιμα τα παραπάνω είναι ότι πρζπει ο ςχετικόσ βακμόσ του ςυςτιματοσ που κζλουμε να γραμμικοποικεί να ιςοφται με τθ τάξθ του ςυςτιματοσ.στθ περίπτωςθ του ςυςτιματοσ ςφαίρασ ράβδου γίνανε οι απαραίτθτεσ απαλειφζσ μθ γραμμικϊν όρων ϊςτε να προκφψει αυτι θ ςυνκικθ και να εμφανίηεται θ είςοδοσ ςτθν 4 θ παράγωγο τθσ εξόδου(δθλαδι ο ςχετικόσ βακμόσ να ιςοφται με τθν τάξθ του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ).συνεπϊσ μποροφμε με χριςθ του toolbox «NeliSys» να επιτφχουμε ακριβι γραμμικοποίθςθ. Πςον αφορά τισ πλθροφορίεσ για το μθ γραμμικό μεταςχθματιςμό,το μθ γραμμικό ςφςτθμα ςφαίρασ ράβδου και το νόμο ελζγχου που χρθςιμοποιοφμε κατά τθ πρϊτθ προςζγγιςθ γραμμικοποίθςθσ ειςόδουεξόδου(input-output linearization) ζχουμε βρει από προθγοφμενεσ παραγράφουσ: (6.4) (5.5) και 83

84 Θα οριςκεί το μθ γραμμικό ςφςτθμα ςφαίρασ-ράβδου ςτο NeliSys όπωσ φαίνεται παρακάτω ςχιμα 6.4 και ςτο οποίο ορίςτθκαν οι,ο αρικμόσ των καταςτάςεων και οι αρχικζσ ςυνκικεσ βάςει των οποίων κα γίνει θ προςομοίωςθ για το μθ γραμμικό. Σχιμα 6.4 Οριςμόσ του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ που κζλουμε να ελεγχκεί ςτο NeliSys. Πμοια ορίςαμε το νόμο ελζγχου του και το μθ γραμμικό μεταςχθματιςμό ςυντεταγμζνων ςτο NeliSys βάςει τθσ ςχζςθσ(5.5) και (6.4)αντίςτοιχα.Τα διάγραμματα ςτα ςχιματα 6.5 και 6.6 δείχνουνε αυτζσ τισ υλοποίθςεισ. 84

85 Σχιμα 6.5 Οριςμόσ του νόμου ελζγχου τθσ 1 θσ προςζγγιςθσ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου ςτο NeliSys για το ςφςτθμα ςφαίρασ-ράβδου. Σχιμα 6.6 Οριςμόσ μεταςχθματιςμοφ ςυντεταγμζνων γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου ςφαίρασ-ράβδου. ςτο NeliSys για τθ πρώτθ προςζγγιςθ 85

86 Για τθ ςχεδίαςθ του γραμμικοφ ελεγκτι κα ςχεδιάςουμε όλουσ του πόλουσ ςτο -2 και αυτό φαίνεται ςτο ςχιμα 6.7 παρακάτω. Σχιμα 6.7 Τοποκζτθςθ πόλων ςτο NeliSys για το γραμμικό ελεγκτι κατά τθ πρώτθ προςζγγιςθ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου ςφαίρασ-ράβδου. Σχεδιάςτθκε το ακόλουκο διάγραμμα ςτο Simulink με τθ βοικεια του NeliSys ςτο ςχιμα 6.8. για τθ πρϊτθ προςζγγιςθ γραμμικοποιιςθσ ειςόδου-εξόδου. 86

87 Exact linearization of a SISO system firstapproximation ball beam Sine Wave Yd Pole Placement SISO Linear controller u = u(x,v) Nonlinear SISO system x' = f(x) + g(x) u y = h(x) control law for first approximation Controlled nonlinear system Mux ball positionx1 LINEARIZATION LOOP CONTROL LOOP q = q(x) System states State-coordinates transformation Σχιμα 6.8 Διάγραμμα πρώτθσ προςομοίωςθσ με χριςθ του NeliSys Το ορίςκθκε ςτο script του Matlab ίςο με.το ςφςτθμα ρυκμίςτθκε γφρω από το ςθμείο ιςορροπίασ του.γία αρχικζσ ςυνκικεσ κοντά ςτθν ιδιομορφία(singularity point) εφαρμόηουμε τθν προςομοίωςθ μασ. Initial conditions: Με βάςει αυτζσ τισ αρχικζσ ςυνκικεσ βρίςκουμε τθν απόκριςθ τθσ κατάςταςθσ οποία είναι θ κζςθ τθσ ςφαίρασ και ςαν είςοδο παρακολοφκθςθσ βάηουμε τθν μθδενικι και περιμζνουμε το ςφςτθμα μασ να πάει ςτο μθδζν μετά από κάποιο χρόνο για τισ παραπάνω αρχικζσ ςυνκικεσ. θ 87

88 Σχιμα 6.9 Απόκριςθ κατάςταςθσ για αρχικζσ ςυνκικεσ κοντά ςτθν ιδιομορφία Σχιμα 6.1 Απόκριςθ κατάςταςθσ για αρχικζσ ςυνκικεσ κοντά ςτθν ιδιομορφία. 88

89 Σχιμα 6.11 Απόκριςθ κατάςταςθσ για αρχικζσ ςυνκικεσ κοντά ςτθν ιδιομορφία Σχιμα 6.12 Απόκριςθ κατάςταςθσ για αρχικζσ ςυνκικεσ κοντά ςτθν ιδιομορφία. 89

90 Σχιμα 6.13 Απόκριςθ κατάςταςθσ για αρχικζσ ςυνκικεσ κοντά ςτθν ιδιομορφία Σχιμα 6.14 Απόκριςθ κατάςταςθσ για αρχικζσ ςυνκικεσ κοντά ςτθν ιδιομορφία 9

91 Σαν αναφορά ειςόδου κεωρικθκε και αρχικό διάνυςμα κατάςταςθσ και εκτελζςαμε τθ προςομοίωςθ να δοφμε αν παρακολουκεί ικανοποιθτικά τθν ζξοδο.λιφκθκε το ακόλουκο ςχιμα για το τθ κζςθ τθσ ςφαίρασ και Σχιμα 6.15 Ζξοδοσ ςυςτιματοσ ςε ςχζςθ με είςοδο αναφοράσ και Από το ςχιμα 6.15 που προζκυψε βλεπουμε ότι μετά απο μερικά δευτερόλεπτα θ κζςθ τθσ ςφαίρασ ακολουκεί τθν είςοδο αναφοράσ,ωςτόςο το ςφάλμα ςε αυτι τθ περίπτωςθ είναι ςχετικά μεγάλο αφοφ ιςοφται με αλλά ςε κάκε περίπτωςθ δε μποροφμε να ποφμε ότι ο ζλεγχοσ δε δοφλεψε ικανοποιθτικά. 91

92 6.2 Προςομοίωςη τησ δεφτερησ προςεγγιςτικήσ γραμμικοποίηςησ ειςόδου εξόδου(second approximation of input-output linearization) Κατά τθ δεφτερθ προςζγγιςθ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου του μθ γραμμικοφ ςυςτιματοσ κακϊσ δε είναι πλιρωσ προςδιοριςμζνοσ ο ςχετικόσ βακμόσ του ςυςτιματοσ απαλείφουμε οριςμζνουσ μθ γραμμικοφσ όρουσ για να γίνει πλιρωσ οριςμζνοσ.στθ προθγοφμενθ παράγραφο βρικαμε ότι: (5.54) (5.53) Με το να απαλείψουμε τον μθ γραμμικό όρο πετφχαμε ςυγκεκριμζνο ςχετικό βακμό(well defined relative degree) και επιςθσ μασ οδθγεί ςε ςυγκεκριμζνο μεταςχθματιςμό ςυντεταγμζνων : (6.6) Πςον αφορά τθν είςοδο κα ζχουμε: κα λάβουμε υπ όψιν τισ ςχζςεισ (5.45) και (6.3) και ι αντικακιςτϊντασ από τθν (6.6) παίρνουμε: (6.7) Βάςει του ςχιματοσ 5.2 και του διανφςματοσ ςυντεταγμζνων (6.6) και τθσ ςχζςθσ (6.7) ςε ςυνδυαςμό με τον ζλεγχο (5.53) κα προχωριςουμε ςτθ προςομοίωςθ του προςεγγιςτικά γραμμικοποιθμζνου ςυςτιματοσ με προςδιοριςμζνο ςχετικό βακμό ςτο λογιςμικό Simulink.Θα ςχεδιαςτεί το ακόλουκο διάγραμμα ςτο Simulink για το νόμο ελζγχου τθσ (5.53): 92

93 Sine Wave du/dt du/dt du/dt y' y '' y ''' Derivative Derivative1 Derivative2 du/dt Derivative3 y''' 2 Gain v 1 Out1 f4' 1 s Integrator f4 1 f3 1 f2 1 f1 s s s Integrator1 Integrator2 Integrator3 Scope f(u) 1 theta d/l Gain1 x3 du/dt Derivative4 x4 control law for approximation2 2 ball position du/dt Derivative5 ball velocity Σχιμα 6.16 Δίαγραμμα προςομοίωςθσ για δεφτερθ προςζγγιςθ γραμμικοποιιςθσ ειςόδου-εξόδου του ςυςτιματοσ ςφαίρασ-ράβδου. Ππωσ γίνεται φανερό καταςκευάςαμε τθν είςοδο, τθν αλυςίδα με τουσ ολοκλθρωτζσ και ςτθν ςυνάρτθςθ φτιάχτθκε ο νόμοσ ελζγχου (5.53) αυτισ τθσ προςεγγιςτικισ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου.h είςοδοσ ςχεδιάςτθκε ςτο λογιςμικό όπωσ θ ςχζςθ(6.7) ϊςτε να απαρτίηουνε όλοι οι ςυντελεςτζσ του ζνα ευςτακζσ πολυϊνυμο κατά Hurwitz. Αν προβοφμε τϊρα ςτθν καταςκευι του διαγράμματοσ προςομοίωςθσ ςτο NeliSys κα εκτελζςουμε τα ίδια ακριβϊσ βιματα με τθ διαφορά ότι ςτθ γραμμικοποίθςθ αυτι αλλάηει και ο νόμοσ ελζγχου και ο μθ γραμμικόσ μεταςχθματιςμόσ ςυντεταγμενϊν.σφμφωνα με τισ ςχζςεισ (5.53) και (6.6) ορίςαμε τα παραπάνω ςτο NeliSys όπωσ φαίνεται ςτα ςχιματα που ακολουκοφν. 93

94 Σχιμα 6.17 Οριςμόσ νόμου ελζγχου για δεφτερθ μζκοδο προςζγγιςθσ γραμμικοποίθςθσ ειςόδουεξόδου του ςυςτιματοσ ςφαίρασ-ράβδου. Σχιμα 6.18 Οριςμόσ διανφςματοσ μθ γραμμικοφ μεταςχθματιςμοφ ςυντεταγμζνων για δεφτερθ προςζγγιςθ γραμμικοποίθςθσ ςφαίρασ-ράβδου ςτο NeliSys 94

95 Πςον αφορά τουσ πόλουσ του γραμμικοφ ελεγκτι τουσ επιλζγουμε ξανά να βρίςκονται ςτο μείον δφο και τελικά παίρνουμε το διάγραμμα ςτο Simulink. Exact linearization of a SISO system Second approximation ball beam Sine Wave Yd Mux Pole Placement Nonlinear SISO system SISO u = u(x,v) x' = f(x) + g(x) u ball positionx1 Linear controller y = h(x) control law for second approximation Controlled nonlinear system of ball beam LINEARIZATION LOOP CONTROL LOOP q = q(x) System states State-coordinates transformation Σχιμα 6.19 Δίαγραμμα ςτο Simulink για προςομοίωςθ δεφτερθσ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου ςφαίρασ-ράβδου. Το ορίςκθκε ςτο script του Matlab ίςο με.το ςφςτθμα ρυκμίςτθκε γφρω από το ςθμείο ιςορροπίασ του.γία αρχικζσ ςυνκικεσ μακριά από τθν ιδιομορφία(singularity point) εφαρμόηουμε τθν προςομοίωςθ μασ. Initial conditions: Με βάςει αυτζσ τισ αρχικζσ ςυνκικεσ βρίςκουμε τθν απόκριςθ τθσ κατάςταςθσ οποία είναι θ κζςθ τθσ ςφαίρασ και ςαν είςοδο παρακολοφκθςθσ βάηουμε τθν μθδενικι και περιμζνουμε το ςφςτθμα μασ να πάει ςτο μθδζν μετά από κάποιο χρόνο για τισ παραπάνω αρχικζσ ςυνκικεσ. θ 95

96 Σχιμα 6.2 Απόκριςθ κατάςταςθσ για αρχικζσ ςυνκικεσ μακριά από τθν ιδιομορφία Σχιμα 6.21 Απόκριςθ κατάςταςθσ για αρχικζσ ςυνκικεσ μακριά από τθν ιδιομορφία 96

97 Σχιμα 6.22 Απόκριςθ κατάςταςθσ για αρχικζσ ςυνκικεσ μακριά από τθν ιδιομορφία Σχιμα 6.23 Απόκριςθ κατάςταςθσ για αρχικζσ ςυνκικεσ μακριά από τθν ιδιομορφία 97

98 Σχιμα 6.24 Απόκριςθ κατάςταςθσ για αρχικζσ ςυνκικεσ μακριά από τθν ιδιομορφία Σχιμα 6.25 Απόκριςθ κατάςταςθσ για αρχικζσ ςυνκικεσ μακριά από τθν ιδιομορφία 98

99 Σαν ειςόδοσ αναφοράσ κεωρικθκε θ και αρχικό διάνυςμα κατάςταςθσ και εκτελζςαμε τθ προςομοίωςθ να δοφμε αν παρακολουκεί ικανοποιθτικά τθν ζξοδο.λιφκθκε το ακόλουκο ςχιμα για το τθ κζςθ τθσ ςφαίρασ. και Σχιμα 6.26 Ζξοδοσ ςυςτιματοσ ςε ςχζςθ με είςοδο αναφοράσ και Από το ςχιμα 6.26 που προζκυψε βλεπουμε ότι μετά απο μερικά δευτερόλεπτα θ κζςθ τθσ ςφαίρασ ακολουκεί τθν είςοδο αναφοράσ,ωςτόςο το ςφάλμα ςε αυτι τθ περίπτωςθ είναι πιο μικρό ςε ςχζςθ με τθ προςομοίωςθ γραμμικοποίθςθσ ειςόδου-εξόδου,αφοφ ιςοφται με Συνεπϊσ,μποροφμε να ποφμε ότι θ δεφτερθ προςζγγιςθ γραμμικοποίθςθσ ειςόδουεξόδου ζφερε καλφτερα αποτελζςματα από τθ πρϊτθ.αυτό ίςωσ να οφείλεται ςτο ότι κατά τθ δεφτερθ προςζγγιςθ γραμμικοποίθςθσ απαλείψαμε ζνα μθ γραμμικό όρο κατά τθ 3 θ παραγϊγιςθ τθσ εξόδου ςε αντίκεςθ με τθ πρϊτθ προςζγγιςθ που απαλείψαμε ζνα μθ γραμμικό όρο κατά τθ 2 θ παραγϊγιςθ τθσ εξόδου. 99

Εργαστηριακή άσκηση στο μάθημα του Αυτομάτου Ελέγχου (ΜΜ803)

Εργαστηριακή άσκηση στο μάθημα του Αυτομάτου Ελέγχου (ΜΜ803) Εργαστηριακή άσκηση στο μάθημα του Αυτομάτου Ελέγχου (ΜΜ803) Το ςφςτθμα τθσ φωτογραφίασ αποτελείται από ζνα κινθτιρα ςτον άξονα του οποίου ζχουμε προςαρμόςει ζνα φορτίο. Στον κινθτιρα υπάρχει ςυνδεδεμζνοσ

Διαβάστε περισσότερα

Ένα πρόβλθμα γραμμικοφ προγραμματιςμοφ βρίςκεται ςτθν κανονικι μορφι όταν:

Ένα πρόβλθμα γραμμικοφ προγραμματιςμοφ βρίςκεται ςτθν κανονικι μορφι όταν: Μζθοδος Simplex Η πλζον γνωςτι και περιςςότερο χρθςιμοποιουμζνθ μζκοδοσ για τθν επίλυςθ ενόσ γενικοφ προβλιματοσ γραμμικοφ προγραμματιςμοφ, είναι θ μζκοδοσ Simplex θ οποία αναπτφχκθκε από τον George Dantzig.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικι Μθχανϊν I. Διάλεξθ 16. Χειμερινό Εξάμθνο 2013 Τμιμα Μθχανολόγων Μθχ., ΕΜΠ

Δυναμικι Μθχανϊν I. Διάλεξθ 16. Χειμερινό Εξάμθνο 2013 Τμιμα Μθχανολόγων Μθχ., ΕΜΠ Δυναμικι Μθχανϊν I Διάλεξθ 16 Χειμερινό Εξάμθνο 2013 Τμιμα Μθχανολόγων Μθχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινϊςεισ Office Hours: Δευτζρα 1-3 μμ, Εργαςτιριο Εμβιομθχανικισ, Ιςόγειο Κτθρίου Μ (210 772-1516) DMmeche2013@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Modellus 4.01 Συ ντομοσ Οδηγο σ

Modellus 4.01 Συ ντομοσ Οδηγο σ Νίκοσ Αναςταςάκθσ 4.01 Συ ντομοσ Οδηγο σ Περιγραφή Σο είναι λογιςμικό προςομοιϊςεων που ςτθρίηει τθν λειτουργία του ςε μακθματικά μοντζλα. ε αντίκεςθ με άλλα λογιςμικά (π.χ. Interactive Physics, Crocodile

Διαβάστε περισσότερα

ςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων

ςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων κεφάλαιο 7 Α ςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων αςικζσ ζννοιεσ Γραμμικά, λζγονται τα ςυςτιματα εξιςϊςεων ςτα οποία οι άγνωςτοι εμφανίηονται ςτθν πρϊτθ δφναμθ. Σα γραμμικά ςυςτιματα με δφο εξιςϊςεισ και δφο

Διαβάστε περισσότερα

Πόςο εκτατό μπορεί να είναι ζνα μη εκτατό νήμα και πόςο φυςικό. μπορεί να είναι ζνα μηχανικό ςτερεό. Συνιςταμζνη δφναμη versus «κατανεμημζνησ» δφναμησ

Πόςο εκτατό μπορεί να είναι ζνα μη εκτατό νήμα και πόςο φυςικό. μπορεί να είναι ζνα μηχανικό ςτερεό. Συνιςταμζνη δφναμη versus «κατανεμημζνησ» δφναμησ Πόςο εκτατό μπορεί να είναι ζνα μη εκτατό νήμα και πόςο φυςικό μπορεί να είναι ζνα μηχανικό ςτερεό. Συνιςταμζνη δφναμη versus «κατανεμημζνησ» δφναμησ Για τθν ανάδειξθ του κζματοσ κα λφνουμε κάποια προβλιματα

Διαβάστε περισσότερα

Άπειρεσ κροφςεισ. Τθ χρονικι ςτιγμι. t, ο δακτφλιοσ ςυγκροφεται με τον τοίχο με ταχφτθτα (κζντρου μάηασ) μζτρου

Άπειρεσ κροφςεισ. Τθ χρονικι ςτιγμι. t, ο δακτφλιοσ ςυγκροφεται με τον τοίχο με ταχφτθτα (κζντρου μάηασ) μζτρου Άπειρεσ κροφςεισ Δακτφλιοσ ακτίνασ κυλάει ςε οριηόντιο δάπεδο προσ ζνα κατακόρυφο τοίχο όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Ο ςυντελεςτισ τριβισ ίςκθςθσ του δακτυλίου με το δάπεδο είναι, ενϊ ο τοίχοσ είναι λείοσ.

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium V

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium V Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium V Στατιςτική Συμπεραςματολογία Ι Σημειακζσ Εκτιμήςεισ Διαςτήματα Εμπιςτοςφνησ Στατιςτική Συμπεραςματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο τθσ Στατιςτικισ Συμπεραςματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Πλαγιογώνια Συςτήματα Συντεταγμζνων Γιϊργοσ Καςαπίδθσ

Πλαγιογώνια Συςτήματα Συντεταγμζνων Γιϊργοσ Καςαπίδθσ Πρόλογοσ το άρκρο αυτό κα δοφμε πωσ διαμορφϊνονται κάποιεσ ζννοιεσ όπωσ το εςωτερικό γινόμενο διανυςμάτων, οι ςυνκικεσ κακετότθτασ και παραλλθλίασ διανυςμάτων και ευκειϊν, ο ςυντελεςτισ διευκφνςεωσ διανφςματοσ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ Η ΕΡΓΑΣΙΑ. Ημερομηνία παράδοςησ: 12 Νοεμβρίου (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 10 μονάδεσ θ κάκε μία)

ΦΥΕ 14 ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ Η ΕΡΓΑΣΙΑ. Ημερομηνία παράδοςησ: 12 Νοεμβρίου (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 10 μονάδεσ θ κάκε μία) ΦΥΕ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 007-008 Η ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία παράδοςησ: Νοεμβρίου 007 (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 0 μονάδεσ θ κάκε μία) Άςκηςη α) Να υπολογιςκεί θ προβολι του πάνω ςτο διάνυςμα όταν: (.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Στο εργαςτιριο αυτό κα δοφμε πωσ μποροφμε να προςομοιϊςουμε μια κίνθςθ χωρίσ τθ χριςθ εξειδικευμζνων εργαλείων, παρά μόνο μζςω ενόσ προγράμματοσ λογιςτικϊν φφλλων, όπωσ είναι το Calc και το Excel. Τα δφο

Διαβάστε περισσότερα

Διάδοση θερμότητας σε μία διάσταση

Διάδοση θερμότητας σε μία διάσταση Διάδοση θερμότητας σε μία διάσταση Η θεωρητική μελζτη που ακολουθεί πραγματοποιήθηκε με αφορμή την εργαςτηριακή άςκηςη μζτρηςησ του ςυντελεςτή θερμικήσ αγωγιμότητασ του αλουμινίου, ςτην οποία διαγωνίςτηκαν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ ΜΕΛΕΣΗ ΣΗ ΚΙΝΗΗ ΩΜΑΣΟ Ε ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ - ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΤΝΣΕΛΕΣΗ ΣΡΙΒΗ ΟΛΙΘΗΗ

ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ ΜΕΛΕΣΗ ΣΗ ΚΙΝΗΗ ΩΜΑΣΟ Ε ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ - ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΤΝΣΕΛΕΣΗ ΣΡΙΒΗ ΟΛΙΘΗΗ ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ ΜΕΛΕΣΗ ΣΗ ΚΙΝΗΗ ΩΜΑΣΟ Ε ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ - ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΤΝΣΕΛΕΣΗ ΣΡΙΒΗ ΟΛΙΘΗΗ ΕΚΦΕ Α & Β ΑΝΑΣΟΛΙΚΗ ΑΣΣΙΚΗ τόχοι Μετά το πζρασ τθσ εργαςτθριακισ άςκθςθσ, οι μακθτζσ κα πρζπει να είναι ςε κζςθ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΑΡΣΗΗ. f y x y f A αντιςτοιχίηεται ςτο μοναδικό x A για το οποίο. Παρατθριςεισ Ιδιότθτεσ τθσ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ 1. Η. f A τθσ f.

ΑΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΑΡΣΗΗ. f y x y f A αντιςτοιχίηεται ςτο μοναδικό x A για το οποίο. Παρατθριςεισ Ιδιότθτεσ τθσ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ 1. Η. f A τθσ f. .. Αντίςτροφθ ςυνάρτθςθ Ζςτω θ ςυνάρτθςθ : A θ οποία είναι " ". Τότε ορίηεται μια νζα ςυνάρτθςθ, θ μζςω τθσ οποίασ το κάκε ιςχφει y. : A με Η νζα αυτι ςυνάρτθςθ λζγεται αντίςτροφθ τθσ. y y A αντιςτοιχίηεται

Διαβάστε περισσότερα

ΧΕΔΙΑΜΟ ΠΡΟΪΟΝΣΩΝ ΜΕ Η/Τ

ΧΕΔΙΑΜΟ ΠΡΟΪΟΝΣΩΝ ΜΕ Η/Τ ΧΕΔΙΑΜΟ ΠΡΟΪΟΝΣΩΝ ΜΕ Η/Τ ΚΑΜΠΤΛΕ ΕΛΕΤΘΕΡΗ ΜΟΡΦΗ Χριςιμεσ για τθν περιγραφι ομαλών και ελεφκερων ςχθμάτων Αμάξωμα αυτοκινιτου, πτερφγια αεροςκαφών, ςκελετόσ πλοίου χιματα χαρακτιρων κινουμζνων ςχεδίων Περιγραφι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1β: Ισότητα - Εξίσωση ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1β: Ισότητα - Εξίσωση Συγγραφή:

Διαβάστε περισσότερα

Η ίδια κατά μζτρο δφναμθ όταν εφαρμοςκεί ςε διαφορετικά ςθμεία τθσ πόρτασ προκαλεί διαφορετικά αποτελζςματα Ροιά;

Η ίδια κατά μζτρο δφναμθ όταν εφαρμοςκεί ςε διαφορετικά ςθμεία τθσ πόρτασ προκαλεί διαφορετικά αποτελζςματα Ροιά; ; Η ίδια κατά μζτρο δφναμθ όταν εφαρμοςκεί ςε διαφορετικά ςθμεία τθσ πόρτασ προκαλεί διαφορετικά αποτελζςματα Ροιά; 30/1/ 2 Η φυςικι τθσ ςθμαςία είναι ότι προςδιορίηει τθ ςτροφικι κίνθςθ ενόσ ςτερεοφ ωσ

Διαβάστε περισσότερα

Η αυτεπαγωγή ενός δακτυλίου

Η αυτεπαγωγή ενός δακτυλίου Η αυτεπαγωγή ενός δακτυλίου Υποκζςτε ότι κρατάτε ςτο χζρι ςασ ζναν μεταλλικό δακτφλιο διαμζτρου πχ 5 cm. Ζνασ φυςικόσ πικανότθτα κα προβλθματιςτεί: τι αυτεπαγωγι ζχει άραγε; Νομίηω κα ιταν μια καλι ιδζα

Διαβάστε περισσότερα

Ειςαγωγι ςτθν Τεχνολογία Αυτοματιςμοφ

Ειςαγωγι ςτθν Τεχνολογία Αυτοματιςμοφ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΤ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Σ.Σ. Σμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Τπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΣΕ Ειςαγωγι ςτθν Τεχνολογία Αυτοματιςμοφ Ενότθτα # 7: Συςτιματα Ελζγχου Μόνιμο ςφάλμα Ευςτάκεια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΡΑΝΕΙΑ ΜΑΘΗΣΕ: ΜΑΡΙΑΝΝΑ ΠΑΡΑΘΤΡΑ ΑΝΑΣΑΗ ΠΟΤΛΙΟ ΠΑΝΑΓΙΩΣΗ ΠΡΟΔΡΟΜΟΤ ΑΝΑΣΑΙΑ ΠΟΛΤΧΡΟΝΙΑΔΟΤ ΙΩΑΝΝΑ ΠΕΝΓΚΟΤ

ΑΔΡΑΝΕΙΑ ΜΑΘΗΣΕ: ΜΑΡΙΑΝΝΑ ΠΑΡΑΘΤΡΑ ΑΝΑΣΑΗ ΠΟΤΛΙΟ ΠΑΝΑΓΙΩΣΗ ΠΡΟΔΡΟΜΟΤ ΑΝΑΣΑΙΑ ΠΟΛΤΧΡΟΝΙΑΔΟΤ ΙΩΑΝΝΑ ΠΕΝΓΚΟΤ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ΜΑΘΗΣΕ: ΜΑΡΙΑΝΝΑ ΠΑΡΑΘΤΡΑ ΑΝΑΣΑΗ ΠΟΤΛΙΟ ΠΑΝΑΓΙΩΣΗ ΠΡΟΔΡΟΜΟΤ ΑΝΑΣΑΙΑ ΠΟΛΤΧΡΟΝΙΑΔΟΤ ΙΩΑΝΝΑ ΠΕΝΓΚΟΤ Οριςμόσ: Με τον όρο αδράνεια ςτθ Φυςικι ονομάηεται θ χαρακτθριςτικι ιδιότθτα των ςωμάτων να αντιςτζκονται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 11 η : Μζγιςτα και Ελάχιςτα Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΕΙΣΟΤΡΓΙΚΆ ΤΣΉΜΑΣΑ. 7 θ Διάλεξθ Διαχείριςθ Μνιμθσ Μζροσ Γ

ΛΕΙΣΟΤΡΓΙΚΆ ΤΣΉΜΑΣΑ. 7 θ Διάλεξθ Διαχείριςθ Μνιμθσ Μζροσ Γ ΛΕΙΣΟΤΡΓΙΚΆ ΤΣΉΜΑΣΑ 7 θ Διάλεξθ Διαχείριςθ Μνιμθσ Μζροσ Γ ελιδοποίθςθ (1/10) Σόςο θ κατάτμθςθ διαμεριςμάτων ςτακεροφ μεγζκουσ όςο και θ κατάτμθςθ διαμεριςμάτων μεταβλθτοφ και άνιςου μεγζκουσ δεν κάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2

Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2 Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2 Δρ. Χρήζηος Ηλιούδης Μθ Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι Εφαρμογζσ (ςε οποιαδιποτε περίπτωςθ δεν χρειάηονται αρνθτικοί αρικμοί) Καταμζτρθςθ. Διευκυνςιοδότθςθ.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 7 η : Σφνκετεσ Συναρτιςεισ Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Προχωρθμζνα Θζματα Συςτθμάτων Ελζγχου

Προχωρθμζνα Θζματα Συςτθμάτων Ελζγχου ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΤ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Σ.Σ. Σμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Τπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΣΕ Π.Μ.. «Νέες Σεχνολογίες στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές» Προχωρθμζνα Θζματα Συςτθμάτων Ελζγχου

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουκιακά Λογικά Κυκλώματα

Ακολουκιακά Λογικά Κυκλώματα Ακολουκιακά Λογικά Κυκλώματα Τα ψθφιακά λογικά κυκλϊματα που μελετιςαμε μζχρι τϊρα ιταν ςυνδυαςτικά κυκλϊματα. Στα ςυνδυαςτικά κυκλϊματα οι ζξοδοι ςε κάκε χρονικι ςτιγμι εξαρτϊνται αποκλειςτικά και μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο του Άβακα

Οδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο του Άβακα Οδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο του Άβακα Αυτζσ οι οδθγίεσ ζχουν ςτόχο λοιπόν να βοθκιςουν τουσ εκπαιδευτικοφσ να καταςκευάςουν τισ δικζσ τουσ δραςτθριότθτεσ με το μοντζλο του Άβακα. Παρουςίαςη

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη

Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

x n D 2 ENCODER m - σε n (m 2 n ) x 1 Παραδείγματα κωδικοποιθτϊν είναι ο κωδικοποιθτισ οκταδικοφ ςε δυαδικό και ο κωδικοποιθτισ BCD ςε δυαδικό.

x n D 2 ENCODER m - σε n (m 2 n ) x 1 Παραδείγματα κωδικοποιθτϊν είναι ο κωδικοποιθτισ οκταδικοφ ςε δυαδικό και ο κωδικοποιθτισ BCD ςε δυαδικό. Κωδικοποιητές Ο κωδικοποιθτισ (nor) είναι ζνα κφκλωμα το οποίο διακζτει n γραμμζσ εξόδου και το πολφ μζχρι m = 2 n γραμμζσ ειςόδου και (m 2 n ). Οι ζξοδοι παράγουν τθν κατάλλθλθ λζξθ ενόσ δυαδικοφ κϊδικα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑ032: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εαρινό εξάμηνο , Διδάςκων: Γιώργοσ Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΗ ΕΞΕΣΑΗ, 21 Μαρτίου, 2012 Διάρκεια: 2 ώρεσ

ΜΑ032: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εαρινό εξάμηνο , Διδάςκων: Γιώργοσ Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΗ ΕΞΕΣΑΗ, 21 Μαρτίου, 2012 Διάρκεια: 2 ώρεσ ΜΑ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εαρινό εξάμηνο -, Διδάςκων: Γιώργοσ Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΗ ΕΞΕΣΑΗ, Μαρτίου, Διάρκεια: ώρεσ ΟΝΟΜΑ: Αρ. Πολ. Σαυτ. Πρόβλημα. Θεωροφμε τα διανφςματα u =,,,, v =,,,4, w =,,,, (α) Υπολογίςτε

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Β. Φυςικθ Γενικθσ Παιδείασ. Τράπεζα ιεμάτων Κεφ.1 ο ΘΕΜΑ Δ. Για όλεσ τισ αςκθςεισ δίνεται η ηλεκτρικθ ςταιερά

Τάξη Β. Φυςικθ Γενικθσ Παιδείασ. Τράπεζα ιεμάτων Κεφ.1 ο ΘΕΜΑ Δ. Για όλεσ τισ αςκθςεισ δίνεται η ηλεκτρικθ ςταιερά Τάξη Β Φυςικθ Γενικθσ Παιδείασ Τράπεζα ιεμάτων Κεφ.1 ο ΘΕΜΑ Δ Για όλεσ τισ αςκθςεισ δίνεται η ηλεκτρικθ ςταιερά k 2 9 9 10 Nm 2 1. Δφο ακίνθτα ςθμειακά θλεκτρικά φορτία q 1 = - 2 μq και q 2 = + 3 μq, βρίςκονται

Διαβάστε περισσότερα

Παράςταςη ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1

Παράςταςη ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1 Δρ. Χρήστος Ηλιούδης Θζματα διάλεξησ ΣΤ1 Προςθεςη αφαίρεςη ςτο ΣΤ1 2 ή ΣΤ1 Ονομάηουμε ςυμπλιρωμα ωσ προσ μειωμζνθ βάςθ R ενόσ μθ προςθμαςμζνου αρικμοφ Χ = ( Χ θ-1 Χ θ-2... Χ 0 ) R ζναν άλλον αρικμό Χ'

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Αςκήςεισ 11 ησ Ενότητασ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Αςκήςεισ 11 ησ Ενότητασ Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Αςκήςεισ 11 ησ Ενότητασ Λουκάσ Βλάχοσ Τμιμα Φυςικισ Α.Π.Θ. Θεςςαλονίκθ, 2014 Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςε άδειεσ χριςθσ

Διαβάστε περισσότερα

Δείκτεσ απόδοςθσ υλικών

Δείκτεσ απόδοςθσ υλικών Δείκτεσ απόδοςθσ υλικών Κάκε ςυνδυαςμόσ λειτουργίασ, περιοριςμϊν και ςτόχων, οδθγεί ςε ζνα μζτρο τθσ απόδοςθσ τθσ λειτουργίασ του εξαρτιματοσ και περιζχει μια ομάδα ιδιοτιτων των υλικϊν. Αυτι θ ομάδα των

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσική ς Κατευ θυνσής Γ Λυκει ου - Ταλαντώσεις

Διαγώνισμα Φυσική ς Κατευ θυνσής Γ Λυκει ου - Ταλαντώσεις Διαγώνισμα Φυσική ς Κατευ θυνσής Γ Λυκει ου - Ταλαντώσεις Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιςτοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυςη κλειςτϊν δικτφων

Ανάλυςη κλειςτϊν δικτφων Ανάλυςη κλειςτϊν δικτφων Θ ανάλυςθ κλειςτϊν δικτφων ςτθρίηεται ςτθ διατιρθςθ τθσ μάηασ και τθσ ενζργειασ. Σε ζνα τυπικό βρόχο ABCDA υπάρχει ζνασ αρικμόσ από κόμβουσ, εδϊ A,B,C,D, ςτουσ οποίουσ ιςχφει θ

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Ροιεσ από τισ δυνάμεισ του ςχιματοσ ζχουν μθδενικι ροπι ωσ προσ τον άξονα (ε) περιςτροφισ του δίςκου;

Α1. Ροιεσ από τισ δυνάμεισ του ςχιματοσ ζχουν μθδενικι ροπι ωσ προσ τον άξονα (ε) περιςτροφισ του δίςκου; ΜΑΘΗΜΑ /ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΡΩΝΥMΟ: ΗΜΕΟΜΗΝΙΑ: 1/3/2015 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: ΚΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΤΕΕΟ ΣΩΜΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Ροιεσ από τισ δυνάμεισ του ςχιματοσ ζχουν μθδενικι ροπι ωσ προσ τον άξονα (ε)

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαςη Σφγχρονων Ακολουθιακών Κυκλωμάτων

Σχεδίαςη Σφγχρονων Ακολουθιακών Κυκλωμάτων Σχεδίαςη Σφγχρονων Ακολουθιακών Κυκλωμάτων Πίνακεσ Διζγερςησ των FF Όπωσ είδαμε κατά τθ μελζτθ των FF, οι χαρακτθριςτικοί πίνακεσ δίνουν τθν τιμι τθσ επόμενθσ κατάςταςθσ κάκε FF ωσ ςυνάρτθςθ τθσ παροφςασ

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματικι Ψυχολογία (ΨΧ66)

Πειραματικι Ψυχολογία (ΨΧ66) Πειραματικι Ψυχολογία (ΨΧ66) Διάλεξη 7 Σεχνικζσ για τθν επίτευξθ ςτακερότθτασ Πζτροσ Ροφςςοσ Μζθοδοι για την επίτευξη του ελζγχου Μζςω του κατάλλθλου ςχεδιαςμοφ του πειράματοσ (ςτόχοσ είναι θ εξάλειψθ

Διαβάστε περισσότερα

8 τριγωνομετρία. βαςικζσ ζννοιεσ. γ ςφω. εφω και γ. κεφάλαιο

8 τριγωνομετρία. βαςικζσ ζννοιεσ. γ ςφω. εφω και γ. κεφάλαιο κεφάλαιο 8 τριγωνομετρία Α βαςικζσ ζννοιεσ τθν τριγωνομετρία χρθςιμοποιοφμε τουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ, οι οποίοι ορίηονται ωσ εξισ: θμω = απζναντι κάκετθ πλευρά υποτείνουςα Γ ςυνω = εφω = προςκείμενθ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΥ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι

ΘΥ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι Παράςταςη κινητήσ υποδιαςτολήσ ςφμφωνα με το πρότυπο ΙΕΕΕ Δρ. Χρήστος Ηλιούδης το πρότυπο ΙΕΕΕ 754 ζχει χρθςιμοποιθκεί ευρζωσ ςε πραγματικοφσ υπολογιςτζσ. Το πρότυπο αυτό κακορίηει δφο βαςικζσ μορφζσ κινθτισ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 13 η : Επαναλθπτικι Ενότθτα Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

lim x και lim f(β) f(β). (β > 0)

lim x και lim f(β) f(β). (β > 0) . Δίνεται θ παραγωγίςιμθ ςτο * α, β + ( 0 < α < β ) ςυνάρτθςθ f για τθν οποία ιςχφουν: f(α) lim (-) a και lim ( f(β)) = Να δείξετε ότι: α. f(α) < α και f(β) > β β. Αν g() = τότε θ C f και C g ζχουν ζνα

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Δυναμική σε μι α δια στασή και στο επι πεδο

Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Δυναμική σε μι α δια στασή και στο επι πεδο Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Δυναμική σε μι α δια στασή και στο επι πεδο Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-4 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΚΛΩΜΑ RLC Ε ΕΙΡΑ (Απόκριςη ςε ημιτονοειδή είςοδο)

ΚΤΚΛΩΜΑ RLC Ε ΕΙΡΑ (Απόκριςη ςε ημιτονοειδή είςοδο) ΚΤΚΛΩΜΑ RLC Ε ΕΙΡΑ (Απόκριςη ςε ημιτονοειδή είςοδο) χήμα Κφκλωμα RLC ςε ςειρά χήμα 2 Διανυςματικι παράςταςθ τάςεων και ρεφματοσ Ζςτω ότι ςτο κφκλωμα του ςχιματοσ που περιλαμβάνει ωμικι, επαγωγικι και χωρθτικι

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 4 η : Όρια και Συνζχεια Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο τησ Αριθμογραμμήσ

Οδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο τησ Αριθμογραμμήσ Οδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο τησ Αριθμογραμμήσ Αυτζσ οι οδθγίεσ ζχουν ςτόχο να βοθκιςουν τουσ εκπαιδευτικοφσ να καταςκευάςουν τισ δικζσ τουσ δραςτθριότθτεσ με το μοντζλο τθσ Αρικμογραμμισ.

Διαβάστε περισσότερα

Απάντηση ΘΕΜΑ1 ΘΕΜΑ2. t=t 1 +T/2. t=t 1 +3T/4. t=t 1 +T ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΕ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΚΥΜΑΤΑ 1) (Β), 2. (Γ), 3. (Γ), 4. (Γ), 5. (Δ).

Απάντηση ΘΕΜΑ1 ΘΕΜΑ2. t=t 1 +T/2. t=t 1 +3T/4. t=t 1 +T ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΕ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΚΥΜΑΤΑ 1) (Β), 2. (Γ), 3. (Γ), 4. (Γ), 5. (Δ). Απάντηση ΘΕΜΑ1 1) (Β), 2. (Γ), 3. (Γ), 4. (Γ), 5. (Δ). ΘΕΜΑ2 Α)Ανάκλαςθ ςε ακίνθτο άκρο. Το προςπίπτον κφμα ςε χρόνο Τ/2 κα ζχει μετακινθκεί προσ τα δεξιά κατά 2 τετράγωνα όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Για

Διαβάστε περισσότερα

Λαμβάνοντασ υπόψη ότι κατά την πρόςθεςη δφο δυαδικϊν ψηφίων ιςχφει: Κρατοφμενο

Λαμβάνοντασ υπόψη ότι κατά την πρόςθεςη δφο δυαδικϊν ψηφίων ιςχφει: Κρατοφμενο Αριθμητικά κυκλώματα Ημιαθροιστής (Half Adder) Ο ημιαθροιςτήσ είναι ζνα κφκλωμα το οποίο προςθζτει δφο δυαδικά ψηφία (bits) και δίνει ωσ αποτζλεςμα το άθροιςμά τουσ και το κρατοφμενο. Με βάςη αυτή την

Διαβάστε περισσότερα

Slide 1. Εισαγωγή στη ψυχρομετρία

Slide 1. Εισαγωγή στη ψυχρομετρία Slide 1 Εισαγωγή στη ψυχρομετρία 1 Slide 2 Σφντομη ειςαγωγή ςτη ψυχρομετρία. Διάγραμμα Mollier (πίεςησ-ενθαλπίασ P-H) Σο διάγραμμα Mollier είναι μία γραφικι παράςταςθ ςε ζναν άξονα ςυντεταγμζνων γραμμϊν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΣΑ ΕΡΓΑΙΩΝ ΓΙΑ ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΟΜΟΙΩΗ

ΘΕΜΑΣΑ ΕΡΓΑΙΩΝ ΓΙΑ ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΟΜΟΙΩΗ ΘΕΜΑΣΑ ΕΡΓΑΙΩΝ ΓΙΑ ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΟΜΟΙΩΗ Οι εργαςίεσ αναλαμβάνονται από ομάδεσ φοιτθτών όπου θ κάκε ομάδα αποτελείται από ζωσ και 4 άτομα. Περιςςότερεσ από μία ομάδεσ μποροφν να αναλάβουν το ίδιο κζμα. Στη

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Έργο και Ενε ργεια

Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Έργο και Ενε ργεια Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Έργο και Ενε ργεια Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιςτοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΣΑΣΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΙΔΡΤΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΤ ΣΟΜΕΑ ΧΟΛΗ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΤΣΟΜΑΣΙΜΟΤ Σ.Ε.

ΑΝΩΣΑΣΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΙΔΡΤΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΤ ΣΟΜΕΑ ΧΟΛΗ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΤΣΟΜΑΣΙΜΟΤ Σ.Ε. ΑΝΩΣΑΣΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΙΔΡΤΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΤ ΣΟΜΕΑ ΧΟΛΗ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΤΣΟΜΑΣΙΜΟΤ Σ.Ε. ΤΣΗΜΑΣΑ ΑΤΣΟΜΑΣΟΤ ΕΛΕΓΧΟΤ Ι ΑΚΗΕΙ ΠΡΑΞΗ Καθηγητήσ: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΤΛΟ Καθ. Εφαρμ:. ΒΑΙΛΕΙΑΔΟΤ

Διαβάστε περισσότερα

Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ

Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ Δρ. Χρήστος Ηλιούδης αρικμθτικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ (Number System) Αξία (value) παράςταςθ Οι αξίεσ (π.χ. το βάροσ μιασ ποςότθτασ μιλων) μποροφν να παραςτακοφν με πολλοφσ τρόπουσ

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διότι για κάκε x θ f(x) δίνει πραγματικό αρικμό.

1. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διότι για κάκε x θ f(x) δίνει πραγματικό αρικμό. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΙΚΟΤΜΕ ΣΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΜΟΤ ΤΝΑΡΣΗΗ Για να οριςκεί μια ςυνάρτθςθ πρζπει να δοκοφν δφο ςτοιχεία : Σο πεδίο οριςμοφ τθσ Α και Η τιμι τθσ f() για κάκε Α. Οριςμζνεσ φορζσ μασ δίνουν μόνο τον

Διαβάστε περισσότερα

Α2. το ςτιγμιότυπο αρμονικοφ μθχανικοφ κφματοσ του χιματοσ 1, παριςτάνονται οι ταχφτθτεσ ταλάντωςθσ δφο ςθμείων του.

Α2. το ςτιγμιότυπο αρμονικοφ μθχανικοφ κφματοσ του χιματοσ 1, παριςτάνονται οι ταχφτθτεσ ταλάντωςθσ δφο ςθμείων του. ΘΕΜΑ Α. Στισ ερωτήςεισ Α1-Α4 να γράψετε ςτο τετράδιό ςασ τον αριθμό τησ ερϊτηςησ και, δίπλα, το γράμμα που αντιςτοιχεί ςτην επιλογή η οποία ςυμπληρϊνει ςωςτά την ημιτελή πρόταςη. Α1. τθ ςφνκεςθ δφο απλϊν

Διαβάστε περισσότερα

Παπαδρακάκθσ Μανόλθσ Θζμα ΙI Στατικι ΙΙΙ Καρακίτςιοσ Παναγιϊτθσ. Εθνικό Μετςόβιο Πολυτεχνείο Ακαδημαϊκό ζτοσ χολή Πολιτικϊν Μηχανικϊν

Παπαδρακάκθσ Μανόλθσ Θζμα ΙI Στατικι ΙΙΙ Καρακίτςιοσ Παναγιϊτθσ. Εθνικό Μετςόβιο Πολυτεχνείο Ακαδημαϊκό ζτοσ χολή Πολιτικϊν Μηχανικϊν Εθνικό Μετςόβιο Πολυτεχνείο Ακαδημαϊκό ζτοσ 2010-2011 χολή Πολιτικϊν Μηχανικϊν 6 ο εξάμηνο Σομζασ Δομοςτατικήσ Μάθημα: τατική ΙΙΙ (Ανάλυςη Ραβδωτϊν Φορζων φγχρονεσ Μζθοδοι) Παπαδρακάκησ Μανόλησ Καθηγητήσ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΚΦΕ ΑΝ. ΑΤΤΙΚΗΣ Υπ. Κ. Παπαμιχάλθσ. Μζτρηςη του λόγου γ=c P /C V των αερίων με τη μζθοδο Clement Desormes

Α ΕΚΦΕ ΑΝ. ΑΤΤΙΚΗΣ Υπ. Κ. Παπαμιχάλθσ. Μζτρηςη του λόγου γ=c P /C V των αερίων με τη μζθοδο Clement Desormes Α ΕΚΦΕ ΑΝ. ΑΤΤΙΚΗΣ Υπ. Κ. Παπαμιχάλθσ Μζτρηςη του λόγου γ=c P /C V των αερίων με τη μζθοδο Clement Desormes Στόχοι 1. Ανάλυςθ τθσ λειτουργίασ τθσ πειραματικισ διάταξθσ 2. Εφαρμογι των νόμων τθσ κερμοδυναμικισ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικη ς Α Λυκει όυ Ε.Ο.Κ. και Ε.Ο.Μ.Κ.

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικη ς Α Λυκει όυ Ε.Ο.Κ. και Ε.Ο.Μ.Κ. Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικη ς Α Λυκει όυ Ε.Ο.Κ. και Ε.Ο.Μ.Κ. Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-4 και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Η άςκθςθ αποτελεί τροποποιθμζνθ εκδοχι του κζματοσ φυςικισ, τθσ Ευρωπαϊκισ Ολυμπιάδασ Φυςικών Επιςτθμών 2009_επιμζλεια κζματοσ: Κώςτασ Παπαμιχάλθσ

Η άςκθςθ αποτελεί τροποποιθμζνθ εκδοχι του κζματοσ φυςικισ, τθσ Ευρωπαϊκισ Ολυμπιάδασ Φυςικών Επιςτθμών 2009_επιμζλεια κζματοσ: Κώςτασ Παπαμιχάλθσ ΕΚΦΕ Αχαρνών Η άςκθςθ αποτελεί τροποποιθμζνθ εκδοχι του κζματοσ φυςικισ, τθσ Ευρωπαϊκισ Ολυμπιάδασ Φυςικών Επιςτθμών 9_επιμζλεια κζματοσ: Κώςτασ Παπαμιχάλθσ Εφαρμογζσ τθσ Αρχισ του Αρχιμιδθ & τθσ ςυνκικθσ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 5 η : Μερικι Παράγωγοσ Ι Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιςτιμιο Κφπρου ΟΙΚ 223: Μακθματικά για οικονομολόγουσ ΙΙ Διδάςκων:

Πανεπιςτιμιο Κφπρου ΟΙΚ 223: Μακθματικά για οικονομολόγουσ ΙΙ Διδάςκων: Πανεπιςτιμιο Κφπρου ΟΙΚ 3: Μακθματικά για οικονομολόγουσ ΙΙ Διδάςκων: Φάμπιο Αντωνίου τοιχεία Επικοινωνίασ: email: fantoniou@aueb.gr ; fabio@ucy.ac.cy Σθλ:893683 Προςωπικι Ιςτοςελίδα: fantoniou.wordpress.com

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΛΟΓΟΙ ΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥΣ

ΒΙΟΛΟΓΟΙ ΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥΣ ΦΥΣΙΚΗ vs ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΒΙΟΛΟΓΟΙ ΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥΣ «Προτείνω να αναπτφξουμε πρώτα αυτό που κα μποροφςε να ζχει τον τίτλο: «ιδζεσ ενόσ απλοϊκοφ φυςικοφ για τουσ οργανιςμοφσ». Κοντολογίσ, τισ ιδζεσ που κα μποροφςαν

Διαβάστε περισσότερα

ΧΗΥΙΑΚΟ ΔΚΠΑΙΔΔΤΣΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΥΤΙΚΗ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΘΔΜΑ Β

ΧΗΥΙΑΚΟ ΔΚΠΑΙΔΔΤΣΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΥΤΙΚΗ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΘΔΜΑ Β 4 o ΔΙΓΩΝΙΜ ΠΡΙΛΙΟ 04: ΔΝΔΔΙΚΣΙΚΔ ΠΝΣΗΔΙ ΦΥΣΙΚΗ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΙ ΤΔΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΤΔΥΘΥΝΣΗΣ 4 ο ΔΙΓΩΝΙΣΜ ΔΝΔΔΙΚΤΙΚΔΣ ΠΝΤΗΣΔΙΣ ΘΔΜ. β. β 3. α 4. γ 5. α.σ β.σ γ.λ δ.σ ε.λ. ΘΔΜ Β Σωςτι είναι θ απάντθςθ γ. Έχουμε ελαςτικι

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικαςία Διαχείριςθσ Στθλϊν Βιβλίου Εςόδων - Εξόδων. (v.1.0.7)

Διαδικαςία Διαχείριςθσ Στθλϊν Βιβλίου Εςόδων - Εξόδων. (v.1.0.7) Διαδικαςία Διαχείριςθσ Στθλϊν Βιβλίου Εςόδων - Εξόδων (v.1.0.7) 1 Περίληψη Το ςυγκεκριμζνο εγχειρίδιο δθμιουργικθκε για να βοθκιςει τθν κατανόθςθ τθσ διαδικαςίασ διαχείριςθσ ςτθλών βιβλίου Εςόδων - Εξόδων.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕ ΒΑΕΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΗ ΝΟΗΛΕΤΣΙΚΗ. Φιλιοποφλου Ειρινθ

ΕΦΑΡΜΟΓΕ ΒΑΕΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΗ ΝΟΗΛΕΤΣΙΚΗ. Φιλιοποφλου Ειρινθ ΕΦΑΡΜΟΓΕ ΒΑΕΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΗ ΝΟΗΛΕΤΣΙΚΗ Φιλιοποφλου Ειρινθ Προςθήκη νζων πεδίων Ασ υποκζςουμε ότι μετά τθ δθμιουργία του πίνακα αντιλαμβανόμαςτε ότι ζχουμε ξεχάςει κάποια πεδία. Είναι ζνα πρόβλθμα το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Γνωριμία με το λογιςμικό του υπολογιςτι

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Γνωριμία με το λογιςμικό του υπολογιςτι ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Γνωριμία με το λογιςμικό του υπολογιςτι Λογιςμικό (Software), Πρόγραμμα (Programme ι Program), Προγραμματιςτισ (Programmer), Λειτουργικό Σφςτθμα (Operating

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικη ς Α Λυκει όυ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικη ς Α Λυκει όυ Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικη ς Α Λυκει όυ Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιςτοιχεί ςτθ

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριςη Αριθμοδεικτών (v.1.0.7)

Διαχείριςη Αριθμοδεικτών (v.1.0.7) Διαχείριςη Αριθμοδεικτών (v.1.0.7) Περιεχόμενα 1. Μενοφ... 5 1.1 Αρικμοδείκτεσ.... 5 1.1.1 Δθμιουργία Αρικμοδείκτθ... 6 1.1.2 Αντιγραφι Αρικμοδείκτθ... 11 2. Παράμετροι... 12 2.1.1 Κατθγορίεσ Αρικμοδεικτϊν...

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικζσ Λφςεισ Θεμάτων

Ενδεικτικζσ Λφςεισ Θεμάτων c AM (t) x(t) ΤΕΙ Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σειρά Β Ειςηγητήσ: Δρ Απόςτολοσ Γεωργιάδησ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι Ενδεικτικζσ Λφςεισ Θεμάτων Θζμα 1 ο (1 μον.) Ζςτω περιοδικό ςιμα πλθροφορίασ με περίοδο.

Διαβάστε περισσότερα

Άςκθςθ 1θ: Να γραφεί αλγόρικμοσ που κα δθμιουργεί με τθ βοικεια διπλοφ επαναλθπτικοφ βρόχου, τον ακόλουκο διςδιάςτατο πίνακα:

Άςκθςθ 1θ: Να γραφεί αλγόρικμοσ που κα δθμιουργεί με τθ βοικεια διπλοφ επαναλθπτικοφ βρόχου, τον ακόλουκο διςδιάςτατο πίνακα: 2 ο Σετ Ασκήσεων Δομές Δεδομένων - Πίνακες Άςκθςθ 1θ: Να γραφεί αλγόρικμοσ που κα δθμιουργεί με τθ βοικεια διπλοφ επαναλθπτικοφ βρόχου, τον ακόλουκο διςδιάςτατο πίνακα: 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Βάςεισ Δεδομζνων Ι. Ενότητα 12: Κανονικοποίηςη. Δρ. Τςιμπίρθσ Αλκιβιάδθσ Τμιμα Μθχανικών Πλθροφορικισ ΤΕ

Βάςεισ Δεδομζνων Ι. Ενότητα 12: Κανονικοποίηςη. Δρ. Τςιμπίρθσ Αλκιβιάδθσ Τμιμα Μθχανικών Πλθροφορικισ ΤΕ Βάςεισ Δεδομζνων Ι Ενότητα 12: Κανονικοποίηςη Δρ. Τςιμπίρθσ Αλκιβιάδθσ Τμιμα Μθχανικών Πλθροφορικισ ΤΕ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςε άδειεσ χριςθσ Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Δείκτεσ Διαχείριςθ Μνιμθσ. Βαγγζλθσ Οικονόμου Διάλεξθ 8

Δείκτεσ Διαχείριςθ Μνιμθσ. Βαγγζλθσ Οικονόμου Διάλεξθ 8 Δείκτεσ Διαχείριςθ Μνιμθσ Βαγγζλθσ Οικονόμου Διάλεξθ 8 Δείκτεσ Κάκε μεταβλθτι ςχετίηεται με μία κζςθ ςτθν κφρια μνιμθ του υπολογιςτι. Κάκε κζςθ ςτθ μνιμθ ζχει τθ δικι τθσ ξεχωριςτι διεφκυνςθ. Με άμεςθ

Διαβάστε περισσότερα

3 θ διάλεξθ Επανάλθψθ, Επιςκόπθςθ των βαςικϊν γνϊςεων τθσ Ψθφιακισ Σχεδίαςθσ

3 θ διάλεξθ Επανάλθψθ, Επιςκόπθςθ των βαςικϊν γνϊςεων τθσ Ψθφιακισ Σχεδίαςθσ 3 θ διάλεξθ Επανάλθψθ, Επιςκόπθςθ των βαςικϊν γνϊςεων τθσ Ψθφιακισ Σχεδίαςθσ 1 2 3 4 5 6 7 Παραπάνω φαίνεται θ χαρακτθριςτικι καμπφλθ μετάβαςθσ δυναμικοφ (voltage transfer characteristic) για ζναν αντιςτροφζα,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθολογία αςκιςεων αραίωςησ και ανάμειξησ διαλυμάτων (με τθν ίδια δ. ουςία).

Μεθολογία αςκιςεων αραίωςησ και ανάμειξησ διαλυμάτων (με τθν ίδια δ. ουςία). Μεθολογία αςκιςεων αραίωςησ και ανάμειξησ διαλυμάτων (με τθν ίδια δ. ουςία). Από τθν τράπεηα κεμάτων Α_ΧΘΜ_0_20651 Διακζτουμε υδατικό διάλυμα (Δ1) KOH 0,1 Μ. α)να υπολογίςετε τθν % w/v περιεκτικότθτα του

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μακθματικά ΙΙ

Γενικά Μακθματικά ΙΙ ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Ενότθτα 8 θ : Σειρζσ Taylor και Πεπλεγμζνεσ Συναρτιςεισ Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χριςθσ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόνομοι Πράκτορες. Αναφορά Εργασίας Εξαμήνου. Το αστέρι του Aibo και τα κόκαλα του

Αυτόνομοι Πράκτορες. Αναφορά Εργασίας Εξαμήνου. Το αστέρι του Aibo και τα κόκαλα του Αυτόνομοι Πράκτορες Αναφορά Εργασίας Εξαμήνου Το αστέρι του Aibo και τα κόκαλα του Jaohar Osman Η πρόταςθ εργαςίασ που ζκανα είναι το παρακάτω κείμενο : - ξ Aibo αγαπάει πάρα πξλύ ρα κόκαλα και πάμρα ρα

Διαβάστε περισσότερα

3 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1) Τίτλοσ τθσ ζρευνασ: «Ποια είναι θ επίδραςθ τθσ κερμοκραςίασ ςτθ διαλυτότθτα των ςτερεϊν ςτο νερό;» 2) Περιγραφι του ςκοποφ τθσ ζρευνασ: Η ζρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρηςιακή Ζρευνα και εφαρμογζσ με την χρήςη του λογιςμικοφ R

Επιχειρηςιακή Ζρευνα και εφαρμογζσ με την χρήςη του λογιςμικοφ R Επιχειρηςιακή Ζρευνα και εφαρμογζσ με την χρήςη του λογιςμικοφ R Ενότητα 6 η : Η Μζθοδοσ Μ και η Μζθοδοσ των Δφο Φάςεων Κων/νοσ Κουνετάσ, Επίκουροσ Κακθγθτισ Νίκοσ Χατηθςταμοφλου, Υπ. Δρ. Οικονομικισ Επιςτιμθσ

Διαβάστε περισσότερα

Σράπεζα θεμάτων Θετικού Προςανατολιςμού Κεφ. 1 Θέμα Δ

Σράπεζα θεμάτων Θετικού Προςανατολιςμού Κεφ. 1 Θέμα Δ Σράπεζα θεμάτων Θετικού Προςανατολιςμού Κεφ. 1 Θέμα Δ ΚΑΜΠΤΛΟΓΡΑΜΜΕ ΚΙΝΗΕΙ 1.1 ΟΡΙΖΟΝΣΙΑ ΒΟΛΗ 1. Τα ςκαλοπάτια μιασ ςκάλασ είναι όλα όμοια μεταξφ τουσ και ζχουν φψοσ h = 20 cm και πλάτοσ d = 40 cm. Από

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο Χρήςησ Προςωποποιημζνων Υπηρεςιών Γ.Ε.ΜΗ. (Εθνικό Τυπογραφείο)

Εγχειρίδιο Χρήςησ Προςωποποιημζνων Υπηρεςιών Γ.Ε.ΜΗ. (Εθνικό Τυπογραφείο) Εγχειρίδιο Χρήςησ Προςωποποιημζνων Υπηρεςιών Γ.Ε.ΜΗ. (Εθνικό Τυπογραφείο) Ιοφνιοσ 2013 Περιεχόμενα: Ειςαγωγή... 3 1.Εθνικό Τυπογραφείο... 3 1.1. Είςοδοσ... 3 1.2. Αρχική Οθόνη... 4 1.3. Διεκπεραίωςη αίτηςησ...

Διαβάστε περισσότερα

Ψθφιακά Ηλεκτρονικά. Ενότθτα 5 : Ανάλυςθ κυκλώματοσ με D και JK FLIP- FLOP Φώτιοσ Βαρτηιώτθσ

Ψθφιακά Ηλεκτρονικά. Ενότθτα 5 : Ανάλυςθ κυκλώματοσ με D και JK FLIP- FLOP Φώτιοσ Βαρτηιώτθσ Ελλθνικι Δθμοκρατία Σεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Ψθφιακά Ηλεκτρονικά Ενότθτα 5 : Ανάλυςθ κυκλώματοσ με D και JK FLIP- FLOP Φώτιοσ Βαρτηιώτθσ 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ςτο ΤΕΙ Ηπείρου Σμιμα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΟΙΟΣΗΣΑ ΔΙΔΑΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΣΟ ΔΤΝΑΜΙΚΟ ΜΟΝΣΕΛΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΗ ΑΠΟΣΕΛΕΜΑΣΙΚΟΣΗΣΑ

Η ΠΟΙΟΣΗΣΑ ΔΙΔΑΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΣΟ ΔΤΝΑΜΙΚΟ ΜΟΝΣΕΛΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΗ ΑΠΟΣΕΛΕΜΑΣΙΚΟΣΗΣΑ «Προωθώντασ την Ποιότητα και την Ιςότητα ςτην Εκπαίδευςη: Ανάπτυξη, Εφαρμογή και Αξιολόγηςη Παρεμβατικοφ Προγράμματοσ για Παροχή Ίςων Εκπαιδευτικών Ευκαιριών ςε όλουσ τουσ Μαθητζσ» Η ΠΟΙΟΣΗΣΑ ΔΙΔΑΚΑΛΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ψθφιακά Ηλεκτρονικά. Ενότθτα 7 : Ελαχιςτοποίθςθ και κωδικοποίθςθ καταςτάςεων Φϊτιοσ Βαρτηιϊτθσ

Ψθφιακά Ηλεκτρονικά. Ενότθτα 7 : Ελαχιςτοποίθςθ και κωδικοποίθςθ καταςτάςεων Φϊτιοσ Βαρτηιϊτθσ Ελλθνικι Δθμοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Ψθφιακά Ηλεκτρονικά Ενότθτα 7 : Ελαχιςτοποίθςθ και κωδικοποίθςθ καταςτάςεων Φϊτιοσ Βαρτηιϊτθσ 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ςτο ΤΕΙ Ηπείρου Τμιμα

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο Χρήςησ Προςωποποιημζνων Υπηρεςιών Γ.Ε.ΜΗ. (Εθνικό Τυπογραφείο)

Εγχειρίδιο Χρήςησ Προςωποποιημζνων Υπηρεςιών Γ.Ε.ΜΗ. (Εθνικό Τυπογραφείο) Εγχειρίδιο Χρήςησ Προςωποποιημζνων Υπηρεςιών Γ.Ε.ΜΗ. (Εθνικό Τυπογραφείο) Πάτρα, 2013 Περιεχόμενα: Ειςαγωγή... 4 1. Επιμελητήριο... Error! Bookmark not defined. 1.1 Διαχειριςτήσ Αιτήςεων Επιμελητηρίου...

Διαβάστε περισσότερα

Πωσ δθμιουργώ φακζλουσ;

Πωσ δθμιουργώ φακζλουσ; Πωσ δθμιουργώ φακζλουσ; Για να μπορζςετε να δθμιουργιςετε φακζλουσ ςτο χαρτοφυλάκιό ςασ ςτο Mahara κα πρζπει να μπείτε ςτο ςφςτθμα αφοφ πατιςετε πάνω ςτο ςφνδεςμο Mahara profiles από οποιοδιποτε ςελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Αςκήςεισ. Ενότητα 1. Πηγζσ τάςησ, ρεφματοσ και αντιςτάςεισ

Αςκήςεισ. Ενότητα 1. Πηγζσ τάςησ, ρεφματοσ και αντιςτάςεισ Αςκήςεισ Ενότητα 1. Πηγζσ τάςησ, ρεφματοσ και αντιςτάςεισ 1. Ζςτω το ςιμα τάςθσ V(t)=V dc +Asin(ωt) που βλζπουμε ςτο επόμενο ςχιμα. Να προςδιορίςετε το πλάτοσ Α και τθν dc ςυνιςτώςα κακώσ και να υπολογίςτε

Διαβάστε περισσότερα

Δομζσ Αφαιρετικότθτα ςτα Δεδομζνα

Δομζσ Αφαιρετικότθτα ςτα Δεδομζνα Δομζσ Αφαιρετικότθτα ςτα Δεδομζνα Περιεχόμενα Ζννοια δομισ Οριςμόσ δομισ Διλωςθ μεταβλθτϊν Απόδοςθ Αρχικϊν τιμϊν Αναφορά ςτα μζλθ μιασ δομισ Ζνκεςθ Δομισ Πίνακεσ Δομϊν Η ζννοια τθσ δομισ Χρθςιμοποιιςαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΟΔΤΝΑΜΙΚΗ Ι. Ενότθτα 1: Βαςικά χαρακτθριςτικά τθσ Θερμοδυναμικισ. ογομϊν Μπογοςιάν Πολυτεχνικι χολι Σμιμα Χθμικϊν Μθχανικϊν

ΘΕΡΜΟΔΤΝΑΜΙΚΗ Ι. Ενότθτα 1: Βαςικά χαρακτθριςτικά τθσ Θερμοδυναμικισ. ογομϊν Μπογοςιάν Πολυτεχνικι χολι Σμιμα Χθμικϊν Μθχανικϊν ΘΕΡΜΟΔΤΝΑΜΙΚΗ Ι Ενότθτα 1: Βαςικά χαρακτθριςτικά τθσ Θερμοδυναμικισ ογομϊν Μπογοςιάν Πολυτεχνικι χολι Σμιμα Χθμικϊν Μθχανικϊν κοποί ενότθτασ κοπόσ τθσ ενότθτασ αυτισ είναι θ περιγραφι των οριςμϊν και και

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικζσ Ανάλυςησ Διοικητικών Αποφάςεων

Τεχνικζσ Ανάλυςησ Διοικητικών Αποφάςεων Τεχνικζσ Ανάλυςησ Διοικητικών Αποφάςεων Ενότητα 7: Ειςαγωγι ςτο Δυναμικό Προγραμματιςμό Κακθγθτισ Γιάννθσ Γιαννίκοσ Σχολι Οργάνωςθσ και Διοίκθςθσ Επιχειριςεων Τμιμα Διοίκθςθσ Επιχειριςεων Σκοποί ενότητασ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΣΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Διαφορικόσ και Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ Δφο ή Περιςςοτζρων Μεταβλητϊν

ΑΝΩΣΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Διαφορικόσ και Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ Δφο ή Περιςςοτζρων Μεταβλητϊν ΑΝΩΣΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Διαφορικόσ και Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ Δφο ή Περιςςοτζρων Μεταβλητϊν 1 υναρτιςεισ Περιςςοτζρων Μεταβλθτϊν Παράδειγμα.(E.F. Dbois S =επιφάνεια ςϊματοσ W =βάροσ ςϊματοσ H =φψοσ ςϊματοσ

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλέκτες. 0 x 0 F = S x 0 + Sx 1 1 x 1

Πολυπλέκτες. 0 x 0 F = S x 0 + Sx 1 1 x 1 Πολυπλέκτες Ο πολυπλζκτθσ (multipleer - ) είναι ζνα ςυνδυαςτικό κφκλωμα που επιλζγει δυαδικι πλθροφορία μιασ από πολλζσ γραμμζσ ειςόδου και τθν κατευκφνει ςε μια και μοναδικι γραμμι εξόδου. Η επιλογι μιασ

Διαβάστε περισσότερα

HY437 Αλγόριθμοι CAD

HY437 Αλγόριθμοι CAD HY437 Αλγόριθμοι CAD Διδάςκων: Χ. Σωτηρίου http://inf-server.inf.uth.gr/courses/ce437/ 1 ΗΥ437 - Πολυεπίπεδθ Λογικι Απλοποίθςθ με Περιεχόμενα Είδθ Αδιάφορων Τιμϊν ςε Πολφ-επίπεδα Δυαδικά Δίκτυα Αδιάφορεσ

Διαβάστε περισσότερα

Μθχανολογικό Σχζδιο, από τθ κεωρία ςτο πρακτζο Χριςτοσ Καμποφρθσ, Κων/νοσ Βαταβάλθσ

Μθχανολογικό Σχζδιο, από τθ κεωρία ςτο πρακτζο Χριςτοσ Καμποφρθσ, Κων/νοσ Βαταβάλθσ Λεπτζσ Αξονικζσ γραμμζσ χρθςιμοποιοφνται για να δθλϊςουν τθν φπαρξθ ςυμμετρίασ του αντικειμζνου. Υπενκυμίηουμε ότι οι άξονεσ ςυμμετρίασ χρθςιμοποιοφνται μόνον όταν το ίδιο το εξάρτθμα είναι πραγματικά

Διαβάστε περισσότερα

Εργαςτιριο Βάςεων Δεδομζνων

Εργαςτιριο Βάςεων Δεδομζνων Εργαςτιριο Βάςεων Δεδομζνων 2010-2011 Μάθημα 1 ο 1 Ε. Σςαμούρα Σμήμα Πληροφορικήσ ΑΠΘ Σκοπόσ του 1 ου εργαςτθριακοφ μακιματοσ Σκοπόσ του πρϊτου εργαςτθριακοφ μακιματοσ είναι να μελετιςουμε ερωτιματα επιλογισ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΕΙΣΟΤΡΓΙΚΆ ΤΣΉΜΑΣΑ. 3 ο Εργαςτιριο υγχρονιςμόσ Διεργαςιϊν

ΛΕΙΣΟΤΡΓΙΚΆ ΤΣΉΜΑΣΑ. 3 ο Εργαςτιριο υγχρονιςμόσ Διεργαςιϊν ΛΕΙΣΟΤΡΓΙΚΆ ΤΣΉΜΑΣΑ 3 ο Εργαςτιριο υγχρονιςμόσ Διεργαςιϊν Παράλλθλεσ Διεργαςίεσ (1/5) Δφο διεργαςίεσ λζγονται «παράλλθλεσ» (concurrent) όταν υπάρχει ταυτοχρονιςμόσ, δθλαδι οι εκτελζςεισ τουσ επικαλφπτονται

Διαβάστε περισσότερα

Φσσική Γ Λσκείοσ 37 Θετ. και Τετν. Κατεύθσνση

Φσσική Γ Λσκείοσ 37 Θετ. και Τετν. Κατεύθσνση Φσσική Γ Λσκείοσ 37 Θετ. και Τετν. Κατεύθσνση 4.43. Η ταχφτθτα του κζντρου μάηασ μιασ ςυμπαγοφσ ςφαίρασ που κυλίεται ςε οριηόντιο επίπεδο είναι υ = 0 m/s ενϊ θ ακτίνα τθσ R = 0, m. Η ςφαίρα ςτθν πορεία

Διαβάστε περισσότερα

Ειςαγωγή ςτη μοντελοποίηςη και προςομοίωςη με τη χρήςη του λογιςμικού Interactive Physics [Οδηγόσ Γρήγορησ Εκκίνηςησ]

Ειςαγωγή ςτη μοντελοποίηςη και προςομοίωςη με τη χρήςη του λογιςμικού Interactive Physics [Οδηγόσ Γρήγορησ Εκκίνηςησ] 1 Ειςαγωγή ςτη μοντελοποίηςη και προςομοίωςη με τη χρήςη του λογιςμικού Interactive Physics 2005. [Οδηγόσ Γρήγορησ Εκκίνηςησ] A-Προετοιμαςία του περιβάλλοντοσ εργαςίασ το ςτάδιο αυτό κακορίηουμε τα οπτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 11 12 (Β - Γ Λυκείου)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 11 12 (Β - Γ Λυκείου) ΕΠΙΠΕΔΟ 11 12 (Β - Γ Λυκείου) 19 Μαρτίου 2011 10:00-11:15 3 point/μονάδες 1) Στθν πιο κάτω εικόνα πρζπει να υπάρχει αρικμόσ ςε κάκε κουκκίδα ϊςτε το άκροιςμα των αρικμϊν ςτα άκρα κάκε ευκφγραμμου τμιματοσ

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικζσ Ναυπηγικζσ Καταςκευζσ και Ιςτιοφόρα κάφη (Ε)

Ειδικζσ Ναυπηγικζσ Καταςκευζσ και Ιςτιοφόρα κάφη (Ε) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Σεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνασ Ειδικζσ Ναυπηγικζσ Καταςκευζσ και Ιςτιοφόρα κάφη (Ε) Ενδεικτική επίλυςη άςκηςησ 1 Δρ. Θωμάσ Π. Μαηαράκοσ Τμιμα Ναυπθγϊν Μθχανικϊν ΤΕ Το

Διαβάστε περισσότερα