Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα (GLM) Επισκόπηση

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα (GLM) Επισκόπηση"

Φιλομήνα Ζαΐμης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα (GLM) Επισκόπηση

2 Γενική μορφή g( E[ Y X ]) Xb Κατανομή της Υ στην εκθετική οικογένεια Ανεξάρτητες παρατηρήσεις Ενας όρος για το σφάλμα g(.) Συνδετική συνάρτηση (link function) π.χ. Normal regression g(y)=y, Poisson regression g(y)=log(y)

3 Εκτίμηση Maximum Likelihood Methods ˆb Εύρεση τέτοιου ώστε να μεγιστοποιείται η πιθανοφάνεια του μοντέλου L( b X) 100(1-a)% Διαστήματα εμπιστοσύνης για τα b i : bˆ z SE( bˆ) i 1 a/ 2 i Standard Errors για τις εκτιμήσεις των b i : τετραγωνική ρίζα της αντίστοιχης Variance [από πίνακα Variance-Covariance των εκτιμήσεων των b i δίνει και Covariances π.χ. Cov(b 1,b 2 )]

4 Έλεγχος υποθέσεων Likelihood ratio test 2[loglikelihood(M p+k )- loglikelihood(m p )]~X 2 k Wald test bˆ V( bˆ ) bˆ ~ X k 1 2 k: διάσταση του b, για k=1 bˆ2 bˆ ~ X 2 ~ N(0,1) ˆ 1 Var( b) SE( bˆ)

5 Γραμμικοί συνδυασμοί των b i Για να κατασκευάσουμε διαστήματα εμπιστοσύνης για γραμμικούς συνδυασμούς (π.χ. b 1 +b 2, b 2 -b 1 ) ή για αντίστοιχο έλεγχο υποθέσεων χρειαζόμαστε τη Variance του γραμμικού συνδυασμού Var(b 1 +b 2 )=Var(b 1 )+Var(b 2 )+2Cov(b 1,b 2 ) Var(b 1 -b 2 )=Var(b 1 )+Var(b 2 )-2Cov(b 1,b 2 ) Γενικά Var( cbˆ) cvar ( bˆ) c

6 Έλεγχος γραμμικότητας (1) Έλεγχος για σημαντικότητα πολυονυμικών όρων π.χ.. xi:logit outcome contage Log likelihood = outcome Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] contage _cons xi:logit outcome contage contage2 Log likelihood = outcome Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] contage contage _cons

7 Logit predictions Έλεγχος γραμμικότητας (2) Γραφικός έλεγχος (logit predictions από κατηγορικό μοντέλο) qui xi:logit outcome i.age predict logcat,xb gr7 logcat contage Age (Years)

8 Logistic regression (1) p i log( ) b0 bjxij, i 1,2,..., n 1 i j1 b :log( Odds) για x 0, j 0 j bj :log( Odds Ratio) Για αύξηση του x j κατά 1 μονάδα Αν το x j είναι ψευδομεταβλητή για συγκεκριμένη κατηγορία κ κατηγορικής μεταβλητής το Odds Ratio αντιστοιχεί σε: Κατηγορία κ vs. Κατηγορία αναφοράς

9 Logistic regression (2) Ερμηνεία όρων αλληλεπίδρασης: Έστω log[π/1-π]=β 0 +β 1 *Γυναίκες+β 2 *Ηλικία+β 3 *(Ηλικία*Γυναίκες) Άνδρες: log[π/1-π]=β 0 +β 2 *Ηλικία Γυναίκες: log[π/1-π]=β 0 +β 1 *Γυναίκες+(β 2 +β 3 )*Ηλικία Odds Ratio για αύξηση ηλικίας κατά 1 χρόνο Άνδρες: exp(β 2 ) Γυναίκες: exp(β 2 +β 3 ) exp(β 3 ): Πόσο μεγαλύτερο (ή μικρότερο) είναι το OR που σχετίζεται με αύξηση της ηλικίας κατά ένα χρόνο στις γυναίκες σε σχέση με το αντίστοιχο των αντρών

10 The model Ε[log{π/(1-π)}]= β 0 +β 1 *Age_2+β 2 *Age_3+β 3 *Age_4+β 4 *More_1 +β 5 *Age_2*More_1+β 6 *Age_3*More_1+β 7 *Age_4*More_1 Age More Children Yes (More_1) No (More_0) <25 (Age_1) (Age_2) (Age_3) (Age_4) exp(β 0 +β 4 ) exp(β 0 + β 1 +β 4 +β 5 ) exp(β 0 + β 2 +β 4 +β 6 ) exp(β 0 + β 3 +β 4 +β 7 ) exp(β 0 ) exp(β 0 + β 1 ) exp(β 0 + β 2 ) exp(β 0 + β 3 ) OR 1 Odds Ratio for contraceptive use (More=Yes vs. More=No Age=25-29)= exp(β 4 +β 5 ) OR 2 Odds Ratio for contraceptive use (More=Yes vs. More=No Age=<25)= exp(β 4 ) OR 1 / OR 2 =exp(β 5 ) OR 1 Odds Ratio for contraceptive use (Age=25-29 vs. Age<25 More=Yes)= exp(β 1 +β 5 ) OR 2 Odds Ratio for contraceptive use (Age=25-29 vs. Age<25 More=No)= exp(β 1 ) OR 1 / OR 2 =exp(β 5 )

11 Logistic regression (3) Κυριώτερα διαγνωστικά Overall goodness of fit: Pearson ή Deviance χ 2. Aπαιτεί μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων ανά covariate pattern. Αν αυτή η πρϋπόθεση δεν ικανοποιείται: Hosmer-Lemeshow goodness of fit Residuals: Pearson, Deviance Γραφήματα: ΔΧ 2 ή ΔD vs. estimated probabilities Influence: Δβ

12 Conditional Logistic regression Ανάλυση δεδομένων από matched case-control studies (με οποιοδήποτε matching σχήμα) Ερμηνεία συντελεστών όπως στην απλή logistic regression ΠΡΟΣΟΧΗ: Το output του Stata δεν δίνει εκτίμηση του β 0, το οποίο δεν έχει νόημα να ερμηνευτεί Δεν μελετάμε την επίδραση μεταβλητών που έχουν χρησιμοποιηθεί για matching ως main effects. Αντίθετα μπορούμε να μελετήσουμε αλληλεπιδράσεις matching μεταβλητών με άλλες μεταβλητές

13 Multinomial Logistic regression Ανάλυση δεδομένων όπου η εξαρτημένη μεταβλητή είναι κατηγορική (μη διατεταγμένη). Για Υ=0, 1, 2 k και Υ=0 η κατηγορία αναφοράς: log P( Y j x) PY x x ( 0 x) j0 j1 1 jp p g j ( x) e ( x) P( Y j x) g ( x) 0 j k g j ( x) o e j0 για j=1,2, k Οι συντελεστές ερμηνεύονται ως log(relative Risk Ratios) Διαγνωστικά όπως στην απλή logistic regressions για τις επιμέρους συγκρίσεις (Υ=1 vs. Y=0,, Y=k vs. Y=0/Begg & Gray, Biometrika, 1984)

14 Ordinal Logistic regression T log{ ( x) /(1 ( x))} x, j 1,..., I 1 I # of categories (1) j j j where pr( Y j x) cumulative probability up to and including category j j Proportional-odds model: Ratio of the odds of the event Yj at x=x 1 and x=x 2 is: ( x ) /(1 ( x )) j 1 j 1 T ( x ) /(1 ( x )) j 2 j 2 exp{ ( x x )} 1 2

15 FEMALES P 1 =1/[1+exp(β 1 -k 1 )] P 1 +P 2 =1/[1+exp(β 1 -k 2 )] k 1 = k 2 = k 3 = β 1 = P 1 +P 2 +P 3 =1/[1+exp(β 1 -k 3 )] P 1 +P 2 +P 3 +P 4 =1/[1+exp(β 1 -k 4 )] P 1 =0.38 P 2 =0.36 P 3 =0.15 P 4 =0.11 MALES P 1 =1/[1+exp(-k 1 )] P 1 +P 2 =1/[1+exp(-k 2 )] P 1 +P 2 +P 3 =1/[1+exp(-k 3 )] P 1 +P 2 +P 3 +P 4 =1/[1+exp(-k 4 )] P 1 =0.27 P 2 =0.36 P 3 =0.20 P 4 =0.17 k 1 k 2 k 3

16 Εξαρτημένη Υ: counts Poisson regression log( ) o 1 X 1 p X p Ερμηνεία συντελεστών: i j e k i j j j e 4 i j 1 e 4 j 1 Overdispersion (scaled deviance ή scaled Pearson chi-square Διόρθωση standard errors [scale(x2)] Negative binomial regression

Σχετικά έγγραφα

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει θανάτους από καρδιακή ανεπάρκεια ανάμεσα σε άνδρες γιατρούς οι οποίοι έχουν κατηγοριοποιηθεί κατά ηλικία