Θέµατα Φυσικής και Μηχανικής

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θέµατα Φυσικής και Μηχανικής"

Transcript

1 Θέµατα Φυσικής και Μηχανικής 1. Η µέτρηση τότε και τώρα 2. Ψαµµίτης ( Η έκφραση των πολύ µεγάλων αριθµών) 3. Περί Οχουµένων Α και Β 4. Ο ατέρµων κοχλίας του Αρχιµήδη 5. Απλές Μηχανές(Μοχλός- τροχαλία -πολύσπαστο- βαρούλκο) 6. Μηχανικά ή Περί επιπέδων Ισορροπιών 7. Η µέθοδος του Αρχιµήδη (Περί µηχανικών θεωρηµάτων προς Ερατοσθένη έφοδος) 8. Περί σφαίρας και κυλίνδρου (Όγκος της σφαίρας) 9. Κύκλου µέτρησις (Ο αριθµός π ) 10. Τα άλυτα γεωµετρικά προβλήµατα της αρχαιότητας 11. Μαθηµατικά προβλήµατα µε τη σκιά 12. Στοµάχιον 13. Μικρές εργασίες στα µαθηµατικά 14. Συζητήσεις για τα Μαθηµατικά

2 Μέτρηση τότε και τώρα Αναφορές στο βιβλίο Περιγραφή του άβακα (σελ. 7,8) Μέτρηση µε τον άβακα ( σελ. 10) Μονάδες µέτρησης µήκους: Δάκτυλος (σελ. 7), Πόδι (σελ. 82), Πήχυς (σελ. 57) Μετροταινία (σελ. 137) Μονάδες µάζας (τάλαντο, µνα) (σελ.81) Θέµατα για συζήτηση Πώς µετράµε; Απαρχές της µέτρησης Υπολογισµοί µε τον άβακα. Αναφορά στη διαµάχη Αβακιστών και υποστηρικτών του δεκαδικού συστήµατος κατά τον µεσαίωνα. Μονάδες µέτρησης µήκους στην Αρχαιότητα. Πότε καθιερώθηκε το µέτρο η σηµερινή µονάδα µέτρησης µήκους Δραστηριότητες Αγώνας επιχειρηµατολογίας µε θέµα Το εύθραυστο εκκρεµές ή η βαριά Γη; ( Για παιδιά Λυκείου) Τα παιδιά µπορούν να παρακολουθήσουν αγώνα επιχειρηµατολογίας, ο οποίος θα αποτελεί προσοµοίωση αντιπαράθεσης στην Εθνοσυνέλευση κατά τη Γαλλική Επανάσταση. Η αντιπαράθεση αυτή θα αφορά την επιλογή της µονάδας µέτρησης µήκους. Υπολογίζουµε µε τον άβακα (Για παιδιά Γυµνασίου) Μαθαίνουµε πώς κάνουµε υπολογισµούς µε τον άβακα και συγκρίνουµε τη µέθοδο αυτή µε τις τους συνήθεις υπολογισµούς µε το δεκαδικό µας σύστηµα. Βιβλιογραφία Επιστηµονική Βιβλιοθήκη Life, Μαθηµατικά, Λύκειος Απόλλων Clawson, Calvin Ο ταξιδευτής των µαθηµατικών, Αθήνα, Κέδρος 2005 Guedj Denis.Το µέτρο του κόσµου, Τραυλός, Αθήνα, Heath, Thomas. Ιστορία των Ελληνικών Μαθηµατικών, Αθήνα, Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ (Τόµος 1, σελ.67-76) Νικολαϊδου Ε., Φράγκου Μ. Αρχιµήδης το θεϊκό µυαλό. Αθήνα, Ελληνικά Γράµµατα, Wilder, R. L.Εξέλιξη των µαθηµατικών εννοιών, Κουτσουµπός, Αθήνα, 1986.

3 Ψαµµίτης Αναφορές Μέτρηση των κόκκων της άµµου του άβακα- αδυναµία έκφρασης της ποσότητας µε αριθµό (σελ. 8,9) Πόσοι κόκκοι της άµµου θα χρειάζονταν για να γεµίσεις το σύµπαν; (σελ 9) Μυριάδα (10.000) (σελ. 8) Απεραντοσύνη των αριθµών (σελ. 9) Ερώτηση Αναζητείστε στο έργο Ψαµµίτης του Αρχιµήδη τη µέθοδο υπολογισµού των κόκκων της άµµου σε όλες της ακτές της γης. Πηγές Αναπολιτάνος, Δ.Α. και Β. Καρασµάνης (επιµέλεια). Αρχαία Ελληνικά Μαθηµατικά. Αθήνα, Τροχαλία, Νικολαΐδου, Ε. και Μ. Φράγκου. Αρχιµήδης. Αθήνα. Ελληνικά Γράµµατα, Heath, Thomas. Ιστορία των Ελληνικών Μαθηµατικών. Αθήνα, Loria, Gino. Ιστορία των Μαθηµατικών. Αθήνα, Παπαζήσης, Αναφορές Περί Οχουµένων Α και Β Ερωτήµατα που θέτει ο Αρχιµήδης: Γιατί επιπλέουν στο πλευρό τα νεκρά ψάρια; Πώς επιπλέει το ξύλο; (σελ. 15) Όπως είναι γνωστό ο Αρχιµήδης θεωρείται ο πατέρας της υδροστατικής γιατί πρώτος διατύπωσε το νόµο της άνωσης. Όλοι δε οι νόµοι της υδροστατικής που διατύπωσε περιέχονται στο έργο του Περί Οχουµένων Α και Β. Μπορούµε λοιπόν να συζητήσουµε µε τα παιδιά τα παρακάτω: Συζητήσεις Βρίσκουµε την ιστορία για την περίφηµη φράση Εύρηκα, Εύρηκα (Δηµοτικό και Γυµνάσιο) Ποιο είναι το πρόβληµα του στέµµατος; Ποια η λύση του προβλήµατος; (Λύκειο)

4 Ποια είναι η αρχή της υδροστατικής; Δραστηριότητες Διαβάζουµε το δοκίµιο Η µπανιέρα του Αρχιµήδη από το οµώνυµο βιβλίο των Ortoli και Witkowski. Πειράµατα Δουλεύουµε στο εργαστήριο της Φυσικής και καθοδηγούµε τα παιδιά να εκτελέσουν τις πειραµατικές επαληθεύσεις της αρχής του Αρχιµήδη όπως περιγράφονται στο βιβλίο του Π. Κόκκοτα. Βιβλιογραφία Κόκκοτας, Παναγιώτης κ.ά. Πειράµατα Φυσικής. Αθήνα, Εκδόσεις Γρηγόρη, 1988 Νικολαϊδου Ε., Φράγκου Μ. Αρχιµήδης το θεϊκό µυαλό, Αθήνα, Ελληνικά Γράµµατα, Heath, Thomas. Ιστορία των Ελληνικών Μαθηµατικών, Αθήνα, Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ Lafferty, Peter. Δύναµη και Κίνηση. Αθήνα, Δεληθανάσης-Ερευνητές, Ortoli S.& N. Witkowski. Η µπανιέρα του Αρχιµήδη, Σαββάλας, Αθήνα O ατέρµων κοχλίας του Αρχιµήδη Αναφορές στο βιβλίο Ατέρµων κοχλίας άντλησης νερού (σελ. 33, 57, 58, 59 Κανείς δεν είχε κατασκευάσει πριν από µένα ένα καταπέλτη των τριών ταλάντων ή το σύστηµα µε τις πολλαπλές τροχαλίες, ή τον ανυψωτή σε σχήµα βίδας (σελ. 338) Μικρές έρευνες Βρίσκουµε ποιες ήταν οι κατασκευές του Αρχιµήδη Ποια ήταν τα τεχνολογικά επιτεύγµατα πριν από τον Αρχιµήδη Δραστηριότητες Να βρεθεί µοντέλο του κοχλία στο διαδίκτυο Να διαβαστεί από το βιβλίο της Νικολαϊδου (σελ. 73) το απόσπασµα για το πλοίο Συρακουσίας. Βιβλιογραφία

5 Οι αρχαίοι θαυµατοποιοί-η τεχνολογία των Ελλήνων. Αθήνα, Ελευθεροτυπία (αφιέρωµα), Λάζος, Χρήστος. Υδραυλικά Όργανα και Μηχανισµοί στην Αίγυπτο των Πτολεµαίων. Αθήνα, Αίολος, Λάζος, Χρήστος. Μηχανική και Τεχνολογία στην Αρχαία Ελλάδα. Αθήνα, Αίολος, Hann, Judith. Ανακαλύπτω την επιστήµη. Αθήνα, Ερευνητές, 1995 Νικολαϊδου Ε., Φράγκου Μ. Αρχιµήδης το θεϊκό µυαλό, Αθήνα, Ελληνικά Γράµµατα, Φωκά, Ιωάννα & Πάνος Βαλαβάνης. Ανακαλύπτω την Αρχαία Ελλάδα- Αρχιτεκτονι`κή και Πολεοδοµία. Αθήνα, Κέδρος, Απλές Μηχανές

6 (Μοχλός- τροχαλία -πολύσπαστο- βαρούλκο) Αναφορές Τροχαλία, βαρούλκο (σελ.183, 285) Θεµελιώδεις αρχές του Μοχλού (σελ.216) Σύσπαστα-οδοντωτοί τροχοί, τροχαλία (σελ. 238,240) Βαρούλκο (σελ.288) Με αφορµή τις παραπάνω αναφορές µπορούµε να δουλέψουµε στο εργαστήριο της Φυσικής και να καθοδηγήσουµε τα παιδιά να εκτελέσουν απλά πειράµατα µε µοχλούς, τροχαλίες και πολύσπαστα. Προτείνουµε την κατασκευή του µοχλού µε απλά υλικά και τα πειράµατα που παρουσιάζονται στο 3 ο βιβλίο της βιβλιογραφίας. Βιβλιογραφία Κόκκοτας, Παναγιώτης κ.ά. Πειράµατα Φυσικής. Αθήνα, Εκδόσεις Γρηγόρη, Hann, Judith. Ανακαλύπτω την επιστήµη. Αθήνα, Ερευνητές, Taylor, Charles & Stephen Pople. Επιστήµη. Αθήνα, Ντουντούµης, (σελ. 128, 129) Μηχανικά ή Περί επιπέδων Ισορροπιών Αναφορές Ισορροπία των ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων (σελ.15) Όρια στη µηχανική (σελ. 193) Παροιµιώδης φράση του Αρχιµήδη (σελ. 193) Θεµελιώδεις αρχές του Μοχλού (σελ.216) Στην πραγµατεία του «Περί επιπέδων Ισορροπιών» ο Αρχιµήδης παρουσιάζει τις βασικές αρχές της Μηχανικής. Εκεί διατυπώνει και αποδεικνύει το θεµελιώδες θεώρηµα, σύµφωνα µε το οποίο δύο µεγέθη, είτε σύµµετρα είτε ασύµµετρα, ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες των µεγεθών. Θεώρηµα των ροπών ή νόµος των µοχλών B 1 x = B 2 y Δραστηριότητες Μια ενδιαφέρουσα δραστηριότητα για τα Μαθηµατικά που στηρίζεται στον παραπάνω νόµο και απευθύνεται σε παιδιά Γυµνασίου, περιγράφεται αναλυτικά στο βιβλίο Mathematics from history, The Greeks της Mary Brading. Είναι η δραστηριότητα Balancing Mobiles κατά την οποία τα παιδιά καλούνται να

7 συµπληρώσουν τους αριθµούς οι οποίοι εκφράζουν βάρη, ώστε τα mobiles να ισορροπούν. Παραθέτουµε στην αρχή ένα απλό παράδειγµα, όπως το παρακάτω Στη συνέχεια µπορούµε να δώσουµε ένα πιο σύνθετο mobile που αποτελείται π.χ. από το πολύ επτά επίπεδα. Έχουµε ως δεδοµένο ή τον αριθµό στην κορυφή ή έναν αριθµό στο κάτω επίπεδο. Αφού συµπληρώσουµε όλους τους αριθµούς που λείπουν προσπαθούµε να βρούµε ένα pattern που θα µας δείχνει τη σχέση του µικρότερου και του µεγαλύτερου αριθµού Το βιβλίο αυτό του Αρχιµήδη πραγµατεύεται επίσης το κέντρο βάρους των επιπέδων ευθυγράµµων σχηµάτων. Μια ενδιαφέρουσα δραστηριότητα θα ήταν να βρουν τα παιδιά το κέντρο βάρους Ενός παραλληλογράµµου Ενός τριγώνου Ενός τραπεζίου Θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε τρίγωνα από κόντρα πλακέ ή από σύρµα ή να δουλέψουµε στο εργαστήριο της Φυσικής και να καθοδηγήσουµε τα παιδιά να εκτελέσουν απλά πειράµατα προσδιορισµού του Κ. Β. Μπορούµε να ζητήσουµε από τα παιδιά να γράψουν στη δωρική διάλεκτο την περίφηµη φράση του Αρχιµήδη που αναφέρεται στη σελίδα 193 του βιβλίου.

8 Βιβλιογραφία Κόκκοτας, Π. κ.ά. Πειράµατα Φυσικής. Αθήνα, Γρηγόρης, Νικολαϊδου, Ελένη & Μαρία Φράγκου. Αρχιµήδης το θεϊκό µυαλό. Αθήνα, Ελληνικά Γράµµατα, Brading, Mary. The Greeks. Warwick, 4 learning, Hann, Judith. Ανακαλύπτω την Επιστήµη. Αθήνα, Ερευνητές, Heath, Thomas. Ιστορία των ελληνικών Μαθηµατικών. Αθήνα, Περί των Μηχανικών θεωρηµάτων προς Ερατοσθένην Έφοδος (Μέθοδος) Αναφορές Έχω µια µέθοδο ανάλυσης, να σκέφτοµαι τα προβλήµατα της Γεωµετρίας µηχανικά (σελ 311) Η περιοχή της παραβολής είναι τα τέσσερα τρίτα εκείνης του τριγώνου (σελ. 311, 316) Όσα αναφέρονται παραπάνω περιέχονται σε ένα γράµµα του Αρχιµήδη προς το φίλο του Ερατοσθένη, που ζούσε στην Αλεξάνδρεια, και στο οποίο του εξηγούσε τη µηχανική µέθοδο της ισορροπίας που ακολουθούσε για να ανακαλύψει πολλά από τα θεωρήµατά του. Το γράµµα αυτό, χαµένο µέχρι το 1906, βρέθηκε σε µορφή παλίµψηστου από τον J.L. Heiberg. Ένα από τα θεωρήµατα που ανακάλυψε και που αναφέρεται στο βιβλίο µας λέει ότι Το εµβαδόν οποιουδήποτε τµήµατος µιας τοµής ενός ορθογωνίου κώνου (παραβολής) ισούται µε τα 4/3 του εµβαδού του τριγώνου µε την ίδια βάση και µε το ίδιο ύψος. Ο Αρχιµήδης για να βρει το νόµο αυτό ισορρόπησε το άγνωστο εµβαδό του παραβολικού τµήµατος, µε το γνωστό εµβαδόν του τριγώνου, οπότε η θέση του υποµοχλίου καθόρισε και τη σχέση των µεγεθών τους. Ο υπεύθυνος µαθηµατικός της Λέσχης Ανάγνωσης µπορεί βασιζόµενος στο βιβλίο του Thomas Heath Ιστορία των ελληνικών Μαθηµατικών να δώσει στα παιδιά σε

9 γενικές γραµµές τη µέθοδο του Αρχιµήδη για τον υπολογισµό του παραβολικού τµήµατος. Δραστηριότητα Βλέπουµε την ταινία του BBC Τα µυστικό του Αρχιµήδη Βιβλιογραφία Σταµάτη, Σ. Αρχιµήδους άπαντα. Αθήνα, Τεχνικό Επιµελητήριο Ελλάδος, Στράντζαλου, Χ. Θέµατα ειδικής διδακτικής Ι- Εαρινό εξάµηνο Eves, Howard. Μεγάλες στιγµές των Μαθηµατικών-Διάλεξη 9, Ο στοχαστής και ο κακοποιός. Αθήνα, Τροχαλία, Heath, Thomas. Ιστορία των ελληνικών Μαθηµατικών. Αθήνα, Mankiewicz, Richard. Ιστορία των Μαθηµατικών, Αθήνα, Αλεξάνδρεια, (σελ. 101) Περί σφαίρας και Κυλίνδρου Αναφορές Αναλογία ανάµεσα στους όγκους ενός κυλίνδρου και µιας περιγεγραµµένης σφαίρας (σελ. 30,479) Είναι τα τρία µισά (σελ.480) Η αναλογία παρέµενε τέλεια (σελ.483) Στο Βιβλίο Περί σφαίρας και Κυλίνδρου του Αρχιµήδη αποδεικνύεται ότι ο όγκος της σφαίρας είναι ίσος µε τα 2/3 του όγκου του περιγεγραµµένου στη σφαίρα κυλίνδρου. Αυτή η ανακάλυψη τον έκανε τόσο περήφανο που θέλησε να την χαράξει στον τάφο του. Στο βιβλίο αυτό ο Αρχιµήδης παραθέτει το γνωστό αξίωµα Αρχιµήδους-Ευδόξου στο οποίο στηρίζεται η µέθοδος της εξάντλησης. Θέµατα για µικρή έρευνα Βρίσκουµε από ένα βιβλίο Στερεοµετρίας τον όγκο της σφαίρας και του κυλίνδρου Ποιο είναι το αξίωµα Αρχιµήδους Ευδόξου και ποια καλούνται Αρχιµήδεια Μεγέθη (Αργυρόπουλος Η. κ.α. Ιστορικό Σηµείωµα κεφ.7, Ευκλείδειας Γεωµετρίας Α και Β Λυκείου Ο.Ε.Δ.Β) Δραστηριότητες Διαβάζουµε το διήγηµα De consolatione geometriae από τη συλλογή διηγηµάτων Η σιωπή της καµηλοπάρδαλης του Κάρλο Φραµπέτι, που αναφέρεται και στο µνήµα του Αρχιµήδη. Ζωγραφίζουµε το σχήµα που ζήτησε ο Αρχιµήδης να αποτυπωθεί στον τάφο του.

10 Διαβάζουµε την Επιστολή του Αρχιµήδη προς το Δοσίθεο, µε την οποία ξεκινάει το πρώτο βιβλίο Περί σφαίρας και Κυλίνδρου και σχολιάζουµε τη φράση Όµως πιστεύω ότι η επικοινωνία µεταξύ όσων έχουν οικειότητα µε τα µαθηµατικά είναι σωστή, γι αυτό σου στέλνω γραπτά τις αποδείξεις. για τις οποίες αρµόδιοι ν αποφασίσουν είναι αυτοί που ασχολούνται µε τα µαθηµατικά (Νικολαϊδου σελ. 102) Δύο παιδιά διαβάζουν το διάλογο Ο όγκος της σφαίρας από το βιβλίο Μαθηµατικές συναντήσεις του Serge Lang Βιβλιογραφία Eves, Howard. Μεγάλες στιγµές των Μαθηµατικών- Διάλεξη 9, Ο στοχαστής και ο κακοποιός. Αθήνα, Τροχαλία Lang. Serge. Μαθηµατικές συναντήσεις. Αθήνα, Κάτοπτρο, Νικολαϊδου Ε., Φράγκου Μ. Αρχιµήδης το θεϊκό µυαλό, Αθήνα, Ελληνικά Γράµµατα, Φραµπέτι, Κάρλο. Η σιωπή της καµηλοπάρδαλης, Αθήνα,opera, Ο αριθµός π (σελ. 253) Εγγεγραµµένα πολύγωνα (σελ. 254) Κύκλου µέτρησις Θέµατα για µικρή έρευνα Βρίσκουµε στοιχεία από την ιστορία του π Ποιος είναι ο τύπος που µας δίνει το εµβαδόν του κύκλου και πως τον βρήκε ο Αρχιµήδης; Ποια είναι η µέθοδος της εξάντλησης την οποία χρησιµοποίησε ο Αρχιµήδης για να βρει τον παραπάνω τύπο; Ποια ήταν η προσέγγιση του Αρχιµήδη για το π Δραστηριότητες Δύο παιδιά διαβάζουν το διάλογο τι είναι το πι ή το µήκος του κύκλου από το βιβλίο Μαθηµατικές συναντήσεις του Serge Lang Υπολογίζουµε το π µε διαδοχικές προσεγγίσεις µε τη βοήθεια του Η/Υ (Τ. Μιχαηλίδη, Μαθητοκεντρικές δραστηριότητες στη διδασκαλία των Μαθηµατικών του Γυµνασίου- Μεθοδολογία και Διδακτική των Μαθηµατικών στο Γυµνάσιο, Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία)

11 Βιβλιογραφία Lang. Serge. Μαθηµατικές συναντήσεις. Αθήνα, Κάτοπτρο, Clawson, Calvin Ο ταξιδευτής των µαθηµατικών, Αθήνα, Κέδρος 2005 Heath, Thomas. Ιστορία των Ελληνικών Μαθηµατικών, Αθήνα, Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ (Τόµος 1, σελ.67-76) Νικολαϊδου Ε., Φράγκου Μ. Αρχιµήδης το θεϊκό µυαλό. Αθήνα, Ελληνικά Γράµµατα, Τα άλυτα γεωµετρικά προβλήµατα της αρχαιότητας Αναφορές στο βιβλίο Δήλιο Πρόβληµα (σελ. 78, 79, 112), Κυβική ρίζα- Δήλιο Πρόβληµα (σελ.111) Μέση ανάλογος (σελ. 79) Τετραγωνισµός του Κύκλου(σελ.46) Θέµατα για έρευνα Ποια είναι τα άλυτα γεωµετρικά προβλήµατα της αρχαιότητας; Ποιο καλούµε Δήλιο πρόβληµα και γιατί; Τι καλώ µέση ανάλογο δύο ευθυγράµµων τµηµάτων και πως κατασκευάζεται µε κανόνα και διαβήτη; Ποια είναι η πρόταση του Ιπποκράτη του Χίου για τη λύση του διπλασιασµού του κύβου; Ποια είναι η λύση του Ερατοσθένη του Κυρηναίου, για το διπλασιασµό του κύβου; Ποια είναι η µέθοδος της Νεύσης; Τριχοτόµηση µιας γωνίας από τον Αρχιµήδη, µε τη µέθοδο της Νεύσης (στο έργο Λήµµατα του Αρχιµήδη) Δραστηριότητες Κατασκευάζουµε το αρθρωτό όργανο που χρησιµεύει στην τριχοτόµηση γωνίας και στηρίζεται στη µέθοδο της Νεύσης που χρησιµοποίησε ο Αρχιµήδης. Κατασκευάζουµε το µεσολάβο, όργανο για την κατασκευή των δύο µέσων αναλόγων των ευθυγράµµων τµηµάτων 2α και α. Διαβάζουµε το ποίηµα της Τζένης Μαστοράκη Θεώρηµα και σχολιάζουµε τους στοίχους πως τετραγώνισα τους κύκλους των ονείρων... Ο κυλιόµενος κύκλος τετραγωνίζεται.λύση χωρίς λόγια για τον τετραγωνισµό του κύκλου (βλέπε Nelsen σελ.20)

12 Βιβλιογραφία Bunt, Lycas κ.ά. Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών µαθηµατικών. Αθήνα, Εκδόσεις Πνευµατικός, Θωµαΐδης Γ. κ. α., Ευκλείδεια Γεωµετρία, Βιβλίο του Καθηγητή,ΟΕΔΒ, Αθήνα, σελ.40) Θωµαΐδης Γ. κ. α., Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Λυκείου, ΟΕΔΒ, Αθήνα, Guedj Denis. Το θεώρηµα του παπαγάλου, Πόλις, Αθήνα, Heath, Thomas. Ιστορία των Ελληνικών Μαθηµατικών, Αθήνα, Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ (Τόµος 1, Κεφάλαιο 7) Μιχαηλίδης, Τεύκρος. Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη, Θαλής +Φίλοι, Σεµινάριο για τη µέση εκπαίδευση. Μιχαηλίδης, Τεύκρος. Μαθηµατικά Επίκαιρα-Συνειρµοί διαβάζοντας την εφηµερίδα, Πόλις, Αθήνα, Nelsen, Roger.Αποδείξεις χωρίς λόγια, Αθήνα, Σαββάλας, Μαθηµατικά Προβλήµατα µε τη σκιά Αναφορές Είχαν µετρήσει τις σκιές για να υπολογίσουν την απόσταση ως τα στρατεύµατα (σελ. 164) Προβλήµατα που σχετίζονται µε τη µέτρηση της σκιάς Μέτρηση του χρόνου µε βάση τη σκιά ενός γνώµονα Μέτρηση του ύψους της πυραµίδας από το Θαλή Μέτρηση της Γης από τον Ερατοσθένη

13 Βιβλιογραφία Maor Eli. Τριγωνοµετρικά Λουκούµια, Κάτοπτρο, Αθήνα, 2002 σελ.43,44) Guedj Denis. Το θεώρηµα του παπαγάλου, Πόλις, Αθήνα, 2000 Στοµάχιον Αναφορές ένα παιχνίδι για τον πατέρα του από φιλντισένια κοµµάτια (σελ.44) Το παιχνίδι αυτό που χάρισε ο Αρχιµήδης στον πατέρα του αναφέρεται(µας θυµίζει) το παιχνίδι της Αρχαιότητας Στοµάχιον. Το παιχνίδι αυτό αποτελείτο από δεκατέσσερα επίπεδα κοµµάτια φτιαγµένα από ελεφαντόδοντο που κανονικά σχηµάτιζαν ένα τετράγωνο. Ο στόχος του παιχνιδιού ήταν να ανακατέψεις τα κοµµάτια και να σχηµατίσεις ανθρώπους, ζώα, αντικείµενα κ.α. (Νικολαϊδου σελ.162). Δραστηριότητες Ευκαιρία για παιχνίδι. Μια και το κινέζικο παιχνίδι Tangram µας θυµίζει το Στοµάχιον, µπορούµε να το παίξουµε ή να βρούµε πληροφορίες και οδηγίες στο internet Βιβλιογραφία Νικολαϊδου Ε., Φράγκου Μ. Αρχιµήδης το θεϊκό µυαλό, Αθήνα, Ελληνικά Γράµµατα, Μικρές εργασίες στα µαθηµατικά Περί µηδενός

14 Το σύστηµα γραφής που γνώριζε δεν περιείχε κάποιο σύµβολο για το µηδέν (σελ. 8) Αναζητούµε πληροφορίες για το σύµβολο του µηδενός (0). Πότε καθιερώθηκε αυτό στο δυτικό κόσµο; Clawson, Calvin Ο ταξιδευτής των µαθηµατικών, Αθήνα, Κέδρος 2005 Wilder, R. L.Εξέλιξη των µαθηµατικών εννοιών, Κουτσουµπός, Αθήνα, 1986 Στερεά σχήµατα: Ορθογώνια παραλληλεπίπεδα (σελ. 15) Παραλληλεπίπεδα, Κύβοι (σελ 27) Αναζητούµε σε ένα βιβλίο Γεωµετρίας τους ορισµούς των παραπάνω σχηµάτων. Ξεκίνησαν ως κύλινδροι για τα σχοινιά του καταπέλτη, έπειτα όµως µετατράπηκαν σε αφηρηµένους κυλίνδρους µιας ιδεατής φόρµας (σελ. 298) Σχολιάζουµε την παραπάνω φράση (Από τον υλικό κόσµο στον ιδεατό) Η έννοια της πιθανότητας Δέκα προς ένα θα ήταν µια καλή πιθανότητα (σελ.35) Ορίζουµε την έννοια της πιθανότητας Η έννοια της κλίµακας (σελ. 137) Δίνουµε στα παιδιά ένα χάρτη υπό κλίµακα και ζητούµε να βρουν τις πραγµατικές αποστάσεις µεταξύ διαφόρων σηµείων. Ευκλείδης Ευκλείδης (σελ. 45) Συζητούµε τη συνεισφορά του Ευκλείδη στα Μαθηµατικά. Δεν υπάρχει βασιλική οδός για τη Γεωµετρία (σελ.410) Ποιος, σε ποιον και γιατί είπε την παραπάνω φράση; Αρίσταρχος Ηλιοκεντρικό σύστηµα (σελ. 46,169) Μαθαίνουµε τι υποστήριξε ο Αρίσταρχος ο Σάµιος και πως έγιναν δεκτές οι απόψεις του από τους συγχρόνους του. Κάνουµε αναφορά στον Κοπέρνικο. Κωνικές τοµές Υπερβολή (σελ.182) Εφαπτόµενες στις κωνικές τοµές, υπερβολή (σελ.408) Αναζητούµε απαντήσεις στα παρακάτω ερωτήµατα: Ποιες καµπύλες καλούνται κωνικές τοµές; Γιατί πήραν αυτό το όνοµα; Ποιες είναι οι εξισώσεις των καµπύλων αυτών; Ποιος Μαθηµατικός στην αρχαιότητα έγραψε βιβλίο γι αυτές; Πώς µπορώ να φέρω εφαπτοµένη σε κύκλο από σηµείο εκτός του κύκλου; Πώς µπορώ να χρησιµοποιήσω τα αρµονικά συζυγή σηµεία για να κατασκευάσω εφαπτόµενες στις κωνικές τοµές;(θωµαΐδης Γ. κ. α., Ευκλείδεια Γεωµετρία, Βιβλίο του Καθηγητή, ΟΕΔΒ, Αθήνα, σελ.71)

15 Συζητήσεις για τα Μαθηµατικά Φειδίας- Αρχιµήδης (σελ. 45) Μπορούν τα Μαθηµατικά µα αποτελέσουν πεδίο επικοινωνίας ανάµεσα στους ανθρώπους; Αλλά δεν ήταν αριστοκράτης και δεν είχε την οικονοµική δυνατότητα να αφοσιωθεί στα θεωρητικά Μαθηµατικά (σελ. 53) Ερευνούµε και συζητούµε για την κοινωνική θέση των µεγάλων µαθηµατικών κατά την αρχαιότητα. σύγχρονη εποχή. Συγκρίνουµε τα ευρήµατά µας µε αυτά που ισχύουν στη Κατασκευή µηχανών-θεωρητικά Μαθηµατικά (σελ.53) Η χρησιµότητα ή µη, του υπολογισµού της αναλογίας ανάµεσα στους όγκους ενός κυλίνδρου και µιας περιγεγραµµένης σφαίρας (σελ.479) Ο ερευνητής πρέπει να ασχολείται µόνο µε θέµατα που έχουν άµεσες εφαρµογές; Με αφορµή τα παραπάνω προτείνουµε να γίνει εκφραστική ανάγνωση από δύο παιδιά ενός φανταστικού διαλόγου ανάµεσα στον Τύραννο Ιέρωνα και στον Αρχιµήδη, για τις εφαρµογές των µαθηµατικών, τον οποίο έγραψε ο Ούγγρος µαθηµατικός Α.Renyi Υποτίθεται ότι ο Φειδίας είχε ισχυρισθεί ότι τα στοιχεία του Ευκλείδη είναι πιο σηµαντικό βιβλίο από την Ιλίαδα του Οµήρου (σελ.117) Μπορούµε να ισχυρισθούµε ότι Οι µαθηµατικές αρχές φυσικής φιλοσοφίας του Νεύτωνα είναι έργο πιο σηµαντικό από τον Άµλετ του Σαίξπηρ; Αρχές αιώνιες και αναλλοίωτες (σελ. 241) Τα µαθηµατικά είναι µια σειρήνα (σελ.391) Ήταν τόσο εκλεπτυσµένος σα µια γεωµετρική απόδειξη (σελ.391) Η αναλογία παρέµενε τέλεια (σελ.483) Φειδίας- Αρχιµήδης (σελ. 45) Συζητούµε για την οµορφιά των Μαθηµατικών Μηχανική (αρχές-εµπειρία) (σελ.109) Σχέση Μηχανικής και Μαθηµατικών (σελ.112) Σε παλαιότερες εποχές αρκούσε η εµπειρία σε έναν µηχανικό. Ισχύει το ίδιο και σήµερα ή είναι απαραίτητη και η επιστηµονική κατάρτιση; Συζητούµε για το ρόλο των µαθηµατικών στον πόλεµο και διαβάζουµε το κεφάλαιο Τα Μαθηµατικά και ο πόλεµος από το βιβλίο των Davis kai Hersh Η µαθηµατική εµπειρία (εκδόσεις Τροχαλία) Προτείνουµε να διαβαστεί το διήγηµα The death of Archimedes του Karel Capek που περιλαµβάνεται στη συλλογή Fantasia Mathematica, και διαπραγµατεύεται το ρόλο και τις εφαρµογές των µαθηµατικών στον πόλεµο.

16 Πώς παρουσιάζεται ο νεαρός Αρχιµήδης στο έργο; Αυτή η εικόνα ταυτίζεται µε το στερεότυπο του ερευνητή µαθηµατικού; Αληθεύει ότι οι µαθηµατικοί κάνουν τις πιο σηµαντικές τους ανακαλύψεις σε µικρή ηλικία; Αρχιµήδης και καταπέλτες-αϊνστάιν και ατοµική βόµβα: Ηθικά διλήµµατα ενός επιστήµονα. Αρχιµήδης και Ιέρωνας- Blake Ross(δηµιουργός του Firefox) και Silicon Valley. Πώς η πολιτική ή οικονοµική εξουσία χρησιµοποιεί τους επιστήµονες. Αρχιµήδης- Κόνωνας- Δοσίθεος- Ερατοσθένης Είναι µοναχική ή συλλογική η εργασία ενός επιστήµονα; Έχει ανάγκη ο επιστήµονας να επικοινωνεί µε άλλους επιστήµονες; Συζητούµε για το τέλος του Αρχιµήδη

Π. Κοταρίνου, Μαθηµατικός Ν. Κουτλή, Φυσικός 2 ου Ενιαίου Λυκείου Ιλίου

Π. Κοταρίνου, Μαθηµατικός Ν. Κουτλή, Φυσικός 2 ου Ενιαίου Λυκείου Ιλίου Gillian Bradshaw, Ο άνθρωπος που µετρούσε την άµµο Διαβάσαµε και προτείνουµε. Π. Κοταρίνου, Μαθηµατικός Ν. Κουτλή, Φυσικός 2 ου Ενιαίου Λυκείου Ιλίου Πάρος, Ιούλιος 2006 1 Περιεχόµενα 1. Η συγγραφέας 2.

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο - Οι φυσικοί αριθµοί 1.1. Φυσικοί αριθµοί - ιάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση 1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασµός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς. Άλγεβρα Γενικής Παιδείας. I. ιδακτέα ύλη

Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς. Άλγεβρα Γενικής Παιδείας. I. ιδακτέα ύλη ΘΕΜΑ : Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης Θετικών Μαθηµάτων των Β και Γ τάξεων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2011 12. Μετά από σχετική εισήγηση του Τµήµατος ευτεροβάθµιας

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738)

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra ως αρωγός για τη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ: ΕΥΓΕΝΙΑ ΚΟΛΕΖΑ. ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ο μεγάλος μαθηματικός της αρχαιότητας. Θέμα:

ΜΑΘΗΜΑ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ: ΕΥΓΕΝΙΑ ΚΟΛΕΖΑ. ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ο μεγάλος μαθηματικός της αρχαιότητας. Θέμα: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ: ΕΥΓΕΝΙΑ ΚΟΛΕΖΑ Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ο μεγάλος μαθηματικός της αρχαιότητας ΑΥΓΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΔΙΚΗ ΜΑΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ + ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. - http://pratt.edu/~arch543p/readings/mathematics_and_philosophy.html

ΓΙΑ ΔΙΚΗ ΜΑΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ + ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. - http://pratt.edu/~arch543p/readings/mathematics_and_philosophy.html ΓΙΑ ΔΙΚΗ ΜΑΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ + ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Α. ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Για Θαλή: - http://pratt.edu/~arch543p/readings/mathematics_and_philosophy.html - http://www.anselm.edu/homepage/dbanach/thales.htm -http://www-groups.dcs.stand.ac.uk/~history/birthplacemaps/places/miletus.html

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα: Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο:

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα:  Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

1 Dodecaeder 3 7 5 11 9. 2 12 4 10 6. 8 Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Dodecaeder Copyright 1998-2005 Gijs Korthals

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία 1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Η δική µας Εικασία Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν να διχοτοµούν µια τυχαία γωνία µε χρήση κανόνα και διαβήτη, και, κατά συνέπεια, µπορούσαν να διαιρέσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ. Αναστασία Ταουκτσόγλου. Μαθηματικός, Δρ Διαφορικής Γεωμετρίας

ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ. Αναστασία Ταουκτσόγλου. Μαθηματικός, Δρ Διαφορικής Γεωμετρίας ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Αναστασία Ταουκτσόγλου Μαθηματικός, Δρ Διαφορικής Γεωμετρίας Νέες Τεχνολογίες στην Εκπαίδευση Με τον όρο αυτό αναφερόμαστε στην εφαρμογή των Τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων Γενικά Λύκεια (μέσω των Δ/νσεων Δ.Ε.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων Γενικά Λύκεια (μέσω των Δ/νσεων Δ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 2: Απόδειξη Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Η ΔΙΑΧΥΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1. (J. Steiner 1796 1863)

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1. (J. Steiner 1796 1863) Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1 B ΤΟΣΙΤΣΕΙΟ ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές «οι υπολογισµοί υποκαθιστούν την σκέψη, ενώ η γεωµετρία την διεγείρει». (J. Steiner 1796 1863)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β Λυκείου Αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, Οµοιότητα τριγώνων, Εµβαδόν Τετραγώνου. Εµβαδόν Τριγώνου Βασικές γνώσεις Ευκλείδειας Γεωµετρίας Α

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 2012. ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 7

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου

Σταυρούλα Πατσιομίτου Αριστοτέλους Μεταφυσικά 1078 α 30 Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Σ υνδέονται τα Μαθηματικά με την Αισθητική, με την Τέχνη, με την Τεχνολογία. Πόσο σημαντικό είναι να γνωρίζουμε την Ιστορία τους;

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο 2: Αναλογίες - Ομοιότητα Κεφάλαιο 3: Πυθαγόρειο Θεώρημα (και μετρικές σχέσεις) Κεφάλαιο 4: Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο 2: Αναλογίες - Ομοιότητα Κεφάλαιο 3: Πυθαγόρειο Θεώρημα (και μετρικές σχέσεις) Κεφάλαιο 4: Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη Γεωμετρία της Β Λυκείου παρουσιάζονται θεωρήματα και προβλήματα που έχουν μεγάλη ιστορική και μαθηματική αξία. Αξιοποιείται η αναλυτικήσυνθετική μέθοδος και επιχειρείται μία πρώτη επαφή με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική θεματολογία δημιουργικών εργασιών στην Α και Β τάξη του Γενικού Λυκείου

Ενδεικτική θεματολογία δημιουργικών εργασιών στην Α και Β τάξη του Γενικού Λυκείου Ενδεικτική θεματολογία δημιουργικών εργασιών στην Α και Β τάξη του Γενικού Λυκείου Α. Προτεινόμενες θεματικές ενότητες Τίτλοι από το Ι.Ε.Π. ΑΛΓΕΒΡΑ 5ο 5.1: Ακολουθίες Η ακολουθία Fibonacci στην Φύση και

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Γυμνασίου. Ι. Διδακτέα ύλη

Β Τάξη Γυμνασίου. Ι. Διδακτέα ύλη ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Υποστηρίζεται η άποψη ότι η ελληνιστική περίοδος (3ος - 2ος αι. π.χ.) αποτελεί το «απόγειο» της αρχαίας ελληνικής επιστήµης. Επίσης, ορισµένοι ιστορικοί της επιστήµης εκτιµούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια Οι ρίζες του Πυθαγορείου Θεωρήματος βρίσκονται στη Γεωμετρία. Το θεώρημα διαδραματίζει κεντρικό ρόλο σε πολυάριθμους επιστημονικούς κλάδους,

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS 246 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS Φουναριωτάκης Αθανάσιος Μαθηματικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Προσωπική ιστοσελίδα:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου

Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου Σύντοµη περιγραφή του σεναρίου Η βασική ιδέα του σεναρίου Το συγκεκριµένο εκπαιδευτικό σενάριο αναφέρεται στην εύρεση των τύπων µε τους

Διαβάστε περισσότερα

MATHematics.mousoulides.com

MATHematics.mousoulides.com ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Ενδεικτικές Επαναληπτικές Δραστηριότητες 1 1. Να χαρακτηρίσετε με ΟΡΘΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Ο κύλινδρος είναι πολύεδρο. ΟΡΘΟ /

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου) Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

THOMAS VOGEL Το τελευταίο παραµύθι του Μιγκέλ Τόρρες ντα Σίλβα (ΜΥΘΙΣΤΟΡΗΜΑ)

THOMAS VOGEL Το τελευταίο παραµύθι του Μιγκέλ Τόρρες ντα Σίλβα (ΜΥΘΙΣΤΟΡΗΜΑ) THOMAS VOGEL Το τελευταίο παραµύθι του Μιγκέλ Τόρρες ντα Σίλβα (ΜΥΘΙΣΤΟΡΗΜΑ) Μετάφραση: ΛΙΝΑ ΣΙΠΙΤΑΝΟΥ Εκδόσεις Κριτική 2003 Παρουσίαση του βιβλίου: Ευαγγελία Τατάγια ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το µυθιστόρηµα ξετυλίγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία»

Κύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία» 3ο Γενικό Λύκειο Λάρισας Κύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία» Θέµα Ερευνητικής Εργασίας: ιερεύνηση των εξισώσεων και ανισώσεων µέσα από την επίλυση καθηµερινών προβληµάτων.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΜΑ 2: Συνοπτικό σχέδιο σχετικά με την υλοποίηση της πρακτικής άσκησης/εφαρμογής στην τάξη

ΦΟΡΜΑ 2: Συνοπτικό σχέδιο σχετικά με την υλοποίηση της πρακτικής άσκησης/εφαρμογής στην τάξη ΦΟΡΜΑ 2: Συνοπτικό σχέδιο σχετικά με την υλοποίηση της πρακτικής άσκησης/εφαρμογής στην τάξη Συμπλήρωση (Ομάδα Επιμορφωτών): ΧΡΥΣΑΦΕΝΙΑ ΜΑΝΩΛΟΠΟΥΛΟΥ Κατάθεση/Υποβολή: ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΚΟΝΤΟΥΛΗΣ Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

2. Γεωμετρία Β Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

2. Γεωμετρία Β Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου 2. Γεωμετρία Β Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου I. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των. Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες Θεµατικής Ενότητας Α ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Ο ΥΣΣΕΑΣ ΦΥΛΛΟ ραστηριοτήτων 1

ραστηριότητες Θεµατικής Ενότητας Α ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Ο ΥΣΣΕΑΣ ΦΥΛΛΟ ραστηριοτήτων 1 ραστηριότητες Θεµατικής Ενότητας Α ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Ο ΥΣΣΕΑΣ ΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ 4 Ο ΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΕΛΙΣΣΙΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Α: ΠΗΓΕΣ ΦΩΤΟΣ, ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ, ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ, ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ, ΥΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες 1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή είναι μια εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες. Η εισαγωγή αυτή επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της μεθόδου

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα